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高二数学 第三章 导数应用§1 函数的单调性与极值1．1 导数与函数的单调性 课时目标 掌握导数与函数单调性之间的关系，会利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．1．导函数的符号和函数的单调性的关系：如果在某个区间内，函数y ＝f (x )的导数________，则在这个区间上，函数y ＝f (x )是增加的；如果在某个区间内，函数y ＝f (x )的导数f ′(x )<0，则在这个区间上，函数f (x )是________的．2．函数的单调性决定了函数图像的大致形状．一、选择题1．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若在区间(a ，b )内，f ′(x )>0，且f (a )≥0，则在(a ，b )内有( )A ．f (x )>0B ．f (x )<0C ．f (x )＝0D ．不能确定3．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )A ．sin xB ．x e xC ．x 3－xD ．ln x －x4．函数f (x )＝2x －sin x 在(－∞，＋∞)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．不确定5．定义在R 上的函数f (x )，若(x －1)·f ′(x )<0，则下列各项正确的是( )A ．f (0)＋f (2)>2f (1)B ．f (0)＋f (2)＝2f (1)C ．f (0)＋f (2)<2f (1)D ．f (0)＋f (2)与2f (1)大小不定6．函数y ＝ax －ln x 在(12，＋∞)内单调递增，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，0]∪[2，＋∞) B ．(－∞，0]C ．[2，＋∞)D ．(－∞，2]二、填空题7．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间是____________．8．已知f (x )＝ax 3＋3x 2－x ＋1在R 上是减函数，则a 的取值范围为__________．9．使y ＝sin x ＋ax 在R 上是增函数的a 的取值范围为____________．三、解答题10．求函数f(x)＝2x2－ln x的单调区间．11．(1)已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为[－1,2]，求b，c的值．(2)设f(x)＝ax3＋x恰好有三个单调区间，求实数a的取值范围．能力提升12．判断函数f(x)＝(a＋1)ln x＋ax2＋1的单调性．13．已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．1．利用导数的正负与函数单调性的关系可以求函数的单调区间；在求函数单调区间时，只能在定义域内讨论导数的符号．2．根据函数单调性可以求某些参数的范围．答案知识梳理1．f′(x)>0 减少作业设计1．A [f (x )＝x 3在(－1,1)内是单调递增的，但f ′(x )＝3x 2≥0(－1<x <1)，故甲是乙的充分不必要条件．]2．A [因为f (x )在(a ，b )上为增函数，∴f (x )>f (a )≥0.]3．B [A 中，y ′＝cos x ，当x >0时，y ′的符号不确定；B 中，y ′＝e x ＋x e x ＝(x ＋1)e x ，当x >0时，y ′>0，故在(0，＋∞)内为增函数；C 中：y ′＝3x 2－1，当x >0时，y ′>－1；D中，y ′＝1x－1，当x >0时，y ′>－1.] 4．A [f ′(x )＝2－cos x ，∵cos x ≤1，∴f ′(x )>0，∴f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．]5．C [当x >1时，f ′(x )<0，f (x )是减函数，∴f (1)>f (2)．当x <1时，f ′(x )>0，f (x )是增函数，∴f (0)<f (1)．因此f (0)＋f (2)<2f (1)．]6．C [∵y ′＝a －1x ，函数y ＝ax －ln x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞内单调递增， ∴函数在(12，＋∞)上y ′≥0，即a －1x≥0， ∴a ≥1x .由x >12得1x<2， 要使a ≥1x恒成立，只需a ≥2.] 7．(－1,11)解析 ∵f ′(x )＝3x 2－30x －33＝3(x ＋1)(x －11)．由f ′(x )<0，得－1<x <11，∴f (x )的单减区间为(－1,11)．8．(－∞，－3]解析 f ′(x )＝3ax 2＋6x －1≤0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a <0Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a <036＋12a ≤0，∴a ≤－3. 9．[1，＋∞)解析 ∵f ′(x )＝cos x ＋a ≥0，∴a ≥－cos x ，又－1≤cos x ≤1，∴a ≥1.10．解 由题设知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x， 由f ′(x )>0，得x >12， 由f ′(x )<0，得0<x <12， ∴函数f (x )＝2x 2－ln x 的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 11．解 (1)∵函数f (x )的导函数f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题设知－1<x <2是不等式3x 2＋2bx ＋c <0的解集．∴－1,2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个实根，∴－1＋2＝－23b ，(－1)×2＝c 3， 即b ＝－32，c ＝－6. (2)∵f ′(x )＝3ax 2＋1，且f (x )有三个单调区间，∴方程f ′(x )＝3ax 2＋1＝0有两个不等的实根，∴Δ＝02－4×1×3a >0，∴a <0.∴a 的取值范围为(－∞，0)．12．解 由题意知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a ＋1x ＋2ax ＝2ax 2＋a ＋1x. ①当a ≥0时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②当a ≤－1时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减．③当－1<a <0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝－a ＋12a， 则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 时，f ′(x )>0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ －a ＋12a ，＋∞时，f ′(x )<0. 故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0， －a ＋12a 上单调递增， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫ －a ＋12a ，＋∞上单调递减． 综上，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ≤－1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当－1<a <0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0， －a ＋12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫ －a ＋12a ，＋∞上单调递减．13．解 (1)由已知，得f ′(x )＝3x 2－a .因为f (x )在(－∞，＋∞)上是单调增函数，所以f ′(x )＝3x 2－a ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a ≤3x 2对x ∈(－∞，＋∞)恒成立．因为3x 2≥0，所以只需a ≤0.又a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，f (x )在实数集R 上单调递增，所以a ≤0.(2)假设f ′(x )＝3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立，则a ≥3x 2在x ∈(－1,1)时恒成立．因为－1<x <1，所以3x 2<3，所以只需a ≥3.当a ＝3时，在x ∈(－1,1)上，f ′(x )＝3(x 2－1)<0，即f (x )在(－1,1)上为减函数，所以a ≥3.故存在实数a ≥3，使f (x )在(－1,1)上单调递减．。
