2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册2.1二次函数 同步练习

2018-2019学年度第二学期北师大版九年级数学下册第二章二次函数单元检测试题考试总分： 120 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1.若函数是二次函数，则A. B. C.或 D.2.二次函数的图象如图，对称轴，下列结论：① ；② ；③ ；④；⑤ ，且，．其中正确的有（）A.①③④B.①②④⑤C.②③⑤D.①③④⑤3.为了准备毕业联欢会，工作人员的工作台上到处可见各种各样的函数图象．明明学过抛物线，便信口开河道：图可能是；图可能是；图可能是；图可能是，你认为其中必定不正确的有（）A.个B.个C.个D.个4.抛物线与轴的交点坐标是（）A. B. C. D.5.如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标，与轴的一个交点，直线与抛物线交于，两点，下列结论：① ；② ；③方程有两个相等的实数根；④抛物线与轴的另一个交点是；⑤当时，有．其中正确结论的个数是（）A. B. C. D.6.已知非负数，，满足，，设的最大值为，最小值为，则的值为（）A. B. C. D.7.如果二次函数的图象如图所示，那么下列判断中，不正确的是（）A. B. C. D.8.如图是二次函数的图象，点是坐标平面内的点，则点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限9.如图，平面直角坐标系中，已知点，过点作轴，垂足为，若抛物线与的边界总有两个公共点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.10.如图，已知二次函数在坐标平面上的图象经过、两点．若，，则的值可能为（）A. B. C. D.二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）11.抛物线的图象如图，若将其向左平移个单位，再向下平移个单位，则平移后的解析式为________．12.体育课上，小明同学练习推铅球，如图是铅球被推出后所经的路线，铅球从点处出手，在点处落地，它的运行路线满足，则这次推铅球的成绩是________米．13.对于二次函数，当________时，函数有最小值________．14.如图所示的抛物线是二次函数的图象，那么的值是________．15.一抛物线与轴的交点是、，且经过点．则该抛物线的解析式为________；顶点坐标是________．16.把二次函数化成的形式是________．17.有一个抛物线形拱桥，其最大高度为米，跨度为米，现把它的示意图放在如图所示的平面直角坐标系中，则此抛物线的解析式为________．18.某市“安居工程”新建成的经济房都是层高，房子的价格（元）随楼层数（楼）的变化而变化；已知点都在一个二次函数的图象（如图）上，对称轴方程为：，则楼房子的价格为________元．19.如图为二次函数的图象，在下列说法中：① ；②方程的根是，③ ④当时，随的增大而增大．正确的说法有________．20.如图，已知抛物线，直线，当任取一值时，对应的函数值分别为，．若，取，中的较小值记为；若，记．例如：当时，，，，此时．那么使得的值为________．三、解答题（共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）21.已知：函数是二次函数．已知：函数是二次函数．求的值；写出这个二次函数图象的对称轴：________，顶点坐标：________；求图象与轴的交点坐标．22.在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴正半轴交于点．求证：该二次函数的图象与轴必有两个交点；设该二次函数的图象与轴的两个交点中右侧的交点为点，若，将直线向下平移个单位得到直线，求直线的解析式；在的条件下，设为二次函数图象上的一个动点，当时，点关于轴的对称点都在直线的下方，求的取值范围．23.有一座抛物线形拱桥，以坐标原点为抛物线的顶点，以轴为抛物线的对称轴建立如图所示的坐标系，桥下面在正常水位时，宽米，水位上升米就达到警戒线，这时水面宽为米．求抛物线的解析式及警戒线到拱桥顶的距离．24.如图，二次函数的图象与轴相交于、两点，与轴相交于点，点、是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点、．求二次函数的解析式；当时的取值范围是________；根据图象可知：当一次函数值小于等于二次函数值时，的取值范围是________．25.某学校广场有一段米长的旧围栏，如图所示，现打算利用围栏的一部分（或全部）为一边，修建一排大小相等的三个矩形草坪．现有新围栏米，每米元，修建旧围栏每米价格 . 元，如何设计每个小矩形的长、宽，使三个矩形草坪的总面积最大，最大的面积是多少？要花多少钱？26.某种野生菌上市时，外商李经理按市场价格元/千克收购了这种野生菌千克存放入冷库中，据预测，该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨元；但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计元，而且这类野生菌在冷库中最多保存天，同时，平均每天有千克的野生菌损坏不能出售．设天后每千克该野生菌的市场价格为元，试写出与之间的函数关系式．若存放天后，将这批野生菌一次性出售，设这批野生菌的销售总额为元，试写出与之间的函数关系式．李经理将这批野生茵存放多少天后出售可获得最大利润元？并求出其最大利润．（利润销售总额-收购成本-各种费用）答案1.B2.B3.C4.D5.C6.B7.C8.C9.A10.D11.12.13.14.15.16.17.18..①②③20.或21.22.解：令，则，∵二次函数图象与轴正半轴交于点，∴ ，且，又∵ ，∴ ，∴ ，∴该二次函数的图象与轴必有两个交点；令，解得：，，由得，故的坐标为，又因为，所以，即，则可求得直线的解析式为：．再向下平移个单位可得到直线；由得二次函数的解析式为：．∵ 为二次函数图象上的一个动点，∴ ．∴点关于轴的对称点的坐标为．∴ 点在二次函数上．∵当时，点关于轴的对称点都在直线的下方，当时，；当时，；结合图象可知：，解得：．∴ 的取值范围为：．23.解：设抛物线解析式为，∵抛物线关于轴对称，，∴点的横坐标为，设点，点，，，即，解得：，∴，且点的坐标为，故警戒线到拱桥顶的距离为米．24.；．25.解：如图，设，那么，，当时，总面积最大，最大为（平方米），此时：（米），总价格为： . （元）．26.解：由题意得与之间的函数关系式（，且为整数）由题意得与之间的函数关系式由题意得∴当时，最大∵ 天天∴存放天后出售这批野生菌可获得最大利润元．。

第2章二次函数一．选择题（共14小题）1．下列解析式中表示关于x的二次函数的是（）A．y＝x2B．y＝2x+3 C．y＝﹣D．y＝2x2﹣﹣1 2．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（）A．B．C．D．3．二次函数y＝（x﹣4）2+5的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（）A．向上，直线x＝4，（4，5）B．向上，直线x＝﹣4，（﹣4，5）C．向上，直线x＝4，（4，﹣5）D．向下，直线x＝﹣4，（﹣4，5）4．直线y＝3被抛物线y＝﹣x2+2x+6截得的线段长度为（）A．2 B．3 C．4 D．65．函数y＝kx2﹣4x+2的图象与x轴有公共点，则k的取值范围是（）A．k＜2 B．k＜2 且k≠0 C．k≤2 D．k≤2 且k≠0 6．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（3，0），对称轴为直线x＝1，给出以下结论：①abc＜0；②a+b+c≥ax2+bx+c；③若M（n2+1，y1），N（n2+2，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2．④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝p（p＞0）有整数根，则p的值2个．有其中正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．47．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是x＝﹣1，且过点（﹣3，0），说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③﹣a+c＜0；④若（﹣5，y1）、（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2，其中说法正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．48．抛物线y＝mx2+3mx+2（m＜0）经过点A（a，y1）、B（1，y2）两点，若y1＞y2，则实数a 满足（）A．﹣4＜a＜1 B．a＜﹣4或a＞1 C．﹣4＜a≤﹣D．﹣≤a＜1 9．已知函数y＝2x与y＝x2﹣c（c为常数，﹣1≤x≤2）的图象有且仅有一个公共点，则常数c的值为（）A．0＜c≤3或c＝﹣1 B．﹣l≤c＜0或c＝3C．﹣1≤c≤3 D．﹣1＜c≤3且c≠010．已知点A（a+3，y1）、P（﹣a，y2）均在抛物线y＝mx2﹣2mx+n上，若y1＜y2≤n﹣m，则a的取值范围是（）A．a＞﹣3 B．a＞﹣C．＜a＜2 D．