北京市2021届高三入学定位考试数学试题(含解析))

北京市西城区2021届高三数学第一次模拟考试试题（含解析）第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题:本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设集合{|3}{|02}A x x B x x x =<=，或，则A B ⋂=（ ） A. ()0-∞，B. ()23，C. ()()023-∞⋃，，D. ()3-∞，【答案】C 【解析】 【分析】直接求交集得到答案.【详解】集合{|3}{|02}A x x B x x x =<=，或，则()()023A B ⋂=-∞⋃，，. 故选：C .【点睛】本题考查了交集运算，属于简单题. 2.若复数()()31z i i =-+，则z =（ ）A. B.D. 20【答案】B 【解析】 【分析】 化简得到()()3142z i i i =-+=+，再计算模长得到答案.【详解】()()3142z i i i =-+=+，故z ==故选：B .【点睛】本题考查了复数的运算，复数的模，意在考查学生的计算能力. 3.下列函数中，值域为R 且为奇函数的是（ ） A. 2y x =+ B. y sinx = C. 3y x x =-D. 2xy =【答案】C 【解析】 【分析】依次判断函数的值域和奇偶性得到答案.【详解】A. 2y x =+，值域为R ，非奇非偶函数，排除； B. y sinx =，值域为[]1,1-，奇函数，排除； C. 3y x x =-，值域为R ，奇函数，满足； D. 2xy =，值域为()0,∞+，非奇非偶函数，排除；故选：C .【点睛】本题考查了函数的值域和奇偶性，意在考查学生对于函数知识的综合应用. 4.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31425a a a =+=，，则6S =（ ） A. 10 B. 9C. 8D. 7【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意3141152223a a a a d a d =+=+=+=，，解得14a =，1d =-，得到答案. 【详解】3141152223a a a a d a d =+=+=+=，，解得14a =，1d =-，故616159S a d =+=.故选：B .【点睛】本题考查了等差数列的求和，意在考查学生的计算能力.5.设()()2141A B -，，，，则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ）A. 22(3)2x y -+= B. 22(3)8x y -+= C. 22(3)2x y ++= D. 22(3)8x y ++=【答案】A 【解析】 【分析】计算AB 的中点坐标为()3,0，圆半径为r =.【详解】AB 的中点坐标为：()3,0，圆半径为22ABr ===，圆方程为22(3)2x y -+=. 故选：A .【点睛】本题考查了圆的标准方程，意在考查学生的计算能力. 6.设a b c ，，为非零实数，且a c b c >>，，则（ ） A. a b c +>B. 2ab c >C.a b2c +> D.112a b c+> 【答案】C 【解析】 【分析】取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误，根据不等式性质知C 正确，得到答案. 【详解】,a c b c >>，故2a b c +>，2a bc +>，故C 正确； 取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误； 故选：C .【点睛】本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用. 7.某四棱锥的三视图如图所示，记S 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）A. 2223S S ，且B. 2223S S ，且C. 2223S S ，且D. 2223S S ，且 【答案】D 【解析】【分析】如图所示：在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，四棱锥1C ABCD -满足条件，故{}2,22,23S =，得到答案.【详解】如图所示：在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，四棱锥1C ABCD -满足条件. 故12AB BCCD AD CC =====，1122BC DC ==，123AC =.故{}2,22,23S =，故22S ∈，23S ∈.故选：D .【点睛】本题考查了三视图，元素和集合的关系，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 8.设,a b 为非零向量，则“a b a b +=+”是“a 与b 共线”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共线的性质依次判断充分性和必要性得到答案.【详解】若a b a b +=+，则a 与b 共线，且方向相同，充分性； 当a 与b 共线，方向相反时，a b a b ≠++，故不必要. 故选：A .【点睛】本题考查了向量共线，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力. 9.已知函数()sinx12sinxf x =+的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（ ）①绕着x 轴上一点旋转180︒; ②沿x 轴正方向平移; ③以x 轴为轴作轴对称;④以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称. A. ①③ B. ③④C. ②③D. ②④【答案】D 【解析】 【分析】计算得到()()2f x k f x π+=，22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数是周期函数，轴对称图形，故②④正确，根据图像知①③错误，得到答案. 【详解】()sin 12sin xf x x=+，()()()()sin 2sin 212sin 212sin x k x f x k f x x k x πππ++===+++，k Z ∈，当沿x 轴正方向平移2,k k Z π∈个单位时，重合，故②正确；co sin 2212co s s s 12in2x f x x x x πππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-== ⎪+⎛⎫⎝⎭+- ⎪⎝⎭，co sin 2212co s s s 12in2x f x x x x πππ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭+== ⎪+⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭，故22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数关于2x π=对称，故④正确；根据图像知：①③不正确；故选：D .【点睛】本题考查了根据函数图像判断函数性质，意在考查学生对于三角函数知识和图像的综合应用.10.设函数()210100x x x f x lgx x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，若关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个实数解()1234i x i =，，，，其中1234x x x x <<<，则()()1234x x x x +-的取值范围是（ ） A. (]0101， B. (]099， C. (]0100， D. ()0+∞，【答案】B 【解析】 【分析】画出函数图像，根据图像知：1210x x +=-，341x x =，31110x ≤<，计算得到答案. 【详解】()21010lg 0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，，画出函数图像，如图所示：根据图像知：1210x x +=-，34lg lg x x =-，故341x x =，且31110x ≤<. 故()()(]1234330110,99x x x x x x ⎛⎫∈ ⎪⎭-⎝+-=-. 故选：B .【点睛】本题考查了函数零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，画出图像是解题的关键.第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.在61()x x+的展开式中，常数项为________.(用数字作答) 【答案】20 【解析】 【分析】61()x x+的展开式的通项为6216-+=r r r T C x ，取3r =计算得到答案.【详解】61()x x +的展开式的通项为：6621661rr r r rr T C x C xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，取3r =得到常数项3620C =.故答案为：20.【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.12.若向量()()221a x b x ==，，，满足3a b ⋅<，则实数x 的取值范围是____________. 【答案】()3,1- 【解析】 【分析】根据题意计算223a b x x ⋅=+<，解得答案.【详解】()()221a x b x ==，，，，故223a b x x ⋅=+<，解得31x -<<. 故答案为：()3,1-.【点睛】本题考查了向量的数量积，意在考查学生的计算能力.13.设双曲线2221(0)4x y b b -=>的一条渐近线方程为2y x =，则该双曲线的离心率为____________.【解析】 【分析】根据渐近线得到b =c =.【详解】2221(0)4x y b b -=>，一条渐近线方程为：y x =，故b =c =6c e a.故答案为：2【点睛】本题考查了双曲线的渐近线和离心率，意在考查学生的计算能力. 14.函数()24f x sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为________;若函数()f x 在区间()0α，上单调递增，则α的最大值为________.【答案】 (1). π (2). 8π 【解析】 【分析】直接计算得到答案，根据题意得到2,2444x πππα⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，242ππα+≤，解得答案.【详解】()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故22T ππ==，当()0,x α∈时，2,2444x πππα⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭， 故242ππα+≤，解得8πα≤.故答案为：π；8π. 【点睛】本题考查了三角函数的周期和单调性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用. 15.在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中:甲校男生成绩的优秀率为70%，女生成绩的优秀率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%，女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试，给出下列三个结论:①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率;③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中，所有正确结论的序号是____________. 【答案】②③ 【解析】 【分析】根据局部频率和整体频率的关系，依次判断每个选项得到答案. 【详解】不能确定甲乙两校的男女比例，故①不正确；因为甲乙两校的男生的优秀率均大于女生成绩的优秀率，故甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率，故②正确；因为不能确定甲乙两校的男女比例，故不能确定甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系，故③正确. 故答案为：②③.【点睛】本题考查局部频率和整体频率的关系，意在考查学生的理解能力和应用能力. 三、解答题:本大题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 满足AD ∥BC ，且1222.AB AD AA BD DC =====，(Ⅰ)求证:AB ⊥平面11ADD A ;(Ⅱ)求直线AB 与平面11B CD 所成角的正弦值.【答案】(Ⅰ) 证明见解析；(Ⅱ)66【解析】 【分析】(Ⅰ)证明1AA AB ⊥，根据222AB AD BD +=得到AB AD ⊥，得到证明.(Ⅱ) 如图所示，分别以1,,AB AD AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，平面11B CD 的法向量()1,1,2n =，()2,0,0AB =，计算向量夹角得到答案.【详解】(Ⅰ) 1AA ⊥平面ABCD ，AB平面ABCD ，故1AA AB ⊥.2AB AD ==，22BD =，故222AB AD BD +=，故AB AD ⊥.1AD AA A ⋂=，故AB ⊥平面11ADD A .(Ⅱ)如图所示：分别以1,,AB AD AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()12,0,2B ，()2,4,0C ，()10,2,2D .设平面11B CD 的法向量(),,n x y z =，则11100n B C n B D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即420220y z x y -=⎧⎨-+=⎩，取1x =得到()1,1,2n =，()2,0,0AB =，设直线AB 与平面11B CD 所成角为θ故6sin cos ,626n AB n AB n ABθ⋅====⋅.【点睛】本题考查了线面垂直，线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 17.已知ABC 满足 ，且263b A π==，，求sinC 的值及ABC 的面积.（从①4B π=，②3a =32a sinB =这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答.）【答案】见解析 【解析】 【分析】 选择①时：4B π=,23A π=，计算62sin 4C =3a =，计算面积得到答案；选择②时，3a =6b ，故B A >，A 为钝角，故无解；选择③时，32a B =，根据正弦定理解得2sin B 62sin 4C =，根据正弦定理得到3a =，计算面积得到答案.详解】选择①时：4B π=,23A π=，故()62sin sin sin cos cos sin C A B A B A B -=+=+=根据正弦定理：sin sin a b A B =，故3a =，故1933sin 2S ab C -==. 选择②时，3a =，6b =，故B A >，A 为钝角，故无解.选择③时，32sin a B =，根据正弦定理：sin sin a bA B=，故6sin 332sin B B =， 解得2sin B =，()62sin sin sin cos cos sin 4C A B A B A B -=+=+=. 根据正弦定理：sin sin a b A B =，故3a =，故1933sin 2S ab C -==. 【点睛】本题考查了三角恒等变换，正弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.18.2021年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数;(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X ，求X 的分布列和数学期望;(Ⅲ)为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000)，并在每组中随机选取m 个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据，以频率作为概率，给出m 的最小值.(结论不要求证明) 【答案】(Ⅰ)5万；(Ⅱ)分布列见解析，()34E X = ；(Ⅲ)4 【解析】【分析】(Ⅰ)根据比例关系直接计算得到答案.(Ⅱ) X 的可能取值为0,1,2，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.(Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为101202p == ，故1190%2m⎛⎫<- ⎪⎝⎭，解得答案. 【详解】(Ⅰ)样本中女生英语成绩在80分以上的有2人，故人数为：250520⨯=万人. (Ⅱ) 8名男生中，测试成绩在70分以上的有3人，X 的可能取值为：0,1,2.()25285014C p X C ===，()11532815128C C p X C ===，()23283328C p X C ===.故分布列为：()515330121428284E X =⨯+⨯+⨯=. (Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为101202p == ，故1190%2m⎛⎫<- ⎪⎝⎭，故4m ≥. 故m 的最小值为4.【点睛】本题考查了样本估计总体，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.19.设函数()()22f x alnx x a x =+-+，其中.a R ∈(Ⅰ)若曲线()y f x =在点()()22f ，处切线的倾斜角为4π，求a 的值; (Ⅱ)已知导函数()'f x 在区间()1e ，上存在零点，证明:当()1x e ∈，时，()2f x e >-. 【答案】(Ⅰ)2a =；(Ⅱ)证明见解析 【解析】 【分析】(Ⅰ)求导得到()()'22a f x x a x =+-+，()'ta 12n 4f π==，解得答案. (Ⅱ) ()()()12'0x x a f x x--==，故02a x=，()f x 在()01,x 上单调递减，在()0,x e 上单调递增，()20000min 2ln 2f x x x x x =--，设()22ln 2g x x x x x =--，证明函数单调递减，故()()2min g x g e e >=-，得到证明.【详解】(Ⅰ)()()2ln 2f x a x x a x =+-+，故()()'22af x x a x=+-+， ()()'42tan 1242a f a π=+-+==，故2a =. (Ⅱ) ()()()()12'220x x a af x x a x x--=+-+==，即()22,a x e =∈，存在唯一零点， 设零点为0x ，故()()000'220af x x a x =+-+=，即02a x =， ()f x 在()01,x 上单调递减，在()0,x e 上单调递增，故()()()()0220000i 0000m n ln 22ln 22a x x a x x x f x f x x x x +-+=+-+==200002ln 2x x x x =--，设()22ln 2g x x x x x =--，则()'2ln 2g x x x =-，设()()'2ln 2h x g x x x ==-，则()2'20h x x=-<，()h x 单调递减， ()()1'12h g ==-，故()'2ln 20g x x x =-<恒成立，故()g x 单调递减. ()()2min g x g e e >=-，故当()1x e ∈，时，()2f x e >-.【点睛】本题考查了函数切线问题，利用导数证明不等式，转化为函数的最值是解题的关键.20.设椭圆22:12x E y +=，直线1l 经过点()0M m ，，直线2l 经过点()0N n ，，直线1l 直线2l ，且直线12l l ，分别与椭圆E 相交于A B ，两点和C D ，两点.(Ⅰ)若M N ，分别为椭圆E 的左、右焦点，且直线1l x ⊥轴，求四边形ABCD 的面积; (Ⅱ)若直线1l 的斜率存在且不为0，四边形ABCD 为平行四边形，求证:0m n +=;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，判断四边形ABCD 能否为矩形，说明理由. 【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)不能，证明见解析 【解析】 【分析】(Ⅰ)计算得到故2A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，1,2B ⎛-- ⎝⎭，1,2C ⎛ ⎝⎭，1,2D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，计算得到面积. (Ⅱ) 设1l 为()y k x m =-，联立方程得到2122221224212221k mx x k k m x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，计算AB =，同理CD =AB CD =得到22m n =，得到证明.(Ⅲ) 设AB 中点为(),P a b ，根据点差法得到20a kb +=，同理20c kd +=，故112PQ k k k=-≠-，得到结论. 【详解】(Ⅰ)()1,0M -，()1,0N ，故A ⎛- ⎝⎭，1,2B ⎛-- ⎝⎭，C ⎛ ⎝⎭，1,D ⎛ ⎝⎭. 故四边形ABCD的面积为S =(Ⅱ)设1l 为()y k x m =-，则()2212x y y k x m ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，故()22222214220k x k mx m k +-+-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，故2122221224212221k m x x k k m x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，12AB x =-==同理可得CD =，AB CD ==， 即22m n =，m n ≠，故0m n +=.(Ⅲ)设AB 中点为(),P a b ，则221112x y +=，222212x y +=，相减得到()()()()1212121202x x x x y y y y +-++-=，即20a kb +=，同理可得：CD 的中点(),Q c d ，满足20c kd +=， 故11222PQ d b d b k c a kd kb k k--===-≠---+，故四边形ABCD 不能为矩形. 【点睛】本题考查了椭圆内四边形的面积，形状，根据四边形形状求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 21.对于正整数n ，如果()*k k N∈个整数12ka a a ⋯，，，满足121k a a a n ≤≤≤⋯≤≤，且12k a a a n ++⋯+=，则称数组()12k a a a ⋯，，，为n 的一个“正整数分拆”.记12k a a a ⋯，，，均为偶数的“正整数分拆”的个数为12n k f a a a ⋯，，，，均为奇数的“正整数分拆”的个数为n g .(Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”;(Ⅱ)对于给定的整数()4n n ≥，设()12k a a a ⋯，，，是n 的一个“正整数分拆”，且12a =，求k 的最大值;(Ⅲ)对所有的正整数n ，证明:n n f g ≤;并求出使得等号成立的n 的值.(注:对于n 的两个“正整数分拆”()12k a a a ⋯，，，与()12m b b b ⋯，，，，当且仅当k m =且1122k m a b a b a b ==⋯=，，，时，称这两个“正整数分拆”是相同的.)【答案】(Ⅰ) ()1,1,1,1，()1,1,2，()1,3，()2,2，()4；(Ⅱ) n 为偶数时，2nk =，n 为奇数时，12n k -=；(Ⅲ)证明见解析，2n =，4n = 【解析】 【分析】(Ⅰ)根据题意直接写出答案.(Ⅱ)讨论当n 为偶数时，k 最大为2n k =，当n 为奇数时，k 最大为12n k -=，得到答案.(Ⅲ) 讨论当n 为奇数时，0n f =，至少存在一个全为1的拆分，故n n f g <，当n 为偶数时， 根据对应关系得到n n f g ≤，再计算221f g ==，442f g ==，得到答案.【详解】(Ⅰ)整数4的所有“正整数分拆”为：()1,1,1,1，()1,1,2，()1,3，()2,2，()4.(Ⅱ)当n 为偶数时，123...2k a a a a =====时，k 最大为2n k =； 当n 为奇数时，1231...2,3k k a a a a a -======时，k 最大为12n k -=；综上所述：n 为偶数，k 最大为2n k =，n 为奇数时，k 最大为12n k -=.(Ⅲ)当n 为奇数时，0n f =，至少存在一个全为1的拆分，故n n f g <； 当n 为偶数时，设()12,,...,k a a a 是每个数均为偶数的“正整数分拆”，则它至少对应了()1,1,...,1和()121,1,...,1,1,...,1k a a a ---的均为奇数的“正整数分拆”， 故n n f g ≤. 综上所述：n n f g ≤.当2n =时，偶数“正整数分拆”为()2，奇数“正整数分拆”为()1,1，221f g ==； 当4n =时，偶数“正整数分拆”为()2,2，()4，奇数“正整数分拆”为()1,1,1,1，()1,3 故442f g ==；当6n ≥时，对于偶数“正整数分拆”，除了各项不全为1的奇数拆分外，至少多出一项各项均为1的“正整数分拆”，故n n f g <.综上所述：使n n f g =成立的n 为：2n =或4n =.【点睛】本土考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.。

