杭二中实验班选拔考试数学卷含答案

浙江省杭州二中2024-2025学年高一上学期7月分班考试数学试卷一､选择题（每小题5分，共50分）1.计算等于（）C. D.2.设2t a b =+，21s a b =++，则s 与t 的大小关系是（）A.t s > B.t s ≥ C.t s < D.t s≤3.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，3AD =，7BC =，点M ，N 分别是对角线BD ，AC 的中点，则MN =（ ）A.2B.5C.72 D.324.某几何体的三视图如图所示，则其体积是（）A.(45π+B.36πC.63πD.2169π+5.已知两直线1120a x b y ++=和2220a x b y ++=的交点是()3,4，则过两点()()1122,,A a b B a b ､的直线方程是（）A.340x y +=B.430x y +=C.3420x y ++=D.4320x y ++=6.设x ，y ，0z >，14a x y =+，14b y z =+，14c z x =+，则a ，b ，c 三个数（ ）A.都小于4B.至少有一个不大于4C.都大于4D.至少有一个不小于47.将正整数排成下表则在表中数字2020出现在（ ）A.第44行第85列B.第45行第85列C.第44行第84列D.第45行第84列8.若存在正实数y ，使得154xy y x x y=−+，则实数x 的最大值为（ ） A.15 B.54C.1D.4 9.如图，正方形ABCD 中，6AB =，点E 在边CD 上，且3CD DE =.将ADE 沿AE 对折至AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG CF ､.下列结论：（1）ABG AFG ≅ ；（2）BG GC =；（3）AG ∥CF ；（4）3FGC S = .其中正确结论的个数是（ ）A.4B.3C.2D.1 10.()()()()()()()()333333332131412020121314120201−−−−++++ 的值最接近（ ） A.12 B.23 C.34 D.45二､填空题（每小题5分，共25分）11.tan45cos60−= __________.12.方程()()22120x a x a +−+−=的一个根比1大，一个根比1小，则实数a 的取值范围是__________. 13.函数15()22y x =+<<的最大值是__________.14.在等腰ABC 中，A B =，点D 在线段AC 上，且2CD DA =，若2tan 5ABD ∠=，则tan A =__________.15.设a ，b 为正实数，现有下列命题：①若221a b −=，则1a b −<；②若111b a −=，则1a b −<；1−，则1a b −<；④若331a b −=，则1a b −<. 其中的真命题有__________.（写出所有真命题的编号）三､解答题（每小题10分，共40分）16.解方程：4326736760x x x x +−−+=17.对于函数()f x ，若()f x x =，则称x 为()f x 的“不动点”；若()()ff x x =，则称x 为()f x 的“稳定点”.（1）求证；若x 为()f x 的“不动点”，则x 为()f x 的“稳定点”；（2）若()()21,f x ax a x =−∈∈R R ，若函数存在“不动点”和“稳定点”，且函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即(){}()(){},A x f x x B xf f x x ====∣∣，且A B =，求实数a 的取值范围. 18.如图，圆1O 和圆2O 相交于点A B ､，半径1O B ､半径2O B 所在直线分别与圆2O ､圆1O 相交于点E F ､，过点B 作EF 的平行线分别与圆1O ､圆2O 相交于点M N ､.证明：MN AE AF =+.19.现有重量为1，2，4，8，16的砝码各一个，有一个天平，在每一步，我们选取任意一个砝码，将其放入砝码的左边或者右边，直至所有砝码全放到天平两边，但在放的过程中，发现天平的指针不会偏向分度盘的右边，问这样的放法共有多少种？参考答案一､选择题1.【答案】C2.【答案】D3.【答案】A4.【答案】C5.【答案】C6.【答案】D7.【答案】D【解析】因为每行的最后一个数分别为1，4，9，16，…，所以由此归纳出第n 行的最后一个数为2n .因为2441936=，2452025=，所以2017出现在第45行上.又由2020193684−=，故2017出现在第84列，故选D8.【答案】A 【解析】转化154xy y x x y =−+为()224510xy x y x +−+=，以y 为自变量的方程有正根，根据根与系数关系确定实数x 的范围即可.9.【答案】B【解析】（1）AB AD AF == ，AG AG =，90B AFG ∠∠== ，()Rt Rt ABG AFG HL ∴≅ ；故（1）正确（2）123EF DE CD ===，设BG FG x ==，则6CG x =−. 在Rt ECG 中，根据勾股定理，得()()222642x x −+=+，解得3x =，363BG GC ∴==−=.故（2）正确（3）CG BG = ，BG GF =，CG GF ∴=，FGC ∴ 是等腰三角形，GFC GCF ∠∠=. 又Rt Rt ABG AFG ≅ ；AGB AGF ∠∠∴=，2AGB AGF AGB ∠∠∠+=18022FGC GFC GCF GFC GCF ∠∠∠∠∠=−=+==AGB AGF GFC GCF ∠∠∠∠∴===，AG ∴∥CF ；故（3）正确.