宁夏银川一中高三数学第四次模拟考试试题 理

银川一中2021届高三年级第四次月考理 科 数 学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}23404135A x x x B =--<=-，，，，，则A B ⋂= A ．{}-41，B ．{}15，C ．{}35，D ．{}13，2．设312iz i-=+，则z = A ．2B 3C 2D ．13．若平面上单位向量,a b 满足3+=2a b b ⋅（），则向量,a b 的夹角为 A ．6π B ．3π C ．2πD ．π4．已知直线l 是平面α和平面β的交线，异面直线a ，b 分别在平面α和平面β内． 命题p ：直线a ，b 中至多有一条与直线l 相交； 命题q ：直线a ，b 中至少有一条与直线l 相交； 命题s ：直线a ，b 都不与直线l 相交． 则下列命题中是真命题的为 A ．p q ∨⌝B ．p s ⌝∧C ．q s ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝5．如图，矩形ABCD 的四个顶点的坐标分别为),1,0(),1,(),1,(),1,0(D C B A ππ--正弦曲线()sin f x x =和余弦曲线()cos g x x =在矩形ABCD内交于点F ，向矩形ABCD 区域内随机投掷一点，则该点 落在阴影区域内的概率是 A 12+ B 12+ C ．1πD ．12π6．函数()2sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><，的部分图象如图所示，则4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为 A ．26-B ．3 C ．22 D ．2-27．设2222tan121cos 48cos 12-sin 121-tan 122a b c -===，，，则有 A ．c b a <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．b a c <<8．已知函数()2121x x f x -+＝，若不等式()()22120f a a m f a --+-<对任意的[]-14a ∈，均成立，则m 的取值不可能是 A ．9B ．8C ．7D ．69．已知函数()3sin ()f x x x x R +∈＝，函数()g x 满足()()20()g x g x x R +-=∈，若函数()()()1-h x f x g x -＝恰有2021个零点，则所有这些零点之和为 A ．2018B ．2019C ．2020D ．202110．公元四世纪的古希腊数学家佩波斯提出：蜂巢的优美形状，是自然界最有效劳动的代表．他猜想人们所见到的截面呈六边形的蜂巢，是蜜蛑采用最少量的蝉蜡建造而成的．如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的顶点称为“晶格点”， 重复的算作一个“晶格点”，已知第一行有1个六边形，第二行有 2个六边形，每行比上一行多一个六边形六边形均相同，设图 中前n 行晶格点数n b 满足+1-=25,n n b b n n N *+∈，则10=bA ．101B ．123C ．141D ．15011．已知函数()32(4)4,0,0x x a x a x f x a x ⎧+-+->⎪⎨≤⎪⎩＝是单调递增函数，则实数a 的取值范围是A ．(12)，B ．(]13，C ．[]23，D ．[)3+∞，12．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且2EF =，则下列结论中错误．．的个数是 (1)AC BE ⊥．(2)若P 为1AA 上的一点，则P 到平面BEF 的距离为22． (3)三棱锥-A BEF 的体积为定值．(4)在空间与1DD ，AC ，11B C 都相交的直线有无数条．(5)过1CC 的中点与直线1AC 所成角为40并且与平面BEF 所成角为50的直线有2条． A ．0B ．1C ． 2D ．3二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若1=1a ，且1233,2,S S S 成等差数列，则4=a ___． 14．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3(cos sin )3b a C C =+，3a =，1c =，则角C ______．15．已知矩形ABCD 中，2,B 3,AB C E ==是CD 边的中点．现以AE 为折痕将ADE ∆ 折起，当三棱锥D ABE -的体积最大时，该三棱锥外接球的表面积为______． 16．函数()f x 满足()()11f x f x +=-，当1x >时，()=ln xf x x， 若()()2-240fx mf x m +=有8个不同的实数解，则实数m 的取值范围是______．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题1.解析：由图可得，在复平面内，()2,1A -，()1,1B -，则12i z =-+，21i z =- ，所以()()122i 1i 13i z z =-+-=-+，所以12z z =选D.2.解析：由210x ->得11x -<<，所以{}11A x x =-<<，函数12x y -=的值域{}0B y y =>，所以)(0,1A B =I ，选A.3.解析：由题意，某小区小型超市今年一月份到五月份的营业额和支出数据的折线图，可得：1月份的利润为3 2.50.5-=万元；2月份的利润为3.5 2.80.7-=万元； 3月份的利润为3.830.8-=万元；4月份的利润为4 3.50.5-=万元；5月份的利润为541-=万元，所以该超市这五个月的利润一直在增长是不正确的，选C ．4.解析：1n =时，113a S λ==+2n ≥时，111(3)(3)23n n n n n n a S S λλ---=-=+-+=⋅因为{}n a 是等比数列，1a 适合n a ，所以0323λ+=⨯，1λ=-，选B .5.解析：因为()f x 为奇函数，所以()010f a =+=，所以1a =-，故()e e x x f x -=-，故()e e x x f x -'=+，由导数的几何意义知()f x 在点()0,0处的切线斜率()02k f '==，则()f x 在点()0,0处的切线方程为2y x =，故选.C6.解析：1111222223BE BA BD BA BC ⎛⎫=+=+⨯ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 1115()2336BA AC AB AC AB =+-=-u uu r u u u r u u u r u u u r u u u r ，选D.7.解析：由俯视图可知侧视图是宽为2，高为2的矩形，所以侧视图面积为4+选B ．8.解析： 因为1OF =，由抛物线的定义可得14M MF x =+=，所以点M 的坐标为()323±，，所以△MOF 的面积为11123322MOF y ⋅=⨯⨯=，选A ．9.解析：由已知得：()0f x =时有两个实数根，只有()f x a =-有三个实数根，由图可知：a 的取值范围是104⎛⎫- ⎪⎝⎭，，选B.10.解析：如图设2BC =，以B 为圆心的扇形面积是22263ππ⨯=，ABC ∆的面积是132232⨯⨯⨯=，所以勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形面积，即23232233ππ⨯-=-，所以在勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形的概率是332232(3)ππ=--，选B ．11.解析：由题意可得，如图，平面AEF 截该正方体所得的截面为平面1AD EF ，2EF =，122AD =，等腰梯形1AD EF 的高为2，所以132+2292==2EFAD S 四边形（）.选D . 12.解析:由题意可知1212224PF PF F A F A OA a -=-===，2OA =,延长2F B 交1PF M 于PI 是角平分线，2PI F B ⊥,所以三角形△2PMF 为等腰三角形，2PM PF =,所以B 为2MF 的中点，12124PF PF MF a -===，所以1122OB MF ==，所以1OB OA =，选A . 二、填空题13.