专题51 曲线与方程——求轨迹方程-2019年高三数学一轮复习热点解读与精选精练专题Word版含解析
- 格式：doc
- 大小：1.83 MB
- 文档页数：19
下载文档原格式
合集下载
高考数学第一轮复习轨迹方程的求解方法讲解
高考数学第一轮复习轨迹方程的求解方法讲解符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹。
查字典数学网收集和整理了轨迹方程的求解方法讲解，以便高三学生更好的梳理知识，轻松备战。
轨迹，包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性);凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件，也确实是符合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性).【轨迹方程】确实是与几何轨迹对应的代数描述。
一、求动点的轨迹方程的差不多步骤⒈建立适当的坐标系，设出动点M的坐标;⒉写出点M的集合;⒊列出方程=0;⒋化简方程为最简形式;⒌检验。
二、求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。
⒈直译法：直截了当将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。
⒉定义法：假如能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。
⒊相关点法：用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标(x0，y0)所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。
⒋参数法：当动点坐标x、y之间的直截了当关系难以找到时，往往先查找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。
⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。
*直译法：求动点轨迹方程的一样步骤①建系——建立适当的坐标系;外语学习网②设点——设轨迹上的任一点P(x，y);③列式——列出动点p所满足的关系式;④代换——依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X，Y的方程式，并化简;要练说，得练看。
高考数学一轮复习知识点：轨迹方程的求解
高考数学一轮复习知识点：轨迹方程的求解符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹.轨迹，包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性);凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件，也就是符合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性).【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描述。
一、求动点的轨迹方程的基本步骤⒈建立适当的坐标系，设出动点M的坐标;⒉写出点M的集合;⒊列出方程=0;⒋化简方程为最简形式;⒌检验。
二、求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。
⒈直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。
⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。
⒊相关点法：用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标(x0，y0)所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。
⒋参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。
⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。
*直译法：求动点轨迹方程的一般步骤①建系建立适当的坐标系;②设点设轨迹上的任一点P(x，y);③列式列出动点p所满足的关系式;④代换依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X，Y的方程式，并化简;⑤证明证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。
总结：以上就是高考数学一轮复习知识点：轨迹方程的求解的全部内容，请大家认真阅读，巩固学过的知识，小编祝愿同学们在努力的复习后取得优秀的成绩!。
高考数学一轮复习轨迹方程的求解方法
2019 高考数学一轮复习轨迹方程的求解方法切合必定条件的动点所形成的图形，或许说，切合必定条件的点的全体所构成的会合，叫做知足该条件的点的轨迹。
查词典数学网收集和整理了轨迹方程的求解方法，帮助考生轻松备战。
轨迹，包括两个方面的问题：凡在轨迹上的点都切合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性 (也叫做必需性 );凡不在轨迹上的点都不切合给定的条件，也就是切合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的齐备性(也叫做充足性 ).【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描绘。
一、求动点的轨迹方程的基本步骤M 的坐标;⒈成立适合的坐标系，设出动点⒉写出点 M 的会合 ;⒊列出方程 =0;⒋化简方程为最简形式;⒌查验。
二、求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、有关点法、参数法和交轨法等。
⒈直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这类求轨迹方程的方法往常叫做直译法。
