直线与椭圆的位置关系1

1.直线和椭圆位置关系判定方法概述1直线斜率存在时221y kx bmx ny =+⎧⎨+=⎩⇒222()210m k n x kbnx b +++-=当0∆>时直线和椭圆相交当0∆=时直线和椭圆相切当0∆<时直线和椭圆相离2直线斜率不存在时22221x x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩判断y 有几个解注：01无论直线斜率存在与否，关键是看联立后的方程组有几组解，而不是看""∆。

02直线和椭圆位置关系的判断只有这种“坐标法”，无几何法。

2.直线和椭圆相交时1弦长问题弦长公式22121221111AB k x x k y y a k∆=+-=+=+-注：2121212()4x x x x x x -=+-而12x x +和12x x 可用韦达定理解决，不必求出1x 和2x 的精确值，“设而不求”思想初现。

2三角形面积1过x 轴上一定点H 的直线l 与椭圆22221x y a b +=交于A 、B 两点，求AOB S ∆1212AOB S OH y y ∆=- 02过y 轴上一定点H 的直线l 与椭圆22221x y b a+=交于A 、B 两点，求AOB S ∆1212AOB S OH x x ∆=- 03弦任意，点任意12S ∆=弦长×点线距注：仍然蕴含“设而不求”思想。

3弦的中点问题01中点弦所在直线方程问题02平行弦中点轨迹03共点弦中点轨迹04其他问题类型题一：直线与椭圆位置1.已知直线2+=kx y 和椭圆12322=+y x ，当k 取何值时，此直线与椭圆：（1）相交；（2）相切；（3）相离。

2.已知直线2+=kx y 与椭圆2222=+y x 相交于不同的两点，求k 的取值范围。

3.点P 在椭圆284722=+y x 上，则点P 到直线01623=--y x 的距离的最大值为_____，最小值为________．类型题二：弦长公式1.已知椭圆：1922=+y x ，过左焦点1F 作倾斜角为6 的直线交椭圆于B A ,两点，求弦AB 的长。

