充分条件与必要条件课后限时作业(五)附答案人教版高中数学选修1-1

1。

2充分条件与必要条件充分条件与必要条件［提出问题]在物理中，我们经常遇到这样的电路图：问题1:图中A开关闭合时B灯一定亮吗？提示：一定亮．问题2:B灯亮时A开关一定闭合吗？提示：不一定，还可能是C开关闭合．［导入新知］充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系p⇒q p q条件p是q的充分p不是q的充关系条件q是p的必要条件分条件q不是p的必要条件［化解疑难］1．p是q的充分条件是指“p成立可充分保证q成立，但是如果没有p，q也可能成立”．2．q是p的必要条件是指“要使p成立必须要有q成立",或者说“若q不成立,则p一定不成立”；但即使有q成立,p未必会成立。

充要条件［提出问题］如图是一物理电路图．问题1：图中开关A闭合,灯泡B亮；反之灯泡B亮，开关A一定闭合吗？提示：一定闭合．问题2：开关A闭合作为命题的条件p,灯泡B亮作为命题的结论q，你能判断p，q之间的推出关系吗？提示：p⇔q.[导入新知]充要条件如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q。

则p是q的充分必要条件,简称充要条件．[化解疑难］p是q的充要条件时，q也是p的充要条件，即充要条件是相互的，我们也称条件p和条件q是等价的，如果p和q是两个命题，则这两个命题是等价命题．充分条件、必要条件、充要条件的判断［例1](1)在△ABC中，p：cos2A＝cos2B，q：A＝B;（2）p:x＞1，q:x2＞1；（3）p：（a－2）（a－3）＝0，q：a＝3;（4)p：a＜b，q：错误!＜1.[解] (1）在△ABC中，A∈（0,π），B∈(0，π），且A＋B＋C＝π.若cos2A＝cos2B，则A＝B；反之,若A＝B，则cos2A＝cos2B。

因此,p 是q的充要条件．（2）由x＞1可以推出x2＞1；由x2＞1，得x＜－1，或x＞1，不一定有x＞1。

因此,p是q的充分不必要条件．（3）由(a－2）(a－3）＝0可以推出a＝2,或a＝3，不一定有a ＝3；由a＝3可以得出(a－2)（a－3）＝0。

高中数学专题复习《充分条件与必要条件》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1．若α∈R,则“α=0”是“sin α<cos α”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件（2020年高考浙江卷（文））2．“1<x<2”是“x<2”成立的______ （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件（2020年高考湖南（文））3．“α、β、γ成等差数列”是“等式sin(α+γ)=sin2β成立”的( ) A ． 充分而不必要条件 B ． 必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件(2020陕西文)4．设p ：x 2－x －20>0,q ：212--x x <0,则p 是q 的（ A ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件(2020山东理)5．对于数列｛a n ｝，“a n +1＞∣a n ∣（n=1，2…）”是“｛a n ｝为递增数列”的【B 】(A) 必要不充分条件 (B) 充分不必要条件[来源:学+科+网] (C) 必要条件 (D) 既不充分也不必要条件（2020陕西理)6．记实数1x ，2x ，……n x 中的最大数为max {}12,,......n x x x ，最小数为min {}12,,......n x x x 。

已知ABC 的三边长位a,b,c （a b c ≤≤），定义它的亲倾斜度为max ,,.min ,,,a b c a b c l b c a b c a ⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭则“l =1”是“∆ABC 为等边三角形”的（ ）A.必要而不充分的条件B.充分而不必要的条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件（2020湖北理10）7．若不等式||1x m -<成立的充分非必要条件为1132x <<，则实数m 的取值范围是 ---------------（ ）A.41[,]32- B.14[,]23- C.1(,]2-∞- D.4[,)3+∞第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题8． “m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的________条件．解析：∵x 2＋x ＋m ＝0有实数解，∴m ＝－x 2－x ，令f (x )＝－x 2－x ＝－⎝⎛⎭⎫x ＋122＋14， ∴f (x )的值域为⎝⎛⎦⎤－∞，14， ∴x 2＋x ＋m ＝0有实数解时，m ≤14，∴m <14是x 2＋x ＋m ＝0有实数解的充分非必要条件．9．若p 是q 的充分条件，则p ⌝是q ⌝的 条件（填“充分必要”、“ 充分不必要”、“ 必要不充分”或“既不充分也不必要”）．10．“1x >”是“2x x >”的 ▲ 条件．11．已知命题:|23|1p x ->，命题:lg(2)0q x -<，则命题p 是命题q 的 条件12．方程0122=++x ax 至少有一个负的实根的充要条件是13．命题:20,01;p m n -<<<<命题:q 关于x 的方程20x mx n ++=有两个小于1的正根，则p 是q 的 条件。

