05图形个数

第五讲数图形
【知识要点】我们已经认识了线段，知道线段是由两个端点和端点之间的直线组成的。

那么数由几个在同一直线上的点组成的线段有什么好办法呢。

【例1】数一数，下面的图形中一共有多少条线段？
〖试一试〗数一数，下面的图形中一共有多少条线段？
【例2】数一数，下面的图形中一共有多少条线段？
〖试一试〗数一数，下面的图形中一共有多少条线段？
【例3】数一数，下面的图形中一共有多少个角？
〖试一试〗数一数，下面的图形中一共有多少个角？
【例4】数一数，图中有多少个三角形？
〖试一试〗数一数，图中有多少个三角形？
【例5】数一数，图中有多少个正方形？
〖试一试〗数一数，图中有多少个正方形？
【例6】数一数，图中有多少个长方形？
〖试一试〗数一数，图中有多少个长方形？
练习题1、数一数，下面的图形中一共有多少条线段？
2、数一数，下面的图形中一共有多少条线段？
3、数一数，下面的图形中一共有多少条线段？
4、数一数，下面的图形中一共有多少条线段？
5、数一数，下面的图形中一共有多少条线段？
6、数一数，下面的图形中一共有多少个角？
7、数一数，图中有多少个三角形？
8、数一数，图中有多少个三角形？
9、数一数，图中有多少个正方形？
10、数一数，图中有多少个正方形？
11、数一数，图中有多少个长方形？
12、数一数，图中有多少个长方形？
13、在下面这条线段上添点，需要添几个点就能有6条线段？。

专题05 高分必刷题-几何图形初步重难点题型分类（原卷版） 专题简介：本份资料包含《几何图形初步》这一章除压轴题题之外的全部重要题型，所选题目源自各名校月考、期末试题中的典型考题，具体包含九类题型：正方体的展开图、立体图形的三视图、直线射线线段的概念、算术方法求线段长度、方程方法求线段长度、角的概念与单位换算、折叠中的角度计算、算术方法求角度、方程方法求角度。

适合于培训机构的老师给学生作复习培训时使用或者学生考前刷题时使用。

题型一：正方体的展开图1.（长郡）下列各图中，可以是一个正方体的平面展开图的是( )A .B .C .D .【解答】解：A 、属于“田”字型，不是正方体的展开图，故选项错误；B 、属于“7”字型，不是正方体的展开图，故选项错误；C 、属于“1+4+1”字型，是正方体的展开图，故选项正确；D 、属于“凹”字型，不是正方体的展开图，故选项错误．故选：C ．2.（长梅）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是__________.【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“的”与“害”是相对面，“了”与“厉”是相对面，“我”与“国”是相对面．3.（中雅）如图所示，是一个正方体的平面展开图，当把它折成一个正方体时，与空白面相对的字应该是__________.【解答】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“京”与“你”相对，面“迎”与面“北”相对，“欢”与面“空白”相对．故答案为：欢．4.（西雅）如图，是一个正方体的表面展开图，则原正方体中“爱”字所对应的面相对的面上标的字是( )A.我B.的C.祖D.国你迎欢京北【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“爱”与“的”是相对面；故选：B．题型二：立体图形的三视图5.（雅礼）如图所示是由一些相同的小正方体构成的立体图形从正面、左面、上面看到的形状图，那么构成这个立体图形的小正方体的个数是个。

专题05图形的平移、旋转、翻折、新定义（18题）一、单选题1．（2023·上海黄浦·统考二模）下列轴对称图形中，对称轴条数最多的是（）A．等边三角形B．菱形C．等腰梯形D．圆2．（2023·上海嘉定·统考二模）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．等腰梯形C．矩形D．正五边形二、填空题5．（2023·上海黄浦A的对应点是点6．（2023·上海静安处，点A落在点7．（2023·上海金山·统考二模）已知线段AC上，如果点E关于直线8．（2023·上海闵行三角形为特征三角形．9．（2023·上海浦东新·于点F．如果2AD AB=10．（2023·上海徐汇·统考二模）如图，抛物线“月牙线”，抛物线1C和抛物线=，那么抛物线果BD CD11．（2023·上海宝山·统考二模）13．（2023·上海闵行·统考二模）如图，在菱形ABCD 中，6AB =，80A ∠=︒，如果将菱形ABCD 绕着点D 逆时针旋转后，点A 恰好落在菱形ABCD 的初始边AB 上的点E 处，那么点E 到直线BD 的距离为___________．14．（2023·上海嘉定·统考二模）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，4AC =，2BC =，点D 、E 分别是边BC 、BA 的中点，连接DE ．将BDE 绕点B 顺时针方向旋转，点D 、E 的对应点分别是点1D 、1E ．如果点1E 落在线段AC 上，那么线段1CD =____．三、解答题15．（2023·上海静安·统考二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()240y ax x c a =-+≠与x 轴分别交于点()1,0A 、点()3,0B ，与y 轴交于点C ，连接BC ，点P 在线段BC 上，设点P 的横坐标为m ．(1)求直线BC 的表达式；(1)如图，如果点O '恰好落在半圆O 上，求证： O A BC'=；(2)如果30DAB ∠=o ，求EF O D'的值；(3)如果3,1OA O D =='，求OF 的长．17．（2023·上海徐汇·统考二模）如图，已知抛物线2y x bx c =++经过点()2,7A -，与x 轴交于点B 、()5,0C ．(1)求抛物线的顶点M 的坐标；(2)点E 在抛物线的对称轴上，且位于x 轴的上方，将BCE 沿直线BE 翻折，如果点C 的对应点F 恰好落在抛物线的对称轴上，求点E 的坐标；(3)点P 在抛物线的对称轴上，点Q 是抛物线上位于第四象限内的点，当CPQ 为等边三角形时，求直线BQ 的表达式．18．（2023·上海松江·统考二模）在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知直线2y x =-+与y 轴交于点A ，抛物线()21(0)y x t t =-->的顶点为B ．(1)若抛物线经过点A ，求抛物线解析式；(2)将线段OB 绕点B 顺时针旋转90︒，点O 落在点C 处，如果点C 在抛物线上，求点C 的坐标；(3)设抛物线的对称轴与直线2y x =-+交于点D ，且点D 位于x 轴上方，如果45BOD ∠=︒，求t 的值．专题05图形的平移、旋转、翻折、新定义（18题）一、单选题1．（2023·上海黄浦·统考二模）下列轴对称图形中，对称轴条数最多的是（）A．等边三角形B．菱形C．等腰梯形D．圆【答案】D【分析】依据轴对称图形的意义，即在同一个平面内，一个图形沿某条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，则这个图形就是轴对称图形，这条直线就是其对称轴，从而可以画出它们的对称轴．【详解】解：等边三角形有3条对称轴，菱形有2条对称轴，等腰梯形有1条对称轴，圆形有无数条对称轴，圆的对称轴条数最多，故选：D．【点睛】此题主要考查如何确定轴对称图形的对称轴条数及位置，解题的关键是掌握轴对称的概念．2．（2023·上海嘉定·统考二模）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．等腰梯形C．矩形D．正五边形【答案】C【分析】根据轴对称图形的定义、中心对称图形的定义逐项判断即可．【详解】A选项：等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；B选项：等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；C选项：矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形．故本选项符合题意；D选项：正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选C．【点睛】本题考查轴对称图形、中心对称图形，理解定义，会根据定义判断轴对称图形和中心对称图形是解答的关键．二、填空题在正方形ABCD 和正三角形∴点O ，E 均在BC 的垂直平分线上，∴点E ，O ，P ，G 四三点共线，∵正方形ABCD 和正三角形∴6BC BE ==．116OG BG BC ===⨯=在正方形ABCD 和正三角形∴点O ，E 均在BC 的垂直平分线上，∴点E ，O ，P ，G 四三点共线，∵正方形ABCD 和正三角形∴6BC BE ==．∴11622OG BG BC ===⨯【答案】20【分析】根据旋转可得根据AA B '∠【详解】解：∵∴180ACB ∠=∵将ABC 绕点∴30B A C BAC ∠=∠=''︒，∴(11802CAA CA A ''∠=∠=︒∴AA B CA A B A C '''''∠=∠-∠故答案为：20︒．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，掌握旋转的性质是关键．A 的对应点是点1A ，点B 的对应点是点1B ），如果点1A 坐标是()20-，，那么点1B 的坐标是________．【答案】()12，【分析】各对应点之间的关系是横坐标减3，纵坐标加3，那么让点B 的横坐标减3，纵坐标加3即为点1B 的坐标．【详解】解：∵()13A -，平移后对应点1A 的坐标为()20-，，∴A 点的平移方法是：先向左平移3个单位，再向上平移3个单位，∴B 点的平移方法与A 点的平移方法是相同的，∴()41B -，平移后的坐标是：()4313--+，即()12，．故答案为：()12，．【点睛】此题主要考查了点的平移规律与图形的平移，关键是掌握平移规律，左右移，纵不变，横减加，上下移，横不变，纵加减．6．（2023·上海静安·统考二模）如图，在ABC 中，AB AC =，将ABC 绕着点B 旋转后，点C 落在AC 边上的点E 处，点A 落在点D 处，DE 与AB 相交于点F ，如果BE BF =，那么DBC ∠的大小是______．【答案】108︒/108度【分析】设A x ∠=，由AB AC =，BE BF =得ABC C ∠∠=，BEF BFE ∠∠=，再由旋转的性质得DEB C ABC DBE ∠∠∠∠===，BE BC =，从而有CBE A x ∠∠==，同理可证：EBF A x ∠∠==，利用三角形的内角和定理构造方程即可求解．【详解】解：设A x ∠=，∵AB AC =，BE BF =，∴ABC C ∠∠=，BEF BFE ∠∠=，∵将ABC 绕着点B 旋转后，点C 落在AC 边上的点E 处，点A 落在点D 处，DE 与AB 相交于点F ，∴DEB C ABC DBE ∠∠∠∠===，BE BC =，∵180BEC C CBE ABC C A ∠∠∠∠∠∠++=++=︒，∴CBE A x ∠∠==，同理可证：EBF A x ∠∠==，【点睛】本题考查解直角三角形，轴对称的性质，掌握垂线段最短是解题的关键．8．（2023·上海闵行·统考二模）阅读理解：如果一个三角形中有两个内角三角形为特征三角形．问题解决：如图，在ABC 中，【答案】253【分析】由题意可分：,A B βα∠=∠=，过点∴A ADC ∠=∠，∵4tan 3A =，∴4tan 3ADC ∠=，∵ABC 是特征三角形，即∴2ABE ABC ∠=∠，∴BC 平分ABE ∠，【答案】35【分析】通过证明AEF △得出边之间的关系，即可求解．【详解】解：∵2=AD AB ∴设,2AB a AD a ==，【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，以及解直角三角形的方法和步骤．10．（2023·上海徐汇·统考二模）如图，抛物线则tan tan DAC ∠=∠∴t n a CD DAC AC ∠==∴165CD =∴1695BD =-=；作DE AB ⊥于E ，则∵AD AD =，∴Rt △∵，90ACB ∠=︒，设BD x =，则CD DE =【答案】3372-【分析】利用含30度角的直角三角形的性质，分别求出出90DBE ∠=︒，在Rt【答案】3【分析】如图，旋转、菱形的性质可知，180ADE DEA ∠=︒-∠-∠由旋转、菱形的性质可知，∴80DEA A ∠=∠=︒，ABD ∠∴180ADE DEA ∠=︒-∠-∠【答案】355【分析】根据勾股定理求得AB ，根据旋转的性质得出根据相似三角形的性质即可求解．设旋转角为α，∴11ABE CBD ∠=∠，旋转，∴115,1BE BE BD BD ====，三、解答题15．（2023·上海静安·统考二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()240y ax x c a =-+≠与x 轴分别交于点(1)求直线BC 的表达式；(2)如果以P 为顶点的新抛物线经过原点，且与①求新抛物线的表达式（用含②过点P 向x 轴作垂线，交原抛物线于点【答案】(1)3y x =-+(2)①()2233m y x m m m-=--+，【分析】（1）先利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出点式即可；（2）①先求出()3P m m -+，，设新抛物线解析式为抛物线解析式，再根据点P 在线段称时，当四边形AEDP 关于PE 【详解】（1）解：把()1,0A 、B ∴13a c =⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为24y x x =-+在243y x x =-+中，令0x =，则∴()0,3C ；设直线BC 的解析式为y kx b =+∴303k b b +=⎧⎨=⎩，∴13k b =-⎧⎨=⎩，∴直线BC 的解析式为y x =-+（2）解：①∵点P 在线段BC【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，轴对称的性质，求一次函数解析式等等，灵活运用所学知识是解题的关键．16．（2023·上海松江·统考二模）如图，(1)如图，如果点O '恰好落在半圆O 上，求证： O A BC'=；(2)如果30DAB ∠=o ，求EF O D'的值；(3)如果3,1OA O D =='，求OF 的长．【答案】(1)见解析(2)24(3)97OF =或95OF =．【分析】（1）如图：连接,OC O C '，先根据圆的性质和对称的性质说明OAO ' 是等边三角形，明60COO BOC '∠=∠=︒即可证明结论；（2）设圆O 的半径为2a ，则2O A OA a '==，如图：作ON AD ⊥于N ；先根据对称的性质和等腰三角形的性质可得,30120ODA OAD AOD ︒︒∠=∠=∠=，然后解直角三角形可得()232O D a '=-、EF OE ==∵点O '恰好落在半圆O 上，∴OO OA '=，∵点O '与点O 关于直线AC 对称∴AO OA CO CO ==='',O AC '∠∵,30OA OD OAD =∠=︒，∴,30120ODA OAD AOD ︒∠=∠=∠=在Rt AON △中，sin 30ON OA =⋅︒∵ON AD ⊥，∴FN FM=∴1212AFD OFA AD FM S AD S AO AO FN ⨯==⨯ ，又∵AFD S DF S OF = ，∴FN FM =，∴1212AFD OFA AD FM S AD S AO AO FN ∆∆⨯==⨯，又∵AFD OFA S DF S OF ∆∆=，(1)求抛物线的顶点M 的坐标；(2)点E 在抛物线的对称轴上，且位于的对称轴上，求点E 的坐标；(3)点P 在抛物线的对称轴上，点式．【答案】(1)245y x x =--，顶点坐标为：(2)点E 的坐标为()2,3；(3)直线BQ 的函数表达式为【分析】（1）利用待定系数法求解抛物线的解析式，再化为顶点式，即可得到顶点坐标；（2）先求解抛物线与x 轴交于轴与x 轴交于点H ，则H 点的坐标为2233FH FB BH =-=，（3）连接CF ，证明FCB 于点K ，可得点K 的坐标为【详解】（1）解：∵抛物线∵抛物线与x 轴交于(1,0B -∴6BC =，抛物线的对称轴为直线设抛物线的对称轴与x 轴交于点由翻折得6CB FB ==，由勾股定理，得FH FB =∴点F 的坐标为()2,33，∴60FBH ∠=︒，∴CP CQ =，CB CF =，∠∴FCP BCQ ∠=∠，∴BCQ FCP ≌，∴CBQ CFH ∠=∠，∵BCF △为等边三角形，∴30CFH CBQ ∠=︒=∠，设BP 与x 轴相交于点K ，∴3tan 303OK OB =︒= ．(1)若抛物线经过点A ，求抛物线解析式；∵旋转，∴,90OB OC OBC =∠=∴BEO OBC BDC ∠=∠=∠∴90OBE CBD ∠=︒-∠由2y x =-+，令0y =，得∴2OA OH ==，AH =∴OAH △是等腰直角三角形∵BD y ∥轴，。

