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高中数学最全的思维导图小数老师2015-11-23 11:08很多同学一轮复习已经过半，但还不知道该怎么总结，小数老师给大家提个建议，要想总结，主要还是首先梳理出脉络来，提到某个知识点，那么关于这个知识点相关的所有知识你都要弄明白，这样你就成功了一半！下面是8张思维导图，先研究下看看吧！夷示方法元表、隼合之闾的关系集台「1f映射i I 函数三要妄性质表示定义定义域值域单调性周期性性质対称性基本初等函数分段国数运算：交、弃、补确定性、互异性、无序性解析达列表法使解析式有意义丿对应关采［」换元法求解析式JA连意应用函数的单调在求值域圏象法u函薮破个区圈MlWt减I与曲谒国直是秃亍区减占鱼乂耒冒：2,征阴尊讶*勒査『斷人导披追；儿麗舍弼戴的鱼调性亘塑」是乂填黄于旗点时歌氐L©社有盘文的奇證戳弋r如即）r的奇圈埶詡⑵二呻书⑹=£）最值—C环酩变拱）—f皑拦变彗）—｛棒编变箕）亘合函数二次函巍、基本不等式、打崗（耐克）函〕数、三角函数有界性、数形结台、异数.L —次、二次函数、反比例函數一幕函数指数函数对数函数三甬函埶亘台III埶的单调性：同潸异减I哦值法、典型的函数1抽象函数函数与方程函埶的应用图象V性质和应用二分注、图象迭、二次展三次方程根的分布）空间几何体liii台区梭怪梭台L囲台Sfe-正枝｛王，长方体、正方体EW.四面体、正四面体一l点在Mh±点与线纬与面一面勻面点在面內点在面外竝面岂強-直线在平窗内厂平行—相乂—f平行关系的］A 转化J i ■■-平厅J垂直曲罕的］线线1相互轉化J垂嵐L相父L平行L三视團•r直观團长对正-喜平齐卞伯隼」一刚面积.表面理体段口高—个公共点没有缺旦漫有有公扛耳------------------ 厂W T 厂直线在平面外-^―---------------- L相交亠线面- "平行「面直垂畳线面甜r-J_ -面面■乎行價耕角的畫化与糾率的变化）位臭关养相立I—C且必：-今血芒：）狂童：战距可正A可员，也可为0. J注at：栽距可正可员，也可訂oj直迭万程茹形式直迭万程茹形式两亶线的交点两亶线的交点圧意若种开式的辕化和运用范圈圧意若种开式的辕化*□运用范围不等式群三即T通项会式等比数列一1（样。
复旦大学硕士毕业论文摘要基本解方法（ＭｅｔｈｏｄｏｆＦｕｎｄａｍｅｎｔａｌＳｏｌｕｔｉｏｎ）是近些年发展起来的相对较新的一种求解某些椭圆方程边值问题的边界方法，它在求解椭圆方程的边值问题方面有着优越于其他数值方法的显著特征，特别是在满足某种条件的情况下，基本解方法给出了指数性递减误差，这在求边值问题数值解方面是非常难得的．本文主要对用基本解方法确定二维区域中的Ｌａｐｌａｃｅ方程的边值问题的边界进行研究。
把基本解方法求解椭圆方程边值问题公式化，首先应用于求解二维圆形区域的边值问题，文献【８］［１１］．［１２］已经给出圆形区域中基本解方法求解边值问题的收敛性证明，本文把圆形区域中不同取点方式得到的不同数值结果进行了比较，然后，利用复变函数中共形映射的相关知识把圆形区域这一特殊情况加以推广，对一般二维Ｊｏｒｄａｎ区域中的椭圆方程边值问题的求解进行讨论，并运用ＳＣ公式进行数值求解，在此基础上，提出把基本解方法应用于求解确定边界的反问题的算法，可以看出基本解方法对于求解反问题也是非常有效的。
关键词：基本解方法；椭圆方程的边值问题；非线性最小二乘法；共形映照；配置点控制点；反问题墓呈盔堂璺主里些鲨塞２ＡｂｓｔｒａｃｆＩｔｉｓｗｅｌｌｋｎｏｗＩｌｔｈａｔｔｈｅｍｅｔｈｏｄｏｆｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｓ（ＭＦＳ）ｉｓａｒｅｌａｔｉｖｅｌｙｎｅｗｔｅｃｈｎｉｑｕｅｆｏｒｔｈｅｎｕｍｅｒｉｃａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆａｃｌａｓｓｏｆｅｌｌｉｐｔｉｃｂｏｕｎｄａｒｙｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ｉｔｆａｉｌｓｉｎｔｈｅｃｌａｓｓｏｆｍｅｔｈｏｄｓｇｅｎｅｒａｌｌｙｃａｌｌｅｄｂｏｕｎｄａｒｙｍｅｔｈｏｄｓ．ＢｙｔｈｅｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎｏｆＭＦＳｗｅｗｉｌｌｆｉｎｄｔｈａｔＭＦＳｈａｓｓｏｒｔｉｅａｄｖａｎｔａｇｅｏｖｅｒｏｔｈｅｒｎｕｍｅｒｉｃａｌｍｅｔｈｏｄｓｉｎｓｏｌｖｉｎｇｂｏｕｎｄａｒｙｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ｉｔｇｉｖｅｓａｎｕｓｕａｌｍｅｔｈｏｄｓｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅｒａｔｅｕｎｄｅｒｓｏｍｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ．ＴｈｉｓｉｓｒａｔｈｅｒａｔｔｒａｃｔｉｖｅｓｉｎｃｅｃａｎｏｎｌｙｏｆｆｅｒｓｏｌｕｔｉｏｎｓｗｉｔｈｅｒｒｏｒｏｆＮ一，ｗｈｅｒｅｓｉｓａｎｏｎｅｇａｔｉｖｅｉｎｔｅｇｅｒ．Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｗｅｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｔｈｅｂｏｕｎｄａｒｙｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｓｆｏｒｔｈｅＬａｐａｌｃｅｅｑｕａｔｉｏｎｉｎｔｗｏ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｄｏｍａｉｎＦｉｒｓｔｌｙｗｅｆｏｒｍｕｌａｔｅＭＦＳｔｏｓｏｌｖｅｅｌｌｉｐｔｉｃｂｏｕｎｄａｒｙｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｓＳｅｃ－ｄｏｍａｉｎａｎｄａｐｐｌｙＭＦＳｔｏｏｎｄｌｙ，Ｗｅｕｓｅｃｏｎｆｏｒｍａｌｍａｐｐｉｎｇｔｏｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓｉｎｔｈｅｃｉｒｃｌｅｔｈｅｂｏｕｎｄａｒｙｐｒｏｂｌｅｍｓｏｆａｇｅｎｅｒａｌｔｗｏ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌＪｏｒｄａｎｄｏｍａｉｎ．Ｓｐｅｃｉａｌｌｙ，ＭＦＳｉｓａｐｐｌｉｅｄｔｏｓｏｌｖｅＦｒｅｅＢｏｕｎｄａｒｙＰｒｏｂｌｅｍｓａｎｄｗｅｃａｎｆｉｎｄＭＦＳｉｓａｌｓｏａｎｅｆｆｅｃｔｉｖｅｍｅｔｈｏｄｉｎｓｏｌｖｉｎｇｉｎｖｅｒｓｅｐｒｏｂｌｅｍＫｅｙｗｏｒｄｓ：ＭｅｔｈｏｄｏｆＦｕｎｄａｍｅｎｔａｌＳｏｌｕｔｉｏｎｓ；ｅｌｌｅｐｔｉｃｂｏｕｎｄａｒｙ－ｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｓ；ｎｏｎｌｉｎｅａｒｌｅａｓｔｓｑｕａｒｅｓ；ｃｏｎｆｏｒｍａｌｍａｐｐｉｎｇｓ；ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎｐｏｉｎｔｓ；ｃｈａｒｇｅｐｏｉｎｔｓ；ｉｎｖｅｒｓｅｐｒｏｂｌｅｍ第一章引言本文讨论的基本解方法（ＭｅｔｈｏｄｏｆＦｕｎｄａｍｅｎｔａｌＳｏｌｕｔｉｏｎ以下简记为ＭＦＳ）魁一种求解菜些糖爨方程逮骧阅题数僵疑豹逸赛方法。
椭圆知识点总结框架一、椭圆的定义1. 椭圆的几何定义2. 椭圆的代数定义3. 参数方程和极坐标方程二、椭圆的性质1. 椭圆的焦点和直径2. 椭圆的离心率3. 椭圆的直角坐标方程4. 椭圆的极坐标方程5. 椭圆的对称性6. 椭圆的形状7. 椭圆的周长和面积三、椭圆的方程1. 椭圆标准方程2. 椭圆的变换方程3. 椭圆的参数方程4. 椭圆的极坐标方程四、椭圆的图形1. 椭圆的图像特征2. 椭圆的几何分析3. 椭圆的轴和焦点4. 椭圆的绘制方法五、椭圆的应用1. 椭圆在天文学中的应用2. 椭圆在机械工程中的应用3. 椭圆在工程测量中的应用4. 椭圆在地理学中的应用5. 椭圆在其他领域中的应用六、椭圆与其他几何图形的关系1. 椭圆与圆的关系2. 椭圆与抛物线的关系3. 椭圆与双曲线的关系4. 椭圆与直线的关系七、椭圆的数学推导1. 椭圆的性质证明2. 椭圆的相关公式推导3. 椭圆的参数化方程推导4. 椭圆的极坐标方程推导八、椭圆的计算题1. 椭圆的周长计算2. 椭圆的面积计算3. 椭圆的焦点坐标计算4. 椭圆的离心率计算以上是关于椭圆的知识点总结框架，接下来我们将对每个知识点进行详细讲解。
一、椭圆的定义1. 椭圆的几何定义椭圆是平面上到两个定点F1,F2的距离之和等于常数2a的点P的集合，这个常数2a称为椭圆的长轴，两个定点F1,F2称为椭圆的焦点。
椭圆的几何定义可以简单理解为平面上到两个固定点的距离之和等于常数的点的轨迹。
2. 椭圆的代数定义设椭圆的两个焦点为F1(-c,0),F2(c,0), 两个焦点到椭圆上任意点P(x,y)的距离之和等于椭圆的长轴长2a，则有|PF1|+|PF2|=2a。