加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好! 经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！12021年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{}|11A x x =-<<，{}|02B x x =≤≤，则A B = （）A.()1,2- B.(1,2]- C.[0,1)D.[0,1]【答案】B 【解析】【分析】结合题意利用并集的定义计算即可.【详解】由题意可得：{}|12A B x x =-<≤ ，即(]1,2A B =- .故选：B.2.在复平面内，复数z 满足(1)2i z -=，则z =（）A.2i + B.2i- C.1i- D.1i+【答案】D 【解析】【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得：()()()()2121211112i i z i i i i ++====+--+.故选：D.3.已知()f x 是定义在上[0,1]的函数，那么“函数()f x 在[0,1]上单调递增”是“函数()f x 在[0,1]上的最大值为(1)f ”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.【详解】若函数()f x 在[]0,1上单调递增，则()f x 在[]0,1上的最大值为()1f ，若()f x 在[]0,1上的最大值为()1f ，比如()213f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，但()213f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦为减函数，在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数，故()f x 在[]0,1上的最大值为()1f 推不出()f x 在[]0,1上单调递增，故“函数()f x 在[]0,1上单调递增”是“()f x 在[]0,1上的最大值为()1f ”的充分不必要条件，故选：A.4.某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（）A.332+ B.4C.3D.2【答案】A 【解析】【分析】根据三视图可得如图所示的几何体（三棱锥），根据三视图中的数据可计算该几何体的表面积.【详解】根据三视图可得如图所示的几何体-正三棱锥O ABC -，其侧面为等腰直角三角形，底面等边三角形，由三视图可得该正三棱锥的侧棱长为1，故其表面积为21333311242+⨯⨯⨯+=，故选：A.5.双曲线2222:1x y C a b -=过点2,3，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（）A.2213y x -= B.2213x y -= C.22313x -= D.22313y -=【答案】A 【解析】【分析】分析可得3b a =，再将点2,3代入双曲线的方程，求出a 的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c e a == ，则2c a =，223b c a a =-=，则双曲线的方程为222213x ya a-=，将点2,3的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a =，故3b =，因此，双曲线的方程为2213y x -=.故选：A.6.{}n a 和{}n b 是两个等差数列，其中()15k kak b ≤≤为常值，1288a=，596=a ，1192b =，则3b =（）A.64B.128C.256D.512【答案】B 【解析】【分析】由已知条件求出5b 的值，利用等差中项的性质可求得3b 的值.【详解】由已知条件可得5115a ab b =，则51519619264288a b b a ⨯===，因此，1531926412822b b b ++===.故选：B.7.函数()cos cos 2f x x x =-，试判断函数的奇偶性及最大值（）A.奇函数，最大值为2B.偶函数，最大值为2C.奇函数，最大值为98 D.偶函数，最大值为98【答案】D 【解析】【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.【详解】由题意，()()()()cos cos 2cos cos 2f x x x x x f x -=---=-=，所以该函数为偶函数，又2219()cos cos 22cos cos 12cos 48f x x x x x x ⎛⎫=-=-++=--+ ⎪⎝⎭，所以当1cos 4x =时，()f x 取最大值98.故选：D.8.定义：24小时内降水在平地上积水厚度（mm ）来判断降雨程度．其中小雨（10mm <），中雨（10mm 25mm -），大雨（25mm 50mm -），暴雨（50mm 100mm -），小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（）A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨【答案】B【解析】【分析】计算出圆锥体积，除以圆面的面积即可得降雨量，即可得解.【详解】由题意，一个半径为()200100mm 2=的圆面内的降雨充满一个底面半径为()20015050mm 2300⨯=，高为()150mm 的圆锥，所以积水厚度()22150150312.5mm 100d ππ⨯⨯==⨯，属于中雨.故选：B.9.已知圆22:4C x y +=，直线:l y kx m =+，当k 变化时，l 截得圆C 弦长的最小值为2，则m =（）A.2±B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出m 【详解】由题可得圆心为()0,0，半径为2，则圆心到直线的距离d =，则弦长为则当0k =时，弦长取得最小值为2=，解得m =.故选：C.10.数列{}n a 是递增的整数数列，且13a ≥，12100n a a a ++⋅⋅⋅+=，则n 的最大值为（）A.9B.10C.11D.12【答案】C 【解析】【分析】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式即可得解.【详解】若要使n 尽可能的大，则1a ，递增幅度要尽可能小，不妨设数列{}n a 是首项为3，公差为1的等差数列，其前n 项和为n S ，则2n a n =+，1131311881002S +=⨯=<，12314121021002S +=⨯=>，所以n 的最大值为11.故选：C.第二部分（非选择题共110分）二、填空题5小题，每小题5分，共25分．11.341()x x-展开式中常数项为__________．【答案】4-【解析】【详解】试题分析：431x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项()()431241441C 1C ,rrr rr rr T xx x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令3r =得常数项为()33441C 4T =-=-.考点：二项式定理.12.已知抛物线2:4C y x =，焦点为F ，点M 为抛物线C 上的点，且6FM =，则M 的横坐标是_______；作MN x ⊥轴于N ，则FMN S = _______．【答案】①.5②.【解析】【分析】根据焦半径公式可求M 的横坐标，求出纵坐标后可求FMN S .【详解】因为抛物线的方程为24y x =，故2p =且()1,0F .因为6MF =，62M px +=，解得5M x =，故M y =±，所以()1512FMN S =⨯-⨯ ，故答案为：5，13.(2,1)a = ，(2,1)b =-，(0,1)c = ，则()a b c +⋅= _______；a b ⋅=_______．【答案】①.0②.3【解析】【分析】根据坐标求出a b +，再根据数量积的坐标运算直接计算即可.【详解】(2,1),(2,1),(0,1)a b c ==-=，()4,0a b ∴+= ，()40010a b c +⋅=⨯+∴⨯=，()22113a b ∴⋅=⨯+⨯-=.故答案为：0；3.14.若点(cos ,sin )P θθ与点(cos(66Q ππθθ++关于y 轴对称，写出一个符合题意的θ=___．【答案】512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可）【解析】【分析】根据,P Q 在单位圆上，可得,6πθθ+关于y 轴对称，得出2,6k k Z πθθππ++=+∈求解.【详解】 (cos ,sin )P θθ与cos ,sin 66Q ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭关于y 轴对称，即,6πθθ+关于y 轴对称，2,6k k Z πθθππ++=+∈，则5,12k k Z πθπ=+∈，当0k =时，可取θ的一个值为512π.故答案为：512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可）.15.已知函数()lg 2f x x kx =--，给出下列四个结论：①若0k =，则()f x 有两个零点；②0k ∃<，使得()f x 有一个零点；③0k ∃<，使得()f x 有三个零点；④0k ∃>，使得()f x 有三个零点．以上正确结论得序号是_______．【答案】①②④【解析】【分析】由()0f x =可得出lg 2x kx =+，考查直线2y kx =+与曲线()lg g x x =的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.【详解】对于①，当0k =时，由()lg 20f x x =-=，可得1100x =或100x =，①正确；对于②，考查直线2y kx =+与曲线()lg 01y x x =-<<相切于点(),lg P t t -，对函数lg y x =-求导得1ln10y x '=-，由题意可得2lg 1ln10kt t k t +=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得100100lg e t k e e ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以，存在100lg 0k e e=-<，使得()f x 只有一个零点，②正确；对于③，当直线2y kx =+过点()1,0时，20k +=，解得2k =-，所以，当100lg 2e k e-<<-时，直线2y kx =+与曲线()lg 01y x x =-<<有两个交点，若函数()f x 有三个零点，则直线2y kx =+与曲线()lg 01y x x =-<<有两个交点，直线2y kx =+与曲线()lg 1y x x =>有一个交点，所以，100lg 220e k e k ⎧-<<-⎪⎨⎪+>⎩，此不等式无解，因此，不存在0k <，使得函数()f x 有三个零点，③错误；对于④，考查直线2y kx =+与曲线()lg 1y x x =>相切于点(),lg P t t ，对函数lg y x =求导得1ln10y x '=，由题意可得2lg 1ln10kt t k t +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得100lg 100t ee k e =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以，当lg 0100ek e<<时，函数()f x 有三个零点，④正确.故答案为：①②④.【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.已知在ABC 中，2cos c b B =，23C π=．（1）求B 的大小；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，并求出BC 边上的中线的长度．①c =；②周长为4+；③面积为ABC S ∆=；【答案】（1）6π；（2）答案不唯一，具体见解析．【解析】【分析】（1）由正弦定理化边为角即可求解；（2）若选择①：由正弦定理求解可得不存在；若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求；若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求.【详解】（1）2cos c b B = ，则由正弦定理可得sin 2sin cos C B B =，23sin 2sin 32B π∴==，23C π= ，0,3B π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，220,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，23B π∴=，解得6B π=；（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得3sin 21sin 2c Cb B===，与c =矛盾，故这样的ABC 不存在；若选择②：由（1）可得6A π=，设ABC 的外接圆半径为R ，则由正弦定理可得2sin6a b R R π===，22sin 3c R π==，则周长24a b c R ++=+=+解得2R =，则2,a c ==，由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为：=；若选择③：由（1）可得6A π=，即a b =，则211333sin 2224ABC Sab C a ==⨯= ，解得a=则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：2.17.已知正方体1111ABCD A B C D -，点E 为11A D 中点，直线11B C 交平面CDE 于点F ．（1）证明：点F 为11B C 的中点；（2）若点M 为棱11A B 上一点，且二面角M CF E --的余弦值为53，求111A M A B 的值．【答案】（1）证明见解析；（2）11112A M A B =．【解析】【分析】(1)首先将平面CDE 进行扩展，然后结合所得的平面与直线11B C 的交点即可证得题中的结论；(2)建立空间直角坐标系，利用空间直角坐标系求得相应平面的法向量，然后解方程即可求得实数λ的值.【详解】(1)如图所示，取11B C 的中点'F ，连结,','DE EF F C ，由于1111ABCD A B C D -为正方体，,'E F 为中点，故'EF CD ，从而,',,E F C D 四点共面，即平面CDE 即平面'CDEF ，据此可得：直线11B C 交平面CDE 于点'F ，当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点F 与点'F 重合，即点F 为11B C 中点.(2)以点D 为坐标原点，1,,DA DC DD 方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方形，建立空间直角坐标系D xyz -，不妨设正方体的棱长为2，设()11101A M A B λλ=≤≤，则：()()()()2,2,2,0,2,0,1,2,2,1,0,2M C F E λ，从而：()()()2,22,2,1,0,2,0,2,0MC CF FE λ=---==- ，设平面MCF 的法向量为：()111,,m x y z = ，则：()111112222020m MC x y z m CF x z λ⎧⋅=-+--=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令11z =-可得：12,,11m λ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，设平面CFE 的法向量为：()222,,n x y z = ，则：2222020n FE y n CF x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令11z =-可得：()2,0,1n =- ，从而：5,m n m n ⋅===则：,5cos 3m n m n m n ⋅==⨯ ，整理可得：()2114λ-=，故12λ=（32λ=舍去）.【点睛】本题考查了立体几何中的线面关系和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.18.为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k 合1检测法”，即将k 个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒．（1）①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为111，定义随机变量X 为总检测次数，求检测次数X 的分布列和数学期望E (X )；（2）若采用“5合1检测法”，检测次数Y 的期望为E (Y )，试比较E (X )和E (Y )的大小(直接写出结果)．【答案】（1）①20次；②分布列见解析；期望为32011；（2）见解析．【解析】【分析】（1）①由题设条件还原情境，即可得解；②求出X 的取值情况，求出各情况下的概率，进而可得分布列，再由期望的公式即可得解；（2）求出()E Y ，分类即可得解.【详解】（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；所以总检测次数为20次；②由题意，X 可以取20，30，()12011P X ==，()1103011111P X ==-=，则X 的分布列:X2030P 1111011所以()1103202030111111E X =⨯+⨯=；（2）由题意，Y 可以取25，30，设两名感染者在同一组的概率为p ，()25P Y p ==，()301P Y p ==-，则()()25301305E Y p p p =+-=-，若211p =时，()()E X E Y =；若211p >时，()()E X E Y >；若211p <时，()()E X E Y <.19.已知函数()232x f x x a -=+．（1）若0a =，求()y f x =在()()1,1f 处切线方程；（2）若函数()f x 在1x =-处取得极值，求()f x 的单调区间，以及最大值和最小值．【答案】（1）450x y +-=；（2）函数()f x 的增区间为(),1-∞-、()4,+∞，单调递减区间为()1,4-，最大值为1，最小值为14-.【解析】【分析】（1）求出()1f 、()1f '的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）由()10f '-=可求得实数a 的值，然后利用导数分析函数()f x 的单调性与极值，由此可得出结果.【详解】（1）当0a =时，()232x f x x -=，则()()323x f x x-'=，()11f ∴=，()14f '=-，此时，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()141y x -=--，即450x y +-=；（2）因为()232x f x x a-=+，则()()()()()()222222223223x a x x x x a f x x a x a -+----'==++，由题意可得()()()224101a f a -'-==+，解得4a =，故()2324x f x x -=+，()()()()222144x x f x x +-'=+，列表如下：x(),1-∞-1-()1,4-4()4,+∞()f x '+0-0+()f x 增极大值减极小值增所以，函数()f x 的增区间为(),1-∞-、()4,+∞，单调递减区间为()1,4-.当32x <时，()0f x >；当32x >时，()0f x <.所以，()()max 11f x f =-=，()()min 144f x f ==-.20.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点(0,2)A -，以四个顶点围成的四边形面积为（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点P (0，-3)的直线l 斜率为k ，交椭圆E 于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 交y =-3于点M 、N ，直线AC 交y =-3于点N ，若|PM |+|PN |≤15，求k 的取值范围．【答案】（1）22154x y +=；（2）[3,1)(1,3]--⋃．【解析】【分析】（1）根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求,a b ，从而可求椭圆的标准方程.（2）设()()1122,,,B x y C x y ，求出直线,AB AC 的方程后可得,M N 的横坐标，从而可得PM PN +，联立直线BC 的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简PM PN +，从而可求k 的范围，注意判别式的要求.【详解】（1）因为椭圆过()0,2A -，故2b =，因为四个顶点围成的四边形的面积为1222a b ⨯⨯=，即a =，故椭圆的标准方程为：22154x y +=.（2）设()()1122,,,B x y C x y ，因为直线BC 的斜率存在，故120x x ≠，故直线112:2y AB y x x +=-，令3y =-，则112M x x y =-+，同理222N x x y =-+.直线:3BC y kx =-，由2234520y kx x y =-⎧⎨+=⎩可得()224530250k x kx +-+=，故()22900100450k k∆=-+>，解得1k <-或1k >.又1212223025,4545k x x x x k k +==++，故120x x >，所以0M N x x >又1212=22M N x x PM PN x x y y +=++++()()2212121222212121222503024545=5253011114545k k kx x x x x x k k k k k kx kx k x x k x x k k--++++===---++-+++故515k ≤即3k ≤，综上，31k -≤<-或13k <≤.21.定义p R 数列{}n a ：对实数p ，满足：①10a p +≥，20a p +=；②414,n n n N a a *-∀∈<；③{},1m n m n m n a a a p a a p +∈+++++，,m n N *∈．（1）对于前4项2，-2，0，1的数列，可以是2R 数列吗？说明理由；（2）若{}n a 是0R 数列，求5a 的值；（3）是否存在p ，使得存在p R 数列{}n a ，对10,n n N S S *∀∈≥？若存在，求出所有这样的p ；若不存在，说明理由．【答案】（1）不可以是2R 数列；理由见解析；（2）51a =；（3）存在；2p =．【解析】【分析】(1)由题意考查3a 的值即可说明数列不是2R 数列；(2)由题意首先确定数列的前4项，然后讨论计算即可确定5a 的值；(3)构造数列n n b a p =+，易知数列{}n b 是0R 的，结合(2)中的结论求解不等式即可确定满足题意的实数p 的值.【详解】(1)由性质③结合题意可知{}3121202,21{2,3}a a a a a =∈+++++=，矛盾，故前4项2,2,0,1-的数列，不可能是2R 数列.(2)性质①120,0a a ≥=，由性质③{}2,1m m m a a a +∈+，因此31a a =或311a a =+，40a =或41a =，若40a =，由性质②可知34a a <，即10a <或110a +<，矛盾；若4311,1a a a ==+，由34a a <有111a +<，矛盾.因此只能是4311,a a a ==.又因为413a a a =+或4131a a a =++，所以112a =或10a =.若112a =，则{}{}{}2111111110,012,211,2a a a a a a a a +=∈+++++=+=，不满足20a =，舍去.当10a =，则{}n a 前四项为:0，0，0，1，下面用纳法证明()444(1,2,3),1n i n a n i a n n N ++===+∈：当0n =时，经验证命题成立，假设当(0)n k k ≤≥时命题成立，当1n k =+时：若1i =，则()()4541145k k j k j a a a +++++-==，利用性质③：{}*45,144{,1}j k j a a j N j k k k +-+∈≤≤+=+∣，此时可得：451k a k +=+；否则，若45k a k +=，取0k =可得：50a =，而由性质②可得：{}5141,2a a a =+∈，与50a =矛盾.同理可得：{}*46,145{,1}j k j aa j N j k k k +-+∈≤≤+=+∣，有461k a k +=+；{}*48,246{1,2}j k j aa j N j k k k +-+∈≤≤+=++∣，有482k a k +=+；{}*47,146{1}j k j a a j N j k k +-+∈≤≤+=+∣，又因为4748k k a a ++<，有47 1.k a k +=+即当1n k =+时命题成立，证毕.综上可得：10a =，54111a a ⨯+==.(3)令n n b a p =+，由性质③可知：*,,m n m n m n N b a p ++∀∈=+∈{},1m n m n a p a p a p a p +++++++{},1m n m n b b b b =+++，由于11224141440,0,n n n n b a p b a p b a p a p b --=+≥=+==+<+=，因此数列{}n b 为0R 数列.由（2）可知:若444,(1,2,3),1n i n n N a n p i a n p ++∀∈=-==+-；11111402320a S S a p ⨯+-==-≥=，91010422(2)0S S a a p ⨯+-=-=-=--≥，因此2p =，此时1210,,,0a a a ⋯≤，()011j a j ≥≥，满足题意.【点睛】本题属于数列中的“新定义问题”，“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.。

顺义区2021届高三第一次统练数学试卷考生须知1.本试卷共4页，共两部分，21道小题，满分150分，考试时间120分钟．2.在答题卡上准确填写学校名称、姓名、班级和教育ID 号．3.试题答案一律填涂或书写在答题卡，在试卷上作答无效．4.在答题卡上，选择题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5.考试结束后，请将答题卡上交．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）设集合()(){}=120M x x x -+<，{}1N x x =≥-，则M N =A.()2,1- B.[)1,1- C.[)1,-+∞ D.()1,1-（2）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(3,1)，则1z=A.31i 88- B.13i 1010- C.31i 44- D.31i 1010-（3）在61()x x+的展开式中，常数项为A.15B.30C.20D.40（4）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.13B.16C.1D.23（5）我国古代数学论著中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯二百五十四，请问底层几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了254盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的底层共有灯A ．32盏B ．64盏C ．128盏D.196盏（6）设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，若C 的一条渐近线的斜率为23，则C 的离心率为A .3B .2C .3D .2（7）已知a b ∈R ，，且a b >，则下列不等式中不恒成立的是A.a b >B.0a b +>C.11a b> D.22a b >（8）已知两条直线m ，n 和平面α，且nα，则“m n ⊥”是“m α⊥”的A.充分必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件（9）在ABC ∆中，3=6b c B π==，，，则cos C =A ．32B ．12C ．32-D.12-（10）已知函数1()3x axf x x+=-．若存在0(,1)x ∈-∞-，使得0()0f x =，则实数a 的取值范围是A ．4(,)3-∞B ．4(0,)3C ．(,0)-∞ D.4(,)3+∞第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．（11）tan()4π-=．（12）设抛物线2y mx =的焦点为(1,0)F ，则m =_____；若点A 在抛物线上，且3AF =，则点A 的坐标为______．（13）已知函数2()f x ax bx c =++，能说明()f x 既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递减的一组整数a b c ，，的值依次是______．（14）已知单位向量，a b 满足2=a b ，则a 与b 夹角的大小为_____；x -a b （R x ∈）的最小值为______．（15）已知椭圆22:1168x y C +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线(44)x m m =-<<与椭圆C 相交于点A ，B ．给出下列三个命题：①存在唯一一个m ，使得12AF F ∆为等腰直角三角形；②存在唯一一个m ，使得1ABF ∆为等腰直角三角形；③存在m ，使1ABF ∆的周长最大．其中，所有真命题的序号为__________．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．（16）（本小题满分13分）在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ^平面ABC ，AB AC ^，1AB AC AA ==，E 是11A C 的中点．（Ⅰ）求证：AB CE ^；（Ⅱ）求二面角B CE A --的余弦值．（17）（本小题满分14分）函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A >，0ω>，0)2πϕ<<的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）求函数()(2cos 26g x f x x π=--在区间[0,2π上的最小值．（18）（本小题满分14分）为了解顾客对五种款式运动鞋的满意度，厂家随机选取了2000名顾客进行回访，调查结果如下表：运动鞋款式A B C D E 回访顾客（人数）700350300250400满意度0.30.50.70.50.6注：1.满意度是指：某款式运动鞋的回访顾客中，满意人数与总人数的比值；2.对于每位回访顾客，只调研一种款式运动鞋的满意度．假设顾客对各款式运动鞋是否满意相互独立，用顾客对某款式运动鞋的满意度估计对该款式运动鞋满意的概率．（Ⅰ）从所有的回访顾客中随机抽取1人，求此人是C 款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率；（Ⅱ）从A 、E 两种款式运动鞋的回访顾客中各随机抽取1人，设其中满意的人数为X ，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）用“1ξ=”和“0ξ=”分别表示对A 款运动鞋满意和不满意，用“1η=”和“0η=”分别表示对B 款运动满意和不满意，试比较方差()D ξ与()D η的大小．（结论不要求证明）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>经过点()0,1M 和1)2N ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 交于A ，B 两点，且坐标原点O 到直线l 的距离为5．求证：以AB 为直径的圆经过点O ．（20）（本小题满分15分）已知函数()()2ln 0f x x a x a =->.（Ⅰ）若2a =,求曲线()y f x =的斜率等于3的切线方程；（Ⅱ）若()x f 在区间1[,]e e上恰有两个零点，求a 的取值范围.已知{}n a 是无穷数列．给出两个性质：①对于{}n a 中任意两项(),i j a a i j >，在{}n a 中都存在一项m a ，使得2i j m a a a -=；②对于{}n a 中任意项(3)n a n ，在{}n a 中都存在两项()k l a a k l >,，使得2n k l a a a =-.(Ⅰ)若2(1,2,)n n a n == ，判断数列{}n a 是否满足性质①，说明理由；(Ⅱ)若(1,2,)n a n n == ，判断数列{}n a 是否同时满足性质①和性质②，说明理由；(Ⅲ)若{}n a 是递增数列，10a =，且同时满足性质①和性质②，证明：{}n a 为等差数列.顺义区2021届高三第一次统练数学试卷参考答案一.选择题（共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项）二.填空题(本大题共5个小题,每小题5分,共25分)11.1-；12.4，(2,22)±(前3分，后2分)；13.1,0,1-（答案不唯一）；14.4π，22(前3分，后2分)；15.①③三．解答题（本大题共6小题，共85分,其它答案参考给分）16．（本小题共13分）解：（Ⅰ）因为1CC ^平面ABC ，所以1CC AB ^.-----------------2分又AB AC ^，AC Ì平面11AAC C ，1CC Ì平面11AAC C ，所以AB ^平面11AAC C .---------------4分因为CE Ì平面11AAC C ，题号12345678910答案BDAACACCDB所以AB CE ^.-----------------5分（Ⅱ）在三棱柱111ABC A B C -中，11CC AA P ，因为由1CC ^平面ABC ，所以1AA ^平面ABC .所以AB ，AC ，1AA 两两垂直.如图，以A 为原点，建立空间直角坐标系-xyz A ，------------6分所以()0,0,0A ，()2,0,0B ，()0,2,0C ，()0,1,2E .设平面BCE 的法向量为(),,n x y z =r，因为()2,2,0BC =-uu u r ，()0,1,2CE =-uu u r，所以00BC n CE n ìï×=ïíï×=ïïîuu u r r uu u r r .即22020x y y z ì-+=ïïíï-+=ïî.令1z =，则2x =，2y =.所以平面BCE 的一个法向量为()2,2,1n =r.-------------------9分因为AB ^平面11AAC C ，所以平面ACE 的一个法向量为()2,0,0AB =uu u r.-----------------10分所以2cos ,3AB n AB n AB n ×<>==uu u r ruu u r r uu u r r .-----------------------------13分所以二面角B CE A --的余弦值为23.17.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题设图象知，周期22()36T πππ=-=，因为2T πω=，所以22Tπω==．---------------------------2分而由题意知2A =，所以()2sin(2)f x x ϕ=+．----------------4分因为函数()f x 的图象过点(,2)6π，所以()2sin()263f ππϕ=+=．所以2()32k k Z ππϕπ+=+∈．所以2()6k k Z πϕπ=+∈又因为02πϕ<<，所以6πϕ=.故函数()f x 的解析式为()2sin(26f x x π=+.------------------7分（Ⅱ）()2sin[2(]2cos 266g x x xππ=-+-12sin(22cos 2sin 2cos 2cos 2)622x x x x x π=--=-----------9分=12cos 222x x ⋅-⋅=3x π-------------------11分因为02x π≤≤，所以22333x πππ-≤-≤.所以当233x ππ-=-时，即0x =时，()g x 取到最小值，且最小值为3-.---------------------------------------14分18.（本小题共14分）解：（Ⅰ）由题意知，是C 款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的人数为3000.7210⨯=------------------------------------------2分故此顾客是C 款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率是210212000200=.--------------------------------------------4分（Ⅱ）X 的取值为0，1，2.---------------------------------5分设事件M 为“从A 款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的1人对该款式运动鞋满意”，事件N 为“从E 款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的1人对该款式运动鞋满意”，且事件M N ，相互独立.根据题意，()M P 估计为3.0，()P N 估计为0.6.则()()()()()()0110.70.40.28P X P M N P M P N ===--=⨯=----6分()()()()()()()()111P X P M N P M N P M P N P M ==+=-+-0.30.40.70.60.54=⨯+⨯=---------7分()()()()20.30.60.18P X P MN P M P N ====⨯=--------------8分所以X 的分布列为：---------------------------10分X 的期望是：()00.2810.5420.180.9E X =⨯+⨯+⨯=.----12分（Ⅲ）()()D D ξη<.-------------------------------------------14分19.（本小题满分14分）X 012P0.280.540.18解：（Ⅰ）因为椭圆经过点(0,1)，所以1b =.-------------------------1分又因为椭圆经过点12，所以23114a +=，解得2a =.------3分所以椭圆的方程为2214x y +=．-----------------------------4分（Ⅱ）由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得222(14)8440k x kmx m +++-=.-------6分由题意，0∆>，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，所以122841km x x k +=-+，21224441m x x k -=+.-----------------------8分因为原点O 到直线l的距离为5，所以5d ==.即2254(1)m k =+.-----------------------------------------9分因为12121212()()x x y y x x kx m kx m +=+++-----------------------10分()221212()+k x x km x x m +=++122222448(1)4141m km k km m k k -=+-+++----------------11分222544041m k k --==+----------------------------13分所以0OA OB = .即OA OB ⊥.因此以AB 为直径的圆过原点O .-----------------------------14分20.（本小题满分15分）解：（Ⅰ）当2a =时，()22ln f x x x =-，()22f x x x '=-，------------2分设切点为2000(,2ln )x x x -，则0002()=2=3f'x x x -，解得02x =或012x =-（舍）----------------------------------3分所以()242ln 2f =-.切点为(2,42ln 2)----------------------------------------4分所以所求切线方程为42ln 23(2)y x -+=-.即322ln 20x y ---=.------------------------------------5分（Ⅱ）因为()222a x a f x x x x-'=-=，--------------------------6分由0a >及定义域()+∞,0，令()0='x f，得2x =.-----------7分①当12e ≤，即220a e<≤时，在1(,)e e上()0>'x f ，所以()x f 在1[,]e e 上单调递增.此时()x f 在1[,]e e上不可能存在两个零点；-------------------9分②当2e ≥，即22a e ≥时，在1(,)e e上()0<'x f ，所以()x f 在1[,]e e 上单调递减.此时()x f 在1[,]e e上不可能存在两个零点；-------------------11分③当122e e <<，即2222a e e<<时，要使()x f 在区间1[,]e e 上恰有两个零点，则()221[12ln()]022211(00f a f a e e f e e a ⎧=-<⎪⎪⎪=+≥⎨⎪=-≥⎪⎪⎩，即22a e a e ⎧≤⎨>⎩，此时22e a e <≤.综上，实数a 的取值范围是(22,e e ⎤⎦.--------------------------15分21.（本小题满分15分）解：（Ⅰ）数列{}n a 不满足性质①，理由如下：----------------------2分取数列{}n a 中的12a =，24a =，所以2126a a -=.由26m =，解得2log 6m =，显然m 不是整数.所以在数列{}n a 中不存在m a ，使得212m a a a -=，故数列{}n a 不满足性质①；----------------------------------4分（Ⅱ）数列{}n a 同时满足性质①和性质②，理由如下：--------------5分对于{}n a 中任意两项i a ，()j a i j >，记2m a i j =-，因此2m i j a a a =-，从而数列{}n a 满足性质①；-----------------7分对于{}n a 中任意项(3)n a n ≥，记1k n a a -=，2l n a a -=()k l >，显然有2n k l a a a =-，从而数列{}n a 满足性质②；综上，数列{}n a 同时满足性质①和性质②--------------------9分（Ⅲ）{}n a 是递增数列，10a =，则20a >，根据性质①{}21222n a a a a -=∈，(){}(){}2222222223234n n a a a a a a a a -=∈-=∈，，…,由数学归纳法原理，可以证明{}{}{}2222:0,,2,3,n na n N a a a a ∈=⊆ ；------------------------12分另一个方面，我们用反证法证明{}{}{}2222:0,,2,3,n a na n N a a a ⊆∈= ；假设2x ta =（0t >）是{}n a 中最小的不能写成2a 的整倍数的项，根据性质②，存在两项,()k l a a k l >，使得2k l x a a =-，我们记22,,0k l ya z a a z a y ==>>其中，可知：22222)(2z ta x ya a y z a ===--，易知()20t y z y z y y z =-=-+>>>，根据2x ta =（0t >）的最小性，可知道*,y z N ∈，可以得到*2t y z N =-∈，与t 不是正整数矛盾.综上所述，{}n a 是首项为0，公差为2a 的等差数列.-------------15分。

石景山区2021年高三统一练习20213本试卷共8页，满分为150分，考试时间为120分钟.请务必将答案答在答题卡.匕在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡.第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.(1 )已知集合/= {1,3,5}, 2?={X|X2-16<0},则408 =(B) {3,5} (C) {1,3,5} (D) (0,4)(A) {1,3}(2)下列函数中，是奇函数且最小正周期7 =兀的是(A) /(x) = - (B) f{x} = /x(C) /(x) = 2sinxcosx (D) /(x) = sinx/jj — i(3)灾数巴」在发平面上对应的点位于第一象限，则实数。

的取值范围是1(A) y,T) (B) S,o) (C) (0,+oo) (D) (U+oo)(4)一几何体的直观图和主视图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是(5)“直线/垂直于平而口内无数条直线”是“直线/垂直于平而的(A)充分而不必要条件《B》必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(6)已知菱形438 的边长为。

，^ABC= 60°,则丽•历=(A) ~cr (B) (C> -a2CD)/2 4 4 2(7 )过抛物线产=41的然点/的直线交抛物线于4、。

两点，若产是线段45的中点, 则| AB\=(A) 1 (B) 2 (C> 3 (D) 4(8) “回文数”是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22, 121, 3443等. 那么在四位数中，回文数共有(A)81 个 (B) 90 个(C> 100个(D) 900个(9)己知”X)二卜.一若|/(外伊始•在上恒成立，则实数。

的取值[3x-2,x>0,范围是(B)(-«,-1]U[0,-H») (B> [0,1](C)(-U0] (D) (-1, 0)(10)瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三珀形的“欧拉线”.在平面直用坐标系中作 08=47=4,点W-L3),点G(4「2),且其“欧拉线”引见反(五一。

