九年级数学 第23讲 与圆有关的计算

《圆》全章复习与巩固—知识讲解（基础）【学习目标】1．理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系；2.探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；3．了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；4．了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；5．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；6．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角1．圆的定义(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2．圆的性质(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.(3)垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.⑤平行弦夹的弧相等. 要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 3．两圆的性质(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点. 4．与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.要点二、与圆有关的位置关系 1．判定一个点P 是否在⊙O 上 设⊙O 的半径为，OP=，则有点P 在⊙O 外； 点P 在⊙O 上；点P 在⊙O 内. 要点诠释：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.2．判定几个点12nA A A 、、在同一个圆上的方法当时，在⊙O 上.3．直线和圆的位置关系设⊙O 半径为R ，点O 到直线的距离为. (1)直线和⊙O 没有公共点直线和圆相离. (2)直线和⊙O 有唯一公共点直线和⊙O 相切.(3)直线和⊙O 有两个公共点直线和⊙O 相交. 4．切线的判定、性质 (1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线. (2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径.②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点. ③经过切点作切线的垂线经过圆心.(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.5．圆和圆的位置关系设的半径为，圆心距.(1)和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离.(2)和没有公共点，且的每一个点都在内部内含(3)和有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切.(4)和有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切.(5)和有两个公共点相交.两圆的五种位置关系可以概括为三类：要点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形1．三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示.(4)垂心：是三角形三边高线的交点.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).2．圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.要点四、圆中有关计算1．圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】类型一、圆的有关概念及性质【高清ID号： 362179 高清课程名称：《圆》单元复习关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】1．如图所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1，3)、B (－2，－2)、C (4，－2)，则△ABC 外接圆半径的长度为．【解析】由已知得BC ∥x 轴，则BC 中垂线为2412x -+== 那么，△ABC 外接圆圆心在直线x=1上，设外接圆圆心P(1,a)，则由PA=PB=r 得到：PA 2=PB 2即(1+1)2+(a-3)2=(1+2)2+(a+2)2化简得 4+a 2-6a+9=9+a 2+4a+4 解得 a=0即△ABC 外接圆圆心为P(1,0) 则 22(11)(03)13r PA ==++-=【总结升华】 三角形的外心是三边中垂线的交点，由B 、C 的坐标知：圆心P （设△ABC 的外心为P ）必在直线x=1上；由图知：BC 的垂直平分线正好经过（1，0），由此可得到P （1，0）；连接PA 、PB ，由勾股定理即可求得⊙P 的半径长．类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理2．如图所示，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE ＝1cm ，EB ＝5cm ，∠DEB ＝60°， 求CD 的长．【思路点拨】作OF ⊥CD 于F ，构造Rt △OEF ，求半径和OF 的长；连接OD ，构造Rt △OFD ，求CD 的长． 【答案与解析】作OF ⊥CD 于F ，连接OD ．∵ AE ＝1，EB ＝5，∴ AB ＝6． ∵ 32ABOA ==，∴ OE ＝OA-AE ＝3-1＝2． 在Rt △OEF 中，∵ ∠DEB ＝60°，∴ ∠EOF ＝30°，∴ 112EF OE ==，∴ 223OF OE EF =-=． 在Rt △DFO 中，OF ＝3，OD ＝OA ＝3，∴ 22223(3)6DF OD OF =-=-=(cm)． ∵ OF ⊥CD ，∴ DF ＝CF ，∴ CD ＝2DF ＝26cm ．【总结升华】因为垂径定理涉及垂直关系，所以常常可以利用弦心距（圆心到弦的距离）、半径和半弦组成一个直角三角形，用勾股定理来解决问题，因而，在圆中常作弦心距或连接半径作为辅助线，然后用垂弦定理来解题．举一反三： 【变式】如图，AB 、AC 都是圆O 的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M 、N ，如果MN ＝3，那么BC ＝ ．【答案】由OM⊥AB，ON⊥AC，得M 、N 分别为AB 、AC 的中点（垂径定理），则MN 是△ABC 的中位线，BC=2MN=6.3．（2017•曲靖一模）如图，⊙O 的半径为4，△ABC 是⊙O 的内接三角形，连接OB 、OC ，若∠BAC 和∠BOC 互补，则弦BC 的长度为.【思路点拨】首先过点O 作OD ⊥BC 于D ，由垂径定理可得BC=2BD ，又由圆周角定理，可求得∠BOC 的度数，然后根据等腰三角形的性质，求得∠OBC 的度数，利用余弦函数，即可求得答案． 【答案】4.【解析】解：过点O 作OD ⊥BC 于D ， 则BC=2BD ，∵△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 与∠BOC 互补， ∴∠BOC=2∠A ，∠BOC+∠A=180°， ∴∠BOC=120°， ∵OB=OC ，∴∠OBC=∠OCB=（180°﹣∠BOC ）=30°， ∵⊙O 的半径为4， ∴BD=OB•cos∠OBC=4×=2，∴BC=4．故答案为：4．【总结升华】此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质以及三角函数等知识．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 举一反三：【变式】如图，⊙O 的半径是2，AB 是⊙O 的弦，点P 是弦AB 上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB 所对的圆周角的度数是（ ）N MO C BAA．60°B．120°C．60°或120°D．30°或150°【答案】C.【解析】作OD⊥AB，如图，∵点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，∴OD=1，∴∠OAB=30°，∴∠AOB=120°，∴∠AEB=∠AOB=60°，∵∠E+∠F=180°，∴∠F=120°，即弦AB所对的圆周角的度数为60°或120°．故选C．类型三、与圆有关的位置关系【高清ID号： 362179 高清课程名称：《圆》单元复习关联的位置名称（播放点名称）：经典例题6】4．如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE．请判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论.【答案与解析】直线CE与⊙O相切理由：连接OE∵OE=OA∴∠OEA=∠OAE∵四边形ABCD是矩形∴∠B=∠D=∠BAD=90°，BC∥AD,CD=AB∴∠DCE+∠DEC=90°, ∠ACB=∠DAC又∠DCE=∠ACB∴∠DEC+∠DAC=90°∵OE=OA∴∠OEA=∠DAC∴∠DEC+∠OEA=90°∴∠OEC=90°∴OE⊥EC∴直线CE与⊙O相切.【总结升华】本题考查了切线的判定：经过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．举一反三：【变式】如图，P为正比例函数图象上的一个动点，的半径为3，设点P的坐标为(x、y).(1)求与直线相切时点P的坐标.(2)请直接写出与直线相交、相离时x的取值范围.【答案】(1)过作直线的垂线，垂足为.当点在直线右侧时，，得，(5，7.5).当点在直线左侧时，，得，(，).当与直线相切时，点的坐标为(5，7.5)或(，).(2)当时，与直线相交.当或时，与直线相离.类型四、圆中有关的计算5．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若⊙O的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积．【答案与解析】（1）证明：连接OD，∵OB=OD ，∴∠ABC=∠ODB ， ∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ， ∴∠ODB=∠ACB ， ∴OD ∥AC ，∵DF 是⊙O 的切线， ∴DF ⊥OD ， ∴DF ⊥AC ．（2）解：连接OE ，∵DF ⊥AC ，∠CDF=22.5°， ∴∠ABC=∠ACB=67.5°， ∴∠BAC=45°， ∵OA=OE ，∴∠AOE=90°， ∵⊙O 的半径为4，∴S 扇形AOE =4π，S △AOE=8 ， ∴S 阴影=4π﹣8．【总结升华】本题主要考查了切线的性质，扇形的面积与三角形的面积公式，圆周角定理等，作出适当的辅助线，利用切线性质和圆周角定理，数形结合是解答此题的关键．类型五、圆与其他知识的综合运用6．如图(1)是某学校存放学生自行车的车棚示意图(尺寸如图(1))，车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图(2)是车棚顶部截面的示意图，AB 所在圆的圆心为O ．车棚顶部用一种帆布覆盖，求覆盖棚顶的帆布的面积(不考虑接缝等因素，计算结果保留π)．【思路点拨】求覆盖棚顶的帆布的面积，就是求以AB 为底面的圆柱的侧面积．根据题意，应先求出AB 所对的圆心角度数以及所在圆的半径，才能求AB 的长． 【答案与解析】连接OB ，过点O 作OE ⊥AB ，垂足为E ，交AB 于点F ，如图(2)． 由垂径定理，可知E 是AB 中点，F 是AB 的中点，∴ 12AE AB ==EF ＝2． 设半径为R 米，则OE ＝(R-2)m ．在Rt △AOE 中，由勾股定理，得222(2)R R =-+． 解得R ＝4．∴ OE ＝2，12OE AO =，∴ ∠AOE ＝60°，∴ ∠AOB ＝120°．∴AB的长为120481803ππ⨯=(m)．∴帆布的面积为8601603ππ⨯=(m2)．【总结升华】本题以学生校园生活中的常见车棚为命题背景，使考生在考场上能有一种亲切的感觉，这也体现了中考命题贴近学生生活实际的原则．举一反三：【变式】某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，如图所示是水平放置的破裂管道有水部分的截面.①请你补全这个输水管道的圆形截面图；②若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径.【答案】①作法略.如图所示.②如图所示，过O作OC⊥AB于D，交于C，∵ OC⊥AB，∴.由题意可知，CD=4cm.设半径为x cm，则.在Rt△BOD中，由勾股定理得：∴.∴.即这个圆形截面的半径为10cm.。

