安徽省2020-2021学年高二数学10月月考试题 理

安徽省太和第一中学2020-2021学年 高二10月月考（理）（奥赛班）一、单选题1．直线30x y +-=被圆2223x y y +-=截得的弦MN 的长为（ ）A ．2B ．3C ．D ． 2．直线()2110x a y +++=的倾斜角的取值范围是（ ）A ．0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦πB ．30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ C ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭3．m R ∈，动直线110l x my +-=：过定点A ，动直线2:230l mx y m --+=：过定点B ，若1l 与2l 交于点P (异于点,A B )，则PA PB +的最大值为( )A B ．CD ．4．若,,,m n a b R ∈，且满足346,341m n a b +=+=的最小值为（ ） A B C ．1 D ．125．曲线214y x 与直线()24y k x =-+有两个不同交点，实数k 的取值范围是（ ） A ．34k ≥B ．35412k -≤<-C ．512k >D ．53124k <≤ 6．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱BC 、CC 1的中点，则下列结论错误的是（ ）A ．三棱锥A ﹣BCF 外接球的表面积为9πB ．A 1D ⊥AFC ．点C 到平面AEF 的距离为23D ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为927．三棱锥D ABC -中，AD CD ==AB BC CA ===当三棱锥体积最大时，侧棱BD 的长为（ ）A ．1BC D ．28．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ,1AD AB ==,AD AB ⊥,45BCD ∠= ,将ABD ∆沿对角线BD 折起．设折起后点A 的位置为A '，并且平面A BD '⊥平面BCD .给出下面四个命题： ①A D BC '⊥；②三棱锥A BCD '-； ③CD ⊥平面A BD '；④平面A BC '⊥平面A DC '.其中正确命题的序号是（ ）A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④9．三棱锥S ﹣ABC 的各顶点均在球O 的球面上，SC 为该球的直径，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝120°，且三棱锥S ﹣ABC 的体积为2，则球O 的半径为（ ）ABC ．52D ．310．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣11．已知点(),P x y 是直线()400kx y k ++=>上一动点PA 、PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线，A 、B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为（ ）A ．3B ．2C ．D ．212．已知点(,),P t t t R ∈，点M 是圆221(1)4x y +-=上的动点，点N 是圆221(2)4x y -+=上的动点，则PN PM -的最大值是（ ）A 1B ．2C ．3D 二、填空题13．过原点O 有一条直线l ，它夹在两条直线1:220--=l x y 与2:30l x y ++=之间的线段恰好被点O 平分，则直线l 的方程为______________.14．如图所示，在上、下底面对应边的比为1：2的三棱台中，过上底面一边11A B 作一个平行于棱1C C 的平面11A B EF ，记平面分三棱台两部分的体积为1V （三棱柱111A B C FEC -），2V 两部分，那么12:V V =______.15．过点()5,0P -作直线()()()121430m x m y m m R +-+--=∈的垂线，垂足为M ，已知点()3,11N ，则MN 的取值范围是______.16．在三棱锥D ABC -中，已知AD ⊥平面ABC ，且ABC 为正三角形，AD AB ==点O 为三棱锥D ABC -的外接球的球心，则点O 到棱DB 的距离为______. 三、解答题17．设直线L 的方程为（a ＋1）x ＋y ＋2－a ＝0（a ∈R ）． (1)若直线L 在两坐标轴上的截距相等，求直线L 的方程； (2)若直线L 不经过第二象限，求a 的取值范围．18．在平面四边形ABCD 中，1AB BD CD ===，,AB BD CD BD ⊥⊥，将ABD ∆沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图． （1）求证：AB CD ⊥；（2）若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值．19．如图，在五面体ABCDEF 中，AB ⊥平面ADE ，EF ⊥平面ADE ，2AB CD ==.（1）求证：//AB CD ；（2）若2AD AE ==，1EF =，且二面角E DC A --的大小为60︒，求二面角F BC D --的大小.20．已知O 为坐标原点，圆C 的方程为：()2211x y -+=，直线l 过点()0,3M .（1）若直线l 与圆C 有且只有一个公共点，求直线l 的方程；（2）若直线l 与圆C 交于不同的两点A ，B ，试问：直线OA 与OB 的斜率之和是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由.21．已知直线:10l x y +-=截圆222O :x y r (r 0)+=>直线1l 的方程为(12)(1)30m x m y m ++--=．（1）求圆O 的方程；（2）若直线1l 过定点P ，点,M N 在圆O 上，且PM PN ⊥，Q 为线段MN 的中点，求Q 点的轨迹方程.22．已知两个定点A （0，4），B （0，1），动点P 满足|P A |＝2|PB |，设动点P 的轨迹为曲线E ，直线l ：y ＝kx ﹣4. （1）求曲线E 的轨迹方程；（2）若l 与曲线E 交于不同的C 、D 两点，且120COD ∠=︒（O 为坐标原点），求直线l 的斜率；（3）若k ＝1，Q 是直线l 上的动点，过Q 作曲线E 的两条切线QM 、QN ，切点为M 、N ，探究：直线MN 是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由.——★ 参*考*答*案 ★——1．D『解析』 『分析』先将圆化为标准方程，求出圆心到直线的距离，再根据勾股定理可求得弦长.『详解』将圆2223x y y +-=化为标准方程得()2214x y +-=，∴圆心为()0,1，半径2r，设圆心到直线的距离为d ，则01322d，MN ∴===故选：D.『点睛』本题考查了由圆的标准方程求圆心和半径,考查了点到直线的距离公式,考查了勾股定理,属于基础题. 2．D『详解』设直线的斜率为k ，倾斜角为α，则211k a =-+ ，∴10k -≤<，即1tan 0α-≤< ∴倾斜角的取值范围是3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 故选：D 3．B『解析』由题意可得：A （1，0），B （2，3），且两直线斜率之积等于﹣1， ∴直线x+my ﹣1=0和直线mx ﹣y ﹣2m+3=0垂直，则|PA|2+|PB|2=|AB|2=10≥()22PA PB +．即PA PB +≤故选B.点睛：含参的动直线一般都隐含着过定点的条件，动直线1l ，动直线l 2分别过A （1，0），B （2，3），同时两条动直线保持垂直，从而易得|PA|2+|PB|2=|AB|2=10，然后借助重要不等式，得到结果. 4．C『解析』(),m n 为直线346x y +=上的动点，(),a b 为直线341x y +=上的动点，显然最小值即两平行线间的距离：d 1==.故选C 5．D『解析』 『分析』由曲线方程可知曲线为以()0,1为圆心，2为半径的圆的1y ≥的部分，又直线恒过()2,4A ，由数形结合可确定临界状态，分别利用圆的切线的求解和两点连线斜率公式求得临界状态时k 的取值，进而得到结果.『详解』214y x 可化为()()22141x y y +-=≥∴曲线214y x 表示以()0,1为圆心，2为半径的圆的1y ≥的部分又直线()24y k x =-+恒过定点()2,4A 可得图象如下图所示：当直线()24y k x =-+为圆的切线时，可得2d ==，解得：512k =当直线()24y k x =-+过点()2,1B -时，413224k -==+ 由图象可知，当()24y k x =-+与曲线有两个不同交点时，53124k <≤ 故选D『点睛』本题考查根据直线与曲线交点个数求解参数范围的问题，关键是能够明确曲线所表示的图形和直线恒过的定点，利用数形结合的方式得到临界状态，进而利用直线与圆的知识来进行求解. 6．B『解析』三垂线定理可排除B 错误 『详解』A ．设AC 与BD 交于点M ，则M 是BC △的外心，取AF 中点N ，连接NM ，则//NM CF ，∴NM ⊥平面ABCD ，∴N 是三棱锥A BCF -外接球的球心，1322NA AF ===，球表面积为23492S ππ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，A 正确；B ．如图，取1DD 中点G ，连接,GF GA ，由于F 是1CC 中点，∴//GF DC ，而DC ⊥平面11ADD A ，∴GF ⊥平面11ADD A ，1A D ⊂平面11ADD A ，∴1GF A D ⊥，若1A D AF ⊥，由于AFGF F =，∴1A D ⊥平面AFG ，又AG ⊂平面AFG ，∴1A D AG ⊥，但正方形11ADD A 中，G 是1DD 中点，不可能有1A D AG ⊥，B 错；C ．1121122AEC S EC AB =⨯⨯=⨯⨯=△，11111333F AEC AEC V S FC -=⋅=⨯⨯=△，AEF 中，AE EF =3AF =，则222cos210AE EF AF AEF AE EF +-∠===-⋅，sin 10AEF ∠=，113sin 22102AEF S AE EF EF =⋅∠==△，设C 到平面AEF 的距离为h ， 则A ECF C AEF V V --=得131323h ⨯=，23h =，C 正确；D ．连接11,FD D A ，易证得11////AD BC EF ，平面AEF 截正方体所得的截面即为等腰梯形1AD FE ，1AD =EF =1AE D F ==，梯形的高为h '==19222S =⨯⨯=，D 正确．故选：A ．『点睛』本题考查立体几何中命题的真假，考查线线垂直的判断，三棱锥的外接球问题，等体积法求点到平面的距离，考查正方体的截面等知识，考查学生的空间想象能力，运算求解能力，分析并解决问题的能力，属于中档题． 7．C『解析』 『分析』首先根据题意得到当平面DAC ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -体积最大，再求BD 的长即可.『详解』由题知：三棱锥D ABC -中，2AD CD ==AB BC CA === 当平面DAC ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -体积最大，如图所示：取AC 中点O ，连接DO ，BO .因为AD CD =，所以DO AC ⊥，==DO .又因为AB BC =，所以BO AC ⊥，32==BO . 又平面DAC ⊥平面ABC AC =，DO AC ⊥，所以DO ⊥平面ABC .OB ⊂平面ABC ，所以DO BO ⊥.所以==BD 故选：C『点睛』本题主要考查面面垂直的性质，同时考查了三棱锥体积的最值问题，属于中档题. 8．B『解析』 『分析』利用折叠前四边形ABCD 中的性质与数量关系，可证出BD DC ⊥，然后结合平面A BD '⊥平面BCD ，可得CD ⊥平面A BD '，从而可判断①③；三棱锥'A BCD -的体积为1132⋅=，可判断②；因为CD ⊥平面A BD '，从而证明CD A B ⊥'，再证明'A B ⊥平面A DC '，然后利用线面垂直证明面面垂直.『详解』①90,BAD AD AB ︒∠==，45ADB ABD ︒∴∠=∠=，//,45AD BC BCD ︒∠=，BD DC ∴⊥，平面A BD ' ⊥平面BCD ，且平面A BD'平面BCD BD =，CD 平面A BD '，A D ⊂'平面A BD '，CD A D ∴⊥'，故A D BC '⊥不成立，故①错误；②棱锥'A BCD -的体积为1132⋅=，故②错误； ③由①知CD ⊥平面A BD '，故③正确； ④由①知CD ⊥平面A BD '， 又A B ⊂'平面A BD '，CD A B ∴⊥'，又A B A D '⊥'，且'A D 、CD ⊂平面A DC '，A D CD D '⋂=,A B ∴'⊥平面A DC '，又A B '⊂平面'A BC , ∴平面'A BC ⊥平面A DC '，故④正确.故选：B.『点睛』本题通过折叠性问题，考查了面面垂直的性质，面面垂直的判定，考查了体积的计算，关键是利用好直线与平面、平面与平面垂直关系的转化，也要注意利用折叠前后四边形ABCD 中的性质与数量关系. 9．A『解析』 『分析』作出示意图，求得ABC 的面积，并计算出三棱锥S ABC -的高SD ，利用正弦定理计算圆E 的直径CD ，然后利用勾股定理求出SC ，即可求解球的直径，得到答案.『详解』如图所示， 因为2,120AC BC ACB ==∠=，可得ABC 的面积为11sin 22224ABC S AC BC ACB ∆=⋅∠=⨯⨯⨯=， 设ABC 的外接圆为圆E ，连接OE ，则OE ⊥平面ABC ， 作圆E 的直径CD ，连接SD ，因为,O E 分别为,SC CD 的中点，则//SD OE ，所以SD ⊥平面ABC ，所以三棱锥S ABC -的体积为123S ABC V SD -==，解得SD =由正弦定理，可得4sin sin 30AC ACCD ABC ===∠，SC =，设球的半径为R ，则2R SC ==R =故选：A.『点睛』本题主要考查了球的体积的计算公式及应用，其中解答中作出示意图，根据组合体的结构特征，找出线面垂直关系，求得三棱锥的高是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档试题. 10．A『解析』分析：先求出A ，B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线距离，得到点P 到直线距离范围，由面积公式计算即可详解： 直线x y 20++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点()()A 2,0,B 0,2∴--,则AB =点P 在圆22x 22y -+=（）上∴圆心为（2，0），则圆心到直线距离1d ==故点P 到直线x y 20++=的距离2d 的范围为则[]2212,62ABPSAB d ==∈ 故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题． 11．D『解析』 『分析』作出图形，可知Rt PAC Rt PBC ∆≅∆，由四边形PACB 的最小面积是2，可知此时PA PB =取最小值2，由勾股定理可知PC C 到直线()400kx y k ++=>k 的值.『详解』如下图所示，由切线长定理可得PA PB =，又AC BC =，PC PC =，且90PAC PBC ∠=∠=，Rt PAC Rt PBC ∴∆≅∆，所以，四边形PACB 的面积为PAC ∆面积的两倍，圆C 的标准方程为()2211x y +-=，圆心为()0,1C ，半径为1r =，四边形PACB 的最小面积是2，所以，PAC ∆面积的最小值为1， 又11122PAC S PA AC PA ∆=⋅=≥，min 2PA ∴=，由勾股定理PC ==≥当直线PC 与直线()400kx y k ++=>垂直时，PC即min PC ==24k =，0k >，解得2k =.故选：D.『点睛』本题考查由四边形面积的最值求参数的值，涉及直线与圆的位置关系的应用，解题的关键就是确定动点P 的位置，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 12．B『解析』设圆()22114x y +-=圆心为(0,1)A , 圆()22124x y -+=圆心为(2,0)B ,则PN PM -11()111222PB PA PB PA PB PA A B ≤+--'=-+=-++'≤=其中(1,0)A '为A 关于直线对称点,所以选B. 点睛：与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(,)x y 有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如y bu x a-=-型的最值问题，可转化为过点(,)a b 和点(,)x y 的直线的斜率的最值问题；②形如t ax by =+型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如22()()x a y b +--型的最值问题，可转化为动点到定点(,)a b 的距离平方的最值问题． 13．45y x =『解析』 『分析』设两交点分别为(,22)A a a -，(,3)B b b --，利用中点为原点求解a ,b ，得到A 点坐标，即得解.『详解』设两交点分别为(,22)A a a -，(,3)B b b --，则50325053a a b a b b ⎧⎧=⎪⎪+=⎪⎪⇒⎨⎨--=⎪⎪=-⎪⎪⎩⎩故点54,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以直线l 的方程为45y x =. 故答案为：45y x =『点睛』本题考查了直线与直线的位置关系，考查了学生综合分析，转化划归的能力，属于中档题. 14．3：4『解析』 『分析』设三棱台的高为h ，上底面的面积是S ，则下底面的面积是4S ，计算体积得到答案.『详解』设三棱台的高为h ，上底面的面积是S ，则下底面的面积是4S ，()174233V h S S S Sh ∴=++=台，1123,743V Sh V Sh V Sh Sh ∴=∴==-.故答案为：3:4.『点睛』本题考查了三棱台的体积问题，意在考查学生的计算能力.15．13⎡+⎣『解析』 『分析』先将直线化为()()2430--+--=m x y x y ，可知直线过定点()1,2Q -，可得M 在以PQ 为直径的圆上运动，求出圆心和半径，由圆的性质即可求得最值.『详解』由直线()()()121430m x m y m m R +-+--=∈化为()()2430--+--=m x y x y ，令24030x y x y --=⎧⎨--=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，所以直线过定点()1,2Q -，因为M 为垂足，所以PQM ∆为直角三角形，斜边为PQ ，所以M 在以PQ 为直径的圆上运动，由点()5,0P -可知以PQ为直径的圆圆心为()2,1C --，半径为==r则MN 的取值范围-≤≤+CN r MN CN r ，又因为13==CN ，所以MN 的取值范围是13⎡+⎣.故答案为：13⎡-⎣.『点睛』本题主要考查直线与圆的综合问题，考查学生综合应用所学知识的能力. 16．12『解析』 『分析』设'O 为ABC 的中心，M 为AD 中点，连结OM ，'OO ，AO ，求得OA =，设平面ODA 截得外接球是O ，D ，A ，F 是O 表面上的点，结合圆的性质和球的性质，即可求解.『详解』由题意，设'O 为ABC 的中心，M 为AD 中点，连结OM ，'OO ，AO ，则'1AO =，2AM =2OA =,即球的半径为2， 作平面ODA 交BC 于E ，交BC 于F ， 设平面ODA 截得外接球的截面是O ，D ，A ，F 是O 表面上的点，又∵DA ⊥平面ABC ，所以90DAF ∠=︒，所以DF 是O 的直径，也是球O 的直径，DF =DB BF ⊥.因为DA AB ⊥，DA =AB =BD =1BF =，做OH DB ⊥，所以//OH BF ，又由DO OF =，所以OH 是DBF 的中位线，所以12OH BF =，故12OH =. 故答案为：12『点睛』本题主要考查了组合体的结构特征，以及球的性质的应用，其中解答中熟练应用空间几何体的几何结构特征和球的性质是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力. 17． （2）30x y +=或20x y ++=； （3）(,1]-∞- .『解析』 『详解』（1）由（a ＋1）x ＋y ＋2－a ＝0整理得：()12a x y a ++=-，当2a =时，直线L 的方程为：30x y +=，此时直线的横、纵截距都为0，满足题意．当2a ≠时，直线L 的方程可化为：()1122a x ya a ++=--，要使得直线L 在两坐标轴上的截距相等，则11a +=，即：0a =．此时直线L 的方程为：20x y ++=. 综上可得：30x y +=或20x y ++=.（2）直线L 不经过第二象限，则()1020a a ⎧-+≥⎨-≤⎩，解得：1a ≤-.『点睛』本题主要考查了直线过定点问题，还考查了直线的截距概念，直线图像特征相关知识，属于基础题.18．（1）证明见解析；（2）3．『解析』 『分析』 『详解』试题分析：(1)由AB BD ⊥,将ABD ∆沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ,即可得AB 垂直于平面BCD.从而得到结论.(2)依题意,可得0DBC=45∠,又由AB ⊥平面BCD.如图建立直角坐标系. 求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值.等价于求出直线AD 与平面MBC 的法向量所成的角的余弦值.写出相应的点的坐标以及相应的向量,求出法向量即可得到结论. 试题『解析』(1)因为ABD ⊥平面BCD ,平面ABD平面,BCD BD AB =⊂平面,,ABD AB BD ⊥所以AB ⊥平面.BCD 又CD ⊂平面,BCD 所以AB CD ⊥.(2)过点B 在平面BCD 内作BD 的垂线作为x 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系． ∵AB ＝BD ＝CD ＝1，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，∴B （0，0，0），C （1，1，0），A （0，0，1），D （0，1，0），M 11022⎛⎫ ⎪⎝⎭，，．∴AD =（0，1，﹣1），BC =（1，1，0），11022BM ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，．设平面BCM 的法向量n =（x ，y ，z ），则01122n BC x y n BM y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩， 令y ＝﹣1，则x ＝1，z ＝1． ∴n =（1，﹣1，1）．设直线AD 与平面MBC 所成角为θ． 则sinθ＝|cos nAD ＜，＞|3n AD n AD⋅===考点：1.线面的位置关系.2.空间直角坐标系.3.空间想象力. 19．（1）证明见详解；（2）60︒.『解析』 『分析』（1）由两条直线同时垂直平面得两直线平行，再利用线面平行的性质定理，即可证明线线平行；（2）如图，取AD 的中点为G ，连接,,EG AC BD ,设AC 与BD 的交点为O ，连接,OF OG ,利用二面角的知识，求出60ADE ︒∠=，连接,OH FH ,再利用线面垂直推导线线垂直和二面角的知识，得出OHF ∠即为所求角，把对应值代入即可得答案.『详解』（1）∵AB ⊥面ADE ，EF ⊥面ADE ， ∴//AB EF又EF ⊂面CDEF ，AB ⊄面CDEF ， ∴//AB 面CDEF 又AB面ABCD ，面ABCD面CDEF CD =，∴//AB CD（2）设AD 的中点为G ，连接,,EG AC BD ,设AC 与BD 的交点为O ，连接,OF OG ,∵AB ⊥面ADE ，,DA DE ⊂面ADE ，∴AB DA ⊥，AB DE ⊥．∵//AB CD ，∴CD DA ⊥，CD DE ⊥．又DA ⊂面ABCD ，DE ⊂面CDEF ，且面ABCD面CDEF CD =． ∴二面角A DC E --的平面角60ADE ︒∠=．又在ADE ∆中，2AD AE ==，∴ADE ∆是边长为2的正三角形，∴EG AD ⊥,∵AB ⊥平面ADE ，∴AB EG ⊥,∵AD AB A ⋂=,∴EG ⊥面ABCD ，由（1）知//AB CD ，又CD DA ⊥，AB CD AD ==，∴四边形ABCD 为正方形，∴OG 112AB EF ===，又OG//AB ， ∴OG//EF ，∴四边形OGEF 为平行四边形，∴OF//EG ，∴OF ⊥面ABCD ，∴OF BC ⊥，取BC 的中点为H ，连接,OH FH ,∴OH BC ⊥，∵OF OH O = ，∴BC ⊥面OFH ,∴BC FH ⊥,∴OHF ∠即为二面角F BC D --所成的平面角，∵ADE ∆是边长为2的正三角形，四边形ABCD 为正方形，∴OF =1OH =,∴tan 1OHF ∠== ∴60OHF ︒∠=，∴二面角F BC D --的平面角大小为60︒.『点睛』本题主要考查线面平行性质定理、线面垂直性质定理、二面角的大小求解，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.属于较难题.20．（1）0x =或4390x y +-=；（2）直线OA 与OB 的斜率之和为定值23. 『解析』『分析』（1）当l 斜率不存在时，经检验符合题意，当l 斜率存在时，设l 的方程为3y kx =+，只有一个公共点，即直线与圆相切，可得圆心()1,0C 到直线3y kx =+的距离d r =，代入数据，即可得答案；（2）设出直线l 的方程及点A,B 的坐标，则可得OA OB k k +的表达式，联立直线和圆的方程，根据韦达定理，可得12x x +，12x x ⋅的值，代入表达式，即可得证.『详解』（1）①当直线l 斜率不存在时，l 的方程为0x =符合题意；②当直线l 斜率存在时，设l 的方程为3y kx =+，由()2211x y -+=得圆心()1,0C ，半径1r =.∵直线与圆有一个公共点，∴1d ==，解得43k =-. ∴l 的方程为4390x y +-=，综上所述，直线l 的方程为0x =或4390x y +-=.（2）直线OA 与OB 的斜率之和为定值，证明：由（1）知直线l 斜率存在，设l 的方程为3y kx =+，设()11,A x y ，()22,B x y ， 则1212121233OA OB y y kx kx k k x x x x +++=+=+()12121233322x x k k x x x x +=++=+⋅. 联立直线与圆的方程：223(1)1y kx x y =+⎧⎨-+=⎩， 消去y 得()221(62)90k x k x ++-+=， ()22(62)3610k k --+∆>=得43k <-， 根据韦达定理得12212262191k x x k x x k -⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=⎪+⎩， ∴221862212229331OA OB k k k k k k k k --++=+=-+=+. ∴直线OA 与OB 的斜率之和为定值23. 『点睛』本题考查直线与圆的位置关系、韦达定理的应用，易错点为需讨论斜率是否存在，再进行求解，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.21．（1）224x y +=；（2）22113222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 『解析』『分析』（1）利用点到直线的距离公式得到圆心到直线的距离，利用直线截圆得到的弦长公式可得半径r ，从而得到圆的方程；（2）由已知可得直线l 1恒过定点P （1,1），设MN 的中点Q （x ，y ），由已知可得||2||MN PQ =，利用两点间的距离公式化简可得答案.『详解』（1）根据题意，圆222:(0)O x y r r +=>的圆心为（0，0），半径为r ，则圆心到直线l 的距离2d ==，若直线:10l x y +-=截圆222:(0)O x y rr +=>则有=2r ，则圆的方程为224x y +=；（2）直线l 1的方程为(12)(1)30m x m y m ++--=，即()()230x y m x y -++-=， 则有0230x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得x 1y 1=⎧⎨=⎩，即P 的坐标为（1，1）， 点,M N 在圆O 上，且PM PN ⊥，Q 为线段MN 的中点，则||2||MN PQ =， 设MN 的中点为Q （x ，y ），则22222OM OQ MQ OQ PQ =+=+，即22224(1)(1)x y x y =++-+-， 化简可得：22113222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即为点Q 的轨迹方程. 『点睛』本题考查直线与圆的位置关系，考查直线被圆截得的弦长公式的应用，考查直线恒过定点问题和轨迹问题，属于中档题.22．（1）224x y +=；（2）（3）直线MN 过定点(1,1)-.『解析』『分析』（1）设点P 坐标为（x ，y ），运用两点的距离公式，化简整理，即可得到所求轨迹的方程；（2）由120COD ︒∠=，则点O 到CD 边的距离为1，由点到线的距离公式得直线l 的斜率；（3）由题意可知：O ，Q ，M ，N 四点共圆且在以OQ 为直径的圆上，设(,4)Q t t -，则圆F 的圆心为4,22t t -⎛⎫ ⎪⎝⎭运用直径式圆的方程，得直线MN 的方程为(4)40tx t y ，结合直线系方程，即可得到所求定点．『详解』（1）设点P 的坐标为(,)x y ，由||2||PA PB =可得，=整理可得224x y +=，所以曲线E 的轨迹方程为224x y +=.（2）依题意，2OC OD ==，且120COD ︒∠=，则点O 到CD 边的距离为1，即点(0,0)O 到直线:40l kx y --=1=，解得k =，所以直线l 的斜率为（3）依题意，,ON QN OM QM ⊥⊥，则M N ，都在以OQ 为直径的圆F 上，Q 是直线:4l y x =-上的动点，设(,4)Q t t -则圆F 的圆心为4,22t t -⎛⎫⎪⎝⎭，且经过坐标原点， 即圆的方程为22(4)0x y tx t y +---=，又因为,M N 在曲线22:4E x y +=上，由22224(4)0x y x y tx t y ⎧+=⎨+---=⎩， 可得(4)40tx t y即直线MN 的方程为(4)40tx t y 由t R ∈且()440t x y y +--=可得，0440x y y +=⎧⎨+=⎩解得11x y =⎧⎨=-⎩， 所以直线MN 是过定点(1,1)-.『点睛』本题考查点的轨迹方程的求法，注意运用两点的距离公式，考查直线和圆相交的弦长公式，考查直线恒过定点的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．。

