2023年数学高考复习真题演练(2021-2022年高考真题)第5讲 数列与不等式(含详解)

高考数学一轮复习第五章数列5.5 数列综合练习（含解析）(1)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高考数学一轮复习第五章数列5.5 数列综合练习（含解析）(1)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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数列综合时间:50分钟总分:70分班级：姓名:一、选择题（共6小题，每题5分，共30分）1．在等比数列{a n}中,各项都是正数，且a1，错误!a3，2a2成等差数列，则错误!＝（）A．1＋ 2 B．1－错误!C．3＋2错误!D．3－2错误!【答案】C【解析】设等比数列{a n｝的公比为q（q＞0),则由题意得a3＝a1＋2a2，所以a1q2＝a1＋2a1q，所以q2－2q－1＝0，解得q＝1±错误!.又q＞0，因此有q＝1＋错误!，故错误!＝错误!＝q2＝(1＋错误!）2＝3＋2错误!。

2．数列｛a n}是公差不为0的等差数列，且a1，a3,a7为等比数列｛b n}中连续的三项，则数列｛b n}的公比为（）A.错误!B．4C．2 D.错误!【答案】C【解析】设数列{a n｝的公差为d(d≠0），由a错误!＝a1a7得（a1＋2d)2＝a1（a1＋6d),解得a1＝2d，故数列｛b n｝的公比q＝错误!＝错误!＝错误!＝2。

3．《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题,《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织,日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一月(按30天计）,共织390尺布”,则每天比前一天多织布的尺数是（）A。

专题23 数列的基本知识与概念【考点预测】1．数列的概念（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． （2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N *（或它的有限子集{}12n ⋯，，，）为定义域的函数()n a f n =当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．（3）数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法． 2．数列的分类（1）按照项数有限和无限分：（2）按单调性来分：111()n n n nn n a a a a a a C +++≥⎧⎪≥⎪⎨==⎪⎪⎩递增数列：递减数列： ，常数列：常数摆动数列 3．数列的两种常用的表示方法（1）通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．（2）递推公式：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 【方法技巧与总结】（1）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，通项公式为n a ，则1112n n n S n a S S n n N *-=⎧⎪=⎨-≥∈⎪⎩ ， ， ，注意：根据n S 求n a 时，不要忽视对1n =的验证．（2）在数列{}n a 中，若n a 最大，则11n n n n a a a a -+≥⎧⎨≥⎩ ， 若n a 最小，则11.n n nn a a a a -+≤⎧⎨≤⎩【题型归纳目录】 题型一：数列的周期性 题型二：数列的单调性 题型三：数列的最大（小）项 题型四：数列中的规律问题 题型五：数列的最值问题【典例例题】题型一：数列的周期性例1．已知无穷数列{}n a 满足()21N n n n a a a x *++=-∈，且11a =，2a x =()x ∈Z ，若数列{}n a 的前2020项中有100项是0，则下列哪个不能是x 的取值（ ）A ．1147B ．1148C ．1142-D ．1143-例2．若[]x 表示不超过x 的最大整数（如[]2.52=，[]44=，[]2.53-=-），已知2107n n a ⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦，11b a =，()*110,2n n n b a a n n -=-∈≥N ，则2019b =（ ）A ．2B ．5C ．7D ．8例3．数列{}n a 满足12a =，111nn na a a ++=-，其前n 项积为n T ，则10T 等于（ ） A ．16B ．16-C ．6D ．6-例4．若数列{}n a 满足1222a a ==，且21n n n a a a ++=-，则{}n a 的前100项和为（ ） A ．67B ．68C ．134D ．167例5．数列{}n a 满足112,0,2121,1,2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩若125a =，则2021a 等于（ ）A ．15B ．25C ．35D ．45例6．已知数列{}n a 满足，()()111122,32n n n n n a a a a a ----⎧-+>⎪=⎨-⎪⎩*(,1)n N n ∈>，若1(2,3)a ∈且记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2019=m S ，则2019S 的值为（ ） A ．60572B ．3028C ．60552D ．3029例7．（2022·广东汕头·三模）已知数列{}n a 中，114a =-，当1n >时，111n n a a -=-，则2022a =（ ） A ．14-B ．45C ．5D ．45-例8．（2022·河北·沧县中学高三阶段练习）已知数列{}n a 中，()1112n n n a a a n --=⋅+≥，12a =，则10a 等于（ ）A ．12-B ．12C ．-1D ．2题型二：数列的单调性例9．（2022·四川达州·二模（理））已知单调递增数列{}n a 满足9,102121,109n n m n a m n n -⎧≥⎪=⎨⎛⎫+-< ⎪⎪⎝⎭⎩，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)12,+∞B ．()1,12C ．()1,9D ．[)9,+∞例10．（2022·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（文））已知函数()()633,7,7x a x x f x a x -⎧--≤=⎨>⎩，若数列{}n a 满足()()*n a f n n N =∈且{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是（ ）A ．9,34⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()2,3D ．[)2,3例11．（2022·浙江·高三专题练习）已知数列{}n a 的首项为11a =，2a a =，且121(2,)n n a a n n n N *++=+≥∈，若数列{}n a 单调递增，则a 的取值范围为（ ） A ．12a <<B ．23a <<C ．3522a <<D ．1322a <<例12．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列{}n a 前n 项和n S 满足113n n S A +=-⋅（A R ∈），数列{}n b 是递增的，且2n b An Bn =+，则实数B 的取值范围为（ ）A ．2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．[)1,-+∞C ．()1,-+∞D ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭例13．（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列{}n a 满足()712,83,8n n a n n a n a n *-⎧⎛⎫-+>⎪ ⎪=∈⎝⎭⎨⎪≤⎩N ，若对于任意n *∈N 都有1n n a a +>，则实数a 的取值范围是（ ） A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭例14．（2022·全国·高三专题练习）设数列{}n a 的通项公式为2n a n bn =+，若数列{}n a 是单调递增数列， 则实数b 的取值范围为（ ） A ．(2,)-+∞B ．[2,)-+∞C ．(3,)-+∞D ．(,3)-∞-【方法技巧与总结】解决数列的单调性问题的3种方法题型三：数列的最大（小）项例15．已知数列{}n a 的首项为1，且()()*111n n n a a n n ++=∈+N ，则na的最小值是（ ）A ．12 B ．1 C ．2D ．3例16．已知数列{}n a 满足110a = ，12n na a n+-=，则n a n 的最小值为（ ）A ．-1B ．11 2C ．163D ．27 4例17．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且2(1)n n S a n -=-，22na n nb S =，则数列{}n b 的最小项为（ ）A ．第3项B ．第4项C ．第5项D ．第6项例18．已知数列{}n a 的前n 项和2212,n S n n =-数列{||}n a 的前n 项和,n T 则nT n的最小值____ 例19．数列，1n =，2，，中的最小项的值为__________．【方法技巧与总结】求数列的最大项与最小项的常用方法（1）将数列视为函数()f x 当x ∈N *时所对应的一列函数值，根据f （x ）的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出()f x 的最值，进而求出数列的最大（小）项．（2）通过通项公式n a 研究数列的单调性，利用11()2n n n n a a a n a -+≥⎧⎨≥⎩≥，确定最大项，利用11()2n n nn a a a n a -+≤⎧⎨≤⎩≥，确定最小项．（3）比较法：若有1()()10n n a a f n f n -=+->＋或0n a >时11n na a +>，则1n n a a ＋＞，则数列{}n a 是递增数列，所以数列{}n a 的最小项为1(1)a f =；若有1()()10n n a a f n f n =-+-<＋或0n a >时11n na a +<，则1n n a a <＋，则数列{}n a 是递减数列，所以数列{}n a 的最大项为1(1)a f =． 题型四：数列中的规律问题例20．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以()f n 表示第n 幅图的蜂巢总数，则(4)f =（ ）；()f n =（ ）． A ．35 2331n n +- B ．36 2331n n -+ C ．37 2331n n -+ D ．38 2331n n +-例21．由正整数组成的数对按规律排列如下：()1,1，1,2，()2,1，()1,3，()2,2，()3,1，()1,4，()2,3，()3,2，()4,1，()1,5，()2,4，⋅⋅⋅．若数对(),m n 满足()22222021m n -⋅-=，,m n N *∈，则数对(),m n 排在（ ）A ．第386位B ．第193位C ．第348位D ．第174位例22．已知“整数对”按如下规律排列：()()()()()1,11,22,11,32,2，，，，，()()()3,11,42,3，，()3,2，，()4,1，…，则第68个“整数对”为（ ） A ．()1,12B ．()3,10C ．()2,11D ．()3,9例23．将正整数排列如下： 1 2 34 5 67 8 9 10 11 12 13 14 15 ……则图中数2020出现在 A ．第64行3列B ．第64行4列C ．第65行3列D ．第65行4列题型五：数列的最值问题例24．（2022·北京市第十二中学高三期中）已知数列{}n a 满足32n a n n=+，则数列{}n a 的最小值为（ ）A．343B ．575C ．D ．12例25．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a ，2141n n a n n ，则下列说法正确的是（ ）A ．此数列没有最大项B ．此数列的最大项是3aC ．此数列没有最小项D ．此数列的最小项是2a例26．（2022·河南·高三阶段练习（理））在数列{}n a 中，11a =，1n n a a n --=（N n +∈，2n ≥），则11n a n ++的最小值是（ ） A ．12B ．34C ．1D ．32例27．（2022·辽宁·高三阶段练习）若数列{}n a 满足24122,n nn n n a T a a a -==⋅⋅⋅，则n T 的最小值为（ ）A ．92-B ．102-C ．112-D ．122-例28．（2022·全国·高三专题练习）若数列{}n a 满足113a =，1n n n a a +-=，则na n的最小值为（ ） A ．235B ．143C 12D ．13例29．（2022·全国·高三专题练习）设221316n a n n =-+-，则数列{}n a 中最大项的值为（ ） A ．134B ．5C ．6D ．132例30．（2022·浙江·高三专题练习）已知数列{}n a 的通项公式为211n aa n n n=-+，5a 是数列{}n a 的最小项，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]40,25-- B ．[]40,0- C ．[]25,25- D ．[]25,0-【过关测试】一、单选题 1．（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））函数()f x 定义如下表，数列{}()N n x n ∈满足02x =，且对任意的自然数n 均有()1n n x f x +=，则2022x =（ ）2．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，其中一列数如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……．按此规律得到的数列记为{}n a ，其前n 项和为n S ，给出以下结论：①22122n a n n -=-；②182是数列{}n a 中的项；③21210a =；④当n 为偶数时，()2122n n n S S S n n *++-+=+∈N ．其中正确的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④3．（2022·河南·模拟预测（理））观察数组()2,2，()3,4，()4,8，()5,16，()6,32，…，根据规律，可得第8个数组为（ ） A ．()9,128 B ．()10,128 C ．()9,256D ．()10,2564．（2022·吉林长春·模拟预测（理））已知数列{}n a 满足()()11120n n a a +-++=，112a =，则数列{}n a 的前2022项积为（ ） A ．16-B ．23C ．6-D ．325．（2022·江西·临川一中模拟预测（理））已知数列{}n a 满足()1112,21*+-==∈-n n n a a a n N a ，则2022=a （ ）A ．13B ．1C ．2D ．526．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的通项公式为n a a n n=+，则“21a a >”是“数列{}n a 单调递增”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足()2**2,5,,1,5,.n n tn n n a t n n n ⎧-+≤∈⎪=⎨->∈⎪⎩N N 且数列{}n a 是单调递增数列，则t 的取值范围是（ ） A ．919,24⎛⎫⎪⎝⎭B ．9,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()5,+∞D ．(]1,48．（2022·全国·高三专题练习）若数列{an }的前n 项和Sn ＝n 2－10n (n ∈N *)，则数列{nan }中数值最小的项是（ ） A ．第2项 B ．第3项 C ．第4项D ．第5项9．（2022·上海普陀·二模）数列{}n a 的前n 项的和n S 满足*1(N )n n S S n n ++=∈，则下列选项中正确的是（ ）A ．数列{}1n n a a ++是常数列B ．若113a <，则{}n a 是递增数列C ．若11a =-，则20221013S =D ．若11a =，则{}n a 的最小项的值为1-10．（2022·北京四中三模）已知数列{n a }的通项为22n a n n λ=-，则“0λ<”是“*n ∀∈N ，1n n a a +>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、多选题11．（2022·河北·衡水第一中学高三阶段练习）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则下列说法正确的是（ ） A ．此数列的第20项是200B ．此数列的第19项是180C ．此数列偶数项的通项公式为222n a n =D ．此数列的前n 项和为(1)n S n n =⋅-12．（2022·全国·高三专题练习）若数列{}n a 满足1112,012,1321,12n n n n n a a a a a a +⎧⎪⎪==⎨⎪-<<⎪⎩，则数列{}n a 中的项的值可能为（ ） A ．13B ．2C ．23D ．4513．（2022·全国·高三专题练习）下列四个选项中，不正确的是（ ）A ．数列2345,,,3456，⋯的一个通项公式是1n n a n =+ B ．数列的图象是一群孤立的点C ．数列1，1-，1，1-，⋯与数列1-，1，1-，1，⋯是同一数列D ．数列11,24，⋯，12n是递增数列14．（2022·全国·高三专题练习）已知n S 是{}n a 的前n 项和，12a =，()1112n n a n a -=-≥，则下列选项错误的是（ ） A ．20212a = B ．20211012S =C ．331321n n n a a a ++⋅⋅=D ．{}n a 是以3为周期的周期数列15．（2022·全国·高三专题练习）若数列{an }满足112,2712,62n n n n n a a a a a +⎧≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，123a =，则数列{an }中的项的值可能为（ ） A ．19B ．16C ．13D ．4316．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足112a =-，111n n a a +=-，则下列各数是{}n a 的项的有（ ）A ．2-B ．23C ．32D ．317．（2022·全国·高三专题练习（文））南宋杨辉在他1261年所著的《详解九章算术》一书中记录了一种三角形数表，称之为“开方作法本源”图，即现在著名的“杨辉三角”.如图是一种变异的杨辉三角，它是将数列{}n a 各项按照上小下大，左小右大的原则写成的，其中{}n a 是集合{}220,,s ts t s t Z +≤<∈且中所有的数从小到大排列的数列，即13a =，25a =，36a =，49a =，510a =，…，则下列结论正确的是（ ）A ．第四行的数是17，18，20，24B ．()11232-+=⋅n n n aC ．()11221n n a n ++=+ D ．10016640a =18．（2022·全国·高三专题练习）如图所示的数表中，第1行是从1开始的正奇数，从第2行开始每个数是它肩上两个数之和．则下列说法正确的是（ ）A ．第6行第1个数为192B ．第10行的数从左到右构成公差为102的等差数列C ．第10行前10个数的和为9952⨯D ．数表中第2021行第2021个数为202060612⨯19．（2022·河北·石家庄实验中学高三开学考试）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则下列说法正确的是（ ） A ．此数列的第20项是200B ．此数列的第19项是182C ．此数列偶数项的通项公式为222n a n =D ．此数列的前n 项和为(1)n S n n =⋅-20．（2022·福建漳州·三模）已知数列{n a }的前n 项和为211n S n n =-，则下列说法正确的是（ ）．A ．{}n a 是递增数列B ．{}n a 是递减数列C ．122n a nD ．数列{}n S 的最大项为5S 和6S21．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）对于正整数n ，()n ϕ是小于或等于n 的正整数中与n 互质的数的数目．函数()n ϕ以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如()96ϕ=（1，2，4，5，7，8与9互质），则（ ）A ．若n 为质数，则()1n n ϕ=-B ．数列(){}n ϕ单调递增C ．数列()2nn ϕ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前5项和等于72 D ．数列(){}3nϕ为等比数列三、填空题22．（2022·北京·人大附中模拟预测）能说明命题“若无穷数列{}n a 满足()111,2,3,n na n a +>=，则{}n a 为递增数列”为假命题的数列{}n a 的通项公式可以为n a =__________．23．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测）写出一个符合下列要求的数列{}n a 的通项公式：①{}n a 是无穷数列；②{}n a 是单调递减数列；③20n a -<<.这个数列的通项可以是__________.24．（2022·海南·模拟预测）写出一个同时具有下列性质①②③的数列{}n a 的通项公式：n a =__________．①10n n a a +<；②数列{}n a 是单调递减数列；③数列{}2nn a 是一个等比数列．25．（2022·江西·临川一中模拟预测（文））已知23n a n n =+，若2nn a λ≤对于任意*n ∈N 恒成立，则实数λ的取值范围是_______．26．（2022·天津市新华中学高三期末）在数列{}n a 中，()71()8nn a n =+，则数列{}n a 中的最大项的n =________ .27．（2022·山西·模拟预测（理））数列{}n a 中，已知11a =，20a >，()*21n n n a a a n ++=-∈N ，则2022a 的取值范围是___________.28．（2022·四川成都·三模（理））已知数列{}n a 满足13a =，122n n n a a a ++=，则2022a 的值为______．29．（2022·全国·模拟预测）在数列{}n a 中，11a =，1,231,nnn n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数，则1232021a a a a ++++=___．专题23 数列的基本知识与概念【考点预测】1．数列的概念（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． （2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N *（或它的有限子集{}12n ⋯，，，）为定义域的函数()n a f n =当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．（3）数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法． 2．数列的分类（1）按照项数有限和无限分：（2）按单调性来分：111()n n n nn n a a a a a a C +++≥⎧⎪≥⎪⎨==⎪⎪⎩递增数列：递减数列： ，常数列：常数摆动数列 3．数列的两种常用的表示方法（1）通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．（2）递推公式：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 【方法技巧与总结】（1）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，通项公式为n a ，则1112n n n S n a S S n n N *-=⎧⎪=⎨-≥∈⎪⎩ ， ， ，注意：根据n S 求n a 时，不要忽视对1n =的验证．（2）在数列{}n a 中，若n a 最大，则11n n n n a a a a -+≥⎧⎨≥⎩ ， 若n a 最小，则11.n n nn a a a a -+≤⎧⎨≤⎩【题型归纳目录】 题型一：数列的周期性 题型二：数列的单调性 题型三：数列的最大（小）项 题型四：数列中的规律问题 题型五：数列的最值问题【典例例题】题型一：数列的周期性例1．已知无穷数列{}n a 满足()21N n n n a a a x *++=-∈，且11a =，2a x =()x ∈Z ，若数列{}n a 的前2020项中有100项是0，则下列哪个不能是x 的取值（ ）A ．1147B ．1148C ．1142-D ．1143-【答案】B 【分析】当0x ≥时，分别令1,2,3,x =，可求出数列{}n a 的前2020项中0的个数，进而得出规律，可求出满足题意的x 的取值；当0x <时，分别令1,2,3,x =---，可求出数列{}n a 的前2020项中0的个数，进而得出规律，可求出满足题意的x 的取值． 【详解】 ①当0x ≥时，若0x =，则数列{}n a 的各项为1,0,1,1,0,1,1,0,1,，此时数列{}n a 为周期数列，周期为3，由202036731=⨯+， 可知数列{}n a 的前2020项中有673项为0； 若1x =，则数列{}n a 的各项为1,1,0,1,1,0,1,1,0,，此时数列{}n a 为周期数列，周期为3，由202036731=⨯+， 可知数列{}n a 的前2020项中有673项为0； 若2x =，则数列{}n a 的各项为1,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0,，此时数列{}n a 从第3项开始为周期数列，周期为3，由202022018236722=+=+⨯+，可知数列{}n a 的前2020项中有672项为0； 若3x =，则数列{}n a 的各项为1,3,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0,，此时数列{}n a 从第4项开始为周期数列，周期为3，由202032017336721=+=+⨯+，可知数列{}n a 的前2020项中有672项为0； 若4x =，则数列{}n a 的各项为1,4,3,1,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0,， 此时数列{}n a 从第6项开始为周期数列，周期为3，由202052015536712=+=+⨯+，可知数列{}n a 的前2020项中有671项为0； 依次类推，可知当()26731001146x =-=，或1147x =时， 数列{}n a 的前2020项中有100项是0；②当0x <时，若1x =-，则数列{}n a 的各项为1,1,2,3,1,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0,-，此时数列{}n a 从第7项开始为周期数列，周期为3，由202062014636711=+=+⨯+，可知数列{}n a 的前2020项中有671项为0； 若2x =-，则数列{}n a 的各项为1,2,3,5,2,3,1,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0,-，此时数列{}n a 从第9项开始为周期数列，周期为3，由202082012836702=+=+⨯+，可知数列{}n a 的前2020项中有670项为0； 若3x =-，则数列{}n a 的各项为1,3,4,7,3,4,1,3,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0,-，此时数列{}n a 从第10项开始为周期数列，周期为3，由202092011936701=+=+⨯+，可知数列{}n a 的前2020项中有670项为0； 若4x =-，则数列{}n a 的各项为1,4,5,9,4,5,1,4,3,1,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0,-，此时数列{}n a 从第12项开始为周期数列，周期为3，由20201120091136692=+=+⨯+，可知数列{}n a 的前2020项中有669项为0； 依次类推，可知当()26711001142x =--=-，或1143x =-时， 数列{}n a 的前2020项中有100项是0．综上所述，若数列{}n a 的前2020项中有100项是0， 则x 可取的值有1146,1147,1142,1143--． 故选：B ． 【点睛】本题考查无穷数列，解题的关键是通过条件()21N n n n a a a x *++=-∈探究数列{}n a 的性质，利用赋值法分别令1,2,3,x =和1,2,3,x =---，可分别求出数列{}n a 的前2020项中0的个数，进而得出规律．考查学生的推理能力与计算求解能力，属于难题．例2．若[]x 表示不超过x 的最大整数（如[]2.52=，[]44=，[]2.53-=-），已知2107n n a ⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦，11b a =，()*110,2n n n b a a n n -=-∈≥N ，则2019b =（ ）A ．2B ．5C ．7D ．8【答案】B 【分析】求出1b ，2b ，3b ，4b ，5b ，6b ，判断出{}n b 是一个以周期为6的周期数列，求出即可．【详解】解：2107n n a ⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦．*111(102)n n n b a b a a n n --∈≥N ＝，＝，，∴112027[]a b ＝＝＝，2200[287]a ＝＝， 2281028b -⨯＝＝，同理可得：332855a b ＝，＝；4428577a b ＝，＝；55285711a b ＝，＝．662857144a b ＝，＝；72857142a ＝，72b ＝，……． ∴6n n b b +＝．故{}n b 是一个以周期为6的周期数列， 则20196336335b b b ⨯+＝＝＝．故选：B ． 【点睛】本题考查周期数列的判断和取整函数的应用． 例3．数列{}n a 满足12a =，111nn na a a ++=-，其前n 项积为n T ，则10T 等于（ ） A ．16B ．16-C ．6D ．6-【答案】D 【分析】依次代入1,2,3,4n =可得{}n a 是以4为周期的周期数列，由1231n n n n a a a a +++=可推导得到结果． 【详解】 当1n =时，121131a a a +==--；当2n =时，2321112a a a +==--；当3n =时，3431113a a a +==-；当4n =时，454121a a a +==-；…，∴数列{}n a 是以4为周期的周期数列， ()()1231123123n n n n a a a a n N *+++⎛⎫∴=⨯-⨯-⨯=∈ ⎪⎝⎭，()10891012236T T a a a a ∴=⋅==⨯-=-． 故选：D ．例4．若数列{}n a 满足1222a a ==，且21n n n a a a ++=-，则{}n a 的前100项和为（ ） A ．67 B ．68 C ．134 D ．167【答案】B 【分析】由题意得122,1a a ==，根据21n n n a a a ++=-，列举数列的项，得到数列从第2项起，3项一个循环求解． 【详解】因为1222a a ==， 所以122,1a a ==， 因为21n n n a a a ++=-，所以数列的项依次为2，1，1，0，1，1，0，…， 所以从第2项起，3项一个循环，所以{}n a 的前100项的和为233(110)68+⨯++=， 故选：B ．例5．数列{}n a 满足112,0,2121,1,2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩若125a =，则2021a 等于（ ）A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】B 【分析】根据数列定义求出数列的前几项后得出数列是周期数列，从而求值． 【详解】 因为12152a =<，所以23454312,,,5555a a a a ====，所以数列具有周期性，周期为4，所以2021125a a ==．故选：B ． 【点睛】本题考查数列的周期性，此类问题的解法是由定义求出数列的前几项，然后归纳出周期性．例6．已知数列{}n a 满足，()()111122,32n n n n n a a a a a ----⎧-+>⎪=⎨-⎪⎩*(,1)n N n ∈>，若1(2,3)a ∈且记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2019=m S ，则2019S 的值为（ ） A ．60572B ．3028C ．60552D ．3029【答案】C 【分析】根据递推公式可逐个代入计算，得出数列{}n a 的周期为4，再根据2019=m S 与前两项的范围可求得52a =，再分组求和求解2019S 即可． 【详解】设1(23)a a a =<<，由()()11112232n n n n n a a a a a ----⎧-+>⎪=⎨-⎪⎩，*(,1)n N n ∈>，得22(0,1)a a =-∈，3235(2,3)a a a =-=-∈，435423(0,1),3(2,3)a a a a a a =-=-∈=-=∈．故数列{}n a 的周期为4，即可得41234,6n n a a a a a a +=+++=． 12336632019m m S a a a =+++=⨯+=，又1(23)a a a =<<，22(0,1)a a =-∈．(2)3a a ∴+-=，即52a =． 12311201950443,32a a a a =⨯+++=+=， 2019116059504622S ∴=⨯+=． 故选：C ． 【点睛】本题考查数列分组求和、分类讨论方法，考查推理能力与计算能力，考查逻辑推理与数学运算核心素养．属于中档题．例7．（2022·广东汕头·三模）已知数列{}n a 中，114a =-，当1n >时，111n n a a -=-，则2022a =（ ） A ．14-B ．45C ．5D ．45-【答案】B【解析】由题意得：2341231141115,1,154a a a a a a =-==-==-=-，则数列{}n a 的周期为3，则20226743345a a a ⨯===． 故选：B ．例8．（2022·河北·沧县中学高三阶段练习）已知数列{}n a 中，()1112n n n a a a n --=⋅+≥，12a =，则10a 等于（ ）A ．12-B ．12C ．-1D ．2【答案】D【解析】解：∵12a =，()1112n n n a a a n --=⋅+≥， ∴()1112n n a n a -=-≥， ∴211122a =-=，3121a =-=-，()4112a =--=，511122a =-=，…， ∴数列{}n a 是以3为周期的周期数列，10331=⨯+，∴101a a =， 故选：D ．题型二：数列的单调性例9．（2022·四川达州·二模（理））已知单调递增数列{}n a 满足9,102121,109n n m n a m n n -⎧≥⎪=⎨⎛⎫+-< ⎪⎪⎝⎭⎩，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[)12,+∞B ．()1,12C ．()1,9D ．[)9,+∞【答案】B【解析】{}n a 为单调递增数列，10912109m ma a >⎧⎪⎪∴+>⎨⎪>⎪⎩，即12109219219m m m m ⎧⎪>⎪⎪+>⎨⎪⎪⎛⎫>+⨯-⎪⎪⎝⎭⎩，解得：112m <<， 即实数m 的取值范围为()1,12．故选：B ．例10．（2022·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（文））已知函数()()633,7,7x a x x f x a x -⎧--≤=⎨>⎩，若数列{}n a 满足()()*n a f n n N =∈且{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是（ ）A ．9,34⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()2,3D ．[)2,3【答案】C【解析】因为数列{}n a 是单调递增数列，则函数()6x f x a -=在()7,+∞上为增函数，可得1a >，函数()()33f x a x =--在[)1,7上为增函数，可得30a ->，可得3a <，且有78a a <，即()86733187a a a ---=-<，即27180a a +->，解得9a <-或2a >．综上所述，23a <<． 故选：C ．例11．（2022·浙江·高三专题练习）已知数列{}n a 的首项为11a =，2a a =，且121(2,)n n a a n n n N *++=+≥∈，若数列{}n a 单调递增，则a 的取值范围为（ ） A ．12a <<B ．23a <<C ．3522a <<D ．1322a <<【答案】C【解析】当2,n n N *≥∈时，121(1)n n a a n ++=+，因此有2123(2)n n a a n +++=+，(2)(1)-得：22n n a a +-=，说明该数列从第2项起，偶数项和奇数项都成等差数列，且它们的公差都是2，由121n n a a n ++=+可得：345,2a a a a =-=+，因为数列{}n a 单调递增，所以有1234a a a a <<<，即152a a a <<-<+，解得：3522a <<，故选：C例12．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列{}n a 前n 项和n S 满足113n n S A +=-⋅（A R ∈），数列{}n b 是递增的，且2n b An Bn =+，则实数B 的取值范围为（ ）A ．2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．[)1,-+∞C ．()1,-+∞D ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】解：因为等比数列{}n a 前n 项和n S 满足113n n S A +=-⋅（A R ∈），所以1119a S A ==-，221(127)(19)18a S S A A A =-=---=-， 332(181)(127)54a S S A A A =-=---=-，因为等比数列{}n a 中2213a a a ，所以2(18)(19)(54)A A A -=--，解得13A =或0A =（舍去）， 所以213n b n Bn =+，因为数列{}n b 是递增的，所以22111(1)(1)033n n b b n B n n Bn +-=+++-->，所以2133B n >--，因为*n N ∈，所以1B >-， 故选：C例13．（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列{}n a 满足()712,83,8n n a n n a n a n *-⎧⎛⎫-+>⎪ ⎪=∈⎝⎭⎨⎪≤⎩N ，若对于任意n *∈N 都有1n n a a +>，则实数a 的取值范围是（ ） A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】由条件可得011031923a a a a ⎧⎪<<⎪⎪-<⎨⎪⎪⎛⎫>-⨯+⎪ ⎪⎝⎭⎩，解出即可．【详解】因为对于任意n *∈N 都有1n n a a +>， 所以011031923a a a a ⎧⎪<<⎪⎪-<⎨⎪⎪⎛⎫>-⨯+⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得112a <<故选：C例14．（2022·全国·高三专题练习）设数列{}n a 的通项公式为2n a n bn =+，若数列{}n a 是单调递增数列， 则实数b 的取值范围为（ ） A ．(2,)-+∞ B ．[2,)-+∞C ．(3,)-+∞D ．(,3)-∞-【答案】C由数列{}n a 是单调递增数列，可得10n n a a +->，从而有21b n >--恒成立，由n ∈+N ，可求得b 的取值范围． 【详解】由数列{}n a 是单调递增数列，所以10n n a a +->，即22(1)(1)210n b n n bn n b +++--=++>，即21b n >--（n ∈+N ）恒成立，又数列{}(21)n -+是单调递减数列，所以当1n =时，(21)n -+取得最大值3-，所以3b >-． 故选：C ．【方法技巧与总结】解决数列的单调性问题的3种方法例15．已知数列{}n a 的首项为1，且()()*111n n n a a n n ++=∈+N ，则na的最小值是（ ）A ．12 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B 【分析】 根据()111n n n a a n ++=+得出()11n n n a n a n ++-=，然后通过累加法求出1122n n a n =+-，根据均值不等式及n N +∈，即可求出结果． 【详解】 由()111n n n a a n ++=+得()11n n n a n a n ++-=所以()()()1122111122n n n n n n a n a n a a a na n a a ---=--+---++-+则()()()()()111112111122n n n n n n na n +---=-+-+++=+=+所以()111112222n n n na n-=+=+-≥ 当且仅当n =n N +∈，故取1a 或2a 最小，又121a a ==，所以n a 的最小值为1【点睛】思路点睛：本题通过累加法求数列通项公式，根据均值不等式及n N +∈，求得最值． 例16．已知数列{}n a 满足110a = ，12n na a n+-=，则n a n 的最小值为（ ）A ．-1B ．11 2C ．163D ．27 4【答案】C 【分析】先根据累加法得210n a n n =-+，进而得101n a n n n =+-，再结合函数()101f x x x=+-的单调性即可得当3n =时，na n 的最小值为163． 【详解】 解：由12n na a n+-=得12n n a a n +-=， 所以()121n n a a n --=-，()1222n n a a n ---=-，()2323n n a a n ---=-， ，3222a a -=⨯，2121a a -=⨯，累加上述式子得：()()()()12123211n a a n n n n n -=-+-+-+++=-⎡⎤⎣⎦，所以210n a n n =-+，()2n ≥，检验已知1n =时，210n a n n =-+满足．故210n a n n =-+，101n a n n n=+-，由于函数()101f x x x=+-在区间(上单调递减，在)+∞上单调递增，又因为*x ∈N ，当3n =时，10163133n a n =+-=，当4n =时，10114142n a n =+-=， 所以na n 的最小值为163． 故选：C ．例17．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且2(1)n n S a n -=-，22na nn b S =，则数列{}n b 的最小项为（ ）A ．第3项B ．第4项C ．第5项D ．第6项【答案】A 【分析】由n S 与n a 的关系1(1)n n n a S S n -=->化简即可求出n S 及n a ，可得n b ，分析单调性即可求解． 【详解】∵1(1)n n n a S S n -=->，∴1n n n S a S --=，则21(1)n S n -=-，即2*(N )n S n n =∈，∴22(1)21n a n n n =--=-．易知0n b >，∵212+1+14422+1n n n n b b n n -==，（），244142(1)n n b n b n +∴==+当11n >+时，1n >， ∴当13n ≤<时， 1n n b b +>， 当3n ≥时，1n n b b +<， 又23132,281b b ==，∴当3n =时， n b 有最小值．故选：A 例18．已知数列{}n a 的前n 项和2212,n S n n =-数列{||}n a 的前n 项和,n T 则nT n的最小值____ 【答案】5 【分析】由n S 和1n S -的关系求出数列{}n a 的通项公式，再根据正负表示出数列{||}n a 的通项公式为144,13414,4n n n a n n -≤≤⎧=⎨-≥⎩，求出n T ，并表示出n T n ，再分别求出13n ≤≤和4n ≥时的最小值，即可判断n T n 的最小值． 【详解】由题意，数列{}n a 的前n 项和2212n S n n =-()n N *∈，所以1121210a S ==-=-，当2n ≥时，()()12221221121414n n n n n n n S n a S -⎡⎤-----=-⎣⎦=-=， 当1n =时，1411410a ⨯-=-=， 所以414n a n =-，当13n ≤≤时，0n a <，当4n ≥时，0n a >，所以144,13414,4n n n a n n -≤≤⎧=⎨-≥⎩，数列{||}n a 的前n 项和n T ，所以22212,1321236,4n n n n T n n n ⎧-+≤≤=⎨-+≥⎩，当13n ≤≤时，212n T n n=-+，当3n =时，n Tn 的最小值为6；当4n ≥时，36212n n T n n=+-， 由对勾函数的性质，当4n =时，nT n有最小值5； 综上所述，nT n的最小值为5 故答案为：5 【点睛】本题主要考查由n S 求数列通项公式的求法、等差数列前n 项和公式、对勾函数的应用，是一道综合性很强的题目，考查学生分析转化能力和计算能力，属于难题． 例19．数列，1n =，2，，中的最小项的值为__________．【分析】构造函数()ln xf x x=，利用函数单调性分析最大值，得出数列的最大项，即可得解． 【详解】 考虑函数()ln x f x x=，()21ln xf x x -'=，当0x e <<时，()21ln 0x f x x -'=>，当x e >时，()21ln 0x f x x -'=<， 所以()ln xf x x=在()0,e 单调递增，在(),e +∞单调递减， 即()1ln x f x x ==()0,e 单调递增，在(),e +∞单调递减，所以y e ==()0,e 单调递增，在(),e +∞单调递减，116689,89<<．【点睛】此题考查求数列中的最小项，利用函数单调性讨论数列的最大项和最小项，涉及导函数处理单调性问题． 【方法技巧与总结】求数列的最大项与最小项的常用方法（1）将数列视为函数()f x 当x ∈N *时所对应的一列函数值，根据f （x ）的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出()f x 的最值，进而求出数列的最大（小）项．（2）通过通项公式n a 研究数列的单调性，利用11()2n n n n a a a n a -+≥⎧⎨≥⎩≥，确定最大项，利用11()2n n nn a a a n a -+≤⎧⎨≤⎩≥，确定最小项．（3）比较法：若有1()()10n n a a f n f n -=+->＋或0n a >时11n na a +>，则1n n a a ＋＞，则数列{}n a 是递增数列，所以数列{}n a 的最小项为1(1)a f =；若有1()()10n n a a f n f n =-+-<＋或0n a >时11n na a +<，则1n n a a <＋，则数列{}n a 是递减数列，所以数列{}n a 的最大项为1(1)a f =． 题型四：数列中的规律问题例20．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以()f n 表示第n 幅图的蜂巢总数，则(4)f =（ ）；()f n =（ ）．A ．35 2331n n +-B ．36 2331n n -+C ．37 2331n n -+D ．38 2331n n +- 【答案】C 【分析】结合图形中的规律直接求出(4)f 和(5)f ，进而总结出递推公式2n ≥时，()()(1)61f n f n n --=-，利用累加法即可求出结果． 【详解】由图中规律可知：(4)37f =， 所以(2)(1)716f f -=-=，(3)(2)19726f f -=-=⨯，(4)(3)371936f f -=-=⨯， (5)(4)613746f f -=-=⨯，因此当2n ≥时，()()(1)61f n f n n --=-， 所以[][][]()()(1)(1)(2)(2)(1)(1)f n f n f n f n f n f f f =--+---++-+()()612211n n ⎡⎤=⨯-+-++++⎣⎦()1612n n -=⨯+2331n n =-+，经检验当1n =时，符合()2331f n n n =-+，所以()2331f n n n =-+，故选：C ．例21．由正整数组成的数对按规律排列如下：()1,1，1,2，()2,1，()1,3，()2,2，()3,1，()1,4，()2,3，()3,2，()4,1，()1,5，()2,4，⋅⋅⋅．若数对(),m n 满足()22222021m n -⋅-=，,m n N *∈，则数对(),m n 排在（ ）A ．第386位B ．第193位C ．第348位D ．第174位【答案】D 【分析】 先求出,m n 的值，再根据数对的特点推出数对(),m n 的位置 【详解】解：按规律把正整数组成的数对分组：第1组为（1，1），数对中两数的和为2，共1个数对；第2组为（1，2），（2，1），数对中两数和为3，共2个数对；第3组为（1，3），（2，2），（3，1），数对中两数的和为4，共3个数；……，第n 组为(1,),(2,1),,(,1)n n n -⋅⋅⋅，数对中两数的和为1n +，共n 个数，由()22222021m n -⋅-=，得()2222023m n -⋅=，因为20237289=⨯，所以2227289m n ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，解得317m n =⎧⎨=⎩，所以20m n +=，在所有数对中，两数之和不超过19的有1918123181712⨯+++⋅⋅⋅+==个， 所以在两数和为20的第1个数（1，19），第2个为（2，18），第3个为（3，17）， 所以数对（3，17）排在第174位， 故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查简单的合情推理，考查等差数求和，解题的关键是由()22222021m n -⋅-=，得()2222023mn -⋅=，解出,m n 的值，考查计算能力，属于中档题例22．已知“整数对”按如下规律排列：()()()()()1,11,22,11,32,2，，，，，()()()3,11,42,3，，()3,2，，()4,1，…，则第68个“整数对”为（ ） A ．()1,12 B ．()3,10C ．()2,11D ．()3,9【答案】C 【分析】设“整数对”为()()*m n m n N ∈，，，由已知可知点列的排列规律是m n +的和从2开始，依次是3，4，…，其中m 依次增大，可依次求得总对数，从而可得选项． 【详解】设“整数对”为()()*m n m n N ∈，，，由已知可知点列的排列规律是m n +的和从2开始，依次是3，4，…，其中m 依次增大．当2m n +=时只有1个()11，；当3m n +=时有2个()()1221，，，； 当4m n +=时有3个()()()132231，，，，，； …；当12m n +=时有11个()()()111210111⋯，，，，，，；其上面共有11(111)12311662⨯+++++==个数对． 所以第67个“整数对”为()112，，第68个“整数对”为()211，， 故选：C ． 【点睛】本题考查知识迁移运用：点列整数对，关键在于理解和探索其规律，属于中档题． 例23．将正整数排列如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ……则图中数2020出现在 A ．第64行3列 B ．第64行4列 C ．第65行3列 D ．第65行4列【答案】B 【分析】计算每行首个数字的通项公式，再判断2020出现在第几列，得到答案． 【详解】每行的首个数字为：1，2，4，7，11… 111,1n n a a a n -=-=-利用累加法：112211(1)()()...()121112n n n n n n n a a a a a a a a n n ----=-+-++-+=-+-++=+计算知：642017a = 数2020出现在第64行4列 故答案选B 【点睛】本题考查了数列的应用，计算首数字的通项公式是解题的关键． 题型五：数列的最值问题例24．（2022·北京市第十二中学高三期中）已知数列{}n a 满足32n a n n=+，则数列{}n a 的最小值为（ ）A．343B ．575 C ．D ．12【答案】A【解析】()32f x x x=+在(0,上单调递减，在()+∞上单调递增， ∴当()x n n N *=∈时，()()(){}min min 5,6f n f f =，又()32575555f =+=，()32346663f =+=，()min 343f n ∴=，即32n a n n =+的最小值为343． 故选：A ．例25．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a ，2141n n a n n ，则下列说法正确的是（ ）A ．此数列没有最大项B ．此数列的最大项是3aC ．此数列没有最小项D ．此数列的最小项是2a【答案】B【解析】令10t n =-≥，则1n t =+，22,641411tty tt t t 当0=t 时，0y = 当0t >时，146y t t=++，由双勾函数的知识可得y 在()02,上单调递增，在()2,+∞上单调递减 所以当2t =即3n =时，y 取得最大值， 所以此数列的最大项是3a ，最小项为10a = 故选：B ．例26．（2022·河南·高三阶段练习（理））在数列{}n a 中，11a =，1n n a a n --=（N n +∈，2n ≥），则11n a n ++的最小值是（ ） A ．12B ．34C ．1D ．32【答案】C【解析】由题意可得()()()()()211221121122n n n n n n n n na a a a a a a a ---+-+=-+-+⋅⋅⋅+-+=+=，当1n =时，11a =满足上式，则()()212121112121n a n n n n n n +++⎡⎤==++-⎢⎥+++⎣⎦． 因为n ∈+N ， 所以12n +≥， 所以()2131n n ++≥+，则()21121n n ++-≥+，故112112n a n +≥⨯=+，当且仅当1n =时，等号成立． 故选：C例27．（2022·辽宁·高三阶段练习）若数列{}n a 满足24122,n nn n n a T a a a -==⋅⋅⋅，则n T 的最小值为（ ）A ．92-B ．102-C ．112-D ．122-【答案】B【解析】因为2420,nnn a -=>所以221222log log log log n n T a a a =++⋯+．设22log 4n n b a n n ==-．若n T 有最小值，则2log n T 有最小值， 令0n b ≤，则04,n ≤≤所以当3n =或4n =时﹐n T 的最小值为102-． 故选：B例28．（2022·全国·高三专题练习）若数列{}n a 满足113a =，1n n n a a +-=，则na n的最小值为（ ） A ．235B ．143C 12D ．13【答案】A【解析】由题意可知，()()121111312(1)13(1)2n n n a a a a a a n n n -=+-++-=++++-=+-，则113122n a n n n =+-，又113122y x x =+-在( 上递减，在)+∞上递增，且56<<，5n =时，11311131235222525n n +-=⨯+-=；6n =时，11311131142362226235n n +-=⨯+-=>，故选：A ．例29．（2022·全国·高三专题练习）设221316n a n n =-+-，则数列{}n a 中最大项的值为（ ）A ．134B ．5C ．6D ．132。

