2018版高中物理第二章匀变速直线运动的研究4匀变速直线运动的速度与位移的关系学案新人教版必修1

4 匀变速直线运动的速度与位移的关系[先填空]1．公式：v 2－v 20＝2ax . 2．推导速度公式：v ＝v 0＋at . 位移公式：x ＝v 0t ＋12at 2.由以上两式可得：v 2－v 20＝2ax . [再判断]1．公式v 2－v 20＝2ax 中v 20前面的“－”号表示v 0的方向．(×)2．加速度公式a ＝v 2－v 202x 和a ＝v －v 0t，既适用于匀变速直线运动，又适用于非匀变速直线运动．(×)3．计算位移的关系式x ＝v 0t ＋12at 2、x ＝v ＋v 02t 和x ＝v 2－v 22a 都是只适用于匀变速直线运动．(√)[后思考]如果你是机场跑道设计师，若已知飞机的加速度为a ，起飞速度为v ，你应该如何来设计飞机跑道的长度？【提示】 (1)飞机跑道应为较宽阔的直线跑道；(2)由速度位移关系式v 2－v 2＝2ax 得，飞机跑道的最小长度为x ＝v 2－v 202a ＝v 22a.[合作探讨]物体做初速度为v 0，加速度为a 的匀加速直线运动，取初速度的方向为正方向，应用公式v 2－v 20＝2ax 求解运动位移x 时的速度v ，v 有一正一负两解，两解都有意义吗？为什么？【提示】 物体做单一方向的加速直线运动，速度不可能是负值，故正值有意义，负值无意义应舍掉．[核心点击]1．适用条件：公式表述的是匀变速直线运动的速度与位移的关系，适用于匀变速直线运动．2．公式的矢量性：公式中v 0、v 、a 、x 都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选v 0方向为正方向．(1)物体做加速运动时，a 取正值，做减速运动时，a 取负值．(2)x >0，说明物体位移的方向与初速度的方向相同；x <0，说明物体位移的方向与初速度的方向相反．3．两种特殊形式：(1)当v 0＝0时，v 2＝2ax .(初速度为零的匀加速直线运动)． (2)当v ＝0时，－v 20＝2ax .(末速度为零的匀减速直线运动)．1．汽车正在以12 m/s 的速度在平直的公路上前进，在它的正前方15 m 处有一障碍物，汽车立即刹车做匀减速运动，加速度大小为6 m/s 2，刹车后3 s 末汽车和障碍物之间的距离为( )A ．3 mB ．6 mC ．12 mD ．9 m【解析】 汽车从刹车到静止用时t ＝v 0a＝2 s ，刹车后3 s 末汽车已静止，此过程汽车前进的距离x ＝0－v 20－2a ＝－122－2×6 m ＝12 m ，故刹车后3 s 末汽车和障碍物之间的距离为15 m－12 m ＝3 m ，A 正确．【答案】 A2．已知长为L 的光滑斜面，物体从斜面顶端由静止开始以恒定的加速度下滑，当物体的速度是到达斜面底端速度的13时，它沿斜面已下滑的距离是( )A.L3 B.L9 C.3L 3D ．L6【解析】 若物体到达底端时的速度为v ，对于整个下滑过程有v 2－0＝2aL ，若当物体速度为v3时，下滑的距离为L ′，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫v 32－0＝2aL ′，由以上两式可得，L ′＝L9，B 正确．【答案】 B3．做匀加速直线运动的物体，速度从v 增加到2v 时经过的位移是x ，则它的速度从3v 增加到4v 时所发生的位移是( )A.32xB.52xC.53x D ．73x 【解析】 令物体做匀加速直线运动时的加速度为a ，则根据匀变速直线运动的速度位移关系v 2－v 20＝2ax 有：(2v )2－v 2＝2ax ，则有a ＝3v22x当物体速度由3v 增加到4v 时，同样根据速度位移关系有： (4v )2－(3v )2＝2ax ′代入a ＝3v 22x 得：x ′＝73x .故选D.【答案】 D运动学问题的一般求解思路1．弄清题意．建立一幅物体运动的图景，尽可能地画出草图，并在图中标明一些位置和物理量．2．弄清研究对象．明确哪些是已知量，哪些是未知量，据公式特点选用恰当公式． 3．列方程、求解．必要时要检查计算结果是否与实际情况相符合．