2016数学二轮复习 攻略二 分类与整合思想、化归与转化思想

高考理科数学二轮分类与整合的思想创新技巧「思想方法解读」 分类与整合的思想就是将一个复杂的数学问题分解成若干个简单的基础问题，通过对基础问题的解答，解决原问题的思维策略．实质上就是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略，使用分类与整合思想应明白这样几点：一是引起分类整合的原因；二是分类中整合的原则，不重不漏，分类标准统一；三是明确分类整合的步骤；四是将各类情况总结归纳．常见的分类整合问题有以下几种：(1)由概念引起的分类整合；(2)由性质、定理、公式的限制条件引起的分类整合；(3)由数学运算引起的分类整合；(4)由图形的不确定性引起的分类整合；(5)由参数的变化引起的分类整合.热点题型探究热点1 公式、定理的分类整合法例1 (1)(2019·开封市高三第三次模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，且x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫11π36，17π36，|f (x )|<1，则ω的最大值为( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2答案 C解析 因为x ＝－π4为f (x )的零点， 所以－π4ω＋φ＝k 1π(k 1∈Z )，① 因为x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴， 所以π4ω＋φ＝k 2π＋π2(k 2∈Z )，② ①＋②，得2φ＝(k 1＋k 2)π＋π2，得 φ＝(k 1＋k 2)π2＋π4， 因为|φ|≤π2，得φ＝±π4.②－①，得π2ω＝(k 2－k 1)π＋π2， 所以ω＝2(k 2－k 1)＋1＝2n ＋1(n ∈Z )． 当ω＝5时，如果f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫5x ＋π4， 令5x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，所以x ＝k π5＋π20，k ∈Z ， 当k ＝2时，x ＝9π20∈⎝ ⎛⎭⎪⎫11π36，17π36，与已知不符．如果f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －π4，令5x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，所以x ＝k π5＋3π20，k ∈Z ， 当k ＝1时，x ＝7π20∈⎝ ⎛⎭⎪⎫11π36，17π36，与已知不符．当ω＝3时，如果f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4， 令3x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，所以x ＝k π3＋π12，k ∈Z ， 当k ＝1时，x ＝5π12∈⎝ ⎛⎭⎪⎫11π36，17π36，与已知不符．如果f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π4， 令3x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，所以x ＝k π3＋π4(k ∈Z )∉⎝ ⎛⎭⎪⎫11π36，17π36，与已知相符．故选C.(2)(2019·上海市嘉定(长宁)区高三第二次质量调研)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且当0≤x ≤1时，f (x )＝log 2(x ＋a )．若对于任意x ∈[0,1]，都有f ⎝⎛⎭⎪⎫－x 2＋tx ＋12≥1－log 23，则实数t 的取值范围为________．答案 [0,3]解析 由题意，f (x )为周期为4的函数，且是奇函数.0在函数定义域内，故f (0)＝0，得a ＝1，所以当0≤x ≤1时，f (x )＝log 2(x ＋1)，当x ∈[－1,0]时，－x ∈[0,1]，此时f (x )＝－f (－x )＝－log 2(－x ＋1)，又f (x ＋2)＝－f (x )＝f (－x )，所以f (x )以x ＝1为对称轴，且当x ∈[－1,1]时，f (x )单调递增；当x ∈[1,3]时，f (x )单调递减．易知当x ∈[2,3]时，f (x )＝－log 2(x －1)．当x ∈[－1,3]时，令f (x )＝1－log 23，得x ＝－12或x ＝52，所以在[－1,3]内，当f (x )≥1－log 23时，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，52.设g (x )＝－x 2＋tx ＋12，若对于x ∈[0,1]都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＋tx ＋12≥1－log 23， 因为g (0)＝12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，52.故g (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，52.①当t2＜0时，g (x )在[0,1]上单调递减，故g (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤t －12，12⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，52，得t ≥0，无解． ②当0≤t ≤1，即0≤t 2≤12时，此时g ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2最大，g (1)最小，即g (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤t －12，t 24＋12⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，52.解得t ∈[0,1]． ③当1＜t ≤2，即12＜t2≤1时，此时g (0)最小，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2最大，即g (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，t 24＋12⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，52.解得t ∈(1,2]． ④当t ＞2时，即t 2>1，故g (x )在[0,1]上单调递增，故g (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，t －12⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，52.解得t ∈(2,3]．综上，t ∈[0,3]．(3)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n ＋1(n ∈N *)，且a 1＝1.则数列{a n }的通项公式是________．答案a n ＝⎩⎨⎧1，n ＝1，12·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2，n ≥2解析 ①当n ＝1时，由已知可得a 1＝2a 2，即a 2＝12a 1＝12.②当n ≥2时，由已知S n ＝2a n ＋1(n ∈N *)，可得S n －1＝2a n (n ≥2，n ∈N *)，两式相减得a n ＝2a n ＋1－2a n ⇒2a n ＋1＝3a n ，即a n ＋1a n ＝32，所以数列{a n }从第二项开始成一个首项为a 2＝12，公比为32的等比数列，故当n ≥2，n ∈N *时有a n ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2. 所以a n ＝⎩⎨⎧1，n ＝1，12·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2，n ≥2.解决由概念、法则、公式引起的分类整合问题的步骤第一步：确定需分类的目标与对象，即确定需要分类的目标，一般把需要用到公式、定理解决问题的对象作为分类目标．第二步：根据公式、定理确定分类标准．运用公式、定理对分类对象进行区分．第三步：分类解决“分目标”问题．对分类出来的“分目标”分别进行处理．第四步：汇总“分目标”．将“分目标”问题进行汇总，并作进一步处理．1．(2019·新疆维吾尔族自治区检测)已知x ∈R ，sin x －3cos x ＝5，则tan2x ＝( )A.43 B ．34 C ．－34 D ．－43答案 A解析 由sin x －3cos x ＝5及sin 2x ＋cos 2x ＝1，得(5＋3cos x )2＋cos 2x ＝1.即5cos 2x ＋35cos x ＋2＝0，cos x ＝－255或cos x ＝－55，所以当cos x ＝－255时，sin x ＝－55，tan x ＝12，tan2x ＝2×121－14＝43；当cos x ＝－55时，sin x ＝255，tan x ＝－2，tan2x ＝2×(－2)1－4＝43.所以tan2x ＝43，故选A.2．(2019·云南高三第一次统考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝2π3，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，BD ＝2，则△ABC 的面积的最小值为( )A ．3 3B ．4 3C ．5 3D ．6 3答案 B解析 设A ＝α，则0<α<π3，C ＝π－2π3－α＝π3－α， ∵∠ABC ＝2π3，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，BD ＝2，∴∠ABD ＝∠CBD ＝π3.在△ABD 中，∠ADB ＝π－π3－α＝2π3－α，由正弦定理可得AB sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－α＝BD sin α，∴AB ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－αsin α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋αsin α.在△CBD 中，∠CDB ＝π3＋α，由正弦定理可得BC sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝BDsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α， ∴BC ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α.∴△ABC 的面积S ＝12AB ·BC ·sin 2π3 ＝34×2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋αsin α×2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝32·1＋12cos2α＋32sin2α14cos2α＋34sin2α－14＝32·2(2＋cos2α＋3sin2α)3sin2α＋cos2α－1＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋63sin2α＋cos2α－1 ＝322＋62sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π6－1，∵0<α<π3，∴π6<2α＋π6<5π6，∴12<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6≤1，∴当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝1时，即α＝π6时，△ABC 的面积S 最小，最小值为32×(2＋6)＝43，故选B.3．已知锐角△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若b 是12，2的等比中项，c 是1,5的等差中项，则a 的取值范围是________．