北师版新课标高中数学必修一同步练习题集合与充要条件的关系综合题

充分条件、必要条件、充要条件的判断综合题1．“m ＝-1”是“直线l 1：2x -my ＝2m -1与直线l 2：x ＋2my ＝m -2垂直”的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A ．【解析】若m ＝-1，则直线l 1、l 2垂直；若直线l 1、l 2垂直，则有m ＝±1，所以“m ＝-1”是“直线l 1：2x -my ＝2m -1与直线l 2：x ＋2my ＝m -2垂直”的充分不必要条件．故选A ．2．在平面直角坐标系中，点(223m m +-，232m m--)在第四象限的充分必要条件是________． 【答案】312m -<<或23m <<． 【解析】 点(223m m +-，232m m --)在第四象限⇔22302302m m m m⎧+->⎪⎨-<⎪-⎩ ⇔ 312m -<<或23m <<． 3．下列各题中，p 是q 的充分不必要条件的是________．(填序号)①p ：2m ≤-或6m ≥；q ：23y x mx m =+++有两个不同的零点 ②p ：()()1f x f x -=；q ：()y =f x 是偶函数 ③p ：cos cos αβ=；q ：tan tan αβ=④p ：A ∩B ＝A ；q ：A ⊆U ，B ⊆U ， U U B A 痧Í【答案】②．【解析】对于①，由23y x mx m =+++有两个不同的零点，可得24120m m ∆=-->，从而可得2m <-或6m >．所以p 是q 的必要不充分条件；对于②，由()()1f x f x -=()()()f x f x y f x ⇒-=⇒=是偶函数，但由()y =f x 是偶函数不能推出()()1f x f x -=，例如函数()0f x =，所以p 是q 的充分不必要条件； 对于③，当cos cos 0αβ==时，不存在tan tan αβ=，反之也不成立，所以p 是q 的既不充分也不必要条件；对于④，由A ∩B ＝A ，知A ⊆B ，所以U U B A 痧Í；反之，由U U B A 痧Í，知A ⊆B ，A ∩B ＝A ．所以p 是q 的充分必要条件．综述，符合题意的只有②．。

第二课时充要条件课标要求素养要求通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系.针对充要条件问题，通过几个数学定义的研究比较，学生经历梳理知识、提炼定义、感悟思想的学习过程，提升逻辑推理素养.新知探究主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五打电话说：“临时有急事，不能去了.”主人听了，随口说了句：“该来的没有来.”张三听了脸色一沉，起来一声不吭地走了.主人愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了.”李四听了大怒，拂袖而去.问题请你用逻辑学原理解释二人离去的原因.提示张三走的原因是：“该来的没有来”的等价命题是“来了不该来的”，张三觉得自己是不该来的.李四走的原因是：“不该走的又走了”的等价命题是“没走的应该走”，李四觉得自己是应该走的.一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件，记作p⇔q.当p是q的充要条件时，q也是p的充要条件.p是q的充要条件也常常说成“p成立当且仅当q成立”，或“p与q等价”.拓展深化[微判断]判断下列说法的正误.1.p：1x<1，q：x>1，p是q的必要不充分条件.(√)2.p：M＝∅，q：M∩N＝∅，p是q的充分不必要条件.(√)3.“A⊆B”是“A∪B＝B”的充要条件.(√)[微训练]1.设x∈R，则“x＝1”是“x3＝x”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案 A2.设a，b∈R，则“(a－b)a2＜0”是“a＜b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案 A3.“m＝1”是“函数y＝x m2－4m＋5为二次函数”的________条件.解析当m＝1时，y＝x m2－4m＋5＝x2是二次函数，y＝x m2－4m＋5是二次函数，则m2－4m＋5＝2，∴m＝1或m＝3.答案充分不必要[微思考]1.“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？提示p是q的充要条件说明p是条件，q是结论，p的充要条件是q说明q是条件，p是结论.2.证明充要条件的一般步骤是什么？提示根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明：一般地，证明“p成立的充要条件为q”的步骤是：(1)充分性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p；(2)必要性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q.题型一充要条件的判断【例1】判断下列各题中，p是否为q的充要条件？(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：a>b；(2)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；(3)p ：|x |>3，q ：x 2>9.解 (1)在△ABC 中，显然有∠A >∠B ⇔a >b ， 所以p 是q 的充要条件.(2)若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0，即p ⇒q ； 若a ＝b ＝0，则a 2＋b 2＝0，即q ⇒p ，故p ⇔q ， 所以p 是q 的充要条件.(3)由于p ：|x |>3⇔q ：x 2>9，所以p 是q 的充要条件.规律方法 判断p 是q 的充分必要条件，主要是判断p ⇒q 及q ⇒p 这两个命题是否成立.若p ⇒q 成立，则p 是q 的充分条件，同时q 是p 的必要条件；若q ⇒p 成立，则p 是q 的必要条件，同时q 是p 的充分条件. 【训练1】 a ，b 中至少有一个不为零的充要条件是( ) A.ab ＝0B.ab >0C.a 2＋b 2＝0D.a 2＋b 2>0解析 a 2＋b 2>0，则a 、b 不同时为零；a ，b 中至少有一个不为零，则a 2＋b 2>0. 答案 D题型二 充要条件的证明【例2】 求证：方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0的两个根均大于1的充要条件是k <－2.证明 ①必要性：若方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0有两个大于1的根，不妨设两个根为x 1，x 2，则 ⎩⎨⎧Δ＝（2k －1）2－4k 2≥0，（x 1－1）＋（x 2－1）>0，（x 1－1）（x 2－1）>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧k ≤14，（x 1＋x 2）－2>0，x 1x 2－（x 1＋x 2）＋1>0. 即⎩⎪⎨⎪⎧k ≤14，－（2k －1）－2>0，k 2＋（2k －1）＋1>0， 解得k <－2.②充分性：当k <－2时，Δ＝(2k －1)2－4k 2＝1－4k >0. 设方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0的两个根为x 1，x 2.则(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝k2＋2k＝k(k＋2)>0.又(x1－1)＋(x2－1)＝(x1＋x2)－2＝－(2k－1)－2＝－2k－1>0，∴x1－1>0，x2－1>0.∴x1>1，x2>1.综上可知，方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的根的充要条件为k<－2.规律方法一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q⇒p；证明必要性时则是以p 为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即p⇒q.【训练2】求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0. 证明①充分性：如果b＝0，那么y＝kx，x＝0时y＝0，函数图象过原点.②必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点，所以x＝0时y＝0，得0＝k·0＋b，b＝0.综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.题型三递推法判断命题间的关系【例3】已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么：(1)s是q的什么条件？(2)r是q的什么条件？(3)p是q的什么条件？解(1)∵q是s的充分条件，∴q⇒s.∵q是r的必要条件，∴r⇒q.∵s是r的充分条件，∴s⇒r，∴s⇒r⇒q.即s是q的充要条件.(2)由r⇒q，q⇒s⇒r，知r是q的充要条件.(3)∵p是r的必要条件，∴r⇒p，∴q⇒r⇒p.∴p是q的必要不充分条件.规律方法解决传递性问题的关键是画出推出的结构图，也可以考虑命题之间的关系.【训练3】如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么()A.丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B.丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C.丙是甲的充要条件D.丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件解析如图所示，∵甲是乙的必要条件，∴乙⇒甲.又∵丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，∴丙⇒乙，但乙⇒丙.综上，有丙⇒乙⇒甲，甲⇒丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件.答案 A一、素养落地1.通过学习充要条件的概念培养数学抽象素养，通过判断充要条件提升逻辑推理素养.2.充要条件的证明与探求(1)充要条件的证明分充分性的证明和必要性的证明.在证明时要注意两种叙述方式的区别：①p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性；②p的充要条件是q，则由p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性.(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件.二、素养训练1.设a，b是实数，则“a>b”是“a3>b3”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 C2.“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析设命题p：(2x－1)x＝0，命题q：x＝0，则命题p：x＝0或x＝12，故p是q的必要不充分条件.选B.答案 B3.“1<x<2”是“x<2”成立的________条件.