高中数学人教新课标必修一B版教案2.2.1 一次函数的性质与图像

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(4)直线 y＝kx＋b 与 x 轴的交点为－bk，0，与 y 轴的交点 为 (0，b) ．
试一试：一次函数与一次方程，一次不等式有何联系？ 提示 一次函数 y＝kx＋b(k≠0)与 x 轴交点为(－bk，0)，一 次方程 kx＋b＝0 的解为 x＝－bk，为一次函数与 x 轴交点的横坐 标．且 x＝－bk是不等式 kx＋b＞0 或 kx＋b＜0 的分界点．
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规律方法 一次函数 y＝kx＋b(k≠0)当 k＞0 时，在 R 上是 增函数，k＜0 时，在 R 上是减函数，要使 f(x)＞0 在区间[m， n]上恒成立，只需端点值 f(m)＞0 与 f(n)＞0 都成立即可．
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【训练 2】 求函数 y＝－5x－1，x∈[1,4]的最小值． 解 ∵k＝－5＜0， ∴函数 y＝－5x－1 在 R 上是减函数． ∴函数 y＝－5x－1，x∈[1,4]， 所以最小值为 f(4)＝－21.
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想一想：一次函数 y＝kx＋b(k≠0)中，b 有何特征？
提示 一次函数中 b 指一次函数在 y 轴上的截距，b 不是 距离，可认为任意实数．
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名师点睛 1．一次函数图象与性质的理解 (1)一次函数 y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，但是并非 任意一条直线都是一次函数的图象．例如：x＝1 的图象是一条 直线，但 x＝1 不是一次函数． (2)一次函数图象过定点(－bk，0)，(0，b)． (3)一次函数的单调性与其一次项系数 k 与 0 的大小有关． k＞0 时，一次函数单调递增， k＜0 时，函数单调递减，反之也成立．

§2.2.1一次函数的性质与图像学案一、学习目标：1、熟练掌握一次函数的概念和性质与图象。

2、能解决带有参数的一次函数有关问题。

3、能用数形结合，分类讨论等数学思想解题。

二、新课导学：（一）、明确要点。

1、定义：函数 叫一次函数，它的定义域为 ，值域为 。

2、图像：一次函数的图象是 ，以后简写为直线b kx y +=，其中k 叫做该直线的 ，b 叫做该直线在y 轴上的 。

一次函数又叫 。

3、一次函数b kx y +=具有哪些主要性质？（1）平均变化率。

函数值的改变量12y y y -=∆与自变量的改变量12x x x -=∆的比值等于常数k 。

其中k 的大小表示直线与x 轴的倾斜程度。

（试证明）（2）单调性。

当 时，一次函数为增函数；当 时，一次函数为增函数。

（3）奇偶性：当 时一次函数为奇函数，此时，一次函数又叫 ；当 时，一次函数为非奇非偶函数。

※拓展思考：1）、一次函数能否为偶函数？为什么？2）、关于x 的函数b kx y +=，当 时它为奇函数；当 时它为偶函数；当 时，它既不是奇函数也不是偶函数；当 时，它既是奇函数也是偶函数。

4、图象与坐标轴的交点：直线b kx y +=与x 轴的交点是 ，与y 轴的交点是 。

（二）、典例研究例1、求下列一次函数的斜率，在y 轴上的截距，说明单调性和奇偶性。

（1）x y 2=（2）32+-=x y （3）m x m y -+-=1)1(例2、已知关于x 的函数m xm m y m m +-=-222)(，m 为何值时，该函数是一次函数？例3、已知函数12)(++=a ax x f ， （1）当11≤≤-x 时，)(x f 的值恒为正值，求实数a 的取值范围。

（2）当11≤≤-x 时，)(x f 的值有正也有负，求实数a 的取值范围。

例4、对于每一个实数x ，设)(x f 取22+-=x y ，1-=x y ，2721+-=x y 三个函数中的最大值，用分段函数写出)(x f 的解析式，并求)(x f 的最小值。