⒉定义法：假如可以确立动点的轨迹知足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这类求轨迹方程的方法叫做定义法。
⒊有关点法：用点Q 的坐 x，y 表示有关点 P 的坐 x0、y0，然后辈入点 P 的坐 (x0，y0)所足的曲方程，整理化便获得点Q迹方程，种求迹方程的方法叫做有关点法。
⒋参数法：当点坐 x、y 之的直接关系以找到，常常先找 x、y 与某一数 t 的关系，得再消去参数 t，获得方程，即点的迹方程，种求迹方程的方法叫做参数法。
⒌交法：将两曲方程中的参数消去，获得不含参数的方程，即两曲交点的迹方程，种求迹方程的方法叫做交法。
*直法：求点迹方程的一般步①建系——成立适合的坐系 ;外学网② 点——迹上的任一点 P(x，y);③列式——列出点 p 所足的关系式 ;④代——依条件的特色，用距离公式、斜率公式等将其化对于 X，Y 的方程式，并化 ;⑤ 明——明所求方程即切合条件的点迹方程。
我国古代的人 ,从上学之日起 ,就日不 ,一般在几年内就能几千个字 ,熟几百篇文章 ,写出的文也是咬文嚼字,琅琅上口 ,成腹的文人。
高考数学一轮备考：轨迹方程的求解知识点-
高考数学一轮备考：轨迹方程的求解知识点
高考数学一轮备考：轨迹方程的求解知识点
一、求动点的轨迹方程的基本步骤
⒈建立适当的坐标系，设出动点M的坐标;
⒉写出点M的集合;
⒊列出方程=0;
⒋化简方程为最简形式;
⒌检验。
二、求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。
⒈直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。
⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。
⒊相关点法：用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标(x0，y0)所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。
⒋参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。
⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。
直译法：求动点轨迹方程的一般步骤
①建系建立适当的坐标系;
②设点设轨迹上的任一点P(x，y);
③列式列出动点p所满足的关系式;
④代换依条件的特点,高中英语，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X，Y的方程式，并化简;
⑤证明证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。
专题51 曲线与方程——求轨迹方程-备战2019年高考数学之高三复习大一轮热点聚焦与扩展(原卷版)
专题51 曲线与方程----求轨迹方程【热点聚焦与扩展】纵观近几年的高考试题，高考对曲线与方程的考查，主要有以下两个方面：一是确定的轨迹的形式或特点；二是求动点的轨迹方程，同时考查到求轨迹方程的基本步骤和常用方法.一般地，命题作为解答题一问，小题则常常利用待定系数法求方程或利用方程判断曲线类别.本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明求点的轨迹方程问题的常见解法. 1、求点轨迹方程的步骤： （1）建立直角坐标系（2）设点：将所求点坐标设为(),x y ，同时将其他相关点坐标化（未知的暂用参数表示） （3）列式：从已知条件中发掘,x y 的关系，列出方程 （4）化简：将方程进行变形化简，并求出,x y 的范围 2、求点轨迹方程的方法（1）直接法：从条件中直接寻找到,x y 的关系，列出方程后化简即可（2）代入法：所求点(),P x y 与某已知曲线()00,0F x y =上一点()00,Q x y 存在某种关系，则可根据条件用,x y 表示出00,x y ，然后代入到Q 所在曲线方程中，即可得到关于,x y 的方程（3）定义法：从条件中能够判断出点的轨迹为学过的图形，则可先判定轨迹形状，再通过确定相关曲线的要素，求出曲线方程.常见的曲线特征及要素有： ① 圆：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹直角→圆：若AB AC ⊥，则A 点在以BC 为直径的圆上 确定方程的要素：圆心坐标(),a b ，半径r② 椭圆：平面上到两个定点的距离之和为常数（常数大于定点距离）的点的轨迹 确定方程的要素：距离和2a ，定点距离2c③ 双曲线：平面上到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于定点距离）的点的轨迹 注：若只是到两定点的距离差为常数（小于定点距离），则为双曲线的一支 确定方程的要素：距离差的绝对值2a ，定点距离2c④ 抛物线：平面上到一定点的距离与到一定直线的距离（定点在定直线外）相等的点的轨迹确定方程的要素：焦准距：p .若曲线位置位于标准位置（即标准方程的曲线），则通过准线方程或焦点坐标也可确定方程（4）参数法：从条件中无法直接找到,x y 的联系，但可通过一辅助变量k ，分别找到,x y 与k 的联系，从而得到,x y 和k 的方程：()()x f k y g k =⎧⎪⎨=⎪⎩，即曲线的参数方程，消去参数k 后即可得到轨迹方程. 【经典例题】例1.【2018届北京石景山区一模】如图，已知线段AB 上有一动点D （D 异于A B 、）,线段CD AB ⊥,且满足2CD AD BD λ=⋅（λ是大于0且不等于1的常数），则点C 的运动轨迹为（ ） A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分 C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分例2.设点A 到图形C 上每一个点的距离的最小值称为点A 到图形C 的距离．已知点A （1，0），圆C ：x 2+2x+y 2=0，那么平面内到圆C 的距离与到点A 的距离之差为1的点的轨迹是（ ） A. 