解析当1<x<2时，必有x<2；而x<2时，如x＝0，推不出1<x<2，所以“1<x<2”是“x<2”的充分不必要条件.答案充分不必要4.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a，b，c，则“a＝b”是“A＝B”的________条件.解析“a＝b”等价于“A＝B”.答案充要基础达标一、选择题1.已知集合A＝{1，m2＋1}，B＝{2，4}，则“m＝3”是“A∩B＝{4}”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析若A∩B＝{4}，则m2＋1＝4，∴m＝±3，而当m＝3时，m2＋1＝4，∴A∩B ＝{4}，故“m＝3”是“A∩B＝{4}”的充分不必要条件.答案 A2.设a、b是实数，则“a>b>0”是“a2>b2”的()A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件解析若a>b>0，则a2>b2成立，若a＝－2，b＝1，满足a2>b2，但a>b>0不成立，故“a>b>0”是“a2>b2”的充分不必要条件，故选C.答案 C3.设a ，b 是实数，则“a ＋b >0”是“ab >0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 若a ＋b >0，取a ＝3，b ＝－2，则ab >0不成立；反之，若ab >0，取a ＝－2，b ＝－3，则a ＋b >0也不成立，因此“a ＋b >0”是“ab >0”的既不充分也不必要条件. 答案 D4.已知两个三角形△ABC ，△A ′B ′C ′，则“△ABC ≌△A ′B ′C ′”是“S △ABC ＝S △A ′B ′C ′”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 △ABC ≌△A ′B ′C ′可得S △ABC ＝S △A ′B ′C ′，但S △ABC ＝S △A ′B ′C ′不可以推出△ABC ≌△A ′B ′C ′.故选A. 答案 A5.四边形ABCD 中，则“四边形ABCD 为平行四边形”是“AB 綊CD ”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 四边形ABCD 为平行四边形等价于AB 綊CD ，故选C. 答案 C 二、填空题6.“x ，y 均为奇数”是“x ＋y 为偶数”的________条件.解析 当x ，y 均为奇数时，一定可以得到x ＋y 为偶数；但当x ＋y 为偶数时，不一定必有x ，y 均为奇数，也可能x ，y 均为偶数. 答案 充分不必要7.设x ∈R ，则“x >12”是“(2x －1)(x ＋1)>0”的________条件. 解析 由⎩⎨⎧2x －1>0，x ＋1>0，或⎩⎨⎧2x －1<0，x ＋1<0，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >12或x <－1， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >12{x |2x 2＋x －1>0}.答案 充分不必要8.函数y ＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是m ＝________. 解析 当m ＝－2时，y ＝x 2－2x ＋1， 其图象关于直线x ＝1对称，反之也成立，所以函数y ＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是m ＝－2. 答案 －2 三、解答题9.已知x ，y 都是非零实数，且x >y ，求证：1x <1y 的充要条件是xy >0. 证明 法一 充分性：由xy >0及x >y ，得x xy >y xy ，即1x <1y . 必要性：由1x <1y ，得1x －1y <0，即y －x xy <0. 因为x >y ，所以y －x <0，所以xy >0. 所以1x <1y 的充要条件是xy >0. 法二 1x <1y ⇔1x －1y <0⇔y －x xy <0. 由条件x >y ⇔y －x <0，知y －xxy<0⇔xy >0. 所以1x <1y ⇔xy >0，即1x <1y 的充要条件是xy >0.10.已知ab ≠0，求证：a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0成立的充要条件是a ＋b ＝1. 证明 充分性：∵a ＋b ＝1，∴a ＋b －1＝0，∴a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－(a 2＋b 2－ab )＝(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0. 必要性：∵a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0， ∴(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0. 又ab ≠0，∴a ≠0且b ≠0， ∴a 2－ab ＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22＋34b 2>0，∴a ＋b －1＝0，即a ＋b ＝1.综上可知，当ab ≠0时，a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0成立的充要条件是a ＋b ＝1.能力提升11.命题p：x>0，y<0，命题q：x>y，1x>1y，则p是q的________条件.解析当x>0，y<0时，x>y且1x>1y成立，当x>y且1x>1y时，得⎩⎪⎨⎪⎧x－y>0，x－yxy<0⇒⎩⎨⎧x>0，y<0.所以p是q的充要条件.答案充要12.求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0. 证明假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，q：a＋b＋c＝0.①证明p⇒q，即证明必要性.∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.②证明q⇒p，即证明充分性.由a＋b＋c＝0，即c＝－a－b.∵ax2＋bx＋c＝0，∴ax2＋bx－a－b＝0，即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.∴x＝1是方程的一个根.故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.创新猜想13.(多选题)在下列各命题中，p是q的充要条件的是()A.p：A⊆B，q：A∩B＝AB.p：a＝b，q：|a|＝|b|C.p：x2＋y2＝0，q：x＝y＝0(x，y∈R)D.p：a，b都是偶数，q：a＋b是偶数解析A、C中，p都是q的充要条件.B中，p是q的充分不必要条件.D中，p 是q的充分不必要条件.答案AC14.(多空题)p：两个三角形的三条边对应相等，q：两个三角形的三个角对应相等，r：两个三角形全等，则p是r的________条件；q是r的________条件.解析p⇒r，r⇒p；q⇒r，r⇒q，故前者为充要条件，后者为必要不充分条件.答案充要必要不充分如何学好数学1.圆锥曲线中最后题往往联立起来很复杂导致k算不出，这时你可以取特殊值法强行算出k过程就是先联立，后算代尔塔，用下伟达定理，列出题目要求解的表达式，就ok了2.选择题中如果有算锥体体积和表面积的话，直接看选项面积找到差2倍的小的就是答案，体积找到差3倍的小的就是答案，屡试不爽！3.三角函数第二题，如求a(cosB+cosC)/(b+c)coA之类的先边化角然后把第一题算的比如角A等于60度直接假设B和C都等于60°带入求解。

第一章：集合主要知识点：1.集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性。

2.集合的表示方法：列举法、描述法。

3.集合间的基本关系：相等、子集、真子集、空集。

4.集合的运算：交集、并集、补集。

5.有限集子集个数的确定：若一集合中的元素个数为n 个，则其子集的个数为n2 非空子集的个数为12-n真子集的个数为12-n 非空真子集的个数为22-n1.1 集合的含义与表示1．已知集合S ＝{a ，b ，c }中的三个元素可构成△ABC 的三条边长，那么△ABC 一定不是( )．A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形2．集合A ＝{1，－3,5，－7,9，－11，…}，用描述法表示正确的是( )． (1){x |x ＝2n ±1，n ∈N }(2){x |x ＝(－1)n (2n －1)，n ∈N } (3){x |x ＝(－1)n (2n ＋1)，n ∈N }(4){x |x ＝(－1)n ＋1(2n －1)，n ∈N }[来源:Z*xx*]A ．只有(4)B ．(1)(4)C ．(2)(4)D ．(3)(4)3．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 为( )． A ．2 B ．3C ．0或3D ．0,2,3均可4．下列表示同一个集合的是( )． A ．M ＝{(2,1)，(3,2)}，N ＝{(1,2)，(2,3)} B ．M ＝{2,1}，N ＝{1,2} C ．M ＝{3,4}，N ＝{(3,4)}D ．M ＝{y |y ＝x 2＋1}，N ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1} 5．若集合A ＝{(x ，y )|2x －y ＋m ＞0}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －n ≤0}，若点P (2,3)∈A ，且P (2,3)∉B ，则( )．A ．m ＞－1，n ＜5B ．m ＜－1，n ＜5C ．m ＞－1，n ＞5D ．m ＜－1，n ＞56．设集合A ＝1|,3n x x n ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭N ，若x 1∈A ，x 2∈A ，则必有( )． A ．x 1＋x 2∈A B ．x 1x 2∈AC ．x 1－x 2∈AD ．12x A x ∈ 7．定义A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，若A ＝{2,4,6,8,10}，B ＝{1,4,8}，则A －B 等于( )．A ．{4,8}B ．{1,2,6,10}C ．{1}D ．{2,6,10}8．已知集合A 中的元素满足性质：若a ∈A ，且a ≠1，则11A a∈-. (1)若a ＝2，试探求集合A 中一定含有的另外元素；(2)说明集合A不是单元素集．解：由a∈A，a≠1，则11a-∈A可知(1)若2∈A，则112-＝－1∈A，于是111(1)2A=∈--，1112-＝2∈A，112-＝－1∈A，……故集合A中一定含有－1，12两个元素．(2)若集合A是单元素集，则a＝11a-，即a2－a＋1＝0，此方程无实数解，这与已知矛盾．∴a与11a-都为集合A的元素，故A不是单元素集．9．已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}．(1)若A是单元素集，求a的值及集合A；[m](2)求集合P＝{a∈R|a使得A至少含有一个元素}．