2016年秋季新版湘教版八年级数学上学期3.1、平方根教案1

课题：3.1.1平方根（一）学习目标1、理解平方根及算术平方根的概念。

2、会运用平方根的性质。

学习重点：会求一个数的平方根及算术平方根。

学习难点：平方根的性质。

学习过程：一、知识回顾（出示ppt 课件）1.我们已学过了有理数的加法、减法、乘法、除法、乘方这五种运算。

它们有什么联系？加法与减法互为逆运算；乘法与除法互为逆运算； 2.乘方运算的意义。

那么乘方与谁互为逆运算呢？本章我们就来学习研究这个问题。

二、探究学习（出示ppt 课件） 1、平方根及算术平方根的概念（1）问题讨论：①、一张边长是3分米的方桌面，它的面积是多少？这个问题实际上就是求：32=？ 这是已知底数和指数，求幂的运算（乘方）反过来，要做一张面积是9平方分米的方桌面，它的边长是多少分米？ 实际上就是要求出一个数，使它的平方等于9，即：( ) 2=9显然，括号里应是±3，但-3不符题意。

∴方桌面的边长应是3分米。

②、某家庭在装修儿童房时需铺地垫10.8平方米，刚好用去正方形的地垫30块．你能算出每块地垫的边长是多少吗？每块正方形地垫的面积是10.8÷30=0.36（平方米）求地垫的边长就是求 ( ) 2=0.36即 边长×边长=0.36.由于 0.62 = 0.36， (-0.6) 2=0.36因此面积为0.36平方米的正方形地垫的边长是0.6米．（2）概括归纳，得出概念：在实际问题中，有时要找一个数，使它的平方等于给定的数.由此我们抽象出下述概念：如果有一个数r ，使得r 2=a ，我们把r 叫作a 的一个平方根，也叫作二次方根. 若 r 2= a ，则 r 是 a 的一个平方根.例如，22=4，则2是4的一个平方根（3）说一说：分别说出9，16，25，49 的一个平方根是多少？（4）探究交流：平方根的性质：4的平方根除了2之外，还有别的数吗？ a m =N底数 指数幂 9平方分米 ？由于(-2) 2=4，因此-2也是4的一个平方根.除了2 和-2之外，4的平方根还有别的数吗？比2大的数有可能是4的平方根吗？容易说明：边长大于2的正方形， 它的面积一定大于4，因此，比2大的数都不是4的平方根.同理：比2小的数有可能是4的平方根吗？ 显然0不是4的平方根.因此，4的平方根有且只有两个：2与-2.如果r 是正数a 的一个平方根，那么a 的平方根有且只有两个：r 与-r .（5）算术平方根的概念：我们把正数a 的正平方根叫作a 的算术平方根，记作a ，读作“根号a ”； 把正数a 的负平方根记作-a ，读作“负根号a ”.这样正数a 的平方根可以用符号“a ± ”来表示. 读作“正、负根号a ” . 由于02=0，而非零数的平方不等于0，因此零的平方根就是0， 我们把0的平方根也叫作0的算术平方根，记作0，即0=0 . 由于同号两数相乘得正数，且02=0，因此负数没有平方根.求一个非负数的平方根，叫作开平方.开平方与平方互为逆运算，根据这种关系，可以求一个数的平方根.三、应用举例（出示ppt 课件）例1 分别求出下列各数的平方根：36，259，1.21. 例2 分别求出下列各数的算术平方根：100，1625，0.49. 注意：看清题目要求，是求平方根还是求算术平方根。

3.1.1 平方根和算数平方根（1）教学目标：1、了解平方根的概念，会用根号表示平方根。

2、了解开方与乘方互逆运算，会用求某些非负数的平方根。

3、发展学生的符号语言。

教学重点难点： 了解开方与乘方互为逆运算，能熟练地用平方根求某些非负数的平方根教学方法：观察、比较、合作、交流、探索.教学过程（二）探索规律，揭示新知问题一：认真观察下面的式子，积极思考，互相讨论：请你举例与上面的式子类同的式子；你得到什么结论？（分小组讨论，老师适当参与给予帮助。

）如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做的a 平方根(square root),也称为二次方根。

如果a x =2，那么x 就叫做a 的平方根。

设计说明：所选的题目都具有代表性，学生通过做题后思考讨论交流，能够较好接受平方.25.0)5.0(,25.05.0,91)31(,91)31(,4)2(,42222222=-==-==-=根的概念 问题二：在下列各括号中能填写适当的数使等式成立吗？如果能够，请填写；如果不能，请说明理由，并与同学交流。