答案 (22，10)解析 因为b 是12，2的等比中项，所以b ＝ 12×2＝1；因为c 是1,5的等差中项，所以c ＝1＋52＝3. 因为△ABC 为锐角三角形，①当a 为最大边时，有⎩⎪⎨⎪⎧12＋32－a 2＞0，a ≥3，1＋3＞a ，解得3≤a ＜10；②当c 为最大边时，有⎩⎪⎨⎪⎧12＋a 2－32＞0，a ＋1＞3，a ≤3，解得22＜a ≤3.由①②得22<a <10，所以实数a 的取值范围是(22，10)． 热点2 位置关系的分类整合法例2 (1)(2019·兰州一模)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[9，＋∞)B ．(0，3]∪[9，＋∞)C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0，3]∪[4，＋∞)答案 A解析 如图，设DE 是椭圆的短轴，利用动态分析，或过A ，D ，B 作圆F ，根据圆周角定理，易知∠AMB ≤∠ADB .若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则∠ADB ≥120°，所以|OB ||OD |＝tan ∠ODB ≥tan60°＝ 3.当焦点在x 轴上时，|OB |＝3，|OD |＝m ，3m ≥ 3，解得0<m ≤1；当焦点在y 轴上时，|OB |＝m ，|OD |＝3，m3≥ 3，解得m ≥9.故m 的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)，选A. (2)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋2y ≤4，x －2y ≤2，如果目标函数z ＝x ＋ay 的最大值为163，则实数a 的值为( )A ．3B ．143C ．3或143 D ．3或－113答案 D解析 先画出线性约束条件所表示的可行域，如图中阴影部分所示，目标函数化为y ＝－1a x ＋1a z ，当a >0时，－1a ＜0，只需目标函数截距最大．①若－12＜－1a <0，即a >2，最优解为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，z ＝43＋43a ＝163，a ＝3，符合题意；②若－1a ＜－12，即0<a <2，最优解为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，z ＝3＋12a ＝163，a ＝143，不符合题意，舍去． 当a <0时，－1a >0，只需目标函数截距最小． ③若0<－1a <12，即a <－2，最优解为C (－2，－2)， z ＝－2－2a ＝163，a ＝－113，符合题意；④若12<－1a <1，即－2<a <－1，最优解为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，此时a ＝143，不符合题意，舍去．⑤若－1a >1，即－1<a <0，最优解为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，z ＝3＋12a ＝163，a ＝143，不符合题意，舍去； 综上可知实数a 的值为3或－113.故选D.六类常见的由图形的位置或形状变化引起的分类整合(1)二次函数对称轴的变化；(2)函数问题中区间的变化；(3)函数图象形状的变化；(4)直线由斜率引起的位置变化；(5)圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；(6)立体几何中点、线、面的位置变化等．1．(2019·山西太原第五中学阶段检测)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，且z ＝ax ＋3y 的最小值为7，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．－2D ．－1答案 B解析由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3作出可行域如图中阴影部分所示，联立方程组求得A (2，1)，B (4,5)，C (1,2)，化目标函数z ＝ax ＋3y 为y ＝－a 3x ＋z 3.当a ＞0时，由图可知，当直线y ＝－a 3x ＋z3过A 或C 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值．若过A ，则2a ＋3＝7，解得a ＝2，符合题意；若过C ，则a ＋6＝7，解得a ＝1不符合题意．当a ＜0时，由图可知，当直线y ＝－a 3x ＋z3过A 或B 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值．若过A ，则2a ＋3＝7，解得a ＝2，不符合题意；若过B ，则4a ＋15＝7，解得a ＝－2，不符合题意．所以a 的值为2.故选B.2．如图，M ，N 是焦点为F 的抛物线y 2＝4x 上的两个不同的点，且线段MN 的中点A 的横坐标为3，直线MN 与x 轴交于B 点，则点B 的横坐标的取值范围是( )A ．(－3,3]B ．(－∞，3]C ．(－6，－3)D ．(－6，－3)∪(－3,3]答案 A解析 ①若直线MN 的斜率不存在，则点B 的坐标为(3,0)．②若直线MN 的斜率存在，设A (3，t )(t ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，∴y 1－y 2x 1－x 2(y 1＋y 2)＝4，即k MN ＝2t ，∴直线MN的方程为y －t ＝2t (x －3)，∴点B 的横坐标x B ＝3－t 22，由⎩⎨⎧y －t ＝2t (x －3)，y 2＝4x消去x ，得y 2－2ty ＋2t 2－12＝0，由Δ>0得t 2<12，又t ≠0，∴x B ＝3－t22∈(－3，3)．综上，点B 的横坐标的取值范围为(－3，3]．热点3 含参数问题的分类整合法例3 (2019·石家庄市第二中学高三模拟)函数f (x )＝1e ·e x －ax －1e (a 为常数)的图象与x 轴有唯一公共点M .(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若a ＝－2，存在不相等的实数x 1，x 2，满足f (x 1)＝－f (x 2)，证明：x 1＋x 2<0. 解 (1)函数f (x )的定义域为R ，且f (0)＝0，由题意可知，曲线f (x )与x 轴存在公共点M (0,0)，又f ′(x )＝e x －1－a ，若a ≤0，则f ′(x )>0，f (x )单调递增； 若a >0，由f ′(x )＝0得x ＝1＋ln a ，当x ∈(－∞，1＋ln a )时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(1＋ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． ①当1＋ln a ＝0，即a ＝1e 时，f (x )的极小值为f (0)＝0， 曲线f (x )与x 轴只有一个公共点，符合题意；②当1＋ln a >0，即a >1e 时，由基本结论“x >0时，e x >x 2”，a ＋2>a >1＋ln a . 知f (a ＋2)＝e a ＋1－a (a ＋2)－1e >(a ＋1)2－a 2－2a －1＝0，又f (1＋ln a )<f (0)＝0.由零点存在定理知，此时的函数f (x )在区间(1＋ln a ，a ＋2)上有一个零点，这与函数f (x )的图象与x 轴有唯一公共点矛盾，舍去；③当1＋ln a <0，即0<a <1e 时，设m (a )＝1＋ln a ＋1a e ，m ′(a )＝a e －1a 2e <0，则m (a )>m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝1>0， 即1＋ln a >－1a e ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a e ＝e －1a e －1 －⎝ ⎛⎭⎪⎫－a a e －1e ＝e －1a e －1 >0.又f (1＋ln a )<f (0)＝0.由零点存在定理知，此时函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a e ，1＋ln a 上有一个零点，这与函数f (x )的图象与x 轴有唯一公共点矛盾，舍去；综上所述，当a ＝1e 时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0)．当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间．(2)证明：a ＝－2时，f (x )＝ex －1＋2x －1e ，由f (x 1)＝－f (x 2)，得e x 1－1＋2x 1－1e ＝－⎝⎛⎭⎪⎫e x 2－1＋2x 2－1e ， 所以2x 1＋2x 2＋(e x 1－1＋e x 2－1)－2e ＝0， 由基本不等式，知2(x 1＋x 2)＋2e x 1－1·e x 2－1－2e ＜0，即e x 1＋x 22 －1＋(x 1＋x 2)－1e ＜0，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<0，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f (0)，而当a ＝－2时，由(1)知f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，故x 1＋x 22<0，所以x 1＋x 2<0.利用分类整合思想的注意点(1)分类整合要标准统一，层次分明，分类要做到“不重不漏”．(2)分类整合时要先根据题设条件确定讨论的级别，再确定每级讨论的对象与标准，每级讨论中所分类别应做到与前面所述不重不漏，最后将讨论结果归类合并，其中级别与级别之间有严格的先后顺序、类别和类别之间没有先后；最后整合时要注意是取交集、并集，还是既不取交集也不取并集只是分条列出．(2019·湖南省高三六校联考)已知函数f (x )＝e x ，g (x )＝ax 2＋x ＋1(a >0)．(1)设F (x )＝g (x )f (x )，讨论函数F (x )的单调性； (2)若0<a ≤12，证明：f (x )>g (x )在(0，＋∞)上恒成立．解 (1)F (x )＝g (x )f (x )＝ax 2＋x ＋1e x ， F ′(x )＝－ax 2＋(2a －1)x e x ＝－ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a －1a e x .①若a ＝12，F ′(x )＝－x 22e x ≤0，∴F (x )在R 上单调递减．②若a >12，则2a －1a >0，当x <0或x >2a －1a 时，F ′(x )<0，当0<x <2a －1a 时，F ′(x )>0，∴F (x )在(－∞，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －1a ，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a －1a 上单调递增．③若0<a <12，则2a －1a <0，当x <2a －1a 或x >0时，F ′(x )<0，当2a －1a <x <0时，F ′(x )>0.∴F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2a －1a ，(0，＋∞)上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －1a ，0上单调递增．(2)证明：∵0<a ≤12，∴ax 2＋x ＋1≤12x 2＋x ＋1.设h (x )＝e x－12x 2－x －1，则h ′(x )＝e x －x －1. 设p (x )＝h ′(x )＝e x －x －1，则p ′(x )＝e x －1，在(0，＋∞)上，p ′(x )>0恒成立．∴h ′(x )在(0，＋∞)上单调递增．又∵h ′(0)＝0，∴x ∈(0，＋∞)时，h ′(x )>0， ∴h (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴h (x )>h (0)＝0，∴e x－12x 2－x －1>0，e x >12x 2＋x ＋1，∴e x >12x 2＋x ＋1≥ax 2＋x ＋1，∴f (x )>g (x )在(0，＋∞)上恒成立．。