﹣3＜a＜2 11．要将抛物线y＝x2平移后得到抛物线y＝x2+2x+3，下列平移方法正确的是（）A．向左平移1个单位，再向上平移2个单位B．向左平移1个单位，再向下平移2个单位C．向右平移1个单位，再向上平移2个单位D．向右平移1个单位，再向下平移2个单位12．已知抛物线y＝x2﹣4x+3，当0≤x≤m时，y的最小值为﹣1，最大值为3，则m的取值范围为（）A．m≥2 B．0≤m≤2 C．2≤m≤4 D．m≤413．设函数y＝﹣x2+2ax﹣1在﹣1≤x≤1的范围内的最大值记为n，下列说法错误的是（）A．当a≤﹣1时，n＝﹣2a﹣2 B．当﹣1≤a≤1时，n＝a2﹣1C．当a≥1时，n＝2a﹣2 D．n的最小值为014．对某一个函数给出如下定义：如果存在常数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数；在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数y＝﹣（x+1）2+2，y≤2，因此是有上界函数，其上确界是2，如果函数y＝﹣2x+1（m≤x≤n，m＜n）的上确界是n，且这个函数的最小值不超过2m，则m的取值范围是（）A．m≤B．m C．D．m二．填空题（共6小题）15．将二次函数y＝x2﹣2x化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为．16．已知函数y＝，若使y＝k成立的x值恰好有2个，则k的值为．17．若抛物线y＝a（x﹣h）2+k经过（﹣1，0）和（5，0）两点，则关于x的一元二次方程a（x+h﹣2）2+k＝0的解为．18．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，5），且无论m为何值，不等式a+b≥am2+bm恒成立，则关于x的方程ax2+bx+c＝5的解为．19．如图，y＝ax2+bx+c与y＝mx+n交于A、B两点，则ax2+bx+c≤mx+n的解集为．20．如图，用一段长为40m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园ABCD，墙长为18m，设AD 的长为xm，菜园ABCD的面积为ym2，则函数y关于自变量x的函数关系式是，x的取值范围是．三．解答题（共6小题）21．抛物线y＝ax2+bx+c经过A（1，9）、B（﹣1，1）、C（0，3）三点．（1）求此二次函数的解析式；（2）当x时，y随x增大而增大；函数的顶点坐标为；（3）根据图象，直接写出当3＜y≤9时x的取值范围是．22．平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点A（2，0）和点，直线l经过抛物线的顶点且与y轴垂直，垂足为Q．求该二次函数的表达式．23．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，交x轴于A，B （﹣1，0）两点，交y轴于点C（0，3）根据图象解答下列问题（1）直接写出方程ax2+bx+c＝0的两个根；（2）直接写出不等式ax2+bx+c＜3的解集．24．如图，已知抛物线y1＝ax2+k经过点（﹣2，﹣2）和（0，2）（1）求y1的解析式；（2）直接写出：抛物线y1向右平移一个单位，当y1＞y2时，自变量x的取值范围为．25．如图，已知：抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）与x轴相交于A、B两点，与y轴的交于点C （0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式的一般式．（2）若抛物线上有一点P，满足∠ACO＝∠PCB，求P点坐标．（3）直线l：y＝kx﹣k+2与抛物线交于E、F两点，当点B到直线l的距离最大时，求△BEF的面积．26．抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，OB＝OC，点D（2，﹣3）在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）点P（m，km+1），m为任意实数，当m变化时，点P在直线l上运动，若点A，D 到直线l的距离相等，求k的值；（3）M为抛物线在第一象限内一动点，若∠AMB＞45°，求点M的横坐标x M的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．下列解析式中表示关于x的二次函数的是（）A．y＝x2B．y＝2x+3 C．y＝﹣D．y＝2x2﹣﹣1 【分析】按照二次函数的定义逐个选项分析即可．【解答】解：按照二次函数的定义：形如y＝ax2+bx+c（a≠0）逐个判断即可：选项A：是二次函数，故A正确；选项B：是一次函数，不是二次函数，B不正确；选项C：是反比例函数，不是二次函数，C不正确；选项D：既有二次项，又有反比例的，D不正确．综上，只有A正确．故选：A．2．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（）A．B．C．D．【分析】本题可先由二次函数y＝ax2+bx+c图象得到字母系数的正负，再与一次函数y ＝ax+b的图象相比较看是否一致．【解答】解：A、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b ＜0，故本选项正确；B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误；C、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；D、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误．故选：A．3．二次函数y＝（x﹣4）2+5的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（）A．向上，直线x＝4，（4，5）B．向上，直线x＝﹣4，（﹣4，5）C．向上，直线x＝4，（4，﹣5）D．向下，直线x＝﹣4，（﹣4，5）【分析】由抛物线的解析式可求得其开口方向、对称轴及顶点坐标，可求得答案．【解答】解：二次函数y＝（x﹣4）2+5的图象的开口向上、对称轴为直线x＝4、顶点坐标为（4，5），故选：A．4．直线y＝3被抛物线y＝﹣x2+2x+6截得的线段长度为（）A．2 B．3 C．4 D．6【分析】求得抛物线与直线的交点坐标后即可求得截得的线段的长．【解答】解：令y＝﹣x2+2x+6＝3，解得：x＝﹣1或x＝3，故在直线y＝3上截得的线段的长为3﹣（﹣1）＝4，故选：C．5．函数y＝kx2﹣4x+2的图象与x轴有公共点，则k的取值范围是（）A．k＜2 B．k＜2 且k≠0 C．k≤2 D．k≤2 且k≠0 【分析】先根据二次函数的定义得到k≠0，再根据抛物线与x轴的交点问题得到△＝（﹣4）2﹣4k×2≥0，然后解不等式即可得到k的值．【解答】解：∵函数y＝kx2﹣4x+2，∴当k＝0时，函数y＝kx2﹣4x+2是一次函数，与x轴有一个交点为（，0），当k≠0时，函数y＝kx2﹣4x+2是二次函数，∵二次函数y＝kx2﹣4x+2的图象与x轴有公共点，∴△＝（﹣4）2﹣4k×2≥0，解得k≤2，综上所述，k的取值范围是k≤2．故选：C．6．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（3，0），对称轴为直线x＝1，给出以下结论：①abc＜0；②a+b+c≥ax2+bx+c；③若M（n2+1，y1），N（n2+2，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2．④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝p（p＞0）有整数根，则p的值2个．有其中正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向下，a＜0；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1＞0，∴b＞0；∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，故①正确；∵当x＝1时，函数有最大值，∴a+b+c≥ax2+bx+c，故②正确；∵抛物线的对称轴是x＝1，则M（n2+1，y1），N（n2+2，y2）在对称轴右侧，n2+1＜n2+2，∴y1＞y2，故③正确；∵抛物线的对称轴是x＝1，与x轴的一个交点是（3，0），∴抛物线与x轴的另个交点是（﹣1，0），把（3，0）代入y＝ax2+bx+c得，0＝9a+3b+c，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴9a﹣6a+c＝0，解得，c＝﹣3a．∴y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a（a＜0），∴顶点坐标为（1，﹣4a），由图象得当0＜y≤﹣4a时，﹣1＜x＜3，其中x为整数时，x＝0，1，2，又∵x＝0与x＝2关于直线x＝1轴对称当x＝1时，直线y＝p恰好过抛物线顶点．所以p值可以有2个．故④正确；故选：D．7．