九年级数学上册23.4中位线课件(新版)华东师大版

D
∠B=__6_0__°_；
（2）若 BC=8 cm，则DE= B
___4___cm.
A E C
2.已知的三角形三边分别为6、8、10，连结各 边中点所成三角形的周长为__1_2___.
知识应用 与拓展
例1：求证三角形的一条中位线与第三边上
的中线互相平分.
A
D
F
B
C
E
已知：如图所示，在△ ABC中，AD=DB ，
例2：如图，△ABC 中， D、E 分别是 边 BC、AB的中点，AD、CE相交于 G .
求证：GE GD 1 .
CE AD 3 A
E G
B
D
C
证明：连结ED.
D、 E 分 别 是 边 BC、 AB的 中 点 ，
DE∥ AC , DE 1 (三 角 形 的 中 位 线 AC 2
平行于第三边且等于第三边的一半）.
操作与思考： 1.请任画一个四边形，顺次连结四边形各 边的中点. 2.猜想探索得到的四边形的形状，并说明 理由.
3.由E、F分别是中点，你能联想到什么？
你应该如何做？
课堂小结
本节课你有什么收获？
1.三角形中位线是三角形中重要的线段，它与 三角形中线不同.
2.三角形的中位线定理是三角形的一个重要性 质定理.注意定理的条件、结论，结论是两个，具体 应用时，可视具体情况选用其中一个关系或用两个 关系.熟悉三角形中位线所在的图形结构，适当地构 造三角形中位线定理的条件是用好定理的关键.
A
问题2：结合题目中的条
件，你感觉选用哪一种方法？ D
EF
为什么？
C
B
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

解：∵DE，EF，FD分别为△ABC三边的中位线，△ABC的 周长为112cm, ∴DE+EF+FD= (AB+BC+AC)= ×112=56cm. 又∵DE∶EF∶FD=3∶5∶6， ∴DE=12cm，EF=20cm，DF=24cm．
跟踪训练
8.在△ABC中，AB=10cm，AC=7cm，AD平分∠BAC，CD⊥AD，垂
跟踪训练
6.如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的 中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线 交CE于Q，当CQ= CE时，EP+BP= 12 .
跟踪训练
7.已知△ABC中，D，E，F分别是△ABC三边中点， 且DE∶EF∶FD=3∶5∶6，若△ABC的周长为112cm， 求DE，EF，FD的长．
足为点D，点E为BC的中点.求DE的长. 解：如图，延长CD交AB于F， 易证△ACD≌△AFD，∴AF=AC，DF=CD. ∵AB=10cm，AC=7cm， ∴BF=AB-AF=10-7=3cm， 又∵E为BC中点， ∴DE= BF= ×3=1.5cm.

谢谢观看
第二十三章 图形的相似


23.4 中位线
轻松预习
1.三角形的中位线
（1）定义：连结三角形 两边中点 的线段叫做三角形
的中位线;
（2）定理：三角形的中位线 平行 于第三边，并且 等于 第三边的一半 .
2.三角形的重心
三角形三边上的 中线 交于一点，这个点就是三角
形的重心，重心与一边中点连线的长是对应中线长的 .
∴F为AD的中点，又∵AE=EB，∴E为AB中点， ∴EF为△ABD的中位线，∴EF= BD．
跟踪训练

