课时规范训练--集合10-1

1.1.1 集合的含义与表示基础巩固题1．若集合A中只含一个元素1，则下列格式正确的是（）A.1=AB.0∈AC.1∉AD.1∈A 2．集合{x∈N∗|x−2<3}的另一种表示形式是（）A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{0,1,2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5}3．下列说法正确的有（）①集合{x∈N|x3=x}，用列举法表示为{−1,0,l}；②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R};③方程组{x+y=3,x−y=−1的解集为{x=1,y=2}.A.3个B.2个C.1个D.0个4．直角坐标系中，坐标轴上点的集合可表示为（）A.{(x,y)|x=0,y≠0,或x≠0,y=0}B. {(x,y)|x=0且y=0}C.{(x,y)|xy=0}D.{(x,y)|x,y不同时为0}5．若集合P含有两个元素1，2，集合Q含有两个元素1，a2，且P，Q相等，则a=____. 6．已知集合A={(x,y)|y=2x+1}，B={(x,y)|y=x+3}，a∈A且a∈B，则a为. 7．设方程ax2+2x+1=0(a∈R)的根组成的集合为A，若A只含有一个元素，求a的值.能力提升题8．用适当的方法表示下列集合：(1)所有被3整除的整数；(2)满足方程x=|x|的所有x的值构成的集合B.9.集合P={x|x=2k,k∈Z}，M={x|x=2k+1,k∈Z}，a∈P,b∈M，设c=a+b，则c与集合M有什么关系？【参考答案】1．D【解析】元素与集合之间只存在“∈”与“∉”的关系，故1∈A 正确.2．B【解析】由x －2＜3得x ＜5，又x ∈N ∗，所以x ＝1，2，3，4，即集合的另一种表示形式是{1，2，3，4}.3．D【解析】对于①，由于x ∈N ，而－1∉N ，故①错误；对于②，由于“{ }”本身就具有“全部”、“所有”的意思，而且实数集不能表示为{R }，故②错误；对于③，方程组的解集是点集而非数集，故③错误.4．C【解析】坐标轴上的点分为x 轴、y 轴上的点，在x 轴上的点纵坐标为0，在y 轴上的点横坐标为0.5．±√2【解析】由于P ，Q 相等，故a 2＝2，从而a ＝±√2.6．(2，5)【解析】∵a ∈A 且a ∈B ，∴a 是方程组{y ＝2x ＋1，y ＝x ＋3，的解， 解方程组，得{x ＝2，y ＝5，∴a 为(2，5). 7．解：A 中只含有一个元素，即方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ∈R )有且只有一个实根或两个相等的实根.(1)当a ＝0时，方程的根为x ＝－12； (2)当a ≠0时，有Δ＝4－4a ＝0，即a ＝1，此时方程的根为x 1＝x 2＝－1.∴a 的值为0或1.8．解：(1){x |x ＝3n ，n ∈Z }；(2)B ＝{x ｜x ＝|x |，x ∈R }.9. 解：∵a ∈P ，b ∈M ，c ＝a ＋b ，设a ＝2k 1，k 1∈Z ，b ＝2k 2＋1，k 2∈Z ，∴c ＝2k 1＋2k 2＋1＝2(k 1＋k 2)＋1，又k 1＋k 2∈Z ，∴c ∈M .。

1.1-集合-课时规范训练基础巩固练1.(2023新高考Ⅰ)已知集合M={-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6≥0},则M∩N=()A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.{2}2.(2023新高考Ⅱ)设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A⊆B,则a=()A.2B.1C.23D.-13.(2024南京、盐城一模)已知集合A={0,1,2},B={x|y=lg(-x2+2x)},则A∩B=()A.{0,1,2}B.{1}C.{0}D.(0,2)4.设集合A={x|x2-4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|-2≤x≤1},则a=()A.-4B.-2C.2D.45.(2023镇江检测)记集合M={x||x|>2},N={x|y=2- },则(∁R M)∩N=()A.{x|-2≤x≤2}B.{x|x>2}C.{x|0≤x<2}D.{x|x<-2}6.设集合A={2,3,a2-2a-3},B={0,3},C={2,a}.若B⊆A,A∩C={2},则a=()A.-3B.-1C.1D.37.设集合U=R,集合M={x|x<1},N={x|-1<x<2},则{x|x≥2}=()A.∁U(M∪N)B.N∪(∁U M)C.∁U(M∩N)D.M∪(∁U N)8.某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是()A.62%B.56%C.46%D.42%9.定义集合A,B的一种运算:A B={x|x=a2-b,a∈A,b∈B},若A={-1,0},B={1,2},则A B中的元素个数为()A.1B.2C.3D.410.(多选题)已知集合{x|mx2-2x+1=0}={n},则m+n的值可能为()A.0B.12C.1D.211.若一个集合是另一个集合的子集,则称两个集合构成“鲸吞”;若两个集合有公共元素,且互不为对方子集,则称两个集合构成“蚕食”.对于集合A={-1,2},B={x|ax2=2,a≥0},若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”,则实数a的取值集合为.12.设集合A={x|x2+2x-3>0},集合B={x|x2-2ax≤0},若A∩B中恰含有一个整数,则实数a的取值范围是.综合提升练13.设全集U={x||x|<4且x∈Z},S={-2,1,3},若P⊆U,(∁U P)⊆S,则这样的集合P共有()A.5个B.6个C.7个D.8个14.设集合M={(x,y)|y=4- 2},N={(x,y)|(x-2)2+(y-2)2=r2}(r>0).当M∩N有且只有一个元素时,正数r 的所有取值为()A.2+2或22-2B.2<r≤25C.2<r≤25或r=22-2D.2≤r≤25或r=22-215.已知集合M={x|1≤x≤10,x∈N},对它的非空子集A,将A中每个元素k都乘(-1)k再求和,如A={1,3,6},可求得和为(-1)1×1+(-1)3×3+(-1)6×6=2,则对M的所有非空子集,这些和的总和为()A.5B.5120C.2555D.256016.(多选题)已知M是同时满足下列条件的集合:①0∈M,1∈M;②若x,y∈M,则x-y∈M;③x∈M且x≠0,则1 ∈M.下列结论中,正确的有()A.13∈MB.-1∉MC.若x,y∈M,则x+y∈MD.若x,y∈M,则xy∈M17.设集合S,T,S⊆N*,T⊆N*,S,T中至少有两个元素,且S,T满足:①对于任意x,y∈S,若x≠y,则有xy∈T;②对于任意x,y∈T,若x<y,则 ∈S.若S有4个元素,则S∪T有个元素.创新应用练18.已知数集A=[t,t+1]∪[t+4,t+9].若存在λ∈R,使得对任意a∈A都有 ∈A,则称A为完美集,给出下列四个结论:①存在t∈(0,+∞),使得A为完美集;②存在t∈(-∞,0),使得A为完美集;③如果t∉Z,那么A一定不为完美集;④使得A为完美集的所有t的值之和为-2.其中,所有正确结论的序号是.参考答案与解析1.C2.B3.B4.B5.A6.B7.A8.C9.C10.BD11 0,12,212 -52,-2∪113.D14.C15.D16.ACD17.718.①②。

课时作业(一) 集合及其表示方法一、选择题1．有下列说法：①{1，2}与{2，1}不同；②0∈{x |x 2＋x ＝0}；③方程(x ＋1)(x －2)2＝0的所有解的集合可表示为{}－1，2，2 ；④集合{}x |－3<x <4 是有限集．其中正确的说法是( )A ．只有①和④B ．只有②和③C ．只有②D ．四种说法都不对2．对集合{1，5，9，13，17}用描述法来表示，其中正确的一个是( )A ．{x |x 是小于18的正奇数}B ．{x |x ＝4k ＋1，k ∈Z ，且k <5}C ．{x |x ＝4t －3，t ∈N ，且t ≤5}D ．{x |x ＝4s －3，s ∈N *，且s ≤5}3．已知集合A 含有三个元素2，4，6，且当a ∈A ，有6－a ∈A ，那么a 为( )A ．2B ．2或4C ．4D ．04．(多选)下列集合的表示方法不正确的是( )A ．第二、四象限内的点集可表示为{(x ，y )|xy ≤0，x ∈R ，y ∈R }B. 不等式x －1＜4的解集为{x ＜5}C ．{全体整数}D ．实数集可表示为R二、填空题5．给出下列关系：(1)13∈R ；(2)5 ∈Q ；(3)－3∉Z ；(4)－3 ∉N ，其中正确的是________． 6．用区间表示下列数集．(1){x |x ≥2}＝________；(2){x |3<x ≤4}＝________；(3){x |x >1且x ≠2}＝________．7．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈N ，126－x ∈N ，用列举法表示集合A 为________． 三、解答题8．若集合A ＝{x |ax 2＋1＝0，x ∈R }不含有任何元素，求实数a 的取值范围．(用区间表示)9．用适当的方法表示下列集合．(1)方程x (x 2＋2x ＋1)＝0的解集；(2)在自然数集中，小于1 000的奇数构成的集合；(3)绝对值不大于2的所有整数；(4)方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝－1 的解； (5)函数y ＝1x图象上的所有点． [尖子生题库]10．下列三个集合：①{x |y ＝x 2＋1}；②{y |y ＝x 2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．(1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义是什么？。

