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线代一章1节

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线性代数讲义正式版

线性代数讲义正式版
郑老师线代核心讲义
目录 第一章 行列式........................................................................................................................................ 1
第一节：基本概念.......................................................................................................................... 1 第二节：行列式的基本性质与计算.............................................................................................. 1 第三节：典型例题精讲.................................................................................................................. 2 第二章 矩阵.......................................................................................................................................... 5 第一节：基本概念.......................................................................................................................... 5 第二节：几种特殊矩阵.................................................................................................................. 5 第三节：矩阵基本运算与公式性质.............................................................................................. 6 第四节：初等变换与初等矩阵...................................................................................................... 8 第五节：求逆矩阵........................................................................................................................ 10 第六节：矩阵的秩........................................................................................................................ 12 第七节：矩阵的性质.................................................................................................................... 13 第三章 向量........................................................................................................................................ 18 第一节：基本概念........................................................................................................................ 18 第二节：向量组的性质................................................................................................................ 19 第三节：向量组的秩与向量组等价............................................................................................ 23 第四章 线性方程组............................................................................................................................ 26 第一节：基本概念........................................................................................................................ 26 第二节：基本结论........................................................................................................................ 26 第三节：线性方程组解的结构.................................................................................................... 27 第四节：具体线性方程组的通解的求法.................................................................................... 28

线性代数课件 第一章

线性代数课件 第一章
0 0 0 0 0 0 ≠ ( 0 0 0 0) . 0 0 0
1 0 (5)单位矩阵 单位矩阵 0 1 E = En = L L O 0 0
称为单位矩阵（ 单位阵） 称为单位矩阵（或单位阵）. 单位矩阵
L 0 O L 0 L L L 1
a11 a 21 A= L a m1
简记为
a12 a 22 L am1
L a1 n L a2n L L L a mn
矩阵A的 (m, n)元
A = Am×n = (aij )m×n = (aij ).
这m × n个数称为 A的元素 ,简称为元 . 简称为元
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 a x + a x +L + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 LLLLLLLLLLLL am1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn = bm
, , 系数 aij ( i =1,2,L m, j =1,2,L n) , 常数项 bi (i = 1,2,L,n)
全为1 全为
(6)方阵 方阵 主对角线
a11 a12 a21 a22 A= L L 副对角线 an1 an1
简记为
L a1n L a2 n L L L ann
n× n
矩 A 阵 的
( n, n) 元
A = An× n = ( aij )
.
矩阵的转置
a11 a 21 A= L a m1
定义3 如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B 定义3 如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B， 就称矩阵A与矩阵B等价， 就称矩阵A与矩阵B等价，记作 A ~ B ． 矩阵之间的等价具有自反性、对称性和传递性． 矩阵之间的等价具有自反性、对称性和传递性． 例如 用矩阵的初等行变换 解线性方程组

线代第一章(1)

线代第一章(1)


j1 j2 jn
(1)
( j1 j2 jn )
a1 j a2 j anj
1 2
n
其中
j1 j 2 j n

表示对所有n元排列取和。
注： (1) 当n=1时，一阶行列式 a a 此处 a 不是a的绝对值， 例如行列式 1 1
(2) 定义表明，计算n阶行列式，首先必须作出所有的 可能的位于不同行、不同列的n个元素的乘积，把这些 乘积的元素的第一个下标（行标）按自然顺序排列， 然后看第二个下标（列标）所成的奇偶性来决定这一 项的符号。
i 为行标， j 为列标。
注： (1) 三阶行列式 算出来也是一个数。
(2) 记忆方法：对角线法则(在黑板上演示) 例：
2
0
1
1 4 1 1 8 3
2 (4) 3 0 (1) (1) 11 8 1 (4) (1) 0 1 3 2 (1) 8 24 8 4 16 4
二（三）阶行列式
排列与逆序 n 阶行列式的定义

行列式概念的形成（定义）
四. 行列式的性质 五. 行列式按一行（列）展开 六. Cramer 法则

行列式的基本性质及计算方法

利用行列式求解线性方程组
本章主要讨论以上三个问题。
首先来看行列式概念的形成 问题的提出：
求解二、三元线性方程组

一. 二阶与三阶行列式 1. 二阶行列式
a11
a12
a13 a23 a33 a43
a14 a24 a34 a44
a21 a22 D a31 a32 a41 a42
a21 a23 M 12 a31 a33 a41 a43

