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一元二次函数一元二次函数是数学中常见且重要的函数类型。
它的一般形式可以表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a不为零。
在本文中，我将介绍一元二次函数的特点、图像和应用，并且探讨一些与之相关的数学概念。
特点：1. 定义域和值域：一元二次函数的定义域为实数集R，即对于任意实数x，都存在函数值。
值域则取决于函数的开口方向和导数的正负性。
2. 对称性：一元二次函数的图像关于抛物线的对称轴对称。
对称轴的横坐标可以通过满足函数为0的x解出，即x = -b / (2a)。
这一点在求解函数的最值时有重要作用。
3. 零点：一元二次函数的零点即为使函数值等于零的横坐标。
零点可以通过求解ax^2 + bx + c = 0的根来获得，其中根的个数取决于判别式的值。
图像：一元二次函数的图像是一个抛物线。
抛物线的开口方向由二次项系数a的正负性决定。
当a大于零时，抛物线开口向上；当a小于零时，抛物线开口向下。
抛物线的顶点坐标为(-b / (2a), f(-b / (2a)))，其中f(-b/ (2a))表示在对称轴上的函数值。
应用：1. 物理学：一元二次函数可以用来描述抛体运动、自由落体等物理现象。
例如，抛出物体的高度与时间的关系就可以建模为一元二次函数。
2. 经济学：一元二次函数可以用来建立成本、收益、利润等经济指标之间的关系模型，帮助决策者做出更准确的经济预测和决策。
3. 工程学：一元二次函数在工程领域中也有广泛的应用。
例如，在建筑设计中，可以利用一元二次函数来确定柱状物体的最佳高度；在电路设计中，可以利用一元二次函数来描述电流、电压等变量之间的关系。
数学概念：1. 判别式：一元二次函数的判别式决定了根的情况。
判别式的表达式为Δ = b^2 - 4ac，其中Δ大于零时，方程有两个不等的实根；Δ等于零时，方程有两个相等的实根；Δ小于零时，方程没有实根。
2. 最值：由于一元二次函数的图像是一个抛物线，它在对称轴上有一个极值点。
数学高一第六章知识点在高一数学的学习中，第六章是一个重要的章节，其中包含了许多关键的数学知识点。
本文将介绍数学高一第六章的核心内容，并分小节进行讨论。
一、函数的基本概念和性质函数是数学中一个基本的概念，它描述了两个集合之间的一种特殊关系。
在第六章中，我们学习了函数的定义、定义域、值域、图像以及函数的性质等。
1.1 定义和性质函数是一个映射关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。
函数的定义由一组输入和一组输出组成，每个输入对应唯一的输出。
函数可以用公式、图像或数据表来表示。
函数的定义域是所有可能的输入值的集合，而函数的值域是所有可能的输出值的集合。
1.2 图像和图像的性质函数的图像是函数在平面直角坐标系中的表示，它由所有的输入和对应的输出点组成。
函数的图像可以用来研究函数的性质，如增减性、奇偶性和周期性等。
另外，函数的图像还可以用来解决实际问题，如求解方程、不等式和函数的最值等。
二、函数的基本类型与特性在数学高一的第六章中，我们学习了几种常见的函数类型和它们的特性。
这些函数类型包括线性函数、二次函数、指数函数和对数函数等。
2.1 线性函数线性函数是最简单的一类函数，它的定义可以用一个一次方程来表示。
线性函数的图像是一条直线，具有常比例关系。
我们在学习线性函数时，会介绍直线的斜率、截距和函数的解析式等概念。
2.2 二次函数二次函数是一个抛物线函数，它的定义可以用一个二次方程来表示。
二次函数的图像是一个平滑的曲线，具有开口方向、顶点坐标和对称轴等特性。
我们还会学习二次函数的最值、零点和图像的平移缩放等内容。
2.3 指数函数和对数函数指数函数和对数函数是相互逆运算的函数，它们的定义分别由指数和对数的性质决定。
指数函数的图像是递增的，而对数函数的图像是递减的。
我们会学习指数函数和对数函数的基本性质、特点和应用。
三、函数的运算与组合在高一数学的第六章中，函数的运算和组合也是一个重要的内容。
我们会学习函数的四则运算、复合函数、反函数和函数方程等知识点。
1.2 数列的函数特性学案（含答案）12数列的函数特性学习目标1.了解数列是自变量为正整数的一种特殊函数.2.了解数列的几种表示方法.3.能从函数的观点研究数列知识点一数列的表示方法1图像法数列可以看作是一个定义域为正整数集N或它的有限子集1,2,3，，n的特殊函数，数列的图像是由以n，an为坐标的一系列孤立的点构成的即散点图图像法的优点能够直观地表示出随着项数的变化，相应项的变化趋势2列表法列表法就是用表格的形式表示项数n和项an的变化关系列表法的优点不需要做任何计算就可以直接看出与项数相对应的项知识点二数列的增减性1递增数列一个数列an，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即an1annN，那么这个数列叫作递增数列2递减数列一个数列an，如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即an1annN，那么这个数列叫作递减数列3常数列如果数列an的各项都相等，那么这个数列叫作常数列1数列的图像是一群孤立的点2一个数列不是递增函数，则一定是递减数列3若anfn表示递增数列，则yfx在1，上是增函数4每个数列都可从通项公式.