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是x＝﹣1，且过点（﹣3，0），说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③﹣a+c＜0；④若（﹣5，y1）、（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2，其中说法正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据抛物线开口方向得到a＞0，根据抛物线的对称轴得b＝2a＞0，则2a﹣b＝0，则可对②进行判断；根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，则abc＜0，于是可对①进行判断；由于x＝﹣1时，y＜0，则得到a﹣2a+c＜0，则可对③进行判断；通过点（﹣5，y1）和点（，y2）离对称轴的远近对④进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a＞0，则2a﹣b＝0，所以②正确；∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＜0，所以①正确；∵x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∵b＝2a，∴a﹣2a+c＜0，即﹣a+c＜0，所以③正确；∵点（﹣5，y1）离对称轴要比点（，y2）离对称轴要远，∴y1＞y2，所以④正确．故选：D．8．抛物线y＝mx2+3mx+2（m＜0）经过点A（a，y1）、B（1，y2）两点，若y1＞y2，则实数a 满足（）A．﹣4＜a＜1 B．a＜﹣4或a＞1 C．﹣4＜a≤﹣D．﹣≤a＜1 【分析】先确定抛物线的对称轴为x＝﹣＝﹣1.5，则确定点B（1，y2）关于直线x ＝﹣1.5的对称点的坐标为（﹣4，y2），然后利用二次函数的性质得到a的范围．【解答】解：抛物线的对称轴为x＝﹣＝﹣1.5，而点B（1，y2）关于直线x＝﹣1.5的对称点的坐标为（﹣4，y2），∵m＜0，∴抛物线开口向下，且y1＞y2，∴﹣4＜a＜1．故选：A．9．已知函数y＝2x与y＝x2﹣c（c为常数，﹣1≤x≤2）的图象有且仅有一个公共点，则常数c的值为（）A．0＜c≤3或c＝﹣1 B．﹣l≤c＜0或c＝3C．﹣1≤c≤3 D．﹣1＜c≤3且c≠0【分析】利用直线y＝2x与y＝x2﹣c（c为常数，﹣1≤x≤2）的图象有且仅有一个公共点，由根的判别式求出c的值，即可求得直线的解析式．【解答】解：把y＝2x代入y＝x2﹣c，整理得x2﹣2x﹣c＝0，根据题意△＝（﹣2）2+4c＝0，解得c＝﹣1，把x＝﹣1代入y＝2x与y＝x2﹣c得，c＝3，把x＝2代入y＝2x与y＝x2﹣c得，c＝0，由图象可知当0＜c≤3或c＝﹣1时，函数y＝2x与y＝x2﹣c（c为常数，﹣1≤x≤2）的图象有且仅有一个公共点，故选：A．10．已知点A（a+3，y1）、P（﹣a，y2）均在抛物线y＝mx2﹣2mx+n上，若y1＜y2≤n﹣m，则a的取值范围是（）A．a＞﹣3 B．a＞﹣C．＜a＜2 D．﹣3＜a＜2【分析】由已知可得对称轴为x＝1，当x＝1时，函数有最值n﹣m，根据y1＜y2≤n﹣m，可以确定函数开口向下，此时，点离对称轴越近对应的函数值越大，即有|1+a|＜|a+3﹣1|．【解答】解：抛物线y＝mx2﹣2mx+n的对称轴为x＝1，当x＝1时，函数有最值n﹣m，∵y1＜y2≤n﹣m，∴函数有最大值，∴m＜0，∵A（a+3，y1）、P（﹣a，y2），且y1＜y2≤n﹣m，∴|1+a|＜|a+3﹣1|，∴a＞﹣，故选：B．11．要将抛物线y＝x2平移后得到抛物线y＝x2+2x+3，下列平移方法正确的是（）A．向左平移1个单位，再向上平移2个单位B．向左平移1个单位，再向下平移2个单位C．向右平移1个单位，再向上平移2个单位D．向右平移1个单位，再向下平移2个单位【分析】原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（6，3），由此确定平移规律．【解答】解：y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，该抛物线的顶点坐标是（﹣1，2），抛物线y＝x2的顶点坐标是（0，0），则平移的方法可以是：将抛物线y＝x2向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度．故选：A．12．已知抛物线y＝x2﹣4x+3，当0≤x≤m时，y的最小值为﹣1，最大值为3，则m的取值范围为（）A．m≥2 B．0≤m≤2 C．2≤m≤4 D．m≤4【分析】利用配方法可找出：当x＝2时，y取得最小值，最小值为﹣1；代入y＝3可求出x＝0或4，再结合“当0≤x≤m时，y的最小值为﹣1，最大值为3”，即可找出m的取值范围．【解答】解：∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴当x＝2时，y取得最小值，最小值为﹣1；当y＝3时，有x2﹣4x+3＝3，解得：x1＝0，x2＝4，∴当x＝0或4时，y＝3．又∵当0≤x≤m时，y的最小值为﹣1，最大值为3，∴2≤m≤4．故选：C．13．设函数y＝﹣x2+2ax﹣1在﹣1≤x≤1的范围内的最大值记为n，下列说法错误的是（）A．当a≤﹣1时，n＝﹣2a﹣2 B．当﹣1≤a≤1时，n＝a2﹣1C．当a≥1时，n＝2a﹣2 D．n的最小值为0【分析】由于开口向下，在﹣1≤x≤1内，取端点值和顶点值时可取得最大值．【解答】解：∵y＝﹣x2+2ax﹣1的对称轴为x＝﹣＝a，A，当a≤﹣1时，y的最大值是x＝﹣1时的函数值，则：n＝﹣1﹣2a﹣1＝﹣2a﹣2，故说法正确；B．当﹣1≤a≤1时，y的最大值是函数的顶点的纵坐标，则：n＝＝a2﹣1，故说法正确；C．当a≥1时，y的最大值x＝1时的函数值，则：n＝﹣1+2a﹣1＝2a﹣2，故说法正确；D．无法确定n的最小值，故说法错误；故选：D．14．对某一个函数给出如下定义：如果存在常数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数；在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数y＝﹣（x+1）2+2，y≤2，因此是有上界函数，其上确界是2，如果函数y＝﹣2x+1（m≤x≤n，m＜n）的上确界是n，且这个函数的最小值不超过2m，则m的取值范围是（）A．m≤B．m C．D．m【分析】根据函数的上确界和函数增减性得到﹣2m+1＝n，函数的最小值为﹣2n+1，根据m＜n，函数的最小值不超过2m，列不等式求解集即可．【解答】解：∵在y＝﹣2x+1中，y随x的增大而减小，∴上确界为﹣2m+1，即﹣2m+1＝n，∵函数的最小值是﹣2n+1≤2m，解得m≤，∵m＜n，∴m＜﹣2m+1．解得m＜，综上，m＜故选：B．二．填空题（共6小题）15．将二次函数y＝x2﹣2x化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为y＝（x﹣1）2﹣1 ．【分析】加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【解答】解：y＝x2﹣2x＝x2﹣2x+1﹣1＝（x﹣1）2﹣1．故答案是：y＝（x﹣1）2﹣1．16．已知函数y＝，若使y＝k成立的x值恰好有2个，则k的值为k＝﹣1或k＞3 ．【分析】首先在坐标系中画出已知函数y＝的图象，然后利用数形结合的方法即可找到使y＝k成立的x值恰好有2个的k值．【解答】解：函数y＝的图象如图：根据图象知道当y＝﹣1或y＞3时，对应成立的x值恰好有2个，所以k＝﹣1或k＞3．故答案为：k＝﹣1或k＞3．17．若抛物线y＝a（x﹣h）2+k经过（﹣1，0）和（5，0）两点，则关于x的一元二次方程a（x+h﹣2）2+k＝0的解为x1＝3，x2＝﹣3 ．【分析】先根据题意得到抛物线为y′＝a（x+h）2+k与x轴的交点为（﹣5，0）和（1，0），将y′＝a（x+h）2+k向右平移2个单位得到y＝a（x+h﹣2）2+k，其与x轴的两个交点为（﹣3，0）和（3，0），可以得到a（x+h﹣2）2+k＝0的解．【解答】解：将抛物线y＝a（x﹣h）2+k关于y轴对称得新抛物线为y′＝a（x+h）2+k，∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k经过（﹣1，0）和（5，0）两点，∴抛物线为y′＝a（x+h）2+k与x轴的交点为（﹣5，0）和（1，0），将新抛物线y′＝a（x+h）2+k向右平移2个单位得抛物线y″＝a（x+h﹣2）2+k，其与x轴的两个交点为（﹣3，0）和（3，0），∴方程a（x+h﹣2）2+k＝0的解为x1＝3，x2＝﹣3，故答案为x1＝3，x2＝﹣3．18．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，5），且无论m为何值，不等式a+b≥am2+bm恒成立，则关于x的方程ax2+bx+c＝5的解为x1＝﹣1，x2＝3 ．【分析】不等式a+b≥am2+bm恒成立，即a+b+c≥am2+bm+c恒成立，由此得到顶点坐标是（1，a+b+c）；然后由抛物线的对称性得到（﹣1，5）关于直线x＝1的对称点为（3，5），易得答案．【解答】解：∵不等式a+b≥am2+bm恒成立，∴a+b+c≥am2+bm+c恒成立，∴点（1，a+b+c）是抛物线的顶点，点（﹣1，5）关于直线x＝1的对称点为（3，5），当y＝5时，x＝﹣1或3，此即为答案．故答案是：x1＝﹣1，x2＝3．19．如图，y＝ax2+bx+c与y＝mx+n交于A、B两点，则ax2+bx+c≤mx+n的解集为0≤x≤5 ．【分析】由图象判断出两个交点A，B横坐标分别是0和5，结合图象及可求不等式的解集；【解答】解：由图象可知，y＝ax2+bx+c与y＝mx+n相交时A点横坐标0，B点横坐标5，∵ax2+bx+c≤mx+n，结合函数图象可得：0≤x≤5；故答案为0≤x≤5；20．