线性代数第一章1-3PPT课件

线性代数第一章1-3PPT课件

1234
例3
0421
D
?
0056
0008
12340421Fra bibliotekD 0
0
5
6 a a a a 11 22 33 44 1 4 5 8 160.
0008
同理可得下三角行列式
a11
0 00
a21 a22 0 0
an1
an2
an3 ann
a11a22 ann .
例4 证明对角行列式
1 2
12 n;
t132 1 0 1, 奇排列 负号,
a11 a12 a13
a21 a22 a23 (1)t a1 p1a2 p2 a3 p3 .
a31 a32 a33
二、n阶行列式的定义
定义 设有n2 个数，排成 n 行n列的数表
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n
an1 an2
ann
作出表中位于不同行不同列的 n 个元素的乘积，
对应于
1 1 2x 1
1 t a11a22a33a44 1 t1234a11a22a34a43
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
17
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败 也是伟大的，所以不要放弃，坚持 就是正确的。
n
2
1
nn1
1 2 12 n .
n
证明 第一式是显然的,下面证第二式.
若记 i ai,ni1, 则依行列式定义
2
1
a1n
a2,n1
n
an1
1 tnn121a1na2,n1 an1

线性代数第一章PPT讲解1-4

线性代数第一章PPT讲解1-4

aaijij 0 0
D
1 i1
1
a j 1 i1, j
ai1, j1
ai1,n
anj an, j1 ann
aaiijj
0
0
1 i j2 ai1, j ai1, j1 ai1,n
anj an, j1 ann
aijj
0
0
1 i j ai1, j ai1, j1 ai1,n
anj an, j1 ann
aaiijj
0
0
元 素aij在 行 列 式ai1, j ai1, j1 ai1,n 中 的
anj an, j1 ann
余 子 式 仍 然 是aij在 a11 a1 j a1n
D 0 aaiijj 0 中的余子式 Mij .
an1 anj ann
二、行列式按行（列）展开法则
定理３ 行列式等于它的任一列（行）的各元 素与其对应的代数余子式乘积之和，即
D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj j 1,2,, n
证 a11 a1 j 0 0 a1n
D
a21
0 a2 j 0
a2n
an1 0 0 anj ann
1பைடு நூலகம்
x2
x2 x1
( xi x j ),
2i j1
当 n 2 时（1）式成立．
假设（1）对于 n 1 阶范德蒙德行列式成立，
依次做行变换:
rn x1rn1 , rn1 x1rn2 , ....., r2 x1r1
有
1
1
1
1
0
Dn 0
x2 x1
x2 ( x2 x1 )
x3 x1

线性代数课件第一章第一节PPT课件

线性代数课件第一章第一节PPT课件
第7页/共51页
应用三、电网 工程师利用仿真软件设计电路以及包含 百万晶体管的微芯片.这类软件离不开线性 代数方法和线性代数方程.
第8页/共51页
应用四、经济学和工程学中的线性模型
列昂惕夫 美籍俄裔著名经济学家，1906 年8月日生于俄国彼得堡，1925年毕业于列 宁格勒大学经济系。1928年获德国柏林大 学哲学博士学位。
第9页/共51页
但是，当时MarkⅡ还不能处理500个未知量、 500个方程组的方程组.所以他把这个问题提炼成 42个未知量、42个方程的方程组.
最后，经过56小时的持续运转， MarkⅡ终于求出了一个解.
列昂惕夫开启了通往经济学数学 模型一个新时代的大门，并于1973年 荣获诺贝尔奖.从那时起，其他领域 的研究者也开始使用计算机分析数学 模型. 常用的数学软件有Matlab、Maple、 Mathematica、SAS、Mathcad.
1 2 3
D 0 1 1 2 3 3 2
13 0
4 2 3
D1 3 1 1 8 27 12 12 11
4 3 0
第37页/共51页
14 3
D2 0 3 1 4 9 4 1
1 4 0
1 2 4
D3 0 1 3 4 6 4 9 7
1 3 4
于是，方程组的解为:
11 22 44
例2 计算三阶行列式 D 2 2 1
解二： 利用展开法
3 4 2
D 1 2 1 2 2 1 (4) 2 2
4 2 3 2
3 4
8 27 4(2)
8 14 8
14
第29页/共51页
例3 求解方程
解 方程左端
11 23 49
1 x 0 x2

