福建省厦门六中2013届高三12月月考数学文试题

2013年高考文科数学真题及答案全国卷1本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅰ，文1)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }，则A ∩B ＝( )．A ．{1,4}B ．{2,3}C ．{9,16}D ．{1,2} 【答案】A【考点】本题主要考查集合的基本知识。

【解析】∵B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }＝{1,4,9,16}， ∴A ∩B ＝{1,4}．2．(2013课标全国Ⅰ，文2)212i1i +(-)＝( )． A. B ．11+i 2- C ． D ．【答案】B【考点】本题主要考查复数的基本运算。

【解析】212i 12i 12i i 2i 1i 2i 22++(+)-+===(-)-＝11+i 2-. 3．(2013课标全国Ⅰ，文3)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )．A ．12B ．13C ．14D ．16【答案】B【考点】本题主要考查列举法解古典概型问题的基本能力。

【解析】由题意知总事件数为6，且分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足条件的事件数是2，所以所求的概率为13.4．(2013课标全国Ⅰ，文4)已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则C的渐近线方程为( )．A ．B ．C ．12y x =± D ．【答案】C【考点】本题主要考查双曲线的离心率、渐近线方程。

【解析】∵e =c a =2254c a =.∵c 2＝a 2＋b 2，∴2214b a =.∴12b a =.∵双曲线的渐近线方程为by x a=±，∴渐近线方程为12y x =±.故选C.5．(2013课标全国Ⅰ，文5)已知命题p ：?x ∈R,2x ＜3x ；命题q ：?x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是( )．A ．p ∧qB ．⌝p ∧qC ．p ∧⌝qD ．⌝p ∧⌝q 【答案】B【考点】本题主要考查常用逻辑用语等基本知识。

班级：座号： 姓名：_______________厦门六中2024~2025学年九年级期中检测数学学科注意事项：1．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号，非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡相应位置作答，在试卷上答题无效，可以直接使用2B 铅笔作图； 2．本试卷共5页，共三大题，25小题，满分150分．一．单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1． 已知点(3，2)，则它关于原点的对称点坐标为（ ）A ．(2，3)B ．(3，－2)C ．(－3，－2)D ．(－3，2) 2． 方程(x －1)(x ＋2)＝0的解是（ ）A ．x 1＝1，x 2＝2B ．x 1＝－1，x 2＝2C ．x 1＝1，x 2＝－2D ．x 1＝－1，x 2＝－2 3． 抛物线y ＝－x 2＋3的顶点为（ ）A ．(－1，3)B ．(0，3)C ．(1，－3)D ．(0，－3) 4． 如图1，点A ，B ，C 在⊙O 上，点D 在⊙O 外，CD 与⊙O 交于点E ，AC ，BE 交于点F ．下列角中，弧AE 所对的圆周角是（ ） A ．∠ADE B ．∠ABEC ．∠AFED ．∠AOE5． 如图2，AB 是⊙O 的弦，若⊙O 的半径OA ＝10，圆心O 到弦AB 的距离OC ＝6，则弦AB 的长为（ ） A ．8 B ．12 C ．16 D ．206． 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （单位：m ）与小球运动时间t （单位：s ）之间的函数关系如图3所示．则下列结论不正确的是（ ） A ．小球在空中经过的路程是40 m B ．小球运动的时间为6 sC ．小球抛出3 s 时，刚好到达最高点D ．小球所能到达的最大高度为40 mFE C O B AD 图1 图3 图27． 已知点P (m －1，n )，Q (m ＋1，n )，M (m ＋3，n )，N (m ＋2，n ＋1)，二次函数的图象经过这四个点中的三个点，得到对应的函数解析式y ＝ax 2＋bx ＋c ，当a 的值最小时，所对应的二次函数图象所经过的点为（ ） A ．点P ，点Q 和点M B ．点P ，点Q 和点N C ．点P ，点M 和点N D ．点Q ，点M 和点N8． 如图4，点E 是正方形ABCD 内部的一动点，连接DE ，以DE 为腰在DE 的右侧作等腰直角三角形DEF ，连接EC ，AF ，G 为AF 的中点，连接DG ，随着点E 的运动，下列结论正确的是（ ） A ．EC ＝2DG B ．EC ＝2DG C ．EC ＝12AFD ．EC ＝22AF二．填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分．9． 一只不透明的袋子中装有3个白球和4个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到白球的概率是_________． 10．将抛物线y ＝2x 2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为__________________．11．如图5，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，若∠B ＝110°，则∠D的度数为___________．12．若关于x 的一元二次方程x 2＋4x ＋m ＝0有两个相等的实数根，则m 的值为___________． 13．化简：a 2a －1－1a －1＝_______________．14．如图6，△ABC 中，∠CAB ＝65°，将△ABC 在平面内绕点A 逆时针旋转到△ADE 的位置，使CD ∥AB ，则旋转角为____________．15．定义：关于x 的一元二次方程a 1x 2＋b 1x ＋c 1＝0的两根之和x 1＋x 2与两根之积x 1·x 2分别是另一个一元二次方程a 2x 2＋b 2x ＋c 2＝0的两个根，则一元二次方程a 2x 2＋b 2x ＋c 2＝0称为一元二次方程a 1x 2＋b 1x ＋c 1＝0的“再生韦达方程”，一元二次方程a 1x 2＋b 1x ＋c 1＝0称为“原生方程”．（1） 写出方程x 2－4＝0的“再生韦达方程”_________________；（2） 写出一个一元二次方程，使得它既是“原生方程”又是自己的“再生韦达方程”_________________．16．如图7，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，AB ＝6，O 为对角线的交点．将菱形ABCD 绕点O 逆时针旋转90°得到菱形A ′B ′C ′D ′，两个菱形的公共点为E ，F ，G ，H ． （1） AD ′的长度为____________；（2） 八边形BFB ′GDHD ′E 的面积为___________．图4图5图6 图7BA三．解答题：本题共9小题，共86分． 17．（本题满分12分）按要求计算：（1） 解方程：x 2－6x －2＝0；（2） 计算：20×⎪⎪⎪⎪－13＋4－3－1．18．（本题满分7分）如图8，在矩形ABCD 中．点O 在边AB 上，∠AOC ＝∠BOD ．求证：AO ＝OB ．19．（本题满分7分）解方程：2x 2－1＋xx －1＝1．20．（本题满分8分）如图9，△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 边于点D ，交CA 的延长线于点E ，连结AD ，DE ． （1） 求证：BD ＝CD ；（2） 若AB ＝5，AD ＝3，求DE 的长．21．（本题满分8分）如图10，AB ＝BC ，∠ABC ＝α，其中α＞90°，以点C 为中心，将线段BC 顺时针旋转α，得到线段CD ，连接AD ．（1） 尺规作图：求作线段CD ；（2） 探究AD 与BC 的位置关系，并说明理由．图8图9C AB 图10空气质量指数（AQI ）是定量描述空气质量状况的指标，其数值越大说明空气污染状况越严重．空气质量指数范围及相应类别为： 0≤AQI ≤50，空气质量为优； 50＜AQI ≤100空气质量为良；100＜AQI ≤150，空气质量为轻度污染； 150＜AQI ≤200，空气质量为中度污染； 200＜AQI ≤300，空气质量为重度污染； AQI ＞300，空气质量为严重污染 某市以建设“生态强市”为目标，着力改善空气质量，为了解2023年环境改善情况，环保部门收集了该年每天的空气质量指数，绘制如图11的频数分布直方图，通过数据分析得到其平均数为66.67，其中部分数据按从小到大的顺序排列后得到如下统计表1：表1序号 1 2 3 … 182 183 184 185 … 363 364 365 AQI888…32333434…298298298（1） 这组数据的中位数是为___________；（2） 梓轩认为可以用平均数来反映该市2023年的空气质量情况，你认为合理吗？请说明理由；（3） 当地政府计划从2024年开始增加绿化面积，到2025年底该地区的绿化面积达到43.2万亩．已知2023年底该地区的绿化面积为30万亩，求这两年中绿化面积的年平均增长率．23．（本题满分10分）某公司成功研制出电子产品后投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为10元/件，公司规定该种电子产品每件的销售价格不低于23元，不高于29元．在销售过程中发现：销售量y （万件）与销售价格x （元/件）的关系如表2，投入成本m （万元）与销售量y （万件）的关系为二次函数，其图象如图12，其中点(5，2)是图象的顶点．x （元/件） 23 23.5 25 27 29y （万件）76.5531（1） 求投入成本m 与销售量y 之间的函数解析式；（2） 应如何定价才能使得销售这种电子产品的利润达到最大？最大利润为多少？图11表2 图12my5218O 17如图13，在△ABC 中，∠CAB ＝60°，BC 的垂直平分线交AB 于点O ，以O 为圆心，OC 为半径作⊙O ，过C 作CD ⊥AB 交AB 于点E ，交⊙O 于点D ，延长DA 交⊙O 于点F ，G 为OC 的中点，连接FG ，交AC 于点P ．（1） 求∠D 的度数； （2） 若∠F ＝2∠B ，试探究AP 与CP 的数量关系，并说明理由．25．（本题满分14分）已知抛物线M ：y ＝x 2－ax －2a －4，其中a ＞0，点B 在对称轴上． （1） 若抛物线M 过点N (1，y 0)，且对于任意的实数x ，都有y ≥y 0．① 求a 的值；② 若直线l ：y ＝x －4与抛物线M 交于点P ，Q ，求△PQN 的面积；（2） 已知点A (－2，0)在抛物线M 上，将点B 绕点A 顺时针旋转90°，得到点C ，试探究：对于任意正数a ，是否总存在点B 使得点C 在抛物线M 上？请通过计算说明理由．图13 E P AF G D C B O。

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}{}1,2,3,4,5,1,2,U U A A ===集合则ð ( )A.{}1,2B.{}3,4,5C.{}1,2,3,4,5D.∅ 【测量目标】集合的补集.【考查方式】直接给出集合，用列举法求集合补集. 【参考答案】B【试题解析】依据补集的定义计算. {}1,2,3,4,5U =，{}1,2A =，∴ U A =ð{3,4,5}. 2．已知α是第二象限角，5sin ,cos 13αα==则 （ ） A.1213- B.513- C.513 D.1213【测量目标】同角三角函数基本关系.【考查方式】直接给出角的象限和正弦值，求余弦值. 【参考答案】A【试题解析】利用同角三角函数基本关系式中的平方关系计算.因为α为第二象限角，所以12cos .13α==-3．已知向量()()()()1,1,2,2,,=λλλ=+=++⊥-若则m n m n m n （ ）A.-4B.-3C.-2D.1- 【测量目标】平面向量的坐标运算与两向量垂直的坐标公式等.【考查方式】给出两向量的坐标表示，两向量坐标运算的垂直关系，求未知数.λ 【参考答案】B【试题解析】利用坐标运算得出+-与m n m n 的坐标，再由两向量垂直的坐标公式求λ， 因为()()23,3,1,1,λ+=+-=--m n m n 由()(),+⊥-m n m n 可得()()()()23,31,1260,λλ+-=+--=--= m n m n (步骤1)解得 3.λ=- (步骤2)4．不等式222x -<的解集是 （ ）A.()1,1-B.()2,2-C.()()1,00,1-D.()()2,00,2- 【测量目标】含绝对值的一元二次不等式的解.【考查方式】给出绝对值不等式，求出满足不等式的解集. 【参考答案】D【试题解析】将绝对值不等式转化为一元二次不等式求解.由222,x -<得2222,x -<-<即204,x <<(步骤1)所以20x -<<或02,x <<故解集为()()2,00,2.- (步骤2)5．()862x x +的展开式中的系数是 （ ）A.28B.56C.112D.224 【测量目标】二项式定理.【考查方式】由二项式展开式，求满足条件的项的系数. 【参考答案】C【试题解析】写出二项展开式的通项，从而确定6x 的系数.该二项展开式的通项为88188C 22C ,r r r r r r r T x x --+==(步骤1)令2,r =得2266382C 112,T x x ==所以6x 的系数是112. (步骤2)6．函数()()21log 10f x x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的反函数1()f x -= ( ) A.()1021x x >- B.()1021xx ≠- C.()21x x -∈R D.()210x x -> 【测量目标】反函数的求解方法，函数的值域求法. 【考查方式】给出函数的解析式，求它的反函数.. 【参考答案】A【试题解析】由已知函数解出,x 并由x 的范围确定原函数的值域，按照习惯把,x y 互换，得出反函数. 由21log 1y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭得112,yx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭故1.21yx =-(步骤1)把x 和y 互换，即得()11.21x f x -=-(步骤2) 由0,x >得111,x+>可得0.y > 故所求反函数为()11(0).21xf x x -=>-(步骤3) 7．已知数列{}n a 满足{}12430,,103n n n a a a a ++==-则的前项和等于 ( )A.()10613---B.()101139-- C.()10313-- D.()1031+3-【测量目标】等比数列的定义及等比数列前n 项和.【考查方式】给出一个数列{n a }、它的前后项的关系，判断是否为特殊数列，从而求出它的前n 项和. 【参考答案】C【试题解析】先根据等比数列的定义判断数列{}n a 是等比数列，得到首项与公比，再代入等比数列前n 项和公式计算. 由130,n n a a ++=得11,3n n a a +=-故数列{}n a 是公比13q =-的等比数列. (步骤1)又24,3a =-可得1 4.a =(步骤2)所以()1010101413313.113S -⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==-⎛⎫-- ⎪⎝⎭(步骤3)8．()()1221,0,1,0,F F C F x -已知是椭圆的两个焦点过且垂直于轴的直线交于A B 、两点，且3AB =，则C 的方程为 ( )A.2212x y += B.22132x y += C.22143x y += D.22154x y += 【测量目标】椭圆的标准方程及简单几何性质.【考查方式】给出椭圆焦点，由椭圆与直线的位置关系，利用待定系数法求椭圆的标准方程. 【参考答案】C【试题解析】设出椭圆的方程，依据题目条件用待定系数法求参数.由题意知椭圆焦点在x 轴上，且1,c =可设C 的方程为()22221,1x y a a a +>-(步骤1)由过2F 且垂直于x 轴的直线被C 截得的弦长3,AB =知点21,3⎛⎫ ⎪⎝⎭必在椭圆上，(步骤2)代入椭圆方程化简得4241740,a a -+=所以24a =或214a =（舍去）. (步骤3) 故椭圆C 的方程为221.43x y +=(步骤4) 9．若函数()()sin 0=y x ωϕωω=+>的部分图像如图，则 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2第9题图【测量目标】根据函数的部分图象确定函数解析式.【考查方式】给出正弦函数的未知解析式及正弦函数的部分图象.根据图象求出T ，确定ω的值.【参考答案】B【试题解析】根据图象确定函数的最小正周期，再利用2πT ω=求.ω设函数的最小正周期为T ，由函数图象可知0ππ=,244T x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭所以π.2T =(步骤1)又因为2π,T ω=可解得 4.ω=(步骤2)10．已知曲线()421128=y x ax a a =++-+在点，处切线的斜率为， ( )A.9B.6C.9-D.6- 【测量目标】导数的几何意义及求导公式等知识.【考查方式】已知曲线在未知点处的切线斜率，利用导数的几何意义求未知数a . 【参考答案】D【试题解析】先对函数求导，利用导数的几何意义得出点()1,2a -+处的切线斜率，解方程所得.342,y x ax '=+由导数的几何意义知在点(1,2)a -+处的切线斜率1|428,x k y a =-'==--=解得 6.a =-11．已知正四棱柱1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于 ( )A.23 D.13 【测量目标】直线与平面所成角和线面垂直的判定.【考查方式】已知正四棱柱，利用其性质和几何体中的垂直关系求线面角的正弦值. 【参考答案】A【试题解析】利用正四棱柱的性质，通过几何体中的垂直关系，判断点C 在平面1BDC 上的射影位置，确定线平面角，并划归到直角三角形中求解.如图，连接AC ，交BD 于点O ，由正四棱柱的性质，有.AC BD ⊥ 因为1CC ⊥平面ABCD ，所以 BD ⊥（步骤1）又1,CC AC C = 所以BD ⊥平面 O （步骤2） 在平面1CC O 内作1,CH C O ⊥垂足为H ，则.BD CH ⊥又1,BD C O O = 所以CH ⊥平面1,BDC （步骤3） 第11题图 连接DH ，则DH 为CD 在平面1BDC 上的射影，所以CDH ∠为CD 与1BDC 所成的角.（步骤4）设12 2.AA AB ==在1Rt COC △中，由等面积变换易求得2,3CH =在Rt CDH △中，2sin .3CH CDH CD ∠==（步骤5） 12．已知抛物线2:8C y x =与点()2,2M -，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点，若0MA MB =，则k = ( )A ．12 D.2 【测量目标】直线与抛物线的位置关系，平面向量的坐标运算等知识.【考查方式】已知抛物线标准方程,利用抛物线性质及直线与抛物线的位置关系求解过焦点的直线的斜率. 【参考答案】D【试题解析】联立直线与抛物线的方程，消元得一元二次方程并得两根之间的关系，由0MA MB =进行坐标运算解未知量k .抛物线C 的焦点为()2,0,F 则直线方程为()2,y k x =-与抛物线方程联立，消去y 化简得()22224840.k x k x k -++=(步骤1)设点()()1122,,,,A x y B x y 则1212284, 4.x x x x k +=+=所以()121284,y y k x x k k+=+-=()21212122416.y y k x x x x =-++=-⎡⎤⎣⎦(步骤2) ()()()()()()112212122,22,22222MA MB x y x y x x y y =+-+-=+++--()()121212122280,x x x x y y y y =+++-++=(步骤3)将上面各个量代入，化简得2440,k k -+=所以 2.k =(步骤4)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．设()[)()21,3=f x x f x ∈是以为周期的函数，且当时， . 【测量目标】函数周期的应用及根据函数解析式求值.【考查方式】给出函数()f x 的周期及取值范围，代入解析式求函数值.【参考答案】1-【试题解析】利用周期将自变量转化到已知解析式中x 的范围内，代入解析式计算 . 由于()f x 的周期为2，且当[)1,3x ∈时，()2,f x x =-(步骤1)()2,f x x =-()()()112112 1.f f f -=-+==-=-(步骤2)14．从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有 种.（用数字作答）【测量目标】简单的排列组合知识的应用. 【考查方式】直接利用排列组合知识列式求解. 【参考答案】60【试题解析】利用排列组合知识列式求解. 由题意知，所有可能的决赛结果有12365354C C C 61602⨯=⨯⨯=（种）.15．若x y 、满足约束条件0,34,34,x x y x y ⎧⎪+⎨⎪+⎩………则z x y =-+的最小值为 .【测量目标】二元线性规划求目标函数最值.【考查方式】直接给出函数的约束条件，利用线性规划性质及借助数形结合思想求z 的最小值.【参考答案】0【试题解析】作出定义域，借助数形结合寻找最优解.由不等式组作出可行域，如图阴影部分所示()包括边界，且()()41,1040,.3A B C ⎛⎫⎪⎝⎭，，，，由数形结合知，直线y x z =+过点()1,1A 时，min 110.z =-+= 16．已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，3602OK O K = ，且圆与圆所在的平面所成角为，则球O 的表面积等于 .【测量目标】球的大圆、小圆及球的截面性质，二面角的平面角，球的表面积公式等知识. 【考查方式】已知二面角的平面角，根据球的截面性质，直角三角形的性质，求出球的半径，并由球的表面积公式求球的表面积. 【参考答案】16π 【试题解析】根据球的截面性质以及二面角的平面角的定义确定平面角，把球的半径转化到三角形中计算，进而求得球的表面积.如图所示，公共弦为AB ，设球的半径为R ，则,AB R =取AB 为中点M ，连接OM 、,KM由圆的性质知,,OM AB KM AB ⊥⊥ 所以KMO ∠为圆O 与圆K 所在平面所成的一个二面角的平面角，则60.KOM ∠=(步骤1)Rt KOM △中，3,2OK =所以sin 60OK OM == (步骤2) 在Rt OMA △中，因为222,OA OM AM =+所以2213,4R R =+解得24,R =(步骤3)所以球O 的表面积为24π16π.R =(步骤4)三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）等差数列{}n a 中，71994,2,a a a ==（I ）求{}n a 的通项公式； （II ）设{}1,.n n n nb b n S na =求数列的前项和 【测量目标】等差数列的通项公式、裂项相消法求数列的前n 项和.【考查方式】（1）根据等差数列的通项公式求出首项和公差，进而求出等差数列的通项公式.（2）已知通项公式，利用裂项相消法求和.【试题解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则()11.n a a n d =+-因为71994,2,a a a =⎧⎨=⎩所以()11164,1828.a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩(步骤1)解得11,1.2a d =⎧⎪⎨=⎪⎩所以{}n a 的通项公式为1.2n n a +=(步骤2) （2）因为()222,11n b n n n n ==-++所以2222222.122311n n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭(步骤3) 18．（本小题满分12分）设ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，()()a b c a b c ac ++-+=.（I ）求B（II）若1sin sin 4A C =，求C . 【测量目标】余弦定理解三角形，三角恒等变换公式及其应用.【考查方式】已知三角形的三边及三边关系.（1）由已知关系式展开，利用余弦定理求角. （2）三角形内角和得出A C +,由给出的sin sin A C 的形式，联想构造与已知条件相匹配的余弦公式,求出角C .【试题解析】（1）因为()(),a b c a b c ac ++-+=所以222.a c b ac +-=-(步骤1)由余弦定理得2221cos ,22a cb B ac +-==-因此120.B =(步骤2)（2）由（1）知60,A C +=所以()cos cos cos sin sin A C A C A C -=+cos cos sin sin 2sin sin A C A C A C =-+()11cos 2sin sin 2242A C A C =++=+⨯=(步骤1) 故30A C -=或30,A C -=- 因此15C =或45.C =(步骤2) 19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，==90ABC BAD ∠∠，BC =2AD ,△P AB 与△PAD 都是边长为2的等边三角形. 图（1）（I ）证明：;PB CD ⊥（II ）求点.A PCD 到平面的距离【测量目标】空间垂直关系的证明和点到平面距离的求解.第19题图【考查方式】已知四棱锥，底面为特殊的直角梯形，侧面为特殊三角形（1）借助线线、线面垂直求解.（2）通过做辅助线将点面距离转化为图形中的线段，再求解.【试题解析】（1）证明：取BC 的中点E ，连接DE ,则四边形ABCD 为正方形. 过点P 作PO ABCD ⊥平面，垂足为O .连接OA ,OB,OD ,OE . 图（2） 由PAB △和PAD △都是等边三角形知,PA PB PD ==(步骤1)所以,O A O B O D ==即O 为正方形ABED 对角线的交点，故 ,OE BD ⊥从而.P B O E ⊥(步骤2)因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，所以OE //CD .因此.PB CD ⊥(步骤3)(2)解：取PD 的中点F ，连接OF ，则//.OF PB 由（1）知，,PB CD ⊥故.OF CD ⊥(步骤4)又12OD BD ==OP ==故POD △为等腰三角形，(步骤5) 因此.OF PD ⊥又,PD CD D = 所以.OF PCD ⊥平面(步骤6)因为//,AE CD CD PCD ⊂平面，,AE PCD ⊄平面所以//.AE PCD 平面(步骤7) 因此点O 到平面PCD 的距离OF 就是点A 到平面PCD 的距离，(步骤8) 而112OF PB ==，所以点A 到平面PCD 的距离为1. (步骤9) 20．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为1,2各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判.（I ）求第4局甲当裁判的概率；（II ）求前4局中乙恰好当1次裁判概率. 【测量目标】相互独立事件同时发生的概率，互斥事件概率加法公式的应用.【考查方式】（1）直接利用独立事件的概率公式求解.（2）由已知，直接利用互斥事件的加法公式求解.【试题解析】（1）记1A 表示事件“第2局结果为甲胜”，2A 表示“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A 表示事件“第4局甲当裁判”.则12.A A A = ()()()()12121.4P A P A A P A P A === (步骤1)(2)记1B 表示事件“第1局比赛结果为乙胜”，2B 表示事件“第2局乙参加比赛，结果为乙胜”，3B 表示事件“第3局中乙参加比赛时，结果为乙胜”，B 表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判”， 则1312312.B B B B B B B B =++ （步骤2）()()1312312P B P B B B B B B B =++=()()()1312312P B B P B B B P B B ++=()()()()()()()1312312P B P B P B P B P B P B P B ++=111+484+ =5.8(步骤3) 21．（本小题满分12分）已知函数()32=33 1.f x x ax x +++（I ）求();a f x =的单调性； （II ）若[)()2,0,x f x ∈+∞时，…求a 的取值范围. 【测量目标】导数在研究函数中的应用.【考查方式】已知含未知数a 的函数()f x （1）对()f x 求导，得出()f x =0时的根，根据导数性质讨论函数单调性.(2)利用特殊值法和放缩法求a 的范围.【试题解析】（1）当a =()3231,f x x x =-++()23 3.f x x '=-+(步骤1)令()0,f x '=得121, 1.x x ==(步骤2)当()1x ∈-∞时，()0,f x '>()f x 在()1-∞上是增函数；当)1x ∈时，()0,f x '<()f x 在)1上是减函数；当)1,x ∈+∞时，()0,f x '>()f x 在)1,+∞上是增函数. (步骤3) （2）由()20f …得4.5a -…当45a -…，()2,x ∈+∞时， ()()225321312f x x ax x ⎛⎫'=++-+ ⎪⎝⎭… =()1320,2x x ⎛⎫--> ⎪⎝⎭所以()f x 在()2,+∞上是增函数，(步骤4)于是当[)2+x ∈∞，时，()()20f x f 厖.综上，a 的取值范围是4,.5⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭(步骤5) 22．（本小题满分12分） 已知双曲线()221222:10,0x y C a b F F a b-=>>的左、右焦点分别为，，离心率为3，直线2y C =与（I ）求,;a b（II ）2F l C A B 设过的直线与的左、右两支分别相交于、两点，且11,AF BF = 证明：22AF AB BF 、、成等比数列.【测量目标】双曲线的方程、性质，直线与双曲线的位置关系，等比中项等性质.【考查方式】(1)由双曲线与直线的位置关系、双曲线的几何性质求出a,b 值.(2)由直线方程和双曲线方程，利用双曲线与直线的位置关系及两点间距离公式证明线段的等比关系.【试题解析】（1）解：由题设知3,c a =即2229,a b a+=故228.b a = 所以C 的方程为22288.x y a -=(步骤1)将y=2代入上式，求得x =(步骤2)由题设知，=解得2 1.a =所以1,a b ==(步骤3)（2）证明：由（1）知，()()123,0,3,0,F F -C 的方程为2288.x y -=○1(步骤4)由题设可设l 的方程为()3,y k x k =-<将其代入○1并化简，得 ()222286980.k x k x k --++=(步骤5)设()1122,,(,),A x y B x y 则22121212226981,1,,.88k k x x x x x x k k +-+==--剠(步骤6)于是()1131,AF x ==-+123 1.BF x ==+(步骤7)由11,AF BF =得()123131,x x -+=+(步骤8) 即2122262,,383k x x k +=-=--故 解得212419,.59k x x ==-从而(步骤9)由于2113,AF x ===-2231,BF x ===- 故()2212234,AB AF BF x x =-=-+=(步骤10)()221212=39116,AF BF x x x x +--= 因而222,AF BF AB = 所以22AF AB BF 、、成等比数列(步骤11).。