解：(1)当a＝0时，由条件可知，1+2，符合题意；当a≠0时，要使方程有两个相等的实根，则Δ＝9－8a＝0，即98a=，此时，43A⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.综上所述：当a＝0时，23A⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；当98a=时，43A⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.(2)由(1)知，当a＝0时，23A⎧⎫=⎨⎬⎩⎭含有一个元素，符合题意．当a≠0时，若a使得A至少含有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0有实数根，∴Δ＝9－8a≥0，即98 a≤.综上所述，P＝{a∈R|a使得A至少含有一个元素}＝98a a⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭.答案：1.D 2.D 3.B 4.B 5.A 6.B 7.D1.2集合的基本关系1．下列命题：①空集是任何集合的真子集；②若A B，B C，则A C；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④如果凡不属于B的元素也不属于A，则A⊆B.其中，正确的是()．A．①②B．②③C．②④D．③④2．下列各式中，正确的个数是()．①∅＝{0}；②∅⊆{0}；③∅∈{0}；④0＝{0}；⑤0∈{0}；⑥{1}∈{1,2,3}；⑦{1,2}⊆{1,2,3}；⑧{a，b}⊆{b，a}A．1 B．2C ．3D ．4[来源学科网]3．若集合A ＝{1，3，x }，B ＝{x 2 ，1}，且B ⊆A ，则满足条件的实数x 的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．集合A ＝{1,2,3}的真子集的个数为( )． A ．6 B ．7 C ．8 D ．95．已知集合M ＝{x |5＜x ＜10}，集合P ＝{x |x ＜m ＋1}，且M ⊆P ，则实数m 的取值范围是( )．A ．m ≥9B ．m ＞9C ．m ≥4D ．m ＞46．设A 是非空集合，对于k ∈A ，如果1A k∈，那么称集合A 为“和谐集”，在集合111,0,,,1,2,3,432M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭的所有非空子集中，是和谐集的集合的个数为( )．A ．3B ．7C ．15D ．317．已知三元素集合A ＝{x ，xy ，x －y }，B ＝{0，|x |，y }，且A ＝B ，求x 与y 的值．答案：x ＝－1，y ＝－1.8．已知A ＝{x ||2x －3|＜a }，B ＝{x ||x |≤10}，且A B ，求实数a 的取值范围．答案：实数a 的取值范围是a ≤17.9.已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，a ，x ∈R }至多有一个真子集，求a 的取值范围．答案：a 的取值范围是a ≥1或a ＝0.答案：1.C 2.D 3.C 4.B 5.A 6.C1.3集合的基本运算1．已知集合M ＝{x |－3＜x ＜1}，N ＝{x |x ≤－3}，则M ∪N 等于( )． A ．∅ B ．{x |x ≥－3} C ．{x |x ≥1} D ．{x |x ＜1}2．设集合U ＝{1,2,3,4}，A ＝{1,2}，B ＝{2,4}，则(A ∪B )＝( )． A ．{2} B ．{3} C ．{1,2,4} D ．{1,4}3．集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．44．设全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合M ＝{1,3,5}，N ＝{2,5}，则Venn 图中阴影部分表示的集合是( )．A ．{5}B ．{1,3}C ．{2,4}D ．{2,3,4}5．已知集合A ＝{3，a 2}，集合B ＝{0，b,1－a }，且A ∩B ＝{1}，则A ∪B ＝( )． A ．{0,1,3} B ．{1,2,4} C ．{0,1,2,3} D ．{0,1,2,3,4}6．设U 为全集，对集合X ，Y ，定义运算“⊕”，满足X ⊕Y ＝(X )∪Y ，则对于任意集合X ，Y ，Z ，则X ⊕(Y ⊕Z )＝( )．A ．(X ∪Y )∪(Z ) B ．(X ∩Y )∪(Z )C．[(X)∪(Y)]∩Z D．(X)∪(Y)∪Z7．如图，I是全集，M，P，S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是()．[来源:学.科.网]A．(M∩P)∩S B．(M∩P)∪SC．(M∩P)∩(I S) D．(M∩P)∪(I S)8．设U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，()∩B＝{3,7}，()∩A＝{2,8}，()∩()＝{1,5,6}，则集合A＝__________，B＝________.答案：A＝{2,4,8,9}，B＝{3,4,7,9}9．已知集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|m＜x＜m＋9}．(1)若A∪B＝B，求实数m的取值范围；(2)若A∩B≠∅，求实数m的取值范围．答案：(1)∵A∪B＝B，∴A⊆B.由数轴可得，2,93, mm≤-⎧⎨+≥⎩解得－6≤m≤－2.(2)若A∩B＝∅，利用数轴可得m＋9≤－2，或m≥3.∴m≤－11，或m≥3.∴满足A∩B≠∅的实数m的取值范围为{m|－11＜m＜3}．10．某班举行数理化竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中参加数学、物理两科的有10人，参加物理、化学两科的有7人，参加数学、化学两科的有11人，而参加数、理、化三科的有4人，求出全班人数．答案：设参加数学、物理、化学三科竞赛的同学组成的集合分别为A，B，C，由题意可知A，B，C三集合中元素个数分别为27,25,27，A∩B，B∩C，A∩C，A∩B∩C的元素个数分别为10,7,11,4.画出Venn图，如图所示．可知全班人数为10＋13＋12＋6＋4＋7＋3＝55(人)．答案：1.D 2.B 3.D 4.B 5.C 6.D 7.C第二章：函数主要知识点：1.函数的三个要素：定义域、对应法则、值域2.判断两个函数是否相等，求函数的定义域、值域3.分段函数4.求函数的解析式5.函数图像的变换 （1）平移变换bx f y x f y bx f y x f y a x f y x f y a x f y x f y b b a a -=−−−−−−→−=+=−−−−−−→−=+=−−−−−−→−=-=−−−−−−→−=)()()()()()()()(个单位长度向下平移个单位长度向上平移个单位长度向左平移个单位长度向右平移（2）对称变换)()()()()()()()(x f y x f y x f y x f y x f y x f y x f y x f y y y y x x y x =→==→=-=−−−−→−=-=−−−−→−=轴右边的图像并把保留轴右边轴右边图像对称到轴上方图像再把保留轴下方图像对称到上方轴对称关于轴对称关于6.函数的单调性与最值（复合函数的单调性，同增异减）7.二次函数的性质8.求二次函数的解析式、最值等 9.常见幂函数的图像与性质，如12132,,,,-=====x y x y x y x y x y10.函数的奇偶性：（1）两个奇函数之和仍为奇函数 （2）两个奇函数之积是偶函数 （3）两个偶函数之和仍是偶函数 （4）两个偶函数之积仍是偶函数（5）一个奇函数与一个偶函数之积是奇函数2.1 函数概念1．设x 取实数，则f (x )与g (x )表示同一个函数的是( )． A ．f (x )＝x ，g (x )＝2xB ．f (x )＝2()x x ，g (x )＝2()xx C ．f (x )＝1，g (x )＝(x －1)0D ．f (x )＝293x x -+，g (x )＝x －32．函数f (x )＝2||xx x+-的定义域是( )．A ．[－1,2]B ．[－1,0)∪(0,2]C ．[－2,0)D ．(0,2][来源学科网ZXX3．已知等腰△ABC 的周长为10，则底边长y 关于腰长x 的函数关系为y ＝10－2x ，此函数的定义域为( )．A ．RB ．{x |x ＞0}C ．{x |0＜x ＜5}D ．552x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭4．函数213x y x +=-的值域是( )． A ．(－∞，3)∪(3，＋∞) B ．(－∞，2)∪(2，＋∞) C ．RD ．(－∞，2)∪(3，＋∞)5．下列各图中，可表示函数y ＝f (x )图像的只可能是( )．6．已知函数y ＝f (x 2－4)的定义域是[－1,5]，则函数y ＝f (2x ＋1)的定义域为__________．答案：5,102⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7．已知f (x )的定义域是[0,1]，且f (x ＋m )＋f (x －m )的定义域是∅，则正数m 的取值范围是________．答案：12m >8．已知函数f (x )＝641x x -+-， (1)求函数f (x )的定义域； (2)求f (－1)，f (12)的值； (3)若f (4－a )－f (a －4)＋8a a --＝0，求a 的值．答案：(1)要使函数f (x )＝641x x -+-有意义，需满足10,40,x x -≠⎧⎨+≥⎩即1,4,x x ≠⎧⎨≥-⎩∴x ≥－4，且x ≠1.∴函数f (x )的定义域为{x |x ≥－4，且x ≠1}．(2)f (－1)＝6143311--+=----， f (12)＝63812412111-+=--. (3)∵f (4－a )＝66448413a a a a--+=-----，f (a －4)＝6644415a a a a --+=----，[来源学科网]∴由f (4－a )－f (a －4)＋8a a --＝0得，6688035a a a a a a ---++--=--，即66035a a -=--. ∴6(28)0(3)(5)a a a -=--，∴a ＝4.9．已知函数f (x )＝11x+. (1)求f (2)与12f ⎛⎫⎪⎝⎭，f (3)与13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭. (2)由(1)中求得结果，你能发现f (x )与1f x ⎛⎫⎪⎝⎭有什么关系？并证明你的发现． (3)求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 013)＋12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋…＋12013f ⎛⎫⎪⎝⎭.答案：(1)∵f (x )＝11x +，∴f (2)＝11123=+，11212312f ⎛⎫== ⎪⎝⎭+，11(3)134f ==+，11313413f ⎛⎫== ⎪⎝⎭+. (2)由(1)中求得结果可发现f (x )＋1f x ⎛⎫⎪⎝⎭＝1，证明如下：11111()1111111x x f x f x x x x x x+⎛⎫+=+=+== ⎪++++⎝⎭+.