不怕难题不得分，就怕每题扣点分！常用的数学思想和方法一．数学思想：1．数形结合的思想；2．分类与整合的思想；3．函数与方程的思想；4．转化与化归的思想；5．特殊与一般的思想；6．有限与无限的思想；7．或然与必然的思想；8．正难则反的思想．二．数学基本方法：配方法、换元法、反证法、割补法、待定系数法；分析法、比较法、综合法、归纳法、观察法、定义法、等积法、向量法、解析法、构造法、类比法、放缩法、导数法、参数法、消元法、不等式法、判别式法、数形结合法、分类讨论法、数学归纳法、分离参数法、整体代换、正难则反、设而不求、设而求之．【解题时：方法多，思路广，运算准，化简快．】三．数学逻辑方法：分析与综合、归纳与演绎、比较与类比、具体与抽象等．【也称数学思维方法．】四．选择题的方法：四个选项有极大的参考价值！千万不要小题大做！①求解对照法(直接法)；②逆推代入法(淘汰法)；③数形结合法(不要得意忘形)；④特值检验法(定值问题)；⑤特征分析法(针对选项)；⑥合理存在性法(针对选项)；⑦逻辑分析法(充要条件)；⑧近似估算法(可能性)．五．填空题的方法：①直接法；②特例法(定值问题)；③数形结合法；④等价转化法．六．熟练掌握数学语言的三种形式：自然语言、符号语言、图形语言的相互转化．七．计算与化简：这是一个值得十分注意的问题！平时的训练中，要多思考如何快速准确的计算和熟练的化简！八．学会自学！课堂上不可能把所有的题型都讲到！所以要多看例题，多思考！看之前一定要想自己会怎么做！怎么看：一看解题思路【看完后要归纳步骤、总结方法】，二看规范表达【尽量学会使用数学语言、符号】．学会总结归类：①从数学思想上归类；②从知识应用上归类；③从解题方法上归类；④从题型类型上归类．【特别提醒】1．一道题有没有简便解法，关键就在于你能不能发现其中的一些条件的特殊性，并能加以灵活运用！（灵机一动）【转化、联想、换元等，另外，解题时有时对一些细节的处理也很关键，会起到峰回路转、柳暗花明的作用．】2．解函数、解析几何、立体几何的客观题，应特别注意数形结合思想的运用！但在解答题中，不能纯粹只凭借图象来解答问题；图象只起到帮助找到解题思路的作用【图象尽量画准，甚至在有时给出图象时也需要自己重新准确画一遍】；解题过程还是要进行严谨的理论推导【用数学语言表达】，不能纯粹以图象代替推理、证明．3．转化数量关系时，若是写不等式，则要注意是否可以取“=”．特别是求取值范围时，端点一定要准确处理．4．平常做解答题应该做完整：解题过程的表达是否流畅、简洁．否则到考试时，还需为如何组织语言表达去思考而耽误时间．这是平时训练值得注意的【条理分明、言简意赅、字迹工整】！表达也是思维的一部分！5．在解答题中，某些局部问题解答过程的书写的详略，取决于整个解题书写过程的长短：长则略写，可用易证、易知等字眼；短则详写．如果要应用教材中没有的重要结论，那么在解题过程中要给出简单的证明．6．在设置有几问的解答题中，后面问题的解决有时候依赖于如何灵活运用前面已解决的问题的结论．有些解答题某一问貌似与前面无关，实则暗【明】示你必须把它与前面联系起来，才能解决问题．7．平常要多积累解题经验和解题技巧．熟记一些数学规律和数学小结论对解题也是很有帮助的．8．数学总分上不上得去，很大程度上取决于选择题、填空题得分高不高．而选择题、填空题更注重对基础知识，基本数学思想、方法和技能的全面考察．因此，要熟练掌握解选择题、填空题的特有方法：在解选择题或填空题时，优秀的解题方法更显得重要．建议每天做一份选择、填空题，花大力气提高解选择、填空题的准确率和速度．【注意：选择题的四个选项中有且只有一个是正确的，是一个需要特别重视的已知条件．】9．可以在专门的笔记本上，收集作业、考试中的错题，学习中遇到的经典题，便于日后考前复习巩固．⒑作业本上的错题、试卷上的错题一定要及时更正！做错了不可怕，可怕的是做错了不去纠正！我的成功归功于精细的思考，只有不断地思考，才能到达发现的彼岸。

