下载文档原格式
利用EXCE的规划求解进行求解威布尔分布参数
由于威布尔分布的可以描述独立同分布变量的分布，经常被用于不同
概率密度函数模型之间的相互比较，因此其参数估计一直是建模分析的重
要环节，使用EXCEL可以规划求解威布尔分布参数，我们以以下案例来求
解该分布参数：
假设有一组随机样本x(1),x(2),…,x(n)，满足威布尔分布，想对α
和β参数进行估计，那么我们可以使用下面的方法：
1.首先，使用EXCEL编写对数似然函数，其表达式为：
lnL=ln[αβ^(α+n)]+α∑lnx-β∑x-nlnβ
这里α,β为待求参数。
2.编写规划过程求解α、β估计值。
具体而言，我们需要构建EXCEL规划模型，使得对数似然函数最大，而其估计值α、β即为结果。
我们以EXCEL求解威布尔分布参数为例，指导将这一过程编写如下：
1.首先，在EXCEL中编写对数似然函数，其表达式为：
lnL=ln[αβ^(α+n)]+α∑lnx-β∑x-nlnβ
这里α,β为待求参数，其取值范围通常设置为大于0小于100，因此，可以将参数α作为变量编写入EXCEL规划模型，即：
MIN = lnL
S.T.0 < α < 100 and0 < β < 100
2.在EXCEL中编写对数似然函数，其表达式为：
lnL=ln[αβ^(α+n)]+α∑lnx-β∑x-nlnβ
其中α,β为待求参数，α ∑ lnx 为样本的对数期望值， -β ∑x 为样本的期望值，而n ln β 为测量方差。
威布尔分布函数韦布尔分布，即韦伯分布（Weibull distribution），又称韦氏分布或威布尔分布，是可靠性分析和寿命检验的理论基础。
威布尔分布在可靠性工程中被广泛应用，尤其适用于机电类产品的磨损累计失效的分布形式。
由于它可以利用概率值很容易地推断出它的分布参数，被广泛应用于各种寿命试验的数据处理。
历史（History）1. 1927年，Fréchet(1927)首先给出这一分布的定义。
2. 1933年，Rosin和Rammler在研究碎末的分布时，第一次应用了韦伯分布（Rosin, P.; Rammler, E. (1933), "The Laws Governing the Fineness of Powdered Coal", Journal of the Institute of Fuel 7: 29 - 36.）。
3. 1951年，瑞典工程师、数学家Waloddi Weibull（1887-1979）详细解释了这一分布，于是，该分布便以他的名字命名为Weibull Distribution。
定义从概率论和统计学角度看，Weibull Distribution是连续性的概率分布，其概率密度为：其中，x是随机变量，λ>0是比例参数（scale parameter），k>0是形状参数（shape parameter）。
显然，它的累积分布函数是扩展的指数分布函数，而且，Weibull distribution与很多分布都有关系。
如，当k=1，它是指数分布；k=2且时，是Rayleigh distribution（瑞利分布）。
性质（Properties）均值（mean），其中，Г是伽马（gamma）函数。
方差（variance）偏度（skewness）峰度（kurtosis）应用工业制造研究生产过程和运输时间关系。
极值理论预测天气可靠性和失效分析雷达系统对接受到的杂波信号的依分布建模。
3.1威布尔预测模型的建立Weibull (威布尔)于1939年提出的统计分布模型已成为生命试验和可靠性理论研究的基础。
该模型的分布密度表示为：)/(1)(βααβαx ex x f --=（1） 式中 f (x)——威布尔分布的分布密度函数；x ——分布变量，根据实际问题，分布区间为0~∞； α——控制分布形态的形状参数； β——控制分布峰位和峰值的尺度参数。
若对(l)式进行积分，在x 为0~∞区间内，可以得到Weibu11的分布函数值等于1，推证如下：1)/()()(0)/(0)/(00=-=--===∞-∞-∞∞⎰⎰⎰βαββααααββαx x x x x x x x f x F ed ed e d )/(--1 （2） 为将Weibull 分布模型用于油气田开发指标的预测，将(l)式改写为)/(1βααβαtt C Q --=e (3)式中 Q ——油气田的年产量，104t/a （油）或108m 3/a （气）； t ——油气田的开发时间，a ；C ——由Weibull 分布模型转换为油气田开发实用模型的模型转换常数。
