中考数学复习第一部分数与代数第二课时代数式和规律探索课件

合并同类项是代数式简化的基础 ，通过将相同或类似项合并，简
化代数式。
详细描述
在代数式中，如果存在两个或多 个项具有相同的代数性质（如系 数、变量、指数等），则可以将 它们合并为一个项，从而简化代
数式。
示例
将代数式中的同类项合并，如将 $2x + 3x$简化为$5x$。
提取公因式
总结词
提取公因式是简化代数式的一种 常用方法，通过提取公因子，减
04
通过代数式的运算和分析，可以推导出许多物理定理 和公式，例如牛顿第二定律、欧姆定律等。
代数式在计算机科学中的应用
在计算机科学中，代数式被广泛应用于数据加密、密码 学和网络安全领域。
代数式在计算机科学中还用于算法设计和优化，例如在 计算机图形学、机器学习和人工智能等领域中。
通过代数式的变换和运算，可以实现数据的加密和解密 ，保护数据的机密性和完整性。
代数式在物理中的应用
在物理学中，代数式被广泛应用于描述物理量之间的 关系和变化规律。
输标02入题
例如，在力学中，代数式可以用来表示力和加速度、 速度和时间的关系；在电磁学中，代数式可以用来表 示电流、电压和电阻之间的关系。
01
03
代数式在物理学中还用于建立数学模型，通过模型来 描述和预测物理现象。
式，将复杂的代数式转化为简单的情势。
详细描述
02
在代数式中，可以利用已知的代数公式（如平方差公式、完全
平方公式等）进行化简，从而简化代数式。
示例
03
利用平方差公式化简代数式，如将$a^2 - b^2$化简为$(a +
b)(a - b)$。
03
代数式的探索规律
代数式的变化规律
01

2．解图形规律探索题的方法： 第一步：标序号：记每组图形的序数为“1，2，3，…，n”； 第二步：数图形个数：在图形数量变化时，要记出每组图形的表示个数； 第三步：寻找图形数量与序号数 n 的关系：针对寻找第 n 个图形表示的数量时，先将后 一个图形的个数与前一个图形的个数进行比对，通常作差(商)来观察是否有恒定量的变化， 然后按照定量变化推导出第 n 个图形的个数； 函数法：若当图形变化规律不明显时，可把序号数 n 看作自变量，把第 n 个图形的个数 看作函数，设函数解析式为 y＝an2＋bn＋c(初中阶段设二次函数完全可以解决)，再代入三组 数值进行计算出函数解析式(若算出 a＝0 就是一次函数)即可．
【点评】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是能够仔细读题，找到图形内和图 形外格点的数目．
[对应训练] 4．在由 m×n(m×n＞1)个小正方形组成的矩形网格中，研究它的一条对角线所穿过的小 正方形个数 f， (1)当 m，n 互质(m，n 除 1 外无其他公因数)时，观察下列图形并完成下表：
[对应训练] 2．(2015·咸宁)古希腊数学家把数 1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规 律性．若把第一个三角数记为 a1，第二个三角数记为 a2…，第 n 个三角数记为 an，计算 a1＋ a2，a2＋a3，a3＋a4，…由此推算 a399＋a400＝__1.6×105 或 160_000__．
1．(2015·德州)一组数 1，1，2，x，5，y…满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的 两个数之和”，那么这组数中 y 表示的数为( A )
A．8 B．9 C．13 D．15 2．(2015·河南)如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为 1 个单位长度的半圆 O1，O2，

