上海市闵行区2008学年第二学期高三年级质量调研考试数学试题(文理科)1

2 0 0 8 年 上海高考数学试卷(理)、（文）评析一. 填空题（本大题满分44分）1．不等式11<-x 的解集是 )2,0( .2．若集合{}2≤=x x A 、{}a x x B ≥=满足{}2=B A ，则实数a =____2_________. 3．若复数z 满足)2(i z z -=（i 是虚数单位），则z =_____+1i .________. 4．若函数)(x f 的反函数为21)(x x f=-（0>x ），则=)4(f 2 .5．若向量a 、b 满足1=a ，2=b ，且a 与b 的夹角为3π，则b a +=___7_______.6．函数⎪⎭⎫⎝⎛++=x x x f 2πsin sin 3)(的最大值是 2. .7．在平面直角坐标系中，从六个点：)0,0(A 、)0,2(B 、)1,1(C 、)2,0(D 、)2,2(E 、 )3,3(F 中任取三个，这三点能构成三角形的概率是43(结果用分数表示). 8．设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数. 若当),0(∞+∈x 时，x x f lg )(=，则满足0)(>x f 的x 的取值范围是 ),1()0,1(∞+- .9．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20，且 总体的中位数为5.10. 若要使该总体的方差最小，则b a 、的取值分别是 5.10,5.10==b a .10．某海域内有一孤岛. 岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界 是长轴长为a 2、短轴长为b 2的椭圆. 已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为、1h 2h ，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上. 现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为21θθ、，那么 船只已进入该浅水区的判别条件是a h h 2c o t c o t 2211≤⋅+⋅θθ解：11．方程122-+x x 0=的解可视为函数2+=x y 的图像与函数xy 1=的图像交点的横坐标. 若方程044=-+ax x 的各个实根)4(,,,21≤k x x x k 所对应的点(ii x x 4,)（i =k ,,2,1 ）均在直线x y =的同侧，则实数a 的取值范围是),6()6,(∞+-∞- .解：方程122-+x x 0=的解可视为函数2+=x y 的图像与函数xy 1=的图像交点的横坐标，由此可知：方程044=-+ax x 可变为：34x a x +=，先算：方程42x x x=⇒=，2则33226x a a a +=+<⇒<-或33(2)26x a a a +=-+>-⇒> （文）11．在平面直角坐标系中，点C B A 、、的坐标分别为），（10、），（24、），（62. 如果),(y x P 是△ABC 围成的区域（含边界）上的点，那么当xy w =取到最大值时，点P 的坐标是解：作图：由图可知点落在BC 边时，有BC:y=-2x+10， 则22525(210)2102()22w x x x x x =⋅-+=-+=--+ 当52x =时，即点P 坐标为⎪⎭⎫⎝⎛5,25时，w 值最大。

2008学年第一学期闵行区高三质量监控考试数 学 试 卷（理科）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、学号、姓名等填写清楚． 2．本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．一. 填空题（本大题满分60分）本大题共有12题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1．设全集{}1,2,3,4,5U=，集合{}1,2,3A =，{}2,3,4B =，则()U AB =ð . 2．在等比数列{}n a 中，28a =，164a =，则公比q 为 . 3．不等式|32|1x -<的解是 .4．已知点Z 是复数21iz i-=+在复平面内对应的点，则点Z 在第 象限. 5．函数2()log (1)f x x =-的反函数是1()fx -= .6．在6(1)ax -的二项展开式中，若中间项的系数是160，则实数a = .7．如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的母线与底面所成的角的大小是 . 8．根据右面的框图，打印的最后一个数据是 . 9．已知数列{}n a 是以2-为公差的等差数列，n S 是其前n 项和，若7S 是数列{}n S 中的唯一最大项，则数列{}n a 的首项1a 的取值范围是.10．五位同学各自制作了一张贺卡，分别装入5个空白信封内，这五位同学每人随机地抽取一封，则恰好 有两人抽取到的贺卡是其本人制作的概率是 .11．已知x 是1、2、x 、4、5这五个数据的中位数，又知1-、5、1x-、y 这四个数据的平均数为3，则x y +最小值为 .12．若关于x 的不等式（组）2272209(21)9n n x x ≤+-<+对任意n *∈N 恒成立，则所 有这样的解x 的集合是 .二. 选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，选对得4分，答案必须涂在答题纸上．考生应将代表答案的小方格用铅笔涂黑，注意试题题号与答题纸上相应编号一一对应，不能错位．13．某人在超市一次性购买了20斤大米和10斤食用油，大米的价格是1.9元／斤，食用油的价格是15元／斤，则购买这两种商品的总花费可以用下列各式计算得到的是 [答]（ ）(A)201510 1.9. (B)20 1.91015. (C)()1.9201015⎛⎫⎪⎝⎭. (D)()1.9201015⎛⎫⎪⎝⎭. 14．如图为函数log n y m x =+的图像，其中m 、n 为常数，则下列结论正确的是[答]（ ）(A) 0m <，1n >. (B) 0m >，1n >. (C)0m >，01n <<. (D) 0m <，01n <<.15．给定空间中的平面α及平面α的一条斜线l ．条件“直线l 与平面α内无数条直线成θ角”是“直线l 与平面α成θ角”的 [答]（ ） (A) 充分非必要条件. (B) 必要非充分条件. (C) 充要条件. (D) 既非充分也非必要条件.16．如图，一质点A 从原点O 出发沿向量1(3,1)OA =到 达点1A ，再沿y 轴正方向从点1A 前进11||2OA 到达点2A ，再沿1OA 的方向从点2A 前进121||2A A 到达点3A再沿y 轴正方向从点3A前进231||2A A 到达点4A ，，这样无限前进下去，则质点A 最终到达的点的坐标是 [答]（ ）(A)44)22n n-.(B) 4).(C)88)334n-⋅.(D)8)3.三. 解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸上与题号对应的区域内写出必要的步骤．17.（本题满分12分）如图，直四棱柱1111ABCD A B C D-中，//AB DC，二面角1A D D C--的平面角是直角，且2AD DC==，3AB=，求异面直线11D C与DB所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．18.（本题满分14分）某医药研究所开发一种新药，据监测：服药后每毫升血液中的含药量()f x与时间x之间满足如图所示曲线．当[0,4]x∈时，所示的曲线是二次函数图像的一部分，满足21()(4)44f x x=--+，当的图像的(4,19]x∈时，所示的曲线是函数12log(3)4y x=-+一部分．据测定：每毫升血液中含药量不少于1微克时治疗疾病有效．请你算一下，服用这种药一次大概能维持多长的有效时间？(精确到0.1小时)19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点(P-．（1）解关于x的方程：cos sin10sin cosx xαα+=；（2）若函数()sin()cos()f x x xαα=+++(x∈R)的图像关于直线x x=对称,求tan x的值．20.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1、2小题满分各4分，第3小题满分8分．已知向量2(1,2)a x p=++，(3,)b x=，()f x a b=⋅，p是实数．)A BCD1A1B1C1D（1）若存在唯一实数x ，使a b +与(1,2)c =平行，试求p 的值；（2）若函数()y f x =是偶函数,试求函数|()15|y f x =-在区间[1,3]-上的值域；（3）若函数()f x 在区间1[,)2-+∞上是增函数，试讨论方程()0f x p += 解的个数，说明理由.21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分10分．第3小题根据不同思维层次予以不同评分．对于函数()y f x =，定义：若存在非零常数M 、T ，使函数()f x 对定义域内的任意实数x ，都满足()()f x T f x M+-=，则称函数()y f x =是准周期函数，常数T 称为函数()y f x =的一个准周期．如：函数()2s i n f x x x =+是以2T π=为一个准周期且4M π=的准周期函数．(1) 试判断2π是否是函数()sin f x x =的准周期，说明理由；(2) 证明函数()(1)()xf x x x =+-∈Z 是准周期函数，并求出它的一个准周期 和相应的M 的值；(3)请你给出一个准周期函数（不同于题设和(2)中函数），指出它的一个准周 期和一些性质，并画出它的大致图像．2008学年第一学期闵行区高三质量监控考试 数学试卷（理科）参考答案和评分标准一、填空题：（每题5分）1. {}1,4,5；2.18；3. 1(,1)3；4. 四；5. 1()21x f x -=+； 6. 2-；7. 60； 8. 63； 9. ()12,14；10.16； 11. 1102； 12. 2{1,}9-. 二、选择题：（每题4分）13. C ； 14. D ； 15. B ； 16. D .三、解答题： 17.（本题满分12分） 解法一：直四棱柱1111ABCD A B C D -中，11////D C DC AB ， (2分)∴ABD ∠的大小即为异面直线11D C 与DB 所成的角的大小， (4分) 又直四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1DD ⊥面ABCD ，∴1DD AD ⊥，1DD DC ⊥，∴ADC ∠即为二面角1A D D C --的平面角，∴90ADC ∠=︒． (6分)在Rt ABD ∆中，2AD =，3AB = ∴ 2tan 3AD ABD AB ∠== (10分) ∴2arctan 3BDC ∠=，即异面直线11D C 与DB 所成的角的大小为2arctan 3． (12分)18.（本题满分14分）由2041(4)414x x ≤≤⎧⎪⎨--+≥⎪⎩，解得：44x -≤≤ ① (4分) 由12419log (3)41x x <≤⎧⎪⎨-+≥⎪⎩，解得：411x <≤ ② (8分)由①、②知：411x -≤≤， (10分)11(410.5--≈， (12分) ∴服用这种药一次大概能维持的有效时间为10.5小时． (14分) 19.（本体满分14分） （1）角α终边经过点(P -，∴1152()6k k παπ=+∈Z ． （2分）∴由cos sin 10sin cos x x αα+=可得：cos()1x α+=- （4分）222()x k k αππ+=+∈Z ， ∴26x k ππ=+()k ∈Z ． （6分）（2）()sin()cos())4f x x x x πααα=+++=++(x ∈R ) （2分）且函数()f x 的图像关于直线0x x =对称，∴0()f x =，即0sin()14x πα++=±，∴ 042x k ππαπ++=+，即0()4x k k ππα=+-∈Z （4分） ∴01tan tan tan()tan()441tan x k ππαπααα-=+-=-=+ (6分）1(2-==+ (8分） 20.（本题满分16分）(1)2(1a x =+，2)p +，(3b =，)x ，∴2(4,2)a b x x p +=+++,又a b +与(1,2)c =平行，∴22(4)2x x p +=++，即2260x x p --+=， （2分）由题意知方程2260x x p --+=有两个相等的实根，∴18(6)0p ∆=--=，∴478p =． （4分） (2)2()3(2)3f x a b x p x =⋅=+++是偶函数，∴206p +-=，∴2p =-， （2分） ∴2|()15||312|y f x x =-=-在[1,3]-上的值域是[0,15]． （4分） (3)函数()f x 在区间1[,)2-+∞上是增函数，∴2162p +-≤-，∴1p ≥， （3分）方程()0f x p +=即23(2)30x p x p +++=，可化为23(2)3x p x p +++-=2()3(2)3g x x p x p =+++-， 显然，函数()g x 与()f x 有相同的单调性，即函数()g x 在1[,)2-+∞上也是 增函数， （4分）又函数y =[0,)+∞上是减函数，∴当1(0)30p g p ≥⎧⎨=->⎩，即13p ≤<时，原方程无解； （6分）当1(0)30p g p ≥⎧⎨=-≤⎩，即3p ≥时，原方程有且仅有一个解． （8分）21.（本题满分18分）(1)()sin f x x =，∴(2)()sin(2)sin f x f x x xππ+-=+-sin sin 0x x =-=，∴2π不是函数()sin f x x =的准周期． （3分）(2)()(1)()x f x x x =+-∈Z ，∴2(2)()[(2)(1)][(1)]x x f x f x x x ++-=++--+-2(1)(1)2x x x x =++----=（非零常数）， （3分） ∴函数()(1)()xf x x x =+-∈Z 是准周期函数，2T =是它的一个准周期，相应的2M =． （5分）(3)①写出一个不同于题设和(2)中函数，如3sin ,2(1),23sin xy x x y x y x x =+=+-=+，[]y x =等 得1分(0)y kx b k =+≠， ()sin()y kx b A x ωϕ=+++，()cos()y kx b A x ωϕ=+++，，或其它一次函数（正比例函数）与周期函数的线性组合的具体形式，得3分②指出所写出函数的一个准周期，得2分③指出它的一些性质，如定义域、值域、奇偶性、单调性、最值、，(写出一条得1分，两条以上得2分，可以不证明) ④画出其大致图像． 得3分 部分参考图像：。

