第二章基本模态语言和语义由第一章已知，模态算子“必然”和“可能”是非真值函数的一元句子联结词。
以这些算子扩张命题逻辑的语言，便得到基本模态语言。
给出基本模态语言的模型，再定义如何从原子公式的真值计算复合公式的真值，特别是如何计算带模态算子公式的真值，便给出了基本模态语言的形式语义。
本章首先定义基本模态语言中的几个句法概念，然后给出基本模态语言的直观语义解释以及形式语义学，区别真和有效两个概念，最后认定一个有效公式集即一个模态逻辑。
2.1 基本模态语言使用“ ”表示必然算子，增加到命题逻辑形式语言的初始符号列表，便得到基本模态语言@?的初始符号列表：, ]1, ]2, ...（用]、^、_等为元语言的命题变元）（1）命题变元：]（2）命题联结词： ,（3）模态词：选择两个命题联结词 （否定）和 （蕴涵）作为初始联结词，其它联结词 （析取）、 （合取）、 （等值）可以利用否定和蕴涵来定义。
同样，选择必然算子作为初始的模态算子，用“ ”表示可能算子，它可以这样来定义： ] := ]①。
从直观上看，如果一个命题]可能真，则]假不是必然的；反之，如果]假不是必然的，那么]可能是真的。
此外，我们还要引入两个记号： 和 ，它们可以看做零元命题联结词，①记号“e := f”表示用f定义e，其中e是被定义项，f是定义项。
1第二章基本模态语言和语义前者表示恒真（等值于任意重言式），后者表示恒假（等值于任意矛盾式）。
有了基本模态语言的符号列表，便可以定义基本模态公式，它们是所有有限长度的符号串中“有意义”的符号串。
2.1.1 定义令C_\]表示全体命题变元的集合。
基本模态语言的公式集9ZY @? 由如下归纳规则形成①：ÛÛ¢]Ö Ö Ö其中]´C_\]。
其它符号 、 、 、 、 如命题逻辑中定义如下：Û= ] ]Û=Û=Û=Û=可能算子定义为 := 。
这里 读作“恒真”，它等值于命题逻辑的任何重言式， 读作“恒假”，它等值于命题逻辑的任何矛盾式。
这两个符号可以看做命题常项或者零元命题联结词。
此外，命题变元集C_\]原则上是任意原子命题集合（可以是空集）。
这里假定它是是可数无穷的。
正如在一阶逻辑中存在量词和全称量词互为对偶算子（即 e e ），可能算子 和必然算子 也互为对偶算子。
直观上看， 和 都是有效的，前一个公式意思是“命题 是必然真的当且仅当 不可能是假的”，后一个公式的意思是“命题 是可能真的当且仅当并非 必然是假的”。
若是不产生歧义，本章省略“基本”二字。
模态语言是命题逻辑语①这种递归定义格式的意思是：任意公式 要么是命题变元，要么是通过命题联结词形成的，要么是通过模态词形成的。
公式定义也可以按照经典的文字表述格式：所有命题变元是公式；如果 和 是公式，那么 、 和 都是公式。
意思与递归定义格式相同。
2第二章基本模态语言和语义言的扩张，这好比一阶语言可看作命题逻辑语言的扩张。
在一阶语言中，我们定义了公式的量词度的概念，即公式中出现的叠置量词的数目。
同样，在模态语言中，也可以定义模态度的概念。
2.1.2 定义递归定义公式 的模态度 ZQ 如下：（1）ZQ ] ¢ 0（2）ZQ ¢ZQ（3）ZQ ¢ max{ZQ , ZQ }①（4）ZQ ¢ZQ + 1根据可能算子的定义可知，ZQ ¢ZQ ¢ZQ ¢ZQ + 1 ¢ZQ + 1 。
所以对任意公式 ，都有ZQ ¢ZQ 。
此外，还有ZQ ¢ZQ ¢ 0，ZQ = ZQ ¢ZQ ¢ max{ZQ , ZQ }。
下面举例说明如何计算模态公式的模态度。
2.1.3 例子计算公式 ( ] ])的模态度如下：ZQ ( ] ]) = ZQ ] ]) + 1= max{ZQ ]), ZQ ])} + 1= max{1, 1} + 1 = 1 + 1 = 2下面要引入的另一个语形概念是代入。
这里仅考虑对命题变元的代入。
全体命题变元的集合记为C_\]。
代入的严格定义如下：2.1.4 定义一个代入 是从命题变元集到公式集的函数 : C_\] 9ZY @? 。
任给代入 ，可由递归定义把它扩展为公式集上的函数 Å : 9ZY @? 9ZY @? ：Å ] ¢ ]Å ¢ ÅÅ ¢ Å ÅÅ ¢ Å①这里函数 max K 的函数值是K中最大元素。
3第二章 基本模态语言和语义 4根据其它联结词的定义，容易验证 Å ¢ ， Å ¢ ， Å Æ ¢ Å Æ Å 对 Æ´Ô Ú Ú Õ，并且 Å ¢ Å 。
根据以上递归定义，给定代入 ，便可计算所有公式在该代入下得到的结果。
下面举一个例子。
2.1.5 例子 令 是一个代入使得 ] = ^ ] 并且 ^ = _。
公式 ] ^ 在代入 下计算代入后的结果 Å ] ^ 如下：Å ] ^ ¢ Å ] Å ^ ¢ Å ] Å ^ ¢ ^ ] _有了代入概念，可以定义模态重言式。