2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学试题（理工农医类）第Ⅰ卷(选择题 共50分)一．选择题1．已知复数z 的共轭复数12z i =+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ． 第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D【解析】z 的共轭复数12z i =+，则12z i =-，对应点的坐标为(1,2)-，故答案为D ． 2．已知集合{}1,A a =,{}1,2,3B =,则“3a =”是“A B ⊆”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】3,a A B =⇒⊆2A B a ⊆⇒=，或3．因此是充分不必要条件．3．双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（ ） A ．25 B ．45CD 【答案】C【解析】 2214x y -=的顶点坐标为(2,0)±，渐近线为2204x y -=，即20x y ±=．带入点到直线距离公式d ==． 4．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ） A ．588 B ．480 C ．450D ．120【答案】B【解析】由图知道60分以上人员的频率为后4项频率的和，由图知道(0.030.0250.0150.01)*100.8P =+++=故分数在60以上的人数为600*0．8=480人．5．满足{},1,0,1,2a b ∈-，且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(,)a b 的个数为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．10 【答案】B【解析】方程220ax x b ++=有实数解，分析讨论①当0a =时，很显然为垂直于x 轴的直线方程，有解．此时b 可以取4个值．故有4种有序数对②当0a ≠时，需要440ab ∆=-≥，即1ab ≤．显然有3个实数对不满足题意，分别为（1,2），（2,1），（2,2）．(,)a b 共有4*4=16中实数对，故答案应为16-3=13．6．阅读如图所示的程序框图，若输入的10k =，则该算法的功能是（ ）A ．计算数列{}12n -的前10项和 B ．计算数列{}12n -的前9项和 C ．计算数列{}21n -的前10项和 D ．计算数列{}21n -的前9项和【答案】C【解析】第一循环：1,2S i ==，10i <第二条：3,3,10S i i ==<第三条：7,4,10S i i ==< …．．第九循环：921,10,10S i i =-==．第十循环：1021,11,10S i i =-=>，输出S ．根据选项，101(12)12S -=-，故为数列12n -的前10项和．故答案A ．7．在四边形ABCD 中，(1,2)AC = ，(4,2)BD =-，则四边形的面积为（ ）A B ． C ．5 D ．10【答案】C【解析】由题意，容易得到AC BD ⊥．设对角线交于O 点，则四边形面积等于四个三角形面积之和 即S=11(****)(*)22AO DO AO BO CO DO CO BO AC BD +++=．容易算出AC BD ==，则算出S=5．故答案C8．设函数()f x 的定义域为R ，00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤B ．0x -是()f x -的极小值点C ．0x -是()f x -的极小值点D ．0x -是()f x --的极小值点 【答案】D【解析】A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤，错误．00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，并不是最大值点． B ．0x -是()f x -的极小值点．错误．()f x -相当于()f x 关于y 轴的对称图像，故0x -应是()f x -的极大值点C ．0x -是()f x -的极小值点．错误．()f x -相当于()f x 关于x 轴的对称图像，故0x 应是()f x -的极小值点．跟0x -没有关系．D ．0x -是()f x --的极小值点．正确．()f x --相当于()f x 先关于y 轴的对象，再关于x 轴的对称图像．故D 正确9．已知等比数列{}n a 的公比为q ，记(1)1(1)2(1)...,n m n m n m n m b a a a -+-+-+=+++*(1)1(1)2(1)...(,),n m n m n m n m c a a a m n N -+-+-+=∙∙∙∈则以下结论一定正确的是（ ）A ．数列{}n b 为等差数列，公差为mq B ．数列{}n b 为等比数列，公比为2mq C ．数列{}n c 为等比数列，公比为2m q D ．数列{}n c 为等比数列，公比为mm q【答案】C【解析】等比数列{}n a 的公比为q,同理可得2222222,m m m mm m m a a a a a a ++++=∙=∙112...m c a a a =∙∙∙,212...,m m m m c a a a +++=∙∙∙321222...,m m m m c a a a +++=∙∙∙2213c c c ∴=∙∴数列{}n c 为等比数列，2221212211212............mm m m m m m m m ma a a a a a q c q q c a a a a a a +++∙∙∙∙∙∙∙====∙∙∙∙∙∙ 故选C 10．设S ，T ，是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足：(){()|};()i T f x x S ii =∈对任意12,,x x S ∈当12x x <时，恒有12()()f x f x <，那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是（ ）A ．*,A N B N == B ．{|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或 C ．{|01},A x x B R =<<= D ．,A Z B Q == 【答案】D【解析】根据题意可知，令()1f x x =-，则A 选项正确；令55(13)()228(1)x x f x x ⎧+-<≤⎪=⎨⎪-=-⎩，则B 选项正确； 令1()tan ()2f x x π=-，则C 选项正确；故答案为D ．二．填空题11．利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a ，则时间“310a ->”发生的概率为________ 【答案】23【解析】13103a a ->∴> a 产生0~1之间的均匀随机数1(,1)3a ∴∈112313p -∴== 12．已知某一多面体内接于一个简单组合体，如果该组合体的正视图．测试图．俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是_______________【答案】12π【解析】由图可知，图形为一个球中间是内接一个棱长为2的正方体，24122R S R ππ∴====球表13．如图ABC ∆中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC，sin 33BAC AB AD ∠===则BD 的长为_______________【解析】sin sin()cos 2BAC BAD BAD π∠=∠+=∠=∴根据余弦定理可得222cos 2AB AD BD BAD AB AD +-∠=∙BD ==14．椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>的左．右焦点分别为12,F F ，焦距为2c ，若直线)y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠，则该椭圆的离心率等于__________1【解析】由直线方程)y x c =+⇒直线与x 轴的夹角12233MF F ππ∠=或，且过点1-F （c,0）12212MF F MF F ∠=∠∴122123MF F MF F π∠=∠=即12F M F M ⊥12RT F MF ∴∆在中，12122,,F F c F M c F M ===∴由椭圆的第一定义可得21c a c a =∴==15．当,1x R x ∈<时，有如下表达式:211.......1n x x x x+++++=- 两边同时积分得：1111122222200011.......1ndx xdx x dx x dx dx x+++++=-⎰⎰⎰⎰⎰从而得到如下等式：23111111111()()...()...ln 2.2223212n n +⨯+⨯+⨯++⨯+=+ 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算：122311111111()()...()_____2223212nn n n n nn C C C C +⨯+⨯+⨯++⨯=+【答案】113[()1]12n n +-+ 【解析】由01221......(1)n nn n n n n C C x C x C x x +++++=+两边同时积分得：111112222220001......(1).nn n n n n C dx C xdx C x dx C x dx x dx +++++=+⎰⎰⎰⎰⎰从而得到如下等式：122311*********()()...()[()1]222321212n n n n n n nn n C C C C ++⨯+⨯+⨯++⨯=-++ 三．解答题16．（本小题满分13分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲．乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中将可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中将可以得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中将与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为,X Y ，求3X ≤的概率；（2）若小明．小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计的得分的数学期望较大？本小题主要考查古典概型．离散型随机变量的分布列．数学期望等基础知识，考查数据处理能力．运算求解能力．应用意识，考查必然和或然思想，满分13分． 解：（Ⅰ）由已知得：小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，两人中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分3≤X ”的事件为A ，则A 事件的对立事件为“5=X ”，224(5)3515==⨯= P X ，11()1(5)15∴=-==P A P X∴这两人的累计得分3≤X 的概率为1115． （Ⅱ）设小明．小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为1X ，都选择方案乙抽奖中奖的次数为2X ，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为1(2)E X ，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为2(3)E X由已知：12~(2,)3X B ，22~(2,)5X B124()233∴=⨯=E X ，224()255=⨯=E X 118(2)2()3∴==E X E X ，2212(3)3()5==E X E X12(2)(3)> E X E X∴他们都在选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望最大．17．（本小题满分13分）已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈ （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的极值．本小题主要考查函数．函数的导数．不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．分类与整合思想，数形结合思想．化归与转化思想．满分13分． 解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()1'=-a f x x． （Ⅰ）当2=a 时，()2ln =-f x x x ，2()1(0)'=->f x x x， (1)1,(1)1'∴==-f f ，()∴=y f x 在点(1,(1))A f 处的切线方程为1(1)-=--y x ，即20+-=x y ．（Ⅱ）由()1,0-'=-=>a x a f x x x x可知： ①当0≤a 时，()0'>f x ，函数()f x 为(0,)+∞上的增函数，函数()f x 无极值； ②当0>a 时，由()0'=f x ，解得=x a ；(0,)∈ x a 时，()0'<f x ，(,)∈+∞x a 时，()0'>f x()∴f x 在=x a 处取得极小值，且极小值为()ln =-f a a a a ，无极大值．综上：当0≤a 时，函数()f x 无极值当0>a 时，函数()f x 在=x a 处取得极小值ln -a a a ，无极大值．18．（本小题满分13分）如图，在正方形OABC 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(10,0)，点C 的坐标为(0,10)．分别将线段OA 和AB 十等分，分点分别记为129,,....A A A 和129,,....B B B ，连结i OB ，过i A 做x 轴的垂线与i OB 交于点*(,19)i P i N i ∈≤≤．（1）求证：点*(,19)i P i N i ∈≤≤都在同一条抛物线上，并求该抛物线E 的方程；（2）过点C 做直线l 与抛物线E 交于不同的两点,M N ，若OCM ∆与OCN ∆的面积比为4:1，求直线l 的方程．本小题主要考查抛物线的性质．直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力．推理论证能力，考查化归与转化思想，数形结合思想．函数与方程思想．满分13分． 解：（Ⅰ）依题意，过*(,19)∈≤≤i A i N i 且与x 轴垂直的直线方程为=x i(10,) i B i ，∴直线i OB 的方程为10=iy x 设i P 坐标为(,)x y ，由10=⎧⎪⎨=⎪⎩x ii y x 得：2110=y x ，即210=x y ，∴*(,19)∈≤≤i P i N i 都在同一条抛物线上，且抛物线E 方程为210=x y（Ⅱ）依题意：直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为10=+y kx由21010=+⎧⎨=⎩y kx x y得2101000--=x kx 此时2100+4000∆=>k ，直线l 与抛物线E 恒有两个不同的交点,M N设：1122(,)(,)M x y N x y ，则121210100+=⎧⎨⋅=-⎩x x kx x4∆∆= OCM OCN S S ∴124=x x又120⋅< x x ，∴124=-x x分别带入21010=+⎧⎨=⎩y kx x y，解得32=±k直线l 的方程为3+102=±y x ，即32200-+=x y 或3+2200-=x y19．（本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1AA ABCD ⊥底面，//AB DC ，11AA =，3AB k =，4AD k =，5BC k =，6DC k =(0)k >．（1）求证：11;CD ADD A ⊥平面（2）若直线1AA 与平面1AB C 所成角的正弦值为67，求k 的值； （3）现将与四棱柱1111ABCD A B C D -形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的棱柱，规定：若拼接成的新的四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案．问：共有几种不同的方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为()f k ，写出()f k 的表达式（直接写出答案，不必要说明理由）本小题主要考查直线与直线．直线与平面的位置关系．柱体的概念及表面积等基础知识，考查空间想象能力．推理论证能力．运算求解能力，考查数形结合思想．分类与整合思想．化归与转化思想，满分13分． 解：（Ⅰ）取CD 中点E ，连接BE//AB DE Q ，3AB DE k == ∴四边形ABED 为平行四边形 //BE AD ∴且4BE AD k ==在BCE V 中，4,3,5BE k CE k BC k ===Q222BE CE BC ∴+=90BEC ∴∠=︒,即BE CD ⊥，又//BE AD Q ，所以CD AD ⊥1AA ⊥Q 平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD 1AA CD ∴⊥，又1AA AD A =I ，CD ∴⊥平面11ADD A（Ⅱ）以D 为原点，1,,DA DC DD uu u r uuu r uuur的方向为,,x y z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系(4,0,0)A k ，(0,6,0)C k ，1(4,3,1)B k k ，1(4,0,1)A k所以(4,6,0)AC k k =-uuu r ，1(0,3,1)AB k =uuu r ，1(0,0,1)AA =uuu r设平面1AB C 的法向量(,,)n x y z =，则由100AC n AB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu r uuu r得46030kx ky ky z -+=⎧⎨+=⎩取2y =，得(3,2,6)n k =-设1AA 与平面1AB C 所成角为θ，则111,sin |cos ,|||||AA nAA n AA n θ=〈〉=⋅uuu ruuur uuu r67==，解得1k =．故所求k 的值为1 （Ⅲ）共有4种不同的方案2257226,018()53636,18k k k f k k k k ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩20．（本小题满分14分）已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的周期为π，图像的一个对称中心为(,0)4π，将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），在将所得图像向右平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图像． （1）求函数()f x 与()g x 的解析式； （2）是否存在0(,)64x ππ∈，使得0000(),(),()()f x g x f x g x 按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定0x 的个数； 若不存在，说明理由．（3）求实数a 与正整数n ，使得()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点． 本小题主要考查同角三角函数的基本关系．三角恒等变换．三角函数的图像与性质．函数．函数的导数．函数的零点．不等式等基础知识，考查运算求解能力．抽象概括能力，考查函数与方程思想，数形结合思想，分类与整合思想．化归与转化思想，满分14分． 解：（Ⅰ）由函数()sin()f x x ωϕ=+的周期为π，0ω>，得2ω= 又曲线()y f x =的一个对称中心为(,0)4π，(0,)ϕπ∈故()sin(2)044f ππϕ=⨯+=，得2πϕ=，所以()cos 2f x x =将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得cos y x =的图象，再将cos y x =的图象向右平移2π个单位长度后得到函数()sin g x x =（Ⅱ）当(,)64x ππ∈时，1sin 22x <<，10cos 22x << 所以sin cos2sin cos2x x x x >>问题转化为方程2cos2sin sin cos2x x x x =+在(,)64ππ内是否有解设()sin sin cos 22cos 2G x x x x x =+-，(,)64x ππ∈ 则()cos cos cos 22sin 2(2sin )G x x x x x x '=++- 因为(,)64x ππ∈，所以()0G x '>，()G x 在(,)64ππ内单调递增又1()064G π=-<，()042G π=> 且函数()G x 的图象连续不断，故可知函数()G x 在(,)64ππ内存在唯一零点0x ，即存在唯一的0(,)64x ππ∈满足题意 （Ⅲ）依题意，()sin cos 2F x a x x =+，令()sin cos 20F x a x x =+=当sin 0x =，即()x k k Z π=∈时，cos21x =，从而()x k k Z π=∈不是方程()0F x =的解，所以方程()0F x =等价于关于x 的方程cos 2sin xa x=-，()x k k Z π≠∈ 现研究(0,)(,2)x πππ∈U 时方程解的情况 令cos 2()sin xh x x=-，(0,)(,2)x πππ∈U 则问题转化为研究直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)x πππ∈U 的交点情况22cos (2sin 1)()sin x x h x x +'=，令()0h x '=，得2x π=或32x π=当x 变化时，()h x 和()h x '变化情况如下表当0x >且x 趋近于0时，()h x 趋向于-∞ 当x π<且x 趋近于π时，()h x 趋向于-∞ 当x π>且x 趋近于π时，()h x 趋向于+∞ 当2x π<且x 趋近于2π时，()h x 趋向于+∞故当1a >时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有无交点，在(,2)ππ内有2个交点； 当1a <-时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点，在(,2)ππ内无交点； 当11a -<<时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点，在(,2)ππ内有2个交点 由函数()h x 的周期性，可知当1a ≠±时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内总有偶数个交点，从而不存在正整数n ，使得直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内恰有2013个交点；当1a =±时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)πππU 内有3个交点，由周期性，20133671=⨯，所以67121342n =⨯=综上，当1a =±，1342n =时，函数()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点 21．（本题满分14分） （1）（本小题满分7分）矩阵与变换已知直线:1l ax y +=在矩阵1201A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下变为直线':1l x by +=． （1）求实数,a b 的值；（2）若点00(,)p x y 在直线l 上，且0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求点p 的坐标． 本小题主要考查矩阵．矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力．考查化归与转化思想．满分7分．解：解：（Ⅰ）设直线:1l ax y +=上任意一点(,)M x y 在矩阵A 对应的变换作用下的像是(,)M x y '''由12201x x x y y y y '+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得2x x y y y '=+⎧⎨'=⎩又点(,)M x y '''在l '上，所以1x by ''+=，即(2)1x b y ++=依题意121a b =⎧⎨+=⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩（Ⅱ）由0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得000002x x y y y =+⎧⎨=⎩解得00y =又点00(,)P x y 在直线l 上，所以01x = 故点P 的坐标为(1,0)（2）（本小题满分7分）坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点A 的极坐标为)4π，直线l 的极坐标方程为cos()4a πρθ-=，且点A 在直线l 上． （1）求a 的值及直线l 的直角坐标方程；（2）圆c 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩，（α为参数），试判断直线l 与圆的位置关系．本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化．圆的参数方程等基础知识．考查运算求解能力，考查化归与转化思想，满分7分．解：（Ⅰ）由点)4A π在直线cos()4aπρθ-=上，可得a =所以直线l 的方程可化为cos sin 2ρθρθ+= 从而直线l 的直角坐标方程为20x y +-=（Ⅱ）由已知得圆C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+= 所以圆心为(1,0)，半径1r =以为圆心到直线的距离12d =<，所以直线与圆相交 （3）（本小题满分7分）不等式选讲 设不等式*2()x a a N -<∈的解集为A ，且32A ∈，12A ∉． （1）求a 的值；（2）求函数()2f x x a x =++-的最小值．本小题主要考查绝对猪不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，满分7分．解：（Ⅰ）因为32A ∈，且12A ∉，所以322a -<，且122a -≥解得1322a <≤，又因为*a N ∈，所以1a = （Ⅱ）因为|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-≥+--=当且仅当(1)(2)0x x +-≤，即12x -≤≤时取得等号，所以()f x 的最小值为3。