北京市第十三中学2021届高三上学期开学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．设复数11z i=-，则复数z =（ ） A ．1i -B ．1122i -C ．1i +D ．1122i + 2．(1+2x)5的展开式中，x 2的系数等于 A ．80B ．40C ．20D ．103．投掷一颗骰子，掷出的点数构成的基本事件空间是={1，2，3，4，5，6}．设事件A={1，3}，B={3，5，6}，C={2，4，6}，则下列结论中正确的是（ ） A ．A ，C 为对立事件 B ．A ，B 为对立事件C ．A ，C 为互斥事件，但不是对立事件D ．A ，B 为互斥事件，但不是对立事件 4．设函数()4f x x x=+，则()f x 的极大值点和极小值点分别为（ ） A ．－2，2B ．2，－2C ．5，－3D ．－5，35．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解出这个问题的概率14，乙解出这个问题的概率是12，那么其中至少有1人解出这个问题的概率是( ) A ．34B ．18C ．78D ．586．在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如右面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h ～120 km/h ，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有( )A ．30辆B ．1700辆C ．170辆D ．300辆7．若02x π<<，则下列命题正确的是（ ）A ．2sin x x π<B ．2sin x x π>C ．3sin x x π<D ．3sin x x π>8．下图是两组各7名同学体重（单位： kg ）数据的茎叶图．设1， 2两组数据的平均数依次为1x 和 2x ，标准差依次为1s 和 2s ，那么（ ）（注：标准差(n s x x =++- x 为12,,,nx x x 的平均数）A ．12x x >， 12s s <B ．12x x >， 12s s <C ．12x x <， 12s s <D ．12x x <， 12s s <9．教室的图书角摆放了一些阅读书目，其中有3本相同的论语、6本互不相同的近代文学名著，现从这9本书中选出3本，则不同的选法种数为（ ） A ．84B ．42C ．41D ．3510．已知函数()1xa f x e x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，若同时满足条件：①()00,x ∃∈+∞，0x 为()f x 的一个极大值点；②()8,x ∀∈+∞，()0f x >.则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]4,8 B ．[)8,+∞ C ．()[),08,-∞+∞D ．()(],04,8-∞二、填空题11．若复数z 满足12i z i ⋅=+，则||z =_________.12．100件产品中有5件次品，不放回地抽取2次，每次抽1件.已知第1次抽出的是次品，则第2次抽出正品的概率是_________.13．同时抛掷两枚相同的均匀硬币，随机变量1ξ=表示结果中有正面向上，0ξ=表示结果中没有正面向上，则E ξ=________.14．学号分别为1，2，3，4的四位同学排成一排，若学号相邻的同学不相邻，则不同的排法种数为________.三、双空题15．二项式613x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项等于________；二项式系数和为________. 16．已知函数()ln xf x x=. （1）函数的最大值等于________；（2）若对任意[)12,,x x a ∈+∞，都有()()121f x f x e-≤成立，则实数a 的最小值是________.四、解答题17．已知函数()32f x x ax x a =--+，其中a 为实数.（1）求导数()f x '；（2）若()10f '-=，求()f x 在[]2,3-上的最大值和最小值.18．某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为0p ，假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为1p ，试比较0p 与1p 的大小．（结论不要求证明）19．2016年微信用户数量统计显示，微信注册用户数量已经突破9.27亿．微信用户平均年龄只有26岁，97.7%的用户在50岁以下，86.2%的用户在1836-岁之间，为调查大学生这个微信用户群体中每人拥有微信的数量，现在从北京大学生中随机抽取100位同学进行了抽样调查，结果如下：（1）求a ，b ，c 的值．（2）若从100位同学中随机抽取2人，求这2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率．（3）以这100个人的样本数据估计北京市的总体数据且以频率估计概率，若从全市大．．．学生．．中随机抽取3人，记X 表示抽到的是微信群个数超过15个的人数，求X 的分布列和数学期望EX ．20．已知函数()ln f x x x =. （1）求()f x 的单调区间；（2）若对所有1≥x 都有()1f x ax ≥-，求实数a 的取值范围.21．甲、乙两人参加某种选拔测试.在备选的10道题中,甲答对其中每道题的概率都是35,乙能答对其中5道题.规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试,答对一题加10分,答错一题(不答视为答错)减5分,至少得15分才能入选. （1）求乙得分的分布列和数学期望； （2）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率.22．已知函数()2ln ,23,x x x af x x x x a >⎧=⎨-+-≤⎩，其中0a ≥.（1）当0a =时，求函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程；（2）如果对于任意12,x x ∈R ，且12x x <，都有()()12f x f x <，求a 的取值范围.参考答案1．B 【分析】由除法法则计算出z 后可得其共轭复数． 【详解】111111(1)(1)222i i z i i i i ++====+--+，∴1122z i =-， 故选：B ． 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念，根据除法法则直接计算化简即可． 2．B 【详解】()512x + 的展开式的通项515(2)r r r T C x -+= ，令52r解得3r =∴(1+2x)5的展开式中，x 2的系数为325C 240=3．C 【解析】试题分析：根据对立事件与互斥事件的定义进行判断，由于A C ⋃≠Ω，因此A 错；A B ⋃≠Ω，因此B 错；,A C A C ⋃≠Ω⋂=∅，因此C 对；{}3A B ⋂=，因此D 错； 考点：对立事件；互斥事件； 4．A 【分析】求出导函数，由导函数确定函数的单调性与极值． 【详解】易知函数定义域是{|0}x x ≠， 由题意224(2)(2)()1x x f x x x +-'=-=，当2x <-或2x >时，()0f x '>，当20x -<<或02x <<时，()0f x '<， ∴()f x 在(,2)-∞-和(2,)+∞上递增，在(2,0)-和(0,2)上递减， ∴极大值点是－2，极小值点是2． 故选：A ． 【点睛】本题考查用导数研究函数的极值，求出导函数，确定导函数的正负是解题关键． 5．D 【分析】由甲解决这个问题的概率是14，乙解决这个问题的概率是12，则“至少有一人解决这个问题”的事件的对立事件为“甲、乙两人均不能解决该问题”，我们可先求出“甲、乙两人均不能解决该问题”，然后根据对立事件概率减法公式，代入求出答案． 【详解】甲解决这个问题的概率是14， ∴甲解决不了这个问题的概率是13144-=， 乙解决这个问题的概率是12， ∴乙解决不了这个问题的概率是11122-= 则甲、乙两人均不能解决该问题的概率为313428⨯=则甲、乙两人至少有一人解决这个问题的概率为35188-= 故选：D ． 【点睛】本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式及对立事件概率减法公式，其中根据已知求出“甲乙两个至少有一人解决这个问题”的事件的对立事件为“甲、乙两人均不能解决该问题”的概率，是解答本题的关键． 6．B 【分析】由频率分布直方图求出在这段时间内以正常速度通过该处的汽车的频率，由此能估2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有多少辆. 【详解】由频率分布直方图得：在这段时间内以正常速度通过该处的汽车的频率为()0.030.0350.02100.85++⨯=，∴估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有20000.851700⨯=（辆），故选B. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，属于中档题. 直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为1；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和可得平均值；（4）直观图左右两边面积相等处横坐标表示中位数. 7．B 【分析】构造函数2()sin f x x x π=-，3()sin g x x x π=-，利用导数得出其单调性，得出02x π<<时，()0f x >恒成立，存在2(0,)2x π∈，使得2()0g x =，这样可得正确选项同．【详解】 设2()sin f x x x π=-，则2()cos f x x π'=-，201π<<，∴存在0(0,)2x π∈，使得0()0f x '=，当0(0,)x x ∈时，()0f x '>，()f x 递增，当0(,)2x x π∈时，()0f x '<，()f x 递减，又(0)0f =，()02f π=，∴02x π<<时，()0f x >，即2sin x x π>，B 正确，A 错误；设3()sin g x x x π=-，则3()cos g x x π'=-，301π<<，∴存在1(0,)2x π∈，使得1()0g x '=，当1(0,)x x ∈时，()0g x '>，()g x 递增，当1(,)2x x π∈时，()0g x '<，()g x 递减，又(0)0g =，∴1()0g x >，1()022g π=-<，∴()g x 在1(,)2x π上存在零点2x ，即223sin x x π=，CD 均错．故选：B ． 【点睛】本题考查考查用导数研究函数的单调性，证明不等式成立．解题关键是构造函数，由函数研究不等式问题． 8．C 【解析】 试题分析：153565758617072617x ++++++==，254565860617273627x ++++++==，1 6.72s =≈，2 6.99s =所以12x x <，12s s <.考点：1.茎叶图；2.平均数与标准差 9．B 【分析】分选出0本论语、1本论语、2本论语、3本论语四种情况，分别求出选法，即可得出结果. 【详解】 由题意，若选出0本论语，则有3620C =种选法； 若选出1本论语，则有2615C =种选法；若选出2本论语，则有166C =种选法；若选出3本论语，则有1种选法；综上，不同的选法种数为20156142+++=. 故选B 【点睛】本题主要考查计数原理，熟记分类加法计算原理即可，属于常考题型. 10．A 【分析】条件①说明()'f x 在(0,)+∞上存在零点，极大值点，利用方程的根可得a 的范围，然后求出条件②不等式恒成立a 的范围，求交集可得a 的范围． 【详解】定义域是{|0}x x ≠，222()()1x x a a e x ax a f x e x x x -+⎛⎫'=-+= ⎪⎝⎭，()f x 在(0,)+∞存在极大值点，则20x ax a -+=有两个不等实根，240a a ∆=->，0a <或4a >，设20x ax a -+=的两个实根为1212,()x x x x <，1x x <或2x x >时，20x ax a -+>，12x x x <<时，20x ax A -+<，当0a <，1212x x ax x a+=⎧⎨=⎩，则120x x <<，但2x x >时，()0f x '>，2x 不可能是极大值点；当4a >时，由1212x x ax x a+=⎧⎨=⎩知1>0x ，20x >，10x x <<或2x x >时，()0f x '>，12x x x <<时，()0f x '<．即()f x 在1(0,)x 和2(,)x +∞上递增，在12(,)x x 上递减，1x 是极大值点，满足题意． 所以4a >．()10x a f x e x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则10a x ->，∵8x >，∴a x <，∴8a ≤．综上48a <≤．故选：A ． 【点睛】本题考查用导数研究函数的极值，及不等式恒成立问题，求解不等式恒成立问题的方法是问题的转化，转化为求函数的最值．11 【分析】先求出复数z ，再求模. 【详解】由12i z i ⋅=+得122iz i i+==-，则z ==. 【点睛】本题考查复数的运算，考查计算能力，属于基础题. 12．9599【分析】在第1次抽到次品后，还有4件次品，95件正品，利用概率计算公式可得结果. 【详解】在第1次抽到次品后，还有有4件次品，95件正品， 则第二次抽到正品的概率为9599P =，故答案为9599. 【点睛】本题主要考查条件概率，属于简单题.解答条件概率问题时，一定要注意条件概率与独立事件概率的区别与联系. 13．34【分析】先求出结果中没有正面向上的概率和结果中有正面向上的概率，再利用期望公式求解. 【详解】由题意知，结果中没有正面向上的概率为111=224⨯，此时0ξ=， 而1ξ=时对应概率为13144-=，31310444E ξ∴=⨯+⨯=．故答案为：34【点睛】本题主要考查随机变量的期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 14．2 【分析】用列举法写出所有符合条件的排列 【详解】满足题意的排列,3142，2413，只有两个． 故答案为：2． 【点睛】本题考查排列，直接写出排列是排列个数较少时的一种方法． 15．-540 64 【分析】求出二项展开式通项公式，令x 的指数为0，得常数项的项数，从而得常数项，根据二项式系数的性质可得二项式系数和． 【详解】展开式通项公式为66621661(3)(1)3rr r r r r rr T C x C x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令620r -=，3r =，∴常数项为()3334613540T C =-⨯⨯=-，展开式中二项式系数和为6264=． 故答案为：－540；64． 【点睛】本题考查二项式定理，二项式系数的性质，解题关键是掌握二项展开式通项公式． 16．1e1 【分析】（1）求出导函数()'f x ，由导函数确定单调性，极值，得最大值；（2）若对任意[)12,,x x a ∈+∞，都有()()121f x f x e-≤成立，等价于当[,)x a ∈+∞时，max min 1()()f x f x e -≤，而由（1）在[),e +∞上10()f x e<≤，因此只要当0a e <<时，min ()0f x ≥即可得，由此可得a 的取值范围，从而得a 的最小值．【详解】（1）函数定义域是(0,)+∞，21ln ()xf x x-'=， 0x e <<时，()0f x '>，()f x 递增，x e >时，()0f x '<，()f x 递减，∴x e =时，()f x 取得极大值也是最大值1()f e e=； （2）若对任意[)12,,x x a ∈+∞，都有()()121f x f x e-≤成立， 等价于当[,)x a ∈+∞时，max min 1()()f x f x e-≤， 由（1）当a e ≥时，max 1()f x e≤，且()0f x >，满足题意； 当0a e <<，()f x 在[,]a e 上递增，ln 1()a f x a e ≤≤，在[),e +∞递减，10()f x e<≤， 只要ln 0aa≥即可，∴1a e ≤<， 综上[1,)a ∈+∞，a 的最小值是1.． 故答案为：1e；1． 【点睛】本题考查用导数求函数最值，研究不等式恒成立问题，恒成立问题的解题关键转化为函数的最小值0≥，由单调性易得结论．17．（1）()2321f x x ax =--'；（2）()max 32f x =；()min 3f x =-【分析】（1）利用基本初等函数的导数以及导数的运算法则即可求解.（2）利用()10f '-=，求得1a =-，再利用导数求出函数的单调区间，进而求出最值. 【详解】（1）由()32f x x ax x a =--+，则()2321f x x ax =--'（2）因为()10f '-=，则3210a +-=，解得1a =-， 所以()()()[]2321311,2,3f x x x x x x =+-=∈-'-+，当()0f x '<，解得113x -<<，减区间为11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，当()0f x '>，解得123x <<或21x -<<-，增区间为()12,1,,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ()10f -=，132327f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()23f -=-，()332f =，所以()()max 332f x f ==，()()min 23f x f =-=-， 综上所述，()max 32f x =，()min 3f x =- 【点睛】本题考查了导数的基本运算法则、利用导数求函数的最值，属于基础题. 18．（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为13，该校女生支持方案一的概率为34； （Ⅱ）1336,（Ⅲ）01p p < 【分析】（Ⅰ）根据频率估计概率，即得结果；（Ⅱ）先分类，再根据独立事件概率乘法公式以及分类计数加法公式求结果； （Ⅲ）先求0p ，再根据频率估计概率1p ，即得大小. 【详解】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为2001200+4003=，该校女生支持方案一的概率为3003300+1004=； （Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一，所以3人中恰有2人支持方案一概率为：2121311313()(1)()(1)3433436C -+-=; （Ⅲ）01p p < 【点睛】本题考查利用频率估计概率、独立事件概率乘法公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 19．（1）35a =，120b =，720c =．（2）1633．（3）见解析.【分析】(1)由频率分布列的性质及=频数频率总数,能求出a,b,c 的值. (2)记“2人中恰有1人微信群个数超过15个”为事件A,利用等可能事件概率计算公式能求出2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率. (3)依题意可知,微信群个数超过15个的概率为25P =．X 的所有可能取值0,1,2,3,由此能求出X 的分布列和数学期望EX. 【详解】（1）由已知得030305100a ++++=，解得35a =，5110020b ==，35710020c ==． （2）记“2人中恰有1人微信群个数超过15个”为事件A ，则()1140602100C C 16C 33P A ==． 所以，2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率为1633． （3）依题意可知，微信群个数超过15个的概率为25P =．X 的所有可能取值0，1，2，3．则()430322270C 155125P X ⎛⎫⎛⎫==⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()121322541C 155125P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()212322362C 155125P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()3332283C 155125P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 所以X 的分布列为：数学期望2754368601231251251251255EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． 【点睛】数学期望是离散型随机变量中重要的数学概念，反映随机变量取值的平均水平.求解离散型随机变量的分布列、数学期望时，首先要分清事件的构成与性质，确定离散型随机变量的所有取值，然后根据概率类型选择公式，计算每个变量取每个值的概率，列出对应的分布列，最后求出数学期望. 20．（1）()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭的单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增；（2）(],1-∞. 【分析】（1）求出导函数()'f x ，由()0f x '>确定增区间，()0f x '<确定减区间；（2）分离参数得1ln a x x≤+，利用导数求得()1ln g x x x =+在[1,)+∞上的最小值即可．【详解】解：（1）函数()ln f x x x =定义域为()0,∞+，()1ln f x x '=+. 令()0f x '>解得1x e >；令()0f x '<解得10x e<<. 所以()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭的单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增. （2）依题意，得()1f x ax ≥-在[)1,+∞上恒成立， 即不等式1ln a x x≤+对于[)1,x ∈+∞恒成立.令()1ln g x x x =+，即()min a g x ≤，()22111x g x x x x-'=-=， 当1x >时，因为()210x g x x-'=>，故()g x 是[)1,+∞上的增函数， 所以()()min 11g x g ==，则1a ≤. 所以a 的取值范围是(],1-∞. 【点睛】本题考查用导数求单调区间，研究不等式恒成立问题，利用分离参数法解决不等式恒成立问题，转化为求函数的最值． 21．（1）分布列详见解析，15()2E X =；（2）103125【分析】（1）确定乙答题所得分数的可能取值，求出相应的概率，即可得到乙得分的分布列和数学期望；（2）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，求出甲、乙入选的概率，利用对立事件，即可求得结论． 【详解】（1）设乙答题所得分数为X ，则X 的可能取值为15-，0，15，30，()3531011512C P X C =-==；21553105)0(12C C C P X ⋅===； 12553105(5)121P C C X C ⋅===；353101() 3012P C C X === 乙得分的分布列如下：()1501530121212122EX =⨯-+⨯+⨯+⨯= （2）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，记甲入选为事件A ，乙入选为事件B ．则()322332381()()()551525C P A ==+，()51211122P B +==， 故甲乙两人至少有一人入选的概率441103111252125()A B P P =--⨯=⋅=． 【点睛】本题考查概率的计算，考查互斥事件的概率，考查离散型随机变量的分布列与期望，确定变量的取值，计算其概率是关键． 22．（1）1y x =-；（2）1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）根据题意，对函数求导，得出切线斜率，进而可求出切线方程；（2）先由题意，得到函数()f x 是定义在R 上的增函数；根据导数的方法以及二次函数的性质，由分段函数单调性，分别求解，即可得出结果. 【详解】（1）由题意，得0x >时，()()ln ln 1f x x x x ''==+， 所以()11f '=，又因为()10f =，所以函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程为1y x =-； （2）因为对于任意12,x x ∈R ，且12x x <，都有()()12f x f x <， 所以()f x 是定义在R 上的增函数；当x a ≤时，()223f x x x =-+-是开口向下，对称轴为1x =的二次函数，为使其在(),a -∞上单调递增，只需1a ≤；当0x >时，()ln f x x x =， 则()ln 1f x x '=+，令()ln 10f x x '=+=，解得1=x e. 随着x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：即函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，且()min 11f x f e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭. 为使其在(),a +∞上单调递增，只需1a e≥； 又因为()22123122x x x e-+-=---≤-<-，即x a ≤时，()f x 的最大值，必然小于x a >时，()f x 的最小值； 综上，满足题意的a 的取值范围为1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查求曲线在某点的切线方程，考查由分段函数单调性解不等式，利用导函数的方法求解即可，属于常考题型.。