课时规范练1 集合的概念与运算基础巩固组1.(2020全国2，文1)已知集合A=｛x｜｜x｜<3，x∈Z｝，B=｛x｜｜x|>1,x∈Z},则A∩B=(）A.⌀B.{-3,—2，2,3｝C。

{-2，0，2}D.｛—2，2}2。

(2020陕西宝鸡三模，文1）设集合A=｛0,2，4},B={x∈N|log2x≤1｝,则A∪B=(）A.｛2，4} B。

｛0，1,4}C。

{1,2，4} D。

{0,1，2，4}3.若集合A={0，1，2,3}，B={1，2，4｝,C=A∩B，则C的子集共有()A.6个B。

4个C。

3个D。

2个4。

（2020山东滨州三模，1)已知集合M={x|x=4n+1,n∈Z｝，N={x|x=2n+1,n∈Z｝,则(）A。

M⊆N B。

N⊆MC.M∈ND.N∈M5。

(2020山东淄博4月模拟,1)已知全集U=｛1，2,3,4，5,6}，集合A=｛2,3,5｝，集合B=｛1,3，4,6｝，则集合A∩（∁U B）=()A.{3} B。

｛1,4,6}C。

｛2，5｝D。

｛2,3,5｝6。

已知集合A={x|x2—x-2=0｝，B=｛x∈Z｜｜x｜≤2}，则A∩B=(）A.{1，2｝B.｛1,-2}C.｛—1,2} D。

｛—1,—2}7.设全集U={x∈N＊|x≤4},集合A=｛1，4},B=｛2，4}，则∁U(A∩B)为()A.｛1，2，3｝B。

｛1,2，4}C。

｛1，3,4} D。

{2，3,4}8。

设全集U=R，集合A={x｜x—1≤0},B={x｜x2-x-6<0}，则下图中阴影部分表示的集合为(）A。

{x|x<3｝B.｛x｜—3〈x≤1}C。

｛x|x<2}D。

{x|-2〈x≤1｝9.若集合A=｛x|x≥3—2a},B={x|（x—a+1）（x—a）≥0}，A ∪B=R,则a的取值范围为（）A.[2,+∞)B.(-∞，2］C.(-∞,43]D.43,+∞10.设全集为R，集合P={x|x2—4x>0}，Q={x｜log2（x-1）〈2｝,则(∁R P)∩Q=（)A.［0，4]B.［0,5)C.（1,4］D.[1，5）11.已知集合A=｛x｜log2x≤2}，B={x｜x〈a｝,若A⊆B，则实数a的取值范围是.12。

课时规范练1集合基础巩固组1.(2021湖南长沙雅礼中学高三月考)已知集合A={x∈Z|-2≤x<2},B={0,1},则下列判断正确的是()A.B∈AB.A∩B=⌀C.A⊆BD.B⊆A∈Z,则下列结论不正确的是() 2.(2021山东淄博实验中学高三月考)若集合A=x∈N*63-xA.1∈AB.3∉AC.-3∈AD.8∉A3.(2021江苏,1)已知集合M={1,3},N={1-a,3},若M∪N={1,2,3},则实数a的值是()A.-2B.-1C.0D.14.(2021山东烟台高三模拟)已知集合M,N都是R的子集,且M∩∁R N=⌀,则M∩N=()A.MB.NC.⌀D.R5.(2021湖北荆门高三月考)已知集合M={x|x=2k+1,k∈Z},集合N={y|y=4k+3,k∈Z},则M∪N=()A.{x|x=6k+2,k∈Z}B.{x|x=4k+2,k∈Z}C.{x|x=2k+1,k∈Z}D.⌀x,Q={(x,y)|y=-x2+2},则集合P∩Q的真子集6.(2021宁夏银川高三月考)集合P=(x,y)y=12个数为()A.0B.1C.2D.37.已知全集U=Z,集合A={x|2x+1≥0,x∈Z},B={-1,0,1,2},则下列说法错误的是()A.A∩B={0,1,2}B.A∪B={x|x≥0}C.(∁U A)∩B={-1}D.A∩B的真子集个数是78.已知全集U的两个非空真子集A,B满足(∁U A)∪B=B,则下列关系一定正确的是()A.A∩B=⌀B.A∩B=BC.A∪B=RD.(∁U B)∪A=A综合提升组9.(2021江苏高三月考)已知集合A={1,2,3},B={-1,0,1,2},若M⊆A且M⊆B,则满足条件的集合M的个数为()A.1B.3C.4D.610.(2021河北沧州高三期末)设全集为R,M={x|f(x)≠0},N={x|g(x)≠0},那么集合{x|f(x)g(x)=0}等于()A.(∁R M)∩(∁R N)B.(∁R M)∪NC.M∪(∁R N)D.(∁R M)∪(∁R N)11.(2021广东佛山高三月考)设A={x|1≤x≤3},B={x|ln(3-2x)<0},则图中阴影部分表示的集合为()A.-∞,32B.1,32C.(1,3]D.32,312.(2021山东泰安高三月考)已知集合A={x|x2+3<4x},B⊆N*,且A∩B≠⌀,则下列结论一定正确的是()A.1∈AB.B={2}C.2∈BD.(∁R A)∩B=⌀13.(2021湖南长郡中学高三期中)已知非空集合A,B满足以下两个条件:(1)A∪B={1,2,3,4,5},A∩B=⌀;(2)A的元素个数不是A中的元素,B的元素个数不是B中的元素,则有序集合对(A,B)的个数为()A.4B.6C.8D.16创新应用组14.(2021江苏南京高三月考)若A={(x,y)|x2+y2≤1},B={(x,y)||x|+|y|≤a},且A⊆B,则实数a的取值范围是()A.1,+∞ B.[1,+∞)2C.[√2,+∞)D.[2,+∞)15.已知集合A={x∈R|x2-3x-18<0},B={x∈R|x2+ax+a2-27<0},则下列说法错误的是()A.若A=B,则a=-3B.若A⊆B,则a=-3C.若B=⌀,则a≤-6或a≥6D.若a=3,则A∩B={x|-3<x<6}课时规范练1集合1.D解析:∵A={x∈Z|-2≤x<2}={-2,-1,0,1},B={0,1},∴B⊆A,A∩B=B={0,1},故选D.∈Z且x∈N*,所以x的可取值有:1,2,4,5,6,9,即A={1,2,4,5,6,9},由此可判断2.C解析:因为63-xC错误,其余均正确.3.B解析:因为M∪N={1,2,3},所以1-a=2,解得a=-1,故选B.4.A解析:由题意M∩∁R N=⌀,可得M⊆N,所以M∩N=M,故选A.5.C解析:因为集合M={x|x=2k+1,k∈Z},集合N={y|y=4k+3,k∈Z}={y|y=2(2k+1)+1,k∈Z},当x∈N时,x∈M成立,所以M∪N={x|x=2k+1,k∈Z},故选C.6.D解析:画x和y=-x2+2的图象,由图象可知两函数有两个交点,则集合P∩Q中有2个元素,则集出函数y=12合P∩Q的真子集有22-1=3(个),故选D.,x∈Z,B={-1,0,1,2},A∩B={0,1,2},故A正确;A∪7.B解析:A={x|2x+1≥0,x∈Z}=x x≥-12B={x|x≥-1,x∈Z},故B错误;∁U A=x x<-1,x∈Z,所以(∁U A)∩B={-1},故C正确;由A∩2B={0,1,2},知A∩B的真子集个数是23-1=7,故D正确.故选B.8.D解析:令U={1,2,3,4},A={2,3,4},B={1,2},满足(∁U A)∪B=B,但A∩B≠⌀,A∩B≠B,故A,B均不正确;由(∁U A)∪B=B,知∁U A⊆B,∴U=A∪(∁U A)⊆(A∪B),∴A∪B=U,由∁U A⊆B,知∁U B⊆A,∴(∁U B)∪A=A,故C不正确,D正确.故选D.9.C解析:∵集合A={1,2,3},B={-1,0,1,2},∴A∩B={1,2}.又M⊆A且M⊆B,∴M⊆(A∩B),即M⊆{1,2},∴M的个数为22=4,故选C.10.D解析:因为{x|f(x)g(x)=0}={x|f(x)=0或g(x)=0},又因为M={x|f(x)≠0},N={x|g(x)≠0},所以{x|f(x)g(x)=0}=(∁R M)∪(∁R N),故选D.11.B 解析:由图可知阴影部分表示的集合为A ∩B.因为A={x|1≤x ≤3},B={x|ln(3-2x )<0}=x 1<x<32,所以A ∩B=1,32,故选B .12.C 解析:因为x 2+3<4x ,所以(x-1)(x-3)<0,解得1<x<3,所以集合A={x|1<x<3}.因为B ⊆N *,且A ∩B ≠⌀,则2∈B ,故选C .13.C 解析:由题意可知,集合A 不能是空集,也不可能为{1,2,3,4,5}.若集合A 只有一个元素,则集合A 为{4};若集合A 有两个元素,则集合A 为{1,3},{3,4},{3,5};若集合A 有三个元素,则集合A 为{1,2,4},{1,2,5},{2,4,5};若集合A 有四个元素,则集合A 为{1,2,3,5}.综上所述,有序集合对(A ,B )的个数为8,故选C . 14.C 解析:集合A 为圆O :x 2+y 2=1的内部和圆上的点集,B 为由直线x+y=a ,x-y=a ,-x+y=a ,x+y=-a 围成的正方形的内部和边上的点集,画出图象(如图所示),当直线EF 与圆O 相切时,设切点为C ,连接OC ,∵△EOF 为等腰直角三角形,OE=OF ,∠EOF=90°,OC ⊥EF , ∴OC 为Rt △EOF 斜边上的中线, ∴OC=12EF ,即EF=2OC=2,∴OE=OF=√22EF=√2,此时a=√2. ∴a ≥√2,故选C .15.D 解析:由已知得,A={x|-3<x<6},令g (x )=x 2+ax+a 2-27.对于A,若A=B ,即-3,6是方程g (x )=0的两个根,则{a =-3,a 2-27=-18,得a=-3,正确;对于B,若A ⊆B ,则{g(-3)=a 2-3a -18≤0,g(6)=a 2+6a +9≤0,解得a=-3,正确;对于C,当B=⌀时,Δ=a 2-4(a 2-27)≤0,解得a ≤-6或a ≥6,正确;对于D,当a=3时,有B={x ∈R |x 2+3x-18<0}={x|-6<x<3},所以A ∩B={x|-3<x<3},错误.故选D .。

