(完整)《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案,推荐文档

复习题2一．单项选择题1．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（）（A）),(y x u 在),(00y x 处连续（B）),(y x v 在),(00y x 处连续（C）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续2．设C z ∈且1=z ，则函数zz z z f 1)(2+-=的最小值为（）（A）3-（B）2-（C）1-（D）13．函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的()（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既非充分条件也非必要条件4．下列命题中，正确的是()（A）设y x ,为实数，则1)cos(≤+iy x （B）若0z 是函数)(z f 的奇点，则)(z f 在点0z 不可导（C）若v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程，则iv u z f +=)(在D 内解析（D）若)(z f 在区域D 内解析，则)(z if 在D 内也解析5．设1:1=z c 为负向，3:2=z c 正向，则=⎰+=dz z zc c c 212sin ()（A）iπ2-（B）0（C）iπ2（D）iπ46．设c 为正向圆周2=z ，则=-⎰dz z zc2)1(cos ()（A）1sin -（B）1sin （C）1sin 2i π-（D）1sin 2i π7．设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段，则=+⎰cdz iy x )(2()（A）i6561-（B）i 6561+-（C）i 6561--（D）i6561+8.复变函数1)(-=z e z f 在复平面上()（A）无可导点（B）有可导点，但不解析（C）仅在零点不解析（D）处处解析9.使得22z z =成立的复数z 是（）（A）不存在的（B）唯一的（C）纯虚数（D）实数10．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（）（A）i +-43（B）i +43（C）i -43（D）i --4311.ii 的主值为()（A）0（B）1（C）2πe（D）2eπ-12．ze 在复平面上()（A）无可导点（B）有可导点，但不解析（C）有可导点，且在可导点集上解析（D）处处解析13．设z z f sin )(=，则下列命题中，不正确的是()（A）)(z f 在复平面上处处解析（B）)(z f 以π2为周期（C）2)(iziz e e z f --=（D）)(z f 是无界的14.设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段，则=+⎰cdz iy x )(2()（A）i 6561-（B）i 6561+-（C）i 6561--（D）i 6561+15．设c 为不经过点1与1-的正向简单闭曲线，则dz z z zc⎰+-2)1)(1(为()（A）2iπ（B）2i π-（C）0（D）(A)(B)(C)都有可能16．设1:1=z c 为负向，3:2=z c 正向，则=⎰+=dz zzc c c 212sin ()（B）i π2-（B）0（C）iπ2（D）iπ417.设()()F f t F ω=⎡⎤⎣⎦则()0sin F f t t ω=⎡⎤⎣⎦（）.A ．()()00j2F F ωωωω+--⎡⎤⎣⎦B.()()00j2F F ωωωω++-⎡⎤⎣⎦C.()()0012F F ωωωω+--⎡⎤⎣⎦D.()()0012F F ωωωω++-⎡⎤⎣⎦18．设()()F f t F ω=⎡⎤⎣⎦则()()1F t f t -=⎡⎤⎣⎦（）.A ．()()F F ωω'- B.()()F F ωω'--C.()()j F F ωω'- D.()()j F F ωω'--19.积分=-⎰=231091z dz z z ()（A）0（B）i π2（C）10（D）5i π20．积分21sin z z zdz ==⎰()（A）0（B）61-（C）3i π-（D）iπ-21.复数ii+=1z 位于复平面第()象限.A ．一B ．二C ．三D ．四22.下列等式成立的是().A ．Lnz Lnz 77=；B ．)1arg()1(r =g A ；C ．112=i；D ．)z z Re(z z =。

