宿迁市2010年高三年级模拟试卷(一)(数学).

江苏省宿迁市高三数学一模试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共4题；共8分)1. （2分）矩阵M =的逆矩阵为（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高二上·广州期中) 已知甲： , 乙：，则甲是乙的（）A . 充分非必要条件B . 必要非充分条件C . 充要条件D . 非充分非必要条件3. （2分）记椭圆围成的区域（含边界）为Ωn（n=1，2，…），当点（x，y）分别在Ω1 ，Ω2 ，…上时，x+y的最大值分别是M1 ， M2 ，…，则Mn=（）A . 0B .C . 2D . 24. （2分）(2017·蚌埠模拟) 数列{an}是以a为首项，q为公比的等比数列，数列{bn}满足bn=1+a1+a2+…+an（n=1，2，…），数列{cn}满足cn=2+b1+b2+…+bn（n=1，2，…）．若{cn}为等比数列，则a+q=（）A .B . 3C .D . 6二、填空题 (共12题；共12分)5. （1分） (2017高一上·上海期中) 已知集合A={﹣1，1，2，4}，B={﹣1，0，2}，则A∪B=________．6. （1分） (2019高二上·哈尔滨月考) 双曲线的离心率是________．7. （1分） (2016高三上·长宁期中) 已知函数f（x）=x2﹣1（﹣1≤x＜0），则f﹣1（x）=________．8. （1分） (2017高二下·汪清期末) 的展开式中x3项的系数是________．（用数字作答）9. （1分）(2017·南京模拟) 设复数z满足（1+i）z=2，其中i为虚数单位，则z的虚部为________．10. （1分）分别从集合A＝{1，2，3，4}和集合B＝{5，6，7，8}中各取一个数，则这两数之积为偶数的概率是________.11. （1分） (2018高二上·南京月考) 的内角所对的边为，则“ ”是“ ”的________条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中的一个）12. （1分） (2018高二上·蚌埠期末) 已知点和点都在椭圆上，其中为椭圆的离心率，则 ________.13. （1分）已知奇函数f（x）在区间[0，+∞）单调递增，则满足f（2x﹣1）＞f（1）的x取值范围是________14. （1分）已知加密函数为y=ax﹣2（x为明文、y为密文），如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是________．15. （1分） (2016高二上·嘉兴期末) 已知实数x，y满足x2+4y2﹣2xy=4，则x+2y的最大值是________．16. （1分）若曲线y=与直线x+y﹣m=0有一个交点，则实数m的取值范围是________三、解答题 (共5题；共55分)17. （10分）已知三棱锥A﹣BCD中，AB=CD，且直线AB与CD成60°角，点M、N分别是BC、AD的中点，求直线AB和MN所成的角．18. （5分）已知函数f（x）=sin（2x+ ）+ ．（1）试用“五点法”画出函数f（x）在区间的简图；（2）若x∈[﹣， ]时，函数g（x）=f（x）+m的最小值为2，试求出函数g（x）的最大值并指出x 取何值时，函数g（x）取得最大值．19. （10分） (2016高三上·浦东期中) 甲厂以x千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得利润是100（5x+1﹣）元．（1）写出生产该产品t（t≥0）小时可获得利润的表达式；（2）要使生产该产品2 小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围．20. （15分） (2019高三上·浙江月考) 过抛物线上一点作抛物线的切线交轴于，为焦点，以原点为圆心的圆与直线相切于点 .（Ⅰ）当变化时，求证：为定值.（Ⅱ）当变化时，记三角形的面积为，三角形的面积为，求的最小值.21. （15分）(2016·绵阳模拟) 已知数列{an}的前n项和为Sn ，向量 =（Sn ， 1）， =（2n﹣1，），满足条件∥ ，（1）求数列{an}的通项公式，（2）设函数f（x）=（）x，数列{bn}满足条件b1=1，f（bn+1）= ．①求数列{bn}的通项公式，②设cn= ，求数列{cn}的前n项和Tn．参考答案一、单选题 (共4题；共8分)1-1、2-1、3-1、4-1、二、填空题 (共12题；共12分)5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共55分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、。

江苏省宿迁市2010届高三第二次模拟考试数学I参考公式：(1)样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2=n121)(x x ni i -∑=，其中x =n 1∑=ni i x 1(2)锥体的体积公式V=31Sh ，其中S 为锥体底面h 为高 ．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应．．．．．位置．．上． 1．已知集合A ={0，2，α² }，B={1，α}，若A ∪B={0，1，2,4}，则实数α的值为 ▲ ． 2．已知复数z =(2-i)i(i 是虚数单位)，则|z |= ▲ ．3．已知向量α=(6，2)，b =(一3，k )，若α∥b ，则实数k 等于 ▲ ． 4．一个算法的流程图如图所示，则输出的S 的值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题．第15题～第17题每题4分，第18题～第20题每题16分，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文宇说明，证明过程或演算步骤。

15．(本小题满分14分)16．(本小题满分14分)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，点D是棱BC的中点，求证：(1)AD⊥C1D；(2)A1B∥平面ADC1．17．(本小题满分14分)江苏省宿迁市2010届高三第二次模拟考试数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．．每小题l0分．共计20分．请在答题纸指定 区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4-1：几何证明选讲如图，在△ABC 中，D 是AC 中点，E 是BD 三等分点，AE 的延长线交口BC 于F ，求D EFCBEF 四边形S S ∆的值．B ．选修4-2：矩阵与变换已知矩阵M =⎢⎣⎡12 ⎥⎦⎤10，求矩阵M 的特征值及其相应的特征向量．【必做题】第22题、第23题．每题l0分．共计20分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．(本题满分l0分)某电视台综艺频道组织的闯关游戏，游戏规定前两关至少过一关才有资格闯第三关，闯关者闯第一关成功得3分，闯第二关成功得3分，闯第三关成功得4分．现有一位参加游戏者单独面第一关、第二关、第三关成功的概率分别为21，31，41，记该参加者闯三关所得总分为ζ．(1)求该参加者有资格闯第三关的概率； (2)求ζ的分布列和数学期望．23．(本题满分l0分)如图，已知抛物线M ：x 2=4py (p ＞0)的准线为ι，N 为ι上的一个动点，过点N 作抛物线M 的两条切线，切点分别为A ，B ，再分别过A ，B 两点作ι的垂线，垂足分别为C ，D ． (1)求证：直线AB 必经过y 轴上的一个定点Q ，并写出点Q 的坐标；(2)若△ACN ，△BDN ，△ANB 的面积依次构成等差数列，求此时点N 的坐标．数学I 参考答案与评分标准一、填空题1. 21- 4.45 5.85 6. 23 7. 948. 32 9.２ 10. 34 11.(3,1)(1,2)-- 12.51(1,)e e二、解答题15.（1）因为12⋅=- OP OQ ，所以2211sin cos 22θθ-=-，即2211(1cos )cos 22θθ--=-，所以22cos 3θ=， 所以21cos 22cos 13θθ=-=．…………………………………………………………6分（2）因为 22cos 3θ=，所以21sin 3θ=，所以)32,21(P 点，)1,31(-Q 点， 又点12(,)23P 在角α的终边上，所以54sin =α，53cos =α ．同理 10103sin -=β，1010cos =β，所以sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+43(55=+⨯=．……14分16.（1）因为三棱柱111C B A ABC -是正三棱柱，所以⊥C C 1平面ABC ， 又⊂AD 平面ABC ，所以AD C C ⊥1，………………………………………… 2分 又点D 是棱BC 的中点，且ABC ∆为正三角形，所以AD BC ⊥， 因为1BC C C C = ，所以⊥AD 平面11B BCC ，……………4分又因为1DC ⊂平面11B BCC ，所以C AD ⊥(2)连接C A 1交1AC 于点E ，再连接DE ． 因为四边形11ACC A 为矩形， 所以E 为C A 1的中点， 又因为D 为BC 的中点， 所以1//ED A B .又1A B ⊄平面1ADC ，ED ⊂平面1ADC ，所以1//A B 平面1ADC ． (14)17.（1）因为数列{}2nb 是首项为2，公比为4的等比数列，所以1212242nn n b --=⋅=，因此21n b n =-．……………………………………………………2分 设数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2n T n =，224n T n =，所以24nnT T =， 因此数列{}n b 为“和等比数列”．…………………………………6分1(2) 设数列{}n c 的前n 项和为n R ，且2nnR k R =（k 为常数，且0k ≠）， 因为数列{}n c 是等差数列，所以1(1)2n n n R nc d -=+，212(21)22n n n R nc d -=+， 所以1212(21)22(1)2n nn n nc d R k n n R nc d-+==-+对于*n ∈N 都成立，化简得，1(4)(2)(2)0k dn k c d -+--=， (10)分则1(4)0,(2)(2)0,k d k c d -=⎧⎨--=⎩因为0d ≠，所以14,2k d c ==，因此d 与1c 之间的等量关系为12d c =． ………………………14分18.（1）设抛物线C 的方程为22(0)y px p =>，因为准线l 的方程为2x =-，所以22p-=-，即4p =， 因此抛物线C 的方程为28y x =． ……………………………4分 （2）由题意可知，1(2,3)P t t--，(0,2)Q t ,则直线PQ 方程为：12(3)22t t t y t x ---=，即22(1)240t x ty t -+-=，………8分 设圆心在x 轴上，且与直线PQ 相切的圆M 的方程为2220()(0)x x y r r -+=>，则圆心0(,0)M x 到直线PQr =， …………………10分即2220(1)4t x t r rt --=+①，或2220(1)4t x t r rt --=--② ， 由①可得200(4)0x r t x r --+-=对任意,0t t ∈≠R 恒成立，则有0040,0,x r x r --=⎧⎨--=⎩，解得02,2,x r =⎧⎨=-⎩（舍去），……………………………14分 由②可得200(4)0x r t x r +--+=对任意,0t t ∈≠R 恒成立，则有0040,0,x r x r +-=⎧⎨-+=⎩，可解得02,2,x r =⎧⎨=⎩ 因此直线PQ 恒与一个圆心在x 轴上的定圆M 相切，圆M 的方程为22(2)4x y -+=. ……………………………………………………………………16分19.(1)如图，设圆弧FG 所在的圆的圆心为Q ，过Q 点作CD 垂线，垂足为点T ，且交MN 或其延长线与于S ，并连接PQ ，再过N 点作TQ 的垂线，垂足为W ． 在R ∆t NWS 中，因为2=NW ，θ∠=SNW ，所以2cos θ=NS ． 因为MN 与圆弧FG 切于点P ，所以⊥PQ MN ，在Rt △QPS ，因为1=PQ ，θ∠=PQS ，所以1cos θ=QS ，12cos θ-=-QT QS ， ①若S 在线段TG 上，则=-TS QT QS ，在R ∆t STM 中，sin sin θθ-==TS QT QSMS ， 因此=+MN NS MS sin θ-=+QT QSNS .②若S 在线段GT 的延长线上，则=-TS QS QT ，在R ∆t STM 中，sin sin θθ-==TS QS QTMS ， 因此=-MN NS MS sin θ-=-QS QT NS sin θ-=+QT QSNS .()θ=f MN sin θ-=+QT QS NS 221()cos sin sin cos θθθθ=+- 2(sin cos )1(0)sin cos 2θθθθθ+-π=<<． (8)分（2）设sin cos (1t t θθ+=<，则21sin cos 2t θθ-=，因此242()()1t f g t t θ-==-．因为2224(1)()(1)t t g t t -+'=--，又1t <()0g t '<恒成立，因此函数242()1t g t t -=-在(1t ∈是减函数，所以min ()2g t g ==，即min2MN =．答：一根水平放置的木棒若能通过该走廊拐角处，则其长度的最大值为2．……………………………………………………16分20.（1）当13=a 时，()f x '=3122-++b bx x =31)(22-+-+b b b x ，其对称轴为直线x b =-，当2,(3)0,≥b f --⎧⎨'->⎩ 解得2615<b ，当2,(1)0,b f -<-⎧⎨'->⎩b 无解，所以b 的的取值范围为26(,)15-∞．………………………………………………………4分 （2）因为2()32()f x ax bx b a '=++-， 法一：当0=a 时，21-=x 适合题意.…………………………………6分 当0≠a 时，0)1(232=-++a b x a b x ，令ab t =，则0)1(232=-++t tx x ，令2()32(1)h x x tx t =++-，因为11()024h -=-<，当1>t 时，(0)10h t =->，所以()y h x =在1(,0)2-内有零点．当1≤t 时，(1)210h t -=-≥>，所以()y h x =在（)21,1--内有零点． 因此，当0≠a 时，()y h x =在(1,0)-内至少有一个零点．综上可知，函数()y f x '=在(1,0)-内至少有一个零点．…………………………………10分法二：(0)f b a '=-，(1)2f a b '-=-，12()33b a f -'-=由于,a b 不同时为零，所以1()(1)03f f ''-⋅-<，故结论成立． (3)因为()f x =32()ax bx b a x ++-为奇函数，所以0b =, 所以()f x =ax ax -3， 又()f x 在1=x 处的切线垂直于直线230+-=x y ，所以1=a ，即3()f x x x =-．因为()3(f x x x '=-+，所以()f x在(,,)-∞+∞上是増函数，在[上是减函数，由()0f x =解得1,0=±=x x ，如图所示，当1≤t -<时，1()04≥≥f t t -，即34≥tt t --，解得≤t ；当0<<t 时，1()04≥f t t >- ，解得033<<-t ； 当0=t 时，显然不成立；当0t <1()04≤f t t -<，即34≤tt t --，解得0t <当33>t 时，1()04f t t <-<，故32t <<所以所求t 的取值范围是0t <，或02t <<．（以上各题如考生另有解法，请参照本评分标准给分）数学II 参考答案与评分标准21．【选做题】A .选修4－1：几何证明选讲过D 点作DM ∥AF 交BC 于M ，因为DM ∥AF ，所以13BF BE BM BD ==，……………………………………２分 因为EF ∥DM ，所以19BEF BDM S S ∆∆=，即9BDM BEF S S ∆∆=，…４分ABCDEFM又23DMC BDM S S ∆∆=，即263DMC BDM BEF S S S ∆∆∆==，……………………………………………８分所以14BEF DEFC S S ∆=四边形，因此114BEF DEFC S S ∆=四边形． ……………………………10分B .选修4－2：矩阵与变换矩阵M 的特征多项式为22()3211f λλλλλ-==-+--，………………２分令()0f λ=，解得121,2λλ==， ………………………………４分将11λ=代入二元一次方程组-200,(1)0,x y x y λλ⋅+⋅=⎧⎨-+-=⎩（）解得0x =，…………………６分所以矩阵M 属于特征值1的一个特征向量为01⎡⎤⎢⎥⎣⎦；………………８分同理，矩阵M 属于特征值2的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦．…………………10分C .选修4 - 4：坐标系与参数方程因为直线l 的极坐标方程为()3πθρ=∈R ， 所以直线l的普通方程为y ，……………………３分又因为曲线C 的参数方程为2cos ,1cos 2,x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），所以曲线C 的直角坐标方程为[]()212,22y x x =∈-， ……………６分联立解方程组得0,0,x y =⎧⎨=⎩或 6.x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩……………８分根据x的范围应舍去6,x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩故P 点的直角坐标为(0,0)．………10分D .选修4－5：不等式选讲因为2222()()()()()3a b c f x x a x b x c ++=-+-+-+22222()32()3a b c x a b c x a b c ++=-++++++22223()3a b c x a b c ++=-+++，………………………………2分所以3a b c x ++=时，()f x 取最小值222a b c ++，即222m a b c =++，………5分因为23a b c -+=，由柯西不等式得22222221(1)2()(2)9≥a b c a b c ⎡⎤+-+⋅++-+=⎣⎦，……………………8分所以2229362≥m a b c =++=，当且仅当112a b c ==-，即333442a b c ==-=，，时等号成立， 所以m 的最小值为32． …………………………10分22．【必做题】⑴设该参加者单独闯第一关、第二关、第三关成功的概率分别为211=p ，312=p ，314p =，该参加者有资格闯第三关为事件A ． 则1212122()(1)(1)3=-+-+=P A p p p p p p ．…………………………4分(2)由题意可知，ξ的可能取值为0，3，6，7，10，31)1)(1()0(21=--==p p P ξ， 123123113(3)(1)(1)(1)(1)488P p p p p p p ξ==--+--=+=， 1231(6)(1)8P p p p ξ==-=，123123111(7)(1)(1)12248P p p p p p p ξ==-+-=+=，1231(10)24P p p p ξ===， 所以ξ的分布列为…………8分所以ξ的数学期望13111103671033888246E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.…………10分 23.【必做题】 解法一：（1）因为抛物线的准线l 的方程为y p =-，所以可设点,,N A B 的坐标分别为(m p -，），11()x y ，，22()x y ，，则2114x py =，2224x py =，由24x py =，得24x y p=，求导数得2x y p '=，于是1112y p x x m p +=-，即211142x px px m p+=-，化简得2211240x mx p --=，同理可得2222240x mx p --=，所以1x 和2x 是关于x 的方程22240x mx p --=两个实数根，所以1,2x m = 且2124x x p =-．在直线AB 的方程211121()y y y y x x x x --=--中，令0x =，得212112112121y y x y x y y y x x x x x --=-=--=12121221()4()4x x x x x xp p x x p-==-=-为定值，所以直线AB 必经过y 轴上的一个定点(0)Q p ，，即抛物线的焦点．……………………………5分(2)由（1）知122x x m +=，所以N 为线段CD 的中点，取线段AB 的中点E ， 因为Q 是抛物线的焦点，所以AQ AC BQ BD ==，，所以AC BD AB +=，所以ANB ANE BNE S S S ∆∆∆=+111()222EN CN EN DN EN CN DN =⋅+⋅=⋅+ 22AC BD AB CNEN CN CN +⋅=⋅=⋅=，又因为22ACN AC CN AQ CN S ∆⋅⋅==，22BDN BD DN BQ CNS ∆⋅⋅==， 所以2AQ CN ⋅，2BQ CN ⋅，2AB CN ⋅成等差数列，即AQ BQ AB ，，成等差数列，即122100x x x x ---，，成等差数列，所以21222x x x -=，212x x =-，所以221212(4x x x m m p =-=+=-，1x =，1x =时，2x =-，122x x m p +==，1x =时，2x =，1222x x m p +==，所以所求点N的坐标为(p p -，）．………………………………………………………………10分 解法二：（1）因为已知抛物线的准线l 的方程为y p =-，所以可设点N A B ，，的坐标分别为(m p -，），11()x y ，，22()x y ，，则2114x py =，2224x py =，设过N 点与抛物线相切的直线方程为()y p k x m +=-，与抛物线方程24x py =联立，消去y 得224440x pkx pmk p -++=，因为直线与抛物线相切，所以2221616()0p k pmk p ∆=-+=，即20pk mk p --=，解得12k =，122x pk m ==±， 在直线AB 的方程211121()y y y y x x x x --=--中，令0x =得212112112121y y x y x y y y x x x x x --=-=--=12121221()4()4x x x x x xp p x x p-==-=-为定值，所以直线AB 必经过y 轴上的一个定点(0)Q p ，，即抛物线的焦点．……………………………5分（2）由（1）知两切线的斜率分别为12k =，则121k k ⋅=-，所以AN BN ⊥， 连接QN ，则直线QN 斜率为2QN pk m =-，又因为直线AB 的斜率22212121212124()442AB y y x x x x m mk x x p x x p p p--+=====--， 所以212QN AB p mk k m p⋅=-⋅=-，所以QN AB ⊥，又因为AQ AC BQ BD ==，，所以ACN AQN BDN BQN ∆∆∆∆≌，≌， 所以AQN BQN ∆∆，和ANB ∆的面积成等差数列，所以AQ BQ AB ，，成等差数列， 所以122100x x x x ---，，成等差数列，所以21222x x x -=，212x x =-，所以221212(4x x x m m p =-=+=-，1x =，1x =时，2x =-，122x x m p +==-， 1x =时，2x =，1222x x m p +==， 所以所求点N 的坐标为(p p -，）． …………………………………………………………10分（以上各题如考生另有解法，请参照本评分标准给分）。