（4）2EF = ，3GF =，故331185525FGC GCE GCE GF S S S GC EC GE ===×⋅= .故（4）错误.∴正确的个数有3个.故选：B .10.【答案】B【解析】由立方和､立方差公式得：()()32111n n n n −−++，()()()()()()322111111121n n n n n n n ++=+++−++=+++ . 所以()()()()()2332111111221n n n n n n n n n n −++−−==++++++. ()()()()()()()()()3333333333333333213141202011213120191202012131412020121314120201−−−−−−−=×××××−++++++++ ()()3311220181123202012020194520219201920202021××=×××××−=××−×× ()()222201920202020122202020201220202020132019202020213202020213202020201×++++++=×=×=×××××+ 222220202020121213202020203202020203++ =×=×+≈ ++ 故选：B . 二､填空题 11.【答案】1212.【答案】21a −<< 13.【答案】14.【答案】215.【答案】①④三､解答题 16.（221167360x x x x++−−= ，1t x x =−，32t =，83−；2x =，12−，3−） 17.（1）解：若A =∅，则A B ⊆显然成立；若A ≠∅，设t A ∈，则()f t t =，()()()f f t f t t ==，t B ∴∈，故A B ⊆.（2）A ≠∅ ，21ax x ∴−=有实根，14a ∴≥− 又A B ⊆，所以()2211a ax x −−=，即3422210a x a x x a −−+−=的左边有因式21ax x −−，从而有()()222110ax x a x ax a −−+−+= A B = ，2210a x ax a ∴+−+=要么没有实根，要么实根是方程210ax x −−=的根.若2210a x ax a +−+=没有实根，则34a <；若2210a x ax a +−+=有实根且实根是方程210ax x −−=的根，则由方程210ax x −−=，得22a x ax a =+，代入2210a x ax a +−+=，有210ax +=.由此解得12x a=−，再代入得111042a a +−=，由此34a = 故a 的取值范围是13,44 −. 18.【解析】试题分析：根据平角得R A S ､､三点共线，根据同弦所对角相等得F R S E ､､､四点共圆.根据四点共圆性质得MRB FRA ∠∠=，即得MB FA =，同理可得NB AE =，根据等量性质得MN AE AF =+. 试题解析：解：延长12BO BO ､分别与圆1O ､圆2O 相交于点R S ､，连结RM RF RB SA SE SN AB ､､､､､､.则90BAR BAS ∠∠== ，所以R A S ､､三点共线 又90RFS SER ∠∠== ，于是F R S E ､､､四点共圆. 故MRF MBF EFB ERS ∠∠∠∠===，从而MRB FRA ∠∠=，因此MB FA =，同理NB AE =.所以MN AE AF =+.证法二：连接1FO ，2EO ，那么我们易得等腰12O BF O EB ∼ .故我们有21BF BO BO BE ⋅=⋅，那么由相交弦定理的逆定理，我们有1O ，2O ，E ，F 四点共圆.从而我们有2221190O BN O FE O O E O BA ∠∠∠∠===− ， 故我们有22AO E BO N ∠∠=.从而AE BN =，同理AF BM =，即证明了MN AE AF =+.19.答案：是9*7*5*3*1945=，这算个组合计数题.分类讨论是比较困难的.最好的方法是分步原理，但不是很好想，但我觉得也有学生可能可以猜到这个答案.做法如下：将所有的位置分为：1左，1右；2左，2右；3左，3右；4左，4右；5左，5右.k左表示第k次放在天平左边，k右同理.那么我们先来看1这个砝码，你会发现对它的要求是不放在1右都可以.从而右9种选择.再看2这个砝码，若1这个砝码是第k次放，那么2这个砝码不能是第k次放，去掉一个位置，然后不能在去掉1这个砝码后放在右边，故还要去掉一个位置，故有7种可能……类似的考虑4，8，16……关键想法是考虑总共有10个位置，要将5个砝码放到这10个位置满足一定条件，然后砝码的顺序很重要.必须先考虑1.事实上也可以想象成归纳.。

2020年浙江省杭州二中高一入学分班考试数学试卷一、选择题（本大题满分40分，每小题4分，1至8题四个选项中仅有一项正确；9至10题为多选择题，全对给4分，选项不全且无错误选项的给2分，有错误选项的则给0分）1．（4分）集合{1，2，3}的真子集共有（）A．5 个B．6 个C．7 个D．8 个2．（4分）命题“∃x≥1，使x2＞1．”的否定形式是（）A．“∃x＜1，使x2＞1．”B．“∃x＜1，使x2≤1．”C．“∀x≥1，使x2＞1．”D．“∀x≥1，使x2≤1．”3．（4分）下列函数中在其定义域内是单调函数的是（）A．f（x）＝x2B．f(x)=√x C．f(x)=1x D．f（x）＝x﹣24．（4分）已知f（x）＝|x﹣4|﹣|x+2|，若f（a+1）＜f（2a），则a的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣1，3]C．（1，3）D．（﹣3，1）5．（4分）已知a＝log23，b＝log34，c＝log45，则有（）A．a＞b＞c B．a＜b＜c C．b＞c＞a D．