江苏省南京市、盐城市、淮安市(淮安三模)高三数学第二次模拟考试试题(含解析)苏教版

＋１×（－２）＝０，则ＰＭＬＡＧ，又ＢＤｎＰＭ＝Ｍ，ＢＤ、ＰＭｅ平面ＰＢＤ，所以ＡＧＬ平面ＰＢＤ，
故选项Ａ正确；因为Ｆ０．１，０）．元Ｇ＝（１．０．１）．２＝（２．０．０．则ｃｏｓ＜元．石＞
ＦＧ·ＡＢＩ
Ｆｉ｜ＬＡ商
所以直线ＦＧ和直线 ＡＢ所成的角为严，故选项Ｂ 正确；对于选项Ｃ，设 Ａ
“’ 到平面ＰＢＤ距离为ｄ，则Ｉ－ｍ＝５ｓｃａｐＡＰ＝５ｓｍｏｄ，则ｄＳ－ＳＡＡｐｍｍＡＤＰ＿２９，从而Ｇ到
４．利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为０°￣９０°之间角的三角函数值，而这个范 围内的三角函数值又可以通过查三角函数表得到．下表为部分锐角的正弦值，则ｔａｎ６００° 的值为（小数点后保留２位有效数字）
ａ １０ ２０ ３０ ４０ ５０° ６０ ７０ 色
ｓｉｎａ ０．１７３６ ０．３４２００．５００ｏ０．６４２０７７６６００．８６６０｜０．９３９７０．９８４８
６．泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松首次提出．泊松分布的
概率分布列为ＰＸ＝ｋ）＝告￣气ｋ＝０，１，２…），其中ｅ为自然对数的底数，λ是泊松分布的 均值．已知某种商品每周销售的件数相互独立，且服从参数为λ（λ＞０）的泊松分布．若每周销 售１件该商品与每周销售２件该商品的概率相等，则两周共销售２件该商品的概率为
一象限，故答案选Ａ．
３．已知ａ，ｂ为单位向量．若ａ－２６＝＼５，则ａ＋２ｂ｜＝
Ａ．√ Ｂ．Ｎ后５ ｃ．、７ Ｄ．５
【答案】Ｂ 【考点】平面向量的数量积运算
【解析】由题意可知，ｌａ－２ｂＰ＝ａ－４ａ·ｂ＋４６２＝１－４ａ·ｂ＋４＝５，解得４ａ·ｂ＝０，所以ａ ＋２ｂ＝ａ２＋４ａ·ｂ＋４＝５，所以ａ＋２ｂ＝＼５，故答案选Ｂ．
？？二 ｅ４

二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写 在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分 14 分) 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，平面 PAB⊥平面 ABCD，PA⊥PB， BP＝BC，E 为 PC 的中点． （1）求证：AP∥平面 BDE； （2）求证：BE⊥平面 PAC． 15．证： （1）设 AC∩BD＝O，连结 OE．
（2）因为平面 PAB⊥平面 ABCD，BC⊥AB，平面 PAB∩平面 ABCD＝AB， 所以 BC⊥平面 PAB． 因为 AP平面 PAB，所以 BC⊥PA． 因为 PB⊥PA，BC∩PB＝B，BC，PB平面 PBC， 所以 PA⊥平面 PBC． „„„„„„„„„„12 分 „„„„„„„„„„8 分
B 第 2 页 共 18 页 (第 15 题图) C E A D P
因为 ABCD 为矩形，所以 O 是 AC 的中点． 因为 E 是 PC 中点，所以 OE∥AP． 因为 AP / 平面 BDE，OE平面 BDE， 所以 AP∥平面 BDE． „„„„„„„„„6 分 „„„„„„„„4 分
14．设函数 f(x)＝ax＋sinx＋cosx．若函数 f(x)的图象上存在不同的两点 A，B，使得曲线 y＝f(x)在点 A，B 处的切线互相垂直，则实数 a 的取值范围为 ▲ ．
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分. 1．(0，1] 8． 5 2．4 1 9．2 3．300 10．60° 5 4．9 7 11．1 或23 5．2 12．2 2－2 6．4 5 7 13．(3，3) 7．1 14．[－1，1]
y 2
▲
．
O π 6 －2

南京市、盐城市2022届高三年级第二次模拟考试数学注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．第I卷（选择题共60分）一､单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A＝{x|y＝ln(x－2)}，B＝{x|x2－4x＋3≤0}，则A∪B＝() A．[1，3]B．(2，3]C．[1，＋∞)D．(2，＋∞) 2．若(2＋i)z＝i，其中i为虚数单位，则复数z在复平面内对应的点位于() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知a，b为单位向量．若|a－2b|＝5，则|a＋2b|＝()A．3B．5C．7D．54．利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为0°~90°之间角的三角函数值，而这个范围内的三角函数值又可以通过查三角函数表得到．下表为部分锐角的正弦值，则tan1600°的值为(小数点后保留2位有效数字)()α10°20°30°40°50°60°70°80°sinα0.17360.34200.50000.64270.76600.86600.93970.9848 A．－0.42B．－0.36C．0.36D．0.425．已知圆锥的顶点和底面圆周均在球O的球面上．若该圆锥的底面半径为23，高为6，则球O的表面积为()A．32πB．