2023年高考数学模拟题汇编：数列一．选择题（共12小题）1．（2021秋•洛阳期中）数列{a n}满足a1＝a2＝1，且a n＝a n﹣1+a n﹣2（n≥3），则a5＝（）A．1B．2C．5D．82．（2021秋•资阳月考）等差数列{a n}中，a4＝3，则S7＝（）A．B．C．19D．213．（2021秋•三门峡月考）等比数列{a n}中，a2＝3，a42＝a6+a7，则a5＝（）A．B．C．12D．244．（2021秋•湖北月考）设{a n）是首项为1的等比数列，且4a1，2a2，a3成等差数列，则数列{a n}的前n项和S n＝（）A．2n﹣1B．﹣2n+1C．2n﹣1D．﹣2n﹣1 5．（2021秋•玉林月考）已知数列{a n}为等比数列，若a2•a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则a1•a2•a3•a4的值为（）A．5B．512C．1024D．20486．（2021秋•镇海区校级期中）已知数列{a n}满足a n+1＝（﹣1）n a n+2n，n∈N*，则S10＝（）A．32B．50C．72D．907．（2021秋•安徽月考）已知数列{a n}是公比为q的等比数列，则“q＞0”是数列{lga n}为等差数列的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（2021秋•全州县校级月考）已知数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…，n，则该数列的第22项为（）A．6B．7C．64D．659．（2021秋•聊城期中）设数列{a n}满足a1+2a2+4a3+…+2n﹣1a n＝，则数列{a n}的前n项和S n为（）A．B．C．D．10．（2021秋•渝中区校级月考）已知数列{a n}满足，，若对任意的正整数n，（n﹣3）（a n+1）＜λ恒成立，则实数λ的取值范围为（）A．B．C．D．11．（2021秋•浙江月考）已知正项数列{a n}满足na n2+a n﹣n＝0，则下列说法错误的是（）A．a2022＞a2021B．C．D．12．（2021秋•开福区校级期中）数列{a n}中，a1＝2，且（n≥2），则数列前2021项和为（）A．B．C．D．二．填空题（共5小题）13．（2021秋•安顺月考）等差数列{a n}的前n项和为S n，S7＝21，S9＝45，则数列{a n}的公差d＝．14．（2021秋•船营区校级月考）在数列{a n}中，a1＝﹣1，a3＝3，a n+2＝2a n+1﹣a n（n∈N*），则a10＝．15．（2021秋•凌河区校级月考）设S n是数列{a n}的前n项和，且S n＝2a n+n，则{a n}的通项公式为a n＝．16．（2021秋•呼和浩特月考）已知{a n}是等比数列，公比大于1，且a2+a4＝20，a3＝8．记b m为{a n}在区间（0，m]（m∈N*）中的项的个数，则数列{b m}的前60项的和S60的值为．17．（2021秋•嘉定区校级月考）已知数列{a n}满足a n＝且数列{a n}是单调递增数列，则t的取值范围是．三．解答题（共5小题）18．（2021秋•宜宾月考）记S n为数列{a n}的前n项和，已知a n＞0，a2＝2a1，且数列{S n+a1}是等比数列，求证：{a n}是等比数列．19．（2021秋•南通期中）已知数列{a n}是公比为正数的等比数列，且a1＝2，a3＝a2+4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝log2a n，求数列{a n+b n}的前n项和S n．20．（2021秋•五华区校级月考）已知数列{a n}中，a1＝3，a n+1＝3a n+2•3n+1，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．21．（2021秋•顺庆区校级期中）数列{a n}的前n项和为S n，且4，a n，S n成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，求数列的前n项和T n．22．（2021秋•船营区校级月考）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足a1＝2，且S n＝a n+1﹣2（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）从下面两个条件中选择一个填在横线上，并完成下面的问题．①T3＝12，且b4＝2b2；②b2是b1和b4的等比中项，T8＝72．若公差不为0的等差数列{b n}的前n项和为T n，且_______，求数列{}的前n项和A n．2023年高考数学模拟题汇编：数列参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2021秋•洛阳期中）数列{a n}满足a1＝a2＝1，且a n＝a n﹣1+a n﹣2（n≥3），则a5＝（）A．1B．2C．5D．8【考点】数列递推式．【专题】计算题；整体思想；演绎法；等差数列与等比数列；逻辑推理；数学运算．【分析】利用递推关系式求解数列的第五项即可．【解答】解：由递推关系式可得：a3＝a2+a1＝1+1＝2，a4＝a3+a2＝2+1＝3，a5＝a4+a3＝3+2＝5，故选：C．【点评】本题主要考查数列的递推关系式，属于基础题．2．（2021秋•资阳月考）等差数列{a n}中，a4＝3，则S7＝（）A．B．C．19D．21【考点】等差数列的前n项和．【专题】函数思想；转化法；等差数列与等比数列；数学运算．【分析】由已知直接利用等差数列的前n项和公式与等差数列的性质求解．【解答】解：在等差数列{a n}中，由a4＝3，得S7＝．故选：D．【点评】本题考查等差数列的性质与前n项和，是基础题．3．（2021秋•三门峡月考）等比数列{a n}中，a2＝3，a42＝a6+a7，则a5＝（）A．B．C．12D．24【考点】等比数列的通项公式．【专题】计算题；方程思想；转化法；等差数列与等比数列；数学运算．【分析】先求出公比，再根据通项公式即可求出a5的值．【解答】解：∵a2＝3，a42＝a6+a7，∴（3q2）2＝3q4+3q5，解得q＝2，∴a5＝a2q3＝3×8＝24．故选：D．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．4．（2021秋•湖北月考）设{a n）是首项为1的等比数列，且4a1，2a2，a3成等差数列，则数列{a n}的前n项和S n＝（）A．2n﹣1B．﹣2n+1C．2n﹣1D．﹣2n﹣1【考点】等比数列的前n项和；等差数列与等比数列的综合．【专题】计算题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．【分析】根据条件4a1，2a2，a3成等差数列，列出关于q方程求解q，代入等比数列前n 项和计算．【解答】解：设数列{a n}的公比为q，因为4a1，2a2，a3成等差数列，所以4a1+a3＝4a2，即4a1+a1q2'＝4a1q，将a1＝1代入得q2﹣4q+4＝0，解得q＝2，于是S n＝＝2n﹣1，故选：A．【点评】考查等差数列、等比数列的前n项和，考查数学运算等数学核心素养．5．（2021秋•玉林月考）已知数列{a n}为等比数列，若a2•a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则a1•a2•a3•a4的值为（）A．5B．512C．1024D．2048【考点】等比数列的通项公式；等差数列与等比数列的综合．【专题】计算题；方程思想；定义法；等差数列与等比数列；逻辑推理；数学运算．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，由a2•a3＝2a1可得a1q•a1q2＝2a1，即a4＝a1•q3＝2，由题意有a4+2a7＝2×，从而可求得a7＝，进一步利用a7＝a4q3求出q值，再利用a1＝求出a1，最后利用a1•a2•a3•a4＝（a1•a4）2＝（16×2）2进行求解即可．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，由a2•a3＝2a1，得a1q•a1q2＝2a1，即a4＝a1•q3＝2，又a4与2a7的等差中项为，得a4+2a7＝2×，即2+2a7＝，解得a7＝，所以a7＝a4q3，即＝2q3，解得q＝，则a1＝＝＝16，所以a1•a2•a3•a4＝（a1•a4）2＝（16×2）2＝1024．故选：C．【点评】本题考查等比数列的通项公式，涉及等差中项，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．6．（2021秋•镇海区校级期中）已知数列{a n}满足a n+1＝（﹣1）n a n+2n，n∈N*，则S10＝（）A．32B．50C．72D．90【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】计算题；整体思想；转化法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算．【分析】本题根据题干已知条件考虑当n为奇数时，n+1为偶数时可得公式a n+a n+1＝2n，然后运用分组求和法即可计算出S10的值，从而可得正确选项．【解答】解：由题意，可知当n为奇数时，n+1为偶数，此时由a n+1＝﹣a n+2n，即a n+a n+1＝2n，故S10＝a1+a2+•+a10＝（a1+a2）+（a3+a4）+（a5+a6）+（a7+a8）+（a9+a10）＝2×1+2×3+2×5+2×7+2×9＝2×（1+3+5+7+9）＝50．故选：B．【点评】本题主要考查运用分组求和法求前n项和问题．考查了转化与化归思想，整体思想，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属基础题．7．（2021秋•安徽月考）已知数列{a n}是公比为q的等比数列，则“q＞0”是数列{lga n}为等差数列的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】充分条件、必要条件、充要条件；等差数列与等比数列的综合．【专题】计算题；整体思想；综合法；简易逻辑；逻辑推理．【分析】根据充分必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：当q＞0时，若a1＜0，则a n＜0，于是lga n无意义，充分性不成立；反之若数列{lga n}为等差数列，则a n必须大于0，所以公比q＞0，必要性成立；故选：B．【点评】本题考查了充分必要条件的判定，等比数列与等差数列的综合，属于中档题．8．（2021秋•全州县校级月考）已知数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…，n，则该数列的第22项为（）A．6B．7C．64D．65【考点】数列的函数特性．【专题】计算题；转化思想；归纳法；等差数列与等比数列；数学运算．【分析】通过已知数列，利用等差数列求和，求解数列数字个数的和，判断22所在的位置即可．【解答】解：按规律排列的数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…，n，可知1是1个；2是2个，3是3个，4是4个，5是5个，6是6个，7是7个，因为1+2+3+4+5+6＝21，1+2+3+4+5+6+7＝28，所以该数列的第22项为：7．故选：B．【点评】本题考查归纳推理的应用，等差数列求和，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．9．（2021秋•聊城期中）设数列{a n}满足a1+2a2+4a3+…+2n﹣1a n＝，则数列{a n}的前n项和S n为（）A．B．C．D．【考点】数列的求和．【专题】计算题；整体思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．【分析】由题得两式相减求出，即得解．【解答】解：由题得②﹣①得，∴，适合，所以，所以数列{a n}是以为首项，以的等比数列，所以，故选：C．【点评】本题考查错位相减法求数列的和，属于中档题．10．（2021秋•渝中区校级月考）已知数列{a n}满足，，若对任意的正整数n，（n﹣3）（a n+1）＜λ恒成立，则实数λ的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】数列递推式；数列与不等式的综合．【专题】计算题；转化思想；转化法；等差数列与等比数列；数学运算．【分析】先求出数列的通项公式，由对任意的正整数n，（n﹣3）（a n+1）＜λ恒成立，可得（n﹣3）（）n＜λ恒成立，令b n＝（n﹣3）（）n，再利用作差法，判断数列{b n}的变化趋势，即可求出．【解答】解：∵，，∴a n+1+1＝（a n+1），∵a1+1＝，∴数列{a n+1}是以为首项，以为公比的等比数列，∴a n+1＝（）n，∵对任意的正整数n，（n﹣3）（a n+1）＜λ恒成立，∴（n﹣3）（）n＜λ恒成立，令b n＝（n﹣3）（）n，则b n+1﹣b n＝（n﹣2）（）n+1﹣（n﹣3）（）n＝（）n+1（n﹣2﹣2n+6）＝（）n+1（4﹣n），当n＜4时，b n+1＜b n，当n＞4时，b n+1＞b n，当n＝4或n＝5时，b n最大，最大值为b4＝b5＝，∴λ＞，故选：A．【点评】本题考查了数列的通项公式，数列的函数性质，不等式恒成立，考查了运算求解能力，属于中档题．11．（2021秋•浙江月考）已知正项数列{a n}满足na n2+a n﹣n＝0，则下列说法错误的是（）A．a2022＞a2021B．C．D．【考点】数列递推式．【专题】转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算．【分析】由求根公式可得a n，由分子有理化可得{a n}的单调性，可判断A；推得a n＞，可判断B、C；由a n＞，化简计算可判断D．【解答】解：正项数列{a n}满足na n2+a n﹣n＝0，可得a n＝（负的已舍去），又a n＝＝＝，可得{a n}是递增数列，则a2022＞a2021，故A正确；由a n＞，可得a2021＞，而﹣＝1﹣﹣（1﹣）＝﹣＞0，即有a2021＞，又a2022＞，故B错误，C正确；由a n＞＞，可得a2•a3•a4...•a2022＞×××...×＝＞，故D正确．故选：B．【点评】本题考查数列的递推式的运用，以及数列的单调性和放缩法的运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．12．（2021秋•开福区校级期中）数列{a n}中，a1＝2，且（n≥2），则数列前2021项和为（）A．B．C．D．【考点】数列的求和．【专题】转化思想；转化法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算．【分析】由数列的递推式可得﹣﹣2a n+2a n﹣1＝n，利用累加法可得＝n（n+1），取倒数后再由裂项相消法求出数列的前2021项和．【解答】解：数列{a n}中，a1＝2，且（n≥2），所以（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1）＝n+2（a n﹣a n﹣1），即﹣﹣2a n+2a n﹣1＝n，所以﹣＝n（n≥2），则﹣＝n﹣1，...，﹣＝2，将以上各式累加，可得﹣＝n+（n﹣1）+ (2)将a1＝2代入，可得＝1+2+...+n＝n（n+1），所以＝＝2（﹣），所以数列{}的前2021项和为2（1﹣+﹣+...+﹣）＝2（1﹣）＝．故选：B．【点评】本题考查数列递推式，考查等差数列的前n项和，训练了利用累加法求数列的通项公式及裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．二．填空题（共5小题）13．（2021秋•安顺月考）等差数列{a n}的前n项和为S n，S7＝21，S9＝45，则数列{a n}的公差d＝2．【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．【专题】计算题；方程思想；定义法；等差数列与等比数列；逻辑推理；数学运算．【分析】利用S7＝（a1+a7）＝7a4＝21求出a4，再根据S9＝（a1+a9）＝9a5＝45求出a5，进一步利用d＝a5﹣a4即可求出{a n}的公差．【解答】解：由{a n}是等差数列，得S7＝（a1+a7）＝7a4＝21，解得a4＝3，又S9＝（a1+a9）＝9a5＝45，得a5＝5，所以d＝a5﹣a4＝5﹣3＝2．故答案为：2．【点评】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．14．（2021秋•船营区校级月考）在数列{a n}中，a1＝﹣1，a3＝3，a n+2＝2a n+1﹣a n（n∈N*），则a10＝17．【考点】数列递推式．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．【分析】由已知递推式可得a2，再由等差数列的定义和通项公式，计算可得所求值．【解答】解：在数列{a n}中，a1＝﹣1，a3＝3，a n+2＝2a n+1﹣a n（n∈N*），可得a3＝2a2﹣a1，即3＝2a2﹣1，解得a2＝1，又a n+2﹣a n+1＝a n+1﹣a n＝a n﹣a n﹣1＝...＝a3﹣a2＝a2﹣a1＝1﹣（﹣1）＝2，所以{a n}是首项为﹣1，公差为2的等差数列，则a10＝﹣1+9×2＝17．故答案为：17．【点评】本题考查数列的递推式的运用，以及等差数列的通项公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．15．（2021秋•凌河区校级月考）设S n是数列{a n}的前n项和，且S n＝2a n+n，则{a n}的通项公式为a n＝1﹣2n（n∈N*）．【考点】数列递推式．【专题】转化思想；定义法；等差数列与等比数列；数学运算．【分析】根据数列{a n}的前n项和S n＝2a n+n，利用递推公式即可求出数列{a n﹣1}是公比为q＝2的等比数列，由此求出{a n}的通项公式．【解答】解：因为S n是数列{a n}的前n项和，且S n＝2a n+n，所以S n﹣1＝2a n﹣1+（n﹣1），n≥2，所以a n＝2a n﹣2a n﹣1+1，n≥2，所以a n＝2a n﹣1﹣1，n≥2，即a n﹣1＝2（a n﹣1﹣1），n≥2，所以数列{a n﹣1}是公比为q＝2的等比数列，又a1＝2a1+1，所以a1＝﹣1，所以a1﹣1＝﹣2，所以a n﹣1＝﹣2×2n﹣1＝﹣2n，所以{a n}的通项公式为a n＝1﹣2n，n∈N*．故答案为：1﹣2n（n∈N*）．【点评】本题考查了数列的前n项和与通项公式应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．16．（2021秋•呼和浩特月考）已知{a n}是等比数列，公比大于1，且a2+a4＝20，a3＝8．记b m为{a n}在区间（0，m]（m∈N*）中的项的个数，则数列{b m}的前60项的和S60的值为243．【考点】数列的求和．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；等差数列与等比数列；逻辑推理；数学运算．【分析】首先利用等比数列的性质求出数列的公比，进一步求出数列的通项公式，最后利用对数的运算关系求出数列的和．数列的求和【解答】解：设数列{a n}的公比为q的等比数列，且a2+a4＝20，a3＝8．所以，整理得：2q2﹣5q+2＝0，解得q＝2或（q＞1），所以q＝2．则＝8×2n﹣3＝2n；记b m为{a n}在区间（0，m]（m∈N*）中的项的个数，所以2n≤m，故n≤log2m，故b1＝0，b2＝b3＝1，b4＝b5＝b6＝b7＝2，b7＝b8＝...＝b15＝3，b16＝b17＝...＝b32＝4，b33＝b34＝...＝b65＝5；所以＝243．故答案为：243．【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．17．（2021秋•嘉定区校级月考）已知数列{a n}满足a n＝且数列{a n}是单调递增数列，则t的取值范围是（，）．【考点】数列的函数特性．【专题】计算题；转化思想；转化法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算．【分析】由题意利用数列的单调性，结合二次函数的性质，解出不等式组，即可求出t 的取值范围．【解答】解：∵数列{a n}满足a n＝且数列{a n}是单调递增数列，∴，解得，即t的取值范围是（，），故答案为：（，）．【点评】本题主要考查了数列的函数特征，考查了二次函数的性质，是基础题．三．解答题（共5小题）18．（2021秋•宜宾月考）记S n为数列{a n}的前n项和，已知a n＞0，a2＝2a1，且数列{S n+a1}是等比数列，求证：{a n}是等比数列．【考点】等比数列的性质．【专题】整体思想；定义法；等差数列与等比数列；逻辑推理．【分析】结合已知递推关系先求出等比数列的公比q，然后结合等比数列的求和公式及性质可求a n，进而可证．【解答】证明：：设等比数列{S n+a1}的公比为q，则，∴，∴，，对n＝1也适合，∴，∴，∴{a n}是等比数列．【点评】本题主要考查了由数列的递推关系求解通项公式，还考查了等比数列的判断，定义法的应用是求解问题的关键，属于中档题．19．（2021秋•南通期中）已知数列{a n}是公比为正数的等比数列，且a1＝2，a3＝a2+4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝log2a n，求数列{a n+b n}的前n项和S n．【考点】等比数列的通项公式；数列的求和．【专题】计算题；整体思想；分析法；等差数列与等比数列；数学运算．【分析】（1）根据题意，通过解方程求出公比，即可求解；（2）根据题意，求出b n，结合组合法求和，即可求解．【解答】解：（1）根据题意，设{a n}公比为q，且q＞0，∵a1＝2，a3＝a2+4，∴2q2＝2q+4⇒q2−q−2＝0，解得q＝2或q＝−1（舍去），∴．（2）根据题意，得b n＝log22n＝n，故，因此＝．所以S n＝＝．【点评】本题考查数列的通项公式及数列求和，属于中档题．20．（2021秋•五华区校级月考）已知数列{a n}中，a1＝3，a n+1＝3a n+2•3n+1，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．【分析】（1）由已知可得数列是首项为1，公差为2的等差数列，求其通项公式，可得数列{a n}的通项公式；（2）直接利用错位相减法求数列{a n}的前n项和S n．【解答】解：（1）由a n+1＝3a n+2•3n+1，得：，∴，即数列是首项为1，公差为2的等差数列，∴，得．（2）由（1）得：，∴，①，②①﹣②得：＝，∴．【点评】本题考查数列递推式，考查等差数列的通项公式，训练了利用错位相减法求数列的前n项和，是中档题．21．（2021秋•顺庆区校级期中）数列{a n}的前n项和为S n，且4，a n，S n成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，求数列的前n项和T n．【考点】数列的求和．【专题】对应思想；综合法；等差数列与等比数列；逻辑推理；数学运算；数据分析．【分析】（1）根据等差数列的性质，结合递推公式和等比数列的定义进行求解即可；（2）利用裂项相消法进行求解即可．【解答】解：（1）由题2a n＝S n+4，当n＝1时，2a1＝a1+4，得a1＝4，当n≥2时，S n＝2a n﹣4，S n﹣1＝2a n﹣1﹣4，两式相减得a n＝S n﹣S n﹣1＝2a n﹣2a n﹣1，得，∴数列{a n}是以4为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为a n＝4×2n﹣1＝2n+1；（2）由，即（2n+1）2＝，得b n＝2（n+1），故＝＝，所以T n＝＝．【点评】根据S n求a n，利用a n＝S n﹣S n﹣1；常用的数列求和有裂项相消和错位相减，本题考查了裂项相消，属于基础题．22．（2021秋•船营区校级月考）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足a1＝2，且S n＝a n+1﹣2（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）从下面两个条件中选择一个填在横线上，并完成下面的问题．①T3＝12，且b4＝2b2；②b2是b1和b4的等比中项，T8＝72．若公差不为0的等差数列{b n}的前n项和为T n，且_______，求数列{}的前n项和A n．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．【分析】（1）由数列的递推式：n＝1时，a1＝S1；n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求；（2）分别选①②，运用等差数列的通项公式和求和公式，以及等比数列的中项性质，可得首项和公差，可得b n，T n，，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化简可得所求和．【解答】解：（1）a1＝2，且S n＝a n+1﹣2，可得a1＝S1＝a2﹣2＝2，即有a2＝4，当n≥2时，S n﹣1＝a n﹣2，又S n＝a n+1﹣2，两式相减可得a n＝S n﹣S n﹣1＝a n+1﹣a n，即为a n+1＝2a n，而a2＝2a1，所以{a n}是首项和公比均为2的等比数列，则a n＝2n，n∈N*；（2）选①T3＝12，且b4＝2b2；设公差为d（d≠0），由b1+b2+b3＝3b2＝12，即b2＝4，又4+2d＝8，解得d＝2，则b n＝4+2（n﹣2）＝2n，n∈N*，T n＝n（2+2n）＝n（n+1）；选②b2是b1和b4的等比中项，T8＝72．可得b22＝b1b4，即（b1+d）2＝b1（b1+3d），化简可得b1＝d，又8b1+×8×7d＝72，解得b1＝d＝2，所以b n＝2+2（n﹣1）＝2n，T n＝n（n+1），则＝＝（n+1）•（）n，所以A n＝2•+3•（）2+4•（）3+...+（n+1）•（）n，A n＝2•（）2+3•（）3+4•（）4+...+（n+1）•（）n+1，上面两式相减可得A n＝1+（）2+（）3+...+（）n﹣（n+1）•（）n+1＝1+﹣（n+1）•（）n+1，化简可得A n＝3﹣（n+3）•（）n．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．。