宿迁市宿豫区2010-2011学年度第一学期期末调研检测八年级数学试卷一、填空题（本题共12小题，每小题3分，共36分．把答案填写在题中横线上） 1、2的算术平方根是 .2、等腰三角形的两边长分别是3和7，则其周长为______．3、等腰梯形的____________ 相等（写出一个正确结论即可）.4、已知一梯形的中位线长为5，高为2，则这个梯形的面积是 .5、一次函数的图象经过点（2，1），且函数值随着自变量的增大而减小．请写出一个符合上述条件的一次函数解析式：________________.6、已知点)1,(-x A 与点),2(y B 关于原点对称，则2011)(y x +的值为 .7、已知一组数据：－1，3，x ，－2，5的平均数是2，则这组数据的中位数是 . 8、已知点)3,(a M 在一次函数12+-=x y 的图象上，则点M 到y 轴的距离为 . 9、近似数41030.1⨯精确到 位，有效数字有 个.10、如图，将矩形纸片ABCD 沿BD 折叠，使点A 落在点'A 处，设B A '与CD 相交于点E ，若8=AB ，6=BC ，则=EB .11、如图，已知直线b ax y +=，则方程1-=+b ax 的解=x .12、已知正方形ABCD 中，点E 在边DC 上，3=DE ,1=EC ,如图所示，把线段AE 绕点A 旋转，使点E 落在直线BC 上的点F 处，则F 、C 两点的距离为 .A'EDCBA （第10题）第12题EBC第11题A D二、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题的四个选项中，只有一个符合题目要求）13、下列说法正确的是 （ ）.A ．2，3，4都是无理数 B ．无理数包括正无理数、负无理数和0C ．实数分为正实数和负实数两类D ．绝对值最小的实数是0 14、下列四个多边形：①等边三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形．其中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 （ ）. A ．①② B ．②③ C ．②④ D ．①④15、有9名同学参加歌咏比赛，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前4名参加决赛，小红同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这9名同学成绩的( ). A ．众数 B ．中位数 C ．平均数 D ．加权平均数16、直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是 （ ）.A .形状相同B .周长相等C . 面积相等D . 全等17、在平面直角坐标系xOy 中，已知点P （2，2），点Q 在y 轴上，△PQO 是等腰三角形，则满足条件的点Q 共有 ( ). A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个18、已知点A 12(1,),(2,)y B y -都在直线122y x =-+上，则1y ，2y 大小关系是 ( ).A ．1y ＞2yB ．1y ＝2yC ．1y ＜2yD ．不能确定19、如图，菱形ABCD 中，AB = 5，∠BCD = 120°，则对角线AC 的长是 （ ）.A ．20B ．15C ．10D ．520、直线l 上有三个正方形a 、b 、c ,若a 、c 的面积分别为3和8，则b 的面积为 （ ）.A .11B . 24C .5D ．无法确定BACD（第19题）lcba（第20题）OF CDEB A三、解答题（解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明，第21、22题每题6分， 第23、24题每题8分，第25、26题每题10分，第27题12分，共60分）21、（1）把图中的某两个小方格涂上阴影，使整个图形（指阴影部分）是以虚线为对称轴的轴对称图形.（2）如右图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方 形，将其中的△ABC 绕点D 按顺时针方向旋转90°， 得到对应△A'B'C'．①请你在方格纸中画出△A'B'C'； ②C C'的长度为 ．22、如图，△ABC 的中线AF 与中位线DE 相交于点O ．试问AF 与DE 是否互相平分？为什么？23、若一次函数2y x b =-+的图像经过点（2，2）. （1）求b 的值；（2）在图中画出此函数的图像；（3）观察图像，直接写出y ＜0时x 的取值范围.24、如图，在⊿ABC 中，AC AB =,点D 、E 分别在AB 、AC 上，BE 、CD 相交于点O . (1)若CE BD =,试说明OC OB =.(2)若10=BC ，BC 边上的中线AM =12,试求AC 的长.25、某公司销售部有营销人员15人，销售部为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量如下：（1）求这15位营销人员该月销售量的平均数、中位数和众数；（2）假设销售部负责人把每位营销员的月销售额定为320件，你认为是否合理，为什么？如不合理，请你制定一个较为合理的销售定额，并说明理由.OM EDCAB26、如图，平行四边形A B C D中，AB AC⊥，1AB=，BC=．对角线A C B D，相交于点O，将直线A C绕点O顺时针旋转，分别交B C A D，于点E F，．（1）试说明在旋转过程中，线段A F与E C总保持相等；（2）在旋转过程中，四边形B E D F可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时A C绕点O顺时针旋转的度数．AB C DO F E27、如图是甲、乙两家运输公司规定每位旅客携带行李的费用与所带行李质量之间的关系图. （1）由图可知，行李质量只要不超过 kg ，甲公司就可免费携带，如果超过了规定的质量，则每超过1kg 要付运费 元； （2）解释图中点M 所表示的实际意义；（3）若设旅客携带的行李质量为)(kg x ，所付的行李费是y （元），请分别写出甲y 与乙y （元）随)(kg x 之间变化的关系式；（4）若你准备携带45kg 的行李出行，在甲、乙两家公司中你会选择哪一家？ 应付行李费多少元？参考答案一、填空题（本题共12小题，每小题3分，共24分．把答案填写在题中横线上）1、22、173、同一底上的两个角相等（或对角线相等）4、105、略6、－17、38、19、百位，3 10、425 11、4 12、1或7二、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题的四个选项中，只有一个符合题目要求）13、D. 14、C . 15、B. 16、C. 17、B. 18、C. 19、D. 20、A. 三、解答题（解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明，第21、22题每题6分， 第23、24题每题8分，第25、26题每题10分，第27题12分，共60分）21、—————————2分 —————4分 ②)8(22或——-6分22、解：AF 与DE 互相平分——————————1分 连结DF 、EF中点是中点，是BC F AB D∴DF 是⊿ABC 的中位线∴DF ∥AC 且AC DF 21=————---3分又∵ACAE 21=∴DF ∥AE 且DF ＝AE∴四边形ADFE 是平行四边形————5分 ∴AF 与DE 互相平分————————6分23、（1）6=b ————————2分（2） ————————4分（3）x ＞3————— ——－——8分 24、（1）∵AC AB =∴ACB ABC ∠=∠ ————————————1分 又 ∵CB BC CE BD ==,∴⊿≅DBC ⊿ECB ————————————2分 ∴EBC DCB ∠=∠————————————3分 ∴OC OB = —————————————4分 (2)由等腰三角形“三线合一”可得 BC AM ⊥且BC CM 21==5 ———————6分在Rt ⊿AMC 中 135122222=+=+=CMAMAC ————8分25、（1）平均=320 ——————2分 中位数：210————-----4分众数： 210 —————6分 （2）不合理理由（略）（只要言之有据即可）————10分 26、（1）∵四边形ABCD 是平行四边形∴ AD ∥BC ,OC OA =———————1分 ∴ECO FAO ∠=∠ 又COE AOF ∠=∠∴⊿≅AOF ⊿COE ————————－3分 ∴CE AF = ———————————4分（2）四边形BEDF 能是菱形，理由：由（1）知⊿≅AOF ⊿COE ∴OF OE =又OD OB =∴四边形BEDF 是平行四边形 ——————6分 当BD EF ⊥时，BEDF 是菱形 ——————7分 在Rt ⊿BAC 中 21)5(2222=-=-=ABBCAC∴1==AB OA∴045=∠AOB , ∴AC 绕点O 旋转45°即可。

