【配套K12】九年级数学下册第27章圆本章总结提升同步练习

华东师大版九年级数学下册第27章同步测试题及答案27.1 圆的认识1. 在同一平面内，点P 到圆上的点的最大距离为7，最小距离为1，则此圆的半径为( ) A ．6 B ．4 C ．3 D ．4或32. 如图，在⊙O 中，点A ，O ，D 以及点B ，O ，C 分别在一条直线上，则图中的弦有( )A ．2条B ．3条C ．4条D ．5条 3. 下列判断正确的是( ) A ．平分弦的直径垂直于弦B ．平分弦的直径必平分弦所对的两条弧C ．弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧D ．平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦4. 如图，AB 是⊙O 的一条固定直径，它把⊙O 分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C 作弦CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，当点C 在上半圆(不包括A ，B 两点)移动时，点P ( )A ．到CD 的距离保持不变B ．位置不变C ．平分BD ︵D ．随点C 的移动而移动5. 如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上两点，CD ⊥AB .若∠DAB ＝65°，则∠BOC ＝( )A ．25°B ．50°C ．130°D ．155°6. 如图，AB 为⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，已知∠BOC ＝70°，AD ∥OC ，则∠AOD ＝________.7. 如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，点P的坐标为(4，2)，点A的坐标为(2，0)，则点B的坐标为________．8. 如图，直径为10的⊙A经过点C(0，6)和点O(0，0)，与x轴的正半轴交于点D，B是y轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC的值为________．9. 如图，点A，B，C，D在⊙O上，点O在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD＋∠OCD ＝_______度．10. 如图，AB是⊙O的直径，∠A＝80°求∠ABC的度数．11. 如图，在⊙O中，弦BC∥OA，AC与OB相交于点D，∠ADB＝75°，试求∠C的度数．12. 如图，已知过点P 的直线AB 交⊙O 于A ，B 两点，PO 与⊙O 交于点C ，且P A ＝AB ＝6 cm ，PO ＝12 cm . 求⊙O 的半径.13. 如图，等边三角形ABC 的顶点在⊙O 上，点P 是劣弧BC ︵上的一点(端点除外)，延长BP 至点D ，使BD ＝AP ，连结CD .(1)若AP 过圆心O ，如图①，请你判断△PDC 是什么三角形？说明理由. (2)若AP 不过圆心O ，如图②，△PDC 又是什么三角形？为什么？参考答案1-5 DBCBC6. 40°7.(6，0)8.459.6010.因为AB 是⊙O 的直径，而直径所对的圆周角是直角，所以 ∠ABC ＝180°－∠A －∠ACB ＝180°－80°－90°＝10°．11.由同弧上的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半可知，AOB C ∠21=∠.又因为BC ∥OA ，所以∠C ＝∠A ，AOD A ∠21=∠，而∠ADB ＝∠A +∠AOB ，即∠ADB ＝3∠A .又∠ADB ＝75°，所以∠A ＝25°，所以∠C＝25°．12.如图，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，则BD ＝AD ＝3 cm ，∴PD ＝P A ＋AD ＝6＋3＝9(cm ).在Rt △POD中，OD ＝122－92＝37(cm )．在Rt △OBD 中，OB ＝32＋（37）2＝62(cm )．∴⊙O 的半径为6 2 cm .13.(1) △PDC 为等边三角形．理由：∵△ABC 为等边三角形，∴AC ＝BC .又∵∠P AC ＝∠DBC ，AP ＝BD ，∴△APC ≌△BDC ，∴PC ＝DC .∵∠BAC ＝60°，∴∠BPC ＝180°－∠BAC ＝120°，∴∠CPD ＝180°－∠BPC ＝60°，∴△PDC 为等边三角形．(2) △PDC 仍为等边三角形．理由：同(1)，△APC ≌△BDC ，∴PC ＝DC .∵∠BAP ＋∠P AC ＝60°.又∵∠BAP ＝∠BCP ，∠P AC ＝∠PBC ，∴∠CPD ＝∠BCP ＋∠PBC ＝∠BAP ＋∠P AC ＝60°，∴△PDC 为等边三角形．27.2.1 点与圆的位置关系1．在平面直角坐标系中，圆心O ′的坐标是(2，0)，⊙O ′的半径是2，则点P (－1，0)与⊙O ′的位置关系是( )A ．点P 在圆上B ．点P 在圆内C ．点P 在圆外D ．不能确定2．有一个矩形ABCD 其长为4 cm ，宽为3 cm ，以点D 为圆心作圆，使A ，B ，C 三点其中有两点在圆内，一点在圆外，则⊙O 的半径r 的取值范围为( )A ．3＜r ＜4B ．3＜r ＜5C ．4＜r ＜5D ．4≤r ≤5 3．下列命题正确的是( ) A ．三点确定一个圆B ．圆有且只有一个内接三角形C ．三角形的外心是三角形三个角的平分线的交点D ．三角形的外心是三角形任意两边的垂直平分线的交点4．如图，平面直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C.其中点B的坐标为(4，4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为( )A．(2，1) B．(2，2) C．(2，0) D．(2，－1)5．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均落在格点上，用一个圆面去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是( )A. 3 B．2 C．3 D. 56．若一个三角形的外心在它的一边上，则这个三角形一定是( )A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形7．在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2.下列说法不正确的是( ) A．当a＜5时，点B在⊙A内 B．当1＜a＜5时，点B在⊙A内C．当a＜1时，点B在⊙A外 D．当a＞5时，点B在⊙A外8.已知⊙O的半径为1，点P与点O的距离为d，且方程x2－2x＋d＝0有实数根，则点P在____．9．若⊙O的面积为25π cm2，圆心O在坐标原点，点P的坐标为(2，4)，则点P在⊙O____．10.已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝3，AB的中点为M，若以C为圆心作⊙C，使A，B，M三点中至少有一点在⊙C内，且至少有一点在⊙C外，则⊙C的半径r的取值范围是_________．11.如图，小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A，B，C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．(1)请你帮小明把花坛的位置画出来．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)(2)若在△ABC中，AB＝8 m，AC＝6 m，∠BAC＝90°，试求小明家圆形花坛的面积．12．在直线y ＝32x －1上是否存在一点P ，使得以P 为圆心的圆经过已知两点A (－3，2)，B (1，2)？若存在，求出点P 的坐标，并求出⊙P 的半径．13．如图，AD 为△ABC 外接圆的直径，AD ⊥BC ，垂足为F ，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，连结BD ，CD .