排球训练规章制度1. 宗旨排球训练规章制度是为了保证每位队员的安全、规范训练流程，提高整个团队的训练效率和竞技水平。

严格执行规章制度，培养队员的纪律意识和团队精神，为取得优异的成绩提供坚实的基础。

2. 训练时间和场地2.1 训练时间：每周一至周五，每天上午9:00-11:30，下午14:00-17:00。

2.2 训练场地：排球场地应为标准的室内排球场。

必要时，可以根据实际情况选择室外场地进行训练。

3. 训练装备和器材3.1 球员装备：球员必须穿着合适的运动服装，戴上运动鞋。

穿戴过多的首饰和异物是禁止的。

3.2 球类器材：每位球员应携带自己的训练球，并保持球的干净和适度的充气。

3.3 训练道具：根据不同训练需求，教练将提供所需的训练道具，如训练网、训练器械等。

请注意正确使用和保管这些器材。

4. 训练纪律4.1 准时到达：每位队员必须准时到达训练场地。

若有事不能参加训练，请提前向教练请假，并及时补训以保持训练连贯性。

4.2 集合规范：在集合时，队员应排列整齐，保持安静等待指示。

4.3 服从指挥：队员在训练中必须服从教练的指挥和安排，不得私自离开训练场地。

4.4 纪律行动：任何违反纪律和规定的行为都是不被允许的，如：打闹、丢球、无故缺席等。

4.5 尊重教练和队友：队员应尊重教练和队友，互相协作，建立良好的团队氛围。

5. 训练方法5.1 基础技术训练：训练中将注重球员的基础技术训练，如传球、发球、扣球和拦网等。

教练将根据队员实际情况制定相应的训练计划。

5.2 对抗训练：适时进行对抗训练，提高队员的实战能力和比赛应变能力。

5.3 队员轮换：教练将根据球员的表现和训练需求，适时进行队员的轮换，提供机会给每个队员参与比赛。

6. 伤病处理和预防6.1 预防伤病：每位队员必须定期进行身体健康检查，并根据教练的要求进行预防性的训练。

6.2 伤病处理：若队员在训练过程中受伤，请及时向教练报告并得到适当的处理。

伤病康复后，可以重新参与训练。

第一章 1.1 1.1.1 第 1 课时【基础练习】1．有以下各组对象：①靠近于 0 的数的全体；②比较小的正整数的全体；③平面上到点 O 的距离等于 1 的点的全体；④直角三角形的全体．此中能构成会合的个数是 ( )A ． 2B ． 3C． 4 D ．5【答案】 A【分析】①②没有明确标准，故不可以构成会合．③④均可构成会合，因为任取一个元素能否为此会合的元素有明确标准可依．2．已知会合 A 由 x＜1 的数构成，则有()A．3∈A B．1∈AC．0∈A D ．－ 1?A【答案】 C【分析】很显然 3,1 不知足不等式，而0，－ 1 知足不等式．3．若一个会合中的三个元素a， b， c 是△ ABC 的三边长，则此三角形必定不是()A ．锐角三角形B ．直角三角形C．钝角三角形 D ．等腰三角形【答案】 D【分析】依据会合中元素的互异性可知a≠ b≠ c，因此必定不是等腰三角形．4．已知会合 A 含有三个元素3,5,7，且当 a∈ A，有 10－ a∈ A，则 a 为 ()A．3或5或 7 B．3或 7C． 5 D ．7【答案】 A【分析】若 a＝ 3∈ A，则 10－ a＝7∈ A；若 a＝ 7∈ A，则 10－ a＝3∈ A；若 a＝5∈ A，则10－ a＝5∈ A．应选 A ．5．已知会合 A 中只含有1，a2两个元素，则实数 a 不可以取的值为________．【答案】±1【分析】由 a2≠1，得 a≠±1．6．若x ∈ N ，则知足2x － 5＜0 的元素构成的会合中全部元素之和为________．【答案】3【分析】 由 2x － 5＜ 0，得x ＜ 52，又x ∈ N ，∴ x ＝ 0， 1,2，故全部元素之和为3．7．判断以下说法能否正确？并说明原因．(1)参加 2019 年亚洲杯的全部球队构成一个会合；(2)将来世界的高科技产品构成一个会合；3 1(3)1,0 ． 5， 2， 2构成的会合含有四个元素；(4)我校的年青教师构成一个会合．【分析】 (1)正确．因为参加 2019 年亚洲杯的球队是确立的．(2)不正确．因为高科技产品的标准不确立．1(3)不正确．对一个会合，它的元素一定是互异的，因为0．5＝ 2，在这个会合中只好作为一个元素，故这个会合含有三个元素．(4)不正确．因为年青没有明确的标准．8．设会合 A 中含有三个元素 3， x ， x 2－ 2x ．(1)务实数 x 应知足的条件；(2)若－ 2∈ A ，务实数 x ．【分析】 (1)由会合中元素的互异性可知， x ≠ 3，且 x ≠ x 2－ 2x ，x 2 －2x ≠ 3．解得 x ≠ － 1，且 x ≠ 0，且 x ≠ 3．(2)∵－ 2∈ A ，∴ x ＝－ 2 或 x 2－ 2x ＝－ 2．因为 x 2－ 2x ＝ (x － 1)2－ 1≥ －1，∴x ＝－ 2．【能力提高】9．已知 x ，y 为非零实数，代数式 x＋ y的值所构成的会合是 M ，则以下判断正确的选项是()|x| |y|A ．0?MB ．1∈MC ．－ 2?MD ．2∈M【答案】 D【分析】 ①当 x ，y 为正数时，代数式x＋ y的值为 2；②当 x ，y 为一正一负时，代数式x|x| |y||x|＋ |y|y 的值为 0；③当 x ，y 均为负数时， 代数式 |x|x ＋ |y|y 的值为－ 2，因此会合 M 的元素共有 3个：－ 2,0,2．应选 D ．10．已知会合 A 是由 0， m， m2－3m＋ 2 三个元素构成的会合，且2∈A，则实数 m 的值为 ()A ． 2B ． 3C．0或3 D ．0,2,3 均可【答案】 B【分析】因为 2∈ A，因此 m＝ 2 或 m2－3m＋ 2＝ 2，解得 m＝ 0 或 m＝ 2 或 m＝3．又会合中的元素要知足互异性，对m 的全部取值进行一一考证可得m＝3．应选 B．b11．已知 a， b∈ R，会合 A 中含有 a，a， 1 三个元素，会合 B 中含有 a2， a＋ b,0 三个元素，若 A＝ B，则 a＋ b＝ ________．【答案】－1【分析】∵A＝ B,0∈ B，∴ 0∈ A．又 a≠ 0，∴b＝ 0，则 b＝ 0．∴ B＝{ a，a2, 0} ．∵ 1∈ B，a∴ a2＝ 1， a＝±1．由元素的互异性知 a＝－ 1，∴ a＋ b＝－ 1．12．设 A 为实数集，且知足条件：若1∈A(a≠ 1)．求证：a∈ A，则1－a(1)若 2∈ A，则 A 中必还有此外两个元素；(2)会合 A 不行能是单元素集．1【证明】 (1)若 a∈A，则∈ A．∵2∈ A，∴1＝－ 1∈ A．1－ 21 1∵－ 1∈A，∴＝∈A．∵12∈ A，∴11＝2∈ A．1－21∴A 中此外两个元素为－1，．1 (2)若 A 为单元素集，则a＝，即 a2－ a＋ 1＝ 0，方程无解．∴a≠1．∴会合 A 不行能是单元素集．1－ a。