（完整）《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案,推荐⽂档23∞ ?复变函数与积分变换?期末试题（A）1．1 -i⼀．填空题（每⼩题3 分，共计15 分）的幅⾓是（）；2. Ln(-1 +i) 的主值是（1）；3.f (z) =1 +z 2，z - sin z f (5)(0) =（）；f (z) =1，4．z = 0 是z 4 的（）极点；5．z Re s[f(z),∞]=（）；⼆．选择题（每⼩题3 分，共计15 分）1．解析函数f (z) =u(x, y) +iv(x, y) 的导函数为（）；（A）f '(z) =u x +iu y ；（B）f '(z) =u x-iu y；（C） f '(z) =ux+ivy ；（D） f '(z) =u y +iv x.2．C 是正向圆周z = 3 ，如果函数f (z) =（），则?C f (z)d z = 0 ．3；（B）3(z -1)；（C）3(z -1)；（D）3.n=1（A）z =-2 点条件收敛；（B）z = 2i 点绝对收敛；（C）z = 1 +i 点绝对收敛；（D）z = 1 + 2i 点⼀定发散．４．下列结论正确的是( )（A）如果函数f (z) 在z0点可导，则f (z) 在z0点⼀定解析；得分e(B) 如果 f (z ) 在 C 所围成的区域内解析，则 ?C f (z )dz = 0（C ）如果 ?C f (z )dz = 0 ，则函数 f (z ) 在 C 所围成的区域内⼀定解析；（D ）函数 f (z ) = u (x , y ) + iv (x , y ) 在区域内解析的充分必要条件是u (x , y ) 、v (x , y ) 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（）．(A) ∞为sin 1的可去奇点 z(B) ∞为sin z 的本性奇点 ∞为 1 的孤⽴奇点; ∞ 1 (C) sin 1z(D) 为的孤⽴奇点. sin z三．按要求完成下列各题（每⼩题 10 分，共计 40 分）（1）设 f (z ) = x 2 + axy + by 2 + i (cx 2 + dxy + y 2 ) 是解析函数，求a ,b ,c ,d .z（2）．计算 ?Cz (z - 1)2d z 其中 C 是正向圆周： z = 2 ；得分zd z （3）计算? 15z =3 (1 +z 2 )2 (2 +z 4 )3(sin z )3在扩充复平⾯上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.四、（本题 14 分）将函数 f (z ) = 1z 2 (z - 1)在以下区域内展开成罗朗级得分数；（1） 0 < z - 1 < 1 ，（2） 0 < z < 1 ，（3）1 < z < ∞五．（本题 10 分）⽤ Laplace 变换求解常微分⽅程定解问题 y (x ) - 5 y '(x ) + 4 y (x ) = e -xy (0) = y '(0) = 1得分六、（本题 6 分）求 f (t) e t(0) 的傅⽴叶变换，并由此证明：costt2 2 d 2 e 0复变函数与积分变换?期末试题（A ）答案及评分标准⼀．填空题（每⼩题 3 分，共计 15 分）得分3 的幅⾓是（ 2k Ln (-1 + i ) ee 1． 1- i 2 - + , k = 0,±1,±2 ）；2.的主值是（ 31 ln2 +3 24 iz - sin z f (z ) =3.1+ z 2 ， f(5)(0) = （ 0），4． z = 0 是1 z4的（⼀级）极点；5． f (z ) = z， R e s [ f (z ),∞] =（-1）；⼆．选择题（每题 3 分，共 15 分）1----5B DC B D三．按要求完成下列各题（每⼩题 10 分，共 40 分）（1）．设 f (z ) = x 2 + axy + by 2 + i (cx 2 + dxy + y 2 ) 是解析函数，求a ,b ,c ,d .解：因为 f (z ) 解析，由 C-R 条件u = vx y u = -vy x2x + ay = dx + 2y ax + 2by = -2cx - dy ,a = 2, d = 2, ， a = -2c ,2b = -d ,c = -1, b = -1,给出 C-R 条件 6 分，正确求导给 2 分，结果正确 2 分。

北 京 交 通 大 学2006-2007学年第二学期《复变函数和积分变换》期末试卷（B ）学院_____________ 专业_________________ 班级____________ 学号_______________ 姓名_____________ 任课教师一．（1） 方程()t i 1z +=（t 为实参数）给出的曲线是 ； （2） 复数3i 1+的指数形式是 ； （3） 函数()224z z 1z +-，z=0为 级极点，2i z ±=为 级极点；（4）（5） 若∑==0n n n2nz )(z f ，则其收敛半径 ；（6） 计算留数：⎪⎭⎫⎝⎛0,z cosz Res 3 ；（7） 函数()()()y ,x iv y ,x u z f +=在()y ,x z =可微的充要条件为；（8） 曲线y x :=C 在映射z1)(=z f 下的像是 ；（9） C 为以a 为圆心，r 为半径的圆周，计算()⎰-Cna z dz（n 为正整数）； （10） 判断n1n 25i 1∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+的敛散性 .二、计算题（25分，每小题各5分） (1)、计算积分⎰CRezdz 其中积分路径C 为：①连接由原点到1+i 的直线段；②连接由原点到点1的直线段及连接由点1到点1+i 的直线段所组成的折线.(2)、已知：()()3z e 1zsinzz f -=求：]0),z (f [Re s(3)、计算()()10dz z 1ln rz <<+⎰=r（4）、计算()()dz i z z 9zC2⎰+-，其中2||=z C 为正向圆周：。