专题 30 排列组合、二项式定理（理）年 份题号 考 点考 查 内 容2011 理 8 二项式定理 二项式定理的应用，常数项的计算 2023 理 2排列与组合 简单组合问题卷 1 理 9 二项式定理 二项式定理的应用以及组合数的计算 2023卷 2理 5 二项式定理 二项式定理的应用 卷 1 理 13 二项式定理 二项式展开式系数的计算2023卷 2 理 13 二项式定理 二项式展开式系数的计算 卷 1 理 10 二项式定理 三项式展开式系数的计算2023卷 2 理 15 二项式定理 二项式定理的应用卷 1 理 14 二项式定理 二项式展开式指定项系数的计算 卷 2 理 5 排列与组合 计数原理、组合数的计算2023卷 3理 12 排列与组合 计数原理的应用 卷 1 理 6 二项式定理 二项式展开式系数的计算 卷 2 理 6 排列与组合 排列组合问题的解法2023卷 3理 4 二项式定理 二项式展开式系数的计算 卷 1 理 15 排列与组合 排列组合问题的解法2023 卷 3 理 5 二项式定理 二项式展开式指定项系数的计算2023卷 3 理 4 二项式定理 利用展开式通项公式求展开式指定项的系数 卷 1 理 8 二项式定理 利用展开式通项公式求展开式指定项的系数2023 卷 3理 14二项式定理利用展开式通项公式求展开式常数项考点出现频率2023 年预测考点 102 两个计数原理的应用 23 次考 2 次 考点 103 排列问题的求解 23 次考 0 次 考点 104 组合问题的求解23 次考 4 次 考点 105 排列与组合的综合应用 23 次考 2 次 考点 106 二项式定理23 次考 11 次命题角度：(1)分类加法计数原理；(2)分步乘法计数原 理；(3)两个计数原理的综合应用．核心素养：数学建模、数学运算考点102 两个计数原理的应用1．(2023 全国II 理)如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为A．24 B．18 C．12 D．9（答案）B（解析）由题意可知E →F 有6 种走法，F →G 有3 种走法，由乘法计数原理知，共有6 ⨯ 3 = 18 种走法，应选B．2．(2023 新课标理1 理)4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为A.18B.3824 - 2 7C.58D.78（答案）D（解析）P ==．24 83．(2023 湖北理)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249 等．显然2位回文数有9 个：11，22，33，…，99．3 位回文数有90 个：101，111，121，…，191，202，…，999．则(Ⅰ)4 位回文数有个；(Ⅱ) 2n +1 (n ∈N+) 位回文数有个．（解析）(Ⅰ)4 位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第—位不能为0，有9(1~9)种情况，第二位有10(0~9)种情况，所以4 位回文数有9 ⨯10 = 90 种．答案：90(Ⅱ)解法一：由上面多组数据研究发觉，2n +1 位回文数和2n + 2 位回文数的个数相同，所以可以算出2n + 2位回文数的个数．2n + 2 位回文数只用看前n +1位的排列情况，第—位不能为0 有9 种情况，后面n 项每项有10 种情况，所以个数为9 ⨯10n ．解法二：可以看出2 位数有9 个回文数，3 位数90 个回文数。