数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1． 已知集合{}13=A ，，{}01=B ，，则集合A B U = ▲ ． 【答案】{}013，，2． 已知复数2i 3i 1iz --=（i 为虚数单位），则复数z 的模为 ▲ . 【答案3．则平均每人参加活动的次数为 ▲ .【答案】34． 如图是一个算法流程图，则输出的b 的值为 ▲ ．【答案】75． 有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为 ▲ ．【答案】236． 已知正四棱柱的底面边长是3 cm ，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的体积为 ▲ cm 3．【答案】547． 若实数x y ，满足2+3x y x ≤≤，则x y +的最小值为 ▲．【答案】6-8． 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22(0)=>y px p 的准线为l ，直线l 与双曲线2214x y -= 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，AB =p 的值为 ▲ ．【答案】9． 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线3y x t =+与曲线()sin cos y a x b x a b t =+∈R ，，相切于 点()01，，则()a b t +的值为 ▲ ． 【答案】410．已知数列{}n a 是等比数列，有下列四个命题：①数列{}n a 是等比数列； ②数列{}1+n n a a 是等比数列；③数列1⎧⎫⎨⎬⎩⎭n a 是等比数列； ④数列{}2lg n a 是等比数列．（第4题）其中正确的命题有 ▲ 个．【答案】311．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)()f x f x +=．当01<x ≤时，()=f x 31x ax -+，则实数a 的值为 ▲ ．【答案】212．在平面四边形ABCD 中，1AB DA DB ==，，32AB AC AC AD ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，，则2AC AD +u u u r u u u r 的最小值为 ▲ ．【答案】13．在平面直角坐标系xOy 中，圆221O x y +=：，圆()2244C x y -+=：．若存在过点()0P m ，的直线l ，l 被两圆截得的弦长相等，则实数m 的取值范围是 ▲ ． 【答案】()443-， 14．已知函数()()()2|||2|(0)f x x a x a x a a =+-++<．若(1)(2)(3)f f f +++…(672)0f +=，则满足()2019f x =的x 的值为 ▲ ．【答案】337二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，M ，N 分别为棱P A ，PD 的中点．已知侧面P AD ⊥底面ABCD ，底面ABCD是矩形，DA =DP ． 求证：（1）MN ∥平面PBC ；（2）MD ⊥平面P AB ． 【证明】（1）在四棱锥P ABCD -中，M ，N 分别为棱P A ，PD 的中点，所以MN ∥AD ．……………………2分 又底面ABCD 是矩形， 所以BC ∥AD ．所以MN ∥BC ．…………………………………………………………………4分 又⊂⊄BC PBC MN PBC 平面，平面，所以MN ∥平面PBC ． ………………………………………………………6分（2）因为底面ABCD 是矩形，所以AB ⊥AD ．又侧面P AD ⊥底面ABCD ，侧面P AD ∩底面ABCD =AD ，AB ⊂底面ABCD ， 所以AB ⊥侧面P AD ．…………………………………………………………8分 又MD ⊂侧面P AD ，所以AB ⊥MD ． ………………………………………………………………10分 因为DA =DP ，又M 为AP 的中点，从而MD ⊥PA ． ……………………………………………………………12分 （第15题） A B C D P M N又PA ，AB 在平面P AB 内，=I PA AB A ，所以MD ⊥平面P AB ．………………………………………………………14分16．（本小题满分14分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C所对边的长，cos cos a B A，cos A （1）求角B 的值；（2）若a =ABC 的面积．【解】（1）在△ABC中，因为cos A =，0π<<A ，所以sin ==A 2分因为cos cos a B A ，由正弦定理sin sin =a b A B，得sin cos cos A B B A ． 所以cos sin =B B ． ………………………………………………………………… 4分若cos =0B ，则sin =0B ，与22sin cos 1B B +=矛盾，故cos 0B ≠． 于是sin tan 1cos ==B B B． 又因为0π<<B ，所以π4B =． ……………………………………………………………………7分 （2）因为a =sin A =， 由（1）及正弦定理sin sin =a b A B=，所以=b ……………………………………………………………………9分 又()()sin sin πsin C A B A B =--=+sin cos cos sin =+A B A B=12分 所以△ABC的面积为11sin 22===S ab C ……14分 17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221y x a b+=(0)a b >>的左焦点为F ，右顶点为A ， 上顶点为B ．（1）已知椭圆的离心率为12，线段AF，求椭圆的标准方程； （2）已知△ABF 外接圆的圆心在直线y x -=上，求椭圆的离心率e 的值．【解】（1）因为椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的离心率为12， 所以12c a =，则2a c =． 因为线段AF，所以2a c -=．所以c 28a =，2226b a c -==． 所以椭圆的标准方程为22186x y +=． …………………………………………………4分 （2）因为(0)(0)A a F c -，，，，所以线段AF 的中垂线方程为：2a c x -=． 又因为△ABF 外接圆的圆心C 在直线y x -=上， 所以()22a c a c C ---，．………………………………………………………………6分 因为(0)(0)A a Bb ，，，， 所以线段AB 的中垂线方程为：()22b a a y x b --=． 由C 在线段AB 的中垂线上，得()2222a c b a a c a b -----=， 整理得，2()b a c b ac -+=，…………………………………………………………10分 即()()0b c a b -+=．因为0a b +>，所以b c =．…………………………………………………………12分所以椭圆的离心率2c e a ===． ………………………………………14分 18．（本小题满分16分）如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD ，AB AD ，的长分别为m 和 4m ，上部是圆心为O 的劣弧CD ，=3COD 2π∠． （1）求图1中拱门最高点到地面的距离；（2）现欲以B 点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD 所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示．设BC 与地面水平线l 所成的角为θ．记拱门上的点到地面 的最大距离为h ，试用θ的函数表示h ，并求出h 的最大值．O O OD D DC CAA A C DO（第17题）【解】（1）如图，过O 作与地面垂直的直线交AB CD ，于点12O O ，，交劣弧CD 于点P ，1O P 的长即为拱门最高点到地面的距离． 在2Rt O OC △中，23O OC π∠=，2CO = 所以21OO =，圆的半径2R OC ==． 所以11122=5O P R OO R O O OO +=+-=．答：拱门最高点到地面的距离为5m ． …………………4分（2）在拱门放倒过程中，过点O 作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点P ．当点P 在劣弧CD 上时，拱门上的点到地面的最大距离h 等于圆O 的半径长与圆心O 到地面距离之和；当点P 在线段AD 上时，拱门上的点到地面的最大距离h 等于点D 到地面的距离．由（1）知，在1Rt OOB △中，OB ．以B 为坐标原点，直线l 为x 轴，建立如图所示的坐标系．（2.1）当点P 在劣弧CD 上时，ππ62θ<≤． 由π6OBx θ∠=+，OB =由三角函数定义，得O ππ))66()θθ++，则π2)6h θ=++．……………………8分 所以当ππ62θ+=即π3θ=时，h 取得最大值2+ ………………………………………………10分（2.2）当点P 在线段AD 上时，06θπ≤≤． 设=CBD ϕ∠，在Rt BCD △中，DB =sin cos ϕϕ===．由DBx θϕ∠=+，得))()D θϕθϕ++，．所以)h θϕ=+4sin θθ=+．………………………………14分又当06θπ<<时，4cos 4cos 066h θθππ'=->-．所以4sin h θθ=+在[0]6π，上递增．θO D C B A x y所以当6θπ=时，h 取得最大值5．因为25+>，所以h的最大值为2+答：4sin 06π2)662h θθθθθπ⎧+⎪⎪=⎨ππ⎪++<⎪⎩，≤≤，，≤；艺术拱门在放倒的过程中，拱门上的点到地面距离的最大值为（2+m ． ………………………………………16分19．（本小题满分16分）已知函数()()ln a f x x a x =+∈R ． （1）讨论()f x 的单调性；（2）设()f x 的导函数为()f x '，若()f x 有两个不相同的零点12x x ，．① 求实数a 的取值范围；② 证明：1122()()2ln 2x f x x f x a ''+>+． 【解】（1）()f x 的定义域为()0+∞，，且2()x a f x x-'=． （1.1）当0a ≤时，()0f x '>成立，所以()f x 在()0+∞，为增函数； …2分 （1.2）当0a >时，（i ）当x a >时，()0f x '>，所以()f x 在()+a ∞，上为增函数； （ii ）当0x a <<时，()0f x '<，所以()f x 在()0a ，上为减函数．…4分 （2）①由（1）知，当0a ≤时，()f x 至多一个零点，不合题意；当0a >时，()f x 的最小值为()f a ，依题意知()=f a 1ln 0a +<，解得10e a <<．……………………………6分一方面，由于1a >，()10f a =>，()f x 在()+∞a ，为增函数，且函数()f x 的图 象在()1a ，上不间断． 所以()f x 在()a +∞，上有唯一的一个零点． 另一方面， 因为10e a <<，所以210e <<<a a ．2211()ln 2ln f a a a a a =+=+，令()12ln =+g a a a，当10e a <<时，()2212210-'=-+=<a g a a a a，所以()()211()2ln 20f a g a a g e a e==+>=->又()0f a <，()f x 在()0a ，为减函数，且函数()f x 的图象在()2a a ，上不间断．所以()f x 在()0a ，有唯一的一个零点． 综上，实数a 的取值范围是()10e，．………………………………………10分 ② 设()()1122121211=2+a a a a p x f x x f x x x x x ⎛⎫''=+=-+-- ⎪⎝⎭．又1122ln 0ln 0a x x a x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，， 则()122ln p x x =+．…………………………………12分 下面证明212x x a >．不妨设12x x <，由①知120x a x <<<． 要证212x x a >，即证212a x x >．因为()2120a x a x ∈，，，()f x 在()0a ，上为减函数， 所以只要证()212a f f x x >⎛⎫ ⎪⎝⎭． 又()()12==0f x f x ，即证()222a f f x x >⎛⎫ ⎪⎝⎭．………………………………14分 设函数()()()()22ln 2ln a x a F x f f x x a x a x a x=-=--+>．所以()()220x a F x ax -'=>，所以()F x 在()+a ∞，为增函数. 所以()()20F x F a >=，所以()222a f f x x >⎛⎫ ⎪⎝⎭成立． 从而212x x a >成立.所以()122ln 2ln 2p x x a =+>+，即()()11222ln 2''+>+x f x x f x a 成立. …16分20．（本小题满分16分）已知等差数列{}n a 满足44a =，前8项和836S =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()()212123(21)nn k n k n k b a a n *+-=+=-∈∑N ，．① 证明：{}n b 为等比数列；② 求集合*3()=p m m p a a m p m p b b ⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭N ，，，． 【解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ．因为等差数列{}n a 满足44a =，前8项和836S =，所以1134878362a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，，解得111a d =⎧⎨=⎩，． 所以数列{}n a 的通项公式为n a n =． ………………………………………3分（2）①设数列{}n b 前n 项的和为n B ．由（1）及()()212123(21)nn k n k n k b a a n *+-=+=-∈∑N ，得，()()()()()()21211121213212321212nnk n k k n n k n k k b a n b an n +-=----=⎧-=+⎪⎪⎨⎪-=+-⎪⎩∑∑，③≥， ④ 由③-④得()()()1121223131321321+2n n n n n n b a b a b a b a n -------=++++L()12322511+22n n n b a b a b a n ----+++-L[]123225111(2)(2)+(2)2n n n n b a b a b a b a n ---=+++++++L()12322511+22n n n b a b a b a n ----+++-L()()1212+222n n n n n b b b b B b b -=++++=-++L ． 所以13222n n n B b -⋅=-+()2n n *∈N ≥，， 又()1113212b a -=+，所以11b =，满足上式． 所以()12232n n n B b n -*-+=⋅∈N ⑤…………………………………………6分 当2n ≥时，2112232n n n B b ----+=⋅⑥由⑤-⑥得，2132n n n b b --+=⋅．…………………………………………………8分()12122n n n n b b ----=--=L ()()11120n b -=--=，所以12n n b -=，12n nb b +=， 所以数列{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列．…………………………10分 ②由3=p m m p a a b b ，得11322m p p m --=，即32p mp m -=． 记n n nac b =，由①得，12n n n n a n c b -==，所以1112n n cn c n++=≤，所以1n n c c +≥（当且仅当1n =时等号成立）．由3=p m m pa ab b ，得3m p pc c c =>， 所以m p <．……………………………………………………………………12分设t p m =-()*m p t ∈N ，，，由32p m pm -=，得323t t m =-．当1t =时，3m =-，不合题意；当2t =时，6m =，此时8p =符合题意； 当3t =时，95m =，不合题意；当4t =时，12113m =<，不合题意．下面证明当4t t *∈N ≥，时，3123t t m =<-． 不妨设()233x f x x =--()4x ≥，()2ln 230x f x '=->，所以()f x 在4+[)∞，上单调增函数， 所以()(4)10f x f =>≥，所以当4t t *∈N ≥，时，3123tt m =<-，不合题意．综上，所求集合*3()=p m m p a a m p m p b b ⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭N ，，，(){}=68，．……………16分 21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题，并在．．．．．．．．．答题卡．．．相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵=a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦M ，10=102⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦N ，且()110402-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦MN ，求矩阵M ． 【解】由题意，()110402-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦MN ，则40102⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦MN ． ………………………………4分 因为10=102⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦N ，则110=02-⎡⎤⎢⎥⎣⎦N ．………………………………………………6分 所以矩阵401040=1020102⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦M ．…………………………………………10分B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是2x t y t =⎧⎨=⎩，（t 为参数）．以原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是sin()4ρθπ-=求：（1）直线l 的直角坐标方程；（2）直线l 被曲线C 截得的线段长．【解】（1）直线l的极坐标方程可化为(sin cos cos sin )44ρθθππ-即sin cos 2ρθρθ-=．又cos sin x y ρθρθ==，，所以直线l 的直角坐标方程为20x y -+=． ……………………4分 （2）曲线C : 2x t y t =⎧⎨=⎩，（t 为参数）的普通方程为2x y =． 由220x y x y ⎧=⎨-+=⎩，，得220x x --=，所以直线l 与曲线C 的交点()11A -，，()24B ，． ……………………8分所以直线l 被曲线C 截得的线段长为AB ．……10分C ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知实数a b c ，，满足222a b c ++≤1，求证：22211191114a b c +++++≥． 【证明】由柯西不等式，得()()()222222111111111a b c ++a b c ⎛⎫⎡⎤+++++ ⎪⎣⎦+++⎝⎭29=≥，…………………………5分 所以2222221119991113134++a b c a b c =+++++++≥≥． ……………………10分 【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．(本小题满分10分)“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3553等．显然2位 “回文数”共9个：11，22，33，…，99．现从9个不同2位“回文数”中任取1个乘以4， 其结果记为X ；从9个不同2位“回文数”中任取2个相加，其结果记为Y ． （1）求X 为“回文数”的概率；（2）设随机变量ξ表示X ，Y 两数中“回文数”的个数，求ξ的概率分布和数学期望()E ξ．【解】（1）记“X 是‘回文数’”为事件A ．9个不同2位“回文数”乘以4的值依次为：44，88，132，176，220，264，308， 352，396．其中“回文数”有：44，88．所以，事件A 的概率2()9P A =．………………………………………………3分（2）根据条件知，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2．由（1）得2()9P A =．……………………………………………………………5分设“Y 是‘回文数’”为事件B ，则事件A ，B 相互独立．根据已知条件得，()29205=9P B C =． ()()()()()2528=0=119981P P A P B ξ=--=；()()()()()()()252543=1=11999981P P A P B P A P B ξ+=-+-=；()()()2510=2=9981P P A P B ξ=⋅= ………………………………………………8分 所以，随机变量ξ的概率分布为所以，随机变量ξ的数学期望为2843107()0128181819E ξ=⨯+⨯+⨯=．………10分23．(本小题满分10分)设集合B 是集合{123n A =，，，…，32313}n n n n *--∈N ，，，的子集．记B 中所有元素的 和为S （规定：B 为空集时，S =0）．若S 为3的整数倍，则称B 为n A 的“和谐子集”． 求：（1）集合1A 的“和谐子集”的个数；（2）集合n A 的“和谐子集”的个数．【解】（1）集合{}1=123A ，，的子集有：φ，{}1，{}2，{}3，{}12，，{}13，，{}23，，{}123，，． 其中所有元素和为3的整数倍的集合有：φ，{}3，{}12，，{}123，，． 所以1A 的“和谐子集”的个数等于4．………………………………………3分 （2）记n A 的“和谐子集”的个数等于n a ，即n A 有n a 个所有元素和为3的整数倍的子集；另记n A 有n b 个所有元素和为3的整数倍余1的子集，有n c 个所有元素和为3的整数 倍余2的子集．由（1）知，111=4=2=2a b c ，，．集合()+1{12332313313231}n A n n n n n n =--+++L ，，，，，，，，，的“和谐子集” 有以下四类（考察新增元素()313231n n n +++，，）：第一类 集合{123n A =，，，…，32313}n n n --，，的“和谐子集”，共n a 个； 第二类 仅含一个元素()31n +的“和谐子集”，共n a 个；同时含两个元素3132n n ++，的“和谐子集”，共n a 个； 同时含三个元素()313231n n n +++，，的“和谐子集”，共n a 个；第三类 仅含一个元素31n +的“和谐子集”，共n c 个；同时含两个元素()313+1n n +，的“和谐子集”，共n c 个；第四类 仅含一个元素32n +的“和谐子集”，共n b 个；同时含有两个元素()3231n n ++，的“和谐子集”，共n b 个，所以集合+1n A 的“和谐子集”共有1422n n n n a a b c +=++个．同理得1422n n n n b b c a +=++，1422n n n n c c a b +=++．…………………………7分 所以+112()n n n n a b a b +-=-，112a b -=，所以数列{}n n a b -是以2为首项，公比为2 的等比数列． 所以=2n n n a b -．同理得=2n n n a c -．又3=2n n n n a b c ++，所以()321=2233n n n a n *⨯+⨯∈N ，． ………………10分。

江苏省2010届苏北四市（徐州、宿迁、淮安、连云港）高三第一次联考数学全真模拟试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．设集合A={),(yx︱64=+yx}，B={),(yx︱723=+yx}，则满足C⊆（A∩B）的集合C的个数是▲．2．若()sin3cosf x a x x=+是偶函数，则实数a=▲．3．设1,,2,(,)()lg12axa b R a b b f xx+∈≠-=+且若定义在区间内的函数是奇函数，则a b+的取值范围是▲.4．直线L过点（-1，2）且与直线2340x y-+=垂直，则直线L的方程是▲．5．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为▲．6．已知21tan=α，则=-ααα2sin2cossin▲．7．在△ABC中，cba,,分别为三个内角A，B，C的对边，设向量),(accbm--=，),(acbn+=，若m⊥n，则角A的大小为▲．8．如图（1）所示，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1cm和半径为3cm的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图（2）水平放置时，液面高度为20cm，当这个几何体如图（3）水平放置时，液面高度为28cm，则这个简单几何体的总高度为▲.图（1）图（2）图（3）9．已知圆O：221x y+=与x轴交于点A和B，在线段AB上取一点(,0)D x，作DC AB⊥与圆O的一个交点为C，若线段AD、BD、CD可作为一个锐角三角形的三边长，则x的取值范围为▲．10．已知)2sin,2(),sin,1(2xx==，其中()0,xπ∈，若a b a b⋅=⋅，则t a n x的值等于▲．11．已知()x f是定义在[]2,2-上的函数，且对任意实数)(,2121xxxx≠，恒有()()2121>--xxxfxf，且()xf的最大值为1，则满足()1log2<xf的解集为▲．12．已知等差数列{}{},n na b的前n 项和为S n , T n ,若对于任意的自然数n ，都有23,43nnS nT n-=-则935748a ab b b b+++= ▲．13．已知函数()bxaxxf+-=),(Rba∈，给出下列命题：（1）当0=a时，()xf的图像关于点()b,0成中心对称；（2）当ax>时，()xf是递增函数；（3）当ax≤≤0时，()xf的最大值为ba+42.其中正确的序号是▲．14．对于任意的)2,4(ππ∈x，不等式xxxp464sin2cossin≤+恒成立，则实数p的取值范围为▲．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤,并请将答案写在答题纸相应的位置上.）15、(本小题满分14分)已知集合{}]3,2[,2∈-==xyyA x，{}03322>--+=aaxxxB（1）当4a=时，求A B；（2）若A B⊆，求实数a的取值范围.16．(本小题满分14分)如图已知在三棱柱ABC——A1B1C1中，AA1⊥面ABC，AC=BC，M、N、P、Q分别是AA1、BB1、AB、B1C1的中点．（1）求证：面PCC1⊥面MNQ；（2）求证：PC1∥面MNQ；（3）若1,AA AB===求三棱锥P MNQ-的体积.A1ABCPMNQB1C117．(本小题满分14分)已知椭圆2214x y +=的左、右两个顶点分别为A ，B ，直线(22)x t t =-<<与椭圆相交于M ，N 两点，经过三点A ，M ，N 的圆与经过三点B ，M ，N 的圆分别记为圆C 1与圆C 2． (1)求证：无论t 如何变化，圆C 1与圆C 2的圆心距是定值；(2)当t 变化时，求圆C 1与圆C 2的面积的和S 的最小值．18、(本小题满分16分)某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产，已知该厂连续生产n 个月的累计产量为1()(1)(21)2f n n n n =+-吨，但如果产量超过96吨，将会给环境造成危害. （1）请你代表环保部门给厂拟定最长的生产周期；（2）若该厂在环保部门的规定下生产，但需要每月交纳a 万元的环保税，已知每吨产品售价0.6万元，第n 个月的工人工资为282()155g n n n =--万元，若每月都赢利，求出a 的范围.19、(本小题满分16分)已知二次函数x x x f +=2)(，若不等式||2)()(x x f x f ≤+-的解集为C 。

江苏省宿迁中学2010届考前热身训练高 三 数 学一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．将正确答案填写在答题纸相应的横线上．） 1．函数y =的定义域是 ▲ ． 2．已知a 是实数，1a ii-+是纯虚数，则=a ▲ ． 3．若数列{}n a 满足：111,2()n n a a a n N *+==∈， 则前6项的和6S = ▲ ．4． 函数])2,0[(2cos 2sin π∈+=x x x y 的值域为 ▲ ．5．阅读右边的程序框图，该程序输出的结果是 ▲ ． 6．若向圆224x y +=所围成的区域内随机地丢一粒豆子， 则豆子落在直线20x y -+=上方的概率是 ▲ ．7．已知二次函数()y f x =的图像为开口向下的抛物线，且对任意x ∈R 都有(1)(1)f x f x -=+．若向量1)a =-，2)b =- ，则满足不等式()(1)f a b f ⋅>-的m 的取值范围为 ▲ ．8．若不等式222()x a x y ++≤对于一切正数x 、y 恒成立， 则实数a 的最小值为 ▲ ．9．已知,AC BD 为圆22:4O x y +=的两条互相垂直的弦，,AC BD交于点(M ，且AC BD =，则四边形ABCD 的面积等于 ▲ ．10．已知1a ≤时，集合[],2a a -有且只有3个整数，则a 的取值范围是 ▲ ．11．在约束条件024x y y x s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩下，当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是 ▲ ．（第５题）12．在ABC ∆中，4,8,60,AB AC BAC ==∠=︒延长CB 到D ，使B A B D =，当点E 在线段AD 上移动时，若AE AB AC λμ=+，则λμ-的最大值是 ▲ ．13．设直线系:cos (2)sin 1(02)M x y θθθπ+-=≤≤，对于下列四个命题： （1）M 中所有直线均经过一个定点；（2）存在定点P 不在M 中的任一条直线上； （3）对于任意正整数()3n n ≥，存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上； （4）M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等． 其中真命题的序号是 ▲ ．14．我们知道，如果定义在某区间上的函数()f x 满足对该区间上的任意两个数1x 、2x ，总有不等式1212()()()22f x f x x xf ++≤成立，则称函数()f x 为该区间上的向上凸函数（简称上凸）．类比上述定义，对于数列{}n a ，如果对任意正整数n ，总有不等式：212n n n a a a +++≤成立，则称数列{}n a 为向上凸数列（简称上凸数列）．现有数列{}n a 满足如下两个条件：（1）数列{}n a 为上凸数列，且1101,28a a ==；（2）对正整数n （*,101N n n ∈<≤），都有20n n a b -≤，其中2610n b n n =-+. 则数列{}n a 中的第五项5a 的取值范围为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．（本题满分14分）已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈(0，π2)． （1）求sin θ和cos θ的值；（2）若sin(θ－ϕ)＝1010，0＜ϕ＜π2，求ϕ的值．如图，底面为菱形的直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为A 1B 1、B 1C 1的 中点，G 为DF 的中点． （1）求证：EF ⊥平面B 1BDD 1；（2）过A 1、E 、G 三点平面交DD 1于H ， 求证：EG ∥A 1H ．17．（本题满分14分）如图，在南北方向有一公路，一半径为100m 的圆形广场（圆心为O ）与此公路一边所在直线l 切于点A ，点P 为北半圆弧（弧APB ）上一点，过P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，计划在△PAQ 内（图中阴影部分）进行绿化．设△PAQ 的面积为S （单位：m 2）． ⑴设∠BOP ＝α(rad)，将S 表示为α的函数；⑵确定点P 的位置，使绿化面积最大，并求出最大面积．18．（本题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知以O 为圆心的圆与直线():34,l y mx m m R =+-∈恒有公共点，且要求使圆O 的面积最小． （1）写出圆O 的方程；（2）圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆内的动点P 使,,PA PO PB成等比数列，求PA PB ∙的范围；（3）已知定点(4,3)Q -,直线l 与圆O 交于M 、N 两点，试判断tan QM QN MQN ∙∠是否有最大值，若存在求出最大值，并求出此时直线l 的方程；若不存在，请说明理由．CAB A 1 B 1C 1D 1EGFD H B 公路北 南设函数()f x ax =,其中0a >．(1)解不等式()1f x ≤；(2)求a 的取值范围,使函数()f x 在区间[)0,+∞上是单调函数．20．（本题满分16分）从数列{}n a 中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称之为数列{}n a 的一个子数列．设数列{}n a 是一个首项为1a 、公差为d (0)d ≠的无穷等差数列．（1）若1a ，2a ，5a 成等比数列，求其公比q ；（2）若17a d =，从数列{}n a 中取出第2项、第6项作为一个等比数列的第1项、第2项，试问该数列是否为{}n a 的无穷等比子数列，请说明理由；（3）若11a =，从数列{}n a 中取出第1项、第m (2)m ≥项（设m a t =）作为一个等比数列的第1项、第2项，试问当且仅当t 为何值时，该数列为{}n a 的无穷等比子数列，请说明理由．(命题： 王贵杰 李愚 审校：李志中)。

