北师大版九年级数学上全章热门考点整合应用.docx

初中数学试卷 鼎尚图文**整理制作 全章热门考点整合应用

名师点金：本章内容是中考的必考内容，主要考查与特殊平行四边形中菱形、矩形、正方形有关的计算和证明等问题．近几年又出现了许多与特殊平行四边形有关的开放探索题、操作题以及与全等、相似、函数知识相结合的综合题．其主要考点可概括为：一个定理、三个图形、三个判定与性质、四个技巧、两种思想．

一个定理——直角三角形斜边上的中线定理 1．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．求证： (1)四边形ADEF是平行四边形； (2)∠DHF＝∠DEF.

(第1题)

三个图形 图形1 菱形

2．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F. (1)求证：四边形DBFE是平行四边形． (2)当△ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？并说明理由． (第2题)

图形2 矩形

3．如图，在▱ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA的延长线，DC的延长线分别交于点E，F. (1)求证：△AOE≌△COF. (2)连接EC，AF，则EF与AC满足什么数量关系时，四边形AECF是矩形？请说明理由．

(第3题)

图形3 正方形

4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°后得△DBE，再把△ABC沿射线AB平移至△FEG，DE，FG相交于点H. (1)判断线段DE，FG的位置关系，并说明理由； (2)连接CG，求证：四边形CBEG是正方形．

(第4题)

三个判定与性质 判定与性质1 菱形

5．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE＝AC，EF∥BC交AD于点F. 求证：四边形CDEF是菱形．

(第5题)

判定与性质2 矩形

6．【2015·湘西州】如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F.求证： (1)△ADE≌△CBF； (2)四边形DEBF为矩形．

(第6题) 判定与性质3 正方形

7．如图，E为正方形ABCD的边AB的延长线上一点，DE交AC于点F，交BC于点G，H为GE的中点． 求证：FB⊥BH.

(第7题)

四个技巧 技巧1 解与四边形有关的折叠问题的技巧(轴对称变换法】

8．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点E，F分别在AB，CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在矩形ABCD外部的点A1，D1处，求阴影部分图形的周长．

(第8题) 技巧2 解与四边形有关的旋转问题的技巧(特殊位置法】

9．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O也是正方形A′B′C′O的一个顶点，如果两个正方形的边长都等于1，那么正方形A′B′C′O绕顶点O转动，两个正方形重叠部分的面积大小有什么规律？请说明理由．

(第9题)

技巧3 解与四边形有关的动点问题的技巧(固定位置法】

10．如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，对角线AC，BD相交于点G，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F. (1)求对角线AC的长及菱形ABCD的面积． (2)如图①，当点O在对角线BD上运动时，OE＋OF的值是否发生变化？请说明理由． (3)如图②，当点O在对角线BD的延长线上时，OE＋OF的值是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究OE，OF之间的数量关系．

(第10题)

技巧4 解中点四边形的技巧

11．如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在△ABC的内部，∠BOC＝90°，OB＝OC，D，E，F，G分别是AB，OB，OC，AC的中点． (1)求证：四边形DEFG是矩形； (2)若DE＝2，EF＝3，求△ABC的面积．

(第11题) 两种思想 思想1 转化思想

12．如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，∠ABD＝∠CBD，AB＝CB，P是BD上一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E，F.求证：PA＝EF.

(第12题)

思想2 数形结合思想

13．[阅读] 在平面直角坐标系中，以任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)为端点的线段的中点坐标为

x1＋x22，y1＋y2

2.