广德市实验中学2020-2021学年度第一学期十月月考高二数学试卷试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、直线x +√3y −5=0的倾斜角为( )A. −30°B. 60°C. 120°D. 150°2、直线 052=-+ay x 和直线024=++y ax 平行，则实数a 的值等于（ ） A.2 B.2± C.2 D.2±3、过点)2,1(A 且与点)2,3(P 距离最大的直线方程是（ ）A.012=++y xB.012=--y xC.1=yD.1=x4、点A (1,2，－1)，点C 与点A 关于平面xOy 对称，点B 与点A 关于x 轴对称，则|BC |的值为( )A ．2 5B ．4C ．2 2D ．275、圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（ ）A.023=-+y xB.043=-+y xC.043=+-y xD.023=+-y x 6、已知点A(2,−3)，B(−3,−2)，直线l 方程为，且与线段AB 相交，求k 的取值范围为( )A. k ≤−34或k ≥4B. k ≤4或k ≥34C. −34≤k ≤4D. −4≤k ≤−347、若直线1=+by ax 与圆122=+y x 有两个不同公共点，则点),(b a P 与圆的位置关系是（ ）A.在圆上B.在圆外C.在圆内D.以上皆有可能8、在圆422=+y x 上，与直线01234:=-+y x l 的距离最小的点的坐标是（ ）A.)56,58(B.)56,58(-C.)56,58(-D.)56,58(--9、从圆222210x x y y -+-+=外一点P （3，2）向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为A 、12 B 、35C 、2D 、010、已知直线x +ay =a +2(a ∈R)与圆x 2+y 2−2x −2y −7=0交于M ，N 两点，则线段MN 的长的最小值为( )A. 4√2B. 2√2C. 2D. √211、若圆x 2+y 2−2x −2y =0上至少有三个不同点到直线l ：y =kx 的距离为√22，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )．A. [15°,45°]B. [15°,75°]C. [30°,60°]D. [0°,90°]12、过直线l ：y =2x +a 上的点作圆C ：x 2+y 2=1的切线，若在直线l 上存在一点M ，使得过点M 的圆C 的切线MP ，MQ(P,Q 为切点)满足∠PMQ =90∘，则a 的取值范围是( )A.B.C.D.二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。

学2020-2021学年高二数学10月月考试题（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1. 设全集，集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据全集，集合，利用补集的运算求得，再利用交集运算求解.【详解】因为全集，集合，所以，又因为，所以，故选：B【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.2. 要从已编号（1～60）的60枚最新研制的某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是（）A. 5，10，15，20，25，30B. 3，13，23，33，43，53C. 1，2，3，4，5，6D. 2，4，8，16，32，48【答案】B【解析】试题分析：系统抽样，要从60个个体中抽取容量为6的样本，确定分段间隔为，第一段1-10号中随机抽取一个个体，然后编号依次加10得到其余个体，构成样本考点：系统抽样点评：系统抽样的特点：被抽取的各个个体间隔相同，都为10 3. 已知一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由三视图知几何体是一个正方体和一个放倒的正四棱锥拼接而成的几何体，正方体的棱长为，正四棱锥的底面边长为，高为，再由正方体的体积公式以及锥体的体积公式即可求解.【详解】由三视图知几何体是一个正方体和一个放倒的正四棱锥拼接而成的几何体，正方体的棱长为，正四棱锥的底面边长为，高为，几何体的体积为：.故选：B【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积，需熟记体积公式，属于基础题.4. 已知向量，，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量线性的坐标运算以及向量共线的坐标表示即可求解.【详解】因为向量，，所以，又，所以，解得.故选：C【点睛】本题考查了向量线性的坐标运算以及向量共线的坐标的坐标表示，属于基础题.5. 若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如. 下面程序框图的算法源于我国南北朝时期闻名中外的《中国剩余定理》，执行该程序框图，则输出的值等于（）A. 29B. 30C. 31D. 32【答案】D【解析】【分析】由题中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.【详解】由题中的程序框图可知：该程序框图功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件：①被除余，②被除余，所以应该满足是的倍数多，并且是比大的最小的数，故输出的为，故选D.【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有循环结构的程序框图，读取程序框图的输出数据，属于简单题目.6. 将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则（）A. 为奇函数，在上单调递減B. 最大值为1，图象关于直线对称C. 周期为，图象关于点对称D. 为偶函数，在上单调递增【答案】B函数左移后得到.故为偶函数,且在上递增,最大值为,对称轴为,故B选项正确,选B.7. 若，，，则的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题容易看出，，，，便得出的大小关系.【详解】，，，因此.故选：C.【点睛】本题考查指数函数和对数函数的比较大小，常与中间值来比较，再结合函数的单调性即可求解，属于中档题.8. 若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据二倍角公式，以及同角三角函数基本关系，先将原式化简，得到，再由题中条件，即可得出结果.【详解】，由，故.故选：D.【点睛】本题主要考查由三角函数值求三角函数值，考查二倍角公式，以及同角三角函数基本关系，属于基础题型.9. 在等差数列中，已知，，则（）A. 38B. 39C. 41D. 42【答案】D【解析】分析：利用等差数列通项公式布列关于基本量的方程，从而得到所求的结果.详解：由，可得：，解得：,∴.故选D点睛：本题重点考查了等差数列通项公式运用，以及简单的代数运算能力，属于基础题.10. 已知具有线性相关的两个变量x，y之间的一组数据如下:且回归方程是，则当时，y的预测值为（）A 8.4 B. 8.3 C. 8.2 D. 8.1【答案】B【解析】【分析】先根据已知数据求出线性回归方程，再代入即可求出.【详解】由已知可得，，∴∴，∴回归方程是，当时，y的预测值.故选：B.【点睛】本题考查线性回归方程的计算和估值，属于基础题.11. 设，若是与的等比中项，则的最小值为（）A. 4B. 5C. 9D. 10【答案】C【解析】【分析】根据是与的等比中项，化简得到.，然后利用“1”的代换，将转化为求解.【详解】因为是与的等比中项，所以，即，所以.又，则.当且仅当，即取等号，所以的最小值为9故选：C【点睛】本题主要考查等比中项，基本不等式求最值，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题.12. 函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】确定函数在定义域内的单调性，计算时的函数值可排除三个选项．【详解】时，函数为减函数，排除B，时，函数也是减函数，排除D，又时，，排除C，只有A可满足．故选：A.【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，可通过解析式研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等等排除，可通过特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势排除，最后剩下的一个即为正确选项．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)｡由图中数据可知_____．若要从身高在三组内的学生中,用分层抽样的方法选取18人参加一项活动,则从身高在内的学生中选取的人数应为________｡【答案】0.030 , 3【解析】因为,身高在[ 120 , 130），[130 ，140) , [140 , 150]三组内的学生人数为人，其中身高在[140 ，150]内的学生中人数为,所以从身高在[140 ，150]内的学生中选取的人数应为人.14. 已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为______________【答案】31.【解析】分析：根据中位数相同求出的值，从而根据平均数公式可求出甲的平均数.详解：因为乙的数据是所以其中位数是，所以，，故答案为.点睛：本题主要考查茎叶图的应用、中位数、平均数的求法，属于中档题.（1）中位数，如果样本容量是奇数，中间的数既是中位数，如果样本容量为偶数中间两位数的平均数既是中位数；（2）平均数公式为.15. 设满足约束条件则的最大值为__________.【答案】【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案.【详解】由约束条件作出可行域，化目标函数为，由图可知，当直线过点时，直线在轴上的截距最小，有最大值为：故答案为：【点睛】本题考查了简单的线性规划，解题的关键是作出约束条件的可行域，理解目标函数的几何意义，属于基础题.16. 直线与圆相交于两点，则__________.【答案】【解析】【分析】利用点到直线的距离公式可得：圆心到直线的距离，即可得出弦长.【详解】由圆，可得圆心，半径，圆心到直线的距离，弦长.故答案为：【点睛】本题考查了直线与圆相交求弦长，在圆中求弦长采用几何法，同时考查了点到直线的距离公式，属于基础题.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知等差数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设数列，求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由所给两等式列出方程组求解，代入等差数列通项公式化简即可；（2）求出的通项公式并证明其为等比数列，利用等比数列求和公式求解.【详解】（1）设数列的公差为d，因为，解得，所以.（2）记所以，又，所以是首项为16，公比为4的等比数列，其前n项和.【点睛】本题考查等差数列的通项公式、等比数列及其前n项和，属于基础题.18. 某高校组织自主招生考试，其有2 000名学生报名参加了笔试，成绩均介于195分到275分之间，从中随机抽取50名同学的成绩进行统计，将统计结果按如下方式分成八组：第一组[195，205)，第二组[205，215)，……，第八组[265，275).如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.（1）求这2000名学生分数在255～265之间的频率约是多少？（2）求这2000名学生的平均分数；（3）若计划按成绩取1000名学生进入面试环节，试估计应将分数线定为多少？【答案】（1）0.12；（2）；（3）238分.【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图的小矩形的面积之和为1求解.（2）根据频率分布直方图，利用平均数公式求解.（3）根据频率分布直方图，利用中位数定义求解.【详解】（1）设第组的频率为，则由频率分布图知，∴这个人的分数在255～265之间的概率约是0.12.（2）这2000名学生的平均分数为.（3）从第一组到第四组，频率为，而，将第五组[235，245)，按以下比例分割：，∴中位数为，∴应将分数线定为238分.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.19. 为了解某地区某种产品的年产量（单位：吨）对价格（单位：千元/吨）和利润的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：（1）求关于的线性回归方程；（2）若每吨该农产品成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润取到最大值？（保留两位小数）参考公式：，【答案】(1) (2) ，年利润最大【解析】分析：（1）由表中数据计算平均数与回归系数，即可写出线性回归方程；（2）年利润函数为，利用二次函数的图象与性质，即可得到结论.详解：（1），，，，，，，解得：，，所以：，（2）年利润所以，年利润最大.点睛：本题考查了线性回归方程以及利用回归方程预测生产问题，试题比较基础，对于线性回归分析的问题：（1）判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（1）利用散点图直观判断；（2）将相关数据代入相关系数公式求出，然后根据的大小进行判断．求线性回归方程时在严格按照公式求解时，一定要注意计算的准确性．20. 在直四棱柱中，，，，.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取中点，连接，由题意证出，，利用线面垂直的判定定理即可证出.（2）利用等体法，由图可得：，根据三棱锥的体积公式即可求解.【详解】（1）证明：取中点，连接，∵该几何体为直四棱柱，∴平面，∴∵，，∴∵，，∴四边形为正方形，∴∴，∵，∴∵，，，平面∴平面（2）由图可得：由（1）中证明知：平面，∴，∴又∵∴【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理、等体法求点到面的距离以及三棱锥的体积公式，考查了立体几何的基本知识，属于基础题.21. 在中，内角、、的对边分别为、、，已知，且.（1）求；（2）求面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用余弦定理可知，利用正弦定理边角互化思想求得的值，然后利用同角三角函数的基本关系可求出的值；（2）利用余弦定理求出的值，然后利用三角形的面积公式可计算出的面积.【详解】（1）因，由正弦定理得，又，所以，即又，由余弦定理得，所以；（2）因为，所以，即，所以.【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查了三角形面积公式的应用，涉及正弦定理边角互化思想的应用，考查计算能力，属于基础题.22. 已知圆与直线相交于A、B两点.（1）当弦长时求实数m的值.（2）O为原点，当时求实数m的值.【答案】（1）7；（2）3.【解析】【分析】（1）利用垂径定理可求实数m的值.（2）设，，由，得，联立直线方程和圆的方程，消去后利用韦达定理可构建关于的方程，从而可求实数m的值.【详解】（1）圆的标准方程为，圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离为，根据题意可得，可解得，.（2）设，，由，得.联立，消得，则是方程的两根，，，又因为A、B在直线上，，，得，，即，得，解得，把代入方程得，该方程有两个实根，.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，一般地，位置关系中的弦长问题可用垂径定理，而垂直问题可利用韦达定理来构建关于参数的方程，本题属于中档题.学2020-2021学年高二数学10月月考试题（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1. 设全集，集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据全集，集合，利用补集的运算求得，再利用交集运算求解.【详解】因为全集，集合，所以，又因为，所以，故选：B【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.2. 要从已编号（1～60）的60枚最新研制的某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是（）A. 5，10，15，20，25，30B. 3，13，23，33，43，53C. 1，2，3，4，5，6D. 2，4，8，16，32，48【答案】B【解析】试题分析：系统抽样，要从60个个体中抽取容量为6的样本，确定分段间隔为，第一段1-10号中随机抽取一个个体，然后编号依次加10得到其余个体，构成样本考点：系统抽样点评：系统抽样的特点：被抽取的各个个体间隔相同，都为103. 已知一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由三视图知几何体是一个正方体和一个放倒的正四棱锥拼接而成的几何体，正方体的棱长为，正四棱锥的底面边长为，高为，再由正方体的体积公式以及锥体的体积公式即可求解.【详解】由三视图知几何体是一个正方体和一个放倒的正四棱锥拼接而成的几何体，正方体的棱长为，正四棱锥的底面边长为，高为，几何体的体积为：.故选：B【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积，需熟记体积公式，属于基础题.4. 已知向量，，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量线性的坐标运算以及向量共线的坐标表示即可求解.【详解】因为向量，，所以，又，所以，解得.故选：C【点睛】本题考查了向量线性的坐标运算以及向量共线的坐标的坐标表示，属于基础题.5. 若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如. 下面程序框图的算法源于我国南北朝时期闻名中外的《中国剩余定理》，执行该程序框图，则输出的值等于（）A. 29B. 30C. 31D. 32【答案】D【解析】【分析】由题中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.【详解】由题中的程序框图可知：该程序框图功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件：①被除余，②被除余，所以应该满足是的倍数多，并且是比大的最小的数，故输出的为，故选D.【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有循环结构的程序框图，读取程序框图的输出数据，属于简单题目.6. 将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则（）A. 为奇函数，在上单调递減B. 最大值为1，图象关于直线对称C. 周期为，图象关于点对称D. 为偶函数，在上单调递增【答案】B【解析】函数左移后得到.故为偶函数,且在上递增,最大值为,对称轴为,故B选项正确,选B.7. 若，，，则的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题容易看出，，，，便得出的大小关系.【详解】，，，因此.故选：C.【点睛】本题考查指数函数和对数函数的比较大小，常与中间值来比较，再结合函数的单调性即可求解，属于中档题.8. 若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据二倍角公式，以及同角三角函数基本关系，先将原式化简，得到，再由题中条件，即可得出结果.【详解】，由，故.故选：D.【点睛】本题主要考查由三角函数值求三角函数值，考查二倍角公式，以及同角三角函数基本关系，属于基础题型.9. 在等差数列中，已知，，则（）A. 38B. 39C. 41D. 42【答案】D【解析】分析：利用等差数列通项公式布列关于基本量的方程，从而得到所求的结果.详解：由，可得：，解得：,∴.故选D点睛：本题重点考查了等差数列通项公式运用，以及简单的代数运算能力，属于基础题. 10. 已知具有线性相关的两个变量x，y之间的一组数据如下:且回归方程是，则当时，y的预测值为（）A 8.4 B. 8.3 C. 8.2 D. 8.1【答案】B【解析】【分析】先根据已知数据求出线性回归方程，再代入即可求出.【详解】由已知可得，，∴∴，∴回归方程是，当时，y的预测值.故选：B.【点睛】本题考查线性回归方程的计算和估值，属于基础题.11. 设，若是与的等比中项，则的最小值为（）A. 4B. 5C. 9D. 10【答案】C【解析】【分析】根据是与的等比中项，化简得到.，然后利用“1”的代换，将转化为求解.【详解】因为是与的等比中项，所以，即，所以.又，则.当且仅当，即取等号，所以的最小值为9故选：C【点睛】本题主要考查等比中项，基本不等式求最值，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题.12. 函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】确定函数在定义域内的单调性，计算时的函数值可排除三个选项．【详解】时，函数为减函数，排除B，时，函数也是减函数，排除D，又时，，排除C，只有A可满足．故选：A.【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，可通过解析式研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等等排除，可通过特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势排除，最后剩下的一个即为正确选项．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)｡由图中数据可知_____．若要从身高在三组内的学生中,用分层抽样的方法选取18人参加一项活动,则从身高在内的学生中选取的人数应为________｡【答案】0.030 , 3【解析】因为,身高在[ 120 , 130），[130 ，140) , [140 , 150]三组内的学生人数为人，其中身高在[140 ，150]内的学生中人数为,所以从身高在[140 ，150]内的学生中选取的人数应为人.14. 已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为______________【答案】31.【解析】分析：根据中位数相同求出的值，从而根据平均数公式可求出甲的平均数.详解：因为乙的数据是所以其中位数是，所以，，故答案为.点睛：本题主要考查茎叶图的应用、中位数、平均数的求法，属于中档题.（1）中位数，如果样本容量是奇数，中间的数既是中位数，如果样本容量为偶数中间两位数的平均数既是中位数；（2）平均数公式为.15. 设满足约束条件则的最大值为__________.【答案】【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案.【详解】由约束条件作出可行域，化目标函数为，由图可知，当直线过点时，直线在轴上的截距最小，有最大值为：故答案为：【点睛】本题考查了简单的线性规划，解题的关键是作出约束条件的可行域，理解目标函数的几何意义，属于基础题.16. 直线与圆相交于两点，则__________.【答案】【解析】【分析】利用点到直线的距离公式可得：圆心到直线的距离，即可得出弦长.【详解】由圆，可得圆心，半径，圆心到直线的距离，弦长.故答案为：【点睛】本题考查了直线与圆相交求弦长，在圆中求弦长采用几何法，同时考查了点到直线的距离公式，属于基础题.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知等差数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设数列，求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由所给两等式列出方程组求解，代入等差数列通项公式化简即可；（2）求出的通项公式并证明其为等比数列，利用等比数列求和公式求解.【详解】（1）设数列的公差为d，因为，解得，所以.（2）记所以，又，所以是首项为16，公比为4的等比数列，其前n项和.【点睛】本题考查等差数列的通项公式、等比数列及其前n项和，属于基础题.18. 某高校组织自主招生考试，其有2 000名学生报名参加了笔试，成绩均介于195分到275分之间，从中随机抽取50名同学的成绩进行统计，将统计结果按如下方式分成八组：第一组[195，205)，第二组[205，215)，……，第八组[265，275).如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.（1）求这2000名学生分数在255～265之间的频率约是多少？（2）求这2000名学生的平均分数；（3）若计划按成绩取1000名学生进入面试环节，试估计应将分数线定为多少？【答案】（1）0.12；（2）；（3）238分.【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图的小矩形的面积之和为1求解.（2）根据频率分布直方图，利用平均数公式求解.（3）根据频率分布直方图，利用中位数定义求解.【详解】（1）设第组的频率为，则由频率分布图知，∴这个人的分数在255～265之间的概率约是0.12.（2）这2000名学生的平均分数为.（3）从第一组到第四组，频率为，而，将第五组[235，245)，按以下比例分割：，∴中位数为，∴应将分数线定为238分.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.19. 为了解某地区某种产品的年产量（单位：吨）对价格（单位：千元/吨）和利润的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：（1）求关于的线性回归方程；（2）若每吨该农产品成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润取到最大值？（保留两位小数）参考公式：，【答案】(1) (2) ，年利润最大【解析】分析：（1）由表中数据计算平均数与回归系数，即可写出线性回归方程；（2）年利润函数为，利用二次函数的图象与性质，即可得到结论.详解：（1），，，，，，，解得：，，所以：，（2）年利润所以，年利润最大.点睛：本题考查了线性回归方程以及利用回归方程预测生产问题，试题比较基础，对于线性回归分析的问题：（1）判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（1）利用散点图直观判断；（2）将相关数据代入相关系数公式求出，然后根据的大小进行判断．求线性回归方程时在严格按照公式求解时，一定要注意计算的准确性．20. 在直四棱柱中，，，，.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取中点，连接，由题意证出，，利用线面垂直的判定定理即可证出.（2）利用等体法，由图可得：，根据三棱锥的体积公式即可求解.【详解】（1）证明：取中点，连接，∵该几何体为直四棱柱，∴平面，∴∵，，∴∵，，∴四边形为正方形，∴∴，∵，∴∵，，，平面∴平面（2）由图可得：由（1）中证明知：平面，∴，∴又∵∴【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理、等体法求点到面的距离以及三棱锥的体积公式，考查了立体几何的基本知识，属于基础题.21. 在中，内角、、的对边分别为、、，已知，且.（1）求；（2）求面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用余弦定理可知，利用正弦定理边角互化思想求得的值，然后利用同角三角函数的基本关系可求出的值；（2）利用余弦定理求出的值，然后利用三角形的面积公式可计算出的面积.【详解】（1）因，由正弦定理得，又，所以，即又，由余弦定理得，所以；（2）因为，所以，即，所以.【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查了三角形面积公式的应用，涉及正弦定理边角互化思想的应用，考查计算能力，属于基础题.22. 已知圆与直线相交于A、B两点.（1）当弦长时求实数m的值.（2）O为原点，当时求实数m的值.【答案】（1）7；（2）3.【解析】【分析】（1）利用垂径定理可求实数m的值.（2）设，，由，得，联立直线方程和圆的方程，消去后利用韦达定理可构建关于的方程，从而可求实数m的值.【详解】（1）圆的标准方程为，圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离为，根据题意可得，可解得，.（2）设，，由，得.联立，消得，则是方程的两根，，，。