【高考讲坛】2023届高考数学一轮复习 第5章 第5节 数列的综合应用课后限时自测 理 苏教版[A 级 根底达标练]一、填空题1．(2023·南通质检)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n >0，a 2n ＋1－a 2n ＝1(n ∈N *)，那么使a n <5成立的n 的最大值________．[解析] 由a 2n ＋1－a 2n ＝1(n ∈N *)知，数列{a 2n }是首项为1，公差为1的等差数列，那么a 2n ＝1＋(n －1)×1＝n .由a n <5得n <5，∴n <25，那么n 的最大值为24. [答案] 242．数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }中连续的三项，那么数列{b n }的公比q ＝________.[解析] 设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，由a 23＝a 1a 7得(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，解得a 1＝2d .故数列{b n }的公比q ＝a 3a 1＝a 1＋2d a 1＝2a 1a 1＝2.[答案] 23．(2023·泰州模拟)设数列{a n }是首项大于零的等比数列，那么“a 1<a 2”是“数列{a n }是递增数列”的________条件．[解析] {a n }为等比数列，a 1>0，当a 1<a 2时，q >1.{a n }为递增数列；假设{a n }为递增数列，那么q >1，a 1<a 2成立．[答案] 充要4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1，n ∈N *)，第k 项满足750＜a k ＜900，那么k ＝________.[解析] 由a n ＋1＝3S n 及a n ＝3S n －1(n ≥2)， 得a n ＋1－a n ＝3a n ，即a n ＋1＝4a n (n ≥2)， 又a 2＝3S 1＝3，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1n ＝1，3×4n －2n ≥2，又750＜a k ＜900，验证得k ＝6. [答案] 65．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，那么a 9＋a 10a 7＋a 8＝________.[解析] 设等比数列的公比为q ，由题意知a 3＝a 1＋2a 2，即a 1q 2＝a 1＋2a 1q ， ∴q 2－2q －1＝0，解得q ＝1＋2或q ＝1－2(舍去)．∴a 9＋a 10a 7＋a 8＝a 7＋a 8q 2a 7＋a 8＝q 2＝(1＋2)2＝3＋2 2. [答案] 3＋2 26．(2023·盐城模拟)已知a ，b ，c (a <b <c )成等差数列，将其中的两个数交换，得到的三个数依次成等比数列，那么a 2＋c 22b2的值为________．[解析] ∵a ，b ，c (a <b <c )成等差数列， ∴设a ＝b －d ，c ＝b ＋d (d >0)，①假设交换a ，b ，那么b ，b －d ，b ＋d 成等比数列，得(b －d )2＝b (b ＋d )，解得d ＝3b ，∴a ＝－2b ，c ＝4b .∴a 2＋c 22b 2＝20b 22b2＝10.②假设交换a ，c ，那么d ＝0(舍去)．③假设交换b ，c 也可得a 2＋c 22b 2＝10，综上，a 2＋c 22b2＝10.[答案] 107．从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升纯酒精，然后填满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，那么至少应倒________次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%.[解析] 设倒n 次后纯酒精与总溶液的体积比为a n ，那么a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，由题意知⎝ ⎛⎭⎪⎫12n<10%，∴n ≥4.[答案] 48．已知数列{a n }为等差数列，公差为d ，假设a 11a 10<－1，且它的前n 项和S n 有最大值，那么使得S n <0的n 的最小值为________．[解析] 根据S n 有最大值知，d <0，那么a 10>a 11， 由a 11a 10<－1知，a 10>0>a 11，且a 11<－a 10即a 10＋a 11<0，从而S 19＝19a 1＋a 192＝19a 10>0，S 20＝20a 1＋a 202＝10(a 10＋a 11)<0，那么使S n <0的n 的最小值为20. [答案] 20 二、解答题9．(2023·天津高考)已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：S n ＋1S n ≤136(n ∈N *)．[解] (1)设等比数列{a n }的公比为q . 因为－2S 2，S 3,4S 4成等差数列， 所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3，即S 4－S 3＝S 2－S 4，可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3＝－12.又因为a 1＝32，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n .(2)证明：S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ，S n ＋1S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋12n2n＋1，n 为奇数，2＋12n2n－1，n 为偶数，当n 为奇数时，S n ＋1S n随n 的增大而减小．所以S n ＋1S n ≤S 1＋1S 1＝136.当n 为偶数时，S n ＋1S n随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2＝2512.故对于n ∈N *，有S n ＋1S n ≤136.10．某企业在第1年初购置一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开场，每年初M 的价值为上年初的75%.(1)求第n 年初M 的价值a n 的表达式； (2)设A n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn，假设A n 大于80万元，那么M 继续使用，否那么需在第n 年初对M 更新．证明：需在第9年初对M 更新．[解] (1)当n ≤6时，数列{a n }是首项为120，公差为－10的等差数列，a n ＝120－10(n －1)＝130－10n .当n ≥7时，数列{a n }是以a 6为首项，公比为34的等比数列，又a 6＝70，所以a n ＝70×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －6.因此，第n 年初，M 的价值a n 的表达式为 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧130－10n ，n ≤6，70×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －6，n ≥7.(2)设S n 表示数列{a n }的前n 项和，由等差及等比数列的求和公式得当1≤n ≤6时，S n＝120n －5n (n －1)，A n ＝120－5(n －1)＝125－5n ；当n ≥7时，由于S 6＝570， 故S n ＝S 6＋(a 7＋a 8＋…＋a n ) ＝570＋70×34×4×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －6＝780－210×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －6.A n ＝780－210×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －6n.因为{a n }是递减数列，所以{A n }是递减数列，又A 8＝780－210×⎝ ⎛⎭⎪⎫3428＝824764>80，A 9＝780－210×⎝ ⎛⎭⎪⎫3439＝767996<80，所以需在第9年初对M 更新．[B 级 能力提升练]一、填空题1．(2023·盐城模拟)已知{a n }是公差不为0的等差数列，{b n }是等比数列，其中a 1＝2，b 1＝1，a 2＝b 2,2a 4＝b 3，且存在常数α，β，使得a n ＝log αb n ＋β对每一个正整数n 恒成立，那么αβ＝________.[解析] 由题意，可设a n ＝2＋(n －1)d ，b n ＝qn －1，于是由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2，2a 4＝b 3，得⎩⎪⎨⎪⎧2＋d ＝q ，2×2＋3d ＝q 2，∵d ≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝4，∴a n ＝2n ，b n ＝22n －2，代入a n ＝log αb n ＋β，即2n ＝(2n －2)log α2＋β， 即2n (1－log α2)＝β－2log α2，∴⎩⎪⎨⎪⎧log α2＝1，β－2log α2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧α＝2，β＝2，故αβ＝22＝4.[答案] 42．(2023·江苏高考)在正项等比数列{a n }中，a 5＝12，a 6＋a 7＝3，那么满足a 1＋a 2＋…＋a n ＞a 1a 2…a n 的最大正整数n 的值为________．[解析] 设{a n }的公比为q (q ＞0)， 那么由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 4＝12，12q ＋q2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝132，q ＝2.于是a 1＋a 2＋…＋a n ＝1321－2n1－2＝132(2n－1)，a 1a 2…a n ＝a n 1qn n －12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132n 2nn －12.由a 1＋a 2＋…＋a n ＞a 1a 2…a n 得132(2n －1)＞⎝ ⎛⎭⎪⎫132n 2n n －12，那么2n－1＞212n 2－112n ＋5 .由2n＞212n 2－112n ＋5，得n ＞12n 2－112n ＋5，∴n 2－13n ＋10＜0，解得13－1292＜n ＜13＋1292，验证当n ＝12时，满足a 1＋a 2＋…＋a n ＞a 1a 2…a n .n ≥13时，不满足a 1＋a 2＋…＋a n ＞a 1a 2…a n .故n 的最大值为12.[答案] 12 二、解答题3．(2023·江苏高考)已知各项均为正数的两个数列{a n }和{b n }满足：a n ＋1＝a n ＋b na 2n ＋b 2n，n ∈N *.(1)设b n ＋1＝1＋b n a n ，n ∈N *，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫b n a n 2是等差数列；(2)设b n ＋1＝2·b na n，n ∈N *，且{a n }是等比数列，求a 1和b 1的值． [解] (1)证明：由题设知a n ＋1＝a n ＋b na 2n ＋b 2n＝1＋b na n1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b n a n 2＝b n ＋11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b n a n 2，所以b n ＋1a n ＋1＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b n a n 2，从而⎝ ⎛⎭⎪⎫b n ＋1an ＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫b n a n 2＝1(n ∈N *)，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎪⎫b n an2是以1为公差的等差数列．(2)因为a n >0，b n >0，所以a n ＋b n22≤a 2n ＋b 2n <(a n ＋b n )2，从而1<a n ＋1＝a n ＋b na 2n ＋b 2n≤ 2.(*) 设等比数列{a n }的公比为q ，由a n >0知q >0.下证q ＝1. 假设q >1，那么a 1＝a 2q<a 2≤2，故当n >log q2a 1时，a n ＋1＝a 1q n>2，与(*)矛盾；假设0<q <1，那么a 1＝a 2q>a 2>1，故当n >log q 1a 1时，a n ＋1＝a 1q n<1，与(*)矛盾．综上，q ＝1，故a n ＝a 1(n ∈N *)，所以1<a 1≤ 2. 又b n ＋1＝2·b n a n＝2a 1·b n (n ∈N *)，所以{b n }是公比为2a 1的等比数列． 假设a 1≠2，那么2a 1>1，于是b 1<b 2<b 3.又由a 1＝a 1＋b n a 21＋b 2n得b n ＝a 1±a 212－a 21a 21－1，所以b 1，b 2，b 3中至少有两项相同，矛盾．所以a 1＝2，从而b n ＝a 1±a 212－a 21a 21－1＝ 2.所以a 1＝b 1＝ 2.。

2023高考数学数列练习题及答案数列是高中数学中常见的重要概念，也是高考数学考试中的热点内容之一。

在准备2023年高考数学考试时，通过练习数列题目可以帮助我们深入理解数列的性质和应用，提高解题能力。

下面将提供一些2023年高考数学数列练习题及答案，供同学们进行复习和练习，以期取得好成绩。

练习题1：已知数列{an}满足a₁ = 2，an+1 = 2an - 1，(n ≥ 1)，求a₅。

解答：根据已知条件可以得到数列的通项公式为an = 2ⁿ⁻¹。

代入n = 5，得到a₅ = 2⁴ = 16。

练习题2：已知等差数列{an}的首项是a₁ = 3，公差是d = 4，求数列的第n项an。

解答：根据等差数列的通项公式an = a₁ + (n - 1)d可以得出：an = 3 + (n - 1) × 4化简后得到an = 4n - 1。

练习题3：已知等比数列{bn}的首项是b₁ = 5，公比是q = 2，求数列的第n项bn。

解答：根据等比数列的通项公式bn = b₁ × qⁿ⁻¹可以得出：bn = 5 × 2ⁿ⁻¹。

练习题4：已知等差数列{cn}的首项是c₁ = 2，公差是d = 3，求数列的前n项和Sn。

解答：数列的前n项和Sn可以表示为Sn = n/2 × (2a₁ + (n - 1)d)。

代入已知条件得到Sn = n/2 × (2 × 2 + (n - 1) × 3)。

化简后得到Sn = 3n² - 3n。

练习题5：已知等差数列{dn}的前n项和Sn为Sn = 4n² + n，求数列的首项d₁和公差d。

解答：根据数列的前n项和的公式可以得到Sn = n/2 × (2a₁ + (n - 1)d)。

代入已知条件得到4n² + n = n/2 × (2d + (n - 1)d)。

2023届广东省新高考数学复习专项（数列）练习1．（2022ꞏ广东深圳ꞏ深圳市光明区高级中学校考模拟预测）已知各项都为正数的数列{}n a 满足1+32nn n a a +=⋅，11a = .(1)若2n n n b a =-，求证：{}n b 是等比数列； (2)求数列{}n a 的前n 项和n S .2．（2022ꞏ广东珠海ꞏ珠海市第三中学统考二模）已知数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，1221n n n a b n -+=+-，221n n n T S n -=--．(1)求11,a b 及数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)设()*21N 2n n n a n k c k b n k=-⎧=∈⎨=⎩，，，求数列{}n c 的前2n 项和2n P ． 3．（2022ꞏ广东韶关ꞏ统考一模）已知数列{}n a 的首项145a =，且满足143n n n a a a +=+，设11n nb a =-. (1)求证：数列{}n b 为等比数列；(2)若1231111140na a a a ++++> ，求满足条件的最小正整数n . 4．（2022ꞏ广东广州ꞏ华南师大附中校考三模）已知等差数列{}n a 中，33a =，66a =，且1,2,n n n a a n b n +⎧=⎨⎩为奇数为偶数.(1)求数列{}n b 的通项公式及前2n 项和；(2)若212n n n c b b -=⋅，记数列{}n c 的前n 项和为n S ，求n S . 5．（2022ꞏ广东韶关ꞏ统考二模）已知数列{}n a 前n 项和为n S ，()*111041n n n n a a a a S n +=≠⋅=-∈N ，，． (1)证明：24;n n a a +-=(2)设 ()12nn n n c a =-⋅+，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ． 6．（2022ꞏ广东ꞏ统考模拟预测）定义：对于任意一个有穷数列，第一次在其每相邻的两项间都插人这两项的和，得到的新数列称之为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和称之为二阶和数列，以此类推可以得到n 阶和数列，如{1,5}的一阶和数列是{1,6,5}，设它的n 阶和数列各项和为n S ．(1)试求{1,5}的二阶和数列各项和2S 与三阶和数列各项和3S ，并猜想n S 的通项公式（无需证明）； (2)若()()311log 3log 33n n n c S S +=--⋅-，求{}n c 的前n 项和n T ，并证明：1126n T -<≤-．7．（2022ꞏ广东ꞏ统考模拟预测）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知535S =，且4a 是1a 与13a 的等比中项，数列{}n b 的前n 项和245n T n n =+．(1)求数列{}{}n n a b 、的通项公式； (2)若14a <，对任意*n ∈N 总有1122111444n nS b S b S b λ+++≤--- 恒成立，求实数λ的最小值．8．（2022ꞏ广东中山ꞏ中山纪念中学校考模拟预测）已知正项数列{}n a ，其前n 项和n S 满足()*2,N n n n a S a n n -=∈.(1)求{}n a 的通项公式；(2)证明：222121112nS S S +++< . 9．（2022ꞏ广东广州ꞏ统考一模）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*6324,21n n S S a a n ==+∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设12n n n b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T .10．（2023ꞏ广东东莞ꞏ校考模拟预测）已知数列{}n a 满足：112a =，对n N +∀∈，都有1122n n a na +=++． (1)设,n n b a n n N +=-∈，求证：数列{}n b 是等比数列； (2)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求n S ．11．（2022ꞏ广东ꞏ校联考模拟预测）已知各项均为正数的数列{}n a 满足()22*11230n n n n a a a a n ++--=∈N ，且13a =.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若31log n n n b a a +=，求{}n b 的前n 项和n T .12．（2022ꞏ广东ꞏ统考模拟预测）已知数列{}n a 中，15a =且()12212,n n n a a n n *-=+-∈N …，11n n a b n -=+ (1)求证：数列{}n b 是等比数列；(2)从条件①{}n n b +，②{}n n b ⋅中任选一个，补充到下面的问题中并给出解答． 求数列______的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．13．（2022ꞏ广东汕头ꞏ统考三模）已知各项均为正数的数列{}n a 中，11a =且满足221122n n n n a a a a ++-=+，数列{}n b 的前n 项和为n S ，满足213n n S b +=．(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)若在k b 与1k b +之间依次插入数列{}n a 中的k 项构成新数列{}n c ：1b ，1a ，2b ，2a ，3a ，3b ，4a ，5a ，6a ，4b ，……，求数列{}n c 中前50项的和50T ．14．（2022ꞏ广东佛山ꞏ统考三模）设各项非零的数列{}n a 的前n 项和记为n S ，记123n n T S S S S =⋅⋅⋅⋅⋅，且满足220n n n n S T S T --=．(1)求1T 的值，证明数列{}n T 为等差数列并求{}n T 的通项公式；(2)设(1)n n nc na -=，求数列{}n c 的前n 项和n K ．15．（2022ꞏ广东茂名ꞏ统考模拟预测）设数列{}n a 的首项11a =，132nn n a a +=⋅-．(1)证明：数列{}2nn a -是等比数列；(2)设()()234nn n b a n =--，求数列{}n b 的前n 项和n T16．（2022ꞏ广东ꞏ统考三模）已知数列{n a }的前n 项和n S ，11a =，0n a >，141n n n a a S +=-. (1)计算2a 的值，求{n a }的通项公式；(2)设()11nn n n b a a +=-，求数列{n b }的前n 项和n T .17．（2022ꞏ广东广州ꞏ统考二模）问题：已知*n ∈N ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，是否存在数列{}n a ，满足111,1n n S a a +=≥+，__________﹖若存在．求通项公式n a ﹔若不存在，说明理由．在①1n a +=﹔②()12n n a S n n -=+≥；③121n n a a n +=+-这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（2022ꞏ广东茂名ꞏ统考二模）已知数列{}n a 满足12a =，28a =，2143n n n a a a ++=-． (1)证明：数列{}1n n a a +-是等比数列；(2)若()()()()22231321265log 1log 1nn n n n n b a a ++-⋅++=+⋅+，求数列{}n b 的前n 项和nT ．19．（2022ꞏ广东韶关ꞏ校考模拟预测）数列{}n a 满足：31232n a n a a a +++=+ 12(1)2n n ++-⋅，*n ∈N ． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设()()111nn n n a b a a +=--，n T 为数列{}n b 的前n 项和，若23n T m <-恒成立，求实数m的取值范围．20．（2022ꞏ广东梅州ꞏ统考二模）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，11a =，___________.①n *∀∈N ，14n n a a n ++=；②数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，且n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前3项和为6.从以上两个条件中任选一个补充在横线处，并求解： (1)求n a ； (2)设()121n n n n n a a b a a +++=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .21．（2022ꞏ广东佛山ꞏ统考二模）已知数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足()()*1311,N ,5n n nS n S n n n a +-+=+∈= (1)求1a 、2a 的值及数列{n a }的通项公式n a ： (2)设1n n n b a a +=，求数列{n b }的前n 项和n T22．（2022ꞏ广东茂名ꞏ统考模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()213n n S a =-，*n ∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记sin2n n n b a π=⋅，求数列{}n b 的前100项的和100T . 23．（2022ꞏ广东ꞏ统考一模）已知正项数列{}n a ，其前n 项和n S 满足*(2)1()n n n a S a n -=∈N .(1)求证：数列{}2n S 是等差数列，并求出n S 的表达式；(2)数列{}n a 中是否存在连续三项k a ，1k a +，2k a +，使得1k a ，11k a +，21k a +构成等差数列？请说明理由.24．（2022ꞏ广东肇庆ꞏ校考模拟预测）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足22n n S a =-. (1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)记n b =11n n b b +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n T .25．（2022ꞏ广东揭阳ꞏ普宁市华侨中学校考二模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，在①()1*122n n S n N -⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭②11a =，()*122n n S a n N ++=∈，③()*123111121n nn N a a a a ++++=-∈ 这三个条件中任选一个，解答下列问题： (1)求{}n a 的通项公式：(2)若2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T26．（2022ꞏ广东茂名ꞏ统考二模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()2*112,210n n n a S a S n +=+-+=∈N ．(1)求证：数列11n S ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列；(2)求数列21n n S ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项和n T ．27．（2022ꞏ广东韶关ꞏ统考一模）在①112,2n n n a a a +=+=；②22n n S a =-；③122n n S +=-这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并做出解答.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，__________，数列{}n b 是等差数列，12461,21o b b b =++=.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T .28．（2022ꞏ广东佛山ꞏ校联考模拟预测）已知数列{}n a 满足11a =，22a =，且对任意*N n ∈，都有2132n n n a a a ++=-．(1)求证：{}1n n a a +-是等比数列，并求{}n a 的通项公式；(2)求使得不等式1212154m m a a a ++⋅⋅⋅+≤成立的最大正整数m ． 29．（2023ꞏ广东茂名ꞏ统考一模）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，0n a >，224n n n a a S +=.(1)求数列{}n a 的通项公式： (2)若11n n n b a a +=，n T 为数列{}n b 的前n 项和.求n T ，并证明：1184n T ≤≤. 30．（2022ꞏ广东茂名ꞏ统考一模）已知数列{}n a ，{}n b 满足145n n n a b b ++=，1156n n n a ba +++=，且12a =，11b =(1)求2a ，2b 的值，并证明数列{}n n a b -是等比数列； (2)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式．参考答案1．（2022ꞏ广东深圳ꞏ深圳市光明区高级中学校考模拟预测）已知各项都为正数的数列{}n a 满足1+32nn n a a +=⋅，11a = .(1)若2n n n b a =-，求证：{}n b 是等比数列； (2)求数列{}n a 的前n 项和n S .2．（2022ꞏ广东珠海ꞏ珠海市第三中学统考二模）已知数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，1221n n n a b n -+=+-，221n n n T S n -=--．(1)求11,a b 及数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)设()*21N 2n n n a n k c k b n k=-⎧=∈⎨=⎩，，，求数列{}n c 的前2n 项和2n P ．3．（2022ꞏ广东韶关ꞏ统考一模）已知数列{}n a 的首项145a =，且满足13n n n a a +=+，设11n nb a =-. (1)求证：数列{}n b 为等比数列； (2)若1111140a a a a ++++> ，求满足条件的最小正整数n . ⎫∴n 的最小值为140.4．（2022ꞏ广东广州ꞏ华南师大附中校考三模）已知等差数列{}n a 中，33a =，66a =，且1,2,n n n a a n b n +⎧=⎨⎩为奇数为偶数.(1)求数列{}n b 的通项公式及前2n 项和；(2)若212n n n c b b -=⋅，记数列{}n c 的前n 项和为n S ，求n S .5．（2022ꞏ广东韶关ꞏ统考二模）已知数列{}n a 前n 项和为n S ，()*111041n n n n a a a a S n +=≠⋅=-∈N ，，． (1)证明：24;n n a a +-=(2)设 ()12nn n n c a =-⋅+， 求数列{}n c 的前2n 项和2n T ．6．（2022ꞏ广东ꞏ统考模拟预测）定义：对于任意一个有穷数列，第一次在其每相邻的两项间都插人这两项的和，得到的新数列称之为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和称之为二阶和数列，以此类推可以得到n 阶和数列，如{1,5}的一阶和数列是{1,6,5}，设它的n 阶和数列各项和为n S ．(1)试求{1,5}的二阶和数列各项和2S 与三阶和数列各项和3S ，并猜想n S 的通项公式（无需证明）；(2)若()()1log 3log 33n c S S =--⋅-，求{}n c 的前n 项和n T ，并证明：11n T -<≤-．7．（2022ꞏ广东ꞏ统考模拟预测）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知535S =，且4a 是1a 与13a 的等比中项，数列{}n b 的前n 项和245n T n n =+．(1)求数列{}{}n n a b 、的通项公式； (2)若14a <，对任意*n ∈N 总有1122111444n nS b S b S b λ+++≤--- 恒成立，求实数λ的最小值．8．（2022ꞏ广东中山ꞏ中山纪念中学校考模拟预测）已知正项数列{}n a ，其前n 项和n S 满足()*2,N n n n a S a n n -=∈.(1)求{}n a 的通项公式；(2)证明：2221112S S S +++< . (n 9．（2022ꞏ广东广州ꞏ统考一模）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*6324,21n n S S a a n ==+∈N . (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设12n n n b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】(1)21n a n =-10．（2023ꞏ广东东莞ꞏ校考模拟预测）已知数列{}n a 满足：112a =，对n N +∀∈，都有1122n n a na +=++． (1)设,n n b a n n N +=-∈，求证：数列{}n b 是等比数列； (2)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求n S ．11．（2022ꞏ广东ꞏ校联考模拟预测）已知各项均为正数的数列{}n a 满足()22*11230n n n n a a a a n ++--=∈N ，且13a =. (1)求{}n a 的通项公式；(2)若31log n n n b a a +=，求{}n b 的前n 项和n T .12．（2022ꞏ广东ꞏ统考模拟预测）已知数列{}n a 中，15a =且()12212,n n n a a n n *-=+-∈N …，11n n a b n -=+ (1)求证：数列{}n b 是等比数列；(2)从条件①{}n n b +，②{}n n b ⋅中任选一个，补充到下面的问题中并给出解答． 求数列______的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）13．（2022ꞏ广东汕头ꞏ统考三模）已知各项均为正数的数列{}n a 中，11a =且满足221122n n n n a a a a ++-=+，数列{}n b 的前n 项和为n S ，满足213n n S b +=．(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)若在k b 与1k b +之间依次插入数列{}n a 中的k 项构成新数列{}n c ：1b ，1a ，2b ，2a ，3a ，3b ，4a ，5a ，6a ，4b ，……，求数列{}n c 中前50项的和50T ．【答案】(1)21n a n =-，13n n b -=(2)1152214．（2022ꞏ广东佛山ꞏ统考三模）设各项非零的数列{}n a 的前n 项和记为n S ，记123n n T S S S S =⋅⋅⋅⋅⋅，且满足220n n n n S T S T --=．(1)求1T 的值，证明数列{}n T 为等差数列并求{}n T 的通项公式；(2)设(1)n n nc na -=，求数列{}n c 的前n 项和n K ．15．（2022ꞏ广东茂名ꞏ统考模拟预测）设数列{}n a 的首项11a =，132nn n a a +=⋅-．(1)证明：数列{}2nn a -是等比数列；(2)设()()234nn n b a n =--，求数列{}n b 的前n 项和n T()34nn ⨯⨯-()34nn ⨯⨯-()34nn ⨯⨯-16．（2022ꞏ广东ꞏ统考三模）已知数列{n a }的前n 项和n S ，11a =，0n a >，141n n n a a S +=-. (1)计算2a 的值，求{n a }的通项公式；(2)设()11nn n n b a a +=-，求数列{n b }的前n 项和n T .17．（2022ꞏ广东广州ꞏ统考二模）问题：已知*n ∈N ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，是否存在数列{}n a ，满足111,1n n S a a +=≥+，__________﹖若存在．求通项公式n a ﹔若不存在，说明理由．在①1n a +=﹔②()12n n a S n n -=+≥；③121n n a a n +=+-这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．当2n ≥时，221(21)(23)88n n n a S S n n n -=-=---=-显然，1n =时，上式不成立，所以1,188,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩. 选②：当2n ≥时，1n n a S n -=+，即1n n S a n -=- 所以11(1)()n n n n n a S S a n a n -+=-=-+-- 整理得112(1)n n a a ++=+ 又2123a S =+=，214a +=所以{1}n a +从第二项起，是以2为公比，4为首项的等比数列∴当2n ≥时，211422n n n a -++=⋅=，即121n n a +=-显然，1n =时，上式成立，所以121nn a +=-选③：121n n a a n +=+- 112()n n a n a n +∴++=+又112a +={}n a n ∴+是以2为公比和首项的等比数列 2n n a n ∴+=，即2n n a n ∴=-18．（2022ꞏ广东茂名ꞏ统考二模）已知数列{}n a 满足12a =，28a =，2143n n n a a a ++=-． (1)证明：数列{}1n n a a +-是等比数列；(2)若()()()()22231321265log 1log 1nn n n n n b a a ++-⋅++=+⋅+，求数列{}n b 的前n 项和nT ．19．（2022ꞏ广东韶关ꞏ校考模拟预测）数列{}n a 满足：31232n a n a a a +++=+ 12(1)2n n ++-⋅，*n ∈N ． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设()()111nn n n a b a a +=--，n T 为数列{}n b 的前n 项和，若23n T m <-恒成立，求实数m的取值范围．20．（2022ꞏ广东梅州ꞏ统考二模）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，11a =，___________.①n *∀∈N ，14n n a a n ++=；②数列n S n ⎧⎫⎨⎩⎭为等差数列，且n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前3项和为6.从以上两个条件中任选一个补充在横线处，并求解：(1)求n a ； (2)设()121n n n n n a a b a a +++=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .21．（2022ꞏ广东佛山ꞏ统考二模）已知数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足()()*1311,N ,5n n nS n S n n n a +-+=+∈=(1)求1a 、2a 的值及数列{n a }的通项公式n a ： (2)设1n n n b a a +=，求数列{n b }的前n 项和n T 【答案】(1)121,3a a ==；21n a n =-；22．（2022ꞏ广东茂名ꞏ统考模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()213n n S a =-，*n ∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)记sinn n n b a π=⋅，求数列{}n b 的前100项的和100T .23．（2022ꞏ广东ꞏ统考一模）已知正项数列{}n a ，其前n 项和n S 满足*(2)1()n n n a S a n -=∈N .(1)求证：数列{}2n S 是等差数列，并求出n S 的表达式；(2)数列{}n a 中是否存在连续三项k a ，1k a +，2k a +，使得1k a ，11k a +，21k a +构成等差数列？请说明理由.24．（2022ꞏ广东肇庆ꞏ校考模拟预测）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足22n n S a =-. (1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)记n b =11n n b b +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n T .25．（2022ꞏ广东揭阳ꞏ普宁市华侨中学校考二模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，在①()1*122n n S n N -⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭②11a =，()*122n n S a n N ++=∈，③()*123111121n n n N a a a a ++++=-∈ 这三个条件中任选一个，解答下列问题： (1)求{}n a 的通项公式：(2)若2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T26．（2022ꞏ广东茂名ꞏ统考二模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()2*112,210n n n a S a S n +=+-+=∈N ．(1)求证：数列11n S ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列；(2)求数列21n n S ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项和n T ．27．（2022ꞏ广东韶关ꞏ统考一模）在①112,2n n n a a a +=+=；②22n n S a =-；③122n n S +=-这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并做出解答.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，__________，数列{}n b 是等差数列，12461,21o b b b =++=. (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T .28．（2022ꞏ广东佛山ꞏ校联考模拟预测）已知数列{}n a 满足11a =，22a =，且对任意*N n ∈，都有2132n n n a a a ++=-．(1)求证：{}1n n a a +-是等比数列，并求{}n a 的通项公式； (2)求使得不等式12154m a a a ++⋅⋅⋅+≤成立的最大正整数m ．29．（2023ꞏ广东茂名ꞏ统考一模）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，0n a >，224n n n a a S +=.(1)求数列{}n a 的通项公式： (2)若1n b a a =，n T 为数列{}n b 的前n 项和.求n T ，并证明：11n T ≤≤.30．（2022ꞏ广东茂名ꞏ统考一模）已知数列{}n a ，{}n b 满足145n nn a b b ++=，116n n n a +++=，且12a =，11b =(1)求2a ，2b 的值，并证明数列{}n n a b -是等比数列； (2)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式．。