一个公式 称为模态重言式，如果存在命题逻辑的重言式 和代入 使得 ¢ Å 。
最后还引入两个与命题变元相关的记号。
任给公式 ，令cN_ 表示 中出现的所有命题变元的集合。
该集合也可对模态公式的构造递归定义，读者可试一试。
有时我们也写 ]1ÚÜÚ ][ 表示公式 使得cN_ ¶ Ô]1ÚÜÚ ][Õ。
2.2 可能世界语义从前一节给出的模态语言看，它是在命题逻辑的形式语言中增加模态算子得到的。
为了给出模态语言的语义，在保证命题联结词的解释不变的情况下，关键是如何解释模态算子 。
换句话说，我们要确定形如 的模态公式的真之条件。
直观上看，要解释“命题 是必然的”意思是什么。
在自然语言中，也常用“必然”这个模态词，比如“必然2 + 2 = 4”直观上意思是“2 + 2 = 4”这个命题在任何情况下都是真的，或者说它的真是必然的。
这里的“情况”指什么？莱布尼兹最早提出了“可能世界”的概念来说明必然性：（1）一个命题在现实世界中是必然的，当且仅当，它在现实世界和所有可能世界中都是真的。
这种说法的优点在于把必然性解释为在所有可能世界上真，为非真值函数的必然性提供了一种解释，而且也比较符合直观。
可能世界是一个比第二章基本模态语言和语义较抽象的哲学概念，可以作多种解释，在不同的情况下可以解释不同种类的必然性概念。
下面我们看几个例子。
逻辑必然性。
莱布尼兹把所有真句子分两类：理性真句子和事实真句子。
理性真也叫逻辑真，这类句子的真是必然的，与事实无关，比如排中律的特例“明天下雨或者不下雨”，它的真与明天事实上是不是下雨没有关系。
另一种命题的真值与事实有关，比如“此时在下雨”。
在古典命题逻辑中，重言式都是必然的，比如] ^ ] 是重言式，无论代替字母]和^什么样的句子，所得到的句子都是真的。
回顾重言式的定义：一个古典命题逻辑的公式 是重言式当且仅当 在所有赋值下都是真的。
把每个赋值都看作可能世界，于是重言式的必然性就体现出来了。
物理必然性。
物理上可能的世界于不同于逻辑上可能的世界。
比如，光速是物理世界中最大速度，超光速的物理世界是不可能的。
这样，“车速不大于光速”就是在所有物理可能世界中真的，因此这个命题是物理上必然的。
然而，在逻辑上完全可以假设存在超光速的“奇异”世界，上述命题在逻辑上就不是必然的。
上面（1）中对必然性的解释使用了两个概念：现实世界和可能世界。
从直观上说，可能世界是现实世界的一种可能情况，而现实世界是一种可能情况。
这样便没有必要突出现实世界的地位，可以讨论任何命题在任何可能世界上的必然性。
这样来讨论必然性更具一般性，而无须考虑现实世界和可能世界的区别，只需固定任一可能世界来看命题的必然性。
于是我们可以把（1）的表述变成：（2）一个命题在某一世界中是必然的，当且仅当，它在所有可能世界中都是真的。
为方便计，下面引入一些记号。
用J表示可能世界的集合，小写字母d、b、c等（带下标或不带下标）表示J中的可能世界。
一个公式 在可能世界d上真记为“d ”， 在可能世界d上假记为“d¡ ”。
使用这些记号可以把（2）写成：（3）d 当且仅当对所有b´J，b 。
这样，含有必然算子的公式 在可能世界上d的真归约为 在所有可能世界上的真。
必然命题的真最终要归约为不含必然算子的命题的真。
5第二章基本模态语言和语义6 进一步看，（3）中“当且仅当”右边使用了“所有可能世界”这个全称量词表达式，若 的真与选取的当前世界d无关，这个全称量词的量化范围是所有可能世界。
若 的真与所选取的当前世界d有关，这个全称量词的量化范围是所有与当前世界有关的世界。
例如，令d是存在核武器的现实世界，令d1和d2分别是使用了核武器和没使用过核武器的世界，d3是不存在核武器的世界。
那么d1和d2对d来说是可能的，而d3对d来说是不可能的。
这样，（3）又可以细致化：（4）d 当且仅当在对d来说所有可能的世界b中，b 。
如果b对d来说是可能的，那么这两个可能世界之间存在一种关系，称为可及关系，一般用E表示。
这样，用Edb或dEb表示b对d来说是可能的，读作“d可及b”。
如果d可及b，则称b是d的一个可及世界。
于是，使用符号把（4）写成：（5）d 当且仅当对所有b´J，如果dEb，那么b 。
用如下有向图来直观地看（5）的意思：d1d V d[ËÜËÜËËd用圆点表示可能世界，箭头表示可及关系。
上图中d只有[个可及世界，公式 在d真，因为 在d的所有可及世界上是真的。
在2.1节中还引入了必然算子的对偶算子，即可能算子 ，定义 Û¢ 。
根据可能算子的定义和前面（5）对必然算子的语义解释，我们也可以得到如下关于可能算子的解释：（6）d 当且仅当存在b´J使得dEb并且b 。
即存在d的可及世界使得 是在真的。
从直观上说， 是可能的当且仅当存在可能世界使得 是真的。