14.观察下面式子的规律：
1×1 2＋2×1 3＋3×1 4＋4×1 5 ＝1－12＋12－13＋13－14＋14－15 ＝1－15 ＝45. 请用上述式子反映出的规律解决下列问题：
(1)请直
接2 写01出 9 1×1 2＋2×1 3＋3×1 4＋
4×1 5＋
…＋2
1 019× 2
020的
值为__2_0_2_0___；
11．【2020·泉州模拟·4 分】一种商品每件成本价是 a 元，按成本 价增加 20%定价出售，后由于库存积压，又按定价的 90%出 售，则该商品现在的售价是每件___1_.0_8_a__元．
12．如图是由一些点组成的图形，按此规律，第 5 个图形中点的 个数为__2_7_____；第 n 个图形中点的个数为___n_2_＋__2_．
A．0 B．1 C．2 D．3
8．【2020·福州模拟·4 分】单项式－4×103a4b3 的次数是____7____．
9．已知 a＋b＝3，ab＝2, 代数式 a3b＋2a2b2＋ab3 的值是___1_8____．
10．已知 a2＋a＝4，则代数式 a(2a＋1)－(a＋2)(a－2)的值是 ____8____． 【点拨】原式＝2a2＋a－(a2－4) ＝2a2＋a－a2＋4＝a2＋a＋4， 当 a2＋a＝4 时，原式＝4＋4＝8.
＝(x2－9)(x2＋9) ＝(x2)2－92 ＝x4－81.
( 拓 展 ) 计 算 (2 ＋ 1)(22 ＋ 1)(24 ＋ 1)(28 ＋ 1)…(232 ＋ 1) 的 结 果 为 __2_6_4_－__1_．
(2)比较两图中阴影部分的面积，可以得到乘法公式： (_a_＋__b_)_(a_－__b_)_＝__a_2_－__b_2 (用含字母 a，b 的式子表示)．

∴a2+b2=5,ab=-2,
∴a2+b2-ab=5-(-2)=7.
17.如图3-4,根据正方形ABCD的面积,可
以说明下列哪个等式成立 ( )
A.(a-b)2=a2-2ab+b2
B.(a+b)2=a2+2ab+b2
C.(a+b)(a-b)=a2-b2
D.a(a-b)=a2-ab
图3-4
[答案] B [解析]从整体计算正方形ABCD的面 积:(a+b)2, 从局部计算正方形ABCD的面积: a2+ab+ab+b2, ∴(a+b)2=a2+2ab+b2,故选B.
(×) (×)
(2)a·a3=2a3; ( × ) (4)a5÷a2=a3; ( √ ) (6)(a+b)(a-b)=a2-b2; ( √ ) (8)(a+b)2=a2+ab+b2; ( × ) (10)(x+1)(3x-2)=3x2-x+2. ( × )
9.[2019·福建名校联合模拟]下列运算正确 [答案] A
多项式中,每个单项式叫做 项
多项式的项
【温馨提示】 字母x的次数是1而不是0;单项式xy的次数是2;单项式的系数包括 它前面的符号,如-2xy的系数是-2.单独一个非零数可以看作0次单项式.
考点三 同类项、合并同类项 1.同类项:所含字母⑥ 相同 ,并且相同字母的指数也⑦ 相同 的项叫做同 类项.几个常数项也是同类项. 2.合并同类项:合并同类项后,所得项的系数是合并前各同类项的系数的和,且字 母连同它的指数不变.
考向一 列代数式
1.[2019·南充]原价为a元的书包,现按8

3a2
.
6.(2023凉山)已知y2-my+1是完全平方式,则m的值是
±2
.
7.(2023凉山)已知x2-2x-1=0,则3x3-10x2+5x+2 027的值等于 2 023 .
8.因式分解:
(1)(2022自贡)m2+m= m(m+1) ;
(2)(2023德阳)ax2-4ay2= a(x+2y)(x-2y) .
ma+mb+mc
ma+mb+na+nb
乘法
公式
常用
公式
变形
平方差
公式
(a+b)(a-b)=
完全平
方公式
(a±b)2=
a2-b2
a2±2ab+b2
(a+b)2-2ab = (a-b)2+2ab
(2)(a-b)2= (a+b)2 -4ab
(1)a2+b2=
因式分解(常考点)
1.概念
积 的形式,像这样的式子变形叫做
A.2ab-2a=b
B.a2·a3=a6
C.3a2b÷a=3a
D.(a+2)(2-a)=4-a2
整式的运算
2
[例 5] (2023 凉山)先化简,再求值:(2x+y) -(2x+y)(2x-y)-2y(x+y),其

中 x=( )
2 023
,y=2

2 022
.
2
解:(2x+y) -(2x+y)(2x-y)-2y(x+y)
这个多项式的因式分解,因式分解与 整式乘法 是方向相反的变形.

