理论力学-静力学03

●
′ FR = (∑Fix )2 + (∑Fiy )2
r r ∑ Fix cos(F 'R , i ) = ′ FR
r r ∑ Fiy cos(F 'R , j ) = ′ FR
主矢作用点： 简化中心 主矩的计算方法与平面力偶系的计算方法相同。 主矩的计算
r M o = ΣM O ( Fi ) = Σ( xi Fyi − yi Fxi ) — 主矩解析表达式
物体上有多个力作用，将这些力向一点简化。
r r M1 = M0 (F ) 1 r r M2 = M0 (F2 )
M r r Mn = M0 (Fn )
平面汇交力系的合成： 平面力偶系的合成：
uur
r r ′ FR = ∑Fi′ = ∑Fi′
（3－1） （3－2）
r MO = ∑Mi = ∑MO (Fi )
合力作用线距简化中心MO
′ FR ≠ 0
′ FR = 0
MO = 0
MO ≠ 0 MO ≠ 0
′ FR
与简化中心的位置无关 与简化中心的位置无关
MO = 0
平衡
下面分别给以证明。
、
′ 1、当 FR ≠ 0, MO = 0
结果
结果为主矢
？
′ 2、当 FR ≠ 0, MO ≠ 0
结果为主矢
主矢
d=
MO FR′
Mo (FR ) = MO = ∑MO (Fi )
（a）
各力对同一点的矩可以用这些力的分 量（x轴和y轴）对同一点的矩代数和。
F2 y
x2
M O1 = x1 F1 y − y1 F1x = − ( − y1 ) F1 = y1 F1
y2
y1
F2 x
M O 2 = x2 F2 y − y2 F2 x
∑M (F ) = ∑(x F
r Q
y
FAx
l
FT
FAy
A
由（பைடு நூலகம்）和（2）式得
FAx = T cosα = 11.43kN
FAy = 2.1kN
α x B r P r Q
§3-2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
例3-3 悬臂吊车如图示，横梁AB长l＝2.5m；重量P＝1.2kN； 拉杆CB倾斜角α＝450，质量不计。载荷Q＝7.5kN； 求图示位置a＝2m时，拉杆的拉力和铰链A的约束反力。 4）其他形式平衡方程的求解 FAx − F cosα = 0 ∑Fx = 0 T r l MA F = 0 F sinα ⋅ l − P ⋅ − Qa = 0 ∑ T 2
A
l F = P ⋅ + Qa l ⋅ sinα = 13.2kN T 2
α x B r P r Q
§3-2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
例3-3 悬臂吊车如图示，横梁AB长l＝2.5m；重量P＝1.2kN； 拉杆CB倾斜角α＝450，质量不计。载荷Q＝7.5kN； 求图示位置a＝2m时，拉杆的拉力和铰链A的约束反力。 解： 2） 写平衡方程 C （1） FAx − F cosα = 0 Fx = 0 ∑ T
第三章 平面任意力系
第三章 平面任意力系
§3-1 平面任意力系的简化 §3-2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程 §3-3 物体系的平衡 静定和超静定问题
第三章 平面任意力系
【本章重点内容】
力线平移定理 平面任意力系向作用面内一点简化 平面任意力系简化结果分析 平面任意力系的平衡条件与平衡方程应用
由第一个图：各力对O点的力矩等于MO， 由第四个图：FR力对O点的力矩也等于MO， 合力矩定理： 平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系 中各力对同一点的矩的代数和。
§3-1 平面任意力系的简化 四、合力矩定理 平面一般力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系 中各力对同一点的矩的代数和。 合力矩定理表达式：
r MB = MB (F) = Fd
§3-1 平面任意力系的简化
一、力线平移定理 力线平移定理: 力线平移定理
§3-1 平面任意力系的简化
一、力线平移定理
y
例3-1 已知：力P、轮A的直径d, 将图示力P分解后，向轴线平移。
M
解：1)建立坐标系
x z
A
B
2)将力P分解成Pz和Py分量
Py Pz θ P
′ FRy = ∑F = −P − P − F2 sinθ = −670.1kN iy 1 2
r MO = ∑ MO (F ) = −3F −1.5P − 3.9P = −2355kN i 1 1 2
（2）、求合力作用线方程 ）、求合力作用线方程