山东师大附中2019级数学2020年10月学业质量检测题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，满分为150分，考试用时120分钟. 注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上.2.第Ⅰ卷每小题选出★答案★后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的★答案★标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他★答案★标号.3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，★答案★必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的★答案★，然后再写上新的★答案★，不得使用涂改液、胶带纸、修正带和其它笔.第Ⅰ卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知向量(3,6,7),(4,,)a b m n ==分别是直线12,l l 的方向向量，若12//l l ，则（ ） A. 8,28m n == B. 4,28m m == C. 288,3m n ==D. 284,3m n ==【★答案★】C 【解析】 【分析】由题意，得//a b ，由此可求出★答案★．【详解】解：∵12//l l ，且(3,6,7),(4,,)a b m n ==分别是直线12,l l 的方向向量， ∴//a b ，∴3674m n==， ∴288,3m n ==，故选：C ．【点睛】本题主要考查向量共线的坐标表示，属于基础题．2. 已知(2,1,4),(1,1,2),(7,5,)a b c m =-=--=，若,,a b c 共面，则实数m 的值为（ ）A.607B. 14C. 12D.627【★答案★】B【解析】【分析】由题意可知c xa yb=+，利用向量相等，列方程组求实数m的值.【详解】若,,a b c共面，则c xa yb=+，即()()()()7,5,2,1,41,1,22,,42m x y x y x y x y=-+--=--+-，所以27542x yx yx y m-=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩，解得：12,17,14x y m===.故选：B【点睛】本题考查空间向量共面，重点考查共面的公式，计算能力，属于基础题型.3. 在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是正方形，E是PD的中点，若,,PA a PB b PC c===，则BE=（）A.111222a b c-+ B.131222a b c--C.131222a b c-+ D.113222a b c-+【★答案★】C【解析】【分析】根据向量加减法，和空间向量基本定理直接求解即可.【详解】()()()11112222BE PE PB PD PB PB BD PB BD PB BA BC PB =-=-=+-=-=+-()11312222PA PB PC PB PB PA PB PC=-+--=-+131222a b c -+=. 故选：C【点睛】本题主要考查向量在几何中的应用以及向量共线定理，空间向量基本定理，属于基础题. 4. 若向量(,4,5),(1,2,2)a x b =--=-，且a 与b 的夹角的余弦值为26-，则实数x 的值为（ ） A. 3- B. 11C. 3D. 3-或11【★答案★】A 【解析】 【分析】根据公式cos ,a b a b a b⋅<>=，计算结果.【详解】根据公式()22228102cos ,61625122a b x a b a bx ⋅+-<>===-++⨯+-+， 222241x x -=-+，且2x < 解得：11x =（舍）或3x =-. 故选：A【点睛】本题考查根据空间向量夹角公式求参数，重点考查计算能力，属于基础题型，本题的易错点是容易忽略在解方程是注意2x <这个条件.5. 在长方体1111ABCD A B C D -中，12,1,1AB BC AA ===，则1BC 与平面11BB D D 所成角的正弦值为（ ） A510B.1010C.55D.105【★答案★】D 【解析】 【分析】根据垂直关系，作111C M B D ⊥，1C BM ∠为所求角，直角三角形1C MB 中求111sin C MC BM C B∠=. 【详解】如图，作111C M B D ⊥，交11B D 于点M ，连接MB ，因1BB ⊥平面1111D C B A ，所以11BB C M ⊥，又因为111C M B D ⊥，且1111BB B D B ⋂=，所以1C M ⊥平面11BB D D ，即1C BM ∠为所求角，221112BC =+=，2211125B D =+=所以1125C M ⨯=⨯，所以1255C M =11125105sin 52C M C BM C B ∠===.故选：D【点睛】本题考查线面角的几何求法，重点考查垂直关系，属于基础题型.6. 四棱锥P ABCD -中，(2,1,3),(2,1,0),(3,1,4)AB AD AP =-=-=-，则这个四棱锥的高为（ ） A.55B.15C.25D.255【★答案★】A 【解析】 【分析】求出平面ABCD 的法向量n ，计算法向量n 与AP 的夹角得出AP 与平面ABCD 的夹角，从而可求出P 到平面ABCD 的距离．【详解】解：设平面ABCD 的法向量为(n x =，y ，)z ，则n AB n AD⎧⊥⎨⊥⎩，∴23020x y z x y -+=⎧⎨-+=⎩，令1x =可得2y =，0z =，即(1n =，2，0)，1cos ,||||526n AP n AP n AP ∴<>==⨯，设AP 与平面ABCD 所成角为α，则1sin 526α=⨯，于是P 到平面ABCD 的距离为5||sin 5AP α=，即四棱锥P ABCD -的高为55． 故选：A ．【点睛】本题考查了空间向量在立体几何中的应用，属于基础题．7. 已知向量(1,22)(2,11)a b ==-,,,，则向量b 在向量a 上的投影向量为（ ） A. 244,,999⎛⎫--- ⎪⎝⎭ B. 244,,999⎛⎫⎪⎝⎭C. 211,,333⎛⎫-⎪⎝⎭D. 211,,333⎛⎫-- ⎪⎝⎭【★答案★】B 【解析】 【分析】首先求出向量b 在向量a 上的投影，从而求出投影向量，【详解】解：因为(1,22)(2,11)a b ==-,,,，所以2121212a b =-⨯+⨯+⨯=， 所以向量b 在向量a 上的投影为222223221a b a==++ 设向量b 在向量a 上的投影向量为m ，则()0m a λλ=>且23m =， 所以(),2,2m λλλ=，所以22222443λλλ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，解得29λ= 所以244,,999m ⎛⎫= ⎪⎝⎭故选：B【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示，属于基础题. 8. 三棱柱111ABC A B C -侧棱与底面垂直，11AA AB AC ===，AB AC ⊥，N 是BC 的中点，点P 在11A B 上，且满足111A P A B λ=，当直线PN 与平面ABC 所成的角取最大值时，λ的值为( )A.12B.22C.32D.255【★答案★】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式，求出直线PN 与平面ABC 所成的角，即可求得结论．【详解】如图，以AB ，AC ，1AA 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -， 则(,P λ0，1)，11,,122PN λ⎛⎫=--⎪⎝⎭，平面ABC 的一个法向量为(0,n =0，1) 设直线PN 与平面ABC 所成的角为θ21sin 15()24PN n PN nθλ⋅∴==⋅-+， ∴当12λ=时，25(sin )5max θ=，此时角θ最大． 故选A ．【点睛】本题考查了向量法求线面角的求法，考查了函数最值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9. 下列命题中不正确的是（ ） A. a b a b -=+是,a b 共线的充要条件 B. 若,C AB D 共线，则//AB CDC. ,,A B C 三点不共线，对空间任意一点O ，若311488OP OA OB OC =++，则,,,P A B C 四点共面D. 若,,,P A B C 为空间四点，且有PA PB PC λμ=+(,PB PC 不共线)，则1λμ+=是,,A B C 三点共线的充分不必要条件 【★答案★】ABD 【解析】 【分析】由向量的共线性质，可判定A 不正确；由向量的共线与点共线的关系，可判定B 不正确；由空间向量的基本定理可判定C 正确；由向量的共线定理，可判定D 不正确. 【详解】由a b a b -=+，可得向量,a b 的方向相反，此时向量,a b 共线， 反之，当向量,a b 同向时，不能得到a b a b -=+，所以A 不正确； 若,C AB D 共线，则//AB CD 或,,,A B C D 四点共线，所以B 不正确； 由,,A B C 三点不共线，对空间任意一点O ，若311488OP OA OB OC =++， 因为3111488++=，可得,,,P A B C 四点共面，故C 正确； 若,,,P A B C 为空间四点，且有PA PB PC λμ=+(,PB PC 不共线)， 当1λμ+=时，即1μλ=-，可得()PA PC PB PC λ-=+，即CA CB λ=， 所以,,A B C 三点共线，反之也成立，即1λμ+=是,,A B C 三点共线的充要条件， 所以D 不正确. 故选：ABD【点睛】本题主要考查了以向量的基本定理及向量共线的性质的判定为背景的命题的真假判定，其中解答解答中熟记平面向量的共线定理和平面向量的基本定理，以及充分条件、必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查推理与论证能力.10. 已知空间三点(1,0,1),(1,2,2),(3,0,4)A B C ---，则下列说法正确的是（ ） A. 3AB AC ⋅=B. //AB ACC. 23BC =D.3cos ,65AB AC <>=【★答案★】AC 【解析】 【分析】由坐标求出,,AB AC BC ，即可依次计算判断每个选项正误. 【详解】(1,0,1),(1,2,2),(3,0,4)A B C ---，()()()0,2,1,2,0,3,2,2,2AB AC BC ∴==-=--， ()0220133AB AC ⋅=⨯-+⨯+⨯=，故A 正确；不存在实数λ，使得AB AC λ=，故,AB AC 不共线，故B 错误；()()22222223BC =-+-+=，故C 正确；3365cos ,65513AB AC AB AC AB AC⋅<==⨯⋅>=，故D 错误.故选：AC.【点睛】本题考查空间向量的相关计算，属于基础题.11. 在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，2SA SB SC SD ====，则以下结论正确的有（ ） A. 0SA SB SC SD +++= B. 0SA SB SC SD +--= C. 0SA SB SC SD -+-= D. SA SB SC SD ⋅=⋅【★答案★】CD 【解析】 【分析】如图，连接AC 和BD 交于O ，连接SO ，由题可知OA ，OB ，OS 两两垂直，则以OA ，OB ，OS 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用坐标计算即可判断.【详解】如图，连接AC 和BD 交于O ，连接SO ，由题可知OA ，OB ，OS 两两垂直，则以OA ，OB ，OS 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，，底面ABCD 是边长为1的正方形，2SA SB SC SD ====，22OA OB OC OD ====，22214222SO ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭， 则222214,0,0,0,,0,,0,0,0,,0,0,0,22222A B C D S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,214214,0,,0,,2222SA SB ⎛⎫⎛⎫∴=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 214214,0,,0,,2222SC SD ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()0,0,214SA SB SC SD ∴+++=-，故A 错误；()2,2,0SA SB SC SD +--=，故B 错误；()0,0,00SA SB SC SD -+-==，故C 正确；22141470022222SA SB ⎛⎫⎛⎫⋅=⨯+⨯+-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 22141470022222SC SD ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯+⨯-+-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即SA SB SC SD ⋅=⋅，故D 正确. 故选：CD.【点睛】本题考查空间向量的计算，属于基础题.12. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1B C 上运动，则 （ ）A. 直线1BD ⊥平面11AC DB. 三棱锥11P AC D -的体积为定值C. 异面直线AP 与1A D 所成角的取值范围是[]45,90︒︒D. 直线1C P 与平面11AC D 所成角的正弦值的最大值为63【★答案★】ABD 【解析】 【分析】利用线面垂直的性质判定可判定选项A,对三棱锥11P AC D -转化顶点可判定选项B,找到异面成角的最小值的情况即可判断选项C,转化直线1C P 与平面11AC D 所成角的正弦值的最大值为直线1C P 与直线1BD 所成角的余弦值最大,进而判断选项D【详解】对于选项A,连接11B D ,由正方体可得1111AC B D ⊥,且1BB ⊥平面1111D C B A ,则111BB A C ⊥,所以11A C ⊥平面11BD B ,故111AC BD ⊥；同理,连接1AD ,易证得11A D BD ⊥,则1BD ⊥平面11AC D ,故A 正确；对于选项B,1111P A C D C A PD V V --=,因为点P 在线段1B C 上运动,所以1112A DP S A D AB =⋅,面积为定值,且1C 到平面11A PD 的距离即为1C 到平面11A B CD 的距离,也为定值,故体积为定值,故B 正确； 对于选项C,当点P 与线段1B C 的端点重合时,AP 与1A D 所成角取得最小值为60︒,故C 错误； 对于选项D,因为直线1BD ⊥平面11AC D ,所以若直线1C P 与平面11AC D 所成角的正弦值最大,则直线1C P 与直线1BD 所成角的余弦值最大,则P 运动到1B C 中点处,即所成角为11C BD ∠,设棱长为1,在11Rt D C B 中,111126cos 33C B C BD BD ∠===,故D 正确 故选：ABD【点睛】本题考查线面垂直的判定,考查异面成角,线面成角,考查棱锥体积,考查转化思想和空间想象能力第Ⅱ卷三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分.）13. 若(2,1,2),(6,3,2)a b →→=-=-，且()a b a λ→→→+⊥，则实数λ=______________. 【★答案★】919- 【解析】 【分析】利用已知条件求出a b λ→→+，然后()=0a b a λ→→→+⋅，求出λ即可. 【详解】(2,1,2),(6,3,2)a b →→=-=-，∴()=2+6,13,22a b λλλλ+--+,()a b a λ→→→+⊥,()=0a b a λ→→→∴+⋅,即()()()()2+6+1312220λλλ⨯--⨯-++⨯=2，解得：λ=919-. 故★答案★为：919-【点睛】本题考查空间向量的数量积的应用，向量的坐标运算，考查计算能力，属于基础题. 14. 已知正四面体ABCD 的棱长为1，点E 、F 分别是BC ，AD 的中点，则AE AF ⋅的值为_____． 【★答案★】14【解析】 【分析】由正四面体的定义知，正四面体相对的棱互相垂直，从而可得出0AF BE ⋅=，进而得出14AE AF AB AF ⋅=⋅=. 