解析：作出不等式组对应的平面区域如图：由图象知当直线3y x z =-经过点()21A -，时，直线的截距最大，此时z 最小，最小值为7-. 14.解析：由1323n n n a a a +=+，得11123n n a a +=+，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，111221(1)33n n n a a +=+-⨯=，321n a n =+，所以 715a =.15.解析：直接法，1女3男，又分为含女医生甲和不含女医生甲两种情况：有31342524C C C +=，2女2男，有2212252422C C C C +=，3女1男，144C =，根据分类计数原理可得，共有22+244=50+16.解析：由题意对任意10,2x ∈（），存在[]21,2x ∈，使()12()f x g x ≥，则()12min min ()f x g x ≥所以()2(1)(3)4x x f x x --'=-，可得()1min 12f x =-，()[]222=2+4=()+4,1,2g x x bx x b b x ---∈，若2b ≥，()()min =2=84g x g b -，所以1842b -≤-，即178b ≥满足，若12b <<，()()2min ==4g x g b b -，所以21323242b b b -≤-≥≤，即，不满足舍去，若1b ≤，()()min =1=52g x g b -，所以1115224b b -≤-≥，即，不满足舍去，所以178b ≥三、解答题 （一）必考题17.解：（1）由21cos ADC ∠=27sin ADC ∠ 所以sin sin()sin cos cos sin BAD ADC B ADC B ADC B ∠=∠-∠=∠-∠ 273211212==………6分 （2）在△ABD 中，sin sin AB ADADB B =∠，所以21AD =在△ACD 中，2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅∠21214221213=+-= 所以13AC18.（1）证明：因为DCGH 为矩形，所以CG CD ⊥，又CG AD ⊥，所以CG ⊥平面ADC ，故CG AC ⊥，因为AEFBCD 为正六边形，所以120ADC DCB ∠=∠=o ， 故30DCA ∠=o ，所以90ACB ∠=o ，即AC CB ⊥， 又因为CG CB C =I ,所以AC ⊥平面BCG ， 因为AC ⊂平面ACG ，所以平面ACG ⊥平面BCG . ………5分(2)解： 连接AC 与BD 交于点N ，连接MN ，因为AG ∥平面BMD ，且平面BMD ∩平面ACG MN =，所以AG ∥MN ，所以12CM CN MG NA ==，所以2MG =，所以3CG =，由（1）知；AC CB ⊥，CG ⊥平面ABC ，故以向量CA u u u r ，CB u u u r，CG u u u r 分别作为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图，则()A ，()0,4,0B ,()0,0,1M,()2,3H -,所以()AB =-u u u r，()2,3AH =--u u u u r，()0,4,1BM =-u u u u r ，设(),,n x y z =r 为平面AHB 的一个法向量，则23040n AH y z n AB y ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩r u u u u rr u u u r可取)n =r，设直线BM 与平面AHB 所成角为θ，所以||,sin |cos |BM n BM n BM n θ⋅=〈〉==⋅u u u u r ru u u u r r u u u u r r ， 即直线BM 与平面AHB 所成角的正弦值为………12分 19. 解析：（1）直线l ：0(0)kx y k k --=≠过定点(1,0)N 由条件可得||||QN QP =，又||||4QM QP += 所以 ||||4QM QN +=根据椭圆定义：动点Q 的轨迹是椭圆 且24a =，2a =，1c =，b故C 的方程为：22143x y +=. …......4分（2）直线l：(1)(0)y k x k =-≠，代入22143x y +=得2222(34)84120k x k x k +-+-=， 设1122()()A x y B x y ，、，， 则 2122834k x x k +=+， ①212241234k x x k -⋅=+. ② ………6分 因为D 为AE 的中点，且22()D x y -，， 因为1202()y y +=-，122y y =-，所以1212(1)2(1)23k x k x x x -=--⇒=-+， ③ ………9分① 、③联立得22122249493434k k x x k k -+==++，，代入②得222122224949412343434k k k x x k k k-+-⋅=⨯=+++，254k k ==， 所以直线l的方程为1)2y x =±-.………12分 20. 解析：（1）由已知数据可得2456855x ++++==，3444545y ++++==．∵()()()()5131000316i i i x x y y =--=-⨯-++++⨯=∑，===∴相关系数()()5ii xx y y r --0.95==≈． ∵0.75r >，∴可用线性回归模型拟合y 与x 的关系．（2）记商家周总利润为Y 元，由条件可知至少需安装1台，最多安装3台光照控制仪． ①安装1台光照控制仪可获得周总利润3000元． ②安装2台光照控制仪的情形：当70X >时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润300010002000Y =-=（元）， ()1020000.250P Y ===， 当3070X <≤时，2台光照控制仪都运行，此时周总利润230006000Y =⨯=（元）， ()4060000.850P Y ===， 故Y 的分布列为∴20000.260000.85200EY =⨯+⨯=（元）．③安装3台光照控制仪的情形：当70X >时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润13000210001000Y =⨯-⨯=（元），()1010000.250P Y ===， 当5070X ≤≤时，有2台光照控制仪运行，此时周总利润23000110005000Y =⨯-⨯=（元），()3550000.750P Y ===， 当3050X <<时，3台光照控制仪都运行，周总利润330009000Y =⨯=（元）， ()590000.150P Y ===， 故Y 的分布列为∴10000.250000.790000.14600EY =⨯+⨯+⨯=（元）．综上可知，为使商家周总利润的均值达到最大，应该安装2台光照控制仪．21. 解：（1）因为()f x 的最小值为0，故对任意R x ∈，()0f x ≥即20x ax b -+≥恒成立，且存在实数0x 使得()()02000e 0x f x x ax b =-+⋅=，即2000x ax b -+=能成立， 故关于x 的一元二次方程20x ax b -+=根的判别式240a b ∆=-=，故24a b =，故()22e4xa f x x ax ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭，则()22(2)e 2e 422x x a a a f x x a x a x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=+-+-⋅=-+⋅-⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，若22a x <-或2a x >，则()0f x '>，故()f x 在(,2)2a -∞-和(,)2a+∞上单调递增，若222a a x -<<，则()0f x '<，故()f x 在(2,)22a a-上单调递减， 故22ax =-是()f x 的唯一极大值点，则2224e 4e 2aa f -⎛⎫-== ⎪⎝⎭，解得6a =， 故()f x 的单调减区间为[1,3].