活页作业(十) 导数与函数的单调性(第一课时)1．当x >0时，f (x )＝x ＋，则f (x )的递减区间是( )2x A ．(2，＋∞) B ．(0,2)C ．(，＋∞)D ．(0，)22解析：由已知得f ′(x )＝1－.2x 2令f ′(x )＝1－<0，得－<x <且x ≠0.2x 222又x >0，∴0<x <.2∴函数f (x )的递减区间为(0，)．2答案：D2．下列函数中，在(0，＋∞)内递增的是( )A ．sin 2x B ．x e xC ．x 3－xD ．－x ＋ln(1＋x )解析：选项B 中，y ＝x e x ，在区间(0，＋∞)上，y ′＝e x ＋x e x ＝e x (1＋x )>0.∴函数y ＝x e x 在(0，＋∞)内递增．答案：B3．已知f (x )，g (x )均为(a ，b )上的可导函数，在[a ，b ]上没有间断点，且f ′(x )>g ′(x )，f (a )＝g (a )，则x ∈(a ，b )时有( )A ．f (x )>g (x )B ．f (x )<g (x )C ．f (x )＝g (x )D ．大小关系不能确定解析：∵f ′(x )>g ′(x )，∴f ′(x )－g ′(x )>0.即[f (x )－g (x )]′>0，∴f (x )－g (x )在(a ，b )上是增加的．∴f (x )－g (x )>f (a )－g (a )．∴f (x )－g (x )>0.∴f (x )>g (x )．答案：A4．设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图像如下图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图像可能为( )解析：函数f (x )在(－∞，0)上是增加的，则f ′(x )在(－∞，0)上恒大于0，排除A ，C ；函数f (x )在(0，＋∞)上先增加，再减少，最后又增加，则f ′(x )在(0，＋∞)上先为正，再为负，最后又为正．答案：D5．函数f (x )＝x ln x 的递增区间是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．D ．(0，1e )(1e ，＋∞)解析：由导数公式表和求导法则，得f ′(x )＝lnx ＋1.当x ∈时，f ′(x )>0，所(1e ，＋∞)以函数f (x )在区间上是增加的．(1e ，＋∞)答案：D6．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的递减区间为__________．解析：由已知得f ′(x )＝3x 2－30x －33＝3(x ＋1)(x －11)．令f ′(x )<0，得－1<x <11，故递减区间为(－1,11)．答案：(－1,11)7．函数y ＝ln(x 2－x －2)的递减区间为________．解析：由已知得f ′(x )＝.2x －1x 2－x －2令f ′(x )<0得x <－1或<x <2.又∵函数定义域为(－∞，－ 1)∪(2，＋∞)，∴递减区12间为(－∞，－1)．答案：(－∞，－1)8．函数y ＝－x 3＋12x 的递减区间为__________．解析：由已知得y ′＝－3x 2＋12.令y ′<0，得x <－2或x >2.∴递减区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)．答案：(－∞，－2)，(2，＋∞)9．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图像过点P (0,2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0.(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)求函数y ＝f (x )的单调区间．解：(1)∵f (x )的图像经过点P (0,2)，∴d ＝2.∴f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .∵在点M (－1，f (－1))处的切线方程是6x －y ＋7＝0，∴－6－f (－1)＋7＝0.∴f (－1)＝1.又f ′(－1)＝6，∴Error!即Error!解得b ＝c ＝－3.∴所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2.(2)由已知得f ′(x )＝3x 2－6x －3.令f ′(x )＝0，即x 2－2x －1＝0，解得x 1＝1－，x 2＝1＋.22当x <1－或x >1＋时，f ′(x )>0；22当1－<x <1＋时，f ′(x )<0.22∴f (x )的递增区间为(－∞，1－)和(1＋，＋∞)，递减区间为(1－，1＋)．222210．已知x >0，证明：ln(1＋x )>x －x 2.12证明：设f (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2(x >0)，12则f ′(x )＝－1＋x ＝.1x ＋1x 21＋x 当x >0时，f ′(x )>0.∴f (x )在(0，＋∞)内是增加的．∴当x >0时，f (x )>f (0)＝0.∴当x >0时，ln(1＋x )>x －x 2.1211．下列区间中，是函数y ＝x sin x ＋cos x 的递增区间的是( )A ． B ．(π，2π)(π2，32π)C ．D ．(2π，3π)(32π，52π)解析：由已知得y ′＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x .∴当x ∈时，y ′＝x cos x >0.(32π，52π)答案：C12．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )上任一点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ＝(x 0－2)(x 0＋1)2，则该函数的递减区间为________．解析：由于切线的斜率就是其该点的导数值，所以由题意知f ′(x )＝(x －2)(x ＋1)2<0.解得x <2.故减区间为(－∞，2)．答案：(－∞，2)13．函数y ＝f (x )在定义域内可导，其图像如下图所示．记y ＝f (x )的导函数为(－32，3)y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为________．解析：∵f ′(x )≤0对应函数f (x )的递减区间，即f (x )的减区间为，(2,3)，(－13，1)∴f ′(x )≤0的解集为∪[2,3)．[－13，1]答案：∪[2,3)[－13，1]14．在区间(a ，b )内，f ′(x )>0是f (x )在(a ，b )内单调递增的___________条件．解析：若f ′(x )>0，则f (x )在(a ，b )内单调递增．反之不成立．例如y ＝x 3.在R 上递增，但y ′＝3x 2≥0.答案：充分不必要15．求证：方程x －sin x ＝0只有一个根x ＝0.12证明：设f (x )＝x －sin x ，x ∈，12(－∞，＋∞)则f ′(x )＝1－cos x >0.12∴f (x )在(－∞，＋∞)上是单调递增函数．当x ＝0时，f (x )＝0，∴方程x －sin x ＝0有唯一根x ＝0.1216．已知m 、n ∈N ＋，且1<m <n ，求证：(1＋m )n >(1＋n )m .证明：∵1<m <n ，m ，n ∈N ＋，∴2≤m <n ，(1＋m )n >(1＋n )m ⇔>.ln (1＋m )mln (1＋n )n∴构造函数f (x )＝(x ≥2)，ln (1＋x )x得f ′(x )＝.x 1＋x－ln (1＋x )x 2由x ≥2，得0<<1，ln(1＋x )≥ln 3>1.x1＋x ∴f ′(x )<0，f (x )为单调递减函数．又2≤m <n ，∴>.ln (1＋m )mln (1＋n )n∴(1＋m )n >(1＋n )m .。
第三章 §1 1.1 第1课时1．函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增加的( )A ．⎝⎛⎭⎫π2，3π2B ．()π，2πC ．⎝⎛⎭⎫3π2，5π2D ．(2π，3π)解析：由已知得y ′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x ．当x ∈(π，2π)时，－x sin x >0.即函数在(π，2π)上是增加的．答案：B2.f ′(x )是f (x )的导函数，f ′(x )的图像如右图所示，则f (x )的图像可能是( )解析：由图知f ′(x )在区间[a ，b ]上先增大后减小，但始终大于0，则f (x )的图像上点的切线的斜率应先增大后减小，只有D 符合．答案：D3．在下列结论中，正确的有 ( )(1)单调增函数的导数也是单调增函数；(2)单调减函数的导数也是单调减函数；(3)单调函数的导数也是单调函数；(4)导函数是单调的，则原函数也是单调的．A ．0个B ．2个C ．3个D ．4个解析：分别举反例：(1)y ＝ln x ，(2)y ＝1x(x >0)， (3)y ＝2x ，(4)y ＝x 2.答案：A4．函数y ＝－13x 3＋x 2＋5的递增区间为____________，递减区间为____________．解析：由已知得y ′＝－x 2＋2x .令y ′>0，得0<x <2.令y ′<0，得x <0或x >2. 答案：(0,2) (－∞，0)，(2，＋∞)5．求函数f (x )＝2x 2－ln x 的递减区间． 解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，又f ′(x )＝4x 2－1x， 令4x 2－1x <0，得x <－12或0<x <12. 又∵x >0，∴f (x )的递减区间为⎝⎛⎭⎫0，12.。
