《电磁场问题数值算法》经典习题解答

电磁场的典型练习题及解答电磁学是物理学中的重要分支，研究电荷和电流所产生的电场和磁场的相互作用规律。

在学习电磁学的过程中，练习题是检验我们对理论知识掌握的有效方法。

本文将介绍一些典型的电磁场练习题，并给出详细的解答，帮助读者加深对电磁场的理解。

1. 题目：一根无限长直导线产生的电场强度已知一根无限长直导线，导线上带有均匀分布的电荷线密度λ。

求导线距离d处的电场强度E。

解答：根据库仑定律可知，电场强度E与电荷线密度λ成正比，与距离d 成反比。

所以可以得出结论：电场强度E和d满足反比关系。

2. 题目：两个点电荷的叠加效应已知两个点电荷q1和q2，分别位于坐标原点和坐标轴上一点P(x,0)。

求点P处的电场强度E。

解答：根据叠加原理，点P处的电场强度E等于点电荷q1和q2分别在点P处产生的电场强度之和。

由库仑定律可知，点电荷产生的电场强度与电荷量成正比，与距离的平方成反比。

根据该性质，可以分别求出点电荷q1和q2在点P处产生的电场强度，再将两者相加得到点P处的总电场强度。

3. 题目：平行板电容器的电场强度已知一对平行板电容器，两平行板间距离为d，电容器的电容为C。

求平行板电容器中的电场强度E。

解答：根据平行板电容器的结构特点，可知平行板电容器中的电场强度E对于两平行板之间的距离d是均匀的，且大小与电容C的倒数成正比。

所以可以得出结论：电场强度E和d满足正比关系，与电容C成正比。

4. 题目：磁场的洛伦兹力已知带电粒子以速度v在磁场B中运动，其电荷量为q。

求带电粒子所受的洛伦兹力F。

解答：根据洛伦兹力的定义，带电粒子所受的洛伦兹力F等于其电荷量q与速度v以及磁场B的矢量积。

通过对矢量积的计算，可以得到带电粒子所受的洛伦兹力F的大小和方向。

5. 题目：安培环路定理的应用已知一安培环路中有多个电流元素，它们的电流分别为I1，I2，I3...In。

求安培环路中的磁场强度B。

解答：根据安培环路定理，安培环路中的磁场强度B与电流元素的电流之和成正比。

电磁场课后习题答案电磁场课后习题答案电磁场是物理学中一个重要的概念，涉及到电荷、电流和磁场的相互作用。

在学习电磁场的过程中，我们经常会遇到一些习题，这些习题旨在帮助我们更好地理解电磁场的基本原理和应用。

本文将给出一些电磁场课后习题的答案，希望能够对大家的学习有所帮助。

1. 一个带电粒子在匀强磁场中作圆周运动，其运动半径与速度之间的关系是什么？答：带电粒子在匀强磁场中作圆周运动时，受到的洛伦兹力与向心力相等。

洛伦兹力的大小为F = qvB，向心力的大小为F = mv²/R，其中q为电荷量，v为速度，B为磁感应强度，m为质量，R为运动半径。

将这两个力相等，可以得到qvB = mv²/R，整理得到v = qBR/m。

因此，速度与运动半径之间的关系是v 与R成正比。

2. 一个长直导线中有一电流I，求其所产生的磁场强度B与距离导线距离r之间的关系。

答：根据安培定律，长直导线所产生的磁场强度与电流和距离的关系为B =μ₀I/2πr，其中B为磁场强度，I为电流，r为距离，μ₀为真空中的磁导率。

可以看出，磁场强度与距离的关系是B与1/r成反比。

3. 一个平面电磁波的电场强度和磁场强度的振幅分别为E₀和B₀，求其能量密度u与E₀和B₀之间的关系。

答：平面电磁波的能量密度与电场强度和磁场强度的关系为u = ε₀E₀²/2 +B₀²/2μ₀，其中u为能量密度，ε₀为真空中的介电常数，μ₀为真空中的磁导率。

可以看出，能量密度与电场强度的振幅的平方和磁场强度的振幅的平方之间存在关系。

4. 一个平行板电容器的电容为C，两板间的距离为d，若电容器中充满了介电常数为ε的介质，请问在电容器中存储的电能与电容、电压和介电常数之间的关系是什么？答：平行板电容器存储的电能与电容、电压和介电常数之间的关系为W =1/2CV²，其中W为存储的电能，C为电容，V为电压。