绝密★启用前宿迁市2010年高三年级高考模拟试卷（三）数 学 Ⅰ 试 卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．. 1．已知集合[1,5)A =，(,)B a =-∞，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 2．已知样本3，4，5，x ，y 的平均数是3，标准差是2，则xy 的值为 ▲ ． 3．已知流程图如图所示，为使输出的b 值为16，则判断框内①处应填 ▲ ． 4．函数log ()a y x b =+的图象如图所示，则a b +的值为 ▲ ．5．若复数z 满足34i 1(i z -+=是虚数单位)，则z 最大值为 ▲ ．6．已知向量(3,1)=-a ，(1,2)=-b ，若()k ⊥+a a b ，则实数k = ▲ ．7．函数2cos y x x =+在区间[]0,π上的最大值为 ▲ ．注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，包含填空题（第1题—第14题）、解答题（第15题—第20题）。

本试卷满分160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。

4.请在答题卡上按照各题号的顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。

作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔。

请注意字体工整，笔迹清楚。

5.如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。

第3题图xy o2 -2 第4题图8．设βα,为两个不重合的平面，n m ,是两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若α⊂m ，α⊂n ，m β ，n β ，则αβ ； ②若,,βα⊂⊂m n βα与相交且不垂直，则m n 与不垂直； ③若n m m ⊥=⊥,,βαβα ，则n ⊥β；④若βαα//,,//⊥n n m ，则β⊥m ．其中所有真命题的序号是 ▲ ． 9．直径为2的半圆上一点到直径两端点距离之和的最大值为 ▲ ．10．投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，第一次出现向上的点数为a ，第二次出现向上的点数为b ，直线1l 的方程为ax －by －3＝0，直线2l 的方程为x －2y －2＝0，则直线1l 与直线2l 有交点的概率为 ▲ ．11．用大小一样的钢珠可以排成正三角形、正方形与正五边形数组，其排列的规律如下图所示：已知m 个钢珠恰好可以排成每边n 个钢珠的正三角形数组与正方形数组各一个；且知若用这m 个钢珠去排成每边n 个钢珠的正五边形数组时，就会多出9个钢珠，则 m ＝ ▲ ． 12．若函数21()ln 2f x x ax x =-+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是 ▲ ．13．已知⊙A ：221x y +=，⊙B: 22(3)(4)4x y -+-=，P 是平面内一动点，过P 作⊙A 、⊙B 的切线，切点分别为D 、E ，若P E P D =，则P 到坐标原点距离的最小值为 ▲ ． 14．设{}n a 是一个公差为d （d >０）的等差数列．若12233411134a a a a a a ++=，且其前6项的和621S =，则n a = ▲ ．二、解答题: 本大题共6小题， 15-17每题14分，18-20每题16分，共计90分．请在答题．．卡指定的区域内作答．．．．．．．．．， 解答时应写出文字说明， 证明过程或演算步骤． 15．在A B C ∆中，已知()()3a b c a c b ac +++-=.（1）求角B 的度数；（2）求22cos cos()A A C +-的取值范围.16.如图，在棱长为2的正方体1111ABC D A B C D -中，E 为B C 的中点，F 为1DC 的中点. （1）求证：1BD 平面1C D E ； （2）求三棱锥A BD F -的体积.17.如图， 已知椭圆22221(0)x y a b ab+=>>的长轴为AB ，过点B 的直线l 与x 轴垂直．直线(2)(12)(12)0()k x k y k k R --+++=∈所经过的定点恰好是椭圆的一个顶点,且椭圆的离心率32e =.（1）求椭圆的标准方程；（2）设P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，PH x ⊥轴，H 为垂足，延长HP 到点Q 使得H P P Q =，连结AQ 延长交直线l 于点M ，N 为M B 的中点．试判断直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系．18.某地区共有100户农民从事蔬菜种植，据调查，每户年均收入为3万元．为了调整产业 结构，当地政府决定动员部分种植户从事蔬菜加工．据估计，如果能动员x (x ＞0)户农民从 事蔬菜加工，那么剩下从事蔬菜种植的农民每户年均收入有望提高2x %，从事蔬菜加工的农 民每户年均收入为33()50x a -（0a >）万元。

宿迁市2013—2014学年度高三年级第一次模拟考试数学试题参考答案与评分标准数学Ⅰ部分一、填空题：1．2 2．1 3．20 4．1356．25 7．(,0)-∞8．16 9．7 10.[1,)-+∞ 11．13[,]44-12．129 13．7 14．18二、解答题：15．（1）由⊥a b 可知，2cos sin 0θθ⋅=-=a b ，所以sin 2cos θθ=，……………………………2分所以sin cos 2cos cos 1sin cos 2cos cos 3θθθθθθθθ--==++． ……………………………………………………6分（2）由(cos 2,sin 1)θθ-=-+a b 可得，-=ab 2==，即12cos sin 0θθ-+=， ① ……………………………………………………………10分 又22cos sin 1θθ+=，且(0,)2θπ∈ ②，由①②可解得，3sin 54cos 5θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，…………………12分所以34sin()cos )()455θθθπ+=+=+=． ……………………………14分 16．（1）在PAC ∆中，E 、F 分别是PC 、AC 的中点，所以//PA EF ，又PA ⊄平面BEF ，EF ⊂平面BEF ，所以//PA 平面BEF ．…………………………………………………………………………6分 （2）在平面PAB 内过点P 作PD AB ⊥，垂足为D ．因为平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB 平面ABC AB =，PD ⊂平面PAB ，所以PD ⊥平面ABC ， …………………………………………………8分又BC ⊂平面ABC ，所以PD BC ⊥，………………………………………………………10分 又PB BC ⊥，PD PB P = ，PD ⊂平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ， ………………………………………………12分又PA ⊂平面PAB ，所以BC PA ⊥．………………………………………………………14分17．(1)设扇环的圆心角为θ，则()30102(10)x x θ=++-，所以10210xxθ+=+， …………………………………………4分 (2) 花坛的面积为2221(10)(5)(10)550,(010)2x x x x x x θ-=+-=-++<<．.......……………7分装饰总费用为()9108(10)17010x x x θ++-=+， ………………………………………9分 所以花坛的面积与装饰总费用的比22550550==1701010(17)x x x x y x x -++---++， …………………11分 令17t x =+，则3913243()101010y t t =-+≤，当且仅当t =18时取等号， 此时121,11x θ==． 答：当x ＝1时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．…………………………………………14分(注：对y 也可以通过求导，研究单调性求最值，同样给分) 18．(1)线段AB 的垂直平分线方程为0x =，线段BC 的垂直平分线方程为30x y +-=，所以外接圆圆心(0,3)HH 的方程为22(3)10x y +-=． …………………………………………………………4分 设圆心H 到直线l 的距离为d ，因为直线l 被H 截得的弦长为2，所以3d ==．当直线l 垂直于x 轴时，显然符合题意，即3x =为所求；…………………………………6分 当直线l 不垂直于x 轴时，设直线方程为2(3)y k x -=-，则3=，解得43k =， 综上，直线l 的方程为3x =或4360x y --=． ……………………………………………8分 (2)直线BH 的方程为330x y +-=，设(,)(01),(,)P m n m N x y ≤≤，因为点M 是线段PN 的中点，所以(,)22m x n yM ++， 又,M N 都在半径为r 的C 上，所以222222(3)(2),(3)(2).22x y r m x n y r ⎧-+-=⎪⎨++-+-=⎪⎩即222222(3)(2),(6)(4)4.x y r x m y n r ⎧-+-=⎪⎨+-++-=⎪⎩…………………10分 因为该关于,x y 的方程组有解，即以(3,2)为圆心，r 为半径的圆与以(6,4)m n --为圆心，2r 为半径的圆有公共点，所以2222(2)(36)(24)(2)r r m n r r -≤-++-+≤+， ………………………………………12分 又330m n +=－，所以2221012109r m m r +－≤≤对[01]m ∀∈，]成立．而()2101210f m m m =+－在[0，1]上的值域为[325，10]， 所以2325r ≤且2r 10≤9． ………………………………………………………………15分 又线段BH 与圆C 无公共点，所以222(3)(332)m m r -+-->对[01]m ∀∈，成立，即2325r <. 故C 的半径r的取值范围为． ……………………………………………16分 (注：本题方法较多，可参考上述评分标准给分．如果没有必要的说理过程，但答案正确的，可酌情扣3～4分)19．(1)当2a =-时， 2()352(31)(2)f x x x x x '=+-=-+. ………………………………………2分令f '(x )<0，解得123x -<<，f (x )的单调减区间为1(2,)3-． ……………………………………………………………4分(2) 2()35f x x x a '=++，由题意知20032000035052x x a x x ax b x ⎧++=⎪⎨+++=⎪⎩消去a ，得320005202x x x b ++-=有唯一解． …………6分令325()22g x x x x =++，则2()651(21)(31)g x x x x x '=++=++，解()0g x '>得12x <-或13x >-；解()0g x '<得1123x -<<-，所以()g x 在区间1(,)2-∞-，1(,)3-+∞上是增函数，在11(,)23--上是减函数，……………8分又11()28g -=-，17()354g -=-，故实数b 的取值范围是71(,)(,)548-∞--+∞ ． ……………………………………………10分(3)设00(,())A x f x ，则点A 处切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-，与曲线C ：()y f x =联立方程组，得000()()()()f x f x f x x x '-=-，即2005()[(2)]2x x x x -++，所以B 点的横坐标05(2)2B x x =-+． …………………………………………………………12分由题意知，21000()35k f x x x a '==++，22000525(2)122024k f x x x a '=--=+++，若存在常数λ，使得21k k λ=，则220000251220(35)4x x a x x a λ+++=++， 即存在常数λ，使得20025(4)(35)(1)4x x a λλ-+=--，所以40,25(1)0.4a λλ-=⎧⎪⎨--=⎪⎩解得4λ=，2512a =． ……………………………………………15分故2512a =时，存在常数4λ=，使214k k =；2512a ≠时，不存在常数λ，使21k k λ=．……16分 20．(1)（ⅰ）因为21132(2,*)n n n S S S n n n +-++=+∈N ≥，所以32114S S S ++=，即3212314a a a ++=，又12,3a x a x ==，所以3149a x =-， ………………………………2分 又因为数列{}n a 成等差数列，所以2132a a a =+，即()6149x x x =+-，解得1x =，所以()()()1111221*n a a n d n n n =+-=+-⨯=-∈N ； ………………………………4分 （ⅱ）因为()21*n a n n =-∈N ，所以21220n a n n b -==>，其前n 项和0n B >，又因为()22211641n n n n n c t b tb b t t b ++=--=--， ………………………………………5分 所以其前n 项和()21641n n C t t B =--，所以()22821n n n C B t t B -=--， …………7分 当14t <-或12t >时，n n C B >； 当14t =-或12t =时，n n C B =；当1142t -<<时，n n C B <．…………………………………………………………………9分（2）由21132(2,*)n n n S S S n n n +-++=+∈N ≥知()221312(*)n n n S S S n n ++++=++∈N ，两式作差，得2163(2,*)n n n a a a n n n ++++=+∈N ≥， ……………………………10分 所以()321613(*)n n n a a a n n +++++=++∈N再作差得36(2,*)n n a a n n +-=∈N ≥，………………………………………………………11分 所以，当1n =时，1n a a x ==；当31n k =-时，()31216366234n k a a a k x k n x -==+-⨯=+-=+-； 当3n k =时，()331614966298n k a a a k x k n x ==+-⨯=-+-=-+；当31n k =+时，()314161666267n k a a a k x k n x +==+-⨯=++-=+-；………………14分 因为对任意*n ∈N ，1n n a a +<恒成立，所以12a a <且3133132k k k k a a a a -++<<<，所以363669869866566563x xk x k x k x k x k x k x<⎧⎪+-<-+⎪⎨-+<+-⎪⎪+-<+⎩，解得，137156x <<，故实数x 的取值范围为137,156⎛⎫ ⎪⎝⎭．…16分数学Ⅱ部分21．【选做题】A ．(选修4—1：几何证明选讲)由圆D 与边AC 相切于点E ，得90AED ∠= ，因为DF AF ⊥，得90AFD ∠= ，所以A ，D ，F ，E 四点共圆．所以DEF DAF ∠=∠． ……………………………………………………………………5分 又111()(180)90222ADF ABD BAD ABC BAC C C ∠=∠+∠=∠+∠=-∠=-∠ ，所以1902DEF DAF ADF C ∠=∠=-∠=∠ ，由50C ∠= ，得25DEF ∠= ．……………………………………………………………10分 B ．（选修4-2：矩阵与变换）设曲线C ：221x y +=上任意一点(,)P x y ， 在矩阵M 所对应的变换作用下得到点111(,)P x y ，则1100x a x b y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即11ax x by y =⎧⎨=⎩． ………………………………………………………5分 又点111(,)P x y 在曲线2214x C y '+=：上，所以221114x y +=， 则2214ax by +=为曲线C 的方程．又曲线C 的方程为221x y +=，故24a =，21b =，因为00a b ＞，＞，所以3a b +=． …………………………………………………………10分 C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）θθρsin 2cos 2-= ，θρθρρsin 2cos 22-=∴， 02222=+-+∴y x y x C 的直角坐标方程为圆，即1)22()22(22=++-y x ，)22,22(-∴圆心直角坐标为． ……………………………4分 直线l 上的点向圆C 引切线长是6224)4(4081)242222()2222(2222≥++=++=-+++-t t t t t ， 所以直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是62． ……………………………………10分 D ．（选修4-5：不等式选讲）证法一：因为a b c ，，均为正数，由均值不等式得22223()a b c abc ++≥3， …………………2分13111()abc a b c-++≥3， 所以223111(()abc a b c-++)≥9 ．………………………………………………………………5分故22222233111(()()a b c abc abc a b c-++++++)≥39．又32233()9()abc abc -+=≥所以原不等式成立． ………………………………………………10分 证法二：因为a b c ，，均为正数，由基本不等式得222a b ab +≥，222b c bc +≥，222c a ca +≥．所以222a b c ab bc ca ++++≥． ……………………………………………………………2分同理222111111a b c ab bc ca++++≥， ………………………………………………………5分故2222111333(a b c ab bc ca a b c ab bc ca++++++++++)≥≥所以原不等式成立． ……………………………………………………………………………10分 22. (1)设该单位购买的3辆汽车均为B 种排量汽车为事件M ，则343121().55C P M C ==所以该单位购买的3辆汽车均为B 种排量汽车的概率为155． …………………………4分 (2)随机变量X 的所有可能取值为1，2，3.所以X 的分布列为3335433123(1),44C C C P X C ++=== 1115433123(3)11C C C P X C ===， 29(2)1(1)(3)44P X P X P X ==-=-==． 所以X 的概率分布为……………………………8分数学期望329397()12344441144E X =⨯+⨯+⨯=．………………………………………………10分23．(1)设(,)P x y ，则(1,)AP x y =+ ，(1,)FP x y =- ，(2,0)AF =，由2||AP AF FP ⋅=，得2(1)x +=化简得24y x =.故动点P 的轨迹C 的方程为24y x =. …………………………………………………………5分 (2)直线l 方程为2(1)y x =+，设00(,)Q x y ，11(,)M x y ，22(,)N x y ．过点M 的切线方程设为11()x x m y y -=-，代入24y x =， 得2211440y my my y -+-=，由2211161640m my y ∆=-+=，得12y m =， 所以过点M 的切线方程为112()y y x x =+， …………………………………………………7分同理过点N 的切线方程为222()y y x x =+．所以直线MN 的方程为002()y y x x =+， ……………………………………………………9分又MN //l ，所以022y =，得01y =，而002(1)y x =+，故点Q 的坐标为1(,1)2-． ……………………………………………………………………10分。