专题25 与圆有关的计算的核心知识点精讲1.掌握弧长和扇形面积计算公式；2.会利用弧长和扇形面积计算公式进弧长和扇形面积的计算考点1：圆内正多边形的计算（1）正三角形在⊙O 中△ABC 是正三角形，有关计算在Rt BOD D中进行：:::2OD BD OB =；（2）正四边形同理，四边形的有关计算在Rt OAE D中进行，::OE AE OA =（3）正六边形同理，六边形的有关计算在Rt OAB D中进行，::2AB OB OA =.考点2：扇形的弧长和面积计算扇形：（1）弧长公式：180n Rl p =；（2）扇形面积公式：213602n R S lR p ==n ：圆心角 R ：扇形多对应的圆的半径 l ：扇形弧长S ：扇形面积注意：（1）对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的；　（2）公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R 为弧所在圆的半径；（3）弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.长的，即即； (4)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的 (5)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S 、扇形半径R 、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.考点3：扇形与圆柱、圆锥之间联系1、圆柱：（1）圆柱侧面展开图2S S S =+侧表底=222rh r p p +（2）圆柱的体积：2V r h p =2、圆锥侧面展开图（1）S S S =+侧表底=2Rr r p p +（2）圆锥的体积：213V r hp =注意：圆锥的底周长=扇形的弧长（180r 2Rn ΠΠ=）【题型1：正多边形和圆的有关计算】【典例1】（2023•福建）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．如图，⊙O 的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O 的面积，可得π的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得π的估计值为（ ）A ．B ．2C ．3D ．2积的，即；C 1D 1【答案】C【解答】解：如图，AB是正十二边形的一条边，点O是正十二边形的中心，过A作AM⊥OB于M，在正十二边形中，∠AOB＝360°÷12＝30°，∴AM＝OA＝，∴S＝OB•AM＝＝，△AOB∴正十二边形的面积为12×＝3，∴3＝12×π，∴π＝3，∴π的近似值为3，故选：C．【变式1-1】（2023•临沂）将一个正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角的大小不可能是（ ）A．60°B．90°C．180°D．360°【答案】B【解答】解：由于正六边形的中心角为＝60°，所以正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角可以为60°或60°的整数倍，即可以为60°，120°，180°，240°，300°，360°，不可能是90°，故选：B．【变式1-2】（2023•安徽）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC，OD，则∠BAE﹣∠COD＝（ ）A．60°B．54°C．48°D．36°【答案】D【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠BAE＝＝108°，∠COD＝＝72°，∴∠BAE﹣∠COD＝108°﹣72°＝36°，故选：D．【变式1-3】（2023•山西）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点．若点P，Q的坐标分别为，（0，﹣3），则点M的坐标为（ ）A．（3，﹣2）B．（3，2）C．（2，﹣3）D．（﹣2，﹣3）【答案】A【解答】解：设中间正六边形的中心为D，连接DB．∵点P，Q的坐标分别为，（0，﹣3），图中是7个全等的正六边形，∴AB＝BC＝2，OQ＝3，∴OA＝OB＝，∴OC＝3，∵DQ＝DB＝2OD，∴OD＝1，QD＝DB＝CM＝2，∴M（3，﹣2），故选：A．【变式1-4】（2023•内江）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P在上，点Q是的中点，则∠CPQ 的度数为（ ）A．30°B．45°C．36°D．60°【答案】B【解答】解：如图，连接OC，OD，OQ，OE，∵正六边形ABCDEF，Q是的中点，∴∠COD＝∠DOE＝＝60°，∠DOQ＝∠EOQ＝∠DOE＝30°，∴∠COQ＝∠COD+∠DOQ＝90°，∴∠CPQ＝∠COQ＝45°，故选：B．【题型2：弧长和扇形面积的有关计算】【典例2】（2023•张家界）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边△ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边△ABC的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于（ ）A．πB．3πC．2πD．2π﹣【答案】B【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝3，∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴＝＝，∵的长＝＝π，∴该“莱洛三角形”的周长是3π．故选：B．【变式2-1】（2022•广西）如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，∠BAC＝α，将△ABC绕点A逆时针旋转2α，得到△AB′C′，连接B′C并延长交AB于点D，当B′D⊥AB时，的长是（ ）A．πB．πC．πD．π【答案】B【解答】解：∵CA＝CB，CD⊥AB，∴AD＝DB＝AB′．∴∠AB′D＝30°，∴α＝30°，∵AC＝4，∴AD＝AC•cos30°＝4×＝2，∴，∴的长度l＝＝π．故选：B．【变式2-2】（2022•丽水）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为2m，高为2m，则改建后门洞的圆弧长是（ ）A．m B．m C．m D．（+2）m【答案】C【解答】解：连接AC，BD，AC和BD相交于点O，则O为圆心，如图所示，由题意可得，CD＝2m，AD＝2m，∠ADC＝90°，∴tan∠DCA＝＝＝，AC＝＝4（m），∴∠ACD＝60°，OA＝OC＝2m，∴∠ACB＝30°，∴∠AOB＝60°，∴优弧ADCB所对的圆心角为300°，∴改建后门洞的圆弧长是：＝（m），故选：C．【变式2-3】（2023•锦州）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC＝40°，连接OA，OC．若⊙O的半径为3，则扇形AOC（阴影部分）的面积为（ ）A．πB．πC．πD．2π【答案】D【解答】解：∵∠ABC＝40°，∴∠AOC＝2∠ABC＝80°，∴扇形AOC的面积为，故选：D．【题型3：有圆有关的阴影面积的计算】【典例3】（2023•广元）如图，半径为5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，若CD＝CE，则图中阴影部分面积为（ ）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：连接OC，如图所示，∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠AOB＝∠ODC＝∠OEC＝90°，∴四边形OECD是矩形，∵CD＝CE，∴四边形OECD是正方形，∴∠DCE＝90°，△DCE和△OEC全等，∴S阴影＝S△DCE+S半弓形BCE＝S△OCE+S半弓形BCE＝S扇形COB＝＝，故选：B．【变式3-1】（2023•雅安）如图，某小区要绿化一扇形OAB 空地，准备在小扇形OCD 内种花，在其余区域内（阴影部分）种草，测得∠AOB ＝120°，OA ＝15m ，OC ＝10m ，则种草区域的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解答】解：S 阴影＝S 扇形AOB ﹣S 扇形COD ＝＝（m 2）．故选：B ．【变式3-2】（2023•鄂州）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，∠ACB ＝30°，AB ＝4，点O 为BC 的中点，以O 为圆心，OB 长为半径作半圆，交AC 于点D ，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．5πB ．5﹣4πC ．5﹣2πD ．10﹣2π【答案】C【解答】解：连接OD ．在△ABC 中，∠ABC ＝90°，∠ACB ＝30°，AB ＝4，∴BC ＝AB ＝4，∴OC ＝OD ＝OB ＝2，∴∠DOB ＝2∠C ＝60°，∴S 阴＝S △ACB ﹣S △COD ﹣S 扇形ODB ＝×4×4﹣﹣＝8﹣3﹣2π＝5﹣2π．故选：C ．【变式3-3】（2022•凉山州）家具厂利用如图所示直径为1米的圆形材料加工成一种扇形家具部件，已知扇形的圆心角∠BAC ＝90°，则扇形部件的面积为（ ）A ．米2B ．米2C ．米2D ．米2【答案】C【解答】解：连结BC ，AO ，如图所示，∵∠BAC ＝90°，∴BC 是⊙O 的直径，∵⊙O 的直径为1米，∴AO ＝BO ＝（米），∴AB ＝＝（米），∴扇形部件的面积＝π×（）2＝（米2），故选：C ．【题型4：圆锥的有关计算】【典例4】（2023•东营）如果圆锥侧面展开图的面积是15π，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是（ ）A．3B．4C．5D．6【答案】A【解答】解：设底面半径为R，则底面周长＝2πR，圆锥的侧面展开图的面积＝×2πR×5＝15π，∴R＝3．故选：A．【变式4-1】（2022•牡丹江）圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，它的侧面展开图的圆心角是（ ）A．90°B．100°C．120°D．150°【答案】C【解答】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×1＝2π，设圆心角的度数是n度．则＝2π，解得：n＝120．故选：C．【变式4-2】（2022•广安）蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．下图是一个蒙古包的示意图，底面圆半径DE＝2m，圆锥的高AC＝1.5m，圆柱的高CD＝2.5m，则下列说法错误的是（ ）A．圆柱的底面积为4πm2B．圆柱的侧面积为10πm2C．圆锥的母线AB长为2.25mD．圆锥的侧面积为5πm2【答案】C【解答】解：∵底面圆半径DE＝2m，∴圆柱的底面积为4πm2，所以A选项不符合题意；∵圆柱的高CD＝2.5m，∴圆柱的侧面积＝2π×2×2.5＝10π（m2），所以B选项不符合题意；∵底面圆半径DE＝2m，即BC＝2m，圆锥的高AC＝1.5m，∴圆锥的母线长AB＝＝2.5（m），所以C选项符合题意；∴圆锥的侧面积＝×2π×2×2.5＝5π（m2），所以D选项不符合题意．故选：C．【变式4-3】（2022•赤峰）如图所示，圆锥形烟囱帽的底面半径为12cm，侧面展开图为半圆形，则它的母线长为（ ）A．10cm B．20cm C．5cm D．24cm【答案】D【解答】解：设母线的长为R，由题意得，πR＝2π×12，解得R＝24，∴母线的长为24cm，故选：D．一．选择题（共10小题）1．如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则正五边形的中心角∠COD的度数是（ ）A．72°B．60°C．48°D．36°【答案】A【解答】解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为＝72°，故选：A．2．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（ ）A．2，B．，πC．2，D．2，【答案】D【解答】解：如图所示，连接OC、OB，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC＝60°，∵OC＝OB，∴△BOC是等边三角形，∴∠OBM＝60°，∴OM＝OB sin∠OBM＝4×＝2，的长＝＝；故选：D．3．如图，⊙O的半径为1，点A、B、C都在⊙O上，∠B＝45°，则的长为（ ）A．πB．πC．πD．π【答案】C【解答】解：∵∠B＝45°，∴∠AOC＝90°，∵⊙O的半径为1，∴的长＝＝＝π，故选：C．4．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆上两点，且满足∠ADC＝120°，BC＝1，则的长为（ ）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：如图，连接OC．∵∠ADC＝120°，∴∠ABC＝60°，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝∠B＝60°，OB＝OC＝BC＝1，∴的长为＝，故选：A．5．如图，等边△ABC的边长为4，D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，分别以A、B、C三点为圆心，以AD长为半径作三条圆弧，则图中三条圆弧的弧长之和是（ ）A．πB．2πC．4πD．6π【答案】B【解答】解：依题意知：图中三条圆弧的弧长之和＝×3＝2π．故选：B．6．若扇形的半径是12cm弧长是20πcm，则扇形的面积为（ ）A．120πcm2B．240πcm2C．360πcm2D．60πcm2【答案】A【解答】解：该扇形的面积为：（cm 2）．故选：A ．7．如图，将含60°角的直角三角板ABC 绕顶点A 顺时针旋转45°后得到△AB 'C '，点B 经过的路径为弧BB ′，若∠BAC ＝60°，AC ＝3，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．B ．C ．D ．3π【答案】C【解答】解：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝60°，AC ＝3，∴∠ABC ＝30°．∴AB ＝2AC ＝6．根据旋转的性质知△ABC ≌△AB ′C ′，则S △ABC ＝S △AB ′C ′，AB ＝AB ′．∴S 阴影＝S 扇形ABB ′+S △AB ′C ′﹣S △ABC ＝＝．故选：C ．8．如图，四边形ABCD 为正方形，边长为4，以B 为圆心、BC 长为半径画，E 为四边形内部一点，且BE ⊥CE ，∠BCE ＝30°，连接AE ，则阴影部分面积（ ）A ．B ．6πC ．D ．【答案】C【解答】解：如图，作EF ⊥AB 于点F ，∵BE⊥CE，∠BCE＝30°，∴BE＝BC＝2，∠CBE＝60°，∴CE＝BE＝2，∠EBF＝30°，∴EF＝BE＝1，∴S阴影＝S扇形ABC﹣S△BCE﹣S△ABE＝﹣×2×﹣×1＝4π﹣2﹣2．故选：C．9．如图，圆锥的母线长为5cm，高是4cm，则圆锥的侧面展开扇形的圆心角是（ ）A．180°B．216°C．240°D．270°【答案】B【解答】解：∵圆锥的母线长为5cm，高是4cm，∴圆锥底面圆的半径为：＝3（cm），∴2π×3＝，解得n＝216°．故选：B．10．已知圆锥的底面半径是4，母线长是5，则圆锥的侧面积是（ ）A．10πB．15πC．20πD．25π【答案】C【解答】解：圆锥的侧面积＝×2π×4×5＝20π，故选：C．二．填空题（共8小题）11．AB是⊙O的内接正六边形一边，点P是优弧AB上的一点（点P不与点A，B重合）且BP∥OA，AP 与OB交于点C，则∠OCP的度数为90°　．【答案】90°．【解答】解：∵AB是⊙O的内接正六边形一边，∴∠AOB＝＝60°，∴＝30°，∵BP∥OA，∴∠OAC＝∠P＝30°，∴∠OCP＝∠AOB+∠OAC＝60°+30°＝90°．故答案为：90°．12．