大学线性代数课件 第一章 第1节

大学线性代数课件 第一章 第1节

四、n阶行列式的定义
三阶行列式
a11 D = a 21 a 31
说明
a12 a 22 a 32
a13 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 a 23 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33 a 33
（1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项． ） （2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 ） 乘积． 乘积．
τ
对于D中任意一项 对于 中任意一项
( 1)τ a1 p a2 p
1
2
anpn ,
总有且仅有 D1 中的某一项 ( 1) aq1 1aq2 2 aqnn ,
s
与之对应并相等; 反之, 与之对应并相等 反之 对于 D1 中任意一项
( 1) a p 1a p 2 a p n ,
τ
1 2 n
也总有且仅有D中的某一项 也总有且仅有 中的某一项 从而 D = D1 .
a11a23 a32 a12 a21a33 a13 a22 a31
为一个三阶行列式。 可用下面的对角线法则记忆
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.
（3）当每一项行指标排列均为123时，这一项的正负 当每一项行指标排列均为123时 123 号取决于列指标排列的奇偶性，偶排列带正号， 号取决于列指标排列的奇偶性，偶排列带正号，奇排 列带负号。 列带负号。
例如
a13a21a32
列标排列的逆序数为 偶排列
+ 正号

《线性代数》第1讲-第1章第1-2节

《线性代数》第1讲-第1章第1-2节
线性代数
Linear Algebra
王健 理学院 数学系 北京工商大学 我的邮箱：wangjian04@ 课程主页：/ 登录密码：110
第一章 1 第一章 2
线性代数
课程特点： 一个中心 —— 求解线性方程组 一种工具 —— 矩阵（行列式、向量） 关于教材： 内容基本、难度低 第3.6节、第4.4节、第5.4节选讲 成绩：平时40%（出勤+作业+测验等）+ 期末60% 作业：用作业纸做，单周二交作业, 批阅1/3 作业上交情况及时上传至课程主页 答疑：单周周二下午七八节，工三303（数学系办公室）
a11
即 a 21 a 31 行标


a31
a12 a 22 a 32
a13 a 23 a 33
+ +
+
a11a 22 a 33 a12 a 23 a 31 a13 a 21a 32 a11a 23 a 32 a12 a 21a 33 a13 a 22 a 31 .
第一章 13
例4 解
1 求解方程
方程左端为
1 3 9
1 x 0. x2
计算三阶行列式
1 D 2 3 2 2 4 4 1 2
D 2 3
2 4
D 3 x 2 4 x 18 9 x 2 x 2 12
1 2 (2) 2 1 ( 3) (4) ( 2) 4
由 1, 2 , 3 组成的 3级排列有： 123 , 132 , 213 , 231 , 312 , 321 .
由自然数 1 , 2 , , n 所构成的不同的 n 级排列 的总数为 n!. 通常用 Pn 表示 .
Pn n ( n 1) ( n 2 ) 3 2 1 n!.

线代知识总结

线代知识总结

线性代数知识点总结目录第一章行列式 (2)第一节：二阶与三阶行列式 (2)第二节：全排列及其逆序数 (2)第三节：n阶行列式的定义 (3)第四节：对换 (4)第五节：行列式的性质 (5)第六节行列式按行（列）展开 (6)第七节克拉默法则 (7)第二章矩阵 (8)第一节：矩阵 (8)第二节：矩阵的运算 (8)第三节：逆矩阵 (11)第四节：矩阵分块法 (13)第三章矩阵的初等变换与线性方程组 (15)第一节：矩阵的初等变换 (15)第二节：矩阵的秩 (16)第三节：线性方程组的解 (18)第四章向量组的线性相关性 (19)第一节：向量组及其线性组合 (19)第二节：向量组的线性相关性 (21)第一章行列式第一节：二阶与三阶行列式1、把表达式a 11a 22-a 12a 21称为a 11a 12a21a22所确定的二阶行列式，并记作a 11a 12a21a12，即D =a 11a 12a21a22=a 11a 22-a 12a 21.结果为一个数。