1第9题图高三年级摸底调研测试数 学数学Ⅰ 必做题部分注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）．本卷满分为160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的相应位置．3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效．4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 参考公式：样本数据12,,,n x x x L 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑.一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡上．．．．． 1．若集合{}1,0,1A =-，{}21,B x x m m ==+∈R ，则B A I ＝ ▲ . 2．若复数z满足i 1z =-+，其中i 是虚数单位，则z ＝ ▲ .3．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20 种，现采用分层抽样的方法，从中随机抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测，则抽取的动物类食品种数是 ▲ ．4．已知某同学五次数学成绩分别是：121，127，123，a ，125，若 其平均成绩是124，则这组数据的方差是 ▲ .5．如图，是一个算法的伪代码，则输出的结果是 ▲ ．6．已知点P 在圆122=+y x 上运动，则P 到直线01543=++y x 的距离的最小值为 ▲ .7. 过点()0,1-与函数()e x f x =（e 是自然对数的底数）图象相切的直线方程是 ▲ . 8．连续抛掷一个骰子（一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具）两次，则 出现向上的点数和大于9的概率是 ▲ .9．如图，一个封闭的三棱柱容器中盛有水，且侧棱长81=AA 若侧面B B AA 11水平放置时，液面恰好过1111,,,C B C A BC AC的中点．当底面ABC 水平放置时，液面高度为 ▲ ． 10．已知π5π,(,)36∈αβ，若π45π5sin(),cos()65613+=-=αβ，则sin()-αβ的值为 ▲ .11．若数列{}n a是各项均为正数的等比数列，则当n b =时，数列{}n b 也是等比数列；类比上述性质，若数列{}n c 是等差数列，则当n d =___ ▲__时，数列{}n d 也是等差数列.12．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，C A ,分别是双曲线虚轴的上、下端点,F B ,分别是双曲线的左顶点和左焦点.若双曲线的离心率为2，则与夹角的余弦值 为 ▲ .13．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若414a ≤≤，523a ≤≤，则6S 的取值范围是 ▲ .14.已知函数()11--=x x f ，若关于x 的方程()()f x m m =∈R 恰有四个互不相等的实数根4321,,,x x x x ，则4321x x x x 的取值范围是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，若向量(2,cos )m b c C u r=-， (,cos )n a A r=，且∥. (1)求角A 的大小；(2)求函数πsin()6y B C +-的值域.16.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，1,AC BC BC BB ⊥=,D 为AB 的中点. (1) 求证：⊥1BC 平面C AB 1； (2) 求证：1BC ∥平面CD A 1.CA 11第16题图小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元.小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售收入为x -25万元（国家规定大货车的报废年限为10年）． (1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？ (2)在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均．．．利润最大? （利润=累计收入+销售收入-总支出）18.（本小题满分16分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率36=e ，一条准线方程为263=x .(1)求椭圆C 的方程；(2)设H G ,为椭圆上的两个动点，O 为坐标原点，且OH OG ⊥. ①当直线OG 的倾斜角为︒60时，求GOH ∆的面积；②是否存在以原点O 为圆心的定圆，使得该定圆始终与直线GH 相切？若存在，请求出该定圆方程；若不存在，请说明理由.19.（本小题满分16分）已知各项均为正数的数列}{n a 的前n 项和为n S ，数列2{}n a 的前n 项和为n T ，且2(2)34n n S T -+=，*n ∈N .(1) 证明数列}{n a 是等比数列，并写出通项公式； (2) 若02<-n n T S λ对*n ∈N 恒成立，求λ的最小值； （3）若12,2,2x y n n n a a a ++成等差数列，求正整数y x ,的值.已知函数()ln f x x x =-，()ln xh x x=. (1)求()h x 的最大值；(2)若关于x 的不等式2()212x f x x ax -+-≥对一切(0,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围；(3)若关于x 的方程32()2e 0f x x x bx -+-=恰有一解，其中e 是自然对数的底数，求实数b 的值.数学Ⅱ 附加题部分注意事项：本试卷共2页，均为非选择题（第21题～第23题）．本卷满分为40分，考试时间为30分钟，考试结束后，请将答题卡交回．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效． 21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4－1：几何证明选讲（本小题满分10分） 如图，已知AB ，CD 是圆O 的两条弦，且AB 是线段CD 的垂直平分线，若6,AB CD ==，求线段AC 的长度．B ．选修4－2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵M ＝⎢⎣⎡12 ⎥⎦⎤a 1的一个特征值是3，求直线032=--y x 在M 作用下的新直线方程．C ．选修4－4：坐标系与参数方程（本小题满分10分） 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1sin cos ααy x （α是参数），若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程．(第21—A 题图)D ．选修4－5：不等式选讲（本小题满分10分）已知关于x 的不等式11ax ax a -+-≥的解集为R ，求正实数a 的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22． (本小题满分10分)如图，在正四棱锥P ABCD -中，已知2==AB PA ，点M 为PA 中点，求直线BM与平面PAD 所成角的正弦值．23． (本小题满分10分)某商场在节日期间搞有奖促销活动，凡购买一定数额的商品，就可以摇奖一次．摇奖办法是在摇奖机中装有大小、质地完全一样且分别标有数字1～9的九个小球，一次摇奖将摇出三个小球，规定：摇出三个小球号码是“三连号”（如1、2、3）的获一等奖，奖1000元购物券；若三个小球号码“均是奇数或均是偶数”的获二等奖，奖500元购物券；若三个小球号码中有一个是“8”的获三等奖，奖200元购物券；其他情形则获参与奖，奖50元购物券．所有获奖等第均以最高奖项兑现．．．．．．．．．．．．．．，且不重复兑奖．．．．．．．记X 表示一次摇奖获得的购物券金额． (1)求摇奖一次获得一等奖的概率； (2)求X 的概率分布列和数学期望．APCB第22题图DM O(2) 因为 )632sin(sin 3ππ--+=B B y )6sin(2cos sin 3π+=+=B B B …12分 而6566πππ<+<B ，所以函数)6sin(2π+=B y 的值域为(]2,1……………………14分 16．（1）因为在直三棱柱111C B A ABC -中，所以⊥1CC 平面ABC , 因为AC ⊂平面ABC ，所以AC CC ⊥1，又BC AC ⊥，C BC CC =I 1,所以⊥AC 平面CB C B 11, 因为111BC B C CB ⊂平面，所以AC BC ⊥1 ……………4分 又因为1BC BB =，所以C C BB 11是正方形，所以C B BC 11⊥，又C AC C B =I 1，所以⊥1BC 平面C AB 1， ……………………………………8分 (2)在正方形CA C A 11中，设G C A AC =11I ，则G 为1AC 中点,D 为AB 的中点，结DG ,在1ABC ∆中，1BC ∥DG ， ………………………………………………12分 因为DG ⊂平面CD A 1，1BC ⊄平面CD A 1，所以1BC ∥平面CD A 1， ………14分 17．（1）设大货车到第x 年年底的运输累计收入与总支出的差为y 万元，则25[6(1)]50,(0<10)y x x x x x x =-+--∈≤，N ，B ACDA 1B 1C 1G18．（1）因为36=a c ，2632=c a ，222c b a +=，……………………………2分解得3,3==b a ，所以椭圆方程为13922=+y x ． ………………………………………………………4分 （2）①由⎪⎩⎪⎨⎧=+=139322y x x y ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==102710922y x ，…………………………………………6分 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=1393322y x x y 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==232922y x ， ……………………………………………………8分所以6,5103==OH OG ，所以5153=∆GOH S ．……………………………10分 ②假设存在满足条件的定圆，设圆的半径为R ，则GH R OH OG ⋅=⋅ 因为222GH OH OG =+，故222111ROH OG =+， 当OG 与OH 的斜率均存在时，不妨设直线OG 方程为：kx y =，19．（1）因为2(2)34n n S T -+=，其中n S 是数列}{n a 的前n 项和，n T 是数列}{2n a 的前n 项和，且0>n a ，当1=n 时，由2211(2)34a a -+=，解得11a =，……………………………………………2分 当2n =时，由2222(12)3(1)4a a +-++=，解得212a =； ………………………………4分 由43)2(2=+-n n T S ，知43)2(121=+-++n n T S ，两式相减得03)4)((2111=+-+-+++n n n n n a S S S S ，即03)4(11=+-+++n n n a S S ，………………5分亦即221=-+n n S S ，从而122,(2)n n S S n --=≥，再次相减得11,(2)2n n a a n +=≥，又1221a a =，所以11,(1)2n n a n a +=≥所以数列}{n a 是首项为1，公比为12的等比数列， ………………………………………7分 其通项公式为121-=n n a *n ∈N ．……………………………………………………………8分（2）由（1）可得⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n nn S 2112211211，11414113414nnn T ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，……10分20．（1）因为()()ln ,0x h x x x =>，所以()21ln xh x x -'=，…………………………………2分 由()0h x '>，且0>x ，得0x e <<，由()0h x '<，且0>x ，x e >，…………………4分 所以函数()h x 的单调增区间是(0,]e ，单调减区间是[,)e +∞，所以当x e =时，()h x 取得最大值1e；………………………………………………………6分 （2）因为2()212xf x x ax -+-≥对一切),0(+∞∈x 恒成立， 即22ln 212x x x x ax --+-≥对一切),0(+∞∈x 恒成立， 亦即12ln a x x x++≤对一切),0(+∞∈x 恒成立，…………………………………………8分 设xx x x 12ln )(++=ϕ，因为222)4)(3(12)(x x x x x x x +-=-+='ϕ， 故)(x ϕ在]3,0(上递减，在),3[+∞上递增， 3ln 7)3()(min +==ϕϕx ，所以7ln3a +≤． …………………………………………………………………………10分（3）因为方程02)(23=-+-bx ex x x f 恰有一解，即02ln 23=-+--bx ex x x x 恰有一解，即12ln 2++-=b ex x xx恰有一解， 由（1）知，)(x h 在e x =时，ex h 1)(max =，…………………………………………12分B ．（选修4—2：矩阵与变换）因为矩阵M ＝⎢⎣⎡12 ⎥⎦⎤a 1的一个特征值是3，设af ----=λλλ112)(01))(2(=---=a λλ，则01)3)(23(=---a ，解得2=a ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2112M ，…………………………5分 设直线032=--y x 上任一点()y x ,在M 作用下对应点为()y x '',，则有⎥⎦⎤⎢⎣⎡''=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x y x 2112，整理得⎩⎨⎧'=+'=+y y x x y x 22， 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'-'='-'=x y y y x x 31323132，代人032=--y x ，整理得0954=-'-'y x , 故所求直线方程为：0954=--y x ．………………………………………………10分C ．（选修4-4：坐标系与参数方程） 由sin 1cos y x θθ=+⎧⎨=⎩消去θ，得22(1)1x y +-=， 曲线C 是以(0,1)为圆心，半径等于1的圆． ………………………………………5分所以在极坐标系下，曲线C 是以π(1)2，为圆心，半径等于1的圆． 所以曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=． ………………………………………10分D ．（选修4－5：不等式选讲）因为11,ax ax a a -+--≥ ………………………………………………………………5分 故原不等式解集为R 等价于1 1.a -≥ 所以2,0.a a ≥或≤又因为0a >，所以2a ≥,所以正实数a 的取值范围为),2[+∞． …………………………………………………10分23．（1）记“摇奖一次获得一等奖”为事件A ，连号的可能情况有：123，234，345，456，567，678，789共7种情况．。