课时规范练2不等关系及简洁不等式的解法基础巩固组1.(2021安徽合肥模拟)已知a,b∈R,下列命题正确的是()A.若a>b,则|a|>|b|B.若a>b,则C.若|a|>b,则a2>b2D.若a>|b|,则a2>b22.已知集合A={x|(1-x)(1+x)≥0},集合B={y|y=2x,x<0},则A∩B=()A.(-1,1]B.[-1,1]C.(0,1)D.[-1,+∞)3.若集合A={x|ax2-ax+1<0}=⌀,则实数a的取值范围是()A.{a|0<a<4}B.{a|0≤a<4}C.{a|0<a≤4}D.{a|0≤a≤4}4.(2021贵州贵阳测试)下列命题正确的是()A.若a>b,c>d,则ac>bdB.若ac>bc,则a>bC.若,则a<bD.若a>b,c>d,则a-c>b-d5.(2021重庆一中调研,文5)若a>1>b>-1,则下列不等式恒成立的是()A.a>b2B.C.D.a2>2b6.不等式<0的解集为()A.{x|1<x<2}B.{x|x<2,且x≠1}C.{x|-1<x<2,且x≠1}D.{x|x<-1或1<x<2}7.若不等式mx2+2mx-4<2x2+4x对任意x都成立,则实数m的取值范围是()A.(-2,2]B.(-2,2)C.(-∞,-2)∪[2,+∞)D.(-∞,2]〚导学号24190850〛8.(2021陕西西安模拟)已知存在实数a满足ab2>a>ab,则实数b 的取值范围是.9.已知关于x的不等式ax2+bx+a<0(ab>0)的解集是空集,则a2+b2-2b的取值范围是.10.已知a∈R,关于x的不等式ax2+(1-2a)x-2>0的解集有下列四种说法:①原不等式的解集不行能为⌀;②若a=0,则原不等式的解集为(2,+∞);③若a<-,则原不等式的解集为;④若a>0,则原不等式的解集为∪(2,+∞).其中正确的个数为. 11.对任意x∈[-1,1],函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零,则k的取值范围是.综合提升组12.(2021吉林长春模拟)若<0,则在下列不等式:①;②|a|+b>0;③a->b-;④ln a2>ln b2中,正确的不等式是()A.①④B.②③C.①③D.②④13.若关于x的不等式f(x)=ax2-x-c>0的解集为{x|-2<x<1},则函数y=f(-x)的图象为()14.(2021河南郑州月考)已知实数x,y满足0<xy<4,且0<2x+2y<4+xy,则x,y的取值范围是()A.x>2,且y>2B.x<2,且y<2C.0<x<2,且0<y<2D.x>2,且0<y<2〚导学号24190851〛15.(2021江西九江模拟)若关于x的不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解,则实数a的取值范围是.创新应用组16.(2021辽宁大连模拟)已知函数f(x)=(ax-1)(x+b),假如不等式f(x)>0的解集是(-1,3),那么不等式f(-2x)<0的解集是()A.B.C.D.〚导学号24190852〛17.(2021湖北襄阳高三1月调研,文15)已知f(x)=若对任意x∈[t,t+2],不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立,则t 的取值范围是.〚导学号24190853〛课时规范练2不等关系及简洁不等式的解法1.D当a=1,b=-2时,A不正确,B不正确,C不正确;对于D,a>|b|≥0,则a2>b2,故选D.2.C由题意得A={x|-1≤x≤1}=[-1,1],B={y|0<y<1}=(0,1),所以A∩B=(0,1),故选C.3.D由题意知当a=0时,满足条件.当a≠0时,由集合A={x|ax2-ax+1<0}=⌀,可知得0<a≤4.综上,可知0≤a≤4.4.C取a=2,b=1,c=-1,d=-2,可知A错误;当c<0时,ac>bc⇒a<b,∴B错误;∵,∴c≠0,又c2>0,∴a<b,C正确;取a=c=2,b=d=1,可知D错误.5.A对于A,∵-1<b<1,∴0≤b2<1.∵a>1,∴a>b2,故A正确;对于B,若a=2,b=,此时满足a>1>b>-1,但,故B错误;对于C,若a=2,b=-,此时满足a>1>b>-1,但,故C错误;对于D,若a=,b=,此时满足a>1>b>-1,但a2<2b,故D错误.6.D由于不等式<0等价于(x+1)·(x-1)(x-2)<0,所以该不等式的解集是{x|x<-1或1<x<2}.故选D.7.A原不等式等价于(m-2)x2+2(m-2)x-4<0,当m=2时,对任意x不等式都成立;当m-2<0时,Δ=4(m-2)2+16(m-2)<0,∴-2<m<2.综上,得m∈(-2,2].8.(-∞,-1)∵ab2>a>ab,∴a≠0.当a>0时,有b2>1>b,即解得b<-1;当a<0时,有b2<1<b,即无解.综上可得b<-1.9. ∵不等式ax2+bx+a<0(ab>0)的解集是空集,∴a>0,b>0,且Δ=b2-4a2≤0.∴b2≤4a2.∴a2+b2-2b≥+b2-2b=≥-.∴a2+b2-2b的取值范围是.10.3原不等式等价于(ax+1)(x-2)>0.当a=0时,不等式化为x-2>0,得x>2.当a≠0时,方程(ax+1)(x-2)=0的两根分别是2和-,若a<-,解不等式得-<x<2;若a=-,不等式的解集为⌀;若-<a<0,解不等式得2<x<-;若a>0,解不等式得x<-或x>2.故①不正确,②③④正确.11.(-∞,1)函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的图象的对称轴方程为x=-.当<-1,即k>6时,f(x)的值恒大于零等价于f(-1)=1+(k-4)×(-1)+4-2k>0,解得k<3,故k不存在;当-1≤≤1,即2≤k≤6时,f(x)的值恒大于零等价于f+4-2k>0,即k2<0,故k不存在;当>1,即k<2时,f(x)的值恒大于零等价于f(1)=1+(k-4)+4-2k>0,即k<1.综上可知,当k<1时,对任意x∈[-1,1],函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零.12.C由于<0,故可取a=-1,b=-2.由于|a|+b=1-2=-1<0,所以②错误;由于ln a2=ln(-1)2=0,ln b2=ln(-2)2=ln 4>0,所以④错误.综上所述,②④错误,故选C.13.B(方法一)由根与系数的关系知=-2+1,-=-2,解得a=-1,c=-2.所以f(x)=-x2-x+2.所以f(-x)=-x2+x+2=-(x+1)(x-2),图象开口向下,与x轴的交点为(-1,0),(2,0),故选B.(方法二)由题意可画出函数f(x)的大致图象,如图.又由于y=f(x)的图象与y=f(-x)的图象关于y轴对称,所以y=f(-x)的图象如图.14.C由题意得由2x+2y-4-xy=(x-2)(2-y)<0,得又xy<4,可得故选C.15.(-∞,-2)不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2-4x-2)max.令g(x)=x2-4x-2,x∈(1,4),∴g(x)<g(4)= -2,∴a<-2.16.A由f(x)>0的解集为(-1,3),易知f(x)<0的解集为(-∞,-1)∪(3,+∞),故由f(-2x)<0得-2x<-1或-2x>3,∴x>或x<-.17.[,+∞)(方法一)∵对任意x∈[t,t+2],不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立,∴f(t+t)=f(2t)≥2f(t).当t<0时,f(2t)=-4t2≥2f(t)=-2t2,这不行能,故t≥0.∵当x∈[t,t+2]时,有x+t≥2t≥0,x≥t≥0,∴当x∈[t,t+2]时,不等式f(x+t)≥2f(x),即(x+t)2≥2x2,∴x+t≥x,∴t≥(-1)x对于x∈[t,t+2]恒成立.∴t≥(-1)(t+2),解得t≥.(方法二)当x<0时,f(x)=-x2单调递增,当x≥0时,f(x)=x2单调递增,∴f(x)=在R上单调递增,且满足2f(x)=f(x),∵不等式f(x+t)≥2f(x)=f(x)在[t,t+2]恒成立,∴x+t≥x在[t,t+2]上恒成立,即t≥(-1)x在x∈[t,t+2]恒成立,∴t≥(-1)(t+2),解得t≥,故答案为[,+∞).。