高三数学的复习计划范文一、二轮复习指导思想：高三第一轮复习一般以知识、技能、方法的逐点扫描和梳理为主，通过第一轮复习，学生大都能掌握基本概念的性质、定理及其一般应用，但知识较为零散，综合应用存在较大的问题。

而第二轮复习承上启下，是知识系统化、条理化，促进灵活运用的关键时期，是促进学生素质、能力发展的关键时期，因而对讲练、检测等要求较高。

二、二轮复习形式内容：以专题的形式，分类进行。

具体而言有以下几大专题。

（1）集合、函数与导数。

此专题函数和导数、应用导数知识解决函数问题是重点，特别要注重交汇问题的训练。

每年高考中导数所占的比重都非常大，一般情况在客观题中考查的导数的几何意义和导数的计算属于容易题;二在解答题中的考查却有很高的综合性，并且与思想方法紧密结合，主要考查用导数研究函数的性质，用函数的单调性证明不等式等。

（预计5课时）（2）三角函数、平面向量和解三角形。

此专题中平面向量和三角函数的图像与性质，恒等变换是重点。

近几年高考中三角函数内容的难度和比重有所降低，但仍保留一个选择题、一个填空题和一个解答题的题量，难度都不大，但是解三角形的内容应用性较强，将解三角形的知识与实际问题结合起来将是今后命题的一个热点，我们可以关注。

平面向量具有几何与代数形式的“双重性”，是一个重要的只是交汇点，它与三角函数、解析几何都可以整合。

（预计2课时）（3）数列。

此专题中数列是重点，同时也要注意数列与其他知识交汇问题的训练。

例如，主要是数列与方程、函数、不等式的结合，概率、向量、解析几何为点缀。

数列与不等式的综合问题是近年来的热门问题，而数列与不等式相关的大多是数列的前n项和问题。

（预计2课时）（4）立体几何。

此专题注重几何体的三视图、空间点线面的关系，用空间向量解决点线面的问题是重点（理科）。

（预计3课时）（5）解析几何。

此专题中解析几何是重点，以基本性质、基本运算为目标。

直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹方程的探求以及最值范围、定点定值、对称问题是命题的主旋律。

分类与整合、化归与转化的思想
分类与整合的思想
当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。

分类与整合就是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学思想.
化归与转化的思想
在研究与解决问题时采用某种形式，借助某些数学知识，将问题进行等价转化，是抽象问题具体化、复杂问题简单化、未知问题已知化等，进而达到解决问题的思想.。