(1)求证：BD ＝CD .(2)请判断B ，E ，C 三点是否在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上？说明理由．14．如图，有两条公路OM ，ON 相交成30°，沿公路OM 方向离两条公路的交叉处O 点80 m 的A 处有一所希望小学．当拖拉机沿ON 方向行驶时，路两旁50 m 内会受到噪音影响．已知有两台相距30 m 的拖拉机正沿ON 方向行驶，它们的速度均为5 m /s ，问：这两台拖拉机沿ON 方向行驶时给小学带来噪音影响的时间是多长？参考答案 1-7 CCDC DBA 8. ⊙O 内或⊙O 上 9. 内 10.132＜r ＜3 11. (1)略 (2)25π m 212. 解：存在，过线段AB 的中点Q 作PQ ⊥AB 交y ＝32x －1于点P .∵Q(－1，2)，∴P (－1，－52)，∴r ＝AP ＝1297.13. 解：(1)∵AD 为圆的直径，AD ⊥BC ，∴BD ︵＝CD ︵，∴BD ＝CD .(2)B ，E ，C 三点在以D 为圆心，以DB 的长为半径的圆上．∵BD ︵＝CD ︵，∴∠BAD ＝∠CBD .∵∠DBE ＝∠CBD ＋∠CBE ，∠DEB ＝∠BAD ＋∠ABE ，∠CBE ＝∠ABE ，∴∠DBE ＝∠DEB ，∴DB ＝DE ，由(1)知，BD ＝CD ，∴DB ＝DE ＝DC ，∴B ，E ，C 三点都在以D 为圆心，以DB 的长为半径的圆上.14. 解：如图，过点A 作AC ⊥ON ，∵∠MON ＝30°，OA ＝80 m ，∴AC ＝40 m ，当第一台拖拉机到点B 时对学校产生噪音影响，此时AB ＝50 m .由勾股定理，得BC ＝30 m ，第一台拖拉机到点D 时噪音消失，∴CD ＝30 m .由于两台拖拉机相距30 m ，则第一台到点D 时第二台在点C ，还需前行30 m 后才对学校没有噪音影响，∴影响时间应是90÷5＝18(s ).答：这两台拖拉机沿ON 方向行驶给小学带来噪音影响的时间是18 s .27.2.2 直线与圆的位置关系1．已知⊙O的半径是6，点O到直线a的距离为5，则直线a与⊙O的位置关系为（）A．相离B．相切C．相交D．无法确定2．下列判断正确的是（）①直线上一点到圆心的距离大于半径，则直线与圆相离；②直线上一点到圆心的距离等于半径，则直线与圆相切；③直线上一点到圆心的距离小于半径，•则直线与圆相交．A．①②③B．①②C．②③D．③3．已知OA平分∠BOC，P是OA上任一点（点O除外），若以点P为圆心的⊙P与OC相离，•则⊙P与OB的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．相交或相切4．若直线a与⊙O交于A，B两点，点O到直线a•的距离为6，AB=16，则⊙O的半径为_____．5．在△ABC中，已知∠ACB=90°，BC=AC=10，以C为圆心，分别以5，8为半径作图，那么直线AB与圆的位置关系分别是______，_______，_______．6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=6，CB=8，以C为圆心，r为半径作⊙C，当r为多少时，⊙C与AB相切？7．如图，⊙O的半径为3 cm，弦AC，AB=4 cm，若以点O为圆心，•再作一个圆与AC相切，则这个圆的半径是多少？这个圆与AB的位置关系如何？参考答案1.C2. C3.A4.105.相离 相切 相交6.解：如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D .因为90ACB ︒∠=,CA =6,CB =8, 所以AB =10.又因为AC BC AB CD ∙=∙,所以CD =4.8. 所以当r =4.8时，⊙C 与AB 相切.7.解：过点O 作OM ⊥AC 于点D ,作ON ⊥AB 于点E .因为⊙O 的半径为3 cm ，弦AC =cm, AB=4 cm,所以OD =，OE 又因为1AC 相切，这个圆的半径是1 cm ，这个圆与AB 相切.27.2.3 切线（一）1．下列直线能判定为圆的切线的是( )A．与圆有公共点的直线B．过圆的半径外端的直线C．垂直于圆的半径且与圆有公共点的直线D．过半径的外端且与半径垂直的直线2．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是( )A．点D1(0，3) B．点D2(2，3) C．点D3(5，1) D．点D4(6，1)3. 如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是( )A．DE＝DO B．AB＝AC C．CD＝DB D．AC∥OD4. 如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C，D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B.已知∠A＝30°，则∠C的大小是( )A．30°B．45°C．60°D．40°5．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BAO＝40°，则∠OCB的度数为( )A．40°B．50°C．65°D．75°6. 如图，点A在⊙O上，下列条件不能说明P A是⊙O的切线的是( )A．OA2＋P A2＝OP2B．P A⊥OA C．∠P＝30°，∠O＝60°D．OP＝2OA7. 如图，P是⊙O外一点，P A是⊙O的切线，PO＝26 cm，P A＝24 cm，则⊙O的周长为( )A.18π cmB.16π cmC.20π cmD.24π cm8. 如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，∠CDB＝20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于( )A．40°B．50°C．60°D．70°9. 如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD切⊙O于点D，连接AD，若∠A＝25°，则∠C 的大小为____°.10. 如图，点A，B，D在⊙O上，∠A＝25°，OD的延长线交直线BC于点C，且∠OCB＝40°，直线BC与⊙O的位置关系为_________．11．如图，A，B是⊙O上的两点，AC是过点A的一条直线，如果∠AOB＝120°，那么当∠CAB的度数等于_____度时，AC才能成为⊙O的切线．12. 如图，一个边长为4 cm的等边三角形ABC的高与⊙O的直径相等．⊙O与BC相切于点C，与AC 相交于点E，则CE的长为_______cm.13. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB，BC相交于点D，E，EF ⊥AC，垂足为F，求证：直线EF是⊙O的切线．参考答案1.D2.C3.A4.A5.C6.D7.C8.B9.40 10.相切 11.60 12.313.证明：连接OE，DE，∵BD是⊙O的直径，∴∠DEB＝90°.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C.又∵OB＝OE，∴∠ABC＝∠OEB.∵∠FEC＋∠C＝90°，∴∠FEC＋∠OEB＝90°，∴OE⊥EF.∵OE是⊙O的半径，∴直线EF是⊙O的切线.27.2.3 切线（二）知识点一 切线长定理1. 如图，P A ，PB 分别切⊙O 于点A 、B ，AC 是⊙O 的直径，连结AB 、BC 、OP ，则与∠P AB 相等的角(不包括∠P AB 本身)有( )A ．1个B ．2个C ．3个 D. 4个第1题图 第2题图2.如图，PA 、PB 切⊙O 于点A 、B ，PA =8，CD 切⊙O 于点E ，交PA 、PB 于C 、D 两点，则△PCD 的周长是（ ）A ．8B ．18C ．16D ．143.如图，PA 、PB 分别是⊙O 的切线，A ，B 分别为切点，点E 是⊙O 上一点，且∠AEB =60°，则∠P 为（ ）A ．120°B ．60°C ．30°D ．45°第3题图 第4题图4．如图，一圆内切于四边形ABCD ，且AB =16，CD =10，则四边形ABCD 的周长为________．5.如图，AB 、AC 、BD 是⊙O 的切线，P 、C 、D 为切点，如果AB =5，AC =3，那么BD 的长为 ______.