b＞a＞c6．（4分）函数y＝x•22﹣|x|在区间[﹣2，2]上的图象可能是（）A．B．C．D．7．（4分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集是（﹣3，2），则不等式cx2+bx+a＞0的解集是（）A．（﹣2，3）B．（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）C．(−13，12)D．(−∞，−13)∪(12，+∞)8．（4分）已知关于x的方程x2+ax+b＝0（a，b∈R）在[0，1]上有实数根，且﹣4≤2a+b≤﹣2，则a+2b的最大值为（）A ．﹣1B ．0C ．12D ．19．（4分）设集合S ，T ，S ，T 中至少有2个元素，且S ，T 满足：①对于任意的x ，y ∈S ，若x ≠y ，则x +y ∈T ；②对于任意的x ，y ∈T ，若x ＜y ，则y ﹣x ∈S ．若S 有3个元素，则T 可能有（ ） A ．2个元素B ．3个元素C ．4个元素D ．5个元素10．（4分）已知函数f(x)={|log 2x|，x ＞0−log 2|x +1|，x ≤0．若f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3）＝f （x 4）且x 1＞x 2＞x 3＞x 4，则下列结论正确的有（ ） A ．x 1+x 2+x 3+x 4＜0 B ．x 1+x 2+x 3+x 4＞0 C ．x 1x 2x 3x 4≥1D ．0＜x 1x 2x 3x 4＜1二、选择题（本大题满分16分，每小题4分，13题每空2分.） 11．（4分）若2a ＝5b ＝10，则4﹣a ＝ ，1a+1b= ．12．（4分）已知函数f(x)=2x−m 2x +m是奇函数，则f （m ）＝ ．13．（4分）设正实数a ，b 满足：a +b ＝1，则4a+ab的最小值为 ．14．（4分）若对任意的x ∈[1，5]，不等式2≤x +ax+b ≤5恒成立，则a ﹣b 的最大值是 ． 三、解答题（本大题共有4个小题，共44分）15．（10分）已知集合A ＝（﹣∞，1]∪（3，+∞），B ＝[m ，m +2]． （Ⅰ）若m ＝2，求（∁R A ）∩B ；（Ⅱ）若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，求m 的取值范围．16．（10分）人类已经进入大数据时代．目前，数据量已经从TB （1TB ＝1024GB ）级别跃升到PB （1PB ＝1024TB ），EB （1EB ＝1024TB ）乃至ZB （17B ＝1024EB ）级别．国际数据公司（IDC ）的研究结果表明，全球产生的数据量为：年份 2008 2009 2010 2011 … x （单位：年） 0 1 2 3 … 数据量（单位：ZB ）0.490.81.21.82…为了较好地描述2008年起全球产生的数据量与时间x （单位：年）的关系，根据上述数据信息，选择函数f（x）＝kx+b和g（x）＝ma x（a＞0且a≠1）进行拟合研究．（Ⅰ）国际数据公司（IDC）预测2020年全球数据量将达到80.0ZB，你认为依据哪一个函数拟合更为合理；（Ⅱ）设我国2020的数据量为cZB，根据拟合函数，请你估计我国的数据量达到100cZB 约需要多少年？参考数据：1.5310≈70.29，1.5311≈107.55，1.5312≈164.55，1.5312≈251.76．17．（12分）已知a∈R，函数f(x)={x−7，x≥ax2−4x，x＜a．（Ⅰ）若函数y＝f（x）恰有2个零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若f（f（x））≥f（x），求实数x的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）＝log a x（a＞0且a≠1）．（Ⅰ）若f（a+4）≤f（3a），求实数a的取值范围；（Ⅱ）设a＝2，函数g（x）＝﹣f2（x）+（3﹣2m）f（x）+m+2（0＜m≤1）．（i）若x∈[1，2m]，证明：g(x)≤10 3；（ii）若x∈[12，2]，求|g（x）|的最大值h（m）．2020年浙江省杭州二中高一入学分班考试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题满分40分，每小题4分，1至8题四个选项中仅有一项正确；9至10题为多选择题，全对给4分，选项不全且无错误选项的给2分，有错误选项的则给0分） 1．（4分）集合{1，2，3}的真子集共有（ ） A ．5 个B ．6 个C ．7 个D ．8 个【解答】解：集合{1，2，3}的真子集共有： 23﹣1＝7个． 故选：C ．2．（4分）命题“∃x ≥1，使x 2＞1．”的否定形式是（ ） A ．“∃x ＜1，使x 2＞1．” B ．“∃x ＜1，使x 2≤1．” C ．“∀x ≥1，使x 2＞1．”D ．“∀x ≥1，使x 2≤1．”【解答】解：特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x ≥1，使x 2＞1”的否定形式为：∀x ≥1，均有x 2≤1． 故选：D ．3．（4分）下列函数中在其定义域内是单调函数的是（ ） A ．f （x ）＝x 2B ．f(x)=√xC ．f(x)=1xD ．f （x ）＝x ﹣2【解答】解：f （x ）＝x 2是偶函数，所以在其定义域内不是单调函数，所以A 不正确； f （x ）=√x ，在其定义域内是单调增函数，所以B 正确； f （x ）=1x ，在其定义域内不是单调函数，所以C 不正确； f （x ）＝x ﹣2，在其定义域内不是单调函数，所以D 不正确；故选：B ．