解析几何取值范围通关50题(含答案)

解析几何最值、范围问题1、已知两定点12(1,0),(1,0)F F -，满足124PF PF +=的动点P 的轨迹是曲线C . (Ⅰ) 求曲线C 的标准方程；（Ⅱ）直线:l y x b =-+与曲线C 交于,A B 两点, 求AOB ∆面积的最大值.2、已知椭圆(2222:1>>0)y x C a b a b+=的离心率为,22且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为22.斜率为()0≠k k 的直线l 过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与y 轴相交于点M （0，m ）.（1）求椭圆的标准方程； （2）求m 的取值范围.（3）试用m 表示△MPQ 的面积S ，并求面积S 的最大值. 3、（2012潍坊期末）如图，椭圆G 的中心在坐标原点，其中一个焦点为圆F ：0222=-+x y x 的圆心，右顶点是圆F 与x 轴的一个交点．已知椭圆G 与直线l ：01-=-my x 相交于A 、B 两点．(I)求椭圆的方程；(Ⅱ)求∆AOB 面积的最大值．第4题图第3题图4、如图，椭圆C ：22212x y a+=焦点在x 轴上，左、右顶点分别为1A A ，，上顶点为B ．抛物线12C C 、：分别以A B ，为焦点，其顶点均为坐标原点O ，12C C 与相交于直线y =上一点P ． ⑴求椭圆C 及抛物线12C C 、的方程；⑵若动直线l 与直线OP 垂直，且与椭圆C 交于不同两点M N 、，已知点Q (,0)，求⋅的最小值． 5、如图，椭圆的方程为)0(122222>=+a ay a x ，其右焦点为F ，把椭圆的长轴分成6等分，过每个等分点作x 轴的垂线交椭圆上半部于点12345P P P P P ，，，，五个点，且12345PF P F P F P F P F ++++=（1）求椭圆的方程；（2）设直线l 过F 点（l 不垂直坐标轴），且与椭圆交于A B 、两点，线段AB的垂直平分线交x 轴于点(,0)M m ，试求m 的取值范围.第5题图6、（山东桓台一摸）已知椭圆C ：22221(>>0)x y a b a b+=的离心率为12，直线y x =与以原点为圆心，以椭圆C 的短半轴长为半径的圆相切． （I ）求椭圆C 的方程；（II ）若直线l ：(0)y kx m k =+≠与椭圆C 交于不同的两点M N 、，且线段MN的垂直平分线过定点1G(,0)8，求实数k 的取值范围．7、已知椭圆()222210x y a b a b+=>>,A ，B 是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于0(,0)P x求证：22220<<22a b a b x ---. 8、已知椭圆的焦点坐标为1F （-1,0），2F （1,0），过2F 垂直于长轴的直线交椭圆于P 、Q两点，且|PQ |=3，（1） 求椭圆的方程；（2） 过2F 的直线l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，则△1F MN 的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.9、已知在平面直角坐标系xoy 中，向量)1,0(=j ，△OFP 的面积为32，且,t =⋅OM j =+ 。

解析几何一、选择题1．已知两点A (－3，3)，B (3，－1)，则直线AB 的斜率是()A.3B．－3C.33D．－33解析：斜率k ＝－1－33－－3＝－33，故选D.答案：D2．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是()A．1B．－1C．－2或－1D．－2或1解析：①当a ＝0时，y ＝2不合题意．②a ≠0，x ＝0时，y ＝2＋a .y ＝0时，x ＝a ＋2a，则a ＋2a＝a ＋2，得a ＝1或a ＝－2.故选D.答案：D3．两直线3x ＋y －3＝0与6x ＋my ＋1＝0平行，则它们之间的距离为()A．4B．21313C.51326D．71020解析：把3x ＋y －3＝0转化为6x ＋2y －6＝0，由两直线平行知m ＝2，则d ＝|1－－6|62＋22＝71020.故选D.4．(2014皖南八校联考)直线2x －y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是()A．x ＋2y －1＝0B．2x ＋y －1＝0C．2x ＋y －5＝0D．x ＋2y －5＝0解析：由题意可知，直线2x －y ＋1＝0与直线x ＝1的交点为(1,3)，直线2x －y ＋1＝0的倾斜角与所求直线的倾斜角互补，因此它们的斜率互为相反数，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2，故所求直线的斜率为－2，所以所求直线的方程是y －3＝－2(x －1)，即2x ＋y －5＝0.故选C.答案：C5．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值围是()A.π6，D．π3，π2解析：由题意，可作直线2x ＋3y －6＝0的图象，如图所示，则直线与x 轴、y 轴交点分别为A (3,0)，B (0,2)，又直线l 过定点(0，－3)，由题知直线l 与线段AB 相交(交点不含端点)，从图中可以看出，直线l B.答案：B6．(2014一模)过点A (2,3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为()A．x －2y ＋4＝0B．2x ＋y －7＝0C．x －2y ＋3＝0D．x －2y ＋5＝0解析：直线2x ＋y －5＝0的斜率为k ＝－2，∴所求直线的斜率为k ′＝12，∴方程为y －3＝12(x －2)，即x －2y ＋4＝0.答案：A7．过点(2,1)且在x 轴上截距与在y 轴上截距之和为6的直线方程为____________．解析：由题意知截距均不为零．设直线方程为x a ＋yb ＝1，b ＝6，＋1b＝1，＝3＝3＝4＝2.故所求直线方程为x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0.答案：x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝08．(2014质检)若过点A (－2，m )，B (m,4)的直线与直线2x ＋y ＋2＝0平行，则m 的值为________．解析：∵过点A ，B 的直线平行于直线2x ＋y ＋2＝0，∴k AB ＝4－m m ＋2＝－2，解得m ＝－8.答案：－89．若过点P (1－a,1＋a )与Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值围是________．解析：由直线PQ 的倾斜角为钝角，可知其斜率k <0，即2a －1＋a 3－1－a <0，化简得a －1a ＋2<0，∴－2<a <1.答案：(－2,1)10．已知k ∈R ，则直线kx ＋(1－k )y ＋3＝0经过的定点坐标是________．解析：令k ＝0，得y ＋3＝0，令k ＝1，得x ＋3＝0.＋3＝0，＋3＝0，＝－3，＝－3，所以定点坐标为(－3，－3)．答案：(－3，－3)三、解答题11．已知两直线l 1：x ＋y sin α－1＝0和l 2：2x sin α＋y ＋1＝0，试求α的值，使(1)l 1∥l 2；(2)l 1⊥l 2.解：(1)法一当sin α＝0时，直线l 1的斜率不存在，l 2的斜率为0，显然l 1不平行于l 2.当sin α≠0时，k 1＝－1sin α，k 2＝－2sin α.要使l 1∥l 2，需－1sin α＝－2sin α，即sin α＝±22，∴α＝k π±π4，k ∈Z .故当α＝k π±π4，k ∈Z 时，l 1∥l 2.法二由l 1∥l 22α－1＝0，α≠0，∴sin α＝±22，∴α＝k π±π4，k ∈Z .故当α＝k π±π4，k ∈Z 时，l 1∥l 2.(2)∵l 1⊥l 2，∴2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0.∴α＝k π，k ∈Z .故当α＝k π，k ∈Z 时，l 1⊥l 2.12．设直线l 1：y ＝k 1x ＋1，l 2：y ＝k 2x －1，其中实数k 1，k 2满足k 1k 2＋2＝0.(1)证明l 1与l 2相交；(2)证明l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．证明：(1)假设l 1与l 2不相交，则l 1∥l 2即k 1＝k 2，代入k 1k 2＋2＝0，得k 21＋2＝0，这与k 1为实数的事实相矛盾，从而k 1≠k 2，即l 1与l 2相交．(2)法一＝k 1x ＋1，＝k 2x －1解得交点P而2x 2＋y 2＝8＋k 22＋k 21＋2k 1k 2k 22＋k 21－2k 1k 2＝k 21＋k 22＋4k 21＋k 22＋4＝1.即P (x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1上．即l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．法二交点P 的坐标(x ，y－1＝k 1x ，＋1＝k 2x ，故知x ≠0.1＝y －1x，2＝y ＋1x.代入k 1k 2＋2＝0，得y －1x ·y ＋1x＋2＝0，整理后，得2x 2＋y 2＝1.所以交点P 在椭圆2x 2＋y 2＝1上．第八篇第2节一、选择题1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为()A．x 2＋(y －2)2＝1B．x 2＋(y ＋2)2＝1C．(x －1)2＋(y －3)2＝1D．x 2＋(y －3)2＝1解析：由题意，设圆心(0，t )，则12＋t －22＝1，得t ＝2，所以圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1，故选A.答案：A2．(2014模拟)动点P 到点A (8,0)的距离是到点B (2,0)的距离的2倍，则动点P 的轨迹方程为()A．x 2＋y 2＝32B．x 2＋y 2＝16C．(x －1)2＋y 2＝16D．x 2＋(y －1)2＝16解析：设P (x ，y )，则由题意可得2x －22＋y 2＝x －82＋y 2，化简整理得x 2＋y 2＝16，故选B.答案：B3．(2012年高考卷)已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则()A．l 与C 相交B．l 与C 相切C．l 与C 相离D．以上三个选项均有可能解析：x 2＋y 2－4x ＝0是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，而点P (3,0)到圆心的距离为d ＝3－22＋0－02＝1<2，点P (3,0)恒在圆，过点P (3,0)不管怎么样画直线，都与圆相交．故选A.答案：A4．(2012年高考卷)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是()A．x ＋y －1＝0B．x ＋y ＋3＝0C．x －y ＋1＝0D．x －y ＋3＝0解析：由题知圆心在直线上，因为圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选项C 符合，故选C.答案：C5．(2013年高考卷)垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是()A．x ＋y －2＝0B．x ＋y ＋1＝0C．x ＋y －1＝0D．x ＋y ＋2＝0解析：与直线y ＝x ＋1垂直的直线方程可设为x ＋y ＋b ＝0，由x ＋y ＋b ＝0与圆x 2＋y 2＝1相切，可得|b |12＋12＝1，故b ＝± 2.因为直线与圆相切于第一象限，故结合图形分析知b ＝－2，则直线方程为x ＋y －2＝0.故选A.答案：A6．(2012年高考卷)直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长度等于()A．25B．23C.3D．1解析：因为圆心到直线x ＋3y －2＝0的距离d ＝|0＋3×0－2|12＋32＝1，半径r ＝2，所以弦长|AB |＝222－12＝2 3.故选B.答案：B 二、填空题7．(2013年高考卷)直线y ＝2x ＋3被圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0所截得的弦长等于________．解析：圆的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25，故圆心为(3,4)，半径r ＝5.又直线方程为2x －y ＋3＝0，∴圆心到直线的距离为d ＝|2×3－4＋3|4＋1＝5，∴弦长为2×25－5＝220＝4 5.答案：458．已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2，则圆C 上各点到l 的距离的最小值为________．解析：因为圆C 的圆心(1,1)到直线l 的距离为d ＝|1－1＋4|12＋－12＝22，又圆半径r ＝ 2.所以圆C 上各点到直线l 的距离的最小值为d －r ＝ 2.答案：29．已知圆C 的圆心在直线3x －y ＝0上，半径为1且与直线4x －3y ＝0相切，则圆C 的标准方程是________．解析：∵圆C 的圆心在直线3x －y ＝0上，∴设圆心C (m,3m )．又圆C 的半径为1，且与4x －3y ＝0相切，∴|4m －9m |5＝1，∴m ＝±1，∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝1.答案：(x －1)2＋(y －3)2＝1或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝110．圆(x －2)2＋(y －3)2＝1关于直线l ：x ＋y －3＝0对称的圆的方程为________．解析：已知圆的圆心为(2,3)，半径为1.则对称圆的圆心与(2,3)关于直线l 对称，由数形结合得，对称圆的圆心为(0,1)，半径为1，故方程为x 2＋(y －1)2＝1.答案：x 2＋(y －1)2＝1三、解答题11．已知圆C ：x 2＋(y －2)2＝5，直线l ：mx －y ＋1＝0.(1)求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点；(2)若圆C 与直线相交于点A 和点B ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程．(1)证明：法一直线方程与圆的方程联立，消去y 得(m 2＋1)x 2－2mx －4＝0，∵Δ＝4m 2＋16(m 2＋1)＝20m 2＋16>0，∴对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点．法二直线l ：mx －y ＋1恒过定点(0,1)，且点(0,1)在圆C ：x 2＋(y －2)2＝5部，∴对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点．(2)解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x ，y )，由方程(m 2＋1)x 2－2mx －4＝0，得x 1＋x 2＝2mm 2＋1，∴x ＝mm 2＋1.当x ＝0时m ＝0，点M (0,1)，当x ≠0时，由mx －y ＋1＝0，得m ＝y －1x，代入x ＝m m 2＋1，得＋1＝y －1x，化简得x 2＝14.经验证(0,1)也符合，∴弦AB 的中点M 的轨迹方程为x 2＝14.12．已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程．解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2.解得a ＝－34.(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，|＝|4＋2a |a 2＋1，|2＋|DA |2＝22，|＝12|AB |＝2，解得a ＝－7，或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.第八篇第3节一、选择题1．设P 是椭圆x225＋y216＝1上的点．若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于()A．4B．5C．8D．10解析：由方程知a ＝5，根据椭圆定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.故选D.答案：D2．(2014二模)P 为椭圆x24＋y23＝1上一点，F 1，F 2为该椭圆的两个焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则PF 1→·PF 2→等于()A．3B．3C．23D．2解析：由椭圆方程知a ＝2，b ＝3，c ＝1，1|＋|PF 2|＝4，1|2＋|PF 2|2－4＝2|PF 1||PF 2|cos 60°∴|PF 1||PF 2|＝4.∴PF 1→·PF 2→＝|PF 1→||PF 2→|cos 60°＝4×12＝2.答案：D3．(2012年高考卷)椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为()A.14B．55C.12D．5－2解析：本题考查椭圆的性质与等比数列的综合运用．由椭圆的性质可知|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c ，又|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，故(a －c )(a ＋c )＝(2c )2，可得e ＝c a ＝55.故应选B.答案：B4．(2013年高考卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos∠ABF ＝45，则C 的离心率为()A.35B．57C.45D．67解析：|AF |2＝|AB |2＋|BF |2－2|AB ||BF |cos∠ABF ＝100＋64－2×10×8×45＝36，则|AF |＝6，∠AFB ＝90°，半焦距c ＝|FO |＝12|AB |＝5，设椭圆右焦点F 2，连结AF 2，由对称性知|AF 2|＝|FB |＝8，2a ＝|AF 2|＋|AF |＝6＋8＝14，即a ＝7，则e ＝c a ＝57.故选B.答案：B5．已知椭圆E ：x2m ＋y24＝1，对于任意实数k ，下列直线被椭圆E 截得的弦长与l ：y ＝kx＋1被椭圆E 截得的弦长不可能相等的是()A．kx ＋y ＋k ＝0B．kx －y －1＝0C．kx ＋y －k ＝0D．kx ＋y －2＝0解析：取k ＝1时，l ：y ＝x ＋1.选项A 中直线：y ＝－x －1与l 关于x 轴对称，截得弦长相等．选项B 中直线：y ＝x －1与l 关于原点对称，所截弦长相等．选项C 中直线：y ＝－x ＋1与l 关于y 轴对称，截得弦长相等．排除选项A、B、C，故选D.答案：D6．(2014省实验中学第二次诊断)已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若椭圆上存在点P ，使asin∠PF 1F 2＝csin∠PF 2F 1，则该椭圆的离心率的取值围为()A．(0，2－1)D．(2－1,1)解析：由题意知点P 不在x 轴上，在△PF 1F 2中，由正弦定理得|PF 2|sin∠PF 1F 2＝|PF 1|sin∠PF 2F 1，所以由a sin∠PF 1F 2＝csin∠PF 2F 1可得a|PF 2|＝c |PF 1|，即|PF 1||PF 2|＝c a ＝e ，所以|PF 1|＝e |PF 2|.由椭圆定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以e |PF 2|＋|PF 2|＝2a ，解得|PF 2|＝2a e ＋1.由于a －c <|PF 2|<a ＋c ，所以有a －c <2ae ＋1<a ＋c ，即1－e <2e ＋1<1＋e ，1－e 1＋e<2，1＋e2，解得2－1<e .又0<e <1，∴2－1<e <1.故选D.答案：D 二、填空题7．设F 1、F 2分别是椭圆x225＋y216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点距离为________．解析：∵|OM |＝3，∴|PF 2|＝6，又|PF 1|＋|PF 2|＝10，∴|PF 1|＝4.答案：48．椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M ，若MF 1垂直于x 轴，则椭圆的离心率为________．解析：不妨设|F 1F 2|＝1，∵直线MF 2的倾斜角为120°，∴∠MF 2F 1＝60°.∴|MF 2|＝2，|MF 1|＝3，2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝2＋3，2c ＝|F 1F 2|＝1.∴e ＝ca＝2－ 3.答案：2－39．(2014模拟)过点(3，－5)，且与椭圆y225＋x29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________________．解析：由题意可设椭圆方程为y225－m＋x29－m＝1(m <9)，代入点(3，－5)，得525－m ＋39－m＝1，解得m ＝5或m ＝21(舍去)，∴椭圆的标准方程为y220＋x24＝1.答案：y220＋x24＝110．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.解析：1|＋|PF 2|＝2a ，1|2＋|PF 2|2＝4c 2，∴(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|＝4c 2，即4a 2－2|PF 1||PF 2|＝4c 2，∴|PF 1||PF 2|＝2b 2，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝b 2＝9，∴b ＝3.答案：3三、解答题11．(2012年高考卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0，1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．解：(1)由椭圆C 1的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 12－b 2＝1，＝1，2＝2，2＝1.故椭圆C 1的方程为x22＋y 2＝1.(2)由题意分析，直线l 斜率存在且不为0，设其方程为y ＝kx ＋b ，由直线l 与抛物线C 2＝kx ＋b ，2＝4x ，消y 得k 2x 2＋(2bk －4)x ＋b 2＝0，Δ1＝(2bk －4)2－4k 2b 2＝0，化简得kb ＝1.①由直线l 与椭圆C 1kx ＋b ，y 2＝1，消y 得(2k 2＋1)x 2＋4bkx ＋2b 2－2＝0，Δ2＝(4bk )2－4(2k 2＋1)(2b 2－2)＝0，化简得2k 2＝b 2－1.②＝1，k 2＝b 2－1，解得b 4－b 2－2＝0，∴b 2＝2或b 2＝－1(舍去)，∴b ＝2时，k ＝22，b ＝－2时，k ＝－22.即直线l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2.12．(2014海淀三模)已知椭圆C ：x2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的四个顶点恰好是一边长为2，一角为60°的菱形的四个顶点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝kx 交椭圆C 于A ，B 两点，在直线l ：x ＋y －3＝0上存在点P ，使得△PAB 为等边三角形，求k 的值．