2021届北京市第十三中学高三上学期开学考试数学试题一、单选题 1．设复数11z i=-，则复数z =（ ） A ．1i - B ．1122i -C ．1i +D ．1122i + 【答案】B【解析】由除法法则计算出z 后可得其共轭复数． 【详解】111111(1)(1)222i i z i i i i ++====+--+，∴1122z i =-， 故选：B ． 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念，根据除法法则直接计算化简即可． 2．(1+2x)5的展开式中，x 2的系数等于 A ．80 B ．40C ．20D ．10【答案】B 【解析】【详解】()512x + 的展开式的通项515(2)r r r T C x -+= ，令52r解得3r =∴(1+2x)5的展开式中，x 2的系数为325C 240=3．投掷一颗骰子，掷出的点数构成的基本事件空间是={1，2，3，4，5，6}．设事件A={1，3}，B={3，5，6}，C={2，4，6}，则下列结论中正确的是（ ） A ．A ，C 为对立事件 B ．A ，B 为对立事件C ．A ，C 为互斥事件，但不是对立事件D ．A ，B 为互斥事件，但不是对立事件 【答案】C【解析】试题分析：根据对立事件与互斥事件的定义进行判断，由于A C ⋃≠Ω，因此A 错；A B ⋃≠Ω，因此B 错；,A C A C ⋃≠Ω⋂=∅，因此C 对；{}3A B ⋂=，因此D 错；【考点】对立事件；互斥事件； 4．设函数()4f x x x=+，则()f x 的极大值点和极小值点分别为（ ） A ．－2，2 B ．2，－2C ．5，－3D ．－5，3【答案】A【解析】求出导函数，由导函数确定函数的单调性与极值． 【详解】易知函数定义域是{|0}x x ≠， 由题意224(2)(2)()1x x f x x x +-'=-=， 当2x <-或2x >时，()0f x '>，当20x -<<或02x <<时，()0f x '<， ∴()f x 在(,2)-∞-和(2,)+∞上递增，在(2,0)-和(0,2)上递减， ∴极大值点是－2，极小值点是2． 故选：A ． 【点睛】本题考查用导数研究函数的极值，求出导函数，确定导函数的正负是解题关键． 5．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解出这个问题的概率14，乙解出这个问题的概率是12，那么其中至少有1人解出这个问题的概率是( ) A ．34 B ．18C ．78D ．58【答案】D【解析】由甲解决这个问题的概率是14，乙解决这个问题的概率是12，则“至少有一人解决这个问题”的事件的对立事件为“甲、乙两人均不能解决该问题”，我们可先求出“甲、乙两人均不能解决该问题”，然后根据对立事件概率减法公式，代入求出答案． 【详解】甲解决这个问题的概率是14， ∴甲解决不了这个问题的概率是13144-=， 乙解决这个问题的概率是12，∴乙解决不了这个问题的概率是11 122 -=则甲、乙两人均不能解决该问题的概率为313 428⨯=则甲、乙两人至少有一人解决这个问题的概率为35 188 -=故选：D．【点睛】本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式及对立事件概率减法公式，其中根据已知求出“甲乙两个至少有一人解决这个问题”的事件的对立事件为“甲、乙两人均不能解决该问题”的概率，是解答本题的关键．6．在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如右面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h～120 km/h，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有( )A．30辆B．1700辆C．170辆D．300辆【答案】B【解析】由频率分布直方图求出在这段时间内以正常速度通过该处的汽车的频率，由此能估2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有多少辆.【详解】由频率分布直方图得：在这段时间内以正常速度通过该处的汽车的频率为()0.030.0350.02100.85++⨯=，∴估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有20000.851700⨯=（辆），故选B.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，属于中档题. 直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为1；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和可得平均值；（4）直观图左右两边面积相等处横坐标表示中位数. 7．若02x π<<，则下列命题正确的是（ ）A ．2sin x x π<B ．2sin x x π>C ．3sin x x π<D ．3sin x x π>【答案】B【解析】构造函数2()sin f x x x π=-，3()sin g x x x π=-，利用导数得出其单调性，得出02x π<<时，()0f x >恒成立，存在2(0,)2x π∈，使得2()0g x =，这样可得正确选项同． 【详解】 设2()sin f x x x π=-，则2()cos f x x π'=-，201π<<，∴存在0(0,)2x π∈，使得0()0f x '=，当0(0,)x x ∈时，()0f x '>，()f x 递增，当0(,)2x x π∈时，()0f x '<，()f x 递减，又(0)0f =，()02f π=，∴02x π<<时，()0f x >，即2sin x x π>，B 正确，A 错误；设3()sin g x x x π=-，则3()cos g x x π'=-，301π<<，∴存在1(0,)2x π∈，使得1()0g x '=，当1(0,)x x ∈时，()0g x '>，()g x 递增，当1(,)2x x π∈时，()0g x '<，()g x 递减，又(0)0g =，∴1()0g x >，1()022g π=-<，∴()g x 在1(,)2x π上存在零点2x ，即223sin x x π=，CD 均错．故选：B ． 【点睛】本题考查考查用导数研究函数的单调性，证明不等式成立．解题关键是构造函数，由函数研究不等式问题．8．下图是两组各7名同学体重（单位：kg ）数据的茎叶图．设1，2两组数据的平均数依次为1x 和2x ，标准差依次为1s 和2s ，那么（ ） （注：标准差222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-，其中x 为12,,,n x x x 的平均数）A ．12x x >，12s s <B ．12x x >，12s s <C ．12x x <，12s s <D ．12x x <，12s s <【答案】C【解析】试题分析：153565758617072617x ++++++==，254565860617273627x ++++++==，()()()()()()()2222222115361566157615861616170617261 6.727s ⎡⎤=-+-+-+-+-+-+-⎣⎦，()()()()()()()2222222215462566258626062616272627362 6.997s ⎡⎤=-+-+-+-+-+-+-≈⎣⎦所以12x x <，12s s <.【考点】1.茎叶图；2.平均数与标准差9．教室的图书角摆放了一些阅读书目，其中有3本相同的论语、6本互不相同的近代文学名著，现从这9本书中选出3本，则不同的选法种数为（ ） A ．84 B ．42 C ．41 D ．35【答案】B【解析】分选出0本论语、1本论语、2本论语、3本论语四种情况，分别求出选法，即可得出结果. 【详解】 由题意，若选出0本论语，则有3620C =种选法；若选出1本论语，则有2615C =种选法； 若选出2本论语，则有166C =种选法；若选出3本论语，则有1种选法；综上，不同的选法种数为20156142+++=. 故选B 【点睛】本题主要考查计数原理，熟记分类加法计算原理即可，属于常考题型. 10．已知函数()1xa f x e x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，若同时满足条件：①()00,x ∃∈+∞，0x 为()f x 的一个极大值点；②()8,x ∀∈+∞，()0f x >.则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]4,8 B ．[)8,+∞ C ．()[),08,-∞+∞D ．()(],04,8-∞【答案】A【解析】条件①说明()'f x 在(0,)+∞上存在零点，极大值点，利用方程的根可得a 的范围，然后求出条件②不等式恒成立a 的范围，求交集可得a 的范围． 【详解】定义域是{|0}x x ≠，222()()1x x a a e x ax a f x e x x x -+⎛⎫'=-+= ⎪⎝⎭，()f x 在(0,)+∞存在极大值点，则20x ax a -+=有两个不等实根，240a a ∆=->，0a <或4a >，设20x ax a -+=的两个实根为1212,()x x x x <，1x x <或2x x >时，20x ax a -+>，12x x x <<时，20x ax A -+<，当0a <，1212x x ax x a+=⎧⎨=⎩，则120x x <<，但2x x >时，()0f x '>，2x 不可能是极大值点；当4a >时，由1212x x ax x a +=⎧⎨=⎩知1>0x ，20x >，10x x <<或2x x >时，()0f x '>，12x x x <<时，()0f x '<．即()f x 在1(0,)x 和2(,)x +∞上递增，在12(,)x x 上递减，1x是极大值点，满足题意． 所以4a >．()10x a f x e x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则10a x ->，∵8x >，∴a x <，∴8a ≤．综上48a <≤． 故选：A ． 【点睛】本题考查用导数研究函数的极值，及不等式恒成立问题，求解不等式恒成立问题的方法是问题的转化，转化为求函数的最值．二、填空题11．若复数z 满足12i z i ⋅=+，则||z =_________.【解析】先求出复数z ，再求模. 【详解】由12i z i ⋅=+得122iz i i+==-，则z ==. 【点睛】本题考查复数的运算，考查计算能力，属于基础题.12．100件产品中有5件次品，不放回地抽取2次，每次抽1件.已知第1次抽出的是次品，则第2次抽出正品的概率是_________. 【答案】9599【解析】在第1次抽到次品后，还有4件次品，95件正品，利用概率计算公式可得结果. 【详解】在第1次抽到次品后，还有有4件次品，95件正品， 则第二次抽到正品的概率为9599P =，故答案为9599. 【点睛】本题主要考查条件概率，属于简单题.解答条件概率问题时，一定要注意条件概率与独立事件概率的区别与联系.13．同时抛掷两枚相同的均匀硬币，随机变量1ξ=表示结果中有正面向上，0ξ=表示结果中没有正面向上，则E ξ=________.【答案】34【解析】先求出结果中没有正面向上的概率和结果中有正面向上的概率，再利用期望公式求解. 【详解】由题意知，结果中没有正面向上的概率为111=224⨯，此时0ξ=， 而1ξ=时对应概率为13144-=， 31310444E ξ∴=⨯+⨯=．故答案为：34【点睛】本题主要考查随机变量的期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 14．学号分别为1，2，3，4的四位同学排成一排，若学号相邻的同学不相邻，则不同的排法种数为________. 【答案】2【解析】用列举法写出所有符合条件的排列 【详解】满足题意的排列,3142，2413，只有两个． 故答案为：2． 【点睛】本题考查排列，直接写出排列是排列个数较少时的一种方法．三、双空题15．二项式613x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项等于________；二项式系数和为________. 【答案】-540 64【解析】求出二项展开式通项公式，令x 的指数为0，得常数项的项数，从而得常数项，根据二项式系数的性质可得二项式系数和． 【详解】展开式通项公式为66621661(3)(1)3rrrr r r r r T C x C x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令620r -=，3r =，∴常数项为()3334613540T C =-⨯⨯=-，展开式中二项式系数和为6264=． 故答案为：－540；64． 【点睛】本题考查二项式定理，二项式系数的性质，解题关键是掌握二项展开式通项公式． 16．已知函数()ln xf x x=. （1）函数的最大值等于________；（2）若对任意[)12,,x x a ∈+∞，都有()()121f x f x e-≤成立，则实数a 的最小值是________. 【答案】1e1 【解析】（1）求出导函数()'f x ，由导函数确定单调性，极值，得最大值； （2）若对任意[)12,,x x a ∈+∞，都有()()121f x f x e-≤成立，等价于当[,)x a ∈+∞时，max min 1()()f x f x e -≤，而由（1）在[),e +∞上10()f x e<≤，因此只要当0a e <<时，min ()0f x ≥即可得，由此可得a 的取值范围，从而得a 的最小值．【详解】（1）函数定义域是(0,)+∞，21ln ()xf x x-'=， 0x e <<时，()0f x '>，()f x 递增，x e >时，()0f x '<，()f x 递减，∴x e =时，()f x 取得极大值也是最大值1()f e e=； （2）若对任意[)12,,x x a ∈+∞，都有()()121f x f x e-≤成立， 等价于当[,)x a ∈+∞时，max min 1()()f x f x e-≤， 由（1）当a e ≥时，max 1()f x e≤，且()0f x >，满足题意； 当0a e <<，()f x 在[,]a e 上递增，ln 1()a f x a e ≤≤，在[),e +∞递减，10()f x e<≤，只要ln 0aa≥即可，∴1a e ≤<， 综上[1,)a ∈+∞，a 的最小值是1.． 故答案为：1e；1． 【点睛】本题考查用导数求函数最值，研究不等式恒成立问题，恒成立问题的解题关键转化为函数的最小值0≥，由单调性易得结论．四、解答题17．已知函数()32f x x ax x a =--+，其中a 为实数.（1）求导数()f x '；（2）若()10f '-=，求()f x 在[]2,3-上的最大值和最小值.【答案】（1）()2321f x x ax =--'；（2）()max 32f x =；()min 3f x =-【解析】（1）利用基本初等函数的导数以及导数的运算法则即可求解.（2）利用()10f '-=，求得1a =-，再利用导数求出函数的单调区间，进而求出最值. 【详解】（1）由()32f x x ax x a =--+，则()2321f x x ax =--'（2）因为()10f '-=，则3210a +-=，解得1a =-， 所以()()()[]2321311,2,3f x x x x x x =+-=∈-'-+，当()0f x '<，解得113x -<<，减区间为11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，当()0f x '>，解得123x <<或21x -<<-，增区间为()12,1,,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ()10f -=，132327f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()23f -=-，()332f =，所以()()max 332f x f ==，()()min 23f x f =-=-， 综上所述，()max 32f x =，()min 3f x =- 【点睛】本题考查了导数的基本运算法则、利用导数求函数的最值，属于基础题.18．某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为0p ，假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为1p ，试比较0p 与1p 的大小．（结论不要求证明）【答案】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为13，该校女生支持方案一的概率为34； （Ⅱ）1336,（Ⅲ）01p p < 【解析】（Ⅰ）根据频率估计概率，即得结果；（Ⅱ）先分类，再根据独立事件概率乘法公式以及分类计数加法公式求结果； （Ⅲ）先求0p ，再根据频率估计概率1p ，即得大小. 【详解】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为2001200+4003=，该校女生支持方案一的概率为3003300+1004=； （Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一，所以3人中恰有2人支持方案一概率为：2121311313()(1)()(1)3433436C -+-=; （Ⅲ）01p p < 【点睛】本题考查利用频率估计概率、独立事件概率乘法公式，考查基本分析求解能力，属基础题.19．2016年微信用户数量统计显示，微信注册用户数量已经突破9.27亿．微信用户平均年龄只有26岁，97.7%的用户在50岁以下，86.2%的用户在1836-岁之间，为调查大学生这个微信用户群体中每人拥有微信的数量，现在从北京大学生中随机抽取100位同学进行了抽样调查，结果如下：（1）求a ，b ，c 的值．（2）若从100位同学中随机抽取2人，求这2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率．（3）以这100个人的样本数据估计北京市的总体数据且以频率估计概率，若从全市大．．．学生．．中随机抽取3人，记X 表示抽到的是微信群个数超过15个的人数，求X 的分布列和数学期望EX ． 【答案】（1）35a =，120b =，720c =．（2）1633．（3）见解析.【解析】(1)由频率分布列的性质及=频数频率总数,能求出a,b,c 的值. (2)记“2人中恰有1人微信群个数超过15个”为事件A,利用等可能事件概率计算公式能求出2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率. (3)依题意可知,微信群个数超过15个的概率为25P =．X 的所有可能取值0,1,2,3,由此能求出X 的分布列和数学期望EX. 【详解】（1）由已知得030305100a ++++=，解得35a =，5110020b ==，35710020c ==． （2）记“2人中恰有1人微信群个数超过15个”为事件A ，则()1140602100C C 16C 33P A ==． 所以，2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率为1633． （3）依题意可知，微信群个数超过15个的概率为25P =．X 的所有可能取值0，1，2，3．则()430322270C 155125P X ⎛⎫⎛⎫==⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()121322541C 155125P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()212322362C 155125P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()30332283C 155125P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 所以X 的分布列为：数学期望2754368601231251251251255EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． 【点睛】数学期望是离散型随机变量中重要的数学概念，反映随机变量取值的平均水平.求解离散型随机变量的分布列、数学期望时，首先要分清事件的构成与性质，确定离散型随机变量的所有取值，然后根据概率类型选择公式，计算每个变量取每个值的概率，列出对应的分布列，最后求出数学期望. 20．已知函数()ln f x x x =. （1）求()f x 的单调区间；（2）若对所有1≥x 都有()1f x ax ≥-，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭的单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增；（2）(],1-∞. 【解析】（1）求出导函数()'f x ，由()0f x '>确定增区间，()0f x '<确定减区间；（2）分离参数得1ln a x x≤+，利用导数求得()1ln g x x x =+在[1,)+∞上的最小值即可． 【详解】解：（1）函数()ln f x x x =定义域为()0,∞+，()1ln f x x '=+. 令()0f x '>解得1x e >；令()0f x '<解得10x e<<. 所以()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭的单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增. （2）依题意，得()1f x ax ≥-在[)1,+∞上恒成立， 即不等式1ln a x x≤+对于[)1,x ∈+∞恒成立. 令()1ln g x x x =+，即()min a g x ≤，()22111x g x x x x-'=-=， 当1x >时，因为()210x g x x -'=>，故()g x 是[)1,+∞上的增函数， 所以()()min 11g x g ==，则1a ≤. 所以a 的取值范围是(],1-∞. 【点睛】本题考查用导数求单调区间，研究不等式恒成立问题，利用分离参数法解决不等式恒成立问题，转化为求函数的最值．21．甲、乙两人参加某种选拔测试.在备选的10道题中,甲答对其中每道题的概率都是35,乙能答对其中5道题.规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试,答对一题加10分,答错一题(不答视为答错)减5分,至少得15分才能入选. （1）求乙得分的分布列和数学期望； （2）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率. 【答案】（1）分布列详见解析，15()2E X =；（2）103125【解析】（1）确定乙答题所得分数的可能取值，求出相应的概率，即可得到乙得分的分布列和数学期望；（2）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，求出甲、乙入选的概率，利用对立事件，即可求得结论． 【详解】（1）设乙答题所得分数为X ，则X 的可能取值为15-，0，15，30，()3531011512C P X C =-==；21553105)0(12C C C P X ⋅===； 12553105(5)121P C C X C ⋅===；353101() 3012P C C X === 乙得分的分布列如下：()1501530121212122EX =⨯-+⨯+⨯+⨯= （2）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，记甲入选为事件A ，乙入选为事件B ．则()322332381()()()551525C P A ==+， ()51211122P B +==，故甲乙两人至少有一人入选的概率441103111252125()A B P P =--⨯=⋅=． 【点睛】本题考查概率的计算，考查互斥事件的概率，考查离散型随机变量的分布列与期望，确定变量的取值，计算其概率是关键．22．已知函数()2ln ,23,x x x af x x x x a >⎧=⎨-+-≤⎩，其中0a ≥.（1）当0a =时，求函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程；（2）如果对于任意12,x x ∈R ，且12x x <，都有()()12f x f x <，求a 的取值范围. 【答案】（1）1y x =-；（2）1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】（1）根据题意，对函数求导，得出切线斜率，进而可求出切线方程； （2）先由题意，得到函数()f x 是定义在R 上的增函数；根据导数的方法以及二次函数的性质，由分段函数单调性，分别求解，即可得出结果. 【详解】（1）由题意，得0x >时，()()ln ln 1f x x x x ''==+， 所以()11f '=，又因为()10f =，所以函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程为1y x =-； （2）因为对于任意12,x x ∈R ，且12x x <，都有()()12f x f x <， 所以()f x 是定义在R 上的增函数；当x a ≤时，()223f x x x =-+-是开口向下，对称轴为1x =的二次函数，为使其在(),a -∞上单调递增，只需1a ≤；当0x >时，()ln f x x x =， 则()ln 1f x x '=+，令()ln 10f x x '=+=，解得1=x e. 随着x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：即函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，且()min 11f x f e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭. 为使其在(),a +∞上单调递增，只需1a e≥； 又因为()22123122x x x e-+-=---≤-<-，即x a ≤时，()f x 的最大值，必然小于x a >时，()f x 的最小值； 综上，满足题意的a 的取值范围为1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查求曲线在某点的切线方程，考查由分段函数单调性解不等式，利用导函数的方法求解即可，属于常考题型.。

北京市第四中学2021届高三下学期开学考试数学试题一、选择题1.已知集合{}13A x x =-≤<，{}24B x Z x =∈<，则AB =（ ）A ．{}0,1B ．{}1,0,1-C ．1,0,1,2D ．{}2,1,0,1,2--2.已知复数z 满足3i z z +=+，则z =（ ）A ．1-iB ．1+iC ．4i 3- D ．4i 3+ 3.设{}n a 为等差数列，122a =，n S 为其前n 项和，若1013S S =，则公差d =（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．24.函数ln cos 22y x x ππ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．5.已知向量()1,1a →=，()44,2a b →→+=，则向量a →与b →的夹角为（ ）A ．4πB ．3π C ．23π D ．34π 6.从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，则这个数是奇数的概率为（ ） A ．12B ．35C ．25 D ．347.已知函数2,(),x x af x x x a⎧≥=⎨-<⎩若函数()f x 存在零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),0-∞B ．()0,∞+C ．(),1-∞D ．()1,+∞8.已知实数0x >,0y >，则“224x y +≤”是“1xy ≤”的（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件9.科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到，任画一条线段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每条小线段重复上述步骤，得到16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”，…，如此进行“n 次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度达到初始线段的1000倍，则至少需要通过构造的次数是（ ）.（取lg30.4771≈，lg 20.3010≈）A ．16B ．17C ．24D ．2510.袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（ ） A ．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B ．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C ．乙盒中红球不多于丙盒中红球 D ．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多二、填空题11.在二项式62x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为______．12.已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()0f 的值为____________.13.某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该三棱锥的体积为___________.14.能说明“直线0x y m -+=与圆224200x y x ++-=有两个不同的交点”是真命题的一个m 的值为___________.15.笛卡尔､牛顿都研究过方程()()()123x x x xy ---=，关于这个方程的曲线有下列说法：①该曲线关于y轴对称；②该曲线关于原点对称；③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有且只有三个点的横､纵坐标都是整数.其中不正确的是___________. 三、解答题16.已知ABC 满足___________，且6b ，23A π=，求sin C 的值及ABC 面积.从①4B π=②3a =32a B =这三个条件中选一个，补充上面的问题中，并完成解答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.17.如图，已知梯形ABCD 中，//AD BC ，90DAB ∠=︒，24AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，2DE =，面EDCF ⊥平面ABCD .（1）求证：//DF 平面ABE ； （2）求二面角A BE F --的余弦值；（3）若点P 在线段EF 上，且直线AP 与平面BEF 221AP 的长. 18.某贫困县在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展养茶业.该县农科所为了对比A ，B 两种不同品种茶叶的产量，在试验田上分别种植了A ，B 两种茶叶各20亩，所得亩产数据（单位：千克）如下：A ：41.3，47.3，48.1，49.2，51.2，51.3，52.7，53.3，54.2，55.3，56.4，57.6，58.9，59.3，59.6，59.7，60.6，60.7，61.1，62.2；B ：46.3，48.2，48.3，48.9，49.2，50.1，50.2，50.3，50.7，51.5，52.3，52.5，52.6，52.7，53.4，54.9，55.6，56.7，56.9，58.7；（1）从A ，B 两种茶叶亩产数据中各任取1个，求这两个数据都不低于55的概率；（2）从B 品种茶叶的亩产数据中任取2个，记这两个数据中不低于55的个数为X ，求X 的分布列及数学期望；（3）根据以上数据，你认为选择该县应种植茶叶A 还是茶叶B ？请说明理由.19.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，且()11,0F -，椭圆经过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求椭圆的方程；（2）直线l 过椭圆右顶点B ，交椭圆于另一点A ，点G 在直线l 上，且GOB GBO ∠=∠.若12GF AF ⊥，求直线l 的斜率．20.已知函数()2f x x =（0x >），()lng x a x =（0a >）.（1）若()()f x g x >恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当1a =时，过()f x 上一点()1,1作()g x 的切线，判断：可以作出多少条切线，并说明理由.21.已知项数为()*2mm m ∈≥N ，的数列{}n a 满足如下条件：①()*1,2,,na n m ∈=N ；②12···.m a a a <<<若数列{}n b 满足()12*···1m n n a a a a b m +++-=∈-N ，其中1,2,,n m =则称{}n b 为{}n a 的“伴随数列”.（I ）数列13579，，，，是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说明理由； （II ）若{}n b 为{}n a 的“伴随数列”，证明：12···m b b b >>>； （III ）已知数列{}n a 存在“伴随数列”{}n b ，且112049m a a ==，，求m 的最大值.参考答案1.【解析】因为2422x x <⇒-<<，所以{}1,0,1B =-，又集合{}13A x x =-≤<， 所以{}1,0,1A B =-， 故选：B ． 【答案】B2.【解析】设(,)za bi ab =+∈R，则z =3i i a b +=+，所以31a b ⎧⎪=⎨=⎪⎩ ，解得431a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ，即3i 4z =+，选D ． 【答案】D3.【解析】由题意可得：12111213131030a a a a S S =++=-=，则120a =，等差数列的公差121022212111a a d --===--. 本题选择A 选项. 【答案】A4.【解析】由函数解析知，ln cos()ln cos x x -=，函数为偶函数，且22x ππ-<<时，cos (0,1]x ∈，则ln cos 0y x =≤，观察选项知，A 正确，BCD 错误； 故选：A 【答案】A5.【解析】因为()1,1a →=，()44,2a b →→+=，设 (),b x y →=，所以4442x y +=⎧⎨+=⎩，解得02x y =⎧⎨=-⎩，所以()0,2b →=-，设向量a →与b →的夹角为θ，所以cos a ba bθ→→→→⋅==⨯又因为[0,]θπ∈，所以34πθ=， 故选：D ． 【答案】D6.【解析】先计算全部无重复数字的三位数情况：若选2，则有233318C A ⋅=个，若选0，则有21232212C C A ⋅⋅=个，所以共有181230+=个无重复数字的三位数. 再计算奇数的情况：若选0，则有21326C C ⋅=个奇数，若选2，则有21232212C C A ⋅⋅=个，所以共有12618+=个，奇数的概率为183305=. 故选：B 【答案】B7.【解析】如图所示：指数函数20x y =>，没有零点，y x =-有唯一的零点0x ＝，所以若函数()f x 存在零点，须()()f x x x a =-<有零点，即()0,a ∈-∞， 所以0a >， 故选：B ． 【答案】B8.【解析】2222x y x y ++≥且224x y +≤ ，422x y ∴≤⇒+≤ ，等号成立的条件是x y =，又x y +≥，0,0x y >>21xy ∴⇒≤ ，等号成立的条件是x y =,2241x y xy ∴+≤⇒≤，反过来，当12,3x y ==时，此时1xy ≤，但224x y +> ，不成立，∴ “224x y +≤”是“1xy ≤”的充分不必要条件.故选:C 【答案】C9.【解析】记初始线段长度为a ，则“一次构造”后的折线长度为43a ，“二次构造”后的折线长度为243a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，以此类推，“n 次构造”后的折线长度为43na ⎛⎫⎪⎝⎭，若得到的折线长度为初始线段长度的1000倍，则410003n a a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，即410003n⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，()()44lg lg lg 4lg32lg 2lg3lg1000333nn n n ⎛⎫∴==-=-≥= ⎪⎝⎭，即324.0220.30100.4771n ≥≈⨯-，∴至少需要25次构造.故选：D. 【答案】D10.【解析】若乙盒中放入的是红球，则须保证抽到的两个均是红球；若乙盒中放入的是黑球，则须保证抽到的两个球是一红一黑，且红球放入甲盒；若丙盒中放入的是红球，则须保证抽到的两个球是一红一黑：且黑球放入甲盒；若丙盒中放入的是黑球，则须保证抽到的两个球都是黑球.由于抽到两个红球的次数与抽到两个黑球的次数应是相等的，故乙盒中红球与丙盒中黑球一样多，选B ． 【答案】B11.【解析】由题意，二项式62x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为6621662()2r r r r r rr T C x C x x --+==⋅，令620r -=，可得3r =，代入可得33462160T C =⋅=，所以展开式的常数项为160. 故答案为：160. 【答案】16012.【解析】由图可得2A =，353()41234T πππ=--=，所以2T ππω==，即2ω=，又5()212f π=，即52sin(2)212πϕ⨯+=，52,62k k Z ππϕπ+=+∈， 又||2ϕπ<，故3πϕ=-，所以()sin()f x x π=-223，(0)2sin()33f π=-=-.故答案为：3- 【答案】3-13.【解析】由三视图可知：在棱长为2的正方体中，对应的几何体为11D BCB -，1111111142223323D BCB BCB V S C D -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△.故答案为：43【答案】4314.【解析】因为圆224200x y x ++-=，所以()22224x y ++=，圆心()2,0-，半径6因为直线0x y m -+=与圆224200x y x ++-=有两个不同的交点，所以2222611m d -<+243243m -<<+所以命题为真的一个m 的值为0（答案不唯一）.故答案为：0（答案不唯一）. 【答案】0（答案不唯一）15.【解析】因为(,)x y 满足方程()()()123x x x xy ---=，则将点(,)x y -代入方程有()()()123x x x xy +++=，原方程不成立， 所以该曲线不关于y 轴对称；将点(,)x y --代入方程有()()()123x x x xy +++=-，原方程不成立， 所以该曲线不关于原点对称；当0,0x y <<时，()()()1230,0x x x xy ---<>，所以方程()()()123x x x xy ---=不可能成立，所以该曲线不经过第三象限；令1x =-易得12y =即(1,12)-满足题意，同理可得(1,0)(2,0)(3,0)，，符合题意， 所以该曲线上有且只有三个点的横､纵坐标都是整数是错误的； 故答案为：①②④. 【答案】①②④16.【解析】若选①，()21sin sin sin 342C A B ππ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，因为3sin sin a b a A B ==⇒=，所以11sin 322ABC S ab C ==⨯=△.若选②，因为a =b =，b a >，所以23B A π>=，此时A BC π++>，ABC 不存在，故无解.若选③，sin sin sin a b B A B ==⇒=因为23A π=，所以02B π<<，即4B π=.所以()21sin sin sin 342C A B ππ⎛⎫=+=+== ⎪⎝⎭因为63sin sin 3222a b a a A B =⇒=⇒=， 所以1162933sin 362244ABC S ab C --==⨯⨯⨯=△. 【答案】选①，62sin 4C -=，9334ABCS -=；选②，ABC 不存在，故无解；选③，62sin 4C -=，9334ABCS-=. 17.【解析】（1）如图，设对角线EC 与DF 相交于点G ，取线段EB 中点H ，连接AH GH ，, 因为点G 为EC 中点，所以1//2GH BC ,由题意1//2AD BC ，所以//GH AD ，所以四边形GHAD 为平行四边形， 所以//DG AH ,又DG ⊄面ABE ，AH ⊂面ABE , 所以DG//平面ABE ,即//DF 平面ABE ；（2）因为四边形EDCF 为矩形，面EDCF ⊥平面ABCD ， 所以DE ⊥平面ABCD ,在平面ABCD 内过D 作一条线垂直于DA ，并以此作为y 轴， 以DA ，DE 分别为x ，z 轴建立空间直角坐标系， 则(2,0,0)(2,4,0)(0,0,2)(2,4,2)A B E F -,,,, 所以(0,4,0),(2,4,2),(2,4,0)AB EB EF →→→==-=-, 设面ABE 的法向量为1n →，面BEF 的法向量为2n →，因为1104024200n AB y x y z n EB ⎧⋅==⎧⎪⇒⎨⎨+-=⋅=⎩⎪⎩，不妨取1x =，则1z =，所以1(1,0,1)n →=， 因为11024024200n EF x y x y z n EB ⎧⋅=-+=⎧⎪⇒⎨⎨+-=⋅=⎩⎪⎩，不妨取1y =，则2x =，4z =，所以2(2,1,4)n →=， 设二面角A BE F --的平面角为θ，所以121212642cos cos ,7221n n n n n n θ→→→→→→⋅=〈〉===⨯， 由图可知：二面角A BE F --的平面角为钝角， 所以二面角A BE F --的余弦值为427-；（3）因为点P 在线段EF 上， 所以设(2,4,0)(2,4,0)EP EF λλλλ→→==-=-,(2,0,2)(2,4,0)(2(1),4,2)AP AE EP λλλλ→→→=+=-+-=-+,又因为面BEF 的法向量为2(2,1,4)n →=， 所以22224448221cos ,214(1)164212088AP n λλλλλλ→→--++〈〉===⨯+++⨯++整理得25270λλ+-=， 又因为[0,1]λ∈，解得1λ=， 此时(4,4,2)AP →=-，所以6AP →=综上：线段6AP =时，直线AP 与平面BEF【答案】（1）证明见详解；（2）；（3）6； 18.【解析】（1）从A 种茶叶亩产数据中任取一个，不低于55的有11个，从B 种茶叶亩产数据中任取一个，不低于55的有4个，设“所取两个数据都不低于55”为事件A ，则11411()2020100P A =⨯=． （2）X 的所有可能取值为0，1，2，2016422060(0)95C C P X C ===， 1116422032(1)95C C P X C ===， 021642203(2)95C C P X C ===， X ∴的分布列为：∴期望123232()0121995955E X =⨯+⨯+⨯=． （3）由题得1(41.347.348.149.251.251.352.753.354.255.356.420A x =++++++++++ 57.658.959.359.659.760.660.761.162.2)52.015+++++++++=，1(46.348.248.348.949.250.150.250.350.751.5+52.320B x =+++++++++ 52.5+52.6+52.7+53.4+54.9+55.6+56.7+56.9+58.7)=52所以A 种茶叶的平均亩产量比B 种茶叶的平均亩产量高，所以选择A 种茶叶. 【答案】（1）11100；（2）分布列见解析，2()5E X =；（3）选择种植茶叶A ，理由见解析.19.【解析】（1）易知点()21,0F ，由椭圆的定义得1224a PF PF =+==，2a ∴=，b 因此，椭圆的方程为22143x y +=；（2）由题意可知，直线l 的斜率存在，且斜率不为零，设直线l 的方程为()20x ty t =+≠，设点()00,A x y ，联立2223412x ty x y =+⎧⎨+=⎩，消去x 得()2234120t y ty ++=，则021234t y t =-+，2028634t x t -=+， 所以，点A 的坐标为2228612,3434t t t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， GOB GBO ∠=∠，则1G x =，可得1G y t =-，所以，点G 的坐标为11,t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，12GF AF ⊥，则120FG F A ⋅=，112,F G t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，22224912,3434t t F A t t ⎛⎫-=- ⎪++⎝⎭，所以，21222018034t FG F A t -⋅==+，解得t =，因此，直线l 的斜率为1t =.【答案】（1）22143x y +=；（2）20.【解析】（1）令()()()2ln h x f x g x x a x =-=-（0x >）所以()2222a x a x x h x x='-=-令()2220x x xh a -'==，解得x x 变化时，()h x '，()h x 的变化情况如下表：所以在()0,∞+的最小值为ln 2222a a a ah a =-=-令0h >，解得02e a <<. 所以当02e a <<时，()0h x >恒成立，即()()f x g x >恒成立． （2）可作出2条切线．理由如下：当1a =时，()ln g x x =.设过点()1,1的直线l 与()ln g x x =相切于点()00,P x y ， 则()00011y g x x -'=-即000ln 111x x x -=- 整理得000ln 210x x x -+=令()ln 21x x m x x -=+，则()m x 在()0,∞+上的零点个数与切点P 的个数一一对应.()ln 1m x x '=-，令()ln 10x m x '=-=解得x e =.当x 变化时，()m x '，()m x 的变化情况如下表：所以()m x 在()0,e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增. 且2222211124ln 110m e ee e e ⎛⎫=⨯-+=-+> ⎪⎝⎭()ln 2110m e e e e e =⨯-+=-+<()2222ln 2110m e e e e =⨯-+=>所以()m x 在21,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()2,e e 上各有一个零点，即ln 210x x x -+=有两个不同的解.所以过点()1,1可作出ln y x =的2条切线.【答案】（1）02e a <<.（2）2条切线，理由见解析21.【解析】（I ）不存在.理由如下：因为*413579751b ++++-=∈-N ，所以数列1,3,5,7,9不存在“伴随数列”.（II ）因为*11,11,1n n n n a a b b n m n m ++--=≤≤-∈-N ，又因为12m a a a <<<，所以10n n a a +-<，所以1101n n n n a a b b m ++--=<-，即1n n b b +<，所以12···m b b b >>>成立.（III ）1i j m ∀≤<≤，都有1j j i j a a b b m --=-，因为*i b N ∈，12m b b b >>>，所以*i j b b N -∈，所以*11204811m m a a b b m m --==∈--N . 因为*111n n n n a a b b m ----=∈-N ，所以11n n a a m --≥-.而()()()()()()111221111m m m m m a a a a a a a a m m m ----=-+-++-≥-+-++-()21m =-，即()2204911m -≥-，所以()212048m -≤，故46m ≤.由于*20481m ∈-N ，经验证可知33m ≤.所以m 的最大值为33. 【答案】（I ）不存在，理由见解析；（II ）详见解析；（III ）33.。