根据勾股定理可以得到椭圆的代数方程：(x+c)^2+y^2+(x-c)^2+y^2=4a^2。
3. 参数方程和极坐标方程椭圆的参数方程是x=a*cos(t),y=b*sin(t), 其中a,b分别为椭圆的长短半轴。
「代数思维系列」椭圆性质汇总圆锥曲线是高中解析几何的重点和难点，运算量之大，相信所有经历过的学生都有感触，而正因为代数运算之繁琐，更使得代数思维在圆锥曲线这个舞台上，有了极大的发挥空间。
最早研究圆锥曲线的集大成者是古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～190年），阿波罗尼奥斯在其著作《圆锥曲线论》中将圆锥曲线的性质几乎网罗殆尽。
当然，那个时候还没有平面直角坐标系，更没有解析几何的概念，但其著作中已经有了坐标制的思想，直到1800多年后的17世纪，笛卡尔建立坐标系，创立解析几何后，对圆锥曲线的研究才有了进一步的扩展。
阿波罗尼奥斯（约公元前262～190年）高中阶段对圆锥曲线的学习，还处于非常基础的阶段，圆锥曲线的性质可以列出数百条，本文仅对高考考点中涉及的椭圆的部分性质进行汇总。
（双曲线及抛物线的性质另文详述，欢迎大家持续关注）注：以下仅讨论焦点在x轴上的椭圆性质。
椭圆定义1.第一定义平面内与两定点F1、F2的距离的和为常数2a的动点P的轨迹叫做椭圆，其中2a>|F1F2|。
此为课本上的标准定义，不再详述。
2.第二定义平面内到定点F（±c，0）的距离和到定直线l：x=±a²/c的距离之比为常数e=c/a（0<><1）的点的轨迹是椭圆。
其中定点f（±c，0）为椭圆的左右焦点，定直线l：x=±a²>对第二定义给出证明：以右焦点和右准线为例：上述定义即可作为判定定理也可作为性质定理。
椭圆方程1.椭圆标准方程不再详述。
2.椭圆参数方程其中θ为参数，θ的几何意义如下图：以椭圆长轴和短轴为直径分别做圆，针对椭圆上任一点M，分别向大圆与小圆做垂线，垂足分别为A，B，则ABO三点共线，∠AOx 即为参数θ。
切线1.椭圆切线定理椭圆的任意一条切线与切点处的两条焦半径所成的角相等。
如图，F1、F2为椭圆两焦点，AB为椭圆切线，P为切点，则∠APF1=∠BPF2。
高二椭圆知识点思维导图椭圆是高二数学中的一个重要知识点，它在几何形状、实践问题以及数学应用中具有广泛的应用。
本文将通过思维导图的形式，对高二椭圆的关键知识点进行概括、总结和归纳，帮助学生更好地理解和掌握这一内容。
椭圆的定义（Ellipse Definition）- 椭圆是平面上到两个定点（焦点）F₁和F₂的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
椭圆的性质（Properties of Ellipse）1. 离心率（Eccentricity）- 离心率定义为离心距c与轴长2a之比，即e = c/a。
- 离心率e描述了椭圆的扁平程度，e<1时表示椭圆，e=1时表示半径为a的圆，e>1时表示双曲线。
2. 焦点与准线- 焦点是与椭圆定义中的两个定点F₁和F₂相关联的点。
- 准线是椭圆定义中与焦点F₁、F₂的连线垂直且通过椭圆中心的直线。
3. 主轴与短轴- 主轴是通过椭圆中心且与准线垂直的线段，长度为2a。
- 短轴是通过椭圆中心且与主轴垂直的线段，长度为2b。
4. 焦半径与定位点- 焦半径是从焦点到椭圆上任意一点P的距离。
- 定位点是椭圆上离焦点F₁和F₂等距离的两点，分别记作A₁和A₂。
椭圆的方程（Equation of Ellipse）- 椭圆的标准方程为(x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1，其中(h, k)为椭圆中心坐标。
- 椭圆的参数方程为x = h + a * cosθ，y = k + b * sinθ，其中θ为参数。
椭圆的求解（Solving Ellipse）1. 椭圆的离心率与长轴、短轴的关系- 离心率e与长轴2a和短轴2b的关系为e² = 1 - (b²/a²)。
2. 椭圆的焦点坐标- 焦点的坐标为F₁(-c, 0)和F₂(c, 0)，其中c² = a² - b²。