上海市闵行区2009学年第二学期高三年级质量调研考试数 学 试 卷（理科）考生注意： 编辑：刘彦利 1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、考号、姓名等填写清楚． 2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内 直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．若2ia bi i+=+（i 为虚数单位，a b ∈R 、），则a b += . 2．A 、B 是两个随机事件，()0.34P A =，()0.32P B =，()0.31P AB =，则()P A B = .3．方程1111900193xx=-的解为 . 4．6(21)x +展开式中2x 的系数为 .5．某区有200名学生参加数学竞赛，随机抽取10名学生成绩如下：）.6．已知球O 的半径为R ，一平面截球所得的截面面积为4π，球心 O 的体积等于 . 7．根据右面的程序框图，写出它所执行的内容： . 8．已知函数()200.618x f x x =⨯-的零点()0,1,x k k k ∈+∈Z ， 则k = .9．设等差数列{}n a 的前n 项之和n S 满足40510=-S S ， 那么 =8a .ABCD EF10．已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+==ty tx 2（t 是参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为)4πρθ=+，则圆C 的圆心到直线l 的距离是 .11．定义：关于x 的两个不等式()0<x f 和()0<x g 的解集分别为()b a ,和⎪⎭⎫ ⎝⎛a b 11，，则称这两个不等式为对偶不等式.如果不等式022cos 342<+-θx x 与不等式012sin 422<++θx x 为对偶不等式，且,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则=θ .12．已知5是方程()f x x k +=（k 是实常数）的一个根，1()fx -是()f x 的反函数，则方程1()f x x k -+=必有一根是 .13．函数()x bf x x a+=-在()2,-+∞上是增函数的一个充分非必要条件是 . 14．对于自然数n (2)n ≥的正整数次幂，可以如下分解为n 个自然数的和的形式：23423417251372,2,2,,33,39,327,35951129⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎩⎩⎩⎪⎪⎪⎩⎩⎩231355,579⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩,⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩仿此，3k *(,2)k k ∈≥N 的分解中的最大数为 .二. 选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，选对得4分，答案代号必须填在答题纸上．注意试题题号与答题纸上相应编号一一对应，不能错位. 15．如图，已知正六边形ABCDEF ，下列向量的数量积中最大的是 [答]（ ）(A) AB AC ⋅.(B) AB AD ⋅. (C) AB AE ⋅. (D) AB AF ⋅.16．已知ABC △中，AC =2BC =，则角A 的取值范围是 [答]（ ）(A),63ππ⎛⎫⎪⎝⎭. (B) 0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭. (C) ,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. (D) 0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦. 17．数列{}n a 中，已知12a =-，21a =-，31a =，若对任意正整数n ，有321321+++++++++=n n n n n n n n a a a a a a a a ，且1321≠+++n n n a a a ，则该数列的前2010 项和2010S = [答]（ ）(A) 2010. (B) 2011-. (C) 2010-. (D) 2008-.18．设点()y x P ,是曲线11692522=+y x 上的点，又点)12,0(),12,0(21F F -，下列结论正确的是 [答]（ ） (A) 2621=+PF PF . (B) 2621<+PF PF . (C) 2621≤+PF PF . (D) 2621>+PF PF .三. 解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸上与题号对应的区域内写出必要的步骤．19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．已知函数()2sin 2cos 6f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， ,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （1）若54sin =x ，求函数)(x f 的值； （2）求函数)(x f 的值域.20.（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分．如图,在四棱锥ABCD P -中，底面为直角梯形，//,90AD BC BAD ︒∠=，PA 垂直于底面ABCD ，22PA AD AB BC ====，M N 、分别为PC PB 、的中点. （1）求证：AM PB ⊥；（2）求BD 与平面ADMN 所成的角.A BC DN MP21.（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分．某火山喷发停止后，为测量的需要，设距离喷口中心50米内的圆环面为第1区、50米至100米的圆环面为第2区、……、第50(1)n -米至50n 米的圆环面为第n 区，…，现测得第1区火山灰平均每平方米为1000千克、第2区每平方米的平均重量较第1区减少2%、第3区较第2区又减少2%，以此类推，求：（1）离火山口1225米处的圆环面平均每平方米火山灰重量(结果精确到1千克)？ （2）第几区内的火山灰总重量最大？22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分、第3小题满分6分．设12x x ∈R 、，常数0a >，定义运算“⊕”：21212()x x x x ⊕=+，定义运算“⊗”：21212()x x x x ⊗=- ；对于两点11(,)A x y 、22(,)B x y ，定义()d AB =(1)若0x ≥，求动点(,P x 的轨迹C ； (2)已知直线11:12l y x =+与(1)中轨迹C 交于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点，若，试求a 的值；(3)在(2)中条件下，若直线2l 不过原点且与y 轴交于点S ，与x 轴交于点T ，并且与(1)中轨迹C 交于不同两点P 、Q , 试求|()||()||()||()|d ST d ST d SP d SQ +的取值范围．23.（本题满分18分）（理）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知函数()31122log ,(,),(,)1f x M x y N x y x =-是()x f 图像上的两点，横坐标为21的点P 满足2OP OM ON =+（O 为坐标原点）. （1）求证：12y y +为定值； （2）若121n n S f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭*(2)n n ∈≥N ，，求1149lim 49n n n n S S S S n ++→∞-+的值； （3）在(2)的条件下，若()()111612411n n n n a n S S +⎧=⎪⎪=⎨⎪≥++⎪⎩，，，，*()n ∈N ，n T 为数列{}n a 的前n 项和，若()11n n T m S +<+对一切*n ∈N 都成立，试求实数m 的取值范围.闵行区2009学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案与评分标准一、填空题：（每题4分） 1.-1； 2.0.35； 3.2； 4. 60； 5.17.64； 6.36π； 7.2221352009++++； 8.3； 9.8； 10.理22；文（0，2）11.56π； 12. 理5k -；文（-2，4）； 13.理符合0a b +<且2a ≤-的一个特例均可；文符合4a ≥-的一个特例均可； 14.理21k k +-；文29.二、选择题：（每题4分）15. A ； 16. D ； 17. B ； 18. C三、解答题：19.（本题满分14分）理:（1）43sin ,,,cos 525x x x ππ⎡⎤=∈∴=-⎢⎥⎣⎦（2分）x xx x f cos 2cos21sin 232)(-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=（4分）3cos 5x x -= （8分） （2）⎪⎭⎫⎝⎛-=6sin 2)(πx x f （10分）ππ≤≤x 2，6563πππ≤-≤∴x （12分）16sin 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤πx ， ∴ 函数)(x f 的值域为]2,1[. （14分） 文:设z a bi =+(,)a b ∈R (2分)因为(2)(2)(2)i z a b a b i +=-++为纯虚数 (5分)所以⎪⎩⎪⎨⎧=+-≠+=-4)2(020222b a b a b a （9分）解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==5854b a （12分） 故复数i z 5854+= （14分）20.（本题满分14分）理:解法一：（1）以A 点为坐标原点建立空间直角坐标系A xyz -（图略）,由22====BC AB AD PA 得(0,0,0)A ，(0,0,2)P ，(2,0,0)B ，1(1,,1)2M (0,2,0)D （2分）因为1(2,0,2)(1,,1)02PB AM ⋅=-⋅= （5分） 所以AM PB ⊥. （7分） （2）因为 (2,0,2)(0,2,0)PB AD ⋅=-⋅0=，所以PB AD ⊥，又AM PB ⊥， 故PB ⊥平面ADMN ，即(2,0,2)PB =-是平面ADMN 的法向量.（9分） 设BD 与平面ADMN 所成的角为θ，又(2,2,0)BD =-,设BD 与PB 夹角为α， 则1sin cos 28BD PB BD PBθα⋅-====⋅， （12分） 又[0,]2πθ∈，故6πθ=，故BD 与平面ADMN 所成的角是6π. （14分） 解法二：（1）证明：因为N 是PB 的中点，AB PA =， 所以PB AN ⊥ （2分）由PA ⊥底面ABCD ，得PA AD ⊥，又90BAD ︒∠=，即BA AD ⊥，∴⊥AD 平面PAB ，AD PB ∴⊥ （4分） PB ∴⊥面ADMN ，PB AM ∴⊥ （7分）（2）联结DN ,BP ⊥平面ADMN，故BDN ∠为BD 与面ADMN 所成角（9分）在Rt ABD ∆中，BD==， 在Rt PAB ∆中，PB ==12BN PB == 在Rt BDN ∆中, 21sin ==∠BD BN BDN ，又π≤∠≤BDN 0， （12分） 故BD 与平面ADMN 所成的角是6π（14分）文（同理19题）21.（本题满分16分）（1）设第n 区每平方米的重量为n a 千克，则111000(12%)10000.98n n n a --=-=⨯ （2分） 第1225米位于第25区， （4分） 242510000.98616a ∴=⨯=(千克)故第1225米处每平方米火山灰约重616千克（6分）（2）设第n 区内的面积为n b 平方米，则22225050(1)2500(21)n b n n n πππ=--=-则第n 区内火山灰的总重量为512510(21)0.98n n n n C a b n π-==⨯-⨯（千克）（9分）设第n 区火山灰总重量最大，则51525152510(21)0.982510(23)0.982510(21)0.982510(21)0.98n n n nn n n n ππππ---⎧⨯-⨯≥⨯-⨯⎪⎨⨯-⨯≥⨯+⨯⎪⎩， （13分）解得49.550.5n ≤≤，即得第50区火山灰的总重量最大. （16分） 22.（本题满分16分）（理）(1)设y ,则2()()y x a x a =⊕-⊗22()()4x a x a ax =+--= （2分）又由y ≥0可得P (x)的轨迹方程为24(0)y ax y =≥，轨迹C 为顶点在原点，焦点为(,0)a 的抛物线在x 轴上及第一象限的内的部分 （4分）(2) 由已知可得24112y axy x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩ , 整理得2(416)40x a x +-+=, 由2(416)160a ∆=--≥ ,得102a a ≥≤或．∵0a >，∴12a ≥ （6分）=====（8分） 解得2a =或32a =-(舍) ；2a ∴= （10分） (3)∵12()||d AB y y ==-∴|()||()||||||()||()|||||d ST d ST ST ST d SP d SQ SP SQ +=+（12分）设直线2:l x my c =+,依题意0m ≠,0c ≠，则(,0)T c ,分别过P 、Q 作PP 1⊥y 轴，QQ 1⊥y 轴，垂足分别为P 1、Q 1，则=+||||||||SQ ST SP ST 11||||||||||||||||P QOT OT c c PP QQ x x +=+．由28y x x my c⎧=⎨=+⎩消去y 得222(28)0x c m x c -++= ∴||||11||()||||||||P Q ST ST c SP SQ x x +=+≥2||c2||2c ==． （14分） ∵P x 、Q x 取不相等的正数，∴取等的条件不成立 ∴|()||()||()||()|d ST d ST d SP d SQ +的取值范围是（2，+∞）． （16分）（文）解：（1）设AB 所在直线的方程为y x m =+由2234x y y x m⎧+=⎨=+⎩得2246340x mx m ++-=． （2分） 因为A B 、在椭圆上，所以212640m ∆=-+>．334334<<-m 设A B 、两点坐标分别为1122()()x y x y ，、，，中点为),(00y x P 则1232m x x +=-， 034x m -=，00003134x x x y -=-=所以中点轨迹方程为13(32y x x x =-<<≠-）（4分） （2）AB l //，且AB 边通过点(00)，，故AB 所在直线的方程为y x =． 此时0m =，由（1）可得1x =±，所以12AB x =-= （6分） 又因为AB 边上的高h 等于原点到直线l的距离，所以h =（8分）122ABC S AB h =⋅=△． （10分） （3）由（1）得1232mx x +=-，212344m x x -=，所以12AB x =-=． （12分）又因为BC 的长等于点(0)m ，到直线l的距离，即BC =（14分）所以22222210(1)11AC AB BC m m m =+=--+=-++． 所以当1m =-时，AC 边最长，（这时12640∆=-+>）此时AB 所在直线的方程为1y x =-． （16分） 23.（本题满分18分）（理）（1）证明：由已知可得，1()2OP OM ON =+，所以P 是MN 的中点，有 121x x +=,12123312log log 11y y x x ∴+=+--12312123log 11()x x x x x x ==-++（4分） （2）由（1）知当121x x +=时，1212()() 1.y y f x f x +=+= 121()()()n n S f f f n nn -=++① 121()()()n n S f f f n n n-=+++ ②①+②得12n n S -=（6分） 111149231lim lim 49233n n n n S S n n S S n n n n ++--→∞→∞--==-++ （10分）（3）当2n ≥时， 111.1212422n a n n n n ==-++++⨯⋅又当1n =时，11,6a =所以1112n a n n =-++ （12分） 故111111()()()2334122(2)n nT n n n =-+-++-=+++ （14分） 1(1)n n T m S +<+对一切*n ∈N 都成立，即211(2)n n T nm S n +>=++恒成立（16分）又2114(2)84n n n n=≤+++，所以m 的取值范围是1(,)8+∞ （18分） （文）（1）122nn n a a +=+，11122n nn n a a +-=+， （2分） 11n n b b +=+， 故{}n b 为等差数列，11b =，n b n =. （4分）（2）由（1）可得12n n a n -=（6分） 12102232221-⋅+⋅+⋅+⋅=n n n Sn n n n n S 22)1(23222121321⋅+⋅-+⋅+⋅+⋅=-两式相减，得nn n n n n n S 212222221210⋅--=⋅-+++=-- ，即12)1(+-=nn n S （8分） 11(1)211lim lim 222n n n n n n S n n n ++→∞→∞-+∴==⋅⋅ （10分）（3）由（1）可得2n T n =，（12分） ∴21441n n n n n T d a T ==--， 1231123111()()041n n n n n d d d d d d d d d d ++++++++-++++==>-∴123{}n d d d d ++++单调递增，即123113n d d d d d ++++≥=， （14分）要使1238log (2)n d d d d m t ++++≥+对任意正整数n 成立，必须且只需81log (2)3m t ≥+，即022m t <+≤对任意[1 2]m ∈，恒成立. （16分） ∴[2 4](0 2]t t ++⊆，，，即 202242t t t +>⎧⇒-<≤-⎨+≤⎩矛盾.∴满足条件的实数t 不存在. （18分）（本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。