如图，用一段长为40m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园ABCD，墙长为18m，设AD 的长为xm，菜园ABCD的面积为ym2，则函数y关于自变量x的函数关系式是y＝﹣2x2+40x，x的取值范围是11≤x＜20 ．【分析】先用含x的代数式表示出平行于墙的边长，再由矩形的面积公式就可以得出结论；【解答】解：根据题意，AD边的长为x米，则AB边的长为（40﹣2x）米，∴y＝x（40﹣2x），即y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x2+40x；0＜40﹣2x≤18，11≤x＜20，故答案为y＝﹣2x2+40x，11≤x＜20，三．解答题（共6小题）21．抛物线y＝ax2+bx+c经过A（1，9）、B（﹣1，1）、C（0，3）三点．（1）求此二次函数的解析式；（2）当x≥﹣1 时，y随x增大而增大；函数的顶点坐标为（﹣1，1）；（3）根据图象，直接写出当3＜y≤9时x的取值范围是﹣3≤x＜﹣2或0＜x≤1．．【分析】（1）由抛物线y＝ax2+bx+c经过C（0，3），得c＝3，再将A（1，9）、B（﹣1，1）代入该抛物线表达式，得二元一次方程组，解出a和b，从而可得抛物线的解析式；（2）先求出抛物线的对称轴，再由二次项系数a的正负，得出何时y随x的增大而增大；根据对称轴，观察点B恰好为顶点；（3）先求得当y＝3和当y＝9时，x的值，结合图象，即可得解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过C（0，3）．∴c＝3∵抛物线y＝ax2+bx+3经过A（1，9）、B（﹣1，1）∴解得：∴二次函数的解析式为：y＝2x2+4x+3．（2）∵y＝2x2+4x+3的对称轴为：x＝﹣1a＝2＞0∴当x≥﹣1时，y随x的增大而增大；∵点B（﹣1，1）在抛物线上，∴函数的顶点坐标为（﹣1，1）．故答案为：≥﹣1；（﹣1，1）．（3）∵当x≥﹣1时，y随x的增大而增大∴当3＜y≤9时x的取值范围是当y＝3时，由2x2+4x+3＝3得：x＝﹣2或x＝0；当y＝9时，由2x2+4x+3＝9得：x＝﹣3或x＝1结合函数图象可得：当3＜y≤9时x的取值范围是﹣3≤x＜﹣2或0＜x≤1．22．平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点A（2，0）和点，直线l经过抛物线的顶点且与y轴垂直，垂足为Q．求该二次函数的表达式．【分析】直接将A、B两点坐标代入解析式，根据待定系数法即可得解．【解答】解：将点A（2，0）和点分别代入由＝x2+mx+n中，得：，解得：．∴抛物线的解析式：y＝x2﹣1．23．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，交x轴于A，B （﹣1，0）两点，交y轴于点C（0，3）根据图象解答下列问题（1）直接写出方程ax2+bx+c＝0的两个根；（2）直接写出不等式ax2+bx+c＜3的解集．【分析】（1）B（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，则点A（3，0），即可求解；（2）点C（0，3），则点C关于对称轴的对称点为：（2，3），即可求解．【解答】解：（1）B（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，则点A（3，0），故ax2+bx+c＝0的两个根为x1＝3、x2＝﹣1；（2）点C（0，3），则点C关于对称轴的对称点为：（2，3），则不等式ax2+bx+c＜3的解集为x＜0或x＞2．24．如图，已知抛物线y1＝ax2+k经过点（﹣2，﹣2）和（0，2）（1）求y1的解析式；（2）直接写出：抛物线y1向右平移一个单位，当y1＞y2时，自变量x的取值范围为x．【分析】（1）依题意得：k＝2，将点（﹣2，﹣2）代入函数表达式得：﹣2＝4a+2，解得：a＝﹣1，即可求解；（2）y2＝﹣（x﹣1）2+2，联立①②并解得：x＝，即可求解．【解答】解：（1）依题意得：k＝2，将点（﹣2，﹣2）代入函数表达式得：﹣2＝4a+2，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y1＝﹣x2+2…①；（2）y2＝﹣（x﹣1）2+2…②，联立①②并解得：x＝，从图象可以看出，当y1＞y2时，自变量x的取值范围为：x＜；故答案为：x．25．如图，已知：抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）与x轴相交于A、B两点，与y轴的交于点C （0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式的一般式．（2）若抛物线上有一点P，满足∠ACO＝∠PCB，求P点坐标．（3）直线l：y＝kx﹣k+2与抛物线交于E、F两点，当点B到直线l的距离最大时，求△BEF的面积．【分析】（1）把C点坐标代入y＝a（x+1）（x﹣3）中求出a的值即可得到抛物线解析式；（2）分两种情况，当点P在直线BC的下方时，过点B作BE⊥BC交CP的延长线于点E，过点E作EM⊥x轴于点M，由直角三角形的性质可求得ME，BM长，求出点E的坐标，可求出直线CE的解析式，联立直线和抛物线方程可求出点P的坐标；当点P在直线BC的上方时，过点B作BF⊥BC交CP于点F，同理求出点F的坐标和直线CF的解析式，联立直线和抛物线方程可求得点P的坐标．（3）求出直线y＝kx﹣k+2恒过定点H（1，2），连结BH，当BH⊥直线l时，点B到直线l的距离最大时，求出此时k的值，可求出点E，F的坐标，则△BEF的面积可求出．【解答】解：（1）把C（0，﹣3）代入y＝a（x+1）（x﹣3），得﹣3a＝﹣3，解得a＝1，所以抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣3），即y＝x2﹣2x﹣3；（2）当点P在直线BC的下方时，如图1，过点B作BE⊥BC交CP的延长线于点E，过点E作EM⊥x轴于点M，∵y＝（x+1）（x﹣3），∴y＝0时，x＝﹣1或x＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴，∵OB＝OC＝3，∴∠ABC＝45°，BC＝3，∵∠ACO＝∠PCB，∴tan，∴BE＝，∵∠CBE＝90°，∴∠MBE＝45°，∴BM＝ME＝1，∴E（4，﹣1），设直线CE的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线CE的解析式为，∴，解得，∴，当点P在直线BC的上方时，过点B作BF⊥BC交CP于点F，如图2，同理求出BF＝，FN＝BN＝1，∴F（2，1），求出直线CF的解析式为y＝2x﹣3，∴，解得：x1＝0，x2＝4，∴P（4，5）．综合以上可得点P的坐标为（4，5）或（）；（3）∵直线l：y＝kx﹣k+2，∴y﹣2＝k（x﹣1），∴x﹣1＝0，y﹣2＝0，∴直线y＝kx﹣k+2恒过定点H（1，2），如图3，连结BH，当BH⊥直线l时，点B到直线l的距离最大时，求出直线BH的解析式为y＝﹣x+3，∴k＝1，∴直线l的解析式为y＝x+1，∴，解得：，，∴E（﹣1，0），F（4，5），∴＝10．26．抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，OB＝OC，点D（2，﹣3）在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）点P（m，km+1），m为任意实数，当m变化时，点P在直线l上运动，若点A，D 到直线l的距离相等，求k的值；（3）M为抛物线在第一象限内一动点，若∠AMB＞45°，求点M的横坐标x M的取值范围．【分析】（1）OB＝OC，则点B（﹣c，0），将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：b＝c+1，将点D的坐标代入抛物线表达式并解得：2b+c＝﹣7，即可求解；（2）分两种情况，其中AD与l相交时，证明△AGM≌△DHN（AAS），则ND＝AM，即﹣+1＝2+，即可求解；（3）则RM2＝（1﹣t）2+（s﹣2）2＝8，即可求解．【解答】解：（1）OB＝OC，则点B（﹣c，0），将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：b＝c+1，将点D的坐标代入抛物线表达式并解得：2b+c＝﹣7，联立上述不等式并解得：b＝﹣2，c＝﹣3，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）①当AD与l相交时，点P（m，km+1），则直线l的表达式为：y＝2kx+1，点C、D的纵坐标相等，故CD∥x轴，设直线l分别交x轴、CD于点M、N，故点M（﹣，0），当y＝﹣3时，x＝﹣，故点N（﹣，﹣3）点A，D到直线l的距离分别为AG、HD，则AG＝DH，∵∠AMG＝∠BMH＝∠DNH，∵△AGM≌△DHN（AAS），∴ND＝AM，即﹣+1＝2+，解得：k＝﹣；②当AD∥l时，则直线AD表达式中的k值为l中的k值，k＝＝﹣1；综上，k＝﹣1或﹣；（3）当∠AMB＝45°，作过点A、B、M三点的圆R，圆心为R，则∠ARB＝90°，则点R（1，2），圆的半径为AR＝2，设点M（t，s），则s＝t2﹣2t﹣3，则RM2＝（1﹣t）2+（s﹣2）2＝8，则t2﹣2t﹣3＝4s﹣s2，即s＝4s﹣s2，解得：s＝0（舍去0）或3，故s＝3＝t2﹣2t﹣3，解得：t＝1+（负值已舍去），点M在第一象限，故x M＞3，故x M的取值范围为：3＜x M＜1+．。