4．（4分）已知f （x ）＝|x ﹣4|﹣|x +2|，若f （a +1）＜f （2a ），则a 的取值范围是（ ） A ．[﹣1，1]B ．[﹣1，3]C ．（1，3）D ．（﹣3，1）【解答】解：f （x ）＝|x ﹣4|﹣|x +2|={6，x ≤−2−2x +2，−2＜x ＜4−6，x ≥4的图象，如下图：由图，可知f （a +1）＜f （2a ）等价于{2a ≤−2a +1＞−2 或 {−2＜2a ＜42a ＜a +1，解得﹣3＜a ≤﹣1或﹣1＜a ＜1，∴﹣3＜a ＜1， ∴a 的取值范围为（﹣3，1）． 故选：D ．5．（4分）已知a ＝log 23，b ＝log 34，c ＝log 45，则有（ ） A ．a ＞b ＞cB ．a ＜b ＜cC ．b ＞c ＞aD ．b ＞a ＞c【解答】解：设n ∈N ，且n ＞2，log n （n +1）＞0，log n ﹣1n ＞0，log n (n+1)log n−1n=log n (n +1)⋅log n (n −1)＜[log n (n 2−1)2]2＜(log n n 22)=1，∴log n （n +1）＜log n ﹣1n ，∴log 45＜log 34＜log 23，即a ＞b ＞c ． 故选：A ．6．（4分）函数y ＝x •22﹣|x |在区间[﹣2，2]上的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：函数y ＝x •22﹣|x |，定义域为[﹣2，2]关于原点对称， 且f （﹣x ）＝（﹣x ）•22﹣|x |＝﹣f （x ），则f （x ）为奇函数，图象关于原点对称， 排除CD ；由f （1）＝2以及f （2）＝2， 函数不单调， 排除B ． 故选：A ．7．（4分）已知不等式ax 2+bx +c ＞0的解集是（﹣3，2），则不等式cx 2+bx +a ＞0的解集是（ ） A ．（﹣2，3） B ．（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）C ．(−13，12)D ．(−∞，−13)∪(12，+∞)【解答】解：不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为（﹣3，2）， 所以对应方程ax 2+bx +c ＝0的解是﹣3和2，且a ＜0； 由根与系数的关系知，{−3+2=−ba −3×2=c a ；解得b ＝a ，c ＝﹣6a ，所以不等式cx 2+bx +a ＞0可化为﹣6ax 2+ax +a ＞0， 即6x 2﹣x ﹣1＞0， 即（3x +1）（2x ﹣1）＞0， 解得x ＜−13或x ＞12；所以所求不等式的解集是（﹣∞，−13）∪（12，+∞）．故选：D ．8．（4分）已知关于x 的方程x 2+ax +b ＝0（a ，b ∈R ）在[0，1]上有实数根，且﹣4≤2a +b ≤﹣2，则a +2b 的最大值为（ ） A ．﹣1B ．0C ．12D ．1【解答】解：关于x 的方程x 2+ax +b ＝0（a ，b ∈R ）在[0，1]上有实数根， 即函数f （x ）＝﹣x 2与g （x ）＝ax +b 在x ∈[0，1]上的图象有交点，作出函数f （x ）与g （x ）的大致图象，如图所示； 因为﹣4≤2a +b ≤﹣2，所以﹣4≤g （2）≤﹣2； 又a +2b ＝2（12a +b ）＝2g （12）；所以a +2b 的最大值可以转化为求g （12）的最大值，由数形结合可知，当y ＝g （x ）的图象经过点A （2，﹣4）且和y ＝f （x ）的图象在x ∈[0，1]上相交于点B （1，﹣1）时，g （12）取得最大值，此时直线方程为y+1−4+1=x−12−1，化简为y ＝﹣3x +2；所以y ＝g （12）＝﹣3×12+2=12， 计算a +2b ＝2g （12）＝1．故选：D ．9．（4分）设集合S ，T ，S ，T 中至少有2个元素，且S ，T 满足：①对于任意的x ，y ∈S ，若x ≠y ，则x +y ∈T ；②对于任意的x ，y ∈T ，若x ＜y ，则y ﹣x ∈S ．若S 有3个元素，则T 可能有（ ） A ．2个元素B ．3个元素C ．4个元素D ．5个元素【解答】解：若S 有3个元素，不妨设S ＝{a ，b ，c }，其中a ＜b ＜c ， 由①可知，则必有x 1＝a +b ，x 2＝a +c ，x 3＝b +c ∈T ，由②可知，x 2﹣x 1＝c ﹣b ∈S ，x 3﹣x 2＝b ﹣a ∈T ，x 3﹣x 1＝c ﹣a ∈S ， 显然有c ﹣a ＞b ﹣a ＞0，c ﹣a ＞c ﹣b ＞0，（1）若c ﹣a ＝c ，则a ＝0，此时T 中有元素b ，c ，则c ﹣b ＝b ，c ＝2b 符合，此时T 中有3个元素，（2）若c ﹣a ＝b ，则有c ﹣b ＝b ﹣a ＝a ，即c ＝3a ，b ＝2a ， 此时T ＝{3a ，4a ，5a }中有3个元素， 综上所述，T 中有3个元素． 故选：B ．10．（4分）已知函数f(x)={|log 2x|，x ＞0−log 2|x +1|，x ≤0．若f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3）＝f （x 4）且x 1＞x 2＞x 3＞x 4，则下列结论正确的有（ ） A ．x 1+x 2+x 3+x 4＜0 B ．x 1+x 2+x 3+x 4＞0 C ．x 1x 2x 3x 4≥1D ．