3.1.2 椭圆考点一 点与椭圆的位置关系【例1】已知点P (k,1)，椭圆x 29＋y 24＝1，点P 在椭圆外，则实数k 的取值范围为____________．【答案】 ⎝⎛⎭⎫－∞，－332∪⎝⎛⎭⎫332，＋∞ 【解析】 依题意得，k 29＋14>1，解得k <－332或k >332.【一隅三反】1.已知点(1,2)在椭圆y 2n ＋x 2m ＝1(n >m >0)上，则m ＋n 的最小值为________．【答案】 9【解析】 依题意得，1m ＋4n ＝1，而m ＋n ＝(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋4n ＝1＋4m n ＋n m ＋4＝5＋4m n ＋n m ≥5＋24m n ·nm＝9，当且仅当n ＝2m 时等号成立，故m ＋n 的最小值为9. 考点二 直线与椭圆的位置关系【例2-1】（2020·上海高二课时练习）k 为何值时，直线2y kx =+和曲线22236x y +=有两个公共点?有一个公共点?没有公共点? 【答案】见解析【解析】由222{236y kx x y =++=，得2223(2)6x kx ++=，即22(23)1260k x kx +++= 22214424(23)7248k k k ∆=-+=-当272480k ∆=->，即33k k ><-或时，直线和曲线有两个公共点；当272480k ∆=-=，即k k ==或时，直线和曲线有一个公共点； 当272480k ∆=-<，即k <<时，直线和曲线没有公共点． 【例2-2】（2020·吉林长春.高二月考）直线1y kx k ＝－＋与椭圆22=194x y +的位置关系为( ) A ．相切 B ．相交 C ．相离 D ．不确定【答案】B【解析】由题意，直线1(1)1y kx k k x =-+=-+，可得直线恒过点(1,1)P ，又由2211194+<，所以点(1,1)P 在椭圆22194x y +=的内部，所以直线1y kx k =-+与椭圆22194x y +=相交于不同的两点，故选B ．【一隅三反】1．（2019·全国高二课时练习）直线()1y kx k R =+∈与椭圆2215x y m+=恒有两个公共点，则m 的取值范围为( )A ．1+，B ．[)1,+∞ C ．()()1,55,+∞D ．)()[1,55,⋃+∞【答案】C【解析】已知直线y ＝kx ＋1与椭圆2215x y m +=联立方程组可化为（m+5k 2）x 2+10kx+5-5m=0，要使得直线()1y kx k R =+∈与椭圆2215x y m+=恒有两个公共点，则△=100k 2-4（m+5k 2）（5-5m ）=20[m 2-（1-5k 2）m]＞0，m ＞0，m≠5．∴m ＞1-5k 2，m ＞0，m≠5，又k ∈R ，∴m ＞1，且m≠5． ∴m 的取值范围为（1，5）∪（5，+∞）故选C2．（2020·全国高三课时练习（理））(2018·兰州一模)已知直线y ＝kx －k －1与曲线C ：x 2＋2y 2＝m(m>0)恒有公共点，则m 的取值范围是( ) A ．[3，＋∞) B ．(－∞，3] C ．(3，＋∞) D ．(－∞，3)【答案】A【解析】∵直线方程为1y kx k =--∴直线恒过定点(1,1)- ∵曲线C 的方程为222(0)x y m m +=>∴曲线C 表示椭圆 ∵直线1y kx k =--与曲线C ：222(0)x y m m +=>恒有公共点 ∴点(1,1)-在椭圆内或椭圆上，即2212(1)m +⨯-≤.∴3m ≥ 故选A.3.直线y ＝x ＋m 与椭圆2214x y +=有两个不同的交点，则m 的范围是( )A ．－5＜m ＜5B ．mmC ．mDm【答案】D【解析】由2214y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得5x 2+8mx+4m 2﹣4=0， 结合题意△=64m 2﹣20（4m 2﹣4）＞0，mD ．考点三 弦长【例3】（2020·云南省泸西县第一中学高二期中（文））已知椭圆x 24+y 29=1及直线l ：y =32x +m（1）当直线l 与该椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； （2）当m =3时，求直线l 被椭圆截得的弦长【答案】（1）[−3√2,3√2]；（2）√13.【解析】（1）由{y =32x +mx 24+y 29=1消去y ，并整理得9x 2+6mx +2m 2−18=0……① Δ=36m 2−36(2m 2−18)=−36(m 2−18)∵直线l 与椭圆有公共点∴Δ≥0，可解得：−3√2≤m ≤3√2 故所求实数m 的取值范围为[−3√2,3√2]（2）设直线l 与椭圆的交点为A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2) 由①得： x 1+x 2=−2m 3，x 1x 2=2m 2−189∴|AB |=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+(32)2⋅√(−6m 9)2−4×2m 2−189=√133⋅√−m 2+18当m =3时，直线l 被椭圆截得的弦长为√13 【一隅三反】1．