第五讲 图形规律进阶萱萱萱萱墨莫墨莫 萱萱萱萱墨莫墨莫萱萱把里面的人物换成相应红字标明的人物．找规律是解决数学问题的一种重要的手段，而规律的找寻既需要敏锐的观察力，又需要严密的逻辑推理能力．本讲将从几何图形的问题入手，逐步分析应该从哪些方面来观察思考．【提示】这些图形不仅在田字格中旋转，它们自身也在旋转哦！观察图中的规律，请按照这种规律，画出所有空格中的图形．旋转是数学中的重要概念，掌握好这个概念，不仅可以提高观察能力，加快解题速度，而且对于许多问题的解决，也有事半功倍的效果．找图形规律，除了可以单一地从图形的数量、大小、形状、方向等因素考虑，还可以从图形的具体位置考虑．观察图中的规律，请按照这种规律，画出所有空格中的图形．例题1练习1【提示】第一个里面有2个“○”哦！根据下列前三幅图的变化规律，在第四幅图中画出阴影部分．对于较复杂的图形来说，有时候需要把图形分成几部分来单独考虑其变化规律，从而把复杂问题简单化．请按照已有图形的规律，画出下一个图形．例题2练习2【提示】注意图形规律中形状和数量结合．观察各图形规律，画出“□”处的图形．观察各图形规律，画出“□”处的图形．例题3练习3【提示】图形中不仅有形状、颜色、规律，还有移动的规律，需要考虑多种规律．练习4 根据图中的规律，选出图中第4行的图形．A B C D根据图中的规律，选出图中第4列其余三个图形．例题4A B C D【提示】图形中数形结合的规律．下面一组图形的阴影变化是有规律的，请根据这个规律把第四幅图的阴影部分画出来．【提示】分别找出每一块阴影部分的位置变化规律．课堂内外例题6观察各图形与它下面的数之间的关系，写出“？”处的数．例题56☆8 9☆1 1☆1 8☆6 1☆8 ？门萨门萨的英文名称是“MENSA”，是拉丁语中“圆桌”的意思．门萨取自圆桌的意思就是希望人们能够平等的坐在一起，当然前提是智商相近．门萨是世界顶级智商俱乐部的名称，于1946年成立于英国牛津，创始人是律师罗兰德·贝里尔和科学家兼律师兰斯·韦林．当时，这两位自认聪明异常的人突发奇想，编制出一些高难试题以测试智商，受到广泛追捧．兴奋之余，贝里尔和韦林干脆成立一个俱乐部，号召高智商的人士加入．今天，门萨俱乐部拥有10万多名会员，遍及世界100多个国家和地区．门萨测试试卷一般有30题，答对23题，换算成智商是148，也就是可以加入门萨俱乐部的标准．门萨测试一般从注意力、观察力、逻辑思维、想象力和记忆力这几个方面出题，这三十道题中分布比例大致相当，你会发现这些题目中有你更为擅长的，也就是哪一方面更为突出．门萨智商测试只能帮助个人对自己的智商水平做粗略的评估，因为影响得分的偶然因素很多．门萨智商测试只有利于那些兴趣偏重自然科学的人，而不有利于那些偏重语言文字方面的人，也不利于具有较强记忆能力的人．门萨智商测试适合青少年和成年人自测，对于小学生，可以适当加分．作业1.观察图中的规律，请按照这种规律，画出空格中的图形．2.请按照已有图形的规律，画出第四个图形．3.观察下面的规律，接下去再画10颗珠子．4.根据图中的规律，选出图中第4行的图形．5. 观察各图形与它下面的汉字之间的关系，画出“□”处的图形．开心 快乐 开快 心乐A ．B ．CD ．第五讲图形规律进阶1.例题1答案：如图所示：详解：首先根据前三个图形判断规律，方法一：分步看．先固定观察一个图形，例如三角形，每个三角形都是上一个三角形逆时针旋转得到的．每个小图形的位置在逆时针旋转，而且小图形本身也在逆时针旋转．方法二：整体看．整个图形整体是逆时针旋转的规律．2.例题2答案：如图所示：详解：○在大的图形里在顺时针旋转，并且每个图形的旋转里面包括数量，第一幅图中是两个“○”重叠在一起了．在做复杂找规律的题目时，一定要会简化，即每次只看一个“○”，其中的一个“○”每次顺时针移动一个格，另一个“○”每次顺时针移动2个格．3.例题3答案：如图所示：详解：脸是按照□，○的规律，同时第一个图形的眼睛是实心的正方形，第二个图形的眼睛是空心的○……所以最后一个小人的脸是○，眼睛是空心的○；小人的面部表情是笑，僵硬，哭，那么最后一个正好应该是哭的表情；海盗脸的标志是按照顺时针的方向转动的，最后一幅图应该在右上；头发是按照数量依次增多的．4.例题4答案：D详解：观察竖式发现，图形的规律是两个一组往下移动的，颜色的规律是下一列第一个的颜色是上一列最后一个的颜色．通过这样的规律判断出，第4列图形应该是“□”、“十”、“△”、“○”；颜色应该是点状、空心、方格、实心．5.例题5答案：9☆9详解：通过观察，○＝1，那么从其它的图形可以知道△＝6，□＝8，▽＝9，而且是小图形代表☆后面的数字，所以最后一个图形都是9☆9．6.例题6答案：如图所示：详解：本题四个小阴影图形可以单独去看，首先看第一个小正方形，发现它往右每次移动一个格子，最后它到了第四个格子里；再看第二个又发现，它也是每次往右移动一个格子，那么到最后后，它会重新回到第一个格子中；同理第三个、第四个也是往右移动，那么第三个应该到了第二个格子里；第四个移动到第三个格子里．7.练习1答案：如图所示：简答：通过观察发现，小图形在田字格里顺时针旋转．8.练习2答案：如图所示：简答：通过观察发现，阴影的小正方在大的图形里是顺时针旋转的．9.练习3答案：如图所示：简答：头是按照○、▽、□的规律，那么第六个图形里的头是□；眼睛是按笑形、哭形的规律，那么第六个图形里的眼睛是哭形；肚子上的纽扣每次增加1，腿也是每次增加1．10.练习4答案：B简答：观察发现，图形是每次往后移动一个，而颜色不变．通过这样的规律，第4行应该是“○”、“太阳”、“五边形”、“爱心”；图形颜色应该是斜线，横线，实心，竖线．11.作业1答案：如图所示：简答：这道题是旋转的规律：方格里相同图形的位置在逆时针旋转，图形本身也在逆时针旋转．12.作业2答案：如图所示：简答：这是移动的规律：大图形里的小图形分别在沿着顺时针移动．13.作业3答案：如图所示：简答：这道题是形状＋数量＋颜色的规律，形状都是按一个△，两个○和三个◇循环，颜色是按照一个空心，一个实心，两个空心，两个实心依次递增的规律．14.作业4答案：B简答：这道题是移动的规律：其中每行第三个都是实心圆，第一个图形移动到最后面，其他图形向前移．15.作业5答案：如图所示：简答：这是文字与图形组合的规律：“开”代表大长方形，“心”代表小圆形，“快”代表小五角星，“乐”代表大三角形．。