同理，把表达式a 11a 22a 33+a 12a 23a 31+a 13a 21a 32-a 11a 23a 32-a 12a 21a 33-a 13a 22a31,称为a11由数表a21a12a 22a32a13a31a 11a12a 23所确定的三阶行列式，记作a 21a 22a 31a 32a33a13a 23。

a33a 11a 12即a 21a 22a 31a32a13a 23=a 11a 22a 33+a 12a 23a 31+a 13a 21a 32-a 11a 23a 32-a 12a 21a 33-a 13a 22a 31,a33注意：对角线法则只适用于二阶及三阶行列式的计算。

2、利用行列式计算二元方程组和三元方程组：对二元方程组⎨⎧a 11x 1+a 12x 2=b1⎩a 21x 1+a 22x 2=b 2≠0a12，设D =a 11a 12b1a21a22D 1=b 1b2a 12a22D 2=a11a 11b1b 1a21b2.则x 1=b a 22D1=2D a11a 12a 21a22x 2=a b D2=212.a 11a 12Da 21a22注意：以上规律还能推广到n 元线性方程组的求解上。

线代第一章

线代第一章
如：31245 就是一个 5 级排列。 例1 写出所有的 3 级排列： 123 132 213 231 312 321
上一页 下一页
可见，第一个位置有 3 种选择，第二个位置 有 2 种选择，第三个位置有 1 种选择，所以所有 的 3 级排列一共有
3 2 1 3! 6
个。显然，所有的 5 级排列一共有 5！= 120 个。 容易得出，n 级排列一共有 n! 个。而在 n
第一章
行列式
第一节 二阶与三阶行列式 第二节 n 阶行列式
第三节 行列式的性质
第四节 行列式的按行（列）展开 第五节 克莱姆法则
上一页 下一页
第一节 二阶与三阶行列式


一、二阶行列式
二、三阶行列式 三、小结
一、二阶行列式
用消元法解二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
上一页 下一页
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 列标 a31 a32 a33 行标 三阶行列式的计算 a11 a12 a13 a11 a12 (1)沙路法 D a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32
D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31 .
记 a11
a31
a21 a31
a12 a13 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a a a a a a a a a 11 23 32 12 21 33 13 22 31, a32 a33
（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.

《课件：线性代数第一章》课件

《课件：线性代数第一章》课件
基与维数
探讨基底的概念、线性无关性和向量空间的维数。
矩阵的逆和行列式
1
逆矩阵
讲解矩阵的逆的定义、求解方法和逆矩阵的性质。
2
行列式
详细介绍行列式的概念、计算方法和行列式的的推导过程和应用场景。
特征值和特征向量
特征值和特征向量
讲解特征值和特征向量的定义、 性质和应用。
矩阵的基本概念与运算
矩阵加法
介绍矩阵间的加法运算，解释其 定义和性质。
矩阵乘法
探讨矩阵乘法的定义、性质和运 算规则。
矩阵转置
讲解矩阵转置的概念和计算法则， 展示其应用。
向量空间的概念和性质
线性组合
解释向量的线性组合概念，并讨论线性组合的性质和应用。
子空间
介绍子空间的定义、特点和在线性代数中的重要性。
矩阵对角化
详细介绍矩阵对角化的概念、方 法和应用场景。
特征值的应用
展示特征值在实际问题中的应用 案例和意义。
本章内容总结与复习建议
本章总结了线性代数的关键概念和应用，提供了复习建议和习题，以帮助学 生巩固知识并提高应用能力。
线性代数第一章：定义、 作用与应用
本课件将探讨线性代数的定义、作用以及在不同领域中的应用，帮助学生理 解其重要性和实际意义。
线性方程组解法
1
消元法
通过高斯消元法解线性方程组，找到唯一解或多个解。
2
矩阵求逆
使用矩阵的逆求解线性方程组，可得到唯一解。
3
行列式
通过行列式的计算确定线性方程组的解的存在性与唯一性。

