导数的复习与导引考纲要求一、考试内容及要求1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念．2．熟记基本导数公式（c , x m（m 为有理数），s i nx , c o sx , e x, a x, l nx , lo g a x 的导数）；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则；了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值． 二、考纲解读随着高考的不断深入，对能力要求逐渐提高，也为了支持新课程的改革，导数的地位正在不断加强，对导数应用的考查的广度和深度也不断加重，导数已由解决问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题也成为新的热点内容．考查时，既有小题，侧重于利用导数确定函数的单调性和极值；也有解答题，主要考查学生译读题目，肢解难点，合理迁移，等价转化等数学思想和方法．侧重于导数的综合应用，即导数与函数、数列、不等式、解析几何的综合应用，以及导数问题的综合应用，特别注意用导数证明函数的单调性，求函数的极值与最值，证明不等式以及求曲线的切线等问题，预计2009年的高考，导数必将还是重点和热点．考点解读（题型梳理）本章的考查重点集中在以下方面：导 数导数是在函数极限的基础上发展起来的研究变量的一门科学，它为有效地解决一些传统的初等数学问题提供了一般性的方法，如求曲线的切线方程，函数的单调区间，不等式的证明，函数的最值及有关实际问题，运用求导的方法不仅简便易行，而且形象直观，有助于对函数性质的深刻理解和认识．学习本节内容首先必须弄清以下基本问题： 一、导数的概念1．弄清“函数在一点x 0处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系．（1）函数在一点处的导数)(0x f '是一个常数，不是变量．（2）函数的导数，是针对某一区间内任意点x 而言的．函数f (x )在区间(a , b )内每一点都可导，是指对于区间(a , b )内的每一个确定的值x 0，都对应着一个确定的导数)(0x f '，根据函数的定义，在开区间(a , b )内就构成了一个新的函数，就是函数f (x )的导函数)(x f '．（3）函数y =f (x )在点x 0处的导数)(0x f '就是导函数)(x f '在点x =x 0处的函数值，即)(0x f '=)(x f '|x =x 0．2．导数的存在性：当函数在x =x 0处的平均变化率的左右极限存在且相等时，才能判定此点存在导数． 3．可导与连续之间的关系若函数y =f (x )在x 0处可导，则函数y =f (x )在x =x 0处连续；函数y =f (x )在x =x 0处连续，y =f (x )在x =x 0处不一定可导．例如：函数y =|x |在x =0处连续，但不可导． 4．导数的几何意义（1）设函数y =f (x )在点x 0处可导，那么它在该点的导数等于函数在相应点M (x 0, y 0)处的切线的斜率． （2）设s =s (t )是位移函数，则s ′(t 0)表示物体在t =t 0时刻的瞬时速度． （3）设v =v (t )是速度函数，则v ′(t 0)表示物体在t =t 0时刻的加速度．【例1】 已知函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≤+=,1),1(211),1(21)(2x x x x x f 试判断函数f(x)在x=1处是否可导．【分析】求f ′(1)，即求1)1()(lim1--→x f x f x ．考虑到x =1是f (x )的分界点，x →1+与x →1-时，f (x )的表达式不同，所以应分别求1)1()(lim1--+→x f x f x 及1)1()(lim1---→x f x f x ．【解析】11)1(21lim1)1()(lim11--+=--++→→x x x f x f x x .211)1(21lim1=--=+→x x x 而11)1(21lim1)1()(lim211--+=----→→x x x f x f x x.1)1(21lim1)1(21lim121=+=--=--→→x x x x x ∴.1)1()(lim1)1()(lim11--≠---+→→x f x f x f x f x x即f ′(1)不存在，所以f (x )在x =1处不可导．