0＜x 1x 2x 3x 4＜1【解答】解：作出函数f(x)={|log 2x|，x ＞0−log 2|x +1|，x ≤0的图象如图：由图可得x 1＞1＞x 2＞0＞x 3＞x 4，由|log 2x 1|＝|log 2x 2|，得log 2x 1＝﹣log 2x 2，即log 2（x 1x 2）＝0，则x 1x 2＝1， x 3+x 4＝﹣2，x 1+x 2＞2√x 1x 2=2， 故x 1+x 2+x 3+x 4＞2﹣2＝0；又2＝﹣x 3+（﹣x 4）＞2√(−x 3)(−x 4)=2√x 3x 4，得0＜x 3x 4＜1． 故选：BD ．二、选择题（本大题满分16分，每小题4分，13题每空2分.） 11．（4分）若2a ＝5b ＝10，则4﹣a ＝1100，1a+1b= 1 ．【解答】解：∵2a ＝5b ＝10，∴a ＝log 210，b ＝log 510， ∴4﹣a =14a =1(2a )2=1100； 1a+1b=1log 210+1log 510=lg 2+lg 5＝lg 10＝1．故答案为：1100，1．12．（4分）已知函数f(x)=2x −m2x +m 是奇函数，则f （m ）＝ 13．【解答】解：由于函数f(x)=2x−m2x +m是奇函数，所以f （﹣x ）+f （x ）＝0，整理得f(−x)+f(x)=2−x−m 2−x +m +2x−m2x +m =0，解得m ＝1，所以f(x)=2x−12x +1，则f （1）=13．故答案为：13．13．（4分）设正实数a ，b 满足：a +b ＝1，则4a+ab的最小值为 8 ．【解答】解：正实数a ，b 满足a +b ＝1， 则4a +a b=4a+1−b b=4a+1b−1=4a+4b a +a+bb−1=4+4b a +a b ≥4+2√4b a ⋅ab =8，当且仅当4b a=ab且a +b ＝1即b =13，a =23时取等号，故答案为：814．（4分）若对任意的x ∈[1，5]，不等式2≤x +ax+b ≤5恒成立，则a ﹣b 的最大值是 4+4√3 ．【解答】解：设f （x ）＝x +a x+b ，1≤x ≤5，当a ≤0时，f （x ）在[1，5]递增，可得f （x ）的最小值为1+a +b ，最大值为5+a 5+b ， 由题意可得{1+a +b ≥25+a 5+b ≤5，即为{b ≥1−a b ≤−a 5，可得1﹣a ≤−a 5，解得a ≥54，这与a ≤0矛盾， 故a ＞0．当√a ＞5即a ＞25时，f （x ）在[1，5]递减，可得f （x ）的最大值为f （1）＝1+a +b ，最小值为5+a5+b ，由题意可得{1+a +b ≤55+a 5+b ≥2即为{b ≤4−a b ≥−3−a 5，可得﹣3−a 5≤4﹣a ，解得a ≤354这与a ＞25矛盾；当√a ＜1，即0＜a ＜1时，f （x ）在[1，5]递增，可得f （x ）的最小值为1+a +b ，最大值为5+a5+b ， 由题意可得{1+a +b ≥25+a 5+b ≤5，即为{b ≥1−a b ≤−a 5，可得1﹣a ≤−a 5，解得a ≥54，这与0＜a ＜1矛盾；当1≤a ≤5时，f （1）≤f （5），可得f （x ）的最小值为f （√a ）＝2√a +b ，最大值为5+a5+b ， 由题意可得{2√a +b ≥25+a 5+b ≤5，即为{b ≥2−2√a b ≤−a 5，可得2﹣2√a ≤−a 5，解得5−√15≤√a ≤5+√15，则40﹣10√15≤a ≤5，而65a ≤a ﹣b ≤a +2√a −2≤3+2√5；当5＜a ≤25时，f （1）＞f （5），可得f （x ）的最小值为f （√a ）＝2√a +b ，最大值为1+a +b ， 由题意可得{2√a +b ≥21+a +b ≤5，即为{b ≥2−2√a b ≤4−a ，可得2﹣2√a ≤4﹣a ，解得0≤√a ≤1+√3，即0≤a ≤4+2√3，故5＜a ≤4+2√3，而2a ﹣4≤a ﹣b ≤a +2√a −2≤4+4√3． 综上可得a ﹣b 的最大值为4+4√3， 故答案为：4+4√3．三、解答题（本大题共有4个小题，共44分）15．（10分）已知集合A ＝（﹣∞，1]∪（3，+∞），B ＝[m ，m +2]． （Ⅰ）若m ＝2，求（∁R A ）∩B ；（Ⅱ）若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，求m 的取值范围． 【解答】解：（1）由A ＝（﹣∞，1]∪（3，+∞）可知∁R A ＝（1，3]， 由m ＝2可知B ＝[2，4]， 故（∁R A ）∩B ＝[2，3]；（2）由“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，可知B ⫋A ， ∴m +2≤1或m ＞3，即m ≤﹣1或m ＞3， ∴m 的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪（3，+∞）．16．（10分）人类已经进入大数据时代．目前，数据量已经从TB （1TB ＝1024GB ）级别跃升到PB （1PB ＝1024TB ），EB （1EB ＝1024TB ）乃至ZB （17B ＝1024EB ）级别．国际数据公司（IDC ）的研究结果表明，全球产生的数据量为：年份2008 2009 2010 2011 …x （单位：年） 0 1 2 3 … 数据量（单位：ZB ）0.490.81.21.82…为了较好地描述2008年起全球产生的数据量与时间x （单位：年）的关系，根据上述数据信息，选择函数f （x ）＝kx +b 和g （x ）＝ma x （a ＞0且a ≠1）进行拟合研究． （Ⅰ）国际数据公司（IDC ）预测2020年全球数据量将达到80.0ZB ，你认为依据哪一个函数拟合更为合理；（Ⅱ）设我国2020的数据量为cZB ，根据拟合函数，请你估计我国的数据量达到100cZB 约需要多少年？参考数据：1.5310≈70.29，1.5311≈107.55，1.5312≈164.55，1.5312≈251.76．