北师大版九下 2.1 二次函数一、选择题（共8小题）1. 下列函数解析式中，一定为二次函数的是( )A. y=3x−1B. y=ax2+bx+cC. s=2t2−2t+1D. y=x2+1x2. 下列函数解析式中，一定为二次函数的是( )A. y=2x−1B. y=ax2+bx+cC. s=3t2−2t+1D. y=x2+1x3. 如图所示，正方形ABCD的边长为1，E，F分别是边BC和CD上的动点（不与正方形的顶点重合）．不管E，F怎样动，始终保持AE⊥EF，设BE=x，DF=y，则与x之间的函数关系式是( )A. y=x+1B. y=x−1C. y=x2−x+1D. y=x2−x−14. 一个直角三角形的两条直角边长的和为20cm，其中一条直角边的长为x cm，三角形的面积为y cm2，则y与x之间的函数关系式是( )A. y=20xB. y=(20−x)xx(20−x) D. y=(10−x)xC. y=125. 若y=(m−1)x m2+1+mx+3是二次函数，则m的值是( )A. −1B. 2C. ±1D. 16. 下列函数不属于二次函数的是( )(x+1)2A. y=(x−1)(x+2)B. y=12C. y=2(x+3)2−2x2−2xD. y=1−√3x27. 已知y=(m−2)x∣m∣+2是关于x的二次函数，那么m的值为( )A. −2B. 2C. ±2D. 08. 下列关系中，是二次函数关系的是( )A. 当距离s一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系B. 在弹性限度时，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系C. 圆的面积S与圆的半径r之间的关系D. 正方形的周长C与边长a之间的关系二、填空题（共6小题）9. 如果函数y=(m2−4)x m−1是二次函数，那么m的值是．10. 若函数y=(m−2)x∣m∣是二次函数，则m=．11. 拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围是一个矩形，周长为160m，室内通道的尺寸如图，设一条边长为x(m)，种植面积为y(m2)，则y关于x的函数关系式是．12. 若y=(m2+m)x m2−2m−1是二次函数，则m的值为．13. 如果函数y=(m+1)x m2−m+2是二次函数，那么m=．14. 已知函数y=(m2−9)x2−(m−3)x+2，当m时，这个函数是二次函数；当m时，这个函数是一次函数．三、解答题（共7小题）15. 已知二次函数y=x2−x−1满足当x=m时，y=0，求代数式m2−m+2020的值．16. 当k为何值时，函数y=(k−1)x k2+k+1为二次函数?17. 函数y=(a+1)x a2+2+(a−3)x+a．（1）当a取什么值时，它为二次函数．（2）当a取什么值时，它为一次函数．18. 已知函数y=(m2−m)x2+(m−1)x+m+1．（1）若这个函数是一次函数，求m的值；（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样?19. 已知函数y=(m2+2m)x2+mx+m+1．（1）当m为何值时，此函数是一次函数?（2）当m为何值时，此函数是二次函数?20. 下列函数中，如果是二次函数，请把它化为一般式并指出相应的a，b，c的值．(x−1)(x+3)；（1）y=12（2）y=x(2x−√5)+13；（3）y=3(x2+2)−3(1−x)2；（4）y=(2x+3)(3x−4)−x(4x+1)．21. 已知函数y=(m2−1)x2+(m+1)x+5 .（1）当m为何值时，此函数是关于x的二次函数?（2）当m为何值时，此函数是关于x的一次函数?答案1. C2. C3. C4. C5. A6. C7. A8. C9. 310. −211. y =(80−x −4)(x −2)12. 313. 2【解析】∵ 函数 y =(m +1)x m2−m +2 是二次函数， ∴m 2−m =2，(m −2)(m +1)=0，解得：m 1=2，m 2=−1，∵m +1≠0，∴m ≠−1，故 m =2．14. ≠±3，=−315. 202116. k =−2．17. （1） 若函数 y =(a +1)x a2+2+(a −3)x +a 为二次函数，则 {a 2+2=2,a +1≠0. 解得 a =0．（2） 若函数 y =(a +1)x a 2+2+(a −3)x +a 为一次函数，则 {a +1=0,a −3≠0.解得 a =−1．18. （1） 由题意得 m 2−m =0 且 m −1≠0，则 m =0．即当 m =0 时，这个函数是一次函数．（2） 由题意得 m 2−m ≠0，∴ 当 m 1≠0 且 m 2≠1 时，这个函数是二次函数．19. （1） 因为函数 y =(m 2+2m )x 2+mx +m +1 是一次函数，所以 m 2+2m =0，m ≠0，解得 m =−2．（2） 因为函数 y =(m 2+2m )x 2+mx +m +1 是二次函数，所以 m 2+2m ≠0，解得 m ≠−2 且 m ≠0．20. （1） 该函数是二次函数．∵y =12(x −1)(x +3)=12(x 2+2x −3)=12x 2+x −32，∴ 该函数的一般式为 y =12x 2+x −32，其中 a =12，b =1，c =−32．（2） 该函数是二次函数．∵y =x(2x −√5)+13=2x 2−√5x +13，∴ 该函数的一般式为 y =2x 2−√5x +13，其中 a =2，b =−√5，c =13．（3） 该函数不是二次函数．（4） 该函数是二次函数．∴y =(2x +3)(3x −4)−x (4x +1)=6x 2+x −12−4x 2−x =2x 2−12，∴ 该函数的一般式为 y =2x 2−12，其中 a =2，b =0，c =−12．21. （1） 由函数是关于 x 的二次函数，得 m 2−1≠0 ，即 m ≠±1 ，所以当 m ≠±1 时，此时函数是关于 x 的二次函数.（2） 由函数是关于 x 的一次函数，得 {m 2−1=0,m +1≠0,，所以 m =1 ，所以当 m ＝1 时，此函数是关于 x 的一次函数.。

第2章二次函数一．选择题1.下列各式中，一定是二次函数的有（）①y2＝2x2﹣4x+3；②y＝4﹣3x+7x2；③y＝﹣3x+5；④y＝（2x﹣3）（3x﹣2）；⑤y＝ax2+bx+c；⑥y＝（n2+1）x2﹣2x﹣3；⑦y＝m2x2+4x﹣3．A．1个B．2个C．3个D．4个2.函数y＝与y＝﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．3.设b＞0，二次函数y＝ax2+bx+a2﹣1的图象为下列之一，则a的值为（）A．1B．﹣1C．D．4.已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）过A（﹣2，0）、B（0，0）、C（﹣3，y1）、D（2，y2）四点，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＜y2B．y1＝y2C．y1＞y2D．不能确定5.把抛物线y＝2（x+4）2﹣2绕原点旋转180°后所得的图象的关系式为（）A．y＝2（x+4）2+2B．y＝﹣2（x﹣4）2+2C．y＝﹣2（x+4）2﹣2D．y＝2（x﹣4）2﹣26.已知函数y＝，当a≤x≤b时，﹣≤y≤2，则b﹣a的最大值为（）A．B．+C．D．27.四位同学在研究函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）时，甲发现当x＝1时，函数有最大值；乙发现﹣1是方程ax2+bx+c＝0的一个根；丙发现函数的最大值为﹣1；丁发现当x＝2时，y＝﹣2，已知四位中只有一位发现的结论时错误的，则该同学是（）A．甲B．乙C．丙D．丁8.已知点A（﹣2，﹣c）向右平移8个单位得到点A'，A与A'两点均在抛物线y＝ax2+bx+c上，且这条抛物线与y轴的交点的纵坐标为﹣6，则这条抛物线的顶点坐标是（）A．（2，﹣10）B．（2，﹣6）C．（4，﹣10）D．（4，﹣6）9.把二次函数y＝x2﹣2x化为y＝a（x+b）2+c的形式，正确的是（）A．y＝（x+3）2﹣3B．y＝（x﹣3）2﹣3C．y＝（x+3）2﹣9D．y＝（x+3）2﹣910.如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1．直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①2a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③x（ax+b）≤a+b；④a＜﹣1．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个11.二次函数y＝﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（）A．t＞﹣5B．﹣5＜t＜3C．3＜t≤4D．﹣5＜t≤4二．填空题12.如图，一张正方形纸板的边长为2cm，将它剪去直角三角形（图中阴影部分）．设AE＝BF＝CG＝DH＝x（cm），四边形EFGH的面积为y（cm2）．则y关于x的函数表达式为（化为一般形式），其中自变量x的取值范围是．13.如图，已知函数y＝﹣与y＝ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交于点P，点P的纵坐标为1，则关于x的方程ax2+bx＝﹣的解为x＝．14.