结论：一个正数的平方根有2个，它们互为相反数。

一个正数a 的正的平方根，记作“a ”，正数a 的负的平方根记作“a -”。

这两个平方根合起来记作“a ±”，读作“正，负根号a ”.设计说明：通过对具体的数的平方根的讨论交流，使学生自己总结出正数、0、负数的平方根的情况，让学生经历探索规律的过程，加深对规律的理解问题三：从问题二中，你得到了什么结论？设计说明：在讨论的过程中，不同层次的学生可能会遇到不同的困难，我们教师要给与适当的帮助，要给与鼓励（三）尝试反馈，领悟新知例1 求下列各数的平方根： 25；（2）8116（3）15；（4）()22-。

分析：1、判断这些数是否都有平方根；2、根据规律各个数的平方根有几个？设计说明：在处理例题时要让学生充分参与分析，在运算时特别要注意一个正数的平方根有两个，对解题方式有提醒按要求练习题一：完成书本4页练习。

平方根的教学设计（湘教版）【引言】平方根是数学中重要且常见的概念，它在日常生活和科学研究中都有广泛的应用。

为了帮助学生更好地理解和掌握平方根的概念和运算，本文将从以下几个方面进行教学设计：引入平方根的概念、平方根的计算方法、平方根的性质和使用平方根解决问题的应用等。

【一、引入平方根的概念】1. 目标：引起学生对平方根的兴趣，了解平方根的基本概念。

2. 教学活动：a. 引导学生思考：你们知道什么是平方根吗？平方根与平方有什么关系？b. 教师讲解：平方根是一个数的平方等于它的算术平均数的概念。

例如，√9 = 3，因为3的平方等于9。

c. 教师演示：通过数值和图形的展示，让学生更直观地理解平方根的概念。

d. 学生活动：分组讨论和分享自己对平方根的理解，提出问题和疑惑。

【二、平方根的计算方法】1. 目标：掌握平方根的计算方法，培养学生的计算能力和思维能力。

2. 教学活动：a. 教师示范：以√16的计算为例，介绍开平方根的方法。

b. 教师讲解：阐述平方根的计算规则，如指数的分配律和乘法性质等。

c. 学生练习：设计一些逐步难度递增的练习题，让学生通过实践巩固和提高自己的计算能力。

【三、平方根的性质】1. 目标：了解平方根的性质，掌握平方根运算的基本规则。

2. 教学活动：a. 教师讲解：介绍平方根的基本性质，如非负数的平方根是唯一的、平方根的运算法则等。

b. 学生探究：引导学生通过自主学习和探索，发现并总结平方根性质的规律。

c. 学生讨论：让学生在小组内讨论并分享自己的发现，用归纳法总结平方根性质的规律。

【四、应用平方根解决问题】1. 目标：培养学生运用平方根解决实际问题的能力。

2. 教学活动：a. 教师引导：提供一些实际问题，如测量边长为10cm的正方形的对角线长度，让学生思考如何应用平方根解决。

b. 学生讨论：学生在小组内共同讨论，并通过平方根运算得出答案。

c. 学生展示：学生向全班展示他们解决问题的思路和方法，并讨论不同方法的异同。

湘教版数学八年级上册3.1《平方根和算术平方根》教学设计一. 教材分析《平方根和算术平方根》是湘教版数学八年级上册3.1的内容，本节课主要让学生理解平方根和算术平方根的概念，掌握求一个数的平方根和算术平方根的方法，以及了解平方根和算术平方根在实际问题中的应用。

教材通过引例、探究、应用等形式，让学生在自主学习、合作交流的过程中，掌握知识，提高能力。

二. 学情分析学生在七年级已经学习了有理数、实数等基础知识，对负数、正数、零等概念有一定的了解。

但在实际问题中，运用平方根和算术平方根解决问题的能力还较弱。

因此，在教学过程中，要注重引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生的应用能力。

三. 教学目标1.知识与技能：理解平方根和算术平方根的概念，掌握求一个数的平方根和算术平方根的方法。

2.过程与方法：通过自主学习、合作交流，培养学生的探究能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队协作精神。

四. 教学重难点1.重点：平方根和算术平方根的概念及其求法。

2.难点：平方根和算术平方根在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.启发式教学：引导学生主动探究，发现知识规律。

2.合作学习：培养学生团队协作，共同解决问题。

3.实例分析：结合实际问题，提高学生的应用能力。

六. 教学准备1.教学PPT：制作含有动画、图片等多媒体素材的PPT。

2.学习素材：为学生准备相关的练习题和实际问题。

3.教学工具：黑板、粉笔、投影仪等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一个实际问题：一个正方形的边长是a，求这个正方形的面积。