（2020·全国高二课时练习）已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的焦距为2，过点P (－2,1)且斜率为1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点． (1)求椭圆C 的方程； (2)求弦AB 的长．【答案】（1）221124x y +=；（2）2AB =. 【解析】(1)已知椭圆焦距为2，即，b=2，结合a 2=b 2+c 2，解得a=，b=2，故C ：221124x y +=.(2)已知直线l 过点P (－2,1)且斜率为1，故直线方程为y -1=x+2，整理得y=x+3，直线方程与椭圆方程联立2231124y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2418150x x ++=. 设()11,A x y ，()22,B x y ．∴12120,9,215,4x x x x ⎧⎪∆>⎪⎪+=-⎨⎪⎪=⎪⎩∴AB =2=2．（2020·全国高二课时练习）斜率为1的直线与椭圆2212x y +=相交于,A B 两点，则AB 的最大值为__________.【解析】斜率是1的直线L :y =x +b 代入2212x y +=,化简得2234420x bx b ++-=，设()()1122,,A x y B x y ,则21212442,33b b x x x x -+=-=，且()221612420b b =-->，解得234b <.AB ===∴b =0时,|AB|，故答案为:. 考点四 点差法【例4】（1）（2020·上海高二课时练习）直线l 与圆22240(3)x y x y a a ++-+=<相交于两点A ，B ，弦AB 的中点为(0,1)，则直线l 的方程为__________．（2）（2020·全国高二课时练习）已知椭圆E ：22221x y a b+=，0a b >>的右焦点为()3,0F ，过点F的直线交椭圆E 于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为()1,1-，则E 的方程为__________.（3）直线y ＝x ＋1与椭圆mx 2＋ny 2＝1(m>n>0)相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点的横坐标等于13-，则椭圆的离心率等于_________.【答案】（1）10x y -+=.（2）221189x y +=（3）2【解析】（1）设圆心O ，直线l 的斜率为k ，弦AB 的中点为P ，PO 的斜率为op k ，2110op k -=--则l PO ⊥，所以k (1)11op k k k ⋅=⋅-=-∴=由点斜式得1y x =+．（2）已知3c =，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211221x y a b +=①，2222221x y a b+=②，已知AB 的中点坐标为()121,1?2x x -+=，则，122y y +=-， ①－②得()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=，∴()222121222212121y y x x b b b x x a y y a a-+=-⋅=-⨯-=-+， ∵1212011312y y x x -+==--，∴2212b a =，即222a b =， 又22229a bc b =+=+，∴29b =，218a =，即E 的方程为221189x y +=.（3）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0)，x 0＝－13，代入y ＝x ＋1得y 0＝23. 所以m x 12＋n y 12＝1，（1）m x 22＋n y 22＝1，（2）由（1）-（2）得：()()()()121212120m x x x x n y y y y +-++-=，131223ABm m k n n -=-⋅==，∴2212b n a m ==，∴e 2222111122c b a a ⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭，∴e＝2.