课时规范训练A组基础演练1．已知集合A＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)＜0}，则A∩B＝() A．{－1,0}B．{0,1}C．{－1,0,1} D．{0,1,2}解析：选A.由于B＝{x|－2＜x＜1}，所以A∩B＝{－1,0}．故选A.2．设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝()A．[0,1] B．(0,1]C．[0,1) D．(－∞，1]解析：选 A.∵M＝{x|x2＝x}＝{0,1}，N＝{x|lg x≤0}＝{x|0＜x≤1}，∴M∪N＝{x|0≤x≤1}，故选A.3．已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x＜2}，则A∩B＝() A．[－2，－1] B．[－1,2)C．[－1,1] D．[1,2)解析：选A.由不等式x2－2x－3≥0解得x≥3或x≤－1，因此集合A＝{x|x≤－1或x≥3}，又集合B＝{x|－2≤x＜2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤－1}，故选A. 4．设集合P＝{x|x＞1}，Q＝{x|x2－x＞0}，则下列结论正确的是()A．P⊆Q B．Q⊆PC．P＝Q D．P∪Q＝R解析：选A.由集合Q＝{x|x2－x＞0}，知Q＝{x|x＜0或x＞1}，所以选A. 5．设集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，则M∩N＝()A．{1} B．{2}C．{0,1} D．{1,2}解析：选 D.由已知得N＝{x|1≤x≤2}，∵M＝{0,1,2}，∴M∩N＝{1,2}，故选D.6．集合U＝{0,1,2,3,4}，A＝{1,2}，B＝{x∈Z|x2－5x＋4＜0}，则∁U(A∪B)＝() A．{0,1,3,4} B．{1,2,3}C．{0,4} D．{0}解析：选C.因为集合B＝{x∈Z|x2－5x＋4＜0}＝{2,3}，所以A∪B＝{1,2,3}，又全集U＝{0,1,2,3,4}，所以∁U(A∪B)＝{0,4}．所以选C.7．已知集合M＝{x|－1＜x＜2}，N＝{x|x＜a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是()A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－∞，－1]解析：选B.依题意，由M⊆N得a≥2，即所求的实数a的取值范围是[2，＋∞)，选B.8．已知全集A＝{x∈N|x2＋2x－3≤0}，B＝{y|y⊆A}，则集合B中元素的个数为()A．2 B．3C．4 D．5解析：选C.依题意得，A＝{x∈N|(x＋3)(x－1)≤0}＝{x∈N|－3≤x≤1}＝{0,1}，共有22＝4个子集，因此集合B中元素的个数为4，选C.9．已知集合A＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，则A∩B＝________.解析：A、B都表示点集，A∩B即是由A中在直线x＋y－1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．答案：{(0,1)，(－1,2)}10．已知集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且B⊆A，则a＝________.解析：由a2－a＋1＝3，得a＝－1或a＝2，经检验符合．由a2－a＋1＝a，得a ＝1，由于集合中不能有相同元素，所以舍去．故a＝－1或2.答案：－1或2B组能力突破1．已知全集U＝R，集合M＝{x|(x－1)(x＋3)＜0}，N＝{x||x|≤1}，则阴影部分表示的集合是()A．[－1,1)B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪[－1，＋∞) D．(－3，－1)解析：选D.由题意可知，M＝{x|－3＜x＜1}，N＝{x|－1≤x≤1}，∴阴影部分表示的集合为M∩(∁U N)＝{x|－3＜x＜－1}．2．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{3,4,5}，N＝{1,2,5}，则集合{1,2}可以表示()A．M∩N B．(∁U M)∩NC．M∩(∁U N) D．(∁U M)∩(∁U N)解析：选B.M∩N＝{5}，A错误；∁U M＝{1,2}，(∁U M)∩N＝{1,2}，B正确；∁U N ＝{3,4}，M∩(∁U N)＝{3,4}，C错误；(∁U M)∩(∁U N)＝∅，D错误．故选B. 3．已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为()A．5 B．4C．3 D．2解析：选D.集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，当n＝0时，3n＋2＝2，当n＝1时，3n＋2＝5，当n＝2时，3n＋2＝8，当n＝3时，3n＋2＝11，当n＝4时，3n＋2＝14，∵B＝{6,8,10,12,14}，∴A∩B中元素的个数为2.4．设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4,5}，定义A⊙B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A⊙B中元素的个数是()A．7 B．10C．25D．52解析：选B.A∩B＝{2,3}，A∪B＝{1,2,3,4,5}，由列举法可知A⊙B＝{(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)}，共有10个元素，故选B. 5．已知函数f(x)＝2－x－1，集合A为函数f(x)的定义域，集合B为函数f(x)的值域，则如图所示的阴影部分表示的集合为________．解析：本题考查函数的定义域、值域以及集合的表示．要使函数f(x)＝2－x－1有意义，则2－x－1≥0，解得x≤0，所以A＝(－∞，0]．又函数f(x)＝2－x－1的值域B＝[0，＋∞)．(A∩B)＝(－∞，0)∪(0，＋∞)．所以阴影部分用集合表示为∁A∪B答案：(－∞，0)∪(0，＋∞)6．已知集合A＝{x|1≤x＜5}，C＝{x|－a＜x≤a＋3}．若C∩A＝C，则a的取值范围是________．解析：因为C ∩A ＝C ，所以C ⊆A .①当C ＝∅时，满足C ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，得a ≤－32；②当C ≠∅时，要使C ⊆A ，则⎩⎨⎧ －a ＜a ＋3，－a ≥1，a ＋3＜5，解得－32＜a ≤－1.答案：(－∞，－1]。