宿迁市2013—2014学年度高三年级摸底考试数 学 试 题数学Ⅰ 必做题部分（本部分满分160分，时间120分钟）注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）．本卷满分为160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的相应位置．3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效．4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 参考公式：样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑．一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡上．．．．． 1．已知全集{1,2,3,4}U =，集合{2,3}A =，{3,4}B =，则()U A B ð＝ ▲ . 2．写出命题“2010x x ∃-＞≤，”的否定： ▲ .3．设复数z 满足(1i)22i z -=+，其中i 是虚数单位，则z 的值为 ▲ .4．一位篮球运动员在最近的8场比赛中得分的茎叶图如图，则他在这8场比赛中得分的方差是 ▲ .5．某算法的伪代码如图所示，该算法输出的结果是 ▲ .6．用半径为2cm 的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高为 ▲ cm .7．已知非零向量，a b 满足(2)(2)-⊥-⊥，，a b a b a b 则向量a 与b 的夹角为 ▲ . 8．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=＞＞，的左、右焦点分别为12F F ，，以12F F 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P ．若1230PF F ∠=，则该双曲线的离心率为 ▲ .9．将一枚骰子（一种六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，向上的点数分别记为,m n ，则点(,)P m n 落在区域22x y -+-≤2内的概率是 ▲ .10．已知过点(25)，的直线l 被圆22240C x y x y +--=：截得的弦长为4，则直线l的方程为 ▲ .11．已知αβ，为锐角，且2tan tan 15tt αβ==，，当10tan 3tan αβ+取得最小值时，αβ+ 的值为 ▲ .12．已知等比数列{}n a 中，11a =，94a =，函数()()()()1292f x x x a x a x a =---+ ，则曲线()x f y =在点(0,(0))f 的切线的斜率为 ▲ . 13．已知函数1()log (01)axf x a b x-=+＜＜为奇函数，当(1]x a ∈-，时，函数()f x 的值域是(1]-∞，，则实数a b +的值为 ▲ .14．已知数列{}n a 的前n 项和(1)n n S n =-⋅，若对任意正整数n ，1()()0n n a p a p +--＜恒成立，则实数p 的取值范围是 ▲ . 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，平面ABC ⊥平面PAC ，AB BC =，,E F 分别是PA ，AC 的中点．求证：（1）EF ∥平面PBC ；（2）平面BEF ⊥平面PAC ．16.（本小题满分14分）已知函数()sin()(00[0))f x A x A ωϕωϕ=+∈π＞＞，，，的图象如图所示． （1）求()f x 的解析式；（2）求函数()()(2)g x f x x =+在[13]x ∈-，上的最大值和最小值.E AB C PF (第15题图)17.（本小题满分14分）已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和1(1)(2)2n n n S a a =-+，*n ∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1(1)n n n n b a a +=-，求数列{}n b 的前2n 项的和2n T ．18.（本小题满分16分）如图，海上有A B ，两个小岛相距10km ，船O 将保持观望A 岛和B 岛所成的视角为60︒，现从船O 上派下一只小艇沿BO 方向驶至C 处进行作业，且OC BO =．设AC x =km ． （1）用x 分别表示22OA OB +和OA OB ⋅，并求出x 的取值范围；（2）晚上小艇在C 处发出一道强烈的光线照射A 岛，B 岛至光线CA 的距离为BD ，求BD 的最大值．19.（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=＞＞：与直线()l x m m =∈R :．四点(31)(31)-，，，，(0)-中有三个点在椭圆C 上，剩余一个点在直线l 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）若动点P 在直线l 上，过P 作直线交椭圆C 于M N ，两点，使得PM PN =，再过P 作直线l MN '⊥．证明：直线l '恒过定点，并求出该定点的坐标．(第18题图)20.（本小题满分16分）已知函数()ln 3()f x a x ax a =--∈R ． （1）当0a ＞时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()y f x =的图象在点(2(2))f ，处的切线的倾斜角为45︒，且函数21()()()2g x x n x mf x m n '=++∈R ，当且仅当在1x =处取得极值，其中()f x '为()f x 的导函数，求m 的取值范围；（3）若函数()y f x =在区间1(3)3，内的图象上存在两点，使得在该两点处的切线相互垂直，求a 的取值范围．宿迁市2013—2014学年度高三年级摸底考试数学试题参考答案与评分标准数学Ⅰ部分一、填空题：1．{1} 2．2001x x ∀-＞＞， 3．2 4．14 5．66．π381 9．361110． 20x -=或4370x y -+=11．π412．512- 13．(13)-，二、解答题：15．证明：⑴在APC ∆中，因为,E F 分别是,PA AC 的中点，所以EF ∥PC ， ………2分 又PC ⊂平面PAC ，EF ⊄平面PAC ，所以EF ∥平面PBC ； ……………5分 ⑵ 因为AB BC =，且点F 是AC 的中点，所以BF ⊥AC ，………………………7分 又平面ABC ⊥平面PAC ，平面ABC ∩平面PAC AC =，BF ⊂平面ABC ， 所以BF ⊥平面PAC ， ………………………………………………………11分 因为BF ⊂平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面PAC . …………………………14分 16．解：（1）由图可得3A =， ………………………………………1分()f x 的周期为8，则24ωπ=，即4ωπ=； ………………………………………3分 (1)(3)0f f -==，则(1)3f =，所以sin()14ϕπ+=，即242k k ϕππ+=+π∈Z ，，又[0)ϕ∈π，， 故4ϕπ=， 综上所述，()f x 的解析式为()3sin()44f x x ππ=+； ……………………………6分（2）()()(2)g x f x x =+3sin()3sin[(2)]4444x x ππππ=++++3sin()3cos()4444x x ππππ=+++16[sin()cos()]24444x x ππππ=++76sin()412x ππ=+ ……………………………10分当[13]x ∈-，时，74[]41233x ππππ+∈，，故当74122x πππ+=即13x =-时，7sin()412x ππ+取得最大值为1，则()g x 的最大值为1()63g -=； ……………………………12分当74123x ππ4π+=即3x =时，7sin()12x ππ+取得最小值为则()g x 的最小值为(3)6(g =⨯=- ……………………………14分 17．解：（1）当1n =时，1121(1)(2)2S a a =-+，即11a =-或12a =，因为10a >，所以12a = ………………………………2分 当2n ≥时，1(1)(2)2n n n S a a =-+，1111(1)(2)2n n n S a a ---=-+，两式相减得：11()(1)0n n n n a a a a --+--=， ………………………………6分 又因为0n a ＞，所以10n n a a -+＞，所以11n n a a --=，所以1n a n =+； ……………………………8分 （2）212233445562321212221n n n n n n n T a a a a a a a a a a a a a a a a ---+=-+-+-++-+2422()n a a a =+++…， ……………………………11分又242n a a a ，，，…是首项为3，公差为2的等差数列， 所以2242(321)22n n n a a a n n +++++==+…，故2224n T n n =+． ……………………………14分 18．解：（1）在OAC ∆中，120AOC ∠=︒，AC x =， 由余弦定理得，2222cos120OA OC OA OC x +-⋅⋅︒=，又OC BO =，所以2222cos120OA OB OA OB x +-⋅⋅︒= ①， ………………2分在OAB ∆中，10AB =，60AOB ∠=︒由余弦定理得，222cos60100OA OB OA OB +-⋅⋅︒= ②， ………………4分①+②得2221002x OA OB ++=，①-②得24cos60100OA OB x ⋅⋅︒=-，即21002x OA OB -⋅=， ………………6分又222OA OB OA OB +⋅≥，所以22210010022x x ⨯+-≥，即2300x ≤， 又210002x OA OB -⋅=＞，即2100x ＞，所以10x ＜≤； ………………………………8分 （2）易知OAB OAC S S ∆∆=，故122sin 602ABC OAB S S OA OB ∆∆==⋅⋅⋅︒=， ………………………10分又1ABC S AC BD∆=⋅⋅，设()BD f x =， 所以()(10f x x ∈，， ……………………………12分 又2100())f x x'=+， ……………………………14分 则()f x 在(10，上是增函数，所以()f x的最大值为10f =，即BD 的最大值为10． ……………………16分 （利用单调性定义证明()f x 在(10，上是增函数，同样给满分；如果直接说出()f x (10，上是增函数，但未给出证明，扣2分．） 19．解：（1）由题意有3个点在椭圆C 上，根据椭圆的对称性，则点(31)(31)-，，，一定在椭圆C 上，即22911a += ①，……………………………………2分 若点(0)-在椭圆C上，则点(0)-必为C 的左顶点，而3＞，则点(0)-一定不在椭圆C 上，故点在椭圆C 上，点(0)-在直线l 上， …………………………4分所以22331a b += ②， 联立①②可解得212a =，24b =，所以椭圆C 的方程为221124x y +=； (6)分 （2）由（1）可得直线l的方程为x =-00()(P y y -∈，， 当00y ≠时，设1122()()M x y N x y ，，，，显然12x x ≠， 联立2211222211241124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，则222212120124x x y y --+=，即1212121213y y x x x x y y -+=-⋅-+， 又PM PN =，即P 为线段MN 的中点，故直线MN的斜率为0013-， ……………………………………10分 又l MN '⊥，所以直线l '的方程为0y y x -=+， …………………13分即y x =+， 显然l '恒过定点(0)； ………………………………………15分 当00y =时，直线MN即x =-l '为x轴亦过点(0)； 综上所述，l '恒过定点(0)． ……………………………………16分 20．解：（1）(1)()(0)a x f x x x-'=＞， ……………………………………1分当0a ＞时，令()0f x '＞得01x ＜＜，令()0f x '＜得1x ＞，故函数()f x 的单调增区间为(01)，，单调减区间为(1)+∞，；………………………4分 （2）函数()y f x =的图象在点(2(2))f ，处的切线的倾斜角为45︒，则(2)1f '=，即2a =-； ………………………………………5分所以212()(2)2g x x nx m x=++-，所以322222()m x nx m g x x n x x ++'=++=， 因为()g x 在1x =处有极值，故(1)0g '=，从而可得12n m =--，……………………6分 则322222(1)(22)()x nx m x x mx m g x x x ++---'==，又因为()g x 仅在1x =处有极值， 所以2220x mx m --≥在(0)+∞，上恒成立， …………………………………8分 当0m ＞时，由20m -＜，即0(0)x ∃∈+∞，，使得200220x mx m --＜， 所以0m ＞不成立，故0m ≤，又0m ≤且(0)x ∈+∞，时，2220x mx m --≥恒成立， 所以0m ≤； ………………………………………10分 （注：利用分离变量方法求出0m ≤同样给满分．）（3）由(1)()(0)a x f x x x-'=＞得(01)，与(1)+∞，分别为()f x 的两个不同的单调区间， 因为()f x 在两点处的切线相互垂直，所以这两个切点一定分别在两个不同单调区间内． …………………………………12分故可设存在的两点分别为1122(,())(,())x f x x f x ，，其中121133x x ＜＜＜＜， 由该两点处的切线相互垂直，得1212(1)(1)1a x a x x x --⋅=-， ……………………13分 即12212111x x x a x -=-⋅-，而111(02)x x -∈，，故2221(02)1x a x -⋅∈-，， 可得222(21)2a x a -＞，由20x ＞得2210a -＞，则222221a x a -＞，又213x ＜＜，则222321a a -＜，即234a ＞，所以a 的取值范围为()-∞+∞ ，． ……………………………………16分。

江苏省宿迁青华中学-修远中学2010届高三数学联考试卷一.填空题: （每小题5分，共70分）1.集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16A B = ,则a 的值为 .2．命题“若21x =，则1=x ”的否命题为：___ ___.3.设集合A 是函数32(1)y x -=-的定义域，{}2|log 1B x x =<，则A B = .4.函数2211()31x x f x x x x ⎧-⎪=⎨-->⎪⎩，，，，≤则()(2)f f 的值为 .5.已知条件:|1|2,p x +>条件:,q x a >且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围是 ．6．43)811(4lg 285lg -++= _ .7．已知函数()xf x a b =+的图象如图所示，则(4)f8.某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 .9.设定义在R 上的奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则()0f x <的解集为 .10．函数()lg 82f x x x =-+在区间(,1).()k k k Z +∈内有零点，则k11．函数|2|y x x =-的递增区间是 ．12.已知()y f x =是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，2()2f x x x =-, 则()f x 在0<x 时的解析式()f x =_______________.13．已知函数2()f x x ax b =++,若(1)(2)f f <,则a 的取值范围是 .14．已知函数)3||(log )(31+-=x x f 定义域是],[b a ),(z b a ∈，值域是]0,1[-，则满足条件的整数数对),(b a 有 对. 二.解答题: （本大题6小题,共90分）15．(本题满分14分) 已知全集U R =，集合{}022≥-=x x x A ，{m x x B 21-+=＞}0（1）当1m =时，求B U A ð； （2）若A B A = ，求实数m 的取值范围． 16．（本小题满分14分）已知命题P ：函数()1log )(2+=x x f m 是增函数，命题Q ：,x R ∀∈012≥++mx x .如果“Q P ∨” 为真命题，“Q P ∧”为假命题，求实数m 的取值范围.17.（本小题满分15分） 已知函数2211(),a f x a a x+=-常数0a >. (1)设0m n > ,证明:函数()f x 在[,]m n 上单调递增;(2)设0m n <<且()f x 的定义域和值域都是[,]m n ,求常数a 的取值范围.18. （本小题满分15分） 函数2()lg()2xf x x-=+的定义域为M ,函数1()42()x x g x x M +=-∈. (1)判断函数()f x 的奇偶性,并证明; (2)求函数()g x 的值域;(3)当x M ∈时,若关于x 的方程142xx b +-=有实根,求b 的取值范围,并讨论实根的个数.19.（本小题满分16分）某新产品上市后，在30天内每件的销售价格P （元）与时间t （天）所组成的有序实数对(,)t P 对应的点落在图中的两条直线段上，该新产品在30天内的日销售量Q （万件）与时间t （天）的部分数据如表格所示.(1)根据表格中的数据确定Q 关于t 的一次函数关系式;(2) 根据图象,写出P 关于t 的函数关系式;(3)试问在这30天中第几天的日销售额S (万元) 最大,最大值是多少?20.（本小题满分16分）已知12,x x 是二次函数2()1(,,0)f x ax bx a b R a =-+∈>的两个零点. （1）若()0f x <的解集是11(,)43，求实数a ,b 的值；（2）若a 为正整数，2+=a b ，且函数)(x f 在[0,1]上的最小值为1-，求a 的值； (3) 若()11,1x ∈-，且121x x -=，试确定b 的取值范围.t (天)参考答案:一. 填空题:1.42. 若21x ≠，则1x ≠ 3.(0,1) 4.0 5.[1,)+∞ 6.28 7.6 8.129.(,1)(0,1)-∞-10.3 11.(,1),(2,)-∞-+∞ 12.22x x + 13.(3,)-+∞ 14.5 二.解答题：15.解：（1）当1m =时，{|1}B x x =>，………………………………………2分 (,0][2,)A =-∞+∞ ……………………………………………………4分 (1,2)U A =ð ……………………………………………………6分(1,2)U B A = ð ……………………………………………………8分 （2）若A B A = ，则B A ⊆………………………………………………10分 {|21}B x x m =>-……………………………………………………12分212m ∴-≥ 即32m ≥ 综上：m 的取值范围是3[,)2+∞…………………………………………14分16.解：若命题P ：函数()1log )(2+=x x f m 是增函数为真命题，则21,m >即记为1{|}2A m m => (4)分若命题Q ：,x R ∀∈012≥++mx x 为真命题时，由042≤-=∆mm 的取值范围为{}22≤≤-=m m B ……………………………………………………（8分）由“Q P ∨” 为真命题，“Q P ∧”为假命题，故命题P 、Q 中有且仅有一个真命题 当P 真Q 假时，实数m 的取值范围为：()1,{|22}2,2R A C B m m m ⎛⎫⋂=+∞<->=+∞ ⎪⎝⎭或…………………………………………（10分）当P 假Q 真时，实数m 的取值范围为：[]11(),2,22,22R A B ⎛⎤⎡⎤=-∞-=- ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ ð…………………………………………………（12分）综上可知实数m 的取值范围：()12,2,2⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦ …………………………………………（14分）17.(1)任取12m x x n ≤<≤…………………………………………（2分）12122221212211211()()()()x x a a f x f x a a x a a x a x x -++-=---=…………………………………（4分）12m x x n ≤<≤ ，且0,0mn a >>，212120,0a x x x x ∴>-<12()()0f x f x ∴-< 即12()()f x f x <…………………………………………（6分）所以函数2211(),(0)a f x a a a x+=->在区间[,]m n 单调递增. ………………………………（7分）(2) 0m n << ,由(1)知,()f x 在[,]m n 上是单调递增,又知()f x 的定义域和值域都是[,]m n ,所以22211211a m a a ma n aa n +⎧-=⎪⎪⎨+⎪-=⎪⎩………………………………（9分）0m n << ,所以转化为方程2211a x a a x+-=在(0,)+∞上有两不等实数根, 即方程222(2)10a x a a x -++=在(0,)+∞上有两不等实数根, …………………………（12分）所以22222(2)4020a a a a aa⎧∆=+->⎪⎨+>⎪⎩12a ⇒>…………………………（14分） 综上:a 的取值范围是1(,)2+∞…………………………（15分）18.(1) 函数2()lg()2x f x x -=+的定义域为2{|0}(2,2)2xM x x -=>=-+, 1222()lg()lg()lg()()222x x xf x f x x x x-+---===-=--++所以函数2()lg()2xf x x-=+是奇函数. …………………………（4分） （2）令2xt =，(2,2)x ∈- ，144t ∴<< 22()()2(1)1g x g t t t t ∴==-=--当1t =时，即0x =时，min ()1g x =- 当4t =时，即2x =时，max ()8g x =()g x ∴的值域为[1,8)-………………………………………………………………………………（9分）（3）由(2)知，当x M ∈时方程142xx b +-=有实根时b 的取值范围是[1,8)-………………………（11分）令2xt =，方程142xx b +-=有实根时转化为22t t-1上有实根，画图象：当7(1,]16b ∈--时，方程有两个不等实数根；当71,816b b =--<<或时，方程有一个实数根； 当1,8b b <-≥或时，方程没有实数根.…………………………………………………………（15分）19. 解：（1）40,030,Q t t t N =-≤≤∈………………………………………………（4分）(2)12,020,518,2030,10t t t N P t t t N ⎧+≤<∈⎪⎪=⎨⎪-+≤≤∈⎪⎩ ………………………………………………（9分）(3) 1(40)(10)(40)(2),020,551(40)(80)(40)(8),2030,1010t t t t t t N S t t t t t t N -+⎧-+=≤<∈⎪⎪=⎨--⎪--+=≤≤∈⎪⎩x当020,t t N ≤<∈时，当15t =时，(40)(10)5t t S -+=的最大值为125万元当2030,t t N ≤<∈时，当20t =时，(40)(80)10t t S --=的最大值为120万元综上：这30天中第15天的日销售额S (万元)最大,最大值是125万元.…………………………（16分）20.解（1）不等式210ax bx -+<的解集是11(,)43，故方程012=+-bx ax 的两根是1211,43x x ==所以1212117,1212b x x x x a a ===+= 所以12,7a b == ………………………………………………（4分）（2）2222(2)2,()(2)1()124a a b a f x ax a x a x a a++=+∴=-++=--+ ， 对称轴21122a x a a+==+， 当2a ≥时，2111(,1]222a x a a +==+∈，2min 2(2)()()1124a a f x f a a++∴==-=- 2a ∴=当1a =时，2113222a x a a +==+=，min ()(1)1f x f ∴==-成立。

