初中数学二次函数知识点汇总(最新最全)

01
知识点总结
02
学习口诀
二次函数图像与性质口诀
二次函数抛物线，图象对称是关键;
开口、顶点和交点，它们确定图象限;
开口、大小由a断，c与Y轴来相见，b的符号较特别，符号与a相关联;
顶点位置先找见，Y轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱;
顶点坐标最重要，一般式配方它就现，横标即为对称轴，纵标函数最值见。

若求对称轴位置，符号反，一般、顶点、交点式，不同表达能互换。

03
易错分析
函数是初中数学知识的主线，而二次函数是这条主线上的高潮.我们通过探索二次函数与方程的关系，让我们领悟到事物之间相互联系的辨证关系.我们能够利用二次函数解决实际问题，培养数学建模的能力。

1、知识结构
2、知识梳理
3、性质
注意：二次函数的性质要结合图象，认真理解，灵活应用，不要死记硬背．
4、二次函数与一元二次方程的关系
【易错点剖析】
一、忽略二次项系数不等于0
二、忽略隐含条件
三、忽略数形结合思想方法的应用
四、求顶点坐标时混淆符号
五、忽视根的判别式的作用
04
巧选解析式
二次函数解析式的确定是中考的高频考点，在压轴题的第一问就难倒了不少小伙伴。

那么如何巧选表达式来确定二次函数的解析式呢？
【小试牛刀】
【几种特殊情况】
05
动态最值专题
06
解题技巧
学好函数还是有诀窍的，要结合图像说性质，结合性
质画图像，正所谓数形结合，函数无敌！。

二次函数知识要点一、定义和性质二次函数是一种形式为$f(x)=ax^2+bx+c$的函数，其中$a \neq 0$，且$a, b, c$为常数。

二次函数的定义域是实数集$\mathbb{R}$。

1. 抛物线二次函数的图像为抛物线，开口方向取决于系数$a$的正负。

若$a>0$，则抛物线开口向上；若$a<0$，则抛物线开口向下。

2. 零点二次函数的零点是函数图像与$x$轴的交点，表示方程$f(x)=0$的解。

二次函数的零点个数不超过2个。

3. 预备知识求一个二次函数的图像需要知道抛物线的顶点、开口方向以及与$x$轴的交点等信息，这些信息可以通过转化二次函数的标准形式$f(x)=a(x-h)^2+k$来获得。

二、顶点和轴对称性1. 顶点二次函数的顶点坐标为$(h, k)$，其中$x=h$时取得极值，$k$为函数的最小值（当$a>0$）或最大值（当$a<0$）。

2. 轴对称性二次函数的图像关于直线$x=h$对称。

直线$x=h$称为二次函数的对称轴。

三、更多的性质1. 单调性当$a>0$时，二次函数在开区间$(-\infty, h)$和$(h, +\infty)$上递增，在闭区间$[h, +\infty)$上递减；当$a<0$时，二次函数在开区间$(-\infty,h)$和$(h, +\infty)$上递减，在闭区间$[h, +\infty)$上递增。

