张量分析(本科)

一 爱因斯坦求和约定1.1指标变量的集合：n n y y y x x x ,...,,,...,,2121表示为：n j y n i x j i ...,3,2,1,,...,3,2,1,==写在字符右下角的 指标，例如xi 中的i 称为下标。

写在字符右上角的指标，例如yj 中的j 称为上标；使用上标或下标的涵义是不同的。

用作下标或上标的拉丁字母或希腊字母，除非作了说明，一般取从1到n 的所有整数，其中n 称为指标的范围。

1.2求和约定若在一项中，同一个指标字母在上标和下标中重复出现，则表示要对这个指标遍历其范围1，2，3，…n 求和。

这是一个约定，称为求和约定。

例如：333323213123232221211313212111bx A x A x A b x A x A x A bx A x A x A =++=++=++筒写为：ijijbx A =ｊ——哑指标ｉ——自由指标，在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同遍历指标的范围求和的重复指标称为“哑标”或“伪标”。

不求和的指标称为自由指标。

1.3 Kronecker-δ符号（克罗内克符号）和置换符号Kronecker-δ符号定义j i ji ij ji ≠=⎩⎨⎧==当当01δδ置换符号ijkijk e e =定义为:⎪⎩⎪⎨⎧-==的任意二个指标任意k j,i,当021)(213,132,3的奇置换3，2，1是k j,i,当112)(123,231,3的偶置换3，2，1是k j,i,当1ijk ijke ei,j,k 的这些排列分别叫做循环排列、逆循环排列和非循环排列。

置换符号主要可用来展开三阶行列式：231231331221233211231231133221332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++==因此有：ijmjimii i i jijAA aa a a a ==++=δδδδδ332211kijjkiijkkjiikjjikijkee e e e e e ==-=-=-=同时有：ijjijij iiiijijijkj ikilkljkijjjiiijijijkjikiie e aa aa a a a aa δδδδδδδδδδδδδδδδδδδ=⋅=++=========++=332211332211331001010100131211232221333231321333222111321321321-=====δδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδe e k j i k j i k j i k k k j j j i i i ijk333222111321321321r q p r q p r q p k k k j j j i i i pqr ijke e δδδδδδδδδδδδδδδδδδ⋅=ipp i p i p i p i δδδδδδδδδ==++11332211krkqkpjrjqjpiriqippqrijke e δδδδδδδδδ=jqirjriqjrjqiriqkqrijke e kp δδδδδδδδ-===321321322311332112312213322113312312332211333231232221131211k j i ijkkjiijkaa a e a a a e aa a a a a a a a a a a a a a a a a aaaa a aaa a A ==---++==Kronecker-δ和置换符号符号的关系为：itjsjtiskstkije e δδδδ-=二 张量代数2.1张量的加法(减法)两个同阶、同变异(结构) 的张量可以相加(或相减)。

H f T c0G c1T c2T 2 ckT k
或
H
i
j

c0
i j

c1T
i
j

c2T
ilT
l
j

ckT
T i
l1
l1 l2
T
lk 1 j
若一个张量H（标量、矢量、张量）依赖于n 个张量 T1，T2，…，Tn（矢量、张量）而变化，即当T1，T2，…， Tn 给定时， H 可以对应地确定（或者说，在任一坐标系中， H 的分量都是T1，T2，…，Tn 的一切分量的函数），则称H 是张量T1，T2，…，Tn 的张量函数。记作
H F T1,T2,,Tn
3.1.2 张量函数举例
例3.1 矢量u 的标量函数 例3.2 矢量v 的标量函数
f u u1 u2
f v 1 v 2
2
例3.3 矢量F,u的标量函数
f F, u F u
例3.4 矢量v 的矢量函数u
u Fv kv k为给定常数
例3.5 矢量v 的矢量函数u
u Fv K v K为给定对称二阶常张量
例3.6 二阶张量T 的标量函数 例3.7 对称二阶张量 的标量函数


f
T


T
1 1


f




i i
例3.8 二阶张量T 的标量函数
f
为其旋转量 ~，即
f X1, X2,, Xn ~ f X~1, X~2,, X~n
对于任意的Q，则称此函数为各向同性函数。
,
J
T 3

