甘肃兰州2015届高三3月诊断考试数学(文)试题(Word版含答案)

兰州一中2015届高三第三次模拟考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试用时120分钟．考试结束后，将试题纸和答题卡一并交回．第Ⅰ卷(选择题共60分)注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座位号和准考证号填写在答题卡和试卷规定的位置．2．答题时，考生需用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|-1<x<1}，B={x|x2-3x≤0}，则A∩B等于()．A．B．(-1，3] C．，(45，50]，(50，55]，(55，60]进行分组，得到频率分布直方图如图所示．已知样本中体重在区间(45，50]上的女生数与体重在区间(55，60]上的女生数之比为4:3．(Ⅰ)求a，b的值；(Ⅱ)从样本中体重在区间(50，60]上的女生中随机抽取两人，求体重在区间(55，60]上的女生至少有一人被抽中的概率．20．(本小题满分12分)已知⊙C过点P(1，1)，且与⊙M：(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)关于直线x+y+2=0对称．(Ⅰ)求⊙C的方程；(Ⅱ)过点P作两条相异直线分别与⊙C相交于A，B，且直线P A和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．(Ⅰ)求a，b的值，并求函数f(x)的单调递增区间；(Ⅱ)设g(x)=f(x)-3x，试问过点(2，2)可作多少条直线与曲线y=g(x)相切？请说明理由．请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．22．(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲在△ABC 中，AB =AC ，过点A 的直线与其外接圆交于点P ，交BC 延长线于点D ．(Ⅰ)求证：PC PDAC BD=； (Ⅱ)若AC =2，求AP ·AD 的值．23．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xoy 中，动点A 的坐标为(2-3sin α，3cos α-2)，其中α∈R ．以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的方程为ρcos(θ -4π)=a ． (Ⅰ)判断动点A 的轨迹表示什么曲线； (Ⅱ)若直线l 与动点A 的轨迹有且仅有一个公共点，求实数a 的值．24．(本小题满分10分)选修4-5；不等式选讲若实数a ，b 满足ab >0，且a 2b =4，若a +b ≥m 恒成立． (Ⅰ)求m 的最大值； (Ⅱ)若2|x -1|+|x |≤a +b 对任意的a ，b 恒成立，求实数x 的取值范围．D兰州一中2015届高三第三次模拟试题文科数学参考答案一、选择题1．C 解析：∵A =(-1，1)，B =，则A ∩B =． 解析：直线y +2=k (x +1)过定点(-1，-2)，作图得k 的取值范围是(-∞，-2)∪(0，23]．14．16解析：在36对可能的结果中，和为7的有6对：(1，6)，(2，5)，(2，5)，(3，4)，(3，4)，(4，3)．∴得到两数之和为7的概率是61366=． 15．(1，-1) 解析：由题意可知b 的终点在直线x =1上，可设b =(1，y )，则||⋅a b b =17y 2+48y +31=0，∴y =-1或y =-3117(增解，舍去)，∴b =(1，-1)．16 解析：∵{a n }是等差数列，∴a =0，S n =n 2，∴a 2=3，a 3=5，a 4=7． 设三角形最大角为θ，由余弦定理，得cos θ=-12，∴θ=120°．∴该三角形的面积S =12×3×5×sin120°三、解答题17．(Ⅰ)解：a 1=2，a 2=2+k ，a 3=2+3k ，由a 22=a 1a 3得，(2+k )=2(2+3k )，∵k ≠0，∴k =2．······················································································2分 由a n +1=a n +2n ，得a n -a n -1=2(n -1)， ∴a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+···+(a n -a n -1)=2+2=n 2-n +2．·························6分(Ⅱ)解：(1)122n n n n a k n n n n k n ---==⋅⋅．·······························································8分 ∴T n =12301212222nn -+++⋅⋅⋅+， 2341101221222222n n n n n T +--=+++⋅⋅⋅++，························································10分 两式相减得，234111111111111111(1)22222222222n n n n n n n n n T +-++--+=+++⋅⋅⋅+-=--=-，∴T n =1-12nn +．·······················································································12分 18．(Ⅰ)证明：设O 为AB 的中点，连结A 1O ，∵AF =14AB ，O 为AB 的中点，∴F 为AO 的中点，又E 为AA 1的中点，∴EF ∥A 1O ．又∵D 为A 1B 1的中点，O 为AB 的中点，∴A 1D =OB ． 又A 1D ∥OB ，∴四边形A 1DBO 为平行四边形． ∴A 1O ∥BD ．又EF ∥A 1O ，∴EF ∥BD ． 又EF ⊄平面DBC 1，BD ⊂平面DBC 1． ∴EF ∥平面DBC 1．…………………6分 (Ⅱ)解：∵AB =BC =CA =AA 1=2，D 、E 分别为A 1B 1、AA 1的中点，AF =14AB ，∴C 1D ⊥面ABB 1A 1． 而11D BEC C BDE V V --=，1111BDE ABA B BDB ABE A DE S S S S S ∆∆∆∆=---=1113222121112222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=．∵C 1D∴111113332D BEC C BDE BDE V V S C D --∆==⋅=⨯=．………………………………12分19．(Ⅰ)解：样本中体重在区间(45，50]上的女生有a ×5×20=100a (人)，·····················1分样本中体重在区间(50，60]上的女生有(b +0.02)×5×20=100(b +0.02)(人)，··············2分依题意，有100a =43×100(b +0.02)，即a =43×(b +0.02)．①·································3分根据频率分布直方图可知(0.02+b +0.06+a )×5=1，②··········································4分解①②得：a =0.08，b =0.04．······································································6分 (Ⅱ)解：样本中体重在区间(50，55]上的女生有0.04×5×20=4人，分别记为 A 1，A 2，A 3，A 4，··················································································7分 体重在区间(55，60]上的女生有0.02×5×20=2人，分别记为B 1，B 2．··················8(第18题解图)分从这6名女生中随机抽取两人共有15种情况：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，A 4)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)．·······10分其中体重在(55，60]上的女生至少有一人共有9种情况：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)．····························································································11分 记“从样本中体重在区间(50，60]上的女生随机抽取两人，体重在区间(55，60]上的女生至少有一人被抽中”为事件M ，则P (M )=93155=．··········································12分20．(Ⅰ)解：设圆心C (a ，b )，则222022212a b b a --⎧++=⎪⎪⎨+⎪=⎪+⎩，解得00a b =⎧⎨=⎩． (3)分则圆C 的方程为x 2+y 2=r 2，将点P 的坐标代入得r 2=2， 故圆C 的方程为x 2+y 2=2．·····································································5分 (Ⅱ)解：由题意知，直线P A 和直线PB 的斜率存在，且互为相反数， 故可设P A ：y -1=k (x -1)，PB ：y -1=-k (x -1)，且k ≠0，······································6分 由221(1)2y k x x y -=-⎧⎨+=⎩，得(1+k 2)x 2-2k (k -1)x +k 2-2k -1=0，······································7分 ∵点P 的横坐标x =1一定是该方程的解，故可得x A =22211k k k --+． (8)分同理，x B =22211k k k+-+．···········································································9分∴(1)(1)2()B A B A B A AB B A B A B Ay y k x k x k k x x k x x x x x x ------+===---=1=k OP ． (11)分∴直线AB 和OP 一定平行．·····································································12分依题设，f (1)=5，f ′(1)=-3，∴a =-3，b =-2．···················································4分 ∴f ′(x )=2-22232223xx x x x ---=，令f ′(x )>0，又x >0，∴x ．∴函数的单调增区间为，+∞)．······················································6分(Ⅱ)g (x )=f (x )-3x =2x -2ln x ，g ′(x )=2-2x．设过点(2，2)与曲线g (x )的切线的切点坐标为(x 0，y 0)，则y 0-2=g ′(x 0)(x 0-2)，即2x 0-2ln x 0-2=(2-02x )(x 0-2)，∴ln x 0+02x =2． (8)分令h (x )=ln x +2x -2，则h ′(x )=212x x-，∴x =2． ∴h (x )在(0，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增．······································10分∵h (12)=2-ln2>0，h (2)=ln2-1<0，h (e 2)=22e >0． ∴h (x )与x 轴有两个交点，∴过点(2，2)可作2条曲线y =g (x )的切线．···············12分22．(Ⅰ)证明：∵∠CPD =∠ABC ，∠D =∠D ，∴△DPC ～△DBA ． ∴PC PD AB BD=． 又∵AB =AC ，∴PC PDAC BD=．·····································································5分 (Ⅱ)解：∵∠ACD =∠APC ，∠CAP =∠CAD ，∴△APC ～△ACD ． ∴AP AC AC AD =，∴AC 2=AP ·AD =4．·······························································10分 23．(Ⅰ)解：设动点A 的直角坐标为(x ，y )，则23sin ,3cos 2.x y αα=-⎧⎨=-⎩∴动点A 的轨迹方程为(x -2)2+(y +2)2=9，其轨迹是以(2，-2)为圆心，半径为3的圆．·····················································5分(Ⅱ)解：直线l 的极坐标方程ρcos(θ-4π)=a 化为直角坐标方程是x +y ．由=3，得a =3，或a =-3．··························································10分24．(Ⅰ)解：由题设可得b =24a >0，∴a >0．∴a +b =a +24a =2422a a a ++≥3， 当a =2，b =1时，a +b 取得最小值3，∴m 的最大值为3．·································5分(Ⅱ)解：要使2|x -1|+|x |≤a +b 对任意的a ，b 恒成立，须且只须2|x -1|+|x |≤3．用零点区分法求得实数x 的取值范围是-13≤x ≤53．········································10分。