（5）计算dz e 1z z 12⎰=.三、求积分()dz 1z z e 4z 22z⎰=-（7分）四、求解析函数),(),()(y x v y x u z f +=，已知()233x y x y ,x u -= ，且()i 0f =.（7分）五、验证()()0x xyarctgy ,x v >=在右半z 平面内满足Laplace 方程，即0,0=∆=∆ψϕ；其中22y x ∂∂+∂∂=∆， 并求以此为虚部的解析函数()z f .（8分）六、（8分）求函数()()()2z 1z 1z f --=分别在如下区域展成洛朗展式（1）.1|1|0<-<z （2）0<2z -<1.七、求实轴在映射iz 2i+=ω下的象曲线（8分） 八、求函数()()0t 0,t 1,t f >⎪⎩⎪⎨⎧>≤=δδδ的傅立叶变换（7分）一、(1)直线y=x(2)i32k 2e⎪⎭⎫ ⎝⎛+ππ(3)一;二 (4)()()3i 12;2;3i 12313231--+--(5)2 (6)21-(7)①函数u(x,y),v(x,y)在(x,y)可微②u(x,y),v(x,y)在(x,y)满足C.-R.条件.即x y y x v u ,v u -==. (8)x=-y (9)⎩⎨⎧>=1n ,01n ,i 2π(10发散二、(1) ①连接原点到点1+i 的直线段的参数方程为：z=(1+i)t 1)t (0≤≤故⎰CRezdz =()[]{}()dt i 1t i 1Re 1++⎰=()⎰+1tdt i 1=2i1+ ②连接由原点到点1的直线段的参数方程为: z=t 1)t (0≤≤,连接由点1到点1+i 的直线段参数方程为: z=(1-t)+(1+i)t 1)t (0≤≤, 即 z=1+it 1)t (0≤≤,故⎰CRezdz =()[]⎰⎰++110idt it 1Re Retdt=⎰⎰+110dt i tdt=i 21+ (2)由题可知被积函数只有z=0一个奇点。

一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i -的幅角是（ 2,1,0,23±±=+-k k ππ）； 2.)1(i Ln +-的主值是（ i 432ln 21π+ ）； 3. 211)(z z f +=，=)0()5(f （ 0 ）， 4．0=z 是 4sin zzz -的（ 一级 ）极点； 5．zz f 1)(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）；二．选择题（每题4分，共24分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（B ）； （A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(；（C ）y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(.2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ D ），则0d )(=⎰Cz z f ． （A ）23-z ； （B ）2)1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2)2(3-z .3．如果级数∑∞=1n n nz c 在2=z 点收敛，则级数在（C ）（A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛；（C ）i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( B )（A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析；(B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=⎰Cdz z f（C ）如果0)(=⎰Cdz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（ D ）．的可去奇点；为、z A 1sin )(∞的本性奇点；为、z B sin )(∞.sin )(的孤立奇点为、z C 11∞的孤立奇点；为、z D sin )(1∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分） （1）．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a解：因为)(z f 解析，由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂ xvy u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。

南昌大学2008～2009学年第一学期期末考试试卷Q(z) f(z)=复变函数与积分变换试题（一）一、填空（3分×10）1．)31ln(i --的模，幅角。

2．-8i 的三个单根分别为： ， ， 。

3．Ln z 在 的区域内连续。

4．z z f =)(的解极域为：。

5．xyi y x z f 2)(22+-=的导数=')(z f。

6．=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s。

7．指数函数的映照特点是： 。

8．幂函数的映照特点是：。

9．若)(ωF =F [f (t )]，则)(t f = F )][(1ω-f。

10．若f （t ）满足拉氏积分存在条件，则L [f (t )]=。

二、(10分)已知222121),(y x y x v +-=，求函数),(y x u 使函数),(),()(y x iv y x u z f +=为解析函数，且f (0)=0。

三、（10分）应用留数的相关定理计算⎰=--2||6)3)(1(z z z z dz四、计算积分（5分×2） 1．⎰=-2||)1(z z z dz2．⎰-c i z z3)(cos C ：绕点i 一周正向任意简单闭曲线。

五、（10分）求函数)(1)(i z z z f -=在以下各圆环内的罗朗展式。

1．1||0<-<i z 2．+∞<-<||1i z六、证明以下命题：（5分×2）（1）)(0t t -δ与o iwt e -构成一对傅氏变换对。

（2）)(2ωπδ=⎰∞+∞-ω-dt e t i七、（10分）应用拉氏变换求方程组⎪⎩⎪⎨⎧='+=+'+='++'0401z y z y x z y x 满足x (0)=y (0)=z (0)=0的解y (t )。