【评析】1．由导数的定义，可以得到求函数y =f (x )在点x 0处的导数的方法：① 求函数的增量△y =f (x 0+△x )-f (x 0)； ② 求平均变化率xx f x x f xy ∆-∆+=∆∆)()(00；③ 取极限，得导数xy x f x ∆∆='→∆00lim)(．此方法可简记为：一差、二化、三极限．2．当函数在x =x 0处的平均变化率的左右极限存在且相等时，才能判定此点存在导数． 【例2】 求曲线y =3x -x 3过点P (2, -2)的切线方程．【解析】设切点坐标为P (x 0, y 0)，由y ′=3-3x 2知点P 处的切线方程为：y -y 0=(3-3x 20)(x -x 0)…①，∵切线过点P (2, -2)，且y 0=3x 0-30x ,代入①，整理得0432030=+-x x ，即(x 0+1)(x 0-2)2=0, ∴x 0=-1或x 0=2．（1）当x 0=-1时，切点为(-1, -2)，此时切线方程为y =-2；（2）当x 0=2时，切点为P (2, -2)，此时切线方程为9x +y -16=0．所以过点P (2, -2)的切线方程为y =-2或9x +y -16=0．【评析】“经过点P 的切线”与“点P 处的切线”不同，“经过点P 的切线”包括两种情况： ① 以点P 为切点； ② 以曲线y =f (x )上的另一点Q 为切点，但该切线恰好过点P ，在求解过程中应注意明确概念的内涵 与外延，否则会出现错误．【例3】 已知函数f (x )=x 2-x +m 的定义域为(0,1)，对任意x 1, x 2∈(0, 1)且x 1≠x 2，求证：|f (x 1)-f (x 2)|<|x 1-x 2|．【解析】 因为x 1≠x 2，所以原不等式等价于1)()(2121<--x x x f x f ，即证f (x )=x 2-x +m ，x ∈(0, 1)在函数图像上任意两点连线的斜率k 满足|k |<1，∵)(x f '=2x -1且当x ∈(0, 1)时，-1<2x -1<1, ∴-1<)(x f '<1， ∴1)()(2121<--x x x f x f ，即|f (x 1)-f (x 2)|<|x 1-x 2|．【评析】利用导数的几何意义来证明显得非常简捷．一般地，对于|f (x 1)-f (x 2)|≤m |x 1-x 2|型不等式，大多可以转化成“函数y =f (x )图象上任意两点P (x 1, f (x 1))，Q (x 2, f (x 2))的连线的斜率2121)()(x x x f x f k --=(x 1≠x 2)的取值范围问题”求解，同时应注意将x 1=x 2单独讨论． 二、函数的和、差、积、商的导数函数的求导方法主要有两种，一是定义法，二是利用函数的和、差、积、商的求导公式，要求在熟练掌握几种常见函数导数的基础上灵活运用求导公式求函数的导数． 【例4】 求下列函数的导数：（1）)11)(1(xx y +-= （2）xxy ++-=1111； （3）3x xx y =c o t (t 为常数)．【解析】 （1）∵xx xx y -=+-=1)11)(1(，∴23212121)(---='-='x x xy 2121--x;（2）∵,121111xxxxxy -=--+-+=∴2)1(2x y -='．（3）∵31211-+=x y tx t cos cos 67=，∴tx y cos 6761='（注意c o st 为常数）【评析】本题是关于初等函数的求导问题，注意灵活使用导数的四则运算法则．若不加分析，盲目套用公式，就会给运算带来不便甚至错误，所以先化简，再求导是实施导数运算的基本方法，是化难为易，化繁为简的基本原则和策略．【例5】 f (x )是定义在(0, +∞)上的非负可导函数，且满足)()(x f x f x +'≤0，对任意正数a , b ，若a <b ，则必有A ．af (b )≤bf (a )B ．bf (a )≤af (b )C ．af (a )≤f (b )D ．bf (b )≤f (a ) 【解法一】由⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤+'≥>0)()(0)(0x f x f x x f x 0)()(≤-≤'x x f x f ，所以⇒⎭⎬⎫>>≥≥00)()(a b b f a f bf (a )≥af (b )．