[合作探讨]探讨1：物体做匀加速直线运动，一段过程的中间时刻与中间位置的速度哪个大些？ 【提示】 中间位置的速度大，因为物体做加速运动，后一半时间内的平均速度较大，故经过一半的时间时，还没有到达中间位置．探讨2：物体做匀减速直线运动，一段过程的中间时刻与中间位置的速度哪个大些？【提示】 中间位置的速度大，因为物体做减速运动，后一半时间内的平均速度较小，故经过一半的时间时，已经经过了中间位置，即先经过中间位置后到达中间时刻．[核心点击]1．中间位置的速度与初末速度的关系在匀变速直线运动中，某段位移x 的初末速度分别是v 0和v ，加速度为a ，中间位置的速度为v x 2，则根据速度与位移关系式，对前一半位移v 2x 2－v 20＝2a x 2，对后一半位移v 2－v 2x 2＝2a x 2，即v 2x 2－v 20＝v 2－v 2x 2，所以v x 2＝v 20＋v22.由数学知识知：v x 2＞v t 2＝v 0＋v2.2．由静止开始的匀加速直线运动的几个重要比例 (1)1T 末、2T 末、3T 末、…、nT 末瞬时速度之比v 1∶v 2∶v 3∶…∶v n ＝1∶2∶3∶…∶n .(2)1T 内、2T 内、3T 内、…、nT 内的位移之比x 1∶x 2∶x 3∶…∶x n ＝12∶22∶32∶…∶n 2.(3)第一个T 内，第二个T 内，第三个T 内，…，第n 个T 内位移之比x Ⅰ∶x Ⅱ∶x Ⅲ∶…∶x n ＝1∶3∶5∶…∶(2n －1)．(4)通过前x 、前2x 、前3x …位移时的速度之比v 1∶v 2∶v 3∶…∶v n ＝1∶2∶3∶…∶n .(5)通过前x 、前2x 、前3x …的位移所用时间之比t 1∶t 2∶t 3∶…∶t n ＝1∶2∶3∶…∶n .(6)通过连续相等的位移所用时间之比t Ⅰ∶t Ⅱ∶t Ⅲ∶…∶t n ＝1∶(2－1)∶(3－2)∶…∶(n －n －1)．4．做匀加速运动的列车出站时，车头经过站台某点O 时的速度是1 m/s ，车尾经过O 点时的速度是7 m/s ，则这列列车的中点经过O 点时的速度为( )A ．5 m/sB ．5.5 m/sC ．4 m/sD ．3.5 m/s【解析】 以火车为参考系，设O 点通过列车中点时的速度为v ， 有v 2－v 21＝2a x2，v 22－v 2＝2a x2，联立两式得v ＝v 21＋v 222＝1＋492m/s ＝5 m/s ， 所以列车中点经过O 点的速度为5 m/s.故A 正确，B 、C 、D 错误．【答案】 A5．如图2­4­1所示，一冰壶以速度v 垂直进入两个矩形区域做匀减速运动，且刚要离开第二个矩形区域时速度恰好为零，则冰壶依次进入每个矩形区域时的速度之比和穿过每个矩形区域所用的时间之比分别是(设冰壶可看成质点)( )图2­4­1A ．v 1∶v 2＝2∶1B ．v 1∶v 2＝2∶1C ．t 1∶t 2＝1∶ 2D ．t 1∶t 2＝(2－1)∶1【解析】 初速度为零的匀加速直线运动中连续两段相等位移的时间之比为1∶(2－1)，故所求时间之比为(2－1)∶1，所以C 错误，D 正确；由v ＝at 可得初速度为零的匀加速直线运动中的速度之比为1∶(2－1)，则所求的速度之比为(2－1)∶1，故A 、B 错误；故选D.【答案】 D6．(多选)光滑斜面的长度为L ，一物体自斜面顶端由静止开始匀加速滑至底端，经历的时间为t ，则下列说法正确的是( )A ．物体运动全过程中的平均速度是LtB ．物体在t 2时的瞬时速度是2LtC ．物体运动到斜面中点时瞬时速度是2LtD ．物体从顶点运动到斜面中点所需的时间是2t2【解析】 全程的平均速度v ＝x t ＝L t ，A 对；t 2时，物体的速度等于全程的平均速度Lt，B 错；若末速度为v ，则v 2＝L t ，v ＝2L t ，故中间位置的速度v 中＝v 2＝2Lt ，C 对；设物体的加速度为a ，到达中间位置用时t ′，则L ＝12at 2，L 2＝12at ′2，所以t ′＝22t ，D 对.【答案】 ACD解题时巧选公式的基本方法1．如果题目中无位移x ，也不需求位移，一般选用速度公式v ＝v 0＋at ；2．如果题目中无末速度v ，也不需求末速度，一般选用位移公式x ＝v 0t ＋12at 2；3．