八、（10分）就书中内容，函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。

复变函数与积分变换试题答案（一）一、1． 22942ln π+ ，ππk arctg 22ln 32+-2.3-i2i3-i3. Z 不取原点和负实轴4. 空集5. 2z 6． 07.将常形域映为角形域8. 角形域映为角形域9.⎰∞+∞-ωωπωωd e F i )(2110.⎰∞+-0)(dt e t f st二、解：∵y ux x v ∂∂-=-=∂∂ xuy y v ∂∂==∂∂∴c xy u += （5分）c xy y x i z f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=222121)(∵f (0)=0c =0（3分）∴222222)2(2)(2)(z i xyi y x i y x i xy z f -=+--=--=（2分）三、解：原式=（2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2621π 01=z 12=z（2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2643π 33=z ∞=4z2312(3,)3)(1(1Re 66⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--分）z z z s⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（=0∴原式=（2分） 23126⨯⨯i π=i 63π- 四、1．解：原式⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=∑=k k z z z s i,)1(1Re 221 （3分） z 1=0 z 2=1]11[2+-=i π=0（2分）2．解：原式iz z i=''=s co !22πi z z i =-π=）（cos i i cos π-==1ich π-五、1．解：nn i i z i i z ii z ii z i i z i z z f ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛--⋅-=-+⋅⋅-=+-⋅-=0111111)(111)(11)(分）（分）（分）（11)(--∞=-=∑n n n i z in nn i z i )(1-=∑∞-=（2分）2．解：⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-=-+⋅-=i z i i z i z i i z z f 11)(11)(1)(11)(2分）（分）（（1分）nn i z i i z ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=02)(120)(11+∞=-=∑n n n i z i 20)(--∞=-=∑n n n i z i （2分） 六、1．解：∵00)(0t i e t t ti t i e dt e t t ωωωδ-==--∞+∞-=-⎰（3分） ∴结论成立 （2）解：∵1)(2210==ωπδπ=ωω-ω-∞+∞-⎰ti t i e dw e（2分）∴)(2w πδ与1构成傅氏对∴)(2ωπδω=-∞+∞-⎰dt e t i（2分）七、解：∵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++)3(0)(4)()2(0)()()()1(1)()()(s sZ s Y s Z s sY s X S s sZ s Y s sX（3分）S （2）-（1）： ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=s s s Y 111)(2⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=--=1111211112s s s s s s （3分）∴cht e e t Y tt -=--=-121211)( 八、解：①定义；②C-R 充要条件Th ； ③v 为u 的共扼函数10分复变函数与积分变换试题（二）一、填空（3分×10）1．函数f (z )在区域D 内可导是f (z )在D 内解析的（）条件。

一、单项选择题（每小题3分，共21分，将选择答案填入下列表格）1．函数在区域内可导是在区域内解析的（）（A）充分不必要条件（B）充分必要条件（C）必要不充分条件（D）既非充分也非必要条件2．ln(-1的主值为（）（A）无定义的（B）0（C）πi （D）(2k+1πi(k为整数3．是直线段，为原点，为, 则（）（A）1+i （B）0（C）1 （D）以上答案都不对4. （）（A）i （B）2i（C）3i（D）4i5．下列级数中绝对收敛的级数为（）（A）（B）（C）（D）6．.以z=0为本性奇点的函数是（）（A）（B）（C）（D）7.δ函数的傅氏变换F 为：（）（A） -2（B） -1（C） 1 （D） 2二、填空题(每小题3 分，共21分，将答案填在空白处8．设函数，，，则的充要条件是_______________________。

9．若，则=__________________。

10．幂极数的收敛半径为__________________。

11．若，则__________________。

12．设f(z=，则Res[f(z,0]= __________________。

13．函数在z=0处的泰勒展开式为__________________。

14．设则 L[]=__________________。

三、计算题(15题12分，16题24分，17题12分，18题10分，共58分，要求写出详细过程15. 判定下列函数何处可导？何处解析？（1）; （2）。

16．计算积分 (1 , 其中为的任何复数, C为正向圆周|z|=1,(2 , C为正向圆周|z|=2,(3 , C为正向圆周|z|=2。

(第三小题要求用留数做17．求在圆环域和内的罗朗级数展开式。

18．求微分方程的解。

一、单项选择题（每小题3分，共21分，将选择答案填入下列表格）1．不等式所表示的区域为（）（A）角形区域（B）圆环内部（C）圆的内部（D）椭圆内部2．在复平面上，下列关于正弦函数sinz的命题中，错误的是（）（A）sinz是周期函数（B）sinz是解析函数（C）|sinz|（D）3．设C为正向圆周，则积分为（）（A）（B）1（C）-1 （D）04．复数列的极限为（）（A）-1（B）0（C）1 （D）不存在5. δ函数的傅氏变换为（）（A）-2 （B）-1（C）1 （D）26．z=0不为可去奇点的函数是（）（A）（B）（C）（D）7．下列函数中，为解析函数的是（）（A）（B）（C）（D）二、填空题(每小题3 分，共21分，将答案填在空白处8．的指数表示式___________。

