具有Size结构的捕食种群系统的最优收获策略
- 格式：pdf
- 大小：430.20 KB
- 文档页数：13
摘要：分析 了一类捕食者种 群带 有 Ｓｚ ｉｅ结构的捕食 一 被捕食 系统 的最优收获 问题 ．利用不动 点定理证 明了状态系统及 其共 轭系统非 负解 的存 在唯一性、解对控制变量 的连续依赖性 ．应 用切锥法锥技巧导出了最优性 条件，借助 Ｅ ｅａ ｄ变分 原理讨论 了最优 收获策略的存在唯一 ｋ ｌｎ
性，推 广了年龄结构种群模型 中的相应结论 ．
关键词： 最优控制；捕食 一 被捕食模 型； Ｓ ｅ ｉ 结构 ；切锥法锥； Ｅ ｅ ｎ ｚ ｋｌ ｄ变分原理 ． ａ
ＭＲ（０ ０ 主题分类：９Ｂ ５ ９Ｄ ５ ４Ｊ０ 中图分类号： １５１ 文献标识码： ２０ ） ２ ０ ； ２ ２ ；９ ２ Ｏ ７． Ａ 文章编号：１０—９８２１）１ ０１ ０３３９（０ ２０— ．３ ９
暧
数学物理学报
２１ ， Ａ（） ０ １２ ０ ２ ２ １： ０ ３ ９
ｈｔ ：ａｔｍｓ ｉ ａ． ｔ ／ ｃａ ． ｐ ｃｉ ｅ结构的捕食种群系统的最优 收获策略
刘 炎 。何 泽荣
（ 浙江大学数学系 杭州 ３０２ ； １０ ７ 。杭州 电 子科技大 学运筹与控制研 究所 杭州 ３ ０１ ） １０８
收稿 日期： ０ ０ １ —２ 修订 日期 ： ０ １１ —７ ２ １— ０２ ； ２ １ —２ １
Ｅ— ａ ｌ ｉ ａ ｍ ｉ：ｌｕｙ ｎＯｌ Ｏ ｉ ．ｏ ；ｚ ｈｅ ｈｄ ｅ ｌ ＠ｓｎａｃ ｒ ｎ ｒ ＠ ｕ．ｄｕ．ｎ ａ
基金项 目：国家 自然科学基金 （０ ７１９ １０１ １） １８ １７ ， １６０ ７ 资助
ｑＯ ＝ ｑ ０ （） ｏ ．
ｔ ０ ） ∈（ Ｔ ， ，
（３ ２） ．
（４ ２） ．
（． ２５ ）
８ ０ｒ） ∈（， ， ｎ
其中 Ｐ ｔ ＝ （ ｐｓｔ ｓ Ｑ ） （， ｄ ， ＝ （ ｍ） ０ ） 固定常数 ｍ， 分别表示捕食者种群个体的 ） ０ Ｘ（， ， ， 最大 Ｓｚ 收获周 期 ．其 他状 态变 量和参 数 含义如 下 ． ｉ ｅ和 ｐｓｔ ： 时刻 Ｓ ｅ ８ （， ｔ ） ｉ 为 的捕食者种群个体数量； ｑｔ： 时刻食饵种群个体数量； ２ ｚ （ ｔ ） ： 食饵种群个体的 自 然死亡率； （） 捕食种群个体的自然死亡率； （ ： ｓ： ｓ 捕食种群个体的 ） 平 均 繁殖率 ； ｇｓ ： （） 捕食 种群 个体 Ｓｚ ｉ ｅ的增 长率 ，即 ９ｓ ＝ 面， 失一般 性 ，假设捕 食种 群 （） ｄ． ｓ不 的新生个体 Ｓ ｅ ｉ 均为零； １ （ ） 捕食种群因密度制约产生的死亡率； ２ｇ ） ： ｚ （ ： Ｐ ） （（ ） 食饵到 ￡ 捕食者的能量转换函数； ３Ｐ ： （ （ ） 食饵种群由于被捕食产生的死亡率； ４ｑ ） ： ） （ 食饵种 （） 群对捕食种群出生率的作用因子； （， ，（ ： ｓ￡ ｔ 收获函数，为模型的控制变量并满足 ） ）
Ｎ． ｏ１
刘炎等：具有 Ｓ ｅ ｉ 结构的捕食种群系统的最优收获策略 ｚ