当电容器中充满了介质后，介质的存在会使电容增加为C' = εC，因此存储的电能也会增加为W' =1/2C'V² = 1/2εCV²。

第六章 平面电磁波 1.在εr=2, μr=1的理想介质中,频率为f =150MHz 的均匀平面波沿y 方向传播,y=0处,E =zˆ10V/m,求E , E (y,t), H ,H (y,t) ,S c,υp.解： f =150MHz )/(102318s m cv rr p ⨯===εμμε)(2m f cfv rr p ===εμλπλπ22==kE =zˆ10yj e π2-Z=120π/2H ==⨯Z E y/ˆx ˆ2/12πyje π2-E (y,t)= zˆ102cos(2π*150*106t-2πy) H (y,t)= xˆ/6πcos(2π*150*106t-2πy) Sc=*H E ⨯=yˆ52/6π2.在真空中H =xˆx H =x ˆ0H zj e π2求E ,E (z,t), λ, f ,Z, S c.解：由πλπ22==k 得λ=1m ，s m cf /1038⨯==λ真空中 Z=120πE =k H Z ˆ⨯=z j e H z x ππ20120)ˆ(ˆ-⨯=yˆ120π0H z j e π2 Sc=-zˆ120π0H 2)21032cos(1202ˆ),(80z t H x t z E πππ+⨯⨯⨯=3.在理想介质中E (x,t)= y ˆ80π2cos(10*107πt+2πx)H (x,t)= -zˆ2cos(10*107πt+2πx)求: f , εr, μr,λ.解： 由ππ710102⨯=f 得 f =7105⨯Hzλ=k π2=1m,m fc 60==λ 由:rr εμλλ0=，从而 60==λλεμr r及 波阻抗 πεμπ80120=⨯==rr H EZ 得： εr=9 ,μr=44.均匀平面电磁波在真空中沿kˆ=1/2(yˆ+z ˆ)方向传播, 0E =10x ˆ,求E ,E (y,z,t),H ,H (y,z,t), Sc.解：设λ已知，则k=2π/λ,E =0E r j e ∙-=xˆ10)(/2z y j e +-λπH =1/Z*⨯kˆE =2/(24π)(yˆ-z ˆ))(/2z y j e +-λπE (y,z,t)= xˆ102cos(2πc/λt-2π/λ(y+z)) H (y,z,t)= 1/(12π)(yˆ-z ˆ)cos(2πc/λt-2π/λ(y+z)) Sc=*H E⨯=5/(62π)(yˆ+z ˆ)5.证明电磁波E =5(xˆ+3y ˆ))3(y x j e --πH =5/120πzˆ )3(y x j e --π为均匀平面波.证明：由E =5(xˆ+3y ˆ))3(y x j e --π)3()cos cos cos (y x z y x k r k -=++=⋅πγβα即 π3=x k ，π-=y k ，πππ2)()3(22222=-+=++=z y x k k k k2/1cos ,2/3cos -===βαkk xkˆ=3/2x ˆ-1/2y ˆ E ∙kˆ=0 ，H ∙k ˆ=0 又kˆ的方向不变，等相面为k ˆ与垂直的面，显然为平面。

第五章习题答案5-2 如题图所示，一半径为a 的金属圆盘，在垂直方向的均匀磁场B 中以等角速度ω旋转，其轴线与磁场平行。

在轴与圆盘边缘上分别接有一对电刷。

这一装置称为法拉第发电机。

试证明两电刷之间的电压为22ωBa 。

证明：，选圆柱坐标， ρφe vB e B e v B v E z ind=⨯=⨯=其中 φρωe v=22ωρρωρερρa B d B e d e v B l d E aal ind====⎰⎰⎰∙∙∴证毕 5-3解：5-4 一同轴圆柱形电容器，其内、外半径分别为cm r 11=、cm r 42=，长度cm l 5.0=，极板间介质的介电常数为04ε，极板间接交流电源，电压为V t 10026000u πsin =。