【高考解码】（新课标）2015届高考数学二轮复习 分类与整合思想、化归与转化思想一、选择题1．过点P (2,3)，且在坐标轴上的截距相等的直线方程是( ) A ．3x －2y ＝0 B ．x ＋y －5＝0C ．3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0D ．不能确定【解析】 当截距为零时，得直线方程为3x －2y ＝0；当截距不为零时，设直线方程为x ＋y ＝a ，代入P (2,3)，得a ＝5，故其方程为x ＋y －5＝0，故选C.【答案】 C2．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为( ) A.89 3 B ．4 3 C.29 3 D ．43或833 【解析】 当6为正三棱柱的侧棱时，则底面边长为43，所以V ＝6×34⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝83 3.当4为正三棱柱的侧棱时，则底面边长为2，所以V ＝4×34×22＝43，故选D. 【答案】 D3．若函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞]上是增函数，则a 的值为( )A.13B.14C.23D ．1 【解析】 g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则1－4m >0，所以m <14.若a >1，则函数f (x )＝a x 单调递增，此时有a 2＝4，a ＝2，m ＝a －1＝1a ＝12，此时不成立，所以a ＝2不成立．若0<a <1，则函数y ＝a x 单调递减，此时有a －1＝4，a ＝14，m ＝a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝116，此时成立，所以a ＝14.【答案】 B4．(2014·安徽高考)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为( ) A.12或－1 B ．2或12 C ．2或1 D ．2或－1【解析】 结合图象及目标函数最优解不唯一可知，直线y ＝ax ＋z ，一定和直线x ＋y －2＝0或直线2x －y ＋2＝0平行，故a ＝－1或a ＝2.【答案】 D5．在△ABC 中，|AB |＝3，|AC |＝4，|BC |＝5.点D 是边BC 上的动点，AD →＝xAB →＋yAC →，当xy 取最大值时，|AD →|的值为( )A ．4B ．3 C.52 D.125【解析】 ∵|AB |＝3，|AC |＝4，|BC |＝5，∴△ABC 为直角三角形．如图建立平面直角坐标系，A (0,0)，B (3,0)，C (4,4)， 设D (a ，b )， 由AD →＝xAB →＋yAC →， 则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3x ，b ＝4y ， ∴xy ＝ab12.又∵D 在直线l BC ：x 3＋y4＝1上，∴a 3＋b 4＝1，则a 3＋b 4≥2 ab12. ∴ab 12≤14，即xy ≤14， 此时a ＝32，b ＝2，|AD →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22＝52. 【答案】 C二、填空题6．(2014·辽宁高考)对于c ＞0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，1a ＋2b ＋4c的最小值为________．【解析】 要使|2a ＋b |最大，则必须a ，b 同号，因为4a 2＋b 2＋4ab ＝c ＋6ab ＝(2a ＋b )2≤c＋3(2a ＋b 2)2，故有(2a ＋b )2≤4c ，c ≥2a ＋b 24，当且仅当2a ＝b 时取等号，此时c ＝b 2，所以1a ＋2b ＋4c ＝4b ＋4b 2＝4(1b ＋12)2－1≥－1，故1a ＋2b ＋4c 的最小值为－1. 【答案】 －17．(2014·北京东城区质检)定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离等于曲线C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2到直线l ：y ＝x 的距离，则实数a ＝________.【解析】 圆C 2的圆心到直线l 的距离为|0－－4|12＋－12＝22>2，此时直线l 与圆C 2相离．根据新定义可知，曲线C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2到直线l ：y ＝x 的距离为22－2＝2，对函数y ＝x 2＋a 求导得y ′＝2x ，令y ′＝1⇒2x ＝1⇒x ＝12，故曲线C 1在x ＝12处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋a ＝x －12，即x －y ＋a －14＝0，∴2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －142，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＝2，∴a ＝94或－74(舍去)．【答案】 948．(2014·福建厦门质检)已知函数f (x )＝x ＋3a2x－2a ln x 在区间(1,2)内是增函数，则实数a 的取值范围是________．【解析】 f ′(x )＝1－3a 2x 2－2a x ，由已知得1－3a 2x 2－2a x≥0在x ∈(1,2)内恒成立，即x2－2ax －3a 2≥0在x ∈(1,2)内恒成立．设g (x )＝x 2－2ax －3a 2，则⎩⎪⎨⎪⎧g 1≥0a ≤1，或⎩⎪⎨⎪⎧g 2≥0a ≥2，或Δ＝(－2a )2＋12a 2≤0，解得－1≤a ≤13或a ∈∅或a ＝0，所以实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13三、解答题9．(2014·安徽江南十校)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2n＋1a n (n ∈N *)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等比数列；(2)设数列{S n }的前n 项和为T n ，求T n ； (3)试比较T n 与nS n 的大小．【解】 (1)证明 由a 1＝S 1＝2－3a 1得a 1＝12，由S n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1a n 得S n －1＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －1＋1a n －1(n ≥2)，于是a n ＝S n －S n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －1＋1a n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1a n(n ≥2)，整理得a n n ＝12×a n －1n －1(n ≥2)，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项及公比均为12的等比数列．(2)由(1)知a n n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，即a n ＝n 2n ，代入已知得S n ＝2－n ＋22n ，令数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n ＋22n 的前n 项和为A n ，则A n ＝32＋422＋523＋…＋n ＋22n ，由错位相减法得A n ＝4－n ＋42n ，所以数列{S n }的前n 项和T n ＝2n －⎝⎛⎭⎪⎫4－n ＋42n ＝2n ＋n ＋42n －4.(3)由S n ＝2－n ＋22n 得S n ＋1－S n ＝n ＋22n －n ＋32n ＋1＝n ＋12n ＋1>0知数列{S n }为递增数列，所以当n ＝1时，T 1＝S 1；当n ≥2时，T n ＝S 1＋S 2＋…＋S n <S n ＋S n ＋…＋S n ＝nS n .10．(2014·天津高考)已知函数f (x )＝x 2－23ax 3(a ＞0)，x ∈R .(1)求f (x )的单调区间和极值；(2)若对于任意的x 1∈(2，＋∞)，都存在x 2∈(1，＋∞)，使得f (x 1)·f (x 2)＝1.求a 的取值范围．【解】 (1)由已知，有f ′(x )＝2x －2ax 2(a ＞0)．令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝1a.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，0) 0 (0，1a)1a(1a，＋∞)f ′(x ) －0 ＋0 －f (x )↘13a2所以，f (x )的单调递增区间是(0，a )；单调递区间是(－∞，0)，(a，＋∞)．当x ＝0时，f (x )有极小值，且极小值f (0)＝0；当x ＝1a 时，f (x )有极大值，且极大值f (1a)＝13a2. (2)由f (0)＝f (32a )＝0及(1)知，当x ∈(0，32a)时，f (x )＞0；当x ∈(32a，＋∞)时，f (x )＜0.设集合A ＝{f (x )|x ∈(2，＋∞)}，集合B ＝{1f x|x ∈(1，＋∞)，f (x )≠0}．则“对于任意的x 1∈(2，＋∞)，都存在x 2∈(1，＋∞)，使得f (x 1)·f (x 2)＝1”等价于A ⊆B .显然，0∉B .下面分三种情况讨论：①当32a ＞2，即0＜a ＜34时，由f (32a)＝0可知，0∈A ，而0∉B ，所以A 不是B 的子集．②当1≤32a ≤2，即34≤a ≤32时，有f (2)≤0，且此时f (x )在(2，＋∞)上单调递减，故A＝(－∞，f (2))，因而A ⊆(－∞，0)；由f (1)≥0，有f (x )在(1，＋∞)上的取值范围包含(－∞，0)，则(－∞，0)⊆B .所以A ⊆B .③当32a ＜1，即a ＞32时，有f (1)＜0，且此时f (x )在(1，＋∞)上单调递减，故B ＝(1f 1，0)，A ＝(－∞，f (2))， 所以A 不是B 的子集．综上，a 的取值范围是[34，32]．。