第5讲 通项公式的求解策略:构造法一．填空题（共10小题）1．已知数列中，，，求通项公式 ．2．已知数列中，，，则求的通项公式 ．3．（2021秋•殷都区校级月考）已知数列满足，求数列的通项公式 ．4．（2021•岳麓区校级二模）已知数列中，，且，数列满足，则的通项公式是 ．5．（2021秋•清远期中）若数列满足，，则数列的通项公式 ．6．已知 ．7．（2021•南关区校级四模）已知在数列中，，则数列的通项公式为 ．8．已知数列，满足，，且（其中，则数列的通项公式为 ．9．已知数列的首项为9，且，若，则数列的前项和 ．10．（2021•蚌埠三模）已知数列满足，若，则的最大值为 ．二．解答题（共22小题）11．（2021秋•黄浦区期末）已知数列满足，．（1）若数列是等差数列，求通项公式；（2）已知，求证数列是等比数列，并求通项公式．12．已知数列中，，，且，求通项公式．13．已知数列满足下列条件，求通项公式：（1），，；{}n a 11a =1332n n n a a +=+g n a ={}n a 11a =*1()3nn n a a n N a +=∈+{}n a n a ={}n a 112,12nn n a a a a +==+{}n a {}n a 147a =1112n n n a a a --+={}n b 11n n b a =-{}n b n b ={}n a 11a =1162n n n a a ++=+{}n a n a =115n a a +=⎧⎪⎨=⎪⎩n a ={}n a 112a =1(1)2n n n nn a a n a ++=+{}n a {}n a {}n b 12a =11b =11233233n n n n n n a b a a b b ++++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩*)n N ∈{}n a {}n a 2112(2)n n n a a a n --=+ (1)112n n n b a a +=++{}n b n n S ={}n a 111,256n a a +==2log 2n n b a =-12n b b b ⋯g gg {}n a 1a a =*121()n n a a n N +=+∈{}n a n a 2a ={1}n a +n a {}n a 11a =23a =212n n n a a a ++=+n a {}n a 13a =26a =2144n n n a a a ++=-（2），，．14．在数列中，，，当，，求通项公式．15．（2021•广东）设，数列满足，（1）求数列的通项公式；（2）证明：对于一切正整数，．16．（2021春•襄阳期末）在数列中，已知，．（1）求，，的值；（2）若，证明：数列是等差数列；（3）设数列的前项和为，比较与的大小．17．（2021•道里区校级模拟）已知数列满足，，数列满足．（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式：（2）数列的前项和为，设，求数列的前80项和．18．（2021秋•东莞市校级月考）已知数列中，已知，，（1）求证数列是等差数列；（2）求数列的通项公式．19．（2021秋•七星区校级月考）在数列中，已知；．（Ⅰ）求，及；（Ⅱ）求证：．20．（2021•沙坪坝区校级二模）在数列中，已知．（1）求，的值；（2）证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；13a =26a =2123n n n a a a ++=+{}n a 11a =-22a =n N ∈2156n n n a a a ++=-n a 0b >{}n a 1a b =11(2)1n n n nba a n a n --=+-…{}n a n 121n n a b ++…{}n a 12a =11332(*)n n n a a n N ++=++∈2a 3a 13n n na b +={}n b {}n a n n S n S 2334n n ++-{}n a 13a =1*1323()n n n a a n N ++=+⨯∈{}n b 3nn n a b ={}n b ()n b {}n b n n S (1)n n n c S =-g ()n c 80T {}n a 11a =112nn na a a +=+1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}n a {}n a 112122,5n n n a a a a ++=-=-+1,*3n n b n N a =∈+1b 2b n b 112nk kb =<∑{}n a *1122,()1nn n a a a n N a +==∈+2a 3a 11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭{}n a（3）求证：．21．（2021春•浦东新区校级期末）已知数列中，，．（1）求证：是等差数列，并求数列的通项公式．（2）设，且恒成立，求整数的最小值．22．（2021春•洛阳期末）已知数列首项，且满足，令．（1）求证：数列为等差数列；（2）求数列中的最小项．23．（2021春•九龙坡区校级期中）已知在数列中，，．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．24．已知数列满足：，且．证明：为一个等比数列，求数列的通项公式．25．（2021•全国模拟）已知各项都为正数的数列满足．（1）证明：数列为等比数列；（2）若，，求的通项公式．26．（2021•全国）在数列中，，，，2，3，，（Ⅰ）求，，．（Ⅱ）求数列的通项公式．27．（2021•香坊区校级二模）已知数列中，，．（1）求证：是等差数列；（2）若，且数列，数列的前项和为，求的取值范围．28．（2021春•碑林区校级期中）已知数列中，，1122(1)(1)(1)3n n a a a a a a -+-+⋯+-<{}n a 112a =*11,2n na n N a +=∈-11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭{}n a 123n n T lna lna lna lna =+++⋯+n T M <M {}n b 13b =*12121()23n n n b b n n N n +-=+-∈-23nn b c n =-{}n c {}n b {}n a 112a =111122n n n n a a +++=+{}n a n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n S {}n a 132a =*113(2,)21n n n na a n n N a n --=∈+-…{1}nna -{}n a {}n a 2123n n n a a a ++=+1{}n n a a ++112a =232a ={}n a {}n a 11a =112(1)2n n a a n n +=+++1n =⋯2a 3a 4a {}n a {}n a 11a =*1(1)()2nn nn a a n N n a ++=∈+n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭1n n n c a a +=43n n b n=g {}n n b c n n T n T {}n a 15a =1221(2)n n n a a n -=+-…（1）求、的值；（2）是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；（3）求通项公式．29．（2015春•禅城区校级月考）定义：若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点，在函数的图象上．其中为正整数．（1）求，，，并求证：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；（2）设．求数列的通项公式及关于的表达式；（3）记，的前项和为．求证：对恒成立．30．（2021•虹口区一模）（1）定义：若数列满足，则称为“平方递推数列”．已知：数列中，，．①求证：数列是“平方递推数列”；②求证：数列是等比数列；③求数列的通项公式．（2）已知：数列中，，，求：数列的通项．31．已知数列是首项为1的正项数列，且，求数列的通项公式．32．（2021秋•凌源市期末）已知首项为1的正项数列，．（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和．2a 3a λ{}2n na λ+λn a {}n A 21n n A A +={}n A {}n a 12a =(n a 1)n a +2()22f x x x =+n 2a 3a 4a {21}n a +{(21)}n lg a +12(21)(21)(21)n n T a a a =++⋅⋯⋅+{}n a n T n 525log 1(log )n n n T b T +={}n b n n S 3n S <*n N ∈{}n d 21n n d d +={}n d {}n a 12a =2122n nn a a a +=+{21}n a +{(21)}n lg a +{}n a {}n b 11b =232133(0)n nn n b p b pb b p +=++>{}n b {}n a 221113230n n n n n n a a a a a a ++++-+-=n a {}n a 22*111()()20,n n n n nn a a a a a a n N ++++-+=∈{}n a 1n n n b a a +={}2n b n n S。