(3)f (1)＝11112=+，由(2)知，f (2)＋12f ⎛⎫⎪⎝⎭＝1， f (3)＋13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1，…，f (2 013)＋12013f ⎛⎫⎪⎝⎭＝1，∴原式＝201211112++++个＝14025+2 012=22.答案：1.B 2.C 3.D 4.B 5.D2.2 函数的表示法1．函数f (x )＝21,1,2,1,x x x x⎧+≤⎪⎨>⎪⎩则f (f (3))＝( )．A ．15B ．3C ．23D ．1392．已知函数f (x )＝2x ＋1(1≤x ≤3)，则( )．A．f(x－1)＝2x＋2(0≤x≤2)B．f(x－1)＝2x－1(2≤x≤4)C．f(x－1)＝2x－2(0≤x≤2)D．f(x－1)＝－2x＋1(2≤x≤4)3．已知f(x)＝kx＋b(k＜0)，且f[f(x)]＝4x＋1，则f(x)＝()．A．－2x－1 B．－2x＋1C．－x＋1 D．1 22x--4．已知函数f(x)＝2,0,1,0.x xx x>⎧⎨+<⎩若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于()．A．－3 B．－1 C．1 D．35．设函数f(x)＝2,0,2,0,x bx c xx⎧++≤⎨>⎩若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为________．答案：36．若定义运算a b＝,,,,b a ba a b≥⎧⎨<⎩则函数f(x)＝x(2－x)的值域是______．答案：(－∞，1]7．已知函数f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x＋2，则f(x)＝________.答案：2 33 x+8．设f(x)＝11,0,21,0x xxx⎧-≥⎪⎪⎨⎪<⎪⎩若f(x)＞－1，则实数x的取值范围为________．答案：(－∞，－1)∪(0，＋∞)9．当m为怎样的实数时，方程x2－4|x|＋5＝m有四个互不相等的实数根？答案：1＜m＜510．已知函数f(x)对任意的实数x，y，都有f(x＋y)＝f(x)＋2y(x＋y)，且f(1)＝1，求f(x)的解析式．答案：f(x)＝2x2－1答案：1.D 2.B 3.A 4.A2.3函数的单调性1．已知函数y＝ax和byx=-在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f(x)＝bx＋a在R上是()．A．减函数且f(0)＞0 B．增函数且f(0)＞0 C．减函数且f(0)＜0 D．增函数且f(0)＜02．定义在R 上的函数f (x )对任意两个不等实数a ，b ，总有()()f a f b b a--＞0成立，则必有( )．A ．函数f (x )是先增后减[]B ．函数f (x )是先减后增C ．f (x )在R 上是增函数D ．f (x )在R 上是减函数3．设函数f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，又若a ∈R ，则( )． A ．f (a )＞f (2a ) B ．f (a 2)＜f (a ) C ．f (a 2＋a )＜f (a ) D ．f (a 2＋1)＜f (a )4．已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，若a ，b ∈R 且a ＋b ＞0，则有( )． A ．f (a )＋f (b )＞－f (a )－f (b ) B ．f (a )＋f (b )＜－f (a )－f (b ) C ．f (a )＋f (b )＞f (－a )＋f (－b ) D ．f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )5．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝1ax +在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )． A ．(－1,0)∪(0,1) B ．(－1,0)∪(0,1] C ．(0,1) D ．(0,1] 6．若函数f (x )＝x 2＋(a －1)x ＋a 在区间[2，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是__________．答案：a ≥－37．函数f (x )＝x |x －1|的单调增区间为__________．答案：1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦和[1，＋∞)8．已知函数f (x )＝22x -(x ∈[3,6])， (1)讨论函数f (x )在[3,6]上的单调性，并证明你的结论；[来源学科网ZXXK](2)求函数f (x )的最大值与最小值；(3)若函数g (x )＝m 的图像恒在f (x )的图像的上方，求m 的取值范围．答案：(1)函数f (x )在[3,6]上是减函数，下面进行证明： 任取x 1，x 2∈[3,6]，且x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0. ∴f (x 1)－f (x 2)＝2112122()2222(2)(2)x x x x x x --=----＞0， 即f (x 1)＞f (x 2)．由单调函数的定义可知，函数f (x )＝22x -在[3,6]上是减函数． (2)由(1)知，f (x )max ＝f (3)＝2， f (x )min ＝f (6)＝12. (3)若函数g (x )＝m 的图像恒在f (x )的图像的上方，则m 应不小于函数f (x )的最大值2，∴m 的取值范围是m ≥2.答案：1.C 2.D 3.D 4.C 5.D2.4二次函数性质的再研究1．函数y ＝x 2的图像向上平移1个单位，所得图像的函数解析式为( )．A ．y ＝(x ＋1)2B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝x 2＋1D ．y ＝x 2－1 2．二次函数y ＝f (x )满足f (3＋x )＝f (3－x )，且f (x )＝0有两个实根x 1，x 2，则x 1＋x 2等于( )． A ．0 B ．3[来源学科网ZXXK][来源学_科_网Z_X_X_K]C ．6D ．不能确定3．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a ＝( )． A ．－1 B ．1 C ．2 D ．－24．二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，又f (x )在[0,2]上是增函数，且f (a )≥f (0)，那么实数a 的取值范围是( )．A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．[0,4]D ．(－∞，0]∪[4，＋∞)5.已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值为8，试确定此二次函数的表达式答案：所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.6．已知函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f (1)的取值范围是________．答案：[25，＋∞)7．已知函数f (x )＝212x x -+在区间[m ，n ]上的值域是[3m,3n ]，则m ＝______，n ＝______. 答案：4,0.m n =-⎧⎨=⎩答案：1.C 2.C 3.B 4.C2.5简单的幂函数1．下列函数是幂函数的是( )．①y ＝x 3 ②y ＝x 0 ③y ＝－2x 2 ④y ＝3x ⑤y ＝x －2＋1 A ．①② B ．①③C ．①③④D ．①②③④2．若幂函数f (x )＝x m －1在(0，＋∞)上是减函数，则( )． A ．m ＞1 B ．不能确定 C ．m ＝1 D ．m ＜1 3．函数f (x )＝1x x-的奇偶性为( )． A ．奇函数 B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数 4．f (x )是R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )是增函数，则f (－π)，f (3)，f (－5)的大小关系是( )． A ．f (3)＜f (－π)＜f (－5) B ．f (－π)＜f (－5)＜f (3) C ．f (3)＜f (－5)＜f (－π) D ．f (－5)＜f (－π)＜f (3)5．如果幂函数y ＝(m 2－9m ＋19)x 2m －7的图像不过原点，则( )． A ．72m <B ．m ＝3C ．m ＝3或6D ．m 不存在[来源学科网]6．下列说法中，不正确的是( )．A ．图像关于原点成中心对称的函数一定是奇函数B ．奇函数的图像一定经过原点C ．偶函数的图像若不经过原点，则它与x 轴交点个数一定是偶数D．图像关于y轴对称的函数一定是偶函数7．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[a＋1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值为()．A．13-B．13C．12-D．128．定义在R的偶函数f(x)满足：对任意x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]＞0，则n∈N＋时，有()．A．f(－n)＜f(n－1)＜f(n＋1)B．f(n－1)＜f(－n)＜f(n＋1)C．f(n＋1)＜f(－n)＜f(n－1)D．f(n＋1)＜f(n－1)＜f(－n)9.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，又知当0＜x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)的值为________．答案：f(7.5)＝－f(0.5)＝－0.5.10．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，已知当x≤0时，f(x)＝x2＋4x＋3.(1)求函数f(x)的解析式；(2)画出函数f(x)的图像，并写出函数f(x)的单调递增区间．答案：(1)∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，∴对任意的x∈R都有f(－x)＝f(x)成立，∴当x＞0时，－x＜0，即f(x)＝f(－x)＝(－x)2＋4(－x)＋3＝x2－4x＋3，∴f(x)＝2243,0,43,0. x x xx x x⎧-+>⎨++≤⎩(2)图像如图所示，函数f(x)的单调递增区间为[－2,0]和[2，＋∞)．(写成开区间也可以)11．已知函数f(x)对一切a，b都有f(ab)＝bf(a)＋af(b)．(1)求f(0)；(2)求证：f(x)是奇函数；(3)若F(x)＝af(x)＋bx5＋cx3＋2x2＋dx＋3，已知F(－5)＝7，求F(5)．答案：(1)∵函数f(x)对一切a，b都有f(ab)＝bf(a)＋af(b)，∴令a＝b＝0得f(0×0)＝0×f(0)＋0×f(0)，即f(0)＝0.(2)证明：令a＝b＝1得，f(1×1)＝1×f(1)＋1×f(1)，即f(1)＝0.