南昌大学2008～2009学年第一学期期末考试试卷468复变函数与积分变换试题（一）一、填空（3分×10）1．)31ln(i --的模，幅角。

2．-8i 的三个单根分别为： ， ， 。

3．Ln z 在 的区域内连续。

4．z z f =)(的解极域为：。

5．xyi y x z f 2)(22+-=的导数=')(z f。

6．=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s。

7．指数函数的映照特点是： 。

8．幂函数的映照特点是：。

9．若)(ωF =F [f (t )]，则)(t f = F )][(1ω-f。

10．若f （t ）满足拉氏积分存在条件，则L [f (t )]=。

二、(10分)已知222121),(y x y x v +-=，求函数),(y x u 使函数),(),()(y x iv y x u z f +=为解析函数，且f (0)=0。

三、（10分）应用留数的相关定理计算⎰=--2||6)3)(1(z z z z dz四、计算积分（5分×2） 1．⎰=-2||)1(z z z dz2．⎰-c i z z3)(cos C ：绕点i 一周正向任意简单闭曲线。

五、（10分）求函数)(1)(i z z z f -=在以下各圆环内的罗朗展式。

1．1||0<-<i z 2．+∞<-<||1i z六、证明以下命题：（5分×2）（1）)(0t t -δ与o iwt e -构成一对傅氏变换对。

（2）)(2ωπδ=⎰∞+∞-ω-dt e t i七、（10分）应用拉氏变换求方程组⎪⎩⎪⎨⎧='+=+'+='++'0401z y z y x z y x 满足x (0)=y (0)=z (0)=0的解y (t )。

八、（10分）就书中内容，函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。

复变函数与积分变换试题答案（一）一、1． 22942ln π+ ，ππk arctg 22ln 32+-2.3-i2i3-i3. Z 不取原点和负实轴4. 空集5. 2z 6． 07.将常形域映为角形域8. 角形域映为角形域9.⎰∞+∞-ωωπωωd e F i )(2110.⎰∞+-0)(dt e t f st二、解：∵y ux x v ∂∂-=-=∂∂ xuy y v ∂∂==∂∂∴c xy u += （5分）c xy y x i z f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=222121)(∵f (0)=0c =0（3分）∴222222)2(2)(2)(z i xyi y x i y x i xy z f -=+--=--=（2分）三、解：原式=（2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2621π 01=z 12=z（2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2643π 33=z ∞=4z2312(3,)3)(1(1Re 66⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--分）z z z s⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（=0∴原式=（2分） 23126⨯⨯i π=i 63π-四、1．解：原式⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=∑=k k z z z s i ,)1(1Re 221 （3分） z 1=0z 2=1]11[2+-=i π=0（2分）2．解：原式iz z i=''=s co !22πi z z i =-π=）（cos i i cos π-==1ich π-五、1．解：nn i i z i i z ii z ii z i i z i z z f ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛--⋅-=-+⋅⋅-=+-⋅-=0111111)(111)(11)(分）（分）（分）（11)(--∞=-=∑n n n i z in nn i z i )(1-=∑∞-=（2分）2．解：⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-=-+⋅-=i z i i z i z i i z z f 11)(11)(1)(11)(2分）（分）（（1分）nn i z i i z ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=02)(120)(11+∞=-=∑n n n i z i 20)(--∞=-=∑n n n i z i （2分） 六、1．解：∵00)(0t i e t t ti t i e dt e t t ωωωδ-==--∞+∞-=-⎰（3分） ∴结论成立 （2）解：∵1)(2210==ωπδπ=ωω-ω-∞+∞-⎰ti t i e dw e（2分）∴)(2w πδ与1构成傅氏对∴)(2ωπδω=-∞+∞-⎰dt e t i（2分）七、解：∵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++)3(0)(4)()2(0)()()()1(1)()()(s sZ s Y s Z s sY s X S s sZ s Y s sX（3分）S （2）-（1）： ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=s s s Y 111)(2⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=--=1111211112s s s s s s （3分）∴cht e e t Y tt -=--=-121211)( 八、解：①定义；②C-R 充要条件Th ； ③v 为u 的共扼函数10分复变函数与积分变换试题（二）一、填空（3分×10）1．函数f (z )在区域D 内可导是f (z )在D 内解析的（）条件。