§2.2一次函数和二次函数2.2.1一次函数的性质与图象【教学目标】1.进一步认识一次函数，会借助图象分析其性质，理解其定义；2.掌握利用两个适当的点画出一次函数的图象；3.提高探索新问题的能力，动手能力及现代化操作技术能力．教学过程：探究点一一次函数的概念问题1在初中我们学过一次函数，那么一次函数是如何定义的？定义域和值域又是什么？答：函数y＝kx＋b (k≠0)叫做一次函数，它的定义域为R，值域为R.问题2一次函数的图象是什么，表达式中的k，b的几何意义又是什么？答：一次函数y＝kx＋b (k≠0)的图象是直线，其中k叫做该直线的斜率，b叫做该直线在y 轴上的截距．一次函数又叫做线性函数．例1设函数y＝(m－3)x m2－6m＋9＋m－2：(1)m为何值时，它是一次函数？(2)在(1)的条件下判断函数的增减性．解：(1)由一次函数的表达式知，解得m＝2或m＝4.(2)当m＝2时，m－3＝2－3＝－1<0，所以对应的函数是减函数；当m＝4时，m－3＝1>0，所以对应的函数是增函数．小结：只有当k≠0时，函数y＝kx＋b才是一次函数，若已知y＝kx＋b是一次函数，则隐含着条件k≠0.要判断一个多项式函数是不是一次函数只需要两个条件：未知数x的最高次为1次，x的系数不为0.跟踪训练1函数y＝2mx＋3－m是正比例函数，则m＝_____.解析：由正比例函数的定义可知，2m≠0，且3－m＝0，所以m＝3.探究点二一次函数的性质问题1 一次函数的函数值的改变量与自变量的改变量的比值与一次函数y＝kx＋b(k≠0)中的哪个量相等？请说明原因？答：函数值的改变量Δy＝y2－y1与自变量的改变量Δx＝x2－x1的比值等于直线的斜率k.在直线y＝kx＋b (k≠0)上任取两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1＝kx1＋b，y2＝kx2＋b，两式相减，得y2－y1＝k(x2－x1)，即＝k或Δy＝kΔx (x2≠x1)．问题2斜率k的符号与一次函数单调性有怎样的关系？答：当k>0时，一次函数是增函数；当k<0时，一次函数是减函数．问题3在一次函数y＝kx＋b (k≠0)中，b的取值对函数的奇偶性有怎样的影响？答：当b＝0时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当b≠0时，它既不是奇函数也不是偶函数．问题4一次函数y＝kx＋b (k≠0)的图象与坐标轴的交点坐标是怎样的？答：直线y＝kx＋b与x轴的交点为()，与y轴的交点为(0，b)．例2已知一次函数y＝3x＋12.求：(1)一次函数y＝3x＋12的图象与两条坐标轴交点的坐标；(2)x取何值时，y<0? (3)当y的取值限定在(－6，6)内时，x允许的取值范围．解：(1)当y＝0时，x＝－4；当x＝0时，y＝12.所以一次函数y＝3x＋12的图象与两条坐标轴交点坐标分别为(－4，0)、(0，12)．(2)由3x＋12<0，得x<－4. (3)由－6<3x＋12<6，得－6<x<－2.小结：一次函数y＝kx＋b (k≠0)与一元一次方程及一元一次不等式是密切联系的，一次函数与x轴交点的横坐标即为相应的一元一次方程的解，一次函数图象在x轴下面的部分对应的x的范围就是不等式kx＋b<0的解集．跟踪训练2已知一次函数y＝2x＋1，(1)当y≤3时，求x的范围；(2)当y∈[－3，3]时，求x的范围；(3)求图象与两坐标轴围成的三角形的面积．