故选A ．【解法二】根据题设条件构造函数F (x )=xf (x )，则)()()(x f x f x x F +'='，由条件得F (x )在(0, +∞)上单调递减．若a <b ，则F (a )≥F (b )，所以bf (a )≥af (b )≥bf (b )≥af (b )，选A ．【评析】本题主要考查基本的求导公式，函数单调性的应用、不等式的放缩等．由已知条件)()(x f x f x +'≤0可证明函数F (x )=xf (x )在(0, +∞)上非严格单调递减，没有对公式(u v )′=u′v +u v ′的熟练掌握，很难构造出函数F (x )=xf (x )．三、复合函数的导数 求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为基本函数的导数解决．①分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成，适当选定中间变量；②分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量的关系；③根据基本函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；④复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，对于经过多次复合及四则运算而成的复合函数，可以直接应用公式和法则，从最外层开始由外及里逐层求导．【例6】 求)32(sin 2π+=x y 的导数．【分析一】题中结构较为复杂，先设中间变量，然后由复合函数的求导法则求导． 【解法一】设y =u 2, u=s i nv , v =2x +3π，则xv u x v u xx v u v u y y )32()(sin )(2'+⋅'⋅'='⋅'⋅'='π.2)32cos()32sin(22cos 2⋅+⋅+=⋅⋅=ππx x v u ).324sin(2π+=x【分析二】根据积的求导法与复合函数的求导法则．【解法二】∵sin(2)sin(2)33y x x ππ=+⋅+])32[sin()32sin(2'+⋅+=ππx x)32()32cos()32sin(2'+⋅+⋅+=πππx x x ).324sin(2π+=x【分析三】利用降幂公式先化简，再求导． 【解法三】∵)]324cos(1[21π+-=x y ，∴])324cos(2121['+-='πx y )324()324sin(210'+⋅++=ππx x )324sin(2π+=x ．【评析】复合函数的求导过程就是对复合函数由外层向内层求导，每次求导都针对着最外层的相应变量进行的，直到求到最里层为止，所谓最里层就是指可以直接引用基本公式表进行求导． 四、对数函数与指数函数的导数本节的重点是结合函数四则运算的求导法则与复合函数的求导法则，应用指数与对数的求导公式熟练地求较简单的初等函数的导数． 【例7】 求下列函数的导数： （1）bxaxe y +-=2； （2）)1(log 2-+⋅=x x x y a ； （3）xx y -+=11ln．【解析】（1）设y =e u ，u=-ax 2+bx ，则)()(2'+-⋅='⋅'='bx ax e u e y u x u )2(2b ax ebxax+-=+-；（2）⋅-+⋅+-+='1log )1(log 22x x e x x x y a a )1(2'-+x x ex x x x x x a a log 12)1(log 222-+++-+=；（3）∵)]1ln()1[ln(21x x y --+=，∴.11)1111(212xxxy -=-++='【评析】本题的函数都是复合函数，求导时既可以先把函数分解后再用复合函数求导，也可直接用复合函数求导公式求导．【例8】 已知0<x <1，求xx x y +-=11的导数．【解析】y >0，两边取对数得)]1ln()1[ln(21ln )11ln(ln x x x xx x y +--+=+-=∵y 是x 的函数，由复合函数的求导法则对上式两边求导，可得,111)1111(2112xxxx xyy --=+---+='∴).111(2xxy y --='∵,11xx xy +-=∴.1111)1(1112222xx x x xx x xxxx xy +---+=---⋅+-='【评析】（1）对l ny 求导不易理解，事实上，如果设y =f (x )，则l ny =l nf (x )，设f (x )=u ， 则.)