活页作业(十一) 导数与函数的单调性(第二课时)1．函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋1(a 为常数)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)内单调递增，且在区间(0,2)内单调递减，则a 值为( )A ．1B ．2C ．－6D ．－12解析：f ′(x )＝6x 2＋2ax ，依题意得f ′(2)＝24＋4a ＝0，∴a ＝－6. 答案：C2．若函数f (x )＝13x 3＋x 2－ax 在区间(1，＋∞)上是增加的，且在区间(1,2)上有零点，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫43，3B ． ⎝⎛⎭⎫43，103 C ．⎝⎛⎦⎤43，3D ．(－∞，3]解析：∵函数f (x )＝13x 3＋x 2－ax 在区间(1，＋∞)上是增加的，∴f ′(x )＝x 2＋2x －a ≥0在区间(1，＋∞)上恒成立． ∴a ≤x 2＋2x ，x ∈(1，＋∞)恒成立． ∵当x >1时，x 2＋2x >3， ∴a ≤3.①∵函数f (x )＝13x 3＋x 2－ax 在区间(1，＋∞)上是增加的，且在区间(1,2)上有零点，∴f (1)<0，f (2)>0. ∴43<a <103.② 由①②得，43<a ≤3.答案：C3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(x ≥0)，x 3－(a －1)x ＋a 2－3a －4(x <0) 在(－∞，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．[－1,1] C ．(－∞，1)D ．[－1,4]解析：若原函数在R 上为增函数，则当x <0时，f ′(x )＝3x 2－(a －1)≥0恒成立．因此有a ≤1.还需注意函数在分段点处函数值的大小，应有a 2－3a －4≤0，解得－1≤a ≤4.综上－1≤a ≤1.答案：B4．已知定义在R 上的偶函数f (x )满足x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )<0成立，若a ＝20.2f (20.2)，b ＝ln 2·f (ln 2)，c ＝log 0.50.25·f (log 0.50.25)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >a >bC ．b >a >cD ．a >c >b解析：构造函数h (x )＝xf (x )，由函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，函数y ＝x 是R 上的奇函数，可得h (x )＝xf (x )是R 上的奇函数．又当x ∈(－∞，0)时，h ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )<0. ∴函数h (x )在x ∈(－∞，0)上为单调递减函数． ∴h (x )在x ∈(0，＋∞)上为单调递减函数． ∵2>20.2>1,0<ln 2<1，log 0.50.25＝2， ∴log 0.50.25>20.2>ln 2.∴b >a >c . 答案：C5．设p ：f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q ：m ≥43，则p 是q 的________条件．( )A ．充要B ．充分不必要C ．必要不充分D ．既不充分又不必要解析：对于p ，由题意知f ′(x )＝3x 2＋4x ＋m ≥0在R 上恒成立，即Δ≤0. ∴4－3m ≤0.∴m ≥43.又当m ＝43时，f (x )＝x 3＋2x 2＋43x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋233＋1927在R 上单调递增，∴m ≥43.∴p 是q 的充要条件．答案：A6．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的递减区间为[－1， 2]，则b ＝________，c ＝________. 解析：由题意知，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ≤0在[－1,2]上恒成立，所以－1,2为方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两根，则b ＝－32，c ＝－6.答案：－32－67．若函数f (x )＝ax 3＋x 恰有三个单调区间，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵f ′(x )＝3ax 2＋1，f (x )有三个单调区间， ∴方程3ax 2＋1＝0有两个不等实根． ∴Δ＝0－4×3a ×1>0.解得a <0.答案：(－∞，0)8．已知函数f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调递增函数，则a 的最大值是________． 解析：由题意得f ′(x )＝3x 2－a ≥0在[1，＋∞)上恒成立，因此a ≤3.故a 的最大值为3.答案：39．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax (a >0)，设F (x )＝f (x )＋g (x )．(1)求F (x )的单调区间；(2)若以y ＝F (x )(x ∈(0,3])图像上任意一点P (x 0，y 0)为切点的切线的斜率k ≤12恒成立，求实数a 的最小值．解：(1)F (x )＝f (x )＋g (x )＝ln x ＋ax (x >0)，F ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax2(x >0)．∵a >0，由F ′(x )>0得x ∈(a ，＋∞)， ∴F (x )在(a ，＋∞)上是增加的． 由F ′(x )<0得x ∈(0，a )， ∴F (x )在(0，a )上是减少的．∴F (x )的递减区间为(0，a )，递增区间为(a ，＋∞)． (2)∵F ′(x )＝x －ax2(0<x ≤3)，∴k ＝F ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12(0<x 0≤3)恒成立．即a ≥⎝⎛⎭⎫－12x 20＋x 0max . 当x 0＝1时，－12x 20＋x 0取得最大值12， ∴a ≥12.∴a min ＝12.10．设f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax .若f (x )在⎝⎛⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14＋2a ， 当x ∈⎣⎡⎭⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝⎛⎭⎫23＝29＋2a . 函数有单调递增区间，即在⎝⎛⎭⎫23，＋∞内，导函数大于0有解，令29＋2a >0，得a >－19. 所以当a ∈⎝⎛⎭⎫－19，＋∞时，f (x )在⎝⎛⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间．11．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )<12，则f (x )<x 2＋12的解集为( )A ．{x |－1<x <1}B ．{x |x <－1}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x >1}解析：设g (x )＝f (x )－x 2－12，则g ′(x )＝f ′(x )－12<0.∴g (x )在R 上是减函数．∵g (1)＝f (1)－12－12＝1－1＝0，∴g (x )＝f (x )－x 2－12<0的解集为{x |x >1}．答案：D12．已知函数f (x )＝2e x －mx (其中e ≈2.718…)在区间[－1,0]上单调递减，则实数m 的取值范围为________．解析：由题意得f ′(x )＝2e x －m ≤0在[－1,0]上恒成立，即m ≥2e x 恒成立，可得m ≥2. 答案：[2，＋∞)13．若函数f (x )＝x 3－3ax 2－bx ，其中a ，b 为实数，f (x )在区间[－1,2]上为减函数，且b ＝9a ，则a 的取值范围是________．解析：由已知得f ′(x )＝3x 2－6ax －b ≤0对∀x ∈[－1，2]恒成立， ∵b ＝9a ，∴x 2－2ax －3a ≤0.∵2x ＋3>0. ∴a ≥x 22x ＋3对x ∈[－1,2]恒成立．解得a ≥1. 答案：[1，＋∞)14．已知函数f (x )＝ax －ln x ，若f (x )>1在区间(1，＋∞)内恒成立，则实数a 的取值范围为_________．解析：由已知a >1＋ln xx 在区间(1，＋∞)内恒成立．设g (x )＝1＋ln xx ，∴g ′(x )＝－ln xx2<0(x >1)．∴g (x )＝1＋ln xx 在区间(1，＋∞)内递减．∴g (x )<g (1)． ∵g (1)＝1，∴1＋ln xx<1在区间(1，＋∞)内恒成立．∴a ≥1. 答案：[1，＋∞)15．已知函数f (x )＝a ln x ＋x 3(a 为常数)．(1)若a ＝－3，判断函数f (x )在(1，＋∞)上的单调性； (2)函数f (x )在[1，e]上单调递减，求实数a 的取值范围；(3)若存在x ∈[1，e]，使得f (x )≥ax ＋x 3－x 2＋2x 成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝－3时f ′(x )＝3x 2－3x ＝3(x 3－1)x. 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0. ∴函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数．(2)由已知得f ′(x )＝a x ＋3x 2＝3x 3＋a x .∵f (x )在[1，e]上单调递减，∴f ′(x )≤0在[1，e]上恒成立．即a ≤－3x 3在[1，e]上恒成立． ∵(－3x 3)min ＝－3e 3，∴a ≤－3e 3. (3)不等式f (x )≥ax ＋x 3－x 2＋2x 可化为 a (x －ln x )≤x 2－2x .∵x ∈[1，e]，∴ln x ≤1≤x ，且不能同时取等号． ∴ln x <x ，即x －ln x >0. ∴a ≤x 2－2xx －ln x (x ∈[1，e])．令g (x )＝x 2－2xx －ln x (x ∈[1，e])，则g ′(x )＝(x －1)(x ＋2－2ln x )(x －ln x )2.当x ∈[1，e]时，x －1≥0，ln x ≤1，x ＋2－2ln x >0，从而g ′(x )≥0(仅当x ＝1时取等号)， ∴g (x )在[1，e]上为增函数． ∴g (x )的最小值为g (1)＝－1. ∴实数a 的取值范围是(－∞，－1]． 16．设函数f (x )＝1＋x 1－xe －ax .(1)试写出定义域及f ′(x )的解析式； (2)设a >0，讨论函数y ＝f (x )的单调性． 解：(1)f (x )的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，f ′(x )＝ax 2＋2－a (1－x )2e －ax，其中x ≠1.(2)①当0<a ≤2时，f ′(x )≥0且仅在有限个点处取等号，∴f (x )在(－∞，1)，(1，＋∞)上为增函数．②当a >2时，由f ′(x )>0得ax 2＋2－a >0，解得x >a －2a或x <－a －2a；由f ′(x )<0得ax 2＋2－a <0，解得－a －2a<x < a －2a. 综上所述，当0<a ≤2时，函数y ＝f (x )在(－∞，1)，(1，＋∞)上单调递增；当a >2时，函数y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a －2a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫a －2a ，1，(1，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫－a －2a ， a －2a 上单调递减．。