2021届北京市高三高考模拟数学试卷及答案一、单选题1．已知集合{}{1},3A x N x B x x =∈>=≤∣∣，则A B =（ ）A ．{13}xx <≤∣ B ．{}2,3C ．{13}xx <<∣ D ．{}2答案：B解题思路：根据交集的定义计算可得；解：解：因为{}{1},3A x Nx B x x =∈>=≤∣∣ 所以{}2,3A B ⋂= 故选：B2．已知复平面坐标系第三象限内的点Z 对应的复数为z a i =-，且2z =，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．1-C D ．答案：D解题思路：根据复数z 的模先计算出a 的可取值，然后根据Z 所在象限确定出a 的值.解：因为2z =2=，所以a =又因为Z 在第三象限且(),1Z a -，所以0a <，所以a = 故选：D.3．下列函数中，既是奇函数，又满足值域为R 的是（ ） A ．1y x=B ．1y x x=+C ．1y x x=-D ．sin y x =答案：C解题思路：由函数的奇偶性和值域直接判断可排除A 、B 、D ，对C ，采用导数法，函数函数图象可判断正确 解：对A ，1y x=为奇函数，值域为0y ≠，故A 错； 对B 、1y x x =+，函数为“对勾函数”因为0x ≠，所以0y ≠，故B 错误； 对C ，1y x x =-为奇函数，当0x >时，因为21'10y x =+>，故1y x x=-在0x >为增函数，1x =时，函数值为0，当0x +→时，y →-∞，,→+∞→+∞x y ，画出图形如图：所以y R ∈，故C 正确；对D ，sin y x =，函数为奇函数，值域为[]1,1-，故D 错误； 故选：C点评：本题考查函数的奇偶性与值域的判断，属于基础题 ①判断函数奇偶性除了定义法外，还可采用口诀进行判断： 奇函数=奇函数±奇函数=奇函数()⨯÷ 偶函数；②对于常见函数类型，应熟记于心，比如反比例函数，对勾函数； ③对于复杂函数，研究值域时，可采用导数进行研究4．已知三棱锥ABCD 的四个顶点在空间直角坐标系中的坐标分别为()()2,0,0,2,1,0A B ，()()0,2,0,0,1,2C D ，则该三棱锥的体积为（ ）A ．13B ．23C ．43D ．83答案：B解题思路：在平面直角坐标系中找出点的位置，数形结合计算可得；解：解：如图在空间直角坐标系上找出点的位置，取OC 的中点F ，连接DF ，显然DF ⊥平面ABC ，11212ABCS=⨯⨯=，2DF =，所以11212333D ABC ABCV S DF -=⋅=⨯⨯= 故选：B5．在532x x ⎛- ⎝的展开式中，x 的系数是（ ）A ．10B ．10-C ．40D ．40-答案：D解题思路：首先写出展开式的通项，再代入计算可得；解：解：532x x ⎛ ⎝展开式的通项为()()1545531553221rrr r rr r r T C x C x x ---+⎛==- ⎝令15413r -=，解得3r =，所以()332452140T C x x =-=- 故x 的系数是40- 故选：D6．已知角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限的点P ，且点P 的纵坐标为12，则sin 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．12B ．12-C ．32D ．3答案：D解题思路：先求出3122P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，利用定义求出3cos α=，在直接用诱导公式求出sin 2πα⎛⎫- ⎪⎝⎭. 解：因为角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限的点P ，且点P 的纵坐标为12，所以3122P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，所以根据三角函数的定义，得：3cos 2α=-. 所以2s n s 2co i 3απα⎛⎫-= ⎪=-⎝⎭. 故选：D点评：(1) 三角函数值的大小与点P （x ,y ）在终边上的位置无关，严格代入定义式子就可以求出对应三角函数值；(2) 当角的终边在直线上时，或终边上的点带参数必要时，要对参数进行讨论．7．如图，每个小正方格的边长都是()1,,AD AB AC R λμλμ=+∈，则λμ⋅的值为（ ）A ．1B ．12C ．34-D ．32-答案：C解题思路：建立平面直角坐标系，运用向量坐标的线性运算可求解. 解：建立如下图所示的平面直角坐标系：可得(0,0),(1,2),(2,1),(4,1)A D B C -， 所以(1,2),(2,1),(4,1)AD AB AC ===-，由AD AB AC λμ=+，有(1,2)(2,1)(4,1)(24,)λμλμλμ=+-=+-，则2412λμλμ+=⎧⎨-=⎩，解得3212λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以34λμ⋅=-. 故选：C.8．已知等差数列{}n a 的前n 项和记为1234,24n S a a a S ++=+，则“11a <”是“{}n S 为单调数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：A解题思路：由条件求得公差2d =-，从而求得211(1)(1)2n n n S na d n a n -=+=-++，根据一元二次函数的性质，结合对称轴的位置判断命题是充分必要性即可.解：设公差为d ，由12341234244a a a S a a a a ++=+=++++，则4224a a d -==-，2d =-，211(1)(1)2n n n S na d n a n -=+=-++，对称轴为112a +， 则当11a <时，1112a +<，对于n N +∈，数列{}n S 是单减数列，故“11a <”是“{}n S 是单调数列”的充分条件；弱对于n N +∈，数列{}n S 是单调数列，根据一元二次函数的性质知，对称轴11322a +<，即12a <，故“11a <”是“{}n S 是单调数列”的不必要条件；综上所说，“11a <”是“{}n S 是单调数列”的充分不必要条件 故选：A点评：关键点点睛：根据条件求得公差，及n S 的表达式，利用一元二次函数的性质判断单调性即可.9．已知点(){}22,|(2)(2P x y x y ∈++=，点()1*,(1)n n nQ n a a n N +⎧⎫⎪⎪∈=-∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭∣，则OP OQ ⋅的最大值为（ ） A ．9 B ．8C ．7D ．6答案：A解题思路：先分别设出P θθ-，1(1)(,)n Q n n+-⋅，再运用向量的数量积再分析最大值即可.解：设2P θθθπ-≤≤，1(1)(,n Q n +-，所以1(2)(1)n OP OQ n θθ+=-++⋅⋅-， 因为*,1cos 1,1sin 1n N θθ∈-≤≤-≤≤， 20θ-<，0θ>，所以要使OP OQ⋅最大，1n =，所以2cos 2n 4sin()5OP OQ θθθϕ⋅=-+=++， 所以max ()9OP OQ ⋅=. 故选：A.点评：关键点睛：解决本题的关键一是将点坐标化，二是分析到1n =时有最大值，然后再用辅助角公式.10．在平面直坐标系中，点()()111222,,,P x y P x y ，定义12121212121212,,PP x x x x y y d y y x x y y ⎧--≤-⎪=⎨-->-⎪⎩为点12P P ，之间的极距，已知点P 是直线:290l x y +-=上的动点，已知点Q是圆22:5O x y +=上的动点，则P ，Q 两点之间距离最小时，其极距为（ ）A ．1B ．5C ．45D 答案：C解题思路：先分析出极距的含义，12PP d 就是直角三角形12PRP 中较小的直角边的大小.先用几何法求出PQ 的最小值，再求P ，Q 两点之间的极距.解：如图示：在平面直角坐标系内，()()111222,,,P x y P x y ，作出直角三角形12PRP ,则 由极距的定义知，12PP d 就是直角三角形12PRP 中较小的直角边的大小. 因为点P 是直线:290l x y +-=上的动点，Q 是圆22:5O x y +=上的动点，要使PQ 最小，则OP l ⊥，5PQ OP =-最小，此时22009455=5=521PQ OP +-=--+. 设直线l 交x 轴于A ，交y 轴于B ,因为直线l 的斜率为-2，所以12OA OB =过P 作//PR x 轴，过Q 作//QR y 轴，则PQRBAO ,所以12RQ OA RP OB ==在直角三角形PRQ 中，P ，Q 两点之间的极距即为RQ ,设=RQ t ，则=2RP t ,所以()22225tt +⎛=⎫ ⎪⎝⎭，解得：4=5t ，即45=RQ ，所以P ，Q 两点之间的距离最小时的极距为45故选：C点评：（1）数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移. （2）距离的最值的计算方法有两类：①几何法：利用几何图形求最值；②代数法：把距离表示为函数，利用函数求最值. 二、填空题11．已知双曲线221y x m-=的一个焦点与抛物线280x y +=的焦点重合，则该双曲线的离心率为__________. 答案：2解题思路：将抛物线化成标准形式求出焦点坐标(2,0)F -，从而得到双曲线c 的值，进而求出离心率；解：设抛物线的焦点为F ，22)8800(2,x y y x F ⇒=-+=⇒-，∴2123m m +=⇒=， ∴221c e a ===， 故答案为：2.12．已知函数()()ln ,0,0x x f x g x x >⎧=⎨<⎩，若()0,0x ∃∈-∞，使得()()000f x f x +-=成立，请写出一个符合条件的函数()g x 的表达式__________. 答案：()1g x x=（答案不唯一） 解题思路：由()()000f x f x +-=知，()()000g x f x +-=，变形得()()00g x f x =--，由对称性画出()()000,,y f x x =∈-∞--的图象，找出一个能与之有交点的函数图象即可 解：由()0,0x ∃∈-∞，使得()()000f x f x +-=可得()()00g x f x =--，由()y f x =与()y f x =--图象关于原点对称可得ln y x =与()ln y x =--图像关于原点对称，如图：取1y x =时，在第三象限显然有一交点0x ，故取()1g x x=符合， 故答案为：()1g x x=点评：本题考查函数与零点的综合应用，能有效利用对称性作图是解题关键，对于函数的对称性问题，有以下结论：①()y f x =与()y f x =-关于y 轴对称； ②()y f x =与()y f x =-关于x 轴对称； ③()y f x =与()y f x =--关于原点对称.13．关于任意平面向量可实施以下6种变换，包括2种v 变换和4种w 变换1:v 模变为原来的12倍，同时逆时针旋转90； 2:v 模变为原来的12倍，同时顺时针旋转90；1:w 245；2w 245； 3:w 2135； 4:w 2135记集合{}121234,,,,,S v v w w w w =，若每次从集合S 中随机抽取一种变换，每次抽取彼此相互独立，经过n 次抽取，依次将第i 次抽取的变换记为()0,1,2,,i a i n =，即可得到一个n 维有序变换序列，记为()12,,,n n G a a a ，则以下判断中正确的序号是__________.①单位向量()1,0i =经过奇数次v 变换后所得向量与向量()0,1a =同向的概率为12； ②单位向量()1,0i =经过偶数次w 变换后所得向量与向量()1,1b =同向的概率为14； ③若单位向量()1,0i =经过6G 变换后得到向量()1,0j =-，则6G 中有且只有2个v 变换；④单位向量()1,0i =经过6G 变换后得到向量()1,0j =-的概率为25253⨯. 答案：①②③ 解：略 三、双空题14．已知等比数列{}n a 中，254a a =-，则公比q =__________，数列{}2n a 的前n 项和为__________.答案：21n -解题思路：设等比数列{}n a 的公比为q ，列方程组求出1a 和q ，判断出数列{}2n a 为等比数列，直接套公式求出其前n 项和.解：设等比数列{}n a 的公比为q ，11n n a a q-=，由254a a =-得：4114a a q q ==-，解得：11,a q =-=. 所以()222112n n n a qa --==，数列{}2n a 为等比数列所以数列{}2na 的前n 项和为122112nn n S -==--.故答案为：21n -点评：等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换和灵活运用性质．15．魏晋南北朝(公元220581-)时期，中国数学在测量学取得了长足进展.刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，通过多次观测，测量山高水深等数值，进而使中国的测量学达到登峰造极的地步，超越西方约一千年，关于重差术的注文在唐代成书，因其第一题为测量海岛的高度和距离(图1)，故题为《海岛算经》受此题启发，小清同学依照此法测量奥林匹克公园奥林匹克塔的高度和距离(示意图如图2所示)，录得以下是数据(单位：米)：前表却行1DG =，表高2CD EF ==，后表却行3FH =，表间244DF =.则塔高AB =__________米，前表去塔远近BD =__________米.答案：246 122解题思路：根据相似三角形的性质计算可得；解：解：依题意可得EFH ABH ∽，CDG ABG ∽△△，所以32BH AB =，12BG AB= 又247BH BD =+，1BG BD =+，所以312471BD BD =++，解得122BD =，所以2246AB BG ==故答案为：246；122；四、解答题16．已知ABC 中，点D 是边BC 的中点，21cos 477B AD ==__________. 从①6BAD π∠=，②7BD =，这二个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.（1）求sin ADC ∠； （2）求ABC 的面积･答案：（1）答案见解析；（2）答案见解析. 解：解：选择①（1）因为在ABC 中，21cos B = 所以02B π<<，可得227sin 1cos B B =-=. sin sin()ADC BAD B ∠∠∠∴=+sin cos cos sin BAD B BAD B ∠∠∠∠=⋅+⋅ 1213272=+321= （2）在ABC 中，由正弦定理sin sin BD ADBAD B∠∠=，得147sin 27sin 27AD BADBD B∠∠⨯===ΔΔ2ABC ADC S S ∴=12sin 2AD DC ADC ∠=⨯⨯⨯⨯714=⨯=选择②（1）在ΔABC 中，由正弦定理sin sin BD ADBAD B ∠∠=，得7sin 1sin2BD BBAD AD∠∠⨯===因AD BD >， 所以02BAD B π∠∠<<<，所以6BAD π∠=sin sin()ADC BAD B ∠∠∠∴=+sin cos cos sin BAD B BAD B ∠∠∠∠=⋅+⋅127=⨯+14= （2）ΔΔ2ABC ADC S S ∴=12sin 2AD DC ADC ∠=⨯⨯⨯⨯7==17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PAB △为正三角形，且侧面PAB ⊥底面ABCD ，M 为PD 的中点.（1）求证：//PB 平面ACM ；（2）求直线BM 与平面PAD 所成角的正弦值. （3）求二面角C PA D --的余弦值. 答案：（1）证明见解析；（2）32；（3）277.解题思路：（1）连接BD ，与AC 交于O ，可证//BP OM ，进而得证；（2）设E 是AB 的中点，以E 为原点，分别以,,EB EF EP 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系E xyz -，分别求出BM 和平面PAD 的法向量，再结合向量夹角的余弦公式，由sin cos ,n BM α=〈〉即可求解；（3）在（2）的坐标系基础上，再求出平面CPA 的法向量，由向量夹角的余弦公式即可求解 解：（1）证明：连接BD ，与AC 交于O ，在PBD △中，,O M 分别为,BD PD 的中点，//BP OM ∴,BP ⊄平面,ADE OM ⊂平面CAM ，//BP ∴平面CAM ；（2）ABCD 是正方形，ΔPAB 为正三角形，设E 是AB 的中点，PE AB ∴⊥.又面PAB ⊥底面ABCD ，PE ∴⊥平面.ABCD过E 作EF 平行于CB 与CD 交于F . 以E 为原点，分别以,,EB EF EP 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系E xyz -， 则()()()0,0,0,1,0,0,1,0,0E B A -()()()130,0,3,1,2,0,1,2,0.,1,22P C D M ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭()()331,0,3,0,2,0,2PA AD BM ⎛∴=--==- ⎝⎭设平面PAD 的法向量为(),,n x y z =，则30,020n PA x z y n AD y ⎧⋅=--=⎪=⎨⋅==⎪⎩，令 1.z =则3x =-()3,0,1n =-. 设直线BM 与平面PAD 所成角的正弦值为α，33sin cos ,21n BM n BM n BMα⋅∴=〈〉===⨯⋅即直线BM 与平面PAD 3 （3）由（2）可知()2,2,0AC =，设平面PAC 的法向量为()111,,m x y z =，则111130220m PA x z m AC x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1 1.z =则113,3x y =-=()3,3,1.m =- 27cos ,7n m n m n m⋅∴〈〉==⋅， 由题知，二面角C PA D --为锐二面角，∴二面角C PA D --27点评：本题考查线面平行的证明，由法向量求解线面角的正弦值，二面角夹角的余弦值求法，属于中档题，解决线面平行问题常用以下方法：①由中位线定理求解线线平行，再证线面平行； ②由平行四边形证明线面平行； ③由相似三角形证明线面平行.18．第二十四届冬季奥林匹克运动会将于2022年在北京市和张家口举行.为了调查学生对冬奥会知识的了解情况，某校对高一､高二年级全体学生进行了相关知识测试，然后从高一､高二各随机抽取了20名学生成绩(百分制)，并对数据(成绩)进行了整理､描述和分析.下面给出了整理的相关信息：高一年级成绩分布表 成绩(分数)[)50,60 [)60,70 [)70,80 [)80,90 [)90,100人数123410（1）从高一和高二样本中各抽取一人，这两个人成绩都不低于90分的概率是多少？（2）分别从高一全体学生中抽取一人，从高二全体学生中抽取2人，这三人中成绩不低于90分的人数记为X ，用频率估计概率，求X 的分布列和期望？（3）若按照得分从高到底分为A ､B ､C ､D ､E ，学校为提高对冬奥会知识的了解情况需要在高一或高二进行一场讲座，假设讲座能够使学生成绩普遍提高一个级别，那么若要想高一和高二学生的平均分尽可能的高，需要在高一讲座还是高二讲座？ 答案：（1）18；（2）分布列答案见解析，数学期望：1；（3）高二. 解题思路：（1）根据事件的同时发生可直接求得答案；（2）先取随机变量的取值，再分别计算概率，从而可得分布列及期望； （3）由图表可直接判断.解：（1）设从高一样本中抽取一人成绩不低于90分为事件A ，从高二抽取一人成绩不低于90分为事件B ，两人成绩都不低于90分的概率为：()()1010.02510208P A P B =⨯⨯=； （2）由题意可知从高一年级中抽取一人此人成绩不低于90分的概率为1;2从高二年级中抽取一人此人成绩不低于90分的概率为1;4X 的可取值为0,1,2,3()21190112432P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()212111111511112424432P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-+-⨯⨯-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()212113117212442432P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()211132432P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭.X 的分布列如下表所以1()0123132323232E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. （3）由于高一年级低分段的人数相比高二年级要少得多，需要在高二讲座. 19．已知函数()()2e 21xf x x ax a =---∈R .（1）若0a =，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； （2）若12a =求证：当()0,1x ∈时，()0f x <； （3）若对任意的实数()()0,,0x f x ∞∈+≥恒成立，求a 的最大值. 答案：（1）y x =；（2）证明见解析；（3）e12-. 解题思路：（1）当0a =时，()2e 1xf x x =--，则()()e 2,01xf x x f ''=-=，由()00f =，利用导数的几何意义即可得解；（2）当()0,1x ∈时，()2210e 11exxx x f x x x ++<⇔<++⇔<，构造函数()()21,0,1e xx x g x x ++=∈，求导利用研究函数单调性，求得最值即可得解；（3）由分析可得由（2）可知，当12a ≥时，22e 21e 10x x x ax x x ---≤---<在01x <<上恒成立，所以，当12a ≥时，命题（3）结论不成立，所以 12a <，()20,,e 210xx x ax ∞∀∈+---≥等价于2e 12x x a x--≥，构造函数()()2e 1,0,x x h x x x∞--=∈+，利用导数研究函数()h x 即可得解.解：（1）当0a =时，()2e 1xf x x =--，则()()e 2,01xf x x f ''=-=，由()00f =，所以切线方程为：y x =. （2）当12a =时，()2e 1xf x x x =---， 当()0,1x ∈时，()2210e 11e xxx x f x x x ++<⇔<++⇔< 设()()21,0,1exx x g x x ++=∈. 则()()()()22221e 1e ee x xx xx x x x x g x +-++-='=当01x <<时，()()0,g x g x '>单调递增；注意到()01g =； 所以，当()0,1x ∈时，()()01g x g >=，结论成立. 所以当()0,1x ∈时，()0f x <. （3）由（2）可知，当12a ≥时， 22e 21e 10x x x ax x x ---≤---<在01x <<上恒成立；所以，当12a ≥时，命题（3）结论不成立，所以以后遇到需要对a 分类讨论的情形，我们就默认为12a <.()20,,e 210xx x ax ∞∀∈+---≥等价于2e 12x x a x--≥设函数()()2e 1,0,x x h x x x∞--=∈+则()()()()()2222e 2e 11e 11xx x x x x x x h x x x -⋅---⋅---=='()()21e 1x x x x ---=设()e 1xt x x =--，则()e 1xt x '=-，当()0,0x t x '>>注意到()00t =，所以，e 10x x -->； 令()0h x '=，解得1x =；所以，当01x <<时，()()0,h x h x '<单调递减； 当1x >时，()()0,h x h x '>单调递增； 所以，()min ()1e 2h x h ==-.由于()2h x a ≥恒成立，所以e2e 212a a ≤-⇒≤-. 所以对任意的实数()()0,,0x f x ∞∈+≥恒成立，a 的最大值是e12-. 点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了导数的几何意义，同时考查了转化思想和恒成立思想，计算量比较大，属于难题.本题的关键点为： （1）利用导数研究函数的单调性和最值以及证明不等式； （2）参变分离构造函数求参数范围.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>焦距为2，一条连接椭圆的两个顶点的直线斜率为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 右焦点F 且不与x 轴重合的直线与椭圆C 相交于,A B 两点，试问x 轴上是否存在点P ，使得直线,AP PB 斜率之积恒为定值？若存在，求出该定值及点P 的坐标；若不存在，说明理由.答案：（1）22143x y +=；（2）存在，94-；()2,0P . 解：解：（1）由题意易知：22222c bC a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得：21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴椭圆C 方程为：221.43x y +=（2）由（1）知糊圆C 右焦点F 坐标为()1,0， 设直线()()()1122:1,,,,,,0AB x my A x y B x y P n =+，由22134120x my x y =+⎧⎨+-=⎩得()2234690m y my ++-=； 显然Δ0>，且122122634934m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩此时()()212121211PA PB y y y yk k x n x n my n my n =⋅=--+-+- ()12221212(1)(1)y y m y y n m y y n =+-++-()2222934961(1)3434m m n m n m m -+=---+-++()()22229961(1)34m m n n m =+---+()2229344(1)m n n =---由上式知：无论m 取何值，当24n =， 即2n时，PA PB k k 是一个与m 无关的定值，当2n =-时，()222914344(1)PA PB k k m n n ==----；当21n =时，()222994344(1)PA PB k k m n n ==---- 综上，存在定点，当定点为()2,0P -时，直线,AP PB 斜率之积14A P PB k k =-，当定点为()2,0P 时， 直线,AP PB 斜率之积94PA PB k k =-. 21．已知无穷数列{}n a ，若存在常数m R ∈，满足：①对于{}n a 中的任意两项,()i j a a i j >，在{}n a 中都存在一项k a ，使得k i j a ma a =-；②对于{}n a 中的任意一项()3k a k ≥，在{}n a 中都存在两项,()i j a a i j >，使得k i j a ma a =-；则称数列{}n a 为Ω数列，m 称为该Ω数列的特征值. （1）数列{}:,,,n a a b b b，其中0b ≠，判断{}n a 是否为Ω数列，若是Ω数列，求出该数列的特征值，若不是，请说明理由；（2）数列{}n a 是特征值为3的Ω数列，且120a a <<，判断是否存在T R ∈，满足*n N ∀∈，n a T ≤，并请说明理由；（3）数列{}n a 单调，且是特征值为2的Ω数列，求证：数列{}n a 为等差数列. 答案：（1）1+ab；（2）不存在，理由见解析；（3）证明见解析. 解题思路：（1）依题意可得b mb b =-或b mb a =-，即2m =或1am b=+，再代入检验即可； （2）用数学归纳法证明：当*,2n N n ∀∈≥，有120n n a a +≥>，即可说明. （3）令1n 21b n a a a a -=-，依题意可得120,1b b ==，再利用数学归纳法证明{},.n t N t b ∀∈∈，即可得到1n b n =-，从而得证；解：解：（1）由②可知b mb b =-或b mb a =-，即2m =或1am b=+， 若2m =，由①可知2b a -在数列中，因此2b a a -=或2b a b -=，即a b =： 若1a m b =+，则1,1a a mb b b b a mb a b a b b b ⎛⎫⎛⎫-=+-=-=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，满足条件 而当a b =时，亦有12a m b =+=，综上，1am b=+.（2）下用数学归纳法证明：当*,2n N n ∀∈≥，有120n n a a +≥>. 当2n =时，3212320a a a a =->>成立，假设当()2n k k =≥时命题成立，则当1n k =+时，213k k k a a a ++=-， 由归纳假设，120k k a a +≥>，因此10k k k a a a +-≥>，有212k k a a ++≥， 即当1n k =+时命题也成立，证毕.若*,,nT R n N a T ∃∈∀∈≤，显然2a T ≤，令2222log 1log T T k a a ⎡⎤=+>⎢⎥⎣⎦， 则22log 22222Ta k k aa a T +≥>=，矛盾.因此，不存在T R ∃∈，满足*,.n n N a T ∀∈≤ （3）因为{}n a 单调，有210a a -≠， 令1n 21b n a a a a -=-，则数列{}n b 是单调递增且特征值为2的Ω数列，有120,1b b ==.下证{},.n t N t b ∀∈∈当0,1t =时显然命题成立.假设当()1t k k ≤≥时命题成立，则当1t k =+时， 由归纳假设可知{}{},1n n k b k b ∈-∈，由（1）可知(){}121n k k k b +=--∈， 即当1t k =+时，命题成立.若{}n t b ∃∈且t N ∉，设{}min i p i b N =∉∣，显然3p ≥且1,k k p b N ∀≤<∈. 由②可知，存在两项,()i j b b i j >，使得2p i j i b b b b =->，由{}n b 单调递增，可知j i p <<，因此,,2i j p i j b b N b b b N ∈=-∈矛盾. 综上，可知1n b n =-，有()()1211n a a n a a =+--为等差数列.点评：本题考查数列新定义问题，解答的关键是理清题意，以及数学归纳法的应用；。