上海市闵行区2007—2008学年第一学期质量监控考试高三数学试卷考生注意：1． 答卷前，考生务必将学校、班级、学号、姓名等填写清楚．2． 本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔书写，请不要将答案写在试卷的密封线以内．一. 填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．不等式235x -<的解是 . 2．方程9320xx+-=的解是 .3．（文）若复数z 满足210z z -+=，则z = . （理）若复数z 满足11z z+=，则z = . 4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若61420a a +=，则19S = . 5．（文）若1sin cos 5θθ+=，则sin 2θ的值是 . （理）已知1sin cos 5θθ+=，且324θππ≤≤，则cos 2θ的值是 . 6．若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(],0-∞上是单调递减的，且(1)0f =，则使()0f x <的x 的取值范围是 .7．（文）设函数()y f x =的反函数是1()y f x -=，且函数()y f x =过点(21)P -，，则1(1)f --= .（理）设函数()y f x =的反函数是1()y f x -=，且函数()y f x =过点(1 3)P -，，则1(1)(3)f f --+= . 8．某校要求每位学生从8门课程中选修5门，其中甲、乙两门课程至多只能选修一门,则不同的选课方案有 种（以数字作答）.9．(文)已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别是22322n an a bn n +=-+，11()3n n b b a -=-，其中 a b 、是实常数，若1lim 3 lim 4n n n n a b →∞→∞==-，，且 a b c ，，成等差数列，则c 的值是 . (理)已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别是22322n an a bn n +=-+，1(1)bn n b n =+，其中 a b 、是实常数，若30lim 2 lim n n n n a b →∞→∞=， a b c ，，成等比数列，则c 的值是 . 10．已知函数2()21f x x x =++，如果使()f x kx ≤对任意实数(1 ]x m ∈，都成立的m 的最大值是5，则实数k = .11．电子跳蚤游戏盘是如图所示的ABC ∆，8 9 10AB AC BC ===，，，如果跳蚤开始时在BC 边的点0P 处，04BP =.跳蚤第一步从0P 跳到AC 边的1P (第1次落点)处,且10CP CP =；第二步从1P 跳到AB 边的2P (第2次落点)处，且21AP AP =；第三步从2P 跳回到BC 边的3P 处，且32BP BP =，……，跳蚤按上述规则一直跳下去,第n 次落点为(n P n 为正整数)，则点2005P 与2008P 间的距离为 .二. 选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．12．已知集合{}0,P a =，{}1,2Q =，若P Q ≠∅ ，则a 等于 [答]( )(A) 1. (B) 2. (C) 1或2. (D) 3. 13．（文）已知数列{}n a 的前n 项和28n S n n =-，第k 项5k a =，则k =[答]( )(A) 6. (B) 7. (C) 8. (D) 9. （理）已知数列{}n a 的前n 项和28n S n n =-，第k 项满足47k a <<，则k =[答]( )(A) 6. (B) 7. (C) 8. (D) 9.14．（文）设点2( 1)(0)2t P t t+<，是角α终边上一点，当||OP最小时，cos α的值是 [答]( )(A) 5. (B)5. (C) 5. (D) 5-. （理）设点2( 1)(0)2t P t t+≠，是角α终边上一点，当||OP 最小时，sincos αα- 的值是 [答]( )(A). (D) .15．关于函数()(0)af x x a x=->，有下列四个命题：①()f x 的值域是( 0)(0 )-∞+∞ ，，；②()f x 是奇函数；③()f x 在( 0)(0 )-∞+∞ ，，上单调递增；④方程|()|f x a =总有四个不同的解.其中正确的是 [答]( )(A) 仅①②. (B) 仅②③. (C) 仅②④. (D) 仅③④.三. 解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 16.（本题满分12分）已知函数()x f x a =的图像过点(1,3)P ， （文）解不等式3log (3)log 0a x x --< （理）解不等式3log (3)3(log )3x f x ---<17.（本题满分14分）某厂生产过程中需要某种配件，可以外购，也可以自己生产.如果外购，配件供应商规定：若购买1000个以下（含1000个）则按每个1.10元计价；若超过1000个，则前1000个按每个1.10元计价，超过部分按每个1.00元计价；如果自己生产，则固定成本需增加800元，另外每生产一个配件的材料费和人工费共需0.60元.作为决策者的你是决定外购还是自己生产配件?请说明理由.18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知△ABC 顶点的直角坐标分别为(,4)(0,)(,0)A a B b C c 、、.（文）（1）若1,2a b ==，且0AB AC ⋅=；求c 的值；（2）若虚数x a i =+是实系数方程2620x x c -+=的根，且0b =，求sin A 的值. （理）（1）若3,0,5a b c ===，求sin A 的值；（2）若虚数2x ai =+(0)a >是实系数方程250x cx -+=的根，且∠A 是钝角，求b 的取值范围.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．已知函数()sin()(0 02 ||)2f x A x B A πωϕωϕ=++><<<，，的一系列对应值如下表：（（2）（文）当[0 2]x π∈，时，求方程()2f x B =的解. （理）若对任意的实数a ，函数()y f k x =（0k >），2(]3x a a π∈+，的图像与直线1y =有且仅有两个不同的交点，又当[0 ]3x π∈，时，方程()f k x m =恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围.20.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知二次函数2()(0,0)f x ax bx c a c =++>>的图像与x 轴有两个不同的公共点，且有()0f c =，当0x c <<时，恒有()0f x >. （1）（文）当1a =，12c =时，求出不等式()0f x <的解； （理）求出不等式()0f x <的解(用,a c 表示)；（2）若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，求a 的取值范围；（3）若(0)1f =，且2()21f x m km ≤-+，对所有[0,]x c ∈，[1,1]k ∈-恒成立，求实数m 的取值范围.21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1、2小题满分各 5分，第3小题满分8分．表：用( )ij a i j ≥表示第i 行第j 个数我们用部分自然数构造如下的数（i j 、为正整数），使1i ii a a i ==；每行中的其余各数分别等于其“肩膀”上的设第n （n 为正整数）行中各数之和为n b . 两个数之和(第一、二行除外，如图)，(1)（文） 12 23 4 34 7 7 45 11 14 11 56162525166试写出213243542 2 2 2b b b b b b b b ----，，，，并推测1n b +和n b 的关系(无需证明)； （理）试写出12345 b b b b b ，，，，，并推测1n b +和n b 的关系(无需证明)； (2)证明数列{2}n b +是等比数列，并求数列{}n b 的通项公式n b ；(3)数列{}n b 中是否存在不同的三项 p q r b b b ，，（ p q r 、、为正整数）恰好成等差数列？若存在，求出 p q r 、、的关系；若不存在，请说明理由.参考答案和评分标准一、填空题：1. (1,4)-；2. 0；3. 文1、理1；4. 190；5. 文2425-、理725-； 6.(1,1)-； 7.文2、理2； 8. 36； 9.文14、理14； 10. 365； 11. 1. 二、选择题： 12. C ； 13. B ； 14. D ； 15.C . 三、解答题：16.（本题满分12分）文：依题意，3a =， (3分)不等式等价于{033x x x<<-<， (6分)即0332x x <<⎧⎪⎨>⎪⎩， (8分) 解得332x <<， (10分)∴不等式的解集为3( 3)2，(12分) 理：依题意，3a =， (3分)不等式等价于331log log 30333xx x --<<⎧⎪⎨<⎪⎩， (6分) 即03113x x x<<⎧⎪⎨<⎪-⎩， (8分) 解得332x <<， (10分) ∴不等式的解集为3( 3)2，(12分) 17.（本题满分14分）设需要该配件()x x N *∈个，外购所需资金为1y 元，自己生产所需资金为2y 元. 则{1 1.10 (01000)100 (1000)x x y x x <≤=+>；28000.60y x =+ (6分)当01000x <≤时，由12y y >，即1.108000.60x x >+，得1600x >，显然外购比较合算； (8分) 当1000x >时，由12y y >，即1008000.60x x +>+，得1750x >，此时自产比较合算； (10分)所以，当该配件需求量小于1750个时，外购；等于1750个时，外购和自己生产都可以；大于1750个时，自己生产. (14分)18.（本题满分14分）文：（1） (1,2)AB =-- ，(1,4)AC c =--（2分）由 180AB AC c ⋅=-+=， （4分）解得 9c = （6分）（2）x a i =-也是实系数方程2620x x c -+=的根，由韦达定理，得：3a =，5c =， （8分）(3,4)AB =-- ，(2,4)AC =-（10分）cos AB AC A AB AC ⋅===（12分）sin 5A ∴===（14分） 理：（1） (3,4)AB =-- ，(2,4)AC =- （2分）cos AB AC A AB AC ⋅===（4分）sin A ∴===（6分） （2）虚数2x ai =-也是实系数方程250x cx -+=的根，由韦达定理，得：1a =，4c =， （8分）(1,4)AB b =-- ，(3,4)AC =-（10分） ∠A 是钝角，∴由34160AB AC b ⋅=--+< ，解得 134b > （12分）又AB AC 、共线时，163b =∴b 的取值范围为134b >且163b ≠. （14分）19.（本题满分14分） （1）依题意，252[()]66T πππω==--，∴1ω= （2分） 又{31B A B A +=-=-，解得{21A B == （5分）55()2sin()3 ||662f πππϕϕ=+=<，，解得3πϕ=- （7分） ∴()2sin()13f x x π=-+为所求. （8分）（2）文：由()2f x B =，得1sin()32x π-= （10分）∵[0 2]x π∈，，∴5333剟x πππ--（12分） ∴36x ππ-=或536x ππ-=，即7 26x x ππ==，为所求. （14分）理：由已知条件可知，函数()2sin()13y f k x kx π==-+的周期为23π，又0k >，3k ∴= （10分）令33t x π=-，∵[0 ]3x π∈，， ∴23[ ]333t x πππ=-∈-， 而sin t 在[ ]32ππ-，上单调递增，在2[ ]23ππ，上单调递减，且2sinsin33ππ= 如图∴sin t s =在2[ ]33ππ-，上有两个不同的解的充要条件是 1)s ∈，（12分） ∴方程()f x m =恰有两个不同的解的充要条件是1 3)m ∈，. （14分）（注：单调区间写成[ ]22ππ-，、3[ ]22ππ，也行；直接数形结合得到正确结果，也可）20.（本题满分18分） （1）文：当1a =，12c =时，21()2f x x bx =++，()f x 的图像与x 轴有两个不同交点，1()02f = ，设另一个根为2x ，则21122x =，21x ∴=， （2分） 则 ()0f x <的解为112x <<. （4分） 理：()f x 的图像与x 轴有两个交点，()0f c = ，设另一个根为2x ，则221c cx x a a=∴= （2分） 又当0x c <<时，恒有()0f x >，则1c a >，则()0f x <的解为1c x a<< （4分） （2）文：()f x 的图像与x 轴有两个交点，()0f c = ，设另一个根为2x ，则221c cx x a a=∴= 又当0x c <<时，恒有()0f x >，则1c a >，则三交点为1(,0),(,0),(0,)c c a（6分）这三交点为顶点的三角形的面积为11()82S c c a=-=， （7分）21168c a c ∴=≤=+故10,8a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. （10分） 理：由（1）知()f x 的图像与坐标轴的三个交点坐标分别为1(,0),(,0),(0,)c c a，这三交点为顶点的三角形的面积为11()82S c c a=-=， （7分）21168c a c ∴=≤=+故10,8a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. （10分）（3）当0x c <<时，恒有()0f x >，则1c a>， ∴()f x 在[0,]c 上是单调递减的，且在0x =处取到最大值1， （12分）要使2()21f x m km ≤-+，对所有[0,]x c ∈，[1,1]k ∈-恒成立，必须2()121max f x m km =≤-+成立， （14分） 必220m km -≥，令2()2g k km m =-+，对所有[1,1]k ∈-，()0g k ≥恒成立，只要(1)0(1)0g g ≥⎧⎨-≥⎩，即222020m m m m ⎧-≥⎪⎨+≥⎪⎩（16分）解得实数m 的取值范围为 202m m m ≤-=≥或或. （18分） 或者按0,0,0m m m <=>分类讨论，每一类讨论正确得2分，结论2分. 21.（本题满分18分）(1)文：123451 4 10 22 46b b b b b =====；，；；；；可见：2122b b -=；3222b b -=；4322b b -=；5422b b -=， （2分） 猜测：122n n b b +-=（或122n n b b +=+或1132n n n b b -+-=⨯） （5分） 理：123451 4 10 22 46b b b b b =====；，；；；；1132n n n b b -+-=⨯(或122n n b b +=+)； 事实上，1(1)1(1)2(1)3(1)(1)n n n n n n b a a a a ++++++=++++(1)1122334(1)(1)(1)()()()()n n n n n n n n n nn n n a a a a a a a a a a +-++=++++++++++ （2分）(1)1123(1)234(1)(1)=()()n n n n n n n n n nn n n a a a a a a a a a a +-+++++++++++++ 1122n n n b b b =+++=+即122n n b b +=+； （5分）(2)由(1)1222n n b b ++=+， （7分）所以{2}n b +是以123b +=为首项，2为公比的等比数列， ∴1232n n b -+=⨯，即1322n n b -=⨯- (注：若考虑122n n b b -++，且不讨论1n =，扣1分) （10分）(3)若数列{}n b 中存在不同的三项* ( )p q r b b b p q r N ∈，，、、恰好成等差数列，不妨设p q r >>，显然，{}n b 是递增数列，则2q p r b b b =+ （13分） 即1112(322)(322)(322)q p r ---⨯⨯-=⨯-+⨯-，于是2221q rp r --⨯=+ （15分）由* p q r N ∈、、且p q r >>知，1 2q r p r -≥-≥，， ∴等式的左边为偶数，右边为奇数，不成立，故数列{}n b 中不存在不同的三项* ( )p q r b b b p q r N ∈，，、、恰好成等差数列. （18分）。