48πC．64πD．80π6．泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松首次提出．泊松分布的概率分布列为P(X＝k)＝λkk!e－λ(k＝0，1，2，…)，其中e为自然对数的底数，λ是泊松分布的均值．已知某种商品每周销售的件数相互独立，且服从参数为λ（λ﹥0）的泊松分布．若每周销售1件该商品与每周销售2件该商品的概率相等，则两周共销售2件该商品的概率为()A．2e4B．4e4C．6e4D．8e47．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，过点F与x轴垂直的直线与直线AB交于点P．若线段OP的中点在椭圆C上，则椭圆C的离心率为()A．7－12B．7－13C．5－12D．5－138．已知实数a，b∈(1，＋∞)，且2(a＋b)＝e2a＋2ln b＋1，e为自然对数的底数，则() A．1＜b＜a B．a＜b＜2a C．2a＜b＜e a D．e a＜b＜e2a 二､多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9．我国居民收入与经济同步增长，人民生活水平显著提高．“三农”工作重心从脱贫攻坚转向全面推进乡村振兴，稳步实施乡村建设行动，为实现农村富强目标而努力．2017年~2021年某市城镇居民、农村居民年人均可支配收入比上年增长率如下图所示．根据下面图表，下列说法一定正确的是()A．该市农村居民年人均可支配收入高于城镇居民B．对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的极差，城镇比农村的大C．对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的中位数，农村比城镇的大D．2021年该市城镇居民、农村居民年人均可支配收入比2020年有所上升(第9题图)10．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过原点O的动直线l交抛物线于另一点P，交抛物线的准线于点Q，下列说法正确的是()A．若O为线段PQ中点，则PF＝2B．若PF＝4，则OP＝25C．存在直线l，使得PF⊥QF D．△PFQ面积的最小值为211．设函数f(x)＝2sin(ωx＋π3)，ω＞0，下列说法正确的是()A．当ω＝2时，f(x)的图象关于直线x＝π12对称B ．当ω＝12时，f (x )在[0，π2]上是增函数C ．若f (x )在[0，π]上的最小值为－2，则ω的取值范围为ω≥76D ．若f (x )在[－π，0]上恰有2个零点，则ω的取值范围为ω≥4312．在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥平面ABCD ，且PA ＝2．若点E ，F ，G 分别为棱AB ，AD ，PC 的中点，则()A ．AG ⊥平面PBDB ．直线FG 和直线AB 所成的角为π4C ．当点T 在平面PBD 内，且TA ＋TG =2时，点T 的轨迹为一个椭圆D ．过点E ，F ，G 的平面与四棱锥P －ABCD 表面交线的周长为22＋6第II 卷(非选择题共90分)三､填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．实数a ，b 满足lg a ＋lg b ＝lg(a ＋2b )，则ab 的最小值为______．14．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱．某商店有4个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3个不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜台上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，则不同的排列方法种数为______．（用数字作答）15．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (1－x )＋f (1＋x )＝2，当x ∈[0，1]时，f (x )＝2x －x 2．若f (x )≥x ＋b 对一切x ∈R 恒成立，则实数b 的最大值为______．16．某中学开展劳动实习，学生需测量某零件中圆弧的半径．如图，将三个半径为20cm的小球放在圆弧上，使它们与圆弧都相切，左、右两个小球与中间小球相切．利用“十”字尺测得小球的高度差h 为8cm ，则圆弧的半径为______cm ．h(第16题图)四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在平面四边形ABCD 中，已知∠ABC ＝2π3，∠ADC ＝π6，AC 平分∠BAD ．(1)若∠BAD＝π3，AC＝2，求四边形ABCD的面积；(2)若CD＝23AB，求tan∠BAC的值．18．(本小题满分12分)已知数列{a n}，当n∈[2k－1，2k)时，a n＝2k，k∈N*．记数列{a n}的前n项和为S n．(1)求a2，a20；(2)求使得S n＜2022成立的正整数n的最大值．19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 是边长为2的菱形，△PAB 是边长为2的等边三角形，PD ⊥AB ，PD ＝6．