第5题图 第6题图 6.PA 、PB 切⊙O 于A 、B 两点，CD 切⊙O 于点E ，交PA 、PB 于点C 、D ，若⊙O 的半径为r ，△PCD 的周长等于3r ，则tan ∠APB 的值是______.7.如图，P A 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，∠OAB ＝30°．（1）求∠APB 的度数；（2）当OA＝3时，求AP的长．知识点二三角形的内切圆1.下列说法，不正确的是( )A．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点B．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部C．垂直于半径的直线是圆的切线D．三角形的内心到三角形的三边的距离相等2．给出下列说法：①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形．其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个3.一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于( )A．21 B．20 C．19 D．184.在△ABC中，AB＝AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，I为△ACD的内切圆圆心，则∠AIB的度数是（）A．120°B．125°C．135°D．150°5．如图，⊙I是△ABC的内切圆，切点分别为点D、E、F，若∠DEF=52o，则∠A=________．6．如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°．若AC=12 cm，BC=9 cm，求⊙O的半径r；参考答案知识点一1.C2. C3. B4.525.26.1257.解：在ABO 中，OA =OB ,30OAB ︒∠=,所以180230120AOB ︒︒︒∠=-⨯=.因为PA ,PB 是⊙O 的切线，所以,OA PA OA PB ⊥⊥,即90OAP OBP ︒∠=∠=,所以在四边形OAPB 中，360120909060APB ︒︒︒︒︒∠=---=.知识点二1.B2. B3.D4.C5.76︒6.解：连接OD ,OF .在Rt ABC 中，90C ︒∠=,AC =12 cm ，BC =9 cm ，根据勾股定理,得15AB ==（cm ）.在四边形OFCD 中，OD =OF , 90,ODC OFC C ︒∠=∠=∠=则四边形OFCD 是正方形.由切线长定理，得AD =AE ,CD =CF ,BE =BF ,则CD =CF =1(),2AC BC AB +-即r =1(12915) 3.2⨯+-=27.3.1 弧长和扇形面积一．选择题1．如图，正方形ABCD 的边AB=1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（ ）A ．B ．1﹣C ．﹣1D ．1﹣2．一个圆锥的侧面展开图形是半径为8cm ，圆心角为120°的扇形，则此圆锥的底面半径为（ ）A ．cmB ．cmC ．3cmD ．cm3．圆心角为120°，弧长为12π的扇形半径为（ ）A ．6B ．9C ．18D ．364．在半径为2的圆中，弦AB 的长为2，则的长等于（ ）A．B．C．D．5．一个扇形的半径为8cm，弧长为cm，则扇形的圆心角为（）A．60°B．120°C．150°D．180°6．已知一个扇形的半径为12，圆心角为150°，则此扇形的弧长是（）A．5πB．6πC．8πD．10π7．已知扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的弧长为（）A．B．πC．D．8．如图，矩形ABCD中，AB=5，AD=12，将矩形ABCD按如图所示的方式在直线l上进行两次旋转，则点B在两次旋转过程中经过的路径的长是（）A．B．13πC．25πD．25二．填空题9．已知扇形半径是3cm，弧长为2πcm，则扇形的圆心角为_________°．（结果保留π）10．若扇形的圆心角为60°，弧长为2π，则扇形的半径为_________．11．如图，正三角形ABC的边长为2，点A，B在半径为的圆上，点C在圆内，将正三角形ABC绕点A逆时针旋转，当点C第一次落在圆上时，点C运动的路线长是_________．12．通过对课本中《硬币滚动中的数学》的学习，我们知道滚动圆滚动的周数取决于滚动圆的圆心运动的路程（如图①）．在图②中，有2014个半径为r的圆紧密排列成一条直线，半径为r的动圆C从图示位置绕这2014个圆排成的图形无滑动地滚动一圈回到原位，则动圆C自身转动的周数为_________．13．半径为4cm，圆心角为60°的扇形的面积为_________cm2．14．如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=90°，则图中阴影部分的面积是_________．三．解答题15．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．16．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，OC=2，求阴影部分图形的面积（结果保留π）．17．如图，在矩形ABCD中，AB=2DA，以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E，交AD的延长线于点F，设DA=2．（1）求线段EC的长；（2）求图中阴影部分的面积．18．如图扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB、AC的夹角为120°，AB长为30cm，贴纸部分BD长为20cm，求贴纸部分的面积．19．如图，线段AB与⊙O相切于点C，连接OA，OB，OB交⊙O于点D，已知OA=OB=6，AB=6．（1）求⊙O的半径；（2）求图中阴影部分的面积．20．如图，在⊙O中，=，弦AB与弦AC交于点A，弦CD与AB交于点F，连接BC．（1）求证：AC2=AB•AF；（2）若⊙O的半径长为2cm，∠B=60°，求图中阴影部分面积．参考答案一． 1.A 2.A 3.C 4.C 5.B 6.D 7.D 8.A二．9.120 10. 6 11.12.1344 13.π 14.π﹣2三．15．（1）证明：连接OC．∵AC=CD，∠ACD=120°，∴∠A=∠D=30°．∵OA=OC，∴∠2=∠A=30°．∴∠OCD=180°﹣∠A﹣∠D﹣∠2=90°．∴CD是⊙O的切线．（2）解：∵∠A=30°，∴∠1=2∠A=60°．∴S扇形BOC=．在Rt△OCD中，∵，∴．∴．∴图中阴影部分的面积为．16．解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∴CE=DE，∠CEO=∠DEB=90°．∵∠CDB=30°，∴∠COB=60°，∠OCE=∠CDB，在△OCE和△BDE中，∵，∴△OCE≌△BDE，∴S阴影=S扇形OCB==π．17. 解：（1）∵在矩形ABCD中，AB=2DA，DA=2，∴AB=AE=4，∴DE==2，∴EC=CD﹣DE=4﹣2.（2）∵sin∠DEA==，∴∠DEA=30°，∴∠EAB=30°，∴图中阴影部分的面积为：S扇形FAB﹣S△DAE﹣S扇形EAB=﹣×2×2﹣=﹣2．18．解：设AB=R，AD=r，则有S贴纸=πR2﹣πr2.=π（R2﹣r2）=π（R+r）（R﹣r）=（30+10）×（30﹣10）π=π（cm2）；答：贴纸部分的面积为πcm2．19．解：（1）连接OC，则OC⊥AB．∵OA=OB，∴AC=BC=AB=×6=3．在Rt△AOC中，OC==3，∴⊙O的半径为3.（2）∵OC=，∴∠B=30°，∠COD=60°.∴扇形OCD的面积为S扇形OCD==π，∴阴影部分的面积为S阴影=S Rt△OBC﹣S扇形OCD=OC•CB﹣π=﹣π．20．（1）证明：∵=，∴∠ACD=∠ABC，又∠BAC=∠CAF，∴△ACF∽△ABC，∴=，即AC2=AB•AF.