第一章 集合与函数概念知识点总结与练习题

高中数学必修一集合与函数概念知识点总结1．元素与集合(1)元素与集合的定义：一般地，把统称为元素，把一些元素组成的叫做集合(简称为集)．(2)集合中元素的性质：①确定性：即给定的集合，它的元素是．②互异性：即给定集合的元素是．③无序性．(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是，就称这两个集合是相等的．(4)元素与集合的关系：a是集合A的元素，记作，a不是集合A的元素，记作2．集合的表示方法除了用自然语言表示集合外，还可以用和表示集合．(1)列举法：把集合中的元素，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法．(2)描述法：用集合所含元素的表示集合的方法．3．常用数集及其记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法4．子集的概念文字语言符号语言图形语言集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就说这两个集合有包含关系，则称集合A是集合B的子集5.集合相等与真子集的概念定义符号表示图形表示集合相等如果A⊆B，且B⊆A，就说集合A与B相等真子集如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，则称集合A是B的真子集6.空集(1)定义：的集合叫做空集．(2)用符号表示为：(3)规定：空集是任何集合的. 是任何非空集合的7．子集的有关性质(1)任何一个集合是它本身的，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么8．集合的并集与交集的定义并集交集自然语言由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合符号语言图形语言9.并集与交集的运算性质并集的运算性质交集的运算性质A∪B B∪A A∩B B∩AA∪A＝A∩A＝A∪∅＝A∩∅＝A⊆B⇔A∪B＝A⊆B⇔A∩B＝A∪B⊇A，A∪B B A∩B⊆B，A∩B A10．全集(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的，那么称这个集合为全集．(2)符号表示：通常记作第1 页共4 页。

第一章集合及函数概念一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。

2、集合的中元素的三个特性：1.元素的确定性；2.元素的互异性；3.元素的无序性说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。

(3)集合中的元素是同等的，没有先后依次，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列依次是否一样。

(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。

3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}2．集合的表示方法：列举法及描述法和自然语言法。

留意啊：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作 a∈A ，相反，a不属于集合A 记作aÏA列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。

描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。

用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{xÎR| x-3>2}或{x| x-3>2}4、集合的分类：1．有限集含有有限个元素的集合2．无限集含有无限个元素的集合3．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集留意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A及B是同一集合。

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A2．“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同”结论：对于两个集合A及B，假如集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B①任何一个集合是它本身的子集。

第一章《集合与函数概念》主要知识点归纳一、集合对于以下几个问题，你弄清楚了吗？1、集合中的元素有什么特征？（确定性、互异性、无序性）2、符号“∈”与“⊆”有什么区别？分别怎么用？4、集合的表示方法主要有哪几类？你能用描述法正确表示集合了吗？5、集合之间的关系主要有几种？他们分别怎么表示？各个关系怎么理解？6、下面几个集合中的重要性质，你知道了吗？（1）.,,B A B A A B A B A A ⋃⊆⋂⊆⋂⋃⊆.（2）B B A B A =⋃⇔⊆;A B A B A =⋂⇔⊆.7、空集特殊性你知道了吗？（空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.）8、如何用图像法（韦恩图、数轴法）正确表示集合之间的包含关系？9、一个有限集有多少个子集？有多少个真子集？10、对于集合,,A B A B C A 的含义，你能正确理解吗？(交集：{}|,A B x x A x B ⋂=∈∈且；并集：{}|,A B x x A x B ⋃=∈∈或；补集：若{},|,U B U C B x x U x B ⊆=∈∉则且；)11、对有关含参数问题，你能正确运用分类讨论解题了吗？你能正确进行分类吗？书写格式清楚吗？（二）主要方法：1．解决集合问题，首先要弄清楚集合中的元素是什么；2．弄清集合中元素的本质属性，能化简的要化简；3．抓住集合中元素的3个性质，对互异性要注意检验；4．正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化．5．求交集、并集、补集，要充分发挥数轴或文氏图的作用，正确运用数形结合解题。