第三章 §1 1.1 第2课时1．若f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)在R 上为增函数，则( )A ．b 2－4ac >0 B ．b >0，c <0C ．b ＝0，c >0D ．b 2－3ac ≤0解析：由f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ≥0，知Δ＝4b 2－12ac ≤0，故b 2－3ac ≤0.答案：D2．若函数h (x )＝2x －＋在(1，＋∞)上是增函数，则实数k 的取值范围是( )k x k 3A ．[－2，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．(－∞，－2]D ．(－∞，2]解析：根据已知条件得h ′(x )＝2＋＝≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≥－2x 2k x 22x 2＋k x 2在(1，＋∞)上恒成立，所以k ∈[－2，＋∞)．答案：A3．若函数f (x )＝x 3－3ax 2－2x ＋5在(0,1)内单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥B ．a >1616C ．a ＝D ．0<a <1616解析：∵f ′(x )＝3x 2－6ax －2，f (x )在(0,1)内单调递减，∴不等式3x 2－6ax －2<0在(0,1)内恒成立．∴a >x －在(0,1)内恒成立．1213x ∵函数g (x )＝x －在(0,1)内是增函数，且g (x )<g (1)＝－＝，∴a ≥.1213x 12131616答案：A4．已知函数f (x )＝x 3＋ax 在区间[0，＋∞)上是增加的，则a 的取值范围是________．解析：∵f ′(x )＝3x 2＋a ，当x ≥0时，f ′(x )≥0恒成立，即3x 2＋a ≥0恒成立，∴a ≥－3x 2.又当x ≥0时，－3x 2≤0，∴a ≥0.即a 的取值范围是[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)5．设函数f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，a >0.(1)求f (x )的单调区间；(2)求所有实数a ，使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立．解：(1)∵f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，∴x >0，f ′(x )＝－2x ＋a ＝－.a 2x (x －a )(2x ＋a )x ∵x >0，a >0，∴f (x )的递增区间为(0，a )，递减区间为(a ，＋∞)．(2)由题意，得f (1)＝a －1≥e －1，∴a ≥e.由(1)知f (x )在[1，e]内单调递增．要使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立，只要Error!解得a ＝e.。
第三章 本章整合提升1．(2016·四川卷)设p ：实数x ，y 满足x ＞1且y ＞1，q ：实数x ，y 满足x ＋y ＞2，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：⎭⎪⎬⎪⎫当x ＞1，y ＞1时，x ＋y ＞2一定成立，即p ⇒q 当x ＋y ＞2时，可以x ＝－1，y ＝4，即q /⇒p ⇒ p 是q 的充分不必要条件. 答案：A2．(2016·浙江卷)已知函数f (x )满足：f (x )≥|x |且f (x )≥2x ，x ∈R . ( ) A ．若f (a )≤|b |，则a ≤b B ．若f (a )≤2b ，则a ≤b C ．若f (a )≥|b |，则a ≥bD ．若f (a )≥2b ，则a ≥b解析：若f (a )≤2b ，则2a ≤f (a )≤2b .故a ≤b . 答案：B3．(2014·北京卷)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪名学生比另一名学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两名学生，那么这组学生最多有( )A ．2人B ．3人C ．4人D ．5人解析：满足题目条件的最多有3人，其中一个人语文最好，数学最差，另一个人语文最差数学最好，第三个人成绩均为中等．故选B ．答案：B4．(2014·陕西卷)已知f (x )＝x1＋x，x ≥0，若f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N ＋，则f 2 014(x )的表达式为________.解析：由f 1(x )＝x 1＋x ⇒f 2(x )＝f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x ＝x 1＋x 1＋x 1＋x ＝x1＋2x ；又可得f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x 1＋2x 1＋x 1＋2x ＝x 1＋3x ，故可猜想f 2 014(x )＝x1＋2 014x.答案：f 2 014(x )＝x1＋2 014x5．(2014·课标Ⅰ)甲、乙、丙三名同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市． 由此可判断乙去过的城市为________.解析：由丙可知，乙至少去过一个城市．由甲、乙可知，甲去过A ，C 且比乙多，且乙没有去过C 城市，故乙只去过A 城市．答案：A6．(2016·四川卷)在平面直角坐标系中，当P (x ，y )不是原点时，定义P 的“伴随点”为P ′⎝⎛⎭⎪⎫y x 2＋y 2，－x x 2＋y 2；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身．现有下列命题：①若点A 的“伴随点”是点A ′，则点A ′的“伴随点”是点A ； ②单位圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上；③若两点关于x 轴对称，则它们的“伴随点”关于y 轴对称； ④若三点在同一条直线上，则它们的“伴随点”一定共线． 其中的真命题是________________.(写出所有真命题的序号) 解析：根据定义求解．①设A (2,1)，则其伴随点为A ′⎝⎛⎭⎫15，－25，而A ′的伴随点为(－2，－1)，故①错． ②设P (x ，y )，其中x 2＋y 2＝1，则其伴随点为(y ，－x )，该点也在圆x 2＋y 2＝1上，故②正确．③设A (x ，y )，B (x ，－y )，则它们的伴随点分别为A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2＋y 2，－x x 2＋y 2，B ′⎝⎛⎭⎪⎫－y x 2＋y 2，－x x 2＋y 2，A ′与B ′关于y 轴对称，故③正确．④设共线的三点A (－1,0)，B (0,1)，C (1,2)，则它们的伴随点分别为A ′(0,1)，B ′(1,0)，C ′⎝⎛⎭⎫25，－15，此三点不共线，故④不正确． 答案：②③7．(2016·北京卷)如图，在四棱锥P -ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，DC ⊥AC ．(1)求证：DC ⊥平面P AC ； (2)求证：平面P AB ⊥平面P AC ；(3)设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F ，使得P A ∥平面CEF ？说明理由． (1)证明：∵PC ⊥平面ABCD ，DC 平面ABCD ， ∴PC ⊥DC ．∵DC ⊥AC ，PC ∩AC ＝C ， ∴DC ⊥平面P AC ．(2)证明：∵AB ∥DC ，DC ⊥AC ， ∴AB ⊥AC ．∵PC ⊥平面ABCD ，AB 平面ABCD ， ∴PC ⊥AB ． ∵PC ∩AC ＝C ， ∴AB ⊥平面P AC ． ∵AB 平面P AB ， ∴平面P AB ⊥平面P AC ．(3)解：在棱PB 上存在中点F ，使得P A ∥平面CEF .∵点E 为AB 的中点，∴EF ∥P A ．∵P A 平面CEF ，EF 平面CEF ， ∴P A ∥平面CEF .8．(2016·四川卷)设函数f (x )＝ax 2－a －ln x ，g (x )＝1x －ee x ，其中a ∈R ，e ＝2.718…为自然对数的底数．(1)讨论f (x )的单调性； (2)证明：当x >1时，g (x )>0；(3)确定a 的所有可能取值，使得f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内恒成立．(1)解：f ′(x )＝2ax －1x ＝2ax 2－1x(x >0)．