已知正六边形的内切圆半径为，则它的周长为　12　．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，连接OA、OB，OG；∵六边形ABCDEF是边长等于正六边形的半径，设正六边形的半径为a，∴△OAB是等边三角形，∴OA＝AB＝a，∴OG＝OA•sin60°＝a×＝，解得a＝2，∴它的周长＝6a＝12．故答案为：12．13．如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转弯处是一段圆弧，点O是这段弧所在圆的圆心，半径OA＝90m，圆心角∠AOB＝80°，则这段弯路的长度为40πm．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意得，这段弯路的长度为，故答案为：40π．14．已知扇形的圆心角为120°，面积为27πcm2，则该扇形所在圆的半径为9cm　．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵扇形的圆心角为120°，面积为27πcm2，∴由S＝得：r＝＝＝9cm，故答案为：9cm．15．圆锥的侧面积是10πcm2，底面半径是2cm，则圆锥的母线长为5cm．【答案】见试题解答内容【解答】解：底面半径是2cm，则扇形的弧长是4π．设母线长是l，则×4πl＝10π，解得：l＝5．故答案为：5．16．如图，用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是4 cm．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵圆心角为120°，半径为6cm的扇形的弧长＝＝4π，∴圆锥的底面圆的周长为4π，∴圆锥的底面圆的半径为2，∴这个纸帽的高＝＝4（cm）．故答案为4．17．如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是6π　．【答案】见试题解答内容【解答】解：阴影部分的面积＝以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积﹣以AB为直径的半圆的面积＝扇形ABB′的面积，则阴影部分的面积是：＝6π，故答案为：6π．18．如图，将边长相等的正六边形和正五边形拼接在一起，则∠ABC的度数为　132°．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意得：正六边形的每个内角都等于120°，正五边形的每个内角都等于108°，∴∠ABC＝360°﹣120°﹣108°＝132°，故答案为：132．一．选择题（共7小题）1．在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受到中国人的浪漫，如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF）放在平面直角坐标系中，“雪花”中心与原点重合，C，F在y轴上，则顶点B的坐标为（ ）A．（4，2）B．（4，4）C．D．【答案】C【解答】解：连接OB，OA，如图所示：∵正六边形是轴对称图形，中心与坐标原点重合，∴△AOB是等边三角形，AO＝BO＝AB＝4，AB⊥x轴，AM＝BM，∵AB＝4，∴AM＝BM＝2，∴OM＝，∴点B的坐标为：（2，2），故选：C．2．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F在弧AE上．若∠CDF＝95°，则∠FCD的大小为（ ）A．38°B．42°C．49°D．58°【答案】C【解答】解：如图，连接OE，OD，CE，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠CDE＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，∵∠CDF＝95°，∴∠FDE＝∠CDE﹣∠CDF＝108°﹣95°＝13°，∴∠FCE＝13°，∵正五边形ABCDE内接于⊙O，∴∠EOD＝360°÷5＝72°，∴∠ECD＝＝36°，∴∠FCD＝∠FCE+∠ECD＝36°+13°＝49°，故选：C．3．如图，在⊙O中，点C在优弧上，将沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为5，AB ＝4，则的长是（ ）A．B．C．D．4π【答案】A【解答】解：连接AC，OB，OD，CD，作CF⊥AB于点F，作OE⊥CF于点E，由垂定理可知OD⊥AB于点D，AD＝BD＝＝．又OB＝5，∴OD＝＝＝，∵CA、CD所对的圆周角为∠CBA、∠CBD，且∠CBA＝∠CBD，∴CA＝CD，△CAD为等腰三角形．∵CF⊥AB，∴AF＝DF＝＝，又四边形ODFE为矩形且OD＝DF＝，∴四边形ODFE为正方形．∴，∴CE＝＝＝2，∴CF＝CE+EF＝3＝BF，故△CFB为等腰直角三角形，∠CBA＝45°，∴所对的圆心角为90°，∴＝＝．故选：A．4．如图，将直径为4的半圆形分别沿CD，EF折叠使得直径两端点A，B的对应点都与圆心O重合，则图中阴影部分的面积为（ ）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：连接AC，OC，OE，BE，由题意得：CD垂直平分OA，∴AC＝OC，∵OC＝OA，∴△OAC是等边三角形，同理△BOE是等边三角形，∴∠AOC＝∠BOE＝60°，∴∠COE＝60°，∴弓形AMC、弓形ONC、弓形OPE的面积相等，∵圆的直径是4，∴OA＝2，∴扇形OAC的面积＝＝，△OAC的面积＝OA2＝，∴扇形OCE的面积＝扇形OAC的面积＝，∴弓形AMC的面积＝扇形OAC的面积﹣△OAC的面积＝﹣，∴阴影的面积＝扇形OCE的面积﹣弓形AMC的面积×2＝﹣2×（﹣）＝2﹣．故选：A．5．如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C，D分别在OA，上，连接BC，CD，点D，O关于直线BC对称，的长为π，则图中阴影部分的面积为（ ）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：连接BD、OD，交BC与E，由题意可知，BD＝BO，∵OD＝OB，∴OD＝OB＝DB，∴∠BOD＝60°，∵∠AOB＝90°，∴∠AOD＝30°，∵的长为π，∴，∴r＝6，∴OB＝6，∴OE＝＝3，BE＝OB＝3，∴CE＝OE＝，+S△COE﹣S△BOE＝+﹣＝6π﹣3．∴阴影部分的面积＝S扇形BOD故选：A．6．如图，点O是半圆圆心，BE是半圆的直径，点A，D在半圆上，且AD∥BO，∠ABO＝60°，AB＝8，过点D作DC⊥BE于点C，则阴影部分的面积是（ ）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：如图，连接OA，∵∠ABO＝60°，OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴OA＝OB＝AB＝8，∵AD∥BO，∴∠OAD＝∠AOB＝60°，∵OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴∠AOD＝60°，∵△OAD与△ABD与△AOB是等底等高的三角形，∴S阴影＝S扇形AOB＝＝π．故选：B．7．如图，一个圆锥的母线长为6，底面圆的直径为8，那么这个圆锥的侧面积是（ ）A．24πB．40πC．48πD．【答案】A【解答】解：根据题意，这个圆锥的侧面积＝×8π×6＝24π．故选：A．二．填空题（共5小题）8．如图，已知正方形ABCD的边长为4cm，以AB，AD为直径作两个半圆，分别取弧AB，弧AD的中点M，N，连结MC，NC，则图中阴影部分的周长为　（4）　cm．【答案】（4）．【解答】解：解法一：如图，取AD的中点O，连接NO，设CN交AD于点E，∵N是弧AD的中点，∴NO⊥AD，∵CD⊥AD，∴NO∥CD，∴△NOE∽△CDE，∴＝＝＝＝，∴OE＝OD＝，在Rt△NOE中，NE＝＝＝，∴CM＝CN＝3NE＝2，∵点M，N分别为弧AB，弧AD的中点∴弧AB，弧AD的长度和为2×＝2π，∴图中阴影部分的周长为（4）cm．解法二：作NH⊥BC于点H，则CH＝2，NH＝6，在Rt△NHC中，NC＝＝＝2，∴CM＝CN＝2，∵点M，N分别为弧AB，弧AD的中点∴弧AB，弧AD的长度和为2×＝2π，∴图中阴影部分的周长为（4）cm．故答案为：（4）．9．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，曲线CC1C2C3C4…是由多段120°的圆心角所对的弧组成的，其中的圆心为A，半径为AC；的圆心为B，半径为BC1；的圆心为C，半径为CC2；的圆心为A，半径为AC3……，，，，…的圆心依次按点A，B，C循环，则的长是　．（结果保留π）【答案】．【解答】解：∵△ABC是边长为1的等边三角形，∴AC＝AC1＝1，∠CAB＝∠ABC＝∠BCA＝60°，；∴BC2＝BC1＝AB+AC1＝2，CC3＝CC2＝BC2+AB＝3，∠CAC1＝∠C1BC2＝C2CC3＝120°，∴的半径为1；的半径为2；的半径为3；所对的圆心角为120°，∴的半径为n，所对的圆心角为120°，∴所在圆的半径为2023，所对的圆心角为120°，∴的长为．故答案为：．10．如图，已知矩形纸片ABCD，AD＝2，，以A为圆心，AD长为半径画弧交BC于点E，将扇形AED剪下围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：cos∠BAE＝，∴∠BAE＝30°，∴∠DAE＝60°，∴圆锥的侧面展开图的弧长为：＝π，∴圆锥的底面半径为π÷2π＝．11．如图，从一块半径为20的圆形纸片上剪出一个圆心角是90°的扇形ABC，如果将剪下来的扇形ABC 围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径是　．【答案】．【解答】解：连接BC，如图，∵∠BAC＝90°，∴BC为⊙O的直径，即BC＝20，∴AB＝10，设该圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得2πr＝，解得r＝，即该圆锥的底面圆的半径为m．故答案为：．12．如图，AB是圆锥底面的直径，AB＝6cm，母线PB＝9cm，点C为PB的中点，若一只蚂蚁从A点处出发，沿圆锥的侧面爬行到C点处，则蚂蚁爬行的最短路程为cm　．【答案】cm．【解答】解：由题意知，底面圆的直径AB＝6cm，故底面周长等于6πcm，设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得6π＝，解得n＝120°，所以展开图中∠APD＝120°÷2＝60°，因为半径PA＝PB，∠APB＝60°，故三角形PAB为等边三角形，又∵D为PB的中点，所以AD⊥PB，在直角三角形PAD中，PA＝9cm，PD＝cm，根据勾股定理求得AD＝（cm），所以蚂蚁爬行的最短距离为cm．故答案为：cm．1．（2023•连云港）如图，矩形ABCD内接于⊙O，分别以AB、BC、CD、AD为直径向外作半圆．若AB＝4，BC＝5，则阴影部分的面积是（ ）A．π﹣20B．π﹣20C．20πD．20【答案】D【解答】解：如图，连接BD，则BD过点O，在Rt△ABD中，AB＝4，BC＝5，∴BD2＝AB2+AD2＝41，S阴影部分＝S以AD为直径的圆+S以AB为直径的圆+S矩形ABCD﹣S以BD为直径的圆＝π×（）2+π×（）2+4×5﹣π×（）2＝+20﹣＝20，故选：D．2．（2023•广安）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以点A为圆心，AC为半径画弧，交AB于点E，以点B为圆心，BC为半径画弧，交AB于点F，则图中阴影部分的面积是（ ）A．π﹣2B．2π﹣2C．2π﹣4D．4π﹣4【答案】C【解答】解：在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，∴∠A＝∠B＝45°，+S扇形CBF﹣S△ABC∴阴影部分的面积S＝S扇形CAE＝×2﹣＝2π﹣4．故选：C．3．（2023•上海）如果一个正多边形的中心角是20°，那么这个正多边形的边数为18　．【答案】见试题解答内容【解答】解：360°÷20°＝18．故这个正多边形的边数为18．故答案为：18．4．（2023•衡阳）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是10　．【答案】10．【解答】解：∵多边形是正五边形，∴正五边形的每一个内角为：×180°×（5﹣2）＝108°，∴∠O＝180°﹣（180°﹣108°）×2＝36°，∴正五边形的个数是360°÷36°＝10．故答案为：10．5．（2023•宿迁）若圆锥的底面半径为2cm，侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则这个圆锥的母线长是6cm．【答案】见试题解答内容【解答】解：设圆锥的母线长为x cm，根据题意得＝2π•2，解得x＝6，即圆锥的母线长为6cm．故答案为6．6．（2023•徐州）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长l为6cm，扇形的圆心角θ为120°，则圆锥的底面圆的半径r为2cm．【答案】2．【解答】解：由题意得：母线l＝6，θ＝120°，2πr＝，∴r＝2（cm）．故答案为：2．7．（2022•广元）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰经过圆心O，若AB＝2，则阴影部分的面积为　．【答案】．【解答】解：如图，过点O作AB的垂线并延长，垂足为C，交⊙O于点D，连结AO，AD，根据垂径定理得：AC＝BC＝AB＝，∵将⊙O沿弦AB折叠，恰经过圆心O，∴OC＝CD＝r，∴OC＝OA，∴∠OAC＝30°，∴∠AOD＝60°，∵OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴∠D＝60°，在Rt△AOC中，AC2+OC2＝OA2，∴（）2+（r）2＝r2，解得：r＝2，∵AC＝BC，∠OCB＝∠ACD＝90°，OC＝CD，∴△ACD≌△BCO（SAS），∴阴影部分的面积＝S＝×π×22＝．扇形ADO故答案为：．8．（2023•金华）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠BAC＝50°，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的长为πcm．【答案】π．【解答】解：连接OE，OD，∵OD＝OB，∴∠B＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠C＝∠ODB，∴OD∥AC，∴∠EOD＝∠AEO，∵OE＝OA，∴∠OEA＝∠BAC＝50°，∴∠EOD＝∠BAC＝50°，∵OD＝AB＝×6＝3（cm），∴的长＝＝π（cm）．故答案为：π．9．（2023•温州）图1是4×4方格绘成的七巧板图案，每个小方格的边长为，现将它剪拼成一个“房子”造型（如图2），过左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出矩形CDEF作为题字区域（点A，E，D，B在圆上，点C，F在AB上），形成一幅装饰画，则圆的半径为5　．若点A，N，M在同一直线上，AB∥PN，DE＝EF，则题字区域的面积为　．【答案】5；．【解答】解：如图所示，依题意，GH＝2＝GQ，∵过左侧的三个端点Q，K，L作圆，QH＝HL＝4，又NK⊥QL，∴O在KN上，连接OQ，则OQ为半径，∵OH＝r﹣KH＝r﹣2，在Rt△OHQ中，OH2+QH2＝QO2，∴（r﹣2）2+42＝r2，解得：r＝5；连接OE，取ED的中点T，连接OT，交AB于点S，连接PB，AM，过点O作OU⊥AM于点U.连接OA．由△OUN∽△NPM，可得＝＝，∴OU＝．MN＝2，∴NU＝，∴AU＝＝，∴AN＝AU﹣NU＝2，∴AN＝MN，∵AB∥PN，∴AB⊥OT，∴AS＝SB，∴NS∥BM，∴NS∥MP，∴M，P，B共线，又NB＝NA，∴∠ABM＝90°，∵MN＝NB，NP⊥MP，∴MP＝PB＝2，∴NS＝MB＝2，∵KH+HN＝2+4＝6，∴ON＝6﹣5＝1，∴OS＝3，∵，设EF＝ST＝a，则，在Rt△OET中，OE2＝OT2+TE2，即，整理得 5a2+12a﹣32＝0，即（a+4）（5a﹣8）＝0，解得：或a＝﹣4，∴题字区域的面积为．故答案为：．。