()(11)(ln ])([lny y x f x f u u u u x f x x u '='⋅='⋅='⋅'='（2）本题解法的求导方法一般称为对数求导法，即先两边取对数，再求导，一般适用于以下两类函数的求导：① 形如y =(x -a 1)(x -a 2)…(x -a n )，取对数之后，可将积转化为和的形式，或)()()()(11n n b x b x a x a x y ----=，取对数后，可转化为代数和的形式．② 无理函数（如本例）或形如y =x x 这类函数，取对数后，可变形为l ny =x l nx 两边求导．导数的应用近年来以导数为工具，以函数为主干的综合题的类型有很多，如函数与方程、函数与不等式、函数与数列、函数与解析几何、函数与立体几何等，这些题型成了高考函数综合题的一大特色，解决这类问题的关键是熟练掌握导数、函数与方程、转化与化归、分类讨论等思想在解题中的应用．从近几年全国各地高考试题看，导数部分的考查热点主要表现在以下几个方面： 一、研究函数性质导数作为研究函数问题的利刃，常用来解决极值、最大（小）值、单调性等三类问题．在求解这些函数问题时，结合导数的思想并在理解性质的基础上，掌握用导数方法求解的一般步骤，请参见《知识网络》．【例9】 已知函数)0.()1ln(1)(>++=x xx x f（1）判断函数f (x )在区间(0, +∞)上的增减性并证明你的结论； （2）若当x >0时，1)(+>x k x f 恒成立，求正整数k 的最大值．【解析】（1）)]1ln(11[1)(2+--+='x x x xx f )].1ln(11[12+++-=x x x由x >0, x 2>0,11>+x , l n (x +1)>0，得0)(<'x f ．因此函数f (x )在区间(0, +∞)上是减函数．（2）当x >0时，1)(+>x k x f 恒成立，令x =1有k <2(1+l n 2).，又k 为正整数，则k 的最大值不大于3．下面证明当k =3时，1)(+>x k x f (x >0)恒成立．即证明x >0时(x +1)l n (x +1)+1-2x >0恒成立．令g (x )=(x +1)l n (x +1)+1-2x ,，则.1)1ln()(-+='x x g 当x >e -1时，0)(>'x g ；当0<x <e -1时，0)(<'x g ． ∴当x =e -1时，g (x )取得最小值g (e -1)=3-e >0．∴当x >0时，(x +1)l n (x +1)+1-2x >0恒成立．因此正整数k 的最大值为3．【解法二】当x >0时，1)(+>x k x f 恒成立．即kxx x x h >+++=)]1ln(1)[1()(对x >0恒成立．即h (x )(x >0)的最小值大于k ．2)1ln(1)(xx x x h +--='，记ϕ(x )=x -1-l n (x +1).(x >0)，则,01)(>+='x x x ϕ∴ϕ(x )在(0, +∞)上连续递增．又ϕ(2)=1-l n 3<0, ϕ(3)=2-2l n 2>0，∴ϕ(x )=0存在惟一实根a ，且满足：a ∈(2, 3), a =1+l n (a +1)，由x >a 时，ϕ(x )>0, h ′(x )>0; 0<x <a 时，ϕ(x )<0, h ′(x )<0知：h (x )(x >0)的最小值为 h (a )=1)]1ln(1)[1(+=+++a aa a ∈(3, 4)．因此正整数k 的最大值为3．【评析】此题若用初等方法求函数f (x )的单调区间，则十分困难，而采用导数方法来研究，通过“求导→解不等式→写单调区间”这三步，即可简捷地完成解答，本题第（2）问的方法一采用了“特殊探路，导数求证”的思路，而方法二则通过两次求导，很巧妙地化解了难点． 二、研究二次函数与三次函数 二次函数、三次函数是最基本、最简单的多项式函数，每年高考中均重点考查，“三个二次”是方程、不等式和函数之间联系的桥梁，也是综合代数知识的一个平台，更是高考命题的好素材．三次函数求导以后，就可以转化为二次函数问题，所以三次函数是对二次函数知识的升华．以三次函数为基本模型研究导数的应用，是近年高考的一个热点． 