求s t 0.1=时极板间任意点的位移电流密度。

解法一：因电源频率较低，为缓变电磁场，可用求静电场方法求解。

忽略边沿效应，电容器中的场为均匀场，选用圆柱坐标，设单位长度上内导体的电荷为τ，外导体电荷为τ-，因题图5-2zvρ此有ρρπετe 2E 0=21r r <<ρ1200222121r r d dl E u r r r r lnπετρρπετ===⎰⎰∙1202r r u ln=∴πετ所以ρρer r u E 12 ln =， ρρεer r u D 12ln=2A/mρρππρερεe t 10010026000r r e tu r r tD J 1212dcos ln ln ⨯=∂∂=∂∂=当s t 1=时2512A/m10816100100260004108584ρρρππρe e J d--⨯=⨯⨯⨯⨯=.cos ln .解法二：用边值问题求解，即⎪⎩⎪⎨⎧=====∇401u 02ρϕρϕϕ 由圆柱坐标系有0)(1=∂∂∂∂ρϕρρρ(1)解式(1)得 21ln c c +=ρϕ由边界条件得： 4u c 1ln -= u c 2=u 4u +-=∴ρϕln ln所以 ρρπϕe 4t10026000Eln sin =-∇=ρρπεεe 4t 100260004E D 0ln sin ==ρπρπεe 1004t 100260004t D J 0D⨯=∂∂=ln cos当s t 1=时)(.25D mAe 10816J ρρ-⨯=5-5由圆形极板构成的平板电容器)(d a >>见题图所示，其中损耗介质的电导率为γ、介电系数为ε、磁导率为μ，外接直流电源并忽略连接线的电阻。

电磁场理论课后习题1答案电磁场理论是物理学中的重要课程，它研究了电磁场的产生、传播和相互作用。

在学习这门课程时，课后习题是巩固知识、提高能力的重要途径。

本文将针对电磁场理论课后习题1给出详细的解答。

习题1：一个带电粒子在电磁场中运动，受到的洛伦兹力为F=q(E+v×B)，其中q是粒子的电荷量，E是电场强度，v是粒子的速度，B是磁感应强度。

请证明：洛伦兹力对粒子所做的功率为P=qv·E。

解答：根据洛伦兹力的表达式F=q(E+v×B)，我们可以将其展开为F=qE+qv×B。

其中第一项qE表示粒子在电场中受到的电力，第二项qv×B表示粒子在磁场中受到的磁力。

根据功率的定义，功率P等于力F对时间t的导数，即P=dW/dt，其中W表示对物体所做的功。

所以我们需要计算洛伦兹力对粒子所做的功。

根据力的功的定义，功W等于力F对位移的积分，即W=∫F·ds。

在这里，位移ds是粒子在运动过程中的微小位移。

将洛伦兹力F=qE+qv×B代入功的计算式中，得到W=∫(qE+qv×B)·ds。

由于电场强度E和磁感应强度B是空间中的矢量场，所以我们可以将其展开为E=E_xi+E_yj+E_zk和B=B_xi+B_yj+B_zk的形式。

对于微小位移ds，我们可以将其表示为ds=dx·i+dy·j+dz·k。

将上述表达式代入功的计算式中，得到W=∫(q(E_xi+E_yj+E_zk)+q(v_xi+v_yj+v_zk)×(B_xi+B_yj+B_zk))·(dx·i+dy·j+dz·k)。

根据矢量积的性质，可以得到v×B=(v_yB_z-v_zB_y)i-(v_xB_z-v_zB_x)j+(v_xB_y-v_yB_x)k。

将其代入功的计算式中，得到W=∫(q(E_xi+E_yj+E_zk)+q((v_yB_z-v_zB_y)i-(v_xB_z-v_zB_x)j+(v_xB_y-v_yB_x)k))·(dx·i+dy·j+dz·k)。