９ １
２ 捕食 ．被捕食模型
我们考 虑如 下模 型
ｐ（， ＋（（ ｐｓｔ ｔ ｔ ９ｓ （， ）＝一 （ ＋ｘ（ （ ） ｓ （ ） （ ｔｐｓｔ （， ∈Ｑ ｓ） ） ） １ ） ｌ ｔ 一ｘ （ ｔ ＋ｕｓ ） （ ） ｓｔ ｓ ｐ ） ｑ） ，】 ， ， ） Ｔ， （ １ ２） ．
ｄ ） ｑｔ （
—
＿
：
一
［ （ （ ） ２ （］（ ， Ｐ ＋ ＋ ｑｔ ３ ） ） ）
，ｍ
∈（， ） ０ ，
（． ２） ２
ｇ ） ０ｔ： ４ ＠） （ ｐ ， ｄ， （ ｐ ， （ ），０ ｓ （ ｔ ｓ ０（ ） 口 ｔ／ ）ｓ）
Ｐ８０ ＝ｐ （ ０ （，） ｏ ） ， ｓ
１ 引言
生物种群 （ 如江河海洋中的各种鱼类、 森林中的各种树木等） 作为一种可再生资源， 除了 对人们的生活产生直接的经济价值外， 还具有极其重要的生态环境价值． 在生物学和人口统 计学中， 建立基于年龄结构的种群模型是进行数学建模及控制的一种传统方法 （ 见文献 ［ ４ １ ］ — 及 其所 引 文献 ）深入 研 究生物 种群 的控 制策 略 ，对 保护 生物 多样 性 、管理 可再 生资 源、控 制 ． 病虫害及预防流行病等具有重要的意义． 考虑种群个体的年龄分布的控制问题的研究， 主要 文献可见文献 ［ １］而对多数种群而言 （ ５ ７ — ． 如森林、 江河海洋鱼类等）在描述种群个体的某些 ， 生理 特征 时，个体 的 Ｓｚ 标 比年龄 指标更 合适 。这里 的 Ｓｚ 表 示 与种 群个体 有关 的某 个 ｉ ｅ指 ｉｅ 连续 指标 ，例 如重 量 、长度 、直径 、体 积 、成 熟度 ，或 者显 示种 群个 体生 理或 统计 特征 的其 它数量指标．因此年龄结构是 Ｓ ｅ ｉ 结构的一种特殊情形．一般来说， Ｓ ｅ ｚ ｉ 指标比年龄指标 ｚ 更直 观 、更容 易 测量 ，并 且种群 个体 的 Ｓｚ 指 标对 其捕食 能 力 、繁殖 能力 有决 定性 影 响 ，也 ｉ ｅ 决定了个体对人类的商业价值．近年来，考虑个体 Ｓ ｅ ｉ 结构的种群模型引起了很多关注， ｚ 并得到 了 一些研 究成果 （ 见文献 ［ — ０）而对 于具 有 Ｓｚ １ ３］ ８ ． ｉ ｅ结构 种群模 型 的相 关控 制 问题 （ 如 可控性、最优控制等） 的研究还是很少， 并且其中关于控制问题的研究也均局限于对单个种 群 的研 究 （ 文献 『 — ０） 见 ２ ３ ］ ８ ． 至于带有 Ｓ ｅ ｉ 结构的多种群系统的最优收获问题，国内外至今未见研究报道 ．本文首 ｚ 先建立了一个基于 Ｓ ｅ因素和收获努力度的捕食 一 ｉ ｚ 被捕食模型，它是一个微分 一 积分方程 组的初边值问题． 之后分析 了状态系统及其共轭系统非负解的存在唯一性、 解对控制变量的 连 续 依赖性 ．然后 讨论 了最 优收 获 问题 ，证 明 了最 优 收获策 略 的存在 唯 一性 ，给 出 了相应 的 最 优 策略 的特 征刻 画．这些 结果 对 生物 资源 的开发 利用 无疑 具有 重要 的价 值 ．