2015届甘肃省部分普通高中高三第一次联考文科数学试卷(带解析)1 / 181．设集合}023|{2<++=x x x M ，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=4)21(x x N , 则=N M （ ） A ．{|2}x x ≥- B ．}1|{->x x C ．}1|{-<x x D ．}2|{-≤x x2．下面是关于复数iz -=12的四个命题: 1p :2z =, 2:p 22z i = 3:p z 的共轭复数为i +-1 4:p z 的虚部为1其中真命题为（ ）A ．23,p pB ．12,p pC ．24,p pD ．34,p p3．下列推断错误的是（ ）A.命题“若2320,x x -+=则1x = ”的逆否命题为“若1x ≠则2320x x -+≠”B.命题:p 存在R x ∈0，使得20010x x ++<，则非:p 任意R x ∈，都有210x x ++≥C.若p 且q 为假命题，则q p ,均为假命题D.“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件4．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（ ）俯视图侧视图正视图A ．312B ．336C ．327D ．65．已知平面向量b a 与的夹角为3π，1,223,b a b a =+==且则（ ） A ．1 B ．3 C ．2 D ．36．函数1(01)x y a a a -=>≠，的图象恒过定点A ，若点A 在直线10(0)mx ny mn +-=>上，则11m n +的最小值为（ ） A ．3 B ．4 C ． 5 D ．67．等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于（ ）A ．6B ．5C ．3D ．48．已知集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥+≤-+00042),(y x y x y x y x 表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P （x,y ），则点P 的坐标满足不等式x 2+y 2≤2的概率为（ ） （A ） 163π （B ）16π （C ）32π （D ）323π 9．已知函数()f x 的定义域为[1,4]-，部分对应值如下表，()f x 的导函数()y f x '=的图象如右图所示.当12a <<时，函数()y f x a =-的零点的个数为（ ）A.1B.2C.3D.410．定义行列式运算：12142334a a a a a a a a =-.若将函数-sin cos ()1x x f x =的图象向左平移m (0)m >个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m 的最小值是（ ）A ．32πB ．3πC ．6πD ．π65 11．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y .若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则||OM =（ ）A、 B、、4 D、12．设()f x 是定义在R 上的恒不为零的函数，对任意实数,x y R ∈，都有()()()f x f y f x y ⋅=+，若()()11,2n a a f n n N *==∈，则数列{}n a 的前n 项和nS 的取值范围是（ ） A. 1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B. 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D. 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦13．定义某种运算⊗，S a b =⊗的运算原理如右图：则式子5324⊗+⊗=_________.2015届甘肃省部分普通高中高三第一次联考文科数学试卷(带解析)3 / 1814． 若tan θ+1tan θ=4,则sin2θ=_________. 15． 已知双曲线x 2 - y 2 =1,点F 1,F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若P F 1⊥P F 2,则∣P F 1∣+∣P F 2∣的值为___________________. 16．已知曲线()33ln y a x x =-+存在垂直于y 轴的切线，且函数32()31f x x ax x =--+在[]1,2上单调递减，则a 的范围为 ．17．（本题满12分）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,且B c B a C b cos cos 3cos -=（1）求B cos 的值；（2）若2=⋅BC BA ，且22=b ，求c a 和的值.18．（本小题满分12分）为了了解甘肃省各景点在大众中的熟知度，随机对15～65岁的人群抽样了n 人，回答问题“甘肃省有哪几个著名的旅游景点？”统计结果如下图表．（1）分别求出a ，b ，x ，y 的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？（3）在（2）抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率.19．（本题满分12分）已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是 60=∠A 、边长为a 的菱形，又ABCD PD ⊥底面，且PD=CD ，点M 、N 分别是棱AD 、PC 的中点．C A（1）证明：DN//平面PMB ；（2）证明：平面PMB ⊥平面PAD ；（3）求点A 到平面PMB 的距离．20．（本题满分12分）已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，左右焦点分别为1F 和2F ，且2||21=F F ，点)23,1(在该椭圆上．（1）求椭圆C 的方程；（2）过1F 的直线l 与椭圆C 相交于B A ,两点，若B AF 2∆的面积为7212，求以2F 为圆心且与直线l 相切圆的方程．21．（本小题满分12分）已知函数x xx m m x f -++=1ln )1()(,其中常数0>m . （1）当2=m 时，求函数()f x 的极大值；（2）试讨论()f x 在区间)1,0(上的单调性;（3）当),3[+∞∈m 时,曲线)(x f y =上总存在相异两点))(,(11x f x P ,))(,(22x f x Q ,使得曲线)(x f y =在点Q P ,处的切线互相平行,求21x x +的取值范围.22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图所示,PA 为圆O 的切线,A 为切点,两点，于交圆C B O PO ,20PA =，10,PB =BAC ∠的角平分线与BC 和圆O 分别交于点D 和E .（1）求证AB PC PA AC ⋅=⋅（2）求AD AE ⋅的值.2015届甘肃省部分普通高中高三第一次联考文科数学试卷(带解析)5 / 1823．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos (sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2sin()3πρθ+=:3OM πθ=与圆C 的交点为P 、O ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．24．（本小题满分l0分）选修4—5：不等式选讲已知函数()|21|,()||f x x g x x a =+=+（1）当0=a 时，解不等式()()f x g x ≥；（2）若存在R x ∈，使得，)()(x g x f ≤成立，求实数a 的取值范围．2015届甘肃省部分普通高中高三第一次联考文科数学试卷(带解析)1 / 18参考答案1．A【解析】试题分析：由0232<++x x ，得12-<<-x ，{}12|-<<-=x x M ，由221421-⎪⎭⎫ ⎝⎛=≤⎪⎭⎫ ⎝⎛x ，得2-≥x ，{}{}2|12|-≥-<<-=∴x x x x N M {}2|-≥=x x ，故答案为A.考点：1、解不等式；2、集合的并集.2．C【解析】试题分析：()()()i i i i i z +=-++=-=1111212，211=+=∴z ，()i i i i z 2211222=++=+=，z 的共轭复数为i z -=1，z 的虚部为1，真命题是2p ，4p ，故答案为C.考点：1、复数的概念；2、复数的基本运算.3．C【解析】试题分析：命题“若2320,x x -+=则1x = ”的逆否命题为“若1x ≠则2320x x -+≠”，正确；命题:p 存在R x ∈0，使得20010x x ++<，则非:p 任意R x ∈，都有012≥++x x ，正确；若p 且q 为假命题，则q p ,可能都是假命题，也可能一真一假，错误；当1<x 时，能得到0232>+-x x ；当0232>+-x x2>x 或1<x ，故答案为C.考点：命题真假性的判断.4．B【解析】试题分析：该几何体为一个三棱柱，棱柱的高是4，底面正三角形的高是33，设底面边长为x ， 则3323=⋅x ，6=∴x ，故三棱柱的体积336433621=⋅⋅⋅，故答案为B. 考点：由三视图求体积.5．C【解析】32==+，1cos32a b ab aπ⋅=⋅=，因124=++，08=-+，由于0a>2=，故答案为C.考点：平面向量的数量积.6．B【解析】试题分析：函数()1,01≠>=-aaay x图象恒过点()1,1A，代入直线方程得1=+nm，()=+⋅⎪⎭⎫⎝⎛+=+∴nmnmnm11114222=⋅+≥++nmmnnmmn，nm11+的最小值为4，故答案为B.考点：1、函数过定点；2、基本不等式的应用.7．D【解析】试题分析：821lglglg aaa+++ ()()=⋅=⋅⋅=454821lglg aaaaa 410lg4=，故答案为D.考点：1、对数的运算；2、等比数列的性质.8．D【解析】试题分析：满足不等式组的区域如图ABO∆内部（含边界），由于直线xy=与xy-=垂直，ABO∆与圆222=+yx的公共部分如图阴影部分是41圆，则点P落在圆222≤+yx内的概率为⎪⎭⎫⎝⎛+⨯⨯⨯==∆434221241πABOSSP扇形323π=，故答案为D.答案第2页，总12页2015届甘肃省部分普通高中高三第一次联考文科数学试卷(带解析)3 / 18考点：1、线性规划的应用；2、几何概型的概率计算公式.9．D【解析】试题分析：根据导函数图象，知2是函数的1极小值点，函数()x f y =的大致图象如图所示，由于()()230==f f ，21<<a ，所以()a x f y -=的零点个数为4个，故答案为D.考点：1、导函数与函数的关系；2、函数零点的个数.10．C【解析】试题分析：()x x x f cos s in 3-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x c os 21s in 232⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6s in 2πx ，向左平移()0>m m 个单位后得到函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=m x y 6sin 2π，由于是奇函数，因此⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6sin 20πm ，答案第4页，总12页 得ππk m =-6，6ππ+=∴k m当0=k 时，m 的最小值是6π，故答案为C. 考点：1、三角函数的化简；2、奇函数的应用.11．B【解析】试题分析：由题意设抛物线的标准方程()022>=p px y ，由抛物线的性质抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离得322=+p ，得2=p ，抛物线方程x y 42=，820=∴y ，32420=+=∴y OM ，故答案为B.考点：抛物线的几何性质.12．C【解析】试题分析：令1,==y n x 得()()()11+=⋅n f f n f ，即121+=⋅n n a a ，数列{}n a 以21为首项，21为公比的等比数列，()21121121111-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=∴n n n q q a S 1211<-=n ，各项都为正数，211=≥S S n ，故答案为C. 考点：1、等比数列的判断；2、等比数列的前n 项和公式.13．14【解析】试题分析：由于35>，故5⊗3()10135=-⨯=，42<，故2⊗4()4124=-⨯=，故结果是14.考点：新定义在程序框图的应用.14．21 【解析】 试题分析：θθθθθθsin cos cos sin tan 1tan +=+4cos sin cos sin 22=⋅+=θθθθ，因此41cos sin =⋅θθ，212sin =θ. 考点：1、同角三角函数的基本关系；2、二倍角的正弦公式.15．32【解析】2015届甘肃省部分普通高中高三第一次联考文科数学试卷(带解析)试题分析：由双曲线的定义得221=-PF PF ，8422221==+c PF PF ，()⋅-+=-∴122212212PF PF PF PF PF 42=PF ，4221=⋅∴PF PF ，()122212221221=⋅++=+∴PF PF PF PF PF PF ，3221=+∴PF PF .考点：双曲线的简单几何性质. 16．⎪⎭⎫⎢⎣⎡3,49 【解析】试题分析：曲线()x x a y ln 33+-=存在垂直于y 轴的切线，()xx a y 1332+-='∴()01333=+-=x x a 在0>x 时有解，因此()01333=+-x a ，此时03<-a ，得3<a ，函数()1323+--=x ax x x f 在[]2,1上单调递减，则()0≤'x f ，()03232≤--='∴ax x x f 恒成立，即xx x x a 333322-=-≥， 函数x x y 33-=在区间[]2,1上单调递增，最大值为29236=-，满足292≥a ，49≥∴a ，因此349<≤a .考点：1、利用导数研究函数的性质；2、恒成立的问题. 17．（1）31cos =B ；（2）6==c a .【解析】 试题分析：（1）熟悉三角公式的整体结构，灵活变换，要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形；（2）在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围，在三角形中，注意隐含条件π=++C B A （3）解决三角形问题时，根据边角关系灵活的选用定理和公式. 