[来源:Z|xx|]令a＝b＝－1得，f[(－1)×(－1)]＝(－1)×f(－1)＋(－1)×f(－1)，即f(－1)＝0.令a＝－1，b＝x得，f[(－1)×x]＝xf(－1)＋(－1)f(x)，即f(－x)＝xf(－1)－f(x)，∵f(－1)＝0，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(3)∵f(x)是奇函数，∴f(－5)＝－f(5)．∵F(x)＝af(x)＋bx5＋cx3＋2x2＋dx＋3，且F(－5)＝7，∴af(－5)＋b×(－5)5＋c×(－5)3＋2×(－5)2＋d×(－5)＋3＝7，即af(5)＋b×55＋c×53＋d×5＝46.∴F (5)＝af (5)＋b ×55＋c ×53＋2×52＋d ×5＋3＝46＋50＋3＝99.12．函数f (x )＝21ax b x ++是定义在(－1,1)上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. (1)求函数f (x )的解析式；(2)证明函数f (x )在(－1,1)上是单调增函数；(3)解不等式f (m －1)＋f (m )＜0.答案：(1)∵f (x )＝21ax b x++是定义在(－1,1)上的奇函数， ∴f (x )在x ＝0处有意义，且f (0)＝0. ∴20010a b ⨯+=+，即b ＝0. 又∵1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴210225112a +=⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ∴a ＝1.故f (x )＝21x x +.[来源:](2)任取x 1，x 2∈(－1,1)，且x 1＜x 2，则x 1－x 2＜0，x 1x 2＜1. ∴f (x 1)－f (x 2)＝12121222221212()(1)11(1)(1)x x x x x x x x x x ---=+++⋅+＜0， 即f (x 1)＜f (x 2)．由单调函数的定义可知，函数f (x )在(－1,1)上是单调增函数．(3)由f (m －1)＋f (m )＜0得，f (m －1)＜－f (m )．∵函数f (x )是奇函数，∴f (－m )＝－f (m )，∴f (m －1)＜f (－m )．∵f (x )是(－1,1)上的单调增函数，∴1<1<1111m m m m --⎧⎪-<<⎨⎪-<-⎩，，，解得0＜m ＜12. 答案：1.A 2.D 3.A 4.A 5.B 6.B 7.A 8.C。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第一章 同步练测 (北师版必修1)建议用时 实际用时满分 实际得分90分钟150分一、 选择题（每小题5分，共50分）1.设集合{123}{139}A B x A ==∈，，，，，，，且x B ∉， 则x =（ ）A.1B.2C.3D.92.设集合2{1}{|20}A B x x x ==-，＜，则正确的 是（ ）A.A B =B.A B =∅C.B A ⊆D.A B ⊆ 3.设{|61,}A x x m m ==+∈Z ，{|31,B y y n ==+}n ∈Z ，{}|32,C z z p p ==-∈Z ，2{|3D a a q == 2,}q -∈Z ，则四个集合之间的关系正确的是（ ）A.D B C ==B.D B C ⊆=C.D A B C ⊆⊆=D.A D B C ⊆⊆= 4.{},,2A a a b a b =++，2{,,}B a ac ac =，若A B =，则c 的值为（ ）A.-1B.-1或12- C.1 2- D.1 5.已知全集U =R ，集合{|2}A x x =＜，{|B x x =1}>，则UA B （）ð等于（ ） A ．{|12}x x << B ．{|2}x x ≤- C ．{|12}x x x ≤≥或 D ．{|12}x x x <>或6.24{|(1)4}M x k x k =∈+≤+R ，对任意的k ∈R ，总有（ ）A.2,0M M ∉∉B.2,0M M ∈∈C.2,0M M ∈∉D.2,0M M ∉∈ 7.设{|23}S x x =->，{}|8T x a x a =<<+，ST =R ，则a 的取值范围是（ ）A.31a -<<-B.31a -≤≤-C.3a ≤-或1a ≥-D.3a <-或1a >- 8.设全集{(,)|,}U x y x y =∈R ，集合3(,)12y M x y x ⎧-⎫==⎨⎬-⎩⎭，{(,)|1}N x y y x =≠+，那么()()U U M N 痧=( )A.∅B.{(2,3)}C.(2,3)D.{(,)|1}x y y x =+ 9.设U 为全集，123,,S S S 为U 的三个非空子集且1S ∪2S ∪3S =U ，下列推断正确的是（ ）A.1U S ð∩(2S ∪3S )=∅B.1U S ð∩2U S ð∩3U S ð=∅C.1S ⊆(2U S ð∩3U S ð)D.1S ⊆(2U S ð∪3U S ð)10.集合{}22,1,3,{3,21,1}A a a B a a a =+-=--+，若{}3AB =-，则a 的值是（ ）A.0B.-1C.1D.2二、填空题（每小题5分，共25分） 11.已知集合{45}{123}P Q ==，，，，，定义P Q ⊕={|}x x p q p P q Q =-∈∈，，，则集合P Q ⊕用列举法表示为 .12.{}2{|1}|1A x x B x ax ====，，B A ⊂≠，则a 的值是 .13.已知集合P 满足{46}{4}P =，，{810}P =，{10}，并且{46810}P ⊆，，，，则P = .14.向50名学生调查对,A B 两事件的态度，有如下结果：赞成A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对,A B 都不赞成的学生数比对,A B 都赞成的学生数的三分之一多1人,则对,A B 都赞成的学生 人，都不赞成的学生 人.15.2{2,1,1},{2,4,4},{1,A x xB y xC =--+=-+=-7},A B C =,则,x y 的值分别是 .三、解答题（共75分） 16.（12分）已知集合A =611xx x ⎧⎫≥∈⎨⎬+⎩⎭，，R B =2{|20}x x x m --<.（1）当m =3时，求A B （）ðR ；（2）若{|14}A B x x =-<<，求实数m 的值．17.（12分）设2{|210,}A x ax x a =∈++=∈R R . (1)当A 中元素个数为1时，求a 和A ；(2)当A 中元素个数至少为1时，求a 的取值范围； (3)求A 中各元素之和.18.（12分）已知集合{|12}A x x =-＜，{|B x = 260}x ax +-＜，2{|2150}C x x x =--＜.（1）若A B B =，求a 的取值范围.（2）是否存在a 的值使得A B B C =？若存在， 求出a 的值；若不存在，请说明理由．19.（12分（1）已知集合,A B 满足{12}AB =，，则满足条件的集合,A B 有多少对？请一一写出来． （2）若{123}A B =，，，则满足条件的集合,A B 有多少对？20.（13分）已知12345{,,,,}A a a a a a =，21{,B a =22,a222345,,}a a a ，其中12345,,,,a a a a a ∈Z ，123a a a <<<45a a <，且A B ={14,a a }，14a a +=10，又A B的元素之和为224，求：(1)14,a a ；(2)5a ；(3)A .21.（14分）设22{|190}A x x ax a =-+-=，{|B x =2560}x x -+=，2{|280}C x x x =+-=.(1)A B =A B ，求a 的值；(2)∅⊂≠A B ，且A C =∅，求a 的值；(3)A B =A C ≠∅，求a 的值.第一章同步练测 (北师版必修1)得分：一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二、填空题11． 12． 13. 14. 15.三、解答题16.17.18.19.20.21.第一章 同步练测 (北师版必修1)一、选择题1.B 解析：因为x A ∈，所以x 的可能取值是1，2，3．因为x B ∉，所以x 的值不能取1，3，9，所以x =2．2.D 解析：因为220x x -<，所以02x <<，所以{|02}B x x =<<.因为1{|02}x x ∈<<，所以A B ⊆．3.B 解析：首先看集合B 和C ，这两个集合都表示被3除余1的所有整数，故B C =.而D 相对于C 而言，相当于C 中的p 只能取完全平方数，故D C ⊆，也可以说D B ⊆.A 表示被6除余1的所有整数，与D 是交叉的关系，故选B.4.C 解析：A B =有两种可能： ①2,2,a b ac a b ac +=⎧⎨+=⎩易解出1c =，但此时²a ac ac ==，与集合中元素的互异性矛盾，故1c ≠.②2,2,a b ac a b ac ⎧+=⎨+=⎩易解出12c =-或1c =（舍去），经检验12c =-符合题意.综上，应选C.5.C 解析：因为全集U =R ，集合{|2}{|22}{|1}A x x x x B x x ==-<<=>＜，，所以{|22}A B x x =-<<{|1}{|12}x x x x >=<<，所以{|12}UA B x x x =≤≥（）或ð．故选C ． 6.B 解析：将0代入显然成立；将2代入得42422k k +≥+，即22(1)11k -+≥，此不等式恒成立，故2M ∈.7.A 解析：由题意知(,1)(5,)S =-∞-+∞，因此可列出不等式组1,85,a a <-⎧⎨+>⎩解得-31a <<-，选A. 8.B 解析：()()()U U U M N M N =痧?，集合M 表示直线1y x =+上除(2,3)外的所有点，集合N 表示不在直线1y x =+上的所有点，因此所求的集合是一个单元素点集{(2,3)}，选B.9.B 解析：对于A 选项，不在1S 中的元素可以在2S 或3S 中，即一定在集合(2S ∪3S )中，故两集合的交集不为空，A 错；对于C,D 两项画出Venn 图易知C,D 均错，选B.10.B 解析：集合A 中已经有元素-3，集合B 中²a +1不能为负，故a -3=-3或2a -1=-3，解得a =0或a =-1，但当a =0时，a +1=²a +1=1，不合题意，故a 不为0，而a =-1符合题意，选B.二、填空题11.{1，2，3，4} 解析：因为集合{45}{123}P Q ==，，，，，定义{|}P Q x x p q p P q Q ⊕==-∈∈，，，所以集合P Q ⊕={1，2，3，4}．12.0或1或-1 解析：当B =∅时，a =0；当B ≠∅时，由A ={-1,1},分别将x =-1和x =1代入方程ax =1得，a =-1或a =1.13.{4,10} 解析：由第一个条件知道P 中有元素4而没有元素6，由第二个条件知道P 中有元素10而没有元素8，再由最后一个条件知P ={4,10}.14.21 8 解析：由题意知：赞成A 的人数为30，赞成B 的人数为33. 设对,A B 都赞成的学生数为x ，则对,A B 都不赞成的学生数为113x +. 由题意可得x +30-x +33-x +113x +=50.所以x =21，113x +=8.15.3,-0.5 解析：对于集合A 易得²17x x -+=，解得x =3或x =-2，但当x =-2时，B 中有元素2不 满足题意，故x =3，对于B 易得2y =-1，故y =-0.5. 三、解答题 16.