《线性代数》课件第1章

《线性代数》课件第1章

则规定它们的加法与减法为（当m ≤ n时 ） f (x) ± g(x) = (a0 ± b0 ) + (am ± bm )x + + (am ± bm )xm ± bm+1xm+1 ± ± bn xn;
它们的乘法为
f (x)g (x) = c0 + c0 x + + cm+n x m+n ,
其中
ck
定义1.3：如果多项式 f (x) 和 g(x) 的同次项系数全 相等，则称 f (x)和 g(x)相等，记为 f (x) = g(x).
和 初 等 代 数 一 样 , 我 们 可 以 定 义 Ω 上 的 一 元 多 项 式 的 运 算.设 f ( x ) = a0 + a1 x + + am x m , g ( x ) = b0 + b1 x + + bn x n ,
若f = 0或deg f < n,则取q = 0, r = f 即可.若f 不等于0,且次数 ≥ n,
则用g去消f 的首项,可得“商”q1
=
a b
xm−n及“余”f1
=
f
− q1g,
从而
f = q1g + f1, 若f1 = 0或deg f1 ≤ n,则取q = q1, r = f1即可.若f1不等于0,且其次数 ≥ n, 则再用g去消f1的首项,并设所得的“商”和“余”分别为q2, f2,则有
标准分解定理 Ω上的次数大于0的多项式 f (x)均有如下分解 : f (x) = ap1(x)k1 p2 (x)k2 pt (x)kt ,
其中a为Ω中的非零常数, p1(x),…, pt (x)为互异的首项系数为1的 即约多项式, k1,…, kt为自然数,它们都是由唯一确定的.

线性代数第1章

线性代数第1章

1 a23 ， x2 a21 D a33 a31
线性代数
第一章 n阶行列式
第1节 n阶行列式的定义
上述结论仍可简记为：
当三元线性方程组(**)的系数行列式D 0时， Dj 方程组有唯一解x j = ( j 1,2， 3)，其中D j为 D b1 系数行列式D的第j列换为常数列 b2 ，其余列 b3 不动而得到的行列式.
a n1 a11 a s1 a n1
a11
ann a12 a1n
' ' as a 2 sn .
' a s 2 a sn a s 1
第一章 n阶行列式
第1节 n阶行列式的定义
一、二阶与三阶行列式
a11 x1 a12 x2 b1 二元线性方程组 (*) a21 x1 a22 x2 b2 其中ai j ,b j ( i , j 1,2)为常数，x1 , x2为未知量.
由中学学过的加减消元法可知：
当a11a22 a12a21 0时，方程组(*)有唯一解，
可按图示“对角线法则”来记忆：
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
线性代数
第一章 n阶行列式
第1节 n阶行列式的定义
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 对于三元线性方程组 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 a x a x a x b 32 2 33 3 3 31 1
( j1 j2 jn )与( i1 i2 in )同为奇排列或偶排列.
线性代数
第一章 n阶行列式
第1节 n阶行列式的定义
n阶行列式也可表示成

线性代数第一章第一节PPT课件

线性代数第一章第一节PPT课件

01递Biblioteka 公式法02递推公式法是根据行列式的性质和结构特点，利用递推公式来
计算行列式的方法。
递推公式法可以大大简化高阶行列式的计算过程，提高计算效
03
率。
行列式的计算方法
分块法
1
2
分块法是将高阶行列式分成若干个小块，然后利 用小块来计算整个行列式的方法。
3
分块法可以简化高阶行列式的计算过程，特别是 当行列式具有特定的结构特点时，分块法可以大 大提高计算效率。
01
向量空间
02
向量空间是线性代数中的一个重要概念，而行列式在向量 空间的定义和性质中也有着重要的应用。例如，通过行列 式可以判断一个向量集合是否构成向量空间，以及向量空 间的一些基本性质。
03
行列式在向量空间中的应用可以帮助我们更好地理解线性 代数的本质和结构特点。
05
特征值与特征向量
特征值与特征向量的定义
转置等特殊运算。
向量与矩阵的关系
关联性
04
向量可以用矩阵来表示，矩 阵中的每一行可以看作是一 个向量。
01 03
•·
02
向量和矩阵在数学中是密切 相关的概念，矩阵可以看作 是向量的扩展。
04
行列式
行列式的定义与性质
基本概念
行列式是由数字组成的方阵，按照一定的规则计 算出的一个数。
行列式具有一些基本的性质，如交换律、结合律、 分配律等。
向量可以用有向线段、坐 标系中的点或有序数对来 表示。
向量有大小和方向两个基 本属性，大小表示向量的 长度，方向表示向量的指 向。
矩阵的定义与运算
•·
02
基础运算
01
03
矩阵是一个由数字组成的矩 形阵列，表示二维数组。