2013年江苏省宿迁市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡上．1．（5分）（2013•徐州模拟）集合A={﹣1，0，1}，B={x|x=m2+1，m∈R}，则A∩B={1} ．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：根据题意，分析可得集合B={x|x≥1}，结合交集的定义，计算可得A∩B，即可得答案．解答：解：根据题意，集合B={x|x=m2+1，m∈R}={x|x≥1}，又由集合A={﹣1，0，1}，则A∩B={1}，故答案为{1}．点评：本题考查集合的交集运算，关键是正确求出集合B．2．（5分）（2013•宿迁一模）若复数z满足，其中i是虚数单位，则|z|= 2 ．考点：复数求模．专题：计算题．分析：利用复数模的运算性质对iz=﹣1+i两端同时取模即可．解答：解：iz=﹣1+i，两端取模得：|iz|=|﹣1+i|即|z|=|﹣1+i|==2．故答案为：2．点评：本题考查复数求模，考查观察与灵活应用复数模的运算性质解决问题的能力，属于基础题．3．（5分）（2013•宿迁一模）某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20 种，现采用分层抽样的方法，从中随机抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测，则抽取的动物类食品种数是 6 ．考点：分层抽样方法．专题：计算题．分析：先计算出抽取比例，再按比例计算动物类食品所抽取的数值即可．解答：解：抽取比例为=，故动物类食品所抽取的数值为30×=6．故答案为：6点评：本题主要考查了分层抽样的有关知识，同时考查了分析问题的能力，属于基础题．4．（5分）（2013•宿迁一模）已知某同学五次数学成绩分别是：121，127，123，a，125，若其平均成绩是124，则这组数据的方差是 4 ．考点：极差、方差与标准差．专题：计算题．分析：已知某同学五次数学成绩分别是：121，127，123，a，125，其平均成绩是124，可以求出a，把五次数学成绩和平均数代入方差的计算公式，求出这组数据的方差．解答：解：∵某同学五次数学成绩分别是：121，127，123，a，125，其平均成绩是=124，∴==124，解得a=124，∴这组数据的方差是S2=（（121﹣124）2+（127﹣124）2+（123﹣124）2）+（124﹣124）2+（125﹣124）2=4，故答案为4；点评：本题考查一组数据的方差，对于一组数据这是经常出现的一种题目，用方差来衡量这组数据的波动情况，本题是一个基础题．5．（5分）（2013•宿迁一模）如图，是一个算法的伪代码，则输出的结果是 5 ．考点：伪代码．专题：计算题．分析：通过分析伪代码，按照代码进行执行，当运行4次时即跳出循环．输出I的值即可．解答：解：根据已知伪代码．其意义为当S≤24时，执行循环I=I+1；S=S×I．通过执行运算，第1次循环：I=I+1=2，S=1×2=2第2次循环：I=2+1=3，S=2×3=6第3次循环：I=3+1=4，S=6×4=24第4次循环：I=4+1=5，S=24×5=120此时，S不再满足s≤24，跳出循环，输出I故答案为：5点评：本题考查伪代码，通过理解进行分析和运行．当运行达到已知伪代码的条件时，输出i的值．本题为基础题．6．（5分）（2013•宿迁一模）已知点P在圆x2+y2=1上运动，则P到直线3x+4y+15=0的距离的最小值为 2 ．考点：点到直线的距离公式．专题：计算题．分析：先判断直线与圆的位置关系，进而可知圆上的点到直线的最小距离为圆心到直线的距离减去圆的半径．解答：解：∵x2+y2=1的圆心（0，0），半径为1圆心到直线的距离为：d==3＞1∴直线3x+4y+15=0与圆相离∴圆上的点到直线的最小距离为：3﹣1=2故答案为：2点评：本题主要考查了直线与圆的位置关系．考查了学生数形结合的思想，转化和化归的思想．7．（5分）（2013•宿迁一模）过点（﹣1，0）与函数f（x）=e x（e是自然对数的底数）图象相切的直线方程是y=x+1 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：设切点为（a，e a），由f（x）=e x，f′（x）=e x，知f′（a）=e a，所以切线为：y﹣e a=e a（x﹣a），代入点（﹣1，0），能求出过点（﹣1，0）与函数f（x）=e x（e是自然对数的底数）图象相切的直线方程．解答：解：设切点为（a，e a）∵f（x）=e x，∴f′（x）=e x，∴f′（a）=e a，所以切线为：y﹣e a=e a（x﹣a），代入点（﹣1，0）得：﹣e a=e a（﹣1﹣a），解得a=0因此切线为：y=x+1．故答案为：y=x+1．点评：本题考查利用导数求曲线上某点切线方程的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．8．（5分）（2013•宿迁一模）连续抛掷一个骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）两次，则出现向上的点数和大于9的概率是．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：设两次点数为（m，n），则所有的（m，n）共有6×6=36个，其中满足m+n＞9的有6个，由此求得出现向上的点数和大于9的概率．解答：解：设两次点数为（m，n），则所有的（m，n）共有6×6=36个，其中满足m+n＞9的有：（4，6）、（6，4）、（5，5）、（5，6）、（6，5）、（6，6），共有6个，故出现向上的点数和大于9的概率是=，故答案为．点评：本题考查等可能事件的概率，本题解题的关键是正确列举出所有的满足条件的事件，本题是一个基础题．9．（5分）（2013•宿迁一模）如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1=8．若AA1B1B 水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点，则当底面ABC水平放置时，液面的高为 6 ．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱的结构特征．专题：计算题．分析：当底面ABC水平放置时，水的形状为四棱柱形，由已知条件求出水的体积，由于是三棱柱形容器，故水的体积可以用三角形的面积直接表示出，不必求三角形的面积．解答：解：不妨令此三棱柱为直三棱柱，如图当侧面AA1B1B水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面是梯形．设△ABC的面积为S，则S梯形ABFE=S，V水=S•AA1=6S．当底面ABC水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为h，则有V水=Sh，∴6S=Sh，∴h=6．故当底面ABC水平放置时，液面高为6．故答案为：6点评：本题考点是棱柱、棱锥、棱台的体积，考查用用体积公式来求高，解答本题时要充分考虑几何体的形状，根据其形状选择求解的方案．10．（5分）（2013•宿迁一模）已知，若，则sin（α﹣β）的值为．考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．专题：计算题．分析：由于α﹣β=（α+）﹣（β﹣）﹣π，由α，β∈（，），利用两角差的正弦即可求得sin（α﹣β）的值．解答：解：∵α，β∈（，），∴＜α+＜π，﹣＜β﹣＜0，又sin（α+）=，cos（β﹣）=，∴cos（α+）=﹣，sin（β﹣）=﹣．∴sin（α﹣β）=﹣sin[（α+）﹣（β﹣）]=﹣[sin（α+）•cos（β﹣）﹣cos（α+）•sin（β﹣）]=﹣[×﹣（﹣）×（﹣）]=．故答案为：．点评：本题考查两角和与差的正弦与余弦，考查观察分析转化运算的能力，属于中档题．11．（5分）（2013•宿迁一模）若数列{a n}是各项均为正数的等比数列，则当时，数列{b n}也是等比数列；类比上述性质，若数列{c n}是等差数列，则当d n=时，数列{d n}也是等差数列．考点：等差关系的确定．分析：数学中类比定理的应用是比较重要的探索路径，看清题目中给出的已知条件，模仿条件写出结论，这个结论正确与否不是重点，重要的是要形似．解答：解：由条件类比可知：d n=时，数列{d n}也是等差数列．故答案为：．点评：从所给条件出发，通过观察、试验、分析、归纳、概括、猜想出一般规律，不需要证明结论，该题着重考查了归纳、概括和数学变换的能力．12．（5分）（2013•宿迁一模）已知双曲线，A，C分别是双曲线虚轴的上、下端点，B，F分别是双曲线的左顶点和左焦点．若双曲线的离心率为2，则与夹角的余弦值为．考点：数量积表示两个向量的夹角；双曲线的简单性质．专题：平面向量及应用．分析：利用双曲线的简单性质求出A、C、B、F各个点的坐标，再利用两个向量的夹角公式以及=2，求出cosθ=的值．解答：解：由题意可得由题意得A（0，b），C（0，﹣b），B（﹣a，0），F（﹣c，0），=2．∴=（a，b），=（﹣c，b）．设与的夹角为θ，则cosθ=====，故答案为．点评：本题主要考查双曲线的简单性质的应用，两个向量的夹角公式，属于中档题．13．（5分）（2013•宿迁一模）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若1≤a5≤4，2≤a6≤3，则S6的取值范围是[﹣12，42] ．考点：数列与不等式的综合．专题：计算题．分析：利用等差数列的通项公式将已知条件中的不等式化成首项与公差满足的不等关系，利用不等式的性质及等差数列的前n项和公式求出前6项的和的范围．解答：解：a5=a1+4d，a6=a1+5d，所以1≤a1+4d≤4，2≤a1+5d≤3所以﹣20≤﹣5a1﹣20d≤﹣5，6≤3a1+15d≤9，两式相加得，﹣14≤﹣2a1﹣5d≤4，两边同乘以﹣1，﹣4≤2a1+5d≤14．两边同乘以3，﹣12≤6a1+15d≤42．又因为S6=6a1+15d，所以﹣12≤S6≤42．故答案为[﹣12，42]点评：利用不等式的性质解决问题时，一定要注意不等式的两边同乘以一个负数，不等号要改变方向．14．（5分）（2013•宿迁一模）已知函数f（x）=||x﹣1|﹣1|，若关于x的方程f（x）=m（m∈R）恰有四个互不相等的实数根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4的取值范围是（﹣3，0）．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：画出函数f（x）=||x﹣1|﹣1|的图象，可得方程f（x）=m（m∈R）恰有四个互不相等的实数根是地，m的取值范围，进而求出方程的四个根，进而根据m的范围和二次函数的图象和性质，可得x1x2x3x4的取值范围．解答：解：函数f（x）=||x﹣1|﹣1|的图象如下图所示：由图可知，若f（x）=m的四个互不相等的实数根，则m∈（0，1）且x1，x2，x3，x4分别为：x1=m，x2=2﹣m，x3=m+2，x4=﹣m，∴x1x2x3x4=（m2）2﹣4•m2=（m2﹣2）2﹣4∈（﹣3，0）故答案为：（﹣3，0）点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中画出函数的图象，引入数形结合思想是解答本题的关键二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2013•宿迁一模）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，若向量，，且∥．（1）求角A的大小；（2）求函数的值域．考点：正弦定理；零向量；两角和与差的正弦函数．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（1）通过向量的平行，利用共线，通过正弦定理以及两角和的正弦函数化简，求出A 的余弦值，然后求角A的大小；（2）通过函数，利用两角和与差的三角函数，化为铁公鸡的一个三角函数的形式，结合B的范围，直接求解函数的值域．解答：解：（1）因为向量，，且∥．所以（2b﹣c）cosA=acosC，由正弦定理得：2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC=sin（A+C）即2sinBcosA=sinB，所以cosA=．A是三角形的内角，所以A=．（2）因为函数=sinB+cosB=2sin（B+），而，所以函数y=2sin（B+）的值域（1，2]．点评：本题考查两角和与差的三角函数的应用，正弦定理的应用，正弦函数值的求法，考查计算能力．16．（14分）（2013•宿迁一模）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，BC=BB1，D为AB 的中点．（1）求证：BC1⊥平面AB1C；（2）求证：BC1∥平面A1CD．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）BC1⊥平面AB1C，即要证BC1与平面AB1C内两条相交直线均垂直，结合已知、直棱柱的几何特征及正方形的性质，可证得结论．（2）要证BC1∥平面CA1D，必须证明BC1∥平面CA1D内的一条直线，因而连接AC1与A1C的交点E与D，证明即可．解答：证明：（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱∴CC1⊥平面ABC；又∵AC⊂平面ABC∴CC1⊥AC又∵AC⊥BC，CC1∩BC=C∴AC⊥平面B1C1CB又∵B1C⊂平面B1C1CB∴B1C⊥AC又∵BC=BB1，∴平面B1C1CB为正方形，∴B1C⊥BC1，又∵B1C∩AC=C∴BC1⊥平面AB1C；（2）连接BC1，连接AC1于E，连接DE，E是AC1中点，D是AB中点，则DE∥BC1，又DE⊂面CA1D1，BC1⊄面CA1D1∴BC1∥面CA1D点评：本题考查棱柱的结构特征，考查线面垂直的判定，线面平行的判定，转化的数学思想是中档题．17．（14分）（2013•宿迁一模）小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售收入为25﹣x万元（国家规定大货车的报废年限为10年）．（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？（利润=累计收入+销售收入﹣总支出）考点：根据实际问题选择函数类型；基本不等式．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）求出第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差，令其大于0，即可得到结论；（2）利用利润=累计收入+销售收入﹣总支出，可得平均利润，利用基本不等式，可得结论．解答：解：（1）设大货车运输到第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y万元，则y=25x﹣[6x+x（x﹣1）]﹣50=﹣x2+20x﹣50（0＜x≤10，x∈N）由﹣x2+20x﹣50＞0，可得10﹣5＜x＜10+5∵2＜10﹣5＜3，故从第3年，该车运输累计收入超过总支出；（2）∵利润=累计收入+销售收入﹣总支出，∴二手车出售后，小张的年平均利润为=19﹣（x+）≤19﹣10=9当且仅当x=5时，等号成立∴小张应当再第5年将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大．点评：本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．18．（16分）（2013•宿迁一模）已知椭圆C：的离心率，一条准线方程为．（1）求椭圆C的方程；（2）设G，H为椭圆上的两个动点，O为坐标原点，且OG⊥OH．①当直线OG的倾斜角为60°时，求△GOH的面积；②是否存在以原点O为圆心的定圆，使得该定圆始终与直线GH相切？若存在，请求出该定圆方程；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设出椭圆的标准方程，利用椭圆C的离心率，一条准线方程为，建立方程组，求得几何量，即可求椭圆C的标准方程；（2）①确定G，H的坐标，求得OG，OH的长，即可求△GOH的面积；②假设存在满足条件的定圆，设圆的半径为R，则OG•OH=R•GH，因为OG2+OH2=GH2，故，分类讨论可得结论．解答：解：（1）因为椭圆的离心率，一条准线方程为．所以，，a2=b2+c2，…（2分）解得，所以椭圆方程为．…（4分）（2）①由，解得，…（6分）由得，…（8分）所以，所以．…（10分）②假设存在满足条件的定圆，设圆的半径为R，则OG•OH=R•GH因为OG2+OH2=GH2，故，当OG与OH的斜率均存在时，不妨设直线OG方程为：y=kx，与椭圆方程联立，可得，∴同理可得∴，∴R=当OG与OH的斜率有一个不存在时，可得故满足条件的定圆方程为x2+y2=．点评：本题考查椭圆的几何性质，考查标准方程，考查学生分析解决问题的能力，确定椭圆的标准方程是关键．19．（16分）（2013•宿迁一模）已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，数列的前n项和为T n，且，n∈N*．（1）证明数列{a n}是等比数列，并写出通项公式；（2）若对n∈N*恒成立，求λ的最小值；（3）若成等差数列，求正整数x，y的值．考点：等比数列的通项公式；等差关系的确定；数列的求和．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）因为，且a n＞0，所以推出a1=1，；由，知，由此能求出数列{a n}的通项公式．（2）由（1）得，，由此能求出λ的最小值．（3）若成等差数列，其中x，y为正整数，则成等差数列，整理，得2x=1+2y﹣2，由此能求出正整数x，y的值．解答：解：（1）因为，其中S n是数列{a n}的前n项和，T n是数列的前n项和，且a n＞0，当n=1时，由，解得a1=1，…（2分）当n=2时，由，解得；…（4分）由，知，两式相减得，即，…（5分）亦即2S n+1﹣S n=2，从而2S n﹣S n﹣1=2，（n≥2），再次相减得，又，所以所以数列{a n}是首项为1，公比为的等比数列，…（7分）其通项公式为，n∈N*．…（8分）（2）由（1）可得，，…（10分）若对n∈N*恒成立，只需=3×=3﹣对n∈N*恒成立，∵3﹣＜3对n∈N*恒成立，∴λ≥3．（3）若成等差数列，其中x，y为正整数，则成等差数列，整理，得2x=1+2y﹣2，当y＞2时，等式右边为大于2的奇数，等式左边为偶数或1，等式不能成立，∴满足条件的正整数x，y的值为x=1，y=2．点评：本题考查等比数列的证明和数列的通项公式的求法，考查最小值的求法，考查满足条件的实数值的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．20．（16分）（2013•宿迁一模）已知函数f（x）=lnx﹣x，．（1）求h（x）的最大值；（2）若关于x的不等式xf（x）≥﹣2x2+ax﹣12对一切x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；（3）若关于x的方程f（x）﹣x3+2ex2﹣bx=0恰有一解，其中e是自然对数的底数，求实数b的值．考点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：（1）已知h（x）的解析式，对其进行求导，利用导数研究其单调性，从而求解；（2）因为关于x的不等式xf（x）≥﹣2x2+ax﹣12对一切x∈（0，+∞）恒成立，将问题转化为xlnx﹣x2≥﹣2x2+ax﹣12对一切x∈（0，+∞）恒成立，利用常数分离法进行求解；（3）关于x的方程f（x）﹣x3+2ex2﹣bx=0恰有一解，可得=x2﹣2ex+b+1恰有一解，构造新函数h（x）=利用导数研究h（x）的最大值，从而进行求解；解答：解：（1）因为，所以，…（2分）由h′（x）＞0，且x＞0，得0＜x＜e，由h′（x）＜0，且x＞0，x＞e，…（4分）所以函数h（x）的单调增区间是（0，e]，单调减区间是[e，+∞），所以当x=e时，h（x）取得最大值；…（6分）（2）因为xf（x）≥﹣2x2+ax﹣12对一切x∈（0，+∞）恒成立，即xlnx﹣x2≥﹣2x2+ax﹣12对一切x∈（0，+∞）恒成立，亦即对一切x∈（0，+∞）恒成立，…（8分）设，因为，故ϕ（x）在（0，3]上递减，在[3，+∞）上递增，ϕ（x）min=ϕ（3）=7+ln3，所以a≤7+ln3．…（10分）（3）因为方程f（x）﹣x3+2ex2﹣bx=0恰有一解，即lnx﹣x﹣x3+2ex2﹣bx=0恰有一解，即恰有一解，由（1）知，h（x）在x=e时，，…（12分）而函数k（x）=x2﹣2ex+b+1在（0，e]上单调递减，在[e，+∞）上单调递增，故x=e时，k（x）min=b+1﹣e2，故方程=x2﹣2ex+b+1恰有一解当且仅当b+1﹣e2=，即b=e2+﹣1；点评：本题考查利用导数求函数的单调区间的方法，求函数的导数以及对数函数的定义域与单调区间．注意函数的定义域，此题是一道中档题，考查学生计算能力；三、解答题（共3小题，满分0分）21．（2013•宿迁一模）【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知AB，CD是圆O的两条弦，且AB是线段CD的垂直平分线，若AB=6，CD=2，求线段AC的长度．B．选修4﹣2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵M=的一个特征值是3，求直线x﹣2y﹣3=0在M作用下的新直线方程．C．选修4﹣4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程是（α是参数），若以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程．D．选修4﹣5：不等式选讲（本小题满分10分）已知关于x的不等式|ax﹣1|+|ax﹣a|≥1的解集为R，求正实数a的取值范围．考点：特征值、特征向量的应用；与圆有关的比例线段；圆的参数方程；绝对值不等式的解法．专题：综合题；不等式的解法及应用；直线与圆．分析：A：设AB和 CD交与点E，设AE=x，由题意可得AB是直径，EB=6﹣x，CE=5．由射影定理求出x的值，从而求得AC的值．B：由矩阵M=的一个特征值是3，求得 a=2，M=．设直线x﹣2y﹣3=0上的任意一点（x，y）在M作用下的对应点为（x′，y′），则有，即，代人x﹣2y﹣3=0，整理可得新直线方程．C：由参数方程消去参数，化为普通方程，求出圆心和半径，可得在极坐标系下，曲线C是以为圆心，半径等于1的圆，从而求得它的极坐标方程．D：因为|ax﹣1|+|ax﹣a|≥|a﹣1|，故原不等式解集为R，等价于|a﹣1|≥1，由此求得a的范围，即为所求．解答：解：A：连接BC，设AB和 CD交与点E，设AE=x，∵AB是线段CD的垂直平分线，故AB是直径，∠ACB=90°，故 EB=6﹣x，CE=5．由射影定理可得 CE2=AE•EB，即 x（6﹣x）=5，解得x=1（舍去），或 x=5．∴AC2=AE•AB=5×6=30，∴AC=．B：∵已知矩阵M=的一个特征值是3，∴f（λ）==（λ﹣2）（λ﹣a）﹣1=0，即（3﹣2）（3﹣a）﹣1=0，解得a=2，∴M=．设直线x﹣2y﹣3=0上的任意一点（x，y）在M作用下的对应点为（x′y′，），则有，整理得，即，代人x﹣2y﹣3=0，整理得4x'﹣5y'﹣9=0，故所求直线方程为：4x﹣5y﹣9=0．C：由消去θ，得x2+（y﹣1）2=1，曲线C是以（0，1）为圆心，半径等于1的圆．所以在极坐标系下，曲线C是以为圆心，半径等于1的圆．所以曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ．D：因为|ax﹣1|+|ax﹣a|≥|a﹣1|，故原不等式解集为R等价于|a﹣1|≥1．所以a≥2，或a≤0．又因为a＞0，所以a≥2，所以正实数a的取值范围为[2，+∞）．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，与圆有关的比例线段，矩阵的特征值与特征向量，圆的参数方程、极坐标方程的应用，属于中档题．22．（2013•宿迁一模）如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，已知，点M为PA中点，求直线BM与平面PAD所成角的正弦值．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面所成的角．专题：计算题；空间角．分析：建立空间直角坐标系，求出平面PAD的法向量=（1，﹣1，1），=（），利用向量的夹角公式，即可求得结论．解答：解：正四棱锥P﹣ABCD中，，∴OA=OB=OP=1建立如图所示的空间直角坐标系，则有A（1，0，0），B（0，1，0），D（0，﹣1，0），P（0，0，1）∵M是PA的中点，∴M（），=（1，0，﹣1），=（0，﹣1，﹣1）设平面PAD的法向量为=（x，y，1），则由，可得=（1，﹣1，1）∵=（）∴cos＜＞==∴直线BM与平面PAD所成角的正弦值为．点评：本题考查线面角，考查空间向量的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．23．（2013•宿迁一模）某商场在节日期间搞有奖促销活动，凡购买一定数额的商品，就可以摇奖一次．摇奖办法是在摇奖机中装有大小、质地完全一样且分别标有数字1～9的九个小球，一次摇奖将摇出三个小球，规定：摇出三个小球号码是“三连号”（如1、2、3）的获一等奖，奖1000元购物券；若三个小球号码“均是奇数或均是偶数”的获二等奖，奖500元购物券；若三个小球号码中有一个是“8”的获三等奖，奖200元购物券；其他情形则获参与奖，奖50元购物券．所有获奖等第均以最高奖项兑现，且不重复兑奖．记X表示一次摇奖获得的购物券金额．（1）求摇奖一次获得一等奖的概率；（2）求X的概率分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：计算题；概率与统计．分析：（1）记“摇奖一次获得一等奖”为事件A，连号的可能情况有：123，234，345，456，567，678，789共7种情况．由此能求出摇奖一次获得一等奖的概率．（2）由题设知X的可能取值分别为1000，500，200，50．分别求出P（X=1000），P （X=500），P（X=200），P（X=50），由此能求出X的分布列EX．解答：解：（1）记“摇奖一次获得一等奖”为事件A，连号的可能情况有：123，234，345，456，567，678，789共7种情况．∴P（A）===．故摇奖一次获得一等奖的概率为．（2）由题设知X的可能取值分别为1000，500，200，50．P（X=1000）=，P（X=500）==，P（X=200）==，P（X=50）===，∴X的分布列如下：X 1000 500 200 50PEX==．点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的应用，是历年高考的必考题型之一．解题时要认真审题，仔细解答，注意排列组合和概率知识的灵活运用．。