解：(1)由题意知，2x＋1≤3，解之，得x≤1；(2)因y∈[－3，3]，所以－3≤2x＋1≤3，解之，得－2≤x≤1；(3)一次函数y＝2x＋1与两个坐标轴的交点分别为()、(0，1)，所以图象与两坐标轴围成的三角形的面积S＝××1＝.探究点三一次函数的应用例3.对于每个实数x，设f(x)取y＝4x＋1，y＝x＋2，y＝－2x＋4三个函数中的最小值，用分段函数写出f(x)的解析式，并求出f(x)的最大值．解：分别解出三条直线的交点，得A(). 得B().得C(). 观察函数图象，当x≤时，直线y＝4x＋1的图象在最下面，所以f(x)＝4x＋1，同理，当<x≤时，f(x)＝x＋2，当x>时，f(x)＝－2x＋4.所以f(x)＝由图象观察可知，当x＝时，f(x)有最大值，最大值为.小结：在本例中，由于f(x)取y＝4x＋1，y＝x＋2，y＝－2x＋4三个函数中的最小值，要判断三个函数中哪一个最小，只有在同一坐标系内画出三条直线的图象，观察图象，在各段线段中处在最下面的几段线段组成的图象就是f(x)的图象，观察f(x)图象的最高点的纵坐标即为f(x)的最大值．跟踪训练3对于每个实数x，设f(x)取y＝3x＋5，y＝x＋5，y＝－2x＋8三个函数中的最大值，用分段函数写出f(x)的解析式，并求出f(x)的最小值．解：在同一坐标系内作出y＝3x＋5，y＝x＋5，y＝－2x＋8的图象(如图所示)，它们的交点分别为A、B、C.解方程组得C(). 过C点作y轴的平行线x＝，由图可知，在直线x＝左边，y＝－2x＋8的图象在最上面，即当x≤时，f(x)＝－2x＋8；在直线x＝右边，y＝3x＋5的图象在最上面，即当x>时，f(x)＝3x＋5，因此，f(x)＝观察f(x)的图象可知，f(x)min＝.当堂检测1.过点(3，m)、(m，－4)的一次函数的斜率为，则实数m的值是()A．2 B．－4 C．0 D．－2解析：由＝＝，得m＝－2.2.函数y＝kx－1与y＝－在同一坐标系中的大致图象可能是下图中的()解析：在A中，直线是上升的，知k>0，由曲线的位置知－k>0，即k<0，矛盾；在B中曲线的位置正好使k>0，故选B.3.对于函数y＝5x＋6，y的值随x的值减小而________．解析：由于一次函数的斜率5>0，所以一次函数是增函数，所以y值随x的减小而减小．课堂小结：1.正比例函数y＝kx (k为常数，k≠0)的图象的画法：过原点与点(1，k)的直线即所求的图象．2.一次函数y＝kx＋b (k，b为常数，k≠0)图象的画法：在y轴上取点(0，b)，在x轴上取点()，过这两点的直线即为所求的图象．3.正比例函数y＝kx (k为常数，k≠0)与一次函数y＝kx＋b (k，b为常数，k≠0)的单调性为：当k>0时，是增函数；当k<0时，是减函数.。

2.2.1 一次函数的图象与性质错误!
-m-2,若它的图象经过原点，则m= ; 若点（0 ，3 在它的图象上，则m = ;若它的图象经过一、二、四象限，则m
大显身手
1、已知一次函数=1-2mm-1 , 求满足下列条件的m的值：
（1）函数值随的增大而增大；
（2）函数图象与轴的负半轴相交；
（3）函数的图象过第二、三、四象限；
（4）函数的图象过原点。

2 对于一次函数= 3, 当1≤≤4时, 的取值范围是___________
六、课堂小结
1会画一次函数的图象
2一次函数的图象与性质，常数，b的意义和作用
3数形结合的思想与方法
4进一步体验研究函数的一般思路与方法
七作业：课后练习A。