高三数学参考答案及评分标准 第1页（共7页）通州区2021年高三年级第一次高考模拟考试数学参考答案及评分标准2021年4月一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）B （2）C （3）D （4）C （5）D （6）A （7）D （8）C （9）D （10）C 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）2i （12）y =；12 （13）124-+e e ；8 （14）2（不唯一）（15）②④三、解答题（共6小题，共85分） （16）（共13分）解：（Ⅰ）因为DC ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以AC CD ⊥.因为90ACB ∠=︒， 所以AC CB ⊥. 因为CD CB C =，所以AC ⊥平面BCD . …………………… 5分（Ⅱ）因为CD ⊥平面ABC ，所以CB CD ⊥．…………………… 6分 以点C 为坐标原点，分别以直线CB ，CD ，CA 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系C xyz -. 设2AC BC ==，则4DC =.因为点E ，F 分别是AB ，AD 的中点，所以(0,0,2)A ，(2,0,0)B ，(0,0,0)C ，(0,4,0)D ，(1,0,1)E ，(0,2,1)F . 所以(0,4,2)AD =-，(1)0,1,CE =，(0)1,2,CF =． 设平面CEF 的法向量为(,,)x y z =n ， 则0,0,n n CE CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,20.x z y z +=⎧⎨+=⎩令1y =，则2z =-，2x =．FEDCBA高三数学参考答案及评分标准 第2页（共7页）所以(2,1,2)n =-． 设直线AD 与平面CEF 所成角为θ. 所以sin cos ,AD θ=n ||||AD AD ⋅=nn ==． 所以直线AD与平面CEF . …………………… 13分（17）（共13分）解：（Ⅰ）选条件①：3sin 4sin B C =.因为3sin 4sin B C =，由正弦定理，得34b c =. …………………… 3分 因为1b c -=，解方程组，得4b =，3c =. …………………… 4分由余弦定理，得279162348a =+-⨯⨯⨯， 所以2a =. …………………… 8分 选条件②：ABC △ 因为7cos 8A =，所以sin A …………………… 2分因为ABC △12bc ⋅=所以12bc =. …………………… 4分 因为1b c -=，解方程组，得4b =，3c =. …………………… 5分由余弦定理，得279162348a =+-⨯⨯⨯， 所以2a =. …………………… 8分 （Ⅱ）由余弦定理，得49161cos 2234B +-==-⨯⨯. ……………………10分所以sin B == ……………………11分 所以sin tan cos BB B== …………………… 13分（18）（共14分）解：（Ⅰ）由图知，学生的测试评分不低于80分的频率(0.0300.015)100.45+⨯=．高三数学参考答案及评分标准 第3页（共7页）设抽取的学生人数为n ，所以0.459n =. 解得20n =．所以此次抽取的学生人数为20. …………………… 3分 （Ⅱ）由图知，学生的测试评分在[80,90)的频率0.030100.30⨯=，在[90,100]的频率0.015100.15⨯=所以200.306⨯=，200.153⨯=. …………………… 4分 所以学生的测试评分不低于80分的9名学生中，评分在[80,90)的有6人，在[90,100]的有3人， 所以X 的可能取值为0，1，2，3． …………………… 5分36395(0)21C P X C ===；21633915(1)28C C P X C ===；1263393(2)14C C P X C ===；33391(3)84C P X C ===． …………………… 9分 所以X 的分布列为10分 所以X 的数学期望515310123121281484EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． …………………… 11分 （Ⅲ）a b <. …………………… 14分（19）（共15分）解：（Ⅰ）因为()2e 1xf x x =-，所以2()(2)e x f x x x '=+.所以(0)1f =-，(0)0f '=．所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为10y +=． …………………… 3分 （Ⅱ）因为()e x g x ax =-，定义域为R ，所以()e xg x a '=-．…………………… 4分 ①当0a ≤时，()0g x '>.高三数学参考答案及评分标准 第4页（共7页）所以()g x 在R 上单调递增. …………………… 6分 ②当0a >时，令()0g x '=，得ln x a =，所以当0a >时，()g x 与()g x '在,-∞+∞()上的变化情况如下：所以()g x 在(),ln a -∞内单调递减，在()ln ,a +∞内单调递增. …………………… 7分 由①②可知，当0a ≤时，()g x 在R 上单调递增.当0a >时，()g x 在(),ln a -∞内单调递减，在[ln ,)a +∞内单调递增（Ⅲ）因为()()()F x f x g x =-，所以2()(1)e 1x F x x ax =-+-， 所以2()(21)e x F x x x a '=+-+.令()()h x F x '=，所以2()(41)e 0x h x x x '=++>. …………………… 9分 所以()h x 在区间[0,)+∞上单调递增，即()F x '在区间[0,)+∞上单调递增.…………………… 10分 所以()(0)1F x F a ''=-+≥. …………………… 12分 因为1a ≥，所以()0F x '≥. …………………… 13分 所以()F x 在区间[0,)+∞上单调递增. …………………… 14分 所以()(0)2F x F =-≥. …………………… 15分 所以当1a ≥时，()F x 在区间[0,)+∞上的最小值是2-.高三数学参考答案及评分标准 第5页（共7页）（20）（共15分）解：（Ⅰ）由题意得22222,.b c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩=+解得 1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 所以椭圆C 的方程为2212x y +=． …………………… 3分（Ⅱ）（i ）设P 点的坐标为00(,)x y ，因为点Q 是00(,)P x y 关于x 轴的对称点，PA AB =， 所以00(,)Q x y -，01(0,)2A y .所以直线QA 的斜率为000001322QAy y y kx x ---==，PA 的斜率为00000122PA y y y k x x -==. 所以3QA PAk k =-. …………………… 7分所以直线AQ ，AP 的斜率之比为定值. （ii ）设直线PA 的方程为y kx m =+.联立方程组22,22,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ 化简得222(12)4220k x kmx m +++-=． 设E 点的坐标是11(,)x y ，所以20122212m x x k -=+. 所以212022(12)m x k x -=+.所以21202(1)(12)k m y m k x -=++. 所以E 点的坐标是222200222(1)(,)(12)(12)m k m m k x k x --+++. …………………… 10分 由（Ⅱ）可知，直线QA 的方程是3y kx m =-+.所以F 点的坐标是222200226(1)(,)(118)(118)m k m m k x k x ---+++. …………………… 12分高三数学参考答案及评分标准 第6页（共7页）所以直线EF 的斜率2222002222006(1)2(1)(118)(12)2222(118)(12)EFk m k m m mk x k x k m m k x k x ---+--++=---++2614k k +=.…………………… 13分 因为0k >，所以26111(6)44EF k k k k k+==+14⨯≥ 当且仅当16k k =，即k =时，EF k 所以直线EF 的斜率的最小值是6. …………………… 15分（21）（共15分）解：（Ⅰ）数列1，4，5，8是Ω数列；数列2，4，8，16是Ω数列. …………………… 3分 （Ⅱ）证明：①当b a c b -=-时，令1b a =，2b b =，3b c =，42b c b =-，所以数列1b ，2b ，3b ，4b 为等差数列，且1234b a b b b c b <<<≤≤≤， 所以数列a ，b ，c 为Ω数列.②当b a c b -<-时，令12b b c =-，2b b =，3b c =，42b c b =-， 所以数列1b ，2b ，3b ，4b 为等差数列，且1234b a b b b c b <<<≤≤≤. 所以数列a ，b ，c 为Ω数列. ③当b a c b ->-时，令1b a =，22a c b +=，3b c =，432c ab -=， 所以数列1b ，2b ，3b ，4b 为等差数列，且1234b a b b bc b <<<≤≤≤. 所以数列a ，b ，c 为Ω数列.综上，若a b c <<，数列a ，b ，c 为Ω数列. …………………… 7分 （Ⅲ）假设M 中没有长为4的Ω数列，考虑集合k M ={16,161,,1615}k k k ++，0k =，1，2，3.因为数列0，16，32，48，64是一个共有5项的等差数列， 所以存在一个k ，使得k M 中没有一个元素属于M . 对于其余的k ，高三数学参考答案及评分标准 第7页（共7页）再考虑集合,{164,1641,1642,1643}k j M k j k j k j k j =+++++++，0j =，1，2，3. 因为164k j +，1644k j ++，1648k j ++，16412k j ++，16416k j ++是一个共有5项的等差数列，所以存在一个j ，使得,k j M 中没有一个元素属于M . 因为,k j M 中4个数成等差数列，所以每个,k j M 中至少有一个元素不属于M .所以集合{|063}x x ∈N ≤≤中至少有16431937+⨯+⨯=个元素不属于集合M . 所以集合M 中至多有643727-=个元素，这与M 中至少有28个元素矛盾. 所以假设不成立.所以M 中的元素必能构成长为4的Ω数列. …………………… 15分。

绝密★启用前2021年一般高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试终止后，将本试卷和答题卡一并交回。

学科:网第一部份（选择题共40分）一、选择题共8小题，每题5分，共40分。

在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合A={x||x|<2}，B={–2，0，1，2}，则A B=（A）{0，1} （B）{–1，0，1}（C）{–2，0，1，2} （D）{–1，0，1，2}（2）在复平面内，复数11i的共轭复数对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（3）执行如下图的程序框图，输出的s值为（A）12（B）56（C）76（D）712（4）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最先用数学方式计算出半音比例，为那个理论的进展做出了重要奉献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次取得十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122．假设第一个单音的频率为f ，那么第八个单音的频率为 （A ）32f （B ）322f （C ）1252f（D ）1272f（5）某四棱锥的三视图如下图，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3（D ）4（6）设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的 （A ）充分而没必要要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也没必要要条件（7）在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线20x my --=的距离，当θ，m 转变时，d 的最大值为 （A ）1 （B ）2 （C ）3（D ）4（8）设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤则 （A ）对任意实数a ，(2,1)A ∈（B ）对任意实数a ，（2，1）A ∉ （C ）当且仅当a <0时，（2，1）A ∉（D ）当且仅当32a ≤时，（2，1）A ∉ 第二部份（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每题5分，共30分。

2020-2021学年北京市首师大附中高三（上）开学数学试卷一、选择题（共10小题）.1. 复数i （3+i ）＝（ ） A. 1+3i B. ﹣1+3iC. 1﹣3iD. ﹣1﹣3i【答案】B 【解析】 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可. 【详解】i （3+i ）＝3i +i 2＝﹣1+3i . 故选：B .【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题. 2. 函数()tan 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为（ ） A.3π B.2π C. πD. 2π【答案】C 【解析】 【分析】根据正切三角函数的周期公式求解即可【详解】由题意得，利用函数()()tan f x A x ωϕ=+的最小正周期为πω，得出结论. 解：函数()tan 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为1ππ=， 故选：C.3. 已知向量11,2a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2,b m =-，若a 与b 共线，则b =（ ） A.B.C.D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得()1212m ⎛⎫=-⨯-= ⎪⎝⎭，即可得()2,1b =-；由向量模的计算公式计算可得答案.【详解】解：根据题意，向量11,2a ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()2,b m =-， 若a 与b 共线，则有()1212m ⎛⎫=-⨯-= ⎪⎝⎭，则()2,1b =-；则41b =+=故选：B.4. 在二项式（1﹣2x ）5的展开式中，x 3的系数为（ ） A. 40 B. ﹣40 C. 80 D. ﹣80【答案】D 【解析】 【分析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于3，求出r 的值，即可求得展开式中的x 3系数. 【详解】因为（1﹣2x ）5展开式的通项公式为5rC •（﹣2x ）r ， 令r ＝3，所以x 3系数为35C •（﹣2）3＝﹣80， 故选：D.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题. 5. 下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递减的是（ ） A. y ＝x ﹣2 B. y ＝|lnx | C. y ＝2﹣x D. y ＝xsinx【答案】A 【解析】 【分析】根据基本函数的性质，分别判断函数的奇偶性和单调性即可. 【详解】A .f （x ）是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，满足条件. B .函数的定义域为（0，+∞），函数为非奇非偶函数，不满足条件. C .函数为非奇非偶函数，不满足条件.D .f （﹣x ）＝﹣xsin （﹣x ）＝xsinx ＝f （x ），f （x ）为偶函数，在（0，+∞）不具备单调性，不满足条件. 故选：A .【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，结合函数单调性和奇偶性的性质是解决本题的关键.属于基础题..6. 将函数()cos2f x x =图象上所有点向左平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象，如果()g x 在区间[]0,a 上单调递减，那么实数a 的最大值为（ ）A.8π B.4π C.2π D.34π 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件先求出()g x 的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可. 【详解】将函数()cos2f x x =图象上所有点向左平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象， 则()cos 2cos 242g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 设22x πθ=+， 则当0x a <≤时，022x a <≤，22222x a πππ<+≤+，即222a ππθ<≤+， 要使()g x 在区间[]0,a 上单调递减， 则22a ππ+≤得22a π≤，得4a π≤，即实数a 的最大值为4π， 故选：B .【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，考查根据三角函数的单调性求参数，属于中档题. 7. 设点A ，B ，C 不共线，则“()AB AC BC +⊥”是“AB AC =”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】利用向量垂直的表示、向量数量积的运算，结合充分必要条件的定义判断即可. 【详解】由于点A，B ，C不共线，则()()0AB AC BC AB AC BC +⊥⇔+⋅=()()22AB AC AC AB AC AB ⇔+⋅-=-=22AC AB ⇔=⇔“AB AC =”；故“()AB AC BC +⊥”是“AB AC =”的充分必要条件. 故选：C .【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量垂直的表示，考查向量数量积的运算，属于基础题.8. 有一改形塔几何体由若千个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为8，如果改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是（ ）A. 8B. 7C. 6D. 4【答案】A 【解析】 【分析】则从下往上第二层正方体的棱长为：224442，从下往上第三层正方体的棱长为：()()2222224+=22222+=的最上层正方体的边长小于1时该塔形中正方体的个数的最小值的求法. 【详解】最底层正方体的棱长为8， 224442，()()2222224+=，从下往上第四层正方体的棱长为：222222+=， 从下往上第五层正方体的棱长为：()()22222+=，从下往上第六层正方体的棱长为：22112+=，从下往上第七层正方体的棱长为：2222122⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从下往上第八层正方体的棱长为：22112222⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是8. 故选：A .【点睛】本小题主要考查正方体有关计算，属于基础题.9. 某三棱锥的三视图如图所示，那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 0【答案】C 【解析】 【分析】由三视图还原原几何体，借助于正方体可得三棱锥的表面中直角三角形的个数. 【详解】由三视图还原原几何体如图，其中ABC ∆，BCD ∆，ADC ∆为直角三角形. ∴该三棱锥的表面中直角三角形的个数为3.【点睛】本小题主要考查由三视图还原为原图，属于基础题. 10. 在声学中，声强级L （单位：dB ）由公式1210110I L g -⎛⎫=⎪⎝⎭给出，其中I 为声强（单位：2W/m ）.160dB L =，275dB L =，那么12I I =（ ）A.4510B.4510-C. 32-D.3210-【答案】D 【解析】 【分析】由1210110I L g -⎛⎫= ⎪⎝⎭得lg 1210L I =-，分别算出1I 和2I 的值，从而得到12I I 的值.【详解】∵1210110I L g -⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴()()1210lg lg1010lg 12L I I -=-=+，∴lg 1210LI =-， 当160L =时，1160lg 121261010L I =-=-=-，∴6110I -=， 当275L =时，2275lg 1212 4.51010L I =-=-=-，∴ 4.5210I -=， ∴36 1.5124.5210101010I I ----===， 故选：D .【点睛】本小题主要考查对数运算，属于基础题.二、填空题（共5题，每题5分，共25分）11. 已知抛物线22y px =的焦点与双曲线2214x y -=的右顶点重合，则抛物线的焦点坐标为__________；准线方程为___________.【答案】 (1). (2,0) (2). 2x =-；【分析】计算双曲线的右顶点坐标，可得抛物线的焦点坐标，进一步可得准线方程.【详解】由题可知：双曲线2214x y -=的右顶点坐标为()2,0所以可知抛物线的焦点坐标为()2,0，准线方程为2x =- 故答案为：(2,0)；2x =-【点睛】本题主要考查抛物线的方程的应用，审清题意，注意细节，属基础题. 12. 7(1)x +的展开式中3x 的系数是___________. 【答案】35； 【解析】 【分析】根据二项式定理的通项公式1C r n r rr n T a b -+=，简单计算，可得结果.【详解】由题可知：7(1)x +的通项公式为717r r r T C x -+=，令734-=⇒=r r所以3x 的系数是4735C =故答案为：35【点睛】本题考查二项式中指定项的系数，掌握公式，细心计算，属基础题.13. 在ABC ∆中，60ABC ∠=，22BC AB ==，E 为AC 的中点，则AB BE ⋅=___________. 【答案】1-； 【解析】 【分析】计算BA BC ⋅，然后将BE 用,BA BC 表示，最后利用数量积公式可得结果. 【详解】由60ABC ∠=，22BC AB ==， 所以1cos 1212⋅=∠=⨯⨯=BA BC BA BC ABC 又E 为AC 的中点， 所以()12=+BE BA BC所以()211111122222⋅=-⋅+=--⋅=--=-AB BE BA BA BC BA BA BC 故答案为：1-【点睛】本题考查向量的数量积运算，给出已知的线段与相应的夹角，通常可以使用向量的方法，将几何问题代数化，便于计算，属基础题.14. 已知两点(1,0)A -，(1,0)B ，若直线0x y a -+=上存在点(,)P x y 满足0AP BP ⋅=，则实数a 满足的取值范围是__________．【答案】2,2⎡⎤-⎣⎦【解析】 【分析】问题转化为求直线l 与圆221x y +=有公共点时，a 的取值范围，利用数形结合思想能求出结果．【详解】解：直线:0l x y a -+=，点(1,0)A -，(1,0)B ，直线l 上存在点P 满足0AP BP =，P ∴的轨迹方程是221x y +=．∴如图，直线l 与圆221x y +=有公共点，∴圆心(0,0)O 到直线:0l x y a -+=的距离：12d =≤，解得22a -≤．∴实数a 的取值范围为2,2⎡-⎣．故答案为：2,2⎡-⎣．【点睛】本题主要考查直线方程、圆、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，属于中档题．15. 集合{}(,),0A x y x y a a =+=>，{}(,)1B x y xy x y =+=+，若A B 是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为________①a 的值可以为2； ②a 的值可以为2； ③a 的值可以为22+；【答案】②③ 【解析】 【分析】根据对称性，只需研究第一象限的情况，计算AC ：)21y x =-，得到()21A ，)21,1C+，得到答案.【详解】如图所示：根据对称性，只需研究第一象限的情况， 集合B ：1xy x y +=+，故()()110x y --=，即1x =或1y =， 集合A ：x y a +=，AB 是平面上正八边形的顶点所构成的集合，故AC 所在的直线的倾斜角为22.5︒，tan 22.521AC k =︒=，故AC ：)21y x =-，解得()21A ，此时2a =)21,1C，此时22a =+.故答案为：②③.【点睛】本题考查了根据集合的交集求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力，利用对称性是解题的关键.三、解答题（共6小题，共85分，每题必须写出详细的解答过程）16. 已知ABC ，满足7a =2b =，______，判断ABC 的面积2S >是否成立？说明理由.从①3A π=；②21cos B =. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】见解析 【解析】 【分析】选①，先利用余弦定理可解得3c =，从而求得三角形面积33选②，先利用余弦定理可得3c =结合已知条件可知ABC 是A 为直角的三角形，3此时2S >不成立.【详解】选①，ABC 的面积2S >成立，理由如下：当3A π=时，2147cos 222c A c+-==⋅，所以2230c c --=，所以3c =，则ABC的面积11sin 23sin 2232S bc A π==⨯⨯⨯=，因为22=>=，所以2S >成立； 选②，ABC 的面积2S >不成立，理由如下：当cos 7B =时，222cos 27a cb B ac +-==，27=230c -+=，所以c = 因27a =，22437b c +=+=，所以ABC 是A 为直角的三角形， 所以ABC的面积112222S bc ==⨯=，所以2S >不成立. 【点睛】本题考查三角形面积的计算，同时也考查了利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题. 17. 2019年1月1日，我国开始施行《个人所得税专项附加扣除操作办法》，附加扣除的专项包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人.某单位有老年员工140人，中年员工180人，青年员工80人，现采用分层抽样的方法，从该单位员工中抽取20人，调查享受个人所得税专项附加扣除的情况，并按照员工类别进行各专项人数汇总，数据统计如表：（Ⅰ）在抽取的20人中，老年员工、中年员工、青年员工各有多少人；（Ⅱ）从上表享受住房贷款利息专项扣除的员工中随机选取2人，记X 为选出的中年员工的人数，求X 的分布列和数学期望.【答案】（Ⅰ）老年员工、中年员工、青年员工分别有7人、9人、4人；（Ⅱ）分布列见解析，()54E X = 【解析】 【分析】（Ⅰ）先算出该单位的所有员工数量，再根据分层抽样的特点，逐一求解样本中老年、中年、青年员工的数量即可；（Ⅱ）随机变量X的可取值为0、1、2，结合超几何分布计算概率的方式逐一求取每个X的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望.【详解】（Ⅰ）该单位员工共14018080400++=人，抽取的老年员工201407400⨯=人，中年员工201809400⨯=人，青年员工20804400⨯=人；（Ⅱ）X的可取值为0、1、2，()2328328CP XC===，()11352815128C CP XC⋅===，()25281028CP XC===.所以X的分布列为：X012P32815281028数学期望()3151050122828284E X=⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题考查利用分层抽样求抽取的人数，同时也考查了超几何分布列以及随机变量数学期望的计算，考查计算能力，属于中等题.18. 如图，已知四边形ABCD为菱形，且60A∠=，取AD中点为E.现将四边形EBCD沿BE折起至EBHG，使得90AEG∠=.（Ⅰ）求证：AE⊥平面EBHG；（Ⅱ）求二面角A GH B--的余弦值；（Ⅲ）若点F满足AF ABλ=，当//EF平面AGH时，求λ的值.【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ21；（Ⅲ）12λ=.【解析】 【分析】（Ⅰ）只需证明GE AE ⊥，AE BE ⊥，GEBE E =，由线面垂直的判定定理可得证明；（Ⅱ）以E 为原点，EA 、EB 、EG 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，求得平面AGH 的法向量和平面EBHG 的法向量.设二面角A GH B --的大小为θ，可知θ为锐角，利用空间向量法即可得到所求值；（Ⅲ）由AF AB λ=计算出向量EF 的坐标，由0n EF ⋅=，计算可得所求值.【详解】（Ⅰ）在左图中，ABD △为等边三角形，E 为AD 中点，所以BE AD ⊥，所以BE AE ⊥. 因为90AEG ∠=，所以GE AE ⊥. 因为GE AE ⊥，BE AE ⊥，GEBE E =，所以AE ⊥平面EBHG ；（Ⅱ）设菱形ABCD 的边长为2，由（Ⅰ）可知AE GE ⊥，AE BE ⊥，GE BE ⊥. 所以以E 为原点，EA 、EB 、EG 所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立如图空间坐标系.可得()1,0,0A ，()3,0B，()0,0,1G ，()3,2H ，() 1,0,1AG =-，()3,2AH =-.设平面AGH 的法向量为(),,n x y z =，所以00n AG n AH ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即0320x z x z -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩. 令3x =(3,3n =-.平面EBHG 的法向量为()1,0,0EA =.设二面角A GH B --的大小为θ，则θ为锐角，21cos cos ,n EA n EA n EAθ⋅∴=<>==⋅ （Ⅲ）由()3,0AF AB λλλ==-，()()()3,01,0,013,0EF AF AE λλλλ=-=---=- 因为//EF 平面AGH ，则0n EF ⋅=，即120λ-=，所以12λ=. 【点睛】本题考查线面垂直的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角以及利用空间向量法求解动点问题，考查推理能力与计算能力，属于中等题.19. 已知椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的右焦点为()1,0F.直线l 过点F 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M . （1）求椭圆C 的方程；（2）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（3）延长线段OM 与椭圆C 交于点P ，若四边形OAPB 为平行四边形，求此时直线l 的斜率.【答案】（1）2212x y +=.（2）证明见解析.（3）直线l的斜率：2±【解析】 【分析】（1）由题意知1c =，c a =，可得a =1c =，1b =.故得到椭圆方程. （2）设直线l 的方程为()1y k x =-(0k ≠)，将直线与椭圆进行联立，利用中点坐标公式，结合韦达定理得到12M OM M y k x k-==，进而得解. （3）四边形OAPB 为平行四边形，则OA OB OP +=.所以2122421P k x x x k =+=+，2221P ky k -=+，又因为点P 在圆上，把点P 坐标代入椭圆方程，即可得出答案. 【详解】（1）由已知1c =，c e a ==， 又222a b c =+，解得a =1b =所以椭圆方程为2212x y +=.（2）设直线l 的方程为()1y k x =-(0k ≠)联立()()221210x y y k x k ⎧+=⎪⎨⎪=-≠⎩消去y 得()2222214220kx k x k +-+-=，不妨设()11,A x y ，()22,B x y 则2122421k x x k ，因为M 为线段AB 的中点所以21222221M x x k x k +==+，()2121M M k y k x k -=-=+ 所以12M OM M y k x k-== 所以1122OM l k k k k -⨯=⨯=-为定值. （3）若四边形OAPB 为平行四边形，则OA OB OP +=所以2122421P k x x x k =+=+ ()()()1212122211221P ky y y k x k x k x x k -=+=-+-=+-=+因为点P 在椭圆上，所以2222242222121k k k k ⎛⎫-⎛⎫+⨯= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭解得212k =，即2k =± 所以当四边形OAPB 为平行四边形时，直线l的斜率为2k =±【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，属于中档题目. 20. 已知函数()2f x x =(0x >)，()lng x a x =(0a >).（1）若()()f x g x >恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当1a =时，过()f x 上一点()1,1作()g x 的切线，判断：可以作出多少条切线，并说明理由. 【答案】（1）02e a <<.（2）2条切线，理由见解析 【解析】 【分析】（1）把()()f x g x >转化为：()()()h x f x g x =-，要使得()()f x g x >恒成立，即满足()h x 的最小值大于0.（2）设切点()00,P x y ，则()00011y g x x -'=-，对方程化简，判断0x 的个数即可，得出切线的条数. 【详解】（1）令()()()2ln h x f x g x x a x =-=-(0x >)所以()2222a x a x x h x x='-=-令()2220x x xh a -'==，解得x . 当x 变化时，()h x '，()h x 的变化情况如下表：所以在()0,∞+的最小值为ln ln 2222a a a ah a =-=- 令0h >，解得02e a <<.所以当02e a <<时，()0h x >恒成立，即()()f x g x >恒成立. （2）可作出2条切线.理由如下：当1a =时，()ln g x x =.设过点()1,1的直线l 与()ln g x x =相切于点()00,P x y ， 则()00011y g x x -'=-即000ln 111x x x -=-整理得000ln 210x x x -+=令()ln 21x x m x x -=+，则()m x 在()0,∞+上的零点个数与切点P 的个数一一对应.()ln 1m x x '=-，令()ln 10x m x '=-=解得x e =.当x 变化时，()m x '，()m x 的变化情况如下表：所以()m x 在()0,e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增.且2222211124ln 110m e ee e e ⎛⎫=⨯-+=-+> ⎪⎝⎭ ()ln 2110m e e e e e =⨯-+=-+<()2222ln 2110m e e e e =⨯-+=>所以()m x 在21,e e ⎛⎫⎪⎝⎭和()2,e e 上各有一个零点，即ln 210x x x -+=有两个不同的解. 所以过点()1,1可作出ln y x =的2条切线.【点睛】本题主要考查利用导数解决恒成立问题及切线的问题，考查了逻辑思维能力，属于中档题目. 21. 有限个元素组成的集合{}12,,,n A a a a =⋅⋅⋅，n *∈N ，记集合A 中的元素个数为()card A ，即()card A n =.定义{},A A x y x A y A +=+∈∈，集合A A +中的元素个数记为()card A A +，当()()12n n card A A ++=时，称集合A 具有性质P . （1）{}1,4,7A =，{}2,48B =,，判断集合A ，B 是否具有性质P ，并说明理由； （2）设集合{}123,,,2020A a a a =，1232020a a a <<<且i a N *∈(1,2,3i =)，若集合A 具有性质P ，求123a a a ++的最大值；（3）设集合{}12,,,n A a a a =⋅⋅⋅，其中数列{}n a 为等比数列，0i a >(1,2,,i n =⋅⋅⋅)且公比为有理数，判断集合A 是否具有性质P 并说明理由.【答案】（1）集合A 不具有性质P ，集合B 具有性质P ，理由见解析.（2）6050.（3）集合A 具有性质P ，理由见解析.【解析】 【分析】（1）根据定义即可判断，进而得出答案. （2）运用反证法即可得出答案.（3）设11n n a a q -=，假设当i k l j <≤<时有i j l k a a a a +=+成立，进而结合反证法证明假设不成立，进而得出答案.【详解】（1）集合A 不具有性质P ，集合B 具有性质P .{}2,5,8,11,14A A +=，()()33152card A A ++=≠不具有性质P ； {}4,6,8,10,12,16B B +=，()()33162card B B ++==具有性质P . （2）若三个数a ，b ，c 成等差数列，则{},,A a b c =不具有性质P ，理由是2a c b +=.因为1232020a a a <<<且i a N *∈(1,2,3i =)所以32019a ≤，要使123a a a ++取最大，则32019a =；22018a ≤，易知{}2018,2019,2020不具有性质P ，要使123a a a ++取最大，则22017a =；12016a ≤，要使123a a a ++取最大，检验可得12014a =；()123max 6050a a a ++=（3）集合A 具有性质P .设等比数列的公比为为q ，所以11n n a a q -=(10a >)且q 为有理数，假设当i k l j <≤<时有i j l k a a a a +=+成立，则有1j i k i l i q q q ---=+-因为q 为有理数，设mq n=(m ，n *∈N )且(m ，n 互质)，因此有 1j ik il im m m n n n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即j i k i j k l i j l j i m m n m n n ------=+-（1）， （1）式左边是m 的倍数，右边是n 的倍数，又m ，n 互质， 显然i j l k a a a a +=+不成立.所以()()1212n n n n card A A C C ++=+=，所以集合A 具有性质P . 【点睛】本题考查了集合新定义问题，考查了等比数列的应用，以及学生的阅读能力，属于难题.。