v ′ ′ M o = M o ( FR ) = xFRy − yFRx = xFRy − yFRx
第三章 平面任意力系
§3-1 平面任意力系的简化
§3-1 平面任意力系的简化 平面任意力系 ： 作用在物体上诸力的作用线都分布在同一平面 内，既不汇交于同一点，也不完全平行，这种力系 称为平面任意力系。
§3-1 平面任意力系的简化
一、力线平移定理
力线平移定理: 力线平移定理 作用在刚体上的力F 可以平行移到刚 体内任一点，但必须同时附加一个力偶， 其力偶矩等于原力F 对平移点的矩。
FR′ = (∑ Fx )2 + (∑ Fy )2
MO = ∑MO (Fi )
§3-2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
一、平面任意力系的平衡条件
uur FR = 0
因为
MO = ∑ MO
( )
ur Fi = 0
FR′ = (∑ Fx )2 + (∑ Fy )2
MO = ∑MO (Fi )
∑Fx = 0 ∑Fy = 0 ∑Mo = 0
′ FRx = ∑F = F − F2 cosθ = 232.9kN； ix 1
′ FRy = ∑F = −P − P − F2 sinθ = −670.1kN iy 1 2
′ FR = (∑Fix ) + (∑Fiy ) = 709.4KN
2 2
P1
θ
F2
F1
P2
v v FRx ′ ′ cos( FR , i ) = ′ FR
即
−2355 = x ( −670.1) − y ( 232.9)
有：
607.1x + 232.9 y − 2355 = 0
第三章 平面任意力系
§3-2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
§3-2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
一、平面一般力系的平衡条件 物体在平面一般力系的作用下平衡的充分和必要条 件是：力系的主矢和力系对任意点的主矩都等于零。 r FR = 0 ′ 即 （3-5） Mo = 0 主矢和力系对任意点的主矩分别为：
r MO = ∑ MO (F ) = −3F −1.5P − 3.9P = −2355kN i 1 1 2
Mo 2355 d= = = 3.3197m ' F 709.4 R
x=
d = 3.514m 0 0 cos ( 90 − 70.84 )
§3-1 平面任意力系的简化 解：
′ FRx = ∑F = F − F2 cosθ = 232.9kN； ix 1
∑F
FAy − P − Q + FT sinα = 0 （2） r l MA ( F ) = 0 F sinα ⋅ l − P ⋅ − Qa = 0 （3） ∑ T 2 3）解平衡方程
y
=0
A
l 2
a
α r P
B
l F = P ⋅ + Qa l ⋅ sinα = 13.2kN T 2
Mo = FR′d
′ FR = FR
主矢
§3-1 平面任意力系的简化 三、平面任意力系的简化结果分析
′ 3、当 FR = 0, MO ≠ 0
若为O1点，如何?
结果为主矩
′ 4、当 FR = 0, MO = 0
结果为平衡
§3-1 平面任意力系的简化 四、合力矩定理 通过对简化结果的分析，当主矢和主矩都不为零时，
F2 = 70kN; 求：
v (1) 力系合力 FR 及其作用线 与 OA 交点到 O 点的距离 x
(2) 合力作用线方程
θ
解： F2垂直与AC 边
cos θ = 9 2.7 2 + 92 = 0.102 sin θ = 2.7 2.7 + 9
2 2
= 0.031
§3-1 平面任意力系的简化 解： ）、求合力及其作用线位置.(向 点简化） 求合力及其作用线位置.( （1）、求合力及其作用线位置.(向o点简化）
C
( )
r l MB F = 0 Q( l − a) + P ⋅ − FAy ⋅ l = 0 ∑ 2
( )
A
l 2
a
α r P
B
r Q
求解结果相同：
l F = P ⋅ + Qa l ⋅ sinα = 13.2kN T 2
y
FAx
l
FT
FAy
A
α
x
B
FAx = T cosα = 11.43kN
●
=
=
≠
=
§3-1 平面任意力系的简化 三、平面任意力系的简化结果分析 通过分析，平面任意力系的简化得到主矢和主矩。
r 主矢 FR = ∑Fi ′
r 主矩 MO = ∑MO (Fi )
=
当主矢和主矩为零或非零时，其结果如何？
§3-1 平面任意力系的简化 三、平面任意力系的简化结果分析 考虑主矢、主矩分别不为零和为零情况的结果。 主矢 主矩 最后结果 合力 合力 合力偶 说明 合力作用线过简化中心