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第I卷（选择题）
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评卷人得分
一、选择题
1．若α∈R,则“α=0”是“sinα<cosα”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件（2020年高考浙
江卷（文））
2．“1<x<2”是“x<2”成立的______（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件（2020年高考湖
南（文））
3．双曲线
2
21
y
x
m
-=的离心率大于2的充分必要条件是（）
A．
1
2
m>B．1
m≥C．1
m>D．2
m>（2020年高
考北京卷（文））。

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2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
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评卷人得分
一、选择题
1．“1<x<2”是“x<2”成立的______（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件（2020年高考湖
南（文））
2．双曲线
2
21
y
x
m
-=的离心率大于2的充分必要条件是（）
A．
1
2
m>B．1
m≥C．1
m>D．2
m>（2020年高
考北京卷（文））
3．“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点的”（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件（2020年高考北
京卷（理））。

►基础梳理1．充分条件和必要条件． 一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q .这时，我们就说，由p 可推出q ，记作p ⇒q ，并且说p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．2．充要条件． 一般地，假如既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，就记作p ⇔q ，此时我们说，p 是q 的充分必要条件，简称充要条件．明显，假如p 是q 的充要条件，那么q 也是p 的充要条件．概括地说，假如p ⇔q ，那么p 与q 互为充要条件．♨思考：如何从集合与集合之间的关系上理解充分条件、必要条件和充要条件？答案：对于集合A ＝{x |p(x)}，B ＝{x |q (x )}，分别是使命题p 和q 为真命题的对象所组成的集合.,►自测自评1．已知集合A ，B ，则“A ⊆B ”是“A ∩B ＝A ”的(C )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0相互垂直”的(C ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若a ∈R ，则“a ＝2”是“(a －1)(a －2)＝0”的充分不必要条件．解析：由a ＝2能得到(a －1)(a －2)＝0，但由(a －1)·(a －2)＝0得到a ＝1或a ＝2，而不是a ＝2，所以a ＝2是(a －1)(a －2)＝0的充分不必要条件．1．在△ABC 中，“A >30°”是“sin A >12”的(B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当A ＝170°时，sin 170°＝sin 10°<12，所以“过不去”；但是在△ABC 中，sin A >12⇒30°<A <150°⇒A >30°，即“回得来”．2．(2022·湛江一模)“x >2”是“(x －1)2>1”的(B ) A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 3．“b 2＝ac ”是“ a ，b ，c 成等比数列”的________条件．解析：由于当a ＝b ＝c ＝0时，“b 2＝ac ”成立，但是a ，b ，c 不成等比数列； 但是“a ，b ，c 成等比数列”必定有“b 2＝ac ”． 答案：必要不充分4．求不等式ax 2＋2x ＋1>0恒成立的充要条件． 解析：当a ＝0时，2x ＋1>0不恒成立． 当a ≠0时，ax 2＋2x ＋1>0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－4a <0⇔a >1. ∴不等式ax 2＋2x ＋1>0恒成立的充要条件是a >1.5．已知p ：x 2－2(a －1)x ＋a (a －2)≥0，q ：2x 2－3x －2≥0，若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解析：令M ＝{x |2x －3x －2≥0} ＝{x |(2x ＋1)(x －2)≥0}⇒⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－12或x ≥2 N ＝{x |x 2－2(a －1)x ＋a (a －2)≥0}＝{x |(x －a )[x －(a －2)]≥0}⇒{x |x ≤a －2或x ≥a }，已知q ⇒p 且p ⇒/ q ，得M N .所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥－12，a <2或⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－12，a ≤2⇔32≤a <2或32<a ≤2⇔32≤a ≤2.即所求a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤32，2.。