1（20分）如图12所示，PR 是一块长为L =4 m 的绝缘平板固定在水平地面上，整个空间有一个平行于PR 的匀强电场E ，在板的右半部分有一个垂直于纸面向外的匀强磁场B ，一个质量为m =0．1 kg ，带电量为q =0．5 C 的物体，从板的P 端由静止开始在电场力和摩擦力的作用下向右做匀加速运动，进入磁场后恰能做匀速运动。

当物体碰到板R 端的挡板后被弹回，若在碰撞瞬间撤去电场，物体返回时在磁场中仍做匀速运动，离开磁场后做匀减速运动停在C 点，PC =L/4，物体与平板间的动摩擦因数为μ=0．4，取g=10m/s 2 ，求：（1）判断物体带电性质，正电荷还是负电荷？ （2）物体与挡板碰撞前后的速度v 1和v 2 （3）磁感应强度B 的大小 （4）电场强度E 的大小和方向1（1）由于物体返回后在磁场中无电场，且仍做匀速运动，故知摩擦力为0，所以物体带正电荷．且：mg =qBv 2…………………………………………………………①（2）离开电场后，按动能定理，有：-μmg4L =0-21mv 2………………………………② 由①式得：v 2=22 m/s（3）代入前式①求得：B =22T （4）由于电荷由P 运动到C 点做匀加速运动，可知电场强度方向水平向右，且：（Eq -μmg ）212=L mv 12-0……………………………………………③ 进入电磁场后做匀速运动，故有：Eq =μ（qBv 1+mg ）……………………………④由以上③④两式得：⎩⎨⎧==N/C2.4m/s241E v2如图所示，两平行金属板A 、B 长l ＝8cm ，两板间距离d ＝8cm ，A 板比B 板电势高300V ，即U AB ＝300V 。

一带正电的粒子电量q ＝10-10C ，质量m ＝10-20kg ，从R 点沿电场中心线垂直电场线飞入电场，初速度v 0＝2×106m/s ，粒子飞出平行板电场后经过界面MN 、PS 间的无电场区域后，进入固定在中心线上的O 点的点电荷Q 形成的电场区域（设界面PS 右边点电荷的电场分布不受界面的影响）。

1—2—2、求下列情况下，真空中带电面之间的电压。

(2)、无限长同轴圆柱面，半径分别为a 和b （a b >），每单位长度上电荷：内柱为τ而外柱为τ-。

解：同轴圆柱面的横截面如图所示，做一长为l 半径为r （b r a <<）且与同轴圆柱面共轴的圆柱体。

对此圆柱体的外表面应用高斯通量定理，得l S D sτ=⋅⎰d考虑到此问题中的电通量均为r e即半径方向，所以电通量对圆柱体前后两个端面的积分为0，并且在圆柱侧面上电通量的大小相等，于是l rD l τπ=2即 r e rD πτ2=， r e r E02πετ= 由此可得 a b r e e r r E U ba r rb aln 2d 2d 00⎰⎰επτ=⋅επτ=⋅=1—2—3、高压同轴线的最佳尺寸设计——高压同轴圆柱电缆，外导体的内半径为cm 2，内外导体间电介质的击穿场强为kV/cm 200。