«复变函数与积分变换»期末试题（A)一．填空题(每小题3分，共计15分）1．231i-的幅角是( ）；2.)1(iLn+-的主值是（）；3。

211)(zzf+=,=)0()5(f（）;4．0=z是4sinzzz-的（）极点；5．zzf1)(=，=∞]),([Re zfs（ )；二．选择题(每小题3分,共计15分）1．解析函数),(),()(yxivyxuzf+=的导函数为（）；(A）yxiuuzf+=')(; （B）yxiuuzf-=')(;（C)yxivuzf+=')(；（D）xyivuzf+=')(。

2．C是正向圆周3=z,如果函数=)(zf（），则0d)(=⎰C zzf．（A）23-z；（B）2)1(3--zz; （C）2)2()1(3--zz; (D)2)2(3-z。

3．如果级数∑∞=1nnnzc在2=z点收敛，则级数在(A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛；(C ）i z+=1点绝对收敛； (D ）i z 21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( ）（A)如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； （B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=⎰Cdz z f（C)如果0)(=⎰Cdz z f ,则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析;（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（ ）．（A ） 的可去奇点；为z1sin ∞（B ） 的本性奇点；为z sin ∞(C) ;1sin 1的孤立奇点为z∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分)（1）设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a （2）．计算⎰-Czz z z e d )1(2其中C 是正向圆周：2=z ; （3）计算⎰=++3342215d )2()1(z z z z z(4）函数3232)(sin )3()2)(1()(z z z z z z f π-+-=在扩充复平面上有什么类型的奇点?，如果有极点，请指出它的级。

复变函数与积分变换期末试题附有答案Last revision on 21 December 2020复变函数与积分变换期末试题一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i -2.)1(i Ln +-的主值是（）；3. 211)(z z f +=，=)0()5(f（ 0 ），4．0=z 是4sin z z z -的（ 一级 ）极点；5． zz f 1)(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）；二．选择题（每题3分，共15分）1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ ）；（A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(；（C ）y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(.2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ ），则0d )(=⎰Cz z f ．（A ）23-z ； （B ）2)1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ；3．如果级数∑∞=1n nnz c 在2=z 点收敛，则级数在（A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛；（C ）i z+=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( )（A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析；（C ）如果0)(=⎰Cdz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（ ）．(A) 的可去奇点；为z1sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞(C) ;1sin 1的孤立奇点为z∞三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）（1）．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a解：因为)(z f 解析，由C-R 条件,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。

复变函数与积分变换期末试题一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i -的幅角是（ 2,1,0,23±±=+-k k ππ）；2.)1(i Ln +-的主值是（i 432ln 21π+）；3.211)(z z f +=，=)0()5(f （0），4．0=z 是4sin z z z -的（一级）极点；5．zz f 1)(=，=∞]),([Re z f s （-1）； 二．选择题（每题3分，共15分）1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（）；（A ）y x iu u z f +=')(；（B ）y x iu u z f -=')(；（C ）y x iv u z f +=')(；（D ）x y iv u z f +=')(.2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （），则0d )(=⎰Cz z f ． （A ）23-z ；（B ）2)1(3--z z ；（C ）2)2()1(3--z z ；（D ）2)2(3-z . 3．如果级数∑∞=1n n nz c 在2=z 点收敛，则级数在（A ）2-=z 点条件收敛；（B ）i z 2=点绝对收敛；（C ）i z +=1点绝对收敛；（D ）i z 21+=点一定发散．４．下列结论正确的是()（A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； (B)如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=⎰C dz z f（C ）如果0)(=⎰C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（）．(A)的可去奇点；为z1sin ∞(B)的本性奇点；为z sin ∞ (C);1sin 1的孤立奇点为z ∞(D).sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）（1）．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a 解：因为)(z f 解析，由C-R 条件,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。

复变函数与积分变换试题（一）一、填空（3分×10）1．)31ln(i --的模，幅角。

2．-8i 的三个单根分别为： ， ， 。

3．Ln z 在 的区域内连续。

4．z z f =)(的解极域为：。

5．xyi y x z f 2)(22+-=的导数=')(z f。

6．=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s。

7．指数函数的映照特点是： 。

8．幂函数的映照特点是：。

9．若)(ωF =F [f (t )]，则)(t f = F )][(1ω-f。

10．若f （t ）满足拉氏积分存在条件，则L [f (t )]=。

二、(10分)已知222121),(y x y x v +-=，求函数),(y x u 使函数),(),()(y x iv y x u z f +=为解析函数，且f (0)=0。