设疑：如果连结两边中点的线段呢？ A
中位线
E.
. F
.
B
C
D
DE是三角形ABC的 中位线. A
D
E
什么叫三 角形的中 位线呢？
B
C
连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
画出△ABC中所有的中位线.
画出三角形的所有中线并说出中位线 A
和中线的区别.
D
F
B
C
E
A
理解三角形的中位线定义的两层含义:
同理 EF∥AC, EF= 1 AC,
2
∴HG∥EF ,HG=EF.
G D
H
C F
A
E
B
∴四边形EFGH是平行四边形.
课堂小结
1.三角形的中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做 三角形的中位线. 2.三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并 且等于它的一半.
3.三角形的中位线性质不仅给出了中位线与第三边的关系， 而且给出了它们的数量关系，在三角形中给出一边的中点 时，可转化为中位线.
平行且相等
A
E
F
O
M
N
B
C
3.求证：顺次连结四边形四条边的中点所得的四边形是平行四 边形.
已知：在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、 BC、CD、DA的中点.
求证：四边形EFGH是平行四边形.
C G
D
F H
B
A
E
证明：连结AC.
∵AH=HD，CG=GD ,
∴HG∥AC, HG= 1 AC. 2
第23章 图形的相似
23.4 中位线
导入新课
讲授新课
当堂练习

华师大版九（上）
学 习 目 标：
1、了解三角形的中位线概念,掌握并证 明三角形的中位线定理. 2、能利用三角形的中位线定理进行计 算与证明。
自主学习，独立思考：
读一读：
图中线段DE 是连接ΔABC两边 的中点D、E所得的线段，称此 线段DE为ΔAB角形中位线的概念
B
FC
连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线
(1) F
C
❖2．如图（2）RtΔABC中，DE是 中位线，AF是中线，则DE与 AF的关系是＿＿＿＿
D
A E
B
C
（2） F
小结：
本节课主要学习了三角形中位线 定理：三角形的中位线平行于第三边， 并且等于它的一半。重点是利用中位 线定理进行证明和计算。
拓展练习： 三角形中位线定理的应用
1、求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相
并思考如何证明？（讨论）
A
已知：在ΔABC中AD＝DB
D
E
AE=EC.
求证：DE//BC, DE= ½BC B
C
已知：在ΔABC中AD＝DB,AE=EC.
求证：DE//BC, DE= ½BC
证明提示：
A
我们知道 AD= ½AB
D
E
AE= ½AC，证明ΔADE与
ΔABC相似就可以得到。
B
C
D B
.. 证明
∵DE为ΔABC的中位线(AD=BD,AE=CE)
∴①DE∥BC，②DE=½BC
A
↓
↓
位置关系 数量关系
2、三角形中有三条中位线， D
E
可构成三个平行四边形
B
FC
知识应用
1.如图（1）ΔABC中，

第23章 图形的相似
23.4. 中位线
驶向胜利 的彼岸
复习导入
如图，在△ABC中，DE∥BC，则 △ADE∽△ABC。 1.如果D是AB的中点，那么E是AC的 中点吗？DE与BC的比是多少？ 2.上述问题的逆命题是什么？
探索新知
逆命题：如果D、E分别是AB、AC边的中点， 那么DE∥BC，∴DE= 12BC.
思考：此命题还有其他证法吗？
归纳
（1）我们把连结三角形两边中点 的线段叫做三角形的中位线。
（2）三角形的中位线平行于第三 边，并且等于第三边的一半。
ห้องสมุดไป่ตู้
应用
应用拓展
在例2中，作另外两条三角形的中 线，是否也有这个结论？
（学生讨论，总结如下）
三角形三边上的中线交于一点， 这个点就是三角形的重心，重心 与线一长边的中1 点？的连线的长是对应中
3
巩固练习
73 10 33
答案:1.3 90°.
归纳小结
1.三角形中位线与中线的区别。 2.中点四边形一定是平行四边形，判断他 是不是某一特殊平行四边形，只需要看原 四边形对角线是否垂直或相等。
数学中的一些美丽定理具有这样 的特性：它们极易从事实中归纳 出来，但证明却隐藏的极深。
——高斯