【详解】如图，四面体ABCD 是正四面体，∴四面体的每个面都是正三角形，且相对的棱相互垂直，且棱长为1，又点E 、F 分别是BC ，AD 的中点，∴12AF AD =，0AF BE ⋅= ∴()1cos34AE AF AB BE AF AB AF BE AF AB AF π⋅=+⋅=⋅+⋅==. 故★答案★为：14. 【点睛】本题考查了正四面体的定义，正四面体的相对的棱互相垂直，向量垂直的充要条件，向量加法的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，考查了计算和推理能力，属于基础题． 15. 四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且1,3PD AB ==，G 是ABC 的重心，则直线PG 与DB 所成的角α的余弦值为____________，PG 与底面ABCD 所成的角θ的正弦值为______________. 【★答案★】 (1). 223(2). 13【解析】 【分析】由重心的性质可求得BG 的长，从而得DG 的长，在Rt PDG 中，由tan tan PDPGD DGα=∠=即可得解；由PD ⊥底面ABCD ，知PGD θ∠=，结合第一空的结果即可得解． 【详解】解：G 是ABC 的重心，21213223232BG BD ∴=⨯=⨯⨯=，22DG BD BG ∴=-=，PD ⊥底面ABCD ，PD BD ∴⊥，在Rt PDG 中，1tan tan 22PD PGD DG α=∠==， 22cos 3α∴=，∴直线PG 与DB 所成的角α的余弦值为223．PD ⊥底面ABCD ，PGD ∴∠即为PG 与底面ABCD 所成的角θ，由上可知，θα=， 1sin sin 3θα∴==， PG ∴与底面ABCD 所成的角θ的正弦值为13．故★答案★为：223；13． 【点睛】本题考查线面角的求法，理解线面角的定义以便找出线面角的平面角是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．16. 点P 是棱长为4的正四面体表面上的动点，MN 是该四面体内切球的一条直径，则PM PN ⋅的最大值是_______________. 【★答案★】163【解析】 【分析】作出图形，计算出正四面体ABCD 内切球O 的半径，由此可求得AO ，由空间向量数量积的运算性质得出223PM PN PO ⋅=-，进而可知当点P 为正四面体的顶点时，PM PN ⋅取得最大值，即可得解.【详解】如下图所示：正四面体ABCD 的棱长为4，其内切球球心为点O ，连接AO 并延长交底面BCD 于点E ， 则E 为正BCD 的中心，且AE ⊥平面BCD ，连接BE 并延长交CD 于点F ，则F 为CD 的中点，且BF CD ⊥，2223BF BC CF =-=，24333BE BF ==， AE 平面BCD ，BE ⊂平面BCD ，AE BE ∴⊥，则22463AE AB BE =-=， BCD 的面积为1432BCD S CD BF =⋅=△，∴正四面体ABCD 的体积为116233A BCD BCD V S AE -=⋅=△，设球O 的半径为R ，则1443A BCD O BCD O ACD O ABD O ABC O BCD BCD V V V V V V S R ------=+++==⨯⋅△，3643A BCD BCD V R S -∴==△，6AO AE OE ∴=-=，PM PO OM =+，PN PO ON PO OM =+=-，()()22223PM PN PO OM PO OM PO OM PO ∴⋅=+⋅-=-=-，当点P 位于正四面体ABCD 的顶点时，PO 取最大值， 因此，222221663333PM PN PO AO ⋅=-≤-=-=.故★答案★为：163. 【点睛】本题考查空间向量数量积的最值的计算，同时也考查了正四面体内切球半径的计算，考查计算能力，属于较难题.四、解答题（本题共6个小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17. 如图，已知1111ABCD A B C D -是四棱柱，底面ABCD 是正方形，132AA AB ==，，且1160C CB C CD ︒∠=∠=，设1,,CD C a b B CC c ===.（1）试用,,a b c 表示1AC ； （2）已知O 为对角线1A C 的中点，求CO 的长. 【★答案★】（1）1AC a b c =---；（2）292. 【解析】 【分析】（1）由11AC A A AD DC =++可表示出来； （2）由21||()4CO a b c =++可计算出. 【详解】（1）11AC A A AD DC =++1AA BC CD =-+- 1CC CB CD c b a a b c =---=---=---；（2）由题意知||2,||2,||3a b c ===，110,233,23322a b a c a b ⋅=⋅=⨯⨯=⋅=⨯⨯=，111()22CO CA a b c ==++，∴21||()4CO a b c =++()22212224a b c a b a c b c =+++⋅+⋅+⋅， ()2221292922302323442=⨯++++⨯+⨯==. 【点睛】本题考查空间向量的线性运算，考查利用向量计算长度，属于基础题. 18. 已知空间三点(0,2,3),(2,1,6),(1,1,5)A B C --.（1）若点D 在直线AC 上，且BD AC ⊥，求点D 的坐标； （2）求以,BA BC 为邻边的平行四边形的面积.【★答案★】（1）11,,422⎛⎫⎪⎝⎭；（2）73. 【解析】 【分析】（1）由点D 在直线AC 上，可设AD AC λ=，利用0BD AC ⋅=可求出λ，进而得出点D 的坐标；（2）由,BA BC 求出,,BA BC BA BC ⋅，进而求出3sin 2B =，即可利用面积公式求解. 【详解】解：（1）(1,3,2)AC =-，点D 在直线AC 上， 设(1,3,2)AD AC λλ==-，(1,3,2),(1,3,2)(,23,32)O OD OD O A A λλλλλ-=-=+-=-+， (,23,32)(2,1,6)(2,13,23)BD OD OB λλλλλλ=-=-+--=+--，(1,3,2)(2,13,23)239461470AC BD λλλλλλλ⋅=-⋅+--=+-++-=-=， ∴12λ=，11(,,4)22OD =，11(,,4)22D ∴. （2）(2,1,3),(3,2,1)BA BC =-=--，∴22222221(3)14,3(2)(1)14BA BC =++-==+-+-= ∴231(2)(3)(1)7BA BC ⋅=⨯+⨯-+-⨯-=，∴71cos cos ,21414BA BC BA BC BA BCB ⋅=<===>⨯，3sin 2B =，31414732S =⨯⨯=， 所以以,BA BC 为邻边得平行四边形的面积为73. 【点睛】本题考查空间向量的相关计算，属于基础题.19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，2PD DC ==，,E F 分别是,AB PB 的中点.（1）求证：EF CD ⊥；（2）求PC 与平面DEF 所成角的正弦值. 【★答案★】（1）证明见解析；（2）32. 【解析】 【分析】（1）以D 为 原点，以,,DA DC DP 所在的直线分别为,,x y z 轴，如图建立空间直角坐标系，证明0EF CD ⋅=即可；（2）求出平面DEF 的法向量，利用sin cos ,PC n PC n PC nθ⋅==即可求出.【详解】（1）证明：以D 为 原点，以,,DA DC DP 所在的直线分别为,,x y z 轴，如图建立空间直角坐标系，(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,0),(0,02),(2,1,0),(1,1,1)A B C D P E F (1,0,1),(0,2,0)EF CD =-=-，100(2)100EF CD ⋅=-⨯+⨯-+⨯=，所以EF CD ⊥，所以EF CD ⊥.（2）(2,1,0),(1,1,1),(0,2,2)DE DF PC ===-， 设平面DEF 的法向量为(,,)n x y z =，则00DE n DF n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，200x y x y z +=⎧⎨++=⎩，2y x z x=-⎧⎨=⎩，令1x =，则(1,2,1)n =-. 设PC 与平面DEF 所成角为θ，()()()()22222201222163sin cos ,286022121PC n PC n PC nθ⨯+⨯-+-⨯⋅=====⨯++-⨯+-+， 所以PC 与平面DEF 所成角的正弦值为32. 【点睛】本题考查向量法证明线线垂直，考查线面角的向量求法，属于基础题.20. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2ABC π∠=，D 是棱AC 的中点，且11AB BC BB ===.（1）求证： 1//AB 平面1BC D ； （2）求直线1AB 到平面1BC D 的距离. 【★答案★】（1）证明见解析；（2）33. 【解析】 【分析】（1）以B 为原点，以BC ，BA ，1BB 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，求出平面1BC D 的法向量，通过数量积推出1AB n ⊥，得到1AB //平面1BC D ．（2）通过直线上任一点到平面的距离都相等，(0,1,0)BA =，设直线1AB 到平面1BC D 的距离为d ，利用空间向量的数量积转化求解即可．【详解】（1）证明：以B 为原点，以BC ，BA ，1BB 所在的直线分别为x ，y ，z 轴， 如图建立空间直角坐标系，1111(0,0,0),(1,0,1),(,,0),(0,1,0),(0,0,1)22B C D A B ，1111(1.0,1),(,,0),(0,1,1)22BC BD AB ===-，设平面1BC D 的法向量为(,,)n x y z =，则1·0·0BC n BD n ⎧=⎨=⎩，011022x z x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，z xy x =-⎧⎨=-⎩， 令1x =，则(1,1,1)n =--， 101(1)(1)1(1)0AB n =⨯+-⨯-+⨯-=，所以1AB n ⊥，因为1AB ⊂/平面1BC D ，所以1AB //平面1BC D ．（2）解：因为1AB //平面1BC D ，所以直线上任一点到平面的距离都相等，(0,1,0)BA =， 设直线1AB 到平面1BC D 的距离为d ，则||13||33BA n d n ===， 所以直线1AB 到平面1BC D 的距离为33． 【点睛】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，向量法的应用，直线到平面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．21. 如图，四边形ABCD 是圆柱OQ 的轴截面，点P 在圆柱OQ 的底面圆周上，G 是DP 的中点，圆柱OQ 的底面圆的半径2OA =，圆柱的侧面积为83π，120AOP ︒∠=.（1）求点G 到直线BC 的距离；（2）求平面PAG 与平面BAG 的夹角的余弦值. 【★答案★】（1）7；（2）155. 【解析】 【分析】（1）取AP 中点E ，证明//GE BC ，BE BC ⊥，于是点G 到直线BC 的距离等于线段BE 的长； （2）证明AG ⊥平面PBD ，则PGB ∠为所求二面角的平面角，在直角三角形PBG 中计算cos PGB ∠即可．【详解】解：（1）取AP 的中点E ，连接BE ，GE ， G 是PD 的中点，E 是AP 得中点，//GE AD ∴，又//BC AD ，//GE BC ∴，G ∴到直线BC 的距离等于E 到直线BC 的距离，BC ⊥平面ABP ，BE ⊂平面ABP ，BE BC ∴⊥，即E 到直线BC 的距离等于线段BE 的长，120AOP ∠=︒，2OA OP OB ===，2PB ∴=，23AP =，3PE ∴=， AB 是圆O 的直径，AP PB ∴⊥，227BE PB PE ∴=+=，∴点G 到直线BC 的距离为7．（2）设圆柱的高为h ，则圆柱的侧面积为：2283h ππ⨯⨯=，解得23h =，即23AD =，又23AP =，AD AP ∴=，AG PD ∴⊥，AD ⊥平面APB ，PB ⊂平面APB ，AD PB ∴⊥，AB 是圆O 的直径，AP PB ⊥，又AD AP A =，PB ∴⊥平面PAD ，PB AG ∴⊥，又PD PB P =，AG ∴⊥平面PBD ，PGB ∴∠为平面PAG 与平面BAG 所成二面角的平面角，由PB ⊥平面PAD 可得PB PD ⊥， 在直角三角形PBG 中，2PB =，221622AD AP PG PD +===， 2210BG PB PG ∴=+=，15cos 5PG PGB BG ∴∠==． 所以平面PAG 与平面BAG 的夹角的余弦值为155．【点睛】本题考查了线面平行与垂直的判定，考查空间距离与空间角的计算，属于中档题． 22. 如图（1）所示，在Rt ABC 中，90︒∠=C ，3,6BC AC ==，,D E 分别是,AC AB 上的点，且//,2DE BC DE =，将ADE 沿DE 折起到1A DE △的位置，使1A C CD ⊥，如图（2）所示.（1）求证：1A C ⊥平面BCDE ；（2）若M 是1A D 的中点，求CM 与平面1A BE 所成角的大小；（3）线段BC （不包括端点）上是否存在点P ，使平面1A DP 与平面1A BE 垂直？说明理由.【★答案★】（1）证明见解析；（2）4π；（3）不存在，★答案★见解析. 【解析】【分析】(1)证明1A C 垂直平面BCDE 内两条相交直线即可；(2)建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面1A BE 的法向量n ，利用向量夹角公式，即可得CM 与平面1A BE 所成角.(3)假设存在P 点，设点P 的坐标为(0,,0)(03)m m <<，求出平面1A DP 法向量1n ，假设平面ADP 与平面1A BE 垂直，则10n n ⋅=，得出t 的值，从而得出结论.【详解】（1）CD DE ⊥，1A D DE ⊥,1,A D CD 是平面1A CD 内的两条相交直线， ∴DE ⊥平面1A CD , 又1AC ⊂平面1A CD ， ∴1A C DE ⊥,又1A C CD ⊥,,DE CD 是平面BCDE 内的两条相交直线，1A C ∴⊥平面BCDE .（2）如图建系C xyz -，则(2,0,0)D -，(0,0,23)A ，(0,3,0)B ，(2,2,0)E -，∴1(0,3,23)A B =-，()2,1,0BE =--， 设平面1A BE 的一个法向量为(,,)n x y z =则100A B n BE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ∴323020y z x y ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩ ∴322z y yx ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴取2y =，得(1,2,3)n =-，又∵(1,0,3)M -，∴(1,0,3)CM =-,CM n θ<>=，CM 与平面1A BE 所成角α ∴1342cos 2||||14313222CM n CM n θ⋅+====⋅++⋅+⋅，2cos cos 2αθ==， ∴CM 与平面1A BE 所成角的大小45︒.（3）设点P 的坐标为(0,,0)(03)m m <<，1(2,0,23),(2,,0)D m DP A ==， 设平面1A DP 的法向量为1111(,,)n x y z =，则11100DA n DP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，1111223020x z x my ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，1111132z x y x m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，令13x m =，则 1(3,23,)n m m =--.要使平面1A DP 与平面1A BE 垂直，需1(1)32(23)3()0n n m m ⋅=-⨯+⨯-+⨯-=，解得2m =-，不满足条件.所以不存在这样的点P .【点睛】本题考查线面垂直，考查线面角，考查面面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.既有传统方法，又有向量知识的运用，要加以体会，是中档题.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。