三、（10分）应用留数的相关定理计算⎰=--2||6)3)(1(z z z z dz四、计算积分（5分×2） 1．⎰=-2||)1(z z z dz2．⎰-c i z z3)(cos C ：绕点i 一周正向任意简单闭曲线。

五、（10分）求函数)(1)(i z z z f -=在以下各圆环内的罗朗展式。

1．1||0<-<i z 2．+∞<-<||1i z六、证明以下命题：（5分×2）（1）)(0t t -δ与o iwt e -构成一对傅氏变换对。

（2）)(2ωπδ=⎰∞+∞-ω-dt e t i七、（10分）应用拉氏变换求方程组⎪⎩⎪⎨⎧='+=+'+='++'0401z y z y x z y x 满足x (0)=y (0)=z (0)=0的解y (t )。

八、（10分）就书中内容，函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。

复变函数与积分变换试题答案（一）一、1． 22942ln π+ ，ππk arctg 22ln 32+-2. 3-i 2i 3-i3. Z 不取原点和负实轴4. 空集5. 2z 6． 07.将常形域映为角形域8. 角形域映为角形域 9.⎰∞+∞-ωωπωωd e F i )(2110. ⎰∞+-0)(dt e t f st二、解：∵yu x x v ∂∂-=-=∂∂ xuy y v ∂∂==∂∂∴c xy u +=（5分）c xy y x i z f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=222121)(∵f (0)=0 c =0 （3分）∴222222)2(2)(2)(z ixyi y x i y x i xy z f -=+--=--=（2分）三、解：原式=（2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2621π01=z 12=z（2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2643π33=z ∞=4z2312(3,)3)(1(1Re 66⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--分）z z z s⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（=0∴原式=（2分） 23126⨯⨯i π=i 63π- 四、1．解：原式⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=∑=k k z z z s i ,)1(1Re 221（3分） z 1=0 z 2=1]11[2+-=i π=0 （2分）2．解：原式iz z i=''=s co !22πi z z i =-π=）（cos i i cos π-==1ich π-五、1．解：nn i i z i i z ii z ii z i i z i z z f ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛--⋅-=-+⋅⋅-=+-⋅-=0111111)(111)(11)(分）（分）（分）（11)(--∞=-=∑n n n i z in nn i z i )(1-=∑∞-=（2分）2．解：⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-=-+⋅-=i z i i z i z i i z z f 11)(11)(1)(11)(2分）（分）（（1分）nn i z i i z ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2)(120)(11+∞=-=∑n n n i z i 2)(--∞=-=∑n n n i z i （2分） 六、1．解：∵00)(0t i e t t ti t i e dt e t t ωωωδ-==--∞+∞-=-⎰ （3分） ∴结论成立（2）解：∵1)(2210==ωπδπ=ωω-ω-∞+∞-⎰ti t i e dw e（2分）∴)(2w πδ与1构成傅氏对∴)(2ωπδω=-∞+∞-⎰dt e t i（2分）七、解：∵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++)3(0)(4)()2(0)()()()1(1)()()(s sZ s Y s Z s sY s X S s sZ s Y s sX （3分）S （2）-（1）： ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=s s s Y 111)(2⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=--=1111211112s s s s s s （3分）∴cht e e t Y t t -=--=-121211)( 八、解：①定义； ②C-R 充要条件Th ； ③v 为u 的共扼函数 10分复变函数与积分变换试题（二）一、填空（3分×10）1．函数f (z )在区域D 内可导是f (z )在D 内解析的（）条件。

2020-2021《复变函数与积分变换》期末课程考试补考试卷考试时间： 年 月 类型：闭卷 时间：120分钟 总分：100分 专业：信工一、填空题（3'1030'⨯=）1、i +1的模和副角主值分别为___2____,______4π_____。

2、3i 副角主值是____2π________________。

3、设(32)(25)13,_____,______i x i y i x y ++-=-==4、f(z)=21(4)z z -的孤立奇点是 _-2_______,______2i_____,______-2i______。

5、2Re ,1(1)(1)zs z z ⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦ 2i π ， 6、(33)i e+=_______3(cos3sin 3)e i +。

7、⎰=22z dz z =_________________。

8、()311i -的解是_____)12sin 12(cos 26ππi -___,_____)127sin 127(cos26ππi +______,_____)1215sin 1215(cos 26ππi -_______。