解：由611x ≥+，得501x x -≤+，所以15x -<≤.所以{|15}A x x =-<≤. （1）当m =3时，{|13}B x x =-<<，则{|13}B x x x =≤-≥或ðR .所以{|35}A Bx x =≤≤（）ðR . （2）因为{|15}{|14}A x x AB x x =-<≤=-<<，，所以42-2×4-m =0，解得m =8.此时{|24}B x x =-＜＜，符合题意，故实数m 的值为8．17.解：（1）当A 中元素的个数为1时，①当a =0时，12A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭；②当a ≠0时，∆=4-4a =0，解得a =1.故当a =0时，12A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭；当a =1时，2{|210}{1}A x x x =++==-.（2）当A 中元素的个数至少为1时，①当a =0时，12A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，满足题意； ②当a ≠0时,∆=4-4a ≥0，解得a ≤1且a ≠0. 故a 的取值范围是(-∞,1]. （3）①当a =0时，元素之和为12-. ②当a ≠0时,当∆=440a -<，即a >1时，A =∅，无元素； 当∆=4-4a =0,即a =1时，元素之和为-1； 当∆=440a ->，即a <1时，元素之和为2a-. 18.解：（1）因为集合{|12}A x x =-<，2{|60}B x x ax =+-<，2{|2150}C x x x =--<， 所以{|13}{|35}A x x C x x =-<<=-<<，. 由AB B =知A B ⊆.令26fx x ax =+-（），则(1)0,(3)0,f f -≤⎧⎨≤⎩解得51a -≤≤-.（2）假设存在a 的值使得A B B C =.由AB BC B =⊆知A B ⊆.由B A B B C ⊆=知B C ⊆，所以A B C ⊆⊆． 由（1）知若A B ⊆，则a ∈[-5，-1].当B C ⊆时，2240a ∆=+>，所以B ≠∅.所以(3)0,(5)0,f f -≥⎧⎨≥⎩得1915a -≤≤.故存在1915a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，满足条件． 19.解：（1）因为{12}AB =，，所以集合,A B 可以是：∅，{1，2}；{1}，{1，2}；{1}，{2}；{2}，{1，2}；{2}，{1}；{1，2}，{1，2}；{1，2}，{1}；{1，2}，{2}；{1，2}，∅． 故满足条件的集合,A B 有9对.（2）若{123}A B =，，，则满足条件的集合,A B 有：①当A =∅时，B 只有一种情况；②当A ={1}时，B 要包含2，3，有2种情况； ③当A ={2}时，B 要包含1，3，有2种情况； ④当A ={3}时，B 要包含1，2，有2种情况； ⑤当A ={1，2}时，B 要包含3，有4种情况； ⑥当A ={1，3}时，B 要包含2，有4种情况； ⑦当A ={2，3}时，B 要包含1，有4种情况；⑧当A ={1，2，3}时，B 只需是{1，2，3}的子集，有8种情况. 故满足条件的集合,A B 有1+2+2+2+4+4+4+8=27（对）． 20.解：（1）因为AB ={14,a a },所以14,a a B ∈，因此14,a a 均为完全平方数.因为14a a +=10，14a a <，所以1a =1，4a =9. （2）因为1234a a a a <<<，所以2a =3或3a =3.若3a =3，则2a =2，这时A ∪B 的元素之和为224=1+2+4+3+9+81+5a +25a ，此时5a 不是整数，因此应该是2a =3.这时224＞1+3+9+81+5a +25a ，故5a ＞521110.92-≈，而5a ＞4a =9，故5a =10. （3）由上面的结论知道224=1+3+9+81+10+100+3a +23a ，解得3a =4.所以A ={1,3,4,9,10}. 21.解：（1）因为A B =A B ,所以A B =,所以25,196,a a =⎧⎨-=⎩解得a =5.（2）{2,3}B =，C ={2,-4}.因为AB ⊂∅≠,所以AB ≠∅.因为A C =∅，所以2A ∉，-4A ∉.所以3A ∈.将x =3代入A 中的方程，得a =5或a =-2.当a =5时，A ={2,3}，不合题意，舍去. 所以a =-2.（3）因为A B =A C ≠∅，所以A B =A C ={2},所以2A ∈.将x =2代入A 中的方程，得a =5或a =-3.当a =5时.经检验A B ≠A C ，不合题意，舍去. 所以a =-3.。

描述：例题：描述：例题：高中数学必修1(北师版)知识点总结含同步练习题及答案第一章 集合 1.1 集合的含义与表示一、知识清单集合的概念集合中元素的性质 元素和集合的关系集合的表示法常见的数集及其记法 集合的分类空集的概念二、知识讲解1.集合的概念一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（set）（或集）．构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（element）．集合通常用英语大写字母 ，，， 来表示，它们的元素通常用英语小写字母 ， ，， 来表示．2.集合中元素的性质集合中元素的性质包括：集合中元素的确定性给定集合中的元素必须是确定的，也就是任何一个对象或者在给定集合中，或者不在给定集合中，二者必居其一．集合中元素的互异性给定集合中的元素是互不相同的，也就是说集合中的元素是不可能重复出现的．集合中元素的无序性集合中的元素不考虑顺序，只要构成两个集合的对象是一样的，就称这两个集合是相同的．A B C ⋯a b c ⋯判断下面的语句能否确定一个集合，能构成集合的，写出其中的元素．（1）小于 的所有正偶数；（2）方程 的实数解．解：（1）能构成集合，其中的元素有 ，，，；（2）能构成集合，其中的元素有 ，．10−1=0x 22468−11下面表述中的对象可以构成集合的是______．（1）高中数学中所有难题；（2）中国体重超过 的人的全体；（3）大于 的自然数全体．解：（2）（3）构成集合．（1）不符合集合中元素的确定性．100kg 5描述：例题：描述：例题：6.集合的分类含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集．我们通常用 来表示有限集合 中元素的个数．7.空集的概念空集不含任何元素的集合叫做空集（empty set），记为 ．高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

card(A )A 判断下面集合是有限集，还是无限集，是有限集的，写出集合中元素的个数：（1）英文字母全体构成的集合；（2）全体偶数构成的集合；（3） 的正因数构成的集合；（4）方程 的解集．解：（1）有限集，个元素；（2）无限集；（3）有限集，个元素；（4）有限集，个元素．12−2x +1=0x 22661∅ 下列四个集合中，是空集的是（ ）A． B．C． D． 解：D对于 ， ，所以 是空集．{x | x +3=3}{(x , y ) | =−, x , y ∈R }y 2x 2{x | <x }x 2{x | −x +1=0}x 2−x +1=0x 2Δ<0{x | −x +1=0}x 2关于 的不等式 的解集为空集，求实数 的取值范围．解：（1）当 时，原不等式化为 ，显然符合题意．（2）当 时，要使二次不等式的解集为空集，则必须满足解得 ，综上，得 的取值范围为 ．x k −6kx +k +8<0x 2k k =08<0k ≠0{k >0,Δ=−4×k (8+k )⩽0,(6k )20<k ⩽1k {k |0⩽k ⩽1}。

§2 集合的基本关系课后训练案巩固提升A组1.若集合A={x|x是等边三角形},B={x|x是三角形},则下列关系中正确的是()A.A∈BB.A⫋BC.A=BD.B⊆A解析:等边三角形一定是三角形,但三角形不一定是等边三角形,由真子集定义知A⫋B.答案:B2.导学号91000011下列命题中,正确的有()①空集是任何集合的真子集;②若A⫋B,B⫋C,则A⫋C;③任何一个集合必有两个或两个以上的真子集;④若⌀⫋A,则A≠⌀.A.①②B.②③C.②④D.③④解析:空集只是空集的子集而非真子集,故①错;真子集具有传递性,故②正确;若一个集合是空集,则没有真子集,故③错误;因为⌀是任何非空集合的真子集,故④正确,因此选C.答案:C3.集合P={x|x2+x=0}的真子集的个数是()A.1B.3C.4D.7解析:由于P={x|x2+x=0}={-1,0},即集合P中含有2个元素,因此它有22-1=3个真子集.答案:B4.已知集合M={x|x>3},N={x|x>2},则M与N的关系可用Venn图表示为()解析:因为M={x|x>3},N={x|x>2},所以M⫋N.故D选项正确.答案:D5.设A={x|2≤x≤8},B={x|2a≤x≤a+4},若B⊆A,则实数a的取值范围是()A.{a|1≤a≤4}B.{a|a>4}C.{a|a≥1}D.{a|1<a<4}解析:①当B≠⌀时,则有解得1≤a≤4.②当B=⌀时,2a>a+4,解得a>4.综合①②,得a≥1,故选C.答案:C6.若{a,0,1}=,则a=,b=,c=.解析:∵-1∈{a,0,1},∴a=-1;又0∈,∴c=0;由=1得b=1.综上知,a=-1,b=1,c=0.答案:-1107.已知集合A={-1,3,2m-1},集合B={3,m2}.若B⊆A,则实数m=.解析:∵B⊆A,且m2不可能取-1,∴m2=2m-1,解得m=1,经验证符合题意.答案:18.已知集合P={1,2,3,4},Q={0,2,4,5},则满足A⊆P,且A⊆Q的集合A为.解析:若A=⌀,则满足A⊆P,且A⊆Q;若A≠⌀,由A⊆P,且A⊆Q知集合A是由属于P且属于Q的元素构成,此时A可以为{2},{4},{2,4},故满足条件的集合A为⌀,{2},{4},{2,4}.答案:⌀,{2},{4},{2,4}9.导学号91000012已知集合A={x|x<-1,或x>4},B={x|2a≤x≤a+3},若B⫋A,求实数a的取值范围.解:当B=⌀时,只需2a>a+3,即a>3,满足B⫋A.当B≠⌀时,根据题意作出如图所示的数轴,若B⫋A,需解得a<-4或2<a≤3.综上可知,实数a的取值范围为{a|a<-4,或a>2}.10.已知集合P={x∈R|x2+ax+4=0}.(1)若P={2},求实数a的值;(2)若{1}⫋P,求实数a的值.解:(1)因为P={2},所以方程x2+ax+4=0有两个相等的实根x1=x2=2,因此22+2a+4=0,解得a=-4,这时P={x∈R|x2-4x+4=0}={2},符合题意.故a=-4.(2)因为{1}⫋P,所以集合P中含有元素1,即1是方程x2+ax+4=0的根,所以12+a×1+4=0,解得a=-5.这时P={x∈R|x2-5x+4=0}={1,4},符合题意,故a=-5.B组1.设全集为R,集合M={x|y=2x+1},N={y|y=-x2},则()A.M⊆NB.N⊆MC.N=MD.M∈N解析:从代表元素入手,认识集合的意义,由一次函数的图像知M=R,由二次函数的图像知N=(-∞,0],即N⊆M.答案:B2.若集合A={x|x=n,n∈N},B=,则A与B的关系是()A.A⊈BB.A⊆BC.A=BD.A∈B解析:∵n∈Z,∴A={x|x=n,n∈N}⊆=B,故选B.