【例10】 已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )≥-2x 的解集为[1, 3]．（1）若方程f (x )+6a =0有两个相等的实数根，求f (x ) 的解析式；（2）若函数g (x )=xf (x )无极值，求实数a 的取值范围．【分析】根据一元二次不等式的解集可得到其对应方程的两根，即可得出f (x )为含a 的参数式，再根据相等两根知判别式为零，便可求得解析式．第二问是三次函数极值问题，求导后变为二次函数问题，按解二次函数的方法处理便可求出a 的取值范围．【方法一】设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0)，∵不等式f (x )≥-2x 的解集为[1, 3]，且a <0．∴f (1)=a +b +c =-2, ① f (3)=9a +3b +c =-6, ② 又∵f (x )+6a =ax 2+bx +c +6a =0有两相等根，∴△=b 2-4a (c +6a )=0. ③ 由①②③解得a =-51或a =1（舍去），故a =-51, b =-56, c =-53.∴.535651)(2---=x xx f【方法二】若设f (x )+2x =a (x -1)(x -3)(a <0)，则解法更简单（下略）．（2）由①②得b =-2-4a , c =3a , 故g (x )=ax 3+(-2-4a )x 2+3ax ,)(x g '=3ax 2+2(-2-4a )x +3a ，∵g (x )无极值，∴方程)(x g '=0无实根或有两个相等实根，则⎪⎩⎪⎨⎧≤---=∆≠,036)42(4,022aa a 解得-2≤a ≤-72．【评析】二次函数是高中数学中的一个最基本的函数，是联系“三个二次”之间关系的枢纽，二次函数的有关性质仍是我们研究函数性质中最基本的初等函数的性质，“三个二次”之间的相互转化是我们解决方程、不等式和函数综合问题的主要途径．【例11】 若函数f (x )=x 3+bx 2+cx +1的单调增区间是(-∞, -2]与[2, +∞)，单调减区间是[-2, 2]． （1）求函数f (x )的解析式；（2）若方程f (x )-m =0有三个不相等的实根，求m 的取值范围．【分析】由条件可知函数在x =-2, x =2处的导数值为零，由此可解出两个参数的值，则方程根的问题可以转化为图像交点问题处理．【解析】（1）c bx x x f ++='23)(2，依题意⎩⎨⎧=++=+-⎩⎨⎧='=-'.0412,0412,0)2(,0)2(c b c b f f 即解得b =0,c =-12．∴函数)(x f 的解析式为112)(3+-=x x x f .（2）由条件可知，函数)(x f 有极大值17)2(=-f ，极小值15)2(-=f .若方程mx f y -=)(有三个不相等的实数根，即)(x f 的图像与直线y =m 恰有三个公共点，则⎩⎨⎧-<>).2(),2(f m f m ∴m 的取值范围为-15<m <17．【评析】因为三次函数求导后可变为二次函数，所以，两者之间有着密切的联系，研究三次函数性质的时候往往通过求导转化为二次函数或二次不等式，进而借助二次函数的性质来进行研究．一般地，若已知三次函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d (a >0)在(-∞, m ]上是增函数，在[m , n ]上是减函数，在[n , +∞)上是增函数，则二次方程0)(='x f 即3ax 2+2bx +c =0的两个根为m , n ；且当x ∈(-∞, m ]或x ∈[n ,+∞)时0)(>'x f ， 当x ∈[m , n ]时0)(<'x f ，反之亦然． 三、证明不等式证明不等式的方法有许多，导数作为研究一些不等式恒成立问题的工具，体现了导数应用上的新颖性以及导数思想的重要性．由导数方法研究不等式时，一般是先构造一个函数，借助对函数单调性或最大（小）值的研究，经过代数变形，从而得到待证明的不等式．【例12】 设a ≥0, f (x )=x -1-l n 2x +2a l nx (x >0)．（1）令)()(x f x x F '=，讨论F (x )在(0, +∞)内的单调性并求极值；（2）求证：当x >1时，恒有x >l n 2x -2a l nx +1． 