2020-2021学年高二数学10月月考试题理注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设命题，则为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定为．2、抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】抛物线的焦点为，双曲线的一条渐近线为，距离．3、已知,，，则与的夹角为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可知，，设，则，∴．4、设椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同，且离心率为，则此椭圆的方程为（）A．B． C．D．【答案】A【解析】抛物线的焦点为，∴且，∴，，∴椭圆方程为，故选A．5、直线与抛物线相切，则实数（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【解析】联立，化为，∵直线与抛物线相切，∴，解得．6、双曲线的虚轴长是实轴长的3倍，则（）A．9 B．C．D．【答案】D【解析】，由已知可得，解得，故选D．7、已知，，则是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】，化为，解得，，解得或，则，则是的的充分不必要条件．8、过抛物线的焦点作一条倾斜角为直线交抛物线于两点，则（）A．B．C．15 D．12【答案】B【解析】抛物线中，，焦点所以，直线方程为，由消去得，所以，则．9、设经过点的等轴双曲线的焦点为，此双曲线上一点满足，则的面积为（）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】B【解析】设等轴双曲线方程为，将点代入可得，∴双曲线标准方程为，∴，，，即，∴，∴的面积为，故选B．10、如图所示，空间四边形中，，，，点在上，且，为中点，则 ( )。