北京市2021届高三入学定位考试试题第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 设集合{}5A x x =<，{}*21,N B x x n n ==-∈，则AB =（ ）A.{}1,1,3-B.{}1,3 C.{}1,3,5D.{}0,1,3『答案』B 『解析』{}1,3,5,B =⋅⋅⋅，{}1,3A B =，故选：B.2. 设复数：1z i =+，则在复平面内复数4z 对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第三象限C. 实轴上D. 虚轴上『答案』C『解析』()()2224124z i i ⎡⎤=+==-⎣⎦，故对应点为()4,0-， 故选：C.3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 8B. 83C. 4D. 43『答案』B『解析』由三视图，在棱长为2的正方体中还原该几何体如下，该几何体是底面为正方形，高为2的正四棱锥，所以其体积为118222333V Sh ==⨯⨯⨯=. 故选：B.4.在62x ⎫⎪⎭的展开式中，常数项为（ ） A. 60B. 30C. 20D. 15『答案』A『解析』因为62x ⎫⎪⎭展开式的第1r +项为6632216622r rr r r r r r T C x x C x ---+=⋅⋅⋅=⋅⋅，令630r -=，则2r ，所以常数项为2236260T C =⋅=.故选：A.5. 设P 为圆222440x y x y +---=上一点，则点P 到直线340x y -=距离的取值范围 是（ ） A.[]2,4B.[]0,4C.[]1,2 D. []0,9『答案』B『解析』圆()()222123x y -+-=，圆心()1,2，半径3，圆心到直线距离1d ==，所以点P 到直线340x y -=距离的最短为0，最长为134+=， 故选：B.6. 设函数()sin xf x x =，则()fx 是（ ）A. 奇函数，且存在0x 使得()01f x >B. 奇函数，且对任意0x ≠都有()1f x <C. 偶函数，且存在0x 使得()01f x >D. 偶函数，且对任意0x ≠都有()1f x <『答案』D『解析』可知()f x 的定义域{}x x ≠关于原点对称，且()()sin sin ()x xf x f x xx --===-，所以()f x 是偶函数，故A ，B 错误；当0x >时，令()sin g x x x =-，则()cos 10g x x '=-≤，()g x ∴在()0,∞+单调递减，则()(0)0g x g <=，即sin 0x x -<，sin 1xx <，令()sin h x x x =+，则()cos 10h x x '=+≥，()h x ∴在()0,∞+单调递增，则()(0)0h x h >=，即sin 0x x +>，sin 1xx >-， sin 11x x ∴-<<，即sin 1x x <，∴当0x >时，()1f x <，因为()f x 是偶函数，所以对任意0x ≠都有()1f x <.故选：D.7. 过抛物线24y x =焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，则以线段AB 为直径的圆一定（ ） A. 经过原点B. 经过点()1,0-C. 与直线1x =-相切D. 与直线1y =-相切『答案』C 『解析』设()11,A x y ，()22,B x y ，利用焦半径公式可得：12AB x x p=++，又1212,22x x y y M ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以M 到直线1x =-距离为12122x x p d AB ++==，的所以以线段AB 为直径的圆一定直线1x =-相切. 故选：C.8. 设随机变量ξ的分布列如下其中126,,,a a a ⋅⋅⋅构成等差数列，则16a a ⋅的（ ）A. 最大值为19 B. 最大值为136 C. 最小值为19D. 最小值为136『答案』B『解析』1234561a a a a a a +++++=，1613a a +=，216161236a a a a +⎛⎫⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1616a a ==时取等，故选：B.9. 在ABC ∆中，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件『答案』C 『解析』余弦函数cos y x =在区间()0,π上单调递减，且0A π<<，0B π<<，由cos cos A B <，可得A B >，a b ∴>，由正弦定理可得sin sin A B >. 因此，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件. 故选：C.10. 设函数()3,log ,x x a f x x x a ⎧≤=⎨>⎩， 其中0a >.若函数()2y f x =-有且仅有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A. （0，2） B. （0，9） C.[)9,+∞D.()[)0,29,⋃+∞『答案』D『解析』根据选项，可得：若9a =时，函数()3,9log ,9x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，令()2f x =， 当9x ≤时，令2x =，解得2x =或2x =-；当9x >时，令3log 2x =，解得9x =（舍去），此时函数()2y f x =-有且仅有两个零点，排除A 、B ；若1a =时，函数()3,1log ,1x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，令()2f x =， 当1x ≤时，令2x =，解得2x =-或2x =（舍去）；当1x >时，令3log 2x =，解得9x =，此时函数()2y f x =-有且仅有两个零点，排除C.故选：D.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 函数()1f x x =的定义域为_________.『答案』[)()-100⋃+∞，，『解析』联立10,0,x x +≥⎧⎨≠⎩，得函数的定义域为[)()1,00,-⋃+∞.故答案为：[)()1,00,-⋃+∞12. 设平面向量，()3,a k =，(),4b k =，若//a b ，且a 与b 方向相反，则实数k =________.『答案』-『解析』因为//a b ，所以23412k =⨯=，解得k =±又a 与b 方向相反，故k =-故答案为：-13. 若双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线与直线2y x =垂直，则其离心率为________.『答案』『解析』因为渐近线方程b y x a =±，所以12b a =，则2a b =，c ==，故离心率为2c ab ==.故答案为：.14. 设函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>对于任意R x ∈，都有()()f x f x π≤+成立，则符合条件的ω的一个值为________.『答案』2『解析』由题意，函数()sin cos )4f x x x x πωωω=+=+， 要使得函数()f x 对于任意R x ∈，都有()()f x f x π≤+成立，则满足kT π=，即2k w ππ⋅=，当1k =时，2w ππ=，此时2ω=，故符合条件的ω的其中一个值为2. 故答案为：2.15. 蜂巢结构精密，是通过优胜劣汰的进化自然形成的.单蜂巢的横截面为正六边形，有人研究发现，蜂巢横截面结构和科学论证的最“经济”平面简单结构完全一致，最“经济”平面简单结构同时满足以下两点：（1）横截面图形由全等的正多边形组成，且能无限无缝隙拼接（称此正多边形具有同形结构）；（2）边长为1的单个正n 边形的面积与边数之比nP 最大.已知具有同形结构的正n（3n ≥）边形的每个内角度数为α，那么()*360N k k α︒=∈.给出下列四个结论：①64P =；②正三角形具有同形结构；③具有同形结构的正多边形有4个；④k 与n 满足的关系式为22nk n =-；其中所有正确结论的序号是________.『答案』①②④『解析』对于①，2661464P ==，①正确；对于②③④，n 边形的内角和为()1802n ︒⨯-，正()3n n ≥边形的每个内角度数为()2180n nα-⨯︒=，所以()360360221802n n k n n α︒︒===-⨯︒-，又*N k ∈，故()2244222n k n n -+==+--，故3,4,6n =，所以22nk n =-，3,4,6n =.所以②④正确，③不正确，故答案为：①②④.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，D 是11A C 的中点，且12AC BC AA ===.（Ⅰ）求证：11//A B 平面ABD ；（Ⅱ）求直线1AB 与平面ABD 所成角的正弦值.『解』（Ⅰ）如图，由三棱柱111ABC A B C -，得11//A B AB ，又因为11A B ⊄平面ABD ，AB平面ABD ，所以11//A B 平面ABD ；（Ⅱ）因为1CC ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，所以CA ，CB ，1CC 两两垂直，故分别以CA ，CB ，1CC 为x 轴，y 轴，z 轴， 如图建立空间直角坐标系，则()0,2,0B ，()2,0,0A ，()10,2,2B ，()1,0,2D ，所以()12,2,2AB =-，()12,2,0AB =-，()1,0,2AD =-，设平面ABD 的法向量(),,n x y z =，由0AB n ⋅=，0AD n ⋅=，得220,20,x y x z -+=⎧⎨-+=⎩令2x =，得()2,2,1n =. 设直线1AB 与平面ABD 所成角为θ，则1113sin cos ,AB n AB n AB nθ⋅=<>==⋅，所以直线1AB 与平面ABD 所成角的正弦值为.17. 在ABC 中，3A π=，b =再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求（Ⅰ）B 的大小；（Ⅱ）ABC 的面积 .条件①：222b ac =+； 条件②：cos sin a B b A =. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.『解』若选择条件①：222b ac +=+.（Ⅰ）因为222b ac =+，由余弦定理222cos 22a c b B ac +-==， 因为()0,B π∈，所以4B π=.（Ⅱ）由正弦定理sin sin a b A B =，得sin sin 2b Aa B===，又因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+12=+=，所以11sin 22ABC S ab C ===△.若选择条件②：cos sin a B b A =.（Ⅰ）由正弦定理sin sin a bA B =，得sin sin a B b A =.又因为cos sin a B b A =，所以sin cos B B =，又因为()0,B π∈，所以4B π=.（Ⅱ）由正弦定理sin sin a b A B =，得sin sin 2b Aa B===，又因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+1222=+⨯=，所以11sin 22ABC S ab C ===△.18. 为了解某校学生的体育锻炼情况，现采用随机抽样的方式从该校的A ，B 两个年级中各抽取6名学生进行体育水平测试测试，得分如下（满分100分） ：A 年级6名学生体育测试得分分别为：73，62，86，78，91，84.B 年级6名学生的体育测试得分分别为：92，61，85，87，77，72.已知在体育测试中，将得分大于84分的学生记为体育水平优秀. （Ⅰ）分别估计A ，B 两个年级的学生体育水平优秀的概率；（Ⅱ）从A ，B 两个年级分别随机抽取2名学生，估计这4名学生中至少有2人体育水平优秀的概率；（Ⅲ）记A ，B 两个年级6名样本学生体育测试得分数据的方差分别为2AS ，2BS ，试比较2AS 与2BS 的大小.（结论不要求证明）『解』（Ⅰ）根据数据，A 年级6名学生的体育测试得分中有2个大于84分，用频率估计概率，可得A 年级的学生体育水平优秀的概率约为2163=；B 年级6名学生的体育测试得分中有3个大于84分，可得B 年级的学生体育水平优秀的概率约为3162=. （Ⅱ）记事件“从A ，B 两个年级分别随机抽取2名学生，这4名学生中至少有2人体育水平优秀”为M .的“这4名学生中恰有0人体育水平优秀的概率.22011111329P ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.事件“这4名学生中恰有1人体育水平优秀”的概率2211122111111111113323223p C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-⨯-+-⨯⨯⨯-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则()01519P M p p =--=，答：估计这4名学生中至少有2人体育水平优秀的概率()59P M =.（Ⅲ）由题设中的数据，可得79A B x x ==，求得()()222222222222221117615712,1872681366A B S S =+++++=+++++可得22BA S S <.19. 设函数()()1xe f x a x x =--，其中R a ∈.（Ⅰ）若0a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若函数()f x 在()2,1--上有极大值，求a 的取值范围.『解』（Ⅰ）由题意()x e f x x =，求导得()()21x e x f x x -'=.所以()l f e=，()l 0f '=所以曲线()y f x =在点()()1,l f 处的切线方程为y e =.（Ⅱ）()()21x e x f x ax -'=-，令()()21x e x g x ax -=-，则()()2322x e x x g x x -+'=.因为对于()2,1x ∀∈--，()()23110x e x g x x ⎡⎤-+⎣⎦'=<恒成立，所以()g x 在()2,1--上单调递减，即()f x 在()2,1--上单调递减， 因为()f x 在()2,1--上有极大值，所以()f x 在()2,1--上存在“左正右负”变号零点.由零点存在性定理：只需()()20,10,f f ⎧->⎪⎨-<''⎪⎩，即230,4210.a e e ⎧-->⎪⎪⎨⎪--<⎪⎩所以2234a ee -<<-. 所以函数()f x 在()2,1--上有极大值时，a 的取值范围为223,4e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 20. 已知椭圆E ：()22104x y m m +=>，圆W ：224x y +=，过点()2,0A -作直线l 交椭圆E 于另一点B ，交圆W 于另一点C .过点B ，C 分别作x 轴的垂线，垂足分别为1B ，1C .（Ⅰ）设()0,2C ，B 为AC 的中点，求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若1m =，求11B C 的最大值.『解』（Ⅰ）由B 为AC 的中点，得()1,1B -，代入椭圆E 的方程，得43m =，所以椭圆E 的方程为223144x y +=.（Ⅱ）由题意得直线l 的斜率存在. 当直线l 的斜率为0时，110B C =当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为()2y k x =+，设()11,B x y ，()22,C x y .联立方程()222,1,4y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()()222214164410k x k x k +++-=.则()()()2222161614410kkk ∆=-+->，()21216214k x k +-=-+，所以()21221414k x k -=+. 联立方程()222,4,y k x x y ⎧=+⎨+=⎩消去y ，得()()222214410k x k x k +++-=.则()()2224121k x k --⋅=+，所以()222211k x k -=+.于是()()2211122221421141k k B C x x k k --=-=-++24222121241451345k k k k k ==≤=++++.当且仅当2214k k =，即212k =时，11B C 取最大值43.综上所述，当k =时，11B C 取最大值43.21. 已知{}n a 是无穷数列，且10a <.给出两个性质：①对于任意的m ，*N n ∈，都有m n m na a a +>+；②存在一个正整数p ，使得n p na a +>，对于任意的*N n ∈都成立.（Ⅰ）试写出一个满足性质①的公差不为0的等差数列{}n a （结论不需要证明）（Ⅱ）若2nn a -=-，判断数列{}n a 是否同时满足性质①和性质②，并说明理由；（Ⅲ）设{}n a 为等比数列，且满足性质②，证明：数列{}n a 满足性质①.『解』（Ⅰ）答案不唯一，如3n a n =-.因为m n m na a a +>+，即()()()111111a m m d a m d a n d++->+-++-，即1a d <，只需取10a <，0d >即可；（Ⅱ）数列{}n a 同时满足性质①和性质②.理由如下：由2nn a -=-，得n a <，且112n n n a a a +=>.所以1p =，使得n p na a +>，对于任意的*N n ∈都成立.所以数列{}n a 满足性质②.由1n na a +>，得数列{}n a 为递增数列.又因为0n a <，所以对于任意的*,N m n ∈，m n m m n a a a a +>>+.即数列{}n a 满足性质①.（Ⅲ）设等比数列{}n a 的公比为()0q q ≠，当0q >时，由10a <，得n a <，由题意，知n p na a +>，即()10p n a q ->，所以10p q -<，即1p q <.故01q <<. 当0q <时，由10a <，得20a >.由性质②，知22p a a +>，即()210p a q ->，所以10p q ->，即1pq >.故111p p a a q a +=<，这与性质②不符，所以0q <不成立. 综上，等比数列{}n a 的公比()0,1q ∈.所以1n n na a q a +=>，即数列{}n a 为递增数列，且0n a <.故对于任意的*,N m n ∈，m n m m n a a a a +>>+.即数列{}n a 满足性质①.。