双曲线的一支 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 射线 例3.动点在曲线上移动，点和定点连线的中点为，则点的轨迹方程为（ ）．A. B.C.D.例4.已知直线y kx m =+与抛物线22y x =交于,A B 两点，且OA OB OA OB +=-，其中O 为坐标原点，若OM AB ⊥于M ，则点M 的轨迹方程为（ ）A. 222x y += B. ()2211x y -+= C. ()2211x y +-= D. ()2214x y -+=例 5.点是圆上的动点，定点，线段的垂直平分线与直线的交点为，则点的轨迹方程是___．例6.【2018届福建省漳州市高三上学期期末】已知直线l 过抛物线C ： 24y x =的焦点， l 与C 交于A ，B 两点，过点A ， B 分别作C 的切线，且交于点P ，则点P 的轨迹方程为________.例7.【2017课标II ，理】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.(1) 求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F. 例8.已知抛物线：的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点.（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；（II ）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程. 例9.【2018届河北衡水金卷】已知焦点为的的抛物线：（）与圆心在坐标原点，半径为的交于，两点，且，，其中，，均为正实数.（1）求抛物线及的方程； （2）设点为劣弧上任意一点，过作的切线交抛物线于，两点，过，的直线，均于抛物线相切，且两直线交于点，求点的轨迹方程.例10：如图所示，点N 在圆224x y +=上运动，DN x ⊥轴，点M 在DN 的延长线上，且()0DM DN λλ=>（1）求点M 的轨迹方恒，并求当λ为何值时，M 的轨迹表示焦点在x 轴上的椭圆 （2）当12λ=时，在（1）中所得曲线记为C ，已知直线:12xl y +=，P 是l 上的动点，射线OP （O 为坐标原点）交曲线C 于点R ，又点Q 在OP 上且满足2OQ OP OR ⋅=，求点Q 的轨迹方程【精选精练】1．到两坐标轴的距离相等的动点的轨迹方程是（ ） A.B.C.D.2．【2018届江西省新余市二模】斜率为的直线过抛物线焦点，交抛物线于，两点，点为中点，作，垂足为，则下列结论中不正确的是（ ） A.为定值 B.为定值C. 点的轨迹为圆的一部分D. 点的轨迹是圆的一部分3．【2018届江西省监测】已知向量OA ， OB 满足1OA OB ==， 0OA OB ⋅=， OC OA OB λμ=+(),R λμ∈，若M 为AB 的中点，并且1MC=，则点(),λμ的轨迹方程是（ ）A. 2211122λμ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B. ()221112λμ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭C. ()()22111λμ-+-= D. 2211122λμ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4．如图，在圆228x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ， D 为垂足. 当点P 在圆上运动时，满足PD tMD = ()2t ≥的动点M 的轨迹是椭圆，求这个椭圆离心率的取值范围（ ）A. 0,2⎛ ⎝⎦B. 10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D. 2⎫⎪⎪⎣⎭5．点P(4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是 ( ) A. (x ＋2)2＋(y －1)2＝1 B. (x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C. (x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D. (x －2)2＋(y ＋1)2＝1 6．【2018届广西二模】设为椭圆上任意一点，，，延长至点，使得，则点的轨迹方程为（ ）A.B.C.D.7．△ABC 的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC 的周长为22,则顶点C 的轨迹方程是 ( ) A. B.C.D.8．【2018届浙江省镇海中学高三上学期期末】椭圆M:长轴上的两个顶点为、，点P为椭圆M 上除、外的一个动点，若且，则动点Q 在下列哪种曲线上运动( )A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线9.已知椭圆()222210,x y a b M a b+=>>为椭圆上一动点， 1F 为椭圆的左焦点则线段1MF 的中点P 的轨迹是（ ）A. 椭圆B. 圆C. 双曲线的一支D. 线段10.过圆 ： 上的点 作 轴的垂线，垂足为 ，点 满足.当 在 上运动时，记点 的轨迹为 . （1）求 的方程； 11.已知坐标平面上两个定点，，动点满足：．（1）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；(2)记(1)中的轨迹为，过点的直线被所截得的线段的长为，求直线的方程．12.已知圆()22:25C x y ++=，直线:120l mx y m -++=， R m ∈.（1）求证：对R m ∈，直线l 与圆C 总有两个不同的交点A B 、； （2）求弦AB 的中点M 的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线.。
精选-高三数学复习知识点：轨迹方程的求解-word文档
高三数学复习知识点：轨迹方程的求解符合一定条件的动点所形成的图形，或者说符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹。