福建省厦门六中2013-2014学年高二下学期期中数学文试题2014-05-05一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答． 1．若复数12z i=+，则z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2.下列命题错误．．的是( ) A ．命题“若0>m ，则方程0-2=+m x x 有实数根”的逆否命题为：“若方程0-2=+m x x无实数根，则0≤m ”.B ．“x =1”是“023-2=+x x ”的充分不必要条件.C ．对于命题p ：,x ∃∈R 使得210x x ++<，则:R p x ⌝∀∈均有210x x ++≥。

D ．若q p ∧为假命题，则p ，q 均为假命题.3. 在一次独立性检验中，得出22⨯列联表如下：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=A.200 B .720 C.100 D.180 4.用反证法证明命题“220,0(a b a a +=∈若则、b 全为、b R)”,其反设正确的是( )A.b a 、至少有一个为0 B .b a 、 至少有一个不为0C.b a 、全不为0D. b a 、只有一个为0 5．根据右边的流程图，则输出的结果是（ ） A. 7 B. 8 C. 720 D. 50406.“若0()0g x '=，则0x 是函数()y g x =的极值点，因为3()g x x=中， 2()3g x x '=且(0)0g '=，所以0是3()g x x =的极值点.”在此“三段论”中，下列说法正确的是（ ）A ．推理过程错误B ．大前提错误C ．小前提错误D ．大、小前提错误 7. 下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是A ． p ：12)(23+++=mx x x x f 在R 上单调递增 q ：34≥m B. p ：1=x q ：2x x =C. p ：),(R b a bi a ∈+是纯虚数 q ：0=aD.p ：d b c a +>+ q ：b a >且d c >8．把正整数按右图所示的规律排序，则从2013到2015的箭头方向依次为（ ）A.↑→2014 B ．↓→2014C.→↓2014 D.→↑20149.如图,下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止.用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h 和时间t 之间的关系，其中正确的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个10.已知c b a abc x x x x f <<-+-=,96)(23，且0)()()(===c f b f a f ，现给出如下结论：①0)1()0(>f f ；②0)1()0(<f f ；③0)3()0(>f f ；④0)3()0(<f f 。

厦门六中2023—2024学年高一上1月月考数学试卷完成时间：120分钟；满分：150分；一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1.已知集合{14}A x x =∈-≤<N ∣，集合{}260B xx x =+-≤∣，则A B ⋂=（ ） A.{}1,0,1,2- B.{}0,1,2 C.[]1,2- D.[]1,3-2.全称量词命题“0,e 1x x ∀≥≥”的否定为（ ）A.0,e 1x x ∀≥<B.0,e 1x x ∃<<C.0,e 1x x ∃≥≤D.0,e 1x x ∃≥<3.已知13323π25,sin ,ln 3a b c e ===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A.a b c >> B.a c b >>C.c b a >>D.c a b >>4.若tan 3θ=-，则()sin 1sin2sin cos θθθθ+=+（ ） A.35 B.65 C.25 D.35- 5.设函数())ln f x x =，则关于x 的不等式()()12f x f x +>的解集为（ ） A.(),1∞- B.1,3∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ C.1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭ D.11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭6.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，已知函数()y f x =的部分图象如图所示.则()y f x =的解析式可能是（ ）A.()()()cos π2e e x xx f x -=+ B.()()()cos π2e e x x x f x -=- C.()()()e e cos π2x x xf x --= D.()()()e e sin π2x x xf x -+=7.设函数()f x 的定义域为R ，且()()113f x f x =+，当(]1,0x ∈-时，()()1f x x x =+，若对任意(],x m ∞∈-，都有()8116f x ≥-，则实数m 的取值范围是（ ） A.7,3∞⎛⎤- ⎥⎝⎦ B.11,4∞⎛⎤- ⎥⎝⎦ C.9,4∞⎛⎤- ⎥⎝⎦ D.(],3∞- 8.设函数()()224,4,log 4,4,x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩若关于x 的方程()f x t =有四个实根()12341234,,,x x x x x x x x <<<，则1234144x x x x +++的最小值为（ ） A.452 B.23 C.472D.24 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列各角与角7π12终边相同的是（ ） A.17π12- B.7π12- C.19π12 D.31π12 10.已知0x 是函数()e 2x f x x =+-的零点（其中e 2.71828=为自然对数的底数），下列说法正确的是（ ） A.010,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ B.()00ln 2x x -= C.00e 0x x --< D.020e x x ->11.若,x y 满足221x y xy ++=，则（ ）A.x y +≤B.1x y +≥-C.2232x y +≤D.2223x y +≥ 12.已知定义域为R 的函数()f x 对任意实数,x y 都有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=，且102f ⎛⎫=⎪⎝⎭，()00f ≠，则以下结论一定正确的有（ ）A.()01f =B.()f x 是奇函数C.()f x 关于1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称D.()()()1220230f f f +++=三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知幂函数()()257m f x m m x =-+是R 上的增函数，则m 的值为__________. 14.已知πtan 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin2α的值为__________. 15.若函数()()()()3,4422x x x x f x x f f m --=+≥-对x ∀∈R 恒成立，则实数m 的取值范围为__________.16.已知扇形OPQ 中，半径2r =，圆心角为π02θθ⎛⎫<<⎪⎝⎭，若要在扇形上截取一个面积为1的矩形ABCD ，且一条边在扇形的一条半径上，如图所示，则tan θ的最小值为__________.四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知函数()(),1b f x ax a b x =-∈+R ，图象经过点52,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，且()112f =. （1）求,a b 的值；（2）判断并用定义证明函数()y f x =在区间()1,∞-+上的单调性.18.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()22f x x x =-. （1）求函数()f x 的解析式；（2）求方程()2log 3f x =的解集.19.某同学用“五点法”作函数()()πsin (0,0,)2f x A x A ωϕωϕ=+>><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，见下表：（1）根据上表数据，直接写出函数()f x 的解析式，并求函数的最小正周期和()f x 在[]0,2π上的单调递减区间.（2）求()f x 在区间2π,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 20.流行性感冒简称流感，是流感病毒引起的急性呼吸道感染，也是一种传染性强､传播速度快的疾病.了解引起流感的某些细菌､病毒的生存条件､繁殖习性等对于预防流感的传播有极其重要的意义.某科研团队在培养基中放入一定是某种细菌进行研究.经过2分钟菌落的覆盖面积为248mm ，经过3分钟覆盖面积为264mm ，后期其蔓延速度越来越快；菌落的覆盖面积y （单位：2mm ）与经过时间x （单位：min ）的关系现有三个函数模型：①(0,1)x y ka k a =>>，②log (1)b y x b =>，③(0)y q p =>可供选择.（参考数据：lg20.301,lg30.477≈≈）（1）选出你认为符合实际的函数模型，说明理由，并求出该模型的解析式；（2）在理想状态下，至少经过多少分钟培养基中菌落的覆盖面积能超过2300mm ?（结果保留到整数）21.已知函数()()22sin 1(0,0π)2x f x x ωϕωϕωϕ+⎛⎫=++-><< ⎪⎝⎭为奇函数，且()f x 图象的相邻两对称轴间的距离为π2. （1）求()f x 的解析式与单调递增区间；（2）已知()f x 在π5π,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦时，求方程()()2230f x x +-=的所有根的和. 22.已知函数()()2ln f x a a x ⎛⎫=+∈⎪⎝⎭R . （1）若2a =-时，求函数()f x 的定义域；（2）若函数()()()ln 233F x f x a x a ⎡⎤=--+-⎣⎦有唯一零点，求实数a 的取值范围；。

福建省厦门第六中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．1AB B ．DC 3．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥P ABCD -为阳马，DE xAB y A z AP C +=+，则x y z ++=（）A ．1C ．134．如果三点()1,5,2A -，A ．3,2a b ==A ．1010B ．557．已知ABC 的顶点为(20)A ，，的一个方向向量的坐标可以是（A ．(1)2，B ．(13)，8．空间直角坐标系O xyz -中，平面ABC ，则||AP =（）A ．5B ．7二、多选题9．若直线l 经过点(1,2)A ，在可能是（）A ．12-B ．2-10．给出下列命题，其中是真命题的是（A ．若直线l 的方向向量a 直B ．若直线l 的方向向量aC ．若平面α、β的法向量分别为15．点P 是棱长为1的正方体范围是.四、双空题16．在ABC 中，已知顶点ABC ∠的平分线所在直线方程为程．五、解答题17．若直线l 过点()1,2P ，且与的面积为4时，求直线l 的方程18．已知空间中的三点(2,0,2P -（1）若ka b + 与2ka b -互相垂直，求（2）求点N 到直线PM 的距离19．如图所示，在长方体ABCD 求证：1A B N M ，，，四点共面．20．如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，2,23PN PA PD DC ===．(1)证明：DN PM ⊥；(2)设平面PAB ⋂平面PCD l =21．如图，在矩形ABCD 和ABEF AN AE λ=，01λ<<，记AB = (1)将MN 用a ，b ，c表示出来，并求(2)是否存在λ使得MN ⊥平面ABCD 22．如图甲，已知在长方形ABCD AM 折起，如图乙，使得平面(1)求证：AD ⊥平面BDM ；(2)若点E 是线段DB 上一动点，点。

2023-2024学年福建省厦门市第六中学高一上学期第一次月考化学试题1.下列不属于分散系的是A．纯碱B．雾C．食盐水D．豆浆2.下列化合物属于氧化物的是A．B．C．D．3.标准状况下，下列物质所占体积最大的是D．个A．B．C．4.下列关于和的叙述中，错误的是A．和长期置于空气中，最终产物相同B．和都能与、发生反应C．等物质的量的和，所含有的阴离子数目相同D．和都属于碱性氧化物5.类比是研究物质性质常用的方法之一，下列类比不合理的是A．由能与反应生成，推测能与反应生成B．由能和粉末反应生成，推测能和粉末反应生成C．由能与水反应生成，推测能与水反应生成D．由溶液能与反应，推测溶液能与稀疏酸反应6.设为阿伏加德罗常数的值，下列说法正确的是A．标准状况下，和的混合气体中含有氧原子数目为B．标准状况下，和含有的原子数目均为C．的溶液中，的数目为D．标准状况下，氢气中含有的质子数目为7.胶体的胶团结构如图所示，下列说法错误的是A．胶体粒子的直径介于之间B．胶体带正电C．向胶体中加入过量盐酸，先产生红褐色沉淀后沉淀溶解D．电泳现象的原因是扩散层与吸附层分离，带正电的胶粒向与电源负极相连的一极移动8.常温常压下，电化学还原制氨气的总反应方程式：，设为阿伏加德罗常数的值，下列说法错误的是A．中含有的电子数目为B．中含有的原子数目为C．中含有的氢原子数目为D．每消耗，产生的分子数为9.下列各组物质中，不能满足图中物质一步转化关系的是B．B C．C D．D10.用如图所示实验装置进行相关实验探究，可以达到实验目的的是A．装置甲：证明与水反应放热B．装置乙：制备氢氧化铁胶体C．装置丙：称取一定质量的固体D．装置丁：收集干燥后的氯气11.过氧乙酸消毒液是一种常见的消毒剂，下图为实验室中过氧乙酸消毒液试剂瓶标签上的有关数据，下列说法错误的是过氧乙酸消毒液【化学式】【规格】【质量分数】15.2%【密度】A．个过氧乙酸分子中所含碳原子的物质的量为B．过氧乙酸中C、H、O三种元素的质量之比为C．过氧乙酸消毒液的物质的量的浓度为D．该消毒液中过氧乙酸的物质的量为12.为了验证见光分解的产物，某实验小组用强光照射氯水，并将传感器、传感器置于溶液中，传感器置于溶液上方，且传感器均与数据采集器、计算机连接，得到如图甲、乙、丙所示的曲线(整套装置体系密闭且忽略体系温度变化)。