试题解析：（1）由正弦定理得C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===， 则R B A R C B R 2cos sin 6cos sin 2-=B C cos sin 故B C B A C B cos sin cos sin 3cos sin -= 可得B A B C C B cos sin 3cos sin cos sin =+ 即()B A C B cos sin 3sin =+因此得B A A cos sin 3sin =，0sin ≠A ，得31cos =B 解：由2=⋅BC BA ,可得2cos =B ac ，又31cos =B ，故6=ac ，由B ac c a b cos 2222-+=，得1222=+c a ，()02=-∴c a 所以6==c a .考点：正余弦定理的应用.18．（1）5=a ，27=b ，9.0=x ，2.0=y ；（2）2,3,1；（3）51=P . 【解析】 试题分析：（1）解决频率分布直方图的问题，关键在于找出图中数据之间的关系，这些数据中，比较明显的有组距、组距频率，间接的有频率，小长方形的面积，合理使用这些数据，再结合两个等量关系：小长方形的面积等于频率，小长方形的面积之和等于1，因此频率之和为1；（2）古典概型的概率问题，关键是正确找出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率计算公式计算；当基本事件总数较少时，用列举法把所有的基本事件一一列举出来，要做到不重不漏，有时可借助列表，树状图列举. 试题解析：（1）由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为2536.09=， 再结合频率分布直方图可知=n 10010025.025=⨯, ∴ =a 100×0.01×10×0.5=5，=b 100×0.03×10×0.9=27， 2.0153,9.02018====y x 4分（2）因为第2，3，4组回答正确的人数共有54人，所以利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：265418=⨯人；第3组：365427=⨯人；第4组：16549=⨯人 8分 （3）设第2组2人为：A 1，A 2；第3组3人为：B 1，B 2，B 3；第4组1人为：C 1.则从6人中随机抽取2人的所有可能的结果为：（A 1,A 2），（A 1,B 1），（A 1,B 2），（A 1,B 3），（A 1,C 1）， （A 2,B 1），（A 2,B 2），（A 2,B 3），（A 2,C 1），（B 1,B 2），（B 1,B 3），（B 1,C 1），（B 2,B 3），（B 2,C 1），（B 3,C 1）共15个基本事件，其中恰好没有第3组人共3个基本事件， . 10分 ∴ 所抽取的人中恰好没有第3组人的概率是：51153==P . . 12分 考点：1、古典概型的概率计算公式；2、频率分布直方图的应用. 19．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）55a【解析】 试题分析：（1）解决立体几何的有关问题，空间想象能力是非常重要的，但新旧知识的迁移融合也很重要，在平面几何的基础上，把某些空间问题转化为平面问题来解决，有时很方便；（2）证明线面平行常用方法：一是利用线面平行的判定定理，二是利用面面平行的性质定理，三是利用面面平行的性质，证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面.解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；（3）证明两个平面垂直，2015届甘肃省部分普通高中高三第一次联考文科数学试卷(带解析)首先考虑直线与平面垂直，也可以简单记为“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明类似，掌握化归与转化思想方法是解决这类题的关键. 试题解析：（1）证明：取PB 中点Q ，连结MQ 、NQ ，因为M 、N 分别是棱AD 、PC 中点，所以 QN//BC//MD ，且QN=MD ，于是DN//MQ.PMB DN PMB DN PMB MQ MQDN 平面平面平面////⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊆ 4分 （2）MB PD ABCD MB ABCD PD ⊥⇒⎭⎬⎫⊆⊥平面平面又因为底面ABCD 是 60=∠A 、边长为a 的菱形，且M 为AD 中点， 所以AD MB ⊥.又所以PAD MB 平面⊥..PAD PMB PMB MB PAD MB 平面平面平面平面⊥⇒⎭⎬⎫⊆⊥ 8分（3）因为M 是AD 中点，所以点A 与D 到平面PMB 等距离.过点D 作PM DH ⊥于H ，由（2）平面PMB ⊥平面PAD ，所以PMB DH 平面⊥. 故DH 是点D 到平面PMB 的距离..55252a a aa DH =⨯=所以点A 到平面PMB 的距离为a 55. 12分考点：1、直线与平面平行的判定；2、平面与平面垂直的判定；3、点到平面的距离.20．（1）13422=+y x ；（2）()2122=+-y x 【解析】试题分析：（1）设椭圆的方程，若焦点明确，设椭圆的标准方程，结合条件用待定系数法求出22,b a 的值，若不明确，需分焦点在x 轴和y 轴上两种情况讨论；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式∆：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论. 试题解析：（1）由题知1=c ， 椭圆的焦点()0,11-F ，()0,12F42349222=++=a ∴椭圆C 的方程为13422=+y x （4分）①当直线l ⊥x 轴时，可得A （-1，-23），B （-1，23），B AF 2∆的面积为3，不符合题意． （6分） ②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为()1+=x k y ．代入椭圆方程得：01248)43(2222=-+++k x k x k ，显然∆＞0成立，设A ),(11y x ，B ),(22y x ，则2221438k k x x +-=+，222143128k k x x +-=⋅，可得|AB|=2243)1(12k k ++ （10分）又圆2F 的半径=r 21||2k k +，∴B AF 2∆的面积=21=r AB 22431||12k k k ++=7212，化简得：174k +2k -18=0，得k=±1，∴r =2，圆的方程为2)1(22=+-y x （12分）考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆的综合问题. 21．（1）232ln 25-； （2）当10<<m 时，()x f 在()m ,0上单调递减，在()1,m 上单调递增， 当1=m 时，()x f 在()1,0单调递减，当1>m 时，()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛m 1,0上单调递减，在⎪⎭⎫ ⎝⎛1,1m 上单调递增； （3）⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,56. 【解析】试题分析：（1）求函数()x f 的极值的一般步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数()x f '；（3）解方程()0='x f ，求出函数定义域内的所有根；（4）列表检验()x f '在()0='x f 的根2015届甘肃省部分普通高中高三第一次联考文科数学试卷(带解析)0x 左右两侧的符号，如果在0x 附近的左侧()0>'x f ，右侧()0<'x f ，那么()0x f 是极大值；如果在0x 附近的左侧()0<'x f ，右侧()0>'x f ，那么()0x f 是极小值；（2）函数()x f y =在某个区间内可导，则若()0>'x f ，则()x f 在这个区间内单调递增，若()0<'x f ，则()x f 在这个区间内单调递减；（3）对于恒成立的问题，常用到两个结论：（1）()x f a ≥恒成立()max x f a ≥⇔，（2）()x f a ≤恒成立()min x f a ≤⇔.试题解析：（1）当2=m 时，()x xx x f -+=1ln 25，()()()()02122112522>---=--='x x x x x x x f ， 由()0<'x f 得2>x 或210<<x ，由()0>'x f 得221<<x ，因此函数()x f 在区间⎪⎭⎫⎝⎛21,0和()+∞,2单调递减，在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛2,21上单调递增，故()x f 的极大值为()232ln 252-=f ()xx m m x f 11-+='()()0,0112>>⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-m x x m x m x 当10<<m 时，()x f 在()m ,0上单调递减，在()1,m 上单调递增 当1=m 时，()x f 在()1,0单调递减 当1>m 时，()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛m 1,0上单调递减，在⎪⎭⎫⎝⎛1,1m 上单调递增 （3）由题意,可得)()(2'1'x f x f =（2121,0,x x x x ≠>）既=--+111211x x m m 2121222)1(111x x m m x x x x m m +=+⇒--+mm x x x x m m x x 14)2)(1(2122121+>+⇒++<+∴对),3[+∞∈m 恒成立另)3(1)(≥+=m m m m g 则)(m g 在),3[+∞上单调递增，310)3()(=≥∴g m g故56)3(414=≤+g mm ，从而56)3(421=>+g x x 21x x +∴的取值范围是),56(+∞. 考点：1、利用导数求函数极值；2、利用导数求函数的单调性；3、恒成立的问题.22．（1）证明见解析；（2）360. 【解析】 试题分析：（1）从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线，平分两条切线的夹角；（2）判断三角形相似：一是平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似；二是如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等, 那么这两个三角形相似；三是如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等, 那么这两个三角形相似；四是如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；五是对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角；（3）切割线定理：切割线定理，是圆幂定理的一种，从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.试题解析：（1）∵ PA 为圆O 的切线, ,PAB ACP ∴∠=∠又P ∠为公共角, PCA PAB ∆∆∽AB PAAC PC∴=. 4分 （2）∵PA 为圆O 的切线,BC 是过点O 的割线, 2,PA PB PC ∴=⋅40,30PC BC ∴== 又∵022290,900CAB AC AB BC ∠=∴+==又由（1）知12AB PA AC AB AC PC ==∴==连接EC ,则,CAE EAB ∠=∠ADB ACE ∆∆∽，则ACADAE AB =，∴AD AE AB AC 360⋅=⋅==. 10分 考点：1、切割线定理的应用；2、三角形相似的应用. 23．（1）θρcos 2=；（2）2.【解析】 试题分析：（1）将参数方程转化为直角坐标系下的普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取恰当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法；（2）将参数方程转化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若y x ,有范围限制，要标出y x ,的取值范围；（3）直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式θρcos =x 及θρsin =y 直接代入并化简即可；而极坐标方程化为极坐标方程要通过变形，构造形如θρcos ，θρsin ，2ρ的形式，进行整体代换，其中方程的两边同乘以（或同除以）ρ及2015届甘肃省部分普通高中高三第一次联考文科数学试卷(带解析)方程的两边平方是常用的变形方法.试题解析：圆C 的普通方程为1)1(22=+-y x ，又θθρsin ,cos ==y x 所以圆C 的极坐标方程为θρcos 2= （5分）设),(11θρP ，则有⎪⎩⎪⎨⎧==3cos 2πθθρ解得3,111πθρ==设),(22θρQ ，则有⎪⎩⎪⎨⎧==+333)cos 3(sin πθθθρ解得3,322πθρ== 所以2||=PQ . （10分） 考点：极坐标方程的应用.24．（1）(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞--∞-,311, ；（2）21-≥a 【解析】试题分析：（1）理解绝对值的几何意义，x 表示的是数轴的上点x 到原点离.（2）对于恒成立的问题，常用到以下两个结论：（1）()x f a ≥恒成立()max x f a ≥⇔，（2）()x f a ≤恒成立()min x f a ≤⇔（3）b a b a b a +≤+≤-的应用.（4）掌握一般不等式的解法：()()a x a x a a x -≤≥⇔>≥或01，()()a x a a a x ≤≤-⇔>≤02.试题解析：当0=a 时，由()()x g x f ≥得x x ≥+12，两边平方整理得01432≥++x x ， 解得1-≤x 或31-≥x ，因此原不等式的解集为(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞--∞-,311, 由()()x g x f ≤得x x a -+≥12，令()x x x h -+=12，则()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+<<-+-≤--=0,1021,1321,1x x x x x x x h故()2121min -=⎪⎭⎫⎝⎛-=h x h ，从而所求实数a 的范围21-≥a .考点：1、含绝对值不等式的解法；2、恒成立的问题.。

