对一道习题的探究
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，
ｙ
Ｚ
（
） 一 ２ ｍ（ ＋ ２ ） （ ＋ ＋ ） ≤０
Ｙ
ｊ ＋ ＋ 一 Ａ ｃ≥！ ± ！
ｘ Ｙ ｚ ｘ＋ ｙ＋ ｚ
０
定理１ 若 ， Ｙ ∈Ｒ ， 则 ＋ ＞
６
Ｃ
பைடு நூலகம்
。
Ｙ ｘ ＋ｙ
不等式① 中， 用Ⅲ ， 换 —Ｉ ＿， 现考查ｍ为何值 时， Ｒ
ｘ
ｌ ＿ ＿＞ ０
ｂ —ｃ
故有 —ｌ ＿＋ —Ｊ ＿＞ 一， 从而结论成立 。
。 ＿６ ｂ —ｃ ｏ — ｃ
①
②
下面我们对此题进一步探究 。 从转证形式上看 ， ６ ＞ ０ ， ｂ － ｃ ＞ Ｏ ， Ⅱ 一 ｃ ＞ ０ ， （ ０ － ６ ） ＋ （ ｂ － ｃ＝ ａ － ｃ ， 即前两个分 数的分母之和等于第三个 分数 的分母 ， 现令。 一 ｂ ， ６ － 一 ｃ
４
，
这样我 ， 求
一 当ｍ一 与 ２ ＋ ≥ ｙ 进行对照 ， 只有 ２ ≤２ ， ｌ ｌ ｍ≤４ 时， ≥ 原不等式才 ‘ 匣成立 ，于是对ｍ ＜ ４ 时的情况不再一一 讨论 ， 现 只对ｍ ＝ ４ 时 的情况 进行探究 ， 即不 等式为 ：
们 再来 推广 ， 变换上式 中分母 ， 如： 已知ｎ ， ｂ ， ｃ
把不等式③看为 ＋ ＞ —
数字 ｌ 换 为一般实数。 ， 则不等式③变为 ：
＋ ≥ ： ④
＋ ＋ ≥ ３ ／ ． ． Ｖ ａ ＋ ｂ ｂ ＋ ｃ 口 ＋ ０
丽
（ 。 ＋ ６ ） （ ６ ＋ ｃ ） （ 叶ｃ ） ≥３
此式当然成立 ， 且当 ０ 时， 等号成立。 现将④ 中
ａ －ｂ ｂ－ ｃ ｃ －ａ
１ １
定理４ 若她∈ Ｒ， 生＋ 生＋ ¨ ． ＋ 生≥ ｙ （ ｉ ∈ ， 则
＞
ｙ １ ｙ ６ ６ — ｃ
ｌ ＋ ２ ＋ …慨 ）
对此题的证明 ，我们通常转化为证 — ＋
１
—
，Ｉ ＋， … ＋
难点剖析
一
道 习题 的探 究
■ 刘 应 伦
下 面， 再对不等式⑤进行探究 ， 对其进行 三项或 更 多项 的变形 ， 得到如下结论 ：
定 理３ （ 叶６ ＋ ｃ） ２
＋ ｙ＋ ０
不等式是中学数学的一个重要内容 ， 也是学习的 难点 ， 在掌握相关内容和练习的同时 ， 还要感知教材 ， 理解教材 ， 一切从教材出发。 笔者从教材出发 ， 通过对 高中二年级数学教材第３ ０ 页第８ 题 的探究 ， 得 到此类 分式不等式的证明方法 ， 并对其进行了两方面的推广。 高 中二年级上册数学教材第３ ０ 页习题第８ 题： 已 知Ⅱ ＞ ６ ＞ ｃ ， 求证 ： —ｌ ＿＋ 一＋ — ＞ ０ 。