2021年高三上学期12月月考数学试卷（文科）含解析一、选择题（每小题5分，共计50分）1．设i是虚数单位，复数( )A．3﹣2i B．3+2i C．2﹣3i D．2+3i2．集合A={x|x2﹣a≥0}，B={x|x＜2}，若C R A⊆B，则实数a的取值范围是( ) A．（﹣∞，4] B．[0，4] C．（﹣∞，4）D．（0，4）3．已知a0=20.5，b=log32，c=log20.1，则( )A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a4．下列四个结论：①若x＞0，则x＞sinx恒成立；②命题“若x﹣sinx=0则x=0”的逆命题为“若x≠0则x﹣sinx≠0”；③“命题p或q为真”是“命题p且q为真”的充分不必要条件；④命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0﹣lnx0≤0”．其中正确结论的个数是( )A．1个B．2个C．3个D．4个5．直线x+my+1=0与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数m的取值范围是( )A．[，]B．[﹣，﹣]C．[，3] D．[﹣3，﹣]6．已知某几何体的三视图，则该几何体的体积是( )A．12 B．24 C．36 D．487．设0＜a＜1，则函数y=的图象大致为( )A．B．C．D．8．已知向量=（0，sinx），=（1，2cosx），函数f（x）=•，g（x）=2+2﹣，则f（x）的图象可由g（x）的图象经过怎样的变换得到( )A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度9．已知函数f （x）=Asin（ωx+φ），（0＜φ＜π）的图象如图所示，若f （x0）=3，x0∈（，），则sinx0的值为( )A． B． C． D．10．设f（x）=|lnx|，若函数g（x）=f（x）﹣ax在区间（0，3]上有三个零点，则实数a的取值范围是( )A．（0，）B．（，e）C．（0，]D．[，）二、解答题（每小题5分共计25分）11．已知sinα﹣cosα=，α∈（0，π），tanα=__________．12．已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且⊥，则2+3=__________．13．函数y=lg（1﹣）+的定义域是__________．14．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1、S2，体积分别为υ1，υ2，若它们的侧面积相等，且的值为__________．15．给出下列四个命题：①命题“∀x∈R，cosx＞0”的否定是“∃x∈R，cosx≤0”；②a、b、c是空间中的三条直线，a∥b的充要条件是a⊥c且b⊥c；③命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆命题为假命题；④对任意实数x，有f（﹣x）=f（x），且当x＞0时，f′（x）＞0，则当x＜0时，f′（x）＜0．其中的真命题是__________．（写出所有真命题的编号）三、解答题：16．已知函数f（x）=sinωxcosωx﹣cos2ωx﹣（ω＞0，x∈R）的图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若△ABC三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=，f（C）=0，sinB=3sinA，求a，b的值．17．已知数列{a n}前n项和S n满足：2S n+a n=1（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜．18．已知函数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间上的最大值和最小值，并求出相应的x的值．19．如图正方形ABCD的边长为ABCD的边长为，四边形BDEF是平行四边形，BD与AC 交于点G，O为GC的中点，平面ABCD．（I）求证：AE∥平面BCF；（Ⅱ）若，求证CF⊥平面AEF．20．（13分）已知函数f（x）=lnx﹣mx，m∈R（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≤﹣2m+1在[1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．21．（14分）近日，国家经贸委发出了关于深入开展增产节约运动，大力增产市场适销对路产品的通知，并发布了当前国内市场185种适销工业品和42种滞销产品的参考目录．为此，一公司举行某产品的促销活动，经测算该产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本（10+2P）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件．（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．xx山东省潍坊市寿光五中高三（上）12月月考数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共计50分）1．设i是虚数单位，复数( )A．3﹣2i B．3+2i C．2﹣3i D．2+3i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：复数===3﹣2i，故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．2．集合A={x|x2﹣a≥0}，B={x|x＜2}，若C R A⊆B，则实数a的取值范围是( )A．（﹣∞，4]B．[0，4]C．（﹣∞，4）D．（0，4）【考点】补集及其运算；集合的包含关系判断及应用．【专题】集合．【分析】根据集合的补集关系进行求解即可．【解答】解：∵A={x|x2﹣a≥0}={x|x2≥a}，∴C R A={x|x2≤a}，若a＜0，则C R A=∅，满足C R A⊆B，若a≥0，则C R A={x|x2＜a}={x|﹣＜x＜}，若C R A⊆B，则≤2，解得0≤a≤4，综上a≤4，故选：A【点评】本题主要考查集合的基本运算和集合关系的应用，注意分类讨论．3．已知a0=20.5，b=log32，c=log20.1，则( )A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用指数函数和对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=20.5＞20=1，0＜b=log32＜log33=1，c=log20.1＜log21=0．∴c＜b＜a．故选：C．【点评】本题考查了指数函数和对数函数的单调性，属于基础题．4．下列四个结论：①若x＞0，则x＞sinx恒成立；②命题“若x﹣sinx=0则x=0”的逆命题为“若x≠0则x﹣sinx≠0”；③“命题p或q为真”是“命题p且q为真”的充分不必要条件；④命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0﹣lnx0≤0”．其中正确结论的个数是( )A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】命题的真假判断与应用．【专题】规律型；探究型；构造法；导数的概念及应用；简易逻辑．【分析】令f（x）=x﹣sinx，利用导数分析其单调性，可判断①；写出原命题的逆命题，可判断②；根据充要条件的定义，可判断③；写出原命题的否定，可判断④．【解答】解：令f（x）=x﹣sinx，则f′（x）=1﹣cosx≥0恒成立，故f（x）=x﹣sinx在R上为增函数，故x＞0时，f（x）＞f（0）=0，即x＞sinx恒成立，故①正确；命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的逆命题为“若x=0，则x﹣sinx=0”，故②错误；“命题p或q为真”时，“命题p且q为真”不一定成立，“命题p且q为真”时，“命题p或q为真”成立，故“命题p或q为真”是“命题p且q为真”的必要不充分条件，故③错误；④命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0﹣lnx0≤0”，故正确．其中正确结论的个数是2个，故选：B【点评】本题考查的知识点是全称命题的否定，四种命题，复合命题，函数的单调性，难度中档．5．直线x+my+1=0与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数m的取值范围是( )A．[，]B．[﹣，﹣]C．[，3] D．[﹣3，﹣]【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识即可得到结论．【解答】解：即直线x+my+1=0过定点D（﹣1，0）作出不等式组对应的平面区域如图：当m=0时，直线为x=﹣1，此时直线和平面区域没有公共点，故m≠0，x+my+1=0的斜截式方程为y=x，斜率k=，要使直线和平面区域有公共点，则直线x+my+1=0的斜率k＞0，即k=＞0，即m＜0，满足k CD≤k＜k AB，此时AB的斜率k AB=2，由解得，即C（2，1），CD的斜率k CD==，由，解得，即A（2，4），AD的斜率k AD==，即≤k≤，则≤≤，解得﹣3≤m≤﹣，故选：D．【点评】本题主要考查线性规划以及斜率的应用，利用数形结合是解决本题的关键．6．已知某几何体的三视图，则该几何体的体积是( )A．12 B．24 C．36 D．48【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】利用三视图判断几何体的形状，通过三视图是数据，求出几何体的体积即可．【解答】解：三视图复原的几何体是底面为边长4、3的矩形，高为3的棱锥，高所在棱垂直底面矩形的一个得到，所以棱锥的体积为：=12．故选：A．【点评】本题主要考查关于“几何体的三视图”与“几何体的直观图”的相互转化的掌握情况，同时考查空间想象能力．7．设0＜a＜1，则函数y=的图象大致为( )A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用0＜a＜1，判断a x，x＞0时的范围，以及x＜0时的范围，然后求解a x﹣1的范围，倒数的范围，即可判断函数的图象．【解答】解：因为0＜a＜1，x＞0时，0＜a x＜1，﹣1＜a x﹣1＜0，＜﹣1，x＜0时，a x＞1，a x﹣1＞0，＞0，观察函数的图象可知：B满足题意．故选：B．【点评】本题考查指数函数的图象，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，注意函数的值域以及指数函数的性质．8．已知向量=（0，sinx），=（1，2cosx），函数f（x）=•，g（x）=2+2﹣，则f（x）的图象可由g（x）的图象经过怎样的变换得到( )A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】由题意利用两个向量的数量积公式、诱导公式可得函数f（x）=sin2x，g（x）=sin2（x+），再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：由题意可得函数f（x）=•=（2sinxcosx）=sin2x，g（x）=2+2﹣=sin2x+1+4cos2x﹣=3cos2x﹣=cos2x=sin（2x+）=sin2（x+），故把g（x）的图象向右平移个单位长度，可得f（x）的图象，故选：B．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．9．已知函数f （x）=Asin（ωx+φ），（0＜φ＜π）的图象如图所示，若f （x0）=3，x0∈（，），则sinx0的值为( )A． B． C． D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，求出函数的解析式．再由f （x0）=3求出sin（x0+ ）的值，可得cos（x0+ ）的值，再由两角差的正弦公式求得sinx0 =sin[（x0+ ）﹣]的值．【解答】解：由函数的图象可得A=5，且=，解得ω=1再由五点法作图可得1•+φ=，解得φ=．故函数的解析式为f（x）=5sin（x+ ）．再由f （x0）=3，x0∈（，），可得5sin（1•x0+ ）=3，解得sin（x0+ ）=，故有cos（x0+ ）=﹣，sinx0 =sin[（x0+ ）﹣]=sin（x0+ ）cos﹣cos（x0+ ）sin=﹣（﹣）=．故选A．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，两角差的正弦公式的应用，属于中档题．10．设f（x）=|lnx|，若函数g（x）=f（x）﹣ax在区间（0，3]上有三个零点，则实数a的取值范围是( )A．（0，）B．（，e）C．（0，]D．[，）【考点】根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】首先，画出函数f（x）=|lnx|的图象，然后，借助于图象，结合在区间（0，3]上有三个零点，进行判断．【解答】解：函数f（x）=|lnx|的图象如图示：当a≤0时，显然，不合乎题意，当a＞0时，如图示，当x∈（0，1]时，存在一个零点，当x＞1时，f（x）=lnx，可得g（x）=lnx﹣ax，（x∈（1，3]）g′（x）==，若g′（x）＜0，可得x＞，g（x）为减函数，若g′（x）＞0，可得x＜，g（x）为增函数，此时f（x）必须在[1，3]上有两个零点，∴解得，，在区间（0，3]上有三个零点时，，故选D．【点评】本题重点考查函数的零点，属于中档题，难度中等．二、解答题（每小题5分共计25分）11．已知sinα﹣cosα=，α∈（0，π），tanα=﹣1．【考点】同角三角函数间的基本关系．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】已知等式左边提取，利用两角和与差的正弦函数公式化简，求出sin（α﹣）的值为1，由α的范围，利用特殊角的三角函数值求出α的度数，即可求出tanα的值．【解答】解：∵sinα﹣cosα=sin（α﹣）=，∴sin（α﹣）=1，∵α∈（0，π），∴α﹣=，即α=，则tanα=﹣1．【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，特殊角的三角函数值，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．12．已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且⊥，则2+3=（﹣4，7）．【考点】平面向量的坐标运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】由向量=（1，2），=（﹣2，m），且⊥，求出m的值，则2+3的答案可求．【解答】解：∵向量=（1，2），=（﹣2，m），且⊥，∴﹣2+2m=0，解得m=1，则2+3=2×（1，2）+3×（﹣2，1）=（﹣4，7）．故答案为：（﹣4，7）．【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，考查了平面向量的坐标运算，是基础题．13．函数y=lg（1﹣）+的定义域是[log23，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则，即，∴x≥log23，即函数的定义域为[log23，+∞），故答案为：[log23，+∞）【点评】本题主要考查函数定义域的求法，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础．14．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1、S2，体积分别为υ1，υ2，若它们的侧面积相等，且的值为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】设两个圆柱的底面半径分别为R，r，高分别为H，h，由=，得=，由它们的侧面积相等，得=，由此能求出．【解答】解：设两个圆柱的底面半径分别为R，r，高分别为H，h，∵=，∴=，∵它们的侧面积相等，∴=1，∴=，∴==（）2×=．故答案为：．【点评】本题考查两个圆柱的体积的比值的求法，是中档题，解题时要注意圆柱的体积和侧面积计算公式的合理运用．15．给出下列四个命题：①命题“∀x∈R，cosx＞0”的否定是“∃x∈R，cosx≤0”；②a、b、c是空间中的三条直线，a∥b的充要条件是a⊥c且b⊥c；③命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆命题为假命题；④对任意实数x，有f（﹣x）=f（x），且当x＞0时，f′（x）＞0，则当x＜0时，f′（x）＜0．其中的真命题是①④．（写出所有真命题的编号）【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】①利用命题的否定即可判断出；②由a⊥c且b⊥c可得a∥b或相交或为异面直线，另一方面由a∥b，推不出a⊥c，b⊥c，即可判断出；③在△ABC中，A＞B⇔a＞b，由正弦定理可得：，可得sinA＞sinB．④利用偶函数的性质即可得出．【解答】解：①命题“∀x∈R，cosx＞0”的否定是“∃x∈R，cosx≤0”，正确；②a、b、c是空间中的三条直线，由a⊥c且b⊥c可得a∥b或相交或为异面直线，由a∥b，推不出a⊥c，b⊥c，因此“a⊥c且b⊥c”是a∥b的既不充分也不必要条件，因此②不正确；③在△ABC中，由A＞B⇔a＞b，由正弦定理可得：，因此sinA＞sinB．可知逆命题为真命题，因此不正确；④对任意实数x，有f（﹣x）=f（x），可知函数f（x）是偶函数．由当x＞0时，f′（x）＞0，则当x＜0时，f′（x）＜0．正确．综上可知：只有①④正确．故答案为：①④．【点评】本题综合考查了空间中的线线位置关系、三角形的边角关系、函数的奇偶性单调性、简易逻辑等基础知识与基本技能方法，属于基础题．三、解答题：16．已知函数f（x）=sinωxcosωx﹣cos2ωx﹣（ω＞0，x∈R）的图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若△ABC三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=，f（C）=0，sinB=3sinA，求a，b的值．【考点】余弦定理；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理为一个角的正弦函数，根据题意确定出ω的值，确定出f（x）解析式，利用正弦函数的单调性求出函数f（x）的单调递增区间即可；（Ⅱ）由f（C）=0，求出C的度数，利用正弦定理化简sinB=3sinA，由余弦定理表示出cosC，把各自的值代入求出a与b的值即可．【解答】解：f（x）=sin2ωx﹣（1+cos2ωx）﹣=sin（2ωx﹣）﹣1，∵f （x ）图象上相邻两个最高点的距离为π，∴=π，即ω=1，则f （x ）=sin （2x ﹣）﹣1，（Ⅰ）令﹣+2k π≤2x ﹣≤+2k π，k ∈Z ，得到﹣+k π≤x ≤k π+，k ∈Z ，则函数f （x ）的单调递增区间为[﹣+k π，k π+]，k ∈Z ；（Ⅱ）由f （C ）=0，得到f （C ）=sin （2C ﹣）﹣1=0，即sin （2x ﹣）=1，∴2C ﹣=，即C=，由正弦定理=得：b=，把sinB=3sinA 代入得：b=3a ，由余弦定理及c=得：cosC===，整理得：10a 2﹣7=3a 2，解得：a=1，则b=3．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及二倍角的正弦、余弦函数公式，熟练掌握定理是解本题的关键．17．已知数列{a n }前n 项和S n 满足：2S n +a n =1（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n ＜．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（I ）利用递推式可得：．再利用等比数列的通项公式即可得出；（II ）由（I ）可得b n ==，；利用“裂项求和”即可得出数列{b n }的前n 项和为T n ，进而得到证明．【解答】（I ）解：∵2S n +a n =1，∴当n ≥2时，2S n ﹣1+a n ﹣1=1，∴2a n +a n ﹣a n ﹣1=0，化为．当n=1时，2a 1+a 1=1，∴a 1=．∴数列{a n }是等比数列，首项与公比都为．∴．（II ）证明：b n = ===，∴数列{b n }的前n 项和为T n =++…+=．∴T n ＜．【点评】本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式、“裂项求和”、不等式的证明，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．已知函数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间上的最大值和最小值，并求出相应的x的值．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（1）利用三角函数的倍角公式和诱导公式化简函数f（x），然后直接由周期公式求周期；（2）通过函数的图象的平移求解函数g（x）的解析式为g（x）=，由x的范围求出的范围，从而求得函数g（x）的最值，并得到相应的x的值．【解答】解：（1）由，得==．∴f（x）的最小正周期为π；（2）∵将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，∴=．∵x∈[0，）时，，∴当，即时，g（x）取得最大值2；当，即x=0时，g（x）取得最小值．【点评】本题考查了三角函数的倍角公式及诱导公式，考查了三角函数的图象平移，训练了三角函数的最值得求法，是中档题．19．如图正方形ABCD的边长为ABCD的边长为，四边形BDEF是平行四边形，BD与AC 交于点G，O为GC的中点，平面ABCD．（I）求证：AE∥平面BCF；（Ⅱ）若，求证CF⊥平面AEF．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】（I）利用正方形，平行四边形的性质可得AD∥BC，DE∥BF，可证平面ADE∥平面BCF，即可证明AE∥平面BCF…5分（Ⅱ）由已知可证AC2=AF2+CF2，由勾股定理可得CF⊥AF，又FO⊥平面ABCD，可得FO⊥BD，又AC⊥BD，即可证明BD⊥平面AFC，结合EF∥BD，即可证明EF⊥CF，从而可证CF⊥平面AEF．【解答】证明：（I）∵四边形ABCD为正方形，四边形BDEF是平行四边形，∴AD∥BC，DE∥BF，∵AD∩DE=D，BC∩BF=B，∴平面ADE∥平面BCF，又∵AE⊂平面ADE，∴AE∥平面BCF…5分（Ⅱ）∵正方形ABCD边长为2，∴对角线AC=4，又∵O为GC中点，∴AO=3，OC=1又∵FO⊥平面ABCD，且FO=，∴AF2=AO2+OF2=9+3=12，CF2=OC2+OF2=1+3=4，又AC2=16，∴AC2=AF2+CF2，∴CF⊥AF，又FO⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴FO⊥BD又∵AC⊥BD∴BD⊥平面AFC，又∵EF∥BD，∴EF⊥平面AFC∴EF⊥CF，又EF∩AF=F∴CF⊥平面AEF…12分【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．20．（13分）已知函数f（x）=lnx﹣mx，m∈R（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≤﹣2m+1在[1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】（1）先对原函数求导数，然后通过解导数大于零或小于零的不等式得到原函数的单调区间；（2）先将原不等式归零化简，然后通过求函数的最值解决问题，只需利用导数研究函数的单调性即可，注意分类讨论．【解答】解：由题意可得，函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=．（1）当m≤0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，当m＞0时，令f′（x）＞0，解得，令f′（x）＜0，解得．所以当m≤0时，此时函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；当m＞0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，），单调减区间为（）．（2）因为在[1，+∞）上恒成立．即在[1，+∞）上恒成立，令g（x）=，则，（1）当，即时，若，则g′（x）＜0，g（x）是减函数，所以g（x）＜g（1）=0，即g（x）≥0在[1，+∞）上不恒成立；（2）当，即时，若x＞1，则g′（x）＞0，g（x）是增函数，所以g（x）＞g（1）=0，即，故当x≥1时，f（x）恒成立．综上所述，所求的正实数m的取值范围是．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性的思路，以及不等式恒成立问题转化为函数的最值问题来解的基本思想．21．（14分）近日，国家经贸委发出了关于深入开展增产节约运动，大力增产市场适销对路产品的通知，并发布了当前国内市场185种适销工业品和42种滞销产品的参考目录．为此，一公司举行某产品的促销活动，经测算该产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本（10+2P）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件．（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（1）根据产品的利润=销售额﹣产品的成本建立函数关系；（2）利用基本不等式可求出该函数的最值，注意等号成立的条件．【解答】解：（1）由题意知，，将代入化简得：（0≤x≤a）．…（2），当且仅当，即x=1时，上式取等号．…当a≥1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；当a＜1时，在[0，a]上单调递增，所以x=a时，函数有最大值．即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．综上，当a≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大；当a＜1时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大．…【点评】本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及基本不等式在最值问题中的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．。

厦门六中2023-2024学年高一上学期1月月考语文试卷（考试时间150分钟满分150分）注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、座位号填写在答题卡上。

2、作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目下面的答案信息点涂黑。

3、非选择题必须用黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不得使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