兰州一中2015届高三第三次模拟考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试用时120分钟．考试结束后，将试题纸和答题卡一并交回．第Ⅰ卷(选择题 共60分)注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座位号和准考证号填写在答题卡和试卷规定的位置．2．答题时，考生需用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A ={x ||x -12|≤32}，B ={x |y =lg(4x -x 2)}，则A ∩B 等于 A ．(0，2]B ．∪C ．(-∞，3]D ．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos cos 2B bC a c=-+． (Ⅰ)求角B 的大小；(Ⅱ)若△ABC 的面积Sa =1，求边AC 上的中线BD 的长．18．(本小题满分12分)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB =BC =CA =AA 1=2，侧棱AA 1⊥面ABC ，D 、E 分别是棱A 1B 1，AA 1的中点，点F 在棱AB 上，且AF =14AB ．(Ⅰ)求证：EF ∥平面BDC 1； (Ⅱ)求二面角E －BC 1－D 的余弦值．19．(本小题满分12分)已知袋内有标有1～6数字的小球6个，球除标号不同外完全相同，甲、乙两人玩“摸球赢枣”的游戏，由丙做裁判，游戏规定由丙从袋中有放回的摸三次球，记第1、2、3次摸到的球的标号分别为a ，b ，c ，然后将所得的数代入函数f (x )=ax 2+bx +c，若所得到的函数无零点，则甲输一个枣给乙，若所得到的函数(第18题图)有零点，则乙输四个枣给甲． (Ⅰ)记函数的零点的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望； (Ⅱ)根据两人得枣的数学期望，该游戏公平吗？若不公平，谁吃亏？20．(本小题满分12分)如图，椭圆C ：22221x y a b+=(a >b >0)的离心率e =35，左焦点为F ，A ，B ，C 为其三个顶点，直线CF 与AB 交于点D ，若△ADC 的面积为15． (Ⅰ)求椭圆C 的方程； (Ⅱ)是否存在分别以AD ，AC 为弦的两个相外切的等圆？ 若存在，求出这两个圆的圆心坐标；若不存在，请说明理由．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )=a ln x +x 2(a 为实数)．(Ⅰ)求函数f (x )在区间上的最小值及相应的x 值；(Ⅱ)若存在x ∈，使得f (x )≤(a +2)x 成立，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．22．(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲设AB 为圆O 的直径，AB =10．E 为线段AO 上一点，OE =17AB ．过E 作一直线交圆O 于C ，D 两点，使得∠CEA =45°．试求CE 2+ED 2的值．23．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程．设直线l 的参数方程为35sin 26cos6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)，若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为ρ=26cos sin θθ． (Ⅰ)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线； (Ⅱ)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|AB |．(第20题图)A B（第22题图）24．(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲若实数a，b满足ab>0，且a2b=4，若a+b≥m恒成立．(Ⅰ)求m的最大值；(Ⅱ)若2|x-1|+|x|≤a+b对任意的a，b恒成立，求实数x的取值范围．兰州一中2015届高三第三次模拟考试理科数学参考答案一、选择题 1．A 解析：∵A =，B =(0，4)，则A ∩B =(0，2]．故选A ．2．D 解析：由图知，z =2+i ，∴221311121122z i i i i i i i i ++-==⋅=-+-+-，则对应的点位于复平面内的第四象限．故选D ．3．D 解析：依题意可得，2x +2a -6π=2x -2a -6π+2k π(k ∈Z )，∴a =2k π(k ∈Z )，∵a ∈(0，π)，∴a =2π．故选D ． 4．A 解析：∵S n =na 1+(1)2n n -d =n m ，S m =ma 1+(1)2m m -d =m n，解得d =2mn ，a 1=1mn． ∵故S m +n -4=(m +n )a 1+()(1)2m n m n ++-d -4=2()m n mn->0(∵m ≠n )．故选A ．5．D 解析：四棱锥的底面可由6个侧面和6个对角面构成，每个底面对应4个四棱锥，故所求概率为P =5812467C ⨯=．故选D ． 6．D解析：计算f ′(x )中x 2的系数较麻烦，只需计算f (x )中x 3的系数．f (x )=(1+x )(1-x 2)5=(1-x 2)5+x (1-x 2)5，x 3的系数为0-15C =-5，∴含x 3的项为-5x 3，故函数f ′(x )中x 2的系数是-15．故选D ． 7．B 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由x +y =1与抛物线y 2=2px ，得y 2+2py -2p =0，解得y 1=-px 1=1+py 2=-px 2=1+p由OA ⊥OB 得，x 1x 2+y 1y 2=0，即+=0，化简得2p =1， 从而A)，B)，OA 2=x 12+y 12， OB 2=x 22+y 22，△OAB 的面积S =12|OQ ||OB．故选B ． 8．D解析：由三视图知这个几何体是一个三棱锥P —ABC ，其中P A ⊥面ABC ，AB =1，PB =a ，BC =b ，PC∠BAC =90°，设P A =x ，AC =y ，则2222221,1,6.x a y b x y ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩⇒a 2+b 2=8，由2a b +≤知当a =b =2时a +b 取最大值，此时x =y P —ABC 的体积V =111322xy ⨯=．故选D ．9．B 解析：由框图的顺序，s =0，n =1，s =(s +n )n =(0+1)×1=1；n =2，依次循环s =(1+2)×2=6，n =3；注意此刻3>3仍然是“否”，所以还要循环一次s =(6+3)×3=27，n =4，此刻输出s =27．故选B ． 10．A 解析：点差得，1212121222()()()()x x x x y y y y a b +-+--=0，即224ka b-=0，∴2214b a =，e 2=1+2254b a =．故选A ． 11．A解析：f ′(x )=(x +1-a )e x ，依题意，x +1-a ≥0或x +1-a ≤0区间(2，3)内恒成立，∴a ≤3或a ≥4．故选A ．12．A 解析：∵AO 11，C 1O 22，O 1O 2=R 1+R 2，∴R 1+R 2R 1+R 2，球O 1和O 2的表面积之和为4π(R 12+R 22)≥4π ·2(122R R +)2=2π(R 1+R 2)2π．故选A ．二、填空题13．384 解析：由于甲、乙是特殊元素，可先安排甲、乙，分两种情况：(1)甲坐两端，可从四个位中选一个坐下，有14A 种，由于乙不与甲坐对面和相邻，在其他3个位中选一个坐下有13A 种，其余4人有44A 种，此类有114434A A A 种方法．(2)甲在中间两个位上找一个位子坐下，有12A 种，乙应在其他两个位上找一个位子坐下有12A 种，其余4人有44A 种坐法．此类坐法有114224A A A 种． 所以满足条件的坐法共有114114434224A A A A A A +=384(种)．故填384． 14．14 解析：设BC 边中点为M ，则2AB AC AM +=，由题设45AO AM =， ∴A 、O 、M 共线，且AO =4OM ，而∠BOM =2∠BAM ，∴∠BOM =∠BAC ， 即cos ∠BAC =14OM OM OB OA ==．故填14．15．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入双曲线方程作差得(x 1+x 2)(x 1-x 2)=(y 1+y 2)(y 1-y 2)，∵x 1+x 2=6，y 1+y 2=2，1212y y x x --=3，∴AB 的方程为y =3x -8，与圆方程联立得10(x -3)2=5，∴(x -3) 2=12，∴a 2=(x +y )(x -y )=(4x -8)(8-2x )=8-8(x -3)2=4．a =2．故填2． 16．(14，1) 解析：∵2222x b ax +-<⇔x 2+ax +2b <0，依题意方程x 2+ax +2b =0只有唯一的整数解x =1，∴方程x 2+ax +2b =0一根在内，即函数f (x )=x 2+ax +2b 的图象与x 轴在内各有一个交点．∴(0)00(1)0210(2)020f b f a b f a b ≥≥⎧⎧⎪⎪<⇒++<⎨⎨⎪⎪≥++≥⎩⎩，作出可行域，如图所示： ∵21b a --为可行域内的点(a ，b )与定点P (1，2)的连线的斜率， 由图可知，k P A <21b a --<k PB ，其中点A (-3，1)，B (-1，0)， ∴k P A =14，k PB =1，故21b a --的取值范围是(14，1)．三、解答题 17．(Ⅰ)解：由c o s s i nc o s 2s inB BC A C =-+⇒2sin A cos B +sin(B +C )=0， ……………………2分 即2sin A cos B +sin A =0，…………………………………………………………………4分而sin A ≠0，∴cos B =-12，B =23π．……………………………………………………6分 (Ⅱ)解：因S =12ac sin B ，又Sa =1，sin B则c =4． (8)分解法一：由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B，得b………………………………10分由cosC=222222()2222ba BD abc ab a +-+-=⋅2211BD +-=， 解得BD．………………………………………………………………………12分 解法二：作AE 平行于BC ，并延长BD 交AE 于E ，在△ABE 中，∠BAE =3π，AB =4，AE =1，且BD =12BE ，又BE 2=AB 2+AE 2-2AB ·AE cos A ， 即BE 2=16+1-2×4×1×12=13，这样BD =12BE．………………………………12分18．(Ⅰ)证明(证法一)：设O 为AB 的中点，连结A 1O ，∵AF =14AB ，O 为AB 的中点，∴F 为AO 的中点，又E 为AA 1的中点，∴EF ∥A 1O ． 又∵D 为A 1B 1的中点，O 为AB 的中点，∴A 1D =OB ． 又A 1D ∥OB ，∴四边形A 1DBO 为平行四边形． ∴A 1O ∥BD ．又EF ∥A 1O ，∴EF ∥BD ． 又EF ⊄平面DBC 1，BD ⊂平面DBC 1． ∴EF ∥平面DBC 1．…………………6分(证法二)建立如图所示的坐标系．(坐标系建立仅为参考) ∵AB =BC =CA =AA 1=2，D 、E 分别为A 1B 1、AA 1的中点，AF =14AB ．E (-1，0，1)，F (-12，0，0)，B (1，0，0)，D (0，0，2)，C 1(02)．设平面DBC 1的法向量为n =(x ，y ，z )．EF =(12，0，-1)，BD =(-1，0，2)，1BC =(-12)．BD ·n =-x +2z =0，1BC ·n =-x+2z =0， 令z =1，则y =0，x =2，∴n =(2，0，1)．EF ·n =12×2+0×0+(-1)×1=0，∴EF ⊥n ．又EF ⊄平面BDC 1，∴EF ∥平面BDC 1．……………6分 (Ⅱ)解：设平面EBC 1的法向量为m =(x ，y ，z )． BE =(-2，0，1)，1BC =(-12)．BE ·m =-2x +z =0，1BC ·n =-x+2z =0，O(第18题解图1)yo(第18题解图2)令x =1，则z =2，y m =(1，2)．cos< m ，n >=||||⋅==m n m n || ∴二面角E －BC 1－D 的余弦值为．……………………………………………12分 19．(Ⅰ)解：ξ的可能取值为0，1，2．f (x )=ax 2+bx +c 的判别式∆=b 2-4ac ，当∆=0时，b 为偶数，b =2时，a =1，c =1；b =4时，a =1，c =4或a =2，c =2或a =4，c =1；b =6时，a =3，c =3，∴P (ξ=1)=5216．…………………………………………………4分当∆≥0时，有b ≥3，b =3时，ac ≤2，有3种；b =4时，ac ≤4，有9种；b =5时，ac ≤6，有14种；b =6时，ac ≤9，有17种，共计43种．∴ξ=1的情形有43-5=38种，∴P (ξ=2)=38216． P (ξ=0)=1-P (ξ=1)-P (ξ=2)=173216．…………………………………………………………6分∴ξ的分布列为：数望E ξ=1735388130122162162162168⨯+⨯+⨯==．…………………………………8分 (Ⅱ)甲得枣的数学期望是43173141216216216⨯-⨯=-，…………………………………10分 乙得枣的数学期望是17343114216216216⨯-⨯=．………………………………………11分 ∴该游戏不公平，甲吃亏．……………………………………………………………12分20．(Ⅰ)解：设左焦点F 的坐标为(-c ，0)，其中c∵e =35c a =，∴a =53c ，b =43c ．···································1分∴A (0，43c )，B (-53c ，0)，C (0，-43c )，······················································2分 ∴AB ：33154x y c c -+=，CF ：314x yc c--=，····················································3分 联立解得D 点的坐标为(-54c ，13c )．····························································4分 ∵△ADC 的面积为15，∴12|x D |·|AC |=15，即12·54c ·2·43c =15，解得c =3，∴a =5，b =4，∴椭圆C 的方程为2212516x y +=．································6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知，A 点的坐标为(0，4)，D 点的坐标为(-154，1)．····························7分假设存在这样的两个圆M 与圆N ，其中AD 是圆M 的弦，AC 是圆N 的弦， 则点M 在线段AD 的垂直平分线上，点N 在线段AC 的垂直平分线y =0上．·······8分当圆M 和圆N 是两个相外切的等圆时，一定有A ，M ，N 在一条直线上，且AM =AN ．∴M 、N 关于点A 对称，设M (x 1，y 1)，则N (-x 1，8-y 1)，································9分 根据点N 在直线y =0上，∴y 1=8．∴M (x 1，8)，N (-x 1，0)，而点M 在线段AD 的垂直平分线y -52=-54(x +158)上，可求得x 1=-25140．···········10分故存在这样的两个圆，且这两个圆的圆心坐标分别为 M (-25140，8)，N (25140，0)．·····································································12分 21．(Ⅰ)解：f (x )=a ln x +x 2的定义域为(0，+∞)，f ′(x )=ax +2x =22x a x+． (1)分当x ∈时，2x 2∈．································································2分 若a ≥-2，f ′(x )在上非负(仅当a =-2，x =-1时，f ′(x )=0)， 故f (x )在上单调递增，此时f (x )min =f (1)=1；··········································3分若-2e 2<a <-2，令f ′(x )<0，解得1≤x f (x )单调递减；令f ′(x )>0x ≤e ，此时f (x )单调递增，∴f (x )min =f ln()222a a a--；·····························································4分 若a ≤-2e 2，f ′(x )在上非正(仅当a =-2e 2，x =e 时，f ′(x )=0)，故f (x )在上单调递减，此时f (x )min =f (e )=a +e 2．······································5分综上所述，得a ≥-2时，f (x )min =1，相应的x =1；当-2e 2<a <-2时，f (x )min =ln()222a a a--，相应的x =；当a ≤-2e 2时，f (x )min =a +e 2，相应的x =e ．······························6分(Ⅱ)解：不等式f (x )≤(a +2)x 可化为a (x -ln x )≥x 2-2x ． ∵x ∈，∴ln x ≤1≤x 且等号不能同时成立，∴ln x <x ，即x -ln x >0，·················8分因而a ≥22ln x x x x --，x ∈，令g (x )=22ln x xx x--(x ∈)，则g ′(x )=2(1)(22ln )(ln )x x x x x -+--， 当x ∈时，x -1≥0，ln x ≤1，x +2-2ln x >0，················································10分从而g ′(x )≥0(仅当x =1时取等号)，∴g (x )在上是增函数， 故g (x )min =g (1)= -1，∴实数a 的取值范围是 或由(*)式解得t 1=6，t 2=-2，|AB |=|t 1-t 2|=8．或将直线方程化为直角坐标方程用弦长公式求解均可．24．(Ⅰ)解：由题设可得b =24a >0，∴a >0．∴a +b =a +24a=2422a a a ++≥3，当a =2，b =1时，a +b 取得最小值3，∴m 的最大值为3．···········································5分(Ⅱ)解：要使2|x -1|+|x |≤a +b 对任意的a ，b 恒成立，须且只须2|x -1|+|x |≤3．用零点区分法求得实数x 的取值范围是-13≤x ≤53．········································10分。