换成一般形式 ， 即为 ：
ａ２
将 上 面 两 式 相 乘 得（ ＋ 土 ＋ — ＿ １ ） ［ （ 。 ＋ ｂ ） ＋ ａ ＋ｂ ｂ ＋ｃ ａ ＋ｃ
（ ） ＋ （ ｊ
ａ ＋ｂ
＋
＋一
ｂ ２≥
Ｙ
±
ｘ ＋
⑤
＋ ≥ ＋ ｂ 。 ｂ ｃ ｎ ＋ｃ Ｚ 叶 ＋ｃ，
＋ 一 ｙ
另 一 方 面 ， 我 们 对 ＋ — 土＞ 再 进 一 步 探
ａ－ｏ ｏ． ． － ｃ ａ－ｃ
＝
②甘
＞ — ＿ ｝ 甘 （ ＋ ｙ 。 ＞ ＇ ， 甘 ＋ （ ｍ － ２ ） ＇ ， ＋ ）
究， 把 它看作 １ ２＋ １ ２＞
证： ６ ＋ ａ ， ４ ６＋ １ － ｃ ＋ ｃ ａ．
１
≥ ＝
２ （ ｏ ＋ ６ ＋ ｃ ） ２ （ ａ ＋ ｂ ＋ ｃ）
⑥
一
＋ ＞ ③。
Ｘ Ｙ ｘ ＋ｙ
现证⑥式 证 明： 因ｎ ， ｂ ， Ｃ ∈ ， 故有 ，现将③ 中的
ａ ＋ ｂ ｂ ＋ ｃ ａ ＋ ｃ
ｍ
现证 ①式 ， ＋ ＞ — 一甘 ± ＿＞ ｙ ＿ ｌ甘（ ＋ ｙ ） ＞
，
与均值不等式 ２ ＋ ≥ － － ｙ ｊ 比较知， ２ ＋ ∈ 一 ｙ弱于 ＞２ Ｉ ｘ ｙ ， 故①式恒成立。 Ｒ 手是 ， 我们得到下面定理。
２ ＋ ＞ ｙ
ｘ＋ ｙ 贝 ｘ ＋ｙ
Ｅ
把上式看作关于ｍ的一元二 次不 等式 ，且 ＋ 什 ｚ ＞ ０ ， 则依据题意有△≤０ ， 即 △ ： ４ （ 叶ｂ ＋ ｃ ） ２ － ４ （ ＋ ｙ ） （ ＋ ＋ 一 Ｃ ２ ） ≥０
Ｙ
不等式 ＋ ＞ — ②恒成立 。
Ｙ ｘ ＋ ｙ
（
。
一 ｍ
） ２ － ｍ ＋ Ａ一 ｃ２ ｍ ６ ≥ ０
Ｙ
（ — — ＿一一 ｃ ｍ～ ／ ） ： ｍ ＋ 一 ２ ， ｎ ｃ ≥０
ｚ
③
为任 意两个正数 ， ｙ ， 是否有 ： ＋ ＞ — 一 ①成立？
Ｙ ｘ ＋ ｙ
① ＋ ② ＋ ③ ， 得
ｘ
于是 ， 我们得到如下结论 ： 把不等式推广到ｎ 个，
‘ ｑ ｏ ｉ ＋ ４
欲证结论⑤成立，因 ⑤甘 堕 ≥
甘 已 知 ： 一 ≥ ０ ， Ｃ∈Ｒ （ √＝ １ ， ２ ， …ｎ ） ， 则 圭 —ｌ （ Ｃ ｚ ）
≤ ’ ≤ 。
（ ａ ２ ｙ ＋ ｂ ２ ｘ ） （ ＋ ＇ ， ） ≥（ ａ ＋ ｂ ） ｙ 亡 ｎ ＋ ｃ ｃ ２ ＋ ｂ ２ ｘ ＋ ６ ＇ ， 一 （ ＋
１
，
１
ａ － ｃ
１
—
因ａ ＞ ｂ ＞ ｃ ，故。 一 ｃ ＞ ０ 一 ｂ ＞ Ｏ ，所 以 — — 一＞ — ， 而
ａ — ｂ ａ － ｃ
１ １ １
，
以上两个定理的证明方法类似 ，这里只证定理 ２ ， 用构造法证 明。证明 ： 因对任意实数ｍ， 有