广德市实验中学2020～2021学年度第一学期十月月考高二数学试卷试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1、直线的倾斜角为 A.B.C.D.2、直线 052=-+ay x 和直线024=++y ax 平行,则实数a 的值等于( ) A.2 B.2± C.2 D.2±3、过点)2,1(A 且与点)2,3(P 距离最大的直线方程是( )A.012=++y xB.012=--y xC.1=yD.1=x4、点A (1,2,－1),点C 与点A 关于平面xOy 对称,点B 与点A 关于x 轴对称,则|BC |的值为( )A.2 5B.4C.2 2D.275、圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为( )A.023=-+y xB.043=-+y xC.043=+-y xD.023=+-y x 6、已知点,,直线l 方程为,且与线段AB 相交,求k 的取值范围为A.或B.C. D.7、若直线1=+by ax 与圆122=+y x 有两个不同公共点,则点),(b a P 与圆的位置关系是( )A.在圆上B.在圆外C.在圆内D.以上皆有可能 8、在圆422=+y x 上,与直线01234:=-+y x l 的距离最小的点的坐标是( )A.)56,58(B.)56,58(-C.)56,58(-D.)56,58(-- 9、从圆222210x x y y -+-+=外一点P(3,2)向这个圆作两条切线,则两切线夹角的余弦值为A 、12 B 、35C 、32D 、010、已知直线与圆交于M ,N 两点,则线段MN的长的最小值为A.B.C. 2D.11、若圆上至少有三个不同点到直线l :的距离为,则直线l 的倾斜角的取值范围是. A.B.C.D.12、过直线l :上的点作圆C :的切线,若在直线l 上存在一点M ,使得过点M 的圆C 的切线MP ,为切点满足,则a 的取值范围是A.B.C.D.二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分。

安徽省肥东县高级中学2020-2021学年高二上学期第二次月考数学（理）试题含答案2020—2021学年度第一学期高二第二次考试数学（理）试题 ★祝考试顺利★注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效.3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

第I 卷(选择题60分）一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

） 1.若直线l 与直线1,7y x ==分别交于点,P Q ，且线段PQ 的中点坐标为()1,1-，则直线l 的斜率为（ ）A. 13 B 。

13- C 。

32- D.232。

直线l 经过()2,1A ， 11,2B m m⎛⎫+-⎪⎝⎭两点()0m >，那么直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）A. ,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.0,,42πππ⎡⎤⎛⎫⋃ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭C.0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.0,,42πππ⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭3。

直线2130x my m -+-=,当m变化时,所有直线都过定点( ）A. 1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭B 。

1,32⎛⎫⎪⎝⎭C. 1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭ D 。

1,32⎛⎫-- ⎪⎝⎭4。

下列说法的正确的是（ ）A ．经过定点()P x y 000，的直线都可以用方程()y y k x x -=-00表示B ．经过定点()b A ，0的直线都可以用方程y kx b =+表示C ．不经过原点的直线都可以用方程x ay b+=1表示D 经过任意两个不同的点()()222111y x P y x P ，、，的直线都可以用方程()()()()y y x x x x y y --=--121121来表示5。

