揭阳市2013-2014学年度高中三年级学业水平考试数学(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：棱锥的体积公式：13V Sh =．其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 在复平面内，复数(1)i i -对应的点位于A.第一象限B. 第二象限C.第三象限D. 第四象限 2. 已知集合{|lg(3)},{|2}A x y x B x x ==+=≥，则下列结论正确的是 A.3A -∈ B.3B ∉ C. AB B = D. A B B =3.“φπ=”是“函数sin(2)y x φ=+为奇函数的”A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 4. 向量(1,2),(3,4),BA BC =-=则AC =A.(4,2)B.(4,2)--C.(2,6)D.(4,2)-5. 若双曲线22221x y a b-=A.2±B.C.12±D.图（1）侧视图正视图俯视图6. 已知约束条件1400x x y kx y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为A.1B. 1-C.0D.2- 7. 图（1）中的网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画 出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为 A.4 B.8 C.16 D.20 8. 已知24()2,()f x x px q g x x x=++=+是定义在集合 5{|1}2M x x =≤≤上的两个函数．对任意的x M ∈,存在常数0x M ∈，使得0()()f x f x ≥，0()()g x g x ≥，且00()()f x g x =．则函数()f x 在集合M 上的最大值为A.92 B.4 C. 6 D. 892二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9－13题）9. 10(1)x -的展开式中2x 的系数是 ．（用数字作答）10. 若命题：“对2,10x R kx kx ∀∈--<”是真命题，则k 的取值范围是 ．11.设函数,0()0x f x x ⎧≥⎪=<，若()(1)2f a f +-=，则实数a = ．12. 图（2）是甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图，其中一个 数字被污损；则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为 ．13．3=．= ；．（*n N ∈）图（4）六级五级四级三级二级一级空气质量级别2天数64810（二）选做题（14—15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标中，已知点P 为方程()cos sin 2ρθθ-=所表示的曲线上一动点，4,3Q π⎛⎫⎪⎝⎭，则PQ 的最小值为 ． 15．（几何证明选讲选做题）如图（3），已知AB 是圆O 的直径，C 是AB 延长线上一点，CD 切圆O 于D ，CD=4，AB=3BC ， 则圆O 的半径长是 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）设数列{}n a 是公比为正数的等比数列，12a =，3212a a -=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足：333log ()log 2nn n b a =+，求数列{}n n a b +的前n 项和n S ．17．（本小题满分12分）根据空气质量指数AQI （为整数）的不同，可将空气质量分级如下表:某市2013年10月1日—10月30日，对空气质量指数进行监测,获得数据后得到如图（4）的条形图:（1）估计该城市本月(按30天计)空气质量类别为中度污染的概率；（2）在上述30个监测数据中任取2个,设ξ为空气 质量类别颜色为紫色的天数,求ξ的分布列. 18. （本小题满分14分） 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边为c b a ,, （1）若cos()2cos ,3A A π-= 求A 的值；（2）若1cos ,3A =且△ABC 的面积2S =，求C sin 的值. 19．（本小题满分14分）50 51100 101150 151200 300 一级 二级 三级 四级 五级 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染绿色 黄色 橙色 红色 紫色图（6）yxBOEFD如图（5），已知,,A B C 为不在同一直线上的三点，且111////AA BB CC ，111AA BB CC ==.(1)求证:平面ABC //平面111A B C ；(2)若1AA ⊥平面ABC ，且14AC AA ==,3,5BC AB ==, 求证：A 1C 丄平面AB 1C 1(3)在（2）的条件下，求二面角C 1-AB 1 -C 的余弦值.20.（本小题满分14分）如图（6），已知(,0)F c 是椭圆2222:1(0)x yC ab a b +=>>的右焦点； 222:()F x c y a -+=与x 轴交于,D E 两点，其中E 是椭圆C 的左焦点.(1)求椭圆C 的离心率； (2)设F 与y 轴的正半轴的交点为B ，点A 是点D 关于y 轴的对称点，试判断直线AB 与F 的位置关系；(3)设直线AB 与椭圆C 交于另一点G ，若BGD ∆，求椭圆C 的标准方程. 21．（本小题满分14分）已知0x >，函数()ln 1axf x x x =-+（1）当0a ≥时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当()f x 有两个极值点（设为1x 和2x ）时，求证：121()()[()1]x f x f x f x x x++≥⋅-+．揭阳市2013-2014学年度高中三年级学业水平考试数学（理科）参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分 的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数． 一．选择题CDAA BACC解析：8.依题意知，两个函数的图象有共同的最低点，由4()4g x x x =+≥=，当且仅当2x =“=”成立，故两函数图象的最低点为（2,4），由此得8,12p q =-=，所以2()2812f x x x =-+，()f x 在集合M 上的最大值为(1)6f =，选C.