课时作业4 充分条件与必要条件知识点一 充分条件、必要条件的判断1.已知直线a ，b ，c ，“a ∥b ”的充分条件是( ) A ．a ⊥c ，b ⊥c B ．a ∩b ＝∅ C ．a ∥c ，b ∥c D ．a ∥c ，b ⊥c答案 C解析 因为a ∥c ，b ∥c ⇒a ∥b ，其余选项都推不出a ∥b . 2．用符号“⇒”与“⇒/”填空： (1)x 4＝y 4________x 3＝y 3；(2)两直线平行________同位角相等； (3)c a ＝cb________a ＝b ； (4)x >6________x >1.答案 (1) ⇒/ (2)⇒ (3) ⇒/ (4)⇒解析 (1)中，当x ，y 互为相反数时，有x 4＝y 4，但x 3≠y 3，故填 ⇒/ ；(2)中，由平行线的性质定理知填⇒；(3)中，当c ＝0时，对任意的非零实数a ，b ，都有c a ＝c b成立，但a ＝b 不一定成立，故填⇒/；(4)中，大于6的数一定大于1，故填⇒.3．下列说法是否正确？(1)x ＝1是(x －1)(x －2)＝0的充分条件； (2)x ＞1是x ＞2的充分条件； (3)α＝π6是sin α＝12的必要条件；(4)x ＋y ＞2是x ＞1，y ＞1的必要条件． 解 (1)正确，因为x ＝1⇒(x －1)(x －2)＝0. (2)错误，因为x ＞1⇒/x ＞2. (3)错误，因为sin α＝12⇒/α＝π6.(4)正确，因为x ＞1，y ＞1⇒x ＋y ＞2. 知识点二 充分条件、必要条件的应用 4.已知p ：x ≤2，q ：x ≤a .(1)若p 是q 的充分条件，则a 的取值范围是________； (2)若p 是q 的必要条件，则a 的取值范围是________． 答案 (1)[2，＋∞) (2)(－∞，2] 解析 记P ＝{x |x ≤2}，Q ＝{x |x ≤a }，(1)由p 是q 的充分条件，得P ⊆Q ，得a ≥2，所以实数a 的取值范围是[2，＋∞)． (2)由p 是q 的必要条件，得P ⊇Q ，得a ≤2，所以实数a 的取值范围是(－∞，2]．5．是否存在实数p ，使4x ＋p <0是x 2－x －2>0的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围；否则，说明理由．解 由x 2－x －2>0，解得x >2或x <－1， 令A ＝{x |x >2或x <－1}， 由4x ＋p <0，得B ＝{|x x <－p4}当B ⊆A 时，即－p4≤－1，即p ≥4，此时x <－p4≤－1⇒x 2－x －2>0，∴当p ≥4时，4x ＋p <0是x 2－x －2>0的充分条件．一、选择题1．“x ，y 均为奇数”是“x ＋y 为偶数”的( ) A ．充分条件 B ．必要条件C ．既是充分条件也是必要条件D ．既不是充分条件也不是必要条件 答案 A解析 当x ，y 均为奇数时，一定可以得到x ＋y 为偶数；但当x ＋y 为偶数时，不一定必有x ，y 均为奇数，也可能x ，y 均为偶数．2．设a ，b 是非零向量，“a ·b ＝|a ||b |”是“a ∥b ”的( ) A ．充分条件但不是必要条件 B ．必要条件但不是充分条件 C ．既是充分条件，也是必要条件 D ．既不是充分条件，也不是必要条件 答案 A解析 若a ·b ＝|a ||b |，则a 与b 同向，所以a ∥b ；若a ∥b ，则a 与b 同向或反向，所以a ·b ＝±|a ||b |，推不出a ·b ＝|a ||b |，故选A.3．设a >0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( )A ．充分条件但不是必要条件B ．必要条件但不是充分条件C ．既是充分条件，也是必要条件D ．既不是充分条件，也不是必要条件 答案 A解析 结合函数单调性的定义求解．由题意知函数f (x )＝a x在R 上是减函数等价于0<a <1，函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数等价于0<a <1或1<a <2，∴“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充分条件但不是必要条件．4．下列各小题中，p 是q 的充分条件的是( ) ①p ：m ＜－2，q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点； ②p ：f －xf x＝1，q ：y ＝f (x )是偶函数；③p ：cos α＝cos β，q ：tan α＝tan β. A ．