2015年甘肃省某校高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A={x|−1<x<1}，B={x|x2−3x≤0}，则A∩B等于（）A [−1, 0]B (−1, 3]C [0, 1)D {−1, 3}2. 已知(1+i)⋅z=2i，那么复数z对应的点位于复平面内的（）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限3. 函数f(x)=sin(−2x)的一个递增区间是（）A (0,π4) B (−π,−π2) C (3π4，2π) D (−π2，−π4)4. 设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a1−a4=0，则S4S2=()A −8B 8C 5D 155. 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的正投影(实线部分)可能是（）A ①④B ①②C ②③D ②④6. 直线ax+by−a=0与圆x2+y2+2x−4=0的位置关系是（）A 相离B 相切C 相交D 与a，b的取值有关7. 已知△ABC是非等腰三角形，设P(cosA, sinA)，Q(cosB, sinB)，R(cosC, sinC)，则△PQR的形状是（）A 锐角三角形B 钝角三角形C 直角三角形D 不确定8. 已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），则这个几何体的体积是（）A 8cm3B 12cm3C 24cm3D 72cm39. 如图是某算法的程序框图，若程序运行后输出的结果是27，则判断框①处应填入的条件是（ ）A n >2B n >3C n >4D n >5 10. P 是双曲线x 24−y 2=1右支（在第一象限内）上的任意一点，A 1，A 2分别是左右顶点，O 是坐标原点，直线PA 1，PO ，PA 2的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则斜率之积k 1k 2k 3的取值范围是（ ）A (0, 1)B (0, 18) C (0, 14) D (0, 12)11. 已知函数f(x)=|2x −1|，f(a)>f(b)>f(c)，则以下情况不可能发生的是（ ） A a <b <c B a <c <b C b <c <a D b <a <c12. 点P 在直径为5的球面上，过P 作两两互相垂直的三条弦（两端点均在球面上的线段），若其中一条弦长是另一条弦长的2倍，则这三条弦长之和的最大值是（ ） A 2√14 B 2√70 C √70 D √14二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 若平面区域{|x|+|y|≤2y +2≤k(x +1)是一个三角形，则k 的取值范围是________．14. 一个立方体骰子的六个面分别标有数字1，2，2，3，3，4；另一个立方体骰子的六个面分别标有数字1，3，4，5，6，8．掷两粒骰子，则其最上面所标的两数之和为7的概率是________． 15. 设a →=(4, 3)，a →在b →上的投影为√22，b →在x 轴上的投影为1，则b→=________．16. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n =(a +1)n 2+a ，某三角形三边之比为a 2:a 3:a 4，则该三角形的面积________．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 数列{a n }中，a 1=2，a n+1=a n +cn(c 是不为0的常数，n ∈N ∗)，且a 1，a 2，a 3成等比数列．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）若b n =a n −c n⋅c n，求数列{b n }的前n 项和T n ．18. 在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=BC=CA=AA1=2，侧棱AA1⊥平面ABC，D为棱A1B1的中点，E为AA1的中点，点F在棱AB上，且AF=1AB．4（1）求证：EF // 平面BC1D；（2）求点D到平面EBC1的距离．19. 为了调查高一新生中女生的体重情况，校卫生室随机选取20名女生作为样本测量她们的体重（单位：kg），获得的所有数据按照区间(40, 45]，(45, 50]，(50, 55]，(55, 60]进行分组，得到频率分布直方图如图所示．已知样本中体重在区间(45, 50]上的女生数与体重在区间(55, 60]上的女生数之比为4:3．（1）求a，b的值；（2）从样本中体重在区间(50, 60]上的女生中随机抽取两人，求体重在区间(55, 60]上的女生至少有一人被抽中的概率．20. 已知⊙C过点P(1, 1)，且与⊙M：(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)关于直线x+y+2=0对称．(1)求⊙C的方程；(2)过点P作两条相异直线分别与⊙C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．+blnx，曲线y=f(x)在点（1, f(1)）处切线方程为3x+y−21. 已知函数f(x)=2x−ax8=0．（1）求a，b的值，并求函数f(x)的单调递增区间；（2）设g(x)=f(x)−3，试问过点(2, 2)可作多少条直线与曲线y=g(x)相切？请说明理x由．【选修4-1：几何证明选讲】（共1小题，满分10分）22. 在△ABC中，AB=AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC延长线于点D．（1）求证：PCAC =PDBD；（2）若AC=2，求AP⋅AD的值．【选修4-4：坐标系与参数方程】（共1小题，满分0分）23. 在平面直角坐标系xoy中，动点A的坐标为(2−3sinα, 3cosα−2)，其中α∈R．以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的方程为ρcos(θ−π4)=a．（1）判断动点A的轨迹表示什么曲线；（2）若直线l与动点A的轨迹有且仅有一个公共点，求实数a的值．【选修4-5；不等式选讲】（共1小题，满分0分）24. 若实数a，b满足ab>0，且a2b=4，若a+b≥m恒成立．(1)求m的最大值；(2)若2|x−1|+|x|≤a+b对任意的a，b恒成立，求实数x的取值范围．2015年甘肃省某校高考数学三模试卷（文科）答案1. C2. A3. D4. C5. A6. C7. B8. B9. B10. B11. D12. C13. (−∞, −2)∪(0, 23]14. 1615. (1, −1)或(1, −3117)16. 15√3417. 解：（1）由已知可知a2=2+c，a3=2+3c则(2+c)2=2(2+3c)∴ c=2从而有a n+1=a n+2n当n≥2时，a n=a1+(a2−a1)+a3−a2+...+(a n−a n−1) =2+2×1+2×2+...+2n=n2−n+2当n=1时，a1=2适合上式，因而a n=n2−n+2（2）∵ b n=a n−cn⋅c n =a n−2n⋅2n=n−12nT n=b1+b2+...+b n=02+122+⋯+n−22n−1+n−12n1 2T n=22+123+⋯+n−22n+n−12n+1相减可得，12T n=122+123+⋯+12n−n−121+n=14(1−12n−1)1−12−n−12n+1∴ T n=1−n+12n18. 解：（1）证明：由DB1BB1=AFAE=12，可知EF // BD， EF // BDBD⊂平面BC1D}⇒EF // 平面BC1D．（2）由题可知S△EBD=S ABB1A1−S△A1DE−S△ABE−S△BDB1=3 2. A1A⊥平面A1B1C1C1D⊂平面A1B1C1}⇒A1A⊥C1DC1D⊥A1B1}⇒C1D⊥平面ABB1A1则V C1−EBD =13S△EBD⋅C1D=√32，△EBC1中，EC=√5，EB=√5，BC1=2√2，则S△EBC1=√6V C1−EBD=13S△EBC1⋅ℎ=13√6⋅ℎ=√32，则ℎ=3√24．19. 解：（1）样本中体重在区间(45, 50]上的女生有a×5×20=100a（人），…样本中体重在区间(50, 60]上的女生有(b+0.02)×5×20=100(b+0.02)（人），…依题意，有100a=43×100(b+0.02)，即a=43×(b+0.02)．①…根据频率分布直方图可知(0.02+b+0.06+a)×5=1，②…解①②得：a=0.08，b=0.04…（2）样本中体重在区间(50, 55]上的女生有0.04×5×20=4人，分别记为A1，A2，A3，A4，…体重在区间(55, 60]上的女生有0.02×5×20=2人，分别记为B1，B2…从这6名女生中随机抽取两人共有15种情况：(A1, A2)，(A1, A3)，(A1, A4)，(A1, B1)，(A1, B2)，(A2, A3)，(A2, A4)，(A2, B1)，(A2, B2)，(A3, A4)，(A3, B1)，(A3, B2)，(A4, B1)，(A4, B2)，(B1, B2)…其中体重在(55, 60]上的女生至少有一人共有9种情况：(A1, B1)，(A1, B2)，(A2, B1)，(A2, B2)，(A3, B1)，(A3, B2)，(A4, B1)，(A4, B2)，(B1, B2)…记“从样本中体重在区间(50, 60]上的女生随机抽取两人，体重在区间(55, 60]上的女生至少有一人被抽中”为事件M，则P(M)=915=35…20. 解：(1)设圆心C(a, b)，则{a−22+b−22+2=0，b+2a+2=1，解得{a =0，b =0，则圆C 的方程为x 2+y 2=r 2，将点P 的坐标代入得r 2=2，故圆C 的方程为x 2+y 2=2．(2)由题意知，直线PA 和直线PB 的斜率存在，且互为相反数， 故可设PA:y −1=k(x −1)，PB:y −1=−k(x −1)，且k ≠0， 由{y −1=k(x −1)，x 2+y 2=2，得(1+k 2)x 2−2k(k −1)x +k 2−2k −1=0， ∵ 点P 的横坐标x =1一定是该方程的解， 故可得x A =k 2−2k−11+k 2， 同理，x B =k 2+2k−11+k 2，∴ k AB =y B −y A x B −x A=−k(x B −1)−k(x A −1)x B −x A=2k−k(x B +x A )x B −x A=1=k OP ，∴ 直线AB 和OP 一定平行．21. （1）解：f(x)的定义域是(0, +∞)，f′(x)=2+ax 2+bx ． 依题设，f(1)=5，f′(1)=−3， ∴ a =−3，b =−2， ∴ f′(x)=2−3x 2−2x =2x 2−2x−3x 2，令f′(x)>0，又x >0， ∴ x >1+√72．∴ 函数的单调增区间为(1+√72, +∞)；（2）g(x)=f(x)−3x =2x −2lnx ， ∴ g′(x)=2−2x ．设过点(2, 2)与曲线g(x)的切线的切点坐标为(x 0, y 0)，则y 0−2=g′(x 0)(x 0−2)，即2x 0−2lnx 0−2=(2−2x 0)(x 0−2)，∴ lnx 0+2x 0−2=0，令ℎ(x)=lnx +2x −2， ∴ ℎ′(x)=1x −2x 2=x−2x 2，令ℎ′(x)=0，得x =2，∴ ℎ(x)在(0, 2)上单调递减，在(2, +∞)上单调递增， 又ℎ(12)=2−ln2>0，ℎ(2)=ln2−1<0，ℎ(e 2)=2e 2>0，∴ ℎ(x)与x 轴有两个交点，∴ 过点(2, 5)可作2条曲线y =g(x)的切线． 22. （1）证明：∵ ∠CPD =∠ABC ，∠D =∠D ， ∴ △DPC ∽△DBA ． ∴ PCAB =PDBD ．又∵ AB =AC ，∴ PCAC =PDBD …（2）解：∵ ∠ACD =∠APC ，∠CAP =∠CAD ，∴ △APC ∽△ACD ． ∴ APAC =ACAD ，∴ AC 2=AP ⋅AD =4…23. 解：（1）设动点A 的直角坐标为(x, y)，则{x =2−3sinαy =3cosα−2，∴ 动点A 的轨迹方程为(x −2)2+(y +2)2=9， 其轨迹是以(2, −2)为圆心，半径为3的圆．（2）直线l 的极坐标方程ρcos(θ−π4)=a 化为直角坐标方程是x +y =√2a ．由√2a|√2=3，得a =3，或a =−3．24. 解：(1)由题设可得b =4a >0，∴ a >0， ∴ a +b =a +4a 2=a 2+a 2+4a 2≥3，当a =2，b =1时，a +b 取得最小值3， ∴ m 的最大值为3；(2)要使2|x −1|+|x|≤a +b 对任意的a ，b 恒成立， 须且只须2|x −1|+|x|≤3，①x ≥1时，2x −2+x ≤3，解得：1≤x ≤53， ②0≤x <1时，2−2x +x ≤3，解得：0≤x <1， ③x <0时，2−2x −x ≤3，解得：x ≥−13， ∴ 实数x 的取值范围是−13≤x ≤53．。