（写成()1,3，(]1,3，[)1,3均可得分） ……… 6分（2）不妨设12x x <，由（1）可知，()22e 4x a f x x ax ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭的极大值点122ax =-，极小值点22ax =， 又()2214ea f x -=，2()0f x =，故要证：()()121228f x f x a x x a -<--，即证224e 028222aaa a a --<-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，即证2222e8a aa --<-，即证222222e 842222a a a a a a a -⎛⎫+- ⎪⎝⎭>==-⎛⎫--- ⎪⎝⎭，对任意4a <恒成立， 构造函数()()2e 2x F x x x =-++，0x ≤，令()()()1e 1x g x F x x '==-+，则()e 0x g x x '=⋅≤，故()g x 在(],0-∞上单调递减，又()00g =，故()()0g x F x '=≥， 故()F x 在(],0-∞上单调递增，又()00F =，故()0F x ≤， 即()2e 20x x x -++≤对任意0x ≤恒成立，即2e 2x xx+>-对任意0x <恒成立， 特别地，取202ax =-<，则有22222e 222a a a -⎛⎫+- ⎪⎝⎭>⎛⎫-- ⎪⎝⎭成立，故原不等式成立. ……… 12分（二）选考题：第22、23题中任选一题做答。

宁夏回族自治区银川一中2023届高三第四次模拟考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．137．已知()1,1A ，(5,1B ABCD 内随机取一点，则该点横坐标与纵坐标之和小于A ．12A ．43a ＋23b C ．23a 43-b10．已知函数()sin f x A =π55(1)当BF 多长时，AE CG ⊥，证明你的结论：(2)当AE CG ⊥时，求平面AEH 13．抛物线C ：()220y px p =>（不与O 重合）是抛物线C 上两个动点，且(1)求抛物线C 的标准方程；参考答案：其中PA ⊥平面ABC ，AB 1133P ABC ABC V S PA -∴=⋅= 棱锥表面积3ABC S S S =+ 四边形ABCD 构成的区域为设事件M 表示取的点横坐标与纵坐标之和小于其面积为193322M S =⨯⨯=故选：D.由题意可知底面ABCD 为正方形，则因为//BD 平面AEH ，//FG BD 又FG ⊂平面EFGH ，平面AEH 所以//FG EH .又2AB GH =，所以H 为GM 的中点，所以由（1）得()()(2,0,0,2,1,2,1,0,A E H 设平面AEH 的法向量为(),,m x y z =，则()()()(),,0,1,22,,1,0,2m AE x y z y z m AH x y z x ⎧⋅=⋅=+⎪⎨⋅=⋅-=-+⎪⎩令1z =，则2,2x y ==-，由OA OB ⊥得直线OB 方程为：由24y kx y x =⎧⎨=⎩，解得244,A k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由214y x k y x⎧=-⎪⎨⎪=，解得(24,4B k -。

银川一中高三年级第四次月考数 学 试 卷（理）.11一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．i 为虚数单位，复平面内表示复数iiz +-=2的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．已知集合}13|{},1|12||{>=<-=x x N x x M ，则N M ⋂=( ) A ．φ B ．}0|{<x x C ．}1|{<x x D ．}10|{<<x x 3．若)10(02log ≠><a a a 且，则函数)1(log )(+=x x f a 的图像大致是( )4．已知等比数列}{n a 的公比为正数，且1,422475==⋅a a a a ，则1a =( )A ．21B ．22C ．2D ．2 5．已知变量x 、y 满足的约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11y y x x y ，则y x z 23+=的最大值为( )A ．-3B ．25C ．-5D ．46．过点（0，1）且与曲线11-+=x x y 在点（3，2）处的切线垂直的直线的方程为( )A ．012=+-y xB ．012=-+y xC ．022=-+y xD ．022=+-y x7．为了得到函数x x y 2cos 2sin +=的图像，只需把函数x x y 2cos 2sin -=的图像( ) A ．向左平移4π个长度单位 B ．向右平移4π个长度单位C ．向左平移2π个长度单位 D ．向右平移2π个长度单位 8．关于直线n m 、与平面βα、，有以下四个命题：①若βαβα////,//且n m ，则n m // ②若n m n m //,,//则且βαβα⊥⊥③若n m n m ⊥⊥，则且βαβα////, ④若n m n m ⊥⊥⊥⊥则且,,βαβα 其中真命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9. 若函数)(x f 的导函数34)('2+-=x x x f ，则使得函数)1(-x f 单调递减的一个充分不必要条件是x ∈( )A ．[0，1]B ．[3，5]C ．[2，3]D ．[2，4]10.设若2lg ,0,()3,0,ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰((1))1f f =，则a 的值是( ) A. -1 B. 2 C. 1 D.-211.△ABC 中，∠A=60°,∠A 的平分线AD 交边BC 于D ，已知AB=3，且)(31R AB AC AD ∈+=λλ，则AD 的长为( )A ．1B ．3C ．32D ．312.在三棱锥S —ABC 中，AB ⊥BC,AB=BC=2,SA=SC=2,，二面角S —AC —B 的余弦值是33-，若S 、A 、B 、C 都在同一球面上，则该球的表面积是( )A ．68B ．π6C ．24πD ．6π第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2022年一般高等学校招生全国统一考试理 科 数 学(银川一中第四次模拟考试)第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．【题文】1．已知{}}222,1,2xM y y x N x y ⎧⎪===+=⎨⎪⎩则M N ⋂= A ．{(1,1),(1,1)}- B ．{1} C ．[0,2] D ． [0,1]【学问点】交集及其运算．A1【答案解析】C 解析：由M 中y=x 2≥0，得到M=[0，+∞）， 由N 中+y 2=1，得到﹣2≤x ≤2，即N=[﹣2，2]，则M ∩N=[0，2]．故选：C ．【思路点拨】求出M 中y 的范围确定出M ，求出N 中x 的范围确定出N ，找出两集合的交集即可． 【题文】2．i 为虚数单位，则201411i i +⎛⎫=⎪-⎝⎭A. iB. 1-C. i -D.1【学问点】复数代数形式的混合运算．L4【答案解析】B 解析：∵=i ，i 4=1．∴原式=（i 4）503•i 2=﹣1．故选：B ．【思路点拨】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．【题文】3．已知D 是ABC ∆的边BC 上（不包括B 、C 点）的一动点，且满足AD AB AC αβ=+，则11αβ+的最小值为A. 3B. 5C. 6D. 4【学问点】基本不等式在最值问题中的应用；平面对量的基本定理及其意义．F2 E6【答案解析】D 解析：由于D 是△ABC 中边BC 上（不包括B 、C 点）的一动点，且满足AD AB AC αβ=+，所以α，β＞0且1αβ+=,故有12αβαβ=+≥，解得14αβ≤所以11αβ+=4αβαβ+≥，故选D ．【思路点拨】由题设，先依据三点共线的条件得出1αβ+=，再利用基本不等式即可得出11αβ+的最小值．【题文】4．设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的 前n 项和n S =A ．2744n n+ B ．2533n n + C ．2324n n+ D ．2n n +【学问点】等差数列的前n 项和；等比数列的性质．D2 D3【答案解析】A 解析：设数列{}n a 的公差为d ，则依据题意得（2+2d ）2=2•（2+5d ），解得12d =或d=0（舍去），所以数列{}n a 的前n 项和()211722244n n n n n S n +=+⨯=+． 