(完整版)第一章自考线性代数精讲

(完整版)第一章自考线性代数精讲

10 2020/6/16 线性代数 Hainan University
第一章 行列式
二、三阶行列式
定义 设有9个数排成3行3列的数表
a11 a12 a13
a21 a22 a23
(5)
记
a31 a32 a33
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
类似地，消去 x1，得 （a11a22 a12a21）x2 a11b2 b1a21,
当 a11a22 a12a21 0 时， 方程组的解为
x1
b1a22 a11a22
a12b2 ， a12a21
x2
a11b2 a11a22
b1a21 . a12a21
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（3）
由方程组的四个系数确定.
3 2020/6/16 线性代数 Hainan University
D2
a11 a21
b1 . b2
8 2020/6/16 线性代数 Hainan University
第一章 行列式
第一章 行列式
则二元线性方程组的解为
b1
x1
D1 D
b2 a11
a21
a12 a22 , a12 a22
a11
x2
D2 D
a21 a11
a21
b1 b2 . a12 a22
注意 分母都为原方程组的系数行列式.
a11 x1 a12 x2 b1, a21x1 a22 x2 b2 .
D a11 a12 , a21 a22

线性代数第一章第一讲

线性代数第一章第一讲
若记 系数行列式
a 11 a 12 D , a 21 a 22
黑河学院计算机系线性代数
a x a x b , 11 1 12 2 1 a x a x b . 21 1 22 2 2
a 11 a 12 D , a 21 a 22
黑河学院计算机系线性代数
a x a x b , 11 1 12 2 1 a x a x b . 21 1 22 2 2
b1 D1 b2
b1 b2 b 1
若记
a12 a13 a22 a23 ,
b3 a32 a33 a11 a12 a13
或
D a21 a22 a23 a31 a32 a33
黑河学院计算机系线性代数
x x x a 11 1 a 12 2 a 13 3 b 1, a x x x 21 1 a 22 2 a 23 3 b 2, a x x x 31 1 a 32 2 a 33 3 b 3;
1 2
1 a : a a x a a x b a , 22 11 22 1 12 22 2 1 22
a x a a x b a , 2 a : a 12 21 1 12 22 2 2 12 12
两式相减消去 x ，得 2
黑河学院计算机系线性代数
（ a a a a ） x b a a b ; 11 22 12 21 1 1 22 12 2
b 1 a 12 D , 1 b 2 a 22
a x a x b , 11 1 12 2 1 a x a x b . 21 1 22 2 2
a 11 a 12 D , a 21 a 22
黑河学院计算机系线性代数