文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第I 卷(选择题 共50分)一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知集合11,22A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,集合{}2,B y y x x A =|=∈,则AB =( )(A )12⎧⎫⎨⎬⎩⎭(B ){}2 (C ){}1 (D )φ 2. 已知i 是虚数单位,若()32i z i -⋅=,则z =( )(A )1255i - (B )2155i -+ (C )2155i -- (D )1255i +3. 下列函数中,在区间()0,+∞上为增函数的是( ) (A )()ln 1y x =- (B )1y x =-(C )13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭(D )sin 2y x x =+4.抛物线214y x =-的焦点坐标是( ) (A )()1,0- (B )()2,0- (C )()0,1- (D )()0,2- 5.将函数sin y x =的图象上所有的点向右平移10π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是( ) (A )sin 25y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭(B ) sin 210y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭(C )1sin 210y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ (D )1sin 220y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭6.已知A ,B ,C 为ABC ∆的三个内角,命题p :A B =;命题q :sin sin A B =.则p ⌝是q ⌝的( ) (A )充分不必要条件 (B )必要不充分条件(C )充分必要条件 (D )既不充分也不必要条件7.若直线1x y a +=+被圆()()22224x y -+-=所截得的弦长为则a =( ) (A )1或5 (B )1-或5 (C )1或5- (D )1-或5-8.已知向量()3,4OA =-,()6,3OB =-,()2,1OC m m =+,若AB ∥OC ,则实数m 的值为( )(A )15 (B )35- (C )17- (D )3-9.对任意实数a 、b ,定义运算“⊙”：a ⊙b ,1,1b a b a a b -≥⎧=⎨-<⎩，设()()21f x x =-⊙()4x k ++，若函数()f x 的图像与x 轴恰有三个公共点，则k 的取值范围是（ ） (A )()2,1- (B )[]0,1 (C )[)2,0- (D )[)2,1-10. P 为椭圆2211615x y +=上任意一点，EF 为圆()22:14N x y -+=的任意一条直径，则 PE PF ⋅的取值范围是（ ）(A )[]0,15 (B )[]5,15 (C )[]5,21 (D )()5,21第II 卷(非选择题 共100分)二.填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡的相应位置.11．已知直线1:260l ax y ++=，()22:110l x a y a +-+-=，若12l l ⊥，则a =＿＿。