① B ．③ C ．②③ D ．①② 答案 D解析 对于①，函数y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同零点，即Δ＝m 2－4(m ＋3)＞0解得m ＞6或m ＜－2，所以p 是q 的充分条件；对于②，p 是q 的充分条件；对于③，当α＝β＝π2时，p 成立，但q 不成立，所以p 不是q 的充分条件，故选D.5．一次函数y ＝－m nx ＋1n的图象同时经过第一、二、四象限的必要不充分条件是( )A ．m >0，n >0B ．mn <0C ．m <0，n <0D ．mn >0答案 D解析 一次函数y ＝－m n x ＋1n 的图象同时经过第一、二、四象限，即⎩⎪⎨⎪⎧－m n <0，1n >0，得m >0，n >0.由题意可得，m >0，n >0可以推出选项条件，而反之不成立，所以选D. 二、填空题6．用“充分条件”和“必要条件”填空． (1)“xy ＝1”是“lg x ＋lg y ＝0”的__________；(2)“△ABC ≌△A ′B ′C ′”是“△ABC ∽△A ′B ′C ′”的__________． 答案 (1)必要条件 (2)充分条件解析 (1)xy ＝1⇒/lg x ＋lg y ＝0(如x ＝y ＝－1)， lg x ＋lg y ＝0⇒lg (xy )＝0⇒xy ＝1.(2)△ABC ≌△A ′B ′C ′⇒△ABC ∽△A ′B ′C ′， △ABC ∽△A ′B ′C ′⇒/△ABC ≌△A ′B ′C ′.7．函数f (x )＝a －22x ＋1为奇函数的必要条件是________．答案 a ＝1解析 由于f (x )＝a －22x ＋1的定义域为R ，且为奇函数，则必有f (0)＝0，即a －220＋1＝0，解得a ＝1.8．已知P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |1<x <3}，“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，则实数a 的取值范围是________．答案 [－1,5]解析 因为“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，所以Q ⊆P ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤1，a ＋4≥3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤5，a ≥－1，所以－1≤a ≤5.三、解答题9．(1)已知A ，B ∈(0，π)，则“A >B ”是“sin A >sin B ”的什么条件？并说明理由； (2)在△ABC 中，“A >B ”是“sin A >sin B ”的什么条件？并说明理由． 解 (1)既不是充分条件也不是必要条件. 理由如下：当A ＝2π3，B ＝π2时，A >B ，但sin A ＝32，sin B ＝1，sin A <sin B ；当A ＝π2，B ＝2π3时，sin A >sin B ，A <B .故“A >B ”是“sin A >sin B ”的既不充分也不必要条件． (2)既是充分条件，也是必要条件．理由如下： 在△ABC 中，若A >B ，则a >b . 由正弦定理得，2R sin A >2R sin B (其中R 是△ABC 外接圆的半径) 所以sin A >sin B .所以“A >B ”是“sin A >sin B ”的充分条件． 若sin A >sin B ，则由正弦定理得a 2R >b2R(其中R 是△ABC 外接圆的半径) 所以a >b ，所以A >B .所以“A >B ”是“sin A >sin B ”的必要条件．10．已知p ：关于x 的不等式3－m 2<x <3＋m2，q ：x (x －3)<0，若p 是q 的充分条件不是必要条件，求实数m 的取值范围．解 记A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫3－m 2<x <3＋m 2，B ＝{x |x (x －3)<0}＝{x |0<x <3}，若p 是q 的充分条件不是必要条件，则A B . 注意到B ＝{x |0<x <3}≠∅，分两种情况讨论： (1)若A ＝∅，即3－m 2≥3＋m2，求得m ≤0，此时AB ，符合题意；(2)若A ≠∅，即3－m 2<3＋m2，求得m >0，要使AB ，应有⎩⎪⎨⎪⎧3－m2>0，3＋m2<3，m >0，解得0<m <3.综上可得，实数m 的取值范围是(－∞，3)．。