二．填空题：9.45；10.40k -<≤ ；11.1± 12.45；13.4、1n +；14.15. 3. 解析：12.设被污损的数字为x （x N ∈），则由甲的平均成绩超过乙的平均成绩得，88899291908383879990x ++++>+++++，解得08x ≤<，即当x 取0,1，……，7时符合题意，故所求的概率84105P ==.13. =x 3,=解得4x =，，……，由此可猜测=1n +.三.解答题：16.解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，由12a =，3212a a -=，得222120q q --=，即260q q --=．-------------------------------------------------------------3分 解得3q =或2q =-，--------------------------------------------------------------------------------------5分 ∵0q >∴2q =-不合舍去，∴123n n a -=⨯；---------------------------------------------------------6分（2）由333log ()log 2nn n b a =+得n b =121333log (23)log 3212n n n n --⨯⨯==-，----------------------------------------------------------8分 ∴数列{}n b 是首项11,b =公差2d =的等差数列，-----------------------------------------------------9分∴n S 1212()()n n a a a b b b =+++++++2(31)(121)312n n n -+-=+-231n n =-+．-----------------------------------------------------------12分 17.解：（1）由条形统计图可知,空气质量类别为中度污染的天数为6, ---------------------------1分 所以该城市本月空气质量类别为中度污染的概率 61305P ==.------------------------------------4分 （2）随机变量ξ的可能取值为0,1,2,----------------------------------------------------------------------5分则()22623065087C P C ξ===,--------------------------------------------------------------------------------7分()114262301041435C C P C ξ===,--------------------------------------------------------------------------------9分 ()2423022145C P C ξ===-----------------------------------------------------------------------------------11分 所以ξ的分布列为:--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------12分 18.解：（1）由cos()2cos ,3A A π-=得cos cos sin sin2cos ,33A A A ππ+=-------------------------------------------------------------------2分1cos 2cos ,22A A A ∴+= s i n 3c o sA A =,-----------------------------------------------4分 ∴tan A =6分 ∵0A π<< ∴3A π=；-----------------------------------------------------------------------------------7分（2）解法1：1cos ,A = ∴02A π<<∴sin A ==-----------------------------------------------------------------------------8分由21sin 23S bc A ===得3b c =，------------------------------------------------------10分由余弦定理得：22222222cos 928a b c bc A c c c c =+-=+-=，∴a =-----------12分由正弦定理得：sin sin a c A C =sin cC= 1sin3C ∴==.-----------------------------------------------------------------------------------------14分 【解法2：1cos ,3A = ∴02A π<<∴sin 3A ==-----------------------------------------------------------------------------8分由21sin 2S bc A ===得3b c =，------------------------------------------------------10分由余弦定理得：22222222cos 928a b c bc A c c c c =+-=+-=，∴a =-----------12分∵22222289a c c c c b +=+==，∴△ABC 是Rt △，角B 为直角，------------------------------13分1sin 3c C b ∴==．--------------------------------------------------------------------------------------------14分】 【:解法3：1cos ,3A = ∴02A π<<∴sin A ==------------------------------------------------------------------------------8分由21sin 23S bc A ===得3b c =，----------------------------------------------------------10分由余弦定理得：22222222cos 928a b c bc A c c c c =+-=+-=，∴a =----------------12分又21sin 2S ab C ==，得213s i n 22c C ⋅⋅⋅=，∴1sin 3C =.