当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)内单调递减． 当a >0时，由f ′(x )＝0，有x ＝12a. 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． (2)证明：令s (x )＝e x －1－x ，则s ′(x )＝e x －1－1. 当x >1时，s ′(x )>0，所以e x －1>x ，从而g (x )＝1x －1ex －1>0.(3)解：由(2)，当x >1时，g (x )>0. 当a ≤0，x >1时，f (x )＝a (x 2－1)－ln x <0.故当f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a >0. 当0<a <12时，12a >1.由(1)有f ⎝⎛⎭⎫12a <f (1)＝0，而g ⎝⎛⎭⎫12a >0， 所以此时f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内不恒成立． 当a ≥12时，令h (x )＝f (x )－g (x )(x ≥1)．当x >1时，h ′(x )＝2ax －1x ＋1x 2－e 1－x>x －1x ＋1x 2－1x ＝x 3－2x ＋1x 2＞x 2－2x ＋1x 2＞0.因此h (x )在区间(1，＋∞)内单调递增．又因为h (1)＝0，所以当x >1时，h (x )＝f (x )－g (x )>0，即f (x )>g (x )恒成立． 综上，a ∈⎣⎡⎭⎫12，＋∞.。
第3章 §1 第1课时 导数与函数的单调性A 级 基础巩固一、选择题1．在下列结论中,正确的有( A ) (1)单调增函数的导数也是单调增函数； (2)单调减函数的导数也是单调减函数； (3)单调函数的导数也是单调函数； (4)导函数是单调的,则原函数也是单调的． A ．0个 B ．2个 C ．3个D ．4个[解析] 分别举反例：(1)y ＝lnx,(2)y ＝1x (x>0),(3)y ＝2x,(4)y ＝x 2,故选A.2．若函数f(x)＝kx －lnx 在区间(1,＋∞)单调递增,则k 的取值范围是( D ) A ．(－∞,－2] B ．(－∞,－1] C ．[2,＋∞)D ．[1,＋∞)[解析] 由条件知f′(x)＝k －1x ≥0在(1,＋∞)上恒成立,∴k≥1.把函数的单调性转化为恒成立问题是解决问题的关键．3．(2019·宣城高二检测)函数f(x)＝2x＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数是( B ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3[解析] 本小题考查函数的零点与用导数判断函数的单调性,考查分析问题、解决问题的能力． ∵f(x)＝2x＋x 3－2,0<x<1,∴f ′(x)＝2xln2＋3x 2>0在(0,1)上恒成立,∴f(x)在(0,1)上单调递增． 又f(0)＝20＋0－2＝－1<0,f(1)＝2＋1－2＝1>0,f(0)·f(1)<0,则f(x)在(0,1)内至少有一个零点, 又函数y ＝f(x)在(0,1)上单调递增,则函数f(x)在(0,1)内有且仅有一个零点． 4．下列函数中,在(0,＋∞)内为增函数的是( B ) A ．y ＝sinx B ．y ＝xe 2C ．y ＝x 3－xD ．y ＝lnx －x[解析] 对于B,y ＝xe 2,则y′＝e 2,∴y ＝xe 2在R 上为增函数,在(0,＋∞)上也为增函数,选B. 5．(2019·临沂高二检测)已知函数y ＝f(x)的图像是如图四个图像之一,且其导函数y ＝f′(x)的图像如图所示,则该函数的图像是( B )[解析] 由导函数图像可知函数在[－1,1]上为增函数,又因导函数值在[－1,0]递增,原函数在[－1,1]上切线的斜率递增,导函数的函数值在[0,1]递减,原函数在[0,1]上切线的斜率递减,选B.6．若f(x)＝lnxx ,e<a<b,则( A )A ．f(a)>f(b)B ．f(a)＝f(b)C ．f(a)<f(b)D ．f(a)f(b)>1[解析] 因为f′(x)＝1－lnxx2, ∴当x>e 时,f′(x)<0,则f(x)在(e,＋∞)上为减函数,因为e<a<b, 所以f(a)>f(b)．选A. 二、填空题7．(2019·烟台高二检测)函数y ＝ln(x 2－x －2)的单调递减区间为(－∞,－1)． [解析] 函数y ＝ln(x 2－x －2)的定义域为 (2,＋∞)∪(－∞,－1),令f(x)＝x 2－x －2,f ′(x)＝2x －1<0,得x<12,∴函数y ＝ln(x 2－x －2)的单调减区间为(－∞,－1)．8．已知函数f(x)＝x 3－ax 2－3x 在区间[1,＋∞)上是增函数,则实数a 的取值范围是(－∞,0]． [解析] ∵f(x)＝x 3－ax 2－3x,∴f ′(x)＝3x 2－2ax －3, 又因为f(x)＝x 3－ax 2－3x 在区间[1,＋∞)上是增函数, f ′(x)＝3x 2－2ax －3≥0在区间[1,＋∞)上恒成立, ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3≤1，f ′(1)＝3×12－2a －3≥0，解得a≤0,故答案为(－∞,0]． 三、解答题9．(2018·天津理,20(1))已知函数f(x)＝a x,g(x)＝log a x,其中a>1.求函数h(x)＝f(x)－xln a 的单调区间．[解析] 由已知,h(x)＝a x－xln a, 有h′(x)＝a xln a －ln a. 令h′(x)＝0,解得x ＝0.由a>1,可知当x 变化时,h′(x),h(x)的变化情况如下表：所以函数10．(2019·长沙高二检测)已知a≥0,函数f(x)＝(x 2－2ax)·e x.设f(x)在区间[－1,1]上是单调函数,求a 的取值范围．[解析] ∵f(x)＝(x 2－2ax)e x, ∴f′(x)＝(2x －2a)e x＋(x 2－2ax)e x＝e x[x 2＋2(1－a)x －2a]令f′(x)＝0,即x 2＋2(1－a)x －2a ＝0, 解x 1＝a －1－1＋a 2,x 2＝a －1＋1＋a 2, 其中x 1<x 2,当x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表∵a≥0,∴x 1212∴x 2≥1,即a －1＋1＋a 2≥1, ∴a≥34.B 级 素养提升一、选择题1．(2018·和平区二模)已知f(x)是定义在R 上的函数,它的图像上任意一点P(x 0,y 0)处的切线方程为y ＝(x 20－x 0－2)x ＋(y 0－x 30＋x 20＋2x 0),那么函数f(x)的单调递减区间为( A )A ．(－1,2)B ．(－2,1)C ．(－∞,－1)D ．(2,＋∞)[解析] 因为函数f(x),(x ∈R)上任一点(x 0,y 0)的切线方程为y ＝(x 20－x 0－2)x ＋(y 0－x 30＋x 20＋2x 0),即函数在任一点(x 0,y 0)的切线斜率为k ＝x 20－x 0－2, 即知任一点的导数为f ′(x)＝x 2－x －2＝(x －2)(x ＋1),由f ′(x)＜0,得－1＜x ＜2,即函数f(x)的单调递减区间是(－1,2)． 故选A.2．函数f(x)的定义域为R,f(－2)＝2017,对任意x ∈R,都有f ′(x)<2x 成立,则不等式f(x)>x 2＋2013的解集为( C )A ．(－2,2)B ．(－2,＋∞)C ．(－∞,－2)D ．(－∞,＋∞)[解析] 令F(x)＝f(x)－x 2－2013,则F ′(x)＝f ′(x)－2x<0,∴F(x)在R 上为减函数, 又F(－2)＝f(－2)－4－2013＝2017－2017＝0, ∴当x<－2时,F(x)>F(－2)＝0,∴不等式f(x)>x 2＋2013的解集为(－∞,－2)． 二、填空题3．若函数f(x)＝x －13sin2x ＋asinx 在(－∞,＋∞)单调递增,则a 的取值范围是[－13,13].[解析] 函数f(x)＝x －13sin2x ＋asinx 在(－∞,＋∞)单调递增,等价于f ′(x)＝1－23cos2x ＋acosx＝－43cos 2x ＋acosx ＋53≥0在(－∞,＋∞)恒成立．设cosx ＝t,则g(t)＝－43t 2＋at ＋53≥0在[－1,1]恒成立,所以⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＝－43＋a ＋53≥0g (－1)＝－43－a ＋53≥0,解得－13≤a≤13.4．已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋(2a －3)x －1.(1)若f(x)的单调减区间为(－1,1),则a 的取值集合为{0}； (2)若f(x)在区间(－1,1)内单调递减,则a 的取值集合为{a|a<0}． [解析] f ′(x)＝3x 2＋2ax ＋2a －3 ＝(x ＋1)(3x ＋2a －3)．(1)∵f(x)的单调减区间为(－1,1), ∴－1和1是方程f ′(x)＝0的两根,∴3－2a3＝1,∴a ＝0,∴a 的取值集合为{0}． (2)∵f(x)在区间(－1,1)内单调递减,∴f ′(x)<0在(－1,1)内恒成立,又二次函数y ＝f ′(x)开口向上,一根为－1,∴必有3－2a3>1,∴a<0,∴a 的取值集合为{a|a<0}． 三、解答题5．已知函数f(x)＝(ax 2＋x －1)·e x,其中e 是自然对数的底数,a ∈R. (1)若a ＝1,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； (2)若a ＝－1,求f(x)的单调区间．[解析] (1)因为f(x)＝(x 2＋x －1)e x,所以f′(x)＝(2x ＋1)e x＋(x 2＋x －1)e x＝(x 2＋3x)e x,所以曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为k ＝f′(1)＝4e.又因为f(1)＝e,所以所求切线方程为y －e ＝4e(x －1), 即4ex －y －3e ＝0.