3．分类与整合思想分类与整合思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度；分类研究后还要对讨论结果进行整合.应用1 由基本概念、法则引起的分类讨论【典例1】(1)若函数f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.(2)在等比数列{a n }中，已有a 3＝32，S 3＝92，则a 1＝________. (1)14 (2)32或6 [(1)若a ＞1，有a 2＝4，a －1＝m . 解得a ＝2，m ＝12.此时g (x )＝－x 为减函数，不合题意． 若0＜a ＜1，有a －1＝4，a 2＝m ， 故a ＝14，m ＝116，检验知符合题意．(2)当q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝32，S 3＝3a 1＝92，显然成立． 当q ≠1时，由a3＝32，S 3＝92，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝32， ①a 1(1＋q ＋q 2)＝92. ②由②①，得1＋q ＋q 2q 2＝3，即2q 2－q －1＝0， 所以q ＝－12或q ＝1(舍去)． 当q ＝－12时，a 1＝a 3q 2＝6，综上可知，a 1＝32或a 1＝6.]【对点训练1】(1)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x ＞1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74 B ．－54 C ．－34D ．－14(2)已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________.(3)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且A ＝2B ，b ≠c ，若a 2＋c 2＝b 2＋2ac sin C ，则A ＝________.(1)A (2)－32 (3)π4 [(1)由于f (a )＝－3，①若a ≤1，则2a －1－2＝－3，整理得2a －1＝－1.由于2x ＞0，所以2a －1＝－1无解；②若a ＞1，则－log 2(a ＋1)＝－3，解得a ＋1＝8，a ＝7， 所以f (6－a )＝f (－1)＝2－1－1－2＝－74. 综上所述，f (6－a )＝－74.(2)当a ＞1时，函数f (x )＝a x ＋b 在[－1,0]上为增函数，由题意得⎩⎨⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0无解． 当0＜a ＜1时，函数f (x )＝a x ＋b 在[－1,0]上为减函数，由题意得⎩⎨⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－32.(3)∵a 2＋c 2＝b 2＋2ac sin C ， ∴a 2＋c 2－b 22ac ＝sin C .由余弦定理得cos B ＝sin C ， ∵0＜B ＜π，0＜C ＜π， ∴C ＝π2－B 或C ＝π2＋B .①当C ＝π2－B 时，由A ＝2B 且A ＋B ＋C ＝π， 得A ＝π2，B ＝C ＝π4，这与“b ≠c ”矛盾． ∴A ≠π2.②当C ＝π2＋B 时， 由A ＝2B 且A ＋B ＋C ＝π， 得B ＝π8，C ＝5π8，A ＝π4.]应用2 由图形的不确定性引起的分类讨论【典例2】(1)已知变量x ，y 满足的不等式组⎩⎨⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k ＝( )A ．－12 B.12 C ．0D ．－12或0(2)设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线C 的离心率等于________．(1)D (2)12或32 [(1)不等式组⎩⎨⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的可行域如图(阴影部分)所示．由图可知，若要使不等式组⎩⎨⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是直角三角形，只有当直线kx －y ＋1＝0与直线y 轴或y ＝2x 垂直时才满足．结合图形可知斜率k的值为0或－12.(2)不妨设|PF 1|＝4t ，|F 1F 2|＝3t ，|PF 2|＝2t ，其中t ≠0. 若该曲线为椭圆，则有|PF 1|＋|PF 2|＝6t ＝2a ， |F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 6t ＝12；若该曲线为双曲线，则有|PF 1|－|PF 2|＝2t ＝2a ， |F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 2t ＝32.]【对点训练2】(1)已知正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为( )A.833 B ．4 3 C.239D ．43或833(2)若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y 2m ＝1的离心率为________． (1)D (2)32或5 [(1)当正三棱柱的高为4时，体积V ＝2×3×12×4＝43； 当正三棱柱的高为6时，体积V ＝43×233×12×6＝833，故选D. (2)由题意可知m 2＝2×8＝16，∴m ＝±4. 当m ＝4时，曲线为椭圆，离心率e ＝1－14＝32.为m ＝－4时，曲线为双曲线，离心率e ＝1＋4＝ 5.]应用3 由参数变化引起的分类讨论【典例3】 已知函数f (x )＝x 2－(2m ＋1)x ＋ln x (m ∈R )．(1)当m ＝－12时，若函数g (x )＝f (x )＋(a －1)ln x 恰有一个零点，求a 的取值范围；(2)当x ＞1时，f (x )＜(1－m )x 2恒成立，求m 的取值范围． 切入点：(1)求f ′(x )，就a 的取值结合f (x )的单调性分析．(2)构造函数h (x )＝f (x )－(1－m )x 2，就m 的取值及h (x )的最大值情况求m 的取值范围．[解](1)函数g (x )的定义域为(0，＋∞)．当m ＝－12时，g (x )＝a ln x ＋x 2，所以g ′(x )＝a x ＋2x ＝2x 2＋a x .①当a ＝0时，g (x )＝x 2，在x ∈(0，＋∞)上，g (x )＝0无解．∴x ＞0时无零点，即a ≠0.②当a ＞0时，g ′(x )＞0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，取x 0＝e －1a，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫e －1a ＝－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫e －1a 2＜0， 因为g (1)＝1，所以g (x 0)·g (1)＜0，此时函数g (x )恰有一个零点，即a ＞0. ③当a ＜0时，令g ′(x )＝0， 解得x ＝－a2. 当0＜x ＜－a 2时， g ′(x )＜0，所以g (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，－a 2上单调递减； 当x ＞－a 2时，g ′(x )＞0，所以g (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞上单调递增．要使函数g (x )有一个零点，则g ⎝⎛⎭⎪⎫－a 2＝a ln －a 2－a2＝0，即a ＝－2e.综上所述，若函数g (x )恰有一个零点，则a ＝－2e 或a ＞0.(2)令h (x )＝f (x )－(1－m )x 2＝mx 2－(2m ＋1)x ＋ln x ，根据题意，当x ∈(1，＋∞)时，h (x )＜0恒成立．又h ′(x )＝2mx －(2m ＋1)＋1x ＝(x －1)(2mx －1)x.①若0＜m ＜12，则x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ，＋∞时，h ′(x )＞0恒成立，所以h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ，＋∞上是增函数，且h (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ，＋∞，所以不符合题意．②若m ≥12，则x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0恒成立，所以h (x )在(1，＋∞)上是增函数，且h (x )∈(h (1)，＋∞)，所以不符合题意．③若m ≤0，则x ∈(1，＋∞)时，恒有h ′(x )＜0，故h (x )在(1，＋∞)上是减函数，于是“h (x )＜0对任意x ∈(1，＋∞)都成立”的充要条件是h (1)≤0，即m －(2m ＋1)≤0，解得m ≥－1，故－1≤m ≤0.综上，m 的取值范围是[－1,0]．【对点训练3】已知函数f (x )＝ax ＋a －1x ＋1－2a (a ＞0)，若f (x )≥ln x 在[1，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围．[解] 令g (x )＝f (x )－ln x ＝ax ＋a －1x ＋1－2a －ln x ，x ∈[1，＋∞)， 则g (1)＝0，g ′(x )＝a －a －1x 2－1x ＝ax 2－x －(a －1)x 2＝a (x －1)⎝⎛⎭⎪⎫x －1－a a x 2.①当1－a a ＞1，即0＜a ＜12时，若1＜x ＜1－a a ，则g ′(x )＜0，g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1－a a 上是减函数，所以存在x ∈[1，＋∞)，使g (x )＜g (1)＝0，即f (x )＜ln x ，所以f (x )≥ln x 在[1，＋∞)上不恒成立．②当1－a a ≤1，即a ≥12时，若x ≥1，则g ′(x )≥0，g (x )在[1，＋∞)上是增函数， 所以g (x )≥g (1)＝0，即f (x )≥ln x ， 所以当x ≥1时，f (x )≥ln x 恒成立． 综上所述，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.。