第40讲 直线和椭圆的位置关系[玩前必备]一、直线与椭圆的位置关系1．位置关系的判断直线与椭圆方程联立方程组，消掉y ，得到Ax 2＋Bx ＋C ＝0的形式(这里的系数A 一定不为0)，设其判别式为Δ，(1)Δ>0⇔直线与椭圆相交；(2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切；(3)Δ<0⇔直线与椭圆相离．2．弦长公式(1)若直线y ＝kx ＋b 与椭圆相交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|. (2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长2b 2a，最长为2a . [玩转典例]题型一 直线与圆的位置关系的判断例1 若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，则m 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(0,1)∪(1,5)D ．[1,5)∪(5，＋∞)例2 已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ： (1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．[玩转跟踪]1．（2020·全国高三课时练习（理））已知直线y ＝kx －k －1与曲线C ：x 2＋2y 2＝m(m>0)恒有公共点，则m 的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．(－∞，3]C ．(3，＋∞)D ．(－∞，3)2.（2020·全国高三课时练习）若直线2244mx ny x y +=+=和圆没有交点，则过点(,)m n 的直线与椭圆22194x y +=的交点个数为（ ） A ．2个 B ．至多一个 C ．1个 D ．0个题型二 椭圆的弦长问题例3 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD .当直线AB 的斜率为0时，|AB |＝4.(1)求椭圆的方程；(2)若|AB |＋|CD |＝487，求直线AB 的方程．[玩转跟踪]1．已知椭圆x 22＋y 2＝1与直线y ＝x ＋m 交于A ，B 两点，且|AB |＝423，则实数m 的值为( ) A ．±1B ．±12 C. 2 D ．±22．椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝12，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8.(1)求椭圆E 的方程；(2)若直线AB 的斜率为3，求△ABF 2的面积．题型三 中点弦问题例4 (1)已知椭圆x 22＋y 2＝1，则斜率为2的平行弦中点的轨迹方程为________________． (2)焦点是F (0,5 2)，并截直线y ＝2x －1所得弦的中点的横坐标是27的椭圆的标准方程为________________． 例5 如图，已知椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点为F ，O 为坐标原点，设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G横坐标的取值范围．[玩转跟踪]1．过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (3,1)，且被点P 平分的弦所在直线的方程是( ) A ．4x ＋3y －13＝0B ．3x ＋4y －13＝0C ．4x －3y ＋5＝0D ．3x －4y ＋5＝02．已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称，求实数m 的取值范围．题型四 椭圆大题例6 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433. (1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点，若AC ―→·DB ―→＋AD ―→·CB―→＝8，O 为坐标原点，求△OCD 的面积．[玩转跟踪]1．已知动点M 到两定点F 1(－m,0)，F 2(m,0)的距离之和为4(0<m <2)，且动点M 的轨迹曲线C 过点N ⎝⎛⎭⎫3，12. (1)求m 的值；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与曲线C 有两个不同的交点A ，B ，且OA ―→·OB ―→＝2(O 为坐标原点)，求k 的值．[玩转练习]1．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( ) A ．至多一个B ．2C ．1D ．02．椭圆4x 2＋9y 2＝144内有一点P (3,2)，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( )A ．－23B ．－32C ．－49D ．－943．已知直线y ＝－x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若椭圆的离心率为22，焦距为2，则线段AB 的长是( ) A.223B.423C. 2 D ．24．设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(OP ―→＋OF 2―→)·PF 2―→＝0(O 为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是( )A ．4B ．3C ．2D ．15．(多选)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，点M (2,1)在椭圆C 上，直线l 平行于OM 且在y 轴上的截距为m ，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两个不同的点．下面结论正确的有( )A ．椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1B ．k OM ＝12C ．－2＜m ＜2D ．m ≤－2或m ≥26．(多选)已知B 1，B 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)短轴上的两个顶点，点P 是椭圆上不同于短轴端点的任意一点，点Q 与点P 关于y 轴对称，则下列四个命题中正确的是( )A ．直线PB 1与PB 2的斜率之积为定值－a 2b 2 B ．PB 1―→·PB 2―→＞0C ．△PB 1B 2的外接圆半径的最大值为a 2＋b 22aD ．直线PB 1与QB 2的交点M 的轨迹为双曲线7．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，设圆C 在点P 处的切线斜率为k 1，椭圆M 在点P 处的切线斜率为k 2，则k 1k 2的取值范围为( ) A ．(1,6)B ．(1,5)C ．(3,6)D ．(3,5)8．(一题两空)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，点A 在椭圆C 上，|AF 1|＝2，∠F 1AF 2＝60°，过F 2与坐标轴不垂直的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，N 为线段PQ 的中点．则椭圆C 的方程为________；若点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，18，且MN ⊥PQ ，则线段MN 所在的直线方程为_____________．9．中心为原点，一个焦点为F (0,52)的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆的方程是____________．10．过点M (－2,0)的直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1，P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为__________．11．(2020·上饶模拟)已知两定点A (－1,0)和B (1,0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋2上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为________．12．(一题两空)已知椭圆C 的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且经过点E ⎝⎛⎭⎫3，32. (1)椭圆C 的方程为____________．(2)过F 1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 位于x 轴上方)，若AF 1―→＝2F 1B ―→，则直线l 的斜率k 的值为________．13．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，长半轴与短半轴的比值为2. (1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点A (1,0)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N .若点B (0,1)在以线段MN 为直径的圆上，求直线l 的方程．14．在直角坐标系xOy 中，长为2＋1的线段的两端点C ，D 分别在x 轴，y 轴上滑动，CP ―→＝ 2 PD ―→.记点P 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)经过点(0,1)作直线l 与曲线E 相交于A ，B 两点，OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，当点M 在曲线E 上时，求直线l 的方程．15.如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 为椭圆C 上任意一点，点A 关于原点O 的对称点为点B ，有|AF 1|＋|BF 1|＝4，且∠F 1AF 2的最大值为π3. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若A ′是点A 关于x 轴的对称点，设点N (－4,0)，连接NA 与椭圆C 相交于点E ，直线A ′E 与x 轴相交于点M ，试求|NF 1|·|MF 2|的值．。