故答案为：2. 【一隅三反】1．（2020·上海高二课时练习）如果椭圆221369x y +=的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是________【答案】 y=-0.5x+4【解析】设弦为AB ，且()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆方程得222211221,1369369x y x y +=+=，两式作差并化简得2112211212y y x x x x y y -+=-=--+，即弦的斜率为12-，由点斜式得()1242y x -=--，化简得0.54y x =-+.2．（2020·海林市朝鲜族中学高二课时练习）已知椭圆方程为22x +y 2=1,则过点11,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭且被P 平分的弦所在直线的方程为________. 【答案】2430x y +-=【解析】设这条弦与椭圆2212x y +=交于点()()1122A x y B x y ，由中点坐标公式知12121,1x x y y +=+=,把()()1122A x y B x y 代入2212x y +=,作差整理得()()12121212120,2AB y y x x y y k x x --+-=∴==--，∴这条弦所在的直线方程为111222y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， 即2430x y +-=，故答案为2430x y +-=.3．过点M (－2,0)的直线l 与椭圆x 2＋2y 2＝2交于P 1，P 2两点，线段P 1P 2中点为P ，设直线l 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2(O 为原点)，则k 1·k 2的值为________. 【答案】－12【解析】设直线l 的方程为：1(2)y k x =+，由122(2)21y k x x y =+⎧⎨+=⎩，整理得 ：2222111(12)8810k x k x k +++-=，所以211221812k x x k -+=+，2112218112k x x k -=+， 所以1121112112214(2)(2)(4)12k y y k x k x k x x k +=+++=++=+，所以211221142(,)1212k k P k k -++，12122112121214212k k k k k k -+==--+，所以1212k k =- 4．（2019·内蒙古一机一中高二期中（文））斜率为13-的直线l 被椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>截得的弦恰被点(1,1)M 平分，则C 的离心率是______．. 【解析】设直线l 与椭圆的交点为1122(,),(,)A x y B x y 因为弦恰被点(1,1)M 平分，所以12122,2x x y y +=+=由2222112222221,1x y x y a b a b+=+=，两式相减可得：1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+-+= 化简可得：212212y y b x x a -=--，因为直线l 的斜率为13-，所以21221213y y b x x a -=-=-- 即2213b a =所以离心率3e ==5．（2018·河南高二月考（文））已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点为F ，过点F 的直线交椭圆交于A ，B 两点，若AB 的中点11,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且直线AB 的倾斜角为4π，则此椭圆的方程为（ ） A ．2224199x y +=B ．22194x y +=C ．22195x y +=D ．222199x y +=【答案】A【解析】∵1211c =-，∴32c =，令()11,A x y ，()22,B x y ，则22221x y a b +=，∴()()()()12121212220x x x x y y y y a b +⋅-+⋅-+=，22210a b -+=，∴292a =，294b =.故选A.。