《圆》说课标、说教材、说建议我今天说课的内容是人教版《义务教育课程标准实验教科书》数学九年级上册第二十四章《圆》接下来，我将从说课标，说教材，说建议三个方面进行具体阐述：第一方面从课程目标，课程内容进行分说；第二方面从编写体例及特点，内容结构，立体整合三个小点去说明；第三方面从教学建议，评价建议，课程资源开发和利用建议三个角度去分析。

课程目标的总目标有三层意思：第一、获得“四基”，第二增强能力，第三培养科学态度。

四基是在02年实验稿双基的基础上扩展的，增加了基本思想，和基本活动经验，体现了育人为本的核心理念；增强能力，由二能转化为四能，新增加了发现问题和提出问题的能力，为培养具有创新意识的人才奠定了一定的基础。

由此可见总目标的各部分是一个有机整体，各部分是不可割裂的。

第三学段的课程目标，从知识与技能，数学思考，问题解决，情感与态度四个方面做了进一步的描述。

知识与技能方面就是掌握数与代数，图形与几何，统计与概率，综合与实践的基础知识、和基本技能；数学思考就是发展形象思维，抽象思维，发展合情推理，演绎推理的能力；问题解决就是学会从数学的角度发现问题和提出问题，学会与他人合作交流，学会评价与反思。

情感与态度就是对数学有好奇心和求知欲，能养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑的学习习惯。

初中数学课程内容有四大领域：第一领域数与代数，第二领域图形与几何，第三领域统计与概率，第四领域综合与实践。

旧课标的第二领域叫空间与图形，第四领域称之为实践与综合应用，从名称的修改上我们不难发现，新课标将更加科学更加符合内容实际。

图形与几何领域的主要内容有图形的性质，图形的变化，图形与坐标，其中图形的性质介绍的前五个，它们分别编排在七八年级的第4、第5、第7、第11、第19章；第6个介绍圆，它被编排在九年级上册的第二十四章；圆的内容标准：圆的基本性质里课标要求：了解、理解、知道探索相关内容；点与圆的位置关系课标要求：会、探索、作一些重要图形；直线与圆的位置关系课标要求：了解、掌握、探索、会画圆的切线。

专题24.1 圆及有关概念（知识讲解）【学习目标】1．理解圆的本质属性；经历探索点与圆的位置关系的过程，会运用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系；2．了解圆及其有关概念，理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系；【要点梳理】要点一、圆的定义第一定义：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．特别说明：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.第二定义：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合. 特别说明：①定点为圆心，定长为半径；②圆指的是圆周，而不是圆面；③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.1．点和圆的三种位置关系：由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有要点二、与圆有关的概念1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.特别说明：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.2.弧弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆； 优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.特别说明：①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧.3.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.4.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.特别说明：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等.类型一、圆的定义1．如图，已知O 的圆心原点()0,0O ，半径长为(10,8),A a 是O 上的在第一象限的点，求a 的值．【答案】6【分析】根据圆的基本性质，可得OA =10，再由(),8A a ，可得AB =8，然后由勾股定理，求出OB =6，即可求解．解：如图，过点B 作AB ⊥x 轴于点B ，连接OA ，⊥O 的半径长为10，⊥OA =10，⊥(),8A a ，⊥AB =8，在Rt AOB 中，由勾股定理得：6OB = ，⊥(),8A a 在第一象限内，⊥0a > ，⊥6a =．【点拨】本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理，点的坐标，熟练掌握圆的基本性质，勾股定理是解题的关键．举一反三：【变式1】 ABC 中，90C ∠=︒．求证：A B C ，，三点在同一个圆上．【分析】取AB 的中点O ，根据直角三角形的性质得到CO ＝AO ＝BO ，故可求解． 解：如图所示，取AB 的中点O ，连接CO在Rt ⊥ABC 中，⊥AO = BO ，⊥ACB = 90°，⊥CO ＝12AB ，即CO ＝AO ＝BO ．⊥A ，B ，C 三点在同一个圆上，圆心为点O ．【点拨】此题主要考查证明三点共圆，解题的关键是熟知圆的基本性质及直角三角形的特点．【变式2】如图，已知MN 为O 的直径，四边形ABCD ，EFGD 都是正方形，小正方形EFGD 的面积为16，求圆的半径．【答案】r =【分析】连接OC ，OF ，设O 的半径为r ，2AD x =，则12DO AD x ==，在Rt ⊥COD 和Rt ⊥FOG 中，分别根据勾股定理可得222(2)832x x x x +=++，解方程即可求解．解：如图，连接OC ，OF ，设O 的半径为r ，2AD x =，则12DO AD x ==， ⊥222DO CD CO +=，⊥222(2)x x r +=，⊥正方形EFGD 的面积为16，⊥4DG FG ==，⊥4OG x =+，又⊥222OF OG FG =+，⊥2222(4)4832r x x x =++=++，⊥222(2)832x x x x +=++， 解得14x =，22x =-（不合题意，舍去），⊥2224880r =+=，r =【点拨】本题考查勾股定理的应用圆的认识和性质，解题的关键是熟练掌握在一个直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方．类型二、与圆有关的概念3．如图，在O 中，半径有________，直径有________，弦有________，劣弧有________，优弧有________．【答案】OA，OB，OC，OD AB AB，BC AC，BC，BD，CD，AD ADC，BAC，BAD，ACD，DAC【分析】根据圆的基本概念，即可求解．解：在O中，半径有OA，OB，OC，OD；直径有AB；弦有AB，BC；劣弧有AC，BC，BD，CD，AD；优弧有ADC，BAC，BAD，ACD，DAC；故答案为：OA，OB，OC，OD；AB；AB，BC；AC，BC，BD，CD，AD；ADC，BAC，BAD，ACD，DAC．【点拨】本题主要考查了圆的基本概念，熟练掌握圆的半径、直径、弦、弧的概念是解题的关键．举一反三：【变式1】小于半圆的弧（如图中的________）叫做______；大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的_______）叫做______ ．【注意】1）弧分为是优弧、劣弧、半圆．2）已知弧的两个起点，不能判断它是优弧还是劣弧，需分情况讨论．【答案】AC劣弧ABC优弧【变式2】如图，以点A为端点的优弧是____________，以点A为端点的劣弧是_____________．【答案】AEC，ADE AE，AC【分析】根据劣弧和优弧的定义求解．解：在⊥O中，以A为端点的优弧有AEC，ADE；以A为端点的劣弧有AE，AC；故答案为：AEC，ADE；AE，AC．【点拨】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念，注意：大于半圆的弧是优弧，小于半圆的弧是劣弧，半圆既不是优弧，也不是劣弧．类型三、点和圆的位置关系3．已知⊥O的半径r＝5cm，圆心O到直线l的距离d＝OD＝3cm，在直线l上有P、Q、R三点，且有PD＝4cm，QD＞4cm，RD＜4cm，P、Q、R三点与⊥O位置关系各是怎样的【答案】PD＝4cm，点P在⊥O上．QD＞4cm，点Q在⊥O外．RD＜4cm，点R在⊥O 内．【分析】依题意画出图形(如图所示)，计算出P、Q、R三点到圆心的距离与圆的半径比较大小．解：连接PO，QO，RO．⊥PD＝4cm，OD＝3cm，⊥PO5r==．⊥ 点P 在⊥O 上．5QO r ===，⊥ 点Q 在⊥O 外．5RO r ==，⊥ 点R 在⊥O 内．【点拨】本题主要考查点与圆的位置关系，点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．举一反三：【变式1】已知：如图，△ABC 中，90,2cm,4cm AC C C B ∠==︒=，CM 是中线，以C长为半径画圆，则点A 、B 、M 与⊥C 的关系如何？【答案】点A 在⊥O 内；点B 在⊥C 外；M 点在⊥C 上【分析】点与圆的位置关系由三种情况：设点到圆心的距离为d ，则当d =r 时，点在圆上；当d ＞r 时，点在圆外；当d ＜r 时，点在圆内．解：根据勾股定理，有AB =cm ）；⊥CA =2cm ，⊥点A 在⊥O 内，⊥BC =4cm ，⊥点B 在⊥C 外；由直角三角形的性质得：CM⊥M 点在⊥C 上．【点拨】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．【变式2】画图说明：端点分别在两条互相垂直的直线上，且长度为5 cm的所有线段的中点所组成的图形.【答案】以两条已知直线的交点（垂足）为圆心，2.5 cm长为半径的一个圆.【分析】如图所示，当线段两个端点在O，F时，此时的的中点为B点，同理可知也可在A,G,H点，这些点在已知直线的交点为圆心，2.5 cm长为半径的一个圆上；当线段两个端点在C，D时，其中点为E，根据直角三角形斜边上的中点是斜边的一半知CE=DE=OE，则E点在以O为圆心2.5 cm长为半径的一个圆上；综上即可画出图形.解：如图所示，以两条已知直线的交点（垂足）为圆心，2.5 cm长为半径的一个圆.【点拨】此题主要考查点与圆的关系，解题的关键是正确理解题意，再画出图形.类型四、圆中弦的问题4、已知：线段AB = 4 cm，画图说明：和点A、B的距离都不大于3 cm的所有点组成的图形.【答案】所求图形为阴影部分（包括阴影的边界）.【分析】以A，B点为圆心，半径为3作圆，重叠的部分即为所求.解：如图所示，以点A，B为圆心，3cm为半径画圆，两个圆相交的部分为阴影部分，图中阴影部分就是到点A和点B的距离都不大于3 cm的所有点组成的图形.【点拨】此题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据题意画出图形，根据所学的点与圆的位置关系的判断方法来解答.举一反三：【变式1】如图所示，AB 为O 的一条弦，点C 为O 上一动点，且30BCA ∠=︒，点E ，F 分别是AC ，BC 的中点，直线EF 与O 交于G ，H 两点，若O 的半径为7，求GE FH +的最大值.【答案】GE FH +的最大值为212. 【分析】由GE FH +和EF 组成O 的弦GH ，在O 中，弦GH 最长为直径14，而EF 可求，所以GE FH +的最大值可求.解：连结AO ，BO ，⊥30BCA ∠=︒ ⊥60BOA ∠=︒⊥AOB 为等边三角形，7AB =⊥点E ，F 分别是AC ，BC 的中点 ⊥1722EF AB ==，⊥ GH 为O 的一条弦 ⊥GH 最大值为直径14 ⊥GE FH +的最大值为7211422-=. 【点拨】利用直径是圆中最长的弦，可以解决圆中一些最值问题.【变式2】如图，已知等边⊥ABC 的边长为8，点 P 是 AB 边上的一个动点（与点 A 、B 不重合）．直线 l 是经过点 P 的一条直线，把⊥ABC 沿直线 l 折叠，点 B 的对应点是点B '．当 PB ＝6 时，在直线 l 变化过程中，求⊥ACB'面积的最大值．【答案】【分析】如图，过点P 作PH AC ⊥，当B '，P ，H 共线时，ACB '△的面积最大，求出PH 的长即可解决问题．解：如图，过点P 作PH ⊥AC ，由题可得，B '在以P 为圆心，半径长为6的圆上运动，当HP 的延长线交圆P 于点B '时面积最大，在Rt APH 中，8AB =，6PB =，2PA ∴=， ABC 是等边三角形，60PAH ∴∠=︒，1AH ∴=，PH =6BH ∴=ACB S '∴的最大值为18(6242⨯⨯=． 【点拨】本题考查圆与三角形综合问题，根据题意构造出图形是解题的关键． 类型五、与圆周长和面积有关的问题5、如图所示，求如图正方形中阴影部分的周长．（结果可保留π）【答案】正方形中阴影部分的周长为()2060cm π+【分析】阴影部分的周长=半圆弧长+14圆弧长+正方形边长的3倍，依此计算即可求解． 解：根据题意得：1110(cm)2l d ππ==， 2210(cm 41)r l ππ=⋅=， ()1010602060cm C πππ=++=+．故正方形中阴影部分的周长为()2060cm π+．【点拨】本题主要考查列代数式，解题的关键是掌握圆的周长公式．举一反三：【变式1】如图，长方形的长为a ，宽为b ，在它的内部分别挖去以b 为半径的四分之一圆和以b 为直径的半圆．（1）用含a 、b 的代数式表示阴影部分的面积；（2）当a ＝8，b ＝4时，求阴影部分的面积（π取3）．【答案】（1）阴影部分的面积＝ab ﹣38πb 2；（2）14．【分析】 （1）根据阴影部分面积=矩形面积-14圆的面积-半圆的面积，结合图形14圆的半径、半圆的半径和矩形的宽的关系，并利用它们的面积公式即可求解．（2）将a ，b 的值代入（1）中所求的代数式进行计算．解：（1）14圆的半径即为矩形的宽=b ，半圆的半径为矩形宽的12=12b ， 阴影部分面积=矩形面积-14圆的面积-半圆的面积即：阴影部分面积=2221113()4228ab b b ab b πππ--=- （2）因为π取3，将84a b ==，代入（1）所得的代数式得：原式=238434=148⨯-⨯⨯． 【点拨】本题考查求圆的面积的公式及根据题意列代数式，明确阴影部分面积=矩形面积-14圆的面积-半圆的面积是解题的关键． 【变式2】如图，长方形的长为a ，宽为2a ，用整式表示图中阴影部分的面积，并计算当2a =时阴影部分的面积（π取3.14）．【答案】2(2)4a π-，1.14 【分析】根据对称性用a 表示出阴影的面积，再将a=2代入求解即可．解：由题意可知：S 阴=211442222a a a π⎡⎤⎛⎫-⋅⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 2(2)4a π-= 当2a =时，S 阴=(3.142)4 1.144-⨯=． 【点拨】本题考查列代数式、代数式求值、圆的面积公式、三角形的面积公式，解答的关键是找出面积之间的关系，利用基本图形的面积公式解决问题．类型六、坐标系中圆的问题6、如图，点P 是反比例函数(0)k y x x=<图象上一点，PA x ⊥轴于点A ，点M 在y 轴上，M 过点A ，与y 轴交于B 、D ，已知A 、B 两点的坐标分别为()()6,00,2A B -，，PB 的延长线交M 于另一点C ．(1)求M 的半径的长；(2)当45APB ∠=︒时，试求出k 的值；(3)在（2）的条件下，请求出线段PC 的长．【答案】(1) 10 (2) 48- (3) 【分析】（1）设()0,M m ，由题意知，22AM BM =，即()()()2226002m m --+-=-，求出满足要求的m ，求出MB 的长，进而可得半径；（2）由题意，设()6,P n -，设过P B ，的直线的解析式为y ax b =+，交x 轴于E ，将P B ，代入得62a b n b -+=⎧⎨=⎩，可得过P B ，的直线的解析式为226n y x -=+，将0y =代入，求得12,02E n -⎛⎫ ⎪-⎝⎭，由45APB ∠=︒ ，90PAB ∠=︒，可知AP PE =，则()1262n n -=---，求出满足要求的n 值，得到P 点坐标，然后代入反比例函数解析式求k 即可；（3）由（2）可知，过P B ，的直线的解析式为28226y x x -=+=-+，设(),2C a a -+，由题意知，10MC =，则()2222810a a +-++=，求出符合要求的a 值，进而可得C 的坐标，然后利用勾股定理求PC 的值即可．(1)解：设()0,M m ，由题意知，22AM BM =，即()()()2226002m m --+-=-，解得：8m =-，⊥()0,8M -，⊥()2810--=，⊥M 的半径的长为10．(2)解：由题意，设()6,P n -，设过P B ，的直线的解析式为y ax b =+，交x 轴于E ，如图，将P B ，代入得62a b n b -+=⎧⎨=⎩， 解得262n a b -⎧=⎪⎨⎪=⎩， ⊥过P B ，的直线的解析式为226n y x -=+， 将0y =代入得122x n-=-， ⊥12,02E n -⎛⎫ ⎪-⎝⎭， ⊥45APB ∠=︒ ，90PAE ∠=︒，⊥45PEA ∠=︒，⊥AP AE =， ⊥()1262n n-=---， 整理得280n n -=，解得8n =，0n =（不合题意，舍去），⊥()6,8P -，将()6,8P -代入k y x =得，86k =-， 解得48k =-，⊥k 的值为48-．(3)解：由（2）可知，过P B ，的直线的解析式为28226y x x -=+=-+， 设(),2C a a -+，由题意知，10MC =，⊥()2222810a a +-++=，解得10a =， 0a =（不合题意，舍去），⊥()10,8C -，⊥PC =⊥PC 的长为【点拨】本题考查了圆的概念，反比例函数与一次函数的综合，等角对等边，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．举一反三：【变式1】如图，在平面直角坐标系中，方程222()()x a y b r -+-=表示圆心是(),a b ，半径是r 的圆，其中0a >，0b >．(1)请写出方程22(3)(4)25x y ++-=表示的圆的半径和圆心的坐标；(2)判断原点()0,0和第（1）问中圆的位置关系．【答案】(1)半径为5，圆心()3,4- (2)在圆上【分析】（1）根据题目所给的“在平面直角坐标系中，方程222()()x a y b r -+-=表示圆心是(),a b ，半径是r 的圆”即可直接得出答案；（2）将原点()0,0的坐标代入22(3)(4)25x y ++-=，即可判断出点与圆的位置关系．(1)解：在平面直角坐标系中，方程222()()x a y b r -+-=表示圆心是(),a b ，半径是r 的圆，∴将22(3)(4)25x y ++-=化成()2223(4)5x y --+-=⎡⎤⎣⎦， ∴22(3)(4)25x y ++-=表示的圆的半径为5，圆心的坐标为()3,4-；(2)解：将原点()0,0代入22(3)(4)25x y ++-=，左边2222(03)(04)3491625=++-=+=+==右边，∴原点()0,0在22(3)(4)25x y ++-=表示的圆上．【点拨】此题主要考查对未学知识以新定义形式出现的题型，读懂题意，根据新定义解决问题是本题的关键．【变式2】阅读下列材料：平面上两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）之间的距离表示为12PP =，称为平面内两点间的距离公式，根据该公式，如图，设P （x ，y ）是圆心坐标为C （a ，b ）、半径为r 的圆上任意一点，则点P r =，变形可得：（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2＝r 2，我们称其为圆心为C （a ，b ），半径为r 的圆的标准方程．例如：由圆的标准方程（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝25可得它的圆心为（1，2），半径为5．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列各题．（1）圆心为C （3，4），半径为2的圆的标准方程为： ；（2）若已知⊥C 的标准方程为：（x ﹣2）2+y 2＝22，圆心为C ，请判断点A （3，﹣1）与⊥C 的位置关系．【答案】（1）()()223425x y -+-=；（2）点A 在⊥C 的内部．【分析】（1）先设圆上任意一点的坐标（x ，y ），根据圆的标准方程公式求解即可；（2）先根据圆的标准方程求出圆心坐标，利用两点距离公式求出点A 到圆心的距离d ，然后与半径r 相比较，d ＞r ，点在圆外，d =r ，点在圆上，d ＜r ，点在圆内，即可判断点A与圆的位置关系．解：（1）设圆上任意一点的坐标为（x ，y ），⊥()()223425x y -+-=，故答案为()()223425x y -+-=；（2）⊥⊥C 的标准方程为：（x ﹣2）2+y 2＝22，⊥圆心坐标为C （2，0），⊥点A （3，﹣1），AC 2 ⊥点A 在⊥C 的内部．【点拨】本题考查两点距离公式的拓展内容，圆的标准方程，正确理解题意、熟练掌握基本知识是解题关键．。