【解答】解：（Ⅰ）设2008，2009，2010，2011，…，2020年分别对应第1年，第2年，第3年，第4年，…，第13年，设数据量为y ，由已知列表如下：x 1 2 3 4 … 13 y0.490.81.21.82…80.0画出散点图如下：由散点图可知，5个点在一条曲线上，应选择函数g （x ）＝ma x ．（Ⅱ）将数据（1，0.49），（13，80）代入g （x ）＝ma x 中得：{0.49=ma 80=ma 13，解得：{m ≈0.32a ≈1.53，∴g （x ）＝0.32×1.53x ，由题意有c＝0.32×1.5313，则100c＝0.32×1.53x，∴x≈24，∴我国的数据量达到100cZB约需要24年．17．（12分）已知a∈R，函数f(x)={x−7，x≥ax2−4x，x＜a．（Ⅰ）若函数y＝f（x）恰有2个零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若f（f（x））≥f（x），求实数x的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由x﹣7＝0得x＝7，由x2﹣4x＝0得x＝0或x＝4，若函数f（x）恰有两个零点，则两个零点分别为0，4时，可得a＞7；若两个零点分别为0，7时，可得0＜a≤4；若两个零点分别为4，7时，零点0必然出现，不符合题意；故实数a的取值范围为（0，4]∪（7，+∞）．（Ⅱ）设μ＝f（x），当μ≥a时，f（μ）＝μ﹣7＞μ，必无解；当μ＜a时，μ2﹣4μ≥μ，解得μ≥5或μ≤0，情况一：当a＜0时，可得μ＜a，即f（x）＜a，①x≥a时，x﹣7＜a，则a≤x＜7﹣a，②x＜a时，x2﹣4x＜a，因为x2﹣4x＞a2﹣4a＞0＞a，无解，因此实数x的取值范围是[a，7+a）；情况二：当0≤a≤4时，可得μ≤0，即f（x）≤0，①当x≥a时，x﹣7≤0，则a≤x≤7，②x＜a时，x2﹣4x≤0，则0≤x≤a，因此实数x的取值范围是[0，7]；情况三：当4＜a＜5时，可得μ≤0，即f（x）≤0，①x≥a时，x﹣7≤0，则a≤x≤7，②x＜a时，x2﹣4x≤0，则0≤x≤4，因此实数x的取值范围为[0，4]∪[a，7]；情况四：当a＞5时，可得5≤μ＜a或μ≤0，即5≤f（x）＜a或f（x）≤0，①x≥a时，5≤x﹣7＜a或x﹣7≤0，则12≤x＜7+a或x≤7，②x＜a时，5≤x2﹣4x＜a或x2﹣4x≤0或5≤x＜2+√a+4或2−√a+4＜x≤−1或0≤x≤4，因为a −(√a +4+2)=2a−2+√a+4=2a−2+√a+40，故2+√a +4＜a ，因此（i ）5＜a ≤7时，实数x 的取值范围是(2−√a +4，−1]∪[0，4]∪[5，2+√a +4)∪[a ，7]∪[12，7+a)；（ii ）当7＜a ＜12时，实数x 的取值范围是(2−√a +4，−1]∪[0，4]∪[5，2+√a +4)∪[12，7+a)；（iii ）当a ≥12时，实数x 的取值范围是(2−√a +4，−1]∪[0，4]∪[5，2+√a +4)∪[a ，7+a)；18．（12分）已知函数f （x ）＝log a x （a ＞0且a ≠1）． （Ⅰ）若f （a +4）≤f （3a ），求实数a 的取值范围；（Ⅱ）设a ＝2，函数g （x ）＝﹣f 2（x ）+（3﹣2m ）f （x ）+m +2（0＜m ≤1）． （i ）若x ∈[1，2m ]，证明：g(x)≤103； （ii ）若x ∈[12，2]，求|g （x ）|的最大值h （m ）． 【解答】解：（Ⅰ）当0＜a ＜1时，f （x ）递减， f （a +4）≤f （3a ）等价于{0＜a ＜1a +4≥3a，解得：0＜a ＜1，当a ＞1时，f （x ）递增，f （a +4）≤f （3a ）等价于{a ＞1a +4≤3a ，解得：a ≥2，综上：0＜a ＜1或a ≥2；解：（Ⅱ）∵a ＝2，∴f （x ）＝log 2x 是增函数，证明：（i ）若x ∈[1，2m ]，则f （x ）∈[0，m ]，令t ＝f （x ），则0≤t ≤m ， 故g （x ）＝h （t ）=−[t −3−2m 2]2+m 2﹣2m +174，0≤t ≤m ， 当0≤3−2m 2≤m 即34≤m ≤1时，y max ＝m 2﹣2m +174=（m ﹣1）2+134＜103， 当3−2m 2＞m 即0＜m ＜34时，当t ＝m 时，y max ＝﹣3m 2+4m +2＝﹣3(m −23)2+103≤103，故g （x ）≤103；（ii ）若x ∈[12，2]，则f （x ）∈[﹣1，1]，令t ＝f （x ），则t ∈[﹣1，1]，故g （x ）＝φ（t ）=−[t −3−2m 2]2+m 2﹣2m +174，t ∈[﹣1，1]， ∵0＜m ≤1，∴12≤3−2m 2＜32，当12≤3−2m 2≤1即12≤m ≤1时，φ（﹣1）＝3m ﹣2∈[−12，1]，|φ（﹣1）|∈[0，1]，φ（1）＝4﹣m ＞0， φ（3−2m 2）＝m 2﹣2m +174∈[134，72]，此时|g （x ）|＝|φ（t ）|的最大值为m 2﹣2m +174， 当3−2m 2＞1即0＜m ＜12时，φ（t ）在[﹣1，1]上递增，φ（t ）min ＝φ（﹣1）＝3m ﹣2∈（﹣2，−12），|φ（t ）min |＝|φ（﹣1）|∈（12，2）， φ（t ）max ＝φ（1）＝4﹣m ∈（72，4），此时|g （x ）|＝|φ（t ）|的最大值为：4﹣m ， 综上，h （m ）={4−m ，0＜m ＜12m 2−2m +174，12≤m ＜1．。