高考数学以能力立意,一是考查数学的基础知识,基本技能;二是考查基本数学思想方法,考查数学思维的深度、广度和宽度，数学思想方法是指从数学的角度来认识、处理和解决问题，是数学意识，是数学技能的升华和提高，中学数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归和转化思想．（一）函数与方程思想函数思想，就是用函数与变量去思考问题分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的数学思想．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组,或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决的数学思想．例1 (1)(2014·湖南）若0<x1〈x2〈1，则( ）A．e2x－e1x〉ln x2－ln x1B．e1x－e2x<ln x2－ln x1C．x2e1x>x1e2xD．x2e1x<x1e2x(2）若将函数f（x)＝sin 2x＋cos 2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是____．思维升华函数与方程思想在解题中的应用（1)函数与不等式的相互转化，对函数y＝f（x)，当y>0时，就化为不等式f(x）>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．(2）数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数有关理论．（4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决．跟踪演练1 （1)(2015·淄博实验中学诊断）若函数f(x）在R上可导，且满足f(x）〈xf′（x)，则（)A．2f(1）〈f(2）B．2f(1)>f(2)C．2f（1)＝f（2）D．f(1)＝f(2）(2）如图是函数y＝A sin（ωx＋φ）（其中A>0，ω〉0，－π<φ<π)在一个周期内的图象，则此函数的解析式是（)A．y＝2sin（2x＋错误!）B．y＝2sin（2x＋错误!）C．y＝2sin（错误!－错误!)D．y＝2sin(2x－错误!)(二)数形结合思想数形结合思想包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数形之间的联系,即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．例2 （1）(2014·山东）已知函数f(x)＝|x－2｜＋1，g（x)＝kx，若方程f（x)＝g（x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是（）A．(0，错误!) B．(错误!，1)C．(1,2）D．（2,＋∞)(2）若实数x、y满足错误!则错误!的最小值是____．思维升华数形结合思想在解题中的应用(1）构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围或解不等式．（2)构建函数模型并结合其图象研究方程根或函数的零点的范围．（3)构建解析几何模型求最值或范围．（4）构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系．跟踪演练2 (1）已知奇函数f（x）的定义域是{x|x≠0,x∈R},且在（0，＋∞)上单调递增，若f(1)＝0，则满足x·f（x）〈0的x的取值范围是___________________________________．（2）已知P是直线l：3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为________．(三)分类与整合思想分类与整合思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割）成若干个基础性问题,通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题（或综合性问题)分解为小问题（或基础性问题），优化解题思路，降低问题难度；分类研究后还要对讨论结果进行整合．例3 （1)(2015·山东）设函数f(x)＝错误!则满足f(f(a）)＝2f（a)的a 的取值范围是（)A。