1.直线和椭圆位置关系判定方法概述1直线斜率存在时221y kx bmx ny =+⎧⎨+=⎩⇒222()210m k n x kbnx b +++-=当0∆>时直线和椭圆相交当0∆=时直线和椭圆相切当0∆<时直线和椭圆相离2直线斜率不存在时22221x x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩判断y 有几个解注：01无论直线斜率存在与否，关键是看联立后的方程组有几组解，而不是看""∆。

02直线和椭圆位置关系的判断只有这种“坐标法”，无几何法。

2.直线和椭圆相交时1弦长问题弦长公式22121221111AB k x x k y y a k∆=+-=+=+-注：2121212()4x x x x x x -=+-而12x x +和12x x 可用韦达定理解决，不必求出1x 和2x 的精确值，“设而不求”思想初现。

2三角形面积1过x 轴上一定点H 的直线l 与椭圆22221x y a b +=交于A 、B 两点，求AOB S ∆1212AOB S OH y y ∆=- 02过y 轴上一定点H 的直线l 与椭圆22221x y b a+=交于A 、B 两点，求AOB S ∆1212AOB S OH x x ∆=- 03弦任意，点任意12S ∆=弦长×点线距注：仍然蕴含“设而不求”思想。

3弦的中点问题01中点弦所在直线方程问题02平行弦中点轨迹03共点弦中点轨迹04其他问题类型题一：直线与椭圆位置1.已知直线2+=kx y 和椭圆12322=+y x ，当k 取何值时，此直线与椭圆：（1）相交；（2）相切；（3）相离。

2.已知直线2+=kx y 与椭圆2222=+y x 相交于不同的两点，求k 的取值范围。

3.点P 在椭圆284722=+y x 上，则点P 到直线01623=--y x 的距离的最大值为_____，最小值为________．类型题二：弦长公式1.已知椭圆：1922=+y x ，过左焦点1F 作倾斜角为6 的直线交椭圆于B A ,两点，求弦AB 的长。

直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆的位置关系是数学几何学的一个重要问题。

在这篇
文档中，我们将讨论直线与椭圆的几种可能的位置关系。

直线位于椭圆内部
当一条直线完全位于椭圆内部时，我们可以得到以下几种情况：
1. 直线与椭圆没有交点：这意味着直线与椭圆没有任何交点，
且直线与椭圆的轴是平行的。

2. 直线与椭圆有两个交点：这说明直线与椭圆相交于两个点，
椭圆的两个焦点位于直线上。

直线与椭圆位于同一平面
当直线与椭圆位于同一平面时，我们可以得到以下几种情况：
1. 直线与椭圆相切：这种情况下，直线与椭圆只有一个交点，
并且交点是椭圆的一个焦点。