杭二中高一新生实验班选拔考试数学试卷注意：（1）本试卷分三部分，17小题，满分150分，考试时间60分钟. （2）请将解答写在答题卷相应题次上，做在试题卷上无效. 一、选择题.（5分×6=30分）1.如果a ，b ，c 是正数，且满足9a b c ++=，111109a b b c c a ++=+++，那么a b c b c c a a b +++++的值为（ ） A.6B.7C.9D.102.小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币.小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍”，其中n 为正整数，则n 的可能值的个数是（ ） A.1B.2C.3D.43.若质数a ，b 满足2940a b −−=，则数据a ，b ，2，3的中位数是（ ） A.4B.7C.4或7D.4.5或6.54. ()62121110121110102x x a x a x a x a x a −−=+++⋅⋅⋅++，则12108642a a a a a a +++++=（ ） A.-32B.0C.32D.645.若四个互不相等的正实数a ，b ，c ，d 满足()()20122012201220122012ac ad −−=，()()20122012201220122012bc bd −−=，则()()20122012ab cd −的值为（ ）A.-2012B.-2011C.2012D.2011二、填空题（6分×8=48分）6.设下列三个一元二次方程：24430x ax a +−+=；()211?0x a x a +−++=；22230x ax a +−+=，至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是___________.7.如图所示，把大正方形纸片剪成五个部分，在分别距离大正方形的四个顶点5厘米处沿450方向剪开，中间的部分正好是小正方形，那么小正方形的面积是__________平方厘米.8.点A 为y 轴正半轴上一点，A ，B 两点关于x 轴对称，过点A 任作直线交抛物线2y x =于P ，Q 两点.若点A 的坐标为()0,1，且60PBQ ∠=°，则所有满足条件的直线PQ 的函数解析式为：___________.9.111005−>成立的正整数n 的值的个数等于___________.10.如图，四边形ABCD 中，AB BC CD ==，78ABC ∠=°，162BCD ∠=°.设AD ，BC 延长线交于E ，则AEB ∠=____________.11. D 是ABC △的边AB 上的一点，使得3AB AD =，P 是ABC △外接圆上一点，PB 使得ADP ACB ∠=∠，则PBPD的值___________.三、解答题.（12分×6=72分）12.已和x ，y ，z 均为非负数，且满足142x y z y z =+−=−−. （1）用x 表示y ，z ；（2）求222u x y z =−+的最小值.13、由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的Iphone 手机二6月售价比一月每台降价500元.如果卖出相同数量的Iphone6手机，那么一月销售额为9万元，二月销售额只有8万元. （1）一月Iphone6手机每台售价为多少元?（2）为了提高利润，该店计划三月购进Iphone6s 手机销售，已知Iphone6每台进价为3500元，Iphone6s 每台进价为4000元，预计用不多于7.6万元且不少于7.4万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案?（3）该店计划4月对Iphone6的尾货进行销售，决定在二月售价基础上每售出一台Iphone6手机再返还顾客现金a 元，而Iphone6s 按销售价4400元销售，如要使（2）中所有方案获利相同，a 应取何值?14.如图，在ABC △中，AC BC =，90ACB ∠=°，D 、E 是边AB 上的两点，3AD =，4BE =，45DCE ∠=°，则ABC △的面积是多少?15.若直线l ：3y x =+交x 轴于点A ，交y 轴于点B .坐标原点O 关于直线l 的对称点O ′在反比例函数ky x=的图象上.（1）求反比例函数ky x=的解析式； （2）将直线l 绕点A 逆时针旋转角()045θθ<<°°，得到直线l ′，l ′交y 轴于点P ，过k 点P 作x 轴的平行线，与上述反比例函数k y x =的图象交于点Q ，当四边形APQO ′的面积为9θ的值. 16.已和关于x 的方程()()221331180m x m x −−−+=有两个正整数根（n 是整数）. ABC △的三边a 、b 、c 满足：c =，2280m a m a +−=，2280m b m b +−=. 求：（1）m 的值； （2）ABC △的面积.17.如图ABC △为等腰三角形，AP 是底边BC 上的高，点D 是线段PC 上的一点，BE 和CF 分别是ABD △和ACD △的外接圆的直径，连结EF ，求证：tan EFPAD BC∠=.附加题（同分优先）：18.如图，已知AB 为半圆O 的直径，点P 为直径AB 上的任意一点.以点A 为圆心，AP 为半径作A ，A 与半圆O 相交于点C ；以点B 为圆心，BP 为半径作B ，B 与半圆O 相交于点D ，且线段CD 的中点为M .求证：MP 分别与A 和B 相切.参考答案一、选择题1-5BDCAA二、填空题6. 12a ≥或32a ≤− 7.508.如图，分别过点P ，Q 作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D . 设点A 的坐标为()0,t ，则点B 的坐标为()0,t −.