轨迹，包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性);凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件，也就是符合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性)。
一、求动点的轨迹方程的基本步骤。
1.建立适当的坐标系，设出动点M的坐标;2.写出点M的集合;3.列出方程=0;4.化简方程为最简形式;5.检验。
二、求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。
1.直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。
2.定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。
3.相关点法：用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标(x0，y0)所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。
4.参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。
5.交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。
求动点轨迹方程的一般步骤：①建系建立适当的坐标系;②设点设轨迹上的任一点P(x，y);③列式列出动点p所满足的关系式;④代换依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X，Y的方程式，并化简;⑤证明证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。
高三数学复习知识点：轨迹方程的求解由查字典数学网为您整理提供，望各位考生能够努力奋斗，成绩更上一层楼。
高考数学第一轮备考轨迹方程的求解方法
2019高考数学第一轮备考轨迹方程的求解方法为了方便考生们更好地复习总结数学知识，小编在这里整理了轨迹方程的求解方法，供考生们学习，希望能对考生们有帮助!轨迹，包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性)；凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件，也就是符合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性).【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描述。
一、求动点的轨迹方程的基本步骤⒈建立适当的坐标系，设出动点M的坐标；⒉写出点M的集合；⒊列出方程=0；⒋化简方程为最简形式；⒌检验。
二、求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。
⒈直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。
⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。
⒊相关点法：用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标(x0，y0)所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。
⒋参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。
⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。
*直译法：求动点轨迹方程的一般步骤①建系建立适当的坐标系；②设点设轨迹上的任一点P(x，y)；③列式列出动点p所满足的关系式；④代换依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X，Y的方程式，并化简；⑤证明证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。
教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模仿。
高考数学第一轮备考轨迹方程的求解方法
2019高考数学第一轮备考轨迹方程的求解方法为了方便考生们更好地复习总结数学知识，小编在这里整理了轨迹方程的求解方法，供考生们学习，希望能对考生们有帮助!轨迹，包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性);凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件，也就是符合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性).【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描述。
一、求动点的轨迹方程的基本步骤⒈建立适当的坐标系，设出动点M的坐标;⒉写出点M的集合;⒊列出方程=0;⒋化简方程为最简形式;⒌检验。
二、求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。
⒈直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。
⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。
⒊相关点法：用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标(x0，y0)所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。
⒋参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。
⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。
*直译法：求动点轨迹方程的一般步骤①建系建立适当的坐标系;②设点设轨迹上的任一点P(x，y);③列式列出动点p所满足的关系式;④代换依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X，Y的方程式，并化简;⑤证明证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。
教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模仿。
高考数学第一轮复习轨迹方程的求解方法讲解
高考数学第一轮复习轨迹方程的求解方法解说切合必定条件的动点所形成的图形，或许说，切合必定条件的点的全体所构成的会合，叫做知足该条件的点的轨迹。
查词典数学网采集和整理了轨迹方程的求解方法解说，以便高三学生更好的梳理知识，轻松备战。
轨迹，包括两个方面的问题：凡在轨迹上的点都切合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性 (也叫做必需性 );凡不在轨迹上的点都不切合给定的条件，也就是切合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的齐备性 (也叫做充足性 ). 【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描绘。
一、求动点的轨迹方程的基本步骤⒈成立适合的坐标系，设出动点 M 的坐标 ;⒉写出点M 的会合 ;⒊列出方程 =0;⒋化简方程为最简形式;⒌查验。
二、求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、有关点法、参数法和交轨法等。
⒈直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的第1页/共3页轨迹方程，这类求轨迹方程的方法往常叫做直译法。
⒉定义法：假如可以确立动点的轨迹知足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这类求轨迹方程的方法叫做定义法。
⒊有关点法：用动点 Q 的坐标 x，y 表示有关点 P 的坐标 x0 、y0，而后辈入点 P 的坐标 (x0， y0)所知足的曲线方程，整理化简易获得动点 Q 轨迹方程，这类求轨迹方程的方法叫做有关点法。
⒋参数法：当动点坐标x、 y 之间的直接关系难以找到时，常常先找寻 x、 y 与某一变数 t 的关系，得再消去参变数 t，获得方程，即为动点的轨迹方程，这类求轨迹方程的方法叫做参数法。
⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，获得不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这类求轨迹方程的方法叫做交轨法。
*直译法：求动点轨迹方程的一般步骤①建系——成立适合的坐标系 ;外语学习网②设点——设轨迹上的任一点 P(x ， y);③列式——列出动点 p 所知足的关系式;④代换——依条件的特色，采用距离公式、斜率公式等将其转变为对于 X ，Y 的方程式，并化简 ;要练说，得练看。
名师讲解高考数学一轮复习轨迹方程的求解
名师讲解高考数学一轮复习轨迹方程的求解轨迹方程就是与几何轨迹对应的代数描述，下面是轨迹方程的求解，请考生学习掌握。
符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹. 轨迹，包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性);凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件，也就是符合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性).【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描述。
一、求动点的轨迹方程的基本步骤⒈建立适当的坐标系，设出动点M的坐标;⒉写出点M的集合;⒊列出方程=0;⒋化简方程为最简形式;⒌检验。
二、求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。
⒈直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。
⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。
⒊相关点法：用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标(x0，y0)所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。
⒋参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。
⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。
*直译法：求动点轨迹方程的一般步骤①建系建立适当的坐标系;②设点设轨迹上的任一点P(x，y);③列式列出动点p所满足的关系式;④代换依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X，Y的方程式，并化简;⑤证明证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。
2019高三数学重点知识点：轨迹方程的求解精品教育.doc
高三数学重点知识点：轨迹方程的求解轨迹，包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性);凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件，也就是符合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性).【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描述。