（2）解：连接OA，OC，过O作OE⊥AC，垂足为点E，如图，∵∠ABC=60°，∴∠AOC=120°，又∵OA=OC，∴∠AOE=∠COE=×120°=60°，在Rt△AOE中，OA=2cm，∴OE=OAcos60°=1cm，∴AE==cm，∴AC=2AE=2cm，则S阴影=S扇形OAC﹣S△AOC=﹣×2×1=（﹣）cm2．27.3.2 圆锥的侧面积和全面积一．选择题1．已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是（）A．10cm2B．5π cm2C．10π cm2D．20π cm22．已知圆锥的高为4，母线长为5，则该圆锥的表面积为（）A．21πB．15πC．12πD．24π3．已知圆锥的母线长为6cm，底面圆的半径为3cm，则此圆锥侧面展开图的圆心角是（）A．30°B．60°C．90°D．180°4．一个圆锥的侧面展开图是半径为6的半圆，则这个圆锥的底面半径为（）A．1.5 B．2 C．2.5 D．35．如果圆锥的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆锥的侧面积为（）A．10cm2B．10πcm2C．20cm2D．20πcm26．一个圆锥的底面半径是6cm，其侧面展开图为半圆，则圆锥的母线长为（）A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm7．如图，某同学用一扇形纸板为一个玩偶制作一个圆锥形帽子，已知扇形半径OA=13cm，扇形的弧长为10πcm，那么这个圆锥形帽子的高是（）cm．（不考虑接缝）A．5 B．12 C．13 D．148．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是（）A．πcm2B．2πcm2C．6πcm2 D．3πcm2二．填空题9．圆锥的底面半径为6cm，母线长为10cm，则圆锥的侧面积为_________cm2．10．一个底面直径是80cm，母线长为90cm的圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为_________．11．有一圆锥，它的高为8cm，底面半径为6cm，则这个圆锥的侧面积是_________cm2．（结果保留π）12．圆锥的底面半径是2cm，母线长6cm，则这个圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数为_________度．13．用一个圆心角为240°半径为6的扇形做一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径为_________．14．一个底面直径为10cm，母线长为15cm的圆锥，它的侧面展开图圆心角是_________度．三．解答题15．如图是某圆锥的三视图，请根据图中尺寸计算该圆锥的全面积．（结果保留3个有效数字）16．如图，圆锥的侧面展开图是一个半圆，求母线AB与高AO的夹角．参考公式：圆锥的侧面积S=πrl，其中r为底面半径，l为母线长．17．已知圆锥的侧面积为16πcm2．（1）求圆锥的母线长L（cm）关于底面半径r（cm）之间的函数关系式；（2）写出自变量r的取值范围；（3）当圆锥的侧面展开图是圆心角为90°的扇形时，求圆锥的高．18．如图，扇形OAB的圆心角∠AOB=120°，半径OA=6cm，（1）请你用尺规作图的方法作出扇形的对称轴（不写作法，保留作图痕迹）（2）若将此扇形围成一个圆锥的侧面，求圆锥底面圆的半径．19．在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=3．（1）将△ABC绕AB所在的直线旋转一周，求所得几何体的侧面积；（2）折叠△ABC，使BC边与CA边重合，求折痕长和重叠部分的面积．20．如图，圆锥底面的半径为10cm，高为10cm．（1）求圆锥的全面积；（2）若一只蚂蚁从底面上一点A出发绕圆锥一周回到SA上一点M处，且SM=3AM，求它所走的最短距离．21．如图，现有一圆心角为90°，半径为8cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），求该圆锥底面圆的面积．（结果保留π）22．如图，一个圆锥的高为cm，侧面展开图是半圆．求：（1）圆锥的母线长与底面半径之比；（2）求∠BAC的度数；（3）圆锥的侧面积（结果保留π）．参考答案1.C 2.D 3.D 4.D 5.B 6.B 7.B 8.A9.60π10.160°11.60π12.120°13.4 14.120°15.解：由三视图知：圆锥的高为2cm，底面半径为2cm，∴圆锥的母线长为4，∴圆锥表面积=π×22+π×2×4=12π≈37.7．16. 解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，则：πl=2πr，∴l=2r，∴母线与高的夹角的正弦值==，∴母线AB与高AO的夹角30°．17.解：（1）∵S=πrL=16πcm2，∴L=cm；（2）∵L=＞r＞0，∴0＜r＜4；（3）∵θ=90°=×360°，∴L=4r，又L=，∴r=2cm，∴L=8cm，∴h=2cm．18.解：（1）如图.（2）扇形的圆心角是120°，半径为6cm，则扇形的弧长是：==4π则圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长是4π，设圆锥的底面半径是r，则2πr=4π，解得：r=2．圆锥的底面半径是2cm．19.解：（1）∵∠C=90°，∠A=30°，BC=3，∴tan30°==，AB=6，∴AC=，∵CH×AB=BC×AC，∴3×3=6×CH，∴CH=R=，；（2）过点E作ED⊥AC于点D，设折叠后点B落在点G，折痕是CE，则CG=BC=3，∴BE=EG=GA=3﹣3，∴AE=6﹣BE=9﹣3；∴DE=，∴CE=，S△BCE=•BE•CH=，（或S△CGE=）．20. 解：（1）由题意，可得圆锥的母线SA==40（cm）圆锥的侧面展开扇形的弧长l=2π•OA=20πcm∴S侧=L•SA=400πcm2S圆=πAO2=100πcm2，∴S全=S圆+S底=（400+100）π=500π（cm2）；（2）沿母线SA将圆锥的侧面展开，如右图，则线段AM的长就是蚂蚁所走的最短距离由（1）知，SA=40cm，弧AA′=20πcm∵=20πcm，∴∠S=n==90°，∵SA′=SA=40cm，SM=3A′M∴SM=30cm，∴在Rt△ASM中，由勾股定理得AM=50（cm）.所以，蚂蚁所走的最短距离是50cm．21.解：设圆锥的底面半径为R，则L==2πR，解R=2cm，∴该圆锥底面圆的面积为4πcm2．22.解：（1）设此圆锥的高为h，底面半径为r，母线长AC=l，∵2πr=πl，∴l：r=2：1；（2）∵AO⊥OC，=2，∴圆锥高与母线的夹角为30°，则∠BAC=60°；（3）由图可知l2=h2+r2，h=3cm，∴（2r）2=（3）2+r2，即4r2=27+r2，解得r=3cm，∴l=2r=6cm，∴圆锥的侧面积为=18π（cm2）．27.4正多边形和圆1．下列说法：①各边相等的圆内接多边形是正多边形；②各角相等的圆内接多边形是正多边形；③既是轴对称图形又是中心对称图形的多边形是正多边形．正确的个数是()A．0个B．1个C．2个D．3个2．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是()A．60°B．45°C．30°D．22.5°3．如图，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠AOQ＝()A．60°B．65°C．72°D．75°4．如图，有一圆内接正八边形ABCDEFGH，若△ADE的面积为10，则正八边形ABCDEFGH的面积为()A．40 B．50 C．60 D．805．已知⊙O的面积为2π，则其内接正三角形的面积为()A．3 3 B．3 6 C. 32 3 D.32 66．正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为()A．3∶2∶1 B．4∶3∶2 C．4∶2∶1 D．6∶4∶37．有一边长为4的正n边形，它的一个内角为120°，则其外接圆的半径为()A．3 B．4 C．33D．4 28．在圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是() A．36°B．72°C．