与圆有关的阴影面积的计算（和差法）教学目标：1、进一步练习圆的面积的有关知识，并能灵活运用求圆面积的的方法解决生活实际问题，从而感受数学的实际价值。

2、引导学生利用知识把复杂图形转化成简单几何图形进行求解，掌握转化的思想3、培养学生自主探究与合作交流的能力，收获解题的成功感。

教学重难点：重点：与圆有关的面积计算；难点：如何将复杂问题（图形）转化为简单问题（图形）教学过程：一、大胆尝试，潜移默化活动一：1个正方形和1个扇形能组合成什么图形？（正方形的边长和扇形的半径都为2）备用图1 备用图2根据课堂要求，求阴影部分面积：________________变式1：1个长方形和1个扇形能组合成什么图形？（长方形的长和扇形的半径都为2）甲、乙阴影部分面积之差是多少？ _______________变式2：一个小正方形恰好能放在一个扇形里（扇形半径为2）求阴影部分面积：________________二、小结归纳，心中有法(和差法)有一些图形结构复杂，通过观察，分析出不规则图形的面积是由哪些规则图形组合而成的，再利用这些规则图形的面积的______来求，从而达到化繁为简的目的。

三、潜移默化，用知得法活动2：1个正方形和2个扇形能组合成什么图形？(要求扇形半径和正方形边长重合，拼拼试试)阴影面积如何求呢？（独自思考，小组交流）活动3：如图，边长为4的正方形ABCD，分别以A、B、C、D为圆心，4为直径作半圆，求阴影部分面积。

四、走进中考，灵活变通（2015河南）如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交弧AB于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作弧CD 交OB于点D，若OA=2，则阴影部分的面积为 .（2016河南14题）如图，在扇形AOB中，∠AOB=900，以点A为圆心， OA的长为半径作弧OC 交弧AB于点C，若OA=2，则阴影部分的面积是______（2009河南）在半径为,圆心角等于45°的扇形AOB内部作一个正方形CDEF，使点C在OA上,点D、E在OB上，点F在弧AB上，则阴影部分的面积为（结果保留π）______变式：如图，在半径为，圆心角等于45°的扇形AOB内部作一个矩形CDEF使点C在OA上，点D、E在OB上，点F在弧AB上，且DE=2CD，则图中阴影部分的面积为______ （结果保留π）五、回眸课堂，总结提升本环节主要由学生完成，教师对学生的归纳总结要注意上升到数学思想方法的层面．和差法是把复杂图形再构造为简单几何图形，体现转化的思想．知识灵活变通思考方法巧妙释疑。