6．含参数的问题，要有讨论的意识，集合子集分类讨论时要防止在空集上出问题；7．集合的化简是实施运算的前提，等价转化常是顺利解题的关键．8．在集合运算过程中应力求做到“三化”：（1） 意义化：即首先分清集合的类型，是表示数集、点集，还是某类图形？是表示函数的定义域、值域，还是表示方程或不等式的解集？（2） 具体化：具体求出相关集合中函数的定义域、值域或方程、不等式的解集等；不能具体求出的，也应力求将相关集合转化为最简形式．（3）直观化：借助数轴、直角坐标平面、韦恩图等将有关集合直观地表示出来，从而借助数形结合思想解决问题．二、函数的概念对于以下几个问题，你弄清楚了吗？1、如何从集合与对应的角度来定义函数的概念？函数的三要素分别是什么？如何判断两个函数相同？2、求函数的定义域是指什么？3、求函数的值域是指什么？主要有哪些常用的求法？（观察法、分离常数法、配方法（二次型函数）、反表示法、换元法、图像法、单调性法）4、什么叫做映射？映射与函数有什么关系？你会判断一个对应具有映射关系？5、你会求两个集合之间可以建立多少个映射吗？（如课本第10页 习题A 组第10题）6、函数表示法具体有哪些？7、什么叫分段函数？它的表达式有什么特征？如何求它的定义域和值域？如何求它的单调区间？如何判断它的奇偶性？（图像法）8、哪些集合可以用区间表示？（一些连续自然数的集合）9、增（减）函数的图像有什么特征？他们的定义如何？如何利用单调性的可逆性解题？10、什么叫函数的单调区间？常用方法有哪些？11、函数单调性的等价含义设[]b a x x ,,21∈， ()()()x f x x x f x f ⇔>--02121在是增函数； ()()()x f x x x f x f ⇔<--02121在是减函数。

第一章集合与函数概念一、集合有关概念1.集合的含义1.集合的中元素的三个特性：(1)元素的确定性如：世界上最高的山(2)元素的互异性如：由 HAPPY的字母组成的集合 {H,A,P,Y}(3)元素的无序性 : 如： {a,b,c} 和 {a,c,b} 是表示同一个集合3.集合的表示： { , } 如： { 我校的篮球队员 } ，{ 太平洋 , 大西洋 , 印度洋 , 北冰洋 }(1)用拉丁字母表示集合： A={我校的篮球队员 },B={1,2,3,4,5}(2)集合的表示方法：列举法与描述法。

注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作： N正整数集N* 或 N+整数集Z有理数集Q实数集R1）列举法： {a,b,c ,,}2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。

{x R| x-3>2} ,{x| x-3>2}3）语言描述法：例： { 不是直角三角形的三角形}4） Venn 图 :4、集合的分类：(1)有限集含有有限个元素的集合(2)无限集含有无限个元素的集合(3)空集不含任何元素的集合例： {x|x2=－ 5｝二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意： A B 有两种可能（1） A 是 B 的一部分，；（ 2） A 与 B 是同一集合。

反之 : 集合 A 不包含于集合B,或集合 B不包含集合 A, 记作 A B 或 B A2．“相等”关系： A=B (5≥ 5，且 5≤ 5，则 5=5)实例：设A={x|x2-1=0} B={-1,1}“元素相同则两集合相等”即：①任何一个集合是它本身的子集。

A A②真子集 : 如果 A B, 且 A B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集，记作 A B(或 B A)③如果 A B, B C,那么 A C④如果AB同时B A那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定 : 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

集合与函数基本概念例题和知识点总结在数学的学习中，集合与函数是非常重要的基础概念。

理解和掌握它们对于后续的数学学习至关重要。

下面我们将通过一些例题来深入理解集合与函数的基本概念，并对相关知识点进行总结。

一、集合的基本概念集合是由一些确定的、不同的对象所组成的整体。

这些对象称为集合的元素。

例如，｛1, 2, 3}就是一个集合，其中 1、2、3 是这个集合的元素。

集合的表示方法有列举法、描述法和图示法。

列举法就是将集合中的元素一一列举出来，如{1, 2, 3}。

描述法是用元素所满足的条件来描述集合，比如{x ｜ x 是小于 5 的正整数}。

图示法常用的有韦恩图，它能直观地表示集合之间的关系。

集合之间的关系有子集、真子集、相等。

如果集合 A 的所有元素都属于集合 B，那么 A 是 B 的子集，记作A ⊆ B。

如果 A 是 B 的子集，且 B 中至少有一个元素不属于 A，那么 A 是B 的真子集，记作 A ⊂ B。

如果 A 和 B 的元素完全相同，那么 A 和 B 相等，记作 A ＝ B。

下面我们通过一个例题来加深对集合概念的理解。

例 1：已知集合 A ＝｛1, 2, 3}，B ＝｛x ｜ x² 5x ＋ 6 ＝ 0}，判断A 和B 的关系。

首先，求解集合 B 中的方程 x² 5x ＋ 6 ＝ 0，即（x 2)（x 3) ＝ 0，解得 x ＝ 2 或 x ＝ 3。

所以集合 B ＝｛2, 3}。

因为集合 A 中的元素 1 不属于集合 B，而集合 B 的元素都属于集合A，所以 B 是 A 的真子集，即 B ⊂ A。

二、函数的基本概念函数是一种特殊的对应关系。

设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x) 和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合B 的一个函数。