引导学生思考如何求解这个问题，从而引出平方根的概念。

2.呈现（10分钟）介绍平方根的定义：如果一个数x的平方等于a，即x²=a，那么这个数x就叫做a的平方根，记作√a。

讲解平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

3.操练（10分钟）让学生独立完成一些求平方根的练习题，教师巡回指导，解答学生疑问。

3.1 平方根教学目标：1知识与技能（1）.理解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根.（2）.了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根.（3）.了解算术平方根的性质.2过程与方法（1）.通过概念形成过程的教学，提高学生的思维水平.（2）通过学生进行探索和交流，培养创新意识和合作精神.3情感、态度与价值观（1）让学生积极参与教学活动，培养他们对数学的好奇心和求知欲.(2).训练学生动脑、动口、动手能力.教学重点：理解算术平方根的概念、性质，会用根号表示一个正数的算术平方根.教学难点：理解算术平方根的概念、性质.教学过程：一、复习提问，夯实基础•我们学过哪几种运算？哪些运算时互逆的？我们学过加法、减法、乘法、除法、乘方运算，其中加法和减法、乘法和除法是互逆的。

•a3-30.1-0.113-13a2二、创设情境，导入新课动脑筋：（1）李老师家装修厨房，铺地砖10.8平方米，用去正方形的地砖120块，你能算出所用地砖的边长是多少米吗？动脑筋：（1）李老师家装修厨房，铺地砖10.8平方米，用去正方形的地砖120块，你能算出所用地砖的边长是多少米吗？【解】：每块地砖的面积是：10.8÷120=0.09(平方米)，因为，所以，地砖的边长是0.3米。

在实际问题中我们常常遇到，要找一个数，使它的平方等于给定的数，由此我们抽象出平方根的概念。

【解】：每块地砖的面积是：10.8÷120=0.09(平方米)，因为，所以，地砖的边长是0.3米。

在实际问题中我们常常遇到，要找一个数，使它的平方等于给定的数，由此我们抽象出平方根的概念。

三、合作交流，探究新知1 .平方根的定义如果有一个数r，使得，那么我们把这个数r叫作a的一个平方根。

如：22=4,2叫4的一个平方根。

尝试练习：你能说出下列各数的一个平方根吗？9,16,25,49，0.04，64，81，2．平方根的性质和表示方法探究：（1）.４的平方根除了２以外，还有别的数吗？边长大于２的正方形，它的面积一定大于４,因此，比２大的数都不是４的平方根.同样的道理，边长小于２的正方形，它的面积一定小于４，因此，比２小的正数都不是４的平方根．由于（－ｂ）²＝ｂ²，因此由上述可知，－２以外的负数都不是４的平方根．显然０不是４的平方根．因此，４的平方根有且只有两个：２与－２．归纳：如果数r是正数a的一个平方根，那么a的平方根有且只有两个：r与-r,我们把a的正的平方根叫a的算术平方根，记作：，读作：“根号a”，把a的负平方根记作：-（2）0有平方根吗？如果有又等于多少？由于０2＝０，而非零数的平方不等于０，因此零的平方根就是0 本身.我们把０的平方根也叫作0 的算术平方根，记作，即•负数有没有平方根？为什么？由于同号两数相乘得正数，且０２＝０，因此负数没有平方根归纳平方根的性质：•正数的平方根有两个，且是一对互为相反数②零的平方根是零，③负数没有平方根。

新湘教版八年级数学上册导学案：3.1.2平方根（1）【学习目标】1、了解平方根的概念，会用根号表示数的平方根与算术平方根.2、了解开平方与平方互为逆运算，会用平方根的概念求某些非负数的平方根.【情境导入】某家庭在装修儿童房时需铺地垫10.8平方米，刚好用去正方形的地垫30块，你能计算出每块地垫的边长是多少吗？【带问自学】1.情景问题: 每块地垫的面积是 ，我们都知道 2 =0.36，因此面积为0.36平 方米的正方形，它的边长是 米.2.平方根: 如果有一个数r,使得r 2=a, 那么 是 的一个平方根.也叫作 例如: 2 =4,因此, 是4的一个平方根4 的平方根有且只有两个：2与-22 =4,因此, 是4的一个平方根练习: 2 =16,因此, 是 的一个平方根的平方根有两个：2 =16,因此, 是 的一个平方根类似的：如果r 是正数a 的一个平方根，那么a 的平方根有且只有两个： r 与- r.“正数a 的平方根”的表示方法: 读作“4的平方根是2与-2” 表示为:“ ”表示为: 416±=±3.算术平方根 a (a 的正平方根叫作 ,读作 )正数a 的平方根:a ±a -(a 的负平方根读作 ) 【交流质疑】说一说:0的平方根、算术平方根是多少？负数有平方根吗？你能总结正数、0、负数的平方根和算术平 方根的特点吗？求一个非负数的平方根的运算，叫作 。