《线代》第1章1

《线代》第1章1

m n
mn
.
证 设A=[
a ij ]
m s
,B=[ bij ]
s t
,C=[
cij ]
t n , 则依矩阵乘法的
定义知， AB是 mt 矩阵，进而，(AB)C是 mn 矩阵. 同理，A(BC)是 mn 矩阵. 注意到，AB的第i行元素为
i=1,2,„,m; j=1,2,„,n.
t s
A9 .
=
28 28 3 28 2 28 8 8 8 8 2 2 2 2 6 2 4 2 8 8 8 8 3 2 3 2 9 2 62 8 8 8 8 5 2 5 2 15 2 10 2
.
当A为n阶矩阵时，A的幂运算定义为：Ak 1 = A k A,
这里k是正整数; 并规定：A 0 =E.
2 m 进而，设ψ(x)= a0 a1 x a2 x am x (
am 0 )是x的m次多项式，
A为n阶矩阵，则矩阵 ψ(A)= a0 E a1 A a2 A 2 am A m 称为矩阵A的m次多项式.
第一章 矩阵
§1.1 基本概念
一．数域(对数的减法与除法封闭的含非零数的集合)
例1.1.1 全体有理数的集合Q，全体实数R的集合，及全体 复数的集合C均为数域，但全体整数的集合Z不是数域. 思考：任何数域都是无穷集合？ 二．连和号与连积号 思考：连和号具有哪些性质 ？
三．矩阵的概念
1. 矩阵的定义 (m行n列的“矩形数表” ) :
.
*例1.3.6
证明：m×n实矩阵A=O的充分必要条件是 A T A=O.
作业：*练习1.3之A2,A3,B1,B3,B4. 练习1.3之A1,A2,A4.
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a1 x a2 ⋯ a2
a2 a2 x ⋯ a3
a3 a3 a3 ⋯ a4
⋯ an ⋯ an ⋯ an . ⋯ ⋯ ⋯ x
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解
列都加到第一列， 将第 2 , 3 , ⋯ , n + 1列都加到第一列，得
x + ∑ ai x + ∑ ai
i =1 n i =1 n n
a1 x a2 ⋮ a2
1≤ j < i ≤ n
(x − x )
i j
An n +1 = -1） M n n +1 = − M n n +1 （-1）
2n+1
故
M n n +1 = ( x1 + x2 + ⋯ + xn ) ∏
1≤ j < i ≤ n
(x − x )
i j
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小结
计算行列式的方法比较灵活， 计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可 以有多种计算方法； 以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方 法综合应用．在计算时， 法综合应用．在计算时，首先要仔细考察行列式 在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变 在构造上的特点， 换后，再考察它是否能用常用的几种方法． 换后，再考察它是否能用常用的几种方法．
(1+ 2 +⋯+ n ) − (1+ 2 +⋯+ n )
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所以 所以 D2 =
∑ (−1) a
t
1 p1 a 2 p2
⋯ a npn = D1
本题证明两个行列式相等， 评注 本题证明两个行列式相等，即证明两 一是两个行列式有完全相同的项， 点，一是两个行列式有完全相同的项，二是每一 项所带的符号相同． 项所带的符号相同．这也是用定义证明两个行列 式相等的常用方法． 式相等的常用方法．
a2 ⋯ an a2 ⋯ an x ⋮ ⋯ an ⋱ ⋮ x
D
n+1
=
x + ∑ ai
i =1 n
⋮ x + ∑ ai
i =1
a3 ⋯
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提取第一列的公因子， 提取第一列的公因子，得
1 a1 a 2 1 x a2 n = ( x + ∑ ai ) 1 a2 x i =1 ⋯ ⋯ ⋯ 1 a2 a3
1 a2 0 ⋮ 0
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1 a1 − 解 a2 1 c1 − c2 0 a2 D 1 ⋮ 1
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1
⋯
1 0 0 ⋮
0 ⋯ a3 ⋯ ⋮ ⋱ 0
⋯ an
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1 a1 − ∑ i = 2 ai 1 c1 − ci 0 ai 0 ( 3 ≤ i ≤ n) ⋮ 0
n
n
1 a2 0 ⋮ 0
1
⋯
1 0 0 ⋮
一、计算排列的逆序数 例１ 求排列 (2k )1(2k − 1)2(2k − 2 )3(2k − 3)⋯ (k + 1)k
并讨论奇偶性。 的逆序数 , 并讨论奇偶性。
解 分别算出排列中每个元素前面比它大的数码之 即算出排列中每个元素的逆序数． 和，即算出排列中每个元素的逆序数． 0 1 2 3 k-1
a12 a 22 a 32 a 42 a 52
a13 a 23 a 33 a 43 a 53
0 a 24 a 34 0 0
0 a 25 a 35 0 0
证明 行列式定义展开式中项的一般形式是 a1 p1 a 2 p2 a 3 p3 a 4 p4 a 5 p5 若该项不为零显然应满足 p1 , p4 , p5 ∈ {2 , 3} 为不同的三个数， 而p1,p4,p5为不同的三个数， 故 p1 , p4 , p5 中必有一个属于{ 中必有一个属于{1 , 4, 5}，即 a1 p1 , a4 p4 , a5 p5 中必有一个为零， 因而定义式中的任意一项 中必有一个为零， a1 p1 a 2 p2 a 3 p3 a 4 p4 a 5 p5 = 0 ，故 D = 0。