解：(1)因为椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的四个顶点恰好是一边长为2，一角为60°的菱形的四个顶点．所以a ＝3，b ＝1，椭圆C 的方程为x23＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，则B (－x 1，－y 1)，当直线AB 的斜率为0时，AB 的垂直平分线就是y 轴，y 轴与直线l ：x ＋y －3＝0的交点为P (0,3)，又因为|AB |＝23，|PO |＝3，所以∠PAO ＝60°，所以△PAB 是等边三角形，所以直线AB 的方程为y ＝0，当直线AB 的斜率存在且不为0时，则直线AB 的方程为y ＝kx ，y 2＝1，kx ，化简得(3k 2＋1)x 2＝3，所以|x 1|＝33k 2＋1，则|AO |＝1＋k233k 2＋1＝3k 2＋33k 2＋1.设AB 的垂直平分线为y ＝－1kx ，它与直线l ：x ＋y －3＝0的交点记为P (x 0，y 0)，＝－x ＋3，＝－1k x ，0＝3k k －1，0＝－3k －1.则|PO |＝9k 2＋9k －12，因为△PAB 为等边三角形，所以应有|PO |＝3|AO |，代入得9k 2＋9k －12＝33k 2＋33k 2＋1，解得k ＝0(舍去)，k ＝－1.综上，k ＝0或k ＝－1.第八篇第4节一、选择题1．设P 是双曲线x216－y220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线左右两个焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|等于()A．1B．17C．1或17D．以上答案均不对解析：由双曲线定义||PF 1|－|PF 2||＝8，又|PF 1|＝9，∴|PF 2|＝1或17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c －a ＝6－4＝2>1，∴|PF 2|＝17.故选B.答案：B2．(2013年高考卷)已知0<θ<π4，则双曲线C 1：x 2sin 2θ－y 2cos 2θ＝1与C 2：y 2cos 2θ－x2sin 2θ＝1的()A．实轴长相等B．虚轴长相等C．离心率相等D．焦距相等解析：双曲线C 1的半焦距c 1＝sin 2θ＋cos 2θ＝1，双曲线C 2的半焦距c 2＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，故选D.答案：D3．(2012年高考卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y2b2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为()A.x220－y25＝1B．x25－y220＝1C.x280－y220＝1D．x220－y280＝1解析：由焦距为10，知2c ＝10，c ＝5.将P (2,1)代入y ＝bax 得a ＝2b .a 2＋b 2＝c 2,5b 2＝25，b 2＝5，a 2＝4b 2＝20，所以方程为x220－y25＝1.故选A.答案：A4．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2等于()A.14B．35C.34D．45解析：∵c 2＝2＋2＝4，∴c ＝2,2c ＝|F 1F 2|＝4，由题可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 2|＝22，|PF 1|＝42，由余弦定理可知cos∠F 1PF 2＝422＋222－422×42×22＝34.故选C.答案：C5．设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为()A.x242－y232＝1B．x2132－y252＝1C.x232－y242＝1D．x2132－y2122＝1解析：在椭圆C 1中，因为e ＝513，2a ＝26，即a ＝13，所以椭圆的焦距2c ＝10，则椭圆两焦点为(－5,0)，(5,0)，根据题意，可知曲线C 2为双曲线，根据双曲线的定义可知，双曲线C 2中的2a 2＝8，焦距与椭圆的焦距相同，即2c 2＝10，可知b 2＝3，所以双曲线的标准方程为x242－y232＝1.故选A.答案：A6．(2014八中模拟)若双曲线x29－y216＝1渐近线上的一个动点P 总在平面区域(x －m )2＋y 2≥16，则实数m 的取值围是()A．[－3,3]B．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C．[－5,5]D．(－∞，－5]∪[5，＋∞)解析：因为双曲线x 29－y 216＝1渐近线4x ±3y ＝0上的一个动点P 总在平面区域(x －m )2＋y 2≥16，即直线与圆相离或相切，所以d ＝|4m |5≥4，解得m ≥5或m ≤－5，故实数m 的取值围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．选D.答案：D 二、填空题7．(2013年高考卷)已知F 为双曲线C ：x29－y216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．解析：由题知，双曲线中a ＝3，b ＝4，c ＝5，则|PQ |＝16，又因为|PF |－|PA |＝6，|QF |－|QA |＝6，所以|PF |＋|QF |－|PQ |＝12，|PF |＋|QF |＝28，则△PQF 的周长为44.答案：448．已知双曲线C ：x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，且它的一个顶点到较近焦点的距离为1，则双曲线C 的方程为________．解析：双曲线中，顶点与较近焦点距离为c －a ＝1，又e ＝ca＝2，两式联立得a ＝1，c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3，∴方程为x 2－y23＝1.答案：x 2－y23＝19．(2014市第三次质检)已知点P 是双曲线x2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)和圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2的一个交点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2，则该双曲线的离心率为________．解析：依题意得，线段F 1F 2是圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2的一条直径，故∠F 1PF 2＝90°，∠PF 1F 2＝30°，设|PF 2|＝m ，则有|F 1F 2|＝2m ，|PF 1|＝3m ，该双曲线的离心率等于|F 1F 2|||PF 1|－|PF 2||＝2m3m －m ＝3＋1.答案：3＋110．(2013年高考卷)设F 1，F 2是双曲线C ：x2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点．若在C 上存在一点P ，使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．解析：设点P 在双曲线右支上，由题意，在Rt△F 1PF 2中，|F 1F 2|＝2c ，∠PF 1F 2＝30°，得|PF 2|＝c ，|PF 1|＝3c ，根据双曲线的定义：|PF 1|－|PF 2|＝2a ，(3－1)c ＝2a ，e ＝ca ＝23－1＝3＋1.答案：3＋1三、解答题11．已知双曲线x 2－y22＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A 、B 两点，且点P 是线段AB 的中点？解：法一设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，且线段AB 的中点为(x 0，y 0)，若直线l 的斜率不存在，显然不符合题意．设经过点P 的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，即y ＝kx ＋1－k .＝kx＋1－k，2－y22＝1，得(2－k2)x2－2k(1－k)x－(1－k)2－2＝0(2－k2≠0)．①∴x＝x1＋x22＝k1－k2－k2.由题意，得k1－k2－k2＝1，解得k＝2.当k＝2时，方程①成为2x2－4x＋3＝0.Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解．∴不能作一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P(1,1)是线段AB的中点．法二设A(x1，y1)，B(x2，y2)，若直线l的斜率不存在，即x1＝x2不符合题意，所以由题得x21－y212＝1，x22－y222＝1，两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)－y1＋y2y1－y22＝0，即2－y1－y2x1－x2＝0，即直线l斜率k＝2，得直线l方程y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，＝2x－1，2－y22＝1得2x2－4x＋3＝0，Δ＝16－24＝－8<0，即直线y＝2x－1与双曲线无交点，即所求直线不合题意，所以过点P(1,1)的直线l不存在．12．(2014质检)中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos∠F 1PF 2的值．解：(1)由已知c ＝13，设椭圆长、短半轴长分别为a 、b ，双曲线实半轴、虚半轴长分别为m 、n ，－m ＝4，·13a＝3·13m，解得a ＝7，m ＝3.∴b ＝6，n ＝2.∴椭圆方程为x249＋y236＝1，双曲线方程为x29－y24＝1.(2)不妨设F 1、F 2分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则|PF 1|＋|PF 2|＝14，|PF 1|－|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝10，|PF 2|＝4.又|F 1F 2|＝213，∴cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝102＋42－21322×10×4＝45.第八篇第5节一、选择题1．(2014模拟)抛物线y ＝2x 2的焦点坐标为()B．(1,0)解析：抛物线y ＝2x 2，即其标准方程为x 2＝12y C.答案：C2．抛物线的焦点为椭圆x24＋y29＝1的下焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为()A．x 2＝－45y B．y 2＝－45x C．x 2＝－413yD．y 2＝－413x解析：由椭圆方程知，a 2＝9，b 2＝4，焦点在y 轴上，下焦点坐标为(0，－c )，其中c ＝a 2－b 2＝5，∴抛物线焦点坐标为(0，－5)，∴抛物线方程为x 2＝－45y .故选A.答案：A3．已知抛物线y 2＝2px ，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是()A．相离B．相交C．相切D．不确定解析：如图所示，设抛物线焦点弦为AB ，中点为M ，准线为l ，A 1、B 1分别为A 、B 在直线l 上的射影，则|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，于是M 到l 的距离d ＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |，故圆与抛物线准线相切．故选C.答案：C4．(2014高三统一考试)已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AF |＝3|BF |，则线段AB 的中点到该抛物线准线的距离为()A.53B．83C.103D．10解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其中x 1>0，x 2>0，过A ，B 两点的直线方程为x ＝my ＋1，将x ＝my ＋1与y 2＝4x 联立得y 2－4my －4＝0，y 1y 2＝－4，1＋1＝3x 2＋1，1x 2＝y 214·y 224＝y 1y 2216＝1，解得x 1＝3，x 2＝13，故线段AB 的中点到该抛物线的准线x ＝－1的距离等于x 1＋x 22＋1＝83.故选B.答案：B5．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为()A.34B．1C.54D．74解析：∵|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋12＝3，∴x A ＋x B ＝52.∴线段AB 的中点到y 轴的距离为x A ＋x B 2＝54.故选C.答案：C6．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值围是()A．(0,2)B．[0,2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)解析：∵x 2＝8y ，∴焦点F 的坐标为(0,2)，准线方程为y ＝－2.由抛物线的定义知|MF |＝y 0＋2.以F 为圆心、|FM |为半径的圆的标准方程为x 2＋(y －2)2＝(y 0＋2)2.由于以F 为圆心、|FM |为半径的圆与准线相交，又圆心F 到准线的距离为4，故4<y 0＋2，∴y 0>2.故选C.答案：C 二、填空题7．动直线l 的倾斜角为60°，且与抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点，若A ，B 两点的横坐标之和为3，则抛物线的方程为________．解析：设直线l 的方程为y ＝3x ＋b ，＝3x ＋b ，2＝2py消去y ，得x 2＝2p (3x ＋b )，即x 2－23px －2pb ＝0，∴x 1＋x 2＝23p ＝3，∴p ＝32，则抛物线的方程为x 2＝3y .答案：x 2＝3y8．以抛物线x 2＝16y 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为________．解析：抛物线的焦点为F (0,4)，准线为y ＝－4，则圆心为(0,4)，半径r ＝8.所以，圆的方程为x 2＋(y －4)2＝64.答案：x 2＋(y －4)2＝649．(2012年高考卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．解析：∵抛物线y 2＝4x ，∴焦点F 的坐标为(1,0)．又∵直线l 倾斜角为60°，∴直线斜率为3，∴直线方程为y ＝3(x －1)．联立方程y ＝3x －1，y 2＝4x ，解得x 1＝13，y 1＝－233，或x 2＝3，y 2＝23，由已知得A 的坐标为(3,23)，∴S △OAF ＝12|OF |·|y A |＝12×1×23＝ 3.答案：310．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 72，4，则|PA |＋|PM |的最小值是________．解析：设点M 在抛物线的准线上的射影为M ′.由已知可得抛物线的准线方程为x ＝－12，焦点F 坐标为12，0.求|PA |＋|PM |的最小值，可先求|PA |＋|PM ′|的最小值．由抛物线的定义可知，|PM ′|＝|PF |，所以|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PM ′|，当点A 、P 、F 在一条直线上时，|PA |＋|PF |有最小值|AF |＝5，所以|PA |＋|PM ′|≥5，又因为|PM ′|＝|PM |＋12，所以|PA |＋|PM |≥5－12＝92.答案：92三、解答题11．若抛物线y ＝2x 2上的两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)关于直线l ：y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－12，数m 的值．解：法一如图所示，连接AB ，∵A 、B 两点关于直线l 对称，∴AB ⊥l ，且AB 中点M (x 0，y 0)在直线l 上．可设l AB ：y ＝－x ＋n ，＝－x ＋n ，＝2x 2，得2x 2＋x －n ＝0，∴x 1＋x 2＝－12，x 1x 2＝－n2由x 1x 2＝－12，得n ＝1.又x 0＝x 1＋x 22＝－14，y 0＝－x 0＋n ＝14＋1＝54，即点M －14，由点M 在直线l 上，得54＝－14＋m ，∴m ＝32.法二∵A 、B 两点在抛物线y ＝2x 2上．1＝2x 21，2＝2x 22，∴y 1－y 2＝2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)．设AB 中点M (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝2x 0，k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4x 0.又AB ⊥l ，∴k AB ＝－1，从而x 0＝－14.又点M 在l 上，∴y 0＝x 0＋m ＝m －14，即－14，m∴AB 的方程是y 即y ＝－x ＋m －12，代入y ＝2x 2，得2x 2＋x x 1x 2＝－m －122＝－12，∴m ＝3212．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．解：(1)直线AB 的方程是y y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4知4x 2－5px ＋p 2＝0可化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)．设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)，即C (4λ＋1,42λ－22)，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.。

解析几何专题-----范围与最值问题1、直线1y x =+交x 轴于点P ，交椭圆22221x y a b+=(0)a b >>于相异两点A 、B ，且3PA PB =-，求a 的取值范围；1、解： 由1y x =+，得1x y =-，代入22221x y a b+=，得()222222220a byb y b a b +-+-=设()()11221,1,A y y B y y --、，则12y y 、是这个一元二次方程的两个根，()()()222222222240,1ba b b a b a b ∆=--+-+ 即 ①由3PA PN =-，及()1,0P -，得123y y =-由根与系数的关系，得21222222b y y y a b +=-=+ ②2222212223b a b y y y a b -=-=+ ③由②式得2222b y a b =-+，代入③式，得()2222222223b b a b a b a b --=++ ()222214a a b a -∴=- ④由a b >，及①、④，得()()2222222211414a a a a a a a a ⎧-⎪+⎪-⎨-⎪⎪-⎩解不等式组，得2512a <<所以a的取值范围是1,2⎛ ⎝⎭2、如图，两条过原点O 的直线21,l l 分别与x 轴、y 轴成030的角，已知线段PQ 的长度为2，且点),(11y x P 在直线1l 上运动，点),(22y x Q 在直线2l 上运动． ⑴求动点),(21x x M 的轨迹C 的方程；⑵设过定点)2,0(T 的直线l 与(Ⅰ)中的轨迹C 交于不同的两点A 、B ， 且AOB ∠为锐角,求直线l 的斜率k 的取值范围．2、解：（Ⅰ）由已知得直线21l l ⊥，1l ：x y 33=，2l ：x y 3-=，),(11y x P 在直线1l 上运动，),(22y x Q 直线2l 上运动，1133x y =∴,223x y -=， 由2=PQ 得4)()(22222121=+++y x y x ，即44342221=+x x ，⇒321x ∴动点),(21x x M 的轨迹C 的方程为1322=+y x． （Ⅱ）直线l 方程为2+=kx y ，将其代入1322=+y x ， 化简得0912)31(22=+++kx x k ， 设),(11y x A 、),(22y x B 0)31(36)12(22>+⨯-=∆∴k k 12>⇒k 且221221319,3112k x x k kx x x +=+-=+，AOB ∠ 为锐角，0>⋅∴，即02121>+y y x x ， ⇒0)2)(2(2121>+++kx kx x x ，04)(2)1(21212>++++∴x x k x x k．将221221319,3112k x x k kx x x +=+-=+代入上式，化简得03131322>+-k k ，3132<⇒k ． 由12>k 且3132<k ，得339,1()1,339( --∈k ． 3．（全国卷I）在平面直角坐标系xOy 中，有一个以(10,F 和(2F 为焦点、离心率为2的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C ，动点P 在C 上，C 在点P 处的切线与x y 、轴的交点分别为A 、B ，且向量OM OA OB =+。