2. 直线与椭圆相交于两点：这意味着直线与椭圆相交于两个不同的点，并且这两个点分别位于椭圆的两个焦点的同侧。

3. 直线与椭圆相离：这种情况下，直线与椭圆没有任何交点，并且直线与椭圆的轴平行。

直线与椭圆相交于无穷多点
当直线与椭圆相交于无穷多点时，这种情况被称为直线与椭圆重叠。

直线与椭圆重叠意味着直线和椭圆重合，任意一点都同时位于直线和椭圆上。

结论
通过研究直线与椭圆的位置关系，我们可以得出结论：直线与椭圆的位置关系取决于直线与椭圆之间的交点数量和位置。

这个问题在计算机图形学、建筑设计等领域都有广泛的应用。

了解这些位置关系有助于我们更好地理解直线和椭圆之间的几何性质。

总之，直线与椭圆的位置关系是一个有趣且复杂的问题，通过分析直线与椭圆的交点情况，我们可以获得更多关于它们的几何特性的信息。

直线与椭圆
1. 直线与椭圆的位置关系：
直线y＝kx＋m与椭圆＝1（a>b>0）的位置关系判断方法：
联立，消去y得一个一元二次方程。

位置关系解的个数Δ的取值
相交两解Δ>0
相切一解Δ＝0
相离无解Δ<0
2. 弦长公式：
设直线方程为y＝kx＋m(k≠0），椭圆方程为＝1（a>b>0）或＝
1（a>b>0），直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1），B(x2，y2），则|AB|＝，
∴|AB|＝＝
＝。

或|AB|＝＝
＝。

其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y或x后得到关于x或y的一元二次方程得到。

例题对不同的实数值m，讨论直线y＝x＋m与椭圆＋y2＝1的位置关系。

思路分析：
答案：联立方程组得：＋（x＋m）2＝1，
整理得：5x2＋8mx＋4m2－4＝0，Δ＝（8m）2－4×5（4m2－4）＝16（5－m2）
当Δ＞0，即－＜m＜时，方程有两个不同的实数根，此时直线与椭圆相交；
当Δ＝0，即m＝±时，方程有两个相等的实数根，此时直线与椭圆相切；
当Δ＜0，即m＜－或m＞时，方程无实数根，直线与椭圆相离。

技巧点拨：直线与椭圆的位置关系有相交、相切和相离三种情况，其几何特征分别是直线与椭圆有两个交点、有且只有一个交点、无公共点，并且二者互为充要条件。

直线与椭圆的位置关系【重要考点】1. 直线与椭圆的位置关系及判断方法（1）直线和椭圆有三种位置关系：相交、 相切 、 相离 ；（2）直线和椭圆的位置关系的判断：设直线方程：y ＝kx ＋m ，椭圆方程：22221x y a b+=（0a b >>），两方程联立消去y 可得：Ax 2＋Bx ＋C ＝0，其判别式为Δ＝B 2－4AC 。

当Δ＞0时，直线与椭圆 相交 ； 当Δ＝0时，直线与椭圆 相切 ； 当Δ＜0时，直线与椭圆 相离 。

2. 向量的运算及其中一些特殊几何关系在直线和椭圆解题中的运用，例如直线AB ⊥AC 可转化为0AB AC ⋅=。

【易错点辨析】解答直线和椭圆相关问题要注意避免出现如下两种错误：（1）对直线l 斜率的存在性不作讨论而直接设为点斜式，出现漏解或思维不全造成步骤缺失；（2）对二次项系数不为零或Δ≥0这个前提忽略而直接使用根与系数的关系。

例题1 在直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点M（23，263）为C 上的一点，点N 满足MN →＝MF 1→＋MF 2→，直线l ∥MN ，且与曲线C 交于A 、B 两点，若以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，求直线l 的方程。

解析：由MN →＝MF 1→＋MF 2→知四边形MF 1NF 2是平行四边形，其中心为坐标原点O ，因为l ∥MN ，所以l 与OM 的斜率相同。

故l 的斜率k ＝26323＝6。

设l 的方程为y ＝6（x －m ）。

由⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12，y ＝6(x －m )，消去y 并化简得 9x 2－16mx ＋8m 2－4＝0。

设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），x 1＋x 2＝16m9，x 1x 2＝8m 2－49。

因为OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0。

x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋6（x 1－m ）（x 2－m ） ＝7x 1x 2－6m （x 1＋x 2）＋6m 2 ＝7·8m 2－49－6m ·16m9＋6m 2＝19（14m 2－28）＝0。

