2010年天津大学运筹学试题
一、考虑线性规划问题（P ）m ax 0
z C X
A X b
X ==⎧⎨
≥⎩
（1） 若12,X X 均为（P ）的可行解，[0,1]λ∈，证明12(1)X X λλ+-也是（P ）
的可行解；
（2） 写出（P ）的对偶模型（仍用矩阵式表示）。
二、有三个线性规划：
(Ⅰ) [Min] z =CX (Ⅱ) [Min] z '=C 'X (Ⅲ) [Min]
z
=CX
约束条件AX =b 约束条件AX =b 约束条件AX =b X ≥0 X ≥0 X ≥0
已知 X *是(Ⅰ)的最优解，X '*是(Ⅱ)的最优解，X *是(Ⅲ)的最优解，Y *是(Ⅰ)的对偶问题的最优解， 试证：（1）()()'-'-≤*
*
C C X X 0；
(2)
C X
X Y b b ()()
*
**
-≤-。
三、已知线性规划问题
⎪⎩
⎪
⎨⎧=≥+=++++=++++++++=)5,,1(03.
00)(max 2253232221212
143132121115
43322111 j x t b x x a x a x a t b x x a x a x a st x x x c x c x t c z j
当1t ＝2t ＝0时，用单纯形法求得最终表如下：
要求：1. 确定23222113121121321,,,,,,,,,,a a a a a a b b c c c 的值； 2. 当2t ＝0时，1t 在什么范围内变化上述最优解不变； 3. 当1t ＝0时，2t 在什么范围内变化上述最优基不变。
1x 2x 3x 4x 5x 3x
5/2
0 1/2 1 1/2 0 1x 5/2
1 -1/
2 0 -1/6 1/
3 j j z c -
-4
-4
-2
四、某公司准备以甲、乙、丙三种原料生产A、B、C、D四种型号的产品，每一单位产品对各原料的消耗系数、价格系数及原料成本等已知条件如下表：
1．为解决“在现有原料量限制下，如何安排A、B、C、D四种产品的产量，使总利润（这里利润简化为销售收入与原料成本之差）最大”这一问题，可建立一线性规划模型，令x1、x2、x3、x4依次表示各型号产品的计划产量，试列出这个模型，并记该模型为模型1；
2．利用一解线性规划的程序解上述问题（模型1），得到的部分结果如下：OBJECTIVE FUNCTION V ALUE
1) 19923.08
V ARIABLE V ALUE REDUCED COST
X1 230.769226 0.000000
X2 100.000000 0.000000
X3 1238.461548 0.000000
X4 0.000000 4.384615
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 0.000000 1.384615
3) 0.000000 1.230769
4) 0.000000 4.000000
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED
RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
RHS INCREASE DECREASE
2 5500.000000 1499.999878 4025.000000
3 3500.000000 500.000000 749.999939
4 2000.000000 6192.307617 250.000000
根据以上计算结果，分析并回答以下问题：
（1）最优生产方案和最大总利润是什么？按此方案生产，现有的原料是否还有剩余？哪一种有剩余？余多少？
（2）如果市场上甲原料的价格为4.5（百元/公斤），那么从市场上购得1000公斤的甲原料扩大生产是否合算（即总利润是否增加）？为什么？
（3）若D产品的价格系数增大到34（百元/公斤），原最优解会否发生变化？为什么？
（4）在原考虑的A、B、C、D四种型号产品基础上，如果又提出产品E，它对甲、乙、丙的消耗系数分别为5、6、2，价格系数为74（百元/公斤），那么
原最优方案是否要改变，为什么？
（5）若在本题已有已知条件基础上，还要考虑各产品的生产准备费用（视为固定成本），其中A 产品的生产准备费为1000（百元），B 产品的生产准备费为800（百元），C 产品的生产准备费为950（百元），D 产品的生产准备费为750（百元），而且由于某些原因，A 、B 、C 三种产品至多生产其中的两种。写出考虑这些新增条件下（不考虑产品E ），使生产利润最大的生产计划模型（不解）。
五、某化学制药厂有m 种有害副产品，它们的数量为bi(i=1,…,m)。按照规定，必须经过处理，制成n 种无害物后才能废弃。设aij 为每制成一单位第j （j=1,…n ）种无害物可以处理掉第 i 种有害物的数量，cj 为制成一单位第j 种无害物的费用。
1．现欲求各无害物的产量xj 以使总的处理费用为最小，请写出此问题的线性规划模型；
2．写出此问题的对偶规划模型，并解释对偶规划模型的经济意义。 六、一复合系统的结构如下图示意，它由4个部件串联组成。第k 个部件的功能由该部件专用的元件E k 完成，为提高系统的可靠性，第k 个部件可由x k 个相同的元件E k 并联构成，若每个元件的可靠度为p k ，则第k 个部件的可靠度为
k
x k k p r )
1(1--=。
已知4种元件的可靠度及价格见下表：
要求设计中所用元件的总费用不超过150元，又因空间限制，第3、4个部件最多由3个元件并联，应如何设计使整个串联系统的总可靠性最大？要求：
1．以x k (k =1,2,3,4)为变量，列出该问题的数学规划模型。
2．若用动态规划方法求解，选取状态变量s k 为安排至第k 个部件前的总可用费用，x k 为决策变量，写出以下表达式： （1）第1阶段状态集合1S ；