课时规范练1集合（原卷版）基础巩固练1.(2024·湖南常德)已知集合A={x|-1<x<3},B={x|x2-5x+4<0},则A∪B=()A.{x|1<x<3}B.{x|1<x<4}C.{x|-1<x<3}D.{x|-1<x<4}2.(2024·广东江门)已知集合A={-1,0,1},B={m|m2-1∈A,m-1∉A},则集合B中所有元素之和为()A.0B.1C.-1D.23.(2023·全国乙,理2)设全集U=R,集合M={x|x<1},N={x|-1<x<2},则{x|x≥2}=()A.∁U(M∪N)B.N∪∁U MC.∁U(M∩N)D.M∪∁U N4.已知全集U={1,2,3,4},集合A={1},∁U(A∪B)={3},则集合B可能是()A.{4}B.{1,4}C.{2,4}D.{1,2,3}5.(2024·山东青岛)已知全集U=R,集合A,B满足A⊆(A∩B),则下列关系一定成立的是()A.A=BB.B⊆AC.A∩(∁U B)=⌀D.(∁U A)∩B=⌀6.(2024·浙江余姚)已知集合A={(x,y)|y=x2},集合B={(x,y)|y=1-|x|},则集合A∩B的真子集个数为()A.1B.2C.3D.47.(多选题)(2024·河北衡水中学检测)已知集合U为全集,集合A,B,C均为U的子集.若A∩B=⌀,A∩C≠⌀,B∩C≠⌀,则()A.A⊆∁U(B∩C)B.C⊆∁U(A∪B)C.A∪B∪C=UD.A∩B∩C=⌀8.(2024·山东聊城检测)已知集合A={x|0≤x≤2},B={x|a<x<3},若对于∀x∈A,都有x∈B,则a的取值范围为()A.(-∞,0]B.(-∞,0)C.[0,2]D.(2,3)9.如图所示的Venn图中,A,B是非空集合,定义集合A B为阴影部分表示的集合.若A={x|x=2n+1,n ∈N,n≤4},B={2,3,4,5,6,7},则A B=.综合提升练10.已知集合A={x|2x>1},B={x|ln x>1},则下列集合为空集的是()A.A∩(∁R B)B.(∁R A)∩BC.A∩BD.(∁R A)∩(∁R B)11.(2024·山东青岛)已知全集U=R,A={x|3<x<7},B={x||x-2|<4},则下图中阴影部分表示的集合为()A.{x|-2<x≤3}B.{x|-2<x<3}C.{-1,0,1,2}D.{-1,0,1,2,3}12.(2024·福建厦门)设集合A={x|1≤x≤3},集合B={x|y= -1},若A⫋C⫋B,写出一个符合条件的集合C=.13.(2024·北京西城区)正整数集合A={a1,a2,a3,…,a n},且a1<a2<a3<…<a n,n≥3,B中所有元素之和为T(B),集合C={T(B)|B⊆A,B≠⌀},若A={1,2,5},则集合C=.创新应用练14.设集合的全集为U,定义一种运算☉,M☉N={x|x∈M∩(∁U N)},若全集U=R,M={x||x|≤2},N={x|-3<x<1},则M☉N=()A.{x|-2≤x<1}B.{x|1<x≤2}C.{x|1≤x≤2}D.{x|-2≤x≤1}15.(多选题)设集合M={x|x=6k1+2,k1∈Z},N={x|x=6k2+5,k2∈Z},P={x|x=3k3+2,k3∈Z},则()A.M∩N≠⌀B.M∪N=PC.M=PD.∁P M=N课时规范练1集合（答案）1.D 解析集合B={x|x 2-5x+4<0}={x|(x-1)(x-4)<0}={x|1<x<4},则A ∪B={x|-1<x<4},故选D .2.C 解析令m 2-1分别等于-1,0,1,解得m=0,±1,±2,又m-1∉A ,所以m=-1,±2,因此B={-1,2,-2},所以集合B 中所有元素之和是-1,故选C .3.A 解析M ∪N={x|x<2},故∁U (M ∪N )={x|x ≥2}.故选A .其他选项均不符合题意.4.C 解析∵U={1,2,3,4},∁U (A ∪B )={3},∴A ∪B={1,2,4},又A={1},∴B 可以是{2,4}或{1,2,4},故选C .5.C 解析因为A ⊆(A ∩B ),可得A ⊆B.对选项A,当A 为B 的真子集时,不成立;对选项B,当A 为B 的真子集时,也不成立;对选项C,A ∩(∁U B )=⌀,恒成立;对选项D,当A 为B 的真子集时,不成立,故选C .6.C 解析联立 2,|,可得x 2+|x|-1=0,因为|x|≥0,解得|x|=5-12,所以方程组 = 2,=1-| |的解为=5-12=3-52或 =-52=3-52,因此A ∩B=所以集合A ∩B 的真子集个数为22-1=3,故选C .7.AD 解析根据题意,作出Venn 图.由图可得A ⊆∁U (B ∩C ),故选项A 正确;集合C 不是∁U (A ∪B )的子集,故选项B 错误;A ∪B ∪C 不一定为全集U ,故选项C 错误;A ∩B ∩C=⌀∩C=⌀,故选项D 正确,故选AD .8.B 解析若对于∀x ∈A ,都有x ∈B ,则A ⊆B ,由已知可得a<0,故选B .9.{1,2,4,6,9}解析由Venn 图可知,AB={x|x ∈(A ∪B ),x ∉(A ∩B )},因为A={x|x=2n+1,n ∈N ,n ≤4}={1,3,5,7,9},B={2,3,4,5,6,7},则A ∪B={1,2,3,4,5,6,7,9},A ∩B={3,5,7},因此A B={1,2,4,6,9}.10.B 解析集合A={x|2x >1}={x|x>0},集合B={x|ln x>1}={x|x>e},所以∁R A={x|x ≤0},∁R B={x|x ≤e},A ∩(∁R B )={x|0<x ≤e},故选项A 不满足题意;(∁R A )∩B=⌀,故选项B 满足题意;A ∩B={x|x>e},故选项C 不满足题意;(∁R A )∩(∁R B )={x|x ≤0},故选项D 不满足题意,故选B .11.A 解析由于|x-2|<4⇒-4<x-2<4⇒-2<x<6,∴B={x|-2<x<6},则A ∪B={x|-2<x<7},图中阴影部分为∁(A ∪B )A={x|-2<x ≤3},故选A .12.{x|1≤x ≤4}(答案不唯一)解析A={x|1≤x ≤3},B={x|x ≥1},故若A ⫋C ⫋B ,则其中一个满足条件的集合C={x|1≤x ≤4}.13.{1,2,3,5,6,7,8}解析因为A={1,2,5},所以B={1},{2},{5},{1,2},{1,5},{2,5},{1,2,5},所以T (B )=1,2,5,3,6,7,8,故C={1,2,3,5,6,7,8}.14.C 解析由题意得M={x||x|≤2}={x|-2≤x ≤2},∁U N={x|x ≤-3或x ≥1},则M ☉N={x|1≤x ≤2},故选C .15.BD解析M={x|x=6k1+2,k1∈Z},N={x|x=6k2+5,k2∈Z},P={x|x=3k3+2,k3∈Z},对A,由6k1+2=6k2+5⇒k1=k2+12,等式不成立,故M∩N=⌀,A错误;对BCD,当k3为奇数时,可令k3=2k2+1,则3k3+2=6k2+5;当k3为偶数时,可令k3=2k1,则3k3+2=6k1+2.故M∪N=P,且N=∁P M,BD正确,C错误.故选B。

课时规范训练A基础巩固练1．(多选题)下列各组对象能构成集合的有()A．接近于1的所有正整数B．小于0的实数C．(2023，1)与(1，2023)D．某校高一(1)班的聪明学生解析：BC A中，接近于1的所有正整数标准不明确，故不能构成集合；B 中小于0是一个明确的标准，能构成集合；C中(2023，1)与(1，2023)是两个不同的点，是确定的，能构成集合；D中“某校高一(1)班的聪明学生”中“聪明”的标准不确定，因而不能构成一个集合．2．给出下列关系：①13∈R；②5∈Q；③－3∉Z；④－3∉N，其中正确的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：B 13是实数，①正确；5是无理数，②错误；－3是整数，③错误；－3是无理数，④正确．故选B．3．下列说法中正确的是()A．某学校高一(8)班比较漂亮的女生能确定一个集合B．由1，32，64，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12，0.5组成的集合有5个元素C．将小于100的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到两个不同的集合D．方程x2＋1＝2x的解集中只有一个元素解析：D A是错误的，因为“漂亮”是个模糊的概念，因此不满足集合中元素的确定性；B是错误的，32＝64，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＝0.5，根据互异性，得由1，32，64，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12，0.5组成的集合只有3个元素：1，32，0.5；C是错误的，根据集合中元素的无序性可知，小于100的自然数无论按什么顺序排列，构成的集合都是同一集合；D是正确的，方程x2＋1＝2x有两个相等的解，即x1＝x2＝1，其解集中只有一个元素，故D正确．4．下列各组中，集合P与Q表示同一个集合的是()A．P是由元素1，3，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－3|构成的集合B．P是由π构成的集合，Q是由3.141 59构成的集合C．P是由2，3构成的集合，Q是由有序数对(2，3)构成的集合D．P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集解析：A由于A中P，Q的元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而B，C，D中P，Q的元素不相同，所以P与Q不表示同一个集合．5．已知集合M是方程x2－x＋m＝0的解组成的集合，若2∈M，则下列判断正确的是()A．1∈M B．0∈MC．－1∈M D．－2∈M解析：C由2∈M知2为方程x2－x＋m＝0的一个解，所以22－2＋m＝0，解得m＝－2.所以方程为x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2.故方程的另一根为－1.6．(多选题)集合A中含有三个元素2，4，6，若a∈A，且6－a∈A，那么a 可以为()A．2 B．－2C．4 D．6解析：AC若a＝2，则6－2＝4∈A；若a＝4，则6－4＝2∈A；若a＝6，则6－6＝0∉A．7．已知集合P中元素x满足：x∈N，且2<x<a，又集合P中恰有三个元素，则整数a＝________．解析：因为x∈N，2<x<a，且集合P中恰有三个元素，易知a＝6.答案：68．若由a ，b a ，1组成的集合A 与由a 2，a ＋b ，0组成的集合B 相等，则a 2023＋b 2023的值为________．解析：由已知可得a ≠0，因为两集合相等，又1≠0，所以b a ＝0，所以b ＝0，所以a 2＝1，即a ＝±1，又当a ＝1时，集合A 不满足集合中元素的互异性，舍去，所以a ＝－1. 所以a 2023＋b 2023＝－1.答案：－19．已知集合A 含有两个元素a －3和2a －1，a ∈R .(1)求实数a 的取值范围；(2)若a ∈A ，求实数a 的值．解：(1)如果a －3＝2a －1，则a ＝－2.由于a －3，2a －1是集合A 含有的两个元素，所以实数a ≠－2.(2)因为a ∈A ，所以a ＝a －3或a ＝2a －1.当a ＝a －3时，0＝－3，不成立；当a ＝2a －1时，a ＝1，此时A 中有两个元素－2，1，符合题意，综上所述，实数a 的值为1.B 能力进阶练10．若集合A 的元素y 满足y ＝x 2＋1，集合B 的元素(x ，y )满足y ＝x 2＋1(A ，B 中x ∈R ，y ∈R )，则下列选项中元素与集合的关系都正确的是( )A ．2∈A 且2∈BB ．(1，2)∈A 且(1，2)∈BC ．2∈A 且(3，10)∈BD ．(3，10)∈A 且2∈B解析：C 集合A 中的元素为y ，是数集，又y ＝x 2＋1≥1，故2∈A ；集合B 中的元素为点(x ，y )且满足y ＝x 2＋1，经验证，(3，10)∈B ，故选C ．11．(多选题)由a 2，2－a ，4组成一个集合A ，且集合A 中含有3个元素，则实数a 的取值不可能是( )A ．1B ．－2C ．－1D ．2解析：ABD 由题意知a 2≠4，2－a ≠4，a 2≠2－a ，解得a ≠±2，且a ≠1，即a 的取值不可能是1，±2.12．已知集合A 含有两个元素1和2，集合B 表示方程x 2＋ax ＋b ＝0的解组成的集合，且集合A 与集合B 相等，则a ＝________，b ＝________．解析：因为集合A 与集合B 相等，且1∈A ，2∈A ，所以1∈B ，2∈B ，即1，2是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个实数根．所以⎩⎨⎧1＋2＝－a ，1×2＝b ，所以⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝2.答案：－3 213．已知集合A 的元素是a ，b ，2，集合B 的元素是2，b 2，2a ，若A ＝B ，求实数a ，b 的值．解：由已知A ＝B 得⎩⎨⎧a ＝2a ，b ＝b 2，① 或⎩⎨⎧a ＝b 2，b ＝2a ，② 解①得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝0或⎩⎨⎧a ＝0，b ＝1.解②得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12.又由集合元素的互异性，得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12.C 探索创新练14．已知a ∈A 且4－a ∈A ，a ∈N 且4－a ∈N ，则：(1)若A 中只有1个元素，则a ＝________；(2)若A有且只有2个元素，则集合A的个数是________．解析：因为a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N，若a＝0，则4－a＝4，此时A满足要求；若a＝1，则4－a＝3，此时A满足要求；若a＝2，则4－a＝2.此时A含1个元素．答案：(1)2(2)2。