§1.2充分条件与必要条件课时目标 1.结合实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.2.会判断(证明)某些命题的条件关系．1．如果已知“若p，则q”为真，即p⇒q，那么我们说p是q的____________，q是p 的____________．2．如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作________．这时p是q的______________条件，简称________条件，实际上p与q互为________条件．如果p⇒q且q⇒p，则p是q的________________________条件．一、选择题1．“x>0”是“x≠0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．设p：x<－1或x>1；q：x<－2或x>1，则綈p是綈q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．设集合M＝{x|0<x≤3}，N＝{x|0<x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．设l，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．“a<0”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．用符号“⇒”或“⇒”填空.(1)a>b________ac2>bc2；(2)ab≠0________a≠0.8．不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一个充分而不必要条件是－2<x<－1，则a的取值范围是________．9．函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)在[1，＋∞)上单调递增的充要条件是__________．三、解答题10．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件：(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y.(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；(3)p ：四边形的对角线互相平分，q ：四边形是矩形．11.已知P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，若x ∈P 是x ∈Q 的必要条件，求实数a 的取值范围．能力提升12．记实数x 1，x 2，…，x n 中的最大数为max {}x 1，x 2，…，x n ，最小数为min {}x 1，x 2，…，x n .已知△ABC 的三边边长为a ，b ，c (a ≤b ≤c )，定义它的倾斜度为l ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ·min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ， 则“l ＝1”是“△ABC 为等边三角形”的( )A ．必要而不充分条件B ．充分而不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件13．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝(n ＋1)2＋c ，探究{a n }是等差数列的充要条件．1．判断p 是q 的什么条件，常用的方法是验证由p 能否推出q ，由q 能否推出p ，对 于否定性命题，注意利用等价命题来判断．2．证明充要条件时，既要证明充分性，又要证明必要性，即证明原命题和逆命题都成立，但要分清必要性、充分性是证明怎样的一个式子成立．“A 的充要条件为B ”的命题的证明：A ⇒B 证明了必要性；B ⇒A 证明了充分性．“A 是B 的充要条件”的命题的证明：A ⇒B 证明了充分性；B ⇒A 证明了必要性．§1.2 充分条件与必要条件 答案知识梳理1．充分条件 必要条件2．p ⇔q 充分必要 充要 充要 既不充分又不必要作业设计1．A [对于“x >0”⇒“x ≠0”，反之不一定成立．因此“x >0”是“x ≠0”的充分而不必要条件．]2．A [∵q ⇒p ，∴綈p ⇒綈q ，反之不一定成立，因此綈p 是綈q 的充分不必要条件．]3．B [因为N M .所以“a ∈M ”是“a ∈N ”的必要而不充分条件．]4．A [把k ＝1代入x －y ＋k ＝0，推得“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”；但“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”不一定推得“k ＝1”．故“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的充分而不必要条件．]5．A [l ⊥α⇒l ⊥m 且l ⊥n ，而m ，n 是平面α内两条直线，并不一定相交，所以l ⊥m 且l ⊥n 不能得到l ⊥α.]6．B [当a <0时，由韦达定理知x 1x 2＝1a<0，故此一元二次方程有一正根和一负根，符合题意；当ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根时，a 可以为0，因为当a ＝0时，该方程仅有一根为－12，所以a 不一定小于0.由上述推理可知，“a <0”是“方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根”的充分不必要条件．]7．(1) ⇒ (2)⇒8．a >2解析 不等式变形为(x ＋1)(x ＋a )<0，因当－2<x <－1时不等式成立，所以不等式的解为－a <x <－1.由题意有(－2，－1)(－a ，－1)，∴－2>－a ，即a >2.9．b ≥－2a解析 由二次函数的图象可知当－b 2a≤1，即b ≥－2a 时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在 [1，＋∞)上单调递增．10．解 (1)∵|x |＝|y |⇒x ＝y ，但x ＝y ⇒|x |＝|y |，∴p 是q 的必要条件，但不是充分条件．(2)△ABC 是直角三角形⇒△ABC 是等腰三角形．△ABC 是等腰三角形⇒△ABC 是直角三角形．∴p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件．(3)四边形的对角线互相平分⇒四边形是矩形．四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分．∴p 是q 的必要条件，但不是充分条件．11．解 由题意知，Q ＝{x |1<x <3}，Q ⇒P ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤1a ＋4≥3，解得－1≤a ≤5.∴实数a 的取值范围是[－1,5]．12．A [当△ABC 是等边三角形时，a ＝b ＝c ，∴l ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ·min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝1×1＝1.∴“l ＝1”是“△ABC 为等边三角形”的必要条件．∵a ≤b ≤c ，∴max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝c a.又∵l ＝1，∴min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝a c ，即a b ＝a c 或b c ＝a c ， 得b ＝c 或b ＝a ，可知△ABC 为等腰三角形，而不能推出△ABC 为等边三角形． ∴“l ＝1”不是“△ABC 为等边三角形”的充分条件．]13．解 当{a n }是等差数列时，∵S n ＝(n ＋1)2＋c ，∴当n ≥2时，S n －1＝n 2＋c ，∴a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，∴a n ＋1－a n ＝2为常数．又a 1＝S 1＝4＋c ，∴a 2－a 1＝5－(4＋c )＝1－c ，∵{a n }是等差数列，∴a 2－a 1＝2，∴1－c ＝2.∴c ＝－1，反之，当c ＝－1时，S n ＝n 2＋2n ，可得an ＝2n ＋1 (n≥1)为等差数列，∴{an}为等差数列的充要条件是c ＝－1.。