数列求和考试要求 1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式.2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法．知识梳理数列求和的几种常用方法 1．公式法直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和． (1)等差数列的前n 项和公式：S n ＝n a 1＋a n 2＝na 1＋n n －12d .(2)等比数列的前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q＝a 11－q n1－q ，q ≠1.2．分组求和法与并项求和法(1)若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．(2)形如a n ＝(－1)n·f (n )类型，常采用两项合并求解． 3．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的． 4．裂项相消法(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． (2)常见的裂项技巧 ①1n n ＋1＝1n －1n ＋1.②1n n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2.③12n －12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1.④1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋11－q.( √ ) (2)当n ≥2时，1n 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1.( √ )(3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n时，只要把上式等号两边同时乘a 即可根据错位相减法求得．( × )(4)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫12n ＋2n ＋3的前n 项和可用分组转化法求和．( √ ) 教材改编题1．数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n(2n －1)，则该数列的前100项之和为( ) A ．－200 B ．－100 C ．200 D ．100答案 D解析 S 100＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2×50＝100.2．等差数列{a n }中，已知公差d ＝12，且a 1＋a 3＋…＋a 99＝50，则a 2＋a 4＋…＋a 100等于( )A ．50B ．75C ．100D ．125 答案 B解析 a 2＋a 4＋…＋a 100＝(a 1＋d )＋(a 3＋d )＋…＋(a 99＋d ) ＝(a 1＋a 3＋…＋a 99)＋50d ＝50＋25＝75. 3．在数列{a n }中，a n ＝1n n ＋1，若{a n }的前n 项和为20222023，则项数n ＝________.答案 2022 解析 a n ＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1， ∴S n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1＝20222023， ∴n ＝2022.题型一 分组求和与并项求和例1 (2022·衡水质检)已知各项都不相等的等差数列{a n }，a 6＝6，又a 1，a 2，a 4成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2n a＋(－1)na n ，求数列{b n }的前2n 项和T 2n . 解 (1)∵{a n }为各项都不相等的等差数列，a 6＝6，且a 1，a 2，a 4成等比数列． ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 6＝a 1＋5d ＝6，a 1＋d 2＝a 1a 1＋3d ，d ≠0，解得a 1＝1，d ＝1，∴数列{a n }的通项公式a n ＝1＋(n －1)×1＝n .(2)由(1)知，b n ＝2n ＋(－1)nn ，记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ， 则T 2n ＝(21＋22＋ (22))＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )． 记A ＝21＋22＋ (22)，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ， 则A ＝21－22n1－2＝22n ＋1－2，B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n .故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2.延伸探究 在本例(2)中，如何求数列{b n }的前n 项和T n ? 解 由本例(2)知b n ＝2n ＋(－1)nn . 当n 为偶数时，T n ＝(21＋22＋ (2))＋[－1＋2－3＋4－…－(n －1)＋n ]＝2－2n ＋11－2＋n 2＝2n ＋1＋n2－2；当n 为奇数时，T n ＝(21＋22＋…＋2n )＋[－1＋2－3＋4－…－(n －2)＋(n －1)－n ]＝2n ＋1－2＋n －12－n＝2n ＋1－n 2－52. 所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋1＋n2－2，n 为偶数，2n ＋1－n 2－52，n 为奇数.教师备选(2020·新高考全国Ⅰ)已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＝8. (1)求{a n }的通项公式；(2)记b m 为{a n }在区间(0，m ](m ∈N *)中的项的个数，求数列{b m }的前100项和S 100. 解 (1)由于数列{a n }是公比大于1的等比数列，设首项为a 1，公比为q ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，q ＝12(舍)或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2，所以{a n }的通项公式为a n ＝2n，n ∈N *. (2)由于21＝2,22＝4,23＝8,24＝16,25＝32， 26＝64，27＝128，所以b 1对应的区间为(0,1]，则b 1＝0；b 2，b 3对应的区间分别为(0,2]，(0,3]，则b 2＝b 3＝1，即有2个1；b 4，b 5，b 6，b 7对应的区间分别为(0,4]，(0,5]，(0,6]，(0,7]， 则b 4＝b 5＝b 6＝b 7＝2，即有22个2；b 8，b 9，…，b 15对应的区间分别为(0,8]，(0,9]，…，(0,15]，则b 8＝b 9＝…＝b 15＝3，即有23个3；b 16，b 17，…，b 31对应的区间分别为(0,16]，(0,17]，…，(0,31]，则b 16＝b 17＝…＝b 31＝4，即有24个4；b 32，b 33，…，b 63对应的区间分别为(0,32]，(0,33]，…，(0,63]，则b 32＝b 33＝…＝b 63＝5，即有25个5；b 64，b 65，…，b 100对应的区间分别为(0,64]，(0,65]，…，(0,100]，则b 64＝b 65＝…＝b 100＝6，即有37个6.所以S 100＝1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×37＝480.思维升华 (1)若数列{c n }的通项公式为c n ＝a n ±b n ，且{a n }，{b n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{c n }的前n 项和． (2)若数列{c n }的通项公式为c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，其中数列{a n }，{b n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{c n }的前n 项和．跟踪训练1 (2022·重庆质检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝9，S 5＝25. (1)求数列{a n }的通项公式及S n ；(2)设b n ＝(－1)nS n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设数列{a n }的公差为d ， 由S 5＝5a 3＝25得a 3＝a 1＋2d ＝5， 又a 5＝9＝a 1＋4d ， 所以d ＝2，a 1＝1， 所以a n ＝2n －1，S n ＝n 1＋2n －12＝n 2.(2)结合(1)知b n ＝(－1)n n 2，当n 为偶数时，T n ＝(b 1＋b 2)＋(b 3＋b 4)＋(b 5＋b 6)＋…＋(b n －1＋b n )＝(－12＋22)＋(－32＋42)＋(－52＋62)＋…＋[－(n －1)2＋n 2]＝(2－1)(2＋1)＋(4－3)(4＋3)＋(6－5)(6＋5)＋…＋[n －(n －1)][n ＋(n －1)] ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12.当n 为奇数时，n －1为偶数，T n ＝T n －1＋(－1)n ·n 2＝n －1n2－n 2＝－n n ＋12.综上可知，T n ＝－1nn n ＋12.题型二 错位相减法求和例2 (10分)(2021·全国乙卷)设{a n }是首项为1的等比数列，数列{b n }满足b n ＝na n3.已知a 1，3a 2，9a 3成等差数列．(1)求{a n }和{b n }的通项公式；[切入点：设基本量q ](2)记S n 和T n 分别为{a n }和{b n }的前n 项和．证明：T n <S n 2.[关键点：b n ＝n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n]教师备选(2020·全国Ⅰ)设{a n}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项．(1)求{a n}的公比；(2)若a1＝1，求数列{na n}的前n项和．解(1)设{a n}的公比为q，∵a1为a2，a3的等差中项，∴2a1＝a2＋a3＝a1q＋a1q2，a1≠0，∴q2＋q－2＝0，∵q≠1，∴q＝－2.(2)设{na n}的前n项和为S n，a1＝1，a n＝(－2)n－1，S n＝1×1＋2×(－2)＋3×(－2)2＋…＋n(－2)n－1，①－2S n＝1×(－2)＋2×(－2)2＋3×(－2)3＋…＋(n－1)·(－2)n－1＋n(－2)n，②①－②得，3S n＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n－1－n(－2)n＝1－－2n1－－2－n(－2)n＝1－1＋3n－2n3，∴S n ＝1－1＋3n －2n9，n ∈N *.思维升华 (1)如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，常采用错位相减法．(2)错位相减法求和时，应注意：①在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“S n －qS n ”的表达式．②应用等比数列求和公式必须注意公比q 是否等于1，如果q ＝1，应用公式S n ＝na 1. 跟踪训练2 (2021·浙江)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－94，且4S n ＋1＝3S n －9(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足3b n ＋(n －4)a n ＝0(n ∈N *)，记{b n }的前n 项和为T n .若T n ≤λb n ，对任意n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围．解 (1)因为4S n ＋1＝3S n －9， 所以当n ≥2时，4S n ＝3S n －1－9， 两式相减可得4a n ＋1＝3a n ，即a n ＋1a n ＝34. 当n ＝1时，4S 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫－94＋a 2＝－274－9， 解得a 2＝－2716，所以a 2a 1＝34.所以数列{a n }是首项为－94，公比为34的等比数列，所以a n ＝－94×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1＝－3n ＋14n .(2)因为3b n ＋(n －4)a n ＝0，所以b n ＝(n －4)×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n.所以T n ＝－3×34－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫342－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫343＋0×⎝ ⎛⎭⎪⎫344＋…＋(n －4)×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n，①且34T n ＝－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫342－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫343－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫344＋0×⎝ ⎛⎭⎪⎫345＋…＋(n －5)×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n ＋(n －4)×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n ＋1，② ①－②得14T n ＝－3×34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫342＋⎝ ⎛⎭⎪⎫343＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －(n －4)×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n ＋1＝－94＋916⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －11－34－(n －4)×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n ＋1＝－n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n ＋1，所以T n ＝－4n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n ＋1.因为T n ≤λb n 对任意n ∈N *恒成立，所以－4n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n ＋1≤λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －4×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n 恒成立，即－3n ≤λ(n －4)恒成立，当n <4时，λ≤－3n n －4＝－3－12n －4，此时λ≤1；当n ＝4时，－12≤0恒成立，当n >4时，λ≥－3n n －4＝－3－12n －4，此时λ≥－3.所以－3≤λ≤1.题型三 裂项相消法求和例3 (2022·咸宁模拟)设{a n }是各项都为正数的单调递增数列，已知a 1＝4，且a n 满足关系式：a n ＋1＋a n ＝4＋2a n ＋1a n ，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝1a n －1，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)因为a n ＋1＋a n ＝4＋2a n ＋1a n ，n ∈N *， 所以a n ＋1＋a n －2a n ＋1a n ＝4， 即(a n ＋1－a n )2＝4，又{a n }是各项为正数的单调递增数列， 所以a n ＋1－a n ＝2， 又a 1＝2，所以{a n }是首项为2，公差为2的等差数列， 所以a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，所以a n ＝4n 2. (2)b n ＝1a n －1＝14n 2－1＝12n －12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1. 教师备选设数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n －1. (1)求{a n }的通项公式； (2)若b n ＝3na n ＋1a n ＋1＋1，求{b n }的前n 项和T n ，证明：38≤T n ＜34.(1)解 因为2S n ＝3a n －1， 所以2S 1＝2a 1＝3a 1－1， 即a 1＝1.当n ≥2时，2S n －1＝3a n －1－1， 则2S n －2S n －1＝2a n ＝3a n －3a n －1， 整理得a na n －1＝3， 则数列{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列，故a n ＝1×3n －1＝3n －1.(2)证明 由(1)得b n ＝3n3n －1＋13n＋1＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＋1－13n ＋1， 所以T n ＝32×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫130＋1－131＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫131＋1－132＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋1－133＋1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＋1－13n ＋1，即T n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13n ＋1＝34－323n ＋1，所以T n <34，又因为T n 为递增数列， 所以T n ≥T 1＝34－38＝38，所以38≤T n <34.思维升华 利用裂项相消法求和的注意事项(1)抵消后不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项． (2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，如：若{a n }是等差数列，则1a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1， 1a n a n ＋2＝12d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋2. 跟踪训练3 (2022·河北衡水中学模拟)已知数列{a n }满足a 1＝4，且当n ≥2时，(n －1)a n＝n (a n －1＋2n －2)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(2)记b n ＝2n ＋1a 2n，求数列{b n }的前n 项和S n .(1)证明 当n ≥2时， (n －1)a n ＝n (a n －1＋2n －2)， 将上式两边都除以n (n －1)， 得a n n ＝a n －1＋2n －2n －1，即a n n －a n －1n －1＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝4为首项，2为公差的等差数列．(2)解 由(1)得a n n＝4＋2(n －1)＝2n ＋2， 即a n ＝2n (n ＋1)，所以b n ＝2n ＋1a 2n ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n 2－1n ＋12， 所以S n ＝14⎩⎨⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122－132＋⎭⎬⎫…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n2－1n ＋12＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1n ＋12＝n 2＋2n 4n ＋12. 课时精练1．已知在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，且a 3＝5，S 7＝49. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2n a＋a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ≥1000，求n 的取值范围． 解 (1)由等差数列性质知，S 7＝7a 4＝49， 则a 4＝7，故公差d ＝a 4－a 3＝7－5＝2， 故a n ＝a 3＋(n －3)d ＝2n －1. (2)由(1)知b n ＝22n －1＋2n －1，T n ＝21＋1＋23＋3＋…＋22n －1＋2n －1＝21＋23＋…＋22n －1＋(1＋3＋…＋2n －1) ＝21－22n ＋11－4＋n 1＋2n －12＝22n ＋13＋n 2－23.易知T n 单调递增，且T 5＝707<1 000，T 6＝2 766>1 000，故T n ≥1 000，解得n ≥6，n ∈N *.2．(2020·全国Ⅲ改编)设数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝3a n －4n .(1)计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式；(2)求数列{2n a n }的前n 项和S n .解 (1)由题意可得a 2＝3a 1－4＝9－4＝5，a 3＝3a 2－8＝15－8＝7，由数列{a n }的前三项可猜想数列{a n }是以3为首项，2为公差的等差数列，即a n ＝2n ＋1.(2)由(1)可知，a n ·2n ＝(2n ＋1)·2n，S n ＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n －1)·2n －1＋(2n ＋1)·2n ，① 2S n ＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n －1)·2n ＋(2n ＋1)·2n ＋1，② 由①－②得，－S n ＝6＋2×(22＋23＋…＋2n )－(2n ＋1)·2n ＋1＝6＋2×22×1－2n －11－2－(2n ＋1)·2n ＋1＝(1－2n )·2n ＋1－2，即S n ＝(2n －1)·2n ＋1＋2.3．(2022·合肥模拟)已知数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2n.(1)求{a n }的通项公式；(2)若b n ＝log 2a n ，T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1，求T n .解 (1)由已知得a n ＋1－a n ＝2n，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋2＋22＋…＋2n －1＝2＋21－2n －11－2＝2n .又a 1＝2，也满足上式，故a n ＝2n.(2)由(1)可知，b n ＝log 2a n ＝n ，1b n b n ＋1＝1n n ＋1＝1n －1n ＋1，T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，故T n ＝n n ＋1.4．(2022·济宁模拟)已知数列{a n }是正项等比数列，满足a 3是2a 1,3a 2的等差中项，a 4＝16.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(－1)n log 2a 2n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 3是2a 1,3a 2的等差中项，所以2a 3＝2a 1＋3a 2，即2a 1q 2＝2a 1＋3a 1q ，因为a 1≠0，所以2q 2－3q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－12， 因为数列{a n }是正项等比数列，所以q ＝2.所以a n ＝a 4·q n －4＝2n. (2)方法一 (分奇偶、并项求和)由(1)可知，a 2n ＋1＝22n ＋1， 所以b n ＝(－1)n ·log 2a 2n ＋1＝(－1)n ·log 222n ＋1＝(－1)n·(2n ＋1)， ①若n 为偶数，T n ＝－3＋5－7＋9－…－(2n －1)＋(2n ＋1)＝(－3＋5)＋(－7＋9)＋…＋[－(2n －1)＋(2n ＋1)]＝2×n2＝n ； ②若n 为奇数，当n ≥3时， T n ＝T n －1＋b n ＝n －1－(2n ＋1)＝－n －2，当n ＝1时，T 1＝－3适合上式，综上得T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ n ，n 为偶数，－n －2，n 为奇数 (或T n ＝(n ＋1)(－1)n －1，n ∈N *)．方法二 (错位相减法)由(1)可知，a 2n ＋1＝22n ＋1，所以b n ＝(－1)n ·log 2a 2n ＋1＝(－1)n ·log 222n ＋1＝(－1)n ·(2n ＋1)， T n ＝(－1)1×3＋(－1)2×5＋(－1)3×7＋…＋(－1)n ·(2n ＋1)， 所以－T n ＝(－1)2×3＋(－1)3×5＋(－1)4×7＋…＋(－1)n ＋1(2n ＋1)， 所以2T n ＝－3＋2[(－1)2＋(－1)3＋…＋(－1)n ]－(－1)n ＋1(2n ＋1) ＝－3＋2×1－－1n －12＋(－1)n (2n ＋1) ＝－3＋1－(－1)n －1＋(－1)n (2n ＋1)＝－2＋(2n ＋2)(－1)n ，所以T n ＝(n ＋1)(－1)n －1，n ∈N *.5．(2022·重庆调研)在等差数列{a n }中，已知a 6＝12，a 18＝36.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若________，求数列{b n }的前n 项和S n ， 在①b n ＝4a n a n ＋1，②b n ＝(－1)n ·a n ，③b n ＝2n a n a ⋅这三个条件中任选一个补充在第(2)问中，并对其求解．解 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋5d ＝12，a 1＋17d ＝36，解得d ＝2，a 1＝2.∴a n ＝2＋(n －1)×2＝2n .(2)选条件①.b n ＝42n ·2n ＋1＝1n n ＋1， 则S n ＝11×2＋12×3＋ (1)n ＋1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 选条件②.∵a n ＝2n ，b n ＝(－1)n a n ＝(－1)n·2n ， ∴S n ＝－2＋4－6＋8－…＋(－1)n ·2n ， 当n 为偶数时， S n ＝(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋[－2(n －1)＋2n ]＝n 2×2＝n ；当n 为奇数时，n －1为偶数， S n ＝n －1－2n ＝－n －1. ∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ n ，n 为偶数，－n －1，n 为奇数. 选条件③.∵a n ＝2n ，b n ＝2n a n a ⋅， ∴b n ＝22n ·2n ＝2n ·4n ， ∴S n ＝2×41＋4×42＋6×43＋…＋2n ·4n ，① 4S n ＝2×42＋4×43＋6×44＋…＋2(n －1)·4n ＋2n ·4n ＋1，② ①－②得－3S n ＝2×41＋2×42＋2×43＋…＋2×4n －2n ·4n ＋1＝41－4n1－4×2－2n ·4n ＋1＝81－4n－3－2n ·4n ＋1， ∴S n ＝89(1－4n )＋2n 3·4n ＋1.。