第二节直线与椭圆的位置关系(一)-备考方向明确h --------------------------- 一方向比勢力更重要 ------------- 知识链条完善h -------------------------- 把散落的知识连起来------------阿络构建一、直线与椭圆的位置关系1. 若直线斜率不存在，数形结合分析.2. 若直线斜率k存在,设直线方程为y=kx+m,联立［厂2収1"；22得关于b x a y a bx 的方程(b 2+a2k2)x 2+2km<ax+a2(m2-b 2)=0,则有直线与椭圆相交？有两个交点？△ >0,直线与椭圆相切？有一个交点？上0,直线与椭圆相离？没有交点？ g.1. 概念理解(1) 直线与椭圆位置关系的判定有两种方法：几何法和代数法，几何法即借助椭圆与直线的图形进行判定，代数法即直线方程与椭圆方程联立得到关于x(或y)的一元二次方程，然后再判定直线与椭圆的关系，解题时应根据情况，进行判定.(2) 过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切，过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切，过椭圆内一点的直线均与椭圆相交，这与直线与圆的位置关系类似.2. 与直线与椭圆的位置相关的结论, , 2 2 , ,(1) 若P o(x o,y o)在椭圆刍+再=1上,则过P0的椭圆的切线方程是a bx o x + y o y =i~ar ■, , 2 2 , ,⑵若P o(X o,y o)在椭圆笃+再=1外,则过点P o作椭圆的两条切线，切点a b为R,P2,则切点弦PR的直线方程是竽+譽=1.a b二、直线与椭圆相交问题的处理方法1. 常规方法(通法), 2 2(1) 设直线y=kx+m与椭圆笃+音=1的交点为A(X1,y 1),B(x 2,y 2);a b⑵把直线与椭圆方程联立,得方程组；(3) 消去y得关于x的一元二次方程(或消去x得关于y的一元二次方程)；⑷由韦达定理得x1+x?,^1^x2的值(或Y1+y2,y1^y2的值)；(5)求解(用中点公式、弦长公式等).2. 点差法I型2 2(1) 设直线y=kx+m与椭圆笃+占=1的交点为A(X1,y 1),B(x 2,y 2);a b(2) 把点的坐标代入椭圆方程且作差可得k AB,弦长公式d=〔_k2• |x i-x2|= .i ；• |y i-y2|.3•点差法U型(弦AB的中点为(a,b))(1)设交点坐标为A(x,y),B(2a-x,2b-y);⑵把点的坐标代入椭圆方程；(3) 作差后依题意求解.1.概念理解常规方法是直线与椭圆相交问题的通用方法，运算量较大，运算应细心,按步骤整理，避免出错.在涉及中点、斜率问题时，可考虑点差法. 设出点的坐标，在遇到垂直、夹角问题时，可考虑运用向量法进行解题基本思路是先设元(设点的坐标),后消元.2.与直线与椭圆相交问题相关的结论. _ 2 2 _____________________________________ __(1)AB是椭圆务+气=1的不平行于对称轴的弦,M(x o,y 0)为AB的中点,a b.2 2贝卩k oM • k AB=- ,即k AB=- .a a y02 2⑵若P o(X o,y o)在椭圆笃+再=1内，则被P o所平分的中点弦的方程为a b2 2b2+ y°y =x0 +y。

直线和椭圆位置关系总结大全1.直线不交于椭圆：当直线与椭圆不相交时，可以分为以下两种情况：(1)直线在椭圆外部：此时直线与椭圆没有交点；(2)直线在椭圆内部：此时直线与椭圆没有交点。

2.直线与椭圆外切：当一条直线与椭圆相切时，可以分为以下两种情况：(1)直线与椭圆外切于一个点：此时直线与椭圆有且仅有一个切点；(2)直线与椭圆外切于一条线段：此时直线与椭圆有且仅有两个切点。

3.直线与椭圆内切：当一条直线与椭圆相切时，可以分为以下两种情况：(1)直线与椭圆内切于一个点：此时直线与椭圆有且仅有一个切点；(2)直线与椭圆内切于一条线段：此时直线与椭圆有且仅有两个切点。