解析几何与极坐标和参数方程专题1. 已知命题 p ：方程x 22m+y 29−m=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，命题 q ：双曲线 y 25−x 2m=1 的离心率e ∈(√62,√2)，若命题 p ，q 中有且只有一个为真命题，求实数 m 的取值范围.2. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 1 的参数方程为 {x =√3cosα,y =sinα,（α 为参数），以坐标原点为极点，以 x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 2 的极坐标方程为 ρsin (θ+π4)=2√2．（1）写出 C 1 的普通方程和 C 2 的直角坐标方程；（2）设点 P 在 C 1 上，点 Q 在 C 2 上，求 ∣PQ ∣ 的最小值及此时 P 的直角坐标．3. 在直角坐标系 xOy 中，直线 C 1:x =−2，圆 C 2:(x −1)2+(y −2)2=1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求 C 1，C 2 的极坐标方程；（2）若直线 C 3 的极坐标方程为 θ=π4(ρ∈R )，设 C 2 与 C 3 的交点为 M ，N ，求 △C 2MN 的面积．4. 已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为 x =−1，直线 l 与抛物线相交于不同的 A ，B 两点．（1）求抛物线的标准方程；（2）如果直线 l 过抛物线的焦点，求 OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值； （3）如果 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4，直线 l 是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说明理由．5. 已知抛物线C:y2=2px(p>0)与直线x−√2y+4=0相切．（1）求该抛物线的方程；（2）在x轴正半轴上，是否存在某个确定的点M，过该点的动直线l与抛物线C交于A，B两点，使得1∣AM∣2+1∣BM∣2为定值．如果存在，求出点M坐标；如果不存在，请说明理由．6. 在平面直角坐标系xOy中，动点A的坐标为(2−3sinα,3cosα−2)，其中α∈R．在极坐标系（以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线C的方程为ρcos(θ−π4)=a．（1）判断动点A的轨迹的形状；（2）若直线C与动点A的轨迹有且仅有一个公共点，求实数a的值．7. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0) 的离心率为 √63．且过点 (3,−1)．（1）求椭圆 C 的方徎；（2）动点 P 在直线 l ：x =−2√2 上，过 P 作直线交椭圆 C 于 M ，N 两点，使得 PM =PN ，再过 P 作直线 lʹ⊥MN ，直线 lʹ 是否恒过定点，若是，请求出该定点的坐标；若否，请说明理由．8. 在平面直角坐标系 xOy 中，C 1:{x =t,y =k (t −1)（t 为参数）．以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 2:ρ2+10ρcosθ−6ρsinθ+33=0．（1）求 C 1 的普通方程及 C 2 的直角坐标方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若 P ，Q 分别为 C 1，C 2 上的动点，且 ∣PQ ∣ 的最小值为 2，求 k 的值．9. 设 F 1，F 2 分别是椭圆 C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0) 的左，右焦点，M 是 C 上一点且 MF 2 与 x 轴垂直．直线 MF 1 与 C 的另一个交点为 N ． （1）若直线 MN 的斜率为 34，求 C 的离心率；（2）若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且 ∣MN∣=5∣∣F 1N∣∣，求 a ，b ．10. 已知抛物线 E:x 2=2py (p >0)，直线 y =kx +2 与 E 交于 A ，B 两点，且 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，其中 O 为原点．（1）求抛物线 E 的方程；（2）点 C 坐标为 (0,−2)，记直线 CA ，CB 的斜率分别为 k 1，k 2，证明：k 12+k 22−2k 2 为定值．11. 已知椭圆的一个顶点为A(0,−1)，焦点在x轴上．若右焦点到直线x−y+2√2=0的距离为3．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆与直线y=kx+m(k≠0)相交于不同的两点M，N．当∣AM∣=∣AN∣时，求m的取值范围．12. 双曲线C与椭圆x28+y24=1有相同的焦点，直线y=√3x为C的一条渐近线．求双曲线C的方程．13. 已知不过第二象限的直线 l:ax −y −4=0 与圆 x 2+(y −1)2=5 相切． （1）求直线 l 的方程；（2）若直线 l 1 过点 (3,−1) 且与直线 l 平行，直线 l 2 与直线 l 1 关于直线 y =1 对称，求直线 l 2 的方程．14. 在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程 {x =1+cosφ,y =sinφ（φ 为参数）．以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆 C 的极坐标方程；（2）直线 l 的极坐标方程是 ρ(sinθ+√3cosθ)=3√3，射线 OM ：θ=π3 与圆 C 的交点为 O ，P ，与直线 l 的交点为 Q ，求线段 PQ 的长．15. 双曲线与椭圆有共同的焦点F1(0,−5)，F2(0,5)，点P(3,4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求椭圆的方程和双曲线方程．16. 在抛物线y=4x2上有一点P，若点P到直线y=4x−5的距离最短，求该点P坐标和最短距离．17. 已知函数y=a2−x+1（a>0，且a≠1）的图象恒过定点A，点A在直线mx+ny=1(mn>0)上，求1m +1n的最小值．18. 已知直线l:y=x+m与抛物线y2=8x交于A，B两点，（1）若∣AB∣=10，求m的值；（2）若OA⊥OB，求m的值．19. 若椭圆的对称轴在坐标轴上，两焦点与两短轴端点正好是正方形的四个顶点，又焦点到同侧长轴端点的距离为√2−1，求椭圆的方程．20. 讨论直线l:y=kx+1与双曲线C:x2−y2=1的公共点的个数．21. 已知p：方程x2+2mx+(m+2)=0有两个不等的正根；q：方程x2m+3−y22m−1=1表示焦点在y轴上的双曲线．（1）若q为真命题，求实数m的取值范围；（2）若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．22. 已知双曲线的焦点在x轴上，∣F1F2∣=2√3，渐近线方程为√2x±y=0，问：过点B(1,1)能否作直线l，使l与双曲线交于M，N两点，并且点B为线段MN的中点?若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．23. 已知点 P (2,0) 及圆 C ：x 2+y 2−6x +4y +4=0．（1）设过 P 的直线 l 1 与圆 C 交于 M ，N 两点，当 ∣MN∣=4 时，求以 MN 为直径的圆 Q 的方程； （2）设直线 ax −y +1=0 与圆 C 交于 A ，B 两点，是否存在实数 a ，使得过点 P (2,0) 的直线 l 2 垂直平分弦 AB ?若存在，求出实数 a 的值；若不存在，请说明理由．24. 在直角坐标系 xOy 中，已知直线 l:{x =1+√22ty =2+√22t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C:ρ2(1+sin 2θ)=2．（1）写出直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；（2）设点 M 的直角坐标为 (1,2)，直线 l 与曲线 C 的交点为 A ，B ，求 ∣MA ∣⋅∣MB ∣ 的值．25. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，离心率为√32，两焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆C于M，N两点，且△F2MN的周长为8．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P(m,0)作圆x2+y2=1的切线l交椭圆C于A，B两点，求弦长∣AB∣的最大值．26. 已知数列{a n}的首项为1，S n为数列{a n}的前n项和，S n=qS n−1+1，其中q>0，n>1，n∈N∗．（1）若2a2，a3，a2+2成等差数列，求{a n}的通项公式；（2）设双曲线x2−y2a n2=1的离心率为e n，且e2=3，求e12+e22+⋯+e n2．27. 已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2cosθ−4sinθ，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为 {x =1+tcosα,y =−1+tsinα（t 为参数）．（1）判断直线 l 与曲线 C 的位置关系，并说明理由；（2）若直线 l 和曲线 C 相交于 A ，B 两点，且 ∣AB ∣=3√2，求直线 l 的斜率．28. 已知椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0) 的离心率 e =√63，坐标原点到直线 l:y =bx +2 的距离为 √2．（1）求椭圆的方程；（2）若直线 y =kx +2(k ≠0) 与椭圆相交于 C ，D 两点，是否存在实数 k ，使得以 CD 为直径的圆过点 E (−1,0)?若存在，求出 k 的值，若不存在，请说明理由．29. 在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点P(−3,0)，其倾斜角为α，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程为ρ2−2ρcosθ−3=0．（1）若直线l与曲线C有公共点，求倾斜角α的取值范围；（2）设M(x,y)为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．30. 椭圆与双曲线有许多优美的对称性质．对于椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)有如下命题：AB是椭圆x2 a2+y2b2=1(a>b>0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则k OM⋅k AB=−b2a2为定值．那么对于双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)则有命题：AB是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则k OM⋅k AB=定值．（在横线上填上正确的结论）并证明你的结论．31. （1）求中心在原点，焦点在x轴上，焦距等于4，且经过点P(3,−2√6)的椭圆方程；（2）求e=√6，并且过点(3,0)的椭圆的标准方程．332. 已知抛物线y2=4x，焦点为F，顶点为O，点P在抛物线上移动，Q是OP的中点，M是FQ的中点，求点M的轨迹方程．33. 已知点A(0,−2)，椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为2√33，O为坐标原点．（1）求E的方程；（2）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．34. P为椭圆x225+y29=1上一点，F1，F2为左右焦点，若∠F1PF2=60∘．（1）求△F1PF2的面积；（2）求P点的坐标．35. 已知双曲线 C:x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的渐近线方程为：y =±√3x ，右顶点为 (1,0)．（1）求双曲线 C 的方程；（2）已知直线 y =x +m 与双曲线 C 交于不同的两点 A ，B ，且线段 AB 的中点为 M (x 0,y 0)．当 x 0≠0 时，求 y0x 0的值．36. 已知双曲线 x 216−y 24=1 的两焦点为 F 1，F 2．（1）若点 M 在双曲线上，且 MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，求 M 点到 x 轴的距离；（2）若双曲线 C 与已知双曲线有相同焦点，且过点 (3√2,2)，求双曲线 C 的方程．37. 椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且∣PF1∣=43，∣PF2∣=143，PF1⊥PF2．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线L过圆x2+y2+4x−2y=0的圆心M交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线L的方程．38. 已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y−29=0相切．（1）求圆的方程；（2）设直线ax−y+5=0(a>0)与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（3）在(Ⅱ)的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P(−2,4)，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．39. 已知直线 C 1:{x =1+tcosα,y =tsinα(t 为参数)，圆 C 2:{x =cosθ,y =sinθ(θ 为参数)．（1）当 α=π3 时，求 C 1 与 C 2 的交点坐标；（2）过坐标原点 O 作 C 1 的垂线，垂足为 A ，P 为 OA 的中点，当 α 变化时，求点 P 轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．40. 已知圆 C 和 y 轴相切，圆心在直线 x −3y =0 上，且被直线 y =x 截得的弦长为 2√7，求圆 C 的方程．41. 如图，直线 l:y =x +b 与抛物线 C:x 2=4y 相切于点 A ． （1）求实数 b 的值；（2）求以 A 点为圆心，且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程．42. 在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 (x +6)2+y 2=25．（1）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆 C 的极坐标方程；（2）直线 l 的参数方程是 {x =tcosα,y =tsinα,（t 为参数），直线 l 与圆 C 交于 A ，B 两点，∣AB∣=√10，求 l 的斜率．43. 已知双曲线与椭圆x29+y225=1有公共焦点F1，F2，它们的离心率之和为245．（1）求双曲线的标准方程；（2）设P是双曲线与椭圆的一个交点，求cos∠F1PF2．44. 抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为(32,√6)，求抛物线与双曲线方程．45. 已知曲线 C 上任一点 P 到点 F (1,0) 的距离比它到直线 l ：x =−2 的距离少 1． （1）求曲线 C 的方程；（2）过点 Q (1,2) 作两条倾斜角互补的直线与曲线 C 分别交于点 A ，B ，试问：直线 AB 的斜率是否为定值，请说明理由．46. 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为 {x =2cosφ,y =2sinφ（φ 为参数），直线 l 过点 (0,2) 且倾斜角为 π3．（1）求圆 C 的普通方程及直线 l 的参数方程；（2）设直线 l 与圆 C 交于 A ，B 两点，求弦 ∣AB ∣ 的长．47. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个长轴顶点为A(2,0)，离心率为√22，直线y=k(x−1)与椭圆C交于不同的两点M，N．（1）求椭圆C的方程；（2）当△AMN的面积为√103时，求k的值．48. 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，A点在椭圆上，离心率是√22，AF2与x轴垂直，且∣AF2∣=√2．（1）求椭圆的方程；（2）若点A在第一象限，过点A作直线l，与椭圆交于另一点B，求△AOB面积的最大值．49. 已知点 (1,√22) 在椭圆 C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0) 上，椭圆离心率为 √22．（1）求椭圆 C 的方程；（2）过椭圆 C 右焦点 F 的直线 l 与椭圆交于两点 A ，B ，在 x 轴上是否存在点 M ，使得 MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值?若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．答案1. 若命题 p ：方程 x 22m +y 29−m =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆为真命题； 则 9−m >2m >0， 解得 0<m <3，则命题 p 为假命题时，m ≤0 或 m ≥3，若命题 q ：双曲线 y 25−x 2m =1 的离心率 e ∈(√62,√2) 为真命题； 则 √5+m 5∈(√62,√2)，即5+m 5∈(32,2)，即 52<m <5，则命题 q 为假命题时，m ≤52 或 m ≥5，因为命题 p ，q 中有且只有一个为真命题， 当 p 真 q 假时，0<m ≤52， 当 p 假 q 真时，3≤m <5，综上所述，实数 m 的取值范围是：0<m ≤52 或 3≤m <5．2. （1） C 1:{x =√3cosα,y =sinα（α 为参数）的直角坐标方程是：x 23+y 2=1，C 2 的直角坐标方程：ρsin (θ+π4)=2√2， 整理得，√22ρsinθ+√22ρcosθ=2√2，x +y =4．（2） 设 x +y =4 的平行线为 l 1:x +y +c =0， 当 l 1:x +y +c =0 且 c <0 和 C 1 相切时 ∣PQ ∣ 距离最小， 联立直线和椭圆方程得 x 23+(x +c )2−1=0，整理得4x 23+2cx +c 2−1=0，需要满足 Δ=−4c 23+163=0，求得 c =±2，当直线为 l 1:x +y −2=0 时，满足题意，来自QQ 群339444963 此时 ∣PQ ∣=√2，此时直线 l 1 和椭圆交点即是 P 点坐标 (32,12)．3. （1） C 1:ρcosθ=−2，C 2:ρ2−2ρcosθ−4ρsinθ+4=0． （2） C 3:y =x ，圆 C 2 的圆心 C 2 到 y =x 的距离 d =√2=√22， ∴∣MN∣=2⋅√12−(√22)2=√2，∴S △C 2MN =12⋅∣MN∣⋅d =12⋅√2⋅√22=12．4. （1） 已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为 x =−1， 所以 p 2=1，p =2．所以抛物线的标准方程为 y 2=4x ．（2） 设 l:my =x −1，与 y 2=4x 联立，得 y 2−4my −4=0， 设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)， 所以 y 1+y 2=4m ，y 1y 2=−4， 所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=(m 2+1)y 1y 2+m (y 1+y 2)+1=−3.（3） 假设直线 l 过定点，设 l:my =x +n ，{my =x +n,y 2=4x, 得 y 2−4my +4n =0，设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)， 所以 y 1+y 2=4m ，y 1y 2=4n ． 由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4=(m 2+1)y 1y 2−mn (y 1+y 2)+n 2=n 2+4n,解得 n =−2，所以 l:my =x −2 过定点 (2,0)． 5. （1） 联立方程有，{x −√2y +4=0,y 2=2px,有 y 2−2√2py +8p =0，由于直线与抛物线相切，得 Δ=8p 2−32p =0，所以 p =4， 所以 y 2=8x ．（2） 假设存在满足条件的点 M (m,0)(m >0)，直线 l:x =ty +m ，有 {x =ty +m,y 2=8x, y 2−8ty −8m =0，设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，有 Δ>0，y 1+y 2=8t ，y 1y 2=−8m ，∣AM ∣2=(x 1−m )2+y 12=(t 2+1)y 12，∣BM ∣2=(x 2−m )2+y 22=(t 2+1)y 22，1∣AM∣2+1∣BM∣2=1(t 2+1)y 12+1(t 2+1)y 22=1(t 2+1)(y 12+y 22y 12y 22)=1(t 2+1)(4t 2+m4m 2),当 m =4，满足 Δ>0 时，1∣AM∣2+1∣BM∣2 为定值， 所以 M (4,0)．6. （1） 设动点 A 的直角坐标为 (x,y )，则 {x =2−3sinα,y =3cosα−2,所以动点 A 的轨迹方程为 (x −2)2+(y +2)2=9，其轨迹是半径为 3 的圆．（2） 直线 C 的极坐标方程 ρcos (θ−π4)=a 化为直角坐标方程是 √2x +√2y =2a ，由 ∣∣2√2−2√2−2a ∣∣2=3，得 a =3 或 a =−3．7. （1） 因为椭圆 C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 的离心率为 √63．且过点 (3,−1)，所以 {9a 2+1b 2=1,c 2a 2=a 2−b 2a 2=(√63)2,解得 a 2=12，b 2=4， 所以椭圆 C 的方程为x 212+y 24=1．（2） 因为直线 l 的方程为 x =−2√2， 设 P(−2√2,y 0)，y 0∈(−2√33,2√33)， 当 y 0≠0 时，设 M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，由题意知 x 1≠x 2，联立 {x 1212+y 124=1,x 2212+y 224=1,所以 x 12−x 2212+y 12−y 224=0， 所以y 1−y 2x 1−x 2=13⋅x 1+x 2y 1+y 2，又因为 PM =PN ， 所以 P 为线段 MN 的中点， 所以直线 MN 的斜率为 −13⋅−2√2y 0=2√23y 0， 又 lʹ⊥MN ，所以 lʹ 的方程为 y −y 0=02√2+2√2)，即 y =02√2+4√23)， 所以 lʹ 恒过定点 (−4√23,0)． 当 y 0=0 时，直线 MN 为 x =−2√2， 此时 lʹ 为 x 轴，也过点 (−4√23,0)， 综上，lʹ 恒过定点 (−4√23,0)．8. （1） 由 {x =t,y =k (t −1),可得其普通方程为 y =k (x −1)， 它表示过定点 (1,0)，斜率为 k 的直线．由 ρ2+10ρcosθ−6ρsinθ+33=0 可得其直角坐标方程为 x 2+y 2+10x −6y +33=0， 整理得 (x +5)2+(y −3)2=1，它表示圆心为 (−5,3)，半径为 1 的圆． （2） 因为圆心 (−5,3) 到直线 y =k (x −1) 的距离 d =√1+k 2=√1+k 2，故 ∣PQ ∣ 的最小值为 √1+k 2−1，故√1+k 21=2，得 3k 2+4k =0， 解得 k =0 或 k =−43．9. （1） 根据 c =√a 2−b 2 及题设知 M (c,b 2a )，F 2(−c,0)，由斜率公式并化简整理易得 2b 2=3ac ． 将 b 2=a 2−c 2 代入 2b 2=3ac ，解得 ca =12 或 ca =−2（舍去）． 故 C 的离心率为 12．（2） 由题意，得原点 O 为 F 1F 2 的中点，MF 2∥y 轴，所以直线 MF 1 与 y 轴的交点 D (0,2) 是线段 MF 1 的中点，故 b 2a =4，即b 2=4a. ⋯⋯① 由 ∣MN∣=5∣∣F 1N∣∣ 得 ∣DF 1∣=2∣∣F 1N∣∣． 设 N (x 1,y 1)，由题意知 y 1<0， 则 {2(−c −x 1)=c,−2y 1=2, 即 {x 1=−32c,y 1=−1.代入 C 的方程，得 9c 24a 2+1b 2=1. ⋯⋯② 将 ① 及c =√a 2−b 2 代入 ② 得 9(a 2−4a )4a 2+14a =1．解得 a =7，b 2=4a =28，故 a =7，b =2√7．10. （1） 将 y =kx +2 代入 x 2=2py ，得 x 2−2pkx −4p =0． 其中 Δ>0，设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则 x 1+x 2=2pk ，x 1x 2=−4p ．