已知直线1l :70x my ++=和2l ：()2320m x y m -++=互相平行,则实数m = （ ）A. 1m =-或 3 B 。

2021学年安徽省六安市某校高二（上）10月月考数学（理）试卷一、选择题1. 坐标原点到下列各点距离最小的是( )A.(1,0,−3)B.(−2,1,1)C.(1,3,−1)D.(0,2,1)2. 若直线mx+2y+m=0与直线3mx+(m−1)y+7=0平行，则m的值为( )A.7B.0或7C.0D.43. 已知直线(3−2k)x−y−6=0不经过第一象限，则k的取值范围为( )A.(−∞, 32) B.(−∞, 32] C.(32,+∞) D.[32,+∞)4. 已知正项等比数列{a n}中，a3a5=4，且a4，a6+1，a7成等差数列，则该数列公比q为( )A.1 4B.12C.2D.45. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sin2B=b cos A cos B，则△ABC 的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定6. 已知关于x的不等式ax+b>0的解集为(−∞, 1)，则不等式ax−bx−2>0的解集为( ) A.{x|−1<x<2} B.{x|x<−1或x>2} C.{x|1<x<2}D.{x|x>2或x<1}7. 若圆x2+y2−2x+4y+m=0截直线x−y−3=0所得弦长为6，则实数m的值为( )A.−31B.−4C.−2D.−18. 圆C1：x2+y2+2x+4y+1=0与圆C2：x2+y2−4x−4y−1=0的公切线有几条( )A.1条B.2条C.3条D.4条9. 在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点B ，C 坐标为(−2, 0)，(2, 0)，中线AD 的长度是3，则顶点A 的轨迹方程是( ) A.x 2+y 2=3 B.x 2+y 2=4 C.x 2+y 2=9(y ≠0) D.x 2+y 2=9(x ≠0)10. 已知方程x 2+y 2+4x −2y −4=0，则x 2+y 2的最大值是( ) A. 14−6√5 B.14 C.9 D. 14+6√511. 已知函数y =x −4+9x+1(x >−1)，当x =a 时，y 取得最小值b ，则a +b 等于( ) A.−3 B.2 C.3 D.812. 已知P ，Q 分别为圆M ：(x −6)2+(y −3)2=4与圆N ：(x +4)2+(y −2)2=1上的动点，A 为x 轴上的动点，则|AP|+|AQ|的最小值为( ) A.√101−3 B.5√5−3 C.7√5−3 D.5√3−3二、填空题若直线xa +yb =1(a >0，b >0)始终平分圆(x −1)2+(y −1)2=4的周长，则a +4b 的最小值为________. 三、解答题求适合下列条件的直线方程：(1)经过点A (−1,−3)，倾斜角等于直线y =√33x 的倾斜角的2倍；(2)经过点B (3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.变量x ，y 满足{x −4y +3≤0，3x +5y −25≤0，x ≥1.(1)设z =yx−1，求z 的取值范围；(2)设z =x 2+y 2，求z 的最小值．已知圆M:x 2+(y −1)2=16外有一点 A(4,−2)，过点A 作直线l . (1)当直线l 与圆M 相切时，求直线l 的方程；(2)当直线l的倾斜角为135∘时，求直线l被圆M所截得的弦长.已知平面内两点A(8, −6)，B(2, 2)．(1)求AB的中垂线方程；(2)求过P(2, −3)点且与直线AB平行的直线l的方程；(3)一束光线从B点射向(2)中的直线l，若反射光线过点A，求反射光线所在的直线方程．已知圆C：x2+y2+2x−4y+3=0.(1)求圆心C的坐标及半径r的大小；(2)已知不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程；(3)从圆外一点P(x, y)向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且|MP|=|OP|，求点P的轨迹方程.已知M(1, −1)，N(2, 2)，P(3, 1)，圆C经过M，N，P三点．(1)求圆C的方程，并写出圆心坐标和半径的值；(2)若过点Q(1, 1)的直线l与圆C交于A，B两点，求弦AB的长度|AB|的取值范围．参考答案与试题解析2021学年安徽省六安市某校高二（上）10月月考数学（理）试卷一、选择题1.【答案】D【考点】空间两点间的距离公式【解析】利用两点间的距离分别求得原点到四个选项中点的距离，得出答案．【解答】解：A，√12+02+(−3)2=√10；B，√(−2)2+12+12=√6；C，√12+32+(−1)2=√11；D，√02+22+12=√5.∵√5<√6<√10<√11，∴ D选项表示的点到坐标原点的距离最小.故选D.2.【答案】B【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【解析】此题暂无解析【解答】解：∵直线mx+2y+m=0与直线3mx+(m−1)y+7=0平行，∴m(m−1)=3m×2，∴m=0或7，经检验，符合题意.故选B.3.【答案】D【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系斜率的计算公式【解析】把直线的方程化为斜截式，再根据它经过定点(0, −6)，不经过第一象限，可得它的斜率3−2k≤0，由此求得k的范围．【解答】解：∵直线(3−2k)x−y−6=0，即y=(3−2k)x−6，它经过定点(0, −6)，不经过第一象限，则它的斜率3−2k≤0，求得k≥32. 故选D.4.【答案】C【考点】等比数列的性质等差数列的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：∵a3a5=4，∴a4a4=4，则a4=2，∵a4，a6+1，a7成等差数列，∴2(a6+1)=a4+a7，∴2(a4q2+1)=a4+a4q3，解得，q=2.故选C.5.【答案】B【考点】两角和与差的余弦公式正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：因为a sin2B=b cos A cos B，所以sin A sin2B=sin B cos A cos B，所以sin B(sin A sin B−cos A cos B)=0，即−sin B cos(A+B)=0.因为0<A<π，0<B<π，所以A+B=π2，故△ABC是直角三角形.故选B.6.【答案】A【考点】其他不等式的解法【解析】由题意可得a<0，且−ba =1，要求的不等式即a(x−ba)x−2>0，即x+1x−2<0，即(x+1)(x−2)<0，由此求得它的解集．【解答】解：∵关于x的不等式ax+b>0的解集为(−∞, 1)，∴a<0，且−ba=1，则不等式ax−bx−2>0可整理为a(x−ba)x−2>0，即a(x+1)x−2>0，等同于(x+1)(x−2)<0，x≠2，解得−1<x<2.故选A.7.【答案】B【考点】直线与圆相交的性质【解析】把圆x2+y2−2x+4y+m＝0化为标准方程，找到圆心和半径，发现直线x−y−3＝0恰好经过圆心，得出圆直径为6，则半径为3，从而求出m的值．【解答】解：由圆x2+y2−2x+4y+m=0即(x−1)2+(y+2)2=5−m，∴圆心为(1, −2)，∴圆心在直线x−y−3=0上，∴此圆直径为6，则半径为3，∴5−m=32，∴m=−4.故选B.8.【答案】C【考点】两圆的公切线条数及方程的确定【解析】将圆的方程化为标准方程，求出圆心距及半径，可得两圆相外切，由此可确定两圆的公切线的条数．【解答】解：圆C1：x2+y2+2x+4y+1=0化为标准方程为：(x+1)2+(y+2)2=4，圆心坐标为C1(−1, −2)，半径为2；圆C2：x2+y2−4x−4y−1=0化为标准方程为：(x−2)2+(y−2)2=9，圆心坐标为C2(2, 2)，半径为3；∴圆心距|C1C2|=√(2+1)2+(2+2)2=5=2+3即两圆的圆心距等于两圆的半径的和，∴两圆相外切，∴两圆的公切线有3条.故选C.9.【答案】C轨迹方程【解析】由题意求出中点的坐标，根据两点间的距离求出A的轨迹构成，注意三角形中A，B，C 不能共线．【解答】解：设A(x, y)，由题意，得B，C的中点坐标为(0, 0)，且y≠0，再由圆的定义，得x2+y2=9(y≠0).故选C.10.【答案】D【考点】圆的一般方程两点间的距离公式【解析】把已知的方程配方后，得到此方程表示以B为圆心，3为半径的圆，在平面直角坐标系中画出此圆，所求式子即为圆上的点到原点的距离的平方，即要求出圆上的点到原点的最大距离，故连接OB并延长，与圆B交于A点，此时A到原点的距离最大，|AB|为圆B的半径，利用两点间的距离公式求出|OB|的长，根据|AB|+|OB|=|AO|求出|AO|的平方，即为所求式子的最大值．【解答】解：方程x2+y2+4x−2y−4=0可变形为(x+2)2+(y−1)2=9，表示圆心B(−2, 1)，半径为3的圆，连接OB并延长，与圆B交于点A，如图所示：在图中，x2+y2表示圆B上的点到原点O的距离的平方，此时x2+y2的最大值为|AO|2.又|AO|=|AB|+|BO|=3+√(−2)2+12=3+√5，则|AO|2=(3+√5)2=14+6√5，即x2+y2的最大值为14+6√5.故选D.11.【答案】C【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】将y=x−4+9x+1(x>−1)，转化为y＝(x+1+9x+1)−5，再利用基本不等式求解即可．解：∵x>−1，∴x+1>0，∴y=x−4+9x+1=(x+1)+9x+1−5≥2√(x+1)⋅9x+1−5=1，当且仅当x=2时取等号．∴a=2，b=1，∴a+b=3．故选C.12.【答案】B【考点】与圆有关的最值问题圆与圆的位置关系及其判定【解析】求出圆N：(x+4)2+(y−2)2＝1关于x轴对称的圆为圆G：(x+4)2+(y+2)2＝1，则|AP|+|AQ|的最小值为MG−1−2，根据两点间的距离公式可求．【解答】解：根据圆M的标准方程得：M(6,3)，圆N：(x+4)2+(y−2)2=1关于x轴对称的圆为圆G：(x+4)2+(y+2)2=1，可得：G(−4,−2).如图所示，则|AP|+|AQ|的最小值为：MG−1−2=√102+52−3=5√5−3.故选B.二、填空题【答案】9【考点】基本不等式在最值问题中的应用直线与圆的位置关系【解析】【解答】解：因为直线始终平分圆的周长，故直线xa +yb=1(a>0,b>0)过圆心(1,1)，即1a+1b=1，所以a +4b =(a +4b )(1a +1b )=5+4b a+a b≥5+2√4b a⋅ab=9，所以a +4b 的最小值为9.故答案为：9. 三、解答题 【答案】解：(1)已知tan α=√33，k =tan 2α=2tan α1−tan 2α=√3.因为直线经过点A(−1,−3)，所以直线方程为y +3=√3(x +1)，化简得√3x −y +√3−3=0.(2)由题意可知，所求直线的斜率为±1.又直线过点(3,4)，由点斜式方程得y −4=±(x −3)， 所求直线的方程为x −y +1=0或x +y −7=0. 【考点】直线的点斜式方程 直线的斜率 直线的倾斜角 【解析】 【解答】解：(1)已知tan α=√33，k =tan 2α=2tan α1−tan 2α=√3.因为直线经过点A(−1,−3)，所以直线方程为y +3=√3(x +1)，化简得√3x −y +√3−3=0.(2)由题意可知，所求直线的斜率为±1.又直线过点(3,4)，由点斜式方程得y −4=±(x −3)， 所求直线的方程为x −y +1=0或x +y −7=0. 【答案】解：(1)作出不等式组对应的平面区域如图所示.z =yx−1的几何意义是区域内的点与定点D (1,0)的斜率， 由图象知CD 的斜率最小， 则{x −4y +3=0，3x +5y −25=0，解得{x =5，y =2，即C (5,2)， 则CD 的斜率k =25−1=12，即z 的取值范围是[12,+∞).(2)z =x 2+y 2的几何意义是平面区域内的点到坐标原点的距离的平方， 由(1)中的图象知OA 的距离最小， 则{x =1，x −4y +3=0， 解得{x =1，y =1，即A (1,1)，则z 的最小值为z =12+12=2. 【考点】求解非线性目标函数的最值-有关距离 求解非线性目标函数的最值-有关斜率 【解析】【解答】解：(1)作出不等式组对应的平面区域如图所示.z =yx−1的几何意义是区域内的点与定点D (1,0)的斜率， 由图象知CD 的斜率最小， 则{x −4y +3=0，3x +5y −25=0， 解得{x =5，y =2，即C (5,2)，则CD 的斜率k =25−1=12，即z 的取值范围是[12,+∞). (2)z =x 2+y 2的几何意义是平面区域内的点到坐标原点的距离的平方，由(1)中的图象知OA 的距离最小，则{x =1，x −4y +3=0，解得{x =1，y =1，即A (1,1)，则z 的最小值为z =12+12=2.【答案】解：(1)由圆M:x 2+(y −1)2=16，知圆心M(0, 1)，半径R =4，设直线l 斜率为k ，当k 不存在时，x =4与圆M 相切，符合题意；当k 存在时，设直线l 的方程为：y +2=k(x −4)，则圆心M(0, 1)到直线l 的距离为d =√1+k 2=4，即|4k +3|=4√1+k 2，解得k =724，此时直线l 的方程为：7x −24y −76=0.所以直线l 的方程为 x =4或7x −24y −76=0.(2)当直线的倾斜角为135∘时，即直线的斜率为k =−1，则直线l 的方程为：y +2=−x +4，圆心M(0, 1)到直线l 的距离为：d =√1+1=√22， 则所截的弦长为：2√R 2−d 2=2(√22)=√62.【考点】直线与圆的位置关系圆的切线方程点到直线的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由圆M:x 2+(y −1)2=16，知圆心M(0, 1)，半径R =4，设直线l 斜率为k ，当k 不存在时，x =4与圆M 相切，符合题意；当k 存在时，设直线l 的方程为：y +2=k(x −4)，则圆心M(0, 1)到直线l 的距离为d =√1+k 2=4，即|4k +3|=4√1+k 2，解得k =724，此时直线l 的方程为：7x −24y −76=0.所以直线l 的方程为 x =4或7x −24y −76=0.(2)当直线的倾斜角为135∘时，即直线的斜率为k =−1，则直线l 的方程为：y +2=−x +4，圆心M(0, 1)到直线l 的距离为：d =√1+1=√22， 则所截的弦长为：2√R 2−d 2=2(√22)=√62.【答案】解：(1)8+22=5，−6+22=−2，∴ AB 的中点坐标为(5, −2)，k AB =−6−28−2=−43，∴ AB 的中垂线斜率为34，∴ 由点斜式可得y +2=34(x −5)，∴ AB 的中垂线方程为3x −4y −23=0.(2)由点斜式y +3=−43(x −2)，∴ 直线l 的方程4x +3y +1=0.(3)设B(2, 2)关于直线l 的对称点B ′(m, n)，∴ {n−2m−2=34，4×m+22+3×n+22+1=0， 解得{m =−145，n =−85， ∴ B′(−145，−85)，k B′A =−6+858+145=−1127， 由点斜式可得y +6=−1127(x −8)，整理得11x +27y +74=0，∴ 反射光线所在的直线方程为11x +27y +74=0．【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程直线的一般式方程与直线的垂直关系直线的一般式方程与直线的平行关系中点坐标公式直线的点斜式方程【解析】（1）先由中点坐标公式求出中点坐标，然后根据垂直求出中垂线的斜率，进而由点斜式求出直线方程；（2）根据平行得出斜率，从而由点斜式求出直线方程；（3）求得点B 关于直线l 的对称点B ′的坐标，然后求出斜率，再由点斜式求出直线方程即可．【解答】解：(1)8+22=5，−6+22=−2，∴ AB 的中点坐标为(5, −2)，k AB =−6−28−2=−43，∴ AB 的中垂线斜率为34，∴ 由点斜式可得y +2=34(x −5)，∴ AB 的中垂线方程为3x −4y −23=0.(2)由点斜式y +3=−43(x −2)， ∴ 直线l 的方程4x +3y +1=0.(3)设B(2, 2)关于直线l 的对称点B ′(m, n)，∴ {n−2m−2=34，4×m+22+3×n+22+1=0， 解得{m =−145，n =−85， ∴ B′(−145，−85)，k B′A =−6+858+145=−1127， 由点斜式可得y +6=−1127(x −8)，整理得11x +27y +74=0，∴ 反射光线所在的直线方程为11x +27y +74=0．【答案】解：(1)由圆C ：x 2+y 2+2x −4y +3=0，得：(x +1)2+(y −2)2=2，∴ 圆心坐标C(−1, 2)，半径r =√2.(2)∵ 切线在两坐标轴上的截距相等且不为零，∴ 设直线l 的方程为x +y =a .∵ 直线l 与圆C ：(x +1)2+(y −2)2=2相切，∴ 圆心C(−1, 2)到切线l 的距离等于圆C 的半径√2， 即：√2=√2，解得a =−1或a =3，故所求切线方程为：x+y+1=0或x+y−3=0.(3)∵切线PM与半径CM垂直，P(x, y)，∴|PM|2=|PC|2−|CM|2.又∵|MP|=|OP|，|CM|为圆C的半径，∴x2+y2=(x+1)2+(y−2)2−2，∴点P的轨迹方程为2x−4y+3=0.【考点】圆的标准方程与一般方程的转化圆的切线方程轨迹方程点与圆的位置关系圆的标准方程【解析】（1）化圆的一般方程为标准方程，从而得到圆心坐标和半径；（2）设出直线的截距式方程，整理为一般式，由圆心到切线的距离等于半径列式求得a的值，则切线方程可求；（3）由切线垂直于过切点的半径及|MP|=|OP|列式求点P的轨迹方程．【解答】解：(1)由圆C：x2+y2+2x−4y+3=0，得：(x+1)2+(y−2)2=2，∴圆心坐标C(−1, 2)，半径r=√2.(2)∵切线在两坐标轴上的截距相等且不为零，∴ 设直线l的方程为x+y=a.∵直线l与圆C：(x+1)2+(y−2)2=2相切，∴圆心C(−1, 2)到切线l的距离等于圆C的半径√2，即：√2=√2，解得a=−1或a=3，故所求切线方程为：x+y+1=0或x+y−3=0.(3)∵切线PM与半径CM垂直，P(x, y)，∴|PM|2=|PC|2−|CM|2.又∵|MP|=|OP|，|CM|为圆C的半径，∴x2+y2=(x+1)2+(y−2)2−2，∴点P的轨迹方程为2x−4y+3=0.【答案】解：(1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0．∵圆C过M，N，P三点，∴{1+1+D−E+F=0，4+4+2D+2E+F=0，9+1+3D+E+F=0，解得{D =−3，E =−1，F =0，∴ 圆C 的方程为x 2+y 2−3x −y =0， 整理得(x −32)2+(y −12)2=52，∴ 圆心C(32, 12)，半径r =√102． (2)设圆心C 到直线l 的距离为d ，点Q(1, 1)到圆心的距离为|CQ|=√(1−32)2+(1−12)2=√22<√102=r ，∴ 点Q 在圆内，∴ |AB|=2√52−d 2，∴ 当0≤d ≤|CQ|=√22（l 过圆心C 时，d =0；当l ⊥CQ 时，d =√22）， ∴ 2√2≤|AB|≤√10．【考点】直线与圆的位置关系圆的一般方程圆的标准方程点到直线的距离公式两点间的距离公式【解析】【解答】解：(1)设圆C 的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0． ∵ 圆C 过M ，N ，P 三点，∴ {1+1+D −E +F =0，4+4+2D +2E +F =0，9+1+3D +E +F =0，解得{D =−3，E =−1，F =0，∴ 圆C 的方程为x 2+y 2−3x −y =0， 整理得(x −32)2+(y −12)2=52，∴ 圆心C(32, 12)，半径r =√102． (2)设圆心C 到直线l 的距离为d ，点Q(1, 1)到圆心的距离为|CQ|=√(1−32)2+(1−12)2=√22<√102=r ，∴ 点Q 在圆内，∴ |AB|=2√52−d 2， ∴ 当0≤d ≤|CQ|=√22（l 过圆心C 时，d =0；当l ⊥CQ 时，d =√22）， ∴ 2√2≤|AB|≤√10．。