一、求动点的轨迹方程的基本步骤⒈建立适当的坐标系，设出动点M的坐标;⒉写出点M的集合;⒊列出方程=0;⒋化简方程为最简形式;⒌检验。
二、求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。
⒈直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。
⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。
⒊相关点法：用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标(x0，y0)所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。
⒋参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。
⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。
*直译法：求动点轨迹方程的一般步骤①建系建立适当的坐标系;②设点设轨迹上的任一点P(x，y);③列式列出动点p所满足的关系式;④代换依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X，Y的方程式，并化简;⑤证明证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。
查字典数学网的编辑为大家带来的高三数学重点知识点：轨迹方程的求解，希望能为大家提供帮助。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
专题51 曲线与方程----求轨迹方程【热点聚焦与扩展】纵观近几年的高考试题，高考对曲线与方程的考查，主要有以下两个方面：一是确定的轨迹的形式或特点；二是求动点的轨迹方程，同时考查到求轨迹方程的基本步骤和常用方法.一般地，命题作为解答题一问，小题则常常利用待定系数法求方程或利用方程判断曲线类别.本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明求点的轨迹方程问题的常见解法. 1、求点轨迹方程的步骤： （1）建立直角坐标系（2）设点：将所求点坐标设为(),x y ，同时将其他相关点坐标化（未知的暂用参数表示） （3）列式：从已知条件中发掘,x y 的关系，列出方程 （4）化简：将方程进行变形化简，并求出,x y 的范围 2、求点轨迹方程的方法（1）直接法：从条件中直接寻找到,x y 的关系，列出方程后化简即可（2）代入法：所求点(),P x y 与某已知曲线()00,0F x y =上一点()00,Q x y 存在某种关系，则可根据条件用,x y 表示出00,x y ，然后代入到Q 所在曲线方程中，即可得到关于,x y 的方程（3）定义法：从条件中能够判断出点的轨迹为学过的图形，则可先判定轨迹形状，再通过确定相关曲线的要素，求出曲线方程.常见的曲线特征及要素有： ① 圆：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹直角→圆：若AB AC ⊥，则A 点在以BC 为直径的圆上 确定方程的要素：圆心坐标(),a b ，半径r② 椭圆：平面上到两个定点的距离之和为常数（常数大于定点距离）的点的轨迹 确定方程的要素：距离和2a ，定点距离2c③ 双曲线：平面上到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于定点距离）的点的轨迹 注：若只是到两定点的距离差为常数（小于定点距离），则为双曲线的一支 确定方程的要素：距离差的绝对值2a ，定点距离2c④ 抛物线：平面上到一定点的距离与到一定直线的距离（定点在定直线外）相等的点的轨迹确定方程的要素：焦准距：p .若曲线位置位于标准位置（即标准方程的曲线），则通过准线方程或焦点坐标也可确定方程（4）参数法：从条件中无法直接找到,x y 的联系，但可通过一辅助变量k ，分别找到,x y 与k 的联系，从而得到,x y 和k 的方程：()()x f k y g k =⎧⎪⎨=⎪⎩，即曲线的参数方程，消去参数k 后即可得到轨迹方程. 【经典例题】例1.【2018届北京石景山区一模】如图，已知线段AB 上有一动点D （D 异于A B 、）,线段CD AB ⊥,且满足2CD AD BD λ=⋅（λ是大于0且不等于1的常数），则点C 的运动轨迹为（ ）A. 圆的一部分B. 椭圆的一部分C. 双曲线的一部分D. 抛物线的一部分 【答案】B例2.设点A 到图形C 上每一个点的距离的最小值称为点A 到图形C 的距离．已知点A （1，0），圆C ：x 2+2x+y 2=0，那么平面内到圆C 的距离与到点A 的距离之差为1的点的轨迹是（ ） A. 双曲线的一支 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 射线 【答案】D【解析】圆的标准方程为()2211x y ++=，如图所示，设圆心坐标为'A ，满足题意的点为点P ，由题意有：'11PA PA --=，则'2'PA PA AA -==，设()2,0B ，结合几何关系可知满足题意的轨迹为射线AB . 本题选择D 选项.例3.动点在曲线上移动，点和定点连线的中点为，则点的轨迹方程为（ ）．A. B.C. D.【答案】B例4.已知直线y kx m =+与抛物线22y x =交于,A B 两点，且OA OB OA OB +=-，其中O 为坐标原点，若OM AB ⊥于M ，则点M 的轨迹方程为（ ）A. 222x y += B. ()2211x y -+= C. ()2211x y +-= D. ()2214x y -+=【答案】B【解析】思路：先处理条件OA OB OA OB +=-可得由,OA OB 为邻边的平行四边形对角线相等，所以该四边形为矩形.即OA OB ⊥，设()()1122,,,A x y B x y ，即12120x x y y +=，联立直线与抛物线方程并利联立方程：22y kx m y x=+⎧⎨=⎩，消去x 可得：222202ky y m ky y m =+⇒-+= 122m y y k ∴= 222121224y y m x x k == 2220m m k k∴+=，由0km ≠可得2m k =- ():22l y kx m kx k k x ∴=+=-=-，即直线过定点()2,0COM AB ⊥即OM CM ⊥ M ∴的轨迹为以OC 为直径的圆则该圆的圆心为()1,0，半径1r =∴轨迹方程为()2211x y -+=答案：B 例5.