所以 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+x 122p ⋅x 222p =−4p +4．由已知，−4p +4=2，解得 p =12，所以抛物线 E 的方程为 x 2=y ．（2） 由（1）知，x 1+x 2=k ，x 1x 2=−2． k 1=y 1+2x 1=x 12+2x 1=x 12−x 1x 2x 1=x 1−x 2，同理 k 2=x 2−x 1，k =y 1−y2x 1−x 2=x 12−x 22x 1−x 2=x 1+x 2，所以 k 12+k 22−2k 2=−8x 1x 2=16.11. （1） 依题意可设椭圆方程为 x 2a 2+y 2=1，则右焦点 F(√a 2−1,0)，由题设∣∣√a 2−1+2√2∣∣√2=3，解得 a 2=3，故所求椭圆的方程为 x 23+y 2=1．（2） 设 P 为弦 MN 的中点，由 {y =kx +m,x 23+y 2=1,得 (3k 2+1)x 2+6mkx +3(m 2−1)=0， 由于直线与椭圆有两个交点，所以 Δ>0，即 m 2<3k 2+1, ⋯⋯① 所以 x P =x M +x N2=−3mk 3k 2+1， 从而 y P =kx P +m =m3k 2+1， 所以 k AP =y P +1x P=−m+3k 2+13mk，又 ∣AM∣=∣AN∣， 所以 AP ⊥MN ， 则 −m+3k 2+13mk=−1k ，即 2m =3k 2+1, ⋯⋯②把 ② 代入 ① 得 2m >m 2 解得 0<m <2， 由 ② 得 k 2=2m−13>0，解得 m >12．故所求 m 的取值范围是 (12,2)．12. 设双曲线方程为x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，由椭圆x 28+y 24=1，求得两焦点为 (−2,0)，(2,0)，所以对于双曲线 C ：c =2．又 y =√3x 为双曲线 C 的一条渐近线， 所以 ba =√3，解得 a =1，b =√3． 所以双曲线 C 的方程为 x 2−y 23=1．13. （1） 因为直线 l 与圆 x 2+(y −1)2=5 √1+a 2=√5，因为直线 l 不过第二象限，所以 a =2， 所以直线 l 的方程为 2x −y −4=0．（2） 因为直线 l 1 过点 (3,−1) 且与直线 l 平行，所以设直线 l 1 的方程为 2x −y +b =0，因为直线 l 1 过点 (3,−1)，所以 b =−7，则直线 l 1 的方程为 2x −y −7=0， 因为直线 l 2 与 l 1 关于 y =1 对称，所以直线 l 2 的斜率为 −2，且过点 (4,1)， 所以直线 l 2 的方程为 y −1=−2(x −4)，即化简得 2x +y −9=0． 14. （1） 圆 C 的参数方程 {x =1+cosφ,y =sinφ（φ 为参数）．消去参数可得：(x −1)2+y 2=1．把 x =ρcosθ，y =ρsinθ 代入化简得：ρ=2cosθ，即为此圆的极坐标方程． （2） 如图所示，由直线 l 的极坐标方程是 ρ(sinθ+√3cosθ)=3√3，射线 OM ：θ=π3．可得普通方程：直线 l ：y +√3x =3√3，射线 OM ：y =√3x ． 联立 {y +√3x =3√3,y =√3x,解得 {x =32,y =3√32,即 Q (32,3√32)． 联立 {y =√3x,(x −1)2+y 2=1,解得 {x =0,y =0 或 {x =12,y =√32. 所以 P (12,√32)．来自QQ 群339444963所以 ∣PQ∣∣=√(12−32)2+(√32−3√32)2=2．15. 由共同的焦点 F 1(0,−5)，F 2(0,5)， 可设椭圆方程为y 2a2+x 2a 2−25=1，双曲线方程为 y 2b 2−x 225−b 2=1，点 P (3,4) 在椭圆上，16a 2+9a 2−25=1，解得 a 2=40，双曲线的过点 P (3,4) 的渐近线为 y =43x ，故b 225−b 2=169，解得 b 2=16．所以椭圆方程为：y 240+x 215=1； 双曲线方程为：y 216−x 29=1．16. 设点 P (t,4t 2)，点 P 到直线 y =4x −5 的距离为 d ，则 d =2√17=4(t−12)2+4√17．当 t =12时，d 取得最小值，此时 P (12,1) 为所求的点，最短距离为 4√1717． 17. 当 x =2 时 y =2， 所以过定点 A (2,2)， 因为 A 在直线上，所以 2m +2n =1，且 mn >0， 所以 1m +1n =(1m +1n )(2m +2n )=2+2+2m n+2n m≥4+2√4=8，即 1m +1n 的最小值为 8．18. （1） 设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)． {y =x +m,y 2=8x⇒x 2+(2m −8)x +m 2=0⇒{Δ=(2m −8)2−4m 2>0,x 1+x 2=8−2m,x 1x 2=m 2.∣AB ∣=√2∣x 1−x 2∣=√2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=10,m =716， 因为 m <2， 所以 m =716．（2） 因为 OA ⊥OB ， 所以 x 1x 2+y 1y 2=0，x 1x 2+(x 1+m )(x 2+m )=0，2x 1x 2+m (x 1+x 2)+m 2=0． 2m 2+m (8−2m )+m 2=0，m 2+8m =0，m =0 或 m =−8， 经检验 m =−8．19. 因为椭圆的对称轴在坐标轴上，两焦点与两短轴的端点恰好是正方形的四个顶点， 所以 b =c ，a =√2b ，又焦点到同侧长轴端点距离为 √2−1，即 a −c =√2−1，即 a −b =√2−1，解得 a =√2，b =c =1， 所以当焦点在 x 轴时，椭圆的方程为：x 22+y 2=1； 当焦点在 y 轴时，椭圆的方程为y 22+x 2=1．20. 由方程组 {y =kx +1,x 2−y 2=1 消去 y ，得 (1−k 2)x 2−2kx −2=0，当 1−k 2=0，即 k =±1 时，有一个交点． 当 1−k 2≠0，即 k ≠±1 时，Δ=(−2k )2+4×2(1−k 2)=8−4k 2．由 Δ>0，即 8−4k 2>0，得 −√2<k <√2，此时有两个交点． 由 Δ=0，即 8−4k 2=0，得 k =±√2，此时有一个交点． 由 Δ<0，即 8−4k 2<0，得 k <−√2 或 k >√2，此时没有交点．综上知，当 k ∈(−√2,−1)∪(−1,1)∪(1,√2) 时，直线 l 与曲线 C 有两个交点； 当 k =±√2 时，直线 l 与曲线 C 切于一点； 当 k =±1 时，直线 l 与曲线 C 交于一点；当 k ∈(−∞,−√2)∪(√2,+∞) 时，直线 l 与曲线 C 没有交点．21. （1） 由已知方程 x 2m+3−y 22m−1=1 表示焦点在 y 轴上的双曲线，则 {m +3<0,1−2m >0,得 {m <−3,m <12,得 m <−3，即 q ：m <−3． （2） 若方程 x 2+2mx +(m +2)=0 有两个不等的正根，则 {Δ=4m 2−4(m +2)>0,−2m >0,m +2>0,解得 −2<m <−1，即 p ：−2<m <−1． 因 p 或 q 为真，所以 p ，q 至少有一个为真． 又 p 且 q 为假，所以 p ，q 至少有一个为假．因此，p ，q 两命题应一真一假，当 p 为真，q 为假时，{−2<m <−1,m ≥−3,解得 −2<m <−1；当 p 为假，q 为真时，{m ≤−2或m ≥−1,m <−3,解得 m <−3．综上，−2<m <−1 或 m <−3． 22. 根据题意，c =√3，ba =√2， 所以 a =1，b =√2．所以双曲线的方程是：x 2−y 22=1．过点 B (1,1) 的直线方程为 y =k (x −1)+1 或 x =1．①当 k 存在时，联立方程可得 (2−k 2)x 2+(2k 2−2k )x −k 2+2k −3=0．当直线与双曲线相交于两个不同点，可得 Δ=(2k 2−2k )2−4(2−k 2)(−k 2+2k −3)>0，k <32，又方程的两个不同的根是两交点 M ，N 的横坐标， 所以 x 1+x 2=2(k−k 2)2−k 2．又因为 B (1,1) 是线段 MN 的中点， 所以2(k−k 2)2−k 2=2，解得 k =2．所以 k =2，使 2−k 2≠0 但使 Δ<0．因此当 k =2 时，方程 (2−k 2)x 2+(2k 2−2k )x −k 2+2k −3=0 无实数解，故过点 B (1,1) 与双曲线交于两点 M ，N 且 B 为线段 MN 中点的直线不存在． ②当 x =1 时，直线经过点 B 但不满足条件． 综上所述，符合条件的直线 l 不存在．23. （1） 由于圆 C ：x 2+y 2−6x +4y +4=0 的圆心 C (3,−2)，半径为 3，∣CP∣=√5，而弦心距 d =√5，所以 d =∣CP∣=√5， 所以 P 为 MN 的中点，所以所求圆的圆心坐标为 (2,0)，半径为 12∣MN∣=2，故以 MN 为直径的圆 Q 的方程为 (x −2)2+y 2=4；（2） 把直线 ax −y +1=0 即 y =ax +1 代入圆 C 的方程，消去 y ，整理得 (a 2+1)x 2+6(a −1)x +9=0．由于直线 ax −y +1=0 交圆 C 于 A ，B 两点，故 Δ=36(a −1)2−36(a 2+1)>0，即 −2a >0，解得 a <0．则实数 a 的取值范围是 (−∞,0)．设符合条件的实数 a 存在，由于 l 2 垂直平分弦 AB ，故圆心 C (3,−2) 必在 l 2 上． 所以 l 2 的斜率 k PC =−2， 所以 k AB =a =12， 由于 12∉(−∞,0)，故不存在实数 a ，使得过点 P (2,0) 的直线 l 2 垂直平分弦 AB ．24. （1） 直线 l:{x =1+√22ty =2+√22t(t 为参数)，消去参数 t 可得普通方程 l:x −y +1=0．曲线 C:ρ2(1+sin 2θ)=2，可得 ρ2+(ρsinθ)2=2， 可得直角坐标方程：x 2+y 2+y 2=2， 即 C:x 22+y 2=1．（2） 把 l:{x =1+√22t y =2+√22t 代入 x 22+y 2=1 中，整理得 3t 2+10√2t +14=0， 设 A ，B 对应的参数分别为 t 1，t 2， 所以 t 1⋅t 2=143，点 M 在直线上由 t 的几何意义可知，∣MA ∣∣MB ∣=∣t 1⋅t 2∣=143．25. （1） 由题得：ca =√32，4a =8，所以 a =2，c =√3． 又 b 2=a 2−c 2，所以 b =1，即椭圆 C 的方程为 x 24+y 2=1．（2） 由题意知，∣m∣≥1．当 m =1 时，切线 l 的方程 x =1，点 A ，B 的坐标分别为 (1,√32)，(1,−√32)，此时 ∣AB∣=√3；当 m =−1 时，同理可得 ∣AB∣=√3．当 ∣m∣>1 时，设切线 l 的方程为 y =k (x −m )(k ≠0)， 由 l 与圆 x 2+y 2=1√k 2+1=1，即 m 2k 2=k 2+1．得 k 2=1m 2−1．由 {y =k (x −m ),x 24+y 2=1得 (1+4k 2)x 2−8k 2mx +4k 2m 2−4=0． 设 A ，B 两点的坐标分别为 (x 1,y 1)，(x 2,y 2)，则 Δ=64k 4m 2−4(1+4k 2)(4k 2m 2−4)=48k 2>0，x 1+x 2=8k 2m1+4k 2，x 1x 2=4k 2m 2−41+4k 2．所以∣AB∣=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2=√(1+k 2)[64k 4m 2(1+4k 2)2−4(4k 2m 2−4)1+4k 2]=4√3∣m∣m 2+3.因为 ∣m∣≥1， 所以 ∣AB∣=4√3∣m∣m 2+3=4√3∣m∣+3∣m∣≤2，且当 m =±√3 时，∣AB∣=2，由于当 m =±1 时，∣AB∣=√3，所以 ∣AB∣ 的最大值为 2．26. （1）当n≥2时，S n+1=qS n+1, ⋯⋯①S n=qS n−1+1, ⋯⋯②①−②得a n+1=q⋅a n，即从第二项开始，数列{a n}为等比数列，公比为q，当n=2时，S2=qS1+1，即a1+a2=qa1+1，可得a2=a1q，所以数列{a n}是以1为首项，q为公比的等比数列，所以a2=a1q=q，a3=a1q2=q2，因为2a2，a3，a2+2成等差数列，所以2a3=2a2+a2+2，即2q2=2q+q+2，解得q=2，所以数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列，所以a n=2n−1；（2）由（1）可得数列{a n}是以1为首项，q为公比的等比数列，所以a n=q n−1>0，根据题意，e n2=1+a n2，因为e2=3，所以1+a22=9，解得a2=2√2，所以q=a2a1=2√2，所以a n=(2√2)n−1，所以e n2=1+a n2=1+8n−1，所以e12+e22+⋯+e n2=n+(1+8+82+⋯+8n−1)=n+8n−17．27. （1）因为曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ−4sinθ，所以ρ2=2ρcosθ−4ρsinθ，所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x−4y，即(x−1)2+(y+2)2=5，因为直线l过点(1,−1)，且该点到圆心的距离为√(1−1)2+(−1+2)2<√5，所以直线l与曲线C相交．（2）当直线l的斜率不存在时，直线l过圆心，∣AB∣=2√5≠3√2，因此直线l必有斜率，设其方程为y+1=k(x−1)，即kx−y−k−1=0，圆心到直线l的距离d=√k2+1=√(√5)2−(3√22)2，解得k=±1，所以直线l的斜率为±1．28. （1）直线l:y=bx+2，坐标原点到直线l的距离为√2，√b2+1=√2，所以 b =1， 因为椭圆的离心率 e =√63， 所以a 2−1a 2=(√63)2，所以 a 2=3， 所以所求椭圆的方程是x 23+y 2=1．（2） 直线 y =kx +2 代入椭圆方程，消去 y 可得：(1+3k 2)x 2+12kx +9=0， 所以 Δ=36k 2−36>0， 所以 k >1 或 k <−1，设 C (x 1,y 1)，D (x 2,y 2)，则有 x 1+x 2=−12k 1+3k2，x 1x 2=91+3k 2，因为 EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+1,y 1)，ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2+1,y 2)，且以 CD 为直径的圆过点 E ， 所以 EC ⊥ED ，所以 (x 1+1)(x 2+1)+y 1y 2=0，所以 (1+k 2)x 1x 2+(2k +1)(x 1+x 2)+5=0， 所以 (1+k 2)×91+3k 2+(2k +1)×(−12k1+3k 2)+5=0， 解得 k =76>1，所以当 k =76 时，以 CD 为直径的圆过定点 E ．29. （1） 将曲线 C 的极坐标方程 ρ2−2ρcosθ−3=0 化为直角坐标方程为 x 2+y 2−2x −3=0， 直线 l 的参数方程为 {x =−3+tcosα,y =tsinα（t 为参数），将参数方程代入 x 2+y 2−2x −3=0，整理得 t 2−8tcosα+12=0， 因为直线 l 与曲线 C 有公共点，所以 Δ=64cos 2α−48≥0， 所以 cosα≥√32 或 cosα≤−√32， 因为 α∈[0,π)，所以 α 的取值范围是 [0,π6]∪[5π6,π)．（2） 曲线 C 的方程 x 2+y 2−2x −3=0 可化为 (x −1)2+y 2=4，其参数方程为 {x =1+2cosθ,y =2sinθ（θ 为参数）， 因为 M (x,y ) 为曲线上任意一点，所以 x +y =1+2cosθ+2sinθ=1+2√2sin (θ+π4)，所以 x +y 的取值范围是 [1−2√2,1+2√2]． 30. b 2a 2证明：设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，M (x 0,y 0)， 则有 {x 0=x 1+x 22,y 0=y 1+y 22.x 12a 2−y 12b 2=1，x 22a 2−y 22b 2=1， 两式相减得 x 12−x 22a 2=y 12−y 22b 2，即(x 1−x 2)(x 1+x 2)a 2=(y 1−y 2)(y 1+y 2)b 2，(y 1−y 2)(y 1+y 2)(x 1−x 2)(x 1+x 2)=b 2a 2 即 k OM ⋅k AB =b 2a 2．31. （1） 设椭圆的方程为 x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)． 因为椭圆的焦距等于 4，且经过点 P(3,−2√6)， {2c =2√a 2−b 2=4,32a2+(−2√6)2b2=1,解得 {a 2=36,b 2=32.所以所求的椭圆方程为 x 236+y 232=1． （2） ①当椭圆的焦点在 x 轴上时， 因为 a =3，e =c a=√63， 所以 c =√6，可得 b 2=a 2−c 2=3．此时椭圆的标准方程为 x 29+y 23=1；②当椭圆的焦点在 y 轴上时， 因为 b =3，e =ca =√63， 所以√a 2−b 2a=√63，解得 a 2=27．此时椭圆的标准方程为y 227+x 29=1．综上所述，所求椭圆的标准方程为 x 29+y 23=1 或 y 227+x 29=1．32. 设 M (x,y )，P (x 1,y 1)，Q (x 2,y 2)，易求 y 2=4x 的焦点 F 的坐标为 (1,0)，因为 M 是 FQ 的中点，所以 {x =1+x22,y =y 22⇒{x 2=2x −1,y 2=2y, 又 Q 是 OP 的中点，所以 {x 2=x12,y 2=y 12⇒{x 1=2x 2=4x −2,y 1=2y 2=4y,因为 P 在抛物线 y 2=4x 上，所以 (4y )2=4(4x −2)， 所以 M 点的轨迹方程为 y 2=x −12．33. （1） 设 F (c,0)，由条件知 2c=2√33，得 c =√3．又 ca=√32， 所以 a =2，b 2=a 2−c 2=1，故 E 的方程为 x 24+y 2=1．（2） 依题意当 l ⊥x 轴不合题意，故设直线 l ：y =kx −2，设 P (x 1,y 1)，Q (x 2,y 2)，将 y =kx −2 代入x 24+y 2=1，得 (1+4k 2)x 2−16kx +12=0，当 Δ=16(4k 2−3)>0，即 k 2>34时，x 1,2=8k±2√4k 2−31+4k 2．从而 ∣PQ∣∣=√k 2+1∣∣x 1−x 2∣=4√k 2+1⋅√4k 2−31+4k 2，又点 O 到直线 PQ 的距离 d =√k 2+1，所以 △OPQ 的面积 S △OPQ =12d∣∣PQ∣∣=4√4k 2−31+4k 2，设 √4k 2−3=t ，则 t >0，S △OPQ =4t t 2+4=4t+4t≤1，当且仅当 t =2，k =±√72等号成立，且满足 Δ>0，所以当 △OPQ 的面积最大时，l 的方程为：y =√72x −2 或 y =−√72x −2．34. （1） 因为 a =5，b =3， 所以 c =4，设 ∣PF 1∣=t 1，∣PF 2∣=t 2， 则 t 1+t 2=10， ⋯⋯①t 12+t 22−2t 1t 2⋅cos60∘=82， ⋯⋯②由 ①2−② 得 t 1t 2=12，所以 S △F 1PF 2=12t 1t 2⋅sin60∘=12×12×√32=3√3．（2） 设 P (x,y )，由 S △F 1PF 2=12⋅2c ⋅∣y ∣=4⋅∣y ∣ 得 4∣y ∣=3√3， 所以 ∣y ∣=3√34⇒y =±3√34, 将 y =±3√34代入椭圆方程解得 x =±5√134， 所以 P (5√134,3√34) 或 P (5√134,−3√34) 或 P (−5√134,3√34) 或 P (−5√134,−3√34)． 35. （1） 双曲线 C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的渐近线方程为：y =±ba x ， 则由题意得，ba =√3，a =1，解得b =√3， 则双曲线的方程为：x 2−y 23=1；（2） 联立直线方程和双曲线方程，得到， {y =x +m,x 2−y 23=1,消去 y ，得 2x 2−2mx −m 2−3=0， 设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则判别式 Δ=4m 2+8(m 2+3)>0，x 1+x 2=m ， 中点 M 的 x 0=m 2，y 0=x 0+m =32m ， 则有 y0x 0=3．来自QQ 群33944496336. （1）如图所示，不妨设 M 在双曲线的右支上，M 点到 x 轴的距离为 ℎ， MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则 MF 1⊥MF 2， 设 ∣MF 1∣=m ，∣MF 2∣=n ，由双曲线定义知，m −n =2a =8, ⋯⋯① 又 m 2+n 2=(2c )2=80, ⋯⋯② 由 ①② 得 m ⋅n =8， ∴12mn =12∣F 1F 2∣⋅ℎ， ∴ℎ=2√55．来自QQ 群339444963（2） 设所求双曲线 C 的方程为 x 216−λ−y 24+λ=1(−4<λ<16)，由于双曲线 C 过点 (3√2,2)，所以 1816−λ−44+λ=1，解得 λ=4 或 λ=−14（舍去）． ∴ 所求双曲线 C 的方程为 x 212−y 28=1．37. （1） ∵ 点 P 在椭圆 C 上， ∴2a =∣PF 1∣+∣PF 2∣=6，a =3．在 Rt △PF 1F 2 中，2c =∣F 1F 2∣=√∣PF 2∣2+∣PF 1∣2=√(143)2+(43)2=2√533；故椭圆的半焦距 c =√533，从而 b 2=a 2−c 2=289，∴ 椭圆 C 的方程为 x 29+y 2289=1．（2） 已知圆的方程为 (x +2)2+(y −1)2=5，∴ 圆心 M 的坐标为 (−2,1)． 设 A ，B 的坐标分别为 (x 1,y 1)，(x 2,y 2)． 由题意 x 1≠x 2 且 x 129+y 12289=1, ⋯⋯①x 229+y 22289=1. ⋯⋯②由②−①得(x1−x2)(x1+x2)9+(y1−y2)(y1+y2)289=0. ⋯⋯③又A，B关于点M对称，∴x1+x2=−4，y1+y2=2，代入③得y1−y2x1−x2=5681，即直线L的斜率为5681，∴直线L的方程为y−1=5681(x+2)，即56x−81y+193=0．故所求的直线方程为56x−81y+193=0．来自QQ群33944496338. （1）设圆心为M(m,0)(m∈Z)．由于圆与直线4x+3y−29=0相切，且半径为5，所以∣4m−29∣5=5，即∣4m−29∣=25．因为m为整数，故m=1．故所求圆的方程为(x−1)2+y2=25．（2）把直线ax−y+5=0，即y=ax+5，代入圆的方程，消去y，整理，得(a2+1)x2+2(5a−1)x+1=0，由于直线ax−y+5=0交圆于A，B两点，故Δ=4(5a−1)2−4(a2+1)>0，即12a2−5a>0，由于a>0，解得a>512，所以实数a的取值范围是(512,+∞)．（3）设符合条件的实数a存在，则直线l的斜率为−1a ，l的方程为y=−1a(x+2)+4，即x+ay+2−4a=0，由于l垂直平分弦AB，故圆心M(1,0)必在l上，所以1+0+2−4a=0，解得a=34．由于34∈(512,+∞)，故存在实数a=34．使得过点P(−2,4)的直线l垂直平分弦AB．来自QQ群339444963 39. （1）当α=π3时，C1的普通方程为y=√3(x−1),C2的普通方程为x2+y2=1.联立方程组{x2+y2=1, y=√3(x−1),解得C1与C2的交点为(1,0) 和 (12,−√32).