-----------------------14分】 【解法4：1cos ,3A = ∴02A π<<∴sin 3A ==-----------------------------------------------------------------------------8分由21sin 23S bc A ===得3b c =，------------------------------------------------------10分z yxA BCA1B 1C 1由正弦定理得：sin sin b cB C=，则3sin sin sin[()]C B A C π==-+sin()A C =+，--11分 3sin sin()sin cos cos sin C A C A C A C =+=+,13sin sin 33C C C =+,整理得cos C C =,代入22sin cos 1C C +=,得21sin 9C =，-------------------------13分由c b <知02C π<<,1sin 3C ∴=．------------------------------------------------------------------------------------------------14分】19.解：（1）证明：∵11//AA CC 且11AA CC =∴四边形11ACC A 是平行四边形，-------------------------------------------------------------------------------------------1分∴//AC 11AC ,∵AC ⊄面111A B C ，11AC ⊂面111A B C∴//AC 平面111ABC ，--------------------------------------------------------------------------------------------------------3分同理可得//BC 平面111ABC ,又ACCB C =,∴平面ABC //平面111ABC ----------------------------------------------------------------------------------------------------4分 (2)证法1：∵1AA ⊥平面ABC ，1AA ⊂平面11ACC A ∴平面11ACC A ⊥平面ABC ，---------------------5分 平面11ACC A 平面ABC =AC ，∵4AC =,3BC =,5AB = ∴222AC BC AB += ∴BC AC ⊥ --------------------------6分∴BC ⊥平面11ACC A ,---------------------------------------------------------------------------------------7分 ∴1BC AC ⊥，∵11//BC B C ∴111B C AC ⊥ 又1AA AC ⊥,1AC AA =得11ACC A 为正方形，∴11AC AC ⊥-----------------------------------8分 又1111AC B C C =,∴A 1C 丄平面AB 1C 1--------------------------------------------------------------------------------------------9分 【证法2：∵4AC =,3BC =,5AB = ∴222AC BC AB += ∴BC AC ⊥，---------------5分∵1AA ⊥平面ABC ，11//AA CC ∴1CC ⊥平面ABC ----------------------------------------------6分 以点C 为原点，分别以AC 、CB 、CC 1所在的直线为x 、y 、z 轴建立空间 直角坐标系如图示，由已知可1(4,0,0),(0,3,0),(0,0,0),(4,0,4)A B C A , 11(0,3,4),(0,0,4)B C ,则11(4,0,4),(4,0,4)AC C A =--=-,11(0,3,0)C B =------------------7分∵111110,0,AC C A AC C B ⋅=⋅= ∴11111,ACC A AC C B ⊥⊥ ---------8分 又1111,C A C B C =∴1AC ⊥平面11AB C .----------------------------------------------------------9分】 (3)由（2）得1(4,0,0),(0,3,4)C A C B ==,------------------------------------------------------------10分设平面1ABC 的法向量(,,)n x y z =，则由1,CB n CA n⊥⊥得34040y z x +=⎧⎨=⎩，令4y =得(0,4,3)n =-------------------------------------------------------------------------------------12分---------------------------------------------------------------------分（其它解法请参照给分）20.解：(1)∵圆F 过椭圆C 的左焦点，把(,0)c -代入圆F 的方程，得224c a =，故椭圆C 的离心率12c e a ==；--------------------------------------------------------------3分 (2) 在方程222()x c y a -+=中令0x =得2222ya cb =-=，可知点B 为椭圆的上顶点，由(1)知，12c a =，故2,a c b ===，故B )，--------------------------4分在圆F 的方程中令y=0可得点D 坐标为(3,0)c ，则点A 为(3,0)c -，--------------------------5分于是可得直线AB 的斜率AB k =分 而直线FB的斜率FB k ==分 ∵1AB FD k k ⋅=-, ∴直线AB 与F 相切。