54°D．60°9．如图，正三角形ABC内接于⊙O，AD是⊙O的内接正十二边形的一边，连结CD，若CD＝12，则⊙O 的半径为____．10．如图，将边长为3的正六边形铁丝框ABCDEF变形为以点A为圆心，AB为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得扇形AFB(阴影部分)的面积为____．11．如图，正六边形ABCDEF的边长为6 cm.(1)求作该正六边形的外接圆；(要求不写作法，保留作图痕迹)(2)求这个正六边形的半径R、边心距、面积．12. 如图，圆O的半径为R，T1，T2分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形．(1)求T1与T2的周长比；(2)求图中阴影部分的面积．(用含R的式子表示)13．已知⊙O和⊙O上的一点A(如图)．(1)作⊙O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH.(2)在(1)题的作图中，如果点E在弧AD上，求证：DE是⊙O的内接正十二边形的一边．14．如图①有一个宝塔，它的地基边缘是周长为26 m的正五边形ABCDE(如图②)，点O为中心．(下列各题结果精确到0.1 m)(1)求地基的中心到边缘的距离；(2)已知塔的墙体宽为1 m ，现要在塔的底层中心建一圆形底座的塑像，并且留出最窄处为1.6 m 的观光通道，问塑像底座的半径最大是多少？15．如图，(1)、(2)、(3)……，点M ，N 分别是⊙O 的内接正三角形ABC ，正方形ABCD ，正五边形ABCDE ，…正n 边形的边AB ，BC 上的点，且BM ＝CN ，连结OM ，ON .(1)求图(1)中∠MON 的度数.(2)图(2)中∠MON 的度数为______，图(3)中∠MON 的度数为______.(3)试探索∠MON 的度数与正n 边形数n 的关系(直接写出答案)．参考答案1-8 BCDAC ABB 9.6 2 10.1811.(1) 略 (2) 6 cm ，3 3 cm ，54 3 cm 2 12.(1) 3∶2 (2) 32R 2 13.解：(1)作法：①作直径AC ；②作直径BD ⊥AC ；③依次连结A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 即为⊙O 的内接正方形；④分别以A ，C 为圆心，OA 长为半径作弧，交⊙O 于E ，H ，F ，G ；⑤顺次连结A ，E ，F ，C ，G ，H 各点．六边形AEFCGH 即为⊙O 的内接正六边形．作图略. (2)连结OE ，DE ，∵∠AOD ＝360°4＝90°，∠AOE ＝360°6＝60°，∴∠DOE ＝∠AOD －∠AOE ＝30°，∴DE 为⊙O 的内接正十二边形的一边 14.解：(1)作OM ⊥AB 于点M ，连结OA ，OB ，则OM 为边心距，∠AOB 是中心角.由正五边形性质,得∠AOB＝360°÷5＝72°，又AB ＝15×26＝5.2，∴AM ＝2.6，∠AOM ＝36°.在Rt △AMO 中，边心距OM ＝AM tan36°＝ 2.6tan36°≈3.6(m).(2)3.6－1－1.6＝1(m).答：地基的中心到边缘的距离约为3.6 m ，塑像底座的半径最大约为1 m.15.(1)120°(2)90° 72° (3)∠MON ＝360°n .。

2018-2019学年九年级数学下册第27章圆27.1 圆的认识27.1.2.1 弧、弦、圆心角之间的关系同步练习（新版）华东师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年九年级数学下册第27章圆27.1 圆的认识27.1.2.1 弧、弦、圆心角之间的关系同步练习（新版）华东师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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27. 2．圆的对称性第1课时弧、弦、圆心角之间的关系知|识｜目｜标1．通过旋转一个圆心角,发现圆的旋转不变性,知道弧、弦、圆心角之间的关系．2．通过阅读、讨论、动手实践，能运用弧、弦、圆心角之间的关系解决问题．目标一探究弧、弦、圆心角之间的关系例1 教材补充例题圆是旋转对称图形，围绕着圆心旋转________角度，它都能与自身重合．例2 教材补充例题如图27－1－5，两个等圆中有两个圆心角∠AOB,∠A′O′B′，连结AB，A′B′,请你添加一个条件，使得△AOB≌△A′O′B′。

请你试一试有几种添加方法．图27－1－5(1)同学甲:我添加∠AOB＝∠A′O′B′，根据________可判定△AOB≌△A′O′B′。

这样你还能得到哪些相等关系?（2）同学乙：我添加AB＝A′B′，根据________可判定△AOB≌△A′O′B′.这样你还能得到哪些相等关系?【归纳总结】在同圆或等圆中，圆心角越大,它所对应的弧就越长，所对应的弦也越长．目标二能运用弧、弦、圆心角之间的关系解题例3 教材例1针对训练如图27－1－6，在⊙O中，若C是错误!的中点，∠A＝50°,则∠BOC 的度数是（）图27－1－6A．40° B．45°C．50° D．60°例4 ［教材例1针对训练］如图27－1－7，AB，CD，EF都是⊙O的直径，AC＝EB＝DF，求∠1，∠2,∠3的度数．图27－1－7【归纳总结】弧、弦、圆心角之间关系的应用：(1)充分利用弧、弦、圆心角之间的关系进行转化，如将弦相等转化为它们所对的圆心角相等；（2）弧、弦、圆心角之间的关系定理适用的前提条件是在同圆或等圆中．知识点一圆的旋转不变性圆是一个中心对称图形，对称中心为________．圆又是一个旋转对称图形,一个圆绕其圆心旋转任意一个角度,都能与自身重合，圆的这个性质称为圆的旋转不变性．知识点二弧、弦、圆心角之间的关系在同圆或等圆中，如果圆心角相等,那么它们所对的弧________，所对的弦________；在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角________，所对的弦______；在同圆或等圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角________，所对的弧________．[点拨]不能去掉“在同圆或等圆中”这个前提条件．如图27－1－8，在⊙O中,若错误!＝2错误!,试判断AB与2CD之间的大小关系，并说明理由．图27－1－8解：∵在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等,∴当错误!＝2错误!时，AB＝2CD。

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学习资料专题圆本章总结提升问题1 与圆有关的概念直径与弦有什么关系？弦与弧有什么区别？优弧与劣弧如何表示？长度相等的弧是等弧吗？例1 有下列说法：①圆中最长的弦不一定是直径；②同一个圆中，优弧大于半圆周，劣弧小于半圆周；③等弧的长度一定相等；④经过圆内一个定点可以作无数条弦；⑤经过圆内一个定点可以作无数条直径．其中正确的有( )A．1个 B．2个C．3个 D．4个问题2 垂径定理及其推论你能说出垂径定理及其推论的内容吗？垂径定理常与哪些定理相结合解决问题？例2 如图27－T－1，CD为⊙O的直径，弦AB交CD于点E，连结BD，OB，AC.(1)求证：△AEC∽△DEB；(2)若CD⊥AB，AB＝8，DE＝2，求⊙O的半径．图27－T －1【归纳总结】应用垂径定理时应注意：①定理中的“直径”是指过圆心的弦，但在实际应用中可以不是直径，可以是半径、过圆心的直线或线段等；②在利用垂径定理思考问题时，常常把问题转化到由半径、弦的一半、圆心到弦的垂线段三者组成的直角三角形中去解决．问题2 圆心角、弧、弦之间的关系在同圆或等圆中，两个相等的圆心角以及它们所对的弧、弦有什么关系？这些关系和圆的对称性有什么联系？例3 已知：如图27－T －2，AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，OD ⊥BC 于点E ，交BC ︵于点D ，连结AC ，OC ，CD ，BD .(1)请写出六个不同类型的正确结论； (2)若BC ＝4，DE ＝1，求⊙O 的半径．