（2） C 1 的普通方程为xsinα−ycosα−sinα=0,A 点坐标为 (sin 2α,−cosαsinα)，故当 α 变化时，P 点轨迹的参数方程为{x =12sin 2α,y =−12sinαcosα,(α为参数). P 点轨迹的普通方程为(x −14)2+y 2=116.故 P 点轨迹是圆心为 (14,0)，半径为 14 的圆． 40. 设圆心为 (3t,t )，半径为 r =∣3t∣， 则圆心到直线 y =x 的距离 d =√2=∣∣√2t ∣∣，由勾股定理及垂径定理得：(2√72)2=r 2−d 2，即 9t 2−2t 2=7，解得：t =±1，所以圆心坐标为 (3,1)，半径为 3；或圆心坐标为 (−3,−1)，半径为 3， 则圆 C 的方程为 (x −3)2+(y −1)2=9 或 (x +3)2+(y +1)2=9． 41. （1） 由 {y =x +b,x 2=4y得 x 2−4x −4b =0, ⋯⋯①因为直线 l 与抛物线 C 相切，所以 Δ=(−4)2−4×(−4b )=0， 解得 b =−1．（2） 由（1）知 b =−1，故方程 ① 即为 x 2−4x +4=0，解得 x =2，代入 x 2=4y ，得 y =1． 故点 A (2,1)，因为圆 A 与抛物线 C 的准线相切，所以圆 A 的半径 r 等于圆心 A 到抛物线的准线 y =−1 的距离，即 r =∣1−(−1)∣=2， 所以圆 A 的方程为 (x −2)2+(y −1)2=4．42. （1） 由 {x =ρcosθ,y =ρsinθ, 可得，(ρcosθ+6)2+ρ2sin 2θ=25，整理得 ρ2+12ρcosθ+11=0 即为所求．（2） 令直线 l 的斜率为 k ，可得直线的直角坐标方程为 kx −y =0． 圆的半径为 r =5，圆心到直线的距离 d =√k 2+1，又因为 ∣AB∣=√10，所以可得∣AB∣24+d 2=r 2，即 52+36k 2k 2+1=25，解得 k =±√153． 43. （1） 椭圆 x 29+y 225=1 的焦点为 (0,±4)，离心率为 e =45． 因为双曲线与椭圆的离心率之和为 245， 所以双曲线的离心率为 2， 所以 ca =2．因为双曲线与椭圆 x 29+y 225=1 有公共焦点 F 1，F 2，所以 c =4，所以 a =2，b =√12，所以双曲线的方程是 y 24−x 212=1．（2） 由题意，∣PF 1∣+∣PF 2∣=10，∣PF 1∣−∣PF 2∣=4， 所以 ∣PF 1∣=7，∣PF 2∣=3， 因为 ∣F 1F 2∣=8， 所以 cos∠F 1PF 2=72+32−822⋅7⋅3=−17．44. 由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点， 所以 p =2c ．设抛物线方程为 y 2=4c ⋅x ， 因为抛物线过点 (32,√6)， 所以 6=4c ⋅32，所以 c =1，故抛物线方程为 y 2=4x ． 又双曲线 x 2a2−y 2b 2=1 过点 (32,√6)，所以94a2−6b 2=1．又 a 2+b 2=c 2=1， 所以94a2−61−a 2=1．所以 a 2=14 或 a 2=9（舍）． 所以 b 2=34， 故双曲线方程为 4x 2−4y 23=1．45. （1） 因为 P 到点 F (1,0) 的距离比它到直线 l ：x =−2 的距离少 1， 所以 P 到点 F (1,0) 的距离与它到直线 l ：x =−1 的距离相等，所以由抛物线定义可知点 P 的轨迹是以 F 为焦点、以直线 l ：x =−1 为准线的抛物线，设抛物线方程为 y 2=2px (p >0) ， 所以 P =2，所以曲线 C 的方程为 y 2=4x ．（2） 直线 AB 的斜率为定值 −1，理由如下：设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则 y 12=4x 1，y 22=4x 2，因为直线 AQ ，BQ 倾斜角互补， 所以 k AQ +k BQ =0，即 y 1−2x 1−1+y 2−2x 2−1=0，4y1+2+4y 2+2=0，所以 y 1+y 2=−4， 所以 k AB =y 1−y 2x 1−x 2=4y1+y 2=−1．46. （1） 圆 C 的参数方程为 {x =2cosφ,y =2sinφ（φ 为参数），消去参数可得：圆 C 的普通方程为 x 2+y 2=4．由题意可得：直线 l 的参数方程为 {x =12t,y =2+√32t （t 为参数）． （2） 依题意，直线 l 的直角坐标方程为 √3x −y +2=0， 圆心 C 到直线 l 的距离 d =22=1， 所以 ∣AB ∣=2√r 2−d 2=2√3．47. （1） 因为椭圆一个顶点为 A (2,0)，离心率为 √22，所以 {a =2,ca =√22,a 2=b 2+c 2,所以 b =√2，所以椭圆 C 的方程为 x 24+y 22=1．（2） 直线 y =k (x −1) 与椭圆 C 联立 {y =k (x −1),x 24+y 22=1, 消元可得 (1+2k 2)x 2−4k 2x +2k 2−4=0，设 M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，则 x 1+x 2=4k 21+2k 2，x 1x 2=2k 2−41+2k 2， 所以 ∣MN∣=√1+k 2×√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√(1+k 2)(4+6k 2)1+2k 2，因为 A (2,0) 到直线 y =k (x −1) 的距离为 d =√1+k 2，所以 △AMN 的面积 S =12∣MN∣d =∣k∣√4+6k 21+2k 2，因为 △AMN 的面积为 √103， 所以∣k∣√4+6k 21+2k 2=√103， 所以 k =±1． 48. （1） 由题意 ca =√22，b 2a=√2，a 2=b 2+c 2，解得 a =2√2，b =c =2， 则椭圆的方程为：x 28+y 24=1．（2） 要使 △AOB 面积最大，则 B 到 OA 所在直线距离最远． 设与 OA 平行的直线方程为 y =√22x +b ．由 {y =√22x +b,x 28+y 24=1, 消去 y 并化简得 x 2+√2bx +b 2−4=0． 由 Δ=0 得 b =±2√2， 不妨取 b >0，所以与直线 OA 平行，且与椭圆相切的直线方程为：y =√22x +2√2，则 B 到直线 OA 的距离等于 O 到直线：y =√22x +2√2 的距离 d ，d =4√33，又 ∣OA ∣=√6，△AOB 面积的最大值 S =12×√6×4√33=2√2．49. （1） 因为点 (1,√22) 在椭圆 C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 上，椭圆离心率为 √22，所以 { 1a 2+12b 2=1,c a =√22,a 2=b 2+c 2, 解得 a =√2，b =1，所以椭圆 C 的方程为x 22+y 2=1．来自QQ 群339444963（2） 假设存在点 M (x 0,0)，使得 MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值， 设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，设直线 l 的方程为 x =my +1，联立 {x 22+y 2=1,x =my +1得 (m 2+2)y 2+2my −1=0，y 1+y 2=−2m m 2+2，y 1y 2=−1m 2+2，MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−x 0,y 1)=(my 1+1−x 0,y 1)，MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−x 0,y 2)=(my 2+1−x 0,y 2)， 所以MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(my 1+1−x 0)(my 2+1−x 0)+y 1y 2=(m 2+1)y 1y 2+m (1−x 0)(y 1+y 2)+(1−x 0)2=−(m 2+1)m 2+2+−2m 2(1−x 0)m 2+2+(1−x 0)2=m 2(x 02−2)+2(1−x 0)2−1m 2+2,。

解析几何定点问题通关50题（含答案）1. 直线，当变动时，所有直线都经过定点A. B. C. D.2. 直线，当变动时，所有直线都通过定点A. B. C. D.3. 直线经过一定点，则该定点的坐标是A. B. C. D.4. 已知过定点的直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当的面积最大时，直线的倾斜角为A. B. C. D.5. 下列四个命题：①经过定点的直线都可以用方程表示；②经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示；③不经过原点的直线都可以用方程表示；④经过定点的直线都可以用方程表示．其中真命题的个数是A. B. C. D.6. 已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，，，为切点，则直线经过定点A. B. C. D.7. 若直线与直线关于点对称，则直线恒过定点A. B. C. D.8. 已知直线，则当变化时，所有直线都通过定点A. B. C. D.9. 直线恒过一定点，则此定点为．10. 若直线：与直线关于点对称，则直线恒过定点．11. 直线，恒过定点．12. 若不论取何值，直线：恒过定点，则这个定点的坐标为．13. 已知直线，则直线恒过定点．14. 动直线经过的定点坐标为，若直线和圆恒有公共点，则半径的最小值是．15. 直线经过的定点坐标为，经过此定点且与垂直的直线方程是．16. 已知直线上有一点，则它与两定点，的距离之差的最大值为．17. 若直线与直线关于点对称，则直线恒过定点．18. 如果直线和函数的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么的取值范围是．19. 左、右焦点分别为，的椭圆经过点，为椭圆上一点，的重心为，内心为，．（1）求椭圆的方程；（2）为直线上一点，过点作椭圆的两条切线，，，为切点，问直线是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．20. 已知椭圆：经过点，且离心率等于．（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线，交椭圆于，两点，且满足，试判断直线是否过定点，若过定点求出点坐标，若不过定点请说明理由．21. 已知椭圆的两个焦点为，．其短轴长是，原点到过点和两点的直线的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）若点是定直线上的两个动点，且，证明以为直径的圆过定点，并求定点的坐标．22. 已知椭圆的离心率，直线与圆相切．（1）求椭圆的方程；（2）已知定点，若直线与椭圆相交于，两点，试判断是否存在实数，使得以为直径的圆过定点?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．23. 在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为．且过点．（1）求椭圆的方徎；（2）动点在直线：上，过作直线交椭圆于，两点，使得，再过作直线，直线是否恒过定点，若是，请求出该定点的坐标；若否，请说明理由．24. 椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆短轴上的一个顶点，的延长线与椭圆相交于．的周长为，．（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的左顶点作椭圆的两条互相垂直的弦，，试问直线是否恒过定点?若是，求出此定点的坐标；若不是，请说明理由．25. 已知过点的直线与直线：垂直．（1）若，且点在函数的图象上，求直线的一般式方程；（2）若点在直线上，判断直线是否经过定点?若是，求出该定点的坐标；否则，请说明理由．26. 已知直线恒过定点，圆经过点和点，且圆心在直线上．（1）求定点的坐标；（2）求圆的方程；（3）已知点为圆直径的一个端点，若另一个端点为点，问：在轴上是否存在一点，使得为直角三角形，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．27. 已知抛物线，直线．（1）若曲线上存在一点，它到的距离与到坐标原点的距离相等，求的坐标；（2）过直线上任一点作抛物线的两条切线，切点记为，，求证：直线过定点．28. 已知圆，直线．（1）求证：直线恒过定点；（2）（判断直线被圆截得的弦长何时最长，何时最短?并求截得的弦长最短时，求的值以及最短长度．29. 已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有．当点的横坐标为时，为正三角形．（1）求的方程；（2）若直线，且和有且只有一个公共点，试问直线是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．30. 已知，是椭圆上关于原点对称的任意两点，且点，都不在轴上．（1）若，求证：直线和的斜率之积为定值；（2）若椭圆长轴长为，点在椭圆上，设，是椭圆上异于点的任意两点，且，问直线是否过一个定点?若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由．31. 已知椭圆，、分别是椭圆的左、右顶点，动点在射线上运动，交椭圆于点，交椭圆于点．（1）若垂心的纵坐标为，求点的坐标；（2）试问：直线是否过定点?若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．32. 已知动圆过定点且与圆相切，记动圆圆心的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）过点且斜率不为零的直线交曲线于，两点，在轴上是否存在定点，使得直线，的斜率之积为非零常数?若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．33. 如图，中心在坐标原点，焦点分别在轴和轴上的椭圆，都过点，且椭圆与的离心率均为．（1）求椭圆与椭圆的标准方程；（2）过点引两条斜率分别为，的直线分别交，于点，，当时，问直线是否过定点?若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．34. 已知椭圆的离心率为，以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切（1）求椭圆的方程（2）过椭圆的右顶点作两条互相垂直的直线，，且分别交椭圆于，两点，探究直线是否过定点?若过定点求出定点坐标，否则说明理由．35. 已知椭圆与轴交于，两点，为椭圆的左焦点，且是边长为等边三角形．（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于，两点，点关于轴的对称点为（与不重合），则直线与轴是否交于一个定点?若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．36. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆的方徎；（2）若动点在直线上，过作直线交椭圆于，两点，使得，再过作直线，直线是否恒过定点，若是，请求出该定点的坐标；若否，请说明理由．37. 已知椭圆过点，且离心率．（1）求椭圆方程；（2）设点是椭圆的左顶点，，为椭圆上异于点的两动点，若直线，的斜率之积为，问直线是否恒过定点?若恒过定点，求出该点坐标；若不恒过定点，说明理由．38. 已知直线的方程为，点是抛物线上到直线距离最小的点，点是抛物线上异于点的点，直线与直线交于点，过点与轴平行的直线与抛物线交于点．（1）求点的坐标；（2）证明直线恒过定点，并求这个定点的坐标．39. 已知椭圆：的一个顶点为，离心率．（1）求椭圆的方程；（2）过的直线交椭圆于，两点，试问：在椭圆上是否存在定点，使得无论直线如何转动，以为直径的圆恒过定点?若存在，求出的值及点的坐标；若不存在，请说明理由．40. 已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为，，点是坐标平面内一点，且，，其中为坐标原点．（1）求椭圆的方程；（2）过点，且斜率为的直线交椭圆于，两点，在轴上是否存在定点，使得以为直径的圆恒过这个定点?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．41. 已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率，虚轴长为．（1）求双曲线的标准方程；（2）若直线与双曲线相交于，两点（，均异于左、右顶点），且以为直径的圆过双曲线的左顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．42. 已知椭圆的左焦点与抛物线的焦点重合，过点的直线交椭圆于，两点．当直线经过椭圆的一个短轴端点时，与以原点为圆心，以椭圆的离心率为半径的圆相切．（1）求椭圆的方程；（2）是否在轴上存在定点，使为定值?若存在，请求出定点及定值；若不存在，请说明理由．43. 已知椭圆与双曲线有共同焦点，且离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若为椭圆的下顶点，，为椭圆上异于的两点，直线与的斜率之积为．（i）求证：直线恒过定点，并求出该定点坐标；（ii）若为坐标原点，求的取值范围．44. 已知椭圆与双曲线有共同焦点，且离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）设为椭圆的下顶点，，为椭圆上异于的不同两点，且直线与的斜率之积为．①试问，所在直线是否过定点?若是，求出该定点；若不是，请说明理由；②若点为椭圆上异于，的一点，且，求的面积的最小值．45. 设，分别为椭圆：的左，右焦点，若椭圆上的点到点，的距离之和等于．（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于，两点，为椭圆的左顶点，直线，分别与轴交于点，．问：以为直径的圆是否经过定点?若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．46. 已知椭圆过点，离心率为．过椭圆右顶点且斜率乘积为的两条直线分别交椭圆于，两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线是否过定点?若过定点，求出点的坐标；若不过定点，请说明理由．47. 已知椭圆的离心率为，它的一个焦点在抛物线的准线上．点为椭圆的右焦点．（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与椭圆交于，两点．（ⅰ）若，直线与的斜率分别为，，满足，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标；（ⅱ）在轴上是否存在点，使得，且?若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．48. 椭圆的左右焦点分别为，，且离心率为，点为椭圆上一动点，内切圆面积的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左顶点为，过右焦点的直线与椭圆相交于，两点，连接，并延长交直线分别于，两点，以为直径的圆是否恒过定点?若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．49. 椭圆的左右焦点分别为，，且离心率为，点为椭圆上一动点，内切圆面积的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左顶点为，过右焦点的直线与椭圆相交于，两点，连接，并延长交直线分别于，两点，以为直径的圆是否恒过定点?若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．50. 已知抛物线的准线与轴交于点，过点作圆的两条切线，切点为，，．（1）求抛物线的方程；（2）设，是抛物线上分别位于轴两侧的两个动点，且（其中为坐标原点）①求证：直线必过定点，并求出该定点的坐标；②过点作的垂线与抛物线交于，两点，求四边形面积的最小值．答案1. C2. D3. A 【解析】，即．令得故定点坐标为．4. A5. A【解析】对于命题①④，方程不能表示倾斜角是的直线；对于命题③，当直线平行于一条坐标轴时，直线在该坐标轴上的截距不存在，故不能用截距式表示直线；对于命题②，应为．6. D 【解析】因为是直线的任一点，所以设，因为圆的两条切线，，切点分别为，，所以，，则点，在以为直径的圆上，即是圆和圆的公共弦，则圆心的坐标是，且半径的平方是，所以圆的方程是又得，，即公共弦所在的直线方程是：，即，由得，，所以直线恒过定点．7. B 【解析】由于直线恒过定点，其关于点对称的点为，又由于直线与直线关于点对称，所以直线恒过定点．8. C 【解析】直线方程变形为，则直线通过定点．9.10.11.【解析】由题意，，因为，所以所以所以直线恒过定点．12.【解析】取，得取，得解构成的方程组，得，，将该点坐标代入直线方程，则方程恒成立，说明不论取何值，直线都经过点．13. ．【解析】直线，化为：，联立解得，，则直线恒过定点．14. ，【解析】将直线化简为点斜式，可得，所以直线经过定点，且斜率为．即直线恒过定点．因为直线和圆恒有公共点，所以，所以，即半径的最小值是．15. ，【解析】直线，即直线，它一定经过和的交点．由求得可得直线经过的定点坐标为，设直线方程为，代入，可得，所以经过此定点且与垂直的直线方程是．16.【解析】设关于直线的对称点为，与直线的交点即为所求的点．设，则解得所以线段．17.【解析】恒过定点，设直线恒过定点，由直线与直线关于点对称，可得点，关于点对称，从而解得定点．18.【解析】根据指数函数的性质，可知函数恒过定点．将点代入，可得．由于点始终落在所给圆的内部或圆上，所以．由解得或这说明点在以和为端点的线段上运动，所以的取值范围是．19. （1）因为椭圆焦点在轴上，且过点，所以．设内切圆的半径为，点的坐标为，则的重心的坐标为，因为，所以．由面积可得，即，则解得，，即所求的椭圆方程为则椭圆方程为．（2）设，，，则切线，的方程分别为，．因为点在两条切线上，所以，．故直线的方程为．又因为点为直线上，所以，即直线的方程可化为，整理得，由解得因此，直线过定点．20. （1）因为椭圆：经过点，且离心率等于，所以，，所以，，所以椭圆的方程为．（2）设直线的方程为，，，联立椭圆方程和直线方程得，所以，．由，得，代入得，所以（舍去），，所以直线的方程为，所以过定点．21. （1）由题意可得，即，直线的方程为，即为，由题意可得，解得，即有椭圆的方程为．（2）由题意可设，，由，，且，可得，即，即为．以为直径的圆的方程为，化简为，可令，即有，解得，可得以为直径的圆过定点，定点的坐标为．22. （1）因为直线：与圆相切，，所以，因为椭圆的离心率，所以，所以，所以所求椭圆的方程是．（2）直线代入椭圆方程，消去可得：，所以，所以或，设，，则有，，若以为直径的圆过点，则，因为，，所以，所以，所以，解得，所以存在实数使得以为直径的圆过定点．23. （1）因为椭圆：的离心率为．且过点，所以解得，，所以椭圆的方程为．（2）因为直线的方程为，设，，当时，设，，由题意知，联立所以，所以，又因为，所以为线段的中点，所以直线的斜率为，又，所以的方程为，即，所以恒过定点．当时，直线为，此时为轴，也过点，综上，恒过定点．24. （1）由的周长是，得：，解得：，由且在的延长线上，得，设，则，，，由，解得：，所以，椭圆的方程是．（2），直线，均有斜率，设，，由得：，设点的坐标为，点的坐标为解得：，，当时，，所以，同理，直线的方程是，直线恒过定点．25. （1）点在函数的图象上，，即点由，得，即直线的斜率为，又直线与直线垂直，则直线的斜率满足：，即，所以直线的方程为，一般式方程为：．