专题06 整式中的两种规律探索问题类型一、数字类规律探索例.观察：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，据此规律，当（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0时，代数式x2019﹣1的值为_____．【变式训练1】a是不为1的有理数，我们把11-a称为a的差倒数，如2的差倒数为1-11-2=，－1的差倒数为111(1)2=--，已知15a=，2a是1a差倒数，3a是2a差倒数，4a是3a差倒数，以此类推……，2021a的值是（）A．5B．14-C．43D．45【变式训练2】有2021个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间数等于前后两数的和，如果第一个数是0，第二个数是1，那么前6个数的和是______，这2021个数的和是______．【变式训练3】有一列数11315,,,,228432---，…，那么第n个数为______．【变式训练4】杨辉三角又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图，观察下面的杨辉三角：按照前面的规律，则()7a b +的展开式中从左起第三项为______．()1a b a b+=+()2222a b a ab b +=++()3322333a b a a b ab b +=+++()4432234464a b a a b a b ab b +=++++类型二、图形类规律探索例.如图，两条直线相交，有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有______个交点，n 条直线相交最多有______个交点．【变式训练1】如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第_____个图形共有45个小球．【变式训练2】为庆祝“六·一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：按照上面的规律，摆第n个“金鱼”和第(n＋1)个“金鱼”需用火柴棒的根数为130根，则n的值为______．【变式训练3】如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖．从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，依此递推，第10层中含有正三角形个数为___个，第n层含有正三角形个数为___个．【变式训练4】观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，用6064个五角星摆出的图案应该是第_______个图形．课后训练1．下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第1个图有3张黑色正方形纸片，第2个图有5张黑色正方形纸片，第3个图有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去，若第n个图中有201张黑色正方形纸片，则n的值为（）A．99B．100C．101D．1022．如图，将若干颗棋子按箭头方向依次摆放，记第一颗棋子摆放的位置为第1列第1排，第二颗棋子摆放的位置为第2列第1排，第三颗棋子摆放的位置为第2列第2排……，按此规律摆放在第16列第8排的是第（）颗棋子．A．85B．86C．87D．883．将一正方形按如图方式分成n个完全相同的长方形，上、下各横排三个，中间两行各竖排若干个，则n的值为（）A．12B．16C．18D．204．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则x与y的和是（）A ．9B ．10C ．11D ．125．如图，按此规律，第6行最后一个数字是_____，第_____行最后一个数是2020．6．如图，每个图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，若图形中11m =，12n =，则M 的值为________．7．为了求220211222+++⋯+的值，可令220211222S =+++⋯+，则220222222S =++⋯+，因此2022221S S -=-，所以220212022122221+++⋯+=-．按照以上推理计算出1220211333---+++⋯+的值是______．8．今年“10.1”黄金周，适逢祖国70大庆，广西柳州赛长桌宴，民族风情浓郁，吸引了大量游客如果长桌宴按下图方式就坐（其中□代表桌子，〇代表座位），则拼接n （n 为正整数）张桌子时，最多可就坐_____人．9．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2012年8月份的日历．我们任意选择其⨯-⨯=，中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交又相乘，再相减，例如：7136147⨯-⨯=，不难发现，结果都是7．1723162472012年8月（1）请你再选择两个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律；（2）换一个月的月历试一下，是否有同样的规律？（3）请你利用整式的运算对以上的规律加以证明．10．（1）你知道下面每一个图形中各有多少个小圆圈吗？第5个图形中应该有多少个小圆圈？为什么？（2）完成下表：（3）如果用n表示六边形边上的小圆圈数，m表示这个六边形中小圆圈的总数，那么m和n的关系是什么？11．对任意一个四位正整数m，如果m的百位数字等于个位数字与十位数字之和，m的千位数字等于十位数字的2倍与个位数字之和，那么称这个数m 为“筋斗数”．例如：m ＝5321，满足1＋2＝3，2×2＋1＝5，所以5321是“筋斗数”．例如：m ＝8523，满足2＋3＝5，但2×2＋3＝7≠8，所以8523不是“筋斗数”． (1)判断9633和2642是不是“筋斗数”，并说明理由；(2)若m 是“筋斗数”，且m 与13的和能被11整除，求满足条件的所有“筋斗数”m ．12．看图填空：如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12的长方形，接着把面积为12的长方形等分成两个面积为14的长方形，再把面积为14的长方形等分成面积为18的长方形，如此进行下去……(1)试利用图形揭示的规律计算：1111111112481632641282562n++++++++＝_______． 并使用代数方法证明你的结论．(2)请给利用图（2），再设计一个能求：2341111122222n+++++的值的几何图形．专题05 整式中的两种规律探索问题类型一、数字类规律探索例.观察：（x ﹣1）（x +1）＝x 2﹣1，（x ﹣1）（x 2+x +1）＝x 3﹣1，（x ﹣1）（x 3+x 2+x +1）＝x 4﹣1，据此规律，当（x ﹣1）（x 5+x 4+x 3+x 2+x +1）＝0时，代数式x 2019﹣1的值为 _____． 【答案】0或﹣2【详解】解：根据题意得∶ （x ﹣1）（x +1）＝x 2﹣1， （x ﹣1）（x 2+x +1）＝x 3﹣1， （x ﹣1）（x 3+x 2+x +1）＝x 4﹣1， ……∶（x ﹣1）（x 5+x 4+x 3+x 2+x +1）＝x 6﹣1 ∶（x ﹣1）（x 5+x 4+x 3+x 2+x +1）＝0， ∶x 6﹣1＝0，解得：x ＝1或x ＝﹣1， 则x 2019﹣1＝0或﹣2， 故答案为：0或﹣2．【变式训练1】a 是不为1的有理数，我们把11-a 称为a 的差倒数，如2的差倒数为1-11-2=，－1的差倒数为111(1)2=--，已知15a =，2a 是1a 差倒数，3a 是2a 差倒数，4a 是3a 差倒数，以此类推……，2021a 的值是（ ） A ．5 B ．14-C ．43D ．45【答案】B【解析】∶15a = ， 2a 是1a 的差倒数，∶211154a ==--， ∶3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数，∶314151-4a ==⎛⎫- ⎪⎝⎭，∶415415a ==-，根据规律可得n a 以5，1-4，45为周期进行循环，因为2021＝673×3…2，所以202114a =-． 故选B ．【变式训练2】有2021个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间数等于前后两数的和，如果第一个数是0，第二个数是1， 那么前6个数的和是______， 这2021个数的和是______． 【答案】0 1【解析】由题意得：第3个数是101-=，第4个数是110-=，第5个数是011-=-，第6个数是101--=-， 则前6个数的和是()()0110110++++-+-=， 第7个数是1(1)0---=，第8个数是0(1)1--=， 归纳类推得：这2021个数是按0,1,1,0,1,1--循环往复的，202163365=⨯+，且前6个数的和是0，∴这2021个数的和与前5个数的和相等，即为()011011++++-=，故答案为：0，1．【变式训练3】有一列数11315,,,,228432---，…，那么第n 个数为______． 【答案】()12nnn - 【详解】解：()11122-=-⨯，()221221242==-⨯，()3333182-=-⨯， ()4414414162==-⨯，()55551322-=-⨯，…… 由此发现：第n 个数为()12nnn-． 故答案为：()12nnn - 【变式训练4】杨辉三角又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图，观察下面的杨辉三角：按照前面的规律，则()7a b +的展开式中从左起第三项为______．()1a b a b+=+()2222a b a ab b +=++()3322333a b a a b ab b +=+++()4432234464a b a a b a b ab b +=++++【答案】5221a b【详解】解：根据题意，()7a b +=7652433425677213535217a a b a b a b a b a b ab b +++++++，∶()7a b +的展开式中从左起第三项为5221a b ，故答案为：5221a b ．类型二、图形类规律探索例.如图，两条直线相交，有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有______个交点，n 条直线相交最多有______个交点．【答案】 6(1)2n n - 【详解】解： 如图，两条直线相交最多有1个交点，即()22112⨯-=；三条直线相交最多有3个交点，即()33132⨯-=；四条直线相交最多有6个交点，即()44162⨯-=，五条直线相交最多有10个交点，即()551102⨯-=，……∶n 条直线两两相交，最多有(1)2n n -个交点（n 为正整数，且n ≥2）． 故答案为6；(1)2n n -． 【变式训练1】如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第_____个图形共有45个小球．【答案】9【详解】解：第1个图中有1个小球， 第2个图中有3个小球，3=1+2， 第3个图中有6个小球，6=1+2+3， 第4个图中有10个小球，10=1+2+3+4，……照此规律，第n 个图形有1+2+3+4+…+n =12n （1+n ）个小球，n（1+n）=45，∶12解得n=9或-10（舍去），故答案为：9．【变式训练2】为庆祝“六·一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：按照上面的规律，摆第n个“金鱼”和第(n＋1)个“金鱼”需用火柴棒的根数为130根，则n的值为______．【答案】10【详解】解：由题可知：第n个图形有(6n+2)根火柴棒，第(n+1)个图形有(6n+8)根火柴棒，∶摆第n个“金鱼”和第(n＋1)个“金鱼”需用火柴棒的根数为130根，∶6n+2+6n+8=130，解得n=10．故答案为：10．【变式训练3】如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖．从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，依此递推，第10层中含有正三角形个数为___个，第n 层含有正三角形个数为___个．n-【答案】114 126【解析】根据题意分析可得：从里向外的第1层包括6个正三角形，第2层包括18个正三角形，此后，每层都比前一层多12个，依此递推，第10层中含有正三角形个数是6+12×9=114个，n-个，则第n层中含有正三角形个数是6+12×（n-1）=126n-．故答案为：114，126【变式训练4】观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，用6064个五角星摆出的图案应该是第_______个图形．【答案】2021【解析】观察发现，第1个图形五角星的个数是：1+3＝4，第2个图形五角星的个数是：1+3×2＝7，第3个图形五角星的个数是：1+3×3＝10，第4个图形五角星的个数是：1+3×4＝13，∶第n个图形五角星的个数是：1+3•n＝1+3n，∶6064120213-=，∶用6064个五角星摆出的图案应该是第2021个图形，故答案为：2021．课后训练1．下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第1个图有3张黑色正方形纸片，第2个图有5张黑色正方形纸片，第3个图有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去，若第n个图中有201张黑色正方形纸片，则n的值为（）A．99B．100C．101D．102【答案】B【详解】解：观察图形知：第一个图中有3=1+2×1个正方形，第二个图中有5＝1＋2×2个正方形，第三个图中有7＝1＋2×2个正方形，…故第n个图中有1＋2×n＝2n+1=201（个）正方形，解得n=100故选B ．2．如图，将若干颗棋子按箭头方向依次摆放，记第一颗棋子摆放的位置为第1列第1排，第二颗棋子摆放的位置为第2列第1排，第三颗棋子摆放的位置为第2列第2排……，按此规律摆放在第16列第8排的是第（ ）颗棋子．A ．85B ．86C ．87D ．88【答案】B 【详解】偶数列数与排数表：∶当n =16时，排数为：192n+=，∶前16列共有棋子：()9102123+-3=2-3=872⨯+++⨯…9（颗）， ∶第16列第8排的棋子位次是：87-1=86． 故选B ．3．将一正方形按如图方式分成n 个完全相同的长方形，上、下各横排三个，中间两行各竖排若干个，则n 的值为（ ）A．12B．16C．18D．20【答案】C【详解】解：设长方形的长为a，宽为b，根据题意得，2a+2b=3a，整理得，a=2b，∶竖排的一行的长方形的个数为3a÷b=（3×2b）÷b=6，∶n=3×2+6×2=6+12=18．故选：C．4．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则x与y的和是（）A．9B．10C．11D．12【答案】D【详解】解：设如图表所示：根据题意可得：x+6+20=22+z+y，整理得：x-y=-4+z，x +22+n =20+z +n ，20+y +m =x +z +m ，整理得：x =-2+z ，y =2z -22， ∶x -y =-2+z -(2z -22)=-4+z ，解得：z =12， ∶x +y =3z -24=12 故选：D ．5．如图，按此规律，第6行最后一个数字是_____，第_____行最后一个数是2020．【答案】16 674【详解】 每一行的最后一个数字分别是1,4,7,10 ,……，∴第n 行的最后一个数字为：1+3(1)32n n -=-，∴第6行最后一个数字为：36216⨯-=；322020n -=，解得：674n =，故答案为：16,674．6．如图，每个图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，若图形中11m =，12n =，则M 的值为________．【答案】143【详解】解：∶1×（2+1）=3，3×（4+1）=15，5×（6+1）=35，∶右下圆圈内的数=上方圆圈内的数×（左下圆圈内的数+1），∶M =m （n +1）， ∶M =11×(12+1)=143． 故答案为：143．7．为了求220211222+++⋯+的值，可令220211222S =+++⋯+，则220222222S =++⋯+，因此2022221S S -=-，所以220212022122221+++⋯+=-．按照以上推理计算出1220211333---+++⋯+的值是______． 【答案】2021332-- 【详解】解：令1220211333S ---=+++⋯+， 则1220212022133333S ----=++⋯++， 因此20221313S S --=-，则20222313S --=-，得：2021332S --=，所以20211220213313332-----+++⋯+=． 故答案为：2021332--．8．今年“10.1”黄金周，适逢祖国70大庆，广西柳州赛长桌宴，民族风情浓郁，吸引了大量游客如果长桌宴按下图方式就坐（其中□代表桌子，〇代表座位），则拼接n （n 为正整数）张桌子时，最多可就坐_____人．【答案】（6n +2） 【详解】解：根据图示知，拼1张桌子，可以坐（2+6）人． 拼2张桌子，可以坐[2+（6×2）]人． 拼3张桌子，可以坐[2+（6×3）]人． …拼接n （n 为正整数）张桌子，可以坐（6n +2）人． 故答案是：（6n +2）．9．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2012年8月份的日历．我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交又相乘，再相减，例如：7136147⨯-⨯=，172316247⨯-⨯=，不难发现，结果都是7． 2012年8月（2）换一个月的月历试一下，是否有同样的规律？ （3）请你利用整式的运算对以上的规律加以证明．【答案】（1）111710187⨯-⨯=，符合；（2）392107⨯-⨯=；（3）见解析【详解】解：（1）由题意得：111710187⨯-⨯=，符合；（2）392107⨯-⨯=；答：换一个月的月历试一下还是同样的规律；（3）设上边第一个数为x ，则其后的数为（x +1），第二行的两个数分别为（x +7），（x +8）， 根据题意，得22(1)(7)(8)8787x x x x x x x x ++-+=++--=．10．（1）你知道下面每一个图形中各有多少个小圆圈吗？第5个图形中应该有多少个小圆圈？为什么？（2）完成下表：m 表示这个六边形中小圆圈的总数，那么m 和n 的关系是什么？【答案】（1）第1个图形：1个；第2个图形：7个；第3个图形：19个；第4个图形：37个；第5个图形：61个，理由见解析；（2）1，7，19，37，61；（3）2331m n n =-+ 【详解】（1）观察每个图形的特点，就可以算出第1个图形的小圆圈有1个， 第2个图形的小圆圈有2+3+2=7个， 第3个图形的小圆圈有3+4+5+4+3=19个， 第4个图形的小圆圈有4+5+6+7+6+5+4=37个，由此可推知第5个图形的小圆圈有5+6+7+8+9+8+7+6+5=61个； （2）将（1）算出的结果填入下列表格，如下表所示，()()()()()1...212...1m n n n n n n n n n n =+++++-++-++-++++首尾相加得()()21...(2)1m n n n n n n =+++++-++-⎡⎤⎣⎦()()21322213312n n n n n --=+-=-+2331m n n =-+．11．对任意一个四位正整数m，如果m的百位数字等于个位数字与十位数字之和，m的千位数字等于十位数字的2倍与个位数字之和，那么称这个数m为“筋斗数”．例如：m＝5321，满足1＋2＝3，2×2＋1＝5，所以5321是“筋斗数”．例如：m＝8523，满足2＋3＝5，但2×2＋3＝7≠8，所以8523不是“筋斗数”．(1)判断9633和2642是不是“筋斗数”，并说明理由；(2)若m是“筋斗数”，且m与13的和能被11整除，求满足条件的所有“筋斗数”m．【答案】(1)9633是“筋斗数”；2642不是“筋斗数”；理由见解析(2)m的值为9909或2110或6422【解析】(1)解：9633是“筋斗数”，2642不是“筋斗数”，理由如下：∶6=3+3，9=2×3+3，∶9633是“筋斗数”；∶6=4+2，28+2≠，∶2642不是“筋斗数”；(2)设m的个位数为a，0≤a≤9，十位数为0＜b≤9，且a、b为整数∶m是“筋斗数”，∶m的百位数为a+b，千位数为2b+a；∶m=1000（2b+a）+100（a+b）+10b+a=1100a+110b+2000b+a∶m与13的和能被11整除，∶1100a+110b+2000b+a+13能被11整除，∶2b+a≤9且a、b为整数，∶b≤4.5∶1100a+110b能被11整除，∶2000b+a+13能被11整除，∶b=0，a=9或b=1，a=0或b=2，a=2或b=3，a=4，或b=4，a=6，∶a+b=9，2b+a=9或a+b=1，2b+a=2或a+b=4，2b+a=6或a+b=7，2b+a=10（舍去）或a+b=10，2b+a=14（舍去），∶m的值为9909或2110或642212．看图填空：如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12的长方形，接着把面积为12的长方形等分成两个面积为14的长方形，再把面积为14的长方形等分成面积为18的长方形，如此进行下去……(1)试利用图形揭示的规律计算：1111111112481632641282562n++++++++＝_______．并使用代数方法证明你的结论．(2)请给利用图（2），再设计一个能求：2341111122222n+++++的值的几何图形． 【答案】(1)112n- ，证明见解析；(2)见解析【解析】(1)解：①由题意可知当最后一个小长方形的面积为12n时 ， 1111111112481632641282562n++++++++的值为正方形面积减去最后一个小长方形面积，即：112n- ，1111111111124816326412825622n n ∴++++++++=-； ②设1111111112481632641282562ns =++++++++， 111111111212481632641282n s -=++++++++， 1212n s s ∴-=-，即112ns =-，1111111111124816326412825622n n∴++++++++=-； (2)如图所示，将面积为1的正方形等分成两个面积为12的三角形，接着把面积为12的三角形等分成两个面积为14的三角形，再把面积为14的三角形等分成面积为18的三角形，如此进行下去，则2341111122222n +++++的值即为正方形面积减去最后一个小三角形面积：112n-。