高中数学专题复习
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人
得分 一、选择题
1．设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则A B Ø是
)A B U =U （C
（A ） 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D)既不充分也不必要条件(2020山东理)
2．若非空集合N M ⊂，则“M a ∈或N a ∈”是“N M a ∈”的 （ ）
（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非
必要条件(2020上海春季)
3．a 、b 为非零向量。

“a b ⊥”是“函数()()()f x xa b xb a =+-为一次函数”的
（ ）
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要不充分条件
（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（2020北京理
6）
4．设{}n a 是首项大于零的等比数列，则“12a a <”是“数列{}n a 是递增数列”。

新编人教版精品教学资料第一章常用逻辑用语1.2 充分条件与必要条件A级基础巩固一、选择题1．“α＝π6”是“cos 2α＝12”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由cos 2α＝12，可得α＝kπ±π6(k∈Z)，故选A.答案：A2．(2016·天津卷)设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的( )A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：当x＝1，y＝－2时，x>y，但x>|y|不成立；若x>|y|，因为|y|≥y，所以x>y.所以x>y是x>|y|的必要而不充分条件．答案：C3．x2＜4的必要不充分条件是( )A．0＜x≤2 B．－2＜x＜0C．－2≤x≤2 D．1＜x＜3解析：x2＜4即－2＜x＜2，因为－2＜x＜2能推出－2≤x≤2，而－2≤x≤2不能推出－2＜x＜2，所以x2＜4的必要不充分条件是－2≤x≤2.答案：C4．(2016·山东卷)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A.答案：A5．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是( )A．m＝2 B．m＝－2C．m＝－1 D．m＝1解析：当m＝－2时，f(x)＝x2－2x＋1，其图象关于直线x＝1对称，反之也成立，所以函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.答案：B二、填空题6．设a，b是实数，则“a＋b＞0”是“ab＞0”的_____________条件．解析：若a＋b＞0，取a＝3，b＝－2，则ab＞0不成立；反之，若a＝－2，b＝－3，则a＋b＞0也不成立，因此“a＋b＞0”是“ab＞0”的既不充分也不必要条件．答案：既不充分也不必要条件7．关于x的不等式|2x－3|＞a的解集为R的充要条件是________．解析：由题意知|2x－3|＞a恒成立．因为|2x－3|≥0，所以a＜0.答案：a＜08．对任意实数a，b，c，给出下列命题：①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；②“b－2是无理数”是“b是无理数”的充要条件；③“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件；④“a＜5”是“a＜3”的必要条件．其中真命题的序号是________．解析：①中由“a＝b”可得ac＝bc，但由“ac＝bc”得不到“a＝b”，所以不是充要条件；②是真命题；③中a ＞b 时，a 2＞b 2不一定成立，所以③是假命题；④中由“a ＜5”得不到“a ＜3”，但由“a ＜3”可以得出“a ＜5”，所以“a ＜5”是“a ＜3”的必要条件，是真命题．答案：②④三、解答题9．已知p ：－4＜x －a ＜4，q ：(x －2)(x －3)＜0，且q 是p 的充分而不必要条件，试求a 的取值范围．