专题24 等差数列及其前n 项和【考点预测】一．等差数列的有关概念 （1）等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示，定义表达式为1－-=n n a a d （常数）*()2，∈≥n N n ．（2）等差中项若三个数a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且有=2+a bA ． 二．等差数列的有关公式（1）等差数列的通项公式如果等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，那么它的通项公式是1(1)=+-n a a n d ． （2）等差数列的前n 项和公式设等差数列{}n a 的公差为d ，其前n 项和11()(1)22+-=+=n n n a a n n S na d ． 三．等差数列的常用性质已知{}n a 为等差数列，d 为公差，n S 为该数列的前n 项和． （1）通项公式的推广：*())(，=+-∈n m a a n m d n m N ．（2）在等差数列{}n a 中，当+=+m n p q 时，*()，，，+=+∈m n p q a a a a m n p q N ． 特别地，若2+=m n t ，则*()2，，+=∈m n t a a a m n t N ．（3）2＋＋，，k k m k m a a a ，…仍是等差数列，公差为*()，∈md k m N ． （4）232，－，－n n n n n S S S S S ，…也成等差数列，公差为2n d ． （5）若{}n a ，{}n b 是等差数列，则{}+n n pa qb 也是等差数列． （6）若{}n a 是等差数列，则{}n S n 也成等差数列，其首项与{}n a 首项相同，公差是{}n a 公差的12． （7）若项数为偶数2n ，则2121()()+=+=+n n n n S n a a n a a ；奇偶－＝S S nd ；1奇偶+=nn S a S a ． （8）若项数为奇数21-n ，则2121()－-=n n S n a ；奇偶=－n S S a ；1奇偶=-S nS n ． （9）在等差数列{}n a 中，若100，><a d ，则满足1+≥0⎧⎨≤0⎩m m a a 的项数m 使得n S 取得最大值m S ；若100，<>a d ，则满足1+≤0⎧⎨≥0⎩m m a a 的项数m 使得n S 取得最小值m S ． 四．等差数列的前n 项和公式与函数的关系21()22=+-n d dS n a n ．数列{}n a 是等差数列⇔2=+n S An Bn （、A B 为常数）． 五．等差数列的前n 项和的最值公差0{}>⇔n d a 为递增等差数列，n S 有最小值； 公差0{}<⇔n d a 为递减等差数列，n S 有最大值； 公差0{}=⇔n d a 为常数列． 特别地若100>⎧⎨<⎩a d ，则n S 有最大值（所有正项或非负项之和）；若100<⎧⎨>⎩a d ，则n S 有最小值（所有负项或非正项之和）．六．其他衍生等差数列．若已知等差数列{}n a ，公差为d ，前n 项和为n S ，则： ①等间距抽取2(1),,,,+++-p p t p t p n t a a a a 为等差数列，公差为td ． ②等长度截取232,,,--m m m m m S S S S S 为等差数列，公差为2m d ．③算术平均值312,,,123S S S 为等差数列，公差为2d ． 【方法技巧与总结】（1）等差数列{}n a 中，若,(,,)*==≠∈n m a m a n m n m n N ，则0+=m n a ． （2）等差数列{}n a 中，若,(,,)*==≠∈n m S m S n m n m n N ，则()+=-+m n S m n ． （3）等差数列{}n a 中，若(,,)*=≠∈n m S S m n m n N ，则0+=m n S ． （4）若{}n a 与{b }n 为等差数列，且前n 项和为n S 与n T ，则2121--=m m m m a S b T ． 【题型归纳目录】题型一：等差数列的基本运算 题型二：等差数列的判定与证明 题型三：等差数列的性质 题型四：等差数列前n 项和的性质 题型五：等差数列前n 项和的最值题型六：求数列的通项n a 题型七：关于奇偶项问题的讨论题型八：对于含绝对值的数列求和问题 题型九：利用等差、等比数列的单调性求解 题型十：等差数列中的范围与最值问题 【典例例题】题型一：等差数列的基本运算例1．（2022·河南开封·高二期末（理））已知数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，且112a b -=，221a b -=，则55a b -=（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．2例2．（2022·全国·高三专题练习）《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中第三章“衰分”有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百钱.欲令高爵出少，以次渐多，问各几何?”意思是：“有大夫、不更、簪裏、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增等差数列，这5个人各出多少钱?”在这个问题中，若不更出17钱，则公士出的钱数为（ ） A ．10B ．14C ．23D ．26例3．（2022·全国·模拟预测（理））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若2422a a +=，438S =，则6S =（ ）A ．72B ．74C ．75D ．76例4．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若12443S S S =+，55a =，则10a =（ ） A ．3B ．7C ．11D ．15例5．（2022·全国·高三专题练习）设{}n a 是等差数列，且1ln 2a =，235ln 2a a +=，则12e e e n a a a ++⋅⋅⋅+=（ ）A ．2nB ．22n n +C ．2nD ．122n +-例6．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））已知等差数列{}n a 中，1732,4,n a a a S ==为数列{}n a 的前n 项和，则10S =（ ） A ．115 B ．110 C ．110-D ．115-【方法技巧与总结】等差数列基本运算的常见类型及解题策略：（1）求公差d 或项数n ．在求解时，一般要运用方程思想． （2）求通项．1a 和d 是等差数列的两个基本元素．（3）求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解．（4）求前n 项和．利用等差数列的前n 项和公式直接求解或利用等差中项间接求解．【注意】在求解数列基本量问题中主要使用的是方程思想，要注意使用公式时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意运用整体代换思想，使运算更加便捷．题型二：等差数列的判定与证明例7．（2022•安徽月考）设数列1a ，2a ，⋯，n a ，⋯中的每一项都不为0．证明：{}n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何n N ∈，都有1223111111n n n na a a a a a a a ++++⋯+=． 例8．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，14a =，28a =，且2124n n n S S S ++-+=． (1)求证：数列{}n a 是等差数列；(2)若m a ，m S ，114m a +成等比数列，求正整数m ．例9．（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学模拟预测（理））已知首项为2的数列{}n a 满足111,22,n n n a n a a n +⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，记212,-==n n n n b a c a .(1)求证：数列{}n b 是等差数列，并求其通项公式； (2)求数列1⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭n n b c 的前10项和10S .例10．（2022·全国·高三专题练习）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，17a =-，26a =-，()11N ,R n n a ka n k *+=+∈∈.证明数列{}n a 为等差数列，并求通项公式n a ；例11．（2022·山东济宁·二模）已知数列{}n a 满足12a =，11,,2,.n nn n a n a a n ++⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数(1)设2n n b a =，证明：数列2n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；(2)求数列{}n a 的前2n 项和.例12．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高三阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和()12n n n a a S +=，且0n a >． (1)证明：数列{}n a 为等差数列；(2)若122nn n n n a b a a ++⋅⋅=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．例13．（2022·辽宁实验中学模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足：()*21N n na S n n=+∈ (1)求证：数列{}n a 为等差数列； (2)若25a =，令1n nb a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若不等式()122455n n T T m m +-≤-对任意*N n ∈恒成立，求实数m 的取值范围．例14．（2022·安徽阜阳·高三期末（文））记数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足28916n n S a n +=+，且2n a >.(1)证明：数列{}n a 是等差数列；(2)设数列{}n b 满足2nn n b a =+，求{}n b 的前n 项和.例15．（2022·安徽淮南·一模（文））已知数列{}n a 满足1222n n a a a a =-，*n ∈N ．(1)求1a 的值并证明数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；(2)求数列{}n a 的通项公式并证明：213n a ≤<．例16．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足，13a =，()*1431n n a n N a +=-∈+，设数列11n n b a =-(1)求证数列{}n b 为等差数列； (2)求数列{}n a 的通项公式；例17．（2022·全国·高三专题练习（文））已知数列{an }满足1221,,222,.2n n nna n a n a n +⎧+⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为正奇数为正偶数(1)问数列{an }是否为等差数列或等比数列？说明理由；(2)求证：数列22nna ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}2n a 的通项公式. 例18．（2022·内蒙古呼和浩特·高三阶段练习（理））已知正项数列{}n a 满足11a =，22a =，且对任意的正整数n ，211n a ++是2n a 和22n a +的等差中项.(1)证明：{}221n n a a +-是等差数列，并求{}n a 的通项公式；(2)若1n n n b b a --=，且11b a =，求数列{}n b 的通项公式.例19．（2022·全国·高三专题练习）在数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，其前n 项和n S 满足：21()2=-n n n S a S .(1)求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；(2)若11()02n n n k S a ++≤对一切正整数n 恒成立，求实数k 的最大值.例20．（2022·全国·高三开学考试（理））已知n T 为数列{}n a 的前n 项的积，且112a =，n S 为数列{}n T 的前n 项的和，若120n n n T S S -+=（*n ∈N ，2n ）.（1）求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）求{}n a 的通项公式.【方法技巧与总结】【注意】如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a 2－a 1＝d 这一关键条件．题型三：等差数列的性质例21．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且51013218a a a ++=，则18S =（ ） A ．74B ．81C ．162D ．148例22．（2022·福建省华安县第一中学高三期中）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12m S -=-，0m S =，13m S +=，则m 等于（ ）A ．8B ．7C ．6D ．5例23．（2022·全国·模拟预测（理））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12663a a a ++=，则5S =（ ） A ．60B ．75C ．90D ．105例24．（2022·海南海口·二模）设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()9353m S a a a =++，则m =（ ）A ．9B ．8C ．7D ．6例25．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知等差数列{}n a 中，5a ，17a 是方程26210x x --=的两根，则{}n a 的前21项的和为（ ） A ．6B ．30C ．63D ．126【方法技巧与总结】如果{}n a 为等差数列，当+=+m n p q 时，*()，，，+=+∈m n p q a a a a m n p q N ．因此，出现－＋，，m n m m n a a a等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与m a （或其他项）有关的条件；若求m a 项，可由1=()2－＋+m m n m n a a a 转化为求a m －n ＋a n ＋m 的值．题型四：等差数列前n 项和的性质例26．（2022·河南省杞县高中模拟预测（理））已知项数为n 的等差数列{}n a 的前6项和为10，最后6项和为110，所有项和为360，则n =（ ）A ．48B ．36C ．30D ．26例27．（2022·河南省杞县高中模拟预测（文））已知等差数列1a ，2a ，3a ，…，1n a -，n a ，前6项和为10，最后6项和为110，所有项和为360，则该数列的项数n =（ ） A ．26B ．30C ．36D ．48例28．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））设n S 为等差数列{an }的前n 项和，若93S π=，则()72cos S S -=（ ）AB．C ．12D ．12-例29．（2022·全国·高三专题练习）两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，且523n n S n T n +=+，则220715a ab b ++等于（ ）A ．10724B ．724C ．14912D ．1493例30．（2022·四川凉山·三模（理））等差数列{}n a 满足1n a ≠且0n a ≠，1211a a +=，若()21xf x x =-，则()()()()12321f a f a f a f a ⋅⋅=（ ）A ．214±B ．212±C ．212D ．212-例31．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22,6n n S S ==，则4n S =（ ） A ．8B ．12C ．14D ．20例32．（2022·全国·高三专题练习）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若20212020120212020S S =+且13a =，则( ) A ．21n a n =+B ．1n a n =+C ．22n S n n =+D ．24n S n n =-例33．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列{}n a 与等差数列{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T .若对于任意的正整数n 都有2131n n S n T n +=-，则89a b =（ ） A ．3552B ．3150C ．3148D ．3546例34．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列{}n a 与等差数列{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，若对任意自然数n 都有2343n n S n T n -=-，则935784a a b b b b +++的值为（ ） A ．37B ．79C ．1941D ．1-例35．（2022·全国·模拟预测）已知数列{}n a ，{}n b 均为等差数列，其前n 项和分别为n A ，n B ，且21n n A n B n =+，则使nna b λ≥恒成立的实数λ的最大值为（ ）A ．12B ．13C ．1D ．2【方法技巧与总结】在等差数列中，232，－，－n n n n n S S S S S ，…仍成等差数列；{}nS n也成等差数列． 题型五：等差数列前n 项和的最值例36．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，且111010a a +<．若n S 存在最大值，则满足0n S >的n 的最大值为_______．例37．（2022·浙江·高三阶段练习）设公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，21179d -<<-，则当n S 取最大值时，n 的值为_______.例38．（2022·江西·高三单元测试（文））等差数列{}n a 中， n S 是它的前 n 项之和，且 67S S <， 78S S >，则：①数列的公差0d <； ②9S 一定小于 6S ； ③ 7a 是各项中最大的一项；④ 7S 一定是 n S 中的最大 值．其中正确的是______________（填入你认为正确的所有序号）．例39．（2022·全国·高三专题练习）首项为正数的等差数列，前n 项和为n S ，且38S S =，当n =________时，n S 取到最大值.例40．（2022·全国·高三专题练习）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知100S =，1525S =，则n n S +的最小值为______．例41．（2022·全国·高三专题练习）在数列{}n a 中，()*2122,23,19,n n n a a n a a S +-=∈=-=-N 为{}n a 的前n项和，则n S 的最小值为______．例42．（2022·江西赣州·二模（文））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若20210S >，20220S <，则使得前n 项和n S 取得最大值时n 的值为（ ） A ．2022B ．2021C ．1012D ．1011例43．（2022·全国·高三专题练习（文））设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，()()11n n n S nS n N *++<∈.若871a a <-，则（ ）A ．n S 的最大值是8SB ．n S 的最小值是8SC ．n S 的最大值是7SD ．n S 的最小值是7S例44．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且78S S >，8910S S S =<，则下面结论错误的是（ ） A ．90a =B ．1514S S >C ．0d <D ．8S 与9S 均为n S 的最小值例45．（2022·全国·高三专题练习）等差数列{}n a 中，已知70a >，2100a a +<，则{}n a 的前n 项和n S 的最小值为（ ） A ．5SB ．6SC ．7SD ．8S例46．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，512S S =，则当n S 取得最大值时，n 的值为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．8或9例47．（2022·全国·高三专题练习）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若n N *∀∈，7n S S ≤，则数列{}n a 的通项公式可能是（ ） A ．315n a n =-B ．173n a n =-C ．7n a n =-D ．152n a n =-例48．（2022·海南·嘉积中学高三阶段练习）已知n S 是等差数列{}n a 前n 项和，38a =-，62a =-，当n S 取得最小值时n =（ ）． A ．2B ．14C ．7D ．6或7例49．（2022·青海玉树·高三阶段练习（文））已知等差数列{}n a 的公差是d ，且891036a a a ++=，则1a d 的最大值为________．例50．（2022·全国·高三专题练习）记n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知221nn S n a n+=+． (1)证明：{}n a 是等差数列；(2)若479,,a a a 成等比数列，求n S 的最小值．例51．（2022·全国·高三专题练习（文））在①2n a n b =，②11n n n b a a +=，③(1)nn n b S =-这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且55a =,55S =． (1)求n S 的最小值；(2)若数列{}n b 满足____________，求数列{}n b 的前10项和．例52．（2022·福建泉州·高三阶段练习（理））已知数列{}n a ，()1,2n x a +=-，()1,n y a =，且x y ⊥，32a +是2a 与4a 的等差中项．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若12132log n n b a =+，12n n S b b b =++⋅⋅⋅+，求n S 的最大值．例53．（2022·辽宁葫芦岛·一模）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知1310a a +=，80S =． (1)求{}n a 的通项公式； (2)求n S ，并求n S 的最大值．【方法技巧与总结】求等差数列前n 项和n S 最值的2种方法（1）函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式2＋=n S an bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．（2）邻项变号法：①若100，><a d ，则满足1+≥0⎧⎨≤0⎩m m a a 的项数m 使得n S 取得最大值m S ；②若100，<>a d ，则满足1+≤0⎧⎨≥0⎩m m a a 的项数m 使得n S 取得最小值m S ．题型六：求数列的通项n a例54．（2022·河南·模拟预测（理））已知等差数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和n S 满足211n n S na n +=+，则其通项n a =______．例55．（2022·全国·高三专题练习）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11,n n S a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭是公差为13的等差数列．(1)求{}n a 的通项公式； (2)证明：121112na a a +++<． 例56．（2022·广东惠州·高三阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ，现有如下三个条件分别为：条件①55a =；条件②12n n a a +-=；条件③24S =-；请从上述三个条件中选择能够确定一个数列的两个条件，并完成解答.您选择的条件是___________和___________. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设数列{}n b 满足11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .例57．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知非零数列{}n a 满足()()12111,22,n n n n a a a a a n N *+++=-=-∈． (1)若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，求它的通项公式；(2)若25a =，证明：对任意123,32n n n N a a a a *∈++++≤-．例58．（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）已知数列{}n a 各项都不为0，121,3a a ==且满足141n n n a a S +=-， (1)求{}n a 的通项公式；(2)若114n n n a b a -=-，{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 取得最小值时的n 的值． 例59．（2022·福建·厦门双十中学模拟预测）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知19a =，2a 为整数，且5n S S ≤.(1)求{}n a 的通项公式； (2)设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 题型七：关于奇偶项问题的讨论例60．（2022·山东聊城·高三期末）已知数列{}n a 满足：()213nn n a a ++-=，11a =，22a =.(1)记21n n b a -=，求数列{}n b 的通项公式； (2)记数列{}n a 的前n 项和为n S ，求30S .例61．（2022·河南·罗山县教学研究室高三阶段练习（理））已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且2421n n n a S a =--.(1)求n a ，n S ；(2)设1,n n n n b S S n -=-⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前8项和8T .例62．（2022·全国·高三专题练习）数列{}n a 中，11a =，232a =，前n 项和n S 满足()2*12n n S S n n n ++=+∈N ． （1）证明：{}2n a 为等差数列； （2）求101S ．例63．（2022·广东深圳·高三阶段练习）已知数列{}n a 中，11a =，22a =，()1212n n n a a ++=-+，则1819a a =（ ） A ．3 B ．113C ．213D ．219例64．（2022·江苏无锡·模拟预测）已知数列{}n a 满足：12(1),=,2n n a n n a n n +-+⎧⎪⎨⎪⎩为奇数为偶数*()N n ∈ (1)求1a 、3a 、5a ；(2)将数列{}n a 中下标为奇数的项依次取出，构成新数列{}m b ()m ∈*N ， ①证明：m b m ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；②设数列+11m b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前m 项和为m S ，求证：12m S <．例65．（2022·四川成都·高三阶段练习（文））已知数列{}n a 的通项公式为221.n n n a n n +⎧=⎨+⎩，为奇数，，为偶数 (1)求数列2{}n a 的前n 项和n S ；(2)设21n n b a -=，求数列1{3}n n b -⋅的前n 项和n T ．例66．（2022·天津静海·高三阶段练习）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，52a ，4a ，64a 成等差数列，且满足2434a a =，等差数列数列{}n b 的前n 项和n S ，246b b +=，410S =(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设()()n n n n b n c a b n ⎧⎪=⎨⋅⎪⎩为奇数为偶数 ，求数列{}n c 的前2n 项和. (3)设252123n n n n n b d a b b +++=，*n ∈N ，{}n d 的前n 项和n T ，求证：13n T <.例67．（2022·四川·树德中学高一阶段练习）数列{}n a 满足1(1)1nn n a a n ++-=+，则{}n a 前40项的和______．例68．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（理））已知数列{}n a 满足12a =，24a =，2(1)3+-=-+n n n a a ，则数列{}n a 的前20项和为___________.【方法技巧与总结】对于奇偶项通项不统一的数列的求和问题要注意分类讨论．主要是从n 为奇数、偶数进行分类． 题型八：对于含绝对值的数列求和问题例69．（2022·全国·高三专题练习（文））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1170,2S a ==．(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求1001k k a =∑的值．例70．（2022·山西大附中三模（文））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，123n =，，，， 从条件①、条件②和条件③中选择两个能够确定一个数列的条件，并完成解答．（条件①：55a =； 条件②：12n n a a +-=； 条件③：24S =-.） 选择条件 和 ． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 满足n n b a =，并求数列{}n b 的前n 项的和n T例71．（2022·全国·高三专题练习）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，17a =-，26a =-，()11N ,R n n a ka n k *+=+∈∈. (1)证明数列{}n a 为等差数列，并求通项公式n a ； (2)记123n n T a a a a =++++，求20T .例72．（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列{}n a 的前n 项和233n S n n =-.(1)求{}n a 的通项公式． (2){}n a 的前多少项和最大？(3)设n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S '.【方法技巧与总结】由正项开始的递减等差数列{}n a 的绝对值求和的计算题解题步骤如下： （1）首先找出零值或者符号由正变负的项0n a（2）在对n 进行讨论，当0≤n n 时，=n n T S ，当>n 0n 时，02=-n n n T S S题型九：利用等差、等比数列的单调性求解例73．（2022·上海市实验学校高三阶段练习）已知等差数列{}n a 是递增数列，且1233a a a ++≤，7338a a -≤，则4a 的取值范围为___________.例74．（2022·全国·高三专题练习（理））已知递增数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足212n n S S n n ++=+（n *∈N ），则首项1a 的取值范围为__________．例75．（2022·上海徐汇·高三阶段练习）已知等差数列{}n a 的公差3d =，n S 表示{}n a 的前n 项和，若数列{}n S 是递增数列，则1a 的取值范围是________.例76．（2022·浙江·高三专题练习）已知数列{}n a 的首项为11a =，2a a =，且121(2,)n n a a n n n N *++=+≥∈，若数列{}n a 单调递增，则a 的取值范围为（ ） A ．12a <<B ．23a <<C ．3522a <<D ．1322a <<例77．（2022·辽宁丹东·高二期末）已知等差数列{}n a 的公差为d ，若{}n a 为递增数列，则（ ） A ．0d >B ．0d <C ．10a d >D ．10a d <例78．（2022•江西二模）已知函数6(3)3(7)()(7)x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩若数列{}n a 满足()()n a f n n N +=∈，且{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是 .例79．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列{}n a 的公差为d ，则“0d >”是“数列{}n a 为单调递增数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件例80．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 是首项为a ，公差为1的等差数列，数列{}n b 满足1.nn na b a +=若对任意的*n ∈N ，都有6n b b ≥成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]6,5--B ．()6,5--C ．[]5,4--D ．()5,4--【方法技巧与总结】（1）在处理数列的单调性问题时应利用数列的单调性定义，即“若数列{}n a 是递增数列*⇔∀∈n N ，1+≥n n a a 恒成立”．（2）数列()=n a f n 的单调性与()=y f x ，[)1,∈+∞x 的单调性不完全一致．一般情况下我们不应把数列的单调性转化为相应连续函数的单调性来处理．但若数列对应的连续函数是单调函数，则可以借助其单调性来求解数列的单调性问题．即“离散函数有单调性/⇒连续函数由单调性；连续函数有单调性⇒离散函数有单调性”．题型十：等差数列中的范围与最值问题例81．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列{}1n a a 为递减数列，则（ ） A ．0d <B ．0d >C ．10a d >D ．10a d <例82．（2022·青海·模拟预测（理））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足190S >，200S <，若数列{}n a 满足10m m a a +⋅<，则m ＝（ ） A ．9B ．10C ．19D ．20例83．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（理））数列{}n a 为等差数列，前n 项的和为n S ，若10110a <，101110120a a +>，则当0n S <时，n 的最大值为（ ）A ．1011B ．1012C ．2021D ．2022例84．（2022·全国·高三专题练习）已知{}n a 为等差数列，22120212022202120220,0,0>⋅-<>a a a a a ，则使数列{}n a 的前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是（ ） A ．2021B ．4044C ．4043D ．4042例85．（2022·江苏淮安·模拟预测）已知等差数列(n a }的前n 项和为n S ，若7800S S ><，，则1a d的取值范围是（ ） A ．()3,-+∞ B ．()7,3,2⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭C ．7,32⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．7,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭例86．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列{}n a 的公差为d ，其前n 项和为n S ，且513S S =，6140a a +<，则使得0n S <的正整数n 的最小值为（ ） A ．18B ．19C ．20D ．21例87．（2022·江西·二模（文））己知等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，若公差()()1291390,0d S S S S >--<，则（ ） A ．110a = B ．1112a a = C ．1112a a >D ．1112a a <例88．（2022·河南·鹤壁高中模拟预测（文））设正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若20132013S =，则2201211a a +的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．8例89．（2022·河南·模拟预测（文））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且460S S =≠，则（ ） A ．50a =B ．460a a +<C ．100S =D ．2110S S +<例90．（2022·河南·宝丰县第一高级中学模拟预测（理））已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且满足80S >，90S <，12231n n n T a a a a a a +=++⋅⋅⋅+，若对任意的正整数n ，恒有n k T T ≥，则正整数k 的值是（ ）A ．1B ．4C ．7D ．10例91．（2022·北京丰台·二模）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若230S S <<，则下列结论中正确的是（ ） A ．30a < B ．210a a -< C ．230a a +<D．4a >例92．（2022·全国·高三专题练习）已知公差非零的等差数列{}n a 满足38a a =，则下列结论正确的是（ ） A ．110S =B ．*11()110N n n S S n n -=≤≤∈,C ．当110S >时，5n S S ≥D ．当110S <时，5n S S ≥例93．（2022·全国·高三专题练习）在等差数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，10a >，670a a <，则无法判断正负的是（ ） A ．11SB ．12SC ．13SD ．14S例94．（2022·浙江省杭州第二中学模拟预测）已知等差数列{}n a 公差不为0，正项等比数列{}n b ，22a b =，1010a b =，则以下命题中正确的是（ ）A ．11a b >B ．55a b >C ．66a b <D ．1717a b >例95．（2022·广东广州·模拟预测（理））首项为﹣21的等差数列从第8项起开始为正数，则公差d 的取值范围是（ ）A ．d >3B ．d 72<C ．3≤d 72<D ．3<d 72≤例96．（2022·湖南师大附中高三阶段练习（理））设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项的积为n T ，并且满足条件11a >，91010a a ->，910101a a -<-，则使1n T >成立的最大自然数n 的值为（ ） A ．9 B ．10 C ．18D ．19例97．（2022·全国·高三专题练习）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，给出下列五个命题：①公差0d <；②110S <；③120S >；④数列{}n S 中的最大项为11S ；⑤67a a > 其中正确命题的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5例98．（2022·湖北武汉·高三期末（理））若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，其首项10a >，991000a a +>，991000a a ⋅< ，则使0n S >成立的最大自然数n 是（ ）A ．198B ．199C ．200D ．201例99．（2022·全国·高三专题练习）在等差数列{}n a 中，其前n 项和是n S ，若90S >，100S <，则在912129,,,S S S a a a ⋯中最大的是（ ） A ．11S a B ．88S a C ．55S a D ．99S a 例100．（2022·全国·高二课时练习）等差数列的前n 项和为n S ，若130S <，120S >，则此数列中绝对值最小的项所在的项数为（ ）． A ．第5项B ．第6项C ．第7项D ．无法确定例101．（2022·全国·高二课时练习）在各项均为正数的等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，7S =14，则2614t a a =+的最小值为（ ） A ．9B ．94C ．52D ．2【过关测试】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

专题01 集合【考点预测】 1、元素与集合（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.（2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为：∈和∉. （3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（venn 图）. （4）常见数集和数学符号①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合{1,2,3,4,5}A =，可知1A ∈,在该集合中，6A ∉,不在该集合中；②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的. 集合{,,}A a b c =应满足a b c ≠≠.③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。

集合{1,2,3,4,5}A =和{1,3,5,2,4}B =是同一个集合. ④列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.⑤描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 2、集合间的基本关系（1）子集（subset ）：一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集 ，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 包含于B ”（或“B 包含A ”）.（2）真子集（proper subset ）：如果集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，且x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作AB （或B A ⊃≠）.读作“A 真包含于B ”或“B 真包含A ”. （3）相等：如果集合A 是集合B 的子集（A B ⊆，且集合B 是集合A 的子集（B A ⊆），此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此，集合A 与集合B 相等，记作A B =. （4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅；∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 3、集合的基本运算（1）交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作AB ，即{|,}A B x x A x B =∈∈且．（2）并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的并集，记作AB ，即{|,}A B x x A x B =∈∈或．（3）补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作U C A ，即{|,}U C A x x U x A =∈∉且． 4、集合的运算性质 （1）A A A =，A ∅=∅，A B B A =． （2）A A A =，A A ∅=，A B BA =．（3）()U AC A =∅，()U A C A U =，()U U C C A A =．【方法技巧与总结】（1）若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有21n -个，非空子集有21n -个，非空真子集有22n -个．（2）空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集． （3）U U A B A B A A B B C B C A ⊆⇔=⇔=⇔⊆．（4）()()()U U U C AB C A C B =,()()()U U U C A B C A C B =．【题型归纳目录】 题型一：集合的表示 题型二：集合元素的特征 题型三：集合的关系 题型四：集合的运算 题型五：集合与排列组合 题型六：新定义 【题型一】集合的表示 【典例例题】例1．（2022·安徽·芜湖一中三模（理））已知集合{}24A x x =≤，集合{}*1B x x N x A =∈-∈且，则B =（ ） A ．{}0,1B ．{}0,1,2C ．{}1,2,3D ．{}1,2,3,4【方法技巧与总结】1.列举法，注意元素互异性和无序性2.描述法，注意准确理解集合元素，能理解不同符号的元素例2．（2022·山东聊城·二模）已知集合{}0,1,2A =，{},B ab a A b A =∈∈，则集合B 中元素个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5例3．（2022·安徽·寿县第一中学高三阶段练习（理））设集合{}2|60A x x x x =--<∈Z ，，(){}2|ln 1B y y x x A ==+∈，，则集合B 中元素个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．无数个例4．（2022·湖南·岳阳一中一模）定义集合,A B 的一种运算：2{|,,}A B x x a b a A b B ⊗==-∈∈，若{}1,0A =-，{}1,2B =，则A B ⊗中的元素个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4例5．（2022·山东济南·二模）已知集合{}1,2A =，{}2,4B =，{},,y C z z x x A y B ==∈∈ ，则C 中元素的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4例6．（2022·全国·高三专题练习）用()C A 表示非空集合A 中元素的个数，定义()(),()()()(),()()C A C B C A C B A B C B C A C A C B -≥⎧*=⎨-<⎩，已知集合{}2|0A x x x =+=，()(){}22|10B x x ax x ax =+++=，且1A B *=，设实数a 的所有可能取值构成集合S ，则()C S =（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【题型二】 集合元素的特征 【典例例题】例7．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知集合{}1,0,1A =-，{},B a b a A b A =+∈∈，则集合B =（ ） A ．{}1,1-B ．{}1,0,1-C ．{}2,1,1,2--D ．{}2,1,0,1,2--【方法技巧与总结】1.研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性。