图27－T －2【归纳总结】在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弦、两条弧中如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等，这体现了转化思想． 问题4 圆周角定理及其推论圆周角的两个要素是什么？圆周角定理及其推论的内容是什么？这个定理及其推论可以解决哪些类型的问题？例4 如图27－T －3，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点E ，交BC 于点D ，连结BE ，AD 交于点P .求证： (1)D 是BC 的中点； (2)△BEC ∽△ADC ； (3)AC ·CE ＝2PD ·AD .图27－T －3【归纳总结】圆周角定理及其推论的作用：由圆周角定理及其推论的条件和结论可知，应用圆周角定理及其推论可以证明两角相等、两弧相等、一角(或弧)等于另一角(或弧)的2倍或一半，判定圆的直径或直角三角形，求角或弧的度数等．问题5 圆内接四边形什么是圆内接四边形？它有什么性质？这个性质与圆周角定理有什么关系？例5 如图27－T －4所示，四边形ABCD 内接于⊙O ，F 是CD ︵上一点，且DF ︵＝BC ︵，连结CF 并延长交AD 的延长线于点E ，连结AC .若∠ABC ＝105°，∠BAC ＝25°，则∠E 的度数为( )图27－T －4A ．45°B ．50°C ．55°D ．60° 【归纳总结】圆内接四边形的性质是“圆内接四边形的对角互补”，这个性质是由圆周角定理推导出来的，其主要作用是计算角度，根据这个性质可以推出“圆内接四边形的外角等于它的内对角”．问题6 直线与圆的位置关系直线与圆有哪些位置关系？如何确定一条直线与一个圆是哪种位置关系？什么是圆的切线？切线的判定定理、切线的性质定理、切线长定理的内容各是什么？例6 如图27－T －5，⊙O 是△ABC 的外接圆，AC 为直径，弦BD ＝BA ，BE ⊥DC 交DC 的延长线于点E ，连结AD .求证：(1)∠1＝∠BAD ； (2)BE 是⊙O 的切线．图27－T －5【归纳总结】已知切线想性质，要证切线想判定；证明切线时，若明确已知直线与圆的公共点，则用切线的判定定理，若未明确已知直线与圆是否有公共点，则考虑圆心到直线的距离d与半径r是否相等；多条切线时，莫忘切线长定理．问题7 求不规则图形的面积什么是不规则图形？如何求与扇形有关的不规则图形的面积？求解过程体现了什么数学思想？例7 如图27－T－6，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，以AB为直径作一个半圆，则图中阴影部分的面积为( )图27－T－6A．25π－6 B.25π2－6 C.25π6－6 D.25π8－6【归纳总结】计算平面图形的面积是初中几何常见的题型之一，其中计算不规则图形的面积又是难点，在求与圆有关的不规则阴影部分的面积时，通常是运用转化思想将阴影部分的面积转化为圆、扇形、三角形面积的和或差，对图形进行分解、组合，化不规则图形为规则图形再求解．问题8 圆中的计算问题圆锥的侧面展开图是什么形状的？展开图与圆锥各部分的对应关系如何？怎样计算圆锥的侧面积与全面积？例8 如图27－T－7，一扇形纸片的圆心角∠AOB为120°，弦AB的长为2 3 cm，用它围成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计)，则该圆锥的底面半径为( )图27－T－7A.23cm B.23π cmC.32cm D.32π cm问题9 正多边形与圆正多边形与圆有什么关系？什么是正多边形的中心、半径、边心矩、中心角？如何进行正多边形的相关计算？怎样利用正多边形与圆的关系画出正多边形？例9 (1)已知：如图27－T －8①，△ABC 是⊙O 的内接正三角形，P 为BC ︵上一动点，求证：PA ＝PB ＋PC ；(2)如图②，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，P 为BC ︵上一动点，求证：PA ＝PC ＋2PB ； (3)如图③，六边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，P 为BC ︵上一动点，请探究PA ，PB ，PC 三者之间有何数量关系，并给予证明．图27－T －8【归纳总结】(1)各边相等的圆内接多边形是正多边形； (2) 各角相等的圆外切多边形是正多边形.教师详解详析【整合提升】例1 [解析] C 只有②③④正确． 例2 [解析] (1)根据“在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等”，可以得到这两个三角形有两对角分别相等，然后根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明即可．(2)根据垂径定理，可以证明E 为AB 的中点，设⊙O 的半径为r ，则OE ＝r －2，根据勾股定理可得一个关于r 的方程，解方程即可．解：(1)证明：根据“在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等”，得∠A ＝∠D ，∠C ＝∠ABD ， ∴△AEC ∽△DEB.(2)∵CD ⊥AB ，CD 为⊙O 的直径， ∴BE ＝12AB ＝4.设⊙O 的半径为r.∵DE ＝2， ∴OE ＝r －2.在Rt △OEB 中，由勾股定理，得OE 2＋BE 2＝OB 2，即(r －2)2＋42＝r 2，解得r ＝5， 即⊙O 的半径为5. 例3 [解析] (1) 此题是结论开放性问题．由于AB 是⊙O 的直径，所以∠ACB ＝90°(直径所对的圆周角是直角)．进一步可得AC 2＋BC 2＝AB 2，或∠A ＋∠ABC ＝90°；因为 OD ⊥BC 于点E ，交BC ︵于点D ，所以CE ＝BE ，CD ＝BD ，CD ︵＝BD ︵(垂径定理)，OE 2＋BE 2＝OB 2.进一步可得到：∠COD ＝∠BOD ，∠A ＝12∠COB ＝∠COD ＝∠BOD(在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半)；还可以得到AC ∥OD ，△BOD 是等腰三角形等． (2)在Rt △OBE 中，根据垂径定理和勾股定理可以求出半径．解：(1) 答案不唯一，如：BE ＝CE ，∠BED ＝90°，∠BOD ＝∠A ，AC ∥OD ，AC ⊥BC ，OE 2＋BE2＝OB 2，△BOD 是等腰三角形等．(2)设⊙O 的半径为r ，则OB ＝r, OE ＝r －1. ∵OD ⊥BC ， ∴BE ＝CE ＝12BC ＝2.∵在Rt △OBE 中，OE 2＋BE 2＝OB 2,∴(r －1)2＋22＝r 2，解得r ＝52.故⊙O 的半径为52.例4 [解析] (1)根据等腰三角形三线合一的性质证明；(2)两个三角形有一个公共角，只要再证明一对对应角相等即可；(3)由AC ·CE 联想到△BEC ∽△ADC.再由PD ·AD 联想到证明△BPD ∽△ABD ，综合可得AC ·CE ＝2PD ·AD.证明：(1)∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°，即AD ⊥BC. 又∵AB ＝AC ，∴D 是BC 的中点．(2)在△BEC 与△ADC 中， ∵∠C ＝∠C ，∠CBE ＝∠CAD ， ∴△BEC ∽△ADC.(3)∵△BEC ∽△ADC ，∴BC AC ＝CECD .∵D 是BC 的中点，∴2BD ＝2CD ＝BC ， ∴2BD AC ＝CE BD，则2BD 2＝AC ·CE.① ∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴∠CAD ＝∠BAD. 又∵∠CAD ＝∠CBE ， ∴∠CBE ＝∠BAD.又∵∠BDP ＝∠ADB ，∴△BPD ∽△ABD ， ∴BD AD ＝PD BD，则BD 2＝PD ·AD.② 由①②得AC ·CE ＝2BD 2＝2PD ·AD ， ∴AC ·CE ＝2PD ·AD. 例5 [解析] B 因为四边形ABCD 内接于⊙O ，所以∠ADC ＝180°－∠ABC ＝180°－105°＝75°.因为DF ︵＝BC ︵，所以∠DCE ＝∠BAC ＝25°.因为∠ADC ＝∠DCE ＋∠E ，所以∠E ＝∠ADC －∠DCE ＝75°－25°＝50°.