(2)f(x)＝(－x 2＋x －1)e x,因为f′(x)＝－x(x ＋1)e x, 令f′(x)<0,得x<－1或x>0；f′(x)>0 得－1<x<0.所以f(x)的减区间为(－∞,－1),(0,＋∞),增区间为(－1,0)．6．(2019·山师附中高二检测)已知函数f(x)＝alnx ＋2a2x ＋x(a>0)．若函数y ＝f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x －2y ＝0垂直．(1)求实数a 的值；(2)求函数f(x)的单调区间． [解析] (1)f ′(x)＝a x －2a2x2＋1,∵f ′(1)＝－2,∴2a 2－a －3＝0,∵a>0,∴a ＝32.(2)f ′(x)＝32x －92x 2＋1＝2x 2＋3x －92x 2＝(2x －3)(x ＋3)2x2, ∵当x ∈(0,32)时,f ′(x)<0；当x ∈(32,＋∞)时,f ′(x)>0,∴f(x)的单调递减区间为(0,32),单调递增区间为(32,＋∞)．C 级 能力拔高(2019·广德高二检测)已知函数f(x)＝x 2＋2alnx. (1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数g(x)＝2x ＋f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a 的取值范围．[解析] (1)f ′(x)＝2x ＋2a x ＝2x 2＋2ax ,函数f(x)的定义域为(0,＋∞)．①当a≥0时,f ′(x)>0,f(x)的单调递增区间为(0,＋∞)； ②当a<0时f ′(x)＝2(x ＋－a )(x －－a )x .当x 变化时,f ′(x),f(x)的变化情况如下：(2)由g(x)＝2x ＋x 2＋2alnx,得g′(x)＝－2x 2＋2x ＋2ax ,由已知函数g(x)为[1,2]上的单调减函数, 则g′(x)≤0在[1,2]上恒成立, 即－2x 2＋2x ＋2ax ≤0在[1,2]上恒成立．即a≤1x－x 2在[1,2]上恒成立．令h(x)＝1x －x 2,x ∈[1,2],则h′(x)＝－1x 2－2x ＝－(1x 2＋2x)<0,∴h(x)在[1,2]上为减函数．h(x)min ＝h(2)＝－72,∴a≤－72,故a 的取值范围为{a|a≤－72}．。
课时作业(九)相关性基础达标一、选择题1．下列说法正确的是()A．相关关系是函数关系B．函数关系是相关关系C．线性相关关系是一次函数关系D．相关关系有两种，分别是线性相关关系和非线性相关关系解析：函数关系和相关关系互不包含，所以A、B、C三项不正确；根据定义，相关关系有两种，分别是线性相关关系和非线性相关关系，故选D项．答案：D2．下列语句所表示的事件中的因素不具有相关关系的是()A．瑞雪兆丰年B．名师出高徒C．吸烟有害健康D．喜鹊叫喜，乌鸦叫丧解析：瑞雪兆丰年和名师出高徒是根据多年经验总结归纳出来的，吸烟有害健康具有科学根据，所以它们都是相关关系，所以A、B、C三项具有相关关系；结合生活经验知喜鹊和乌鸦发出叫声是它们自身的生理反应，与人无任何关系，不具有相关关系，故选D项．答案：D3．下列所给出的两个变量之间存在相关关系的为()A．学生的座号与数学成绩B．学生的学号与身高C．曲线上的点与该点的坐标之间的关系D．学生的身高与体重解析：A与B中的两个变量之间没有任何关系；C中曲线上的点与该点的坐标是一一对应关系．故选D.答案：D4．下列图形中具有相关关系的两个变量是()解析：A中显然任给一个x都有唯一确定的y值和它对应，是一种函数关系；B也是一种函数关系；C中从散点图中可看出所有点看上去都在某条直线附近波动，具有相关关系，而且是一种线性相关关系；D中所有的点在散点图中没有显示任何关系，因此变量间是不相关的．答案：C二、填空题5．下列对相关关系的理解正确的是________．①变量之间只有函数关系，不存在相关关系；②两个变量之间产生相关关系的原因是受许多不确定的随机因素的影响；③需要通过样本来判断变量之间是否存在不同关系；④相关关系是一种因果关系，具有确定性．答案：②③6．两个变量之间的相关关系可以用一条直线或曲线来拟合．如果两个变量之间的依赖关系可以近似地用一条直线来表示，那么这两个变量就是________的；如果两个变量的依赖关系可以近似地用一条曲线来表示，那么这两个变量就是________的；如果两个变量之间不存在明显的依赖关系，那么这两个变量就是________的．答案：线性相关非线性相关不相关三、解答题7．下表是某同学记载的5月1日至5月12日每天北京市某类疾病的患者治愈的数据，以及根据这些数据绘制出的散点图.根据以上信息，下列判断是否正确？①根据此散点图，可以判断日期与人数具有线性相关关系；②根据此散点图，可以判断日期与人数具有一次函数关系．解：根据散点图，可知日期与人数是线性相关关系，而不是函数关系，故①正确，②错误．8．某种洗涤用品的广告费支出x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)之间有如下对应数据：(1)似关系吗？(2)如果近似成线性关系，请画出一条直线来表示这种线性关系．解：(1)散点图如下图．从散点图中，可以看出广告费支出与销售额之间的总体趋势成一条直线，它们之间是线性相关的．(2)所画直线如上图．能力提升一、选择题1．在下列各变量之间的关系中：①汽车的重量和每公里耗油量；②正n边形的边数与内角度数之和；③一块农田的亩产量与施肥量；④学生家庭的经济条件与学生的学习成绩，是相关关系的有()A．①②B．①③C．②③D．③④解析：汽车的重量越大，每公里耗油量会越大；在合适的范围内，农田的施肥量越大，产量越多．①③是相关关系，②是函数关系，④不具有相关关系，也不是函数关系．答案：B2．下列说法正确的个数为()①两个变量之间若没有确定的函数关系，则这两个变量不相关；②不相关是两个变量相关关系的一种；③“庄稼一枝花，全靠肥当家”说明农作物产量与施肥之间有相关关系；④根据散点图可以判断两个变量之间有无相关关系．A．1 B．2C．3 D．4解析：根据函数关系、相关关系和散点图的概念可知①错误，②③④正确．答案：C二、填空题3．下列变量之间的关系不是相关关系的是________．①二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a，c是已知常数，取b为自变量，因变量是判别式Δ＝b2－4ac②光照时间和果树亩产量③降雪量和交通事故发生率④每亩田施肥量和粮食亩产量解析：在①中，若b确定，则a、b、c都是常数，Δ＝b2－4ac也就唯一确定，因此，这两者之间是确定的函数关系．其他的都不是函数关系．答案：①4．如图所示是具有相关关系的两个变量的一组数据的散点图，去掉点________后，两个变量的相关关系更明显．解析：A、B、C、D、E五点分布在一条直线附近且贴近该直线，而F点离得远，故去掉点F.答案：F三、解答题5．某机构曾研究温度对某种细菌的影响，在一定温度下，经x单位时间，细菌的数量为y，数据如下：(1,2)，(2,5)，(3,10)，(4,17)，(5,26)，(6,37)，(7,50)，(8,65)，(9,82)，(10,101)．问：关于这两个变量的关系，你能得出什么结论？解：事实上，观察可以发现2＝12＋1,5＝22＋1,10＝32＋1,17＝42＋1,26＝52＋1，…，因此，我们可以认为x与y之间的关系式是y＝x2＋1，并非是线性相关关系．6．一家保险公司为了调查其营业部加班与业绩的关系，在10周的时间内，收集了每周加班工作时间的数据和签发的新保单数目，x为每周签发的新保单数目(单位：份)，y为每周加班时间(单位：小时)，数据如下表：判断两个变量x和y之间是否是线性相关关系．解：(1)调整数据表，如下表所示：(3)观察散点图可知这些点分布在某一条直线附近，如图所示的直线l1，l2等，所以变量x和y之间是线性相关关系．。
活页作业(十一) 导数与函数的单调性(第二课时)1．函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋1(a 为常数)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)内单调递增，且在区间(0,2)内单调递减，则a 值为( )A ．1B ．2C ．－6D ．－12解析：f ′(x )＝6x 2＋2ax ，依题意得f ′(2)＝24＋4a ＝0，∴a ＝－6.答案：C2．若函数f (x )＝x 3＋x 2－ax 在区间(1，＋∞)上是增加的，且在区间(1,2)上有零点，则13实数a 的取值范围是( )A ．B ．(43，3)(43，103)C ．D ．(－∞，3](43，3]解析：∵函数f (x )＝x 3＋x 2－ax 在区间(1，＋∞)上是增加的，13∴f ′(x )＝x 2＋2x －a ≥0在区间(1，＋∞)上恒成立．∴a ≤x 2＋2x ，x ∈(1，＋∞)恒成立．∵当x >1时，x 2＋2x >3，∴a ≤3.①∵函数f (x )＝x 3＋x 2－ax 在区间(1，＋∞)上是增加的，且在区间(1,2)上有零点，13∴f (1)<0，f (2)>0.∴<a <.②43103由①②得，<a ≤3.43答案：C3．已知f (x )＝Error!在(－∞，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．[－1,1]C ．(－∞，1)D ．[－1,4]解析：若原函数在R 上为增函数，则当x <0时，f ′(x )＝3x 2－(a －1)≥0恒成立．因此有a ≤1.还需注意函数在分段点处函数值的大小，应有a 2－3a －4≤0，解得－1≤a ≤4.综上－1≤a ≤1.答案：B4．已知定义在R 上的偶函数f (x )满足x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )<0成立，若a ＝20.2f (20.2)，b ＝ln 2·f (ln 2)，c ＝log 0.50.25·f (log 0.50.25)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >a >bC ．b >a >cD ．a >c >b解析：构造函数h (x )＝xf (x )，由函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，函数y ＝x 是R 上的奇函数，可得h (x )＝xf (x )是R 上的奇函数．