把抛物线y＝2（x﹣1）2+1向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为．15.如图，这是二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象，根据图象可知，函数值小于0时x的取值范围为．三．解答题16.某商品的进价为每件35元，售价为每件45元，每个月可卖出210件：每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于60元）．设每件商品的售价上涨x 元（为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少元？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？17.在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝ax2+2x﹣1（a≠0）（1）当a＝﹣1，二次函数y＝ax2+2x﹣1的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最大值为﹣4，求m的值；（2）已知点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1），若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围．18.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的实数解；（2）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，写出k的取值范围；（3）当0＜x＜3时，写出函数值y的取值范围．。

1 二次函数一、选择题1．2018·浦东新区一模下列函数中，是二次函数的是 ( ) A．y＝－4x＋5 B．y＝x(2x－3)C．y＝(x＋4)2－x2 D．y＝1 x22．在一定条件下，若物体所经过的路程s(m)与运动时间t(s)之间的函数关系式为s＝5t2＋2t，则当t ＝4时，该物体所经过的路程为( )A．28 m B．48 mC．68 m D．88 m3．在下列4个不同的情境中，两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有( )①设正方形的边长为x，面积为y，则y与x之间的函数关系；②x个球队参加比赛，每两个队之间比赛一场，则比赛的场次数y与x之间的函数关系；③设正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x之间的函数关系；④若一辆汽车以120 km/h的速度匀速行驶，那么汽车行驶的里程y(km)与行驶时间x(h)之间的函数关系．A．1个 B．2个C．3个 D．4个二、填空题4．二次函数y＝2(3x－1)(2－x)化为一般式为____________，其中a＝________，b＝________，c＝________.5．如果函数y＝(k－5)xk2－5k＋2＋kx＋3是二次函数，那么k的值是________．6．某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x的函数表达式为y＝______________．7．如图K－8－1所示，在宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下的部分作为耕地，若设耕地的面积为y m2，道路的宽为x m，则y与x之间的函数表达式为________________．(写出自变量的取值范围)图K－8－1三、解答题8．已知函数y＝(m2－m)x2＋(m－1)x＋2－2m.(1)若这个函数是二次函数，求m的取值范围；(2)若这个函数是一次函数，求m的值；(3)这个函数可能是正比例函数吗？为什么？9\某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件，每件利润为6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天生产量减少5件．(1)若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数，且1≤x≤10)，求出y关于x的函数表达式；(2)若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次．1．[解析] B A ．y ＝－4x ＋5是一次函数；B.y ＝x (2x －3)＝2x 2－3x 是二次函数；C.y ＝(x ＋4)2－x 2＝8x ＋16是一次函数；D.y ＝1x 2不是二次函数．故选B. 2．[解析] D 把t ＝4代入s ＝5t 2＋2t 中即可求出．3．[解析] C ①依题意得：y ＝x 2，属于二次函数关系，符合题意；②依题意得：y ＝12x (x －1)＝12x 2－12x ，属于二次函数关系，符合题意；③依题意得：y ＝6x 2，属于二次函数关系，符合题意；④依题意得：y ＝120x ，属于一次函数关系，不符合题意．综上所述，两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有3个．故选C.4．[答案] y ＝－6x 2＋14x －4 －6 14 －4[解析] y ＝2(3x －1)(2－x )＝2(－3x 2＋7x －2)＝－6x 2＋14x －4.5．[答案] 0[解析] 由题意，得k 2－5k ＋2＝2，解得k ＝0或k ＝5.又∵k －5≠0，∴k ≠5，∴当k ＝0时，这个函数是二次函数．6．[答案] a (1＋x )27．[答案] y ＝x 2－52x ＋640(0<x ≤20)[解析] 如图所示，若把两条互相垂直的道路移到土地相邻的边上，剩余土地的宽为(20－x )m ，长为(32－x )m ，则可得y ＝(20－x )(32－x )，即y ＝x 2－52x ＋640.由于该题是实际问题，因此x 的取值要使实际问题有意义，即0<x ≤20.8．解：(1)若这个函数是二次函数，则m 2－m ≠0，解得m ≠0且m ≠1；(2)若这个函数是一次函数，则m 2－m ＝0，且m －1≠0，解得m ＝0.(3)这个函数不可能是正比例函数．理由：∵当此函数是一次函数时，m ＝0，而此时2－2m ＝2≠0，∴这个函数不可能是正比例函数．9解：(1)∵第1档次的产品一天能生产95件，每件利润为6元，每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天生产量减少5件，第x 档次比第1档次提高了(x －1)个档次，∴y ＝[6＋2(x －1)][95－5(x －1)]，即y ＝－10x 2＋180x ＋400(x 是正整数，且1≤x ≤10)．(2)由题意可得－10x 2＋180x ＋400＝1120，整理，得x 2－18x ＋72＝0，解得x 1＝6，x 2＝12(舍去)．答：该产品的质量档次为第6档．。

2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册2.2 二次函数的图像与性质同步练习一、单1.由抛物线y=x2平移得到抛物线y=(x+2)2，下列平移方法可行的是( )A、向上平移2个单位长度B、向下平移2个单位长度C、向左平移2个单位长度D、向右平移2个单位长度+2.已知二次函数y=﹣（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为﹣1，则h的值为（）A、3或6B、1或6C、1或3D、4或6+3.如图，二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为﹣1，则一次函数y=（a﹣b）x+b的图象大致是（）A、B、C、D、+4.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①b2﹣4ac＞0 ②a＞0③b＞0④c＞0⑤9a+3b+c＜0，则其中结论正确的个数是（）A、2个B、3个C、4个D、5个+5.描点法画函数图象是研究陌生函数的基本方法．对于函数，下列说法：①图象经过；②当时，有最小值；③随的增大而增大；④该函数图象关于直线对称；正确的是（）A、①②B、①②④C、①②③④D、②③④+6.已知抛物线四点，则过、、、与C、的大小关系是（）< D、不能确定A、>B、=+7.把抛物线向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度，所得抛物线是（）A、B、C、D、+8.若对于任意非零实数a，抛物线y=ax2+ax﹣2a总不经过点P（x0﹣3，x02﹣16），则符合条件的点P（）A、有且只有1个B、有且只有2个C、至少有3个D、有无穷多个+9.二次函数y=kx2+2x+1（k＜0）的图象可能是（）A、B、C、D、+10.如果二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断正确的是（）A、a＞0，c＞0B、a＜0，c＞0C、a＞0，c＜0D、a＜0，c＜0+11.函数y=ax2与函数y=ax+a，在同一直角坐标系中的图象大致是图中的（）A、B、C、D、+12.下列二次函数的图象中，其对称轴是x=1的为（）A、B、C、D、+13.当时，二次函数有最大值，则实数的值为(???? )A、B、C、D、2或或+14.