故选A ．【思路点拨】设数列{}n a 的公差为d ，由题意得（2+2d ）2=2•（2+5d ），解得12d =或d=0（舍去），由此可求出数列{}n a 的前n 项和．【题文】5. 41(1)(1)x x++的开放式中含3x 的项的系数为A ．4B. 5C. 6D ．7【学问点】二项式系数的性质．J3【答案解析】B 解析：41(1)(1)x x++=()()44111x x x+++ ∴()()44111x x x+++的开放式中含x 3的项的系数等于()41x +开放式的含x 3的系数与含x 4的系数和，()41x +开放式的通项为T r+1=C 4r x r令r=3得到x 3的系数为C 43=4，令r=4得到x 4的系数为C 44=1 所以41(1)(1)x x++的开放式中含x 3的项的系数为1+4=5故选B【思路点拨】将式子开放，将问题转化为二项式的系数问题；利用二项开放式的通项公式求出通项，分别令x 的指数为3，4得到开放式的含x 3的项的系数． 【题文】6．下列四个推断：①某校高三一班和高三二班的人数分别是,m n ，某次测试数学平均分分别是,a b ，则这两个班的数学平均分为2a b +；②10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为a ,中位数为b ,众数为c ，则有b a c >>；③从总体中抽取的样本12221111(,),(,),,(,),,n nn n i i i i x y x y x y x x y y n n ====∑∑若记，则回归直线y =bx a +必过点（,x y ）；④已知ξ听从正态分布(0N ,2)σ，且(20)0.4P ξ-≤≤=，则(2)0.2P ξ>=. 其中正确推断的个数有： A ．3个B ．0个C ．2 个D ．1个【学问点】命题的真假推断与应用；众数、中位数、平均数；回归分析；回归分析的初步应用．A2 I2 I4 【答案解析】D 解析：①∵某校高三一班和高三二班的人数分别是m ，n ，某次测试数学平均分分别是a ，b ，a=12...m x x x m +++，b=12...my y y n+++，∴这两个班的数学平均分1212......m m x x x y y y m n ++++++++ma nbm n +=+若m ≠n ，∴2ma nb a bm n ++≠+，故①错误； ②∵10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，∴平均数a=1517141015171716141214.710+++++++++=，中位数为b=15，众数为c=17，∴c ＞b ＞a ，故②错误；③从总体中抽取的样本（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ），求出和，依据回归直线，由于（，）是样本的中心点，不肯定在总体的回归直线上，只是近似在直线y=bx+a 上，故③错误； ④已知ξ听从正态分布N （0，σ2），且p （﹣2≤ξ≤0）=0.3，依据正态分布图的对称性，p （﹣2≤ξ≤2）=0.6，∴p （ξ＞2）=12×[1﹣p （﹣2≤ξ≤2）]= 12×0.4=0.2， 故④正确；故选D ；【思路点拨】①依据平均值的公式，求出高三一班和高三二班测试数学总成果，然后再求出这两个班的数学平均分，进行比较；②已知数据生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，依据平均数、中位数、众数的定义，分别求出a ，b ，c ；③已知样本数据，依据回归直线的定义进行求解； ④已知ξ听从正态分布N （0，σ2），且p （﹣2≤ξ≤0）=0.3，是正态分布，先求出p （﹣2≤ξ≤2）=2×0.3=0.6，再求出p （ξ＞2）；【题文】7．在ABC ∆中，设命题BcA b C a p sin sin sin :==，命题ABC q ∆:是等边三角形，那么命题p 是命题q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【学问点】必要条件、充分条件与充要条件的推断．A2【答案解析】C 解析：由正弦定理可知sin sin sin a b cA B C==， 若sin sin sin a b c t C A B ===，则a b c t c a b===，即a=tc ，b=ta ，c=bt ， 即abc=t 3abc ，即t=1，则a=b=c ，即△ABC 是等边三角形， 若△ABC 是等边三角形，则A=B=C=3π，则1sin sin sin a b c C A B ===成立，即命题p 是命题q 的充要条件，故选：C【思路点拨】依据正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义进行推断即可得到结论．【题文】8.若双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线与圆22(2)1x y +-=至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是A ．(1,2] B. [2,)+∞ C. 3] D. [3,)+∞ 【学问点】双曲线的简洁性质．H6【答案解析】A 解析：圆22(2)1x y +-=的圆心（0，2），半径r=1．∵双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线与圆22(2)1x y +-=至多有一个交点，∴211b ≥+，化为b 2≤3．∴e 2=1+b 2≤4，∵e ＞1，∴1＜e ≤2，∴该双曲线的离心率的取值范围是（1，2]．故选：A ．【思路点拨】双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线与圆22(2)1x y +-=至多有一个交点，得到圆心（0，2）到渐近线的距离大于等于半径r ．解出即可． 【题文】9．已知锐角βα,满足：51cos sin =-ββ， 3tan tan 3tan tan =⋅++βαβα，则cos α= A ．33410 B ． 33410 C ．3310+ D ．3310【学问点】两角和与差的正切函数．C5 【答案解析】C 解析：∵51cos sin =-ββ，sin 2β+cos 2β=1，结合α，β为锐角联立解得sin β=，cos β=，又3tan tan 3tan tan =⋅++βαβα，∴tan α+tan β=（1﹣tan α•tan β），即tan （α+β）==，∴sin （α+β）=，cos （α+β）=∴cos α=cos[（α+β）﹣β]=cos （α+β）cos β+sin （α+β）sin β==故选：C【思路点拨】由已知数据可解得sinβ=，cosβ=，sin （α+β）=，cos （α+β）=，而cosα=cos[（α+β）﹣β]=cos（α+β）cosβ+sin （α+β）sinβ，代入化简即可．【题文】10．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些好玩的性质，如:若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上.设抛物线px y 22=p (＞)0，弦AB 过焦点，△ABQ 为其阿基米德三角形，则△ABQ 的面积的最小值为A ．22pB ．2pC ．22pD ．24p 【学问点】抛物线的应用.H7【答案解析】B 解析：取倾斜角为：450，600，900，经计算可知，当倾斜角为900时，△ABQ 的面积的最小，此时AB=2p ，又焦点到准线的距离22p p d p ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，此时三角形的面积最小为p 2故选B ． 【思路点拨】直接计算比较简单，我们可以取几个特殊的位置，可得解．【题文】11．假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进入同一部手机，若这两条短信进人手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为 A ．425 B ．825 C ．2425 D ．1625【学问点】几何概型．K3【答案解析】D 解析：分别设两个相互独立的短信收到的时间为x ，y ．则全部大事集可表示为0≤x ≤5，0≤y ≤5．