分类数图形E05-1提示我们在数数的时候，遵循不重复、不遗漏的原则，就能使数出的结果准确。

但是在数图形的个数的时候，往往就不容易了。

分类数图形的方法能够帮助我们找到数图形的规律，从而有秩序有条理并且正确地数出图形的个数。

举例1下面图形中有多少个正方形？【创造力思维】图中的正方形的个数中可以分类数，如□的正方形有6×3=18个，正方形有5×2=104×1=4个。

因此图中共有18+10+4=32个正方形。

6×3+5×2+4×1=32（个）答：图中有32个正方形。

快练11.2.下图中共有多少个正方形？3.下图中共有多少个正方形，多少个三角形？举例2下图中共有多少个三角形？【创造力思维】为了保证不漏数而又不重复，我们可以分类来数三角形，然后再把数出的各类三角形的个数相加。

（1）图中共有6个小三角形。

（2）由两个小三角形组合的三角形有3个。

（3）由三个小三角形组合的三角形有6个。

（4）由六个小三角形组合的三角形有1个。

图中共有6+3+6+1=16（个)三角形。

快练21.下面图中共有多少个三角形？2.数一数，图中共有多少个三角形。

3.数一数，图中共有多少个三角形。

举例3数出下图中所有三角形的个数。

E05-2【创造力思维】和三角形AFG一样形状的三角形有5个；和三角形ABF一样形状的三角形有10个；和三角形ABG一样形状的三角形有5个；和三角形ABE一样形状的三角形有5个；和三角形ACD一样形状的三角形有5个；和三角形AMD一样形状的三角形有5个，共有35个三角形。

5+10+5+5+5+5=35（个）快练3数出下面图形中分别有多少个三角形。

举例4如下图，平面上有12个点，可任意取其中四个点围成一个正方形，这样的正方形有多少个？············【创造力思维】把相邻的两点连接起来可以得到下面图形（图a）。

初中数学经典几何模型专题05 手拉手模型构造全等三角形【专题说明】两个具有公共顶点的相似多边形，在绕着公共顶点旋转的过程中，产生伴随的全等或相似三角形，这样的图形称作共点旋转模型；为了更加直观，我们形象的称其为“手拉手”模型。

【知识总结】【基本模型】一、等边三角形手拉手-出全等图1 图2图3 图4二、等腰直角三角形手拉手-出全等两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中（B、C、D不共线）始终有①△BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置关系）且BD=AE（数量关系）；③FC平分∠BFE；图1图2图3图41、如图，点C在线段AB上，△DAC和△DBE都是等边三角形，求证：△DAB≌△DCE;DA∥EC.2、已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连结AE,BD交于点O,AE与DC交于点0，AE与DC交于点M,BD与AC交于点N.3、已知，在△ABC中，AB＝AC，点P平面内一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使∠QAP＝∠BAC，连接BQ、CP，⑴若点P在△ABC内部，求证BQ＝CP；⑵若点P在△ABC外部，以上结论还成立吗？4、如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H.若AB=√2，AG=1，则EB=________________.5、已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点，点G、E分别在线段AD、AB上，若将正方形AEFG 绕点A按顺时针方向旋转，连接DG,在旋转的过程中，你能否找到一条线段的长与线段DG的长度始终相等？并说明理由。

6、已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC,AD=AE,点C、D、E三点在同一直线上，连接BD,BE.以下四个结论:①BD=CE;②BD⊥CE;③∠ACE+∠BDC=45°；④BE2=2(AD2+AB2)其中结论正确的个数是_______【基础训练】1、已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与点B,点C重合）.以AD为边作等边三角形ADE,连接CE.如图1，当点D在边BC上时，求证：△ABD≌△ACE;直接判断结论BC=DC+CE是否成立（不需要证明）；如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，请写出BC、DC、CE之间存在的数量关系，并写出证明过程.2、如图，△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，点D为AB边上的一点.若DE=13，BD=12，求线段AB的长.3、如图，点A、B、C在一条直线上，△ABD,△BCE均为等边三角形，连接AE和CD,AE分别交CD,BD于点M,P,CD交BE于点Q，连接PQ,BM.下面结论：△ABE≌△DBC;∠DMA=60°；△BPQ为等边三角形；MB平分∠AMC.其中正确的有____________4、如图1，CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=α，AD、BE相交于点M,连接CM.求证：BE=AD;用含α的式子表示∠AMB的度数；当α=90°时，取AD、BE的中点分别为点P、Q，连接CP,CQ,PQ,如图2，判断△CPQ的形状，并加以证明.【巩固提升】1、已知△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠BED＝90°，AB＝2BD，连接CE．（1）如图1，若点D在AB边上，点F是CE的中点，连接BF．当AC＝4时，求BF的长；（2）如图2，将图1中的△BDE绕点B按顺时针方向旋转，使点D在△ABC的内部，连接AD，取AD 的中点M，连接EM并延长至点N，使MN＝EM，连接CN．求证：CN⊥CE．2、如图，△ABC中AB＝AC＝5，tan∠ACB＝，点D为边BC上的一动点（不与点B、C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转得AE，使∠DAE＝∠BAC，DE与AB交于点F，连接BE．（1）求BC的长；（2）求证∠ABE＝∠ABC；（3）当FB＝FE时，求CD的长．3、如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB上一点，连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°至CE，连接AE．（1）求证：△BCD≌△ACE；（2）如图2，连接ED，若CD＝2，AE＝1，求AB的长；（3）如图3，若点F为AD的中点，分别连接EB和CF，求证：CF⊥EB．4、如图，△ABC和△EDC都是等腰直角三角形，C为它们的公共直角顶点，连接AD、BE，点F为线段AD的中点，连接CF．（1）如图1，当D点在BC上时，试判断线段BE、CF的关系，并证明你的结论；（2）如图2，把△DEC绕C点顺时针旋转一个锐角，其他条件不变时，请探究BE、CF的关系并直接写出结论．5、如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D、E分别是AB、AC边的中点．将△ABC绕点A顺时针旋转a角（0°＜a＜180°），得到△AB′C′（如图2），连接DB'，EC'．（1）探究DB'与EC'的数量关系，并结合图2给予证明；（2）填空：①当旋转角α的度数为时，则DB'∥AE；②在旋转过程中，当点B'，D，E在一条直线上，且AD＝时，此时EC′的长为．6、如图，∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，∠MCN＝60°，CM与射线OA相交于M点，CN与直线BO相交于N点．把∠MCN绕着点C旋转．（1）如图1，当点N在射线OB上时，求证：OC＝OM+ON；（2）如图2，当点N在射线OB的反向延长线上时，OC与OM，ON之间的数量关系是（直接写出结论，不必证明）专题05 手拉手模型构造全等三角形答案【专题说明】两个具有公共顶点的相似多边形，在绕着公共顶点旋转的过程中，产生伴随的全等或相似三角形，这样的图形称作共点旋转模型；为了更加直观，我们形象的称其为“手拉手”模型。