【典例精析】例1 、求下列各数的算术平方根：（1）100 （2）6449 （3）0.000 1例2、 求下列各数的平方根：（l ）9 （2）0.36 （3）41 （4）971 ※【综合提升】1、若216x =，求5x -的值.2、 一个正数的平方根为3x +与26x -，求这个正数.3、 已知２a-1的平方根是±３，３a+b-1的平方根为±４，求a+2b 的平方根。

4、那一个正方形的面积变为原来的n 倍时，它的边长变为原来的多少倍？5、如果-b 是a 的平方根，那么（ ）A 、 2a b =；B 、2b a = ；C 、2a b -=；D 、2b a -=。

平方根和算术平方根一、学习目标1.了解平方根及算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根;2.会求非负数的平方根与算术平方根．学习重点：求某些非负数的平方根与算术平方根学习难点：非负数的平方根与算术平方根的区别与计算方法二、合作探究：1.平方根的定义，如果有一个数r，使得r2= a，我们把r叫做_______________，也叫做a的二次方根.由于2²=4，因此是______的一个平方根。

由于（-2）²=4，因此，_____是______的一个平方根。

2.平方根的性质：（1）分别说出9，36，49的平方根各是多少？（2）0的平方根是多少？（3）-4，-9，-25有平方根吗？分组讨论：由以上三组练习，你发现了平方根的什么性质？写出你的结论.结论：。

3．算术平方根的概念：正数的叫作a的算术平方根。

4、平方根的表示方法：正数a的平方根用符号“__________”来表示，读作“__________”，a的算术平方根记作“__________”，读作“__________”，把a的负平方根记作“__________”，读作“__________”。

思考：a表示a的算术平方根，则a_____0，a____0.5、开平方的定义：______________________________，叫作开平方平方与开平方的关系：_____________________________________________。

三、基础演练求下列各数的平方根： 64 81496.25求下列各数的算术平方根： 81 64250.16判断下列说法是否正确：（1）75是4925的一个平方根。

（） （2）6是6的算术平方根。

（） （3）16的值是±4。

（ ）（4）（-4）²的平方根是-4。

（）巩固提升：4、求下列的值：49± -09.09165、判断下列说法是否正确：（1）25的平方根是±5； （ ）（2）-5是 25的一个平方根； （ ）（3）-9的算术平方根是3； （ ）（4）0没有算术平方根； （ ）（5）416±=； （ ）6、已知2x -1与2-x 是一个数的两个平方根，求这个数.。

3．1 平方根第1课时 平方根和算术平方根1．理解平方根、算术平方根的概念，会表示一个数的平方根、算术平方根；2．会求一个非负数的平方根、算术平方根．(重点，难点)一、情境导入为了美化校园，学校打算建一个面积为225平方米的正方形植物园，这个正方形的边长应取多少？你能计算出来吗？二、合作探究探究点一：平方根【类型一】 求一个数的平方根求下列各数的平方根．(1)16; (2)925； (3)179； (4)(－2.1)2. 解析：根据平方根的性质知道，一个正数有两个平方根，它们是互为相反数．所以只要找出一个数，使得它的平方等于这个数．解：(1)由于42＝16，因此16的平方根是4与－4，即±16＝±4； (2)由于(35)2＝925，因此925的平方根是35与－35，即±925＝±35； (3)179＝169，由于(43)2＝169，因此179的平方根是43与－43，即±179＝±43； (4)(－2.1)2＝2.12.因此(－2.1)2的平方根是2.1与－2.1，即±（－2.1）2＝±2.1.方法总结：求一个非负数的平方根，只要找出一个非负数，使得它的平方等于这个数，那么找出的那个非负数，连同它的相反数，就是所求的平方根．【类型二】 利用平方根的意义求字母的值已知一个正数的两个平方根分别是2a －2和a －4，则a 的值是________．解析：∵一个正数的两个平方根分别是2a －2和a －4，∴2a －2＋a －4＝0，解得a ＝2.故答案为2.方法总结：本题考查了平方根的概念．一个正数有两个平方根，它们是互为相反数，两个数互为相反数，它们的和为0.探究点二：算术平方根【类型一】 求一个数的算术平方根求下列各数的算术平方根．(1)1.69; (2)1916； (3)(－5)2; (4)0.解析：根据算术平方根的定义，求算术平方根时，只取非负的平方根即可．解：(1)由于1.32＝1.69，因此 1.69＝1.3；(2)由于1916＝2516，(54)2＝2516，因此1916＝54； (3)由于(－5)2＝52，因此（－5）2＝5； (4)由于02＝0，因此0＝0. 方法总结：求一个数的算术平方根的一般步骤：①找出一个非负数，使得它的平方等于这个数；②写成这个数的算术平方根等于这个非负数的形式．【类型二】 求含根号式子的值求下列各式的值．(1)±49； (2)－16； (3)49； (4)（－9）2. 解析：(1)±49表示49的平方根，所以结果为±7；(2)－16表示16的算术平方根的相反数，所以结果为－4；(3)49表示49的算术平方根，所以结果为23；(4)因为（－9）2＝81，而81的算术平方根为9，所以结果为9. 解：(1)±49＝±7； (2)－16＝－4；(3)49＝23； (4)（－9）2＝81＝9.方法总结：理解各个式子表示的意义是解题的关键：±a 表示a 的平方根；a 表示a的算术平方根；－a 表示a 的算术平方根的相反数．也就是说：只要题目中的式子有意义，结果的符号与式子前面的符号相同．探究点三：算术平方根的非负性已知a 、b 满足|a －2|＋b －3＝0，求a b的值．解析：由绝对值的意义知：|a －2|≥0；由算术平方根的意义知：b －3≥0，所以a －2＝0，b －3＝0.于是可以求得a 、b 的值，再代入a b 计算即可． 解：因为|a －2|＋b －3＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2＝0b －3＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3. 所以a b ＝23＝8.方法总结：几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0.三、板书设计本节课的教学中，通过实例引入平方根的概念，并让学生感悟“负数为什么没有平方根”．引导学生归纳出正数、0、负数的平方根的情况．通过练习进一步理解平方根、算术平方根的概念．本节课易错点是在表示平方根与算术平方根时学生容易混淆；式子表示与语言叙述相结合的题往往只看到一个方面，如“81的算术平方根是________．”学生会误填“9”．。