答案:B3A={x|x-2≤0,x∈N},B={x|≤2,x∈Z},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A.5B.4C.3D.2解析:由题意得,A={0,1,2},B={0,1,2,3,4},则满足条件C的元素的个数就是集合{3,4}的子集个数,共有4个,故选B.答案:B4.(拓展探究)集合S={0,1,2,3,4,5},A是S的一个子集,当x∈A时,若有x-1∉A,且x+1∉A,则称x为A的一个“孤立元素”,那么S中无“孤立元素”的4元子集的个数是()A.4B.5C.6D.7解析:依题意,可分为两类:①4元素为相邻的四个数字,有{0,1,2,3},{1,2,3,4},{2,3,4,5};②4个元素分为两组,每组两元素相邻,有{0,1,3,4},{0,1,4,5},{1,2,4,5}.故共有6个4元子集.答案:C5.设集合A={3,m2},B={1,3,2m-1},若A⫋B,则实数m=.解析:因为A⫋B,所以m2=1或m2=2m-1,解得m=±1,由集合元素的互异性可知m=-1.答案:-16.定义A*B={x|x∈A,且x∉B},若A={1,3,5,7},B={2,3,5},则A*B的子集个数为.解析:因为A*B={1,7},所以其子集为⌀,{1},{7},{1,7},个数为4.答案:47A={a,a+b,a+2b},B={a,ac,ac2},若A=B,求c的值.解:①若消去b,得a+ac2-2ac=0,即a(c2-2c+1)=0,当a=0时,集合B中的三个元素相同,不满足集合中元素的互异性,故a≠0,∴c2-2c+1=0,即c=1.当c=1时,集合B中的三个元素也相同,不满足集合中元素的互异性,∴c=1舍去,即此时无解.②若消去b,得2ac2-ac-a=0,即a(2c2-c-1)=0,∵a≠0,∴2c2-c-1=0,即(c-1)(2c+1)=0.又c≠1,∴c=-.经检验,c=-符合题意.综上,c=-.8.已知A={2,4,x2-5x+9},B={3,x2+ax+a},C={x2+(a+1)x-3,1}.求:(1)使A={2,3,4}的x的值;(2)使2∈B,B⫋A的a,x的值;(3)使B=C的a,x的值.解:(1)因为{2,4,x2-5x+9}={2,3,4},所以x2-5x+9=3,所以x=2或x=3.(2)因为B⫋A,所以3∈A,所以x2-5x+9=3.由(1)知x=2或x=3.又因为2∈B,所以x2+ax+a=2.当x=2时,4+2a+a=2,得a=-.当x=3时,由32+3a+a=2,得a=-.所以x=2,a=-,或x=3,a=-.(3)因为B=C,所以得。

第2课时充要条件必备知识基础练知识点一充要条件的判断1．在下列各题中，试判断p是q的什么条件．(1)p：a＋5是无理数，q：a是无理数；(2)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；(3)p：A∩B＝A，q：∁U B⊆∁U A.2．已知p是q的充分条件，q是r的必要条件，也是s的充分条件，r是s的必要条件，问：(1)p是r的什么条件？(2)s是q的什么条件？(3)p，q，r，s中哪几对互为充要条件？知识点二充要条件的证明3．求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点(0，0)的充要条件是b＝0. 4．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.知识点三充要条件的应用5．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的( )A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件6．a，b中至少有一个不为零的充要条件是( )A．ab＝0 B．ab＞0 C．a2＋b2＝0 D．a2＋b2＞07．已知集合A＝{x|a－2<x<a＋2}，B＝{x|x≤－2或x≥4}，则A∩B＝∅的充要条件是________.8．已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．关键能力综合练1．设x∈R，则“x＝1”是“x3＝x”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．(多选题)设r是p的必要条件，r是q的充分条件，s是r的充分必要条件，s是p 的充分条件，则下列说法正确的有( )A．r是q的必要条件B．s是q的充分条件C．s是p的充要条件D．p是q的既不充分也不必要条件3．集合“M∩N＝N”是“M∪N＝M”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．(多选题)若“x＜k或x＞k＋3”是“－4＜x＜1”的必要不充分条件，则实数k的值可以是( )A．－8 B．－5 C．1 D．45．若非空集合A，B，C满足A∪B＝C，且B不是A的子集，则( )A．“x∈C”是“x∈A”的充分不必要条件B．“x∈C”是“x∈A”的必要不充分条件C．“x∈C”是“x∈A”的充要条件D．“x∈C”是“x∈A”的既不充分也不必要条件6．“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________条件．(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空)7．(易错题)如果不等式x≤m成立的充分不必要条件是1≤x≤2，则m的最小值为________．8．设m∈N*，一元二次方程x2－4x＋m＝0有整数根的充要条件是m＝________．9．(探究题)已知集合M＝{x|x<－3或x>5}，P＝{x|(x－a)(x－8)≤0}．(1)求M∩P＝{x|5<x≤8}的充要条件；(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个充分不必要条件．核心素养升级练1.设p：－m≤x≤m(m＞0)，q：－1≤x≤4，若p是q的充分条件，则m的最大值为________，若p是q的必要条件，则m的最小值为________．2．(情境命题—学术情境)试证：方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1.第2课时充要条件必备知识基础练1．解析：(1)因为a＋5是无理数⇒a是无理数，并且a是无理数⇒a＋5是无理数，所以p是q的充要条件．(2)因为a2＋b2＝0⇒a＝b＝0，并且a＝b＝0⇒a2＋b2＝0，所以p是q的充要条件．(3)因为A∩B＝A⇒A⊆B⇒∁U A⊇∁U B，并且∁U B⊆∁U A⇒B⊇A⇒A∩B＝A，所以p是q的充要条件．2．解析：作出“⇒”图，如右图所示，可知：p⇒q，r⇒q，q⇒s，s⇒r.(1)p⇒q⇒s⇒r，且r⇒q，q能否推出p未知，∴p是r的充分条件．(2)∵s⇒r⇒q，q⇒s，∴s是q的充要条件．(3)共有三对充要条件，q⇔s；s⇔r；r⇔q.3．证明：①充分性：如果b＝0，那么y＝kx.当x＝0时，y＝0.所以一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点(0，0).②必要性：因为一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点(0，0)，所以0＝0＋b，所以b＝0.综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点(0，0)的充要条件是b＝0.4．证明：①充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中可得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.故关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1.②必要性：∵关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1，∴x ＝1满足方程ax 2＋bx ＋c ＝0，∴a ·12＋b ·1＋c ＝0，即a ＋b ＋c ＝0.由①②可得，关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.5．答案：A解析：解x 2－2x ＋1＝0得x ＝1，所以“x ＝1”是“x 2－2x ＋1＝0”的充要条件．6．答案：D解析：a 2＋b 2＞0，则a ，b 不同时为零；a ，b 中至少有一个不为零，则a 2＋b 2＞0.故选D.7．答案：0≤a ≤2解析：A ∩B ＝∅⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2≤4，a －2≥－2， ⇔0≤a ≤2. 8．解析：p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0).因为p 是q 的必要不充分条件，所以q 是p 的充分不必要条件，即{x |1－m ≤x ≤1＋m }{x |－2≤x ≤10}，故有⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m <10 或⎩⎪⎨⎪⎧1－m >－2，1＋m ≤10， 解得m ≤3.又m >0，所以实数m 的取值范围为{m |0<m ≤3}．关键能力综合练1．答案：A解析：当x ＝1时，x 3＝x 成立．若x 3＝x ，x (x 2－1)＝0，得x ＝－1，0，1；不一定得到x ＝1.2．答案：BC解析：由题意，p ⇒r ，r ⇒q ，r ⇔s ，s ⇒p 则p ⇔r ⇔s ⇒q .故选BC.3．答案：C解析：M ∩N ＝N ⇔N ⊆M ⇔M ∪N ＝M .4．答案：ACD解析：若“x ＜k 或x ＞k ＋3”是“－4＜x ＜1”的必要不充分条件，所以k ＋3≤－4或k ≥1，所以k ≤－7或k ≥1.故选ACD.5．答案：B解析：由A ∪B ＝C 知，x ∈A ⇒x ∈C ，x ∈CD ⇒x ∈A .所以x ∈C 是x ∈A 的必要不充分条件．6．答案：充要7．答案：2解析：由题意可知：1≤x ≤2⇒x ≤m ，反之不成立，所以m ≥2，即m 的最小值为2.8．答案：3或4解析：x ＝4±16－4m 2＝2±4－m ，因为x 是整数，即2±4－m 为整数，所以4－m 为整数，且m ≤4，又m ∈N *，取m ＝1，2，3，4.验证可得m ＝3，4符合题意，所以m ＝3，4时可以推出一元二次方程x 2－4x ＋m ＝0有整数根．9．解析：(1)由M ∩P ＝{x |5<x ≤8}，得－3≤a ≤5，因此M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的充要条件是－3≤a ≤5.(2)求实数a 的一个值，使它成为M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的一个充分不必要条件，就是在集合{a |－3≤a ≤5}中取一个值，如取a ＝0，此时必有M ∩P ＝{x |5<x ≤8}；反之，M ∩P ＝{x |5<x ≤8}未必有a ＝0.故a ＝0是M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的一个充分不必要条件． 核心素养升级练1．答案：1 4解析：设A ＝[－m ，m ]，B ＝[－1，4]，若p 是q 的充分条件，则A ⊆B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ≥－1m ≤4 ，所以0＜m ≤1， 所以m 的最大值为1，若p 是q 的必要条件，则B ⊆A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ≤－1m ≥4 ，所以m ≥4， 则m 的最小值为4.2．