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x i x y j y
p
ij
例 1、
将骰子抛两次，X—第一次出现的点数， Y—第二次出现的点数，求（X , Y）的分布律。 解： Y 1 2 3 4 5 6 X
1 36
1 2 3 4 5 6
1
36
1 p11 P{ X 1, Y 1} P{ X 1}P{Y 1} 36
P{ X x, Y y}
称为二维随机变量 ( X , Y )的分布函数，或联合分布函数。
二维分布函数的几何意义
F ( x, y ) 在( x , y ) 处的函数值:
y
( x , y)
随机点 ( X , Y ) 落在以 ( x, y )为顶点的左下方 矩形开域上的概率。 所以 P { x1 X x2 , y1 Y y2 }
1 P{ X 1}P{Y 1| X 1} 0 0 4
1 2 1 P{ X 1}P{Y 2 | X 1} 4 3 6
同理可得
p13 1/ 4 1/ 3 1/12 , p21 2 / 4 1/ 3 1/ 6
p22 2 / 4 1/ 3 1/ 6 , p23 2 / 4 1/ 3 1/ 6
F ( x, y )
y
x
f (u , v)dudv
则称 ( X , Y ) 为二维连续型随机变量, f ( x, y ) 称为 ( X , Y ) 的 概率密度,或称为随机变量 X 和 Y 的联合概率密度。 f (x,y)的性质: ① f ( x, y ) 0 ②
例2.一袋中有四个球,上面分别标有数字1,2,2,3.从 袋中任取一球后不放回,再从袋中任取一个球,以 X , Y 分别表示第一、二次取得的球上标有的数字，求 ( X , Y ) 的分布律。 解 X , Y 可能取值均为1,2,3.
p11 P{ X 1, Y 1}
p12 P{ X 1, Y 2}
0
2 x y
f ( x, y)dxdy
G
dxdy
x y 1
1
x
dy
1 y 0
2e 2 x y dx 1 2e 1 e 2
0
例4 设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为 2 1 x xy, 0 x 1，0 y 2, f ( x, y ) 3 0, others. 试求概率 P X Y 1 ． 解 积分区域如右图所示
1
f (x , y)dxdy
0
0
ke
2 x y
得 k 2 从而得
k dxdy 2
2 x y 2 e , x0 , y0 , f ( x, y ) , 其它. 0 ⑵ 由分布函数的性质
y
( x, y )
F ( x , y)
P{Y X } P{( X , Y ) G}
2e
G1
0
2 x y
dxdy
G: y x
f ( x, y )dxdy
y yx
dy 2e 2 x y dx 1/ 3
y
G'
0
y 1
x
⑷ P{ X Y 1}
2e
G1 1
{ X x} { X x, Y }
则 FX ( x) P{ X x} P{ X x , Y } F ( x,) 同理可得 FY ( y ) F (, y ) 研究问题：已知联合分布，怎样求 X,Y 的边缘分布。
例1: 已知 ( X , Y ) 的分布函数为
例6 已知 ( X , Y ) 的概率密度为 Axy 2 , 0 y x 1, f ( x, y ) others. 0 , ⑴ 求常数A的值；⑵ 求 ( X , Y ) 的分布函数 F ( x, y ) . 解 ⑴ 由性质
1 x 0 0
f ( x, y )dxdy 1 可得
y 2
1
P X Y 1
x y 1
f ( x, y )dxdy
1 2 2
0
x 1 x y 1
1 ( x xy )dxdy 3 G1
2
xy 65 0 dx 1 x ( x 3 )dy 72
例5 已知 ( X , Y ) 的分布函数为 1 x y F ( x , y ) 2 ( arctan )( arctan ) 3 2 4 2 试求：⑴ ( X , Y ) 的概率密度 ⑵ P{0 X 3} . 解 ⑴ 由概率密度的性质知
0, x 0 or y 0 , 1 y 3 (5 x 2 3 y 2 ) , 0 x 1,0 y x , 2 故 F ( x, y ) x5 , 0 x 1, y x , 1 y 3 (5 3 y 2 ) , x 1,0 y 1 , 2 1, x 1, y 1.
x y F ( x , y ) A( B arctan )(C arctan ) 3 4 求常数 A, B, C 的值及概率 P{ X 3, Y 4}.