又当x ∈(－∞，0)时，h ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )<0.∴函数h (x )在x ∈(－∞，0)上为单调递减函数．∴h (x )在x ∈(0，＋∞)上为单调递减函数．∵2>20.2>1,0<ln 2<1，log 0.50.25＝2，∴log 0.50.25>20.2>ln 2.∴b >a >c .答案：C5．设p ：f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q ：m ≥，则p 是q 的43________条件．( )A ．充要B ．充分不必要C ．必要不充分D ．既不充分又不必要解析：对于p ，由题意知f ′(x )＝3x 2＋4x ＋m ≥0在R 上恒成立，即Δ≤0.∴4－3m ≤0.∴m ≥.43又当m ＝时，f (x )＝x 3＋2x 2＋x ＋1＝3＋在R 上单调递增，∴m ≥.∴p 是q 的4343(x ＋23)192743充要条件．答案：A6．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的递减区间为[－1， 2]，则b ＝________，c ＝________.解析：由题意知，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ≤0在[－1,2]上恒成立，所以－1,2为方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两根，则b ＝－，c ＝－6.32答案：－ －6327．若函数f (x )＝ax 3＋x 恰有三个单调区间，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f ′(x )＝3ax 2＋1，f (x )有三个单调区间，∴方程3ax 2＋1＝0有两个不等实根．∴Δ＝0－4×3a ×1>0.解得a <0.答案：(－∞，0)8．已知函数f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调递增函数，则a 的最大值是________．解析：由题意得f ′(x )＝3x 2－a ≥0在[1，＋∞)上恒成立，因此a ≤3.故a 的最大值为3.答案：39．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝(a >0)，设F (x )＝f (x )＋g (x )．ax (1)求F (x )的单调区间；(2)若以y ＝F (x )(x ∈(0,3])图像上任意一点P (x 0，y 0)为切点的切线的斜率k ≤恒成立，12求实数a 的最小值．解：(1)F (x )＝f (x )＋g (x )＝ln x ＋(x >0)，ax F ′(x )＝－＝(x >0)．1x ax 2x －ax 2∵a >0，由F ′(x )>0得x ∈(a ，＋∞)，∴F (x )在(a ，＋∞)上是增加的．由F ′(x )<0得x ∈(0，a )，∴F (x )在(0，a )上是减少的．∴F (x )的递减区间为(0，a )，递增区间为(a ，＋∞)．(2)∵F ′(x )＝(0<x ≤3)，x －ax 2 ∴k ＝F ′(x 0)＝≤(0<x 0≤3)恒成立．x 0－a x 2012即a ≥max .(－12x 20＋x 0)当x 0＝1时，－x ＋x 0取得最大值，122012∴a ≥.∴a min ＝.121210．设f (x )＝－x 3＋x 2＋2ax .若f (x )在上存在单调递增区间，求a 的取值范1312(23，＋∞)围．解：f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－2＋＋2a ，(x －12)14当x ∈时，f ′(x )的最大值为f ′＝＋2a .[23，＋∞)(23)29函数有单调递增区间，即在内，导函数大于0有解，令＋2a >0，得a >－.(23，＋∞)2919所以当a ∈时，f (x )在上存在单调递增区间．(－19，＋∞)(23，＋∞)11．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )<，则f (x )<＋的解集为12x 212( )A ．{x |－1<x <1}B ．{x |x <－1}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x >1}解析：设g (x )＝f (x )－－，则g ′(x )＝f ′(x )－<0.∴g (x )在R 上是减函数．x 21212∵g (1)＝f (1)－－＝1－1＝0，1212∴g (x )＝f (x )－－<0的解集为{x |x >1}．x 212答案：D12．已知函数f (x )＝2e x －mx (其中e ≈2.718…)在区间[－1,0]上单调递减，则实数m 的取值范围为________．解析：由题意得f ′(x )＝2e x －m ≤0在[－1,0]上恒成立，即m ≥2e x 恒成立，可得m ≥2.答案：[2，＋∞)13．若函数f (x )＝x 3－3ax 2－bx ，其中a ，b 为实数，f (x )在区间[－1,2]上为减函数，且b ＝9a ，则a 的取值范围是________．解析：由已知得f ′(x )＝3x 2－6ax －b ≤0对∀x ∈[－1，2]恒成立，∵b ＝9a ，∴x 2－2ax －3a ≤0.∵2x ＋3>0.∴a ≥对x ∈[－1,2]恒成立．x 22x ＋3解得a ≥1.答案：[1，＋∞)14．已知函数f (x )＝ax －ln x ，若f (x )>1在区间(1，＋∞)内恒成立，则实数a 的取值范围为_________．解析：由已知a >在区间(1，＋∞)内恒成立．1＋ln xx设g (x )＝，1＋ln xx ∴g ′(x )＝－<0(x >1)．ln xx 2∴g (x )＝在区间(1，＋∞)内递减．1＋ln xx∴g (x )<g (1)．∵g (1)＝1，∴<1在区间(1，＋∞)内恒成立．∴a ≥1.1＋ln x x答案：[1，＋∞)15．已知函数f (x )＝a ln x ＋x 3(a 为常数)．(1)若a ＝－3，判断函数f (x )在(1，＋∞)上的单调性；(2)函数f (x )在[1，e]上单调递减，求实数a 的取值范围；(3)若存在x ∈[1，e]，使得f (x )≥ax ＋x 3－x 2＋2x 成立，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝－3时f ′(x )＝3x 2－＝.3x 3(x 3－1)x当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0.∴函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数．(2)由已知得f ′(x )＝＋3x 2＝.∵f (x )在[1，e]上单调递减，∴f ′(x )≤0在[1，e]上ax 3x 3＋a x恒成立．即a ≤－3x 3在[1，e]上恒成立．∵(－3x 3)min ＝－3e 3，∴a ≤－3e 3.(3)不等式f (x )≥ax ＋x 3－x 2＋2x 可化为a (x －ln x )≤x 2－2x .∵x ∈[1，e]，∴ln x ≤1≤x ，且不能同时取等号．∴ln x <x ，即x －ln x >0.∴a ≤(x ∈[1，e])．x 2－2xx －ln x 令g (x )＝(x ∈[1，e])，x 2－2xx －ln x 则g ′(x )＝.(x －1)(x ＋2－2ln x )(x －ln x )2当x ∈[1，e]时，x －1≥0，ln x ≤1，x ＋2－2ln x >0，从而g ′(x )≥0(仅当x ＝1时取等号)，∴g (x )在[1，e]上为增函数．∴g (x )的最小值为g (1)＝－1.∴实数a 的取值范围是(－∞，－1]．16．设函数f (x )＝e －ax .1＋x1－x (1)试写出定义域及f ′(x )的解析式；(2)设a >0，讨论函数y ＝f (x )的单调性．解：(1)f (x )的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，f ′(x )＝e －ax ，其中x ≠1.ax 2＋2－a(1－x )2(2)①当0<a ≤2时，f ′(x )≥0且仅在有限个点处取等号，∴f (x )在(－∞，1)，(1，＋∞)上为增函数．②当a >2时，由f ′(x )>0得ax 2＋2－a >0，解得x >或x <－；由a －2a a －2a f ′(x )<0得ax 2＋2－a <0，解得－<x <.a －2a a －2a 综上所述，当0<a ≤2时，函数y ＝f (x )在(－∞，1)，(1，＋∞)上单调递增；当a >2时，函数y ＝f (x )在，，(1，＋∞)上单调递增，在上单(－∞，－a －2a)(a －2a，1)(－a －2a，a －2a)调递减．。