所以 , 当 n = 1 , n = 2 时, 结论成立.
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假设对阶数小于 n的行列式结论成立 , 下证对于阶数 等于 n的行列式也成立 .现将 Dn 按最后一行展开 , 得
Dn = 2 cosα Dn−1 − Dn− 2 .
由归纳假设 , Dn -1 = cos( n − 1)α , Dn − 2 = cos( n − 2)α ,
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Dn = 2 cos α cos(n − 1)α − cos(n − 2)α
= [cos nα + cos( n − 2)α ] − cos( n − 2)α = cos nα ;
所以对一切自然数 n 结论成立.
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评注 为了将 D n 展开成能用其同型的 D n − 1 , D n − 2 表示 , 本例必须按第 n 行 (或第 n 列 )展开 , 不能 按第 1行 (或第 1列 )展开 , 否则所得的低阶行列式 不 是与 D n 同型的行列式 .
一般来讲 ,当行列式已告诉其结果 , 而要我们 证明是与自然数有关的 结论时 , 可考虑用数学归 纳法来证明 .如果未告诉结果 , 也可先猜想其结果 , 然后用数学归纳法证明 其猜想结果成立 .
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例5
计算n 计算 阶行列式 爪型行列式 a1 1 1 ⋯ 1 1 a2 0 ⋯ 0 D = 1 0 a 3 ⋯ 0 ，其中 a1 a 2 ⋯ a n ≠ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 0 0 ⋯ an
n
n
1 a2 0 ⋮ 0
1
⋯
1 0 0
0 ⋯ a3 ⋯ ⋮ 0
⋱ ⋮ ⋯ an
a1 = (1 + a1 + ∑ )a 2 a 3 ⋯ a n i = 2 ai
a1 = (1 + ∑ )a 2 a 3 ⋯ a n i =1 a i
n
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例7 计算
x a1 D n + 1 = a1 ⋯ a1
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例３ 设
a11 a 21 D1 = ⋯
a12 ⋯ a1n a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ a n 2 ⋯ a nn
,
( i , j )元为 元为
aijb
i− j
a n1
a11 a 21 b D2 = ⋯ a n1 b
n −1
a12 b
−1
a 22 ⋯ an2 b
n− 2
⋯ a1n b1− n ⋯ a 2 n b2− n ⋯ ⋯ ⋮ a nn
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例4 证明
cos α 1 0 Dn = ⋯ 0 0
1 2cos α 1 ⋯ 0 0
0 1 2cos α ⋯ 0 0
⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 2cos α ⋯ 1
0 0 0 = cos nα ⋯ 1 2cos α
对阶数n用数学归纳法 证 对阶数 用数学归纳法
因为D1 = cos α , cos α D2 = 1 1 = 2 cos 2 α − 1 = cos 2α , cos 2α
= ( x + ∑ a i ) ∏ ( x − a i ).
i =1 i =1 n n
0 0 ⋮ − an
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评注 本题利用行列式的性质，采用“化零” 本题利用行列式的性质，采用“化零” 的方法，逐步将所给行列式化为三角形行列式． 的方法，逐步将所给行列式化为三角形行列式． 化零时一般尽量选含有１的行（ 化零时一般尽量选含有１的行（列）及含零较多 的行（ ）；若没有 若没有１ 的行（列）；若没有１，则可适当选取便于化零 的数，或利用行列式性质将某行（ 的数，或利用行列式性质将某行（列）中的某数 化为1；若所给行列式中元素间具有某些特点，则 化为1 若所给行列式中元素间具有某些特点， 应充分利用这些特点，应用行列式性质， 应充分利用这些特点，应用行列式性质，以达到 化为三角形行列式之目的． 化为三角形行列式之目的．
1≤ j < i ≤ n
(x
i
− x j ), (n ≥ 2 )
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证明 在 Dn 中加一行一列，配成范德蒙行列式 中加一行一列， 1 1 1 ⋯ 1 1 x1 x2 x3 ⋯ xn y 2 2 2 2 x1 x2 x3 ⋯ xn y2 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ Dn+1 = ⋯ D = Mnn+1 n n− 2 n− 2 n− 2 n− 2 n− 2 x1 x2 x3 ⋯ xn y n n n n x1 −1 x2 −1 x3 −1 ⋯ xn −1 y n −1 n n n n x1 x2 x3 ⋯ xn yn
=
=k
2
+
2
当 k 为偶数时，排列为偶排列， 为偶数时，排列为偶排列， 为奇数时，排列为奇排列． 当 k 为奇数时，排列为奇排列．
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二、计算（证明）行列式
１ 用定义计算（证明） 用定义计算（证明）
2 用数学归纳法 3 用行列式的性质 4 利用范德蒙行列式
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0 a 21 例２用行列式定义计算 D = a 31 0 0