7
易错警示 1.同底数幂的乘法易与合并同类项混淆,也易与幂 的乘方混淆. 2.同底数幂的除法与同底数幂的乘法互为逆运算.
12/9/2021
考点三 整式的混合运算
中考解题指导 整式的加减就是去括号并合并同类项.去括号时 注意两点:一是括号前面的符号;二是括号外面的数要乘括号内的 每一项.
例3 计算:3a3·a2-2a7÷a2= a5 .
A.-6
B.6
C.18
D.30
B)
解析 3(x-2)2-6(x+1)(x -1)=-3(x2+4x)+18, 由x2+4x-4=0得x2+4x=4,
所以原式=-3×4+18=6,故选B.
12/9/2021
二、填空题
6.(2017临沂)若xa=3,xb=8,则xa +b= 24 . 解析 ∵xa=3,xb=8,∴xa +b=xa·xb=3×8=24. 7.若m =2n+1,则m2-4mn +4n2的值是 1 . 解析 ∵m =2n+1,即m - 2n=1, ∴原式=(m -2n)2=1.
别相乘,作为积的因式,对于只在一个单项式里含有的字母,则连
同它的指数作为积的一个因式;
12/9/2021
b.单项式乘多项式:用符号表示为m(a+b+c)=am+bm+cm;
c.多项式乘多项式:用符号表示为(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.
(3)乘法公式
a.平方差公式:(a+b)(a-b)=
解析 9x3-18x2+9x=9x(x2-2x+1)=9x(x -1)2.

知识点4:二次根式的计算
1.二次根式的加减: 二次根式相加减,先把各个二次根式化成
合并. 2.二次根式的乘法:
最简二次根式 ,再把 同类二次根式 分别
3.二次根式的除法:
【注意】二次根式运算的结果可以是数或整式,也可以是最简二次根式,如果 二次根式的运算结果不是最简二次根式,必须化为最简二次根式.
知识点2:整式的相关概念
1.整式
单项式:只是数字与字母的_积___的代数式叫做单项 式.单独一个数字 或字母也是单项式.
多项式:几个单项式的__和___叫做多项式.
2.单项式中的 数字因数 叫做这个单项式的系数;所有字母的指数 和 叫做单
项式的次数. 3.组成多项式的各个单项式中 次数最高的项的次数 叫做多项式的次数. 4.同类项:多项式中所含 字母 相同并且 相同字母的指数 也相同的项,叫做同
5.初中所涉及的三个非负数:|a|, a2, (a≥0).若几个非负数的和为0,则时为0.例
如:若|a|+ b2 + =0,则a=b=c=0.
有理数、无理数的概念及实数的分类
(2019·毕节)实数3 27 ,0,-π, 16 ,( 2 )0,sin45°,0.101 001 000 1…(相 邻两个1之间依次多一个0),其中无理数有 个.
1.数轴比较法:数轴上的两个数, 右 边的数总比 左 边的数大. 2.性质比较法:正数>0>负数. 3.绝对值比较法:a<0,b<0,若|a|>|b|,则a < b. 4.根式比较法:a>b≥0⇔ 5.差值法比较:(1)a-b>0⇔a>b; (2)a-b<0⇔a<b; (3)a-b=0⇔a=b. 6.求商法比较:若b>0,则(1) >1⇔a>b; (2) <1⇔a<b; (3) =1⇔a=b.

(3)第3个等式:(x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1;…
按照以上规律,解决下列问题:
(1)写出第4个等式:(x-1)(x4+x3+x2+x+1)=
x5-1
;
(2)写出你猜想的第n个等式:(x-1)(xn+xn-1+…+x+1)= xn+1-1 ;
(3)请利用上述规律,确定22019+22018+…+2+1的个位数字是多少.
A.-6
B.6
C.-2或6
D.-2或30
( B )
4. [2019·重庆A卷]按如图2-2所示的运算程序,能
[答案] D
使输出y值为1的是(
[解析]
)
A.m=1,n=1
B.m=1,n=0
A.∵m=1,n=1,∴y=2m+1=3;
C.m=1,n=2
D.m=2,n=1
B.∵m=1,n=0,∴y=2n-1=-1;
(
)
A.-x2+4x=-x(x+4)
B.x2+xy+x=x(x+y+1),故此选项错误;
B.x2+xy+x=x(x+y)
C.x(x-y)+y(y-x)=(x-y)2,故此选项正确;
C.x(x-y)+y(y-x)=(x-y)2
D.x2-4x+4=(x-2)2,故此选项错误.
D.x2-4x+4=(x+2)(x-2)
整式的乘法
单项式与多项式相乘
m(a+b+c)=⑩ ma+mb+mc