设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+，并设P ，Q 的坐标分别为(),P P x y ，(),Q Q x y .由2,23y kx t y x =+=得2203x kx t −−=， 于是32P Q x x t =−，即23P Q t x x =−.于是()()22222222333322223333p p p Q p p Q p p Q Q Q Q p Q Q Q px t x x x x x x y t x BC BD y t x x t x x x x x x +−−+=====−++−−.又因为P Q x PCQD x =−，所以BC PC BD QD=. 因为90BCP BDQ ∠=∠=°，所以BCP BDQ ∽△△， 故ABP ABQ ∠=∠.（2）设PC a =，DQ b =，不妨设0a b ≥>， 由（1）可知30ABP ABQ ∠=∠=°，BC =，BD =，所以2AC =−，2AD =.因为PC DQ ∥，所以ACP ADQ ∽△△.于是PC AC DQ AD =，即a b =所以a b +.由（1）中32p Q x x t =−，即32ab −=−，所以32ab =，a b +，于是可求得2a b==将b =代入223y x =，得到点Q的坐标12. 再将点Q 的坐标代入1y kx =+，求得k =. 所以直线PQ的函数解析式为1y x +.9.1008015 10.21°11.解：连接AP ，∵APB ∠与ACB ∠是 AB 所对的圆周角，∴APB ACB ∠=∠， ∵ADP ACB ∠=∠，∴APB ACB ADP ∠=∠=∠， ∵DAP DAP ∠=∠，∴APB ADP ∽△△，∴APAD PD AB AP PB ==，∴()233AP AD AB AD AD AD =⋅=⋅=，∴PB AP PDAD==.三、解答题.12.（1）32y x =−，23z x =−+ （2）当32x =时，min 12u =− 13.（1）一月Iphone4每台售价为4500元 （2）有5种进货方案（3）当100a =时（2）中所有方案获利相同 14. 36ABC S =△15.（1）9y x=− （2）15θ=°16.（1）2m =（2）1ABC S =△ 17.证明：如图，连接ED ，FD .∵BE 和CF 都是直径，∴ED BC ⊥，FD BC ⊥， ∴D ，E ，F 三点共线，连接AE ，AF ，则AEF ABC ACB AFD ∠=∠=∠=∠， ∴ABC AEF ∽△△. 作AH EF ⊥，重足为H .又∵AP BC ⊥，DF BC ⊥，∴四边形APDH 是矩形，∴AH PD =， ∵ABC AEF ∽△△，∴EF AHBC AP=， ∴EF PD BC AP=，∴tan PD EFPAD AP BC ∠==.18.证明：如图，连接AC ，AD ，BC ，BD ，并且分别过点C ，D 作CE AB ⊥，DF AB ⊥， 垂足分别为E ，F∴CE DF ∥，90AEC ∠=°，90BFD ∠=°. ∵AB 是O 的直径，∴90ACB ADB ∠=∠=°， 又∵CAB ∠是ACB △和AEC △的公共角. ∴ACB AEC ∽△△. ∴::AC AB AE AC =即22·PA AC AE AB ==，同理22·PB BD BF AB ==. 两式相减可得()22PA PB AB AE BF −=−，∴()()()22PA PB PA PB PA PB AB PA PB −=+−=−，∴AE BF PA PB −=−，即PA AE PB BF −=−， ∴PE PF =，∴点P 是线段EF 的中点， ∵M 是CD 的中点，∴MP 是直角梯形CDEF 的中位线， ∴MP AB ⊥，∴MP 分别与A 和B 相切.。

一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列数中，是负数的是（）A. -3B. 3C. 0D. -2.5答案：A2. 下列等式中，正确的是（）A. -2 + 3 = 5B. -2 - 3 = -5C. -2 × 3 = 6D. -2 ÷ 3 = -6答案：B3. 若 a > b，那么下列不等式中正确的是（）A. a + 2 > b + 2B. a - 2 > b - 2C. a × 2 > b × 2D. a ÷ 2 > b ÷ 2答案：A4. 下列数中，是偶数的是（）A. 1B. 2C. 3答案：B5. 下列图形中，是轴对称图形的是（）A. 矩形B. 正方形C. 圆D. 三角形答案：C二、填空题（每题5分，共25分）6. 3的相反数是__________，0的相反数是__________。

答案：-3，07. 若 |a| = 5，则 a 的值可以是__________或__________。

答案：5，-58. 下列数中，绝对值最小的是__________。

答案：09. 下列等式中，正确的是__________。

答案：-2 + 3 = 110. 若 a > b，且 c > d，那么下列不等式中正确的是__________。

答案：a + c > b + d三、解答题（每题10分，共30分）11. 解下列方程：（1）5x - 3 = 14（2）2(x + 3) = 4x - 8（1）5x = 14 + 35x = 17x = 17 ÷ 5x = 3.4（2）2x + 6 = 4x - 86 + 8 = 4x - 2x14 = 2xx = 14 ÷ 2x = 712. 计算下列各式的值：（1）( -3 )^2 × ( -2 )^3（2）(-1/2) × (-1/3) × 4答案：（1）9 × (-8) = -72（2）(-1/2) × (-1/3) × 4 = 1/6 × 4 = 2/313. 已知一个长方形的长是5cm，宽是3cm，求这个长方形的面积。