第一章集合1.1.1 集合的的概念基础达标1.下列说法中正确的是()A.2010年广州亚运会所有比赛项目组成一个集合B.某个班年龄较小的学生组成一个集合C.1、2、3组成的集合与2、1、3组成的集合是不同的两个集合D.1，0，5，1.5，2.5组成的集合有四个元素2.若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是()A.3.14B.－5C.3D.√773.下列说法中①集合N与集合N+是同一个集合②集合N中的元素都是集合Z中的元素③集合Q中的元素都是集合Z中的元素④集合Q中的元素都是集合R中的元素其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.44.若以集合A的四个元素a、b、c、d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是()A.梯形B.平行四边形C.菱形D.矩形5.下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是()A.P是由元素1，√3，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－√3|构成的集合B.P是由π构成的集合，Q是由3.14159构成的集合C.P是由2，3构成的集合，Q是由有序数对(2，3)构成的集合D.P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2=1的解集6.用符号∈或∉填空:0N；－2N；√2Q；3R，－3Z.27.设由2，4，6构成的集合为A，若实数a∈A时，6－a∈A，则a=.能力提升8.由a，－a，|a|，√a2构成的集合中，最多含有个元素.9.已知集合A中含有两个元素a和a2，若1∈A，求实数a的值.10.集合A中共有3个元素－4，2a－1，a2，集合B中也共有3个元素9，a－5，1－a，现知9∈A且集合B中再没有其他元素属于A，能否根据上述条件求出实数a的值?若能，则求出来；若不能，则说明理由.参考答案：1. A解析:A项中因为标准明确所以可以构成一个集合，B项中“较小”标准不明确不能构成集合，C项中三个元素组成的集合相等，D项中组成的集合有五个元素，故选A.2. D解析:R表示实数集，Q表示有理数集，由题意可知，a应为无理数，故选D.3. B解析:因为集合N+表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确.故选B.4. A解析:由于a、b、c、d四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边互不相等，故选A.5.A解析:由于A中P、Q元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而B、C、D中元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合.故选A.6.答案:∈∉∉∈∈∈R，－3∈Z.解析:根据数集的含义，得0∈N，－2∉N，√2∉Q，327. 答案:2或4解析:代入验证，若a=2，则6－2=4∈A，符合题意；若a=4，则6－4=2∈A，符合题意；若a=6，则6－6=0∉A，不符合题意，舍去，所以a=2或a=4.8. 答案:2解析:对a进行分类讨论:①当a=0时，四个数都为0，只含有一个元素；②当a≠0时，含有两个元素a，－a，所以集合中最多含有2个元素.9. 解:若1∈A，则a=1或a2=1，即a=±1.当a=1时，集合A有重复元素，∴a≠1；当a=－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合互异性，∴a=－1.10. 解:∵9∈A，∴2a－1=9或a2=9，若2a－1=9，则a=5，此时A中的元素为－4，9，25；B中的元素为9，0，－4，显然－4∈A且－4∈B，与已知矛盾，故舍去.若a2=9，则a=±3，当a=3时，A中的元素为－4，5，9；B中的元素为9，－2，－2，B中有两个－2，与集合中元素的互异性矛盾，故舍去.当a=－3时，A中的元素为－4，－7，9；B中的元素为9，－8，4，符合题意.综上所述，满足条件的a存在，且a=－3.。

第一章集合§1.1集合与集合的表示方法1．1.1集合的概念一、选择题1．已知集合A由x<1的数构成，则有()A．3∈A B．1∈AC．0∈A D．－1∉A2．由实数x，－x，|x|，x2，－3x3所组成的集合，最多含()A．2个元素B．3个元素C．4个元素D．5个元素3．下列结论中，不正确的是()A．若a∈N，则－a∉N B．若a∈Z，则a2∈ZC．若a∈Q，则|a|∈Q D．若a∈R，则3a∈R4．已知x，y为非零实数，代数式x|x|＋y|y|所有可能的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是()A．0∉M B．1∈MC．－2∉M D．2∈M5．已知集合S中三个元素a，b，c是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是() A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形6．已知A中元素满足x＝3k－1，k∈Z，则下列表示正确的是()A．－1∉A B．－11∈AC．3k2－1∈A D．－34∉A二、填空题7．在方程x2－4x＋4＝0的解集中，有________个元素．8．下列所给关系正确的个数是________．①π∈R；②3D∈/Q；③0∈N＋；④|－4|D∈/N＋.9．如果有一集合含有三个元素：1，x，x2－x，则实数x的取值范围是________．10．已知a ，b ∈R ，集合A 中含有a ，b a，1三个元素，集合B 中含有a 2，a ＋b,0三个元素，若A ＝B ，则a ＋b ＝____.三、解答题11．已知集合A 是由a －2,2a 2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A ，求实数a 的值．12.已知集合A 含有两个元素a －3和2a －1，a ∈R .(1)若－3∈A ，试求实数a 的值；(2)若a ∈A ，试求实数a 的值．13．数集A满足条件：若a∈A，则11－a∈A(a≠1)．(1)若2∈A，试求出A中其他所有元素；(2)自己设计一个数属于A，然后求出A中其他所有元素；(3)从上面的解答过程中，你能悟出什么道理？并大胆证明你发现的“道理”．四、探究与拓展14．已知集合A＝{a，b，c}中任意2个不同元素的和的集合为{1,2,3}，则集合A的任意2个不同元素的差的绝对值的集合是()A．{1,2,3} B．{1,2}C．{0,1} D．{0,1,2}15．已知集合A中的元素x均满足x＝m2－n2(m，n∈Z)，求证：(1)3∈A；(2)偶数4k－2(k∈Z)不属于集合A.答案精析1．C 2.A 3.A 4.D 5.D 6.C 7.18．2 9.x ≠0,1,2，1±5210.－1 11．－32. 12．解 (1)因为－3∈A ，所以－3＝a －3或－3＝2a －1.若－3＝a －3，则a ＝0.此时集合A 含有两个元素－3，－1，符合题意．若－3＝2a －1，则a ＝－1.此时集合A 含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，满足题意的实数a 的值为0或－1.(2)因为a ∈A ，所以a ＝a －3或a ＝2a －1.当a ＝a －3时，有0＝－3，不成立；当a ＝2a －1时，有a ＝1，此时A 中有两个元素－2,1，符合题意．综上所述，满足题意的实数a 的值为1.13．解 (1)2∈A ，则11－2∈A ， 即－1∈A ，则11＋1∈A ，即12∈A ，则11－12∈A ， 即2∈A ，所以A 中其他所有元素为－1，12. (2)如：若3∈A ，则A 中其他所有元素为－12，23. (3)分析以上结果可以得出：A 中只能有3个元素，它们分别是a ，11－a，a －1a ，且三个数的乘积为－1.证明如下：若a ∈A ，a ≠1，则有11－a ∈A 且11－a≠1， 所以又有11－11－a＝a －1a ∈A 且a －1a ≠1，进而有11－a －1a＝a ∈A . 又因为a ≠11－a (因为若a ＝11－a， 则a 2－a ＋1＝0，而方程a 2－a ＋1＝0无解)．同理11－a≠a －1a ，a ≠a －1a ，所以A 中只能有3个元素， 它们分别是a ，11－a ，a －1a ，且三个数的乘积为－1. 14．B15．证明 (1)令m ＝2∈Z ，n ＝1∈Z ，得x ＝m 2－n 2＝4－1＝3，所以3∈A .(2)假设4k －2∈A ，则存在m ，n ∈Z ，使4k －2＝m 2－n 2＝(m ＋n )(m －n )成立． ①当m ，n 同奇或同偶时，m ＋n ，m －n 均为偶数，所以(m ＋n )(m －n )为4的倍数与4k －2不是4的倍数矛盾．②当m ，n 一奇一偶时，m ＋n ，m －n 均为奇数，所以(m ＋n )(m －n )为奇数，与4k －2是偶数矛盾．所以假设不成立．综上，4k －2∉A .。