由题目得，假如手机受则到干扰的大事发生，必有|x ﹣y|≤2．三个不等式联立，则该大事即为x ﹣y=2和y ﹣x=2在0≤x ≤5，0≤y ≤5的正方形中围起来的图形:即图中阴影区域而全部大事的集合即为正方型面积52=25， 阴影部分的面积25﹣2×12（5﹣2）2=16， 所以阴影区域面积和正方形面积比值即为手机受到干扰的概率为1625． 故选：D ．【思路点拨】依据几何概型的概率公式求出对应的测度，即可得到结论．【题文】12．若存在正实数M ，对于任意(1,)x ∈+∞，都有()f x M ≤，则称函数()f x 在(1,)+∞ 上是有界函数．下列函数： ①1()1f x x =-； ②2()1x f x x =+； ③ln ()x f x x=； ④()sin f x x x =. 其中“在(1,)+∞上是有界函数”的序号为A. ②③B. ①②③C. ②③④D. ③④【学问点】命题的真假推断与应用；函数的值域．A2 B3 【答案解析】A 解析：①1()1f x x =-在（1，+∞）上是递减函数，且值域为（0，+∞），故①在（1，+∞）上不是有界函数； ②2()1x f x x =+（x ＞1）即f （x ）=11x x+，由于1x x +＞2（x ＞1），0＜f （x ）＜，故|f （x ）|，故存在M=，即f （x ）在（1，+∞）上是有界函数；③ln ()x f x x =，导数f ′（x ）=221ln 1ln x xx x x x ⋅--=，当x ＞e 时，f ′（x ）＜0，当0＜x ＜e 时，f ′（x ）＞0，故x=e 时取极大值，也为最大值且为，故存在M=，在（1，+∞）上有|f （x ）|≤，故函数f （x ）在（1，+∞）上是有界函数；④()sin f x x x =导数f ′（x ）=sinx+xcosx 在（1，+∞）上不单调，且|f （x ）|≤x ，故不存在M ，函数f （x ）在（1，+∞）上不是有界函数． 故选A ．【思路点拨】①求出函数f （x ）的值域为（0，+∞），即可推断；②先将f （x ）变形，再应用基本不等式求出最值，从而依据新定义加以推断；③应用导数求出单调区间，求出极值，说明也为最值，再依据新定义推断；④先推断函数有无单调性，再运用三角函数的有界性推断即可．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必需做答．第22题～第24题为选考题，考生依据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．【题文】13．等差数列}{n a 中12014a =，前n 项和为n S ,10121210S S -2-=， 则2014S 的值为____. 【学问点】等差数列的性质.D2【答案解析】2022 解析：设等差数列的公差为d ， ∵10121210S S -=﹣2，∴﹣=﹣2，∴a 12﹣a 10=﹣4，∴2d=﹣4，得d=﹣2，∵a 1=2022， ∴S 2022=2022×2022+×（﹣2）=2022，故答案为：2022．【思路点拨】设等差数列的公差为d ，利用等差数列的求和公式及﹣=﹣2可求得公差d ，再用求和公式可得答案．【题文】14. 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为 .【学问点】由三视图求面积、体积．G2【答案解析】123+ 解析：由三视图可知，几何体是一个五面体，五个面中分别是：一个边长是2的正方形；一个边长是2的正三角形；两个直角梯形，上底是1，下底是2，高是2；一个底边是2，腰长是的等腰三角形， 做出五个图形的面积=123+.故答案为：123+.【思路点拨】几何体是一个五面体，一个边长是2的正方形；一个边长是2的正三角形；两个直角梯形，上底是1，下底是2，高是2；一个底边是2，腰长是的等腰三角形，依据面积公式得到结果．【题文】15. 已知0a >,,x y 满足约束条件()133x x y y a x ⎧≥⎪+≤⎨⎪≥-⎩,若2z x y =+的最小值为1,则a =_______【学问点】简洁线性规划．E5 【答案解析】12解析：由题意可得：若可行域不是空集，则直线y=a （x+3）的斜率为正数时．因此a ＞0，作出不等式组()133x x y y a x ⎧≥⎪+≤⎨⎪≥-⎩表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，其中A （1，2），B （1，﹣2a ），C （3，0）设z=F （x ，y ）=2x+y ，将直线l ：z=2x+y 进行平移，观看x 轴上的截距变化，可得当l 经过点B 时，目标函数z 达到最小值 ∴z 最小值=F （1，﹣2a ）=1，即2﹣2a=1，解得a=12，故答案为：12【思路点拨】由题意得a ＞0，作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC 及其内部，再将目标函数z=2x+y 对应的直线进行平移，可得当x=1且y=﹣2a 时z 取得最小值，由此建立关于a 的等式，解之即可得到实数a 的值．【题文】16．下表是某数学老师及他的爷爷、父亲和儿子的身高数据：父亲身高x （cm ） 173 170 176 儿子身高y （cm ）170176182由于儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法猜测他孙子的身高为 ．参考公式: 回归直线的方程是：∧∧+=a x b yˆ， 其中x b y a x xy y x xb ni ini i i∧∧==∧-=---=∑∑,)())((211；其中i y 是与i x 对应的回归估量值.组距频率0.0050.075 75 80 85 90 95 0.020 1000.040 0.060服务时间/小时O 参考数据：18)(312=-∑=i ix x，18))((31=--∑=i i iy y x x.【学问点】回归分析的初步应用；线性回归方程．I4【答案解析】185 cm . 解析：设X 表示父亲的身高，Y 表示儿子的身高则Y 随X 的变化状况如下；建立这种线性模型：X 173 170 176 182 Y 170 176 182？ ∵=173， =176，∴本组数据的样本中心点是（173，176）， 利用线性回归公式，及参考数据：18)(312=-∑=i i x x ，18))((31=--∑=i i i y y x x ．其中==1，=﹣=176﹣173=3；得线性回归方程y=x+3当x=182时，y=185 ，故答案为：185cm ．【思路点拨】设出解释变量和预报变量，代入线性回归方程公式，求出线性回归方程，将方程中的X 用182代替，求出他孙子的身高.三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 【题文】17. （本小题满分12分）在ABC ∆中,,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边，且满足sin 32A A =. (1)求A 的大小；(2)现给出三个条件：①2a =； ②45B =︒；③3c b =.试从中选出两个可以确定ABC ∆的条件，写出你的选择并以此为依据求ABC ∆的面积 (只需写出一个选定方案即可,选多种方案以第一种方案记分) . 【学问点】正弦定理；余弦定理．C8 【答案解析】(1) 6A π=(2) 31,3解析：(1)依题意得2sin()23A π+=,即sin(13A π+= ∵0A π<<, ∴4333A πππ<+<, ∴32A ππ+=, ∴6A π=． ----6分(2)方案一：选择①② 由正弦定理sin sin a b A B=，得sin 22sin ab B A ==26,sin sin()sin cos cos sin 4A B C C A B A B A B π++=∴=+=+=．1126sin 22231224S ab C ∴==⨯⨯=. ---------12分 方案二：选择①③ 由余弦定理2222cos b c bc A a +-=,有222334b b b +-=,则2b =,23c =,所以111sin 2233222S bc A ==⨯⨯= ．说明:若选择②③,由3c b =得，6sin 31C B ==>不成立,这样的三角形不存． 【思路点拨】（1）利用两角和公式对已知等式化简求得sin()13A π+=的值，进而求得A ．（2）选择①②利用正弦定理先求得sinC 的值，进而利用三角形面积公式求得三角形的面积．【题文】18.（本小题满分12分）某市规定，高中同学三年在校期间参与不少于80小时的社区服务才合格．