2. 函数值的范围对于一般的二次函数，当$a>0$时，函数值的范围为$[k, +\infty)$；当$a<0$时，函数值的范围为$(-\infty, k]$。

3. 极值点若$a>0$，则二次函数的最小值为$k$，对应于顶点$(h, k)$；若$a<0$，则二次函数的最大值为$k$，对应于顶点$(h, k)$。

四、解析式和一般形式1. 解析式二次函数的标准形式为$f(x)=a(x-h)^2+k$，其中$h$和$k$为顶点坐标，$a$决定了开口方向和抛物线的缩放比例。

初中二次函数知识点总结(全面)初中二次函数知识点总结(全面)二次函数知识点（一）、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如yax2bxc（a，b，c是常数，a0）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0，而b，c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2.二次函数yax2bxc的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．（二）、二次函数yax2bxc的性质b4acb2b1.当a0时，抛物线开口向上，对称轴为x，顶点坐标为，．2a4a2a 当xbb时，y随x的增大而减小；当x时，y随x的增大而增大；当2a2a4acb2b．x 时，y有最小值4a2a2.当a0时，抛物线开口向下，对称轴为xb，顶点坐标为2ab4acb2bb 时，y随x的增大而增大；当x时，y随x的增，．当x4a2a2a2a4acb2b大而减小；当x时，y有最大值．4a2a（三）、二次函数解析式的表示方法1.一般式：yax2bxc（a，b，c为常数，a0）；2.顶点式：ya(xh)2k（a，h，k为常数，a0）；3.两根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b24ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.练习1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)()A.B.C.D.2.函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是()A.(1，-4)B.(-1，2)C.(1，2)D.(0，3)3.抛物线y=2(x-3)2的顶点在()A.第一象限B.第二象限C.x轴上D.y轴上4.抛物线的对称轴是()A.x=-2B.x=2C.x=-4D.x=45.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是()A.ab>0，c>0B.ab>0，c10.把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是()A.C.二、填空题1、下列函数中，哪些是二次函数？（1）yx20（3）yx2（2）y(x2)(x2)(x1)2B.D.1（4）yx22x3x2、二次函数y2(x3)25的图象开口方向，顶点坐标是，对称轴是；3、当k为何值时，函数y(k1)xk2k1为二次函数？画出其函数的图象．3、函数yx(23x)，当x为时，函数的最大值是；14、二次函数yx22x，当x时，y0;且y随x的增大而减2小；5.二次函数y=x2-2x+1的对称轴方程是______________.6.若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式，则y=________.7.若抛物线y=x2-2x-3与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为_________.8.抛物线y=x2+bx+c，经过A(-1，0)，B(3，0)两点，则这条抛物线的解析式为_____________.9、二次函数yx2x的对称轴是．10二次函数y2x2x1的图象的顶点是，当x时，y随x的增大而减小．11抛物线yax4x6的顶点横坐标是-2，则a=．12、抛物线yax2xc的顶点是(,1)，则a、c的值是多少？222213．已知抛物线y=125x－３x－22（１）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（２）求抛物线与x轴、y轴的交点坐标；（３）画出草图（４）观察草图，指出x为何值时，y＞0,y＝0,y＜0.14、（20xx年宁波市）如图，已知二次函数y12xbxc2的图象经过A（2，0）、B（0，－6）两点。

完整版)二次函数知识点复习二次函数知识点一、二次函数概念：二次函数是形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数。

需要强调的是，和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b、c可以为零。

二次函数的定义域是全体实数。

二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：y=ax²的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。

a的符号决定开口方向，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

性质：a>0时，当x增大时，y增大；当x减小时，y减小；当x=0时，y有最小值。

a<0时，当x增大时，y减小；当x减小时，y增大；当x=0时，y有最大值。

2.y=ax²+c的性质：上加下减。

a的符号决定开口方向，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴。

性质：a>0时，当x增大时，y增大；当x减小时，y减小；当x=0时，y有最小值c。

a<0时，当x增大时，y减小；当x减小时，y增大；当x=0时，y有最大值c。

3.y=a(x-h)²的性质：左加右减。

a的符号决定开口方向，顶点坐标为（h，0），对称轴为x=h。

性质：a>0时，当x>h时，y增大；当x<h时，y减小；当x=h 时，y有最小值。

ah时，y减小；当x<h时，y增大；当x=h时，y有最大值。

4.y=a(x-h)²+k的性质：a的符号决定开口方向，顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h。

性质：a>0时，当x>h时，y增大；当x<h时，y减小；当x=h 时，y有最小值k。

ah时，y减小；当x<h时，y增大；当x=h时，y有最大值k。

三、二次函数图象的平移平移步骤：方法一：将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)²+k，确定其顶点坐标（h，k），具体平移方法如下：保持抛物线y=ax²的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，向上（k>0）或向下（k<0）平移|k|个单位。