一、现代文阅读（17分）（一）现代文阅读Ⅰ（本题共3小题，10分）阅读下面的文字，完成下面小题。

材料一：可移动文化遗产的保护是指运用各种方法延长可移动文化遗产寿命的专业性活动。

保护技术推进的核心是找到与遗产变化状况相适应的保护方法，以便及时对藏品进行预警、干预，使藏品保持健康的状态。

在此过程中，预防、治理、修复三个方面的技术运用起着至关重要的作用。

预防是所有的减缓文化遗产恶化和损毁的行为的总称，它涉及光照度、环境条件、安全、防火和突发事件的准备等方面。

治理是通过外接的干预直接作用于可移动文化遗产的保护行为，是为了消除正在损毁遗产的外界因素，从而使遗产恢复到健康的状态。

根据可移动文化遗产遭受“病痛”情形的差异，治理技术可以分为杀虫、去酸、脱水和清洁等类型。

修复是对已经发生变形或变性的遗产进行处理，使之恢复到原有的形态或性质。

修复的内容大致分为两个方面：一是清除文物和标本上的一切附着物；二是修补文物和标本的残缺部分。

（摘自周耀林《可移动文化遗产保护策略研究》）材料二：以温度25℃、相对湿度50%为标准寿命（设其指数为1．00），计算在温度15℃、35℃和湿度10%、30%、70%条件下，纸张的寿命和标准寿命的倍数关系，结果见下表：（摘编自李景仁等《图书档案保护技术手册》）材料三：毛里求斯是非洲一个岛国，位于赤道南部的西印度洋上，气候湿热多雨。

毛里求斯拟修复的档案文件，形成于18世纪，文件纸张为破布浆机制纸，字迹材料为酸性烟黑墨水，双面手写。

2023-2024学年福建省厦门市七年级上学期12月月考语文模拟试题一、积累与运用(20 分）1.根据语境，补写出其中的空缺部分（10 分）少年们，去阅读经典吧，先贤会为我们点亮思想的明灯！路过潼关，少年谭嗣同慷慨激昂地吟诵“（1）_________，山入潼关不解平”；面对离别，李商隐借助想象激发对未来的憧憬“（2），（3）___________”；在刘禹锡的《秋词》中，诗人一反前人的悲秋之作而具有独创的视角，运用鲜明的对比来表现作者观点的诗句“（4），（5）”，同时我们感受到了他“（6）__________，（7）__________” 的豪迈诗情；在诸葛亮的《诫子书》中，我们读到了“（8）___________，非宁静无以致远”的殷殷教诲，懂得了过度享乐和急躁对人修身养性产生不利影响：（9），（10）”……这些传承着中华民族精神的经典诗文，彰显着理想光辉和人格力量，涵养着我们做一个“高尚的人”。

2.阅读下面的文字，按要求作答。

（7 分）史铁生双腿①tān（A.瘫 B.滩）痪后，脾气变得暴怒无常，母亲想方设法安慰他，让人感伤；莫顿·亨特趴在悬崖上甲（A.神情恍惚 B.神魂颠倒），惊慌失措，最后因父亲的鼓励，成功爬下悬崖，给人启迪；植树的牧羊人，让一块荒漠变绿洲，而不要一分乙（A.酬劳 B.酬谢），催人自省A.shA.shěng B.xǐng）。

我们写记事文章时，丙。

（1）根据拼音为文中①处选择正确的汉字，为文中②处加点字选择正确的读音。

（填序号）(2 分）①处_________ ②处_________（2）从文中括号内选择符合语境的词语分别填入甲、乙处。

（填序号）（2 分）甲_________ 乙_________（3）下列四个句子填入文中丙处，排序恰当的一项是( )（3 分）①不仅要记“真实”的事②此外，还要注意锤炼语言③也要忠于自己的感受④更要融入自己的感情A.①②③④B.①③④②C.②①③④D.①④③②3.下列句子没有语病的一项是（）（3 分）A．能否上课专心听讲，是取得优异成绩的关键。

福建省南安名校2023届高三上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}21log A x N x k =∈<<，集合A 中至少有2个元素，则（ ） A ．16k ≥B ．16k >C ．8k ≥D ．8k >2．已知圆锥的轴截面是一个正三角形，则其侧面积与轴截面面积之比是（ ） A ．23B ．233πC ．23π D ．32π 3．“函数tan y x =的图象关于0(,0)x 中心对称”是“0sin 0x =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．若()()2i 2i 1z z -+=，则z 的最大值为（ ） A ．2B ．3C ．2D ．35．已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 均为递增数列，且121a b ==，26a b =，若10k a b =，则k 的最小值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．66．在ABC 中，点P 满足2BP PC =，过点P 的直线与AB ，AC 所在的直线分别交于点M ，N ，若AM x AB =，()0,0AN yAC x y =>>，则2x y +的最小值为（ ）A ．3B ．32C ．1D ．137．下图中的多边形均为正多边形，M ，N 是所在边的中点，双曲线均以1F ，2F 为焦点，且经过M ，N 两点．设图1，图2，图3中双曲线的离心率分别为1e ，2e ，3e ，则（ ）A ．123e e e >>B ．213e e e >>C ．321e e e >>D ．132e e e >>8．已知函数2()ln f x x x ax =+-有两个极值点m ，n ，且[1,2]m ∈，则()()f m f n -的最大值为（ ）A ．2ln 23-B ．2ln 23-C ．3ln 24-D ．3ln 24-二、多选题9．已知a ，b ，c 为非零实数，且0a b -≥，则下列结论正确的有（ ） A ．a c b c +≥+B ．-≤-a bC ．22a b ≥D ．2211ab ba ≥10．设0ω>，函数()cos f x x x ωω=+在区间0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上有零点，则ω的值可以是（ ）A ．16B ．56C ．13D ．2311．四边形ABCD 是边长为2的正方形，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，分别沿AE 、AF 及EF 所在直线把AEB △、AFD △和EFC 折起，使B 、C 、D 三点重合于点P ，得到三棱锥P AEF -，则下列结论中正确的有（ ）． A ．三棱锥P AEF -的体积为23B ．平面APF ⊥平面EPFC ．三棱锥中无公共端点的两条棱称为对棱，则三棱锥P AEF -中有三组对棱相互垂直D ．若M 为AF 的中点，则过点M 的平面截三棱锥P AEF -的外接球，所得截面的面积的最小值为5π412．已知实数2a >，2b >，且a b ，若b a a b =，则a b -可能等于（ ）A ．0.5B ．1C ．2D ．3三、填空题13．同时将圆221x y +=和22240x y x y +--=的面积平分的直线的斜截式方程为________．14．12233445555555C 0.998C 0.998C 0.998C 0.998C 0.998++++≈_______（精确到0.01）15．已知定义R 上的函数()f x 满足()()()63f x f x f =-+，又()πf x +的图象关于点()π,0-对称，且()12022f =，则()2023f =______16．已知抛物线2:4C y x =，点()1,2P ，,,,A B M N 是抛物线C 上的四个动点，过点P 作分别作AB ，MN 的垂线，垂足分别为E ，F ，2PA PB PM PN k k k k +=+= ,则点E F ､距离的最大值为__________. 四、解答题17．记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2sin sin sin()A C B A =+-． (1)证明：cos a A b=； (2)若2b ac =，求cos B ．18．已知数列{}n a 满足113(1)1(1)1,22n nn n a a a +--+-==+. (1)设21n n b a -=，求数列{}n b 的通项公式； (2)求数列{}n a 的前2n 项和2n S .19．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，//AD BC ，AB AD ⊥．24AB BC ==，E 是棱PD 上的动点（除端点外），,F M 分别为,AB CE 的中点．(1)求证：//FM 平面PAD ；(2)若直线EF 与平面PAD 所成的最大角为30°，求平面CEF 与平面PAD 所成锐二面角的余弦值．20．某中学在一次考试后，对本年级学生物理成绩进行分析，随机抽取了300名同学的物理成绩（均在50~100分之间），将抽取的成绩分组为[)5060，，[)6070，，[)7080，，[)8090，，[]90100，，得到如图所示的频率分布直方图.(1)求这300名同学物理平均成绩x 与第三四分位数的估计值；（结果精确到1）(2)已知全年级同学的物理成绩服从正态分布()2N μσ，，其中μ取（1）中的x ，经计算，σ=11，现从全年级随机选取一名同学的物理成绩，求该成绩在区间()6295，的概率（结果精确到0.1）；(3)根据（2）的条件，用频率估计概率，现从全年级随机选取n 名同学的物理成绩，若他们的成绩都在()6295，的概率不低于1%，求n 的最大值（n 为整数）. 附：lg20.301≈，若()2~N ξμσ，，则()0.68P μσξμσ-<<+≈，()220.96P μσξμσ-<<+≈.21．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>2过坐标原点O 的直线交椭圆E 于,P A两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC .当C 为椭圆的右焦点时，PAC △2(1)求椭圆E 的方程；(2)若B 为AC 的延长线与椭圆E 的交点，试问：APB ∠是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由.22．某大学有A ，B 两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位学生每天午餐和晚餐都在学校就餐，近100天选择餐厅就餐情况统计如下： 选择餐厅情况（午餐，晚餐）(),A A(),A B(),B A(),B B甲30天20天40天10天假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率．(1)分别估计一天中甲午餐和晚餐都选择A 餐厅就餐的概率，乙午餐和晚餐都选择B 餐厅就餐的概率；(2)记X 为甲、乙在一天中就餐餐厅的个数，求X 的分布列和数学期望()E X ；(3)假设M 表示事件“A 餐厅推出优惠套餐”，N 表示事件“某学生去A 餐厅就餐”，()0P M >，一般来说在推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明：()()P M N P M N >．福建省南安名校2023届高三上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}21log A x N x k =∈<<，集合A 中至少有2个元素，则（ ） A ．16k ≥ B ．16k > C ．8k ≥ D ．8k >【答案】D【分析】由于集合A 中至少有2个元素，所以2log 3k >,从而可求出k 的取值范围 【详解】解：因为集合A 中至少有2个元素， 所以2log 3k >，解得8k >， 故选：D2．已知圆锥的轴截面是一个正三角形，则其侧面积与轴截面面积之比是（ ）A ．23B C D 【答案】B【分析】分别计算侧面积和面积作比即可. 【详解】设底面圆的半径为r ，则母线长为2r ， 得侧面积是212222r r r ππ⨯⨯=轴截面是一个正三角形，边长为2r ， 则其面积2122sin6032r r r ⨯⨯⨯= .故选：B3．“函数tan y x =的图象关于0(,0)x 中心对称”是“0sin 0x =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】分别求出tan y x =与sin y x =的对称中心，比较两个中心关系.【详解】tan y x =的对称中心为(π,0),Z 2kk ∈，sin y x =的对称中心为(π,0),Z k k ∈，tan y x=的对称中心不一定为sin y x =的对称中心；sin y x =的对称中心一定为tan y x =的对称中心. 故选：B ．4．若()()2i 2i 1z z -+=，则z 的最大值为（ ）A B C ．2 D ．3【答案】D【分析】根据题意结合共轭复数的概念运算整理的()2221b a -=+，即复数z 对应的点(),a b 在圆()2221x y +-=上，根据圆的性质求z 的最大值.【详解】设()=+i,,R z a b a b ∈，则()()2i=+2i,+2i=2i z a b z a b ----∵()()()()()222i 2i =2i 2i 21a b a b b z z a +----=⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦+⎦⎣-∴复数z 对应的点(),a b 在圆()2221x y +-=上圆()2221x y +-=的圆心()0,2C ，半径=1r ，则z 的最大值为3OC r +=，其中O 为复平面的坐标原点 故选:D.5．已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 均为递增数列，且121a b ==，26a b =，若10k a b =，则k 的最小值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】B【分析】由等差数列和等比数列的通项公式可得3k d =+，由0d >，即可得k 的最小值. 【详解】设等差数列{}n a 公差为d ，等比数列{}n b 公比为q ， 则0d >，1q >，因为121a b ==，26a b =， 所以41d q +=①，而10k a b =， 所以81(1)k d q +-=②，由①②得：2(1)1(1)d k d +=+-， 即3k d =+，0d >，k *∈N ，所以k 的最小值为4. 故选：B6．在ABC 中，点P 满足2BP PC =，过点P 的直线与AB ，AC 所在的直线分别交于点M ，N ，若AM x AB =，()0,0AN yAC x y =>>，则2x y +的最小值为（ ）A ．3B ．32C ．1D ．13【答案】A【分析】由向量加减的几何意义可得233AB ACAP =+，结合已知有233AM AN AP x y =+，根据三点共线知21133x y+=，应用基本不等式“1”的代换即可求最值，注意等号成立的条件. 【详解】由题设，如下图示：23333BC AC AB AB ACAP AB BP AB AB -=+=+=+=+，又AM x AB =，()0,0AN yAC x y =>>，∴233AM AN AP x y=+，由,,M P N 三点共线，有21133x y +=， ∴21522522)23333333323(2)(x y x yx y y x x xy y y x +=+=⋅++≥++，当且仅当x y =时等号成立. 故选：A【点睛】关键点点睛：利用向量线性运算的几何表示，得到AP 、AM 、AN 的线性关系，根据三点共线有21133x y+=，再结合基本不等式求最值. 7．下图中的多边形均为正多边形，M ，N 是所在边的中点，双曲线均以1F ，2F 为焦点，且经过M ，N 两点．设图1，图2，图3中双曲线的离心率分别为1e ，2e ，3e ，则（ ）A ．123e e e >>B ．213e e e >>C ．321e e e >>D ．132e e e >>【答案】A【分析】由双曲线定义有122F F c =、122F N F N a -=，结合正多边形的性质求得12F N F N -关于c 的表达式，即可求各图对应双曲线的离心率.【详解】在图1中，122F F c =，又122(31)F N F N a c -==，则1232e =-在图2中，122F F c =，221210(2)2F N c c ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，22F N =， 121022F N F N a --==，则2102e =-． 在图3中，122F F c =，212F N c =，由余弦定理得：2211221222cos 60F N F F F N F F F N =+-︒13=，121312F N F N a --==，则3131e =-． 因为232102131<，所以123e e e >>． 故选：A8．已知函数2()ln f x x x ax =+-有两个极值点m ，n ，且[1,2]m ∈，则()()f m f n -的最大值为（ ）A ．2ln 23-B ．2ln 23-C ．3ln 24-D ．3ln 24-【答案】C【分析】对()f x 求导得()f x '，得到m ，n 是2210x ax -+=两个根，由根与系数的关系可得m ，n 的关系，然后构造函数，利用导数求单调性，进而得最值.【详解】由2()ln f x x x ax =+-得：2121()2x ax f x x a x x-+=+-=' m ，n 是2210x ax -+=两个根，由根与系数的关系得：1,22a m n mn +==，故12n m=22222221()()ln ln lnln 24m f m f n m m am n n an m n m m n m-=+---+=-+=+-， 令[]2,1,4x m x =∈记[]1()ln 2,1,44g x x x x x =+-∈，则()222222111414()10444x x x g x x x x x----'=--==<，故()g x 在[]1,4x ∈上单调递减. ()()max 311n24g x g ==-故选：C二、多选题9．已知a ，b ，c 为非零实数，且0a b -≥，则下列结论正确的有（ ） A ．a c b c +≥+ B ．-≤-a b C ．22a b ≥ D ．2211ab ba ≥ 【答案】ABD【解析】根据不等式的性质判断，错误的命题可举反例．【详解】因为0a b -≥，所以a b ≥.根据不等式的性质可知A ，B 正确； 因为a ，b 的符号不确定，所以C 不正确； 2222110a b ab ba a b --=≥. 可得2211ab ba ≥，所以D 正确. 故选：ABD ．【点睛】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题关键．10．设0ω>，函数()cos f x x x ωω=+在区间0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上有零点，则ω的值可以是（ ）A ．16B ．56C ．13D ．23【答案】BCD【分析】由题得()2sin 6πω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭f x x ，令6x k πωπ-=，求出,6k x ππωω=+解不等式062ππω<得解.【详解】由题得()cos 2sin 6f x x x x πωωω⎛⎫=+=-- ⎪⎝⎭，令6x k πωπ-=，解得,06k x ππωωω=+>，取k ＝0， 062ππω∴<，即13ω． 故选：BCD11．四边形ABCD 是边长为2的正方形，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，分别沿AE 、AF 及EF 所在直线把AEB △、AFD △和EFC 折起，使B 、C 、D 三点重合于点P ，得到三棱锥P AEF -，则下列结论中正确的有（ ）． A ．三棱锥P AEF -的体积为23B ．平面APF ⊥平面EPFC ．三棱锥中无公共端点的两条棱称为对棱，则三棱锥P AEF -中有三组对棱相互垂直D ．若M 为AF 的中点，则过点M 的平面截三棱锥P AEF -的外接球，所得截面的面积的最小值为5π4【答案】BCD【分析】由条件结合线面垂直判定定理证明PA ⊥平面EFP ，根据面面垂直判定定理证明平面APF ⊥平面EPF ，判断B ，根据锥体体积公式求三棱锥P AEF -的体积判断A ，由线面垂直的性质判断C ，由球的截面的性质判断D.【详解】由已知22215F AE A =+22112=+=EF 翻折前AB BE ⊥，CE CF ⊥，AD DF ⊥， 翻折后，则有PA PE ⊥，PA PF ⊥，PE PF ⊥， 因为PA PE ⊥，PA PF ⊥，PE PF P =，,PE PF ⊂平面EFP ，所以PA ⊥平面EFP ，因为PA ⊥平面EFP ，PE PF ⊥，又1PE PF ==，2PA =，所以111123323P AEF A EFP EFPV V SAP --==⨯⨯=⨯⨯=，A 错误，因为PA ⊥平面EFP ，又PA ⊂平面APF ，所以平面APF ⊥平面EPF ，B 正确，因为PA ⊥平面EFP ，EF ⊂平面EFP ，所以PA EF ⊥， 因为PA PF ⊥，PE PF ⊥，PA PE P =，,PE PA ⊂平面PAE ，所以PF ⊥平面PAE ，又AE ⊂平面PAE ，所以PF ⊥AE ， 同理可证PE AF ⊥，所以三棱锥P AEF -中有三组对棱相互垂直，C 正确， 将三棱锥P AEF -补成长方体PEQA FGNH -，则三棱锥P AEF -的外接球球心O 为体对角线PN 的中点， 且2226PN PE PF PA =++O 的半径为6R =， 所以，过点M 的平面截三棱锥P AEF -的外接球所得截面圆的半径设为r ， 设球心O 到截面圆的距离为d ，则0d OM ≤≤， O 、M 分别为PN 、PH 的中点，则1122OM HN ==， 则102d ≤≤，又22r R d -12d =时，2r 取最小值54，所以过点M 的平面截三棱锥P AEF -的外接球，所得截面的面积的最小值为5π4，D 正确， 故选：BCD.12．已知实数2a >，2b >，且a b ，若b a a b =，则a b -可能等于（ ）A ．0.5B ．1C ．2D ．3【答案】AB【分析】问题可转化为,a b 是()ln xf x x=大于2的两个不同零点，利用导数研究单调性并作出图象，结合图象即可求解【详解】因为实数2a >，2b >，且a b ，若b a a b =，所以ln ln b a a b =，即ln ln b a a b =， 所以ln ln a ba b=， 令()ln xf x x=，()21ln xf x x -'=， 令0f x解得0e x <<，令()0f x '<解得e x >，所以()f x 在()0,e 单调递增，在()e,+∞上单调递减， 作出()ln xf x x=的图象如下：2a >，2b >，不妨设a b >，()()()()ln 2ln 4ln 22,4,24242f f f f ====， 由图象可知：e 4a <<，2e b <<，且422a b -<-=， 所以AB 正确，CD 错误； 故选：AB三、填空题13．同时将圆221x y +=和22240x y x y +--=的面积平分的直线的斜截式方程为________． 【答案】2y x =【分析】求出两圆圆心坐标，过两圆圆心的直线即为所求直线. 【详解】圆221x y +=的圆心为()0,0，圆22240x y x y +--=化为标准方程为：()()22125x y -+-=，其圆心为()1,2，同时将圆221x y +=和22240x y x y +--=的面积平分的直线过两圆圆心， 所以所求直线方程为()200010y x --=--，即2y x =. 故答案为：2y x =.14．12233445555555C 0.998C 0.998C 0.998C 0.998C 0.998++++≈_______（精确到0.01）【答案】30.84【分析】先利用二项式定理将原式化为5(10.998)1+-，再变形为5(20.002)1--，利用二项式定理展开，并近似计算．【详解】原式55(10.998)1(20.002)1=+-=--32051423255555555344C 2C 20.002C 20.002C 20.002C 20.002C 0.0021=-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯-320.16130.84≈--=故答案为：30.84．15．已知定义R 上的函数()f x 满足()()()63f x f x f =-+，又()πf x +的图象关于点()π,0-对称，且()12022f =，则()2023f =______ 【答案】2022-【分析】根据()πf x +的图象关于点()π,0-对称判断函数为奇函数，再赋值法确定()3f 的值，进而得到函数是周期函数，找出()2023f 与()1f 的关系可得答案.【详解】()πf x +的图象关于点()π,0-对称，所以()f x 的图象关于点()0,0对称， 即()f x 为奇函数，在()()()63f x f x f =-+中，()()()()36333=0f f f f =-+∴，， 所以()()6f x f x =-，又()(),f x f x =--∴()()6f x f x --=-,()()6,f x f x ∴-=+()()()()612,12f x f x f x f x ∴-+=+∴=+， 所以()f x 是12T =的周期函数，()()()()()202312168776112022.f f f f f =⨯+==+=-=- 故答案为：2022-16．已知抛物线2:4C y x =，点()1,2P ，,,,A B M N 是抛物线C 上的四个动点，过点P 作分别作AB ，MN 的垂线，垂足分别为E ，F ，2PA PB PM PN k k k k +=+= ,则点E F ､距离的最大值为__________.【答案】【分析】设直线AB ，MN 的方程，与抛物线方程联立，运用韦达定理证明直线AB ，MN 是过定点的，运用几何意义即可求解.【详解】设直线AB 的方程为221212,,,,44y y x my n A y B y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将x my n =+代入24y x =中有2440y my n --= ，故12124,4y y m y y n +==-，又1244,22PA PB k k y y ==++， 所以()()()121212124441442224212PA PB y y m k k y y y y y y m n++++=+===++++++-，解得1n =-， 故直线AB 过定点()1,0Q -.因此点E 在以PQ 为直径的圆上， 同理点F 在以PQ 为直径的圆上.PQ =； 故点E F ､距离的最大值为圆的直径故答案为：四、解答题17．记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2sin sin sin()A C B A =+-． (1)证明：cos a A b=； (2)若2b ac =，求cos B ． 【答案】(1)证明见解析..【分析】（1）将2sin sin sin()A C B A =+-化为2sin sin()sin()A B A B A =++-，利用两角和的正弦公式化简，结合正弦定理角化边，即可证明结论;（2）利用（1）的结论和题设，结合余弦定理可推出a c =，再用222cos 2a c b B ac +-=化简求值，可得答案.【详解】（1）由题意知，2sin sin()sin()A B A B A =++-， 所以2sin sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B A B A B A =++-， 所以2sin 2sin cos A B A =，而(0,π),sin 0B B ∈≠ ，结合正弦定理，所以sin cos sin A aA B b==. （2）由（1）知：222cos 2a b c a A b bc+-==, 所以222ac ac c a =+-，即220a c ac -+=，所以2210a ac c+-=解得a c =（舍）,所以2222211cos 11)2222a c b a c ac a c B ac ac c a +-+-⎛⎫===+-== ⎪⎝⎭. 18．已知数列{}n a 满足113(1)1(1)1,22n nn n a a a +--+-==+. (1)设21n n b a -=，求数列{}n b 的通项公式； (2)求数列{}n a 的前2n 项和2n S .【答案】(1)21nn b =-(2)123236n n S n +=⋅--【分析】（1）先化简()()1311122n nn n a a +--+-=+，再推导出111n n b b +++等于一个常数，即可求解；（2）结合第一问，先求出数列{}n a 的满足的规律，然后再求和.【详解】（1）由已知有：12=21,3(1)1(1)12,22n n n n n n a n k k Za a a n k k Z ++∈⎧--+-=+=⎨+=∈⎩，， 所以21+1+1n n b a -=，()1212212121111=2222222(1)2(1)n n n n n n n b a a a a a b ++---++=++=+=+=+=+， 其中11+1+12b a ==，所以数列{}1n b +为以2为首项，公比为2的等比数列. 所以11222n n n b -+=⨯=，得21n n b =-.（2）由（1）知：2121nn n b a -==-，22122(21)n n n a a -==-，所以1231232(21)(21)(21)(21)2[(21)(21)(21)(21)]n n n S =-+-+-++-+-+-+-++-1233[(21)(21)(21)(21)]n =-+-+-++-1233(2222)3n n =++++-2(12)3312n n -=⨯--13236n n +=⋅--.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，//AD BC ，AB AD ⊥．24AB BC ==，E 是棱PD 上的动点（除端点外），,F M 分别为,AB CE 的中点．(1)求证：//FM 平面PAD ；(2)若直线EF 与平面PAD 所成的最大角为30°，求平面CEF 与平面PAD 所成锐二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析 (2)9331【分析】（1）取CD 中点N ，连接,MN NF ，先明平面//MNF 平面PAD ，再证明结论；（2）先根据题意，建立空间直角坐标系，利用用向量数量积计算直线与平面成角正弦值，列方程求最值解，再用向量数量积求二面角的余弦值． 【详解】（1）证明：证明：取CD 中点N ，连接,MN NF ， 因为M 为CE 中点，所以//MN DE ， 因为MN ⊄平面PAD ，DE ⊂平面PAD 所以//MN 平面PAD ，又因为//AD BC ，F 为AB 中点， 所以//FN AD ，因为FN ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD 所以//FN 平面PAD ，因为MN FN N ⋂=，MN 、FN ⊂平面MNF ， 所以平面//MNF 平面PAD ， 又因为MF ⊂平面MNF ， 所以//MF 平面PAD ．（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系， 设4AD a =，()0,43E a t t -，()0,2t a ∈，则()0,0,0A ，()2,0,0F ，()4,2,0C ， ()2,2,0FC →=，()2,4FE a t →=--，平面PAD 的法向量为()1,0,0m →=，直线EF 与平面PAD 所成的正弦值为FE mFE m→→→→⋅==⋅，当ta =1sin302=︒=， 解得1a =，(FE →=-， 设平面CEF 的法向量为(),,n x y z →=， 220230FC n x y FE n x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令y=)n →=，3cos ,311n m n m n m⋅===⋅⋅ 所以平面CEF 与平面PAD20．某中学在一次考试后，对本年级学生物理成绩进行分析，随机抽取了300名同学的物理成绩（均在50~100分之间），将抽取的成绩分组为[)5060，，[)6070，，[)7080，，[)8090，，[]90100，，得到如图所示的频率分布直方图.(1)求这300名同学物理平均成绩x 与第三四分位数的估计值；（结果精确到1）(2)已知全年级同学的物理成绩服从正态分布()2N μσ，，其中μ取（1）中的x ，经计算，σ=11，现从全年级随机选取一名同学的物理成绩，求该成绩在区间()6295，的概率（结果精确到0.1）；(3)根据（2）的条件，用频率估计概率，现从全年级随机选取n 名同学的物理成绩，若他们的成绩都在()6295，的概率不低于1%，求n 的最大值（n 为整数）. 附：lg20.301≈，若()2~N ξμσ，，则()0.68P μσξμσ-<<+≈，()220.96P μσξμσ-<<+≈. 【答案】(1)73；79 (2)0.8 (3)20【分析】（1）利用题给条件和平均数与第三四分位数的定义即可求得这300名同学物理平均成绩x 与第三四分位数的估计值；（2）利用正态分布的性质即可求得该成绩在区间()6295，的概率； （3）利用独立事件同时发生的概率列出关于n 的不等式，解之即可求得n 的最大值. 【详解】（1）550.1650.3750.4850.1950.173x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 35701078.7540+⨯=， 则这300名同学物理平均成绩x 与第三四分位数的估计值分别为73，79 （2）()()11629520.680.960.820.822P P ξμσξμσ<<=-<<+≈⨯+⨯=≈，（3）()0.80.01n≥，即0.8lg0.012log 0.0120.62lg0.83lg21n -≤==≈-， 故n 的最大值为20.21．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>过坐标原点O 的直线交椭圆E 于,P A两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC .当C 为椭圆的右焦点时，PAC △(1)求椭圆E 的方程；(2)若B 为AC 的延长线与椭圆E 的交点，试问：APB ∠是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由. 【答案】(1)22142x y += (2)APB ∠为定值90【分析】（1）由离心率可得,,a b c 之间关系，根据通径长可得2b PC a=，由2PACPOCS S=可构造方程求得22,a b ，由此可得椭圆方程；（2）设直线():0AP y kx k =>，结合斜率公式可求得2AC kk =，由此可得直线AC 方程，将其与椭圆方程联立，结合韦达定理可求得B 点坐标，利用向量数量积的坐标运算可求得0PA PB ⋅=，由此可得结论. 【详解】（1）椭圆离心率22c e a ==，2212c a ∴=，则222212b a c a =-=， 当C 为椭圆右焦点时，212b PC a a ==； 211122222224PACPOCSSc a ac a ==⨯⋅===，解得：24a =，22b ∴=，∴椭圆E 的方程为：22142x y +=.（2）由题意可设直线():0AP y kx k =>，()00,P x kx ，()11,B x y ， 则()00,A x kx --，()0,0C x ，0002AC kx kk x x ∴==+，∴直线()0:2k AC y x x =-； 由()0222142k y x x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：()22222002280k x k x x k x +-+-=， 2001222k x x x k ∴-+=+，则2010222k x x x k =++， ()2300110002222222k x k x k k y x x x x k k ⎛⎫∴=-=+-= ⎪++⎝⎭，23000222,22k x k x B x k k ⎛⎫∴+ ⎪++⎝⎭；2002222,22k x kx PB k k ⎛⎫∴=- ⎪++⎝⎭，又()002,2PA x kx =--，()20000222222022k x kx PA PB x kx k k ⎛⎫∴⋅=-⋅+-⋅-= ⎪++⎝⎭，则PA PB ⊥，APB ∴∠为定值90.【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定值问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式； ②利用0∆>求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式； ③结合韦达定理的结论表示出所求量； ④化简整理可得定值.22．某大学有A ，B 两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位学生每天午餐和晚餐都在学校就餐，近100天选择餐厅就餐情况统计如下：假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率．(1)分别估计一天中甲午餐和晚餐都选择A 餐厅就餐的概率，乙午餐和晚餐都选择B 餐厅就餐的概率；(2)记X 为甲、乙在一天中就餐餐厅的个数，求X 的分布列和数学期望()E X ；(3)假设M 表示事件“A 餐厅推出优惠套餐”，N 表示事件“某学生去A 餐厅就餐”，()0P M >，一般来说在推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明：()()P M N P M N >． 【答案】(1)0.3，0.4； (2)分布列见解析，1.9； (3)证明见解析.【分析】(1)由统计表确定甲午餐和晚餐都选择A 餐厅就餐频率和乙午餐和晚餐都选择B 餐厅就餐的频率，由频率估计概率即可；(2)由条件确定随机变量X 的可能取值，再求取各值的概率，根据期望的定义求期望；(3)由条件结合条件概率公式证明()()()P NM P N P M >⋅，由此证明()()P M N P M N >.【详解】（1）设事件C 为“一天中甲员工午餐和晚餐都选择A 餐厅就餐”， 事件D 为“乙员工午餐和晚餐都选择B 餐厅就餐”，因为100个工作日中甲员工午餐和晚餐都选择A 餐厅就餐的天数为30， 乙员工午餐和晚餐都选择B 餐厅就餐的天数为40， 所以()300.3100P C ==，()400.4100P D ==． （2）由题意知，甲员工午餐和晚餐都选择B 餐厅就餐的概率为0.1， 乙员工午餐和晚餐都选择A 餐厅就餐的概率为0.2，记X 为甲、乙两员工在一天中就餐餐厅的个数，则X 的所有可能取值为1、2， 所以()10.30.20.10.40.1P X ==⨯+⨯=，()()2110.9P X P X ==-==， 所以X 的分布列为：所以X 的数学期望()10.120.9 1.9E X =⨯+⨯=． （3）由题知()()P N M P N M >，即()()()()()()()1P NM P NM P N P NM P M P M P M ->=-，即()()()P NM P N P M >⋅，即()()()()()()()P NM P N P NM P N P M P N P NM ->⋅-， 即()()()()P NM P N P N P NM ⋅>⋅，即()()()()P NM P NM P N P N >，即()()P M N P M N >．。