点是圆上的动点，定点，线段的垂直平分线与直线的交点为，则点的轨迹方程是___．【答案】【解析】由垂直平分线的性质有，所以，又，根据双曲线的定义，点Q 的轨迹是C ，F 为焦点，以4为实轴长的双曲线，，，所以点Q 的轨迹方程是.例6.【2018届福建省漳州市高三上学期期末】已知直线l 过抛物线C ： 24y x =的焦点， l 与C 交于A ， B 两点，过点A ， B 分别作C 的切线，且交于点P ，则点P 的轨迹方程为________. 【答案】1x =-1y =-，故原抛物线C 相应的点P 的轨迹方程为x 1=-，故答案为x 1=-.例7.【2017课标II ，理】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.(1) 求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F. 【答案】(1) 222x y +=.(2)证明略. 【解析】（2）由题意知()1,0F -.设()()3,,,Q t P m n -,则()()3,,1,,33OQ t PF m n OQ PF m tn =-=---⋅=+-， ()(),,3,OP m n PQ m t n ==---.由1=OP PQ 得2231m m tn n --+-=，又由（1）知222m n +=，故330m tn +-=.所以0=OQ PF ，即⊥OQ PF .又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F.例8.已知抛物线：的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q两点.（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；（II ）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程. 【答案】（I ）详见解析；（II ）．【解析】由题设.设，则，且.记过两点的直线为，则的方程为.（I）由于在线段上，故.记的斜率为，的斜率为，则当与轴不垂直时，由可得.而，所以.当与轴垂直时，与重合.所以，所求轨迹方程为.例9.【2018届河北衡水金卷】已知焦点为的的抛物线：（）与圆心在坐标原点，半径为的交于，两点，且，，其中，，均为正实数.（1）求抛物线及的方程；（2）设点为劣弧上任意一点，过作的切线交抛物线于，两点，过，的直线，均于抛物线相切，且两直线交于点，求点的轨迹方程.【答案】(1)答案见解析；(2).【解析】试题分析:(1)由题意可得到将点A坐标代入方程可得到m=2,进而得到点A的坐标，由点点距得到半径；（2）设，，，,由直线和曲线相切得到，：，同理：，联立两直线得，根据点在圆上可消参得到轨迹. 解析：（1）由题意，，故。
所以抛物线的方程为.将代入抛物线方程，解得，因此，令，解得，故：，同理：.则由解得因直线，.则由 得，则因此根据点在圆上满足方程，消参得到.例10：如图所示，点N 在圆224x y +=上运动，DN x ⊥轴，点M 在DN 的延长线上，且()0DM DN λλ=>（1）求点M 的轨迹方恒，并求当λ为何值时，M 的轨迹表示焦点在x 轴上的椭圆 （2）当12λ=时，在（1）中所得曲线记为C ，已知直线:12xl y +=，P 是l 上的动点，射线OP （O 为坐标原点）交曲线C 于点R ，又点Q 在OP 上且满足2OQ OP OR ⋅=，求点Q 的轨迹方程设()()00,,,M x y N x y()()00,,0,DM y DN y ∴== DM DN λ= 0y y λ∴=DN x ⊥轴 0x x ∴= 00001x xx x y y y y λλ=⎧=⎧⎪∴⇒⎨⎨==⎩⎪⎩①由N 在224x y +=上可知：22004x y +=，代入①可得：设OP t OQ=，进而得到(),Q x y 与()11,P x y 的联系：11x tx y ty=⎧⎨=⎩，再寻找,Q R 的联系，结合条件2OQ OP OR⋅=可知22222222OP ORx y t OQ x y OQ====，从而用t 即可表示出(),Q x y 与()22,R x y 的联系（而不用再设字母）：222222x txy ty ⎧=⎪⎨=⎪⎩.所以可以用代入法分别将两组关系代入至直线与椭圆方程，再消去t 即可得到Q 的轨迹方程 解：由（1）可得曲线方程为：2214x y +=设()()()1122,,,,,P x y R x y Q x y 2OQ OP OR ⋅=设OP t OQ= ∴由线段比例可得：11OP x y t OQx y=== 11x txy ty =⎧∴⎨=⎩ 由2OQ OP OR ⋅=同理可得：22222222OP ORx y t OQ x y OQ==== 222222x tx y ty⎧=⎪∴⎨=⎪⎩ ,P R 分别在直线与椭圆上 2212121,124x x y y ∴+=+=，代入22122212,x tx x tx y ty y ty ⎧==⎧⎪⎨⎨==⎪⎩⎩可得： 2222122414txty tx tx ty ty tx ty ⎧+=⎪⎪⇒+=+⎨⎪+=⎪⎩，化简可得：Q 的轨迹方程为： 222440x x y y -+-=.【精选精练】1．到两坐标轴的距离相等的动点的轨迹方程是（ ） A.B.C.D.【答案】D2．【2018届江西省新余市二模】斜率为的直线过抛物线焦点，交抛物线于，两点，点为中点，作，垂足为，则下列结论中不正确的是（ ）A.为定值 B.为定值C. 点的轨迹为圆的一部分D. 点的轨迹是圆的一部分 【答案】C【解析】由题意知抛物线的焦点为，故直线的方程为，由消去y 整理得，设，则，∴．选项A 中，，为定值．故A 正确．选项B 中，，为定值，故B 正确．选项C 中，由消去k 得，故点的轨迹不是圆的一部分，所以C 不正确． 选项D 中，由于，直线过定点，所以点Q 在以为直径的圆上，故D 正确．综上选C ．3．