第23课垂径定理课程标准1．理解圆的对称性；2．掌握垂径定理及其推论；3．学会运用垂径定理及其推论解决有关的计算、证明和作图问题．知识精讲知识点01垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径这条弦，并且平分弦所对的.2.推论平分弦(不是直径)的直径，并且平分弦所对的.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即⎫⎧→⎬⎨⎭⎩直径平分弦垂直于弦平分弦所对的弧(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点02垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.（4）.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意，就能推出其他结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）能力拓展考法01应用垂径定理进行计算与证明【典例1】如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，则⊙O的半径是．【即学即练1】如图所示，⊙O两弦AB、CD垂直相交于H，AH＝4，BH＝6，CH＝3，DH＝8，求⊙O半径．【即学即练2】如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．【典例2】已知：⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD间的距离.【即学即练3】在⊙O中，直径MN⊥AB，垂足为C，MN=10，AB=8，则MC=_________．考法02垂径定理的综合应用【典例3】如图，某新建公园有一个圆形人工湖，湖中心O处有一座喷泉，小明为测量湖的半径，在湖边选择A、B两个点，在A处测得∠OAB=45°，在AB延长线上的C处测得∠OCA=30°，已知BC=50米，求人工湖的半径．（结果保留根号）【典例4】不过圆心的直线l交⊙O于C、D两点，AB是⊙O的直径，AE⊥l于E，BF⊥l于F．(1)在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；(2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(OA＝OB除外)(不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)；(3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论．分层提分题组A基础过关练1．下列结论正确的是（）A．经过圆心的直线是圆的对称轴B．直径是圆的对称轴C．与圆相交的直线是圆的对称轴D．与直径相交的直线是圆的对称轴2．下列命题中正确的是（）A．经过三个点可以作一个圆B．长度相等的弧是等弧C．相等的圆心角所对的弧相等D．弦的垂直平分线一定经过圆心3．如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论一定错误的是（）A．CE=DE B．AE=OE C．BC BD D．△OCE≌△ODE=4．如图，在直径AB=12的⊙O中，弦CD⊥AB于M，且M是半径OB的中点，则弦CD的长是（）A．3B．C．6D．5．如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD=4，AE=1，则⊙O的半径为______．6．已知⊙O中，弦AB=24cm，圆心到AB的距离为5cm，则此圆的半径等于_______cm.7．如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD于E，DE=8cm，CE=2cm，则AB=______cm．8．如图，如AE是⊙O的直径，半径OD垂直于弦AB，垂足为C，AB=8cm，CD=2cm，则BE=．9．如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC=_____．题组B能力提升练1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则 BD的度数为____________．2．如图，P为⊙O的弦AB上的点，PA=6，PB=2，⊙O的半径为5，则OP=______．3．如图，AB是⊙O的弦，⊙O的半径OC⊥AB于点D，若AB＝6cm，OD＝4cm，则⊙O的半径为_____cm．4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC．若∠CAB=22.5°，CD=8cm，则⊙O的半径为______cm．5．如图所示，在⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，AB ⊥CD 于M ，CD=10cm ，OM ：OC=3：5，求弦AB 的长．6．如图，在⊙O 中，直径AB=10，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，BE=2，求弦CD 的长．题组C 培优拔尖练1．如图，⊙O 的半径为5，AB 为弦，OC AB ⊥，交AB 于点D ，交⊙O 于点C ，2CD =．求弦AB 的长．2．如图，四边形ABCD 是矩形，以AD 为直径的⊙O 交BC 边于点E 、F ，AB=4，AD=12.求线段EF 的长.3．如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB 为60m ，拱高PM 为18m ，当洪水泛滥到跨度只有30m 时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有4m ，即4m PN =时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施.4．如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．（1）证明：点E是OB的中点；（2）若AB=8，求CD的长．5．如图，⊙O的两条弦AB、CD交于点E，OE平分∠BED．（1）求证：AB=CD；（2）若∠BED=60°，EO=2，求DE﹣AE的值．。

九年级下册数学与圆有关的计算公式主要包括圆的周长、圆的面积、圆的弧长、圆的扇形面积等。

1. 圆的周长公式：
$C = 2\pi r$
其中，$C$ 是圆的周长，$r$ 是圆的半径，$\pi$ 是一个常数，约等于3.14159。

2. 圆的面积公式：
$S = \pi r^2$
其中，$S$ 是圆的面积，$r$ 是圆的半径。

3. 圆的弧长公式：
$L = \theta \cdot r$
其中，$L$ 是圆的弧长，$\theta$ 是弧所对的圆心角（以弧度为单位），$r$ 是圆的半径。

4. 圆的扇形面积公式：
$S_{扇形} = \frac{1}{2} \theta \cdot r^2$
其中，$S_{扇形}$ 是圆的扇形面积，$\theta$ 是扇形所对的圆心角（以弧度为单位），$r$ 是圆的半径。

5. 圆的切线长公式：
$l = \sqrt{r^2 - d^2}$
其中，$l$ 是从圆外一点到圆的切线长，$r$ 是圆的半径，$d$ 是该点到圆心的距离。

6. 圆的弦长公式：
$l = 2\sqrt{r^2 - h^2}$
其中，$l$ 是圆的弦长，$r$ 是圆的半径，$h$ 是弦心距（即弦的中点到圆心的距离）。

以上是与圆有关的计算公式，掌握这些公式可以帮助你更好地理解和解决与圆相关的问题。

正多边形与圆的相关计算课前测试【题目】课前测试如图正方形ABCD内接于⊙O，E为CD任意一点，连接DE、AE．（1）求∠AED的度数．（2）如图2，过点B作BF∥DE交⊙O于点F，连接AF，AF=1，AE=4，求DE的长度．【答案】∠AED=45°；DE =。

【解析】（1）如图1中，连接OA、OD．∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOD=90°，∴∠AED=∠AOD=45°．（2）如图2中，连接CF、CE、CA，作DH⊥AE于H．∵BF∥DE，AB∥CD，∴∠ABF=∠CDE，∵∠CFA=∠AEC=90°，∴∠DEC=∠AFB=135°，∵CD=AB，∴△CDE≌△ABF，∴AF=CE=1，∴AC==，∴AD=AC=，∵∠DHE=90°，∴∠HDE=∠HED=45°，∴DH=HE，设DH=EH=x，在Rt△ADH中，∵AD2=AH2+DH2，∴=（4﹣x）2+x2，解得x=或（舍弃），∴DE=DH=总结：本题考查正多边形与圆、全等三角形的判定和性质、勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型。

【难度】4【题目】课前测试如图，已知AB是⊙O的弦，半径OA=2cm，∠AOB=120°．（1）求tan∠OAB的值；（2）计算S△AOB；（3）⊙O上一动点P从A点出发，沿逆时针方向运动，当S△POA=S△AOB时，求P点所经过的弧长．（不考虑点P与点B重合的情形）【答案】tan∠OAB=；S△AOB=（cm2）；的长度==（cm）．【解析】（1）作OC⊥AB．∵∠AOB=120°，∴∠AOC=60°．∴OC=1，AC=．∴tan∠OAB=．（2）AC=，∴AB=2．∴S△AOB=2×1÷2=（cm2）．（3）如图，延长BO交⊙O于点P1，∵点O是直径BP1的中点，S△AP1O=AD×P1O，S△AOB=AD×BO，∵P1O=BO，∴S△P1OA=S△AOB，∠AOP1=60°．∴的长度为（cm）．作点A关于直径BP1的对称点P2，连接AP2，OP2，AP3，易得S△P2OA=S△AOB，∠AOP2=120°．∴的长度为（cm）．过点B作BP3∥OA交⊙O于点P3，则P2P3直径，易得S△P3OA=S△AOB，∴的长度==（cm）．总结：本题综合考查了解直角三角形，及三角形的面积公式及弧长公式．【难度】4知识定位适用范围：北师大版，初三年级，成绩中等以及中等以下知识点概述：正多边形与圆的相关计算是九年级下册第三章的内容，主要讲解了正多边形的相关概念、圆内接正多边形与外切正多边形定义与相关计算、弧长和扇形面积的计算公式。