厦门六中高二（下）语文月考试题（本卷满分150分，答题时间：120分钟）一、课内基础（26分）1．根据拼音填写汉字（8分）⑴chéng（）澈⑵niàng（）造⑶咀jué（）⑷狭ài（）⑸针jiǔ（）⑹miǎo（）视⑺抽chù( ) ⑻笨zhuō（）2．文学常识填空（6分）⑴茅盾原名，字，浙江桐乡人。

他的代表作有长篇小说、，中篇小说《蚀》三部曲，散文集《速写与随笔》、《见闻杂记》等。

⑵《雪落在中国的土地上》作者，我们曾学过他的另一首诗《》。

⑶是散文的核心要素之一，是散文的命脉和魂魄。

它一般通过两种方式表达出来：或直抒胸臆，或。

⑷古语说，“一叶落而知天下秋”。

现代散文的一个很重要的特点就是——小处着墨，大处着眼，作为散文的一种技巧，其实质是。

⑸诗的意象可分为直接意象和间接意象，间接意象又可分为、。

3．下列各组词语中，有两个错别字的一组是（3分）（）A．戈壁阴霾司空见贯刻骨铭心B．跋涉锁事衮衮诸公讴心沥血C．崭新啮啃安然无恙衣衫褴褛D．绰约脉膊荒诞无稽怦然心动4．依次填入下面空缺处最恰当的一组词语是（3分）（）是没有这匹马弄出的蹄声，还好受些。

三百里空山绝响，一路单骑，我着不觉一阵阵阴凉袭向。

A．若或许回想周身 B．若也许回想周遭C．倘若或许回忆周身 D．倘若也许回忆周遭5．下列五个句子是描写“葡萄入窖”的过程，排列正确的一项是（3分）①把老本放倒，挖土把它埋起来②这是个重活③都要经过验收，才给记工④这个活不能马虎⑤外面要用铁锹拍平⑥要埋得很厚实A．②⑥⑤①④③ B．②⑤①⑥③④C．②④③①⑥⑤ D．②①⑥⑤④③6．下列句子中加点的成语使用正确的一项是（3分）（）A．我相信它不是微不足道．．．．的。