（2）点在直线上，所以，即，代入中，整理得，由解得故直线必经过定点，其坐标为．26. （1）由得，令得即定点的坐标为．（2）设圆的方程为，由条件得解得所以圆的方程为，圆的标准方程．（3）圆的标准方程为，则，设点关于圆心的对称点为，则有解得，，故点的坐标为．因为在圆外，所以点不能作为直角三角形的顶点，若点为直角三角形的顶点，则有，解得，若点是直角三角形的顶点，则有，解得，综上，或．27. （1）设，则，即，与抛物线方程联立，得．（2）设直线方程为，代入抛物线方程整理得，，可得．特别地，，，这时切点为，，过定点．一般地，，，切点为，，所以，，所以，所以，所以过点，综上所述，直线过点．28. （1）直线的方程可化为，联立解得所以直线恒过定点．（2）当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长．当直线时，直线被圆截得的弦长且最短直线的斜率为，．由解得．此时直线的方程是，设直线与圆的交点为，，圆心到直线的距离为所以最短弦长是．29. （1）由题意知，设，则的中点为，因为，由抛物线的定义知：，解得或（舍去）．由，解得，所以抛物线的方程为．（2）由（Ⅰ）知，设，，因为，则，由得，故，故直线的斜率为，因为直线和直线平行，故可设直线的方程为，代入抛物线方程得，由题意，得．设，则，，当时，则，可得直线的方程为，由，整理可得，所以直线恒过点，当时，直线的方程为，过点，所以直线过定点．30. （1）由题意可知：，则，由，则，由，则所以直线和的斜率之积为定值；（2）直线过点，由，，，则椭圆方程为：，显然的斜率一定存在，当直线的斜率时，则，，直线的方程为，当直线斜率存在，设斜率为，且，设直线的方程：，，，则整理得：，，，由，则，．，则，整理得：，解得：或（舍去），则直线的方程，则直线恒过点，综上可知：直线过点．31. （1）设的垂心为，因为边上的高所在的直线方程为且垂心的纵坐标为，所以，所以直线的斜率为，所以直线的斜率为，则的方程为：．由所以点的坐标为．（2）设点的坐标为，点坐标为，则，．直线的方程为，由．由于，，共线，所以，即，平方得，化简得．设直线的方程为，由，所以，，代入得，解得或．当时，直线的方程为，即，恒过；当时，直线的方程为，即，恒过，此种情况不合题意．综上可知：直线恒过．32. （1）设动圆的半径为，由及，知点在圆内，则有从而，所以的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆，设曲线的方程为：，则，，，，故曲线的轨迹方程为．（2）依题意可设直线的方程为，，，由整理得：，则，即，解得：或．由，，，假设存在定点，使得直线，的斜率之积为非零常数，则所以要使为非零常数，当且仅当解得，当时，常数为，当时，常数为，所以存在两个定点和，使直线，的斜率之积为常数，当定点为时，常数为；当定点为时，常数为．33. （1）设两个椭圆方程为：， .因为过点，所以，又因为离心率均为．所以椭圆方程分别为：，．（2）直线的方程为，联立椭圆方程得消去得，则则点的坐标为同理可得点的坐标为，又，则点为，所以则直线的方程为化简得，即当时，，故直线过定点．34. （1）依题意：，则，因为以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆：与直线相切，所以，椭圆的方程：．（2）依题意斜率存在，设，，设，将的方程代人椭圆得：所以舍，将换成则，所以，．所以直线的斜率为：．直线的方程为：，即所以直线过定点．当时，，，此时，直线也过定点．故，直线必过定点．35. （1）依题意可得，且，解得．所以椭圆的方程是．（2）由，消，得．设，，则．且，．经过点，的直线方程为．令，则．又，，故当时，．即直线与轴交于定点．36. （1）因为椭圆的离心率为，且过点，所以解得，，所以椭圆的方程为．（2）因为直线的方程为，设，，当时，设，，由题意知，联立所以，所以，又因为，所以为线段的中点，所以直线的斜率为，又，所以的方程为，即，所以恒过定点．当时，直线为，此时为轴，也过点，综上，恒过定点．37. （1）由题意椭圆的离心率．所以，所以，所以．所以椭圆方程为．又点在椭圆上，所以，所以，所以椭圆的方程为．（2）在（1）的条件下，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由消去得：，设，，则，．又，由题意知，则，且，则则．所以，所以或．当时，直线的方程为，此时直线过点，显然不适合题意．当时，直线的方程为，此时直线过点．当直线的斜率不存在时，若直线过点，，点的坐标分别是，，满足．综上，直线恒过点．38. （1）设点的坐标为，则，所以，点到直线的距离．当且仅当时等号成立，此时点坐标为．（2）设点的坐标为，显然．当时，点坐标为，直线的方程为；可知，则方程为：．当时，直线的方程为，化简得；综上，直线的方程为．与直线的方程联立，可得点的纵坐标为．因为，轴，所以点的纵坐标为．因此，点的坐标为．当，即时，直线的斜率．所以直线的方程为，整理得．当，时，上式对任意恒成立，此时，直线恒过定点，当时，直线的方程为，仍过定点，当时，仍过定点．故符合题意的直线恒过定点．39. （1）由题意，，，所以，，，所以椭圆的方程为；（2）①当直线的斜率不存在时，以为直径的圆的方程为：；②当直线的斜率为时，直线的方程为，此时以为直径的圆的方程为：，与联立，得，因为在椭圆和圆上，所以，因为，所以，所以，在椭圆上可能存在定点满足条件；③斜率存在时，设直线的方程为：，，，与椭圆方程联立，可得，所以，，所以过的直线斜率存在时，以为直径的圆过定点，综上所述，时，过的直线无论如何转动，以为直径的圆过定点．40. （1）因为椭圆的离心率为，所以，解得，设，又，，因为椭圆的左、右焦点分别为，，点是坐标平面内一点，且，，所以解得，所以，，所以椭圆的方程为．（2）设直线为：，代入椭圆，整理，得：，成立，设，，则，，设存在定点，使，则整理，得，即，要满足题意，则有解得，所以在轴上存在定点，使得以为直径的圆恒过这个定点．41. （1）设双曲线的标准方程为，由已知，得，，又，解得，，所以双曲线的标准方程为．（2）设，，联立得，有以为直径的圆过双曲线的左顶点，所以，即，所以，所以，所以，解得，．当时，的方程为，直线过定点，与已知矛盾；当时，的方程为，直线过定点，经检验符合已知条件．所以，直线过定点，定点坐标为．42. （1）抛物线的焦点为，由题意可得，即，由直线经过和，可得直线，直线与原点为圆心，以椭圆的离心率为半径的圆相切，可得，解得，则，即有椭圆的方程为；（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，代入椭圆方程，可得，设，，可得，，设，，，要使为定值，则，解得，即有．当直线的斜率不存在时，，，，，可得．则在轴上存在定点，使得为定值．43. （1）设椭圆的标准方程为，由题意可得，，，解得，，即有椭圆的标准方程为．（2）（i）设，，由，直线与的斜率之积为，可得，即有，由题意可知直线的斜率存在且不为，设直线，代入椭圆方程，可得，可得，，则，化为，解得舍去，则直线的方程为，即直线恒过定点，该定点坐标为；（ii）由（i）可得由，可得，解得．令，则，且，即有，由，可得．则的取值范围是．44. （1）由题意，椭圆的焦点坐标为，，设椭圆方程为，所以，，，所以椭圆的标准方程为．（2）①若的斜率不存在，设，．则，而，故不成立，所以直线的斜率存在，设直线的方程为，，，联立得．所以，，，，因为直线与直线斜率之积为．所以整理得．所以直线恒过．②由①知，，，因为，所以，当时，设所在直线方程为，则，，当时，也符合上式，所以令，，，因为，所以．当，即时，取最大值，所以当，即时，的面积最小，最小值为．45. （1）由椭圆上的点到点，的距离之和是，可得，．又在椭圆上，因此，所以．所以椭圆的方程为．（2）因为椭圆的左顶点为，所以点的坐标为．因为直线与椭圆交于，两点，设点（不妨设），则点．由消去，得，所以，则，所以直线的方程为．因为直线，分别与轴交于点，，令，得，即点．同理可得点．所以．设的中点为，则点的坐标为．则以为直径的圆的方程为，即．令，得，即或．故以为直径的圆经过两定点，．46. （1）由已知得结合，解得所以椭圆的标准方程为．（2）直线过定点．由（1）可知椭圆的右顶点为．由题意可知直线和直线的斜率存在且不为．设直线的方程为，．由得，可知恒成立，，所以．所以．所以点．因为直线和直线斜率的乘积为，故可设直线的方程为，．同理，易得，．所以点．当，即时，，则直线的方程为，整理得．显然直线过定点．47. （1）由题意可知：椭圆的离心率，则，抛物线准线方程，则，所以，，所以椭圆的标准方程：．（2）设，，则整理得：，则，则，，（ⅰ）证明：因为，所以，代入韦达定理，可得，化简可得，则直线的方程为，即，故直线恒过定点．（ⅱ）假设存在点满足题意，，则，化简整理得，此时判别式恒成立，所以，设中点，则，，由，则在线段的中垂线上，当，直线的方程为，当，可得，则，则，故即，且 ，所以 的取值范围为，当 时， ，综上， 的取值范围为．48. （1） 因为椭圆的离心率为，不妨设 ， ，即 ，其中 ， 又 内切圆面积取最大值时，半径取最大值为， 因为，其中 为定值， 为三角形 的周长，当 取最大值时， 所以 也取得最大值，此时点 为短轴端点， 所以，，解得 ，所以椭圆的方程为．（2） 设直线 的方程为 ， ， ，联立得 ， 则，， 直线 的方程为， 直线 的方程为，则，，假设 为直径的圆恒过定点 ， 则，，， 即， 即，。

2 2解析几何取值范围通关 50 题（含答案）1. 已知椭圆 C 2 x+ y 2 = t α t 0 ，F ，F 分别是其左、右焦点，以 F F 为直径的圆与椭圆 C 有且α2t2t 2仅有两个交点． （1）求椭圆 C 的方程；（2）设过点 F t 且不与坐标轴垂直的直线 l 交椭圆于 A ，B 两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 P ，点 P 横坐标的取值范围是 一 t,0 ，求线段 AB 长的取值范围．4x 2 y 22. 已知 F t ，F 2 分别是长轴长为 2 2 的椭圆 C ：α2 + b 2 = t α t b t 0 的左右焦点，A t ，A 2 是椭圆 C 的左右顶点，P 为椭圆上异于 A t ，A 2 的一个动点，0 为坐标原点，点 M 为线段 PA 2 的中点， 且直线 PA 与 0M 的斜率之积恒为 一 t． 2 （1）求椭圆 C 的方程；（2）设过点 F t 且不与坐标轴垂直的直线 l 交椭圆于 A ，B 两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 N ，点 N 横坐标的取值范围是 一 t,0 ，求线段 AB 长的取值范围．43. 如图，已知抛物线 E 2y 2 = x 与圆 M 2 x 一 4 2 + y 2 = γ2 γ t 0 相交于 A ,B ,C ,D 四个点．（1）求 γ 的取值范围；（2）当四边形 ABCD 的面积最大时，求对角线 AC,BD 的交点 P 的坐标．2 2 2 4. 已知函数 f x = lnx 一 2αx ，α ε R ．（1）若函数 y = f x 存在与直线 2x 一 y = 0 垂直的切线，求实数 α 的取值范围；（2）设 g x = f x + t x 2，若 g x 有极大值 x ，求证：lnx t + tt α．2tx t x t 25. 已知椭圆 x+ y = t α t b t 0 离心率为 2，左、右焦点分别为 F ，F ，左顶点为 A ， AF=α2 b 2 — t ，2t 2t（1）求椭圆的方程；（2）若直线 l 经过 F 2 与椭圆交于 M ，N 两点，求 F t M · F t N 取值范围．6. 已知椭圆 C 2 x + y = t α t b t 0 的离心率为 t ，且过点 一 C 的右顶点为 A ．α2b 22（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）已知过点 ,0 的直线交椭圆 C 于 P ，Q 两点，且线段 PQ 的中点为 R ，求直线 AR 的斜率的取值范围．2 22 3 2 2 t 27. 在平面直角坐标系 x0y 中，椭圆 E ：x+y= t α t b t 0 过点 ,t ，且与直线 2x + 2y 一4 = 0 相切． （1）求椭圆 E 的方程；α2 b 2（2）若椭圆 E 与 x 轴交于 M ，N 两点，椭圆 E 内部的动点 P 使 IPMI ，IP0I ，IPNI 成等比数列，求 P M · P N 的取值范围．8. 已知椭圆 C 2 x+y= t α t b t 0 经过点 t,,0 ．α2 b 2（1）求椭圆 C 的方程；（2）若直线 y = 直 x 一 t 直 芋 0 与 x 轴交于点 P ，与椭圆 C 交于 A,B 两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 Q ，求IABI 的取值范围．IPQI9. 设 F ，F 分别是椭圆 x 2 + y 24= t 的左、右焦点．（1）若 P 是该椭圆上的一个动点，求 P F t · P F 2 的最大值和最小值；（2）设过定点 M 0,2 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A ，B ，且 LA0B 为锐角（其中 0 为坐标原点），求直线 l 的斜率 直 的取值范围．2 232 2 2 2 10. 已知椭圆 E ：mx 2 + y 2 = t m t 0 ．（1）若椭圆 E 的右焦点坐标为 ,0 ，求 m 的值；（2）由椭圆 E 上不同三点构成的三角形称为椭圆的内接三角形．若以 B 0,t 为直角顶点的椭圆E 的内接等腰直角三角形恰有三个，求 m 的取值范围．11. 已知椭圆 C ：x + y α2b 2= t α t b t 0 ，其焦距为 2，点 P 在椭圆 C 上． （1）求椭圆 C 的标准方程；（2）是否存在与椭圆 C 交于 A ，B 两点的直线 l2y = mx + t m ε R ，使得 0 A · 0 B = 0 成立?若存在，求出实数 t 的取值范围，若不存在，请说明理由．12. 已知椭圆 C 2 x+y = t α t b t 0 的离心率为 3，直线 l 2y = x + 2 与以原点为圆心、椭圆 C 的α2b 23短半轴为半径的圆 0 相切． （1）求椭圆 C 的方程；（2）过椭圆 C 的左顶点 A 作直线 m ，与圆 0 相交于两点 R ，S ，若 A 0RS 是钝角三角形，求直线 m 的斜率 直 的取值范围．MN 0Q2 13. 已知函数 f x = e x sinx 一 cosx ，g x = xcosx 一 2e x ，（其中 e 是自然对数的底数）．ππ（1）∀x t ε 0, 2 ，∃x 2 ε 0, 2 使得不等式 f x t + g x 2 2: m 成立，试求实数 m 的取值范围； （2）若 x t 一 t ，求证：f x 一 g x t 0．x 2 y 214. 已知右焦点为 F 2 c ,0 的椭圆 C 2 α2 + b 2 = t α t b t 0 过点 t , C 关于直线 x = c 对称的图形过坐标原点． （1）求椭圆 C 的方程；（2,0 作直线 l 与 椭圆 C 交于 E ，F 两点，线段 EF 的中点为 M ，点 A 是椭圆 C 的右顶点，求直线 MA 的斜率 直 的取值范围．15. 已知椭圆 C 2 x +y= t α t b t 0 经过点 t,F ，F ，圆 x 2 + y 2 = 2 与α2b 2t2直线 x + y + b = 0 相交所得弦长为 2． （1）求椭圆 C 的标准方程；（2）设 Q 是椭圆 C 上不在 x 轴上的一个动点，0 为坐标原点，过点 F 2 作 0Q 的平行线交椭圆C 于 M ，N 两个不同的点，求 的取值范围．22 2x 2 y 216. 已知椭圆 C t 2 α2 + b 2 = t α t b t 0 的焦距为 4，左、右焦点分别为 F t ，F 2 ，且 C t 与抛物线C 22y 2 = x 的交点所在的直线经过 F 2． （1）求椭圆 C t 的方程； （2）过 F t 的直线 l 与 椭圆 C t 交于 A ，B 两点，与抛物线 C 2 无公共点，求 A ABF 2 的面积的取值范围．17. 已知椭圆 C ：x + y α2b 2= t 的两个焦点分别是 F t 一 t,0 ，F 2 t,0 ，且焦距是椭圆 C 上一点 P 到两 焦点 F t ，F 2 距离的等差中项． （1）求椭圆 C 的方程；（2）设经过点 F 2 的直线交椭圆 C 于 M ，N 两点，线段 MN 的垂直平分线交 y 轴于点 Q x 0,y 0 ，求 y 0 的取值范围．18. 在平面直角坐标系 x 0y 中，已知圆 0t 2 x + t 2 + y 2 = t 和 022 x 一 t 2 + y 2 = t ，动圆 P 与圆0t 外切，与圆 02 内切． （1）求圆心 P 的轨迹 E 的方程； （2）过 A 一 2,0 作两条互相垂直的直线 l t ，l 2 分别交曲线 E 于 M ，N 两点，设 l t 的斜率为直 直 t 0 ，A AMN 的面积为 S ，求 S的取值范围．直2 22 2 19. 已知椭圆 E 2 x + y α2b 2= t α t b t 0 过点 0, ，且离心率为 t．2（1）求椭圆 E 的方程；（2）若以 直 直 芋 0 为斜率的直线 l 与椭圆 E 相交于两个不同的点 A ，B ，且线段 AB 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形面积为 t，求 直 的取值范围．tt20. 已知椭圆 C 的中心在原点 0，焦点在 x 轴上，离心率为 tt ．2（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）是否存在与椭圆 C 交于 A ，B 两点的直线 l ：y = 直x + m直 ε R ，使得 0 A + 20B = 0 A 一 20B 成立?若存在，求出实数 m 的取值范围，若不存在，请说明理由．21. 经过原点的直线与椭圆 C 2 x +yα2b 2= t α t b t 0 交于 A ，B 两点，点 P 为椭圆上不同于 A ，B 的一点，直线 PA ，PB 的斜率均存在，且直线 PA ，PB 的斜率之积为 一 t ． 4（1）求椭圆 C 的离心率；（2）设 F t ，F 2 分别为椭圆的左、右焦点，斜率为 直 的直线 l 经过椭圆的右焦点，且与椭圆交于 M ，N 两点，若点 F t 在以 MN 为直径的圆内部，求 直 的取值范围．3222 22222.已知椭圆M2x+y4b2 b2= t b t0上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为4+2 3．（1）求椭圆M 的方程；（2）设不过原点0 的直线l 与该椭圆交于P，Q 两点，满足直线0P，PQ，0Q 的斜率依次成等比数列，求A 0PQ 面积的取值范围．23.已知椭圆C2x+y=tαt b t0的离心率为2，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆α2 b22与直线x 一 y + 2 = 0 相切．（1）求椭圆C 的方程．（2）若过点M 2,0 的直线与椭圆 C 相交于A，B 两点，设P 为椭圆上一点，且满足0A+ 0B=t0P（0为坐标原点），当P A一P B＜2 5 时，求实数t 的取值范围．324. 已知椭圆x + yα2 b2= t αt b t 0 与抛物线y2 = 2hx h t 0 共焦点F2，抛物线上的点M 到y 轴5的距离等于IMF2I 一 t，且椭圆与抛物线的交点Q 满足IQF2I =2．（1）求抛物线的方程和椭圆的方程；（2）过抛物线上的点P 作抛物线的切线y = 直x + m 交椭圆于A 、B 两点，求此切线在x 轴上的截距的取值范围．t 5 2 2 2 225. 椭圆 C 2 x +y= t α t b t 0 的左右焦点分别为 F ，F ，点 P 在椭圆 C 上，满足 PF· F F =α20，I P F t I = b 2 t 2，I P F I = ． 55t t 2（1）求椭圆 C 的方程．（2）设过点 D 0,2 的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 M ，N ，且 N 在 D ，M 之间，设 D N =λD M ，求 λ 的取值范围．26. 已知抛物线 E 2y 2 = 2h x h t 0 的焦点为 F ，过 F 且倾斜角为 π的直线 l 被 E 截得的线段长为 8．4（1）求抛物线 E 的方程；（2）已知点 C 是抛物线上的动点，以 C 为圆心的圆过 F ，且圆 C 与直线 x =一 t相交于 A ，B 两2 点，求 FA · FB 的取值范围．27. 已知椭圆x+ y = t α t b t 0 的离心率为 t ，且经过点 P t, F ，F 分别α2 b 2 2 t 2作直线 l t 与 l 2，l t 交椭圆于 A ，B 两点，l 2 交椭圆于 C ，D 两点，且 l t 1- l 2． （1）求椭圆的标准方程；（2）求四边形 ABCD 的面积 S 的取值范围．5 22+ y2 = t 中，过坐标原点0 作两条互相垂直的射线0A，0B 与C 分别交于28. 如图，在椭圆C：x4A，B 两点．（1）已知直线AB 的斜率为直，用直表示线段AB 的长度；（2）过点0 作0M 1- AB 于M 点，点P 为椭圆C 上一动点，求线段PM 长度的取值范围．x2 y229.已知椭圆C t2α2+b2=tαt b t0的焦距为4，左、右焦点分别为F t，F2，且C t与抛物线C22y2=x的交点所在的直线经过F2．（1）求椭圆C t 的方程；（2）分别过F t，F2 作平行直线m，η，若直线m 与C t 交于A，B 两点，与抛物线C2 无公共点，直线η与C t 交于C，D 两点，其中点A，D 在x 轴上方，求四边形AF t F2D 的面积的取值范围．DM DP30. 在圆 x 2 + y 2 = t 上任取一点 P ，过点 P 作 x 轴的垂线段 PD ，D 为垂足，点 M 在线段 DP 上，满足 = 2，当点 P 在圆上运动时，设点 M 的轨迹为曲线 C ．3（1）求曲线 C 的方程；（2）若直线 y = m x + 5 上存在点 Q ，使过点 Q 作曲线 C 的两条切线互相垂直，求实数 m 的取值范围．31. 已知焦点在 y 轴上的椭圆 E 的中心是原点 0，离心率等于 3，以椭圆 E 的长轴和短轴为对角线2的四边形的周长为 4 5，直线 l 2y = 直x + m 与 y 轴交于点 P ，与椭圆 E 交于 A ，B 两个相异点，且 A P = λP B． （1）求椭圆 E 的方程；（2）是否存在 m ，使 0 A + λ0 B = 40 P ?若存在，求 m 的取值范围；若不存在，请说明理由．2 2 332. 如图，已知抛物线 x 2 = y ，点 A 一 t P x,y 一 t ＜ x B2作直线 AP 的垂线，垂足为 Q ．（1）求直线 AP 斜率的取值范围； （2）求 IPAI · IPQI 的最大值．33. 已知椭圆 E 的中心在原点，焦点 F t ，F 2 在 y 轴上，离心率等于 段 PF t 为直径的圆经过 F 2，且 t P F t · P F 2 = t ． （1）求椭圆 E 的方程；P 是椭圆 E 上的点，以线（2）做直线 l 与椭圆 E 交于两个不同的点 M ，N ，如果线段 MN 被直线 2x + t = 0 平分，求 l的倾斜角的取值范围．34. 设函数 f x = x 一 t · Ix 一 αI α ε R ．（1）当 α = 2 且 x 2: 0，关于 x 的方程 f x = 直x 一 2有且仅有三个不同的实根 x ，x ，x ，若tt = max x t ,x 2,x 3 ，求实数 t 的取值范围；t 2 3（2）当 α ε 一 t 时，若关于 x 的方程 f x = 2x 一 tα 有且仅有三个不同的实根 x ，x ，x ，2求 x t + x 2 + x 3 的取值范围．t23MP PNMQQN3 2 35. 如图，已知椭圆 x + y= t α t b t 0 的上顶点为 A ，左右顶点为 B ，C ，右焦点为 F ， AF =α2 b 23，且 A ABC 的周长为 t4．（1）求椭圆的离心率；（2）过点 M 4,0 的直线 l 与椭圆相交于不同的两点 P ，Q ，点 N 在线段 PQ 上，设 λ ==，试判断点 N 是否在一条定直线上，并求实数 λ 的取值范围．36. 已知圆 02x 2 + y 2 = 4，点 A 一 3,0 ，B 的轨迹为 C 2．