解：设q ，p 表示的范围为集合A ，B ，则A ＝(2，3)，B ＝(a －4，a ＋4)．由于q 是p 的充分而不必要要件，则有A B ，即⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4＞3或⎩⎪⎨⎪⎧a －4＜2，a ＋4≥3，解得－1≤a ≤6. 10．求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.证明：必要性：因为方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1，所以x ＝1满足方程ax 2＋bx ＋c ＝0，即a ＋b ＋c ＝0.充分性：因为a ＋b ＋c ＝0，所以c ＝－a －b ，代入方程ax 2＋bx ＋c ＝0中可得ax 2＋bx －a －b ＝0，即(x －1)(ax ＋a ＋b )＝0.故方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1.所以关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.B 级 能力提升1．m ＝12是直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直的( ) A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：当m ＝12时，两直线为52x ＋32y ＋1＝0和－32x ＋52y －3＝0，两直线斜率之积为－1，两直线垂直；而当两直线垂直时，(m ＋2)(m －2)＋3m (m ＋2)＝0，即2(m ＋2)(2m －1)＝0，所以 m ＝－2或m ＝ 12.所以 为充分不必要条件． 答案：B 2．已知p ：不等式x 2＋2x ＋m ＞0的解集为R ；q ：指数函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋14x为增函数，则p 是q 成立的________条件．解析：p ：不等式x 2＋2x ＋m ＞0的解集为R ，即Δ＝4－4m ＜0，m ＞1；q ：指数函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋14x为增函数，即m ＋14＞1，m ＞34，则p 是q 成立的充分不必要条件．答案：充分不必要3．已知p ：－2≤x ≤10，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，若綈p 是綈q 的充分不必要条件．求实数m 的取值范围．解：p ：－2≤x ≤10.q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)⇔[x －(1－m )][x －(1＋m )]≤0(m ＞0)⇔1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)．因为綈p 是綈q 的充分不必要条件，所以q 是p 的充分不必要条件，即{}x |1－m ≤x ≤1＋m{}x |－2≤x ≤10，故有⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ＜－10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＞－2，1＋m ≤10， 解得m ≤3.又m ＞0，所以实数m 的取值范围为{}m |0＜m ≤3.本题还可用以下方法求解．因为p ：－2≤x ≤10，所以綈p ：x ＜－2或x ＞10.q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)⇔[x －(1－m )][x －(1＋m )]≤0(m ＞0)⇔1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)，綈q ：x ＜1－m 或x ＞1＋m (m ＞0)．因为綈p 是綈q 的充分不必要条件，所以 {}x |x ＜－2或x ＞10{}x |x ＜1－m 或x ＞1＋m ，故有⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ＜10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＞－2，1＋m ≤10， 解得m ≤3.又m ＞0，所以实数m 的取值范围为{}m |0＜m ≤3.。