2008年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（文史类）考生注意：1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．2．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．一、填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．不等式11x -＜的解集是 ．2．若集合{}|2A x x =≤，{}|B x x a =≥满足{2}A B =I ，则实数a = ． 3．若复数z 满足(2)z i z =- (i 是虚数单位)，则z = ． 4．若函数f (x )的反函数为12()log fx x -=，则()f x = ．5．若向量a r ，b r 满足12a b ==r r ，且a r 与b r 的夹角为3π，则a b +=r r ． 6．若直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点，则实数a = ． 7．若z 是实系数方程220x x p ++=的一个虚根，且2z =，则p = ． 8．在平面直角坐标系中，从六个点：(00)(20)(11)(02)(22)A B C D E ，，，，，，，，，中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）．9．若函数()()(2)f x x a bx a =++（常数a b ∈R ，）是偶函数，且它的值域为(]4-∞，，则该函数的解析式()f x = ．10．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5．若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是 ．11．在平面直角坐标系中，点A B C ，，的坐标分别为(01)(42)(26)，，，，，．如果()P x y ，是ABC △围成的区域（含边界）上的点，那么当w xy =取到最大值时，点P 的坐标是______ ．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．12．设p 是椭圆2212516x y +=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于（ ） A ．4 B ．5 C ．8 D ．1013．给定空间中的直线l 及平面α．条件“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ）Ａ．充分非必要条件 Ｂ．必要非充分条件C ．充要条件 Ｄ．既非充分又非必要条件 14．若数列{}n a 是首项为l ，公比为32a -的无穷等比数列，且{}n a 各项的和为a ，则a 的值是（ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．12 Ｄ．5415．如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成的区域（含边界），A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点．若点()P x y ，、点()P x y '''，满足x x '≤且y y '≥，则称P 优于P '．如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧（ ）Ａ．»AB B ．»BCC ．»CDD ．»DA三、解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．16．(本题满分12分)如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是BC 1的中点．求直线DE 与平面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．17．（本题满分13分）如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC ．小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，小区里有两条笔直的小路AD DC ，，且拐弯处的转角为120o．已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）．18．（本题满分15分）本题共有2个小题，第1个题满分5分，第2小题满分10分． 已知函数f (x )=sin2x ，g (x )=cos π26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，直线()x t t =∈R 与函数()()f x g x ，的图像分别交于M 、N 两点． （1）当π4t =时，求｜MN ｜的值； （2）求｜MN ｜在π02t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时的最大值．19．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分． 已知函数||1()22xx f x =-． （1）若()2f x =，求x 的值；（2）若2(2)()0tf t mf t +≥对于[12]t ∈，恒成立，求实数m 的取值范围．20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．已知双曲线2212x C y -=：．（1）求双曲线C 的渐近线方程；（2）已知点M 的坐标为(01)，．设p 是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点．记MP MQ λ=u u u r u u u u rg ．求λ的取值范围；（3）已知点D E M ，，的坐标分别为(21)(21)(01)---，，，，，，P 为双曲线C 上在第一象限内的点．记l 为经过原点与点P 的直线，s 为DEM △截直线l 所得线段的长．试将s 表示为直线l 的斜率k 的函数． 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分４分，第2小题满分６分，第3小题满分8分．已知数列{}n a ：11a =，22a =，3a r =，32n n a a +=+（n 是正整数），与数列 {}n b ：11b =，20b =，31b =-，40b =，4n n b b +=（n 是正整数）． 记112233n n n T b a b a b a b a =++++L ．（1）若1231264a a a a ++++=L ，求r 的值； （2）求证：当n 是正整数时，124n T n =-；（3）已知0r >，且存在正整数m ，使得在121m T +，122m T +，L ，1212m T +中有4项为100．求r 的值，并指出哪4项为100．2008年全国普通高等学校招生统一考试 上海数学试卷（文史类）答案要点及评分标准一、（第1题至第11题） 1. （0，2）. 2. 2.3. 1+i.4. ()2x x R ∈.5.6. -1.7. 4.8.45. 9. 224x -+10. 10.5,10.5a b ==11. 5,52⎛⎫ ⎪⎝⎭.二、（第12题至第15题）题号 12 13 14 15 代号DCBD三、（第16题至第21题）16. 【解】过E 作EF ⊥BC ，交BC 于F ，连接DF . ∵ EF ⊥平面ABCD ，∴ ∠ED F 是直线DE 与平面ABCD 所成的角. ……………4分 由题意，得EF =111.2CC = ∵11,2CF CB DF ==∴=..8分 ∵ EF ⊥DF ， ∴tan 5EF EDF DF ∠==……………..10分 故直线DE 与平面ABCD所成角的大小是arctan5….12分 17. 【解法一】设该扇形的半径为r 米. 由题意，得CD =500（米），DA =300（米），∠CDO=060……………………………4分 在CDO ∆中，2222cos 60,CD OD CD OD OC +-⋅⋅⋅=……………6分 即()()22215003002500300,2r r r +--⨯⨯-⨯=…………………….9分 解得490044511r =≈（米）. …………………………………………….13分【解法二】连接AC ，作OH ⊥AC ，交A C 于H …………………..2分由题意，得CD =500（米），AD =300（米），0120CDA ∠=………….4分2220222,2cos12015003002500300700,2ACD AC CD AD CD AD ∆=+-⋅⋅⋅=++⨯⨯⨯=在中 ∴ AC =700（米） …………………………..6分22211cos .214AC AD CD CAD AC AD +-∠==⋅⋅………….…….9分在直角11,350,cos 0,14HAO AH HA ∆=∠=中（米） ∴ 4900445cos 11AH OA HAO ==≈∠（米）. ………………………13分18、【解】（1）sin 2cos 2446MN πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………….2分 231cos.32π=-=………………………………5分 （2）sin 2cos 26MN t t π⎛⎫=-+⎪⎝⎭3sin 222t t =…………...8分26t π⎛⎫=-⎪⎝⎭…………………………….11分 ∵ 0,,2,,2666t t πππππ⎡⎤⎡⎤∈-∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦…………13分∴ ｜MN……………15分 19、【解】（1）()()100;0,22x x x f x x f x <=≥=-当时，当时. …………….2分 由条件可知，2122,22210,2x x x x -=-⋅-=即解得21x =±…………6分∵(220,log 1x x >∴= …………..8分（2）当2211[1,2],2220,22t t t t t t m ⎛⎫⎛⎫∈-+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时 ……………10分即 ()()242121.t t m -≥--()22210,21.t t m ->∴≥+Q ………………13分 ()2[1,2],12[17,5],t t ∈∴-+∈--Q故m 的取值范围是[5,)-+∞ …………….16分20、【解】（1）所求渐近线方程为0,022y x y x -=+= ……………...3分 （2）设P 的坐标为()00,x y ，则Q 的坐标为()00,x y --， …………….4分 ()()000,1,1o MP MQ x y x y λ=⋅=-⋅---u u u r u u u u r22200031 2.2x y x =--+=-+ ……………7分0x ≥Qλ∴的取值范围是(,1].-∞- ……………9分（3）若P 为双曲线C 上第一象限内的点，则直线l的斜率.k ⎛∈ ⎝⎭……………11分由计算可得，当()1(0,],2k s k ∈时当()1,2k s k ⎛∈= ⎝⎭时……………15分∴ s 表示为直线l 的斜率k 的函数是()1(0,],21.22k s k k ∈=⎛∈ ⎝⎭….16分21、【解】（1）()()()12312...12342564786a a a a r r r r ++++=++++++++++++++484.r =+………………..2分∵ 48464, 4.r r +=∴= ………………..4分【证明】（2）用数学归纳法证明：当12,4.n n Z T n +∈=-时① 当n=1时，1213579114,T a a a a a a =-+-+-=-等式成立….6分 ② 假设n=k 时等式成立，即124,k T k =- 那么当1n k =+时，()121211231251271291211121k k k k k k k k T T a a a a a a +++++++=+-+-+-………8分()()()()()()481884858488k k k r k k k r k =-++-+++-++++-+()4441,k k =--=-+等式也成立.根据①和②可以断定：当12,4.n n Z T n +∈=-时…………………...10分【解】（3）()1241.121,12241;123,12441;125,12645;127,1284;129,121044;m n n n n T m m n m m T m n m m T m r n n m m T m r n m m T m r n m m T m =-≥=++=+=++=-+-=++=+-=++=--=++=+当时，当时，当时，当时，当时，1211,1212,4 4.n n m m T m =++=--当时………………………..13分∵ 4m+1是奇数，41,4,44m r m r m -+-----均为负数，∴ 这些项均不可能取到100. ………………………..15分此时，293294297298,,,T T T T 为100. …………………………18分。

上海市部分要点中学 2008 届高三第二次联考数学（理科）试卷 （）题 号1～1213～ 16 1718 19 20 2122 总分 应得 4816121214141618150分 实得 分考生注意：考试时间 120 分钟，试卷总分 150 分。

一、填空题：（12×4’＝ 48’）1、会合 A { x | | x | 2 } 的一个非空真子集是 __________2、若 (a 2 i ) i b i ，此中 a , b R , i 是虚数单位，则 a b __________3、在等差数列 { a n } 中， a 5 ，2 ，则 a3 a4 a 8 __________ 3 a 6 4、若 sin() 1 ， (, 0 ) ，则 tan __________225、设函数 f ( x)x21 ( x 0)，那么 f 1(10)_________2 x ( x 0)6、已知圆的半径为 2，圆心在 x 轴的正半轴上，且圆与直线 3 x + 4 y +4 = 0 相 切，则圆的标准方程是 _______________________7、已知 a,b, c 是锐角 ABC 中 A,B, C 的对边，若 a 3,b 4, ABC 的面积为3 3 ，则 c8、某机关的 2008 年新对联欢会原定 10 个节目已排成节目单，开演前又增添了两个反应军民携手抗击雪灾的节目， 将这两个节目随机地排入原节目单， 则这两个新节目恰巧排在一同的概率是 _______________9、在极坐标系中， O 是极点，设点 A(4, ) ， B(3, 2) ，则 O 点到 AB 所在直线的6 3距离是10 、设 定义 在 R 的函 数 f (x) 同 时 满 足 以下 条件 ： ① f (x)f ( x) 0 ； ②f ( x) f ( x2) ；③当 0 x 1时， f ( x) 2 x1 。