第六单元第5课时不规则图形的面积教学设计教学流程学习任务一：将规则的简单图形和形似的不规则图形建立联系，会用方格纸估计不规则图形的面积。

【设计意图：让学生通过观察、操作、思考、小组交流等活动，体会用数格子估算面积的方法，然后在教师引导下，借助方格图，能想到把不规则图形转化成规则图形来估算面积。

注重方法的指导与总结。

】➯情境导入，引“探究”教师谈话导入：1.同学们展示收集的树叶，说说它们的名称。

2.看到这些树叶大家有什么话想说吗?3.有句名言说—— 世界上没有两片相同的树叶。

我们仔细观察会发现树叶的形状各异，非常美丽！提出质疑：这些叶子的形状不规则，怎样计算面积呢？➯知识链接，构“联系”回忆一下，在格子纸中求图形面积的方法。

在方格纸上数出两个图形的面积，然后填写下表。

（一个方格代表1m2 ，不满一格的都按半格计算。

）1.学生利用格子纸计算图形面积，总结方法。

2.用方格纸估一估学生收集树叶的面积。

提出疑问：与平行四边形、长方形等图形相比，你们发现这片树叶有什么不同吗？是由弯弯曲曲的线围成的，它是不规则图形，无法直接用公式进行计算。

师:这片叶子的形状不规则，你能估计一下它的面积吗？学生根据经验尝试估计。

➯新知探究，习“方法”教师课件展示：教材第98页情境内容：图中每个小方格的面积是1 cm² ，请你估计这片叶子的面积。

一、学生独立自学，小组交流，教师观察指导。

1.通过题目与图，你获得了哪些信息，交流解决问题的方法。

2.这片叶子的形状不规则，怎么计算面积呢？3.学生借助于格子纸求不规则图形的面积，并总结方法。

二、学生发言，教师总结1.阅读与理解。

通过题目与图，你获得了哪些信息？已知条件：知道小方格的面积，问题;求叶子的面积。

提出质疑;这片叶子的形状不规则，怎么计算面积呢？2.分析与解答。

学生先在方格纸上描出叶子的轮廓图，然后估一估，这片叶子的面积大约是多少平方厘米。

学生自己动手画一画，独立思考，然后小组交流，集体汇报。

1 第5讲 图形个数
一、知识要点
小朋友，你想学会数图形的方法吗？要想不重复也不遗漏地数出线段、角、三角形……那就必须要有次序、有条理地数，从中发现规律，以便得到正确的结果。

要正确数出图形的个数，关键是要从基本图形入手。

首先要弄清图形中包含的基本图形是什么，有多少个，其次再数出由基本图形组成的新的图形，最后求出它们的和。

二、精讲精练
【例题1】数一数，下图中有几条线段？
练习1：
（1）数出下图中有多少条线段？
（2）数出下图中有几个长方形？
【例题2】数出图中有几个角？
E A B C D D A B C O D
C B
A。

2022-2023学年小学四年级思维拓展举一反三精编讲义专题11 数数图形专题简析：我们已经认识了线段、角、三角形、长方形等基本图形，当这些图形重重叠叠地交错在一起时就构成了复杂的几何图形。

要想准确地计数这类图形中所包含的某一种基本图形的个数，就需要仔细地观察，灵活地运用有关的知识和思考方法，掌握数图形的规律，才能获得正确的结果。

要准确、迅速地计数图形必须注意以下几点：1，弄清被数图形的特征和变化规律。

2，要按一定的顺序数，做到不重复，不遗漏。

专题简析：在解决数图形问题时，首先要认真分析图形的组成规律，根据图形特点选择适当的方法，既可以逐个计数，也可以把图形分成若干个部分，先对每部分按照各自构成的规律数出图形的个数，再把他们的个数合起来。

【典例分析01】数出下面图中有多少条线段。

分析与解答：要正确解答这类问题，需要我们按照一定的顺序来数，做到不重复，不遗漏。

从图中可以看出，从A 点出发的不同线段有3条：AB 、AC 、AD ；从B 点出发的不同线段有2条：BC 、BD ；从C 点出发的不同线段有1条：CD 。

因此，图中共有3+2+1=6条线段。

【典例分析02】数一数下图中有多少个锐角。

D C B A 知识精讲典例分析分析与解答：数角的方法和数线段的方法类似，图中的五条射线相当于线段上的五个点，因此，要求图中有多少个锐角，可根据公式1+2+3……（总射线数－1）求得：1+2+3+4=10（个）【典例分析03】数一数下图中共有多少个三角形。

分析与解答：图中AD 边上的每一条线段与顶点O 构成一个三角形，也就是说，AD 边上有几条线段，就构成了几个三角形，因为AD 上有4个点，共有1+2+3=6条线段，所以图中有6个三角形。

【典例分析04】数一数下图中有多少个正方形？（其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正方形）分析与解答：边长是1个长度单位的正方形有3×2=6个，边长是2个长度单位的正方形有2×1=2个。

专题05 旋转重难点题型分类专题简介：本份资料包含《旋转》这一章在各次期中、期末考试中常考的填空、选则题和主流中档大题，具体包含的题型有中心对称图形、利用旋转的性质求角度和边长、坐标系中的图形旋转、旋转的中档大题、旋转的综合压轴题这五类题型。