(1)求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；(2)求平面PAB 和平面PCD 所成锐二面角的大小．20．(本小题满分12分)最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且试验成功的概率为p (0＜p ＜1)．现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验10次．记X 为试验结束时所进行的试验次数，且每次试验的成本为a (a ＞0)元．(1)①写出X 的分布列；②证明：E (X )＜1p；(2)某公司意向投资该产品．若p ＝0.25，且试验成功则获利5a 元，则该公司如何决策投资，并说明理由．A CDBP(第19题图)21．(本小题满分12分)双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)经过点(3，1)，且渐近线方程为y＝±x．(1)求a，b的值；(2)点A，B，D是双曲线C上不同的三点，且B，D两点关于y轴对称，△ABD的外接圆经过原点O．求证：直线AB与圆x2＋y2＝1相切．22．(本小题满分12分)设函数f(x)＝a e x＋sin x－3x－2，e为自然对数的底数，a∈R．(1)若a≤0，求证：函数f(x)有唯一的零点；(2)若函数f(x)有唯一的零点，求a的取值范围．南京市、盐城市2022届高三年级第二次模拟考试数学参考答案一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．C 2．A3．答案：B解析：因为|a －2b |＝5，所以(a －2b )2＝a 2＋4b 2－4a.b ＝5，而a ，b 为单位向量，所以1＋4－4a.b ＝5，即a.b ＝0，所以(a ＋2b )2＝a 2＋4b 2＋4a.b ＝5，即|a ＋2b |＝5．故选B ．4．答案：B解析：由已知tan1600°＝tan160°＝－tan20°＝－sin20°cos70°＝－0.34200.9397≈－0.36．故选B 5．答案：C解析：如图所示，圆锥的底面半径AO ′＝23，PO ′＝6，由射影定理，得AO ′2＝PO ′.QO ′，代入，解得QO ′＝2，所以2R ＝8，R ＝4，所以S 表面积＝64π．故选C ．6．答案：D解析：由泊松分布的概率分布列，得P (X ＝1)＝P (X ＝2)，所以λe λ＝λ22eλ，解得λ＝2，所以P (X ＝k )＝2k k !e －2，记“两周共销售2件该商品”为事件A ，则P (A)＝2P (X ＝0).P (X ＝2)＋P (X ＝1).P (X ＝1)＝8e4．故选D ．7．答案：A解析：直线AB 的方程为：x a ＋yb ＝1，令x ＝－c ，则y ＝(a ＋c)b 2a ，所以P (－c ，(a ＋c)b 2a )，所以OP 的中点M (－c 2，(a ＋c)b 4a )，将M 点代入椭圆方程，得c 24a 2＋(a ＋c )24a 2＝1，解得e ＝7－12．故选A ．y xOBAPM F8．答案：D解析：因为2(a ＋b )＝e 2a ＋2ln b ＋1，所以e 2a －2a －1＝2(b －ln b －1)＝2(e ln b －ln b －1)，易知函数f (x )＝e x －x －1在(0，＋∞)上单调递增，且f (0)＝0，所以f (2a )＝2f (lnb )﹥f (lnb )，所以2a ﹥lnb ，即b ﹤e 2a ，又e 2a －2a －1﹥2(e a －a －1)，所以f (2a )＝2f (lnb )﹥f (a )，所以a ﹤lnb ，即b ﹥e a ，综上，e a ＜b ＜e 2a ．故选D ．二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．答案：BCD解析：对于A 选项，该统计图反映了农村居民人均增长率高于城镇居民人均增长率，未反映出可支配收入高，A 错误；对于B 选项，可得出城镇居民相关数据极差较大，B 正确；对于C 选项，可知农村居民相关数据中位数较大，C 正确；对于D 选项，可知增长率为正，D 正确，综上选择BCD ．10．答案：AD解析：11．答案：AC解析：12．答案：ABD 解析：三､填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．814．14415．－1416．120四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)解：（1）因为∠BAD ＝π3，AC 平分∠BAD ，所以∠BAC ＝∠CAD ＝π6．在△ABC 中，因为∠ABC ＝2π3，所以∠ACB ＝π6，又因为AC ＝2，由AC sin ∠ABC ＝AB sin ∠ACB，得AB ＝233，·······················································2分所以S △ABC ＝12AB ·AC sin ∠BAC ＝33．在△ACD 中，因为∠ADC ＝∠CAD ＝π6，所以CA ＝CD ＝2，所以S △ACD ＝12CA ·CD sin ∠ACD ＝3，所以S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝433．