初中数学湘教版八年级上册第三单元第1课《平方根》优质课教案省级比赛获奖教案公开课教师面试试讲教案
【名师授课教案】
1教学目标
1、掌握平方根以及算术平方根的概念,理解平方根与平方的关系。

2、掌握平方根以及算术平方根的表示方法。

3、能够准确求出简单的开方开得尽的数的平方根以及算术平方根。

4、通过学习培养学生的逆向思维能力。

2学情分析
本节课之前学生已经学习了有理数的相关知识,但是对于接下来的四边形的学习,二次方程的求解,函数的学习等等,这些知识很明显是不够的,所以通过这节课的学习慢慢引入无理数的相关知识,为后边的学习打基础,这节课的承上启下的作用非常明显,要想学好本节知识,先要掌握乘方的有关知识。

3重点难点
重点:对平方根、算术平方根的概念的理解。

难点:弄清平方根与平方的关系。

4教学过程
教学活动
1【导入】复习
问题:我们学习过了哪些运算?这些运算具有怎样的关系?请你举例说明。

2【导入】问题导入
问题:1、’已知一个正方形的场地,它的边长为3米,请问它的面积是多少?
2、学校准备举行一次歌唱比赛,要求修建一个正方形的台子,为了能够满足演员演唱的需要,演唱台的面积至少需要16平方米,则如何设计?
3【讲授】概念讲解。

新版湘教版秋八年级数学上册第三章实数课题平方根算术平方根教学设计一. 教材分析湘教版秋八年级数学上册第三章实数课题平方根算术平方根是本章的重要内容。

本节内容通过介绍平方根和算术平方根的概念，使学生理解平方根的性质和运算规律，为学生进一步学习二次根式打下基础。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了有理数的乘方运算，对实数的概念有一定的理解。

但学生对平方根和算术平方根的概念可能存在一定的困惑，因此，在教学过程中，需要通过实例和讲解，使学生清晰地理解这两个概念。

三. 教学目标1.了解平方根和算术平方根的概念，掌握它们的性质和运算规律。

2.能够运用平方根和算术平方根解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.平方根和算术平方根的概念。

2.平方根和算术平方根的性质和运算规律。

五. 教学方法采用问题驱动法、实例教学法、小组合作学习法。

通过问题引导，让学生思考和探索，通过实例讲解，使学生理解和掌握概念，通过小组合作学习，培养学生的团队协作能力。

六. 教学准备1.教学课件或黑板。

2.教学实例和习题。

七. 教学过程导入（5分钟）通过一个实际问题引导学生思考：“一块长方形的土地，面积为9平方米，它的长和宽分别是多少？”让学生尝试用乘方运算来解决这个问题，从而引出平方根的概念。