宿迁市2014—2015学年度高三年级第一次考试数学参考答案与评分标准数学Ⅰ必做题部分一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答．题卡相应位置上．．．．．．．） 1．{}0,3 2．1 3．6 4．7 5．36． 29 7．2214y x -= 8． 79- 9．2 1011．(2,)+∞ 12．660x y --= 13．()2,6- 14．(],2-∞-二、解答题: 本大题共6小题， 15~17每小题14分，18~20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定．．．．．的区域内作答．．．．．．，解答时应写出文字说明．．．．．．．．．．、．证．明．过程或演算步骤．．．．．．．． 15．（1）由余弦定理得，2222cos b c a c a B =+-⋅， …………………………3分因为3B π∠=，2a =，b =， 所以21242c c =+-，即2280c c --= …………………………5分 解之得4c =，2c =-（舍去）．所以4c =. ……………………………7分 （2）因为πA B C ++=，tan A =tan B =所以tan tan()C A B =-+ ……………………………9分tan tan 1tan tan A BA B +=-- ……………………………11分5==．所以tan C =．16．（1）连接AC ，交BD 于点O ，连接PO ．因为四边形ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥ 又因为PB PD =，O 为BD 的中点，所以BD PO ⊥ 又因为AC PO O = 所以BD APC ⊥平面，又因为PC APC ⊂平面所以BD PC ⊥（2）因为四边形ABCD 为菱形，所以//BC AD …………………………9分 因为,AD PAD BC PAD ⊂ ⊄平面平面．所以//BC PAD 平面 ………………………………………11分又因为BC PBC ⊂平面，平面PBC 平面PAD l =．所以//BC l ． ………………………………………………14分 17．(1)由题意知，1AC x x =⨯=， …………………………………2分2cos CD x =， …………………………………5分 因为C 为圆周上靠近A 的一点，D 为圆周上靠近B 的一点，且//CD AB ，所以02x π<<(第16题图)所以2cos y x x =+ ，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭…………………………………………7分 (2)记()2cos f x x x =+,则()12sin f x x '=-， ………………………………9分令()0f x '=，得6x π=， ………………………………………………11分 列表所以函数()f x 在π6x =处取得极大值，这个极大值就是最大值，…………13分 即()66f ππ=答：观光路线总长的最大值为6π+ ……………………………14分18．（1）因为()()2()()e 1x F x f x g x x ax =⋅=++，所以()()()e 11x F x x a x '=⎡++⎤+⎣⎦， ……………………2分 令()0F x '>，因为0a >，得1x >-或()1x a <-+， ……………………5分 所以()F x 的单调增区间为(),1a -∞--和()1,-+∞； ……………………6分 （2）因为对任意12,x x ∈[]0,2且12x x ≠，均有1212()()()()f x f x g x g x ->-成立，不妨设12x x >，根据()e x f x =在[]0,2上单调递增，所以有1212()()()()f x f x g x g x ->-对12x x >恒成立，……………………8分 所以211212()()()()()()f x f x g x g x f x f x -<-<-对12,x x ∈[]0,2，12x x >恒成立，即11221122()()()()()()()()f x g x f x g x f x g x f x g x +>+⎧⎨->-⎩对12,x x ∈[]0,2，12x x >恒成立，所以()()f x g x +和()()f x g x -在[]0,2都是单调递增函数，………………11分 当()()0f x g x ''+≥在[]0,2上恒成立，得()e 20x x a ++≥在[]0,2恒成立，得()e 2x a x -+≥在[]0,2恒成立，因为()e 2x x -+在[]0,2上单调减函数，所以()e 2x x -+在[]0,2上取得最大值1-， 解得1a -≥． ………………………………13分 当()()0f xg x ''-≥在[]0,2上恒成立，得()e 20x x a -+≥在[]0,2上恒成立，即e 2x a x -≤在[]0,2上恒成立， 因为e 2x x -在[]0,ln 2上递减，在[]ln 2,2上单调递增， 所以e 2x x -在[]0,2上取得最小值22ln2-，所以22ln2a -≤， ……………………………15分 所以实数a 的取值范围为[]1,22ln 2--． ………………………16分19．（1）由圆R 的方程知，圆R的半径的半径r =因为直线OP ，OQ 互相垂直，且和圆R 相切，所以4OR ==，即220016x y +=，①………………………………………1分又点R 在椭圆C 上，所以220012412x y +=，②……………………………………2分联立①②，解得00x y ⎧=±⎪⎨=±⎪⎩ ……………………………………………………3分所以所求圆R的方程为((228x y ±+±=． ………………………4分（2）因为直线OP ：1y k x =，OQ ：2y k x =，与圆R 相切，=化简得22210010(8)280x k x y k y --+-=………………6分 同理222020020(8)280x k x y k y --+-=，……………………………………………7分 所以12,k k 是方程2220000(8)280x k x y k y --+-=的两个不相等的实数根，212208228y b b c k k a a a x --+-⋅===-…………………………8分 因为点00(,)R x y 在椭圆C 上，所以220012412x y +=，即22001122y x =-， 所以21220141282x k k x -==--，即12210k k +=． ………………………………10分 （3）22OP OQ +是定值，定值为36，……………………………………………11分 理由如下：法一：(i)当直线,OP OQ 不落在坐标轴上时,设1122(,),(,)P x y Q x y ,联立122,1,2412y k x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得212122112124,1224.12x k k y k ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩………………………………………12分 所以2221112124(1)12k x y k ++=+，同理，得2222222224(1)12k x y k ++=+，…………13分 由1212k k =-，所以2222221122OP OQ x y x y +=+++2212221224(1)24(1)1212k k k k ++=+++ 22112211124(1())24(1)211212()2k k k k +-+=+++- 2121367212k k +=+ 36= ………………………………………………………15分(ii)当直线,OP OQ 落在坐标轴上时,显然有2236OP OQ +=，综上：2236OP OQ +=． ……………………………………………………16分 法二：(i)当直线,OP OQ 不落在坐标轴上时,设1122(,),(,)P x y Q x y , 因为12210k k +=，所以1212210y y x x +=,即2222121214y y x x =， ……………12分 因为1122(,),(,)P x y Q x y 在椭圆C 上，所以221122221241212412x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即2211222211221122y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ……………………………………………13分 所以22221212111(12)(12)224x x x x --=，整理得221224x x +=， 所以222212121112121222y y x x ⎛⎫⎛⎫+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以2236OP OQ +=． ……………………………………………………15分(ii)当直线,OP OQ 落在坐标轴上时,显然有2236OP OQ +=，综上：2236OP OQ +=． ………………………………………………16分 20．（1）设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由410S =，1391S =，得11434102131213912a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩， ……………………2分解得111a d =⎧⎨=⎩，所以21(1)22n n n n nS na d -+=+=……………………………………………4分 （2）①因为111M S ==，若22,t =221312M S S =-=-=，()33332132t t t M S S +=-=-， 因为2213M M M =⋅，所以()331342t t +-=，()33114t t +=，此方程无整数解； ………………6分 若23,t =231615M S S =-=-=，()33333162t t t M S S +=-=-， 因为2213M M M =⋅，所以()3316252t t +-=，()33162t t +=，此方程无整数解；………………8分 若24,t =2411019M S S =-=-=，()333341102t t t M S S +=-=-， 因为2213M M M =⋅，所以()33110812t t +-=，()331182t t +=，解得313t =， 所以24t =，313t =满足题意…………………………………………………10分②由①知11t =，213t =+，23133t =++，则11M =，223M =，239M =，一般的取213113332n n n t --=++++=， ………………………13分此时31311222n n n t S ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=，11131311222n n n t S ---⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=，则n M ＝n t S －1n t S -＝()112131313131112222322n n n n n ---⎛⎫⎛⎫----++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=，所以n M 为一整数平方．因此存在数列{}n t ，使得数列{}n M 中的各数均为一个整数的平方．……16分数学Ⅱ部分21．【选做题】A ．(选修4—1：几何证明选讲)因为BE 切⊙O 于点B ，所以CBE ∠60BAC =∠=，因为2BE =，4BC =，由余弦定理得EC =4分 又因为2BE EC ED =⋅，所以ED ，…………………8分所以CD EC ED =-=． ………………10分B ．（选修4—2：矩阵与变换）设矩阵a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，这里a b c d ∈R ,,,， 因为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵A 的属于11λ=的特征向量，则有11111a b cd ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦①， ……4分 又因为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵A 的属于22λ=的特征向量，则有11200a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦② …6分 根据①②，则有11,20a b c d a c +=⎧⎪+=⎪⎨=⎪⎪=⎩,,, …………………………………………………8分从而2101a b c d ==-==,,,,所以2101A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． ……………………………10分 C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）由cos ,1sin ,x y αα=⎧⎨=+⎩得cos ,1sin ,x y αα=⎧⎨-=⎩两式平方后相加得22(1)1x y +-=， …………4分 因为曲线C 是以(0,1)为圆心，半径等于1的圆．得2sin ρθ=．即曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=． …………………………10分 D ．（选修4－5：不等式选讲）因为11,ax ax a a -+--≥ ……………………………5分 所以原不等式解集为R 等价于1 1.a -≥ 所以20.a a 或≥≤ 所以实数a 的取值范围为(][),02,-∞+∞． ………………………10分22．建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．（1）因为AB =AC =1，1AA =3，13λ=， 所以各点的坐标为(0,0,0)A ,(1,0,1)E ，1(0,0,3)A ，(0,1,2)F ．(1,0,1)AE =，1(0,1,1)A F =-． …………2分因为12AE A F ==11AE A F ⋅=-， 所以111,1cos 22AE A F AE A F AE A F⋅===-．所以向量AE 和1A F 所成的角为120o ，所以异面直线AE 与1A F 所成角为60． ……………4分（第21—A 题图）（2）因为(1,0,3)Eλ，(0,1,2)F ，所以(1,0,3),AEλ=设平面AEF的法向量为(,,)x y z=n，则0AE⋅=n，且0AF⋅=n．即30x zλ+=，且20y z+=．令1z=，则3,x yλ=-所以(3,2,1)λ=--n是平面AEF的一个法向量．又1(0,0,3)AA=，则111,cos39AAAAAA===nnn又因为直线1AA与平面AEF=12λ=．23．（1）因为11111122111n nn na aa an n++++<<+-+，24a=当1n=时，由21211111222a a a a⎛⎫+<+<+⎪⎝⎭，即有1112212244a a+<+<+，解得12837a<<．因为1a为正整数，故11a=．………………………………2分当2n=时，由33111126244a a⎛⎫+<+<+⎪⎝⎭，解得3810a<<，所以39a=．…………………………………………………4分（2）由11a=，24a=，39a=，猜想：2na n=………………………………5分下面用数学归纳法证明．1º当1n=，2，3时，由（1）知2na n=均成立．……………………………6分2º假设()3n k k=≥成立，则2ka k=，由条件得()22111111212k kk ka k a k++⎛⎫+<++<+⎪⎝⎭，所以()()23121111kk k kk kak k k++-+<<-+-，………………………………………8分所以()()2212111111kkk a kk k k+++-<<++-+-…………………………9分因为3k≥，21011kk k+<<-+，1011k<<-，又1ka*+∈N，所以()211ka k+=+．即1n k=+时，2na n=也成立．由1º，2º知，对任意n*∈N，2na n=．……………………………………10分。

江苏省宿迁市高三摸底考试数学试题2011.10.27一、填空题1、已知集合A={1,2}，B={-1,0,1}，则A ∪B= {-1,0,1,2} 。

2、已知复数512a bi i+=-（i 是虚数单位，a ,b ∈R ）,则a +b = 3 。

3、某射击运动员在四次射击中打出了10，x ，10，8环的成绩，已知这组数据的平均数为9，则这组数据的方差是 1 。

4、从1,2,3,4,5这5个数中一次随机取两个数，则这两个数的和为5的概率为 1/5 。

5、已知直线x+a y=2a +2与直线a x+y=a +1平行，则实数a 的值为 1 。

678设9、已知函数122,1()2log ,1{x x f x x x -≤=->，则满足f(x)≥1的x 的取值范围是 （-∞，2] 。

10、已知正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，则它的体积为 3。

11、已知圆心在x 的圆C 位于y 轴的右侧，且与直线x+y=0相切，则圆C 标准方程为 (x-2)2+y 2=2 。

12、已知一个等比数列的前三项的积为3，后三项的积为9，且所有项的积为243，则该数列的项数为 10 。

13、已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c(a,b,c ∈R),若函数f(x)在区间[-1,0]上是单调减函数，则a 2+b 2的最小值为 9/5 。

14、已知定义在R 上的偶函数f(x)在[0,+∞)上是增函数，且f(2)=1,若f(x+a) ≤1对x ∈[-1,1]恒成立，则实数a 的取值范围是 [-1,1] 。

二、解答题15、（14分）在△ABC 中，角A,B,C 所对变分别为a,b,c ，且满足1cos , 2.3A AB AC == （1）求△ABC 的面积； （2）若b+c=5,求a 的值。

解：（1）C D （第8题图）（第7题图）ABC ||||cos 2.||||=61cosA=sin A=331S =||||sin 2AB AC AB AC A AB AC AB AC ==∴∴又由得（2）又（1）中得:bc=6,所以a 2=b 2+c 2-2bccosA=9,a=316、如图在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是菱形，AC 交BD 于点O ，PA ⊥面ABCD ，E 是棱PB 的中点。