···············································································4分（2）因为AC 平分∠BAD ，所以∠BAC ＝∠CAD ，在△ACD 中，由∠ADC ＝π6，AC sin ∠ADC ＝CD sin ∠CAD，得AC ＝12·CD sin ∠CAD ．①在△ABC 中，由∠ABC ＝2π3，AC sin ∠ABC ＝AB sin ∠ACB，得AC ＝32·AB sin ∠ACB ．②···················6分由①②得CDsin ∠CAD ＝3AB sin ∠ACB．又因为CD ＝23AB ，所以2sin ∠ACB ＝sin ∠CAD ．设∠BAC ＝θ，则sin θ＝2sin(π3－θ)，···········································································8分所以sin θ＝2×(32cos θ－12sin θ)，即2sin θ＝3cos θ．因为θ∈(0，π3)，所以cos θ≠0，所以tan θ＝32，即tan ∠BAC ＝32．················································································10分18．(本题满分12分)解：（1）因为2∈[21，22)，所以a 2＝22＝4，·····································································2分因为20∈[24，25)，所以a 20＝25＝32．·······································································4分（2）a n ＝2k 的项数为2k －2k －1＝2k －1．·········································································6分又因为20＋21＋22＋…＋2k －1＝2k －1，所以数列{a n }的前2k －1项和为S2k－1＝21×20＋22×21＋23×22＋…＋2k ×2k－1＝21＋23＋25＋ (22)－1＝23(4k －1)．·····································································································8分EA A C CD DBBPP (第19题图)(第19题图)y xz PA DECB当k ＝5时，S 31＝23(45－1)＝682＜2022，S 51＝S 31＋26×20＝682＋1280＝1962＜2022，·····························································10分S 52＝S 51＋26＝1962＋64＝2026＞2022．又因为S n ＋1＞S n ，所以使得S n ＜2022成立的正整数n 的最大值为51．····················································12分19．(本题满分12分)解：（1）取AB 中点E ，连接PE ，DE ．因为△PAB 是边长为2的等边三角形，所以AB ⊥PE ，PE ＝3，AE ＝1．又因为PD ⊥AB ，PD ∩PE ＝P ，PD ，PE ⊂平面PDE ，所以AB ⊥平面PDE ．·····························································································因为DE ⊂面PDE ，所以AB ⊥DE ．在Rt △AED 中，AD ＝2，AE ＝1，所以DE ＝3．在△PDE 中，PD ＝6，DE ＝3，PE ＝3，所以PE 2＋DE 2＝PD 2，所以DE ⊥PE ．···········4分又因为AB ∩PE ＝E ，AB ，PE ⊂平面PAB ，所以DE ⊥平面PAB ．又因为DE ⊂平面ABCD ，所以平面PAB ⊥平面ABCD ．···················································································6分（2）由（1）知，以{EA →，EP →，ED →}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系E －xyz ，则E (0，0，0)，D (0，0，3)，C (－2，0，3)，P (0，3，0)．则DC →＝(－2，0，0)，PD →＝(0，－3，3)．···············································8分设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，·DC →＝0，·PD →＝0，2x ＝0，－3y ＋3z ＝0．取x ＝0，y ＝1，z ＝1．所以n ＝(0，1，1)是平面PCD 的一个法向量．……………10分因为DE ⊥平面PAB ，所以ED →＝(0，0，3)为平面PAB 的一个法向量．