故选B . 例6 证明：(1)∵BD ＝BA ， ∴∠BDA ＝∠BAD.又∵∠1＝∠BDA ，∴∠1＝∠BAD. (2)如图，连结BO ，∵AC 为⊙O 的直径， ∴∠ABC ＝90°.∵∠BAD ＋∠BCD ＝180°， ∴∠1＋∠BCD ＝180°. ∵OB ＝OC ， ∴∠1＝∠CBO ，∴∠CBO ＋∠BCD ＝180°，∴OB ∥DC. ∵BE ⊥DC ，∴BE ⊥OB.又∵OB 是⊙O 的半径，∴BE 是⊙O 的切线．例7 [解析] D 由菱形的性质，在Rt △ABO 中，易得AB ＝5，于是以AB 为直径的半圆的面积为12·π·(52)2＝258π，阴影部分的面积为以AB 为直径的半圆的面积减去Rt △ABO 的面积，即25π8－6. [点评] 求不规则图形的面积的主要方法是将图形分割成规则图形，然后求出各规则图形的面积，再用它们的和或差求不规则图形的面积．例8 [解析] A 由∠AOB 为120°，弦AB 的长为2 3 cm ，可以求出OA ＝OB ＝2 cm ，所以扇形的弧长为120180×2π，它等于圆锥的底面周长，即2πr ＝120180×2π，解得r ＝23(cm )．例9解：(1)证明：如图①，延长BP 至点E ，使PE ＝PC ，连结CE.∵∠1＝∠2＝60°， ∠3＝∠4＝60°， ∴∠CPE ＝60°，∴△PCE 是等边三角形， ∴CE ＝PC ，∠E ＝∠3＝60°. 又∵∠EBC ＝∠PAC ， ∴△BEC ≌△APC ，∴PA ＝EB ＝PB ＋PE ＝PB ＋PC.(2)证明：如图②，过点B 作BE ⊥PB 交PA 于点E.∵∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝90°， ∴∠1＝∠3.又易知∠APB ＝45°， ∴PB ＝EB ，∴PE ＝2PB.又∵AB ＝CB ，∴△ABE ≌△CBP ，∴PC ＝EA ， ∴PA ＝EA ＋PE ＝PC ＋2PB. (3)PA ＝PC ＋3PB.证明：如图③，在AP 上截取AQ ＝PC ，连结BQ.又∵∠BAP＝∠BCP，AB＝CB，∴△ABQ≌△CBP，∴QB＝PB.又易知∠APB＝30°，∴PQ＝3PB，∴PA＝AQ＋PQ＝PC＋3PB.。

圆本章中考演练一、选择题1．2018·某某如图27－Y －1，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB ，交⊙O 于点C ，连结OA ，OB ，BC ，若∠ABC ＝20°，则∠AOB 的度数是()图27－Y －1A ．40°B ．50°C ．70°D ．80°2．2018·某某如图27－Y －2，⊙O 的直径AB ＝6，若∠BAC ＝50°，则劣弧AC 的长为()图27－Y －2A ．2π B.8π3 C.3π4 D.4π33．2018·某某如图27－Y －3所示，点A ，B ，C 在⊙O 上．若∠BAC ＝45°，OB ＝2，则图中阴影部分的面积为()图27－Y －3A ．π－4 B.23π－1 C ．π－2 D.23π－24．2018·某某已知圆锥的母线长为6，将其侧面沿着一条母线展开后所得扇形的圆心角为120°，则扇形的面积是()A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π5．2018·某某B 卷如图27－Y －4，△ABC 中，∠A ＝30°，点O 是边AB 上一点，以点O 为圆心，以OB 长为半径作圆，⊙O 恰好与AC 相切于点D ，连结BD .若BD 平分∠ABC ，AD ＝2 3，则线段CD 的长是()图27－Y －4A ．2 B. 3 C.32 D.3236．2018·某某如图27－Y －5，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝5，BC ＝10，连结AC ，BD ，以BD 为直径的圆交AC 于点E ，若DE ＝3，则AD 的长为()图27－Y －5A ．5B ．4C ．3 5D ．2 57．2018·某某如图27－Y －6，在⊙O 中，点C 在优弧AMB ︵上，将BC ︵沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D .若⊙O 的半径为5，AB ＝4，则BC 的长是()图27－Y －6A ．2 3B ．3 2 C.532 D.6528．2018·某某如图27－Y －7，矩形ABCD 中，G 是BC 的中点，过A ，D ，G 三点的⊙O 与边AB ，CD 分别交于点E ，F .给出下列说法：(1)AC 与BD 的交点是⊙O 的圆心；(2)AF 与DE 的交点是⊙O 的圆心；(3)BC 与⊙O 相切．其中正确说法的个数是()图27－Y －7A ．0B ．1C ．2D ．3 二、填空题9．2018·某某如图27－Y －8，点A ，B ，C 都在⊙O 上，OC ⊥OB ，点A 在劣弧BC ︵上，且OA ＝AB ，则∠ABC ＝________．图27－Y －810．2018·某某B 卷如图27－Y －9，在边长为4的正方形ABCD 中，以B 为圆心，以AB 为半径画弧，交对角线BD 于点E ，则图中阴影部分的面积是________(结果保留π)．图27－Y －911．2018·某某如图27－Y －10，在△ABC 中，∠A ＝60°，BC ＝5 cm.能够将△ABC 完全覆盖的最小圆形片的直径是________cm.图27－Y －1012．2018·某某X 徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设⊙O 的半径为1，若用⊙O 的外切正六边形的面积来近似估计⊙O 的面积S ，则S ＝________．(结果保留根号)13．2018·某某如图27－Y －11，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A ，B 是圆上的点，O 为圆心，∠AOB ＝120°，从A 到B 只有路AB ︵，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路AB .通过计算可知，这些市民其实仅仅少走了________步(假设1步为米，结果保留整数)．(参考数据：3≈，π取3.142)图27－Y－1114．2018·某某如图27－Y－12，菱形ABOC的边AB，AC分别与⊙O相切于点D，E，若D是AB的中点，则∠DOE＝________°.图27－Y－12三、解答题15．2018·黄冈如图27－Y－13，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过点B的切线交OP于点C.(1)求证：∠CBP＝∠ADB；(2)若OA＝2，AB＝1，求线段BP的长．图27－Y－1316．2018·达州已知：如图27－Y －14，以等边三角形ABC 的边BC 为直径作⊙O ，分别交AB ，AC 于点D ，E ，过点D 作DF ⊥AC 于点F .(1)求证：DF 是⊙O 的切线；(2)若等边三角形ABC 的边长为8，求由DE ︵，DF ，EF 围成的阴影部分的面积．图27－Y －1417．2018·某某如图27－Y －15，AB 是⊙O 的直径，DO ⊥AB 于点O ，连结DA 交⊙O 于点C ，过点C 作⊙O 的切线交DO 于点E ，连结BC 交DO 于点F . (1)求证：CE ＝EF .(2)连结AF 并延长，交⊙O 于点G ，连结EG .填空： ①当∠D 的度数为________时，四边形ECFG 为菱形； ②当∠D 的度数为________时，四边形ECOG 为正方形．图27－Y －15教师详解详析1．[解析] D ∠AOC ＝2∠ABC ＝2×20°＝40°.因为OC ⊥AB ，所以AC ︵＝BC ︵，从而有∠AOB ＝2∠AOC ＝2×40°＝80°.故答案为D.2．[解析] D 连结OC ，如图．∵∠BAC ＝50°，∴∠C ＝∠BAC ＝50°，∴∠AOC ＝80°，∴lAC ︵＝80×3×π180＝4π3，故选D.3．[解析] C ∵∠BAC ＝45°，∴∠BOC ＝90°.则S 扇形BOC ＝90×π×22360＝π，S Rt △BOC ＝12BO ·CO＝12×2×2＝2.则阴影部分的面积为S 扇形BOC －S Rt △BOC ＝π－2. 4．[解析] C 根据题意可得扇形的面积为120360×π×62＝12π，故选C.5．