油气田的累积产量表达式为：⎰=tt Q N 0d p （4）式中 N P ——油气田的累积产量，104t 或108t(油)；108m(气)。
将（3）代入（4）式并考虑（2）式中的变量变换法，t 从0到t 积分得： ()1lp N C e αβ--⎡⎤=-⎣⎦（5）当t →∞时，()0le αβ--=，则p R N C N ==,因此（5）式又可改写为：()1lp R N N e αβ--⎡⎤=-⎣⎦（6）在得到上面的结果之后，便可对模型转换常数的性质和作用做这样的说明：由于Weibull 分布模型，在x 从0到∞区间的分布函数F （x ）=1.0,这相当于实际开发的油气田，在t 从0到∞区间的累积产量，即油气田的可采储量。
因此，为了能够得到（5）式的结果，就必须在（3）中引入模型转换常数C 。
EXCEL系统介绍及其应用吴继敏高正夏(河海大学土木工程学院南京 210098)1.概述EXCEL系统是一个WIND0WS应用程序,在WIND0WS上运行,并具有WIND0WS应用程序的一般特征,例如在EXCEL系统下制成的图表,可改变成任何尺寸复制到WIND0WS文本中去。
早在1985年,MICR0S0FT EXCEL一经问世,就被公认为是世界上功能最强大,技术最先进,使用最方便的电子表格软件。
据笔者多年的国外留学生活了解到,目前国外所有教学,科研,设计等部门都在运用这一系统从事日常的数据处理,绘制图表的工作；同时也有许多部门应用这一系统从事专门问题的研究,如法国波尔多第一大学地质应用中心,法国地矿局(BRGM),意大利GE0DATA公司(隧洞设计研究公司)等,也就是说,只要有明确的数学表达式,均能用该系统来实现所有的计算过程。
EXCEL目前的版本为7.0,共有三大功能：(1)电子表格,(2)图表,(3)数据库。
2.系统简介EXCEL的屏幕有大小两个窗口,其中大窗口是MICR0S0FT EXCEL应用程序窗口,包括文件(F)、编辑(E)、视窗(V)、插入(I)、格式(O)、工具(T)、数据(D)、窗口(W)、帮助(H)等次一级窗口;同时还包括一般工具栏,如文件管理,打印及预览,剪切及复制,函数指南,图表指南,图形及文字,操作指南等。
小窗口叫做工作簿窗口,标题为BOOK(文件名)。
所谓工作簿,是指EXCEL用来保存和处理工作数据的文件。
一本工作簿,拥有16张工作表,即SHEET1到SHEET16(英文),法文为FEUILLE,意大利文为FOGLI0(视原始版本而定)。
每一个工作表包括16384*256个单元格。
行地址是由上向下自1到16384编号；列地址是用字母标识的,从左到右,前26列单元格的列地址是A、B、C....Z,之后为AA、AB、AC...AZ,BA、BB、BC...BZ,直到IA、IB、IC...IV,也就是说,一个文件可以存放67,108,864个数据,或公式、字符,甚至是图形,声音等。
用Excel进行威布尔型产品可靠性数值仿真评估张仕念;张国彬;易当祥;颜诗源;杨艳妮【摘要】基于最小二乘法,利用Excel的已有甬数和单元格的引用,估计威布尔分布的参数(m)和(η),用RAND()函数产生的随机数和逆变法抽取服从分布参数为(m)和(η)的威布尔分布抽样样本,计算可靠度的一个抽样值,反复抽样,得到可靠度的分布密度函数,用SMALL()函数返回可靠度置信下限的仿真值.实例表明,仿真结果与计算结果很接近,用Excel进行可靠性数字仿真,可以避免繁杂的编程工作,方便实用.【期刊名称】《电子产品可靠性与环境试验》【年(卷),期】2012(030)004【总页数】4页(P43-46)【关键词】威布尔分布;可靠性;数字仿真【作者】张仕念;张国彬;易当祥;颜诗源;杨艳妮【作者单位】北京市清河大楼子八,北京 100085;北京市清河大楼子八,北京100085;北京市清河大楼子八,北京 100085;北京市清河大楼子八,北京 100085;北京市清河大楼子八,北京 100085【正文语种】中文【中图分类】TB114.3;TB115.20 引言可靠性仿真是将仿真技术应用于可靠性分析的一种方法，利用计算机技术对己经建好的系统可靠性模型进行仿真，得到一系列的仿真结果，能够解决常规的解析法很难奏效的部分可靠性问题。
可靠性仿真具有经济性好、应用范围广、通用性好、难度小、直观和保密等优点[1]。
Microsoft Excel是微软公司开发的电子表格软件，易学易用，使用范围广；Excel 2003就提供了财务、日期与时间、数学与三角函数、统计等九大类约300个函数，具有强大的计算、统计功能。