训练部门在全市随机抽取200位同学参与社区服务的数据，按时间段[)75,80，[)80,85，[)85,90，[)90,95，[]95,100（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示． （1）求抽取的200位同学中，参与社区服务时间不少于90小时的同学人 数，并估量从全市高中同学中任意选取 一人，其参与社区服务时间不少于90 小时的概率；（2）从全市高中同学（人数很多）．．．．．．．．．．．．． 中任意选取3位同学，记ξ为3位同学 中参与社区服务时间不少于90小时的 人数．试求随机变量ξ的分布列和数学 期望E ξ和方差D ξ．【学问点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图．I2 K6 【答案解析】(1) 25 (2) 65,1825解析：（1）依据题意，参与社区服务时间在时间段[)90,95小时的同学人数为 2000.060560⨯⨯=（人），参与社区服务时间在时间段[]95,100小时的同学人数为2000.020520⨯⨯=（人）．所以抽取的200位同学中，参与社区服务时间不少于90小时的同学人数为80人． 所以从全市高中同学中任意选取一人，其参与社区服务时间不少于90小时的概率估量为6020802.2002005P +=== …………5分（2）由（Ⅰ）可知，从全市高中生中任意选取1人，其参与社区服务时间不少于90小 时的概率为2.5由已知得，随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3．所以00332327(0)()()55125P C ξ==⋅=；11232354(1)()()55125P C ξ==⋅=； 22132336(2)()()55125P C ξ==⋅=；3303238(3)()()55125P C ξ==⋅=． 随机变量ξ的分布列为ξ 0 1 2 3P27125 54125 36125 8125 由于 ξ~2(3)5B ，，所以26355E np ξ==⨯=． 2318(1)35525D np p ξ=-=⨯⨯=…12分【思路点拨】（1）利用频率分布直方图，求出频率，即可求得结论；（2）ξ=0，1，2，3，求出随机变量取每一个值的概率值，即可求随机变量ξ的分布列及数学期望． 【题文】19. （本小题满分12分）在正三角形ABC 中，E 、F 、P 分别是AB 、AC 、BC 边上的点，满足AE:EB ＝CF:FA ＝CP:PB ＝1:2（如图1）.将△AEF 沿EF 折起到EF A 1∆的位置，使二面角A 1－EF －B 成直二面角，连结A 1B 、A 1P （如图2） （1）求证：A 1E ⊥平面BEP ；（2）求直线A 1E 与平面A 1BP 所成角的大小； （3）求二面角B －A 1P －F 的余弦值.【学问点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．G4 G5 【答案解析】(1) 见解析(2) 32-(3) 78- 解析：不妨设正三角形ABC 的边长为 3 .(1)在图1中，取BE 的中点D ，连结DF ． ∵AE :EB=CF :FA=1:2，∴AF=AD=2，而∠A=600,∴△ADF 是正三角形， 又AE=DE=1，∴EF⊥AD在图2中，A 1E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A 1EB 为二面角A 1-EF-B 的平面角．由题设条件知此二面角为直二面角，∴A 1E⊥BE．……………………….3分 又BE∩EF=E，∴A 1E⊥平面BEF ，即A 1E⊥平面BEP ……………………..4分(2)建立分别以ED 、EF 、EA 为x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系，则E(0,0,0),A(0,0,1),B(2,0,0),F(0, 3,0), P (1, 3,0),则(0,0,1)AE =-,(2,0,1),(1,3,0)AB BP =-=-． 设平面ABP 的法向量1111(,,)n x y z =，由1n ⊥平面ABP 知，11,n AB n BP ⊥⊥，即111120,30.x z x y -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩令13x =，得111,23y z ==，1(3,1,23)n =．112222221301023(1)3cos ,2||||(3)1(23)00(1)AE n AE n AE n ⋅⨯+⨯+⨯-<>===-⋅++⋅++-, 1,120AE n <>=, 所以直线A 1E 与平面A 1BP 所成的角为600…………8分(3) (0,3,1),(1,0,0)AF PF =-=-，设平面AFP 的法向量为2222(,,)n x y z =． 由2n ⊥平面AFP 知，22,n AF n PF ⊥⊥，即22220,30.x y z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩令21y =，得220,3x z ==，2(0,1,3)n =． 12112222221230112337cos ,8||||(3)1(23)01(3)n n n n n n ⋅⨯+⨯+⨯<>===⋅++⋅++,所以二面角B-A 1P-F 的余弦值是78-………………………………12分【思路点拨】（1）设正三角形ABC 的边长为 3．在图1中，取BE 的中点D ，连结DF ．由已知条件推导出△ADF 是正三角形，从而得到EF ⊥AD ．在图2中，推导出∠A 1EB 为二面角A 1﹣EF ﹣B 的平面角，且A 1E ⊥BE ．由此能证明A 1E ⊥平面BEP ．（2）建立分别以EB 、EF 、EA 为x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系，利用向量法能求出直线A 1E 与平面A 1BP 所成的角的大小．（3）分别求出平面A 1FP 的法向量和平面BA 1F 的法向量，利用向量法能求出二面角B ﹣A 1P ﹣F 的余弦值． 【题文】20.（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12，右焦点到右顶点的距离为1． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在与椭圆C 交于,A B 两点的直线l ：()y kx m k =+∈R ，使得22OA OB OA OB +=-成立？若存在，求出实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由. 【学问点】直线与圆锥曲线的综合问题．H8【答案解析】(1) 22143x y += (2) 22(,21][21,)77-∞-+∞ 解析：（1）设椭圆C 的方程为22221x y a b +=()0a b >>，半焦距为c . 依题意12c e a ==，由右焦点到右顶点的距离为1，得1a c -=．解得1c =，2a =．所以2223b a c =-=．所以椭圆C 的标准方程是22143x y +=．………4分 （2）解：存在直线l ，使得22OA OB OA OB +=-成立.理由如下：由22,1,43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=．222(8)4(34)(412)0km k m ∆=-+->，化简得2234k m +>．设1122(,),(,)A x y B x y ，则122834kmx x k+=-+，212241234m x x k -=+． 若22OA OB OA OB +=-成立，即2222OA OB OA OB +=-，等价于0OA OB ⋅=．所以12120x x y y +=．1212()()0x x kx m kx m +++=，221212(1)()0k x x km x x m ++++=，222224128(1)03434m km k km m k k-+⋅-⋅+=++, 化简得，2271212m k =+．将227112k m =-代入2234k m +>中，22734(1)12m m +->，解得，234m >．又由227121212m k =+≥，2127m ≥，从而2127m ≥，2217m ≥或2217m ≤-．所以实数m 的取值范围是22(,21][21,)77-∞-+∞． …12分【思路点拨】（1）由已知条件推导出12c e a ==，1a c -=．