内导体的半径为a ，其值可以自由选定但有一最佳值。

因为a 太大，内外导体的间隙就变得很小，以至在给定的电压下，最大的E 会超过介质的击穿场强。

另一方面，由于E 的最大值m E 总是在内导体的表面上，当a 很小时，其表面的E 必定很大。

试问a 为何值时，该电缆能承受最大电压？并求此最大电压。

（击穿场强：当电场增大达到某一数值时，使得电介质中的束缚电荷能够脱离它的分子 而自由移动，这时电介质就丧失了它的绝缘性能，称为击穿。

某种材料能安全地承受的最大电场强度就称为该材料的击穿强度）。

解：同轴电缆的横截面如图，设同轴电缆内导体每单位长度所带电荷的电量为τ，则内外导体之间及内导表面上的电场强度分别为r E πετ2=， aE πετ2max = 而内外导体之间的电压为abr r r E U ba ba ln 2d 2d πετπετ⎰⎰===或 )ln(max ab aE U =0]1)[ln(a d d max =-+=abE U 即 01ln =-a b ， cm 736.0e==ba V)(1047.1102736.0ln 55max max ⨯=⨯⨯==ab aE U1—3—3、两种介质分界面为平面，已知014εε=，022εε=，且分界面一侧的电场强度V /m 1001=E ，其方向与分界面的法线成045的角，求分界面另一侧的电场强度2E 的值。

第1章 矢 量 分 析1.1 什么是场？什么是矢量场？什么是标量场？什么是静态场？什么是时变场？答：如果在空间某一个区域上任意一点都有一确定物理量值与之对应，则这个区域就构了一个物理量的场。

如果这个确定物理量值是一个标量（只有大小没有方向），我们称这种场为标量场，如温度场、密度场、电位场等等。

如果这个确定物理量值是一个矢量（既有大小又有方向），我们称这种场为矢量场，如电场、磁场、重力场等等。

如果在场中的这个物理量仅仅是空间位置的函数，而不是时间的函数（即不随时间变化的场），我们称这种场为静态场。

如果在场中的这个物理量不仅仅是空间位置的函数，而且还是时间的函数（即随时间变化的场），我们称这种场为时变场。

1.2 什么是标量？什么是矢量？什么是常矢？什么是变矢？什么是单位矢量？答：一个物理量如果仅仅只有大小的特征，我们称此物理量为标量。

例如体积、面积、重量、能量、温度、压力、电位等。

如果一个物理量不仅仅有大小，而且还具有方向的特征，我们称此物理量为矢量。

例如电场强度，磁感应强度、电位移矢量、磁场强度、速度、重力等。

一个矢量如果其大小和方向都保持不变的矢量我们称之为常矢。

如果矢量的大小和方向或其中之一是变量的矢量称为变矢。

矢量与矢量的模值的比值，称为单位矢量。

即模值为1的矢量称为单位矢量 1.3什么是等值面？什么是等值面方程？什么是等值线？什么是等值线方程？答：在标量场中许多相同的函数值（他们具有不同的位置）。

构成的曲面，称为等值面。

例如，温度场中由相同温度构成的等温面，电位场中相同电位构成的等位面等都是等值面。

描述等值面的方程称为等值面方程。

假定()z y x u ,,是坐标变量的连续可微函数。

则等值面方程可表述为 ()C z y x u =,, （c 为任意常数）在标量场中平面中相同的函数值构成的曲线，称为等值线。

描述等值线的方程称为等值线方程。

假定()y x u ,是坐标变量的连续可微函数。

则等值线方程可表述为 ()C y x u =, （c 为任意常数） 1.4求下列电场的等位线方程 (1) z x =ϕ， (2) 224y x +=ϕ 解：根据等值线方程的定义即电位函数应为一常数，所以等位线方程为⑴ xz c ==ϕ，即 z cx =； ⑵ c 422=+=y x ϕ 即 k y ==+c4x 22 （为常数k ）1.5 求下电场的等值面方程 1） 1222z y x ++=ϕ， 2） )z -z ()()x -= 202020+++y y x （ϕ， 3）)++ln(=222z y x ϕ 解：根据等值面方程的定义即电位函数应为一常数，所以等位面方程为⑴ c1222=++=z y x ϕ 即 2222c 1k z y x ==++ ⑵ c )z -z ()()x -= 202020=+++y y x （ϕ 即 22202020)()()(k c z z y y x x ==-+-+- ⑶ ()c z y x =++222ln 即 2222k e z y x c ==++，（k 为常数）1.6 什么方向导数？什么梯度？梯度与方向导数的关系？答：在标量场中任一点在某一方向上的变化率称为方向导数。