课时作业(五) 充分条件与必要条件练基础1.[2022·山东青岛高一期末]“x，y∈Q”是“xy∈Q”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．设x∈R，则“x<3”是“1<x<3”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．设x∈R，则“x＞1”是“x2＞1”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．“xy>0”是“x>0，y>0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．(多选)下列说法中正确的是( )A．“m是有理数”是“m是实数”的充分条件B．“x∈(A∩B)”是“x∈A”的必要条件C．“x2－2x－3＝0”是“x＝3”的必要条件D．“x＞3”是“x2＞4”的充分条件6．若m，n∈R，则“m＋n≥0”是“m≥0且n≥0”的________条件．7．设甲、乙、丙是三个命题．如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么丙是甲的________ 条件．8．下列各题中，p是q的什么条件？说明理由．(1)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是等边三角形．(2)p：“－2<x<1”，q：“x>1或x<－1”．提能力9.“a<1”是“关于x的方程ax2－2x＋1＝0有实数根”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10．(多选)若－1<x≤3是－3<x<a的充分不必要条件，则实数a的值可以是( ) A．2 B．3C．4 D．511．已知条件p：1－x＜0，条件q：x＞a，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是________；若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是________．12．已知集合A＝{0，a＋2}，B＝{0，1，a2}．(1)若a＝3，求A∪B；(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的值．培优生13.[2022·江苏连云港高一期末]若不等式|x|<a的一个充分条件为－2<x<0，则实数a 的取值范围是________．课时作业(五) 充分条件与必要条件1．解析：若x，y∈Q，则xy∈Q，若xy∈Q，当x＝y＝2时，x，yD∈/Q，所以“x，y∈Q”是“xy∈Q”的充分不必要条件．答案：A2．解析：由1<x<3时，一定有x<3成立，故必要性成立；但x<3时，不一定有1<x<3成立，如x＝0，故充分性不成立，所以“x<3”是“1<x<3”的必要不充分条件．答案：B3．解析：由x>1可得x2>1成立，反之不成立，所以“x>1”是“x2>1”的充分不必要条件．答案：A4．解析：充分性：若xy>0，则x>0，y>0或x<0，y<0，故充分性不成立；必要性：若x>0，y>0，则xy>0，故必要性成立，所以“xy>0”是“x>0，y>0”的必要不充分条件．答案：B5．解析：A正确，因为“m是有理数”⇒“m是实数”，所以“m是有理数”是“m是实数”的充分条件；B不正确，因为“x∈A” “x∈(A∩B)”，所以“x∈(A∩B)”不是“x ∈A”的必要条件；C正确，由于“x＝3”⇒“x2－2x－3＝0”，故“x2－2x－3＝0”是“x＝3”的必要条件；D正确，由于“x＞3”⇒“x2＞4”，所以“x＞3”是“x2＞4”的充分条件．答案：ACD6．解析：m≥0，n≥0时，m＋n≥0成立，是必要的．m＝2，n＝－1时，有m＋n＝1>0，即m＋n≥0时不一定有m≥0且n≥0，不充分．因此应是必要不充分条件．答案：必要不充分7．解析：∵甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，∴乙⇒甲，丙⇒乙，乙推不出丙，∴丙⇒甲，且甲不能推出丙，所以丙是甲的充分不必要条件．答案：充分不必要8．解析：(1)有两个角相等不一定是等边三角形，反之一定成立，所以p不能推出q，q能推出p，故p是q的必要不充分条件．(2)因为当－2<x<1时，不能得到x>1或x<－1，而x>1或x<－1时，不能得到－2<x<1，所以“－2<x <1”是“x >1或x <－1”的既不充分也不必要条件．故p 是q 的既不充分也不必要条件．9．解析：当a ＝0时，方程的实数根为x ＝12， 当a ≠0时，方程ax 2－2x ＋1＝0有实数根，则Δ＝4－4a ≥0，解得a ≤1，则有a ≤1且a ≠0，因此，关于x 的方程ax 2－2x ＋1＝0有实数根等价于a ≤1，所以“a <1”是“关于x 的方程ax 2－2x ＋1＝0有实数根”的充分不必要条件． 答案：A10．解析：因为－1<x ≤3是－3<x <a 的充分不必要条件，所以a >3，所以a 的可取值有4，5.答案：CD11．解析：由1－x ＜0，得x ＞1，令A ＝{x |x ＞1}，B ＝{x |x ＞a }．若p 是q 的充分条件，则x ＞1⇒x ＞a ，即A ⊆B ，∴a ≤1.若p 是q 的必要条件，则x ＞a ⇒x ＞1.即B ⊆A ，∴a ≥1.答案：{a |a ≤1} {a |a ≥1}12．解析：(1)若a ＝3，则A ＝{0，5}，B ＝{0，1，9}，所以A ∪B ＝{0，1，5，9}．(2)因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，所以A B ，①当a ＋2＝1时，即a ＝－1时，不满足互异性，不符合题意；②当a ＋2＝a 2时，即a ＝－1或a ＝2时，由①可知，a ＝－1时，不符合题意， 当a ＝2时，集合B ＝{0，1，4}，满足，故可知a ＝2符合题意．所以a ＝2.13．解析：由不等式|x |<a ，当a ≤0时，不等式|x |<a 的解集为空集，显然不成立；当a >0时，不等式|x |<a ，可得－a <x <a ，要使得不等式|x |<a 的一个充分条件为－2<x <0，则满足{x |－2<x <0}⊆{x |－a <x <a }， 所以－2≥－a ，即a ≥2.∴实数a 的取值范围是a ≥2.答案：a ≥2。