初三数学圆心角和圆周角、过三点的圆冀教版【本讲教育信息】一、教学内容：圆心角和圆周角、过三点的圆1. 理解圆心角、圆周角等有关概念.2. 理解圆心角与圆周角的关系，直径所对圆周角的特征，并能灵活应用解决有关问题.3. 过不在同一直线的三点作圆，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念.二. 知识要点：1. 顶点在圆心的角叫做圆心角. 顶点在圆上，两边与圆都相交的角叫做圆周角.2. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧也相等；相等的弦或相等的弧所对的圆心角相等.如图所示，（1）若∠AOB ＝∠COD ，则AB ＝CD ，︵AB ＝︵CD ；（2）若AB ＝CD （或︵AB ＝︵CD ），则∠AOB ＝∠COD.OABCD3. 圆周角的性质（1）同弧所对的圆周角相等.（2）同弧所对的圆周角等于圆心角的一半. （3）半圆（或直径）所对的圆周角是直角.对于性质（2）应分三种情况讨论：圆心在角的一边上；圆心在角的内部；圆心在角的外部，如图所示，后两种情况可以转化成第一种情况来说明.第一种情况：圆心O 在∠ACB 的一边上，如图①.∵OA ＝OC ，∴∠ACB ＝∠A.又∵∠AOB 是△OAC 的一个外角，∴∠AOB ＝∠ACB ＋∠A ，即∠AOB ＝2∠ACB.③②①第二种情况：圆心O 在∠ACB 的内部，如图②. 连结CO 并延长交⊙O 于点D ，由①的结论知∠1＝12∠AOD ，∠2＝12∠BOD ，∴∠1＋∠2＝12（∠AOD ＋∠BOD ），即∠ACB ＝12∠AOB.第三种情况：圆心在∠ACB 的外部，如图③.连结CO 并延长交⊙O 于点E ，由①的结论知∠BCE ＝12∠BOE ，∠ACE ＝12∠AOE ，∴∠BCE －∠ACE ＝12（∠BOE －∠AOE ），即∠ACB ＝12∠AOB.4. 过三点的圆（1）经过一点可以作无数个圆；经过两点可以作无数个圆，这些圆的圆心都在这两点间线段的垂直平分线上；不在同一直线上的三个点确定一个圆，过同一直线上的三个点不能作圆.（2）经过三角形三个顶点可以作一个圆. 这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心.三. 重点难点：本讲的重点内容是圆周角和圆心角的概念、性质. 难点是这些性质在推理论证和计算中的应用.四. 考点分析：由于本节知识建立了同弧所对的圆周角与圆心角之间的关系，从而与弧、弦等也联系起来了，应用广泛，因此今后的中考将更趋向于与其他知识点的综合考查，同时与本节有关的一些创新类试题也是今后中考的方向，应加以关注.【典型例题】例1. 完成下列各题：（1）如图所示，C 是︵AB 的中点，与∠ADC 相等的角的个数是（ ） A. 7个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 （2）如图所示，正方形ABCD 内接于⊙O ，P 是劣弧AD 上任意一点，则∠1＋∠2＝（ ） A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°(1) 分析：（1）由同弧或等弧所对的圆周角相等知，∠ADC ＝∠ABC ＝∠CAB ＝∠CDB ，故与∠ADC 相等的角共有3个. （2）在正方形ABCD 中，∵AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∴︵AB ＝︵BC ＝︵CD ＝︵AD. 又∵︵AB 的度数＋︵BC 的度数＋︵CD 的度数＋︵AD 的度数＝360°，∴4︵AD 的度数＝360°，︵AD 的度数＝90°. ∵︵AD 的度数＝︵AP 的度数＋︵PD 的度数＝2∠1＋2∠2，∴90°＝2（∠1＋∠2）＝45°，故选C.解：（1）B （2）C评析：同弧或等弧所对的圆周角相等常用来证明两角相等；或进行角的转换，将一个圆周角转换为同弧所对的其他圆周角，从而达到题目中的要求.例2. 如图所示，BC 为半圆O 的直径，G 是半圆上异于B 、C 的点，A 是︵BG 的中点，AD ⊥BC 于点D ，BG 交AD 于点E ，请说明AE ＝BE.分析：在圆中，有关直径的问题常常需要添加辅助线，以便利用直径所对的圆周角是直角的性质，因此，欲说明AE 与BE 相等，可转化为说明∠BAD ＝∠ABE ，圆周角∠ABE 所对的弧为︵AG ，连结AB 、AC 即可解决问题.C解：连结AB 、AC. ∵︵AB ＝︵AG ，∴∠ABE ＝∠ACB. 又∵AD ⊥BC ，∴∠ABD ＋∠BAE ＝90°.∵BC 为直径，∴∠BAC ＝90°，∴∠ABD ＋∠BCA ＝90°， ∴∠BCA ＝∠BAE. ∴∠BAE ＝∠ABG ， ∴AE ＝BE.例3. 如图所示，在⊙O 中，∠AOC ＝150°，求∠ABC 、∠ADC 、∠EBC 的度数，并判断∠ABC 和∠ADC 、∠EBC 和∠ADC 的度数关系.分析：解题的关键是分清同弧所对的圆心角和圆周角，如︵ADC 所对的圆心角是∠AOC ，所对的圆周角是∠ABC ，︵ABC 所对的圆心角是大于平角的∠α，所对的圆周角是∠ADC.解：∵∠AOC ＝150°，∴∠ABC ＝12∠AOC ＝75°.∵∠α＝360°－∠AOC ＝360°－150°＝210°，∴∠ADC ＝12∠α＝105°，∠EBC ＝180°－∠ABC ＝180°－75°＝105°.∵∠ABC ＋∠ADC ＝75°＋105°＝180°，∠EBC ＝∠ADC ＝105°， ∴∠ABC 和∠ADC 互补，∠EBC 和∠ADC 相等. 评析：（1）理解圆周角的概念，分清同弧所对的圆心角和圆周角是熟练运用圆周角性质解题的前提. （2）由上面的结论我们可以得到圆内接四边形的性质，即圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.例4. 如图1所示，已知等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ＝5cm ，BC ＝6cm ，则△ABC 外接圆的面积是多少？分析：要求△ABC 的外接圆的面积，只需求出外接圆半径即可，连接AO 并延长，交BC 于D ，由垂径定理可知AD ⊥BC 于D ，连接BO ，构造R t △OBD ，最后利用勾股定理求出外接圆半径.图1图2解：连接AO 并延长，交BC 于D ，连接BO ，∵AB ＝AC ，∴⌒AB ＝⌒AC. 又∵AD 过点O ，∴AD ⊥BC.在等腰三角形ABC 中，BD ＝12BC ＝12×6＝3（cm ），AD ＝AB 2－BD 2＝52－32＝4（cm ）.在R t △BOD 中，BO ＝r ，OD ＝AD －AO ＝4－r ，BD ＝3. ∴BO 2＝OD 2＋BD 2，r 2＝(4－r )2＋32，∴r ＝258（cm ），∴S ⊙O ＝62564π（cm 2）.评析：这是一种类型题，求直角三角形、等腰三角形、等边三角形三种特殊三角形各边与它们的外接圆半径之间的关系. （1）直角三角形外接圆半径等于斜边的一半. （2）如图2所示，等腰三角形的腰长为a ，底边为b ，外接圆半径为r . 通常连接顶点A 与圆心O 并延长，即作出等腰三角形的高，再连接OB ，构造直角三角形. 利用勾股定理得r 2＝(h －r )2＋(b 2)2，其中h ＝a 2－(b2)2. （3）等边三角形的边长与它的外接圆的关系：通过等腰三角形的求法，可得a ＝3r .例5. 如图所示，AB 、CD 是⊙O 的弦，∠A ＝∠C. 求证：AB ＝CD.分析：此题的证明方法很多，由于AB 和CD 在圆中，且为弦，可证明AB 和CD 所对的圆心角相等或弧相等，也可直接或间接利用全等证明AB 和CD 相等. 等等.解法一：如图（1）所示，过点O 作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为E 、F. ∴AB ＝2AE ，CD ＝2CF ，∠AEO ＝∠CFO ＝90°. 又∵∠A ＝∠C ，OA ＝OC ，∴△AOE ≌△COE ，∴AE ＝CF.∴AB ＝CD.(1)解法二：如图（2）所示，连结OB 、OD.∵OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∴∠A ＝∠B ，∠C ＝∠D. ∵∠A ＝∠C ，∴∠B ＝∠D.∴△OAB ≌△OCD ，∴AB ＝CD.解法三：如图（3）所示，连结AC. ∵OA ＝OC ，∴∠1＝∠3.又∵∠BAO ＝∠DCO ，∴∠2＝∠4. ∴︵BC ＝︵AD.∴︵BC ＋︵BD ＝︵AD ＋︵BD ，即︵AB ＝︵CD ， ∴AB ＝CD.【方法总结】1. 用弧找角，由角找弧是证明弧相等、角相等的常用思维方法.2. “见直径，构造圆周角，必为直角”这也是圆中常见的辅助线作法.预习导学案（弧长和扇形面积）一. 预习前知1. 你知道计算圆的周长和面积的公式吗？2. 把一个圆锥形纸筒沿着侧面上的一条直线剪开展平得到一个什么样的图形？3. 田径场的跑道最里圈如图所示，这个图形中既有半圆，又有线段，如果两条直道部分的长分别是100米，若要画一条400米长的跑道，那么两条半圆弧的半径是多少米？二. 预习导学1. 一条__________和经过__________端点的两条__________所组成的图形叫做扇形.2. 弧长的计算公式：l 扇＝n πr180（n °为__________，r 为__________）.3. 扇形面积的计算公式：S扇＝（）360（n°为圆心角的度数，r为圆的半径）或S扇＝__________（l表示扇形的弧长）.4. 如图所示，__________是圆锥的母线，__________是高.AB CO5. 圆锥的底面半径为40cm，母线长是50cm，则这个圆锥的侧面展开图的面积是__________cm2，表面积是__________cm2（结果保留π）.反思：（1）确定弧长需要哪几个量，确定扇形面积需要哪几个量？（2）圆锥的全面积包括哪几部分？如何计算？【模拟试题】（答题时间：90分钟）一. 选择题1. 下列条件中，可以确定圆的是（）A. 已知圆心B. 已知半径C. 已知三个点D. 已知直径2. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠B＝70°，则∠A的度数是（）A. 20°B. 25°C. 30°D. 35°B3. 下列说法正确的是（）A. 经过三点一定可以作圆B. 任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形C. 任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆D. 三角形的外心到三角形各边的距离都相等4. 如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD＝40°，则∠DCF等于（）A. 80°B. 50°C. 40°D. 20°OCFGDE5. 已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧CD⌒上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是（）A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°P6. 如图所示，⊙O的弦AB、CD相交于点E，已知∠ECB＝60°，∠AED＝65°，那么，ADE的度数为（）A. 40°B. 45°C. 55°D. 65°7. 如图所示，AB为⊙O的直径，∠ACD＝15°，则∠BAD的度数为（）A. 75°B. 72°C. 70°D. 65°**8. 如图所示，A、B、C三点均在⊙O上，已知∠ACO＝30°，则∠B的度数为（）A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°*9. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥AB于点D，交⊙O于点E，∠C＝60°，如果⊙O的半径为2，则结论错误的是（）A. AD＝DBB. ︵AE＝︵EB C. OD＝1 D. AB＝3E**10. 如图所示，劣弧︵AE所对的圆心角为40°，则∠B＋∠D等于（）A. 320° B. 160° C. 300° D. 260°D二. 填空题1. 锐角三角形的外心位于三角形的__________，直角三角形的外心在__________，钝角三角形的外心位于三角形的__________，它到__________的距离相等.2. 若等腰直角三角形的外接圆半径为2，则这个三角形的三条边长分别为____________________.3. 如图所示，点A、B、C、E都在圆周上，AE平分∠BAC交BC于点D，则图中相等的圆周角是__________.*4. 如图所示，已知⊙O的半径为2，圆周角∠ABC＝30°，则弦AC的长是__________.**5. 如图所示，AB是半圆O的直径，∠BAC＝40°，D是︵AC上任意一点，那么∠D的度数是__________.A**6. 如果一条弦分圆周为1∶5两部分，那么这条弦所对的圆周角的度数是__________.三. 解答题1. 如图所示，已知AB是⊙O的直径，C、D两点在⊙O上，且AD＝CD，∠B＝50°. 求∠ACB、∠BAC、∠DAC和∠ADC的度数.A2. 如图所示，AB为⊙O的直径，AC为弦，P为AC延长线上一点，且AC＝PC. PB的延长线交⊙O于D. 求证：AC＝DC.P*3. 如图所示，已知A、B、C、F、G是⊙O上的五点，AF交BC于点D，AG交BC于点E，且BD＝CE，∠1＝∠2. 求证：AB＝AC.**4. 如图所示，要把破残的圆片复制完整，已知弧上的三点A、B、C.（1）用尺规作图法找出弧BAC所在圆的圆心O；（保留作图痕迹，不写作法）（2）设△ABC是等腰三角形，底边BC＝10cm，腰AB＝6cm，求圆片的半径R；（结果保留根号）（3）若（2）中的R的值满足n＜R＜m（m、n为整数），试估算m和n的值.AB C试题答案一. 选择题1. D2. A3. C4. D5. A6. C7. A8. B9. D 10. B二. 填空题1. 内部；斜边中点；外部；三角形三个顶点2. 22、22、43. ∠BAE＝∠CAE＝∠BCE＝∠CBE4. 2（提示：连结OA、OC，△OAC是等边三角形）5. 130°6. 30°、150°三. 解答题1. 连结OD、OC，∠ACB＝90°，∠BAC＝40°，∠DAC＝25°，∠ADC＝130°.A2. 连结AD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADP ＝90°，∵AC ＝CP ，∴CD ＝12AP. ∴CD ＝AC ＝12AP. ∴AC ＝DC. （另解：连结BC ，证明△ABP 和△CDP 都是等腰三角形，且BC是△ABP 底边的中线）3. ∵∠1＝∠2，∴⌒BF ＝⌒CG ，∴BF ＝CG ，⌒BG ＝⌒CF ，∴∠FBC ＝∠GCE. 又BD ＝CE ，∴△BFD ≌△CGE （SAS ），∴∠F ＝∠G . ∴⌒AB ＝⌒AC ，∴AB ＝AC.4. （1）作图略（2）181111（3）m ＝6，n ＝5.。

切线的判定与性质【知识要点】1．直线与圆的三种位置关系在图中，图(1)、图(2)、图(3)中的直线l和⊙O是什么关系?2.切线的判定定理：切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．对定理的理解：①经过半径外端；②垂直于这条半径．注意：定理中的两个条件缺少一个行不行?定理中的两个条件缺一不可．（如图）3.切线的判定方法判定一条直线是圆的切线的三种方法：(1)定义：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。

(2)数量关系：即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线．(3)图形位置关系（判定定理）：．经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．其中(2)和(3)本质相同，只是表达形式不同．解题时，灵活选用其中之一。

4.切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径.推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。

推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

注意：对于切线性质定理的两个推论：①垂直于切线；②经过切点；③经过圆心，知道任意二个就可以推出第三个【典型例题】例1．下列说法正确的是（）（1）与直径垂直的直线是圆的切线；（2）到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；（3）经过半径外端点的直线是圆的切线； （4）与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；（5）经过半径的外端点且垂直于半径的直线是圆的切线．A 、（1）（2）（3）B 、（2）（3）（5）C 、（2）（4）（5）D 、（3）（4）（5）例2．如图所示，PBC 是⊙O 的割线，A 点是⊙O 上一点，且PC PB PA ⋅=2． 求证：PA 是⊙O 的切线．例3．如图所示，已知：梯形ABCD 中AB ∥CD ，∠A=︒90，腰BC 是⊙O 的直径，且BC=CD+AB ．求证：AD 和⊙O 相切．例4．如图所示，已知：两个同心圆O 中，大圆的弦AB 、CD 相等，且AB 与小圆相切于点E ．求证：CD 是小圆O 的切线．·OPABC·ACBDO ABD C例5．如图所示，AB 是⊙O 的直径，BC 为弦，C 为弧AD 的中点，过C 作BD 的垂线交BD 的延长线于E 点．求证：CE 与⊙O 相切．例6． 如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DC ⊥BC ，AB=8，BC=5，若以AB 为直径为⊙O 与DC 相切于点E ，则DC= 。

圆曲线中边桩坐标计算公式： L=F-H；注：L---所求点曲线长；F---所求点里程；H---圆曲线起点（ZY点桩号里程）X=XZY+2×R×SIN（L÷2R）×COS｛α±(L÷2R)｝+S×COS｛α±(L÷R)+M｝; Y =YZY+2×R×SIN（L÷2R）×SIN｛α±(L÷2R)｝+S×SIN｛α±(L÷R)+M｝. 注：α---线路方位角；M---所求边桩与路线的夹角；S---所求边桩至中桩的距离；"±"---曲线左偏取“-”右偏取“+”；当S=0时为中桩坐标。