4.直线穿过椭圆：当一条直线穿过椭圆时，可以分为以下三种情况：(1)直线与椭圆有两个交点：此时直线与椭圆相交于两个不同的点；(2)直线与椭圆相交于椭圆的一个点：此时直线是椭圆的切线；(3)直线与椭圆没有交点：此时直线与椭圆相离。

5.直线包围椭圆：当一条直线将椭圆切割成两个部分时，可以分为以下两种情况：(1)直线穿过椭圆：此时直线将椭圆分成内外两个部分；(2)直线在椭圆外部：此时直线将椭圆分成两个不相交的部分。

6.直线与椭圆重合：当直线与椭圆方程相同或者参数相同时，直线与椭圆重合。

7.直线与椭圆相交：当直线与椭圆有交点时，可以分为以下几种情况：(1)直线与椭圆有两个交点：此时直线与椭圆相交于两个不同的点；(2)直线与椭圆相交于椭圆的一个点：此时直线是椭圆的切线；(3)直线与椭圆相交于两条线段：此时直线穿过椭圆。

总之，直线和椭圆之间的位置关系相当复杂，可以分为不交、外切、内切、相离、穿过、重合和相交等情况。

具体的位置关系可以通过解方程或者观察图形进行判断，同时利用相关的几何性质也可以得到更加精确的结论。

直线与椭圆的位置关系及判断方法直线与椭圆的位置关系是指确定一条直线和一个椭圆之间的相对位置关系，主要有以下几种情况：直线与椭圆相离、直线与椭圆相切、直线穿过椭圆两个交点、直线包含椭圆等情况。

判断直线与椭圆的位置关系可以通过研究直线方程和椭圆方程的解来实现。

一、直线与椭圆相离的情况：当直线方程与椭圆方程不存在实数解时，说明直线与椭圆相离。

直线方程通常采用一般式表示，即Ax+By+C=0，椭圆方程通常采用标准方程表示，即((x-h)^2)/(a^2)+((y-k)^2)/(b^2)=1、将直线方程的x、y分别带入椭圆方程，得到一个关于x的二次方程。

通过判别式B^2-4AC的值来确定二次方程是否有实数解，当判别式小于零时，直线与椭圆相离。

二、直线与椭圆相切的情况：当直线方程刚好与椭圆方程有一个实数解时，说明直线与椭圆相切。

判断方法是将直线方程的x、y分别带入椭圆方程，得到一个关于x的二次方程。

当判别式B^2-4AC等于零时，直线与椭圆相切。

三、直线穿过椭圆两个交点的情况：当直线方程与椭圆方程有两个实数解时，说明直线穿过椭圆的两个交点。

判断方法是将直线方程的x、y分别带入椭圆方程，得到一个关于x 的二次方程。

当判别式B^2-4AC大于零时，直线与椭圆有两个交点。

四、直线包含椭圆的情况：当直线方程将椭圆方程的所有解都包含时，说明直线包含椭圆。

判断方法是将直线方程的x、y分别带入椭圆方程，而不是代入x的解，得到一个关于y的二次方程。

如果这个二次方程对于任何实数x都有解，则直线包含椭圆。

需要注意的是，在判断直线与椭圆的位置关系时，需要先将椭圆方程化简为标准方程，即将h、k分别代表椭圆的中心坐标，a、b分别代表椭圆的长半轴和短半轴长度。

总结起来，判断直线与椭圆的位置关系，可以通过以下步骤实现：1.将椭圆方程化简为标准方程。

2.将直线方程写为一般式。

3.将直线方程的x、y带入椭圆方程，得到关于x的二次方程。

4.判断该二次方程的判别式B^2-4AC的值，确定直线是否与椭圆有交点、相切或相离。

直线与椭圆位置关系(经典)本文介绍了直线与椭圆的位置关系以及弦长计算方法。

1.点与椭圆的位置关系对于椭圆$x^2/a^2+y^2/b^2=1$，点$P(x,y)$在椭圆内部的充要条件是$x^2/a^2+y^2/b^21$，在椭圆上的充要条件是$x^2/a^2+y^2/b^2=1$。