题型一：中心对称图形1．随着人民生活水平的提高，我国拥有汽车的居民家庭也越来越多，下列汽车标志中，是中心对称图形的是（）A. B. C.D.【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误．故选：A．2．下列美丽的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：从左数第一、四个是轴对称图形，也是中心对称图形．第二是轴对称图形，不是中心对称图形，第三个图形是中心对称图形不是轴对称图形．故选：B．3．下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A. B.C. D.【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：C．4．下列图形中，既是轴对称又是中心对称的图形是（）A．正三角形B．矩形C．平行四边形D．正五边形【解答】解：A、正三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、矩形既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确；C、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、正五边形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误．故选：B．题型二：利用旋转的性质求角度和边长5．如图，D是等腰Rt△ABC内一点，BC是斜边，如果将△ABD绕点A按逆时针方向旋转到△ACD′的位置，则∠ADD′的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．45°【解答】解：∵将△ABD绕点A按逆时针方向旋转到△ACD′的位置，∴AD＝AD′，∠DAD′＝∠BAC＝90°，即△ADD′是等腰直角三角形，∴∠ADD′＝45°．故选：D．6．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE．若∠CAE＝65°，∠E＝70°，且AD⊥BC，∠BAC的度数为（）A．60°B．75°C．85°D．90°【解答】解：根据旋转的性质知，∠EAC＝∠BAD＝65°，∠C＝∠E＝70°．如图，设AD⊥BC于点F．则∠AFB＝90°，∴在Rt△ABF中，∠B＝90°﹣∠BAD＝25°，∴在△ABC中，∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣25°﹣70°＝85°，即∠BAC的度数为85°．故选：C．7．如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，若∠BEC＝60°，则∠EFD的度数为（）A．15°B．10°C．20°D．25°【解答】解：∵△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，∴CE＝CF，∠DFC＝∠BEC＝60°，∠EFC＝45°，∴∠EFD＝60°﹣45°＝15°．故选：A．8．如图，在△ABC中，AB＝1，AC＝2，现将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C′，连接AB′，并有AB′＝3，则∠A′的度数为．【解答】解：如图，连接AA′．由题意得：AC＝A′C，A′B′＝AB，∠ACA′＝90°，∴∠AA′C＝45°，AA′2＝22+22＝8；∵AB′2＝32＝9，A′B′2＝12＝1，∴AB′2＝AA′2+A′B′2，∴∠AA′B′＝90°，∠A′＝135°，故答案为135°．9.一个正三角形至少绕其中心旋转度，就能与本身重合，一个正六边形至少绕其中心旋转度，就能与其自身重合．【解答】解：∵正三角形的中心角为120°，正六边形的中心角为60°，∴一个正三角形至少绕其中心旋转120度，就能与本身重合，一个正六边形至少绕其中心旋转60度，就能与其自身重合．故答案为：120；60．10．一个平行四边形ABCD，如果绕其对角线的交点O旋转，至少要旋转度，才可与其自身重合．【解答】解：平行四边形是中心对称图形，绕对角线的交点旋转180度能与原图形重合．故答案是：180．11．如图，把边长为1的正方形ABCD绕顶点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于（）A．B．C．D．【解答】解：如图，设B′C′与CD相交于点E，在Rt△ADE和Rt△AB′E，，∴Rt△ADE≌Rt△AB′E（HL），∴∠EAB′＝∠EAD，∵旋转角为30°，∴∠BAB′＝30°，∴∠EAD＝（90°﹣30°）＝30°，在Rt△ADE中，ED＝AD tan30°＝1×＝，∴这个风筝的面积＝2×S△ADE＝2××1×＝；故选：B．题型三：坐标系中的图形旋转12．以原点为中心，把点P（1，3）顺时针旋转90°，得到的点P′的坐标为（）A．（3，﹣1）B．（﹣3，1）C．（1，﹣3）D．（﹣1，﹣3）【解答】解：如图，点P（1，3）绕原点顺时针旋转90°后坐标变为（3，﹣1）．故选：A．13．以原点为中心，将点P（4，5）按逆时针方向旋转90°，得到的点Q的坐标为（）A．（﹣4，5）B．（4，﹣5）C．（﹣5，4）D．（5，﹣4）【解答】解：如图所示，建立平面直角坐标系，点Q的坐标为（﹣5，4）．故选：C．14.已知点A（3，n）关于y轴对称的点的坐标为（﹣3，2），那么n的值为，点A关于原点对称的点的坐标是．【解答】解：根据对称的性质，得已知点A（3，n）关于y轴对称的点的坐标为（﹣3，2），那么n＝2；则点A的坐标是（3，2），所以点A关于原点对称的点的坐标是（﹣3，﹣2）．15．若点A（2，a）关于原点的对称点是B（b，﹣3），则ab的值是．【解答】解：∵点A（2，a）关于原点的对称点是B（b，﹣3），∴a＝3，b＝﹣2，则ab的值是：﹣6．故答案为：﹣6．16．如图，已知△ABC的顶点A、B、C的坐标分别是A（﹣1，﹣1），B（﹣4，﹣3），C（﹣4，﹣1）．（1）作出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；（2）将△ABC绕原点O按顺时针方向旋转90°后得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；（3）在（2）的条件下，请直接写出点A1、C2的坐标，并求出旋转过程中线段OC所扫过的面积．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．（2）如图，△A2B2C2即为所求．（3）A1（1，1），C2（﹣1，4）．∵OC＝＝，∠COC2＝90°，∴线段OC所扫过的面积＝＝17．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B2C2，求出A运动经过的路径的长度．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作．（2）如图，△A2B2C2即为所求作，点A运动经过的路径的长＝＝π．18．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，3），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，3），已知△A1AC1是由△ABC 旋转得到的．（1）请写出旋转中心的坐标是，旋转角是度；（2）以（1）中的旋转中心为对称中心，画出△A1AC1的中心对称图形．【解答】解：（1）如图所示：旋转中心的坐标是：（0，0），旋转角是：90°或270°，故答案为：（0，0），90或270；（2）如图所示：△A2B2C2即为所求．题型四：旋转的中档大题19．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE顺时针旋转△ABF的位置．（1）旋转中心是点，旋转角度是度；（2）若连接EF，则△AEF是三角形；并证明；（3）若四边形AECF的面积为25，DE＝2，求AE的长．【解答】解：（1）如图，由题意得：旋转中心是点A，旋转角度是90度．（2）由题意得：AF＝AE，∠EAF＝90°，∴△AEF为等腰直角三角形．（3）由题意得：△ADE≌△ABF，∴S四边形AECF＝S正方形ABCD＝25，∴AD＝5，而∠D＝90°，DE＝2，∴．20．如图，四边形ABCD是正方形，△ADF旋转一定角度后得到△ABE，如果AF＝4，AB＝7．（1）求BE的长；（2）在图中作出延长BE与DF的交点G，并说明BG⊥DF．【解答】解：（1）∵△ADF旋转一定角度后得到△ABE，AF＝4，∴AE＝AF＝4，∵∠BAE＝90°，∴Rt△ABE中，BE＝＝＝；（2）如图，延长BE与DF的交点G，由旋转得，∠F＝∠AEB，∵Rt△ABE中，∠AEB+∠ABE＝90°，∴∠F+∠ABE＝90°，∴∠BGF＝90°，即BG⊥DF．21．如图，点E是正方形ABCD边CD的中点，△ADE绕着点A旋转后到达△ABF的位置，其中点F落在了边CB的延长线上，连接EF．（1）求证：△AEF是等腰直角三角形．（2）若AB＝4，求△AEF的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∵△ADE绕着点A旋转后到达△ABF的位置，其中点F落在了边CB的延长线上，∴AE＝AF，∠EAF＝∠BAD＝90°，∴△AEF为等腰直角三角形；（2）解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝CD＝AD＝4，∠ADE＝90°，∵点E是正方形ABCD边CD 的中点，∴DE＝CD＝AB＝2，∴AE＝＝＝2，∴S△AEF＝AE2＝×（2）2＝10．22．如图，正方形ABCD，E，F分别为BC、CD边上一点．①若∠EAF＝45°，求证：EF＝BE+DF；②若△AEF绕A点旋转，保持∠EAF＝45°，问△CEF的周长是否随△AEF位置的变化而变化？【解答】①证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝CB＝CD，∠BAD＝∠B＝90°，∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°可得到△ADE′，∴AE′＝AE，DE′＝BE，∠E′AE＝90°，∠ADE′＝∠ADC＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠E′AF＝∠E′AE﹣∠EAF＝45°，∴∠E′AF＝∠EAF，在△E′AF和△EAF中，，∴△E′AF≌△EAF（SAS），∴E′F＝EF，∵E′F＝DE′+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；②解：不变化；理由如下：△CEF的周长＝CE+CF+EF＝CE+CF+BE+DF＝CB+CD．∴△CEF的周长不随△AEF位置的变化而变化．题型五：旋转的综合压轴题23．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．（1）求证：△COD是等边三角形；（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？