本文以服从威布尔分布的数据为例，利用Excel的、已有函数和单元格的引用，进行复杂的数值计算，利用RAND（）函数产生的随机数而引入随机因素，实现可靠性评估的数值仿真。
实例表明，用Excel进行可靠性评估的数字仿真，可以避免繁杂的编程工作，省时省力，方便实用，且仿真结果与计算结果十分接近。
威布尔分布是瑞典物理学家Weibull W.分析材料强度时在实际经验的基础上推导出来 的分布形式[1]，国内外大量研究表明，用三参数威布尔分布比用对数正态分布往往能更准确 地描述结构疲劳寿命或腐蚀损伤的概率分布[2]，物理意义更加合理；在以损耗为特征的机械 零件寿命评估中，采用三参数威布尔分布比采用二参数威布尔分布拟合精度更高。
因此，三 参数威布尔分布在强度与环境研究领域及机械零件磨损寿命评价中得到越来越广泛的应用。
在农业机械的强度设计中也经常要用到威布尔分布。
威布尔分布参数估计方法有很多， 国内外一直有人在进行相关研究[3-8]，现有几十种参 数估计方法，但多数只能用于形状参数和尺度参数的估计。
在众多的估计方法中，能用于三 参数估计的并不多，见诸文献的有极大似然估计法、最大相关系数优化法、概率权重矩法、 灰色估计法、图估计法等，除图估计法外，其他方法大都计算复杂，应用不便，即便是计算 机水平发达的今天，也只能通过Matlab 或其他计算机语言编程计算。
EXCEL 提供了超强的 数学运算、统计分析等实用程序 ，利用它的规划求解功能可以快速、高效地求解三参数威 布尔分布的参数估计问题。
2. 三参数威布尔分布模型 威布尔分布的寿命分布函数由下式给出 式中：m 称为形状参数，m>0；η 称为尺度参数，η>0；γ 称为位置参数，也称最小寿 命，表示产品在γ 以前不会失效，对于产品寿命有γ ≥ 0 ,γ =0 时退化为二参数威布尔分布； t 是产品的工作时间， t ≥ γ 。
当m<1 时， 由式( 3 ) 给出的失效率是递减型的，适合于建模早期失效；当m=1 时， 失效率为常数，即退化为指数分布，适合于建模随机失效；当m>1 时，失效率是递增的， 适合于建模磨耗或老化失效。
第1章威布尔分析1.1 引言：在所有可用的可靠性计算的分布当中，威布尔分布是唯一可用于工程领域的。
在1937，Waloddi Weibull教授（1887－1979）创造性的提出了该种分布，它是用于失效数据分析分布中应用最广泛的分布之一,也用于寿命数据分析，因为系统或部件的寿命周期的测量也需要分析。
一位瑞典的工程师和一位数学家潜心研究冶金的失效，威布尔教授曾指出正态分布要求冶金的初始强度服从正态分布,而情况并非如此。
他还指出对于功能需求可以包含各种分布，其中包括正态分布。
1951年他发表了代表作,“一个具有广泛适用性的统计分布函数”，威布尔教授声称寿命数据可以从威布尔分布族中选择最恰当的分布,然后用合适的参数进行合理准确的失效分析。
他列举七种不同的情况来证明威布尔分布可顺利用于很多问题的分析.对威布尔分布的最初反应是普遍诊断它太过完美以致于不真实。
尽管如此,失效数据分析领域的先驱们还是开始应用并不断改进，直到1975年，美国空军才认可了它的优点并资助了威布尔教授的研究。
今天，威布尔分析涉及图表形式的概率分析以找出对于一个给定失效模式下最能代表一批寿命数据的分布。
尽管威布尔分布在检测寿命数据以确定最合适的分布方面在世界范围内处于领先位置，但其它分布也会偶尔用于寿命数据分析包括指数分布，对数正态分布，正态分布，寿命数据有了对应的统计学分布,威布尔分析对预计产品寿命做了准备。
这种具代表性的样本分布用来估计产品的重要寿命特征，如可靠性，某一时刻的失效率，产品的平均寿命及失效率。
1.1.1威布尔分析的优点:威布尔分析广泛用于研究机械、化工、电气、电子、材料的失效，甚至人体疫病。
威布尔分析最主要的优点在于它的功能:⏹提供比较准确的失效分析和小数据样本的失效预测，对出现的问题尽早的制订解决方案.⏹为单个失效模式提供简单而有用的图表,使数据在不充足时，仍易于理解.⏹描述分布状态的形状可很好的选择相应的分布。
⏹提供基于威布尔概率图的斜率的物理失效的线索。
excel 威布尔函数威布尔函数是一种在Excel中常用的统计函数，用于分析随机事件的发生概率。
在本文中，我们将深入探讨威布尔函数的概念、用法和应用场景。
一、威布尔函数的概念威布尔函数是一种数学函数，用于描述随机事件的发生概率。