【解析】由已知可得：根据第一列的奇数行的数的规律是 第几行就是那个数的平方，第一行的偶数列的数的规律， 与奇数行规律相同，∵45×45＝2025，2025在第45行，向 右依次减小，故2017所在的位置是第45行，第9列，即2017 对应的有序数对为(45，9)．
练习3
一列数a1，a2，a3，…满足条件：a1=
__a_m_－__n _(a≠0） 幂的乘方,底数不变,指数相乘，(am)n= 14__a_m_n _ 积的乘方,先给每一个因式分别乘方，再把所得 的幂相乘，(ab)n= 15 _a_n_b_n
乘法 运算
单项式乘以单项式：把它们的系数、同底数幂分别 相乘，其余字母同它的指数不变，作为积的因 式，如:ma2·ab2=16 __m_a_3_b2 单项式乘以多项式：用单项式去乘多项式的每一项 再把所得的积相加,如:m(a+b+c)= 17 _m_a_＋__m__b_＋__m_c__ 多项式乘以多项式：先用一个多项式的每一项乘另 一个多项式的每一项，再把所得的积相加， 如:(m+n)(a+b)= 18 _m_a_＋__m__b_＋__n_a_＋__n_b
∵原式要化为三次二项式，
∴令2a－b＝0，2a－1＝0，
解得a＝
1 2
，b＝1，
即当a＝
1 2
，b＝1时，整式x3＋2a(x2＋xy)－bx2－xy＋y2能
化简成一个三次二项式．
二 、数式规律探索
例 将自然数按以下规律排列：
第一列 第二列 第三列 第四列 第五列
第一行 1
4
5
16
17 …
第二行 2
练习2 是否存在实数a、b，使得整式 x3+2a(x2+xy)-bx2 _xy+y2能化简成一个三次二项式，若存在，请求出满足条

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3．整式(zhěnɡ shì)的乘法
单项式相乘，把它们的系数相乘，字母部分的 单项式与单项 同底数幂分别相乘．对于只在一个单项式中含
式相乘 有的字母，连同它的指数作为积的一个因 式．如：2ab·3a2＝⑭ 6a3b
单项式与多项 先将单项式分别乘多项式的各项，再把所得的 式相乘 积相加．如：m(a＋b)＝⑮ ma＋mb
A．a2－1
B．a2＋a C．a2＋a－2 D．(a＋2)2－2(a＋2)＋1
9．C ∵a2－1＝(a＋1)(a－1)，a2＋a＝a(a＋1)，a2＋a－2＝(a＋2)(a －1)，(a＋2)2－2(a＋2)＋1＝(a＋2－1)2＝(a＋1)2，∴结果(jiē guǒ)中不含 2021有/12因/9 式a＋1的是选项C.
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得分要领►解决此类问题时应先观察图案的变化趋势，然后 从第一个图形进行分析(fēnxī)，运用从特殊到一般的探索方式 ，分析(fēnxī)归纳找出黑白正方形个数增加的变化规律，最后 用含有n的代数式进行表示．
2021/12/9
第十八页，共二十四页。
命题(mìng tí)点2 幂的运算
多项式与多项 式相乘
先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式 的每一项，再把所得的积相加．如：(m＋n)(a＋ b)＝⑯ ma＋mb＋na＋nb
乘法公式
平方差公式：(a＋b)(a－b)＝⑰ a2－b2 ； 完全平方公式：(a±b)2＝⑱ a2±2ab＋b2
2021/12/9
第六页，共二十四页。
考点(kǎo diǎn)4 因式分解 6年6考
(3)因式分解与整式乘法是两种互逆的变形过程，而不是互逆的运算．
(4)因式分解的一般步骤：一“提”，二“套”，三“检查”．