（直接写出答案）【解答】（1）证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴CO＝CD，∠OCD＝60°，∴△COD是等边三角形．（2）解：当α＝150°时，△AOD是直角三角形．理由是：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴△BOC≌△ADC，∴∠ADC＝∠BOC＝150°，又∵△COD是等边三角形，∴∠ODC＝60°，∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝90°，∵∠α＝150°，∠AOB＝110°，∠COD＝60°，∴∠AOD＝360°﹣∠α﹣∠AOB﹣∠COD＝360°﹣150°﹣110°﹣60°＝40°，∴△AOD不是等腰直角三角形，即△AOD是直角三角形．（3）解：①要使AO＝AD，需∠AOD＝∠ADO，∵∠AOD＝360°﹣110°﹣60°﹣α＝190°﹣α，∠ADO ＝α﹣60°，∴190°﹣α＝α﹣60°，∴α＝125°；②要使OA＝OD，需∠OAD＝∠ADO．∵∠OAD＝180°﹣（∠AOD+∠ADO）＝180°﹣（190°﹣α+α﹣60°）＝50°，∴α﹣60°＝50°，∴α＝110°；③要使OD＝AD，需∠OAD＝∠AOD．∵∠AOD＝360°﹣110°﹣60°﹣α＝190°﹣α，∠OAD＝＝120°﹣，∴190°﹣α＝120°﹣，解得α＝140°．综上所述：当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形．24．如图，正方形ABCD，E、F分别为BC、CD边上一点．（1）若∠EAF＝45°．求证：EF＝BE+DF．（2）若△AEF绕A点旋转，保持∠EAF＝45°，问△CEF的周长是否随△AEF位置的变化而变化？（3）已知正方形ABCD的边长为1，如果△CEF的周长为2．求∠EAF的度数．【解答】（1）证明：如图，延长CD至E'，使DE'＝BE，连接AE'，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB＝AD＝CB＝CD，∠BAD＝∠B＝90°，∴∠ADE'＝90°＝∠ABE，在△ADE'和△ABE中，，∴△ADE'≌△ABE（SAS），∴AE'＝AE，∠DAE'＝∠BAE，∵∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠BAE＝45°，∴∠DAF+∠DAE'＝∠E'AF＝45°＝∠EAF，在△E′AF和△EAF中，，∴△E′AF≌△EAF（SAS），∴E′F＝EF，∵E′F＝DE′+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；（2）解：不变化；理由如下：由（1）知，EF＝BE+DF，∴△CEF的周长＝CE+CF+EF＝CE+CF+BE+DF ＝CB+CD＝2BC．∴△CEF的周长不随△AEF位置的变化而变化；（3）延长CD至E'使DE'＝BE，连接AE'，由（1）知，△ADE'≌△ABE（SAS），∴AE'＝AE，∠DAE'＝BAE，设BE＝x，DF＝y，∵正方形ABCD的边长为1，∴CE＝1﹣x，CF＝1﹣y，∵△CEF的周长为2，∴CE+CF+EF＝2，∴1﹣x+1﹣y+EF＝2，∴EF＝x+y＝BE+DF＝DE'+DF＝E'F，在△E'AF和△EAF中，，∴△E'AF≌△EAF（SSS），∴∠E'AF＝∠EAF，∴∠DAE'+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠EAF，∵∠DAF+∠EAF+∠BAE＝90°，∴∠EAF＝45°．25．问题：如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF ＝45°，试判断BE、EF、DF之间的数量关系．（1）发现证明小文把△ADF绕点A顺时针旋转90°至△ABG，从而发现BE、EF、DF之间的数量关系为；若正方形ABCD的边长为a，则△CEF的周长为；（2）类比探究如图②，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，以BC为边向BC下方作等边△DBC，点E，F分别是边BD，DC上的动点，且∠EAF＝60°．①试判断BE、EF、CF之间的数量关系，并说明理由．②试判断当点E，F的位置变化时，△EDF的周长是否发生变化，若变化，试说明怎么变化；若无变化，请直接写出△DEF的周长．（3）拓展延伸在（2）的条件下，以BC为边向BC上方作等边△DBC，点E，F分别是边BD，DC上的动点，且∠EAF＝60°，当△DEF是直角三角形时，请直接写出DE的长度．【解答】解：（1）如图①中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝a，∠BAD＝90°，∵△ADF≌ABG，∴AF＝AG，∠DAF＝∠BAG，∵∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠BAE＝∠BAG+∠BAE＝45°，∴∠EAF＝∠EAG＝45°，∵AE＝AE，∴△EAF≌△EAG（SAS），∴EF＝EB，∴EF＝GB+BE＝DF+BE，∴△ECF的周长＝EF+EC+CF＝BE+EC+CF+DF＝BC+CD＝2a，故答案为EF＝BE+DF，2a．（2）①结论：EF＝BE+CF．理由：如图，延长FC到T，使得CT＝BE，连接AT．∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠ABC＝∠ACB＝30°，∵△BCD是等边三角形，∴∠DBC＝∠DCB＝60°，∴∠ABD＝∠ACD＝90°，∴∠ABE＝∠ACT＝90°，∵AB＝AC，BE＝CT，∴△ABE≌△ACT（SAS），∴BE＝CT，∠BAE＝∠CAT，AE＝AT，∴∠EAT＝∠BAC＝120°，∵∠EAF ＝60°，∴∠AEF＝∠TAF＝60°，∵AF＝AF，∴△AFE≌△AFT（SAS），∴EF＝FT，∴EF＝CF+CT ＝BE+CF．②△DEF的周长不变．理由：∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，∴BC＝2AB•cos30°＝6，∵△DEF的周长＝EF+DE+DF＝BE+CF+DE+DF＝BD+CD＝2BC＝12．（3）如图③中，连接EF，当∠EFD＝90°时，延长F A交BC于M，延长EA交BC于N．∵∠EAF＝60°，∠BAC＝120°，∴∠EAF+∠BAC＝180°，∴∠BAE+∠CAF＝180°，∵∠CAF+∠CAM＝180°，∴∠BAE＝∠CAM，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠ABC＝∠ACB ＝30°，∵△DBC是等边三角形，∴∠DBC＝60°，∴∠ABE＝∠ACM＝30°，∴△BAE≌△CAM（ASA），∴BE＝CM，AE＝AM，∵BD＝BC，∴DE＝BM，同法可证，DF＝CN，AF＝AN，∵∠EAF＝∠MAN，∴△EAF≌△MAN（SAS），∴EF＝NM，∴DE+DF+EF＝BM+CN+MN＝6，∵∠D＝60°，∠EFD＝90°，∴∠DEF＝30°，∴DE＝2DF，设DF＝x，则DE＝2x，EF＝x，∴3x+x＝6，∴x＝3﹣，∴DE＝2x＝6﹣2．当∠DEF＝90°时，同法可得DE＝3﹣，综上所述，满足条件的DE的值为3﹣或6﹣2．26．定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形．（1）互补四边形ABCD中，若∠B：∠C：∠D＝2：3：4，求∠A的度数；（2）如图1，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，AD＝CD，BC＞BA．求证：四边形ABCD是互补四边形；（3）如图2，互补四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝AD＝，点E，F分别是边BC，CD 的动点，且∠EAF＝∠BAD＝60°，△CEF周长是否变化？若不变，请求出不变的值；若有变化，说明理由；（4）如图3，互补四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AB＝BC，∠B＝150°，将纸片先沿直线BD对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平，若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，求CD的长．【解答】（1）解：∵四边形ABCD是互补四边形，∴∠B+∠D＝180°，∵∠B：∠C：∠D＝2：3：4，∴∠B＝60°，∠C＝90°，又∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∴∠A＝180°﹣∠C＝90°；（2）证明：在BC上截取BE＝BA，连接DE，如图1所示：在△BAD和△BED中，，∴△BAD≌△BED（SAS），∴∠A＝∠DEB，AD＝DE．∵AD＝CD，∴DE＝DC．∴∠C＝∠DEC．∵∠BED+∠DEC＝180°，∴∠A+∠C＝180°，∴四边形ABCD是互补四边形；（3）解：不变．理由如下：延长CB到G，使BG＝DF，连接AG，AC，如图2所示：∵∠EAF＝∠BAD＝60°，∴∠BAD＝120°，∵四边形ABCD是互补四边形，∠B＝∠D＝90°，∴∠BCD＝180°﹣∠BAD＝60°，在Rt△ACD和Rt△ACB中，，∴Rt△ACD≌Rt△ACB（HL），∴∠ACD＝∠ACB＝30°，CD＝BC＝AB＝6，∵∠ABE＝∠D＝90°，∴∠ABG＝∠D＝90°，在△ABG 和△ADF中，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，∴∠EAF＝∠EAG，在△AEF和△AEG中，，∴△AEF≌△AEG（SAS），∴EF＝EG＝EB+BG＝EB+DF．∴EF+CE+CF＝BC+CD＝6+6＝12，即△CEF的周长为12；（4）解：分两种情况：①如图3所示：四边形BMDN是平行四边形，∴BM∥AD，∴∠MBD＝∠NDB，同（3）得：Rt△BCD≌Rt△BAD（HL），∴∠MDB＝∠NDB，∴∠MBD＝∠MDB，∴BM＝DM，∴四边形BMDN是菱形，∴BN＝BM＝DM，∠MBN＝∠ADC＝30°，设BM＝BN＝DM＝2x，作NH⊥BM于H，则NH＝BN＝x，∵菱形BMDN的面积＝BM•NH＝2x•x＝2，解得：x＝1，或x＝﹣1（舍去），∴BM＝DM＝2，∵∠BMC＝∠ADC＝30°，∠BCD＝90°，∴BC＝BM＝1，CM＝BC＝，∴CD＝DM+CM＝2+；②如图4所示：同①得：△BAD≌△BCD，四边形ABCE是菱形，AB＝AE＝2，∴AD＝CD，∠ABD＝∠AEB＝75°，∴∠BAE＝30°，∵∠BAD＝90°，∴∠DAE＝60°，作EF⊥CE交CD于F，则∠CFE＝30°，∴CF＝2CE＝4，∴EF＝AE＝2，由三角形的外角性质得：∠FED＝∠FDE＝15°，∴DF＝EF＝2，∴CD＝CF+DF＝4+2；综上所述：CD的长为2+或4+2．。