2.直线与椭圆的位置关系设直线$l: Ax+By+C=0$，椭圆$C: x^2/a^2+y^2/b^2=1$，联立$l$与$C$，消去某一变量$(x$或$y)$得到关于另一个变量的一元二次方程，此一元二次方程的判别式为$\Delta$，则$l$与$C$相离的充要条件是$\Delta0$。

3.弦长计算计算椭圆被直线截得的弦长，往往是设而不求，即设弦两端坐标为$P_1(x_1,y_1)$，$P_2(x_2,y_2)$，则$|P_1P_2|=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}=1+kx_1-x_2=1+\frac{1}{k}(y_1-y_2)$（$k$为直线斜率）。

题目：已知椭圆$\frac{x^2}{5m}+\frac{y^2}{m}=1$，直线$y=kx+1$，求实数$m$的取值范围使得直线与椭圆有公共点。

解法一：将直线方程代入椭圆方程，得到关于$x$的一元二次方程，其判别式为$\Delta=m-5k-1$，要使直线与椭圆有交点，需要$\Delta\geq0$，即$m\geq5k+1$。

另外要注意，当$m=5k+1$时，直线与椭圆可能只有一个交点，在这种情况下也算有公共点。

因此，实数$m$的取值范围为$m\geq1$且$m\neq5$。

解法二：观察椭圆方程，发现其长轴在$x$轴上，短轴在$y$轴上，因此，当$m5$时，椭圆焦点在$y$轴上，与直线的交点只有$1$个或$3$个。

因此，要使直线与椭圆有公共点，需要$m\geq5$。

另外，当$m=5$时，椭圆退化成一个点，直线与该点有交点，因此也算有公共点。

直线与椭圆的位置关系1.直线与椭圆的位置关系.设直线l ：Ax +By +C =0，椭圆C ：12222=+b y a x 联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=+012222C By Ax b y a x 得02=++p nx mx (1)若l 与C 相离的⇔Δ<0；（2）l 与C 相切⇔Δ=0；（3）l 与C 相交于不同两点⇔Δ>0.2.弦长公式 设直线与椭圆交于点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)则|P 1P 2|=221221)()(y y x x -+- 212212111y y kx x k -+=-+=（k 为直线斜率） 一，直线与椭圆的位置关系例题1、判断直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 的位置关系例题2、若直线)(1R k kx y ∈+=与椭圆1522=+my x 恒有公共点，求实数m 的取值范围.二、弦长问题例题3、 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为3π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．例4、已知椭圆1222=+y x 的左右焦点分别为1F ,2F ，若过点P （0，-2）及1F 的直线交椭圆于A,B 两点，求⊿ABF 2的面积练习、已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=． （1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程．三、中点弦问题例题5、已知椭圆C 的焦点分别为12(F F -，长轴长为6，设直线2y x =+交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标。

例题6、如果焦点是F （0，±52）的椭圆截直线3x －y －2=0所得弦的中点横坐标为21，求此椭圆方程.例7. 已知椭圆1222=+y x （1）求过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过Q(2,1)引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点A 、B ，O 为原点，且有直线OA 、OB 斜率满足K OA ·K OB =-1/2，求线段AB 中点M 的轨迹方程．四、对称问题例题8、已知椭圆13422=+y x C ：，试确定m 的取值范围，使得对于直线m x y l +=4：，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称．五、最值问题类型1：焦点三角形角度最值-------最大角法（求离心率问题）例1. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>两个焦点为12,F F ，如果曲线C 上存在一点Q ，使12FQ F Q ⊥，求椭圆离心率的最小值。