对于代数式，下列说法正确的是（）①如果存在两个实数p≠q，使得ap2+bp+c=aq2+bq+c，则②存在三个实数m≠n≠s，使得am2+bm+c=an2+bn+ c=as2+bs+c③如果ac＜0，则一定存在两个实数m＜n，使am2+bm+c＜0＜an2+ bn+c④如果ac＞0，则一定存在两个实数m＜n，使am2+bm+c＜0＜an2+bn+cA、①B、③C、②④D、①③+15.已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：x －1 0 1 3y －3 1 3 1下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x=1；③当x<1时，函数值y随x的增大而增大；④方程ax2+bx+c=0有一个根大于4，其中正确的结论有（）A、1个B、2个C、3个D、4个+二、填空题16.二次函数的顶点坐标是．+17.将二次函数的图象先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到函数的图象的表达式是．+18.已知抛物线y=x2+（m-4）x-4m的顶点在y轴上，则m= ；+19.已知二次函数有最大值，则，的大小关系为．+20.若二次函数的图象关于轴对称，则的值为：．此函数图象的顶点和它与轴的两个交点所确定的三角形的面积为：.+21.已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，，试比较和的大小：．（填“ ”，“ ”或“”）+三、解答题22.若二次函数y=﹣x2图象平移后得到二次函数y=﹣（x﹣2）2+4的图象．(1)、平移的规律是：先向（填“左”或“右”）平移个单位，再向平移个单位．(2)、在所给的坐标系内画出二次函数y=﹣（x﹣2）2+4的示意图．+23.已知抛物线y=－x2＋2x＋3．(1)、求该抛物线的对称轴和顶点P的坐标．(2)、在图中的直角坐标系内用五点法画出该抛物线的图象(3)、将该抛物线向下平移2个单位，向左平移3个单位得到抛物线y1，此时点P的对应点为P′，试求直线PP′与y轴的交点坐标+24.已知二次函数y=x 2+2x ﹣3．(1)、写出它的顶点坐标；(2)、当x 取何值时，y 随x 的增大而增大；(3)、求出图象与x 轴的交点坐标．(4)、当x 取何值时y 的值大于0． +25.二次函数 的图象如图所示，根据图象回答：(1)、当(2)、当 时，写出自变量的值． 时，写出自变量的取值范围．(3)、写出随的增大而减小的自变量的取值范围．(4)、若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围（用含 、、的代数式表示）．+26.已知一条抛物线的开口方向和大小与抛物线y=3x 2都相同，顶点与抛物线y=( x+2)2相同.(1)、求这条抛物线的解析式；(2)、将上面的抛物线向右平移4个单位会得到怎样的抛物线解析式？(3)、若(2)中所求抛物线的顶点不动，将抛物线的开口反向，求符合此条件的 抛物线解析式. +27.如图，已知点A （0，2），B （2，2），C （﹣1，﹣2），抛物线F ：y=x 2﹣2mx+m 2﹣2与直线x=﹣2交于点P ．(1)、当抛物线F经过点C时，求它的表达式；(2)、设点P的纵坐标为y P，求y P的最小值，此时抛物线F上有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2≤﹣2，比较y1与y2的大小；(3)、当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．+28.已知关于x的一元二次方程x2+（k﹣5）x+1﹣k=0（其中k为常数）.(1)、求证无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；(2)、已知函数y=x2+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，求k的取值范围；(3)、若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值.+29.如图，若抛物线的顶点在抛物线上，抛物线的顶点也在抛物线上（点与点不重合），我们定义：这样的两条抛物，互为“友好”抛物线，可见一条抛物线的“友好”抛物线可以有多条．(1)、如图，已知抛物线与轴交于点，试求出点关于该抛物线对称轴对称的点的坐标；的解析式，并指出与中(2)、请求出以点为顶点的的友好抛物线同时随增大而增大的自变量的取值范围；(3)、若抛物线的任意一条友好抛物线的解析式为，请写出与的关系式，并说明理由．+。

2018-2019学年九年级数学下册第二章二次函数2.2 二次函数的图像与性质2.2.1 二次函数y＝±x2的图象与性质同步练习（新版）北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年九年级数学下册第二章二次函数2.2 二次函数的图像与性质2.2.1 二次函数y＝±x2的图象与性质同步练习（新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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课时作业（九)[第二章 2 第1课时二次函数y＝±x2的图象与性质］一、选择题1．下列关于二次函数y＝x2的图象的说法:①是一条抛物线；②开口向上；③是轴对称图形；④过点(0,0)；⑤它的顶点是原点,且是抛物线的最高点；⑥y的值随x值的增大而增大．其中正确的有(）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个2．下列函数中，当x>0时,y的值随x值的增大而减小的是( )A．y＝x2 B．y＝x－1C．y＝错误!x D．y＝错误!3．下列关于抛物线y＝x2和y＝－x2的异同点说法错误的是( )A．抛物线y＝x2和y＝－x2有共同的顶点和对称轴B．在同一直角坐标系中，抛物线y＝x2和y＝－x2既关于x轴对称，又关于原点对称C．抛物线y＝x2和y＝－x2的开口方向相反D．点A(－3，9）既在抛物线y＝x2上，也在抛物线y＝－x2上4．二次函数y＝x2与一次函数y＝－x－1在同一直角坐标系中的图象大致为（）图K－9－15．已知a＜－1，点(a－1，y1）,(a，y2），(a＋1，y3）都在函数y＝x2的图象上,则（）错误!A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3二、填空题6．函数y＝x2的图象的顶点坐标为________,若点（a，4）在该函数图象上，则a的值是________．7．如图K－9－2，A，B分别为抛物线y＝x2上的两点，且线段AB⊥y轴，若AB＝6，则直线AB的表达式为________．图K－9－28．如图K－9－3，边长为2的正方形ABCD的中心在直角坐标系的原点O处,AD∥x轴,以O 为顶点且过A,D两点的抛物线与以O为顶点且过B，C两点的抛物线将正方形分割成几部分，则图中阴影部分的面积是________．图K－9－3三、解答题9．已知抛物线y＝－x2与直线y＝3x＋m都经过点（2，n）．(1）画出y＝－x2的图象,并求出m,n的值；(2）抛物线y＝－x2与直线y＝3x＋m是否存在另一个交点？若存在,请求出这个点的坐标．规律探究如图K－9－4，点A1，A2，A3,…，A n在抛物线y＝x2上,点B0，B1，B2,B3，…，B n 在y轴上，若△A1B0B1,△A2B1B2，…，△A n B n－1B n都为等腰直角三角形(点B0在坐标原点处)，则△A2018B2017B2018的腰长等于________．图K－9－4详解详析【课时作业】[课堂达标］1．［解析] B ①②③④正确．2．[答案］ D3．[解析］ D 点A（－3，9）在抛物线y＝x2上，但不在抛物线y＝－x2上．故选D。

2.1 二次函数1．若y=（m+1）是二次函数，则m的值为_________ ．2．已知y=（a+1）x2+ax是二次函数，那么a的取值范围是_________ ．3．已知方程ax2+bx+cy=0（a≠0、b、c为常数），请你通过变形把它写成你所熟悉的一个函数表达式的形式．则函数表达式为_________ ，成立的条件是_________ ，是_________ 函数．4．已知y=（a+2）x2+x﹣3是关于x的二次函数，则常数a应满足的条件是_________ ．5．二次函数y=3x2+5的二次项系数是_________ ，一次项系数是_________ ．6．已知y=（k+2）是二次函数，则k的值为_________ ．7．已知函数y=（m2﹣m）x2+mx﹣2（m为常数），根据下列条件求m的值：（1）y是x的一次函数；（2）y是x的二次函数．8．已知函数y=（m﹣1）+5x﹣3是二次函数，求m的值．9．已知函数y=﹣（m+2）x m2﹣2（m为常数），求当m为何值时：（1）y是x的一次函数？（2）y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为﹣8的点的坐标．10．函数y=（kx﹣1）（x﹣3），当k为何值时，y是x的一次函数？当k为何值时，y是x的二次函数？11．已知函数y=m•，m2+m是不大于2的正整数，m取何值时，它的图象开口向上？当x取何值时，y随x的增大而增大？当x 取何值时，y随x的增大而减少？当x取何值时，函数有最小值？12．己知y=（m+1）+m是关于x的二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而减小．求：（1）m的值．（2）求函数的最值．13．已知是x的二次函数，求出它的解析式．14．如果函数y=（m﹣3）+mx+1是二次函数，求m的值．构建数学的知识网络学习数学,重要的是要构建一个数学的知识网络,将单一的知识都串联起来,这样有助于对综合型题目的解答。