专题25 等比数列及其前n 项和【考点预测】一．等比数列的有关概念（1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为1=+n na q a ． （2）等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项 ⇔a ，G ，b 成等比数列 ⇒ 2=G ab ． 二．等比数列的有关公式 （1）等比数列的通项公式设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为(0)≠q q ，则它的通项公式1111()(,0)-==⋅=≠n n n a a a q c q c a q q． 推广形式：－⋅=n m m n a a q（2）等比数列的前n 项和公式等比数列{}n a 的公比为(0)≠q q ，其前n 项和为111(1)(1)(1)11=⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩n n n na q S a a q a q q q q注①等比数列的前n 项和公式有两种形式，在求等比数列的前n 项和时，首先要判断公比q 是否为1，再由q 的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比q 是否为1时，要分1=q 与1≠q 两种情况讨论求解．②已知1,(1),≠a q q n （项数），则利用1(1)1-=-n n a q S q 求解；已知1,,(1)≠n a a q q ，则利用11-=-n n a a q S q 求解．③111(1)(0,1)111--==⋅+=-≠≠---n n n n a q a aS q kq k k q q q q，n S 为关于n q 的指数型函数，且系数与常数互为相反数．三．等比数列的性质 （1）等比中项的推广．若+=+m n p q 时，则=m n p q a a a a ，特别地，当2+=m n p 时，2=m n p a a a ．（2）①设{}n a 为等比数列，则{}n a λ（λ为非零常数），{}n a ，{}mna 仍为等比数列． ②设{}n a 与{b }n 为等比数列，则{b }n n a 也为等比数列．（3）等比数列{}n a 的单调性（等比数列的单调性由首项1a 与公比q 决定）．当101>⎧⎨>⎩a q 或1001<⎧⎨<<⎩a q 时，{}n a 为递增数列；当1001>⎧⎨<<⎩a q 或101<⎧⎨>⎩a q 时，{}n a 为递减数列．（4）其他衍生等比数列．若已知等比数列{}n a ，公比为q ，前n 项和为n S ，则： ①等间距抽取 2(1),,,,+++-p p t p t p n t a a a a 为等比数列，公比为t q ．②等长度截取 232,,,--m m m m m S S S S S 为等比数列，公比为m q （当1=-q 时，m 不为偶数）．【方法技巧与总结】（1）若*2() ， ， ， ，++∈==m n p q k m n p q k N ，则2＝＝⋅⋅m n p q k a a a a a ．（2）若{}n a ，{}n b （项数相同）是等比数列，则{}(0)≠n a λλ，1{}n a ，2{}n a ，{}⋅n n a b ，{}n na b 仍是等比数列．（3）在等比数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即23＋＋＋，，，⋯n n k n k n k a a a a 为 等比数列，公比为k q ．（4）公比不为－1的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则n S ，2-n n S S ，32-n n S S 仍成等比数列，其公比为n q ．（5）{}n a 为等比数列，若12＝⋅⋯n n a a a T ，则232，，，n n n n nT T TT T 成等比数列．（6）当0≠q ，1≠q 时，()·0－=≠n n S k k q k 是{}n a 成等比数列的充要条件，此时11=-a k q． （7）有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间 项的平方．（8）若{}n a 为正项等比数列，则{log }(c 0,c 1)>≠c n a 为等差数列． （9）若{}n a 为等差数列，则{c }(c 0,c 1)>≠n a 为等比数列． （10）若{}n a 既是等差数列又是等比数列{)⇔n a 是非零常数列． 【题型归纳目录】题型一：等比数列的基本运算 题型二：等比数列的判定与证明 题型三：等比数列项的性质应用 题型四：等比数列前n 项和的性质题型五：求数列的通项na 题型六：奇偶项求和问题的讨论题型七：等差数列与等比数列的综合应用 题型八：等比数列的范围与最值问题 题型九：等比数列的简单应用【典例例题】题型一：等比数列的基本运算例1．（2022·全国·高三专题练习）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，42S =，810S =，则{}n a 的公比为( ) A ．1BC ．2D ．4例2．（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高三阶段练习）等比数列{}n a 中，1476++=a a a ，36924++=a a a ．则{}n a 的公比q 为（ ）A ．2B ．2或2-C ．2-D ．3【解析】由题意，222316497,,===a a q a a q a a q2369147()∴++=++a a a a a a q 242∴=∴=±q q 例3．（2022·全国·高三专题练习）记n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，若314S =，12a =，则2514a a a a ++的值为（ ） A ．2B ．12C ．3D ．13例4．（2022·河南省浚县第一中学模拟预测（理））已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足23134a S a =-，则公比q ＝（ ）A ．12B ．2C ．13D ．3例5．（2022·广东江门·高三阶段练习）设等比数列{}n a 满足132410,5a a a a +=+=，则21222log log log n a a a +++=___________.例6．（2022·福建·厦门一中模拟预测）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若232S =，3134-=S a ，则6S =______．例7．（2022·全国·高三专题练习）已知一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了4个伙伴；第2天，5只蜜蜂飞出去，各自找回了4个伙伴，……按照这个规律继续下去，第20天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂（ ） A ．420只B ．520只C ． 20554-只D ． 21443-只例8．（2022·全国·高三专题练习）已知2、x 、8成等比数列，则x 的值为（ ） A ．4B ．4-C ．4±D ．5例9．（2022·全国·高三专题练习）在3和9之间插入两个正数后，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则这两个正数之和为（ ） A ．1132B ．1114C ．1102D ．10例10．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，若3692586,8,a a a b b b ++==则4819a ab b +的值是（ ） A ．12B ．1C ．2D ．4例11．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知等比数列{}n a 的公比13q =-，则1324a a a a ++ 等于（ ） A ．13-B ．13C ．3D ．3-例12．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（文））已知等差数列{}n a 中，其前5项的和525S =，等比数列{}n b 中，1132,8,b b ==则37a b =（ ） A ．54-或54B ．54-C ．45D ．54例13．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列{}n a 的前3项和为168，2542a a -=，则6a =（ ）A ．14B ．12C ．6D ．3例14．（2022·全国·高三专题练习）已知正项等比数列{}n a 满足3212a a a =+，若存在m a 、n a ，使得2116m n a a a ⋅=，则14m n+的最小值为（ ） A ．83B ．16C ．114 D ．32例15．（2022·全国·高三专题练习）在正项等比数列{}n a 中，1236a a a a =，且416a =，则10a =（ ） A ．1024B ．960C ．768D ．512例16．（2022·全国·高三专题练习）在公差不为0的等差数列{}n a 中，12312,,,,k k k a a a a a 成公比为3的等比数列，则3k =（ ） A ．14B ．34C ．41D ．86例17．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比为（ ） A ．12B ．14C ．3D ．13【方法技巧与总结】等比数列基本量运算的解题策略（1）等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量1a ，n ，q ，n a ，n S ， 一般可以“知三求二”，通过列方程（组）便可迎刃而解． （2）等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论：当1q =时，1n S na =；当1q ≠时，11(1)=11n n n q S a a qa q q --=--．题型二：等比数列的判定与证明例18．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））设数列{}n a 的前n 项和为n S ，24n n S a n =+-． (1)证明：数列{}1n a -是等比数列．(2)若数列12n n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前m 项和170513mT =，求m 的值． 例19．（2022·海南海口·二模）已知数列{}n a 的各项均为正整数且互不相等，记n S 为{}n a 的前n 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{}n a 是等比数列；②数列{}1n S +是等比数列；③()2111a a a =+． 注：如选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．例20．（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）已知正项数列{}n a 的前n 项和nn S Aq B =+，其中A ，B ，q 为常数.(1)若0A B +=，证明：数列{}n a 是等比数列； (2)若11a =，24n n a a +=，求数列{}n na 的前n 项和n T .例21．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 中，11a =，11,33,n n n a n n a a n n +⎧+⎪=⎨⎪-⎩为奇数为偶数，求证：数列232n a ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列.例22．（2022·全国·高三专题练习）设数列{}n a 满足()16N 4n n n a a n a *+-=∈-，其中11a =.证明：32n n a a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是等比数列；例23．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足11a =，23a =，21122(N*)n n n n a a a a n +++-=-∈．证明：数列1{}n n a a +-是等比数列，并求{}n a 的通项公式；例24．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足： 12nn n a a ++=，且111,23n n n a b a ==-⨯.求证：数列{}n b 是等比数列；例25．（2022·上海·模拟预测）在数列{}n a 中，115,342n n a a a n +==-+，其中N n *∈． (1)设2n n b a n =-，证明数列{}n b 是等比数列；(2)记数列{}n a 的前n 项和为n S ，试比较n S 与22022n +的大小．例26．（2022·全国·高三专题练习）记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，已知3451543,a a S a a S +==，数列{}n b 满足()*11322,N n n n b b n n --≥=∈+，且111b a =-.(1)求{}n a 的通项公式；(2)证明数列12n nb ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n b 的通项公式； 例27．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，12n n S a +=+． (1)证明：数列{}2n S -为等比数列；(2)记数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：2n T <．例28．（2022·吉林长春·模拟预测（理））已知数列{}n a 和{}n b 满足12a =，10b =，1231n n a b n ++=+，1231n n a b n ++=+．(1)证明：{}n n a b -是等比数列； (2)求数列{}n b 的前n 项和．例29．（2022·河北·模拟预测）已知数列{}n a 和{}n b 满足111113,,434,43422n n n n n n a b a a b b b a ++=-==-+=--．(1)证明：{}n n a b +是等比数列，{}n n a b -是等差数列； (2)求{}n a 的通项公式以及{}n a 的前n 项和n S ．例30．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知在数列{}n a 中11a =，113n n na a ++=. (1)令1134n n n b a -=-，证明：数列{}n b 是等比数列；(2)21123333n n n S a a a a -=++++，证明：43n n n S a n -=.例31．（2022·江西·赣州市第三中学模拟预测（文））已知数列{}n a 满足134a =，1312nn n a a a +=+. (1)证明：11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列； (2)设13n n n na ab +=，证明1238n b b b +++<.例32．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，990S =，1020a =，数列{}n b 满足16b =，134n n b b n +=-，n T 为数列{}n b 的前n 项和.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求证：数列{}1n n b a --为等比数列； （3）若3690n T -≥恒成立，求n 的最小值.例33．（2022·全国·高三专题练习）在数列{}n a 中，11a =，22a =，且2134n n n a a a ++=+. (1)证明：{}1n n a a ++是等比数列； (2)求数列{}n a 的通项公式.【方法技巧与总结】等比数列的判定方法（1）前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择、填空题中的判定． （2）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可． 题型三：等比数列项的性质应用例34．（2022·全国·高三专题练习）等比数列{}n a 中，若59a =，则3436log log a a +=（ ） A ．2B ．3C ．4D ．9例35．（2022·辽宁沈阳·三模）在等比数列{}n a 中，28,a a 为方程240x x π-+=的两根，则357a a a 的值为（ ）A ．B ．-C ．±D ．3π例36．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室二模（理））已知等比数列{}n a 的公比为2，前n 项和为n S ，若132a a +=，则4S =（ ）A ．135B ．4C ．235D ．6例37．（2022·全国·高三专题练习）在等比数列{}n a 中，如果1216a a +=，3424a a +=，那么78a a +=（ ） A ．40B ．36C ．54D ．81例38．（2022·陕西·长安一中一模（理））正项等比数列{}n a 满足：4321228a a a a +=++，则652a a +的最小值是 A ．64B ．32C ．16D ．8例39．（2022·全国·高三专题练习）在由正数组成的等比数列{}n a 中，若4563a a a = ，31323839log log log log a a a a +++ 的为A ．43B ．34C ．2D ．343例40．（2022·天津·一模）在等比数列{}n a 中，公比是q ，则“1q >”是“()*1N n n a a n +>∈”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件例41．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知{}n a 为等比数列，36457,8a a a a +=-=-，则27a a +=_________．例42．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））在正项等比数列{}n a 中，113a =，249a a =，记数列{}n a 的前n项积为n T ，9n T >，则n 的最小值为______例43．（2022·全国·高三专题练习（理））在各项都为正数的等比数列{}n a 中，已知101a <<，其前n 项之积为n T ，且126T T =，则n T 取最小值时，n 的值是___________．【方法技巧与总结】（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件、利用性质，特别是性质“若2m n p q k ==++，则2m n p q k a a a a a ⋅⋅＝＝．”，可以减少运算量，提高解题速度．（2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．题型四：等比数列前n 项和的性质例44．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列{}n a 的前n 项和32n n S a =⨯-，则=a ________．例45．（2022·全国·高三专题练习）等比数列{}n a 的前n 项和为4n n S c =-,则实数c =_______.例46．（2022·全国·高三专题练习）等比数列{}n a 前n 项和为n S ，若634SS =，则96S S =______. 例47．（2022·上海·高三专题练习）已知数列{}n a 、{}n b 均为正项等比数列，n P 、n Q 分别为数列{}n a 、{}n b 的前n 项积，且ln 57ln 2n n P n Q n -=，则33ln ln a b 的值为___________. 例48．（2022·全国·高三专题练习）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若63:1:2S S =，则93:S S =（ ） A ．1:2B ．2:3C ．3:4D ．1:3例49．（2022·全国·高三专题练习）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5-，3S ，6S 成等差数列，则96S S -的最小值为( ) A ．25B ．20C ．15D ．10例50．（2022·全国·高三专题练习）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789(a a a ++= )A ．144B ．81C ．45D ．63例51．（2022·全国·高三专题练习（文））等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若121n n S t -=⋅-，则t =（ ）A ．2B ．-2C ．1D ．-1例52．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列{}n a 的前n 项和122()+=+∈R n n S m m ，则242=+ma a （ ）A ．110-B ．110C ．120-D ．120【方法技巧与总结】（1）等比数列{}n a 中，所有奇数项之和S 奇与所有偶数项之和S 偶具有的性质，设公比为q ． ①若共有2n 项，则S q S =偶奇；②若共有21n +项，1S a q S -=奇偶．（2）等比数列{}n a 中，k S 表示它的前k 项和．当1q ≠-时，有232k k k k k S S S S S ⋯，，－，－也成等比数列，公比为k q ．题型五：求数列的通项n a例53．（2022·全国·高三专题练习）在数列{}n a 中，若12a =，1132n n n a a ++=+，则n a =（ ）A ．2n n ⋅B ．5122n -C ．1232n n +⋅-D ．11432n n -+⋅-例54．（2022·青海玉树·高三阶段练习（文））已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，若1222,10n n a a S +=-=，则{}n a 的通项公式为（ ） A ．34n n a =-B ．22n n a =+C ．2n a n n =+D ．231n a n =-例55．（2022·安徽·高考模拟（文））已知等比数列{}n a 的首项为2，前n 项和为n S ，且52440S S a -=+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .例56．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））2022北京冬奥会开幕式上，每个代表团都拥有一朵专属的“小雪花”，最终融合成一朵“大雪花”，形成了前所未有的冬奥主火炬，惊艳了全世界！（如图一），如图二是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是从一个正三角形开始，把每条边分成三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一个“雪花”状的图案．设原正三角形（图①）的边长为3，把图二中的①，②，③，④，……图形的周长依次记为1a ，2a ，3a ，4a ，…，得到数列{}n a ．(1)直接写出2a ，3a 的值；(2)求数列{}n a 的通项公式．例57．（2022·上海·高三阶段练习）治理垃圾是S 市改善环境的重要举措．去年S 市产生的垃圾量为200万吨，通过扩大宣传、环保处理等一系列措施，预计从今年开始，连续5年，每年的垃圾排放量比上一年减少20万吨，从第6年开始，每年的垃圾排放量为上一年的75%．(1)写出S 市从今年开始的年垃圾排放量与治理年数()*n n N ∈的表达式；(2)设n A 为从今年开始n 年内的年平均垃圾排放量．如果年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，则认为现有的治理措施是有效的；否则，认为无效，试判断现有的治理措施是否有效，并说明理由．【方法技巧与总结】 （1）等比数列的通项公式设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为(0)≠q q ，则它的通项公式1111()(,0)-==⋅=≠n n n a a a q c q c a q q． 推广形式：－⋅=n m m n a a q（2）等比数列的前n 项和公式等比数列{}n a 的公比为(0)≠q q ，其前n 项和为111(1)(1)(1)11=⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩n n n na q S a a q a q q q q题型六：奇偶项求和问题的讨论例58．（2022·全国·一模（理））已知数列{}n a 中，11a =，12nn n a a +=，则{}n a 的前200项和200S =_________.例59．（2022·全国·高三专题练习）已知数列}{n a 的前n 项和121n n S -=+，则数列}{n a 的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（ ） A ．12B ．2C ．172341D ．341172例60．（2022·全国·高三专题练习）已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的项数为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．16例61．（2022·山东师范大学附中模拟预测）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且111,21n n a a a n +=+=+.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记2,,n an nn b a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和n T .例62．（2022·天津·二模）已知数列{}n a 中，11a =，12nn n a a +=，令2n n b a =．(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)若n n c n ⎧⎪=为偶数，为奇数，求数列{}n c 的前23项和．例63．（2022·全国·模拟预测）已知数列{}n a 满足11a =，1,,2,.n n na n a a n +⎧=⎨⎩为奇数为偶数 (1)令2n n b a =，求1b ，2b 及{}n b 的通项公式； (2)求数列{}n a 的前2n 项和2n S .例64．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学三模）已知数列{}n a ，{}n b ，已知对于任意*n N ∈，都有1n n a +=，数列{}n b 是等差数列，11b =，且25b +，41b +，63b -成等比数列． (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)记()*2,21,2n n n a n k c k N b n k =-⎧⎪=∈⎨=⎪⎩．（ⅰ）求13213212log log ni i i c c =-+⋅∑；（ⅰ）求211nk k k c c +=∑．例65．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）已知公差不为零的等差数列{}n a 满足24692,,,a a a a =成等比数列．数列{}n b 的前n 项和为n S ，且满足()22N n n S b n *=⋅-∈(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设数列{}n c满足21,n n n n a a c n +⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ．【方法技巧与总结】求解等比数列的前n 项和n S ，要准确地记住求和公式，并合理选取公式，尤其是要注意其项数n 的值；对于奇偶项通项不统一问题要注意分类讨论．主要是从n 为奇数、偶数进行分类．题型七：等差数列与等比数列的综合应用例66．（2022·北京市玉渊潭中学高三阶段练习）已知123,,a a a 为一等差数列，123,,b b b 为一等比数列，且这6个数都为实数.则下面四个结论中正确的是（ ） ①12a a <与23a a >可能同时成立 ②12<b b 与23b b >可能同时成立 ③若120a a +<，则230a a +< ④若120b b <，则230b b < A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③例67．（2022·浙江省杭州第二中学模拟预测）已知等差数列{}n a 公差不为0，正项等比数列{}n b ，22a b =，1010a b =，则以下命题中正确的是（ ）A ．11a b >B ．55a b >C ．66a b <D ．1717a b >例68．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，{}n b 是正项等比数列，若11a b =，77a b =，则（ ）A ．44a b =B ．55a b <C ．88a b >D ．99a b <例69．（2022·全国·高三专题练习）已知{}n a 为等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且223344a b a b b a -=-=-．(1)证明：11a b =；(2)求集合{}1,1500k m k b a a m =+≤≤中元素个数．例70．（2022·浙江·模拟预测）已知数列{}n a 是公差为2的等差数列，数列{}n b 是首项为2的等比数列，且12323,3a a b b a +=+=．设数列{}n c 满足,2,2kn n k na n cb n ⎧≠=⎨=⎩，其中k *∈N ，其前n 项和为n S ． (1)求2nS 的值．(2)若213n n d S =-，求证：1231118n d d d d ++++<． 例71．（2022·山东潍坊·模拟预测）已知公差为正数的等差数列{}n a ，2a 与8a 的等差中项为8，且3728a a =． (1)求{}n a 的通项公式；(2)从{}n a 中依次取出第1项、第3项、第9项、…、第13n -项，按照原来的顺序组成一个新数列{}n b ，求数列{}n b 的前n 项和n S ．例72．（2022·吉林市教育学院模拟预测（理））在①3123b a a a =++，②313S =这两个条件中，任选一个补充在下面的问题中，并解答．已知正项等差数列{}n a 满足23a =，且235,1,3++a a a 成等比数列． (1)求{}n a 的通项公式；(2)已知正项等比数列{}n b 的前n 项和为n S ，11b a =，_________，求n S ． 注：如果选择两个条件并分别作答，按第一个解答计分．【方法技巧与总结】（1）等差数列与等比数列的相互转化：等差数列通过指数运算转化为正项等比数列，正项等比数列通过对数运算转化为等差数列．（2）等差数列和等比数列的交汇，若一个数列既是等差数列又是等比数列，则该数列为非零常数数列． 题型八：等比数列的范围与最值问题例73．（2022·安徽·蚌埠二中二模（理））已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列判断一定正确是 A ．若30S >，则20180a >B ．若30S <，则20180a <C ．若21a a >，则20192018a a >D ．若2111a a >，则20192018a a < 例74．（2022·全国·高三专题练习）设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并满足条件11a >，202120220a a >，()()20212022110a a --<，下列结论正确的是（ ） A ．202320211a a >B ．202220211S S ->C ．数列{}n S 存在最大值D ．2021T 是数列{}n T 中的最大值例75．（2022·全国·高三专题练习）设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项之积为n T ，并且满足条件：11a >，201920201a a >，20192020101a a -<-，给出下列结论：①01q <<；② 2019202110a a ->；③2019T 是数列{}n T 中的最大项；④使1n T >成立的最大自然数等于4039；其中正确结论的序号为（ ）A ．①② B ．①③ C ．①③④D ．①②③④例76．（2022·北京房山·高三开学考试）已知等比数列{}n a 中，1n n a q +=，那么“01q <<”是“1a 为数列{}n a 的最大项”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件例77．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知数列{}n a 满足+1e e 1n n a a n a ⋅=-，且{}11,=n a S 是数列{}n a 的前n项和，则（ ） A ．数列{}n a 单调递增 B ．20222<SC ．2022202120232>+a a aD ．91023⎛⎫< ⎪⎝⎭a例78．（2022·全国·模拟预测（文））设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，31a =．记()121,2,n n T a a a n ==，下列说法正确的是（ ）A ．数列{}n a 的公比为13-B ．272n S ≥C ．n T 存在最大值，但无最小值D．()234n n n n T a -++=例79．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列{}n a 满足10a >，公比1q >，且1220231a a a ⋅⋅⋅<，1220241a a a ⋅⋅⋅>，则（ ）A ．20241a >B ．当2022n =时，12n a a a ⋅⋅⋅最小C ．当1012n =时，12n a a a ⋅⋅⋅最小D ．存在1012n <，使得12n n n a a a ++=例80．（多选题）（2022·湖南怀化·一模）设{}()*n a n N ∈是各项为正数的等比数列，q 是其公比，nK是其前n 项的积，且56678,K K K K K <=>，则下列选项中成立的是（ ）A ．01q <<B ．71a =C ．95K K >D ．6K 与7K 均为n K 的最大值例81．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1220a a +=，334S =，且2n a S a ≤≤+，则实数a 的取值范围是（ ） A ．0,1B ．[]1,0-C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦题型九：等比数列的简单应用例82．（2022·河南·模拟预测（理））北京2022年冬奥会开幕式用“一朵雨花”的故事连接中国与世界，传递了“人类命运共同体”的理念．“雪花曲线”也叫“科赫雪花”，它是由等边三角形三边生成的科赫曲线组成的，是一种分形几何．图1是长度为1的线段，将图1中的线段三等分，以中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到图2，这称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，这称为“二次分形”；．依次进行“n 次分形()*n ∈N ”．规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度．若要得到一个长度不小于40的分形图，则n 的最小值是（ ）（参考数据lg30.477≈，lg20.301≈）A ．11B ．12C ．13D ．14例83．（2022·四川·宜宾市教科所三模（理））如图，作一个边长为1的正方形，再将各边的中点相连作第二个正方形，依此类推，共作了n 个正方形，设这n 个正方形的面积之和为n S ，则5S =（ ）A ．1716B ．3116C ．6332D ．3332例84．（2022·全国·高三专题练习）在适宜的环境中，一种细菌的一部分不断分裂产生新的细菌，另一部分则死亡.为研究这种细菌的分裂情况，在培养皿中放入m 个细菌，在1小时内，有34的细菌分裂为原来的2倍，14的细菌死亡，此时记为第一小时的记录数据.若每隔一小时记录一次细菌个数，则细菌数超过原来的10倍的记录时间为第（ ） A ．6小时末B ．7小时末C ．8小时末D ．9小时末例85．（2022·海南中学高三阶段练习）十九世纪下半叶，集合论的创立莫定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征．仿照“康托三分集”我们可以构造一个“四分集”，其操作过程如下：将闭区间[0,1]均分为四段，去掉其中的区间段11,42⎛⎤⎥⎝⎦记为第一次操作；再将剩下的三个间11330,,,,,14244⎡⎤⎛⎤⎛⎤⎢⎥⎥⎥⎣⎦⎝⎦⎝⎦分别均分为四段，并各自去掉第二个区间段，记为第二次操作；……如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为四段，同样各自去掉第二个区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“四分集”．第三次操作去掉的区间长度和为________；若使去掉的各区间长度之和不小于1920，则需要操作的次数n 的最小值为________（参考数据：lg 20.30,lg30.48≈≈） 例86．（2022·全国·华中师大一附中模拟预测）已知数列{}n a 为1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是02，接下来的两项是02，12，再接下来的三项是02，12，22，依此规律类推．若其前n 项和()*2N k n S k =∈，则称k 为{}n a 的一个理想数．将{}n a 的理想数从小到大依次排成一列，则第二个理想数是______；当{}n a 的项数2022n ≤时，其所有理想数的和为______．例87．（2022·江苏南通·模拟预测）雪花曲线是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从图①的正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边得到图②，重复进行这一过程可依次得到图③、图④等一系列“雪花曲线”．① ② ③ ④若第①个图中的三角形的边长为1，则第②个图形的面积为___________；第n 个图中“雪花曲线”的周长Cn 为___________．【过关测试】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。