高考物理专题训练：电磁场的计算、实验设计(含答案)1. 电磁场的计算电磁场是物理学中重要的概念之一，掌握其计算方法对于高考物理考试至关重要。

以下是一些电磁场的计算题目及其答案：题目 1已知某点距电荷 $Q$ 的距离 $r$，求该点处的电场强度 $E$。

答案：根据库仑定律，电场强度 $E$ 与电荷 $Q$ 的大小和距离 $r$ 的关系为 $E = \frac{1}{4πε}\frac{Q}{r^2}$，其中$ε$ 为真空介质常数。

题目 2在均匀磁场中，一个带电粒子受到的洛伦兹力为 $F = qvB$，其中 $q$ 为带电粒子的电荷量，$v$ 为带电粒子的速度，$B$ 为磁感应强度。

已知某带电粒子受到的洛伦兹力为 $F$，速度为 $v$，求磁感应强度 $B$。

答案：根据洛伦兹力的公式，$B = \frac{F}{qv}$。

2. 实验设计实验设计是物理实践的重要环节，它不仅能够帮助学生加深对物理概念的理解，还可以培养学生的实验操作能力。

以下是一个关于电磁场的实验设计示例：实验题目：测量磁感应强度的实验实验目的：测量给定磁场的磁感应强度，并验证洛伦兹力的大小与磁感应强度的关系。

实验步骤：1. 准备一根长直导线，通过导线通过电流使其产生磁场。

2. 在磁场中放置一个带电粒子，使其匀速运动。

3. 测量带电粒子受到的洛伦兹力和带电粒子的速度。

4. 根据洛伦兹力公式 $F = qvB$，通过实验数据计算磁感应强度。

实验要点：- 确保导线电流稳定，并且磁场均匀。

- 精确测量带电粒子的速度和受力情况。

- 进行多组实验，取平均值以提高测量准确性。

实验结果：根据实验数据计算得到的磁感应强度与实验给定的磁场相符，验证了洛伦兹力与磁感应强度的关系。

以上是一些关于电磁场的计算题目和实验设计示例。

希望以上内容对你在高考物理专题训练中有所帮助。

第七章 导行电磁波7-1 如果z z H E ,已知,由无源区的麦克斯韦方程,求圆柱坐标系中ϕρϕρH H E E ,,,。

解： 设z jk z e E E -=),(0ϕρ ；zjk z e H H -=),(0ϕρ则 E jk z E z -=∂∂；H jk zH z-=∂∂ 在圆柱坐标系中展开无源区的麦克斯韦方程 E j H ωε=⨯∇；H j Eωμ-=⨯∇ 这两个矢量方程包含6个标量方程，即ρϕωεϕρE j H jk H z z =+∂∂1 (1) ρϕωμϕρH j E jk E z z-=+∂∂1 (4)ϕρωερE j H H jk z z =∂∂-- (2) ϕρωμρH j EE jk z z -=∂∂-- (5) z E j H H ωεϕρρρρϕ=∂∂-∂∂1 (3) z H j E E ωμϕρρρρϕ-=∂∂-∂∂1 (6)由(1)和(5)式得)1(12ϕρωμρρ∂∂+∂∂-=z z z c H j E jk k E )(12ϕρρωεϕ∂∂+∂∂-=z z z c H k j E j k H 由(2)和(4)式得)(12ρωμϕρϕ∂∂+∂∂-=z z z c H j E k j k E )(12ρϕρωερ∂∂-∂∂=z z zcH jk E j k H 式中 222z c k k k -=7-2证明（7.2-6） 式为(7.2-4)式的解。

证明：由（7.2-6） 式z z e V e V z V γγ---++=00)( 可得：2200'')()()(γγγγz V e V e V z V z z =+=---+因此 0222=-V dzV d γ 即 (7.2-4)式7-3同轴线内导体外径为mm d 04.3=, 外导体内径为mm 7, 内外导体之间为2.2=r ε的非磁性介质，求特性阻抗。

解：同轴线特性阻抗Ω===74.332/04.32/7ln 2.2160ln 60a b Z r r εμ。