[解析] B 如图，连结OD ，则由⊙O 与AC 相切于点D ，得OD ⊥A C.∵在Rt △AOD 中，∠A ＝30°，AD ＝23，tan A ＝OD AD， ∴OD ＝AD ·tan A ＝23×tan30°＝23×33＝2， ∴AO ＝2OD ＝4，AB ＝OA ＋OB ＝6. ∵∠AOD ＝90°－∠A ＝60°， ∴∠ABD ＝12∠AOD ＝30°.∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABC ＝2∠ABD ＝60°， ∴∠C ＝90°＝∠ADO ， ∴OD ∥BC ，∴AD DC ＝AO OB ，即23DC ＝42，∴DC ＝ 3. 6．[解析] D 如图，连结BE .因为AD ∥BC ，所以∠DAE ＝∠ACB .又因为∠DAE ＝∠DBE ，所以∠DBE ＝∠ACB .因为BD 是直径，所以∠BED ＝90°，∠DAB ＝90°.因为AD ∥BC ，所以∠ABC ＝180°－∠DAB ＝90°，所以∠BED ＝∠ABC ，所以△BED ∽△CBA ，所以DE AB ＝EBBC，可得EB ＝△BED 中，由勾股定理可得BD ＝3 5.在Rt △ADB 中，由勾股定理可得AD ＝25，故选D.7．[解析] B 如图，连结AC ，OC ，OA ，DC ，OD ，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，过点O 作OF ⊥CE 于点F .设H 为BC ︵上一点．∵BC ︵沿BC 折叠，∴∠CDB ＝∠H .∵∠H ＋∠A ＝180°，∠CDA ＋∠CDB ＝180°，∴∠A ＝∠CDA ，∴CA ＝CD .∵CE ⊥AD ，∴AE ＝ED ＝1.∵OA ＝5，AD ＝2，∴OD ＝1.∵OD ⊥AB ，易得四边形OFED 为矩形，∴OF ＝1.又∵OC ＝5，∴CF ＝2，∴CE ＝3.在Rt △CEB 中易得BC ＝3 2.8．[解析] C ∵矩形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝90°，∴AF 与DE 都是⊙O 的直径，AC 与BD 不是⊙O 的直径，∴AF 与DE 的交点是⊙O 的圆心，AC 与BD 的交点不是⊙O 的圆心，∴(1)错误，(2)正确．连结AF ，OG ，则O 为AF 的中点．∵G 是BC 的中点．∴OG 是梯形FABC 的中位线，∴OG ∥AB .∵AB ⊥BC ，∴OG ⊥BC ，∴BC 与⊙O 相切，∴(3)正确．综上所述，正确结论有两个．9．[答案] 15°[解析] ∵OC ⊥OB ，OB ＝OC ，∴∠CBO ＝45°.∵OB ＝OA ＝AB ，∴△AOB 为等边三角形，∠ABO ＝60°，∴∠ABC ＝∠ABO －∠CBO ＝60°－45°＝15°.10．[答案] 8－2π[解析] ∵正方形ABCD 的边长为4，∴∠BAD ＝90°，∠ABD ＝45°，AB ＝AD ＝4，∴S 阴影＝S Rt △ABD －S 扇形BAE ＝12×4×4－45π·42360＝8－2π.11．[答案] 1033[解析] 能够将△ABC 完全覆盖的最小圆形片是如图所示的△ABC 外接圆⊙O ，连结OB ，OC ，则∠BOC ＝2∠BAC ＝120°，过点O 作OD ⊥BC 于点D ，∴∠BOD ＝12∠BOC ＝60°.由垂径定理得BD ＝12BC ＝52cm ，∴OB ＝BDsin 60°＝5232＝533(cm)，∴能够将△ABC 完全覆盖的最小圆形片的直径是1033 cm.12．[答案] 2 3[解析] 依照题意画出图形，如图所示． ∵六边形ABCDEF 为正六边形， ∴△ABO 为等边三角形．∵⊙O 的半径为1，∴OM ＝1，∴BM ＝AM ＝33，∴AB ＝233， ∴S ＝6S △ABO ＝6×12×233×1＝2 3.故答案为23.13．[答案] 15[解析] 过点O 作OC ⊥AB 于点C ，如图，则AC ＝BC . ∵OA ＝OB ，∴∠A ＝∠B ＝12(180°－∠AOB )＝12(180°－120°)＝30°.在Rt △AOC 中，OC ＝12OA ＝10，AC ＝3OC ＝103，∴AB ＝2AC ＝203≈69(步)． 而AB ︵的长＝120·π·20180≈84(步)，AB ︵的长比AB 的长多15步．即这些市民其实仅仅少走了15步． 故答案为15.14．[答案] 60[解析] 连结OA ，如图．∵四边形ABOC 是菱形，∴AB ＝BO . ∵AB 与⊙O 相切于点D ，∴OD ⊥AB . 又∵D 是AB 的中点， ∴OA ＝OB ，∴△AOB 是等边三角形，∠AOB ＝60°， ∴∠AOD ＝12∠AOB ＝30°.同理∠AOE ＝30°，∴∠DOE ＝∠AOD ＋∠AOE ＝60°. 故答案为60.15．[解析] (1)连结OB ，则OB ⊥BC .因为AD 是直径，所以∠ABD ＝90°，易知∠OAB ＝∠OBA＝∠DBC .因为OB ＝OD ，所以∠ADB ＝∠OBD .因为∠CBP ，∠OBD 都与∠DBC 互余，所以∠CBP ＝∠ADB ；(2)易得△ABD ∽△AOP ，则AB AO ＝ADAP，由AB ，AO 的长度可求出BP 的长度．解：(1)证明：连结OB ，则OB ⊥BC ，∠OBC ＝90°，所以∠OBD ＋∠DBC ＝90°.因为AD 是⊙O 的直径，所以∠ABD ＝90°，所以∠DBP ＝90°，即∠DBC ＋∠CBP ＝90°，所以∠OBD ＝∠CBP . 因为OB ＝OD ，所以∠OBD ＝∠ADB ， 所以∠CBP ＝∠ADB .(2)在△ABD 和△AOP 中，∠DAB ＝∠PAO ，∠POA ＝∠DBA ＝90°，故△ABD ∽△AOP ，则AB AO ＝AD AP.因为AB ＝1，AO ＝2，AD ＝2AO ＝4，所以AP ＝8，所以BP ＝7.16．[解析] (1)先根据等腰三角形的三线合一性质证D 是AB 的中点，然后根据三角形中位线定理得OD ∥AC ，又因为DF ⊥AC ，所以OD ⊥DF ，所以DF 是⊙O 的切线； (2)根据阴影部分的面积＝△DEF 的面积－DE ︵所对应的弓形面积列式计算可得． 解：(1)证明：如图，连结OD ，CD .∵BC 是直径，∴∠BDC ＝90°，∴CD ⊥AB . ∵△ABC 为等边三角形，∴D 是AB 的中点． ∵O 是BC 的中点， ∴OD ∥AC .∵DF ⊥AC ，∴OD ⊥DF ， ∴DF 是⊙O 的切线．(2)连结OE ，DE .∵D 是AB 的中点，E 是AC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，易知△ADE 是等边三角形． ∵等边三角形ABC 的边长为8，∴等边三角形ADE 的边长为4.∵DF ⊥AC ，∴EF ＝2，DF ＝23，∴△DEF 的面积＝12EF ·DF ＝12×2×23＝23， ∴△ADE 的面积＝△ODE 的面积＝4 3.扇形ODE 的面积＝60·π·42360＝8π3， ∴阴影部分的面积＝S △DEF ＋S △ODE －S 扇形ODE ＝23＋43－8π3＝63－8π3. 17．解：(1)证明：连结OC ，如图．∵CE 为切线，∴OC ⊥CE ，∴∠OCE ＝90°，即∠1＋∠4＝90°.∵DO ⊥AB ，∴∠3＋∠B ＝90°.而∠2＝∠3，∴∠2＋∠B ＝90°.∵OB ＝OC ，∴∠4＝∠B ，∴∠1＝∠2，∴CE ＝EF .(2)①当∠D ＝30°时，∠DAO ＝60°，而AB 为直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠B ＝30°， ∴∠3＝∠2＝60°，而CE ＝EF ，∴△CEF 为等边三角形，∴CE ＝CF ＝EF .同理可得∠GFE ＝60°.利用对称性得FG＝FC，∴FG＝EF，∴△FEG为等边三角形，∴EG＝FG，∴CF＝FG＝GE＝CE，∴四边形ECFG为菱形．故答案为30°.②当∠D＝°时，∠DAO＝°，而OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝°，∴∠AOC＝180°－°－°＝45°.∵∠AOD＝90°，∴∠COE＝45°，利用对称得∠EOG＝45°，∴∠COG＝90°，易得△OEC≌△OEG，∴∠OGE＝∠OCE＝90°，∴四边形ECOG为矩形，又∵OC＝OG，∴矩形ECOG为正方形．故答案为°.。