则 f ( 1 ) f (1) f ( 3 ) f (2) f ( 5 ) _____________2 2 211、在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．若函y=f(x) 的图像恰巧经过 k 个格点，则称函数 y=f(x) 为 k 阶格点函数．已知函数：①y=2sinx ； ② y=cos(x+) ； ③ y e x1 ； ④ y x2 ． 此中 为一阶 格点 函数的序号为6（注：把你以为正确论断的序号都填上）12、已知 AB是椭圆x2y2 1(a b0) 的长轴，若把该长轴 n 平分，过每个等a2 b2分点作 AB的垂线，挨次交椭圆的上半部分于点P1, P2, , P n 1，设左焦点为 F1，则lim 1 ( F1A F1P1 F1Pn 1 F1B ) ________n n二、选择题（ 4×4’=16’）13、假如 a,b,c 知足 c<b<a 且 ac<0，那么以下选项中不必定成立的是---------- （）A ． ab>ac B． c(b-a)>0 C ．cb2 ab2 D ． ac(a-c)<014、设 a,b,c 表示三条直线，，表示两个平面，以下命题中不正确的选项是---------（）a a bA. aB. b在内 b c// c是 a在内的射影b // ca //C. b在内 c //D. bb ac不在内15、若a、b、c是常数，则“ a 0 且 b2 4 a c 0 ”是“对任意 x R ,有 a x 2 b x c 0 ”的--------------------------- ( )A ．充足不用要条件B ．必需不充足条件C ．充要条件D ．既不充足也不用要条件16 、由方程x | x | y | y | 1 确定的函数 y f (x) 在 ( , ) 上是--------- （）A．增函数 B ．减函数 C ．先增后减 D ．先减后增三、解答题：r r r r17、（8+4）已知向量a =（ - cosx , sinx ）， b =（cosx , 3 cos x ），函数f(x)= a b x [0, ]（1）求函数 f(x) 的最大值r r（2）当函数 f(x) 获得最大值时，求向量 a与b 夹角的大小．[ 解 ]18、（ 6+6）在长方体ABCD A1B1C1 D1中（如图），AD = AA1=1，AB 2 ，点上的E是 AB动点(1)若直线 D1 E与EC垂直，请你确立点E的地点，并求出此时异面直线 AD1与EC所成的角(2)在（ 1）的条件下求二面角D1EC D的大小3 / 12[ 解 ]4 / 125 / 1219、（7+7）已知等比数列a n 的首项 a 1 1 ，公比为 x ( x 0) ，其前 n 项和为 S n （1）求函数 f ( x) lim S n的分析式；（ ）解不等式 10 3xnS n2 f (x) ．18[ 解 ]20、（ 4+6+4）电信局依据市场客户的不一样需求，对某地域的手机套餐通话费提出两种优惠方案，则两种方案付电话费（元）与通话时间（分钟）之间的关系如下图（实线部分）（MN 平行 CD ） （ 1） 若通话时间为两小时，按方案 A ，B 各付话费多少元？ （ 2） 方案 B 从 500 分钟此后，每分钟收费多少元？（ 3） 通话时间在什么范围内， 方案 B 比方案 A 优惠？[ 解 ]6 / 1221、（4+6+6）设F1, F2 分别是椭圆 C：x 2y22 2 1 ( a b 0)的左右焦点a b(1) 设椭圆 C 上的点( 3 到F1 , F2 两点距离之和等于，写出椭圆 C 的方程和3, ) 42焦点坐标(2)设 K 是（ 1）中所得椭圆上的动点，求线段KF1的中点 B 的轨迹方程(3)设点 P 是椭圆 C 上的随意一点，过原点的直线 L 与椭圆订交于 M，N 两点，当直线 PM ，PN的斜率都存在，并记为k PM, K PN 尝试究 k PM K PN的值能否与点P 及直线 L 相关，并证明你的结论。