,0 ，以线段AP 为直径的圆 C t 内切于圆 0，记点 P （1）证明 AP + BP 为定值，并求 C 2 的方程；（2）过点 0 的一条直线交圆 0 于 M ，N 两点，点 D 一 2,0 ，直线 DM ，DN 与 C 2 的另一个交S t点分别为 S ，T ，记 A DMN ，A DST 的面积分别为 S t ，S 2，求 2的取值范围．2 S2 2 37. 已知点 F t,0 ，点 A 是直线 l t 2x =一 t 上的动点，过 A 作直线 l 2，l t 1- l 2，线段 AF 的垂直平分线与 l 2 交于点 P ． （1）求点 P 的轨迹 C 的方程；（2）若点 M ，N 是直线 l t 上两个不同的点，且 A PMN 的内切圆方程为 x 2 + y 2 = t ，直线 PF 的斜率为 直，求I 直IIMNI的取值范围．38. 设椭圆 x + y α23= t α t 的右焦点为 F ，右顶点为 A ．已知 t + t0F0A= 3t，其中 0 为原点，FAt 为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B （B 不在 x 轴上），垂直于 l 的直线与 l 交于点 M ，与 y轴交于点 H ．若 BF 1- HF ，且 LM0A 三 LMA0，求直线 l 的斜率的取值范围．33x2 y239.在直角坐标系中，椭圆C t2α2b2=tαt b t0的左、右焦点分别为F t，F2，其中F2也是抛5物线C22y2=4x的焦点，点P为C t与C2在第一象限的交点，且I P F2I=．（1）求椭圆的方程；（2）过F2 且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于M，N 两点，若线段0F2 上存在定点T t,0 使得以TM，TN 为邻边的四边形是菱形，求t 的取值范围．40. 如图，已知线段AE，BF 为抛物线C2x2 = 2hy h t 0 的两条弦，点E，F 不重合．函数y =αx αt 0 且α芋t 的图象所恒过的定点为抛物线C 的焦点．（1）求抛物线C 的方程；（2）已知A 2,t ，B 一AE 与BF 的斜率互为相反数，且A，B 两点在直线EF 的两侧．①问直线EF 的斜率是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由．②求0E· 0F的取值范围．t52 2 2 41. 已知椭圆 C 2 x+y= t α t b t 0 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直α2b 2线 x + y + t = 0 与以椭圆 C 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切． （1）求椭圆 C 的方程；（2）过点 M 2,0 的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 S 和 T ，若椭圆 C 上存在点 P 满足 0 S +0T = t 0 P （其中 0 为坐标原点），求实数 t 的取值范围．42. 已知椭 C 2 x+yα2b 2= t α t b t 0 的离心率为 4，F t ，F 2 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上任意一 点，且 A PF t F 2 的周长是 8 + 2 t5．（1）求椭圆 C 的方程；（2）设圆 T 2 x 一 t 2 + y 2 = 4，过椭圆的上顶点作圆 T 的两条切线交椭圆于 E ，F 两点，当圆心t 在 x 轴上移动且 t ε t,3 时，求 EF 的斜率的取值范围．243. 已知椭圆C 与双曲线y2 一x2 = t 有共同焦点，且离心率为t．3（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若A 为椭圆C 的下顶点，M，N 为椭圆C 上异于A 的两点，直线AM 与AN 的斜率之积为t．（i）求证：直线MN 恒过定点，并求出该定点坐标；（ii）若0 为坐标原点，求0M· 0N的取值范围．44. 已知函数f x = e x 2x 一 m m εR ．（1）若函数f x 在一t, + CX) 上单调递增，求实数m 的取值范围；（2）当曲线y = f x 在x = 0 处的切线与直线y = x 平行时，设h x = f x 一αx + α，若存在唯一的整数x0 使得h x0 ＜ 0，求实数α的取值范围．2 2 45. 已知曲线 C 上的点到点 F 0,t 的距离比它到直线 y =一3 的距离小 2． （1）求曲线 C 的方程；（2）过点 F 且斜率为 直 的直线 l 交曲线 C 于两点 A ，B ，交圆 F2x 2 + y 一 t 2 = t 于 M ，N 两点（A ，M 两点相邻）．① 若 B F = λB A ，当 λ ε t2时，求 直 的取值范围；2 3② 过 A ，B 两点分别作曲线 C 的切线 l t ，l 2 ，两切线交于点 P ，求 A AMP 与 A BNP 面积之积的最小值．46. 已知椭圆 C 2 y +x= t α t b t 0 的上下两个焦点分别为 F ，F ，过点 F 与 y 轴垂直的直线α2b 2t 2 t3交椭圆 C 于 M ，N 两点，A MNF 2 的面积为 3，椭圆 C 的离心力为 2 ．（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）已知 0 为坐标原点，直线 l 2y = 直x + m 与 y 轴交于点 P ，与椭圆 C 交于 A ，B 两个不同的点，若存在实数 λ，使得 0 A + λ0 B = 40 P ，求 m 的取值范围．47. 已知函数 f x = xlnx ，g x = αx 2 + x 一 α α ε R ．2（1）若直线 x = m m t 0 与曲线 y = f x 和 y = g x 分别交于 M ，N 两点．设曲线 y = f x 在点 M 处的切线为 l t ，y = g x 在点 N 出的切线为 l 2． （ⅰ）当 m = e 时，若 l t 1- l 2，求 α 的值； （ⅱ）若 l t ∥l 2，求 α 的最大值； （2）设函数 h x = f x 一 g x 在其定义域内恰有两个不同的极值点 x t ，x 2 ，且 x t ＜ x 2 ．若λ t 0，且 λlnx 2 一 λ t t 一 l nx t 恒成立，求 λ 的取值范围．2 2 2 48. 设 0 ＜ () ＜ π，曲线 x 2sin() + y 2cos() = t 和 x 2cos() 一 y 2sin() = t 有 4 个不同的交点．2（1）求 () 的取值范围；（2）证明这 4 个交点共圆，并求圆半径的取值范围．49. 在平面直角坐标系 x 0y 中，椭圆 C 2 x +y = t α t b t 0 的离心率是 3，且直线 l 2 x + y= t被椭圆 C 截得的弦长为 5． （1）求椭圆 C 的标准方程；α2b 22t αb （2）若直线 l t 与圆 D 2x 2 + y 2 一 t x 一 4y + m = 0 相切： （i ）求圆 D 的标准方程；（ii ）若直线 l 2 过定点 3,0 ，与椭圆 C 交于不同的两点 E ，F ，与圆 D 交于不同的两点 M ， N ，求 IEFI · IMNI 的取值范围．50. 已知双曲线 C 2 x一y= t 的焦距为 3 2，其中一条渐近线的方程为 x 一 2y = 0．以双曲线 C 的α2 b 2实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为 E ，过原点 0 的动直线与椭圆 E 交于 A ，B 两点． （1）求椭圆 E 的方程；（2）若点 P 为椭圆的左顶点，P 㨸 = 2㨸 0 ，求 㨸 A+ 㨸 B的取值范围； （3）若点 P 满足 PA = PB ，求证 t0A 2 + t 0B2+ 2 0P 2为定值．2 222t 直222 22PP2x 0答案1. （1） 根据题意，因为以 F t F 2 为直径的圆与椭圆 C 有且仅有两个交点，2所以 b = c = t ，即 α = = ，即椭圆C 的方程为 x2+ y 2 = t ． （2） 根据题意，过点 F t 且不与坐标轴垂直的直线 l 交椭圆于 A ，B 两点， 即直线 AB 的斜率存在， 设直线 AB 的方程为 y = 直 x + t ，与 x 2+ y 2 = t 联立，得 t + 2直2 x 2 + 4直2x + 2直2 一 2 = 0，11 t 0，有 直2 + t t 0，解之，得 直 εR ， 设 A x t ,y t ，B x 2,y 2 ，AB 的中点为 M x 0,y 0 ，4直22直2一2x t + x 2 =一 t +2直2，x t · x 2 = t +2直2，2直y t + y 2 = 直 x t + t + 直 x 2 + t = t +2直2，2即 M 一2直t +2直2设直线 AB 的垂直平分线方程为 y 一 直 =一t +2直2令 y = 0，得 x = 一直2， t +2直因为 x ε 一 t,0 ，所以 0 ＜ 直24AB ==＜ t ， 2=2 2·t = t ε,2 ,即线段 AB 长的范围是,2 ．2. （1） 由题意可知 2α = 2 ，则 α = ，设 P x 0,y 0 ，因为直线 PA 与 0M 的斜率之积恒为 一 t，2y 0所以2×y 0=一 t，x 0+ 2 2 x 0一 222 所以 02+ y 2 = t ，所以 b = t ，2故椭圆 C 的方程 x2 + y 2 = t ；（2） 设直线 l ：y = 直 x + t ，A x t ,y t ，B x 2,y 2 ，直 x + t ,+ y 2 = t,得 2直2 + t x 2 + 4直2x + 2直2 一 2 = 0， 则 11 t 0，有 直2 + t t 0 解之得 直 ε R ，x + x =一4直22，x x =b 2 +c 2 22直2一2，2直2+tt + 直2t + 直222 x t x 2 x t — x 2 一 x t x x 2 + x t t 2 t 2 2则 y + y = 直 x + x + 2 = 2直，2直 +t2所以 AB 中点 Q 一2直2直2+t QN 直线方程为：y 一=一=一 t x 一2直，2直2+t2 直2直2+t所以 N 一直,0 ，由已知得 一 ＜一＜ 0，2直2+t所以 0 ＜ 2直2 ＜ t ，即 t＜t4＜ t ，2直2+t所以IABI = 22直2+t· 2= =2 2 2222= 因为 t＜tt+,＜ t ，2 2直2+t所以 IABI ε,2 ，故线段 AB 长的取值范围是,2 ．3. （1） 将 y 2 = x 代入 x 4 + y 2 = γ2 ，并化简得x 2 一 7x + tt 一 γ2 = 0, tt ①E 与 M 有四个交点的充要条件是方程①有两个不等的正根 x t ,x 2 ．由此得11 = 一 7 2 一 4 tt 一 γ2 t 0, x t + x 2 = 7 t 0, x t x 2 = tt 一 γ2 t 0h解得又 γ t 0 ，所以 γ 的取值范围是 ,4 ht5 ＜ γ2 ＜ tt,4（2） 不妨设 E 与 M 的四个交点的坐标为：A x t , 则直线 AC,BD 的方程分别为,B x t , 一 y 一 = ,C x 2, 一 x 一 x,D x 2, h· x 一 x t ,解得点 P 的坐标为y + = 2 tx 2 一 x t· x 一 x t ,设 t = ，由 t =及（1）知,0 ht + 直2x t + x 2 2 一 4x t x 22 x t x 2 x t x 2 tt 一 γ2x t x270 ＜t＜h2x 22tS = 2 · 2 则S 2 = x t + x 2 + 2 + 2 ·x 2 一 x t ht + x 2 2 一 4x t x 2 h将 x t + x 2 = 7 ， = t 代入上式，并令 f t = S ，得f t = 7 + 2t 2 · 7 一 2t 0 ＜ t ＜h求导数，令 f' t = 0 ，解得f' t =一 2 2t + 7 tt 一 7 h7 7当 0 ＜ t ＜ 7时，t当 t = 7时，t当 7 ＜ t ＜ 7时，t = t 一 2舍去 hf ' t t 0㜵f ' t = 0㜵t2f ' t ＜ 0h故当且仅当 t = 7 时， f t 有最大值，即四边形 ABCD 的面积最大，故所求的点 P ,0 ．t4. （1） 因为 f' x = t一 2α，x t 0，x因为函数 y = f x 存在与直线 2x 一 y = 0 垂直的切线， 所以 f' x =一 t在 0, + CX) 上有解， 2即 t一 2α =一 t 在 0, + CX) 上有解，x 也即 x = 24α一t2 在 0, + CX) 上有解，所以24α一t t 0，得 α t t ，4故所求实数 α 的取值范围是CX) ． （2） 因为 g x = f x+ x = t x 2+ lnx 一 2αx ， 22因为 g ' x = x 一2αx +t x①当 一 t 三 α 三 t 时，g x 单调递增无极值点，不符合题意，②当 α t t 或 α ＜一 t 时，令 g' x = 0， 设 x 2 一 2αx + t = 0 的两根为 x t 和 x 2， 因为 x t 为函数 g x 的极大值点， 所以 0 ＜ x t ＜ x 2，又 x t x 2 = t ，x t + x 2 = 2α t 0， 所以 α t t ，0 ＜ x t ＜ t ， 所以 g ' x =x t 2一2αx t +t= 0，x t x t x 2 x t x 232 2则 α =x t 2+t ， 2x t 要证明 lnxt + tt α，x tx t2只需要证明 x t lnx t + t t αx t 2， 因为x t lnx t + t 一 αx t 2 = x t lnx t 一 x t 3+xt2 =一 x t3 一 tx + x lnx + t,0 ＜ x ＜ t,2 2 tt t t令 h x=一 t x 3 一 tx + xlnx + t ，x ε 0,t ，22所以 h' x =一 3 x 2 + t，2 2 记 P x =一3 x 2 + t+ lnx ，x ε 0,t ，222 则 P ' x =一 3x + t=t 一3x ，x x当 0 ＜ x ＜ 3 时，h' x t 0， 3当 3＜ x ＜ t 时，h' x ＜ 0，3 所以 h x max = h所以 h' x ＜ 0，=一 t + ln＜ 0，3所以 h x 在 0,t 上单调递减， 所以 h x t h t = 0，原题得证． 5. （1） 设 F t 一 c,0 ，F 2c,0 ，=, 所以2一 c = 2 一 t, α = 2,c = t, 所以 b 2 = α2 一 c 2 = t ，2所以椭圆方程为 x2 + y 2 = t ．（2） 当直线 l 斜率存在时：设 M x t ,y t ，N x 2,y 2 ，直线 l 为：y = 直 x 一 t ， 2代入 x2 得：x 2+ y 2 = t ，+ 直2 x 一 t 2 = t ，整理得： t + 2直2 x 2 一 4直2x + 2直2 一 2 =0， 由题意 11 t 0，4直22直2一2所以 x t + x 2 = 2直2+t ，x t x 2 = 2直2+t ， 所以232 2 22 2 F t M· F t N = x t + t,y t · x 2 + t,y 2= xt x 2 + x t + x 2 + t +直2 x t 一 t x 2一 t= t + 直2 x t x 2 + t 一 直2 x t + x 2 + t + 直2 2 2= t + 直 2 + t 一 直t + 直2 = 7直 一t2直2+t2直2+t2直2+t直2+t 一t= 222直2+tt= 7一22,2直2+t因为 t + 2直2 2: t ，所以 F t M · F t N ε 一当直线 l + y 2 = t, y =± 2 ，所以 M t,N t, 一所以 F t M · F t N = 2,综上，F t M · F t N ε 一 t , · 2, 7 ．2 = 7，2 6. （1） 依题意， t+t= t ，c= t，α2 = b 2 + c 2，解得 α = 2，b = ，c = t ，故椭圆 C 的标准方程为 x +yα2= t ．4b 2 α 243 （2） 依题意，直线 PQ 过,0 ．①当直线 PQ 的斜率不为 0 时，可设其方程为 x = my + t ， 2= my + t,联立2+ y = t, 3消去 x 得 4 3m 2 + 4 y 2 + t2my 一 45 = 0，3m3m设点 P x t ,y t ，Q x 2,y 2 ，R x 0,y 0 ，直线 AR 的斜率为 直，故 y t + y 2 =一 3m 2+4，y 0 =一 当 m = 0 时，直 = 0，当 m 芋 0 时，直 = t，4m+ 4因为 4m +4= 4 m + 4m 2: 8，故 0 ＜t三 t，mm4 m + 48m当且仅当 4 m = 4，即 m = t 时等号成立． m 故 0 ＜ 直 三 t，故 一 t直 三 t直 芋 0．888②当直线 PQ 的斜率为 0 时，线段 PQ 的中点 R 与坐标原点重合，AR 的斜率为 0． 综上所述，直线 AR 的斜率的取值范围为 一 t , t．8 8227. （1） 因为椭圆 E ：x+ yα2 b 2= t α t b t 0 与直线 x + 2y 一 4 = 0 相切， 联立 2x + 2y 一 4 = 0, b 2x 2 + α2y 2 = α2b 2, 整理得 b 2 + t α2 x 2 一 2 2α2x + 4α2 一 α2b 2 = 0，2t2 m 一 2 2 + η22 2 2 2因为椭圆 E ：x + y = t α t b t 0 过点 ,t ，所以 2 + t= t , tt ② α2 b 2 α2 b 2 由 ①② 得 α2 = 4，b 2 = 2， 所以椭圆 E 的方程：x+ y 42= t ．（2） 由（t ）得 M 一 2,0 ，N 2,0 ，设 P m,η ， 因为 IPMI ，IP0I ，IPNI 成等比数列， 所以2IP0I 2 = IPNI · IPMI t m 2 + η2 =· t m 2 = η2 + 2, 因为 P M = 一 2 一 m, 一 η ，P N = 2 一 m, 一 η ，所以 P M · P N = m 2 + η2 一 4 = 2η2 一 2． 因为 P 在椭圆 E 内部，所以 0 三 η2 ＜ 2， 所以 一 2 三 P M · P N ＜ 2． 即 P M · P N 的取值范围为 一 2,2 ． 8. （1） 由题意，得一 b 2 = 3, 3解得 α = 2，b = t ．2 所以椭圆 C 的方程是 x 4+ y 2 = t ． + 4b 2= t, （2） 由直 x 一 t ,消去 y ，得+ y 2 = t,设 A x t ,y t ，B x 2,y 2 ，则有t + 4直2 x 2 一 8直2x + 4直2 一 4 = 0h8直2x t + x 2 = t + 4直2 , 4直2 一 4 x t x 2 = t + 4直2 ,从而线段 AB 的中点坐标为一 2直y t + y 2 = 直 x t + x 2 一 2 =t + 4直2h于是，线段 AB 的垂直平分线方程为y 一一 直t + 4直2 =, m + 2 2 + η2令y = 0，则得,0 ，又点P t,0 ，所以3 3 3根据弦长公式，得PQ = t 一3直2t + 4直2t + 直2 = t + 4直2 hAB=从而IABI IPQI = 4 t + 直2 t + 3直2 t + 4直2t + 直2t + 4直2由 直 芋 0，得 t ＜ 3 一 2t +直2＜ 3． 因此，IABI 的取值范围为 4,4 ．IPQI9. （1） 易知 α = 2，b = t ，c = 设 P x,y ，则，所以F t 一 ,0 ，F 2 ,0 ，P F t · P F 2 = 一 3 一 x, 一 y · = x 2 + y 2 一 3x 2— x , 一 y= x 2 + t 一 4 32 一 8 h 因为 x ε 一 2,2 ，故当 x = 0，即点 P 为椭圆短轴端点时，P F t · P F 2 有最小值 一 2；当 x =± 2，即点 P 为椭圆长轴端点时，P F t · P F 2 有最大值 t ．（2） 显然直线 x = 0 不满足题设条件，可设直线 l 2y = 直x + 2，A x t ,y t ，B x 2,y 2 ，联立直x + 2, + y 2 = t, 消去 y ，整理得 直2由 11 = 4直 2 一 4 直2 x 2 + 4直x + 3 = 0，所以 4直 x t + x 2 =一 直2 + × 3 = 4直2 一 3 t 0 得t ,x t · x 2 = 43t h 直2 +43 333 32+ 一直 +t t 0，即 直 ＜ 4，所以 10. （1） 椭圆 E 的方程可以写成 x2 t22又0o ＜ LA0B ＜ t0o ¢=> cosLA0B t 0¢=> 0 A · 0 B t 0,所以0 A · 0B = x t x 2 + y t y 2 t 0h 又y t y 2 = 直x t + 2 直x 2 + 2= 直2x t x 2+ 2直 x t + x 2 + 43直2= + 直2 + t 4 一 8直2+ 4 直2 + t4 一 直2 + t = t , 直2 +43 2 t t 直2+ 直2+一 2 ＜ 直 ＜ 2 tt ②故由①，②得一 2 ＜ 直 ＜一2或 ＜ 直 ＜ 2h22t + y 2 = t ，焦点 m,0 在 x 轴上，所以 α2 = t ，b 2 = t ，c 2 = α2 一 b 2 = t t = = 3，求得 m = t．mm4（2） 设椭圆 E 内接等腰直角三角形的两直角边分别为 BA ，BC ，设 A x t ,y t ，C x 2,y 2 ，显然 BA与 BC 不与坐标轴平行，且 直BA · 直BC =一 t ＜ 0． 所以可设直线 BA 的方程为 y = 直x + t 直 t 0 ，则直线 BC 的方程为 y =一 tx + t ，由mx 2 + y 2 = t,消去 y 得到 m + 直2 x 2 + 2直x = 0，所以 x = 一2直，求得 BA =m+直t 一 0 =直y = 直x + tBC=× x 2 一 0 因为 A ABC 为以 B 0,t 为直角顶点的等腰直角三角形， 所以 BA = BC ，22+t m 直3 一 直2 + 直 一 m = 0 t m 直3 一 m 一 直2 一 直 = 03 m+直m + 一2因为t m直3 一t 一直2 一直= 0t m 直一t 直2 + 直+ t 一直直一t = 02 2t 722所以直= t 或m直2 + m 一t 直+ m = 0，设f 直= m直2 + m 一t 直+ m．因为以B 0,t 为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形恰有三个，所以关于直的方程m直2 + m 一t 直+ m = 0 有两个不同的正实根x t，x2，且不为t，f t 芋0 t m + m 一t + m 芋0 t m 芋t ,3x t+x2t0t一所以m一tmt 0 t 0 ＜ m ＜t,x t · x2 t 0 t t t 0,恒成立,11t0t11= m 一t2一4m2t0t一t＜ m ＜t,3所以实数m的取值范围是11. （1）由椭圆C 的焦距2c =2，解得c=t，因为点P t,所以tα2在椭圆C 上，= t，解得α2 = 4，b= 3，2 2所以椭圆C 的标准方程：x + y4 3= t．（2）设A x t,y t ，B x2,y2 ，= mx + t,联立+ y = t 得3 + 4m3x2 + 8tmx + 4t2一t2 = 0，11 = 8tm 2 一 4 3 + 4m2 4t2 一t2 t 0，化简得3 + 4m2 t t2．一8mt4t2一t2x t + x2 =3+4m2，x t x2 =3+4m2，假设0A· 0B= 0 成立，所以x t x2 + y t y2 = 0，x t x2 + mx t + t mx2 + t = 0，t + m2 x t x2 + tm x t + x2 + t2 = 0，化简得7t2 = t2 +t2m2，代入3 +4m2 t t2 中得t2 t 3．4因为7t2 = t2 + t2m2 2: t2，所以t2 2: t2，7即t 2: 2 2t，或t 三一2 2t．7 7所以存在实数t，使得0A· 0B= 0 成立，实数t 的取值范围为一 CX), 一12. （1）由题意可得t = c = 3，u , + C X) ．