由此能求出椭圆C 的标准方程．（2）存在直线l ，使得2222OA OB OA OB +=-成立．设直线l 的方程为y=kx+m ，由22,1,43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(34)84120k x kmx m +++-=．由此利用根的判别式和韦达定理结合已知条件能求出实数m 的取值范围．【题文】21.（本小题满分12分）已知函数21()e1x f x ax +=-+，a ∈R ．（1）若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与直线e 10x y ++=垂直，求a 的值； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）设32e a <，当[0,1]x ∈时，都有()f x ≥1成立，求实数a 的取值范围．【学问点】利用导数争辩函数的单调性；函数恒成立问题；利用导数争辩曲线上某点切线方程. B11 B12 【答案解析】(1) e a = (2) 当0a ≤时，)(x f 的单调增区间为(),-∞+∞；当0a >时，()f x 的单调增区间是11(ln ,)222a -+∞，()f x 的单调减区间是11(,ln )222a -∞-． （3）22(,e ]-∞解析：（1）由已知得21()2ex f x a +'=-．由于曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线与直线e 10x y ++=垂直，所以(0)e f '=．所以(0)2e e f a '=-=．所以e a =．……3分（2）函数()f x 的定义域是(),-∞+∞，21()2ex f x a +'=-． （1）当0a ≤时，()0f x '>成立，所以)(x f 的单调增区间为(),-∞+∞． （2）当0a >时， 令()0f x '>，得11ln 222a x >-，所以()f x 的单调增区间是11(ln ,)222a -+∞；令()0f x '<，得11ln 222a x <-，所以()f x 的单调减区间是11(,ln )222a -∞-．综上所述，当0a ≤时，)(x f 的单调增区间为(),-∞+∞；当0a >时，()f x 的单调增区间是11(ln,)222a -+∞， ()f x 的单调减区间是11(,ln )222a -∞-． …………8分（3）当0x =时，(0)e 11f =+≥成立，a ∈R ． “当(0,1]x ∈时，21()e11x f x ax +=-+≥恒成立”等价于“当(0,1]x ∈时，21e x a x+≤恒成立．”设21e ()x g x x+=，只要“当(0,1]x ∈时，min ()a g x ≤成立．”212(21)e ()x x g x x +-'=．令()0g x '<得，12x <且0x ≠，又由于(0,1]x ∈，所以函数()g x 在1(0, )2上为减函数； 令()0g x '>得，12x >，又由于(0,1]x ∈，所以函数()g x 在1(,1]2上为增函数． 所以函数()g x 在12x =处取得最小值，且21()2e 2g =．所以22e a ≤． 又由于a 32e <，所以实数a 的取值范围22(,e ]-∞． ………12分【思路点拨】（1）求出原函数的导函数，得到f ′（0），由f ′（0）=e ，求得a 的值；（2）求出导函数，由导函数的正负性，求出原函数的单调区间，留意函数中含有参数a ，所以要对a 进行分类争辩；（3）对f （x ）≥1进行化简，用分别变量法，把a 表示成关于x 的一个不等式，从而构造函数g （x ），求g （x ）的最小值，即a≤g （x ）min ．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，假如多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.【题文】22.（本小题满分10分）选修4—1: 几何证明选讲．如图，D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 上的点， 且不与△ABC 的顶点重合，已知AE 的长为m ，AC 的 长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程x 2－14x ＋mn ＝0 的两个根．(1)证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；(2)若∠A ＝90°，且m ＝4，n ＝6，求C ，B ，D ，E 所在圆的半径． 【学问点】圆周角定理；与圆有关的比例线段．N1【答案解析】(1)见解析 (2) 52解析：(1)连结DE ，依据题意在△ADE 和△ACB 中，AD×AB＝mn ＝AE×AC， 即AD AC ＝AEAB.又∠DAE ＝∠CAB ，从而△ADE △ACB. 因此∠ADE ＝∠ACB.所以C ，B ，D ，E 四点共圆．(2)m ＝4，n ＝6时，方程x 2－14x ＋mn ＝0的两根为x 1＝2，x 2＝12.故AD ＝2，AB ＝12.取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连结DH.由于C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH ，由于∠A ＝90°，故GH ∥AB ，HF ∥AC.从而HF ＝AG ＝5，DF ＝12(12－2)＝5.故C ，B ，D ，E 四点所在圆的半径为5 2.【思路点拨】（1）做出帮助线，依据所给的AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程x 2﹣14x+mn=0的两个根，得到比例式，依据比例式得到三角形相像，依据相像三角形的对应角相等，得到结论．（2）依据所给的条件做出方程的两个根，即得到两条线段的长度，取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连接DH ，依据四点共圆得到半径的大小． 【题文】23.（本小题满分10分）选修4—4;坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线221:1C x y +=，以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线:(2sin )6l cos ρθθ-=.（1）将曲线1C 上的全部点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的3、2倍后得到曲线2C .试写出直线l 的直角坐标方程和曲线2C 的参数方程；（2）在曲线2C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，并求出此最大值.【学问点】直线与圆锥曲线的综合问题；点到直线的距离公式；简洁曲线的极坐标方程．H2 H8 N3【答案解析】(1) 3cos ()2sin x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数 (2) 25 解析：(1) 由题意知，直线l 的直角坐标方程为：260x y --=，………………2分∵曲线2C 的直角坐标方程为：22()()123x y+=， ∴曲线2C 的参数方程为：3cos ()2sin x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数.………………5分(2) 设点P 的坐标(3cos ,2sin )θθ，则点P 到直线l 的距离为：|4sin()6||23cos 2sin 6|355d πθθθ-+--==，………………7分∴当5in()1,36s ππθθ-==时，点3(,1)2P -，此时max |46|255d +==.…………10分 【思路点拨】（1）直接写出直线l 的直角坐标方程，将曲线C 1上的全部点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的、2倍后得到曲线C 2的方程，然后写出曲线C 2的参数方程；（2）设出曲线C 2上一点P 的坐标，利用点P 到直线l 的距离公式，求出距离表达式，利用三角变换求出最大值．【题文】24．（本小题满分10分）选修4—5，不等式选讲 已知函数()|1|||f x x x a =-+- （1）若a=1，解不等式()2f x ≥；（2）若1,,()|1|2a x R f x x >∀∈+-≥，求实数a 的取值范围。