如果题中无运动时间t ，也不需要求运动时间，一般选用导出公式v 2－v 20＝2ax ； 4．如果题目中没有加速度a ，也不涉及加速度的问题，用v ＝x t ＝v 0＋v2计算比较方便．[核心点击] 1．追及问题(1)追及的特点：两个物体在同一时刻到达同一位置． (2)追及问题满足的两个关系：①时间关系：从后面的物体追赶开始，到追上前面的物体时，两物体经历的时间相等． ②位移关系：x 2＝x 0＋x 1，其中x 0为开始追赶时两物体之间的距离，x 1表示前面被追赶物体的位移，x 2表示后面追赶物体的位移．(3)临界条件：当两个物体的速度相等时，可能出现恰好追上、恰好避免相撞、相距最远、相距最近等情况，即出现上述四种情况的临界条件为v 1＝v 2.2．相遇问题(1)特点：在同一时刻两物体处于同一位置．(2)条件：同向运动的物体追上即相遇；相向运动的物体，各自发生的位移的绝对值之和等于开始时两物体之间的距离时即相遇．(3)临界状态：避免相碰撞的临界状态是两个物体处于相同的位置时，两者的相对速度为零．7．(多选)甲与乙两个质点向同一方向运动，甲做初速度为零的匀加速直线运动，乙做匀速直线运动．开始计时时甲、乙位于同一位置，则当它们再次位于同一位置时，下列判断正确的是( )A ．两质点速度相等B ．甲与乙在这段时间内的平均速度相等C ．乙的瞬时速度是甲的2倍D ．甲与乙的位移相同【解析】 由题意可知，二者位移相同，所用的时间也相同，则平均速度相同，再由v＝v 甲2＝v 乙，所以甲的瞬时速度是乙的2倍，故选B 、D.【答案】 BD8．(多选)如图2­4­2所示，物体A 、B 由同一位置沿同一方向做直线运动．他们运动的速度v 随时间t 的变化关系如图所示，由图可知( )图2­4­2A ．物体A 、B 在4 s 末相遇 B ．物体A 、B 在2 s 末相遇C ．物体A 、B 在4 s 末的速度大小相等D ．物体A 、B 在2 s 末的速度大小相等【解析】 根据图象，4 s 末A 、B 图线与时间轴围成的面积相等，则位移相等，可知物体A 、B 相遇，故A 正确；2 s 末，B 图线与时间轴围成的面积大于A 图线与时间轴围成的面积，所以B 的位移大于A 的位移，两物体未相遇，B 错误；在4 s 末A 的速度为10 m/s ，B 的速度为5 m/s ，速度不相等，C 错误；在2 s 末，A 、B 的速度相等，D 正确．【答案】 AD9．摩托车先由静止开始以2516 m/s 2的加速度做匀加速运动，之后以最大行驶速度25 m/s做匀速运动，追赶前方以15 m/s 的速度同向匀速行驶的卡车．已知摩托车开始运动时与卡车的距离为1000 m ，则：(1)追上卡车前两车相隔的最大距离是多少？ (2)摩托车经过多少时间才能追上卡车？【解析】 (1)由题意得，摩托车做匀加速运动的最长时间t 1＝v m a＝16 s.位移s 1＝v 2m2a＝200 m<s 0＝1000 m ，所以摩托车在达到最大速度之前没有追上卡车，则追上卡车前两车速度相等时间距最大．设从开始经过t 2时间速度相等，最大间距为s m ， 于是有：at 2＝v ， 所以t 2＝va＝9.6 s ，最大间距s m ＝s 0＋v ·t 2－12at 22＝1000 m ＋15×9.6 m－12×2516×9.62m ＝1 072 m.(2)设从开始经过t时间摩托车追上卡车，则有：s1＋v m(t－t1)＝s＋v·t，解得：t＝120 s.【答案】(1)1 072 m (2)120 s解决追及与相遇问题的常用方法1．物理分析法抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，在头脑中建立起一幅物体运动关系的图景，并画出运动情况示意图，找出位移关系．2．图象法：将两者的速度—时间图象在同一坐标系中画出，然后利用图象求解．3．数学分析法：设从开始至相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论，若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ<0，说明追不上或不能相遇．。