闵行区2015-2016学年第二学期高三年级质量调研考试数 学 理试 卷考生注意：1．本试卷共4页，23道试题，满分150分。

考试时间120分钟。

2．本考试分设试卷和答题纸。

试卷包括三大题，第一大题为填空题，第二大题为选择题，第三大题为解答题。

3．答卷前，务必在答题纸上填写学校、姓名、准考证号。

4．作答必须涂或写在答题纸上，在试卷上作答一律不得分。

第二大题的作答必须涂在答题纸上相应的区域，第一、第三大题的作答必须写在答题纸上与试卷题号对应的位置。

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．函数3log (1)y x =-的定义域是 .2．集合{}2|30A x x x =-<，{}2B x x =<，则U A B 等于 .3．若复数1i 11i 2b ++-（i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数b 的值为 . 4．已知函数3log 1()21x f x =，则1(0)f -= .5．若一个圆锥的母线长是底面半径的3倍，则该圆锥的侧面积是底面积的 倍.6．平面向量a r 与b r 的夹角为60︒，1a =r ，(3,0)b =r ，则2a b +=r r .7．已知ABC △的周长为4，且sin sin 3sin A B C +=，则AB 边的长为 .8．若6x ⎛+ ⎝的展开式中的3x 项大于15，且x 为等比数列{}n a 的公比， 则1234lim n n na a a a a a →∞+++=+++L L . 9．若0m >，0n >，1m n +=，且1t m n+（0t >）的最小值为9，则t = . 10．若以x 轴正方向为始边，曲线上的点与圆心的连线为终边的角θ为参数，则圆2220x y x +-=的参数方程为 .1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（02θ≤<π） 11．若AB 是圆22(3)1x y +-=的任意一条直径，O 为坐标原点，则OA OB ⋅u u u r u u u r 的值为 ．12．在极坐标系中，从四条曲线1:1C ρ=，2:C θπ=3（0ρ≥），3:cos C ρθ=，4:sin 1C ρθ=中随机选择两条，记它们的交点个数为随机变量ξ，则随机变量ξ的数学期望E ξ= .13．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，22|2016|n S n a n =+-（0a >），则使得1n n a a +≤（n ∈*N ）恒成立的a 的最大值为 .14． (理科）若两函数y x a =+与212y x =-的图像有两个交点A 、B ，O 是坐标原点，OAB △是锐角三角形，则实数a 的取值范围是 .二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．如果a b >，那么下列不等式中正确的是（ ）.(A) 11a b> (B) 22a b > (C) ()()lg 1lg 1a b +>+ (D) 22a b > 16．若l m 、是两条直线，m ⊥平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的（ ）.(A) 充要条件 (B) 充分不必要条件(C) 必要不充分条件 (D) 既非充分又非必要条件17．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点，P 为底面ABCD 内一动点，设1PD PE 、与底面ABCD 所成的角分别为12θθ、（12θθ、均不为0)．若12θθ=，则动点P 的轨迹为哪种曲线的一部分（ ）.(A)直线 (B)圆 (C) 椭圆 (D) 抛物线18．将函数()2sin 2f x x =的图像向右平移ϕ（0ϕ<<π）个单位后得到函数()g x 的图像 ．若对满足12()()4f x g x -=的12x x 、，有12x x -的最小值为π6．则ϕ=（ ）. （A ）π3 (B) π6 （C ）π3或2π3 (D) π6或5π6三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19.（本题满分12分）复数21sin i cos2z x x =+⋅，22sin i cos z x x =+⋅（其中x ∈R ，i 为虚数单位）. 在复平面上，复数1z 、2z 能否表示同一个点，若能，指出该点表示的复数；若不能，说明理由．20.（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分．如图，在直角梯形PBCD 中，//PB DC ，DC BC ⊥，22PB BC CD ===，点A 是PB 的中点，A B C DP PAB C D P A B C D 现沿AD 将平面PAD 折起，设PAB θ∠=．（1）当θ为直角时，求异面直线PC 与BD 所成角的大小；（2）当θ为多少时，三棱锥P ABD -． 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分．为了配合今年上海迪斯尼游园工作，某单位设计了统计人数的数学模型()n ∈*N ： 以8122002000,(18)()36033000,(932)32400720,(3345)n n n f n n n n -⋅+≤≤⎧⎪⎪=⋅+≤≤⎨⎪-⋅≤≤⎪⎩表示第n 个时刻进入园区的人数；以0,(118)()5009000,(1932)8800,(3345)n g n n n n ≤≤⎧⎪=⋅-≤≤⎨⎪≤≤⎩表示第n 个时刻离开园区的人数．设定以15分钟为一个计算单位，上午9点15分作为第1个计算人数单位，即1=n ；9点30分作为第2个计算单位，即2=n ；依次类推，把一天内从上午9点到晚上8点15分分成45个计算单位（最后结果四舍五入，精确到整数）．（1）试计算当天14点至15点这一小时内，进入园区的游客人数(21)(22)(23)(24)f f f f +++、离开园区的游客人数(21)(22)(23)(24)g g g g +++各为多少？（2）从13点45分（即19n =）开始，有游客离开园区，请你求出这之后的园区内游客总人数最多的时刻，并说明理由．22．（本题满分16分）本题共有3个小题,第(1)(2)小题满分各5分,第(3)小题满分6分．已知椭圆Γ：22221x y a b+=(0)a b >>的右焦点与短轴两端点构成一个面积 为2的等腰直角三角形，O 为坐标原点．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设点A 在椭圆Γ上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，求证：2211OA OB +为定值； （3）设点C 在椭圆Γ上运动，OC OD ⊥，且点O 到直线CD 的距离为常数d ()02d <<，求动点D 的轨迹方程． 23．（本题满分18分）本题共有3个小题,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分5分，第(3)小题满分7分．已知n ∈*N ,数列{}n a 、{}n b 满足:11n n a a +=+,112n n n b b a +=+,记24n n n c a b =-． （1）若11a =，10b =，求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）证明：数列{}n c 是等差数列；（3）定义2()n n n f x x a x b =++，证明：若存在k ∈*N ，使得k a 、k b 为整数，且()k f x 有两个整数零点，则必有无穷多个()n f x 有两个整数零点．参考答案与评分标准一、填空题（第1题至第14题）每题正确得4分，否则一律得0分．1．()1,+∞； 2．()2,3-； 3．2；4．9； 5．3； 67．1； 8．1； 9．4；10．1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（02θ≤<π）、 11．8； 12．113．12016 14．⎝⎭、 二. 选择题（第15题至18题）每题正确得5分，否则一律得0分．15．D ； 16．C ； 17．B ； 18． C三、解答题（第19题至23题）19.（本题满分12分）解：设复数1z ，2z 能表示同一个点，则cos2cos x x = ……………………3分解得cos 1x =或1cos 2x =-， ………………………………7分 当cos 1x =时，得2sin 0x =，此时12i z z ==； ……………9分当1cos 2x =-时，得23sin 4x =，此时1231i 42z z ==-； ……………11分PAB C D 综上，复平面上该点表示的复数为i 或31i 42-． ……………12分 20.（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分．解：理:（1）当θ为直角时,即,,AB AD AP 两两互相垂直，以点A 为坐标原点，,,AB AD AP 为坐标轴建立空间直角坐标系, ………………1分则(1,0,0)(1,2,0)(0,2,0)(0,0,1)B C D P ,(1,2,1)PC =-u u u r ,(1,2,0)BD =-u u u r ……3分设异面直线PC 与BD 所成角为α,则cos PC BD PC BDα⋅=⋅u u u r u u u ru u u r u u u r 10= ………………5分故异面直线PC 与BD 所成角为．…7分 （2）Θ沿AD 将平面PAD 折起的过程中，始终 有PA AD ⊥，AB AD ⊥，AD PAB ∴⊥面，由 PAB D ABD P V V --=得 ……………………9分163PAB S DA ∴=⋅⋅△11211sin 32θ=⋅⋅⋅⋅⋅，sin 2θ∴= ……………………12分 4πθ∴=或34π． ……………………………14分 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分． 解：（1）当天14点至15点这一小时内进入园区人数为(21)(22)(23)(24)f f f f +++1314151612121212360[3333]30004=⨯++++⨯17460≈（人） …………………3分离开园区的人数(21)(22)(23)(24)=9000g g g g +++（人） ………………6分（2）（理）当0)()(≥-n g n f 时，园内游客人数递增；当0)()(<-n g n f 时，园内游客人数递减． ………………7分①当1932n ≤≤时，由812()()3603500120000n f n g n n --=⋅-+≥，可得：当1928n ≤≤时，进入园区游客人数多于离开园区游客人数，总人数越来越多；…9分当3229≤≤n 时，进入园区游客人数少于离开游客人数，总人数将变少； ……11分（049.246)28()28(>=-g f ；013.38)29()29(<-=-g f ）②当4533≤≤n 时，由()()72023600f n g n n -=-+递减，且其值恒为负数．进入园区游客人数少于离开游客人数，总人数将变少． ………………13分 综上，当天下午16点时（28n =）园区内的游客人数最多，此时计算可知园区大约共有77264人. ………………14分22．（本题满分16分）本题共有3个小题,第(1)(2)小题满分各5分,第(3)小题满分6分． 解：（1）由条件可得b c ==2a =， …………………………3分椭圆Γ的方程为22142x y +=．………………………………………………………5分 （2）设00(,)A x y ，则OB 的方程为000x x y y +=，由2y =得002(,2)y B x -…7分 ∴22222000201111=44y OA OB x y x ++++22002222000044=4()4(2)2x x x x y x ++=++-12=．…10分 （3）设00(,),(,)C x y D x y ，由OC OD ⊥得000x x y y += ①又C 点在椭圆上得：2200142x y += ② 联立①②可得222200222244,22y x x y x y x y ==++ ③ …………………………12分 由OC OD ⊥得=OC OD CD d ⋅⋅，即22222=(+)OC OD OC OD d ⋅⋅ 可得222111d OC OD =+， ………………………………………………………14分 将③代入得：22222220011111d OC OD x y x y =+=+++2222222222*********()22x y x y x y x y x y x y ++=+=+++++， 化简得D 点轨迹方程为：22221111()()124x y d d -+-=.…………………………16分 23．（本题满分18分）本题共有3个小题,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分5分，第(3)小题满分7分．解： （1）n a n =， ………………………………………………………………2分Θ1122n n n n n b b a b +=+=+， ∴由累加法得121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-+⋅⋅⋅+- …………………4分1(1)0[12(2)(1)]24n n n n -=+++⋅⋅⋅+-+-=．……………………………………6分 （2）221114(4)n n n n n n c c a b a b +++-=---……………………………………………8分221(1)4()(4)12n n n n n a a b a b =+-+--= ∴{}n c 是公差为1的等差数列．……………………………………………………11分(3)由解方程得：x =，由条件，()0k f x =两根x = 为整数，则k c ∆=必为完全平方数，不妨设2()k c m m =∈N ， …………12分此时2k a m x -±==为整数，∴k a 和m 具有相同的奇偶性，………13分 由（2）知{}n c 是公差为1的等差数列，取21n k m =++∴()222121211k m k c c m m m m ++=++=++=+ ………………………………15分此时(21)(1)2k a m m x -++±+== Θk a 和m 具有相同的奇偶性，∴21k a m ++和1m +具有相同的奇偶性， …17分所以函数21()k m f x ++有两个整数零点.由递推性可知存在无穷多个()n f x 有两个整数零点.………………………………18分2016年闵行区高考数学二模卷一、填空题1.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的有关概念.【参考答案】(1,)+∞【试题分析】依题意可知，10x ->，即1x >，所以函数3log (1)y x =-的定义域为(1,)+∞，故答案为[1,)+∞.2.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.【知识内容】方程与代数/集合与命题/交集，并集，补集；方程与代数/不等式/一元二次不等式（组）的解法、含有绝对值的不等式的解法.【参考答案】(2,3)-【试题分析】集合2{|30}{|03}A x x x x x =-<=<<，{|||2}{|22}B x x x x =<=-<<， 所以{|23}A B x x =-<<U ，故答案为(2,3)-.3.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关数与运算的基本知识.【知识内容】数与运算/复数初步/复数的概念、复数的四则运算.【参考答案】2 【试题分析】复数21i 1(1i)11i 1i 2(1i)(1i)22b b b +++=+=+--+，因为复数的实部与虚部相等，则有112b =，解得2b =，故答案为2. 4.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/指数函数与对数函数/反函数；方程与代数/矩阵与行列式初步/二阶、三阶行列式.【参考答案】9 【试题分析】函数33log 1()log 221x f x x ==-，令()0f x =，解得9x =.根据互为反函数的两个函数之间的关系可知1(0)9f -=，故答案为9.5.【测量目标】空间想象能力/能根据图形想象出直观形象.【知识内容】图形与几何/简单几何体的研究/锥体.【参考答案】3【试题分析】设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，依题意有，3l r =，则圆锥的底面积为2πS r =底，圆锥的侧面积为212π3π2S l r r =⋅⋅=侧，所以圆锥的侧面积与底面积的比为223π3πS r S r==侧底，故答案为3.6.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/平面向量的坐标表示/向量的度量计算.【试题分析】因为(3,0)b =r ，所以||3b =r ，又因为||1a =r ，||a r 与||b r 的夹角为60°，所以3||||cos602a b a b ⋅=⋅=o r r r r .因为222|2|4419a b a a b b +=+⋅+=r r r r r r ，所以|2|a b +=r r7.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/三角比/正弦定理和余弦定理.【参考答案】1【试题分析】因为sin sin 3sin A B C +=,所以3a b c +=,又ABC △的周长为4，即4a b c ++=，所以43,1c AB c -===.8.【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理.【知识内容】整理与概率统计/排列、组合、二项式定理/二项式定理:方程与代数/数列与数学归纳法/数列的极限.【参考答案】1【试题分析】6x ⎛+ ⎝的展开式中第r项为3662166C C rr r r r r T x x --+⎛=⋅=，令3632r -=得2r =，所以展开式的第2项为2336C 1515x x =>，1x >，因为x 为等比数列{}n a 的公比，所以121222341+(1)11lim lim =lim +1(1)n nn n n n n n n a a a a x x x a a a xa x x x x -→∞→∞→∞⎛⎫++---=⋅ ⎪ ++---⎭⎝…… =221lim 11n n x x x →∞⎛⎫--= ⎪-⎭⎝. 9.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.【知识内容】方程与代数/不等式/基本不等式.【参考答案】4【试题分析】因为1m n +=，所以11()()11t t nt m m n t t m n m n m n+=++=+++++≥=211)t ++=，当22m nt =时，取等号，又因为1t m n+的最小值为9，即21)9=，所以4t =，故答案为4.10.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/曲线与方程/圆的标准方程和几何性质;图形与几何/参数方程和极坐标/参数方程.【参考答案】1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(02π)θ≤≤ 【试题分析】圆2220x y x +-=化为标准方程为22(1)1x y -+=，所以圆心(1,0)，半径为1，所以圆上的点的坐标为(1cos ,sin )θθ+，(02π)θ≤≤,所以圆的参数方程为1cos ,sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数),故答案为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(02π)θ≤≤. 11.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/平面向量的坐标表示/平面向量的数量积.【参考答案】8【试题分析】由圆的标准方程知，圆的圆心在y 轴上且圆心坐标为（0,3），半径为1，因为AB 是圆的任意一条直径，不妨假设AB 是位于y 轴上的一条直径，则1(0,)A y ，2(0,)B y ，所以1212(0,)(0,)OA OB y y y y ==u u u r u u u r g g ，又因为当0x =时，122,4y y ==，所以128OA OB y y ==u u u r u u u r g ，故答案为8.12.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/参数方程和极坐标/极坐标:数据整理与概率统计/概率与统计/随机变量的分布及数字特征.【参考答案】1【试题分析】曲线1234,,,C C C C 的极坐标方程化为普通方程分别为221x y +=，y =(0)x ≥，2211()24x y -+=，1y =，从四条曲线中随机选取两条，可能的结果及它们的交点个数为：12(,)C C ,1;13(,)C C ,1;14(,)C C ,1;23(,)C C ,1;24(,)C C ,1; 34(,)C C ,1;所以1111116E ξ+++++==. 13.【测量目标】运算能力/能通过运算，对问题进行推理和探求.【知识内容】方程与代数/数列和数学归纳法/简单的递推数列. 【参考答案】12016【试题分析】因为22224032,120162|2016|24032,2017n n an a n S n a n n an a n ⎧-+⎪=+-=⎨+-⎪⎩≤≤≥，所以212(1)2(1)4032,22017(1)2(1)4032,2018n n a n a n S n a n a n -⎧---+⎪=⎨-+--⎪⎩≤≤≥，所以1n n n a S S -=-= 212,22016,4033+2,2017,212,2018n a n a n n a n --⎧⎪=⎨⎪-+⎩≤≤≤,1140301a S a ==+,因为+1n n a a ≤恒成立，所以122016201720172018,,,a a a a a a ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≤即4030132,403124033+2,4033+240352a a a a a a +-⎧⎪-⎨⎪+⎩≤≤≤解得1,20161,2a a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≤≥-，又0a >，所以102016a <≤，故答案为12016. 14.【测量目标】分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学基本思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.【知识内容】图形与几何/曲线与方程/曲线与方程的概念.【参考答案】【试题分析】函数y =[22-，值域为[0,)+∞，联立两函数的方程,y x a y =+⎧⎪⎨=⎪⎩消去x 得2234210y ay a -+-=，23a y ±=,因为两函数的图像有两个交点，所以222(4)43(21)0,210,4023a a a a ⎧⎪∆=-⨯->⎪-⎨⎪-⎪->⨯⎩≥,解得[22），设1122(,),(,)A x y B x y ，则124=3a y y +,212213a y y -=,22121212121()()()=3a x x y a y a y y a y y a -=--=-++,因为OAB △是锐角三角形，所以1212221121120,0,0,0x x y y OA OB x x x y y y OA BA ⎧+>⎧⋅>⎪⇒⎨⎨-+->⋅>⎪⎩⎩u u u r u u u r u u u r u u u r 即2222320,32332133a a a a ⎧->⎪⎪⎨⎛⎫-±-⎪ +>⎪⎪⎪ ⎭⎝⎩,解得62333a <<,所以a 的取值范围为623(,)33，故答案为623(,)33. 二、填空题15.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.【知识内容】方程与代数/不等式/不等式的性质及其证明.【正确选项】D【试题分析】选项A 中，若a b ＞＞1，则有11a b＜，所以A 不正确；选项B 中，若0a b ＞＞，且||||a b ＜，则22a b ＜，所以B 不正确；同理选项C 也不正确，选项D 中，函数是R 上的增函数，所以有22a b ＞，所以D 正确，故答案为D.16.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/空间图形/空间直线与平面的位置关系;方程与代数/集合与命题/充分条件，必要条件，充分必要条件.【正确选项】C【试题分析】因为m ⊥平面α，若l m ⊥，则l α∥或l α⊂，所以充分性不成立，若l α∥，则有l m ⊥，必要性成立，所以“l m ⊥”是“l α∥”的必要不充分条件，故答案为C.17. 【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理.【知识内容】图形与几何/空间图形/空间直线与平面的位置关系;图形与几何/曲线与方程/曲线与方程的概念.【正确选项】B【试题分析】在正方体1111ABCD A B C D -中，1D D ⊥平面ABCD ,11D D A A ∥,所以112,DPD EPD θθ=∠=∠,因为12θθ=，所以1tan tan DPD EPD ∠=∠，即1D D AE AP DP =,因为E 为1A A 的中点，所以2DP AP=,设正方体边长为2，以DA 方向为x 轴，线段DA 的垂直平分线为y 轴建立如图所示的坐标系，则(1,0),(1,0)D A -,因为2DP AP=，所以2222(1)2(1)x y x y ++=-+，化简得22525()39x y -+=，所以动点P 的轨迹为圆的一部分.第17题图 apnn218.【测量目标】逻辑思维能力/具有对数学问题进行观察、分析、综合、比较、抽象、概括、判断和论述的能力.【知识内容】函数与分析/三角函数/正弦函数和余弦函数的性质.【正确选项】C【试题分析】函数()2sin 2f x x =的图像向右平移ϕ个单位得到函数()2sin 2()g x x ϕ=-的图像，则1212|()()|2sin 22sin 2()f x g x x x ϕ-=--1212=4cos()sin())=4x x x x ϕϕ+--++，所以12sin()=1x x ϕ-++，因为12π||6x x -=，所以12π6x x -=±，当12π6x x -=时，πsin()16ϕ-=，22ππ()3k k ϕ=+∈Z ,又因为0πϕ<<，所以2π=3ϕ，同理，可得12π6x x -=-时，π=3ϕ，所以2π3ϕ=或π3，故答案为C. 三、解答题19.（本题满分12分）【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关数与运算的基本知识.【知识内容】数与运算/复数初步/复平面；函数与分析/三角比/二倍角及半角的正弦、余弦、正切.【参考答案】设复数1z ，2z 能表示同一个点，则cos2cos x x =, ……………………3分解得cos 1x =或1cos 2x =-. ………………………………7分 当cos 1x =时，得2sin 0x =，此时12i z z ==. ……………9分 当1cos 2x =-时，得23sin 4x =，此时1231i 42z z ==-. ……………11分 综上，复平面上该点表示的复数为i 或31i 42-． ……………12分 20.（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分．【测量目标】（1）空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系.（2）空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系.【知识内容】（1）图形与几何/空间向量及其应用/距离和角.（2）图形与几何/简单几何体的研究/锥体.【参考答案】（1）当θ为直角时,即,,AB AD AP 两两互相垂直，以点A 为坐标原点，,,AB AD AP 为坐标轴建立空间直角坐标系, ………………1分则(1,0,0)(1,2,0)(0,2,0)(0,0,1)B C D P ,(1,2,1)PC =-u u u r ,(1,2,0)BD =-u u u r ……3分设异面直线PC 与BD 所成角为α,则cos PC BD PC BDα⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u ur = ………………5分 故异面直线PC 与BD所成角为．…7分MHLD1第19题图（1）（2）Θ沿AD 将平面PAD 折起的过程中，始终有PA AD ⊥，AB AD ⊥，AD PAB ∴⊥面，由 PAB D ABD P V V --=得 ……………………9分 213PAB S DA ∴=⋅⋅△11211sin 32θ=⨯⨯⨯⨯⨯，2sin θ∴= ……………………12分 π4θ∴=或3π4． ……………………………14分 MHLD2第19题图（2）21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分．【测量目标】（1）分析问题与解决问题的能力/能通过建立数学模型，解决有关社会生活、生产实际或其他学科的问题，并能解释其实际意义.（2）分析问题与解决问题的能力/能通过建立数学模型，解决有关社会生活、生产实际或其他学科的问题，并能解释其实际意义.【知识内容】（1）函数与分析/指数函数与对数函数/函数的应用.（2）函数与分析/指数函数与对数函数/函数的应用.【参考答案】（1）当天14点至15点这一小时内进入园区人数为(21)(22)(23)(24)f f f f +++1314151612121212360[3333]30004=⨯++++⨯17460≈（人）…………………3分离开园区的人数(21)(22)(23)(24)=9000g g g g +++（人） ………………6分（2）当()()0f n g n -≥时，园内游客人数递增；当0)()(<-n g n f 时，园内游客人数递减． ………………7分①当1932n ≤≤时，由812()()3603500120000n f n g n n --=⨯-+≥，可得：当1928n ≤≤时，进入园区游客人数多于离开园区游客人数，总人数越来越多；…9分当2932n ≤≤时，进入园区游客人数少于离开游客人数，总人数将变少； ……11分（049.246)28()28(>=-g f ；013.38)29()29(<-=-g f ）②当3345n ≤≤时，由()()72023600f n g n n -=-+递减，且其值恒为负数．进入园区游客人数少于离开游客人数，总人数将变少． ………………13分综上，当天下午16点时（28n =）园区内的游客人数最多，此时计算可知园区大约共有77264人. ………………14分22．（本题满分16分）本题共有3个小题,第(1)(2)小题满分各5分,第(3)小题满分6分．【测量目标】（1）数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.（2）逻辑思维能力/会正确而简明地表述推理过程，能合理地、符合逻辑地解释演绎推理的正确性.（3）分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.【知识内容】（1）图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质.（2）图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质.（3）图形与几何/曲线与方程/曲线与方程的概念.【参考答案】（1）由条件可得b c ==2a =， …………………………3分椭圆Γ的方程为22142x y +=．………………………………………………………5分 （2）设00(,)A x y ，则OB 的方程为000x x y y +=，由2y =得002(,2)y B x -………7分 ∴22222000201111=44y OA OB x y x ++++22002222000044=4()4(2)2x x x x y x ++=++-12=．…10分 （3）设00(,),(,)C x y D x y ，由OC OD ⊥得000x x y y += ①又C 点在椭圆上得：2200142x y += ② 联立①②可得222200222244,22y x x y x y x y ==++ ③ …………………………12分 由OC OD ⊥得=OC OD CD d ⋅⋅，即22222=(+)OC OD OC OD d ⋅⋅ 可得222111d OC OD=+， ………………………………………………………14分 将③代入得：22222220011111d OC OD x y x y =+=+++2222222222221124444()22x y x y x y x y x y x y ++=+=+++++， 化简得D 点轨迹方程为：22221111()()124x y d d -+-=.…………………………16分 23．（本题满分18分）本题共有3个小题,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分5分，第(3)小题满分7分．【测量目标】（1）数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.（2）逻辑思维能力/会正确而简明地表述推理过程，能合理地、符合逻辑地解释演绎推理的正确性.（3）数学探究与创新能力/能运用有关的数学思想方法和科学研究方法，对问题进行探究，寻求数学对象的规律和联系；能正确地表述探究过程和结果，并予以证明.【知识内容】（1）方程与代数/数列与数学归纳法/简单的递推数列.（2）方程与代数/数列与数学归纳法/等差数列.（3）方程与代数/数列与数学归纳法/简单的递推数列；函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质.【参考答案】（1）n a n =， ………………………………………………………………2分Θ1122n n n n n b b a b +=+=+， ∴由累加法得121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-+⋅⋅⋅+- …………………4分1(1)0[12(2)(1)]24n n n n -=+++⋅⋅⋅+-+-=．……………………………………6分 （2）221114(4)n n n n n n c c a b a b +++-=---……………………………………………8分221(1)4()(4)12n n n n n a a b a b =+-+--= ∴{}n c是公差为1的等差数列．……………………………………………………11分(3)由解方程得：x =()0k f x =两根x =为整数，则k c ∆=必为完全平方数，不妨设2()k c m m =∈N ， …………12分此时2k a m x -±==为整数，∴k a 和m 具有相同的奇偶性，………13分 由（2）知{}n c 是公差为1的等差数列，取21n k m =++∴()222121211k m k c c m m m m ++=++=++=+ ………………………………15分此时(21)(1)2k a m m x -++±+== Θk a 和m 具有相同的奇偶性，∴21k a m ++和1m +具有相同的奇偶性， …17分 所以函数21()k m f x ++有两个整数零点.由递推性可知存在无穷多个()n f x 有两个整数零点.………………………18分。