所以cos ＜n ，ED →＞＝n ·ED →│n ││ED →│＝22，所以平面PAB 和平面PCD 所成锐二面角的大小为π4．··················································12分20．(本题满分12分)解：（1）①当1≤X ≤9时，P (X ＝i )＝(1－p )i －1p ，i ＝1，2，…，9．当X ＝10时，P (X ＝10)＝(1－p )9．所以P (X ＝i )－p )i －1p ，i ＝1，2，…，9，－p )9，i ＝10．····························································4分②E (X )＝∑9i ＝1i (1－p )i －1p ＋10(1－p )9＝p ∑9i ＝1i (1－p )i －1＋10(1－p )9．令S ＝∑9i ＝1i (1－p )i －1，则E (X )＝pS ＋10(1－p )9．则S ＝1＋2(1－p )＋3(1－p )2＋…＋8(1－p )7＋9(1－p )8，(1－p )S ＝(1－p )＋2(1－p )2＋…＋7(1－p )7＋8(1－p )8＋9(1－p )9，两式相减，得pS ＝1＋(1－p )＋(1－p )2＋…＋(1－p )7＋(1－p )8－9(1－p )9····························6分＝1－(1－p )9p－9(1－p )9，所以E (X )＝1－(1－p )9p＋(1－p )9＝1p [1－(1－p )10]．因为0＜p ＜1，所以0＜1－(1－p )10＜1，所以E (X )＜1p．······································································································9分（2）当p ＝0.25时，由（1）得E (X )＜4，则a ×E (X )＜4a ＜5a ，即试验结束后的平均成本小于试验成功的获利，所以该公司可以考虑投资该产品．····························································12分21．(本题满分12分)解：（1）因为双曲线C 渐近线方程为y ＝±x ，所以b a＝1．又因为双曲线C 经过点(3，1)，所以3a 2－1b2＝1．··················································2分解得a ＝b ＝2．······························································································4分（2）方法1当AB 斜率不存在时，由双曲线对称性知AD 经过原点，此时与题意不符．设AB 方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点E (x 3，y 3)，则D (－x 2，y 2)．kx ＋m ，－y 22＝1，消去x ，得(1－k 2)x 2－2kmx －m 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝2km 1－k 2，x 1x 2＝－m 2＋21－k 2，········································································6分则x 3＝x 1＋x 22＝km 1－k 2，y 3＝kx 3＋m ＝m 1－k 2，则AB 的中垂线方程为y －m 1－k 2＝－1k (x －km 1－k 2)，当x ＝0时，y ＝2m 1－k 2．因为B ，D 两点关于y 轴对称，则△ABD 的外接圆圆心在y 轴上，记圆心为点F ，则F (0，2m 1－k 2)．···············································································8分因为△ABD 的外接圆经过原点，则OF ＝FA ，即|2m 1－k 2|＝x 12＋(y 1－2m 1－k 2)2．又因为x 122－y 122＝1，所以y 12－2m 1－k 2y 1＋1＝0．同理，由OF ＝FB ，得y 22－2m 1－k 2y 2＋1＝0，所以y 1，y 2是方程y 2－2m 1－k2y ＋1＝0的两个根，所以y 1y 2＝1．······································10分则(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝1，即k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝1，所以k 2×(－m 2＋21－k 2)＋km ×2km 1－k 2＋m 2＝1，化简得k 2＋1＝m 2，所以原点O 到直线AB 距离d ＝|m |k 2＋1＝1，所以直线AB 与圆x 2＋y 2＝1相切．··········································································12分方法2设直线AB 方程为x ＝my ＋n ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则D (－x 2，y 2)．