甘肃省兰州市2015届高三第一次诊断性考试语文试题高三2012-03-20 15:02甘肃省兰州市2015届高三第一次诊断性考试语文试题第Ⅰ卷（选择题，共30分）一、（12分，每小题3分）1．下列词语中加点的字，读音全都正确的一项是A．匡正（kuāng）福祉（zhǐ）稳操胜券（juàn）酩酊大醉（mǐng）B．渎职（dú）豢养（huàn）自出机杼（zhù）虚与委蛇（yí）C．召集（zhào）诟病（gîu）踽踽独行(yǔ）折戟成沙（jǐ）D．濒临（bīn）谥号（yì）良莠不齐（yǒu）倾箱倒箧(qiè）2．下列各句中，加点的成语使用恰当的一项是A．尽管2012年壬辰年生肖龙票上张牙舞爪的形象争议重重，但如今此枚邮票的价格已涨了十多倍。

显然，市场的力量也说明了“龙文化”已深入人心。

B．近段时间，大雾天气频繁出现，兰州城仿佛变成雾都，空气中的PM2．5浓度越来越高，今天终于迎来了和煦的阳光，每个人都弹冠相庆。

C．在鸦片战争之后相当长的一段时间里，我们在世界上总是被洋人侧目而视，低看一眼，因为我们国家大而不强．国民多而不富。

D．国安队在比赛中曾一度掀起进攻狂潮，不过在李玮锋领衔的后防线面前难以找到破门的良机，李玮锋反戈一击，使得水原三星队赢得了一场久违的胜利。

3．下列各句中，没有语病的一句是A．故宫是一个历史文化整体，完整保护才有利于在现代社会中凸显其展示历史和见证历史的价值，这也是民主革命时期先行者的意愿。

B．叙利亚反对派在外部势力的支持下，针对政府的抗议示威早已转变成武装对抗，其目标显然不只是一般意义上的政治改革，而是要坚决推翻现政权。

C．今年全国扶贫工作会议提高了扶贫标准，这意味着将有更多低收入的人被加入国家扶持与救助的范围，城乡分割的社会救助制度从此将趋向一体化。

D．从某种意义上说，任何媒介传播都是价值观传播，而纪录片担负着纪录社会、传播文明，天然具有公共服务的精神，价值观和文化品质也就构成了品牌不可或缺的元素。

兰州市2015届高三第二次诊断考试数学(文)注意事项:1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前，考生务必将自忆的姓名、考号填写的答题纸上.2. 本试卷满分150分.考试用时120分种.答题全部在答题纸上，试卷上答题无效.第Ⅰ卷一、选 择题:(本大题12小题，每 小题5分，共60分。

在每 小题给 出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.已知全集{1,2,3,4,5,6,7U =}，{}1,3,5,6A =则U A =ð ( C ) A. {}1,3,5,6 B. {}2,3,7 C. {}2,4,7 D. {}2,5,7解: U A =ð{1,2,3,4,5,6,7}-{}1,3,5,6{}2,4,7=2.1i z i ⋅=-(i 为虚数单位),则z = ( B ). 2A . 2B . 1C 2.2D1, 1= 2 2i z i i z i z ⋅=-⋅=+=解∵∴∴3.已知ABC △内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2222cosC c a b ab =++，，则C = ( D ).6A π . 4B π. 3C π . 2D π解：∵ 2222cosC c a b ab =++ ,又2222cosC c a b ab =+-∵ ,cos 0C =∴ ,2C π=∴4.已知命题:,cos()cos p R απαα∈-=∃;命题2:,10q R x ∈+>∀.则下面结论正确的是( A) A.p q ∨是真命题 B.p q ∧是假命题 C.p ⌝是真命题 D.p 是假命题 解:因为2πα=时, cos()cos παα-=,所以p 是真命题,又因为2,0R x ∈∀≥,所以2,110R x ∈+>∀≥,所以q 是真命题,所以p q ∨是真命题.5.已知实数,x y 满足x ya a <(01a <<),则下列关系式恒成立的是( A )33. A x y >. sin sin B x y>22. ln(1)ln(y 1)C x +>+2211.11D x y >++解:x y a a <∵, 01a <<,x y >∴ ,33x y >∴ ,但22x y x y >⇒>6.已知点F 是抛物线24y x =的焦点，,M N 是该抛物线上两点，6MF NF +=,则MN 中点到准线的 离为( C )3A. B.2 C.3 D.42解：因为MN 的中点到准线的距离是,M N 到准线距离的中位线长，故为()132MF NF += 7.某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱的长度是( B ). 29A. 29B. 13C. 13D解：三视图所示的几何体是四棱锥S ABCD - ，如图:2SD AD ==, 4BC = ,3AB = ,且SA ABCD ⊥平面 ，22SD =∴ ，13SB = ，2229SC SB BC =+=所以最长的侧棱长为29SC =正视图3222 2侧视图4俯视图2SABDC8.阅读右侧程序框图，如果输出5i =,那么在空白矩形框( C ) 中应填入的语句为. 2*2A S i =-. 2*i 1B S =- . 2*C S i =. 2*4D i +解:①1,022*i 1510i S i S ==→=→=+=<不是奇数 ;②3i =是奇数,从选项看，前次S 值无效，要重新计算，这时选项都适合条件，进入下一次循环； ③42*1910i S i ==+=<不是奇数,,进入下次循环；④5910i S ==<是奇数,,这时选项A 和B 都适合条件循环，只有C 不符合条件，输出i , 所以选项C 是正确的。

2015年兰州市第一次高考诊断考试文科数学注意事项:1.本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自已的姓名、准考 证号填写答题卡上。

2.回答第I 卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框。

写在本试卷上无效。

3.回答第II 时，将合案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。

第I 卷(选择题，共60分)一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合{|||1}A x x =<，{|0}B x x =>，则=⋂B A ( ) A ．(1,0)- B ．(1,1)- C ．)21,0(D ．(0,1) 2．复数2(1)z i =+的实部是( )A ．2B ．1C ．0D ．1-3．已知向量→→b a ,满足,0=⋅→→b a 1=2=，则→→-b a ( )A ．0B ．1C ．2 D4．从数字1、2、3中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为( ) A ．16 B ．13 C ．12 D ．235．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin b A =B =( ) A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π6．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是( )A ．2B ．92C ．32D ．37．在直三棱柱111ABC A B C -中，2AB AC BC ===，11AA =，则点A 到平面1A BC 的距离为( ) A ．4 B ．2 C．4D8．如图，程序输出的结果132S =， 则判断框中应填( )A ．10?i ≥B ．11?i ≥C ．11?i ≤D ．12?i ≥9．已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-≤+011y y x y x 所表示的平面区域为D ，若直线3y kx =-与平面区域D 有公共点，则k 的取值范围为是( )A ．[3,3]-B ．11(,][,)33-∞-+∞ C ．(,3][3,)-∞-+∞ D ．11[,]33- 10．在直角坐标系xoy 中，设P 是曲线C ：)0(1>=x xy 上任意一点，l 是曲线C 在点P 处的切线，且l 交坐标轴于A ，B 两点，则以下结论正确的是( )A ．OAB ∆的面积为定值2 B ．OAB ∆的面积有最小值为3C ．OAB ∆的面积有最大值为4D ．OAB ∆的面积的取值范围是[3,4]11．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F，右顶点为A ，上顶点为B ，若椭侧视图俯视图x圆C 的中心到直线AB 的距离为12||6F F ，则椭圆C 的离心率e =( )A ．2 B ．2 C ．3 D ．312．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，若对于任意实数x ，有()()f x f x '>，且()1y f x =-为奇函数，则不等式()x f x e <的解集为( )A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．4(,)e -∞D ．4(,)e +∞第II 卷(非选择题，共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13～第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22～24题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题，每小题5分. 13．已知(0,)2πα∈，4cos 5α=，则sin()πα-= ． 14．抛物线212y x =-的准线与双曲线22193x y -=的两条渐近线所围成的三角形的面积等于 ． 15．已知函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是 ． 16．若函数()2sin()(214)84f x x x ππ=+-<<的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数()f x 的图象交于B 、C 两点，O 为坐标原点，则()=⋅+OA OC OB ．三、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17．（本小题满分12分）在等比数列{}n a 中，已知142,16a a ==． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式．（Ⅱ）若35,a a 分别为等差数列{}n b 的第3项和第5项，试求数列{}n b 的前错误！未找到引用源。