[运用] (1)如图，矩形ONEF的对角线相交于点M，ON，OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为(4，3)，则点M的坐标为________． (2)在平面直角坐标系中，有A(－1，2)，B(3，1)，C(1，4)三点，另有一点D与点A，B，C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标．

(第13题) 答案 1．证明：(1)∵点D，E分别是AB，BC的中点， ∴DE∥AC.同理可得EF∥AB. ∴四边形ADEF是平行四边形． (2)由(1)知四边形ADEF是平行四边形， ∴∠DAF＝∠DEF. 在Rt△AHB中，∵D是AB的中点，

∴DH＝12AB＝AD. ∴∠DAH＝∠DHA. 同理可得HF＝12AC＝AF， ∴∠FAH＝∠FHA. ∴∠DAH＋∠FAH＝∠DHA＋∠FHA. ∴∠DAF＝∠DHF. ∴∠DHF＝∠DEF. 2．(1)证明：∵D，E分别是AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线． ∴DE∥BC. 又∵EF∥AB， ∴四边形DBFE是平行四边形． (2)解：答案不唯一，下列解法供参考． 当AB＝BC时，四边形DBFE是菱形． 理由：∵D是AB的中点，

∴BD＝12AB. ∵DE是△ABC的中位线， ∴DE＝12BC. 又∵AB＝BC，∴BD＝DE. 又∵四边形DBFE是平行四边形， ∴四边形DBFE是菱形． 3．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，AB∥CD. ∴∠AEO＝∠CFO. 又∵∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF(AAS)． (2)解：当AC＝EF时，四边形AECF是矩形． 理由如下： 由(1)知△AOE≌△COF，∴OE＝OF. 又∵AO＝CO， ∴四边形AECF是平行四边形． 又∵AC＝EF，∴四边形AECF是矩形． 4．(1)解：DE⊥FG.理由如下： 由题意，得∠A＝∠BDE＝∠GFE，∠ABC＝∠DBE＝90°， ∴∠BDE＋∠BED＝90°. ∴∠GFE＋∠BED＝90°. ∴∠FHE＝90°，即DE⊥FG. (2)证明：∵△ABC沿射线AB平移至△FEG， ∴CB∥GE，CB＝GE. ∴四边形CBEG是平行四边形． ∵∠GEF＝∠ABC＝90°， ∴四边形CBEG是矩形． ∵BC＝BE， ∴四边形CBEG是正方形．

(第5题) 5．证明：如图，连接CE，交AD于点O. ∵AC＝AE， ∴△ACE为等腰三角形． ∵AO平分 ∠CAE， ∴AO⊥CE，且OC＝OE. ∵EF∥CD， ∴∠2＝∠1. 又∵∠DOC＝∠FOE， ∴△DOC≌△FOE(ASA)． ∴OD＝OF. 即CE与DF互相垂直且平分． ∴四边形CDEF是菱形． 6．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AD＝CB.又∵DE⊥AB，BF⊥CD，∴∠DEA＝∠BFC＝90°. ∴△ADE≌△CBF. (2)∵△ADE≌△CBF，∴AE＝CF. ∵CD＝AB，∴DF＝BE. 又∵CD∥AB， ∴四边形DEBF为平行四边形． 又∵∠DEB＝90°， ∴四边形DEBF为矩形． 7．证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴CD＝CB，∠DCF＝∠BCF＝45°， DC∥AE，∠CBE＝90°， ∴∠CDF＝∠E. 又∵CF＝CF，∴△DCF≌△BCF. ∴∠CDF＝∠CBF.∴∠CBF＝∠E. ∵H为GE的中点，

∴HB＝HG＝12GE. ∴∠HGB＝∠HBG. ∵∠CDG＋∠CGD＝90°，∠CGD＝∠HGB＝∠HBG， ∴∠FBG＋∠HBG＝90°. 即∠FBH＝90°，∴FB⊥BH. 8．解：∵在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，∴CD＝AB＝10，AD＝BC＝5. 又∵将矩形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在矩形ABCD外部的点A1，D1处，∴根据轴对称的性质可得A1E＝AE，A1D1＝AD，D1F＝DF. 设线段D1F与线段AB交于点M，则阴影部分的周长为 (A1E＋EM＋MD1＋A1D1)＋(MB＋MF＋FC＋CB) ＝AE＋EM＋MD1＋AD＋MB＋MF＋FC＋CB ＝(AE＋EM＋MB)＋(MD1＋MF＋FC)＋AD＋CB ＝AB＋(FD1＋FC)＋10 ＝AB＋(FD＋FC)＋10 ＝10＋10＋10＝30.

9．解：两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终是14. 理由如下： ∵四边形ABCD是正方形，