函数的三要素是定义域、值域和对应法则。

集合与函数基本概念例题和知识点总结一、集合的基本概念集合是数学中一个基础的概念，它是由一些确定的、不同的对象所组成的整体。

集合通常用大写字母表示，比如 A、B、C 等。

集合中的元素用小写字母表示，如果元素 a 属于集合 A，记作 a ∈ A；如果元素 b 不属于集合 A，记作 b ∉ A。

集合有三种常见的表示方法：列举法、描述法和图示法。

列举法就是将集合中的元素一一列举出来，比如集合 A ＝｛1, 2, 3, 4, 5}。

描述法是通过描述元素的特征来表示集合，比如集合 B ＝｛x ｜ x 是大于 0 小于 10 的整数}。

图示法包括维恩图，能直观地表示集合之间的关系。

集合之间的关系有子集、真子集和相等。

如果集合 A 中的所有元素都属于集合 B，那么集合 A 是集合 B 的子集，记作 A ⊆ B；如果集合A 是集合 B 的子集，且集合 B 中存在元素不属于集合 A，那么集合 A 是集合 B 的真子集，记作 A ⊂ B；如果集合 A 和集合 B 中的元素完全相同，那么集合 A 和集合 B 相等，记作 A ＝ B。

例题 1已知集合 A ＝｛1, 2, 3}，集合 B ＝｛1, 2, 3, 4, 5}，判断集合 A 与集合 B 的关系。

解：因为集合 A 中的元素 1、2、3 都属于集合 B，而集合 B 中还有元素 4、5 不属于集合 A，所以集合 A 是集合 B 的真子集，即 A ⊂ B。

二、函数的基本概念函数是数学中的一个重要概念，表示两个变量之间的一种对应关系。

设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x) 和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。