2013年高三诊断考试数 学注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

试题前标注有（理）的试题理科考生作答，试题前标注有（文）的试题文科考生作答，没有标注的试题文理科考生均作答。

2．本卷满分150分，考试用时120分钟。

3．答题全部在答题纸上完成，试卷上答题无效。

第I 卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（文）若全集{1,2,3,4,5,6},{2,3},{1,4}U M N ===，则集合()U N M ⋂ð等于 A.{1,2,3,4}B.{1,4,5,6}C.{1,4,5}D.{1,4}（理）设全集{1,2,3,4,5}U =，已知U 的子集M 、N 满足集{1,4}M =，{1}M N =，(){3,5}U NM =ð，则N =A.{1,3}B. {3,5}C. {1,3,5}D. {1,2,3,5}2.（文）设i 为虚数单位，若()(1)x i i y +-=，则实数,x y 满足A. 1,1x y =-=B. 1,2x y =-=C. 1,2x y ==D. 1,1x y == （理）设i 为虚数单位，复数12aii+-为纯虚数，则实数a 为 A. 12- B. 2- C. 12D. 23.曲线311y x =+在点P(1，12)处的切线与两坐标轴围成三角形的面积是A.75B.752C. 27D.2724.若点(2,0)P到双曲线22221x ya b-=(0,0)a b>>，则该双曲线的离心率为C. D.5.（文）下列命题中的真命题是A.对于实数a、b、c，若a b>，则22ac bc>B.不等式11x>的解集是{|1}x x<C.,Rαβ∃∈，使得sin()sin sinαβαβ+=+成立D.,Rαβ∀∈，tan tantan()1tan tanαβαβαβ++=-⋅成立（理）已知命题：1p：函数1()(1)1f x x xx=+>-的最小值为3；2p：不等式11x>的解集是{|1}x x<;3p：,Rαβ∃∈，使得sin()sin sinαβαβ+=+成立;4p：,Rαβ∀∈，tan tantan()1tan tanαβαβαβ++=-⋅成立.其中的真命题是A.1p B.1p，3p C.2p，4p D.1p，3p，4p6.（文）已知数列{}na为等差数列，若17134a a aπ++=，则212tan()a a+=A. D.（理）数列{}na满足11a=，223a=，且11112(2)n n nna a a-++=≥，则na= A.21n+B.22n+C.2()3n D. 12()3n-7. 执行右面的程序框图，若输入的6n =,4m = 那么输出的p 是 A.120 B.240 C.360 D.7208. 有一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.16B.20C.24D.329.(文) 在半径为1的概率是A.15 B.14C.13 D.12（理）已知动点P 到两定点A 、B 的距离和为8，且||AB =，线段AB 的的中点为O ，过点O 的所有直线与点P 的轨迹相交而形成的线段中，长度为整数的有 A.5条B.6条C.7条D.8条10.(文) 已知动点P 到两定点A 、B 的距离和为8，且||AB =，线段AB 的的中点为O ，过点O 的所有直线与点P 的轨迹相交而形成的线段中，长度为整数的有 A.5条B.6条C.7条D.8条（理）将函数)0)(3sin(2)(>-=ωπωx x f 的图象向左平移3πω个单位，得到函数)(x g y =的图象．若)(x g y =在[0,4π]上为增函数，则ω的最大值为A ．4B ．3C ．2D ．111.（文）数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，13n n a S +=，则6a =A ．434⨯B ．4341⨯+C ．44 D ．441+（理）已知函数()f x 是R 上的偶函数，且满足)5()5(x f x f -=+，在[0,5]上有且只有0)1(=f ，则)(x f 在[–2013,2013]上的零点个数为A ．808B ．806C ．805D ．80412.（文）已知函数()f x 是R 上的偶函数，且满足)5()5(x f x f -=+，在[0,5]上有且只有0)1(=f ，则)(x f 在[–2013,2013]上的零点个数为A ．808B ．806C ．805D ．804（理）定义：, min{,}, a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩.在区域0206x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩内任取一点(,)P x y ，则x 、y 满足22min{2,4}2x x y x y x x y ++++=++的概率为 A. 59B.49C.13D.29第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（文）已知变量,x y 满足350200,0x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪>> ⎩，则2z x y =+的最大值为__________.（理）已知向量(,2)a k =-r ，(2,2)b =r ，a b +rr 为非零向量，若()a a b ⊥+r r r ，则k = . 14．（文）已知向量(,2)a k =-r ，(2,2)b =r ，a b +rr 为非零向量，若()a a b ⊥+r r r ，则k = .（理）三位老师分配到4个贫困村调查义务教育实施情况，若每个村最多去2个人，则不同的分配方法有 种.15.已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在以O 为球心的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径,若三棱锥S ABC -，则球O 的表面积为 . 16．（文）定义一种运算 a a b a b b a b≤⎧⊗=⎨>⎩.令25()(cos sin )4f x x x =+⊗.当[0,]2x π∈时，函数()2f x π-的最大值是______.（理）已知各项为正的数列{}n a 中，122121,2,log log n n a a a a n +==+=（n N *∈），则10081220132a a a +++-= .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，222a b c bc =++. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a =，2b =，求c 的值．18．（本小题满分12分）（文）如图，在四棱锥ABCD P -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2=AB ，︒=∠60BAD ．(Ⅰ)求证：BD ⊥平面PAC ； （Ⅱ）若AB PA =，求棱锥C PBD -的高.（理）如图，在四棱锥ABCD P -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2=AB ，︒=∠60BAD ．（Ⅰ）求证：BD ⊥PC ；（Ⅱ）若AB PA =，求二面角A PD B --的余弦值.19．（本小题满分12分）（文） 某售报亭每天以每份0.4元的价格从报社购进若干份报纸，然后以每份1元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的报纸以每份0.1元的价格卖给废品收购站.PABDCPABDC（Ⅰ）若售报亭一天购进280份报纸，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量x （单位：份，x N ∈）的函数解析式.（Ⅱ）售报亭记录了100天报纸的日需求量（单位：份），整理得下表：（1）假设售报亭在这100天内每天购进280份报纸，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；（2）若售报亭一天购进280份报纸，以100天记录的各需求量的频率作为各销售量发生的概率，求当天的利润不超过150元的概率.（理）某售报亭每天以每份0.4元的价格从报社购进若干份报纸，然后以每份1元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的报纸以每份0.1元的价格卖给废品收购站.（Ⅰ）若售报亭一天购进270份报纸，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量x （单位：份，x N ∈）的函数解析式.以100天记录的需求量的频率作为各销售量发生的概率.（1）若售报亭一天购进270份报纸，ξ表示当天的利润（单位：元），求ξ的数学期望； （2）若售报亭计划每天应购进270份或280份报纸，你认为购进270份报纸好，还是购进280份报纸好? 说明理由.20．（本小题满分12分）已知点P 为y 轴上的动点，点M 为x 轴上的动点，点(1,0)F 为定点，且满足12PN NM +=0uuu r uuur，0PM PF ⋅=uuu r uu u r .（Ⅰ）求动点N 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）过点F 且斜率为k 的直线l 与曲线E 交于两点A ，B ，试判断在x 轴上是否存在点C ，使得222||||||CA CB AB +=成立，请说明理由.21．（本小题满分12分）（文）已知函数21()22f x x ex =+，2()3ln g x e x b =+（x R +∈，e 为常数，2.71828e =），且这两函数的图象有公共点，并在该公共点处的切线相同. （Ⅰ）求实数b 的值；（Ⅱ）若(0,1]x ∈时，证明：2212[()2][2()]433f x ex g x e x e-++≤-恒成立.（理）已知函数21()22f x x ex =+，2()3ln g x e x b =+（x R +∈，e 为常数，2.71828e =），且这两函数的图像有公共点，并在该公共点处的切线相同. （Ⅰ）求实数b 的值；（Ⅱ）若1x e ≤≤时，222[()2][2()](2)6af x exg x e a x e-++≤+恒成立，求实数a 的取值范围.请考生在第22,23,24题中任选一题．．．．做答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时请写清题号.22．（本小题满分10分）选修4-1：《几何证明选讲》已知：如图,O 为ABC ∆的外接圆，直线l 为O 的切线，切点为B ，直线AD ∥l ，交BC 于D 、交O 于E ，F 为AC 上一点，且EDC FDC ∠=∠.求证：（Ⅰ）2AB BD BC =⋅；（Ⅱ）点A 、B 、D 、F 共圆.23．（本小题满分10分)选修4—4：《坐标系与参数方程》在直接坐标系xoy 中，直线l 的方程为40x y -+=，曲线C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数) （I ）已知在极坐标（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半ABCD EF Ogl轴为极轴）中，点P 的极坐标为（4，2π），判断点P 与直线l 的位置关系；（II ）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．24．（本小题满分10分）选修4—5：《不等式选讲》已知函数52)(---=x x x f ． （I ）证明：3)(3≤≤-x f ；（II ）求不等式158)(2+-≥x x x f 的解集．2013高三诊断考试 数学参考答案及评分标准（理）一、选择题：本卷共12小题，每小题5分，共60分。