【高考解码】（新课标）2015届高考数学二轮复习 攻略二 分类与整合思想、化归与转化思想一、分类与整合思想分类与整合思想又叫分类讨论思想．分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决．分类讨论思想覆盖面广，利于考查学生的逻辑思维能力，同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，应用分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏地分析讨论”．在高考中必定考查分类讨论，特别是这几年的压轴题．预测在2015年的高考题中：继续与函数综合考查，结合函数与方程思想以及等价转化思想，考查学生分析问题、解决问题的能力．分类讨论思想解题的步骤为：(1)确定分类讨论的对象：即对哪个参数进行讨论；(2)对所讨论的对象进行合理的分类(分类时要做到不重复、不遗漏、标准要统一、分层不越级)；(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决：(4)归纳总结：将各类情况归纳与总结．1．由概念、法则、公式引起的分类讨论(1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线与平面所成的角、直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等．(2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{a n }的前n 项和S n 公式等．(3)由函数的性质，定理，公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性，基本不等式等．【例1】 (1)已知圆x 2＋y 2＝4，则经过点P (2,4)，且与圆相切的直线方程为________．(2)若log a 23<1，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23∪(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ (3)等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值是( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或12【解析】 (1)当直线的斜率不存在时，x ＝2与圆相切，合题意．当直线的斜率存在时，设直线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y －2k ＋4＝0.由题意得|－2k ＋4|k 2＋1＝2.即k ＝34，所以直线方程为x ＝2或3x －4y ＋10＝0. (2)由log a 23<1得log a 23<log a a .当a >1时，a >23，所以a >1；当0<a <1时，a <23，所以0<a <23.所以a 的取值范围是(0，23)∪(1，＋∞)．故选C. (3)当q ＝1时，S 3＝3a 3＝21，∴合题意．当q ≠1时，S 3＝a 1－a 3q 1－q ＝21，且a 3＝7，∴q ＝－12，故选C. 【答案】 (1)x ＝2或3x －4y ＋10＝0 (2)C (3)C2．由变量或参数引起的分类讨论由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等．所以对分类复杂的参数讨论题，必须科学的选定分类标准，使分类有条不紊，解答自然流畅． 【例2】 已知a ∈R ，求函数f (x )＝x 2|x －a |在区间[1,2]上的最小值．【解】 设函数f (x )＝x 2|x －a |在区间[1,2]上的最小值为m .①当a ≤1时，在区间[1,2]上，f (x )＝x 3－ax 2，因为f ′(x )＝3x 2－2ax ＝3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23x >0，x ∈(1,2)， 则f (x )是区间[1,2]上的增函数，所以m ＝f (1)＝1－a .②当1<a ≤2时，在区间[1,2]上，f (x )＝x 2|x －a |≥0，由f (a )＝0，知m ＝f (a )＝0.③当a >2时，在区间[1,2]上，f (x )＝ax 2－x 3，f ′(x )＝2ax －3x 2＝3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －x . 若a ≤3，在区间(1,2)上，f ′(x )>0，则f (x )是区间[1,2]上的增函数，所以m ＝f (1)＝a －1；若2<a <3，则1<23a <2， 当1<x <23a 时，f ′(x )>0，则f (x )是区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，23a 上的增函数， 当23a <x <2时，f ′(x )<0，则f (x )是区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤23a ，2上的减函数， 因此当2<a <3时，m ＝f (1)＝a －1或m ＝f (2)＝4(a －2)．当2<a ≤73时，4(a －2)≤a －1，故m ＝f (2)＝4(a －2)， 当72<a <3时，4(a －2)>a －1，故m ＝f (1)＝a －1. 综上所述，函数的最小值m ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ，a ≤1，0，1<a ≤2，4a －2，2<a ≤73，a －1，a >73.3．由图形位置或形状引起的分类讨论几类常见的由图形的位置或形状变化引起的分类讨论(1)二次函数对称轴的变化；(2)函数问题中区间的变化；(3)函数图象形状的变化；(4)直线由斜率引起的位置变化；(5)圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；(6)立体几何中点、线、面的位置变化等．【例3】 (1)(2014·河南三市联考)若椭圆x 2m ＋y 28＝1的焦距为2，则m 的值为( ) A ．9 B ．9或16 C ．7 D ．9或7(2)已知k ∈Z ，AB →＝(k,1)，AC →＝(2,4)，若|AB →|≤4，则△ABC 是直角三角形的概率为( )A.17B.27C.37D.47【解析】 (1)当焦点在x 轴上时，2m －8＝2，∴m ＝9.当焦点在y 轴上时，28－m ＝2，∴m ＝7.故选D.(2)由AB →＝(k,1)，且|AB →|≤4得k 2＋1≤4，∴k 2≤15，∴k ＝－3，－2，－1,0,1,2,3.当∠A 是直角时，AB →·AC →＝0，∴2k ＋4＝0，∴k ＝－2，合题意．当∠B 是直角时，BA →＝(－k ，－1)，BC →＝BA →＋AC →＝(－k ＋2,3)，由BA →·BC →＝0得(－k )(－k ＋2)＋(－1)×3＝0，∴k 2－2k －3＝0，∴k ＝3或k ＝－1，合题意．当∠C 是直角时，CA →＝(－2，－4)，CB →＝CA →＋AB →＝(k－2，－3)，由CA →·CB →＝0得(－2)(k －2)＋(－4)(－3)＝0，∴k ＝8，不合题意．故△ABC 是直角三角形的概率为37. 【答案】 (1)D (2)C二、化归与转化思想高中阶段，几乎每一个题目都要用到这一思想方法，而重视对化归与转化思想的考查，已是高考数学命题多年来所坚持的方向，并以各种不同的层次融入试题中，通过对转化与化归思想方法的运用，对考生的数学能力进行区分．转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时思维受阻或寻求简单方法，从一种状况转化为另一种情形，也就是转化到另一种情境，使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略．同时也是成功的思维方式．1．由等与不等引起的化归与转化函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等式关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．【例4】 (1)设x ，y 为正实数，若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________．(2)若关于x 的方程9x ＋(4＋a )·3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是________．【解析】 (1)∵4x 2＋y 2＋xy ＝1，∴(2x ＋y )2＝3xy ＋1＝32×2xy ＋1≤32×(2x ＋y 2)2＋1， ∴(2x ＋y )2≤85， ∴2x ＋y 的最大值为2105. (2)设t ＝3x ，则原命题等价于关于t 的方程t 2＋(4＋a )t ＋4＝0有正解．分离变量a ，得a ＋4＝－(t ＋4t)， ∵t >0，∴－(t ＋4t)≤－4， ∴a ≤－8，即实数a 的取值范围是(－∞，－8]．【答案】 (1)2105(2)(－∞，－8] 2．由特殊与一般引起的化归与转化特殊与一般转化法是在解决问题过程中将某些一般问题进行特殊化处理或将某些特殊问题进行一般化处理的方法．这类转化法一般的解题步骤是：第一步：确立需转化的目标问题：一般将要解决的问题作为转化目标．第二步：寻找“特殊元素”与“一般元素”：把一般问题转化为特殊问题时，寻找“特殊元素”把特殊问题转化为一般问题时，寻找“一般元素”．第三步：确立新目标问题：根据新确立的“特殊元素”或者“一般元素”明确其与需要解决问题的关系，确立新的需要解决的问题．第四步：解决新目标问题：在新的板块知识背景下用特定的知识解决新目标问题． 第五步：回归目标问题．第六步：回顾反思：常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．对于选择题，当题设在普通条件下都成立时，用特殊值进行探求，可快捷地得到答案；对于填空题，当填空题的结论唯一或题设条件提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案．【例5】 若椭圆C 的方程为x 25＋y 2m＝1，焦点在x 轴上，与直线y ＝kx ＋1总有公共点，那么m 的取值范围为________．【解析】 x 25＋y 2m＝1的焦点在x 轴上，∴0<m <5. 又直线与椭圆总有公共点，直线恒过点(0,1)，则定点(0,1)必在椭圆内部或边界上．则025＋12m≤1，即m ≥1. 故m 的取值范围为[1,5)．【答案】 [1,5)3．由正与反引起的化归与转化正难则反，利用补集求得其解，这就是补集思想，一种充分体现对立统一、相互转化的思想方法．一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”情形的问题中．【例6】 若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是________．【解析】 g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t,3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t,3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t,3)上恒成立．由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x ，当x ∈(t,3)时恒成立，∴m ＋4≥2x－3x 恒成立，∴m ＋4≥－1，∴m ≥－5.由②得3x 2＋(m ＋4)x －2≤0，即m ＋4≤2x－3x ，当x ∈(t,3)时恒成立，∴m ＋4≤23－9，m ≤－373. ∴函数g (x )在区间(t,3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373<m <－5. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5。

高考数学：数学解题七大基本思想方法高考数学：数学解题七大基本思想方法数学学科有自己独特的思维模式，所以在解决数学问题时，就要以数学的基本方法去考虑，这样才能在最有效的时间内答对题目。

第一：函数与方程思想(1)函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时，起着重要作用(2)方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础注：高考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查第二：数形结合思想(1)数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面(2)在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系数形结合中，选择、填空侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化第三：分类与整合思想(1)分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法(2)从具体出发，选取适当的分类标准(3)划分只是手段，分类研究才是目的(4)有分有合，先分后合，是分类整合思想的本质属性(5)含字母参数数学问题进行分类与整合的研究，重点考查学生思维严谨性与周密性第四：化归与转化思想(1)将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决问题化归为已解决问题(2)灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法(3)高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化第五：特殊与一般思想(1)通过对个例认识与研究，形成对事物的认识(2)由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论(3)由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程(4)构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程(5)高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向第六：有限与无限的思想(1)把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路(2)积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向(3)立体几何中求球的表面积与体积，采用分割的方法来解决，实际上是先进行有限次分割，再求和求极限，是典型的有限与无限数学思想的应用(4)随着高中课程改革，对新增内容考查深入，必将加强对有限与无限的考查第七：或然与必然的思想(1)随机现象两个最基本的特征，一是结果的随机性，二是频率的稳定性(2)偶然中找必然，再用必然规律解决偶然(3)等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验、随机事件的分布列、数学期望是考查的重点。