【解析】（1）根据求导法则有0,2ln 21)(>+-='x xa xx x f ，故,0,2ln 2)()(>+-='=x a x x x f x x F于是，0,221)(>-=-='x xx x x F ．列表如下：由上表可知，函数F (x )在(0, 2)内是减函数，在(2, +∞)内是增函数，所以，在x =2处取得极小值F (x )=2-2l n 2+2a ．（2）证明：由a ≥0知，F (x )的极小值F (x )=2-2l n 2+2a >0，由上表可知，对x ∈(0, +∞)，恒有)()(x f x x F '=>0． 由此可知，当x >0时，恒有)(x f '>0，故f (x )在(0, +∞)内单调递增．所以，当x >1时，f (x )>f (1)=0， 即x -1-l n 2x +2a l nx >0.综上可知，当x >1时，恒有x >l n 2x -2a l nx +1．【评析】此题主要考查了导数的概念与计算，以及利用导数研究函数单调性、极值和证明不等式的方法，体现了高考中对综合运用导数知识解决问题的能力要求．四、求解参数范围给定含有参数的函数以及相关的函数性质，求解参数的值或范围，需要我们灵活运用导数这一工具，对问题实施正确的等价转化，列出关于参数的方程或不等式．在此类问题的求解过程中，逆向思维的作用尤其重要．【例13】 设函数xx x f ln 1)(=(x >0且x ≠1)（1）求函数f (x )的单调区间；（2）已知axx>12对任意x ∈(0, 1)成立，求实数a 的取值范围．【解析】（1）xx x x f 22ln 1ln )(+-='，若)(x f '=0，则ex 1=，列表如下：从上表可知，f (x )的单调增区间为(0,e1)；减区间为(e1, 1)和(1, +∞).（2）在axx>12两边取对数，得xa xln 2ln 1>，由于0<x <1，所以.ln 12ln xx a >①由（1）的结果可知，当x ∈(0, 1)时，f (x )≤)1(e f =-e ，为使①式对所有x ∈(0, 1)成立，当且仅当ea ->2ln ，即a >-e l n 2.【评析】要求参数a 的取值范围，需将a 分离出来，因此考虑两边取自然对数，再利用上一问的结论及恒成立问题的充要条件就能转化为关于参数a 的不等式，从而顺利地求出参数a 的范围．事实上，解数学题的过程就是一系列的等价转换的过程——化无理为有理，化分式为整式，化高次为低次，化未知为已知等等．五、研究相切问题导数的几何意义表现为曲线的切线斜率值，从而利用导数可求曲线y =f (x )的切线，并进一步将导数融合到函数与解析几何的交汇问题中．解决此类相切问题，一般先求函数的导数)(x f y '=，依据曲线y =f (x )在x =x 0的切线斜率为='==0|x x y k|)(xx x f ='而进行研究．由于切点具有双重身份，既在切线上，又在函数图像上，从而对切点的研究可作为解决问题的纽带，特别是在不知道具体切点的情况下，常常设切点坐标并联立方程组而求解（如例2）．【例14】 已知函数f (x )=x 3-x ．（1）求曲线y =f (x )在点M (t , f (t ))处的切线方程；（2）设a >0，如果过点(a , b )可作曲线y =f (x )的三条切线，证明：-a <b <f (a )． 【解析】（1）求函数f (x ) 的导数：13)(2-='x x f .曲线y =f (x )在点M (t , f (t ))处的切线方程为))(()(t x t f t f y -'=-，即y =(3t 2-1)x -2t 3．（2）如果有一条切线过点(a , b )，则存在t ，使b =(3t 2-1)a -2t 3．于是，若过点(a , b )可作曲线y =f (x )的三条切线，则方程2t 3-3at 2+a +b =0有三个相异的实数根．记g (t )=2t 3-3at 2+a +b =0，则).(666)(2a t t at t t g -=-='当t 变化时，)(),(t g t g '的变化情况如下表所示：由g (t )的单调性，当极大值a +b <0或极小值b -f (a )>0时，方程g (t )=0最多有一个实数根；当a +b =0时，解方程g (t )=0，得t =0, t =23a ，即方程g (t )=0只有两个相异的实数根；当b -f (a )=0；解方程g (t )=0；得t =-2a , t =a ，即方程g (t )=0只有两个相异的实数根．