它只是有点儿像一座火箭发射基地，不知要把它的客人们送往哪里。

B．据说北美洲的森林中有一种“得天独厚．．．．”的野兽，这就是豪猪，这是“森林中的绅士”。

C．一百年前它却是一个独一无二．．．．的怪物，在一片嘘声里，诞生于巴黎的古迹之中。

2013年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学（理工农医类）一．选择题1．已知复数z 的共轭复数12i z =+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于 （ ） A ． 第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【测量目标】复平面【考查方式】给出复数z 的共轭复数，判断z 在复平面内所在的象限. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】由12i z =+，得z ＝1－2i ，故复数z 对应的点(1，－2)在第四象限．2．已知集合{}1,A a =,{}1,2,3B =,则“3a =”是“A B ⊆”的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【测量目标】充分、必要条件.【考查方式】给出元素与集合间的关系两个命题，判断两个命题之间的关系. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】若a ＝3，则A ＝{1,3}⊆B ，故a ＝3是A ⊆B 的充分条件；(步骤1)而若A ⊆B ，则a 不一定为3，当a ＝2时，也有A ⊆B ．故a ＝3不是A ⊆B 的必要条件．故选A ．（步骤2）3．双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于 （ ）A ．25 B ．45C ．255D ．455【测量目标】双曲线的简单几何性质.【考查方式】给出双曲线的方程，判断顶点到其渐近线的距离. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】双曲线24x －y 2＝1的顶点为(±2,0)，渐近线方程为12y x =±，（步骤1）即x －2y ＝0和x ＋2y ＝0.故其顶点到渐近线的距离255145d ===+.（步骤2）4．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：[40,50), [50,60), [60,70),[70,80), [80,90), [90,100)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为 （ ） A ．588 B ．480 C ．450 D ．120第4题图【测量目标】频率分布直方图.【考查方式】给出频率分布直方图，判断一定范围内的样本容量. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】由频率分布直方图知40～60分的频率为(0.005＋0.015)×10＝0.2，故估计不少于60分的学生人数为600×(1－0.2)＝480.5．满足{},1,0,1,2a b ∈-，且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(,)a b 的个数为（ ） A ．14 B ．13 C ．12 D ．10 【测量目标】实系数一元二次方程.【考查方式】给出含参量系数的一元二次方程，判断方程有序数对的个数. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】a ＝0时，方程变为2x ＋b ＝0，则b 为－1,0,1,2都有解；（步骤1） a ≠0时，若方程ax 2＋2x ＋b ＝0有实数解，则Δ＝22－4ab 0，即ab 1.（步骤2）当a ＝－1时，b 可取－1,0,1,2.当a ＝1时，b 可取－1,0,1.当a ＝2时，b 可取－1，0，故满足条件的有序对(a ，b )的个数为4＋4＋3＋2＝13.（步骤3）6．阅读如图所示的程序框图，若输入的10k =，则该算法的功能是 （ ）A ．计算数列{}12n -的前10项和 B ．计算数列{}12n -的前9项和 C ．计算数列{}21n -的前10项和 D ．计算数列{}21n -的前9项和第6题图【测量目标】循环结构程序框图，等比数列的通项.【考查方式】给出程序框图的输入值，判断给出的程序框图的功能. 【难易程度】容易 【参考答案】A3 / 14【试题解析】当k ＝10时，执行程序框图如下： S ＝0，i ＝1； S ＝1，i ＝2； S ＝1＋2，i ＝3； S ＝1＋2＋22，i ＝4； …S ＝1＋2＋22＋…＋28，i ＝10； S ＝1＋2＋22＋…＋29，i ＝11.7．在四边形ABCD 中，(1,2)AC =，(4,2)BD =-，则四边形的面积为 （ ）AB． C ．5 D ．10 【测量目标】向量的数量积运算.【考查方式】给出四边形两条边的向量坐标，判断四边形的面积. 【难易程度】容易 【参考答案】C 【试题解析】∵ACBD ＝1×(－4)＋2×2＝0，∴AC ⊥BD .（步骤1）又|AC |25+=，|BD |== S 四边形ABCD ＝12|AC ||BD |＝5.（步骤2） 8．设函数()f x 的定义域为R ，00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，以下结论一定正确的是 （ ）A ．0,()()x f x f x ∀∈R B ．0x -是()f x -的极小值点C ．0x -是()f x -的极小值点D ．0x -是()f x --的极小值点 【测量目标】函数单调性的综合应用.【考查方式】给出函数()f x 的极值点0x 0(0)x ≠，判断()f x -及()f x --的极值点.【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】选项A ，由极大值的定义知错误；（步骤1）对于选项B ，函数f (x )与f (－x )的图象关于y 轴对称，－x 0应是f (－x )的极大值点，故不正确；（步骤2） 对于C 选项，函数f (x )与－f (x )图象关于x 轴对称，x 0应是－f (x )的极小值点，故不正确；（步骤3） 而对于选项D ，函数f (x )与－f (－x )的图象关于原点成中心对称，故正确．（步骤4）9．已知等比数列{}n a 的公比为q ，记(1)1(1)2(1)...,n m n m n m n m b a a a -+-+-+=+++(1)1(1)2(1)...(,),n m n m n m n m c a a a m n -+-+-+=∈*N 则以下结论一定正确的是 （ ）A ．数列{}n b 为等差数列，公差为mq B ．数列{}n b 为等比数列，公比为2mq C ．数列{}n c 为等比数列，公比为2m qD ．数列{}n c 为等比数列，公比为mm q【测量目标】等差、等比数列的性质，通项与求和.【考查方式】给出由等比数列{}n a 的m 项组成的数列 {}n b ，{}n c ，判断它们的性质 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】∵{a n }是等比数列，∴1mn m m n ma a +(-)+=(1)mn m m n mm qq +---=，（步骤1）∴1n nc c +＝1211121mn mn mn m m n m n m n m a a a a a a +++(-)+(-)+(-)+……＝(q m )m＝2m q .（步骤2）10．设S ，T ，是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足：(i){()|};(ii)T f x x S =∈ 对任意12,,x x S ∈当12x x <时，恒有12()()f x f x <，那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是（ ）A ．,AB ==*N N B ．{|13},{|8010}A x x B x x x=-==-<或C ．{|01},A x x B =<<=RD ．,A B ==Z Q【测量目标】函数的图象与性质.【考查方式】定义集合间的一种新关系，判断给出的集合是否符合. 【难易程度】较难 【参考答案】D【试题解析】由题意(1)可知，S 为函数y ＝f (x )的定义域，T 为函数y ＝f (x )的值域．由(2)可知，函数y ＝f (x )在定义域内单调递增，对于A ，可构造函数y ＝x －1，x ∈N *，y ∈N ，满足条件；（步骤1）对于B ，构造函数8,1,51,13,2x y x x -=-⎧⎪=⎨(+)-<⎪⎩满足条件；（步骤2）对于C ，构造函数ππtan 22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x ∈(0,1)，满足条件；（步骤3）对于D ，无法构造函数其定义域为Z ，值域为Q 且递增的函数，故选D ．（步骤4）二．填空题11．利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a ，则时间“310a ->”发生的概率为________ 【测量目标】几何概型.【考查方式】利用几何概型求解事件概率. 【难易程度】容易 【参考答案】23【试题解析】由3a －1＞0得13a >，由几何概型知112313P -==.12．已知某一多面体内接于一个简单组合体，如果该组合体的正视图．侧视图．俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是_______________5 /14第12题图【测量目标】由三视图求几何体的表面积【考查方式】给出一个几何体的三视图，判断此几何体图形并求球的表面积. 【难易程度】容易 【参考答案】12π【试题解析】由题意知该几何体是一个正方体内接于球构成的组合体， 球的直径222222212r =++=，所以3r =，故该球的表面积为S 球＝4πr 2＝4π×3＝12π.13．如图ABC △中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，22sin ,32,33BAC AB AD ∠===则BD 的长为_______________第13题图【测量目标】诱导公式，余弦定理.【考查方式】给出一个三角形的边角函数值，利用解三角形求线段长. 【难易程度】中等 3【试题解析】∵AD ⊥AC ，∴∠DAC ＝π2.（步骤1） ∵sin ∠BAC 22，∴π22sin 23BAD ⎛⎫∠+= ⎪⎝⎭，∴cos ∠BAD 22.（步骤2） 由余弦定理得BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB AD cos ∠BAD ＝2(32)＋32－2×323×22＝3. ∴BD 3（步骤3）14．椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左．右焦点分别为12,F F ，焦距为2c ，若直线3()y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠，则该椭圆的离心率等于__________【测量目标】直线与椭圆的位置关系，椭圆的简单几何性质.【考查方式】给出直线与椭圆的交点与椭圆两焦点形成的角的关系，及椭圆的焦距，判断椭圆离心率.【难易程度】中等 【参考答案】31-【试题解析】由直线y ＝3(x ＋c )知其倾斜角为60°， 由题意知∠MF 1F 2＝60°，则∠MF 2F 1＝30°，∠F 1MF 2＝90°. 故|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ．（步骤1） 又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，∴(3＋1)c ＝2a ， 即23131e ==-+.（步骤2） 15．当,1x x ∈<R 时，有如下表达式:211.......1n x x x x+++++=- 两边同时积分得：1111122222200011.......1ndx xdx x dx x dx dx x+++++=-⎰⎰⎰⎰⎰从而得到如下等式：23111111111()()...()...ln 2.2223212n n +⨯+⨯+⨯++⨯+=+ 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算：0122311111111C C ()C ()+C ()2223212nn n n n nn +⨯+⨯+⨯+⨯+…【测量目标】微积分基本定理求定积分，二项式定理.【考查方式】根据给出的运用定积分计算的技巧，求解等式的值. 【难易程度】较难【参考答案】113[()1]12n n +-+ 【试题解析】由0122C C C C n nn n n n x x x ++++…＝(1＋x )n ，两边同时积分得：1111012222220C1CCCn n nnnndx xdx x dx x dx ++++⎰⎰⎰⎰…120(1)n x dx =+⎰，2310121111111C C C C 2223212n n n n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭…＝111210111113111112112n n n x n n n n +++⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫(+)=+-=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥++++⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 三．解答题16．（本小题满分13分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲．乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中将可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中将可以得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中将与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品． （1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为,X Y ，求3X的概率；（2）若小明,小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计的得分的数学期望较大？【测量目标】古典概型，离散型随机变量的分布列和期望.【考查方式】给出实际的数学模型，利用求解对立事件的概率及离散型随机变量的分布，求解概率及期望. 【难易程度】容易7 / 14【试题解析】解法一：(1)由已知得小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响． 记“这2人的累计得分X 3”的事件为A ， 则事件A 的对立事件为“X ＝5”，（步骤1）因为P (X ＝5)＝2243515⨯=，所以P (A )＝1－P (X ＝5)＝1115， 即这2人的累计得分X 3的概率为1115.（步骤2）(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X 1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X 2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E (2X 1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E (3X 2)．（步骤3）由已知可得，X 1～B 22,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，X 2～B 22,5⎛⎫⎪⎝⎭，所以E (X 1)＝24233⨯=，E (X 2)＝24255⨯=，从而E (2X 1)＝2E (X 1)＝83，E (3X 2)＝3E (X 2)＝125.（步骤4）因为E (2X 1)＞E (3X 2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．（步骤5） 解法二：(1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．（步骤1） 记“这2人的累计得分X 3”的事件为A ，则事件A 包含有“X ＝0”，“X ＝2”，“X ＝3”三个两两互斥的事件，（步骤2）因为P (X ＝0)＝22111355⎛⎫⎛⎫-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，P (X ＝2)＝2221355⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，P (X ＝3)＝22213515⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭，(步骤3) 所以P (A )＝P (X ＝0)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝1115，即这2人的累计得分X 3的概率为1115.（步骤4）(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X 1，都选择方案乙所获得的累计得分为X 2，则X 1，X 2的分布列如下：（步骤5） 所以E (X 1)＝0×19＋2×49＋4×49＝83，E (X 2)＝0×925＋3×1225＋6×425＝125. 因为E (X 1)＞E (X 2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．（步骤6）17．（本小题满分13分）已知函数()ln ()f x x a x a =-∈R（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的极值．【测量目标】导数的几何意义，利用导数求函数的极值.【考查方式】利用导数的几何意义求解曲线的切线方程及函数的极值. 【难易程度】容易【试题解析】函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，()f x '＝1－ax.（步骤1） (1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，()f x '＝1－2x(x ＞0)， 因而f (1)＝1，(1)f '＝－1，（步骤2）所以曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)， 即x ＋y －2＝0.（步骤3）(2)由()f x '＝1－a x ＝x a x-，x ＞0知： ①当a 0时，()f x '＞0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值； ②当a ＞0时，由()f x '＝0，解得x ＝a ．(步骤4)又当x ∈(0，a )时，()f x '＜0；当x ∈(a ，＋∞)时，()f x '＞0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值．（步骤5） 综上，当a 0时，函数f (x )无极值；当a ＞0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值．（步骤6）18．（本小题满分13分）如图，在正方形OABC 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(10,0)，点C 的坐标为(0,10)．分别将线段OA 和AB 十等分，分点分别记为129,,A A A …和129,,B B B …，连结i OB ，过iA 做x 轴的垂线与i OB 交于点*(,19)i P i i ∈N ．（1）求证：点*(,19)i P i i ∈N 都在同一条抛物线上，并求该抛物线E 的方程；（2）过点C 做直线与抛物线E 交于不同的两点,M N ，若OCM △与OCN △的面积比为4:1，求直线的方程．第18题图【测量目标】抛物线的标准方程，简单的几何性质，直线与抛物线的位置关系.【考查方式】根据平面几何图形及坐标和三角形的面积关系，求解抛物线和直线方程. 【难易程度】中等【试题解析】解法一：(1)依题意，过A i (i ∈N *,1i 9)且与x 轴垂直的直线方程为x ＝i ， B i 的坐标为(10，i )，所以直线OB i 的方程为y ＝10ix .（步骤1） 设P i 的坐标为(x ，y )，由,,10x i i y x =⎧⎪⎨=⎪⎩9 / 14得y ＝110x 2，即x 2＝10y . 所以点P i (i ∈N *,1i 9)都在同一条抛物线上，且抛物线E 的方程为x 2＝10y .（步骤2） (2)依题意，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋10.（步骤3） 由210.10.y kx x y =+⎧⎨=⎩得x 2－10kx －100＝0， 此时Δ＝100k 2＋400＞0，直线l 与抛物线E 恒有两个不同的交点M ，N .（步骤4） 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则121210,100,x x k x x +=⎧⎨=-⎩①②因为S △OCM ＝4S △OCN ，所以|x 1|＝4|x 2|.（步骤5）又x 1x 2＜0，所以x 1＝－4x 2， 分别代入①和②，得222310,4100,x k x -=⎧⎨-=-⎩解得32k =±. 所以直线l 的方程为y ＝32±x ＋10，即3x －2y ＋20＝0或3x ＋2y －20＝0.（步骤6）19．（本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1AA ABCD ⊥底面，//AB DC ，11AA =，3AB k =，4AD k =，5BC k =，6DC k =(0)k >．（1）求证：11;CD ADD A ⊥平面（2）若直线1AA 与平面1AB C 所成角的正弦值为67，求k 的值； （3）现将与四棱柱1111ABCD A B C D -形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的棱柱，规定：若拼接成的新的四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案．问：共有几种不同的方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为()f k ，写出()f k 的表达式（直接写出答案，不必要说明理由）第19题图【测量目标】空间立体几何线面垂直，线面角.【考查方式】给出四棱柱中的线段及线面关系，求解线面关系及线面所成角问题. 【难易程度】中等【试题解析】(1)取CD 的中点E ，连结BE .（步骤1） ∵AB ∥DE ，AB ＝DE ＝3k ，∴四边形ABED 为平行四边形，∴BE ∥AD 且BE ＝AD ＝4k .（步骤2） 在△BCE 中，∵BE ＝4k ，CE ＝3k ，BC ＝5k ，∴BE 2＋CE 2＝BC 2， ∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥CD ，（步骤3） 又∵BE ∥AD ，∴CD ⊥AD ．∵AA 1⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴AA 1⊥CD ．又AA 1∩AD ＝A ， ∴CD ⊥平面ADD 1A 1.（步骤4）第19图(2)以D 为原点，DA ，DC ，1DD 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A (4k,0,0)，C (0，6k,0)，B 1(4k,3k,1)，A 1(4k,0,1)，（步骤5） 所以AC ＝(－4k,6k,0)，1AB ＝(0,3k,1)，1AA ＝(0,0,1)．设平面AB 1C 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则由10,0,AC AB ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n得460,30.kx ky ky z -+=⎧⎨+=⎩取y ＝2，得n ＝(3,2，－6k )．（步骤6） 设AA 1与平面AB 1C 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈1AA ，n 〉|＝11||||AA AA nn＝2673613k =+， 解得k ＝1，故所求k 的值为1.（步骤7）第19图(3)共有4种不同的方案．f (k )＝2257226,0,1853636,.18k k k k k k ⎧+<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩（步骤8）20．（本小题满分14分）已知函数()sin()(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的周期为π，图象的一个对称中11 / 14 心为π(,0)4，将函数()f x 图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），在将所得图象向右平移π2个单位长度后得到函数()g x 的图象． （1）求函数()f x 与()g x 的解析式；（2）是否存在0ππ(,)64x ∈，使得0000(),(),()()f x g x f x g x 按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定0x 的个数；若不存在，说明理由．（3）求实数a 与正整数n ，使得()()()F x f x ag x =+在(0,π)n 内恰有2013个零点．【测量目标】三角函数的图象及其变换，同角三角函数的基本关系，等差数列的性质，函数零点的求解与判断.【考查方式】给出三角函数的周期及对称中心，求解函数关系式及变换后的函数关系式；判断在某一区内是否存在0x ,使得三角函数值呈等差数列；判断复合函数零点个数与区间的关系.【难易程度】较难【试题解析】解法一：(1)由函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的周期为π，ω＞0，得ω＝2πT ＝2. 又曲线y ＝f (x )的一个对称中心为π,04⎛⎫⎪⎝⎭，φ∈(0，π)， 故ππsin 2044f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得π2ϕ=，所以f (x )＝cos 2x .（步骤1） 将函数f (x )图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得y ＝cos x 的图象，再将y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位长度后得到函数π()=cos 2g x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象，所以g (x )＝sin x .（步骤2） (2)当x ∈ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭时，12＜sin x ＜22，0＜cos 2x ＜12， 所以sin x ＞cos 2x ＞sin x cos 2x .（步骤3）问题转化为方程2cos 2x ＝sin x ＋sin x cos 2x 在ππ,64⎛⎫⎪⎝⎭内是否有解． 设G (x )＝sin x ＋sin x cos 2x －2cos 2x ，x ∈ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则G ′(x )＝cos x ＋cos x cos 2x ＋2sin 2x (2－sin x )．（步骤4）因为x ∈ππ,64⎛⎫⎪⎝⎭，所以G ′(x )＞0，G (x )在ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增． 又π1<064G ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，π2>042G ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 且函数G (x )的图象连续不断，故可知函数G (x )在ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭内存在唯一零点x 0， 即存在唯一的x 0∈ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭满足题意．（步骤5） (3)依题意，F (x )＝a sin x ＋cos 2x ，令F (x )＝a sin x ＋cos 2x ＝0. 当sin x ＝0，即x ＝k π(k ∈Z )时，cos 2x ＝1，从而x ＝k π(k ∈Z )不是方程F (x )＝0的解，（步骤6）所以方程F (x )＝0等价于关于x 的方程cos2sin x a x =-，x ≠k π(k ∈Z )．现研究x ∈(0，π)(π，2π)时方程cos2sin x a x=-的解的情况．（步骤7）令()cos2sin x h x x =-，x ∈(0，π) (π，2π)， 则问题转化为研究直线y ＝a 与曲线y ＝h (x )，x ∈(0，π)(π，2π)的交点情况．22cos (2sin 1)()sin x x h x x +'=，令h ′(x )＝0，得π2x =或3π2x =.（步骤8） 当x当x ＞0且x 当x ＜π且x 趋近于π时，h (x )趋向于－∞，当x ＞π且x 趋近于π时，h (x )趋向于＋∞，当x ＜2π且x 趋近于2π时，h (x )趋向于＋∞.（步骤9）故当a ＞1时，直线y ＝a 与曲线y ＝h (x )在(0，π)内无交点，在(π，2π)内有2个交点；当a ＜－1时，直线y ＝a 与曲线y ＝h (x )在(0，π)内有2个交点，在(π，2π)内无交点；当－1＜a ＜1时，直线y ＝a 与曲线y ＝h (x )在(0，π)内有2个交点，在(π，2π)内有2个交点．（步骤10） 由函数h (x )的周期性，可知当a ≠±1时，直线y ＝a 与曲线y ＝h (x )在(0，n π)内总有偶数个交点，从而不存在正整数n ，使得直线y ＝a 与曲线y ＝h (x )在(0，n π)内恰有2 013个交点；（步骤11）又当a ＝1或a ＝－1时，直线y ＝a 与曲线y ＝h (x )在(0，π)(π，2π)内有3个交点，由周期性，2 013＝3×671，所以依题意得n ＝671×2＝1 342.（步骤12）综上，当a ＝1，n ＝1 342或a ＝－1，n ＝1 342时，函数F (x )＝f (x )＋ag (x )在(0，n π)内恰有2 013个零点．（步骤13）解法二：(1)、(2)同解法一．(3)依题意，F (x )＝a sin x ＋cos 2x ＝－2sin 2x ＋a sin x ＋1.现研究函数F (x )在(0,2π]上的零点的情况．设t ＝sin x ，p (t )＝－2t 2＋at ＋1(－1t 1)，则函数p (t )的图象是开口向下的抛物线，（步骤1） 又p (0)＝1＞0，p (－1)＝－a －1，p (1)＝a －1.当a ＞1时，函数p (t )有一个零点t 1∈(－1,0)(另一个零点t 2＞1，舍去)，F (x )在(0,2π]上有两个零点x 1，x 2，且x 1，x 2∈(π，2π)；当a ＜－1时，函数p (t )有一个零点t 1∈(0,1)(另一个零点t 2＜－1，舍去)，F (x )在(0,2π]上有两个零点x 1，x 2，且x 1，x 2∈(0，π)；当－1＜a ＜1时，函数p (t )有一个零点t 1∈(－1,0)，另一个零点t 2∈(0,1)，F (x )在(0，π)和(π，2π)分别有两个零点．（步骤2）由正弦函数的周期性，可知当a ≠±1时，函数F (x )在(0，n π)内总有偶数个零点，从而不存在正整数n 满足题意．当a ＝1时，函数p (t )有一个零点t 1∈(－1,0)，另一个零点t 2＝1；当a ＝－1时，函数p (t )有一个零点t 1＝－1，另一个零点t 2∈(0,1)，（步骤3）从而当a ＝1或a ＝－1时，函数F (x )在(0,2π]有3个零点．由正弦函数的周期性，2 013＝3×671，所以依题意得n ＝671×2＝1 342.综上，当a ＝1，n ＝1 342或a ＝－1，n ＝1 342时，函数F (x )＝f (x )＋ag (x )在(0，n π)内恰有2 013个零点．（步骤4）21．（本题满分14分）（1）（本小题满分7分）矩阵与变换13 / 14已知直线:1l ax y +=在矩阵1201⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 对应的变换作用下变为直线':1l x by +=． （Ⅰ）求实数,a b 的值；（Ⅱ）若点00(,)p x y 在直线上，且0000x x y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ，求点p 的坐标． 【测量目标】矩阵与行列式初步.【考查方式】根据直线方程在矩阵的变换求未知字母，利用点在直线上和矩阵乘积，求点坐标.【难易程度】容易【试题解析】（I ）设直线l ：ax ＋y ＝1上任意点M (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的象是M ′(x ′，y ′)． 由 1 220 1x x x y y y y '+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得2,.x x y y y '=+⎧⎨'=⎩（步骤1） 又点M ′(x ′，y ′)在l ′上，所以x ′＋by ′＝1，即x ＋(b ＋2)y ＝1，依题意得=1,2=1,a b ⎧⎨+⎩解得=1,1.a b ⎧⎨=-⎩（步骤2）（II ）由0000x x y y ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ，得000002,,x x y y y =+⎧⎨=⎩解得y 0＝0.（步骤3） 又点P (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝1.故点P 的坐标为(1,0)．（步骤4）（2）（本小题满分7分）坐标系与参数方程：在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点A 的极坐标为π(2,)4，直线的极坐标方程为πcos()4a ρθ-=，且点A 在直线上．（I ）求a 的值及直线的直角坐标方程；（II ）圆C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩，（α为参数），试判断直线与圆的位置关系．【测量目标】坐标系与参数方程.【考查方式】利用极坐标及极坐标方程求直角坐标方程，根据圆的参数方程判断直线与圆的位置关系.【难易程度】中等【试题解析】（I ）由点A π2,4⎫⎪⎭在直线ρπcos 4θ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝a 上，可得2a =所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.（步骤1）（II ）由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1，（步骤2）因为圆心C 到直线l 的距离d 22＜1， 所以直线l 与圆C 相交．（步骤3）（3）（本小题满分7分）不等式选讲：设不等式*2()x a a -∈N ＜的解集为A ，且32A ∈，12A ∉． （I ）求a 的值；（II ）求函数()2f x x a x =++-的最小值． 【测量目标】绝对值不等式，基本不等式求最值.【考查方式】根据绝对值不等式的解集判断未知参量的值，利用基本不等式求绝对值函数的最值.【难易程度】中等【试题解析】（I ）因为32∈A ，且12∉A ，所以32<2a -，且122a -， 解得12＜a 32.又因为a ∈N *，所以a ＝1.（步骤1） （II ）因为|x ＋1|＋|x －2||(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当(x ＋1)(x －2) 0，即－1x 2时取到等号．所以f (x )的最小值为3.（步骤2）。