又因为B ，D 两点关于y 轴对称，则△ABD 的外接圆的圆心在y 轴上，设为P (0，t )，则PA ＝PB ，即x 12＋(y 1－t )2＝x 22＋(y 2－t )2．由x 122－y 122＝1，x 222－y 222＝1，化简得t ＝y 1＋y 2．····························································6分因为△ABD 的外接圆经过原点O ，所以PA ＝PO ＝|t |，即x 12＋[y 1－(y 1＋y 2)]2＝|y 1＋y 2|，化简得y 1y 2＝1．····································································································8分联立直线AB my ＋n ，－y 22＝1，消去x ，得(m 2－1)y 2＋2mny ＋n 2－2＝0，所以y 1y 2＝n 2－2m 2－1．················································································10分又因为y 1y 2＝1，所以n 2－2m 2－1＝1，即m 2＋1＝n 2，所以原点O 到直线AB 距离d ＝|n |m 2＋1＝1，所以直线AB 与圆x 2＋y 2＝1相切．··········································································12分22．(本题满分12分)解：（1）由f (x )＝a e x ＋sin x －3x －2，得f'(x )＝a e x ＋cos x －3．因为a ≤0，所以f'(x )＝a e x ＋cos x －3≤cos x －3＜0，所以f (x )在(－∞，＋∞)单调递减．····················································································································2分又因为f (0)＝a －2＜0，f (a －2)＝a e a －2＋sin(a －2)－3a ＋4＞a (e a －2－3)≥0，因此f (x )有唯一的零点．··························································································4分（2）由（1）知，a ≤0符合题意．（i ）当a ＝2时，由f (x )＝2e x ＋sin x －3x －2，得f'(x )＝2e x ＋cos x －3．当x ＜0时，f'(x )≤2e x －2＜0，所以f (x )单调递减；························································6分当x ＞0时，f''(x )＝2e x －sin x ≥2e x －1＞0，所以f'(x )在(0，＋∞)上单调递增，从而，当x ＞0时，f'(x )＞f'(0)＝0，所以f (x )单调递增，于是f (x )≥f (0)＝0，当且仅当x ＝0时取等号，故此时f (x )有唯一的零点x ＝0．················································································8分（ii ）当a ＞2时，f (x )＞2e x ＋sin x －3x －2≥0，此时f (x )无零点；······································9分（iii ）当0＜a ＜2时，首先证明：当x ≥0时，e x＞x 22．设g (x )＝e x－x 22，x ≥0，则g'(x )＝e x －x ，g''(x )＝e x －1≥0，所以g'(x )在[0，＋∞)上单调递增，故g'(x )≥g'(0)＝1＞0，所以g (x )在[0，＋∞)上单调递增，因此g (x )≥g (0)＝1＞0，即当x ≥0时，e x ＞x 22．··························································10分当x ＞0时，f (x )≥a e x －3x －3＞a 2x 2－3x －3，令a 2x 2－3x －3＝0，得x ＝3±9＋6a a．取x 0＝3＋9＋6a a＞0，则f (x 0)＞0．又f (0)＝a －2＜0，f (－1)＝a e －1＋1－sin1＞0，因此，当0＜a ＜2时，f (x )至少有两个零点，不合题意．综上，a ＝2或a ≤0．····························································································12分。