（ — 一 ｍ、 ／ ） ２ － ｍ ＋ 一 ２ ｍ。 ≥０
ｙ
Ｚ
（
） 一 ２ ｍ（ ＋ ２ ） （ ＋ ＋ ） ≤０
Ｙ
ｊ ＋ ＋ 一 Ａ ｃ≥！ ± ！
ｘ Ｙ ｚ ｘ＋ ｙ＋ ｚ
０
定理１ 若 ， Ｙ ∈Ｒ ， 则 ＋ ＞
６
Ｃ
பைடு நூலகம்
。
Ｙ ｘ ＋ｙ
不等式① 中， 用Ⅲ ， 换 —Ｉ ＿， 现考查ｍ为何值 时， Ｒ
ｘ
ｌ ＿ ＿＞ ０
ｂ —ｃ
故有 —ｌ ＿＋ —Ｊ ＿＞ 一， 从而结论成立 。
。 ＿６ ｂ —ｃ ｏ — ｃ
①
②
下面我们对此题进一步探究 。 从转证形式上看 ， ６ ＞ ０ ， ｂ － ｃ ＞ Ｏ ， Ⅱ 一 ｃ ＞ ０ ， （ ０ － ６ ） ＋ （ ｂ － ｃ＝ ａ － ｃ ， 即前两个分 数的分母之和等于第三个 分数 的分母 ， 现令。 一 ｂ ， ６ － 一 ｃ
４
，
这样我 ， 求
一 当ｍ一 与 ２ ＋ ≥ ｙ 进行对照 ， 只有 ２ ≤２ ， ｌ ｌ ｍ≤４ 时， ≥ 原不等式才 ‘ 匣成立 ，于是对ｍ ＜ ４ 时的情况不再一一 讨论 ， 现 只对ｍ ＝ ４ 时 的情况 进行探究 ， 即不 等式为 ：
们 再来 推广 ， 变换上式 中分母 ， 如： 已知ｎ ， ｂ ， ｃ
把不等式③看为 ＋ ＞ —
数字 ｌ 换 为一般实数。 ， 则不等式③变为 ：
＋ ≥ ： ④
＋ ＋ ≥ ３ ／ ． ． Ｖ ａ ＋ ｂ ｂ ＋ ｃ 口 ＋ ０
丽
（ 。 ＋ ６ ） （ ６ ＋ ｃ ） （ 叶ｃ ） ≥３
此式当然成立 ， 且当 ０ 时， 等号成立。 现将④ 中
ａ －ｂ ｂ－ ｃ ｃ －ａ
１ １
定理４ 若她∈ Ｒ， 生＋ 生＋ ¨ ． ＋ 生≥ ｙ （ ｉ ∈ ， 则
＞
ｙ １ ｙ ６ ６ — ｃ
ｌ ＋ ２ ＋ …慨 ）
对此题的证明 ，我们通常转化为证 — ＋
１
—
，Ｉ ＋， … ＋
难点剖析
一
道 习题 的探 究
■ 刘 应 伦
下 面， 再对不等式⑤进行探究 ， 对其进行 三项或 更 多项 的变形 ， 得到如下结论 ：
定 理３ （ 叶６ ＋ ｃ） ２
＋ ｙ＋ ０
不等式是中学数学的一个重要内容 ， 也是学习的 难点 ， 在掌握相关内容和练习的同时 ， 还要感知教材 ， 理解教材 ， 一切从教材出发。 笔者从教材出发 ， 通过对 高中二年级数学教材第３ ０ 页第８ 题 的探究 ， 得 到此类 分式不等式的证明方法 ， 并对其进行了两方面的推广。 高 中二年级上册数学教材第３ ０ 页习题第８ 题： 已 知Ⅱ ＞ ６ ＞ ｃ ， 求证 ： —ｌ ＿＋ 一＋ — ＞ ０ 。
换成一般形式 ， 即为 ：
ａ２