呈现（10分钟）1.平方根的定义：一个数的平方根是另一个数，使得这个数的平方等于另一个数。

2.算术平方根的定义：一个非负数的算术平方根是另一个非负数，使得这个数的平方等于另一个数。

通过实例和讲解，让学生理解平方根和算术平方根的概念。

操练（10分钟）让学生独立完成一些关于平方根和算术平方根的运算题目，如：求9的平方根、求16的算术平方根等。

教师在旁边进行指导和解答疑问。

巩固（10分钟）让学生分组讨论，找出平方根和算术平方根的性质和运算规律，并选取小组代表进行汇报。

教师进行点评和补充。

拓展（10分钟）让学生运用平方根和算术平方根的知识解决实际问题，如：求一个数的平方根、判断一个数是否为完全平方数等。

新湘教版八年级数学上册导学案：3.1《平方根(2)》学习目标1、理解无理数的概念。

2、会区别无理数和有理数。

学习重点：理解无理数的概念。

学习难点：会区别无理数和有理数。

学习过程【学生活动】探究:如何作出面积是8 2cm 正方形？1、无理数的概念【学生活动】回答下面问题。

面积为8 2cm 的正方形，它的边长是多少呢？是整数吗？你能给无理数一个定义吗？【同步练习】1. 面积为102m 的正方形的边长是（ ） （A ）整数 （B ）分数 （C ）有理数 （D ）无理数2. 若24a =，则a 有理数；若25a =，则a 无理数（填“是”或“不是”）2、有理数和无理数的概念及辨别讨论：有理数的范围是哪些？无理数以哪些形式表现？【同步练习】1.下列说法正确的有（ ） （A ）无限小数一定是无理数 （B ）无理数一定是无限小数（C ）带根号的数一定是无理数 （D ）不带根号的数一定是有理数2. 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ .25,3.14,3,1.732,0.3,18,,0.585885888......36π----小结1.无理数是 小数，2. 统称为有理数。

【方法归纳】1.注意无理数的几种表现形式。

2.特别是不要把无限小数当做是无理数。

课堂练习一、选择题1. 下列说法正确的是（ ）（A ）有理数都是有限小数 （B ）2π-是无理数 （C ）不循环小数是无理数 （D ）有理数是整数，无理数是分数2. 面积为3的正方形的边长的整数部分是（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）43. 下列说法错误的是( )A ．无理数没有平方根；B ．一个正数有两个平方根；C ．0的平方根是0；D ．任何一个分数都是有理数，因为将分数化为小数后要么是有限小数，要么是无限小数如227一定为有理数． 4. -53、-2、3、-2π四个数中,最大的数是( )A.-53B.-2C.3D.-2π二、填空题 1. 2-3的相反数是 ；绝对值是2. 化简(1)52- = ； (2)π-3= .3. 大于-17而11的所有整数的和4. 数轴上表示1，2的对应点分别是A 、B ，点B 关于点A 的对称点为C ，则C 点所表示的数为 .10a 和b 之间，10a b <<，那么a 、b 的值分别是三、解答题1．已知x 、y 为实数，且499+---=x x y ．求y x +的值．2. 将下列各数按从小到大的顺序重新排成一列：6.1,0,2,5,22-- π3. 已知正数a 和b ，有下列命题： （1）2=+b a ，1≤ab ；（2）3=+b a ，23≤ab ；（3）6=+b a ，3≤ab ； 根据以上三个命题所提供的规律猜想：若9=+b a ，≤ab .布置作业：。

湘教版数学八年级上册3.1《平方根和算术平方根》教学设计2一. 教材分析《平方根和算术平方根》是湘教版数学八年级上册3.1节的内容，本节课主要让学生理解平方根和算术平方根的概念，掌握求一个数的平方根和算术平方根的方法，并能运用其解决实际问题。

教材通过引入平方根和算术平方根的概念，让学生在学习过程中感受数学与现实生活的联系，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二. 学情分析学生在七年级时已经学习了有理数的乘方，对乘方的概念和性质有一定的了解。

但平方根和算术平方根的概念对学生来说较为抽象，需要通过具体例子和实际问题来帮助学生理解和掌握。

此外，学生对于数学语言的表述和逻辑推理能力还需加强，因此在教学过程中，要注意引导学生用数学语言表达问题，培养学生的逻辑推理能力。

三. 教学目标1.理解平方根和算术平方根的概念，掌握求一个数的平方根和算术平方根的方法。

2.能够运用平方根和算术平方根解决实际问题。

3.培养学生的逻辑推理能力和运用数学知识解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.重难点：平方根和算术平方根的概念及其应用。

2.难点：理解平方根和算术平方根的区别，以及如何求一个数的平方根和算术平方根。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。

2.利用多媒体辅助教学，通过动画和图片，帮助学生形象地理解平方根和算术平方根的概念。

3.采用小组合作学习，让学生在讨论和交流中，共同解决问题，培养学生的团队协作能力。

4.注重练习，让学生在实践中巩固所学知识，提高解题能力。

六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引入和巩固所学知识。

2.准备平方根和算术平方根的定义和性质的PPT，用于讲解和展示。

3.准备一些练习题，用于课堂练习和巩固。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的内容：一个正方形的边长是8cm，求它的面积。