例2 如图，△ABC中，D、E分别是边BC、
AB的中点，AD、CE相交于G． 求证： GE GD 1
CE AD
A E
G
3
B D
C
例2 如图，△ABC中，D、E分别是边BC、
AB的中点，AD、CE相交于G． GE GD 1 求证： CE AD 3 证明 :连结ED，
∵ D、E分别是边BC、AB的中点，
GD G D 1 所以有： AD AD 3
图 ．23.4.4
AD
BF
3
即两图中的点G与G′是重合的．
三角形三条边上的中线交 于一点，这个点就是三角形的 重心，重心与一边中点的连线 1 的长是对应中线长的 3 。
图 23.4.5
1 求证：DE∥BC，DE＝ BC 2
．
三角形中位线平行于第三边，并且等于第 三边的一半。
应用时要具体分析， 需要哪一个就用哪一 个.
三角形中位线定理有两个结论： （1）表示位置关系------平行于第三边； （2）表示数量关系------等于第三边的一半。
中位线性质的常见表达形式：
1 ∴ DE∥BC，DE＝ BC 2
例1 求证：三角形的一条中位线与第三 边上的中线互相平分．
已知：如图，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF＝FC． 求证：AE、DF互相平分．
A
D
F
B
E
C
例1 求证：三角形的一条中位线与第三 边上的中线互相平分．
已知：如图，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF＝FC． 求证：AE、DF互相平分． 证明 连结DE、EF． ∵ AD＝DB，BE＝EC， ∴ DE∥AC（三角形的中位线平行于 第三边并且等于第三边的一半）． 同理可得：EF∥AB． ∴四边形ADEF是平行四边形． ∴ AE、DF互相平分（平行四边形的 图 23.4.3 对角线互相平分）．

D
E
答：三条
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B
F
5
C
三角形的中位线与三角形的中线有什么 区别？ A A
D E
B
C
B
F
C
中位线是两个中点的连线，而中线是一个顶
点和对边中点的连线。
精选 最新精品中小学课件 6
三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且 等于第三边的一半。
A D E
数学语言 ∵DE是△ABC的中位线
精选 最新精品中小学课件 8
当堂训练
A
如图1：在△ABC中，DE是中位线
（1）若∠ADE=60°，
D
E C
则∠B=
60 4
度，为什么？
（2）若BC=8cm，
则DE= cm，为什么？
B
图1
精选
最新精品中小学课件
9
B
如图2：在△ABC中，D、E、F分别 是各边中点
D A
4 5
F
3
图2
AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm， 则△DEF的周长=
第23章
23.4 中位线
精选 最新精品中小学课件 1
新课导入
A
E
C
D
B
如图，在池塘外选一点C，连结AB、AC、BC连结 AB、AC、BC，分别找出AC和BC的中点D、E，并且 连结，如果测量出DE的长度为10米，也就能知道AB 的距离了。同学们知道AB是多少米吗？为什么？
精选 最新精品中小学课件 2
推进新课
如图，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中 1 点，求证DE∥BC且DE= BC。 2
A
A
E

注意：三角形的中位线与三角形中线的区别.
例1：如下图，在△ABC中，BC＞AC，点D 在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于 F，点E是AB的中点，连接EF. 求证：EF∥BC.
证明：∵DC＝AC，CF平分∠ACB， ∴AF＝DF，又E为AB的中点， ∴EF为△ABD的中位线， ∴EF∥BC.
例2：如图，点D、E、F分别是△AB互相平分； 〔2〕四边形AFED的周长等于AB＋AC.
解：〔1〕证明：由中位线定理可知，EF∥AB且FE＝AD， 得四边形AFED是平行四边形， 所以∠BAC＝∠DEF，AE与DF互相平行； 〔2〕同理可知EF＝BD，DE＝FC， 所以AD＋BD＋AF＋FC＝AD＋EF＋AF＋DE， 即：四边形AFED的周长等于AB＋AC.
华师版·九年级数学·上册
如图，△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点.
如果一个三角形的两条边与另一个三角 形的两条边对应成比例，并且夹角相等， 那么这两个三角形相似
相似三角形的对应角相 等，对应边成比例
我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的 中位线，并且有三角形的中位线平行于第三边并且等 于第三边的一半.