二次函数知识点总结二次函数是初中数学的重要内容，也是高中数学的基础。

它在数学和实际生活中都有广泛的应用。

下面就来对二次函数的知识点进行一个全面的总结。

一、二次函数的定义一般地，形如$y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c$（＄a$、＄b$、＄c$是常数，＄a ≠ 0$）的函数，叫做二次函数。

其中，＄x$是自变量，＄a$叫做二次项系数，＄b$叫做一次项系数，＄c$叫做常数项。

需要注意的是，二次函数的二次项系数$a$不能为$0$，否则就变成了一次函数。

二、二次函数的图像二次函数的图像是一条抛物线。

当$a ＞ 0$时，抛物线开口向上；当$a ＜ 0$时，抛物线开口向下。

抛物线的对称轴是直线$x ＝＼frac{b}｛2a}＄。

抛物线的顶点坐标为$＼left(＼frac{b}｛2a}，＼frac{4ac b^2}｛4a}＼right)＄。

三、二次函数的表达式1、一般式：＄y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c$（＄a ≠ 0$）2、顶点式：＄y ＝ a(x h)＾2 ＋ k$（＄a ≠ 0$，顶点坐标为$（h, k)＄）3、交点式：＄y ＝ a(x x_1)（x x_2)＄（＄a ≠ 0$，＄x_1$、＄x_2$是抛物线与$x$轴交点的横坐标）四、二次函数的性质1、当$a ＞ 0$时，在对称轴左侧，＄y$随$x$的增大而减小；在对称轴右侧，＄y$随$x$的增大而增大。

当$a ＜ 0$时，在对称轴左侧，＄y$随$x$的增大而增大；在对称轴右侧，＄y$随$x$的增大而减小。

2、二次函数的最值：当$a ＞ 0$时，函数有最小值，＄y_{min} ＝＼frac{4ac b^2}｛4a}＄。

当$a ＜ 0$时，函数有最大值，＄y_{max} ＝＼frac{4ac b^2}｛4a}＄。

五、二次函数与一元二次方程的关系抛物线$y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c$与$x$轴的交点的横坐标就是一元二次方程$ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$的根。

二次函数知识点一、基本概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c=++（a b ca≠）的函数，叫做二次函数。

，，是常数，0这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：y axa 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c=+的性质：（上加下减）3. ()2y a x h =-的性质：（左加右减）4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法1：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法2：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k=-+与2y axbx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。

初中数学二次函数知识点总结一、二次函数的定义和性质：二次函数是形如f(x) = ax² + bx + c（a ≠ 0）的函数，其中a、b、c为常数，且a 的值决定了抛物线的开口方向。

1. 二次函数的图像是一条抛物线，可以分为三种情况：a）当a > 0时，抛物线开口向上，函数的最小值为c；b）当a < 0时，抛物线开口向下，函数的最大值为c；c）当a = 0时，函数为线性函数，图像为一条直线。