一、二维离散型随机变量
定义： 若二维随机变量 ( X , Y ) 的所有可能取值 ( xi , y j ) ,
i, j 1, 2,是有限对或可列无限多对时，则称 ( X , Y ) 为
p31 1/ 4 1/ 3 1/12 , p32 1/ 4 2 / 3 1/ 6
p33 1/ 4 0 0 .
所以 ( X , Y ) 的分布律为
X Y
1 2 3
1 0 1/6 1/12
2 1/6 1/6 1/6
3 1/12 1/6 0
、二维连续型随机变量
定义： 设二维随机变量 ( X , Y ) 的分布函数为 F ( x , y ) , 若存在 f ( x, y ) 0 , 使得对任意实数 x , y , 总有
1 3 2 F ( x, y ) dv 15uv du y (5 x 3 y 2 ) ; 0 v 2 ③ 当 0 x 1, y x 时，（如下图3-5(2)）
y x 2
F ( x, y ) du 15uv dv x ;
2 5 0 0
x
u
④ 当 x 1, 0 y 1 时，（如下图3-5(3)） y 1 1 3 2 F ( x, y ) dv 15uv du y (5 3 y 2 ) ; 0 v 2 ⑤ 当 x 1 , y 1 时，（如下图3-5(4)）
f ( x , y) ;
2 F ( x , y) 12 f ( x , y) 2 2 x y ( x 9)( y 2 16)
⑵
P{0 X 3} P{0 X 3，Y }
3 0
3 0
f ( x, y )dydx
12 1 dydx . 2 2 2 ( x 9)( y 16) 4
9 F (3, 4) 解 由分布函数的性质 16 F ( , ) 1 , F ( , ) 0 , F ( ,) 0 1 得 A( B )(C ) 1 A 2 2 2 A( B )(C ) 0 B 2 2 2 A( B )(C ) 0 C 2 2 2
离散型随机变量。
P{ X xi , Y y j } pi j
(i , j 1 , 2 , )
称为二维随机变量 ( X , Y ) 的分布律。 性质： 1)
pi j 0
2)
p
i 1 j 1
ij
1
二维离散型随机变量 ( X , Y ) 的分布函数为
F ( x, y ) P{ X x, Y y }
y yx
A dx xy 2 dy 1 A 15
G 0
1 x
所以
15 xy 2 , 0 y x 1, f ( x, y ) others. 0 ,
x
⑵ 由于 F ( x, y )
y
f (u , v)dudv
① 当 x 0 或 y 0 时， F ( x, y ) 0 ; ② 当 0 x 1, 0 y x 时，（如下图3-5(1)）
f ( x, y )dxdy 1
2 ③ 若 f ( x, y )在点 ( x, y ) 连续，则有 F ( x, y ) f ( x, y ) xy
④ P{( X , Y ) G} f ( x, y )dxdy , G表示xoy平面上的区域,
G
落在此区域上的概率相当于以 G为底,以曲面 z f ( x, y ) 为顶的曲顶柱体体积。 注： P{( X , Y ) ( x, y )} 0 ,即连续型随机变量在某点的 概率为0。
0
x
F ( x2 , y2 ) F ( x1 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y1 )
y2 y1
y ( x1 , y2 )
( x1 , y1 )
( x2 , y2 ) ( x2 , y1 ) x x2
0
x1
性质： ① F ( x, y )是变量 x 和 y 的不减函数，即 对任意固定的 y，当 x2 x1时， F ( x 2 , y ) F ( x1 , y ) 对任意固定的 x ，当 y2 y1时， F ( x, y2 ) F ( x, y1 ) ② 0 F ( x, y ) 1