证明：充分性：当a ＝0时，2x ＋1＝0，其根为x ＝－12，方程有一个负根，符合题意； 当a ＜0时，Δ＝4－4a ＞0，方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个不相等的实数根，且两根之积为1a＜0，方程两根一正一负，符合题意； 当0＜a ≤1时，Δ＝4－4a ≥0，方程ax 2＋2x ＋1＝0有实数根，且⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＜01a ＞0 ，故方程两根均为负，符合题意；综上：当a ≤1时，方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根． 必要性：(1)当a ＝0时，方程2x ＋1＝0，合乎题意；(2)当a ≠0时，设方程ax 2＋2x ＋1＝0的两根为x 1，x 2，显然x 1，x 2≠0， ①方程有两个相等的负根，则Δ＝22－4a ＝0，得a ＝1，此时方程为x 2＋2x ＋1＝0，解得x ＝－1，合乎题意； ②方程有两个不等的负根， 则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0x 1x 2＞0x 1＋x 2＜0 ，即⎩⎪⎨⎪⎧4－4a ＞01a＞0－2a ＜0 ，解得0＜a ＜1；③方程有一个正根和一个负根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0x 1x 2＜0 ，即⎩⎪⎨⎪⎧4－4a ＞01a＜0 ，解得a ＜0； 综上：若方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根，则a ≤1.故方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a ≤1.。

§2 集合的基本关系(北师版必修1)建议用时 实际用时满分 实际得分45分钟100分一、选择题(每小题6分，共36分) 1.下列说法： ①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集； ③空集是任何集合的真子集； ④若A ⊂∅≠，则A ≠∅. 其中正确的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.32.已知集合A ＝{x |a －1≤x ≤a ＋2},集合B ＝{x |3＜x ＜5}，则能使A ⊇B 成立的实数a 的取值范围是( )A.{a |3a ≤＜4}B.{a |3a ≤≤4}C.{a |3＜a ＜4}D.{a |3≤a ＜4} 3．集合{}0,1M =，{}221,N N y x y x =+=∈，则,M N 的关系是（ ）A.M N =B.M N ⊂≠C.A B ∈D.B A ∈4．在以下五个写法中：①{0}∈{0,1}；②∅⊂≠{0}；③{0,－1,1} {－1,0,1}；④0∈∅；⑤{(0,0)}＝{0}.错误写法的个数是（ ） A.2 B.3 C.4 D.55.已知集合{1，2，3，4，5}的非空子集A 具有性质P ：当a A ∈时，必有6a A -∈，则具有性质P 的集合A 的个数是（ ） A.8 B.7 C.6 D.56.满足{1,2,3}{1,2,3,4,5,6}M ⊂⊂≠≠的集合M 的个数为（ ）A.5B.6C.7D.8 二、填空题（每小题6分，共18分）7.满足{1}A ⊂⊆≠{1,2,3}的集合A 的个数为 ．8.已知集合A ＝16x x a a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭＝＋，Z ，集合B ＝1,23bx x b ⎧⎫-∈⎨⎬⎩⎭＝Z ，1,26c C x x c ⎧⎫+∈⎨⎬⎩⎭＝＝Z ，则,,A B C 之间的关系是 ．9.已知集合{}1,3,21A m =--，集合}{23,B m =，若B A ⊆，则实数m = . 三、解答题（共46分）10.（14分）设集合{}1,2A -＝，集合2{B x x -＝20}ax b +=，若B ≠∅且B A ⊂≠，求实数,a b 的值．。

集合的基本关系 同步练习1．集合{}03N A x x x =≤<∈且的真子集．．．的个数是 （ ） A ．16 B ．8 C ．7 D ．4解析：根据集合A 中所含元素的个数来判断．{}{}030,1,2N A x x x =≤<∈=且，则A 的真子集有3217-=个，故选C ．答案：C2．已知集合M={1}，N={1，2，3}，能够准确表示集合M 与N 间的关系是（ ）A. M N <B. M N ∈C. M N ⊆D.M N ⊂≠解析：集合M 中元素都在集合N 中，但是N 中元素2M ∉,∴M N ⊂≠,故选D ．答案：D3．设集合{M x x =<，a = （ ）A. {}a M ⊂≠B. {}a M =C. a M ∉D. a M ⊆解析：∵0a =<<∴a M ∈,∴{}a M ⊂≠,故选A ．答案：A4．0 {}0 ∅．（填上最适当的符号）解析：0和{}0之间是元素与集合的关系，则0∈{}0；{}0和∅之间是集合间的关系，则{}0⊃∅≠，故填∈ ⊃≠．答案：∈ ⊃≠5．已知集合}4,3{},,3,1{=-=B m A ，若A B ⊆，则实数=m ．解析：∵A B ⊆，4B ∈，∴4A ∈，∴=m 4，故填4．答案：46．如图1-1-2-4所示的Venn 图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种几何图形之间的关系，问集合A 、B 、C 、D 、E 分别是哪种图形的集合？图1-1-2-4思路分析：结合Venn 图，利用平面几何中梯形、平行四边形、菱形、正方形的定义来确定.解：梯形、平行四边形、菱形、正方形都是四边形,故A =｛四边形｝；梯形不是平行四边形，而菱形、正方形是平行四边形，故B=｛梯形｝，C=｛平行四边形｝；正方形是菱形，故D=｛菱形｝，{}E =正方形．答案：A =｛四边形｝，B=｛梯形｝,C=｛平行四边形｝,D=｛菱形｝,{}E =正方形.7．已知集合A ={x |x 2－2x +a =0，a ∈R }，若A 中元素至多只有一个，求实数a 的取值范围.思路分析：集合A 是关于x 的方程x 2－2x +a =0的解集，故按集合A =∅和A ≠∅分类讨论．解：当A =∅时，关于x 的方程x 2－2x +a =0无解，则△＝2(2)40a --<，解得1a >； 当A ≠∅时，关于x 的方程x 2－2x +a =0有两个相等的实数解，则△＝2(2)40a --=，解得1a =．综上所得，实数a 的取值范围是1a ≥．答案：1a ≥8．已知集合{}2,3,7A ⊂≠,且A 中至多有一个奇数，则这样的集合A 有（ ）A.3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 解析：对集合A 是否所含奇数分类讨论．当集合A 中不含奇数时，A =∅或{}2；当集合A 仅含有一个奇数时，A ={}3或{}7或{}2,3或{}2,7．所以这样的集合A 共有2＋4＝6（个），AB C DE故选D ．答案：D9．已知集合{}03A x x =<<，集合B ={}4x m x m <<-，且B A ⊆，则实数m 满足的条件是 ．解析：集合B 是关于x 的不等式4m x m <<-的解集，要对集合B 是否为空集分类讨论．∵B A ⊆，∴B =∅或B ≠∅．当B =∅时，4m m ≥-，则此时2m ≥；当B ≠∅时，则有4,0,4 3.m m m m <-⎧⎪>⎨⎪-<⎩解得12m <<．综上所得，实数m 满足的条件是12m <<或2m ≥，即1m >．答案：1m >10．集合{}32,Z A x x m m ==-∈，{}31,Z B x x m m ==+∈,{}61,Z C x x m m ==+∈,则集合A 、B 、C 的关系是 ． 解析：根据这三个集合中元素的特征来讨论它们之间的关系．{}32,Z A x x m m ==-∈，设1m k -=，则Z k ∈，∴有{}31,Z A x x k k ==+∈，∴A B =．又集合{}61,Z C x x m m ==+∈＝{}3(2)1,Z x x m m =+∈,设2m n =，则n 为偶数，则C =｛31,x x n n =+是偶数｝，∴C B ⊂≠.即集合A 、B 、C 的关系是C A B ⊂=≠.答案：C A B ⊂=≠11．试写出满足{}{},,,,a b A a b c d ⊂⊆≠的集合A ．思路分析：按集合A 中所含元素的个数分类讨论．解析：∵{},a b A ⊆，∴集合A 中至少含有两个元素,a b ．又∵{},,,A a b c d ⊂≠，∴集合A 中最多含有三个元素，∴{},A a b =或{},,a b c 或{},,a b d ．答案：{},A a b =或{},,a b c 或{},,a b d12．已知{}2,Z A x x n n ==∈，{}42,Z B x x n n ==+∈，求证：B A ⊂≠.思路分析：转化为证明B A ⊆且在集合A 中找到一个元素不属于集合B ． 解：设对任意x B ∈，则存在Z k ∈，使42x k =+．即422(21)x k k =+=+．∵Z k ∈，∴21Z k +∈．∴x A ∈，∴B A ⊆．很明显4A ∈，令424n +=，则有12Z n =∉, ∴4B ∉,即集合A 中存在一个元素4不在集合B 中，∴B A ⊂≠．13．已知{}2280R A x x x =∈--=，{}22120R B x x ax a =∈++-=，B A ⊆且B ≠∅,试求实数a 的取值集合．思路分析：集合A 是方程2280x x --=的解集，集合B 是关于x 的方程22120x ax a ++-=的解集，由B A ⊆且B ≠∅按集合B 中含有元素的个数分类讨论，从而列出含有a 的方程，解方程得实数a 的值．解析：由题意得{}2,4A =-，集合B 是关于x 的方程22120x ax a ++-=的解集． ∵B A ⊆且B ≠∅，∴{}2B =-或{}4或{}2,4-．当集合B 中含有一个元素时，则有△＝224(12)0a a --=，解得4a =±． 若4a =，则{}{}24402R B x x x =∈++==-，则4a =符合题意；若4a =-，则{}{}24402R B x x x =∈-+==，则4a =-不合题意；当集合B 中含有两个元素，即{}2,4B =-时，则－2，4是关于x 的方程22120x ax a ++-=的解．∴224,2412.a a -+=-⎧⎨-⨯=-⎩解得2a =-． 综上所得，4a =或2a =-，即实数a 的取值集合是{}2,4-．14．设集合{}2320A x x x =-+=，{}(2)2B x a x =-=，则满足B A ⊂≠的a 的值共有 （ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 解析：对集合B 所含元素的个数分类讨论．由已知得{}12A x x x ===或＝{}2112-，-，，，集合B 是关于x 的方程(2)2a x -=的解集．∵B A ⊂≠，∴B =∅或B ≠∅．当B =∅时，关于x 的方程(2)2a x -=的无解，∴20a -=，∴2a =；当B ≠∅时，关于x 的方程(2)2a x -=的解22x A a =∈-，∴22a -＝－2或22a -＝－1或22a -＝1或22a -＝2，解得a =1或0或4或3，综上所得，a 的值共有5个，故选D ．答案：D。