北京市首师附中2020-2021学年度第二学期入学考试高三数学试卷一、单选题1.设a,b 为实数，若复数1+21ii a bi=++，则 A. 31,22a b == B. 3,1a b == C. 13,22a b == D. 1,3a b ==【答案】A 【解析】 【分析】先化简，然后用复数相等的条件，列方程组求解．【详解】由121i i a bi +=++可得1+2i ＝（a ﹣b ）+（a +b ）i ，所以12a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得32a =，12b =，故选A ．【点睛】本题考查了复数相等的概念及有关运算，考查计算能力．是基础题．2.过抛物线24y x =的焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点．若AB 中点M 到抛物线准线的距离为6，则线段AB 的长为（ ） A. 6 B. 9C. 12D. 无法确定【答案】C 【解析】试题分析：AB 中点M 到抛物线准线的距离为6，则A,B 到准线的距离之和为12，即12121212x x p AB x x p ++=∴=++=考点：直线与抛物线相交问题3.已知集合11,2,2A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，集合2{|,}B y y x x A ==∈，则A B ⋂=（ ）A. 12⎧⎫⎨⎬⎩⎭B. {}2C. {}1D. φ【答案】C【解析】 试题分析：因，故,选C.考点：交集运算.4.一名顾客计划到商场购物，他有三张优惠劵，每张优惠券只能购买一件商品.根据购买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下：优惠劵1：若标价超过50元，则付款时减免标价的10%；优惠劵2：若标价超过100元，则付款时减免20元；优惠劵3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免18%.若顾客购买某商品后，使用优惠劵1比优惠劵2、优惠劵3减免的都多，则他购买的商品的标价可能为( ) A. 179元 B. 199元 C. 219元 D. 239元【答案】C 【解析】 【分析】设购买的商品的标价为x 元，根据题意列出不等式即可得到答案.【详解】设购买的商品的标价为x 元，由题意，0.120x ⨯>，且0.1(100)0.18x x ⨯>-⨯，解得200225x <<. 故选：C【点睛】本题考查利用函数模型的选择问题，考查学生分析解决问题的能力，是一道基础题. 5.已知,a b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则//a b 的一个充分条件是（ ） A. //a α，//b αB. //a α，b β//，//αβC. a α⊥，b β⊥，//αβD. αβ⊥，a α⊥，b β//【答案】C 【解析】 【分析】在A 中，a 与b 相交、平行或异面；在C 中，由线面垂直的性质可得a ∥b ；在B 、D 中，均可得a 与b 相交、平行或异面；【详解】由a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面， 在A 中，//a α，//b α，则a 与b 相交、平行或异面，故A 错误；在B 中，//a α，//b β，//αβ，则a 与b 相交、平行或异面，故B 错误；在C 中，由a α⊥，//αβ，则a β⊥，又b β⊥，由线面垂直的性质可知//a b ，故C 正确； 在D 中，αβ⊥，a α⊥，//b β，则a 与b 相交、平行或异面，故D 错误． 故选C ．【点睛】本题考查线线平行的充分条件的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．6.若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线与圆()2221x y -+=相切，则双曲线的离心率为( )A. 2B.2C.3【答案】C 【解析】 【分析】利用圆心(2,0)到渐近线的距离等于半径即可建立,,a b c 间的关系.【详解】由已知，双曲线的渐近线方程为0bx ay ±=，故圆心(2,0)到渐近线的距离等于1，1=，所以223a b ，c e a ====3. 故选：C.【点睛】本题考查双曲线离心率的求法，求双曲线离心率问题，关键是建立,,a b c 三者间的方程或不等关系，本题是一道基础题.7.在长方体1111ABCD A B C D -中，11AB BC AA ==,点M 为1AB 的中点，点P 为对角线1AC 上的动点，点Q 为底面ABCD 上的动点（点P ，Q 可以重合），则MP PQ +的最小值为( )A.2B.2C.34D. 1【答案】C 【解析】 【分析】画出图形，将平面11AB C 沿1AC 翻折，使其与平面1ACC 在共面，将折线段转化为直线段距离最小，从而求出MP +PQ 的最小值.【详解】如图1，显然当Q 是P 在底面ABCD 的射影时MP PQ +才可能最小，将平面11AB C 沿1AC 翻折，使其与平面1ACC 在共面，如图2所示，此时易得130CAC ∠=，3AM =显然当,,M P Q 三点共线时，MP PQ +取得最小值，此时min 133sin 604MQ AM CAB =∠==. 故选：C.【点睛】本题考查立体几何翻折问题中的最值问题，考查空间想象能力以及学生的计算能力，难度比较大.8.已知椭圆C ：22143x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，椭圆C 上点A 满足212.AF F F ⊥若点P 是椭圆C 上的动点，则12F P F A ⋅的最大值为( ) A.32B.332C.94D.154【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得点A ，1F ，2F 的坐标，再利用数量积运算法则和点P 的纵坐标的取值范围即可得出最大值．【详解】由椭圆C ：22143x y +=可得：24a =，23b =，()2211.1,0c a b F =-=∴-，()21,0F ．212AF F F ⊥，31,2A ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭．设(),P x y ，则221.43x y +=又33y -≤≤，()1233331,0,222F P F A x y y ⎛⎫∴⋅=+⋅=≤⎪⎝⎭． 12F P F A ∴⋅的最大值为332． 故选B ．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、数量积运算等基础知识与基本技能方法，属于基础题．9.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A.13B.23C. 1D.43【答案】D【解析】【分析】由已知中的三视图可得，该几何体是一个俯视图中右下角的三角形为底面的三棱锥，代入棱锥的的体积公式，即可求解.【详解】由已知中的三视图可得：该几何体是一个如图所示的三棱锥1D ABE-，其底面ABE的面积为12222S=⨯⨯=，高为2h=，所以该三棱锥的体积为11422333V Sh==⨯⨯=，故选D.【点睛】本题考查了几何体的三视图及组合体的表面积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解.10.已知数列121,,,4a a成等差数列，1231,,,,4b b b成等比数列，则212a ab-的值是 ( )A.12B.12- C.12或12- D.14【答案】A【解析】由题意可知：数列1,a1,a2，4成等差数列，设公差d，则4=1+3d，解得d=1，∴a1=1+2=2，a2=1+2d=3.∵数列1,b1,b2,b3，4成等比数列，设公比为q，则4=q4,解得q2=2，∴b2=q2=2.则21221122a ab--==.本题选择A选项.二、填空题11.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，当x∈[0,5]时，函数y＝f(x)的图象如图所示，则使函数值y＜0的x的取值集合为________．【答案】()()2,02,5-【解析】【分析】利用函数的图象以及函数的奇偶性，判断函数值0y＜的x的取值集合即可．【详解】由原函数是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y＝f(x)在[0,5]上的图象，得它在[－5,0]上的图象，如图所示．由图象知，使函数值y＜0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．【点睛】本题考查函数的图象的判断函数的奇偶性的应用，是基础题．12.函数2log(1),01,(){2,10x xf xx x+≤≤=-≤<的值域是______________．【答案】[]2,1-【解析】试题分析：当01x≤≤时，112x≤+≤，所以()20log11x≤+≤；当10x-≤<时，220x-≤<.所以函数的值域是[]2,1-.考点：1.函数的值域及其求法；2.对数函数的值域；3.分段函数的图像与性质13.若函数()xy e f x= 2.71828...e=（是自然对数的底数）在()f x的定义域上单调递增，则称函数()f x具有M性质，下列函数中所有具有M性质的函数的序号为①=2x f x -（） ②=3x f x -（） ③3=f x x （） ④2=2f x x +（） 【答案】①④ 【解析】 ①()22xxxxe ef x e -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R 上单调递增，故()2x f x -=具有M 性质； ②()33xx x x e e f x e -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，故()x f x -=3不具有M 性质；③()3xxe f x e x =⋅，令()3xg x e x =⋅，则()()32232xxxg x e x e x x ex '=⋅+⋅=+，∴当2x >-时，()0g x '>，当2x <-时，()0g x '<，∴()3x x e f x e x =⋅在(),2-∞-上单调递减，在()2,-+∞上单调递增，故()3f x x =不具有M 性质；④()()22xxe f x ex=+，令()()22x g x e x =+，则()()()2222110x x x g x e x e x e x ⎡⎤'=++⋅=++>⎣⎦，∴()()22x x e f x e x =+在R 上单调递增，故()22f x x =+具有M 性质．【名师点睛】1.本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向．它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可． 2.求可导函数单调区间的一般步骤 (1)确定函数f (x )的定义域(定义域优先)； (2)求导函数f ′(x )；(3)在函数f (x )的定义域内求不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0的解集．(4)由f ′(x )＞0(f ′(x )＜0)的解集确定函数f (x )的单调增(减)区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间．3.由函数f (x )在(a ，b )上的单调性，求参数范围问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到．14.已知幂函数()y f x =的图像经过点14,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()2f =______.【解析】 【分析】先设幂函数()af x x =，根据其图像经过点14,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，求得函数，再求()2f .【详解】设幂函数()ay f x x ==，因为其图像经过点14,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以142a=， 解得12a =-，所以()1222-==f故答案为：2【点睛】本题主要考查幂函数的定义及求函数值，属于基础题.15.已知平面向量a ，b 满足0a b ⋅=，2a =，3b =，则a b +=______.【解析】 【分析】根据平面向量a ，b 满足0a b ⋅=，2a =，3b =，利用向量求模公式求解. 【详解】因为平面向量a ，b 满足0a b ⋅=，2a =，3b =，所以()222222+=+=+⋅+=+=a b a b a a b b【点睛】本题主要考查平面向量的模的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.三、解答题16.已知函数21()cossin cos 2222x x x f x =--. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和值域； （Ⅱ）若32()10f α=，求sin 2α的值. 【答案】（1）2，；（2）725. 【解析】【详解】（1）由已知，f （x ）=所以f （x ）的最小正周期为2，值域为；（2）由（1）知，f （）=所以3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以.[点评]本小题主要考查三角函数的性质、两角和的正（余）弦公式、二倍角公式等基础知识，考查运算能力，考查化归与转化等数学思想.17.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，2()2f x x x =+现已画出函数()f x 在y 轴左侧的图象，如图所示．(1)画出函数()f x 在y 轴右侧的图象，并写出函数()f x 在R 上的单调区间； (2)求函数()f x 在R 上的解析式．【答案】（1）如图所示：()f x 的单调递减区间为：(,1)-∞- ，(0,1)单调递增区间为：(1,0)-，(1+)∞， （2）220+2(),02x x x f x x x x ≤⎧=⎨>-⎩，【解析】 【分析】（1）根据偶函数关于y 轴对称，即可画出函数()f x 在y 轴右侧的图象，再由函数图像即可写出其单调区间．（2）已知0x ≤时的解析式，只需计算出0x >的解析式，根据0,x >则0,x -<与()()f x f x =-即可使用0x ≤时的解析式解出0x >的解析式．【详解】（1）如图所示：()f x 的单调递减区间为：(,1)-∞- ，(0,1)单调递增区间为：(1,0)-，(1+)∞， （2）令0,x >则0,x -<所以22()()2()2f x x x x x -=-+-=-又函数()f x 为偶函数，即()()f x f x =- 所以当0x >时2()2f x x x =-所以220+2(),02x x x f x x x x ≤⎧=⎨>-⎩，【点睛】本题考查偶函数的图像性质，根据图像写函数的单调区间，已知偶函数的一半的函数解析式，求整个函数的解析式，属于基础题．18.已知函数()()221f x x ax a a R =+++∈，设()f x 在[]1,1-上的最大值为()g a ，(Ⅰ)求()g a 的表达式；(Ⅱ)是否存在实数,m n ，使得()g a 的定义域为[],m n ，值域为[]5,5m n ？如果存在，求出,m n 的值；如果不存在，请说明理由．【答案】(Ⅰ()22,02)?2,0a a a g a a a a -+<⎧⎪=++≥⎨⎪⎩；(Ⅱ22)?22m n ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩【解析】 【分析】(Ⅰ)函数()f x 图象的对称轴为2ax =-，然后通过讨论对称轴的位置，结合函数的单调性求解函数的最大值，得到函数的最大值的表达式；(Ⅱ) 假设存在符合题意的实数,m n ，则()[)2,.g a ∈+∞ 可得若[],a m n ∈，有()[]5,5g a m n ∈，即0.m n <<由此得()2 2g a a a =++，且为单调递增函数，从而列出方程组，即可求出结果．【详解】(Ⅰ)因为函数()f x 图象的对称轴为2ax =-， 所以当02a-≤，即0a ≥时，()()2()12max g a f x f a a ===++； 当02a->，即0a <时，()()2()1 2.max g a f x f a a ==-=-+ 所以()22,022,0a a a g a a a a -+<⎧⎪=++≥⎨⎪⎩.(Ⅱ)假设存在符合题意的实数m ，n ，则由(Ⅰ)可知，当a R ∈时，()[)2,.g a ∈+∞所以若[],a m n ∈，有()[]5,5g a m n ∈，则0.m n <<所以()22g a a a =++，且为单调递增函数.所以()()225225g m m m m g n n n n =++=⎧⎪=++=⎨⎪⎩,所以22m n ⎧=⎪⎨=+⎪⎩【点睛】本题主要考查二次函数的单调性及其应用，属于中档题．二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解，二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论. 19.已知函数()()ln f x x x a a R =-+∈．(Ⅰ)若函数()f x 的最大值为3，求实数a 的值；(Ⅱ)若当()1,x ∈+∞时，()()()31'22f x k xf x a k x ⎛⎫>-++-≤ ⎪⎝⎭恒成立，求实数k 的取值范围；(Ⅲ)若1x ，2x 是函数()f x 的两个零点，且12x x <，求证：121x x <．【答案】(Ⅰ)4；(Ⅱ1)?,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；证明见解析. 【解析】 【分析】(Ⅰ)求出函数()f x 的定义域，利用导函数符号判断函数的单调性，由单调性求解函数的最大值，然后求出a 即可；(Ⅱ)化简恒成立的不等式为3ln 112x x a k x a x ⎛⎫-+>-+-+- ⎪⎝⎭，得到()()ln 13.x x k x +>-令()()()ln 13g x x x k x =+--，利用函数的导数符号判断函数的单调性，得到()()g g 112x k >=+，然后求解k 的范围；(Ⅲ1)?x ，2x 是函数()f x 的两个零点，可得()()()1222222222211111ln ln 2ln f x f f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=---=+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，构造函数()12ln h x x x x=+-，利用函数的导数的符号判断函数的单调性，推出()121f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，得到121 x x <，即可证明结论．【详解】(Ⅰ)函数()f x 的定义域为()0,.+∞ 因为()11'1xf x x x-=-=， 所以在()0,1内，，()f x 单调递增； 在()1,+∞内，，()f x 单调递减．所以函数()f x 在1x =处取得唯一的极大值，即()f x 的最大值()1ln11f a =-+． 因为函数()f x 的最大值为3， 所以ln113a -+=， 解得 4.a =(Ⅱ)因为当()1,x ∈+∞时，()()()31'22f x k xf x a k x ⎛⎫>-++-≤ ⎪⎝⎭恒成立，所以3ln 112x x a k x a x ⎛⎫-+>-+-+- ⎪⎝⎭， 所以()()ln 13x x k x +>-，即()()ln 130x x k x +-->．令()()()ln 13g x x x k x =+--， 则因为2k ≤， 所以．所以()g x 在()1,+∞单调递增. 所以()()112g x g k >=+， 所以 120k +≥，所以1.2k ≥-即实数k 的取值范围是1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； (Ⅲ)由(Ⅰ)可知：()10,1x ∈，()21,x ∈+∞．所以()210,1.x ∈ 因为1x ，2x 是函数()f x 的两个零点， 所以()()120f x f x ==． 因为()()()1222222222211111ln ln 2ln .f x f f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=---=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭令()12ln h x x x x=+-， 则()222222121(1)'1x x x h x x x x x-+--=--==-． 所以在()1,+∞，，()h x 单调递减．所以()()10h x h <=． 所以()1210f x f x ⎛⎫-<⎪⎝⎭，即()121f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭． 由(Ⅰ)知，()f x 在()0,1单调递增，所以121x x <， 所以12 1.x x <【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值、证明不等式以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数.20.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c sin A cos B a =． （1）求角B ；（2）若3b =，sin CA =，求a ，c ． 【答案】（1）6B π=；（2）3,a c ==【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，然后求解B 的大小． （2）利用正弦定理余弦定理，转化求解即可． 【详解】（1）在ABC ∆中， 由正弦定理sin sina bA B=sin sin cos B A A B =． 又因为在ABC ∆中sin 0A ≠． cos B B =．法一：因为0B π<<，所以sin 0B ≠，因而cos 0B ≠． 所以sin tan cos 3B B B ==， 所以6B π=．cos 0B B -=即2sin 06B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以()6B k k Z ππ-=∈，因为0B π<<，所以6B π=．（2）由正弦定理得sin sin a c A C=，而sin C A =，所以c = ，①由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2292cos 6a c ac π=+-，即229a c +=， ②把①代入②得3,a c ==【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.21.已知数列{}n a 的前n 项和()*n S n N∈满足21nn Sa =-，数列{}nb 满足22log n n b a =+．(Ⅰ)求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式； (Ⅱ)令nn nb c a =，若221n c x x ≤--对于一切的正整数n 恒成立，求实数x 的取值范围； (Ⅲ)数列{}n a 中是否存在,,(m n k a a a m n k <<，且 *,,)m n k N ∈使m a ，n a ，k a 成等差数列？若存在，求出,,m n k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(Ⅰ1)2n n a -=，1n b n =+；(Ⅱ){|1x x ≤-或3}x ≥；(Ⅲ) 不存在，理由见解析．【解析】 【分析】(Ⅰ)利用已知条件通过1n n n a S S -=-，说明数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，从而可求出{}n a 的通项公式，然后求解n b 的通项公式；(Ⅱ)求出nn nb c a =，判断数列的单调性，结合221n c x x ≤--对于一切的正整数n 恒成立，得到2221x x ≤--求解即可；(Ⅲ)假设存在*,,(,,,)m n k a a a m n k m n k N <<∈，使m a ，n a ，k a 成等差数列，推出1112222n m k ---⋅=+，说明是与条件矛盾，得到结论． 【详解】(Ⅰ)根据题意，数列{}n a 满足21n n S a =-，当1n =时，111a S ==．当2n ≥时，11n n n a S S -=-=，122n n n a a a -=-， 即12n n a a -=．所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列.所以12n n a -=，*n N ∈；又由已知22log n n b a =+，得122log 2 1.n n b n -=+=+(Ⅱ)依题意得()11111()22n n n n n b n c n a --+===+，*n N ∈． 因为()()1111111212()1()()1()0222222nn n n n n n n c c n n n ---++⎛⎫-=+-+=--=-< ⎪⎝⎭， 所以当1n =时，n c 取得最大值1 2.c =因为221n c x x ≤--对于一切的正整数n 恒成立，所以222 1.x x ≤-- 解得1x ≤-或3x ≥，所以实数x 的取值范围是{|1x x ≤-或3}x ≥；(Ⅲ)假设存在*,,(,,,)m n k a a a m n k m n k N <<∈，使m a ，n a ，k a 成等差数列，则2n m k a a a =+，即1112222.n m k ---⋅=+ 两边同时除以12m -，得1212.n m k m -+-=+① 因为12n m -+为偶数，12k m -+为奇数，这与①矛盾．所以不存在*,,(,,,)m n k a a a m n k m n k N <<∈，使m a ，n a ，k a 成等差数列.【点睛】本题主要考查数列的应用，通项公式以及数列的单调性，反证法的应用，属于难题．反证法的适用范围：（1）否定性命题与存在性命题；（2）结论涉及“至多”、“至少”、“无限”、“唯一”等词语的命题；（3）命题成立非常明显，直接证明所用的理论较少，且不容易证明，而其逆否命题非常容易证明；（4）要讨论的情况很复杂，而反面情况较少．。

北京市西城区2021年4月高三数学参考答案第1页（共8页）西 城 区 高 三 统 一 测 试数学参考答案 2021.4一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（ 1 ）B （ 2 ）A （ 3 ）A （ 4 ）D （ 5 ）D （ 6 ）C （ 7 ）B（ 8 ）C（ 9 ）B（10）D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）（12），（13），3（14）（答案不唯一，只要是即可）（15）②④注：第（12）和（13）题第一空 3 分,第二空 2 分.第（15）题全部选对得 5 分，不选或有错选得0分，其他得 3 分.三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）连接交于点，连接，在正方形中，.因为为的中点,所以. ………………3分因为平面，平面，所以平面. ………………5分（Ⅱ）不妨设正方体的棱长为，建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，所以，，. ………………8分设平面的法向量为，(0,1]y =12-π(21)k +πBD AC O OE ABCD OB OD =E 1DD 1//OE BD 1BD ⊄ACE OE ⊂ACE 1//BD ACE 2A xyz -(0,0,0)A (2,2,0)C (0,2,0)D (0,2,1)E (0,2,0)AD = (2,2,0)AC = (0,2,1)AE =ACE (,,)x y z =n北京市西城区2021年4月高三数学参考答案第2页（共8页）所以 所以 即………………10分令，则，，于是.………………11分设直线与平面所成角为，则.………………13分所以直线与平面（17）（共13分）解：（Ⅰ）由于函数图象上两相邻对称轴之间的距离为，所以的最小正周期，.………………2分此时.选条件①②：因为的最小值为，所以.………………3分因为图象的一个对称中心为，所以，………………5分所以，因为，所以，此时.………………7分所以.………………8分选条件①③：因为的最小值为，所以.………………3分0,0,AC AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 220,20,x y y z +=⎧⎨+=⎩,2,x y z y =-⎧⎨=-⎩1y =-1x =2z =(1,1,2)=-n AD ACE θ|sin |cos ,|||||AD AD AD θ⋅=〈〉===⋅n |n n AD ACE ()f x 2π()f x 22T π=⨯=π22Tωπ==()sin(2)f x A x ϕ=+()f x A -2A =()f x (,0)125π2()12k k ϕ5π⨯+=π∈Z ()6k k ϕ5π=π-∈Z 2ϕπ<6ϕπ=1k =()2sin(2)6f x x π=+()f x A -2A =北京市西城区2021年4月高三数学参考答案第3页（共8页）因为函数的图象过点， 则，即，.因为，所以，………………5分所以，.………………7分所以.………………8分选条件②③：因为函数的一个对称中心为，所以，………………4分所以.因为，所以，此时.………………6分所以.因为函数的图象过点，所以，即，，所以.………………7分所以.………………8分（Ⅱ）因为，所以，因为图象的对称轴只有一条落在区间上，所以，………………11分()f x (,1)65π-()16f 5π=-2sin()13ϕ5π+=-1sin()32ϕ5π+=-2ϕπ<636ϕ7π5π13π<+<36ϕ5π11π+=6ϕπ=()2sin(2)6f x x π=+()f x (,0)125π2()12k k ϕ5π⨯+=π∈Z ()6k k ϕ5π=π-∈Z 2ϕπ<6ϕπ=1k =()sin(26f x A x π=+()f x (,1)65π-(16f 5π=-πsin(136A 5π+=-11πsin 16A =-2A =()2sin(2)6f x x π=+[0,]x a ∈ππ2[,2]666x a π+∈+()f x [0,]a ππ3π2262a +<≤北京市西城区2021年4月高三数学参考答案第4页（共8页）得，………………13分所以的取值范围为.（18）（共14分）解：（Ⅰ）设一颗星的绝对星等的数值小于视星等的数值为事件. 由图表可知，颗恒星有颗恒星绝对星等的数值小于视星等的数值.所以.………………3分（Ⅱ）由图表知，有颗恒星的“赤纬”数值大于，有颗恒星的“赤纬”数值小于. 所以随机变量的所有可能取值为：.………………4分，，， . ………………8分所以随机变量的分布列为：………………9分所以.………………11分（Ⅲ）.………………14分（19）（共15分）解：（Ⅰ）当时，，所以.………………1分所以，.………………3分曲线在点处的切线方程为.………………4分63a π2π<≤a [,)63π2πA 10551()102P A ==750- 350- X 1,2,3,41373410C C 71(1)C 21030P X ⋅====2273410C C 3(2)C 10P X ⋅===3173410C C 1(3)C 2P X ⋅===4073410C C 1(4)C 6P X ⋅===X 131114()12343010265E X =⨯+⨯+⨯+⨯=2212s s <1a =()e (ln 1)x f x x =-11()e (ln 1)e e (ln 1)x xx f x x x x x'=-+=+-(1)e f =-(1)0f '=()y f x =(1,(1))f e y =-X 1234P1303101216北京市西城区2021年4月高三数学参考答案第5页（共8页）（Ⅱ）由，得，令，则.………………6分当时，，当时，，所以在区间上是减函数，在区间上是增函数.所以的最小值为.………………7分当时，，，………………9分又在单调递增，故存在，使得，在区间上，在区间上.………………10分所以，在区间上，在区间上，所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增，故函数存在极小值.………………11分（Ⅲ）对任意的实数，恒成立，等价于的最小值大于或等于.① 当时，，由（Ⅱ）得，所以.所以在上单调递增，所以的最小值为.由，得，满足题意.………………13分② 当时，由（Ⅱ）知，在上单调递减，所以在上，不满足题意.综上所述，实数的取值范围是.………………15分（20）（共15分）解：（Ⅰ）依题意，，解得.………………1分因为 ，即，………………2分()e (ln )x f x x a =-1()e (ln )x f x x a x'=+-1()ln h x x a x =+-22111()x h x x x x-'=-=01x <<()0h x '<1x >()0h x '>()h x (0,1)(1,)+∞()h x (1)1h a =-1a >(1)10h a =-<(e )e 0a a h -=>()h x (1,)+∞0(1,e )a x ∈0()0h x =0(1,)x ()0h x <0(,)x +∞()0h x >0(1,)x ()0f x '<0(,)x +∞()0f x '>0(1,)x ()f x 0(,)x +∞()f x ()f x [1,)x ∈+∞()1f x -≥()f x 1-1a ≤(1)10h a =-≥()0h x ≥()0f x '≥()f x [1,)+∞()f x (1)e f a =-e 1a --≥1ea ≤1a >()f x 0(1,)x 0(1,)x ()(1)e <e f x f a =--≤a 1(,e-∞21314a +=2a =222431c ab =-=-=1c =北京市西城区2021年4月高三数学参考答案第6页（共8页）所以 ，，所以离心率，的面积.………………5分（Ⅱ）由已知，直线的方程为. 当，，时，直线的方程为，交轴于点；当，，时，直线的方程为，交轴于点.若直线经过轴上定点，则，即，直线交轴于点.………………7分下面证明存在实数，使得直线经过轴上定点.联立消整理，得 ，………………8分设，.则，.………………10分设点，所以直线的方程：.………11分令，得.………………12分因为，(2,0)D -(1,0)F 12c e a ==DEF △1393224S =⨯⨯=DE 112y x =+(2,0)A -3(1,)2B (1,)G t AG (2)3t y x =+y 2(0,)3t 3(1,)2A (2,0)B -(2,)G t -AG 332(1)23t y x --=--y 3(0,)3t +AG y 2333t t +=3t =AG y (0,2)3t =AG y (0,2)221143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，y 22(43)880k x kx ++-=11(,)A x y 22(,)B x y 122843k x x k -+=+122843x x k -=+2(,3)G x AG 121233()y y x x x x --=--0x =2121211212333x y x x x yy x x x x -+-=+=--121121212123(1)3x x kx x x kx x x x x x -+--==--1212kx x x x =+北京市西城区2021年4月高三数学参考答案第7页（共8页）所以.………………14分所以直线过定点.综上，存在实数，使得直线经过轴上定点.………15分（21）（共15分）解：（Ⅰ）因为，，，，所以，.………………4分（Ⅱ）充分性：若是等差数列，设公差为.因为数列是递增数列，所以.则当时，.所以，.………………6分必要性：若.因为是递增数列，所以，所以，且互不相等.所以.又，所以，且互不相等.所以，，…，.所以，所以为等差数列.………………9分（Ⅲ）因为数列由这个数组成，任意两个不同的数作差，差值只可能为和.共个不同的值；且对任意的，和这两个数中至少有一个在集合中.………………11分又因为这个数在数列中共出现次，所以数列中存在，所以.综上，，且.………………12分A T A A 12121212123()222x x x x x x y x x x x --+-===--AG 0,2（）3t =AG y (0,2)11a =22a =34a =43a ={1,2,3,1}T =-()4P T =A d A 0d >j i >()j i a a j i d -=-{,2,,(1)}T d d N d =- ()1P T N =-()1P T N =-A 21311N a a a a a a -<-<<- 21311,,N a a a a a a T ---∈ ,21311{,,}N T a a a a a a =--- ,32421221N N N a a a a a a a a a a --<-<<-<-<- 324221,,,N N a a a a a a a a T ----∈ ,3221a a a a -=-4231a a a a -=-211N N a a a a --=-21321N N a a a a a a --=-==- A 1,2,3,,,2n n 1n +1,2,3,,(1)n ±±±±- (21),(22),,n n n ±-±-± 2(1)242n n n -+=-1,2,3,,1,,,21m n n n =-- m m -1,2,3,,,2n n 1n +21N n =+()i j a a i j =≠0T ∈()41P T n -≤()2P T n ≥北京市西城区2021年4月高三数学参考答案第8页（共8页）设数列：，此时，.现对数列分别作如下变换：把一个移动到之间，得到数列：，此时，.把一个移动到之间，得到数列：，此时，.……把一个移动到之间，得到数列：，此时，.把一个移动到之间，得到数列：，此时，.再对数列依次作如下变换：把一个移为的后一项，得到数列：，此时，；再把一个移为的后一项：得到数列：，此时，；依此类推……最后把一个移为的后一项：得到数列：，此时，.综上所述，可以取到从到的所有个整数值，所以的取值个数为.………………15分{0,1,2,,21}n - 12n ()3P T n =22n ()3+1P T n =2n 0A 1,1,2,2,3,3,4,4,,,,2n n n T =()2P T n =0A 12,31,2,2,1,3,3,4,4,,,,2n n n {0,1,2,3,,(21),1}T n =-- ()21P T n =+13,41,2,2,3,3,1,4,4,,,,2n n n {0,1,2,3,,(21),1,2}T n =--- ()22P T n =+11,n n -1,2,2,3,3,4,4,,1,1,1,,,2n n n n n -- {0,1,2,3,,(21),1,2,,2}T n n =---- ()2232P T n n n =+-=-1,2n n 1,2,2,3,3,4,4,,,,1,2n n n {0,1,2,3,,21,1,2,,1}T n n =---- ()2131P T n n n =+-=-0A 1A 1,2,2,3,3,4,4,,,,2,1n n n {0,1,2,3,,21,1,2,,1,12}T n n n =----- 2A 1,2,3,3,4,4,,,,2,2,1n n n {0,1,2,3,,21,1,2,,1,12,22}T n n n n =------ n n A 1,2,3,4,,,2,,1,,2,1n n n n - {0,1,2,3,,21,1,2,,1,12,22,,}T n n n n n =------- ()41P T n =-()P T 2n 41n -2n ()P T 2n。

北京市通州区2021届高三第一次高考模拟考试数学试题数 学2021年4月本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{2,1,0,1}A =--，{|1}B x x =>-，则A B =（A ）{2,1}--（B ）{0,1}（C ）{1,0,1}-（D ）{2,1,0,1}--（2）已知52345012345(2)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则3a =（A ）10 （B ）20 （C ）40 （D ）80 （3）下列函数中，是偶函数且值域为[0,)+∞的是（A ）2()1f x x =- （B ）12()f x x = （C ）2()log f x x = （D ）()f x x = （4）某三棱柱的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱柱的体积为（A ）43（B ）83（C ）4 （D ）8（5）已知等比数列的公比2q =-，前6项和621S =，则6a =（A ）32- （B ）16- （C ）16 （D ）32（6）已知在圆222(1)x y r -+=上到直线30x y -+=r =（A（B（C ）2 （D）（7）已知a ，b ，∈c R ，则“a b >”的一个充分而不必要条件是（A ）22a b > （B ）33a b > （C ）22a b > （D ）22ac bc > （8）已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，π2ϕ<）的图象如图所示，则 {}na（A ）函数的最小正周期是2π （B ）函数在区间π(,π)2上单调递减（C ）函数()f x 在区间3π4π[,]43上的最小值是1-（D ）曲线π()12y f x =+关于直线π2x =-对称（9）已知点P 是抛物线22(0)y px p =>上一点，且点P 到点(0,2)A -的距离与到y轴的距离之和的最小值为p =（A）（B ）4 （C）（D）（10著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为1C θ︒，空气温度为0C θ︒，则后物体的温度（单位：C ︒）满足：010()e k t θθθθ-=+-（其中为常数，e 2.71828=）．现有某物体放在20C ︒的空气中冷却，后测得物体的温度为52C ︒，再经过6min 后物体的温度冷却到24C ︒，则该物体初始温度是（A ）80C ︒ （B ）82C ︒ （C ）84C ︒ （D ）86C ︒第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。