高三数学3月第二次调研(二模)试题(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：柱体的体积公式V柱体=Sh,其中S为柱体的底面积，h为高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1. 已知集合U= { —1 , 0, 1, 2, 3} , A= { —1 , 0, 2}，则？u A= _______ .z i2. 已知复数Z1= a + i , Z2= 3 —4i，其中i为虚数单位.若一为纯虚数，则实数a的值Z23. 某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间［40, 100］上，其频率分布直方图如图所示，则成绩不低于60分的人数为__________(第4题)4. 如图是一个算法流程图，则输出的S的值为_________ .5. 在长为12 cm的线段AB上任取一点C,以线段AC, BC为邻边作矩形，则该矩形的面积大于32 cm2的概率为_________ .6. 在厶ABC中，已知AB= 1, AC=J2, B= 45°，贝U BC的长为 _______ .27. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C与双曲线x2—y3 = 1有公共的渐近线，且经过点P( —2,⑴)，则双曲线C的焦距为__________ .8. 在平面直角坐标系xOy中，已知角a , B的始边均为x轴的非负半轴，终边分别经过点A(1, 2) , B(5 , 1)，则tan( a —3 )的值为___________ .9. 设等比数列{a n}的前n项和为S n.若S, S o, S成等差数列，且a s= 3,贝U a5的值为10. ____________________________________________________________________ 已知a, b, c均为正数，且abc = 4(a + b)，贝U a + b+ c的最小值为___________________________x w 3,11. 在平面直角坐标系 xOy 中，若动圆C 上的点都在不等式组 x — 3y + 3>0,表示的 -x + - J 3y + 3》0 平面区域内，则面积最大的圆C 的标准方程为 _______________ • e J 舟,x > 0, 12. 设函数f(x) =2(其中e 为自然对数的底数)有3个不同的零点，x 3 — 3mx — 2, x w 0则实数m 的取值范围是 __________ •13. 在平面四边形 ABCD 中，已知AB= 1 ,BC = 4, CD= 2, DA= 3,则云C ・§D 的值为 _______x 214. 已知a 为常数，函数 f(x) = 2 2的最小值为一 孑贝U a 的所有值为寸 a — x —寸 1 — x 3二、 解答题：本大题共 6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤. 15. (本小题满分14分)在平面直角坐标系 xOy 中，设向量 a = (cos a, sin a ) , b = ( — sin 3 , cos 3 ), c =(—1 -2)(2, 2 ) •(1) 若 |a + b| = |c|，求 sin( a — 3 )的值；5 n(2) 设 a = , O v 3 V n ,且 a II (b + c )，求 3 的值.16. (本小题满分14分)如图，在三棱柱 ABC -A1BG 中，AB= AC,点E , 且/ ABE=Z ACF AE ± BB , AF 丄 CC.求证：(1) 平面AEFL 平面BBGC ;17. (本小题满分14分)2 2x y如图，在平面直角坐标系 xOy 中，B, B 2是椭圆二+ 2= 1(a >b >0)的短轴端点，P 是椭a bF 分别在棱BB , CG 上(均异于端点),⑵BC I 平面AEF.圆上异于点B i, B2的一动点.当直线PB的方程为y = x+ 3时，线段PB的长为曙.(1) 求椭圆的标准方程；(2) 设点Q满足：QB丄PB, QB丄PB>.求证：△ PB1B2与厶QBE的面积之比为定值.1J18. (本小题满分16分)将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100 dm2的矩形薄铁皮(如图)，并沿虚线l 1, I2裁剪成A, B, C三个矩形(B , C全等)，用来制成一个柱体.现有两种方案：方案①：以l 1为母线，将A作为圆柱的侧面展开图，并从B, C中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；方案②：以l 2为侧棱，将A作为正四棱柱的侧面展开图，并从B, C中各裁剪出一个正方形(各边分别与I 1或I 2垂直)作为正四棱柱的两个底面.(1) 设B, C都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；(2) 设I 1的长为x dm,则当x为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？19. (本小题满分16分)设等比数列a1, a2, a s, a4的公比为q，等差数列b1, b2, b e, b4的公差为d,且q z 1, d工0.记C i = a i + b i(i = 1, 2, 3, 4).(1) 求证：数列C1, C2, c s不是等差数列；(2) 设a1= 1, q= 2.