记作 y ＝f(x)，x ∈ A。

其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x) ｜ x ∈ A}叫做函数的值域。

高中数学知识点总结全2024一、集合与函数概念1. 集合的基本概念集合的定义：集合是某些确定的、互不相同的对象的全体。

集合的表示方法：列举法、描述法、图示法。

集合间的关系：子集、真子集、相等。

集合的运算：并集、交集、补集。

2. 函数的概念函数的定义：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。

函数的三要素：定义域、对应关系、值域。

函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、最值。

3. 函数的表示方法解析法：用数学式子表示函数关系。

表格法：用表格形式表示函数关系。

图象法：用图象表示函数关系。

二、基本初等函数1. 一次函数定义：形如y=kx+b（k≠0）的函数。

性质：图象是一条直线，k为斜率，b为截距。

2. 二次函数定义：形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数。

性质：图象是一条抛物线，a决定开口方向和大小，顶点坐标为(b/2a, cb²/4a)。

3. 指数函数定义：形如y=a^x（a>0且a≠1）的函数。

性质：图象过点(0,1)，a>1时单调递增，0<a<1时单调递减。

4. 对数函数定义：形如y=log_a(x)（a>0且a≠1）的函数。

性质：图象过点(1,0)，a>1时单调递增，0<a<1时单调递减。

5. 三角函数正弦函数：y=sin(x)，周期为2π，图象为波形曲线。

余弦函数：y=cos(x)，周期为2π，图象为波形曲线。

正切函数：y=tan(x)，周期为π，图象为渐近线间的曲线。

三、立体几何1. 空间几何体的结构多面体：由若干个多边形围成的几何体，如棱柱、棱锥。

旋转体：由平面图形绕某条直线旋转形成的几何体，如圆柱、圆锥、球。

2. 空间几何体的三视图主视图：从正面看到的图形。

俯视图：从上面看到的图形。

左视图：从左面看到的图形。

集合与函数基本概念例题和知识点总结在数学的学习中，集合与函数是非常基础且重要的概念。

理解并掌握它们对于后续的数学学习至关重要。

下面我们将通过一些例题来深入理解集合与函数的基本概念，并对相关知识点进行总结。

一、集合的基本概念集合是把一些确定的、不同的对象看作一个整体，这个整体就叫做集合。

组成集合的对象叫做集合的元素。

例如，“所有小于 10 的正整数”就可以构成一个集合，这个集合中的元素有 1、2、3、4、5、6、7、8、9 。

集合的表示方法通常有列举法、描述法和图示法。

列举法就是把集合中的元素一一列举出来。

比如上述集合就可以表示为{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}。

描述法是用集合中元素所具有的共同特征来表示集合。

比如上述集合可以表示为{x ｜ x 是小于 10 的正整数}。

图示法常见的有韦恩图，能够直观地展示集合之间的关系。

集合之间的关系有子集、真子集和相等。

如果集合 A 中的所有元素都在集合 B 中，那么集合 A 就是集合 B 的子集，记作 A ⊆ B 。

如果集合 A 是集合 B 的子集，且集合 B 中至少有一个元素不属于集合 A ，那么集合 A 就是集合 B 的真子集，记作 A ⊂ B 。

如果集合 A 和集合 B 中的元素完全相同，那么集合 A 和集合 B 相等，记作 A ＝ B 。

例题 1：已知集合 A ＝｛1, 2, 3}，集合 B ＝｛1, 2, 3, 4}，判断集合 A 和集合 B 的关系。

解：因为集合 A 中的所有元素 1、2、3 都在集合 B 中，所以集合A 是集合B 的子集，即 A ⊆ B 。

又因为集合 B 中元素 4 不在集合 A 中，所以集合 A 是集合 B 的真子集，即 A ⊂ B 。

二、函数的基本概念函数是一种特殊的对应关系。

设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x) 和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合B 的一个函数。

第一章 集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集 B{x A A = ∅=∅ B A ⊆ B B ⊆ B{x A A = A ∅= B A ⊇ B B ⊇()A C B UA A U U U ==∅=【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法（2）一元二次不等式的解法0)例题讲解1.已知全集U R =，则正确表示集合{1,0,1}M =-和{}2|0N x x x =+=关系的韦恩（Venn ）图是 ( )答案 B解析 由{}2|0N x x x =+=，得{1,0}N =-，则N M ⊂,选B.2.设U =R ，{|0}A x x =>，{|1}B x x =>，则U AB =ð( )A ．{|01}x x ≤<B ．{|01}x x <≤C ．{|0}x x <D ．{|1}x x > 答案 B解析 对于{}1U C B x x =≤，因此U A B =ð{|01}x x <≤3.（北京文）设集合21{|2},{1}2A x xB x x =-<<=≤，则A B = （ ） A ．{12}x x -≤< B ．1{|1}2x x -<≤ C ．{|2}x x < D ．{|12}x x ≤<答案 A解析 本题主要考查集合的基本运算以及简单的不等式的解法. 属于基础知识、基本运 算的考查∵1{|2},2A x x =-<<{}2{1}|11B x x x x =≤=-≤≤， ∴{12}AB x x =-≤<，故选A.4.(山东卷理)集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16AB =,则a 的值为 ( )A.0B.1C.2D.4 答案 D解析 ∵{}0,2,A a =,{}21,B a =,{}0,1,2,4,16A B =∴2164a a ⎧=⎨=⎩∴4a =,故选D.【命题立意】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容易题. 5.（全国卷Ⅱ文）已知全集U ={1，2，3，4，5，6，7，8}，M ={1，3，5，7}，N ={5，6，7}，则C u ( M N )=( ) A.{5，7} B.{2，4} C. {2.4.8} D. {1，3，5，6，7} 答案 C6.已知全集U R =，集合{212}M x x =-≤-≤和{21,1,2,}N x x k k ==-=的关系的韦恩（Venn ）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有 ( )A. 3个B. 2个C. 1个D. 无穷多个 答案 B解析 由{212}M x x =-≤-≤得31≤≤-x ，则{}3,1=⋂N M ，有2个，选B. 7．设,a b R ∈，集合{1,,}{0,,}ba b a b a+=，则b a -= （ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-答案 C8．已知集合M ＝｛x |x ＜3｝，N ＝｛x |log 2x ＞1｝，则M ∩N ＝（ ）A ．∅B ．｛x |0＜x ＜3｝C ．｛x |1＜x ＜3｝D ．｛x |2＜x ＜3｝答案 D解析 {}{}2log 12N x x x x =>=>,用数轴表示可得答案D 。