让学生思考如何求解，从而引出平方根的概念。

第3章实数3．1平方根第1课时【教学目标】知识与技能1．了解平方根和算术平方根的概念；2．会算出一个非负数的平方根及算术平方根；3．了解平方与开平方是互逆运算．过程与方法通过学习平方根的概念，进一步建立数感和符号感，发展抽象思维．情感态度让学生体验到数学与生活息息相关，数学来源于生活又应用于生活，数学是有用的数学，是有价值的数学，所以要学好数学．教学重点理解开方与乘方是互逆运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根和平方根．教学难点了解平方根与算术平方根的区别与联系．【教学过程】一、情景导入，初步认知1．一个正方形桌面的边长是4m，求这个桌面的面积是多少平方米？2．已知一个正方形的面积是25cm2，求它的边长.3．如果一个正方形展厅的地面面积为55平方米，求它的边长．二、思考探究，获取新知1．动脑筋：某家庭在装修儿童房时需铺地垫10.8m2，刚好用去正方形的地垫30块，你能算出每块地垫的边长是多少吗？每块地垫的面积是：10．8÷30＝0.36m2即边长×边长＝0.36由于0.62＝0.36因此面积为0.36m2的正方形地垫的边长是0.6m.2．上面的问题实际上是：已知幂及乘方的指数求底数，这是什么运算？【归纳结论】如果一个数r，使得r2＝a，那么我们把r叫作a的一个平方根，也叫作二次方根．即：若r2＝a，则r是a的一个平方根．如，由于22＝4，因此2是4的一个平方根．3．探究：4的平方根除了2以外，还有其它的数吗？【归纳结论】如果r是正数a的一个平方根，那么a的平方根有且只有两个：r与－r.我们把正数a的正平方根叫作a的算术平方根，记作a，读作“根号a”；把a的负平方根记作－a ，读作“负根号a ”．这样正数a 的平方根可以用“±a ”来表示．例如： 2的平方根是“±2”．4．零的平方根是多少？负数有平方根吗？【归纳结论】 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方．5．一个数的平方根与算术平方根有什么区别和联系？【归纳结论】 平方根与算术平方根的联系与区别：联系：①包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种．②存在条件相同：只有非负数才有平方根和算术平方根．区别：①个数不同：一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根．②表示法不同：平方根表示为“± ”，而算术平方根表示为“ ”．三、运用新知，深化理解1．教材P 107例1、例2.2．下列五个命题：①只有正数才有平方根；②－2是4的平方根；③5的平方根是 5 ；④±3都是3的平方根；⑤(－2)2的平方根是－2；其中正确的命题是( D )A ．①②③B ．③④⑤C ．③④D ．②④3．若a 的算术平方根是3，则a ＝________．【答案】814．求下列各数的值： (1)±144 (2)±1214(3)0.062 5 (4)（－0.1）2(5)－42 (6)132－122【答案】(1)±12；(2)±72；(3)0.25；(4)0.1；(5)－4；(6)5. 四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．第2课时【教学目标】知识与技能1．通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性. 2.探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想.3.能判断给出的数是否为无理数，并能说出理由.过程与方法让学生亲自动手做拼图活动，感受无理数存在的必要性和合理性，培养学生的动手能力和合作精神．情感态度了解有关发现无理数的知识，鼓励学生大胆质疑，培养他们为真理而奋斗的精神． 教学重点会判断一个数是否为无理数．教学难点正确理解无理数的意义．【教学过程】一、情景导入，初步认知讲故事： 早在公元前，古希腊数学家毕达哥拉斯认为万物皆“数”，即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”，也就是一切现象都可用有理数去描述．后来，这个学派中的一个叫希伯索斯的成员发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示， 他认为在生活中还存在除有理数之外的另一种数. 到底谁的观点正确呢？我们以前学的有理数范围是否能满足我们实际生活的需要呢？这节课我们就共同来研究这个问题．二、思考探究，获取新知1．做一做：如图，将一个长为4cm ，宽为2cm 的长方形纸片剪拼成一个正方形，最后得到的这个正方形的面积是多少？它的边长是整数吗？2．观察下列结果：2．82＝7.84 2.92＝8.412．822＝7.952 4 2.832＝8.008 92．8282＝7.997 5842．8292＝8.003 241……从上述数据，你能猜想出面积为8的正方形的边长是多少吗？【归纳结论】 既不是有限小数，也不是无限循环小数，这种小数叫作无限不循环小数．我们把无限不循环小数叫作无理数．3．你能列举一些无理数吗？无理数有没有正负之分？三、运用新知，深化理解1．教材P 110例3.2．下列说法正确的是：( B )A ．整数就是正整数和负整数B ．分数包括正分数、负分数C ．正有理数和负有理数统称有理数D ．无限小数叫做无理数3．m ，n 分别是6－3的整数部分和小数部分，那么2m －n 的值是( C )A ．3－ 3B ．4－13C ．6＋ 3D ．2＋13 4.35的整数部分为________，小数部分为________．【答案】5；35－5.5．满足30<x<40的整数x ＝__6__.6．下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？－3；π3；－16；0.333…；3.303 030 30…；42；－3.141 592 6；0；3.101 001 000……(相邻两个1之间0的个数逐个加1)；面积为π的圆半径为r.【答案】无理数有：π3，3.101 001 000……，(相邻两个1之间0的个数逐个加1) 有理数有：－3，－16，0.333…，3.303 030 30…，42，－3.1415926，0，面积为π的圆半径为r.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结．教师作补充．。