α3又圆0 的方程为x2 + y2 = b2，因为直线l2x 一y + 2 = 0 与圆0 相切，b = = ，由α2 = 3c2 = 3 α2 一 b2 ，即α2 = 3．23 33 一2 3直2t +直222 2 2 2 2 22 2所以椭圆 C 的方程为 x +y= t ．32 （2） 由（t ）得知圆的方程为 x 2 + y 2 = 2，A 一 ,0 ， 直线 m 的方程为：y = 直 x + ．设 R x t ,y t ，S x 2,y 2 ，x 2 + y 2 = 2, 由 y = 直 x + 得 t + 直2 x 2 + 23直2一2直2x + 3直2 一 2 = 0，x t + x 2 =，x t x 2 = t +直2 ， 由 11 = t 2直4 一 4 t + 直2 3直2 一 2 t 0 得一 因为 A 0RS 是钝角三角形，所以＜ 直 ＜ , tt ①0R · 0 S= x t x 2 + y t y 2= x t x 2 + 直2 x t += 4直 一2 ＜ 0h t +直2x 2 + 一 2＜ 直 ＜ 2 , tt ②22由 A ，R ，S 三点不共线，知 直 芋 0, tt ③由 ①，②，③，得直线 m 的斜率 直 的取值范围是 一 2,0 u 0,2 13. （1） 因为 f x t + g x 2 2: m ， 所以 f x t 2: m 一 g x 2 ，所以 f x t min 2: m 一 g x ， 所以 f 一 g x 2 max ， 当 x ε时，f' x t 0，函数 f x 在 0,π2上单调递增，所以 f x min = f 0 =一 t ， 因为 g x = x cosx 一 e x ， 所以 g' x = cosx 一 xsinx 一 因为 x ε 0, π2 e x ， 所以 0 三 cosx 三 t ，xsinx 2: 0， 所以 g' x ＜ 0，e x 2: ，所以函数 g x 在 0, π2 上单调递减，所以 g x max = g 0 =一 ， 所以 一 t 2: m + ，所以 m 三一 t 一 ， 所以实数 m 的取值范围为 一 C X), 一 t 一3 2 3 32 2（2）x t一t，要证：f x 一g x t 0，只要证f x t g x ，2x 2 2x 22 t 22 只要证 e x sinx + t x + t cosx ， 由于 sinx + xt 0，x + t t 0， 只要证ex+t t cosx ，sinx+ 2x下面证明 x t 一 t 时，不等式 ex+tt cosx sinx+ 2 成立， 令 h x =ex+t所以 h' x =，x t 一 t ，x t一 t ，当 x ε 一 t,0 时，h' x ＜ 0，h x 单调递减， 当 x ε 0, + CX) 时，h' x t 0，h x 单调递增，所以 h x min = h 0 = t ，令 直 = cosx ，其可看作点 A sinx,cosx 与点 B 一 ,0 连线的斜率，sinx+ 2所以直线 AB 的方程为 y = 直 x + ， 由于点 A 在圆 x 2 + y 2 = t 上， 所以直线 AB 与圆相交或相切，当直线 AB 与圆相切且切点在第二象限时，直线 AB 的斜率取得最大值为 t ， 所以当 x = 0 时，直 = 2＜ t = h 0 ，x 芋 0 时，h x t t 2: 直，2 综上所述，当 x t 一 t ，f x 一 g x t 0． 14. （1） 因为椭圆 C 过点 所以 t+ t= t h tt ①α24b 2 因为椭圆 C 关于直线 x = c 对称的图形过坐标原点， 所以 α = 2c ． 因为 α2 = b 2 + c 2， 所以 b 2 = 3α2, tt ②4 由 ①② 得 α2 = 4，b 2 = 3， 所以椭圆 C 的方程为 x +y= t ．4 3 （2） 依题意，直线 l ,0 且斜率不为零，故可设其方程为 x = my + t． = my + t,由2+ y= t32消去 x ，并整理得 4 3m 2 + 4 y 2 + t2my 一 45 = 0．设 E x t ,y t ，F x 2,y 2 ，M x 0,y 0 ， 所以 y + y =一 ， 3m +4y t +y 2所以 y 0 =2=一 t 所以 x 0 = my 0 + 2 = 3m 2+4， 所以 直 = y 0 = m．x 0一24m 2+42 223t t+m 2mt + m 2 t + m 2 0 2② 当 m 芋 0 时，直 = t ，4m+4因为 4m +4m所以 0 ＜t4m+ 4m= 4 m + 4m三 t，82: 8，m所以 0 ＜ 直 三 t ，8 所以 一 t三 直 三 t 且 直 芋 0．8 8综合 ①② 可知，直线 MA 的斜率 直 的取值范围是 一 t , t．8 815. （1） 由已知可得：圆心到直线 x + y + b = 0 的距离为 t ， 即 b= t ，2 所以 b = ， 又椭圆 C 经过点所以 t+4= t ，得到 = ，α2 3b 2 22所以椭圆 C 的标准方程为 x + y32= t ．（2） 设 Q x 0,y 0 ，M x t ,y t ，N x 2,y 2 ， 0Q 的方程为 x = my ， 则 MN 的方程为 x = my +x = my, + y 2= t,22 x 2 =tm , 得2m 2+3 y 2 = t ,2m 2+3x 2 =即2tm 22m 2+3 ,ty 0 = 2m 2+3 ,所以 0Q =·y 022 由+ y = t, 得 2m2+ 3 y + 4my 一 4 = 0， 所以 11 t 0，解之得 m 为任意实数．4m4y t + y 2 = 2m 2+3，y t y 2 =一 2m 2+3， MN = t + m 2 · y t 一 y 2 =t + m 2 · y t + y 2 2 一 4y t y 2 ==4 3 2m t + m 22 2 2MN 0Q2 t32 2 2 t + t 28 2 t t 2t 2 + t 8 2 8 2s 8 2 2 t 所以== 2= 2= 2因为 t + m 2 2: t ， 所以 0 ＜tt+m 2即 2 ＜2 +t三 t ， 三 3，即 t 三 t t+m 2＜ t，3 2+ t2t+m 2所以2 t 三 3＜ 2，即 的取值范围为,2 ． 16. （1） 依题意得 2c = 4，则 F t 一 2,0 ，F 2 2,0 ； 所以椭圆 C t 与抛物线 C 2 的一个交点为 P 2, ， 于是 2α = IPF t I + IPF 2I = 4 又 α2 = b 2 + c 2，解得 b = 2．，从而 α = 2 ． x 2y 2所以椭圆 C t 的方程为 8 + 4= t ． （2） 依题意，直线 l 的斜率不为 0，设直线 l ：x = ty 一 2，x = ty 一 2, 由 y 2 = x, 消去 x 整理得 y 2 一 ty + 2 = 0， 由 11 = 一 t 2 一 8 ＜ 0 得 t 2 ＜8． x = ty 一 2,由 x 2 + 2y 2 = 8,消去 x 整理得 t 2 + 2 y 2 一 4ty 一 4 = 0， 4t4设 A x t ,y t ，B x 2,y 2 ，则 y t + y 2 = t 2+2，y t y 2 =一 t 2+2，所以IABI = Iyt 一 y 2I =4F 2 到直线 l 的距离tt 4 故 S AABF 2 = 2 IABId = 2令 = s ε t,3 ．则 S AABF 2 =t 2= s 2+t = s+εs，MN 0QMN 0Qt + t 2y t + y 22 一 4yt y 23 3 3 3332t 220 2 3 2 2217. （1） 设椭圆 C 的半焦距是 c ．依题意，得 c = t ．由题意焦距是椭圆 C 上一点 P 到两焦点 F t ，F 2 距离的等差中项，得 4c = 2α， 所以 α = 2，所以 b 2 = α2 一 c 2 = 3． 故椭圆 C 的方程为 x + y = t ．43 （2） 当 MN 1- x 轴时，显然 y 0 = 0．当 MN 与 x 轴不垂直时，可设直线 MN 的方程为 y = 直 x 一 t 直 芋0 ． 代入椭圆方程，消去 y 整理得 3 + 4直2 x 2 一 8直2x + 4 直2 一 3 = 0． 设 M x t ,y t ，N x 2,y 2 ，线段 MN 的中点为 0 x 3,y 3 ，则 x + x = 8直2．3+4直 4直2一3直所以 x 3 = 3+4直2，y 3 = 直 x 3 一 t = 3+4直2， 所以线段 MN 的垂直平分线方程为 y +3直=一3+4直在上述方程中令 x = 0，得 y = 直= t． 3+4直当 直 ＜ 0 时，3+ 4直 三一 4直+4直直；当 直 t 0 时，3+ 4直 2: 4 ．直所以 一t2三 y 0 ＜ 0 或 0 ＜ y 0 三 t2． 综上，y 0 的取值范围是 一18. （1） 设动圆 P 的半径为 γ，则 P0t = γ + t ， P02 = 3 一 γ， 所以 P0t + P02 = 4，所以 P 的轨迹为椭圆，2α = 4，2c = 2， 所以 α = 2，c = t ，b = ，所以椭圆的方程为 x+ y 43= t x 芋一 2 ．（2） 设 M 点坐标为 x 0,y 0 ，直线 l t 的方程为 y = 直 x + 2 ， 代入 x +y= t ，可得， 3 + 4直2 x 2 + tt 直2x + tt 直2 一 t 2 = 0，4 3 tt 直2一t 2t 一8直2 x 0 × 一 2 =所以 AM =3+4直2 ，所以 x 0 =3+4直2，+ 2 = ，2同理 AN所以 S = t AM × AN = t× ，S2 2令 直2 + t = t t t ，S2直= 72 ，所以 Sε 0,t ．直19. （1） 由已知得直,= t ,t 2t +t 一tt2= b 2 + c 2h322220 022α = 2, 解得 b = 3,c = t h2 2 所以椭圆 E 的方程为 x + y43= t ．（2） 设直线 l 的方程为 y = 直x + m 直 芋 0 ，A x t ,y t ，B x 2,y 2 ． y 2联立方程+ = t, 3直x + m h整理得 4直+ 3 x 2 + 8直mx + 4m 2 一 t2 = 0，此方程有两个不等实根， 所以 11 = 8直m 2 一 4 4直2 + 3 4m 2 一 t2 t 0， 整理得 4直2 一 m 2 + 3 t 0h tt ①x t +x 2 一4直m3m由根与系数的关系，可得线段 AB 的中点坐标 x 0,y 0 满足 x 0 = =，y = 直x + m = ，24直2+34直2+3所以 AB 的垂直平分线方程为 y 一3m4直2+3=此直线与 x 轴、 y 轴的交点坐标分别为,0 ，由已知得 t一直m·一m = t， 2 4直2+34直2+3 tt整理得 m 2 =直 芋 0h tt ②将 ② 代入 ① 得 4直2 + 3 t 0，整理得 4直2 + 3 4直2 一 8 直 + 3 ＜ 0，直 芋 0，解得 t＜ 直 ＜ 3， 所以 直 的取值范围为 一 3, 222 20. （1） 设椭圆 C 的方程为 + = t α t b t 0 ，半焦距为 c ．依题意 t = c = t，由右焦点到右顶α2b 2α2点的距离为 t ，得 α 一 c = t ．解得所以 b 2 = α2 一 c 2 = 3．c = t ,α = 2h所以椭圆 C 的标准方程是 x +y= t ．4 3 （2） 存在直线 l ，使得 0 A + 20 B 理由如下： 直x + m , = 0A 一 20B 成立． 由+ y = t,得33 + 4直2 x 2 + 8直m x + 4m 2 一 t 2 = 0h 11 = 8直m 2 一4 3 + 4直2 4m 2 一 t2 t0,化简得 3 + 4直2 tm 2． 设 A x t ,y t ，B x 2,y 2 ，则8直mx t + x 2 =一 3 + 4直2 ,x t x2=22m 2一t 2 3 + 4直2h2若0A+20B=0A一20B成立，即0A+20B=0A一20B，等价于0A· 0B= 0．42 2t 2 2t 2 2t 73 3 3 38 3直2b4直3 3 3 3 3 02t2 22x t x 2 + y t y 2 = 0,即x t x 2 + 直x t + m 直x 2 + m = 0,亦即化简得t +直2 · 4m 2 一 t2 3 + 4直2一 直m · 8直m 3 + 4直2+ m 2 = 0, 7m 2 = t 2 + t 2直2h将 直2 = 7m 2 一 t 代入 3 + 4直2 t m 2 中，得t23 +4 2一 t t m 2,解得3 m 2 t h4又由 7m 2 = t 2 + t 2直2 2: t 2，m 2 2: t 2，从而 m 2 2: t 2，m 2: 或 m 三一 ．所以实数 m 的取值范围是7一 C X), 一 7 7 7u , + CX) h21. （1） 设 P x 0,y 0 ，A x t ,y t ，B 一 x t , 一 y t ， y 2 + 0 = t, 2一y 2则b 2 所以 y t =一 b． 2 2一x 2 α2y+= t,b 2x 0 t2一y 2 y 0一y t y 0+y t y 0 t t ，所以 b t ，因为 直PA · 直PB = x 一x· x +x = =一 x 2一x 4α2 = 4 0 t0 t0 t 所以椭圆 C 的离心率 t == 3．2（2） 因为 t = c = 3，所以 b = t， 所以 x α+ y = t ，c =2α2b ，焦点 F 一 b,0 ，4b 2b 2t设 M N 2y = 直 x 一 b ， 联立y = 直 x 一 3b ,得 4直2 + t x 2 一 8 x 2 + 4y 2 = 4b 2直2b x + t 2直2b 2 一 4b 2 = 0， t 2直2b 2一4b 2 2设 M x t ,y t ，N x 2,y 2 ，则 x t + x 2 = ，x t x 2 =4直2+t，y t y 2 =直x t 一 b x 2 一 b =直2 x t x 2 一 b x t + x 2 + 3b 2 ， 所以 F t M · F t N ＜ 0，所以 x t + b,y t · x 2 + b,y 2= x t + 3bx t x 2 + b + y t y 22 2t 7 3。

解析几何专题练习一、选择题 1．已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k)y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或2 2．过点(2,4)作直线与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线有 A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条3.双曲线x 26－y 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r ＝A. 3 B ．2 C ．3 D ．6 4．“b a =”是“直线2+=x y 与圆()()222=-+-b x a x 相切”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．椭圆31222yx+=1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上．如果线段PF 1的中点M在y 轴上，那么点M 的纵坐标是A ．±43B ．±23C ．±22D ．±43二、填空题 6.经过圆0222=++yx x 的圆心C ，且与直线x+y=0垂直的直线方程是___ .7.由直线2+=x y 上的点向圆()()22421x y -++= 引切线，则切线长的最小值为___. 8．若双曲线221x ky +=的离心率是2，则实数k 的值是______.9．已知圆C的参数方程为cos ,(1sin .x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数），以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为sin 1ρθ=，则直线l 与圆C的交点的直角坐标为 .10.在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(,)x y 为整点，下列命题中正确的是__________（写出所有正确命题的编号）.①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点=+不经过任何整点②如果k与b都是无理数，则直线y kx b③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点=+经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数④直线y kx b⑤存在恰经过一个整点的直线三、解答题11．在△ABC中，已知点A(5，－2)、B(7,3)，且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x轴上．(1)求点C的坐标；(2)求直线MN的方程．12．求过两点A(1,4)、B(3,2)，且圆心在直线y＝0上的圆的标准方程．并判断点M1(2,3)，M2(2,4)与圆的位置关系．13．已知圆x2＋y2－4ax＋2ay＋20(a－1)＝0.(1)求证对任意实数a，该圆恒过一定点；(2)若该圆与圆x2＋y2＝4相切，求a的值．14．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线方程；(2)过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．15．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF 1⊥MF 2； (3)求△F 1MF 2的面积．16．已知直线l 过点P （1，1）， 并与直线l 1：x －y+3=0和l 2：2x+y －6=0分别交于点A 、B ，若线段AB 被点P 平分，求： （1）直线l 的方程；（2）以O 为圆心且被l 截得的弦长为558的圆的方程．17．已知点A 的坐标为)4,4(-，直线l 的方程为3x ＋y －2＝0，求： （1）点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；… （2）直线l 关于点A 的对称直线l '的方程．18．已知圆221:(4)1Cx y -+=，圆222:(2)1C x y +-=，动点P到圆1C ,2C 上点的距离的最小值相等.】 （1）求点P 的轨迹方程；（2）点P 的轨迹上是否存在点Q ，使得点Q 到点(22,0)A -的距离减去点Q 到点(22,0)B 的距离的差为4，如果存在求出Q 点坐标，如果不存在说明理由.19．已知椭圆1C 、抛物线2C 的焦点均在x 轴上，1C 的中心和2C 的顶点均为原点O ，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：x3-2 42y32--422（1）求12C C 、的标准方程；（2）请问是否存在直线l 满足条件：①过2C 的焦点F ；②与1C 交不同两点,M N 、且满足OM ON ⊥？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．20．已知椭圆()22220y xC a b a b：+＝1＞＞的离心率为63，过右顶点A 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，且(13)B --，.（1）求椭圆C 和直线l 的方程；（2）记曲线C 在直线l 下方的部分与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D ．若曲线2222440xmx y y m -+++-=与D 有公共点，试求实数m 的最小值．参考答案一、选择题 1—5 CBAAA 二、填空题 6．x-y+1=0 7. 318.13-9. (1,1),(1,1)- 10. ①，③，⑤三、解答题11.解：(1)设点C(x ，y)，由题意得5＋x 2＝0，3＋y2＝0，得x ＝－5，y ＝－3.故所求点C 的坐标是(－5，－3)．(2)点M 的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫0，－52，点N 的坐标是(1,0)，直线MN 的方程是y －0－52－0＝x －10－1， 即5x －2y －5＝0.12. 解：根据圆的标准方程，只要求得圆心坐标和圆的半径即可．因为圆过A 、B 两点，所以圆心在线段AB 的垂直平分线上．由k AB ＝4－21－3＝－1，AB 的中点为(2,3)，故AB 的垂直平分线的方程为y －3＝x －2， 即x －y ＋1＝0.又圆心在直线y ＝0上， 因此圆心坐标是方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0y ＝0的解，即圆心坐标为(－1,0)． 半径r ＝－1－12＋0－42＝20， 所以得所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝20.因为M 1到圆心C(－1,0)的距离为2＋12＋3－02＝18，|M 1C|<r ，所以M 1在圆C 内；而点M 2到圆心C 的距离|M 2C|＝2＋12＋4－02＝25>20，所以M 2在圆C 外．13. 解：(1)将圆的方程整理为(x 2＋y 2－20)＋a(－4x ＋2y ＋20)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－20＝0，－4x ＋2y ＋20＝0可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，所以该圆恒过定点(4，－2)．(2)圆的方程可化为(x －2a)2＋(y ＋a)2＝5a 2－20a ＋20＝5(a －2)2，所以圆心为(2a ，a)，半径为5|a －2|.若两圆外切，则2a －02＋a －02＝2＋5|a －2|，即5|a|＝2＋5|a －2|，由此解得a ＝1＋55.若两圆内切，则2a 2＋a 2＝|2－5|a －2||，即5|a|＝|2－5|a －2||，由此解得a ＝1－55或a ＝1＋55(舍去)．综上所述，两圆相切时，a ＝1－55或a ＝1＋55.14. 解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线x ＝－p 2，于是，4＋p2＝5，∴p ＝2.∴抛物线方程为y 2＝4x.(2)∵点A 的坐标是(4,4)，由题意得B(0,4)，M(0,2)．又∵F(1,0)，∴k FA ＝43.又MN ⊥FA ，∴k MN ＝－34，则FA 的方程为y ＝43(x －1)，MN 的方程为y －2＝－34x ，解方程组),1(34),432(-=-=-x y x y 得.54),58(==y x ∴N )54,58(. 15. 解：(1)由e ＝2⇒ca＝2⇒c 2＝2a 2⇒a 2＝b 2.设双曲线方程为x 2－y 2＝λ， 将点(4，－10)代入得：λ＝6， 故所求双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)∵c 2＝12，∴焦点坐标为(±23，0) 将M(3，m)代入x 2－y 2＝6得：m 2＝3.当m ＝3时，MF 1→＝(－23－3，－3)， MF2→＝(23－3，－3)∴MF1→·MF 2→＝(－3)2－(23)2＋(－3)2＝0， ∴MF 1⊥MF 2，当m ＝－3时，同理可证MF 1⊥MF 2.(3)S △F 1MF 2＝12·|2c|·|m|＝12·43·3＝6.16. 解：（1）依题意可设A )n ,m (、)n 2,m 2(B --，则 ⎩⎨⎧=--+-=+-06)n 2()m 2(203n m ， ⎩⎨⎧=+-=-023n m n m ，解得1m -=，2n =． 即)2,1(A -，又l 过点P )1,1(，易得AB 方程为03y 2x =-+．（2）设圆的半径为R ，则222)554(d R +=，其中d 为弦心距，53d=，可得5R 2=，故所求圆的方程为5yx22=+．17．解：（1）设点A ′的坐标为（x ′，y ′）。