经高速公路施工一线使用效果很好。

记住在公式中加入Excel的Radians（）函数将度转为弧度即可轻松方便地使用，从ZY点坐标准确快速推算地计算出整条圆曲线。

注意要分清左偏右偏两种情况。

高速公路线路坐标计算公式:高速公路的一些线路坐标、高程计算公式(缓和曲线、竖曲线、圆曲线、匝道)一、缓和曲线上的点坐标计算已知：①缓和曲线上任一点离ZH点的长度：l②圆曲线的半径：R③缓和曲线的长度：l④转向角系数：K(1或－1)⑤过ZH点的切线方位角：α⑥点ZH的坐标：xZ ，yZ计算过程：说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下：当计算第二缓和曲线上的点坐标时，则：l为到点HZ的长度α为过点HZ的切线方位角再加上180°K值与计算第一缓和曲线时相反xZ ，yZ为点HZ的坐标切线角计算公式：二、圆曲线上的点坐标计算已知：①圆曲线上任一点离ZH点的长度：l②圆曲线的半径：R③缓和曲线的长度：l④转向角系数：K(1或－1)⑤过ZH点的切线方位角：α⑥点ZH的坐标：xZ ，yZ计算过程：说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下：当只知道HZ点的坐标时，则：l为到点HZ的长度α为过点HZ的切线方位角再加上180°K值与知道ZH点坐标时相反xZ ，yZ为点HZ的坐标三、曲线要素计算公式公式中各符号说明：l——任意点到起点的曲线长度（或缓曲上任意点到缓曲起点的长度）l1——第一缓和曲线长度l2——第二缓和曲线长度l——对应的缓和曲线长度R——圆曲线半径R1——曲线起点处的半径R2——曲线终点处的半径P1——曲线起点处的曲率P2——曲线终点处的曲率α——曲线转角值四、竖曲线上高程计算已知：①第一坡度：i1(上坡为“＋”，下坡为“－”)②第二坡度：i2(上坡为“＋”，下坡为“－”)③变坡点桩号：SZ④变坡点高程：HZ⑤竖曲线的切线长度：T⑥待求点桩号：S计算过程：五、超高缓和过渡段的横坡计算已知：如图，第一横坡：i1第二横坡：i2过渡段长度：L待求处离第二横坡点（过渡段终点）的距离：x求：待求处的横坡：i解：d=x/Li=(i2-i1)(1-3d2+2d3)+i1六、匝道坐标计算已知：①待求点桩号：K②曲线起点桩号：K③曲线终点桩号：K1④曲线起点坐标：x0，y⑤曲线起点切线方位角：α⑥曲线起点处曲率：P(左转为“－”，右转为“＋”)⑦曲线终点处曲率：P1(左转为“－”，右转为“＋”)求：①线路匝道上点的坐标：x,y②待求点的切线方位角：αT计算过程：注：sgn(x)函数是取符号函数，当x<0时sgn(x)=-1，当x>0时sgn(x)=1，当x=0时sgn(x)=0。

第二十三章 与圆有关的计算18. （ 山东泰安，18，3分）如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连接BC ，若ABC ∠=120°，OC=3，则»BC的长为（ ）A.πB.2π D.3π D.5π【解析】连接OB ，因为AB 是⊙O 的切线，所以OB ⊥AB ，∠ABO=90°，因为ABC ∠=120°，所以OBC ∠=30°.因为OB=OC ，所以∠C=∠B=30°，∠BOC=120°，所以»BC的长l »BC=12032180ππ=.【答案】B.【点评】圆的切线垂直于过切点的半径，连过切点的半径是圆中常作的辅助线之一；熟记弧长公式180n r l π=的求弧长的基础，设法求出弧所对圆心角的度数是关键（已知半径和条件下）。

14.（2011山东省聊城，14，3分）在半径为6cm 的圆中，60º圆心角所对的弧长为 cm. (结果保留π)解析：根据弧长公式ππ2180660=⨯=l . 答案：π2点评：注意弧长公式与扇形公式区别联系.14．( 重庆，14，4分)一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为___________（结果保留π）解析：根据扇形的面积公式即可求出。

答案：3π点评：注意单位要统一，如果题目中没单位，答案也不带单位。

12．( 山东德州中考,12,4,)如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成. 已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于_________．12． 【解析】每段弧的长为180n Rl π=＝1×26π=3π，故三段弧总长为π．【答案】π【点评】此题主要考查圆的弧长公式180n Rl π=．此题还可以用转换法，实际三个弧之和相等于一个半圆．8．（ 四川内江，8，3分）如图2，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CDB ＝30°，CD ＝A ．4πB ．2πC ．πD ．2π3【解析】如下图所示，取AB 与CD 的交点为E ，由垂径定理知CE而∠COB ＝2∠CDB ＝60°，所以OC ＝sin 60CEo＝2，OE ＝12OC ＝1，接下来发现OE ＝BE ，可证△OCE ≌△BED ，所以S 阴影＝S 扇形COB ＝16π·22＝2π3．B图2【答案】D【点评】圆的有关性质是中考高频考点，而图形面积也是多数地方必考之处，将它们结合可谓珠联璧合．解答此题需在多处转化：一是将阴影面积转化为扇形面积问题解决；二是由圆周角度数求出圆心角度数；三是发现图中存在的全等三角形，这一点是解题关键．23.（ 贵州贵阳，23，10分）如图，在⊙O 中，直径AB=2，CA 切⊙O 于A ，BC 交⊙O 于D ，若∠C=45°，则（1）BD 的长是 ；（5分） （2）求阴影部分的面积. （5分）解析： （1）由CA 切⊙O 于A ，得∠A=90°，再结合∠C=45°，得∠B=45°.连接AD ，则由直径AB=2，得∠ADB=90°.故BD=AB ×cos45°=2×cos45°=2；（2）运用代换得到阴影部分的面积等于△ACD 的面积.解：（1）填2；（2）由（1）得，AD=BD.∴弓形BD 的面积=弓形AD 的面积，故阴影部分的面积=△ACD 的面积. ∵CD=AD=BD=2，∴S △ACD =21CD ×AD=21×2×2=1，即阴影部分的面积是1.点评：本题主要考查了圆的性质，切线的性质，等腰直角三角形的性质以及割补法，解法较多，有利于考生从自己的角度获取解题方法，中等偏下难度.B图2第23题图AC13. ( 山东省临沂市，13，3分）如图，AB 是⊙O 的直径，点E 是BC 的中点，AB=4，∠BED=1200，则图中阴影部分的面积之和为（ ） A.1 B.23C. 3D. 32【解析】由图得，四边形ABED 是圆内接四边形，∴∠B=∠D=∠DEC=600，∴弓形BE 的面积等于弓形DE 的面积，又∵AB 是⊙O 的直径，点E 是BC 的中点，AB=4，∠BED=1200，∴BE=ED=AD=2，BC=4，阴影部分面积=S △CDE,又△CDE ∽△ABC ，∴S △ABC=34, S △CDE=41S △ABC=.3【答案】选C 。

与圆有关的计算知识点：(1)多边形内角和公式：(2)把一个圆分成n(n ≥3)等份，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的 ．(3)一个正多边形的______________叫做这个正多边形的中心；______________叫做正多边形的半径；正多边形每一边所对的 叫做正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的__________叫做正多边形的边心距．(4)正n 边形的每一个内角等于________，它的中心角等于________，它的每一个外角等于_________(5)正多边形的轴对称性：正多边形都是 图形.一个正n 边形共有 条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心。

(6)正多边形的中心对称性:边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。

几种特殊的正多边形：正三角形 正方形 正六边形a 34r 2==R a 21r 2==Ra r 32==R 弧长：如果弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为r ，那么，弧长=l扇形面积计算： 方法一：如果已知扇形圆心角为n ，半径为r ，那么扇形面积=s 方法二：如果已知扇形弧长为l ，半径为r ， 那么扇形面积=s※圆锥的侧面积与表面积:（1）h 为圆锥的 ，l 为圆锥的 ，r 为圆锥的 ，由勾股定理可得：l 、h 、r 之间的关系为：（2）圆锥的侧面展开后一个 ：圆锥的母线是扇形的 而扇形的弧长恰好是圆锥底面的 。

故:圆锥的侧面积就是圆锥的侧面展开后的扇形的 。

圆锥的表面积= +例1.已知圆内接正六边形面积为33cm 2，求该圆外切正方形的边长。

例2.已知扇形的圆心角为1500，弧长为20πcm，求此扇形的面积。

例3.如图,已知AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,∠AOC=600，OC=2．(1)求OE和CD的长；(2)求图中阴影部分的面积．例4.如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于E，OF⊥AC于F，BE=OF.10cm,设OE=x,求x值及阴影部分的面积.(1)求证:OF∥BC;(2)求证:△AFO≌△CEB;(3)若EB=5cm,CD=3例5.如图,半圆的直径AB=10,P为AB上一点,点C，D为半圆的三等分点,求阴影部分的面积．例6.如图(1)、(2)、(3)、…、(n)，M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连结OM、ON.(1)求图(1)中∠MON的度数；(2)图(2)中∠MON的度数是_________，图(3)中∠MON的度数是_________；(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).同步练习：1.同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是( ) A.26 B.43 C.36 D.34 2.正六边形的两条平行边之间的距离为1，则它的边长为( ) A.63 B.43 C.332 D.33 3.如图.在△ABC 中,∠B=900, ∠A=300，AC=4cm ，将△ABC 绕顶点C 顺时针方向旋转至△A /B /C /的位置，且A 、C 、B /三点在同一条直线上,则点A 所经过的最短路线的长为( ) A.43cm B.8cm C.163cm π D.83cm π第3题图 第4题图 第5题图4.如图，直径AB 为6的半圆，绕A 点逆时针旋转600，此时点B 到了点B /，则图中阴影部分的面积是（ ）A.3πB.6πC.5πD.4π 5.如图,圆柱的底面周长为6cm,AC 是底面圆的直径,高BC=6cm,点P 是母线BC 上一点,且PC=BC 32．一只蚂蚁从A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P 的最短距离是（ ） A.(64π+)cm B.5cm C.35cm D.7cm 6.如图，AB 切⊙O 于点B ，OA=32，AB=3，弦BC ∥OA ，则劣弧BC 的弧长为（ ）． A.33π B.32π C.π D.32π第6题图 第7题图 第8题图 第9题图7.如图,同心圆中，两圆半径分别为2、1,∠AOB=1200，则阴影部分的面积（ ）．A.πB.34π C.2π D.4π 8.如图,在△ABC 中090=∠BAC ,AB=AC=2，以AB 为直径的圆交BC 于D ，则图中阴影部分的面积为（ ）．A.1B.2C.41π+D.42π-9.如图，⊙A 、⊙B 、⊙C 、⊙D 、⊙E 相互外离，它们的半径都是1，顺次连结五个圆心得到五边形ABCDE ，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是（ ）．A.πB.π5.1C.π2D.π5.210.如图,扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB,AC 夹角为1200，AB 的长为30cm ，贴纸部分BD 的长为20cm ，则贴纸部分的面积为( )．A.2πcm 100B.2πcm 3400C.2πcm 800D.2πcm 3800第10题图 第11题图 第12题图 第13题图11.如图，正方形的四个顶点在直径为4的大圆圆周上，四条边与小圆都相切，AB 、CD 过圆心O ，且AB ⊥CD ，则图中阴影部分的面积是（ ）A.4πB.2πC.πD.2π 12.如图，△ABC 中，BC=4，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于E ，交AC 于F ，点P 是⊙A 上一点，且∠EPF=40°，则圆中阴影部分的面积是( )． A.9π4- B.9π84- C.94π8- D.98π8- 13.如图,两个半圆,大半圆中长为16cm 的弦AB 平行于直径CD,且与小半圆相切,则图中阴影部分的面积为（ ）A.234cm πB.2128cm πC.232cm πD.216cm π 14.若正n 边形的一个外角是一个内角的32时，此时该正n 边形有_________条对称轴. 15.边长为6cm 的正三角形的半径是_________cm,边心距是_________cm ,面积是_________cm.16.正多边形的一个中心角为360,那么这个正多边形的一个内角等于________度.17.同圆的内接正三角形与外切正三角形的边长之比是_________.18.正六边形的两对边之间的距离是12cm,则边长是_________cm.19.同圆的外切正四边形与内接正四边形的边心距之比是_________.20.半径为8cm 的圆中，720的圆心角所对的弧长为_________；弧长为8cm 的圆心角约为_________．21.已知⊙O 的半径OA=6，∠AOB=900，则∠AOB 所对的弧AB 的长为 .22.圆心角为1200的扇形的弧长为20π，它的面积为 .23.已知弓形的弧所对的圆心角为600，弓形的弦长为6，则这个弓形面积是 。