综上，如果过(a , b )可作曲线y =f (x )三条切线，即g (t )=0有三个相异的实数根，则⎩⎨⎧<->+,0)(,0a f b b a 即-a <b <f (a )．【评析】依据切线的斜率等于切点处的导数值，可轻松完成第一个问题关于切线方程的求解；第二个问题所涉及的三条切线，可等价转化为方程有三个实数根的问题，进一步利用导数对函数性质的研究，可解决方程实数根个数的讨论． 六、解决实际应用问题在工农业生产、生活等实际问题中，常常需要研究一些成本最低、利润最大、用料最省的问题．我们先把实际情景翻译为数学语言，找出情景中主要的关系，抽象出具体的数学问题，化归为研究目标函数的最大（小）值，从而可利用导数方法简捷求解，此类问题称为优化问题．解答此类问题时，需要抓住三个基本步骤：①建立函数关系；②求极值点，确定最大（小）值；③回归优化方案． 【例15】 一吊灯圆环直径为22米，通过拉链BC 、CA 1、CA 2、CA 3（A 1、A 2、A 3是圆上三等分点）悬挂在B 处，圆环呈水平状态并距天花板2米（如图）（1）为使拉链总长最短，BC 应为多长；（2）为了美观与安全，在圆环上设置A 1、A 2、A 3、…、A n (n ≥4)个等分点，并仍按上述的方法连结，若还要求拉链总长最短，对比（1）中C 点位置，此时C 点是上升还是下移，请说明理由．【解析】（1）设C 距天花板x 米(0<x <2)，所求拉链总长为y 米，则CA 1=CA 2=CA 3=,2)2(2+-x∴),20(2)2(32<<+-+=x x x y ∴.2)2()2(312+---='x x y 令02)2()2(312=+---='x x y ,又0<x <2, ∴x =23，∵x ∈(0,23)时，y '<0；x ∈(2,23)时，y '>0.∴当x =23时，y 取最小值为6米．（2）类比第（1）问求解过程有2)2(2+-+=x n x y ,∴2)2()2(12+---='x x n y令2)2()2(12+---='x x n y =0，又∵0<x <2, ∴1222--=n x ．∵此时只有一个极值，∴当1222--=n x 时，拉链总长最短．现在比较1222--n 与23的大小，只需先比较21122与-n 的大小．B C A 3A 1A 2∵n ≥4, ∴0)1(494112)21()12(222222<--=--=--n nn n ，即21122<-n .∴231222>--n ，故C 点位置将下移．【评析】数学应用题主要有以下六种题型：（1）函数、不等式、导数型应用题； （2）数列型应用题；（3）三角函数、平面向量型应用题； （4）解析几何型应用题；（5）立体几何型应用题； （6）排列、组合、概率型应用题．求解应用问题首先要仔细分析题意，理清题目的已知条件以及需求解的对象，各种数据之间的关系，然后建立恰当的数学模型，将实际问题转化为数学问题，最后再利用已学过的数学知识和方法去解决问题．本例应抓住图形特征列出拉链总长度的函数解析式，然后借助于导数方法求解． 【复习建议】由于导数是研究函数性质的重要工具，又有着丰富的实际背景和广泛的应用，使得导数很自然地成为近几年高考的热点，因此在复习中应注意以下几点： 1．夯实基础，突出工具性随着导数的引入，使得研究函数的工具更加先进，方法更加灵活．导数的概念及其运算是导数应用的基础，因此，在教学时，要充分利用教材，在牢记导数的相关概念、求导法则的基础上穿插与渗透运用导数解决函数问题的训练，把它作为研究函数图象与性质的基本方法加以总结和应用，促进知识和方法的系统化．2．把函数与导数的复习融合于一体当用导数研究函数时，函数的呈现形式已经不再拘泥于具体的基本初等函数．对函数的研究也不仅仅限于定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，极值与最值、曲线的切线、极限与连续等都成为研究的对象．只有把函数与导数的复习结合起来，才能对函数有更深刻的认识． 3．关注高考试题，强化综合运用在知识网络的交汇点处设计试题是高考命题的一个基本原则．在夯实基础，紧抓主干的基础上，还要特别注重导数知识的纵横联系．在复习时，应以教材为主，全面梳理知识，系统归纳总结，注重知识结构的重组与概括，揭示知识间的内在联系，形成纵向、横向的知识链，构建知识网络．高度关注导数与函数、不等式、数列、解析几何等内容交叉渗透的综合性问题的训练，使导数的知识和方法与相关内容融合在一起，不断地提高学生综合运用所学知识解决问题的能力．。