高效学习经验——把数学的知识点都结合起中考状元XX平日里爱打篮球、爱看球赛,XX给人的第一印象很阳光。

二次函数本章中考演练一、选择题1．2018·山西用配方法将二次函数y ＝x 2－8x －9化为y ＝a(x －h)2＋k 的形式为( ) A ．y ＝(x －4)2＋7 B ．y ＝(x －4)2－25 C ．y ＝(x ＋4)2＋7 D ．y ＝(x ＋4)2－252．2018·成都关于二次函数y ＝2x 2＋4x －1，下列说法正确的是( ) A ．图象与y 轴的交点坐标为(0，1) B ．图象的对称轴在y 轴的右侧C ．当x ＜0时，y 的值随x 值的增大而减小D ．y 的最小值为－33．2018·广西将抛物线y ＝12x 2－6x ＋21向左平移2个单位长度后，得到新抛物线的表达式为( )A ．y ＝12(x －8)2＋5B ．y ＝12(x －4)2＋5 C ．y ＝12(x －8)2＋3 D ．y ＝12(x －4)2＋34．2018·青岛已知一次函数y ＝b a x ＋c 的图象如图2－Y －1，则二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在平面直角坐标系中的图象可能是( )图2－Y －1图2－Y －25．2018·随州如图2－Y －3所示，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y轴交于点C ，对称轴为直线x ＝1.直线y ＝－x ＋c 与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 交于C ，D 两点，点D 在x 轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①2a ＋b ＋c ＞0；②a －b ＋c ＜0；③x(ax ＋b)≤a ＋b ；④a ＜－1.其中正确的有( )图2－Y －3A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个一部分，运动员起跳后的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y＝ax2＋bx＋c(a ≠0)．如图2－Y－4记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为( )图2－Y－4A．10 m B．15 mC．20 m D．22.5 m二、填空题7．2018·哈尔滨抛物线y＝2(x＋2)2＋4的顶点坐标为________．8．2018·自贡若函数y＝x2＋2x－m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为________．9．2018·湖州如图2－Y－5，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx(a＞0)的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y＝ax2(a＞0)交于点B.若四边形ABOC是正方形，则b的值是________．图2－Y－510．2018·新疆如图2－Y－6，已知抛物线y1＝－x2＋4x和直线y2＝2x.我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为y1和y2，若y1≠y2，取y1和y2中的较小值为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2.①当x＞2时，M＝y2；②当x＜0时，M随x的增大而增大；③使得M大于4的x的值不存在；④若M ＝2，则x＝1.上述结论正确的是________．(填写所有正确结论的序号)图2－Y－6三、解答题11．2018·杭州设二次函数y＝ax2＋bx－(a＋b)(a，b是常数，a≠0)．(1)判断该二次函数图象与x轴的交点个数，并说明理由；(2)若该二次函数的图象经过A(－1，4)，B(0，－1)，C(1，1)三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式；(3)若a＋b<0，点P(2，m)(m>0)在该二次函数图象上，求证：a>0.12．2018·威海为了支持大学生创业，某市政府出台了一项优惠政策：提供10万元的无息创业贷款．小王利用这笔贷款，注册了一家淘宝网店，招收5名员工，销售一种火爆的电子产品，并约定用该网店经营的利润，逐月偿还这笔无息贷款．已知该产品的成本为每件4元，员工每人每月的工资为4千元，该网店还需每月支付其他费用1万元．该产品每月销售量y(万件)与销售单价x(元/件)之间的函数关系如图2－Y －7所示．(1)求该网店每月利润w(万元)与销售单价x(元/件)之间的函数表达式；(2)小王自网店开业起，最快在第几个月可还清10万元的无息贷款？图2－Y－713．2018·河南如图2－Y－8，抛物线y＝ax2＋6x＋c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线y＝x －5经过点B，C.(1)求抛物线的表达式．(2)过点A的直线交直线BC于点M.①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P(不与点B，C重合)，作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．图2－Y－8。

北师大九年级数学下册第二章二次函数 2.1 二次函数同步训练学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分，）1. 下列函数中，能表示是的二次函数是（）A. B.C. D.2. 是二次函数，则的值为（）A.，B.，C.D.3. 如果函数是二次函数，那么的值一定是（）A. B. C.， D.，4. 下列函数关系中，可以看做二次函数模型的是（）A.在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系B.我国人中自然增长率为，这样我国总人口数随年份变化的关系C.竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）D.圆的周长与半径之间的关系5. 下列函数中，是二次函数的为（）A. B.C. D.6. 若函数为二次函数，则的取值范围为（）A. B. C. D.7. 下列函数中，不是二次函数的是（）A. B.C. D.8. 如果是关于的二次函数，则A. B. C.或 D.不存在9. 等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是（）A.正比例函数B.一次函数C.反比例函数D.二次函数10. 圆的面积公式中，与之间的关系是（）A.是的正比例函数B.是的一次函数C.是的二次函数D.以上答案都不对二、填空题（本题共计 8 小题，每题 3 分，共计24分，）11. 函数是二次函数，则________．12. 下列函数：① ；② ；③；④．其中属于二次函数的有________（只要写出正确答案的序号）．13. 若函数是二次函数，则的值为________．14. 已知是二次函数，则________．15. 已知函数是关于的二次函数，则的值为________．16. 已知两个变量，之间的关系式为．当________时，，之间是二次函数关系；当________时，，之间是一次函数关系．17. 若二次函数的图象经过原点，则的值为________．18. 函数中，自变量的取值范围是________，函数值的取值范围是________．三、解答题（本题共计 8 小题，共计46分，）19.(4分) 若是二次函数，求：（1）的值；函数的关系式．20. （6分）某汽车的行驶路程与行驶时间之间的函数表达式为．是的二次函数吗？求汽车行驶的路程．21.(6分) 已知函数是关于的二次函数．求满足条件的的值；当为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点的坐标，并写出随的增大而增大的的取值范围．22. （6分）是关于的二次函数，则满足的条件是什么？23.(6分) 关于的函数是二次函数的有________．（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）．24.(6分) 已知函数是关于的二次函数．求的值；（2）为何值时，函数有最大值？最大值是多少？此时在什么范围时，随的增大而减小？25. （6分）已知是的二次函数，求的值和二次函数的解析式．26.(6分) 已知是的二次函数，当时，，当时，恰为方程的根．解方程求这个二次函数的解析式．答案1. B2. D3. A4. C5. D6. D7. C8. A9. B10. C11.. ①13.14.15. 或16. 且17.18. 全体实数19. 解： ∵是二次函数，∴ ，且，整理，得，且，解得；由知，，则该函数解析式为：．20. 解：满足二次函数的一般形式，所以是的二次函数，当时，．21. 解：根据题意得且，解得，，所以的值为或；当，即时，抛物线开口向上，抛物线有最低点，所以，此时解析式为，这个最低点的坐标为，当时，随的增大而增大．22. 解：∵ 是的二次函数，∴ ，∴ 且，故满足的条件是且．23. ，，．24. 解：由题意得，，，解得：或；当时，，函数有最大值，最大值是，根据二次函数的性质，当时，随的增大而减小．25. 解：∵是的二次函数，∴ ，解得或，∴此二次函数的解析式为：或．26. 解： ∵ ，∴ ，，∴ ，∴，；设方程的根为、，则当，时，，可设，把，代入，得，解得，所求函数为，即．。