1.1.2 集合的表示方法一、选择题1．方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3，x －y ＝－1的解集不可以表示为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3x －y ＝－1 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝2 C ．{1,2}D ．{(1,2)}答案 C 解析 方程组的集合中最多含有一个元素，且元素是一个有序实数对，故C 不符合．2．集合A ＝{x ∈Z |－2<x <3}的元素个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 D解析 因为A ＝{x ∈Z |－2<x <3}，所以x 的取值为－1，0,1,2.3．集合{(x ，y )|y ＝2x －1}表示( )A ．方程y ＝2x －1B ．点(x ，y )C ．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D ．函数y ＝2x －1图象上的所有点组成的集合答案 D解析 集合{(x ，y )|y ＝2x －1}的代表元素是(x ，y )，x ，y 满足的关系式为y ＝2x －1，因此集合表示的是满足关系式y ＝2x －1的点组成的集合，故选D.4．已知集合A ＝{0,1,2}，B ＝{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈A }，则B 等于( )A ．{0,1,2,3,4}B ．{0,1,2}C ．{0,2,4}D ．{1,2} 考点 集合的表示综合题点 用另一个方法表示集合答案 A5．下列选项中，集合M ，N 元素相同的是( )A ．M ＝{3,2}，N ＝{2,3}B ．M ＝{(3,2)}，N ＝{(2,3)}C ．M ＝{3,2}，N ＝{(3,2)}D ．M ＝{(x ，y )|x ＝3且y ＝2}，N ＝{(x ，y )|x ＝3或y ＝2}答案 A解析 元素具有无序性，A 正确；点的横坐标、纵坐标是有序的，B 选项两集合中的元素不同；C 选项中集合M 中的元素是两个数，N 中的元素是一个点，不相同；D 选项中集合M 中元素是一个点(3,2)，而N 中元素是两条直线x ＝3和y ＝2上所有的点，不相同．6．对集合{1,5,9,13,17}用描述法来表示，其中正确的是( )A ．{x |x 是小于18的正奇数}B ．{x |x ＝4k ＋1，k ∈Z ，且k <5}C ．{x |x ＝4t －3，t ∈N ，且t ≤5}D ．{x |x ＝4s －3，s ∈N ＋，且s ≤5}考点 集合的表示综合题点 用另一种方法表示集合答案 D解析 对于x ＝4s －3，当s 依次取1,2,3,4,5时，恰好对应的x 的值为1,5,9,13,17.二、填空题7．方程x 2－5x ＋6＝0的解集用列举法可表示为______．答案 {2,3}解析 易知方程x 2－5x ＋6＝0的解为x ＝2或3，则方程解集为{2,3}．8．集合{x ∈N |x 2＋x －2＝0}用列举法可表示为________．答案 {1}解析 由x 2＋x －2＝0，得x ＝－2或x ＝1.又x ∈N ，∴x ＝1.9．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈A }，则B 中所含元素的个数为________． 答案 3解析 根据x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈A ，知集合B ＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)}，有3个元素．10．定义集合A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，若集合A ＝{x |2x ＋1>0}，集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪ x －23<0，则集合A －B ＝________________.答案 {x |x ≥2}解析 A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >－12，B ＝{x |x <2}， A －B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >－12，且x ≥2 ＝{x |x ≥2}．三、解答题11．已知集合A ＝{x |y ＝x 2＋3}，B ＝{y |y ＝x 2＋3}，C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋3}，它们三个集合中元素相同吗？试说明理由．解 因为三个集合中代表的元素性质互不相同，所以它们是互不相同的集合．理由如下：集合A 中代表的元素是x ，满足条件y ＝x 2＋3中的x ∈R ，所以A ＝R ；集合B 中代表的元素是y ，满足条件y ＝x 2＋3中y 的取值范围是y ≥3，所以B ＝{y |y ≥3}． 集合C 中代表的元素是(x ，y )，这是个点集，这些点在抛物线y ＝x 2＋3上，所以C ＝{P |P 是抛物线y ＝x 2＋3上的点}．12．用适当的方法表示下列集合：(1)大于2且小于5的有理数组成的集合；(2)24的所有正因数组成的集合；(3)平面直角坐标系内与两坐标轴的距离相等的点组成的集合．解 (1)用描述法表示为{x |2<x <5，且x ∈Q }．(2)用列举法表示为{1,2,3,4,6,8,12,24}．(3)在平面直角坐标系内，点(x ，y )到x 轴的距离为|y |，到y 轴的距离为|x |，所以该集合用描述法表示为{(x ，y )||y |＝|x |}．13．已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}．(1)若A 是单元素集合，求集合A ；(2)若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围．考点 集合的表示综合题点 由元素个数求参数解 (1)当a ＝0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，符合题意； 当a ≠0时，方程ax 2－3x ＋2＝0有两个相等的实数根，则Δ＝9－8a ＝0，解得a ＝98，此时A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫43，符合题意． 综上所述，当a ＝0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，当a ＝98时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫43.(2)由(1)可知，当a ＝0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23符合题意； 当a ≠0时，要使方程ax 2－3x ＋2＝0有实数根，则Δ＝9－8a ≥0，解得a ≤98，且a ≠0. 综上所述，若集合A 中至少有一个元素，则a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a ≤98.14．已知集合A ＝{x |x ＝3m ，m ∈N ＋}，B ＝{x |x ＝3m －1，m ∈N ＋}，C ＝{x |x ＝3m －2，m ∈N ＋}，若a ∈A ，b ∈B ，c ∈C ，则下列结论中可能成立的是( )A ．2 018＝a ＋b ＋cB ．2 018＝abcC ．2 018＝a ＋bcD ．2 018＝a (b ＋c ) 答案 C解析 由于2 018＝3×673－1，不能被3整除， 而a ＋b ＋c ＝3m 1＋3m 2－1＋3m 3－2＝3(m 1＋m 2＋m 3－1)不满足； abc ＝3m 1(3m 2－1)(3m 3－2)不满足；a ＋bc ＝3m 1＋(3m 2－1)(3m 3－2)＝3m －1适合；a (b ＋c )＝3m 1(3m 2－1＋3m 3－2)不满足．故选C.15．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝k 2＋14，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝n 4＋12，n ∈Z ，若x 0∈M ，判断x 0与N 的关系．考点 集合的表示综合题点 元素与集合关系的判定解 M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪ x ＝2k ＋14，k ∈Z ， N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪ x ＝n ＋24，n ∈Z ， ∵2k ＋1(k ∈Z )是一个奇数，n ＋2(n ∈Z )是一个整数， ∴x 0∈M 时，一定有x 0∈N .。