它的数学表达式为：=WEIBULL(x, alpha, beta, cumulative)。
其中，x 代表随机变量的值，alpha和beta是威布尔分布的参数，cumulative决定了函数是返回概率密度函数还是累积分布函数的值。
二、威布尔函数的用法威布尔函数在Excel中的使用非常简单。
首先，在一个单元格中输入函数的名称“WEIBULL”，然后在括号中依次输入随机变量的值x、alpha和beta的值，并选择是否返回概率密度函数或累积分布函数的值。
最后，按下回车键即可得到结果。
三、威布尔函数的应用场景威布尔函数在统计学中有着广泛的应用。
下面我们将介绍几个常见的应用场景。
1. 可靠性分析威布尔函数可以用于分析产品的可靠性。
通过输入产品的故障时间数据，可以计算出产品在不同时间点的故障概率。
这对于制定产品的维修计划和保修政策非常有帮助。
2. 寿命预测威布尔函数也可以用于预测产品的寿命。
通过输入产品的使用时间数据，可以预测出产品在未来某个时间点的失效概率。
这对于制定产品的更换计划和维护策略非常重要。
3. 风险评估威布尔函数还可以用于评估风险。
通过输入某个风险事件的发生次数数据，可以计算出在未来某个时间段内发生该风险事件的概率。
这对于企业的风险管理和决策非常有帮助。
四、威布尔函数的局限性和注意事项威布尔函数在使用过程中需要注意以下几点。
1. 参数的选择威布尔函数的结果受到参数的选择的影响。
不同的参数组合会导致不同的结果。
因此，在使用威布尔函数时，需要根据实际情况选择合适的参数。
2. 数据的准确性威布尔函数的结果依赖于输入的数据的准确性。
如果输入的数据不准确或不完整，那么得到的结果也会存在一定的误差。
威布尔分析软件PosWeibull威布尔分析软件PosWeibull，是由广州宝顺信息科技有限公司自主研发的软件。
PosWeibull可为企业提供一套全面的数据统计、可视化分析、专业预测和可靠性改进与提升工具，帮助企业和研究机构快速找出产品发展趋势与发展规律，快速定位问题根源，深度挖掘与发现数据价值，共享数据发现成果，实现数据驱动决策。
依托PosWeibull，可实现科学、精准、经济实施管理决策的目标。
PosWeibull的特色：（1）PosWeibull包含分布分析、寿命分析、加速寿命与退化分析、曲线拟合预测、多元曲线拟合预测、质量与过程控制、蒙特卡洛仿真、试验设计（DOE）、可靠性增长分析等功能模块。
PosWeibull不仅具备常规的数据统计、分析、预测功能，还具备专业的质量与可靠性数据分析功能、质量控制数据统计与分析功能以及试验设计能力。
（2）PosWeibull可用于故障数据、质保数据、试验数据、检测数据等不同来源数据的分析与预测，可适用于标准类型故障数据、批量/混合或竞争失效数据、间隔/分组或非破坏性测试试验数据、有限或破环性测试试验数据，适用于左删失、右删失、区间删失、零失效、批量失效等类型故障数据的分析。
适用于数值型、非数值型数据的分析。
（3）PosWeibull提供丰富、适用于各种场景分析需求的寿命数据分析方法，包括极大似然法（MLE）、中位秩方法（RRX、RRY）、修正极大似然法（MLE-RBA）、Kaplan-Meier方法、Crow-AMSAA-Duane方法、威布尔贝叶斯方法（Weibayes）等。
（4）PosWeibull提供近10种拟合精度判断依据，帮助全面分析拟合、分析结果的准确性。
（5）PosWeibull提供10多种分布类型的寿命分析，支持混合分布分析，三参数威布尔、四参数威布尔等多参数分布分析。
（6）提供可靠性增长、预测分析功能，可帮助进行产品可靠性预测及成本预测。
weibull分布函数公式
韦布尔分布，即韦伯分布（Weibull distribution），又称韦氏分布或威布尔分布，是可靠性分析和寿命检验的理论基础。
威布尔分布在可靠性工程中被广泛应用，尤其适用于机电类产品的磨损累计失效的分布形式。
由于它可以利用概率值很容易地推断出它的分布参数，被广泛应用于各种寿命试验的数据处理。
从概率论和统计学角度看，Weibull Distribution是连续性的概率分布，其概率密度为：
其中，x是随机变量，λ>0是比例参数（scale parameter），k>0是形状参数（shape parameter）。
显然，它的累积分布函数是扩展的指数分布函数，而且，Weibull distribution与很多分布都有关系。
如，当k=1，它是指数分布；k=2且时，是Rayleigh distribution（瑞利分布）。