闵行区2014学年第二学期高三年级质量调研考试数 学 试 卷（文科）（满分150分，时间120分钟）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、准考证号、姓名等填写清楚．2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．3．本试卷共有23道试题．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．1．用列举法将方程33log log (2)1x x ++=的解集表示为 ． 2．若复数z 满足(1i)2z ⋅+=（其中i 为虚数单位），则1z += ．3．双曲线221412x y -=的两条渐近线的夹角的弧度数为 .4．若4cos 5α=，且()0,απ∈，则tg 2α= ． 5．二项式5(21)x -的展开式中，2x 项的系数为 .6．已知等比数列{}n a 满足232,1a a ==，则12lim ()n n a a a →+∞+++= ．7.如果实数,x y 满足线性约束条件20,3501,x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+-的最小值等于 ．8．空间一线段AB ，若其主视图、左视图、，则线段AB 的长度为 .9．给出条件：①12x x <，②12x x >，③12x x <，④2212x x <．函数()sin f x x x =+，对任意12,22x x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦、，能使12()()f x f x <成立的条件的序号是 ．10．已知数列{}n a 满足221(1)22()n n n a a a n *+-=-+∈N ，则使20152015a >成立的正整数1a 的一个值为 ．11．斜率为2的直线与焦点在x 轴上的椭圆2221(0)y x b b+=>交于不同的两点P 、Q .若点P 、Q 在x 轴上的投影恰好为椭圆的两焦点，则该椭圆的焦距为 .12．函数2()log 2a f x x ax =+-在区间()0,1内无零点，则实数a 的范围是 .13．已知点P 是半径为1 的O 上的动点，线段AB 是O 的直径.则AB PA AB PB ⋅+⋅ 的取值范围为 ．14．已知函数2131()1log 12x x k x f x x x ⎧-++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，2()1x g x x =+，若对任意的12,x x ∈R ，均有12()()f x g x ≤，则实数k 的取值范围是 ．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，选对得5分，否则一律得0分． 15．如果0a b <<，那么下列不等式成立的是 ( )(A) 2a ab <. (B) 2ab b -<-. (C)11a b <. (D) b a a b>. 16．从4个不同的独唱节目和2个不同的合唱节目中选出4个节目编排一个节目单， 要求最后一个节目必须是合唱，则这个节目单的编排方法共有 ( )(A) 14种. (B) 48种. (C)72种. (D) 120种. 17．函数sin y x =的定义域为[],a b ，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b a -的最大值是( )(A) π. (B) 34π. (C)35π.(D) π2.18．如图，已知直线l ⊥平面α，垂足为O ，在ABC △中，2,2,BC AC AB ===P 是边AC 的中点. 该三角形在空间按以下条件作自由移动：(1)A l ∈，(2)C α∈. 则OP PB +的最大值为 ( )(A) 2. (B) (C) 1+. (D)三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）如图，已知圆锥的底面半径为10r =，点Q 为半圆弧AB 的中点，点P 为母线SA 的中点．若直线PQ与SO 所成的角为4π，求此圆锥的表面积．ABl CαNPO20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分10分．设三角形ABC 的内角A B C 、、所对的边长分别是a b c 、、，且3B π=．若ABC △不是钝角三角形，求：(1) 角C 的范围；(2)2ac的取值范围． 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．某油库的设计容量为30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油m 万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前x 个月的需求量y （万吨）与x 的函数关系为*0,116,)y p x x =>≤≤∈N ，并且前4个月，区域外的需求量为20万吨．（1）试写出第x 个月石油调出后，油库内储油量M （万吨）与x 的函数关系式；（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定m 的取值范围． 22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3) 小题满分6分。

上海市闵行区2008学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷（文科）一. 填空题（本大题满分60分）．1．方程2log (34)1x -=的解=x . 2．计算221lim3(1)n n n n →∞+=- .3．若4()2x f x x -=-，则1(2)f -= .4若直线l 经过点(1,2)P ，且法向量为(3,4)n =- ，则直线l 的方程是5．若⎧⎨⎩6．若f 78． 为 9．101112．()g x =二. 13．“(A) (C) 充要条件. (D) 既非充分也非必要条件. 14．若z ∈C ，且1z =，则2z i-的最大值是 [答]（ ）(A) 2. (B) 3. (C) 4. (D) 5.15．函数x x x f 52)(+=图像上的动点P 到直线x y 2=的距离为1d ，点P 到y 轴的距离为2d ，则=21d d(A) 5. (B)55. (C)5. (D) 不确定的正数.16．（文）椭圆22221x y a b +=上的点P 到它的两个焦点1F 、2F 的距离之比12:PF PF =，且12(0)2PF F παα∠=<<，则α的最大值为 [答]（ ）(A) 6π. (B) 4π. (C) 3π.(D). 三. 解答题（本大题满分74分）17.已知f18.（文）组合而成（1（219.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 课本中介绍了诺贝尔奖，其发放方式为：每年一次，把奖金总金额平均分成6份，奖励在6项（物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平）为人类作出了最有益贡献的人.每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息用于增加基金总额，以便保证奖金数逐年递增.资料显示:1998年诺贝尔奖发奖后基金总额已达19516万美元，假设基金平均年利率为 6.24%r =.（1）请计算：1999年诺贝尔奖发奖后基金总额为多少万美元？当年每项奖金发放多少万美元（结果精确到1万美元）？（2）设()f x表示为第x(*x∈N)年诺贝尔奖发奖后的基金总额(1998年记为(1)f),试求函数()f x的表达式.并据此判断新民网一则新闻“2008年度诺贝尔奖各项奖金高达168万美元”是否与计算结果相符，并说明理由.20.（本题满分17分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分、第3小题满分7分．（文）斜率为1的直线过抛物线24y x=的焦点，且与抛物线交于两点A、B．（1（2（3CD为直径的21.3小题根据（1证明：（2）当n满足1n n+（常数）且n（常数），判断{}na是否为非零常数列，并说明理由.（3）对（1）、（2）等式中的指数进行推广,写出推广后的一个正确结论（不用说明理由）.闵行区2008学年第二学期高三年级质量调研考试 数学试卷参考答案和评分标准 一、填空题：（每题5分）1. 2；2. 理：3450x y -+=、文：23；3. 理：0、文：0；4.理：0、文：3450x y -+=；5.理：；文：40； 6.理：25、文：0； 7. 16； 8.理：13351、文：16π； 9.理：1.9、文：115；10.理：2个零点；当n 17.(理) ()f x = (文) 18.平面11AA D D ，从而∠1AD 1(0,0,1)，平面11AA D ，得y =，故AE =（2）以D 为坐标原点，射线DA 、DC 、DD1依次为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，则点(1,1,0)E ，1(1,0,1)A ，1(0,2,1)C ，从而1(1,0,1)DA = ，1(0,2,1)DC = ，(1,1,0)DE = 设平面11DAC 的法向量为(,,)n x y z = ，由1100n DA n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 020x z y z +=⎧⇒⎨+=⎩令1(1,,1)2n =-- ， 所以点E 到平面11A DC 的距离为n DE d n⋅=1=. (8分)（文）解：（1）画出其主视图（如下图）， 可知其面积S 为三角形与正方形面积之和.在正四棱锥1111P A BC D -中，棱锥的高h =12442S =⋅=.（2则∠=所以∠19.解：19516（2， (3)f =所以， 20072008年度诺贝尔奖各项奖金额为11(10) 6.24%13462f ⨯⨯⨯≈万美元，与168万美元相比少了34万美元，计算结果与新闻不符. (8分)1千万瑞典克朗怎么换成美元成了，137，154，168万美元？ 20.（本题满分17分）（理）解：（1）设1122(,),(,)A x y B x y ，2p =时，直线AB ：1,y x =-代入24y x =中可得：2610x x -+= 则126x x +=，由定义可得：128AB x x p =++=.（2）直线AB ：2p y x =-，代入22(0)y px p =>中，可得：221304x px p -+=则123x x p +=，2124p x x =，设00(,)2p N x x +，则10102020(,),(,)22p p NA x x y x NB x x y x =---=--- 即22120120120120()()()()22p p NA NB x x x x x x y y x y y x ⋅=-+++-++++ 由22121212123,,,2p x x p x x y y p y y p+===-+=222200037242()2NA NB x px p x p p ⋅=--=-- 当0x （3设则O 'O '∵， ∴令a ，即抛物线的通（文）（1）设1122，直线AB ：1,y x =-代入4y x =中 可得：2610x x -+=则126x x +=，由定义可得：128AB x x p =++=.（2）由（1）可设00(,1)N x x +，则10102020(,1),(,1)NA x x y x NB x x y x =---=---即22120120120120()(1)()(1)NA NB x x x x x x y y x y y x ⋅=-+++-++++ 由126x x +=，121x x =，12124,4y y y y =-+= 则220002862(2)14NA NB x x x ⋅=--=-- 当02x =时，NA NB ⋅ 的最小值为14-．（3）设CD 的中点为O '，l 与以CD 为直径的圆相交于点P 、Q ，设PQ 的中点为H ，则O H PQ '⊥，O '点的坐标为11222x y +⎛⎫⎪⎝⎭，．12O P CD '===∵11212222x O H a a x +'=-=--，PH ∴2PQ ∴21.当q =即1a + （2{}n a 不一定要求. （3）根据不同思维层次表现予以不同评分．1 仅推广到3次方或4次方的结论或者是特殊次方的结论 （结论1分，解答1分）2 {}n a 满足1m m n n a a d +'-=（常数）且1m n m na q a +'=（常数），则当m 为奇数时，{}n a 必为非零常数列；当m 为偶数时，{}na 不一定为非零常数列.事实上，记m nn a b =，由（1）证明的结论知：{}n b 为非零常数列，即{}m n a 为非零常数列.所以当m 为奇数时，{}n a 为非零常数列；当m 为偶数时，{}na 不一定为非零常数列.（结论2分，解答2分）或者：设1(1)m m n a a n d =+-，即m n a A Bn =+，则1(1)mmn m n a A n B q a A nB +++⎛⎫'== ⎪+⎝⎭,即1m B A Bn ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭对一切n *∈N 均为常数，则必有0B =，即有m n a A =，当m为奇数时，n a =，当m为偶数时，0)n a A =>或者(0)n a A <.3 {n a l当m .l mq ⎫'=，即1⎛+ ⎝例：a 4 {n a 否则{5 {}n a 满足1m m n n a a d +'-=（常数）且1n l n q a +'=（常数），且m l 、为实数，'0q >,{}na 是不等于1的正数数列，则{}na 必为非零且不等于1的常数列；否则{}na 不一定为常数列.事实上，当'0q >，m l 、为实数时，条件1l n l n a q a +'=同样可以转化为1()m m n lm n a q a +'=,记m nn a b =，由第（1）题的结论知：{}nb 必为不等于1的正常数数列，也即{}mna 为不等于1的正常数数列，na={}na 也是不等于1的正常数数列. （结论5分，解答3分）（文）解：（1）（法一）11n n n n a a d a q a ++-=⎧⎪⎨=⎪⎩(1)n n n qa a d q a d⇒-=⇒-= （2分）当1q =时，0n a ≠ ，所以0d =；当1q ≠时，1n da q ⇒=-是一常数，矛盾，所以{}n a 为非零常数列； （5分）11(11)n a a n dq+++-==即1a +所以⎧⎨⎩（2显然，0的正常数）（312 {n a m 为偶数时，m 为奇数时，{}n a 零常数列.（结论或者：设1(1)m m n a a n d =+-，即m n a A Bn =+，则1(1)mmn m n a A n B q a A nB +++⎛⎫'== ⎪+⎝⎭,即1m B A Bn ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭对一切n *∈N 均为常数，则必有0B =，即有m n a A =，当m 为奇数时，n a =，当m 为偶数时，0)n a A =>或者(0)n a A <.3 {}n a 满足1m m n n a a d +'-=（常数）且1l n l n a q a +'=（常数），且m l 、为整数，当m l 、均为奇数时，{}na 必为非零常数列；否则{}na 不一定为常数列.事实上，条件1l n l n a q a +'=（正常数）可以转化为1()m mn l m n a q a +'=（常数），整个问题转化为2 ，结论显然成立.（结论5分）或者：设1(1)m m n a a n d =+-,即m n a A Bn =+，当m 为奇数时，有n a =则1(1)l l mn l na A n B q a A nB +++⎛⎫'== ⎪+⎝⎭，即1l⎛+ ⎝为偶数时，如反例：a 4 {n a 否则{5 {n a {}na .1）题的{}na 也是。