厦门市2012~2013学年高一下学期期末质量检测数学试卷及答案满分150分考试时间120分钟参考公式：S圆柱侧2 rl S圆锥侧rl S圆台侧(r r )l S球表4 R2114V柱体Sh V锥体Sh V台体h(S SS S ) V球R3333第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．在答题卷上相应题目的答题区域内作答．1．已知x 2 ,cosx 1，则sinx （）2A．11 B．C．D．22222．过点(3, 1)且与直线平行的直线方程是（）A．x 2y 5 0 B．x 2y 5 0 C．2x y 5 0 D．x 2y 1 0 3．已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．1cm B．2cm C．3cm D．6cm333334．已知(2,1), ( 1, 3)，则| |等于（）A．5 B．C．5 D．255．对于a R，直线(x y 1) a(x 1) 0恒过定点P，则以P为圆心，为半径的圆的方程是（）A．x y 2x 4y 0 B．x y 2x 4y 0 C．x y 2x 4y 0 D．x y 2x 4y 0 6．设A为ABC的一个内角且sin(AA．222222221正视图侧视图俯视图6) cosA，则A （）6B．4C．3D．27．已知函数f(x) sin(2x4)，则下列命题正确的是（）A．函数y f(x)的图象关于点( C．函数y f(x 4,0)对称B．函数y f(x)在区间(2,0)上是增函数8)是偶函数D．将函数y sin2x的图像向左平移4个单位得到函数y f(x)的图象8．已知圆O:x2 y2 9，直线l与圆O交于M,N两点，且|MN| 4，则（）A．2 B．3 C．4 D．89．设m,n是不同的直线，, , 是不同的平面，有以下四个命题：①// m m//② ③ ④ // m m n m//n// m n// n其中错误的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．②④10．若圆x y ax by c 0与圆x y 1关于直线y 2x 1对称，则a b （）A．1 B．2221212 C．1 D．55第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答．11．已知圆锥的母线长尾5，底面圆的半径为3，则此圆锥的体积为（结果保留）12．已知cos(x2)1，则cos2x 22213．直线l:y x与圆x y 2x 4y 0相交于A,B两点，则|AB| 14．已知sinx 2cosx，则1x1 tan21x1 tan2215．若圆O1:x y 5与圆O2:(x m) y 20(m R)相交于A,B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长是16．已知a,b,c分别是ABC的角A,B,C所对的边且a 5,b 12,c 13，点I是ABC的内心，若22AI ，则三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卷上相应题目的答题区域内作答．17．（本小题满分12分）如图，已知多面体EABCDF的底面ABCD是正方形，EA 底面ABCD,FD//EA，且EA 2FD．E（Ⅰ）求证：CB 平面ABE；（Ⅱ）连接AC,BD交于点O，取EC中点G，证明：FG//平面ABCD．FGOBDC18．（本小题满分12分）已知函数f(x) 23sinx cosx 2cos2x 1．（Ⅰ）求f(x)的最小正周期；（Ⅱ）若sin cos19．（本小题满分12分）已知动圆C的经过点A(2, 3)和B( 2, 5)．（Ⅰ）当圆C面积最小时，求圆C的方程；（Ⅱ）若圆C圆心在直线3x y 5 0上，求圆C的方程．20．（本小题满分12分）设a (x1,y1),b (x2,y2)，定义一种运算：a b (x1x2,y1y2)．已知15，求f( )的值．21281 1(,2), (,1), (, )．242（Ⅰ）证明：( ) ；（Ⅱ）点P(x0,y0)在函数g(x) sinx的图象上运动，点Q(x,y)在函数y f(x)的图象上运动，且满足，求函数f(x)的单调递减区间．（其中O为坐标原点）21．（本小题满分14分）如图，设计一个小型正四棱锥形冷水塔，其中顶点P在底面的摄影为正方形ABCD的中心O，返水口E为BC的中点，冷水塔的四条钢梁（侧棱）设计长度均为10米．冷水塔的侧面选用钢板，基于安全与冷凝速度的考量，要求钢梁（侧棱）与地面的夹角落在区间[符合施工要求？,]内，如何设计可使得侧面钢板用料最省且63PCOEBA22．（本小题满分14分）如图，已知P是单位圆（圆心在坐标原点）上一点，xOP轴于N．（Ⅰ）比较|OM|与3，作PM x轴于M，PN y6的大小，并说明理由；（Ⅱ）AOB的两边交矩形OMPN的边于A,B两点，且AOB 4，求OA OB的取值范围．厦门市2022年-2022年学年（下）高一质量检测数学试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1-5：BAACB 6-10：CCDDB二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．11.12 12.126 13. 14. 2 15 4 16. 25三、解答题：本大题共6小题，共76分．17．（本题满分12分）证明：（Ⅰ）EA 底面ABCD ，且BC 面ABCD，∴EA BC．--------------------------------------------2分正方形ABCD 中，AB BC，---------------------3分EA AB A，CB 平面ABE. -----------------------------------------5分（Ⅱ ）连接线段OG．在三角形AEC中，中位线OG//AE，且AE 2OG------------------------7分已知EA 2FD，OG//DF且OG DF，-------------------------------------------------------9分即平面四边形DOGF为平行四边形，----------------------------------------------------------------------10分FG//OD,又FG ABCD,OD ABCD，-------------------------------------------------------11分FG//面ABCD. --------------------------------------------------------------------------------------------12分18．（本题满分12分）解：（Ⅰ）f(x) x cosx 2cos2x 12x cos2x---------------------------------2分2sin(2x6) ---------------------------------------------------------------------------------4分2-----------------------------------------------------------------------6分2113（Ⅱ）sin cos ，sin2 1 -------------------------------------------------------9分2445 3f( ) 2sin(2 ) 2sin2 -----------------------------------------------------------12分122f(x)的最小正周期为T19．（本题满分12分）解：（Ⅰ）要使圆C的面积最小，则AB为圆C的直径，----------------------------------------------------2分圆心C 0, 4 ,半径r1AB -----------------------------------------------------------------------4分222所以所求圆C的方程为：x y 4 5. --------------------------------------------------------------6分（Ⅱ）法一：因为kAB1，AB中点为0, 4 ，2所以AB中垂线方程为y 4 2x，即2x y 4 0 --------------------------------------------8分解方程组2x y 4 0 x 1得：，所以圆心C为( 1, 2)．-------------------------------10分3x y 5 0 y 2根据两点间的距离公式，得半径r ------------------------------------------------------------11分因此，所求的圆C的方程为(x 1)2 (y 2)2 10. ------------------------------------------------12分法二：设所求圆C的方程为(x a)2 (yb)2 r2，根据已知条件得(2 a)2 ( 3 b)2 r2222( 2 a) ( 5 b) r -------------------------------------------------------------------------------6分3a b 5 0a 1b 2 --------------------------------------------------------------------------------------------------11分r2 10所以所求圆C的方程为(x 1)2 (y 2)2 10 . ---------------------------------------------------12分20．（本题满分12分）8 1 4 1解：（Ⅰ）p (,2)，m (,1)，依题意得p m (,2)，又n (, )，2 42 4 1∴(p m) n 2 ( ) 0，------------------------------------------------------------------2分42∴(p m) n．---------------------------------------------------------------------------------------------4分（Ⅱ ）OP (x0,sinx0)，OQ (x,y)，1 1由OQ m OP n得(x,y) (x0 ,sinx0 )，-----------------------------------------6分2421 x x 0 24即，----------------------------------------------------------------------------------------7分y sinx 12111消去x0，得y sin(2x ) cos2x ，即f(x) cos2x ------------------10分2222令2k 2x 2k (k Z)得k x k (k Z)------------------------------------11分2函数f(x)的单调递减区间是[k ,k ](k Z) ------------------------------------------12分221. （本题满分14分）解：依题意，钢梁（侧棱）与底面的夹角PBO ．∴OP 10sin，--------------------------------------------------2分则OE，BC ------------4分在RT POE中，PE---6分∴S侧面4A1PE BC 200cos分2------------------------------------------10分1又, ，则sin ----------------------------11分2 63时，S侧面取最小值是-----------------------13分1此时相应cos，ABOP AB OP 米2当且仅当sin时，侧面钢板用料最省- -----------------------------------------------------------------------14分22．（本题满分14分）解：（Ⅰ）法一：记C(0,1)，连接PC，则PC236-------------------------------------------2分依题意OM PN cos60 PC PC------------------------------------------------------------3分OM6- ----------------------------------------------------------------------------------------------4分法二：∵ xOP 显然3即则OM3，∴OM |OP|cos313，------------------------------------------2分26 3，-----------------------------------------------------------------------------------------3分66 ．-------------------------------------------------------------------------------------------------4分6（Ⅱ）设∠AOx ，[0,1]，P(, 422记f( ) OA OB1111⑴当[0,]时，A(,tan ),B(,tan( ))-----------5分__-__ 11f( ) OA OB tan tan( )-----------------------6分44411 tan 11 tan2(1 tan ) 41 tan 41 tan114cos (cos sin )1111 24cos cos sin 21 cos2sin212(1 )4⑵当(-------------------------8分11,]时，A(,tan ),B---------------9分__tan( )41f( ) OA OB tan )-------------------------------10分tan( )41 tan 1 tan2tan ) 1 tan 1tan11cos (cos sin )1 cos2sin21----------------------------------------------------------------------12分1 )4综上，f( ) OA OB f( )在[0,1121 )411 )4( [0,12])( (,])124]增函数，在(,]是减函数，在(,]是增函数，---------13分__-__1 1 ,f() f()f(0) ,f()__-__1 f( ) OA OB [-----------------------------------------------------------------------------14分。

福建省厦门第一中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题．．．．．在平面直角坐标系xOy中，如图所示，将一个半径为1的圆盘固定在平面上，圆盘的圆心与原点重合，圆盘上缠绕着一条没有弹性的细线，细线的端头M（开始时与圆()A重合）系着一支铅笔，让细线始终保持与圆相切的状态展开，切点为1,0ϕ=时，点O之间的距离为（）细绳的粗细忽略不计，当2radA ．1cos1B ．2sin1C ．26．设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（）A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在7．已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +为偶函数，(f A ．102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B ．()10f -=C ．()20f =8．设711,cos ,2sin 822a b c ===，则（）A ．b a c >>B ．b c a >>C ．c a b>>D ．c b a>>二、多选题9．下列函数中，与y x =是同一个函数的是（）A ．33y x =B ．2y x =C ．lg10y =10．已知函数f (x )=sin 3cos x x ωω+(ω>0)满足:f (π6)=2,f (A ．曲线y =f (x )关于直线7π6x ＝对称B ．函数y =f C ．函数y =f (x )在(π6,7π6)单调递减D ．函数y =f 11．筒车是我国古代发明的一种灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图）米的简车按逆时针方向每分钟旋转1圈，筒车的轴心距离水面的高度为到水面的距离为d （单位：米）A ．23cos 30d ⎛=- ⎝B ．π3sin 30d t ⎛= ⎝C ．大约经过38秒，盛水筒D ．大约经过22秒，盛水筒12．已知0,0x y >>，且A ．x y +的最小值为C ．(22log log 2x +三、单空题13．某地中学生积极参加体育锻炼，其中有喜欢足球，60%的学生喜欢游泳，例是．14．已知函数()tan f x =图象向左平移π12个单位后为奇函数15．若方程πsin 23x ⎛- ⎝四、双空题五、问答题(1)求函数()f x 的解析式：(2)求函数()f x 在[]0,π的单调递减区间．六、证明题18．已知定义域为R 的函数()f x ，满足对,x y ∀∈R ，均有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0f x >．(1)求证：()f x 在(),-∞+∞单调递增；(2)求关于x 的不等式()()()()222f x f x f ax f a -<-的解集．七、问答题19．如图，在平面直角坐标系中，锐角(1)如果3tan 4α=，B 点的横坐标为(2)设αβ+的终边与单位圆交于以线段,,AP BQ CR 的长为三条边长能构成三角形．八、应用题九、问答题十、证明题。

2020年福建省厦门市第六中学高二数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 用数学归纳法证明对n为正偶数时某命题成立，若已假设为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证（）A．时等式成立 B．时等式成立C．时等式成立 D．时等式成立参考答案：B略2. 如右图所示，直线的斜率分别为，则（A）（B）（C）（D）参考答案：C3. 已知不等式成立的充分不必要条件是,则的取值范围是A. B. C. D.参考答案：C4. 有一段演绎推理是这样的：“两个角不相等，则它们的正弦值也不相等；已知角，则”，结论显然是错误的，这是因为（）A大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 大前提和小前提都是错误的参考答案：A分析：逐次判断大前提、小前提以及推理形式是否正确即可得结果.详解：因为两个角不相等，正弦值可以相等，比如与，角不相等，而正弦值相等，所以”两个角不相等，则它们的正弦值也不相等”错误，即大前提错误，故选A.点睛：本题主要考查三段论的基本原理，属于简单题.要正确应用三段论，大前提与小前提都正确，才能保证结论正确.5. 已知命题“若”成等比数列，则在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：B6. 曲线与轴以及直线所围图形的面积为( ).Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．参考答案：B7. 若双曲线（a＞0）的离心力为2 ，则该双曲线的渐近线方程为（）A． B． C.D．参考答案：C双曲线（a＞0）的，则离心率，解得，则双曲线的渐近线方程为，即为，故选C.8. 设f(x)(x∈R)为奇函数，f (1)＝，f (x＋2)＝f (x)＋f (2)，则f (5)等于（）A、0B、1 C. D、5参考答案：C略9. 函数是定义在实数集上的偶函数，且在上是减函数，若，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：C试题分析：根据偶函数的性质，可将不等式转化为，函数在区间是减函数，所以，所以，故选C.考点：函数的性质10. 已知sinα=, 并且α是第二象限角, 那么tanα的值为( )A －B － CD参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某校高级职称教师26人，中级职称教师104人，其他教师若干人．为了了解该校教师的工资收入情况，若按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查，已知从其它教师中共抽取了16人，则该校共有教师人．参考答案：略12. 已知P(－2，－2)，Q(0，－1)，取一点R(2，m)，使|PR|＋|RQ|最小，则m ＝________.参考答案：－13. 若直线y=kx+1与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是：．参考答案：m≥1，且m≠2010【考点】椭圆的简单性质．【专题】转化思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求得直线恒过定点（0，1），由直线与椭圆恒有公共点，可得（0，1）在椭圆上或在椭圆内．代入椭圆方程，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：直线y=kx+1即为y﹣1=k（x﹣0），则直线恒过定点（0，1），由直线与椭圆恒有公共点，可得（0，1）在椭圆上或在椭圆内．即有+≤1，解得m≥1，又m＞0，且m≠2010，即有m≥1，且m≠2010，故答案为：m≥1，且m≠2010．【点评】本题考查椭圆和直线的位置关系，注意运用直线恒过定点，定点在椭圆上或椭圆内，是解题的关键．14. 若函数为区间[﹣1，1]上的奇函数，则它在这一区间上的最大值是．参考答案：1略15. “x＜﹣1”是“x≤0”条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”之一）参考答案：充分不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据充分必要条件的定义可判断即可．【解答】解：∵x＜﹣1，x≤0，∴根据充分必要条件的定义可判断：“x＜﹣1”是“x≤0”充分不必要条件故答案为：充分不必要．【点评】本题考查了充分必要条件的定义，属于很容易的题目，难度不大，掌握好定义即可．16. 图1，2，3，4分别包含1，3，6和10个小三角形，按同样的方式构造图形，则第个图包含小三角形的个数为．参考答案：略17. 某学校高三年级700人，高二年级700人，高一年级800人，若采用分层抽样的办法，从高一年级抽取80人，则全校总共抽取▲人.参考答案：220设全校总共抽取n人，则：故答案为220人.三、解答题：本大题共5小题，共72分。

第二节：等比数列的相关公式和性质1、等比数列的定义：()()12nn a q q n a -=≠≥0，q 为公比 2、通项公式：11n n a a q -=，1a 为首项，q 为公比推广公式：n m n m a a q -=， 从而得n m nma q a -= 3、等比中项（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2A ab =或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）（2）数列{}n a 是等比数列⇔211n n n a a a -+=⋅ 4、等比数列的前n 项和n S 公式： (1) 当1q =时， 1n S na = (2) 当1q ≠时，()11111n n n a q a a qS qq--==-- 11''11n n n a aq A A B A B A q q=-=-⋅=---（,,','A B A B 为常数） 5、等比数列的判定方法（1）用定义：对任意的n,都有11(0)n n n n na a qa q q a a ++==≠或为常数，⇔{}n a 为等比数列（2） 等比中项：211n n n a a a +-=（11n n a a +-≠0）⇔{}n a 为等比数列 （3） 通项公式：()0n n a A B A B =⋅⋅≠⇔{}n a 为等比数列 （4） 前n 项和公式：()'',,','n n n n S A A B S A B A A B A B =-⋅=-或为常数⇔{}n a 为等比数列 6、 等比数列的证明方法依据定义：若()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且或1n n a qa +=⇔{}n a 为等比数列 7、等比数列相关技巧：（1）等比数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、q 、n 、n a 及n S ，其中1a 、q 称作为基本元素。