将 上 面 两 式 相 乘 得（ ＋ 土 ＋ — ＿ １ ） ［ （ 。 ＋ ｂ ） ＋ ａ ＋ｂ ｂ ＋ｃ ａ ＋ｃ
（ ） ＋ （ ｊ
ａ ＋ｂ
＋
＋一
ｂ ２≥
Ｙ
±
ｘ ＋
⑤
＋ ≥ ＋ ｂ 。 ｂ ｃ ｎ ＋ｃ Ｚ 叶 ＋ｃ，
＋ 一 ｙ
另 一 方 面 ， 我 们 对 ＋ — 土＞ 再 进 一 步 探
ａ－ｏ ｏ． ． － ｃ ａ－ｃ
＝
②甘
＞ — ＿ ｝ 甘 （ ＋ ｙ 。 ＞ ＇ ， 甘 ＋ （ ｍ － ２ ） ＇ ， ＋ ）
究， 把 它看作 １ ２＋ １ ２＞
证： ６ ＋ ａ ， ４ ６＋ １ － ｃ ＋ ｃ ａ．
１
≥ ＝
２ （ ｏ ＋ ６ ＋ ｃ ） ２ （ ａ ＋ ｂ ＋ ｃ）
⑥
一
＋ ＞ ③。
Ｘ Ｙ ｘ ＋ｙ
现证⑥式 证 明： 因ｎ ， ｂ ， Ｃ ∈ ， 故有 ，现将③ 中的
ａ ＋ ｂ ｂ ＋ ｃ ａ ＋ ｃ
ｍ
现证 ①式 ， ＋ ＞ — 一甘 ± ＿＞ ｙ ＿ ｌ甘（ ＋ ｙ ） ＞
，
与均值不等式 ２ ＋ ≥ － － ｙ ｊ 比较知， ２ ＋ ∈ 一 ｙ弱于 ＞２ Ｉ ｘ ｙ ， 故①式恒成立。 Ｒ 手是 ， 我们得到下面定理。
２ ＋ ＞ ｙ
ｘ＋ ｙ 贝 ｘ ＋ｙ
Ｅ
把上式看作关于ｍ的一元二 次不 等式 ，且 ＋ 什 ｚ ＞ ０ ， 则依据题意有△≤０ ， 即 △ ： ４ （ 叶ｂ ＋ ｃ ） ２ － ４ （ ＋ ｙ ） （ ＋ ＋ 一 Ｃ ２ ） ≥０
Ｙ
不等式 ＋ ＞ — ②恒成立 。
Ｙ ｘ ＋ ｙ
（
。
一 ｍ
） ２ － ｍ ＋ Ａ一 ｃ２ ｍ ６ ≥ ０
Ｙ
（ — — ＿一一 ｃ ｍ～ ／ ） ： ｍ ＋ 一 ２ ， ｎ ｃ ≥０
ｚ
③
为任 意两个正数 ， ｙ ， 是否有 ： ＋ ＞ — 一 ①成立？
Ｙ ｘ ＋ ｙ
① ＋ ② ＋ ③ ， 得
ｘ
于是 ， 我们得到如下结论 ： 把不等式推广到ｎ 个，
‘ ｑ ｏ ｉ ＋ ４
欲证结论⑤成立，因 ⑤甘 堕 ≥
甘 已 知 ： 一 ≥ ０ ， Ｃ∈Ｒ （ √＝ １ ， ２ ， …ｎ ） ， 则 圭 —ｌ （ Ｃ ｚ ）
≤ ’ ≤ 。
（ ａ ２ ｙ ＋ ｂ ２ ｘ ） （ ＋ ＇ ， ） ≥（ ａ ＋ ｂ ） ｙ 亡 ｎ ＋ ｃ ｃ ２ ＋ ｂ ２ ｘ ＋ ６ ＇ ， 一 （ ＋
１
，
１
ａ － ｃ
１
—
因ａ ＞ ｂ ＞ ｃ ，故。 一 ｃ ＞ ０ 一 ｂ ＞ Ｏ ，所 以 — — 一＞ — ， 而
ａ — ｂ ａ － ｃ
１ １ １
，
以上两个定理的证明方法类似 ，这里只证定理 ２ ， 用构造法证 明。证明 ： 因对任意实数ｍ， 有
（ — 一 ｍ、 ／ ） ２ － ｍ ＋ 一 ２ ｍ。 ≥０