若数列C1, C2, c s是等比数列，求b2关于d的函数关系式及其定义域；(3) 数列C1, C2, C3, C4能否为等比数列？并说明理由.20. (本小题满分16分)设函数f(x) = x—asin x(a >0).(1) 若函数y = f(x)是R上的单调增函数，求实数a的取值范围；1(2) 设a = ^, g(x) = f(x) + bln x + 1(b € R, b 丰 0) , g ' (x)是g(x)的导函数.① 若对任意的x>0, g' (x) >0，求证：存在x o,使g(x o) v 0；2② 若g(x 1) = g(x 2)(x 1 z X2)，求证：x 1x2 v 4b .数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A, B, C, D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分.若多做，则按作答的前两题计分•解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.A. (选修41:几何证明选讲)2 如图，A, B, C是圆O上的3个不同的点，半径OA交弦BC于点D.求证：DB- DO 0D =oA.A(0, 0) , B(3 , 0) , C(2 , 2).设变换 T i , T 2对应的矩 ，求对△ ABC 依次实施变换 T i , T 2后所得图形的面积.C. (选修44:坐标系与参数方程)在极坐标系中，求以点 P(2 , nn )为圆心且与直线I : P sin( 0 —nn )= 2相切的圆的极坐 标方程.D. (选修45:不等式选讲)1已知 a , b , c 为正实数，且 a + b + c =夕求证:【必做题】 第22, 23题，每小题10分，共20分•解答时应写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤.22. 在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机 生成一张如图所示的 3X3表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖 100元，点击某一格即显示相应金额.某人在一张表中随机不重复地点击 3格，记中奖总金 额为X 元.-1 0 -■201，矩阵N ^ 2 _ . 1 一B. (选修42:矩阵与变换)1 — a + c .c ( .a + 2、;b )R在平面直角坐标系 xOy 中，已知 阵分别为(1) 求概率P(X = 600);(2) 求X的概率分布及数学期望E(X).2n +1= a o + a 1x + a 2x 2 +, +23.已知(1 + x)(1) 求T 2的值；(2) 化简T n 的表达式，并证明：对任意的2n + 1a 2n + 1X ,n € N .记 T n =人=° (2k + 1)a n —k . n € N , T n 都能被 4n + 2整除. 参考答案41. {1 , 3}2. -3. 304. 1255.37 9. — 6 10. 82 211. (x — 1) + y = 412. (1 ,+m)13. 1014. 4 ,- ，415.解：(1)因为 a = (cosa , sin a ) ,b = ( — sin 3 ,cos 3 ),所以 |a| = |b| = |c| = 1, 且 分) a -b = — cos a sin 3 + sina cos 3 = sin(1 _J2 a —3 ) . (32’ o ),、 , 2 2 2 2因为 |a + b| = |c|，所以 |a + b| = c ，即卩 a + 2a ・b + b = 1,1 1 + 2sin( a — 3 ) + 1 = 1，即 sin( a — 3 ) = — — .(6 分)所以5 n因为a = -^，所以a =(—.J 3 1 1 ，2 .故 b + c = ( — sin 3 —㊁,cos 因为 a // (b + c )，所以一 13―2)= °1化简得2sin 33 -^cosn 1所以 sin( 3 — §) = -.(12 分)7t 因为0< 3 <n ,所以一nn <3—nn <2^.所以 3 —nn=nn ，即 3 =专.(14 分) 在三棱柱 ABC -A 1BQ 中，BB // CC.因为 AF L CC ,所以 AF L BB 1.(2 分)16. 证明：(1)又 AEL BB 1, AE A AF = A , AE, AF?平面 AEF,所以 BB 丄平面 AEF.(5 分) 因为BB?平面BBCC ，所以平面 AEF L 平面BBCC.(7分) (2) 因为 AE!BB 1, AF L CG ,/ ABE=Z ACF AB = AC , 所以 Rt △ AEB^ Rt △ AFC.所以 BE = CF.(9 分)又由(1)知，BE// CF,所以四边形 BEFC 是平行四边形.故 BC// EF.(11分) 又BC?平面AEF, EF?平面 AEF,所以BC//平面 AEF.(14分) 17. 解：设 P(x o , y o ), (1)在y = x + 3中，令 0, Q(x 1, yd . x = 0,得 y = 3,从而 b = 3.(2 分)"X +3)= 1,所以 X 0= —詈—2.(4 分)9+ a 2.因为PB =&0+( y 。