【2018届江西省监测】已知向量OA ， OB 满足1OA OB ==， 0OA OB ⋅=， OC OA OB λμ=+(),R λμ∈，若M 为AB 的中点，并且1MC=，则点(),λμ的轨迹方程是（ ）A. 2211122λμ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B. ()221112λμ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭C. ()()22111λμ-+-= D. 2211122λμ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4．如图，在圆228x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ， D 为垂足. 当点P 在圆上运动时，满足PD tMD = ()2t ≥的动点M 的轨迹是椭圆，求这个椭圆离心率的取值范围（ ）A. ⎛ ⎝⎦B. 10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. ⎫⎪⎪⎣⎭【答案】D【解析】设(),M x y ，则(),P x ty ，代入圆的方程()228x ty +=，即222188x t y +=，∵2t ≥，∴动点M 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆，其中28a =， 228b t =，则2288c t =-，故而可得()22222881128c t e t at -===-≥，故23,14e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，即e ⎫∈⎪⎪⎣⎭，故选D. 5．点P(4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是 ( ) A. (x ＋2)2＋(y －1)2＝1 B. (x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C. (x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D. (x －2)2＋(y ＋1)2＝1 【答案】D6．【2018届广西二模】设为椭圆上任意一点，，，延长至点，使得，则点的轨迹方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】为椭圆上任意一点,且A,B为焦点，，又，，所以点的轨迹方程为.7．△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的周长为22,则顶点C的轨迹方程是 ( )A. B.C. D.【答案】D8．【2018届浙江省镇海中学高三上学期期末】椭圆M:长轴上的两个顶点为、，点P为椭圆M上除、外的一个动点，若且，则动点Q在下列哪种曲线上运动( )A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线【答案】B【解析】设P（m，n），Q（x，y）∵椭圆M的方程为，∴作出椭圆如图所示，可得长轴的端点为A（﹣a，0），B（a，0）∴=（x+a，y），=（m+a，n）∵=0，∴（x+a）（m+a）+ny=0，可得m+a=﹣①此方程对应的图形是焦点在y 轴上的椭圆，可得动点Q 的轨迹是一个椭圆，B 项是正确答案故选B.9.已知椭圆()222210,x y a b M a b+=>>为椭圆上一动点， 1F 为椭圆的左焦点则线段1MF 的中点P 的轨迹是（ ）A. 椭圆B. 圆C. 双曲线的一支D. 线段 【答案】A【解析】设10M acos bsin F cθθ-∴（，）（，），线段1MF 的中点22acos c bsin P θθ-（，）， 2{ 2acos cx bsin y θθ-=∴=， 22x c y cos sin a b θθ+∴==，，∴点P的轨迹方程为22222144cxya b⎛⎫+⎪⎝⎭+＝，∴线段1MF的中点P的轨迹是椭圆．故选A．10.过圆：上的点作轴的垂线，垂足为，点满足 .当在上运动时，记点的轨迹为 .（1）求的方程；【答案】（1）【解析】试题分析：（1）设点坐标，点坐标，由题意可得点坐标为满足则点的轨迹的方程为．11.已知坐标平面上两个定点，，动点满足：．（1）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；(2)记(1)中的轨迹为，过点的直线被所截得的线段的长为，求直线的方程．【答案】(1)见解析;(2).【解析】分析：（1）直接利用，列出方程即可求出点M 的轨迹方程，然后说明轨迹的形状；（2）设出直线方程，利用圆心到直线的距离，半径与半弦长满足的勾股定理，求出直线l 的方程． 详解：（1） 由得化简得：，轨迹为圆（2）当直线的斜率不存在时，直线 符合题意；当直线的斜率存在时，设的方程为：由圆心到直线的距离等于得此时直线的方程为：.12.已知圆()22:25C x y ++=，直线:120l mx y m -++=， R m ∈.（1）求证：对R m ∈，直线l 与圆C 总有两个不同的交点A B 、； （2）求弦AB 的中点M 的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线.【答案】(1)见解析(2) M 的轨迹方程是()2211224x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，它是一个以12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭为圆心，以12为半径的圆试题解析：证明：（1）圆()22:25C x y ++=的圆心为()2,0C -所以圆心C 到直线:120l mx y m -++==<所以直线l 与圆C 相交，即直线l 与圆C 总有两个不同的交点；（2）设中点为(),M x y ，所以M 的轨迹方程是()2211224x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，它是一个以12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭为圆心，以12为半径的圆.。