2018年普通高等学校招生全国统一考试理 科 数 学( 银川一中第四次模拟考试 )本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～23题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内(黑色线框)作答,写在草稿纸上、超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I 卷一、选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知,m n R ∈，集合{}72,log A m =，集合{},B m n =，若}0{=⋂B A ，则m n -= A ．1 B ．2 C ．4 D ．82．若复数i z 211+=，复数i z -=12，则12z z = A ．6B 10C 6D 23．已知命题p ：x R ∀∈，sin 1x ≤，则p ⌝： A ．x R ∃∈，sin 1x ≥ B ．x R ∀∈，sin 1x ≥ C ．x R ∃∈，sin 1x >D ．x R ∀∈，sin 1x >4．设a=0.50.4，b=log 0.40.3，c=log 80.4，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜a C ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a5．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若212a a =,且312,,S S S 成等差数列,则4S =A ．10B ．12C ．18D ．306．A 地的天气预报显示，A 地在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为30%，现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率，先利用计算器产生0—9之间整数值的随机数，并用0，1，2，3，4，5，6表示没有强浓雾，用7，8，9表示有强浓雾，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数：则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为 A ．14B ．25C ．710D ．157．n xx )1(3-的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是A ．28B ．－28C ．70D ．－708．设圆心在x 轴上的圆C 与直线1:310l x y -+=相切,且与直线2:30l x y -=相交于两点,M N ,若||3MN =,则圆C 的半径为 A ．12B ．32C ．1D ．29．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ．1 B ．2 C ．3D ．610．五进制是以5为底的进位制,主因乃人类的一只手有五只手指.中国古代的五行学说也是采用的五进制,0代表土,1代表水,2代 表火,3代表木,4代表金,依次类推,5又属土,6属水,……, 减去5即得.如图,这是一个把k 进制数a (共有n 位)化 为十进制数b 的程序框图,执行该程序框图,若输入的,,k a n 分别为5,324,3,则输出的b =A.45B.89C.113D.44511．已知函数)0(21sin )(2>-=ωωx x f 的周期为2π，若将其图 象沿轴向右平移a 个单位（a ＞0），所得图象关于原 点对称，则实数a 的最小值为 A ．4π B ．43π C ．2π D ．8π12．定义在R 上的奇函数()y f x =满足()30f =，且当0x >时，()()'f x xf x >-恒成立，则函数()()lg 1g x xf x x =++的零点的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知2||,1||==b a ，且)(b a a -⊥，则向量a 在向量b 方向上的投影为 . 14．设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，且2,41===∆ABC S B a π，，则b = .15．已知实数x ，y 满足1,1,0,x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪>⎩则22x y x ++的最小值为 ．16．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为点12(,0),(,0)(0)F c F c c ->,抛物线24y cx =与双曲线在第一象限内相交于点P ,若212||||PF F F =,则双曲线的离心率为 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且224n n n a a S +=．（1）求n S ；（2）设(1)n n b n n S =++⋅，求数列1{}nb 的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12日 到23日在深圳举行 ，为了搞好接待工作，组委会在某学 院招募了12名男志愿者和18名女志愿者。

绝密★启用前2019届宁夏银川一中高三第四次模拟考试题数学（理）试卷(含答案)注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}{}22|22,|log A x Z x B x y x =∈-<<==，则A B =A ．{}1,1-B ．{}1,0,1-C ．{}1D ．{}0,12. 复数z 满足(13)|13|z i i +=+，则z 等于A ．13i -B ．1C ．1322i -D ．3122i - 3．已知随机变量X 服从正态分布()22N σ，且()40.88P X ≤=，则()04P X <<=A ．0.88B ．0.76C ．0.24D ．0.124．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1938S =，则11122a a -=A ．2B ．4C ．6D ．85. 某校高二（1）班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图，根据图中的信息，可确定被抽测的人数及分数在[]90,100内的人数分别为A ．20，2B ．24，4C ．25，2D ．25，46．已知向量(1,1)m λ=+，(2,2)n λ=+，若()()m n m n +⊥-，则λ=A ．4-B ．3-C ．2-D ．1-7．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图， 则该几何体的体积为A ．643π B ．8316+3ππ C ．28π D ． 8216+3ππ 8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．如果输入某个 正整数n 后，输出的S ∈(10,20)，那么n 的值为A ．4B ．5C ．6D ．79．已知P 是ABC ∆所在平面内一点，2PB PC PA O ++=，现将 一粒红豆随机撒在ABC ∆内，则红豆落在PBC ∆内的概率是A ．14B ．13C ．23D ．1210．已知()f x 是偶函数，且当0x >时，222()x f x x e -=+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f --处的切线方程为A ．310x y ++=B ． 10x y +-=C ．460x y -+=D ．420x y ++= 11．已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的图象如图所示，则下列说法正确的是A ．函数()f x 的周期为πB ．函数()y f x π=-为偶函数C ．函数()f x 在[,]4ππ--上单调递增 D ．函数()f x 的图象关于点3(,0)4π对称 12．菱形ABCD 的边长为2，现将ACD ∆沿对角线AC 折起使平面⊥ACD 平面ACB ，求此时所成空间四面体体积的最大值8题图。