公务员考试每日练习：图形推理图形推理是行政职业能力测验试中一种非常重要的题型，几乎所有的国家公务员考试及各省市公务员考试都要涉及到对图形推理的考查。

在考试中，图形推理具有不同于其他题型的特点，这类题目由一组图形构成，涉及点、线、面以及相互组合，因此图形可以千变万化、灵活多样。

无论图形之间规律多么复杂、隐蔽、其变化规律都是有章可循，终会有所穷尽。

下面公务员考试网特发布一系列图形推理练习题供考生演练。

图形推理<1>1、2、3、4、5、【公务员考试网参考答案与解析】1.D【解析】第一组图每幅图均含有“日”，第二组图每幅图均含有“束”，排除A、C 项。

再看第一组图，“日”分别在字的上、中、下位置。

第二组图的前两幅图中，“束”分别在字的左、中，故问号处“束”字应在右边，排除B项。

本题正确答案为D。

2.C【解析】题干中图形均由两种元素组成，符合条件的只有C项。

3.B【解析】题干图形的直线数都是5，选项中只有B的直线数是5。

4.C【解析】图形①②⑥中均含有曲线，图形③④⑤均为直线图形，故将图形①②⑥分为组，图形③④⑤分为一组。

5.B【解析】第一、二行图形都分别包含相同的元素“圆”和“矩形”；第三行图形都包含一个相同的元素“圆”。

图形推理<2>1.2.3.4.5.【公务员考试网参考答案与解析】1.A【解析】数交点个数。

各图中交点个数均为4，故选A。

2.C【解析】第一组汉字都是左右结构，笔画数依次是7、8、9；第二组汉字都是上下结构，笔画数依次是8、9、(10)。

3.A【解析】题干中5个方格中图形的个数分别是8，4，2，2，1。

符合第一项除以第二项等于第三项的规律，所以问号处的方格中包含的图形个数应为2÷1=2(个)，选项中只有A项符合。

4.B【解析】题干图形有一个很显著的共同点就是均有一些小圆圈，且小圆圈的个数与图形的复杂程度相关。

本题规律为题干图形中小圆圈的个数与其他线条的数量相等，选项中只有B符合。

6. 图形变换6.1 基本图形变换包括平移变换、旋转变换、镜像变换、倾斜变换和放缩变换五种。

6.1.1 平移变换在当前绘图平面上将图形从一个位置移动或复制至另一位置。

导航工具栏中的选项如图8-5：图8-5 平移变换导航工具栏选项图形有两种平移方法：两点法和偏移量法。

1.两点法：定义平移的基点和移动点，通过这两个点确定的平移方向和距离来进行平移变换；（**********************）2.偏移量法：通过直接定义图形在当前绘图平面坐标系中XY Z方向上的偏移量确定出图形的新位置来进行平移变换；平移变换>> 两点法定义平移的基点和移动点，通过这两个点确定的平移方向和距离来进行平移变换。

图8-6 两点法平移变换实现方法：1.选择要平移的图形；2.点击菜单项；3.输入平移基点；4.输入平移移动点。

操作步骤：说明：在没有任何命令执行时，先选中一个或多个图形，然后用鼠标直接拖动可以将它们在当前绘图平面内进行移动。

平移变换>> 偏移量法直接定义图形在当前绘图平面坐标系中XY Z方向上的偏移量确定出图形的新位置。

实现方法：1.选择要平移的图形；2.点击菜单及导航工具栏按钮；3.定义图形在横向、纵向和高度方向上的偏移量。

点击导航工具栏中的图8-8 图形偏移量定义对话框说明：横向距离、纵向距离和高度距离分别是在当前绘图平面坐标系中XYZ三个方向上平移量。

若要相对于世界坐标系统定义平移距离，参照<3D平移变换>。

6.1.2 旋转变换在当前绘图面上将图形绕一指定点（旋转基点）旋转一定的角度。

图* 旋转变换实现方法：1.选择要旋转的图形对象；2.点击菜单项；3.输入旋转基点和参考点；4.输入旋转角度。

操作步骤：参数选项：导航工具栏中的选项如图*：图* 旋转变换导航工具栏选项说明：1.旋转基点和参考点定义了旋转变换的0角度方向；旋转角度是绕基点从此0角度方向上逆时针转过的角度（如图*）；图* 旋转角度2.本命令只能将图形在当前绘图平面内进行旋转变换。

第1講 巧數圖形 一、知識要點小朋友，你想學會數圖形的方法嗎？要想不重複也不遺漏地數出線段、角、三角形……那就必須要有次序、有條理地數，從中發現規律，以便得到正確的結果。

要正確數出圖形的個數，關鍵是要從基本圖形入手。

首先要弄清圖形中包含的基本圖形是什麼，有多少個，其次再數出由基本圖形組成的新的圖形，最後求出它們的和。

二、精講精練【例題1】數一數，下圖中有幾條線段？ 練習1：（1）數出下圖中有多少條線段？ （2）數出下圖中有幾個長方形？【例題2】數出圖中有幾個角？EABCDDABCODC BA練習2：數出圖中有幾個角？（1） （2）【例題3】數出下圖中共有多少個三角形？練習3：數出圖中共有多少個三角形？（1）（2）OCBA ED OC BA PDCBAFE DC B AKG I H G FE DC B A【例題4】數出下圖中有多少個長方形？ 練習4：（1）數出下圖中有多少個長方形？（2）數出下圖中有多少個正方形？【例題5】有5個同學，每兩個人握手一次，一共要握手多少次？ 練習5：（1）銀海學校三年級有9個班，每兩個班要比賽拔河一次，這樣一共要拔河幾次？DCBA DCBA（2）有1，2，3，4，5，6，7，8等8個數字，能組成多少個不同的兩位數？三、課後作業1、數一數下圖中各有多少條線段？（2）（3）2、數一數下圖中有多少個銳角。

3、下列各圖中各有多少個銳角？4、數一數下麵圖中各有多少個三角形。

5、數一數下麵各圖中分別有多少個長方形。

6、數一數，下麵各圖中分別有幾個長方形？7、數一數下列各圖中分別有多少個正方形？（每個小方格為邊長是1的小正方形）。