湘教版数学八年级上册《3.1 平方根》教学设计2一. 教材分析湘教版数学八年级上册《3.1 平方根》是学生在学习了有理数的乘方、立方根的基础上，进一步探讨平方根的概念。

本节内容通过引入平方根，让学生理解平方根的概念，掌握求一个数的平方根的方法，以及了解平方根在实际问题中的应用。

教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固所学知识，提高解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了有理数的乘方、立方根的知识，具备了一定的数学基础。

但部分学生对平方根的概念和求法还不够理解，需要通过实例和练习来进一步巩固。

此外，学生对于实际问题中平方根的应用还较为陌生，需要通过课堂讲解和练习来培养应用能力。

三. 教学目标1.理解平方根的概念，掌握求一个数的平方根的方法。

2.能够运用平方根解决实际问题。

3.培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.平方根的概念。

2.求一个数的平方根的方法。

3.平方根在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生探究平方根的概念和求法。

2.运用实例讲解，让学生理解平方根的实际应用。

3.采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力。

4.利用练习题巩固所学知识，提高解题能力。

六. 教学准备1.教学PPT。

2.练习题。

3.教学素材。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用一个实际问题引入平方根的概念，如：一块长方形的地毯，边长为6米，求地毯的面积。

引导学生思考如何求解这个问题，从而引出平方根的概念。

2.呈现（15分钟）介绍平方根的定义，展示平方根的性质和求法。

通过PPT呈现相关例题，讲解平方根的求法，让学生跟随老师一起动手操作，加深对平方根的理解。

3.操练（10分钟）让学生独立完成PPT上的练习题，老师巡回指导。

对学生进行个性化辅导，帮助其掌握平方根的求法。

4.巩固（10分钟）小组合作学习，讨论平方根在实际问题中的应用。

让学生举例说明平方根的实际应用，如：求一个数的平方根，判断一个数的平方根是否为整数等。

3.1.1 平方根和算数平方根（2）教学目标：1、了解算术平方根的概念，会用根号表示数的算术平方根。

2、了解开方与乘方互为逆运算，会用平方根运算求某些非负数的算术平方根。

3、能运用算术平方根解决一些简单的实际问题。

4、在教学中要让每个学生都参与到活动中去，感受学习的乐趣，提高学习数学的兴趣。

教学重点难点：理解算术平方根的意义，能运用算术平方根解决一些简单的实际问题教学方法：观察、比较、合作、交流、探索.教学过程：一、创设情景，感悟新知情景一：小明家装修新居，计划用100块地板砖来铺设面积为25平方米的客厅地面，请帮他计算：每块正方形地板砖的边长为多少时，才正好合适（不浪费）？情景二：求4个直角边长为10厘米的等腰直角三角形纸片拼合成的正方形的边长？ 设计说明：将生活实际与数学联系起来，更能激发学生的兴趣,便于学生主动发现一个数的算术平方根——正的平方根,为解决问题提供方便教师讲解：正数有个平方根,其中正数的正的平方根,叫的算术平方根.例如，4的平方根是2±，2叫做4的算术平方根，记作4=2；2的平方根是2±，2叫做2的算术平方根，记作22=。

二、探索规律，揭示新知例题讲解: 例2求下列各数的算术平方根:（1）625；（2）0.0081；（3）6；（4）0。

设计说明：在书写时仍采用结合文字语言叙述是写法，以利于学生加深对开平方与平方互为逆运算关系的理解。

此题虽然比较简单但也考查了学生对算术平方根的理解情况，我们从学生的角度尤其学习有困难的学生来思考的话也许讲解起来学生更容易理解了三、尝试反馈，领悟新知完成下列习题,做题后思考讨论交流。

从这些题目中要引导学生探索发现一般形式： ),0(),0(22≥≥=a a a a a).0(2≤-=a a a 设计说明：在讨论中我们要相信学生只要他们能发现一点规律或自己的看法，都应给予鼓励和肯定，同时对于学习有困难的学生要提供一定的帮助。