2. 抛物线的对称轴方程为x = -b/(2a)。

3. 抛物线的顶点坐标为对称轴上的点，可以通过对称轴方程求得。

4. 当抛物线开口向上时，函数的值随着x的增大而增大；当抛物线开口向下时，函数的值随着x的增大而减小。

5. 当二次函数与x轴交点时，即f(x) = 0，可以通过因式分解、配方法或求根公式求得x的值。

二、二次函数的图像及其性质的应用：1. 求解二次不等式：可以通过函数图像的性质进行解题，即判断图像与x轴的交点的情况。

2. 求解实际问题：如抛物线模型、最值问题等，将实际问题转化为二次函数的问题，再通过函数图像的性质求解。

三、二次函数的基本变形：1. y = a(x - h)² + k：顶点坐标为(h, k)，对称轴方程为x = h，图像开口方向与a 的正负有关。

2. y = ax² + bx + c + d：在基本函数的基础上进行平移，平移量为(d, d)。

3. y = a(x - h)² + k + d：在基本函数的基础上进行平移和伸缩，平移量为(d, d)，伸缩量为a。

4. y = a(x - h)² + k + d：在基本函数的基础上进行平移、伸缩和翻转，平移量为(d, d)，伸缩量为a，翻转轴为直线x = h。

四、二次函数的相关概念：1. 零点：即函数与x轴交点的横坐标，可以通过因式分解、配方法或求根公式求得。

2. 最值：当二次函数开口向上时，函数的最小值为c；开口向下时，函数的最大值为c。

二次函数知识点二次函数知识点总结
二次函数是形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a≠0。

二次函数的图像呈现出抛物线的形状，开口的方向取决于a的正负。

1. 零点：二次函数的零点就是方程ax^2+bx+c=0的解，可以通过因式分解、配方法、根公式等求得。

2. 平移：二次函数可以通过平移抛物线来改变其图像的位置。

平移的方法包括横向平
移和纵向平移，分别通过将x和y值加上或减去常数来实现。

3. 对称轴：二次函数的对称轴是抛物线的镜像轴，可以通过x= -b/2a求得。

4. 最值：对于开口向上的抛物线，最小值为对称轴上的y值；对于开口向下的抛物线，最大值为对称轴上的y值。

5. 函数值的范围：对于开口向上的抛物线，函数值的范围为对称轴上的y值到正无穷；对于开口向下的抛物线，函数值的范围为负无穷到对称轴上的y值。

6. 判别式：判别式是方程ax^2+bx+c=0的判别式b^2-4ac，通过判别式可以判断方
程有几个解，并且可以判断解的性质。

7. 与x轴交点：与x轴交点是方程ax^2+bx+c=0的解，可以通过零点或者因式分解
求得。

8. 与y轴交点：与y轴交点是当x等于0时的函数值，即c。

9. 开口方向：二次函数的开口方向由系数a的正负决定。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

10. 求解顶点：顶点是抛物线的最高或最低点，可以通过对称轴和函数的最值求得。

初中数学二次函数知识点总结I.定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

II.二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P（h，k）]交点式：y=a(x-x₁)(x-x ₂) [仅限于与x轴有交点A（x₁，0）和B（x₂，0）的抛物线]注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x₁,x₂=(-b±√b^2-4ac)/2aIII.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

IV.抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线x = -b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )当-b/2a=0时，P在y 轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于（0，c）6.抛物线与x轴交点个数Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

初中二次函数知识点总结一、二次函数的定义二次函数是指一个变量的函数，其形式可以表示为 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数，且a ≠ 0。

在这个表达式中，x 是自变量，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。

二、二次函数的图像二次函数的图像是一个抛物线。

根据 a 的正负，抛物线开口向上或向下。

a > 0 时，抛物线开口向上；a < 0 时，抛物线开口向下。

三、顶点二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点。

顶点的坐标可以通过公式 (-b/2a, f(-b/2a)) 计算得出。

四、对称轴二次函数的对称轴是一条垂直线，其方程为 x = -b/2a。

对称轴将抛物线分为两部分，这两部分关于对称轴是对称的。

五、根的判别式二次函数的根（解）可以通过求解一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0 来确定。

根的情况由判别式Δ = b^2 - 4ac 决定：- 如果Δ > 0，则方程有两个不相等的实根；- 如果Δ = 0，则方程有两个相等的实根（一个实根）；- 如果Δ < 0，则方程没有实根。

六、求根公式二次函数的根可以通过以下公式求得：x1 = (-b + √Δ) / 2ax2 = (-b - √Δ) / 2a七、配方法配方法是求解二次方程的一种方法，通过将二次方程转化为完全平方的形式来简化求解过程。

八、二次函数的性质- 二次函数的图像是连续的；- 如果 a > 0，当 x < -b/2a 时，f(x) 递减；当 x > -b/2a 时，f(x) 递增；- 如果 a < 0，当 x < -b/2a 时，f(x) 递增；当 x > -b/2a 时，f(x) 递减；- 二次函数的图像与 x 轴的交点称为零点，与 y 轴的交点可以通过将 x 设为 0 来求得。

九、实际应用二次函数在现实生活中有广泛的应用，如物理中的速度和加速度问题、经济学中的最优化问题等。