广德市实验中学2020-2021学年度第一学期十月月考高二数学试卷试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、直线x +√3y −5=0的倾斜角为( )A. −30°B. 60°C. 120°D. 150°2、直线 052=-+ay x 和直线024=++y ax 平行，则实数a 的值等于（ ） A.2 B.2± C.2 D.2±3、过点)2,1(A 且与点)2,3(P 距离最大的直线方程是（ ）A.012=++y xB.012=--y xC.1=yD.1=x4、点A (1,2，－1)，点C 与点A 关于平面xOy 对称，点B 与点A 关于x 轴对称，则|BC |的值为( )A ．2 5B ．4C ．2 2D ．275、圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（ ）A.023=-+y xB.043=-+y xC.043=+-y xD.023=+-y x 6、已知点A(2,−3)，B(−3,−2)，直线l 方程为，且与线段AB 相交，求k 的取值范围为( )A. k ≤−34或k ≥4B. k ≤4或k ≥34C. −34≤k ≤4D. −4≤k ≤−347、若直线1=+by ax 与圆122=+y x 有两个不同公共点，则点),(b a P 与圆的位置关系是（ ）A.在圆上B.在圆外C.在圆内D.以上皆有可能8、在圆422=+y x 上，与直线01234:=-+y x l 的距离最小的点的坐标是（ ）A.)56,58(B.)56,58(-C.)56,58(-D.)56,58(--9、从圆222210x x y y -+-+=外一点P （3，2）向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为A 、12 B 、35C 、2D 、010、已知直线x +ay =a +2(a ∈R)与圆x 2+y 2−2x −2y −7=0交于M ，N 两点，则线段MN 的长的最小值为( )A. 4√2B. 2√2C. 2D. √211、若圆x 2+y 2−2x −2y =0上至少有三个不同点到直线l ：y =kx 的距离为√22，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )．A. [15°,45°]B. [15°,75°]C. [30°,60°]D. [0°,90°]12、过直线l ：y =2x +a 上的点作圆C ：x 2+y 2=1的切线，若在直线l 上存在一点M ，使得过点M 的圆C 的切线MP ，MQ(P,Q 为切点)满足∠PMQ =90∘，则a 的取值范围是( )A.B.C.D.二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。

2020-2021学年高二数学10月月考试题第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5 分，共60分，各题的备选答案中只有一个选项是正确的，请把正确答案涂在答题卡指定位置） 1、设角θ的终边经过点(3,4)P -，那么sin 2cos θθ+=（ ）A ．15 B ．15- C ．25 D ． 25-2、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n 23510S ,a +a =-5,S =-20,a 则等于 （ ） A ．－90B ．－27C ．－25D ．03、已知正项等比数列{}n a ，且，221053.2,1a a a a ==，则4a =( )A ．B ．C ．D ．24、已知直线x+ my + 6=0和(m －2)x + 3y +2m =0互相平行，则实数m 的取值为（ ） A ．-1 B ．-3 C ．-1或3 D ．1或-35、设数列{a n }是以3为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则1234a a a a b b b b +++=（ ）A ．15B ．60C ．63D ．726、设a ＝22(sin56°－cos56°)，b ＝cos50°cos128°＋c os40°cos38°， c ＝cos 240°－sin 240°则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．a ＞c ＞b D ．c ＞a ＞b 7、设等比数列{}n a 的公比q=2，前n 项和为n S ，则42S =a （ ） A. 2 B. 4C.215D.2178、若1sin()63πα-=，则2cos(2)3πα+=（ ）A ．29B ．29-C ．79 D ．79-9、将函数y=sin2x 的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（ ） A y=2cos 2xB ． y=2sin 2xC ． y=1+sin(2x+)4πD ． y=cos2x10、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知5768a +a =4,a +a =-2 ,则当n S 取最大值时n 的值是( )A.5B.6C.7D.811、设函数)(x f 的定义域是][4,4-，其图象如图(其中0)4()1()2(===-f f f )，那么不等式0sin )(≤x x f 的解集为（ ）A ．][1,2-B ．][][4,12,4⋃--C ．)[)[)[ππ,10,2,4⋃-⋃--{}4⋃D ．)[()ππ，1,4⋃-- 12、直线b x y +=与曲线21y x -=有且只有一个交点，则b 的取值范围是A ．2=b B ．11≤≤-bC ．11≤<-b 且2-=b D.22≤≤-b第Ⅱ卷二、填空题(每小题5分，共20分，把答案填在答题纸指定位置).13、已知锐角△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c, 23cos 2A + cos2A = 0, a=7, c=6,则b= ____14、求经过点（4，-3）作圆x 2+y 2-6x-2y+9=0的切线的方程 _________15、已知数列，则a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 99+a 100=16、定义运算a ※b=()(),.a a b b a b ≤⎧⎪⎨>⎪⎩如1※2=1,则函数f(x)=sinx ※cosx 的值域为______三、解答题(本题6小题共70分.在答题纸指定位置作答，应写出文字说明、证明过程或演算步骤).17、（10分）已知3cos()cos(2)02παπα+--=，求下列各式的值。

合肥一中2020-2021学年高二上学期第一次段考理科数学试卷一选择题。

（每题4分，计40分） 1、垂直于同一条直线的两条直线一定（ ）A 、平行B 、相交C 、异面D 、以上都有可能 2、过直线l 外两点作与直线l 平行的平面，可以作（ ）A ．1个B ．1个或无数个C ．0个或无数个D ．0个、1个或无数个 3．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，错误．．的是（ ） A 用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形 B 几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同 C 水平放置的矩形的直观图是平行四边形 D 水平放置的圆的直观图是椭圆4．正方体的外接球与内切球的球面面积分别为S 1和S 2则( )A ．S 1＝2S 2B ．S 1＝3S 2C ．S 1＝4S 2D ．S 1＝23S 25、一个棱柱是正四棱柱的条件是( ) A ．底面是正方形，有两个侧面是矩形 B ．每个侧面都是全等矩形的四棱柱C ．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直D ．底面是正方形，有两个相邻侧面垂直于底面6. 已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上．若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12.则球O 的半径为( )A.3172 B ．210 C.132D ．3107．关于直线a 、b 、l 及平面M 、N ，下列命题中正确的是( ) A 若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b B 若a ∥M ，b ⊥a ，则b ⊥M C 若a M ，b M ，且l ⊥a ，l ⊥b ，则l ⊥M D 若a ⊥M ，M ∥N ，则a ⊥N 8、给出下列命题①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直 ②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行 ③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直 其中正确命题的个数为（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个9．如图，在一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个面都接触上，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是（ ）10. 有一个长方体容器1111D C B A ABCD -,装的水恰好占其容积的一半；α表示水平的桌面,容器一边BC 紧贴桌面，沿BC 将其翻转使之倾斜，最后水面(阴影部分)与其各侧棱的．．．．．交点．．分别是EFGH （如图），设翻转后容器中的水形成的几何体是M ，翻转过程中水和容器接触面积为S ,则下列说法正确．．的是 （ ） A ．M 是棱柱，S 逐渐增大 B ．M 是棱柱，S 始终不变 C ．M 是棱台，S 逐渐增大 D ．M 是棱台，S 始终不变二．填空题（每题4分，计16分）11．如下图所示，AOB ∆是平面图形M 的直观图，则M 的面积是12.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．45︒BO A 2213．如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(经过圆锥旋转轴的截面中两条母线的夹角)是14.关于图中的正方体1111D C B A ABCD -，下列说法正确的有： ___________．①P 点在线段BD 上运动，棱锥11D AB P -体积不变； ②P 点在线段BD 上运动，直线AP 与平面11D AB 所成角不变； ③一个平面α截此正方体，如果截面是三角形，则必为锐角三角形；④一个平面α截此正方体，如果截面是四边形，则必为平行四边形； ⑤平面α截正方体得到一个六边形（如图所示），则截面α在平面11D AB 与平面1BDC 间平行移动时此六边形周长先增大，后减小。