2008年上海市闵行区高考数学二模试卷（理科）一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. 已知集合A ={x|x ≤1}，B ={x|x ≥a}，且A ∪B =R ，则实数a 的取值范围是________．2. 若虚数1+2i 是实系数方程x 2+bx +c =0的一个根，则b 2−4c 的值为________．3. 函数y =2x +1(x ∈R)的反函数为f −1(x)，则f −1(54)=________．4. lim n →∞3n 2−n 1+2+⋯+n=________． 5. 已知函数y =f(x)的定义域为(0, +∞)，f(8)=3，且对任意的正数x 1、x 2，必有f(x 1⋅x 2)=f(x 1)+f(x 2)成立，写出满足条件的一个函数为________．6. 等比数列{a n }非常数列，其前n 项和是S n ，当S 3=3a 3时，则公比q 的值为________．7. 某电视台连续播放5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，则最后播放的是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不连续播放的概率是________．8. 已知正三棱锥P −ABC 的底面边长为2√3，体积为3√5，则底面△ABC 的中心O 到侧面PAB 的距离是________．9. 点P 为曲线ρ=10sinθ上任一点，点Q 为曲线ρsinθ=10上任一点，则P 、Q 两点间距离最小值为________．10. 已知A 、B 依次是双曲线E ：x 2−y 23=1的左、右焦点，C 是双曲线E 右支上的一点，则在△ABC 中，sinA−sinB sinC =________．11. 已知函数f(x)=x 2+(b −√4−a 2)x +2a −b 是偶函数，则函数图象与y 轴交点的纵坐标的最大值是________．12. 已知{a n }是等差数列，记b n =a n a n+1a n+2（n 为正整数），设S n 为{b n }的前n 项和，且3a 5=8a 12>0，则当S n 取最大值时，n =________．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分.13. 一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中（ ）A 真命题的个数一定是奇数B 真命题的个数一定是偶数C 真命题的个数可以是奇数也可以是偶数D 真假命题的个数无法确定14. 若点P 是棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中异于A 的一个顶点，则AP →⋅AB →的所有可能值的个数是（ ）A 1B 2C 3D 415. 已知曲线{x =4cosθy =2√3sinθ，θ∈[0,2π)上一点P 到点A(−2, 0)、B(2, 0)的距离之差为2，则△PAB 是（ ）A 锐角三角形B 钝角三角形C 直角三角形D 等腰三角形16. 若函数f(x)和g(x)的定义域、值域都是R ，则f(x)>g(x)成立的充要条件是（ ）A 存在一个x(x ∈R)，使得f(x)>g(x)B 有无穷多个x(x ∈R)，使得f(x)>g(x)C 对于任意的x(x ∈R)，都有f(x)>g(x)D x ∉{x|f(x)≤g(x)}三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17. 解关于x 的方程：log 2(x +14)−log 12(x +2)=3+log 2(x +6)． 18. 如图，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =BC ，E 是 侧棱CC 1上的任意一点，在线段A 1C 1上是否存在一个定点P ，使得D 1P 都垂直于AE ，证明你的结论．19. 已知点A(λcosα, λsinα)(λ≠0)，B(12，−√32)，O 为坐标原点， （1）若α=π6时，不等式|AB →|≥2|OB →|有解，求实数λ的取值范围；（2）若|AB →|≥2|OB →|对任意实数α恒成立，求实数λ的取值范围． 20. 某上市股票在30天内每股的交易价格P （元）与时间t （天）组成有序数对(t, P)，点(t, P)落在下图中的两条线段上，该股票在30天内（包括30天）的日交易量Q （万股）与时间t （天）的部分数据如下表所示．第t 天4 10 16 22 (1)根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格P （元）与时间t （天）所满足的函数关系式；(2)根据表中数据确定日交易量Q （万股）与时间t （天）的一次函数关系式；(3)在(2)的结论下，用y （万元）表示该股票日交易额，写出y 关于t 的函数关系式，并求出这30天中第几日交易额最大，最大值为多少？21. 若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足Sn S 2n 为常数，则称该数列为S 数列． （1）判断a n =4n −2是否为S 数列？并说明理由；（2）若首项为a 1的等差数列{a n }（a n 不为常数）为S 数列，试求出其通项；（3）若首项为a 1的各项为正数的等差数列{a n }为S 数列，设n +ℎ=2008（n 、ℎ为正整数），求1S n +1S ℎ的最小值． 22. 已知椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，长轴两端点为A 、B ，短轴上端点为C ．（1）若椭圆焦点坐标为F 1(2√2,0)、F 2(−2√2,0)，点M 在椭圆上运动，当△ABM 的最大面积为3时，求其椭圆方程；（2）对于（1）中的椭圆方程，作以C 为直角顶点的内接于椭圆的等腰直角三角形CDE ，设直线CE 的斜率为k(k <0)，试求k 满足的关系等式；（3）过C 任作CP →垂直于CQ →，点P 、Q 在椭圆上，试问在y 轴上是否存在一点T 使得直线TP 的斜率与TQ 的斜率之积为定值，如果存在，找出点T 的坐标和定值，如果不存在，说明理由．2008年上海市闵行区高考数学二模试卷（理科）答案1. a ≤12. −163. −24. 65. y =log 2x6. −127. 310 8. √1549. 010. −12 11. 412. 1613. B14. B15. C16. D17. 解：∵ log 2(x +14)−log 12(x +2)=3+log 2(x +6)， ∴ log 2[(x +14)(x +2)=log 2[8(x +6)]，∴ (x +14)(x +2)=8(x +6)，解得x =2，或x =−10，检验，得x =2．18. （本题满分12分）解：假设在线段A 1C 1上存在一个定点P ，使得D 1P 都 垂直于AE ，如图，分别以DA →，DC →，DD 1→方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系．依题意可设AB =a ，AA 1=b ，EC =t ，D 1(0, 0, b)，P(x, a −x, b)，A(a, 0, 0)，E(0, a, t)则有D 1P →=(x,a −x,0)，AE →=(−a,a,t)由D 1P →⋅AE →=x ×(−a)+(a −x)×a +0×t =0求得x =a 2即P(a 2，a 2，b)为A 1C 1中点∴ 假设成立，即线段A 1C 1中点P ，使得D 1P 都垂直于AE ．19. 解：(1)|AB →|≥2|OB →|有解，即(λcosα−12)2+(λsinα+√32)2≥4 等价于：λ2+1+2λsin(α−π6)≥4，代入α=π6得：λ2≥3即 λ∈(−∞,−√3]∪[√3,+∞)（2）|AB →|≥2|OB →|对任意的实数α恒成立，即(λcosα−12)2+(λsinα+√32)2≥4对任意的实数α恒成立，即λ2+1+2λsin(α−π6)≥4对任意的实数α恒成立所以{λ>0λ2−2λ+1≥4或{λ<0λ2+2λ+1≥4解得：λ≥3或λ≤−3．故所求实数λ的取值范围是(−∞, −3]∪[3, +∞)．20. 解：（1）P ={15t +2，0<t ≤20，t ∈N ∗.−110t +8，20<t ≤30，t ∈N ∗.(2)设Q =at +b （a ，b 为常数），将(4, 36)与(10, 30)的坐标代入，得{4a +b =3610a +b =30.解得a =−1，b =40． 日交易量Q （万股）与时间t （天）的一次函数关系式为Q =40−t ，0<t ≤30，t ∈N ∗．(3)由(1)(2)可得y ={(15t +2)×(40−t)，0<t ≤20.(−110t +8)×(40−t)，20<t ≤30.即y ={−15t 2+6t +80，0<t ≤20，t ∈N ∗.110t 2−12t +320，20<t ≤30，t ∈N ∗. 当0<t ≤20时，当t =15时，y max =125； 当20<t ≤30时，y =110t 2−12t +320在(20,30]上是减函数，y <y(20)<y(15)=125．所以，第15日交易额最大，最大值为125万元．21. 解：（1）由a n =4n −2，得S n S 2n =14，所以它为S 数列； （2）假设存在等差数列{a n }，公差为d ，则S nS 2n =a 1n+12n(n−1)d 2a 1n+12⋅2n(2n−1)d =k （常数）∴ 2a 1n +n 2d −nd =4a 1kn +4n 2dk −2nkd 化简得d(4k −1)n +(2k −1)(2a 1−d)=0①由于①对任意正整数n 均成立，则{d(4k −1)=0(2k −1)(2a 1−d)=0解得：{d =2a 1≠0k =14. 故存在符合条件的等差数列，其通项公式为：a n =(2n −1)a 1，其中a 1≠0（3）∵ S n S ℎ=14(a 1+a n )⋅(a 1+a ℎ)⋅nℎ=(nℎ)2a 12≤(n+ℎ2)4a 12=10044a 12∴ 1S n +1S ℎ≥√S S ≥210042a 1=1504008a 1． 其最小值为1504008a 1，当且仅当n =ℎ=1004取等号22. 解：（1）由已知：c =2√2，12(2a)b =3，联立方程组求得：a =3，b =1，所求方程为：x 29+y 2=1（2）依题意设CE 所在的直线方程为y =kx +1(k <0)，代入椭圆方程并整理得：(1+9k 2)x 2+18kx =0，则|CE|=√1+k 2⋅18|k|1+9k 2，同理|CD|=√1+k 2⋅189+k 2由|CE|=|CD|得k 3+9k 2+9k +1=0，即(k +1)(k 2+8k +1)=0（3）由题意得：T(0, −b)，又知C(0,b),CP →⊥CQ →，设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)CP →⋅CQ →=(x 1,y 1−b)⋅(x 2,y 2−b)=x 1x 2+(y 1−b)(y 2−b)=0x 1x 2=−(y 1−b)(y 2−b)又由x 2a 2+y 2b 2=1得x 12=a 2(1−y 12b 2)，同理x 22=a 2(1−y 22b 2)， 所以x 12x 22=a 4(1−y 12b 2)(1−y 22b 2)=a 4b 4(b −y 1)(b +y 1)(b −y 2)(b +y 2)．从而得a 4b4(y1+b)(y2+b)=(y1−b)(y2−b)所以(y1+b)(y2+b)(y1−b)(y2−b)=b4a4而k TP k TQ=y1−tx1⋅y2−tx2=−(y1−t)(y2−t)(y1−b)(y2−b)=−b4a4（为定值）．对比上式可知：选取T(0, −b)，则得直线TP的斜率与TQ的斜率之积为−b 4a4。