９、⎰=231cos z dz z z =___12iπ_____。

１０、级数∑∞=12n n 的敛散性是发散（填：发散，条件收敛，绝对收敛） 二、选择题 （3186=⨯）１、下列复数中，位于第Ⅱ象限的复数是（ C ）A.1+iB. .-1+i C 1-i D.-1-i２、设,11iiz +-=则 =z z （ C ）. (A) i ; (B) i -; (C) 1 ; (D) 1-C 、0,()aa =≠∞∞D 、0⋅∞=∞３、对于幂级数，下列说法正确的是（ A ） A 、在收敛圆内绝对收敛 B 、在收敛圆内条件收敛C 、在收敛圆周上处处收敛D 、在收敛圆周上处处发散 ４、级数∑∞=-0n n )i (的和为（ B ）A.0B.不存在C.iD.-i５、z=0是zzz f sin )(=的哪类孤立奇点( B ) A 、极点 B 、可去奇点 C 、本性奇点 D 、不能确定6、ϕϕsin cos 1+-（πϕ<<0）的三角形式是（A ）A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-22sin 22cos 2sin2ϕπϕπϕi B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+22sin 22cos 2sin 2ϕπϕπϕi C 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-22sin 22cos 2sin2ϕπϕπϕi D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2cos 2sin 2sin 2ϕϕϕi三、解答题（共6题，共计５2分）１、（12分）计算积分z =1dz z(z-3)⎰ 和||221(1)z z dz z z =--⎰, （3）利用留数求积分⎰=-4|41z dz z z解：z =1dz z(z-3)⎰=01lim 2(33223z iz iππ→--=-分）（分）||221(1)z z dz z z =--⎰=||21z dz z =⎰+||21(1)z dz z =-⎰（3分）=4i π（2分）（3）解：孤立奇点分别为、i i --,,1,1，且为简单极点院系： 专业班级： 姓名： 学号：装 订 线 内 不 准 答 题装 订 线⎰=-4|41z dz z z=0 （4分）2、（８分）已知f(z)=u+iv 是解析函数，xy y x u +-=22，且满足0)0(=f 求f(z) 解：写出柯西黎曼方程 2分y x yvx u +=∂∂=∂∂2 2分 x y yu x v -=∂∂-=∂∂2 )2(2)(x y i y x z f -++='=iz z -22分f(z)= c iz z +-2221 又因为 0)0(=f ，f(z)=2221iz z -所以2分3、(８分) 将函数)(z f =2)1(1z z -在圆环0<z 10<z 11<-<和内展成洛朗级数。

复变函数与积分变换期末考试试题一、填空题（此题共5小题，每题3分，总分值15分。

）（1）的主值是。

（2）已知为解析函数，那么= ，，= 。

（3）若是的Taylor级数为，那么该级数的收敛半径为。

（4）设，那么Res。

（5）设则。

二、选择题（此题共5小题，每题3分，总分值15分。

）（1）假设，那么（）（A）。

（B）（为任意整数）。

（C）。

（D）（为任意整数）。

（2）设曲线为单位圆，取正向，那么积分（）（A）0．（B）。

（C）。

（D）。

（3）若是级数在点处收敛，那么该级数必在（）（A）点处绝对收敛。

（B）点处条件收敛。

（C）点处收敛。

（D）点处发散。

（4）将平面上的曲线映射成平面上的曲线（）（A）。

（B）。

（C）。

（D）。

（5）是函数的（）（A）本性奇点。

（B）可去奇点。

（C）一级极点。

（D）二级极点三、（10分）已知调和函数，求调和函数，使成为解析函数，并知足。

四、（25分）计算以下积分：（1），其中是从到的直线段；（2），正向（3），正向（4）；（5）。

五、（15分）将函数别离在以下圆环域内展开成Laurent级数。

（1）；（2）；（3）。

六、（5分）已知函数（），求的Fourier变换。

七、（10分）应用Laplace变换解微分方程：八、（5分）若是是区域内的解析函数，那么在内是不是必然也是解析函数？什么缘故？参考答案一、（1）；（2）1，-3，-3；（3）1；（4）；（5）二、（1）D；（2）A；（3）A；（4）A；（5）C三、由知，。

由方程知，因此.又，故有，因此。

因此.由可得，因此.四、（1）在曲线上，..（2）是在内的二级极点, 是在内的一级极点.ResRes原式=.（3）原式=.（4）.别离是在上半平面内的两个一级极点.ResRes原积分=（5）令，那么原式==是在内部的2级极点，是在内部的一级极点.原式=五、（1）时，（2）（3）六、。

..七、令。

方程两边取Laplace变换，得.即.解得.是的二级极点，是的一级极点Res.Res八、因为是内的解析函数，由方程，，（1）若是也是内的解析函数，那么，. （2）为使（1），（2）同时成立，当且仅当.因此（为常数）.因此，只有当在内为常数时，才能在内解析，不然不解析.。