图像.列表等方法中任选一个表示题型一数列的表示法例1在数列an中，ann28n.1画出an的图像；2根据图像写出数列an的增减性解1列表n123456789an71215161512709描点在平面直角坐标系中描出下列各点即得数列an的图像1，7，2，12，3，15，4，16，5，15，6，12，7，7，8,0，9,9，，图像如图所示2当1n4nN时，数列an 为递减数列；当n4nN时，数列an为递增数列反思感悟数列是一个特殊的函数，因此也可以用图像来表示，以位置序号n为横坐标，相应的项为纵坐标，即坐标为n，an描点画图，就可以得到数列的图像，因为它的定义域是正整数集N或它的有限子集1,2,3，，n，所以其图像是一群孤立的点，这些点的个数可以是有限的，也可以是无限的跟踪训练1某种练习本单价5元，小王买了n本nN，n5该练习本，记an为买n本的总价，试用三种方法来表示数列an解通项公式法an5nnN，n5列表法n12345an510152025图像法题型二数列增减性的判断例2已知数列an的通项公式annN，试判断该数列的增减性，并说明理由解an 为递减数列，理由如下an1an.fx2在1，上是减少的，当n1时，fnf110.又n1210，n210，an1an0，an是递减数列反思感悟判断数列的增减性，一般是将其转化为比较相邻两项的大小，常用的方法有作差法.作商法，作差法判断数列增减性的步骤为作差；变形；定号；结论作商法适用于各项都是同号的数列，且应比较比值与1的大小关系跟踪训练2已知数列an的通项公式为annN，写出其前5项，并判断数列an的增减性解当n1,2,3,4,5时，an依次为，，，，，an1an.函数fxx2x92在1，上是减少的，又f170，f230，f330，当n1,2时，an1an，当n3，nN时，an1an，即a1a2a3，a3a4a5.数列an的前3项是递增的，从第3项往后是递减的题型三已知数列的增减性求参数范围例3已知数列an的通项公式为ann2knnN，若数列an是递增数列，求实数k的取值范围解由an是递增数列，得an1ann12kn1n2kn2n1k0对于任意nN恒成立fx2x1k在1，上是增加的，2n1k0对任意nN恒成立等价于211k0，k3，实数k的取值范围是3，反思感悟实际上，当3k2时，函数yx2kx在1，上不是单调函数，但数列ann2kn是单调的，由此可知函数yfx在1，上单调，则数列anfn一定单调，反之则不一定究其原因，是数列与函数定义域不同造成的差别跟踪训练3已知递增数列an的通项公式为an2kn1.则实数k的取值范围是________答案0，解析an是递增数列，an1an2kn112kn12k0，k0.求数列的最大.最小项典例已知数列an的通项ann1nnN，试问数列an有没有最大项若有，求最大项和最大项的项数；若没有，说明理由解设an为最大项，则即解得9n10.又nN，n9或n10.该数列中有最大项，为第9.10项，且a9a10109.引申探究将本例中的“ann1n”换为“an2n29n3”，如何求an中的最大项解由an2n29n322.n为正整数，当n2时，an取得最大值，a222292313.即数列2n29n3的最大项为a213.素养评析1求数列的最值常用的方法根据数列的增减性求最值；设第n项an最大或最小，则，从而确定出哪一项为数列的最值2本例中，理解运算对象，掌握运算法则，选择运算方法，求解运算结果，体现了数学运算的数学核心素养.1已知an3n2，则数列an的图像是A一条直线B一条抛物线C一个圆D一群孤立的点答案D解析an3n2，nN，数列an的图像是一群孤立的点2在数列an中，ann，则an是A递增数列B递减数列C常数列D以上都不是答案A解析an1ann1n10，数列an是递增数列3已知数列an的通项公式为ann29n100，则其最小项是A第4项B第5项C 第6项D第4项或第5项答案D解析fxx29x100的对称轴为x，且开口向上ann29n100的最小项是第4项或第5项4若数列an为递减数列，则an的通项公式可能为______填序号an2n3；ann23n1；an；an1n.答案5数列xn中，若x11，xn11，则x2020____.答案解析x11，x2，x31，数列xn的周期为2，x2020x2.1an与an是两种不同的表示，an表示数列a1，a2，，an，，是数列的一种简记形式而an只表示数列an的第n项，an 与an是“个体”与“整体”的从属关系2数列的表示方法1图像法；2列表法；3通项公式法；4递推公式法3数列的单调性是通过比较an中任意相邻两项an和an1的大小来判定的某些数列的最大项或最小项问题，可以通过研究数列的单调性加以解决4数列是特殊函数，一定要注意其定义域是N或它的有限子集。