➢ 分量记法： ui
Appendix A.1
张量基本概念
➢ 指标符号使用方法
1. 三维空间中任意点 P 旳坐标（x, y, z）可缩写成 xi , 其中x1=x, x2=y, x3=z。
2. 两个矢量 a 和 b 旳分量旳点积(或称数量积)为：
3
a b= a1b1 a2b2 a3b3 aibi i 1
3. 换标符号，具有换标作用。例如：
d s2 ij d xi d x j d xi d xi d x j d x j
即：假如符号 旳两个指标中，有一种和同项中其他
因子旳指标相重，则能够把该因子旳那个重指标换成
旳另一种指标，而 自动消失。
30
符号ij 与erst
类似地有
ij a jk aik ; ij aik a jk ij akj aki ; ij aki akj ij jk ik ; ij jkkl il
ij
1 0
(i = j) (i, j=1, 2, …, n) (i j)
➢ 特征
1. 对称性，由定义可知指标 i 和 j 是对称旳，即
ij ji
29
符号ij 与erst
2. ij 旳分量集合相应于单位矩阵。例如在三维空间
11 12 13 1 0 0
21
22
23
0
1
0
31 32 33 0 0 1
27
目录
引言 张量旳基本概念，爱因斯坦求和约定
符号ij与erst
坐标与坐标转换 张量旳分量转换规律，张量方程 张量代数，商法则 常用特殊张量，主方向与主分量 张量函数及其微积分
Appendix A
28
符号ij 与erst
➢ ij 符号 (Kronecker delta)

第三章 张量分析将偏导数的概念推广，建立协变导数的概念，使得一个张量的协变导数是另一个张量，这是张量分析发展中最重要的里程碑碑。

张量的协变导数是本章讨论的重点。

§3.1 基矢量的偏导数与克里斯托费尔符号求一个矢量的导数，必须对它的各个分量与基矢量乗积之和求导：j ,i i i i j ,j ,i i j ,jg V g V )g V (V xV +===∂∂ (3.1-1a) i j ,i i j ,i j ,i i g V g V )g V (+== (3.1-1b) 上式中的“，”号表示偏导数，本书以后均采用此记法。

（3.1-1a ）、（3.1-1b ）式中有基矢量i g 和对偶基矢量i g 对于曲线坐标j x 的偏导数j ,i g 和i j ,g 。

下面分别进行讨论。

一、基矢量i g 的偏导数j ,i g由基矢量的定义[（1.4-4）式]可以写出s j i s2s i s j j ,i i xx z )i x z (x g ∂∂∂=∂∂∂∂=这表示基矢量i g 对于坐标j x 的偏导数也是矢量，它也可以分解成沿对偶基矢量i g 或基矢量i g 方向的分量：kkijkijkj,i g g g Γ=Γ= （3.1-2）式中ijk Γ是j ,i g 沿k g 方向的分量；k ij Γ是j ,i g 沿k g 方向的分量。

从它们的意义可以理解，为什么ijk Γ和k ij Γ中包含I,j,k 三个指标。

若用另一基矢量点乘（3.1-2）式，就得到i j klk i j l k l i j l k j ,i g g g g Γ=δΓ=⋅Γ=⋅ (3.1-3a) k ij k l l ij k l l ij k j ,i g g g g Γ=δΓ=⋅Γ=⋅ (3.1-3b)ijk Γ称为第一类克里斯托费尔（Christoffel ）符号；k ij Γ称为第二克里斯托费尔符号。

（3.1-2）式或（3.1-3）式都可以作为克里斯托费尓符号的定义。