活页作业(十) 导数与函数的单调性(第一课时)1．当x >0时，f (x )＝x ＋2x，则f (x )的递减区间是( )A ．(2，＋∞)B ．(0,2)C ．(2，＋∞)D ．(0，2)解析：由已知得f ′(x )＝1－2x2.令f ′(x )＝1－2x2<0，得－2<x <2且x ≠0.又x >0，∴0<x < 2.∴函数f (x )的递减区间为(0，2)． 答案：D2．下列函数中，在(0，＋∞)内递增的是( ) A ．sin 2x B ．x e xC ．x 3－xD ．－x ＋ln(1＋x )解析：选项B 中，y ＝x e x，在区间(0，＋∞)上，y ′＝e x＋x e x＝e x(1＋x )>0. ∴函数y ＝x e x在(0，＋∞)内递增． 答案：B3．已知f (x )，g (x )均为(a ，b )上的可导函数，在[a ，b ]上没有间断点，且f ′(x )>g ′(x )，f (a )＝g (a )，则x ∈(a ，b )时有( )A ．f (x )>g (x )B ．f (x )<g (x )C ．f (x )＝g (x )D ．大小关系不能确定解析：∵f ′(x )>g ′(x )，∴f ′(x )－g ′(x )>0.即[f(x)－g(x)]′>0，∴f(x)－g(x)在(a，b)上是增加的．∴f(x)－g(x)>f(a)－g(a)．∴f(x)－g(x)>0.∴f(x)>g(x)．答案：A4．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图像如下图所示，则导函数y＝f′(x)的图像可能为( )解析：函数f(x)在(－∞，0)上是增加的，则f′(x)在(－∞，0)上恒大于0，排除A，C；函数f(x)在(0，＋∞)上先增加，再减少，最后又增加，则f′(x)在(0，＋∞)上先为正，再为负，最后又为正．答案：D5．函数f(x)＝x ln x的递增区间是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1eD ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞ 解析：由导数公式表和求导法则，得f ′(x )＝ln x ＋1.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上是增加的．答案：D6．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的递减区间为__________． 解析：由已知得f ′(x )＝3x 2－30x －33＝3(x ＋1)(x －11)． 令f ′(x )<0，得－1<x <11，故递减区间为(－1,11)． 答案：(－1,11)7．函数y ＝ln(x 2－x －2)的递减区间为________． 解析：由已知得f ′(x )＝2x －1x 2－x －2.令f ′(x )<0得x <－1或12<x <2.又∵函数定义域为(－∞，－ 1)∪(2，＋∞)，∴递减区间为(－∞，－1)．答案：(－∞，－1)8．函数y ＝－x 3＋12x 的递减区间为__________． 解析：由已知得y ′＝－3x 2＋12. 令y ′<0，得x <－2或x >2.∴递减区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)． 答案：(－∞，－2)，(2，＋∞)9．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图像过点P (0,2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0.(1)求函数y ＝f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x )的单调区间．解：(1)∵f (x )的图像经过点P (0,2)，∴d ＝2. ∴f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .∵在点M (－1，f (－1))处的切线方程是6x －y ＋7＝0，∴－6－f (－1)＋7＝0. ∴f (－1)＝1.又f ′(－1)＝6，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋b －c ＋2＝1，3－2b ＋c ＝6.即⎩⎪⎨⎪⎧b －c ＝0，2b －c ＝－3，解得b ＝c ＝－3.∴所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2. (2)由已知得f ′(x )＝3x 2－6x －3. 令f ′(x )＝0，即x 2－2x －1＝0， 解得x 1＝1－2，x 2＝1＋ 2.当x <1－2或x >1＋2时，f ′(x )>0； 当1－2<x <1＋2时，f ′(x )<0.∴f (x )的递增区间为(－∞，1－2)和(1＋2，＋∞)，递减区间为(1－2，1＋2)． 10．已知x >0，证明：ln(1＋x )>x －12x 2.证明：设f (x )＝ln(1＋x )－x ＋12x 2(x >0)，则f ′(x )＝1x ＋1－1＋x ＝x21＋x .当x >0时，f ′(x )>0.∴f (x )在(0，＋∞)内是增加的． ∴当x >0时，f (x )>f (0)＝0. ∴当x >0时，ln(1＋x )>x －12x 2.11．下列区间中，是函数y ＝x sin x ＋cos x 的递增区间的是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，32π B ．(π，2π) C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，52πD ．(2π，3π)解析：由已知得y ′＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x .∴当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，52π时，y ′＝x cos x >0.答案：C12．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )上任一点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ＝(x 0－2)(x 0＋1)2，则该函数的递减区间为________．解析：由于切线的斜率就是其该点的导数值，所以由题意知f ′(x )＝(x －2)(x ＋1)2<0.解得x <2.故减区间为(－∞，2)．答案：(－∞，2)13．函数y ＝f (x )在定义域⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，3内可导，其图像如下图所示．记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为________．解析：∵f ′(x )≤0对应函数f (x )的递减区间，即f (x )的减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1，(2,3)， ∴f ′(x )≤0的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1∪[2,3)． 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1∪[2,3) 14．在区间(a ，b )内，f ′(x )>0是f (x )在(a ，b )内单调递增的___________条件． 解析：若f ′(x )>0，则f (x )在(a ，b )内单调递增．反之不成立．例如y ＝x 3.在R 上递增，但y ′＝3x 2≥0.答案：充分不必要15．求证：方程x －12sin x ＝0只有一个根x ＝0.证明：设f (x )＝x －12sin x ，x ∈()－∞，＋∞，则f ′(x )＝1－12cos x >0.∴f (x )在(－∞，＋∞)上是单调递增函数． 当x ＝0时，f (x )＝0，∴方程x －12sin x ＝0有唯一根x ＝0.16．已知m 、n ∈N ＋，且1<m <n ， 求证：(1＋m )n>(1＋n )m. 证明：∵1<m <n ，m ，n ∈N ＋， ∴2≤m <n ，(1＋m )n>(1＋n )mln1＋m m >ln1＋nn.∴构造函数f (x )＝ln1＋xx(x ≥2)，得f ′(x )＝x1＋x－ln1＋xx2. 由x ≥2，得0<x1＋x <1，ln(1＋x )≥ln 3>1.∴f ′(x )<0，f (x )为单调递减函数． 又2≤m <n ， ∴ln1＋m m >ln1＋nn.∴(1＋m )n >(1＋n )m.。
第三章 §1 1.1 第2课时1．若f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)在R 上为增函数，则( ) A ．b 2－4ac >0 B ．b >0，c <0 C ．b ＝0，c >0D ．b 2－3ac ≤0解析：由f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ≥0， 知Δ＝4b 2－12ac ≤0，故b 2－3ac ≤0. 答案：D2．若函数h (x )＝2x －k x ＋k3在(1，＋∞)上是增函数，则实数k 的取值范围是( )A ．[－2，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．(－∞，－2]D ．(－∞，2] 解析：根据已知条件得h ′(x )＝2＋k x 2＝2x 2＋kx2≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≥－2x 2在(1，＋∞)上恒成立，所以k ∈[－2，＋∞)．答案：A3．若函数f (x )＝x 3－3ax 2－2x ＋5在(0,1)内单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≥16B ．a >16C ．a ＝16D ．0<a <16解析：∵f ′(x )＝3x 2－6ax －2，f (x )在(0,1)内单调递减，∴不等式3x 2－6ax －2<0在(0,1)内恒成立．∴a >12x －13x在(0,1)内恒成立．∵函数g (x )＝12x －13x 在(0,1)内是增函数，且g (x )<g (1)＝12－13＝16，∴a ≥16.答案：A4．已知函数f (x )＝x 3＋ax 在区间[0，＋∞)上是增加的，则a 的取值范围是________． 解析：∵f ′(x )＝3x 2＋a ，当x ≥0时，f ′(x )≥0恒成立，即3x 2＋a ≥0恒成立，∴a ≥－3x 2.又当x ≥0时，－3x 2≤0，∴a ≥0. 即a 的取值范围是[0，＋∞)． 答案：[0，＋∞)5．设函数f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，a >0.(1)求f (x )的单调区间；(2)求所有实数a ，使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立． 解：(1)∵f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，∴x >0， f ′(x )＝a 2x －2x ＋a ＝－(x －a )(2x ＋a )x .∵x >0，a >0，∴f (x )的递增区间为(0，a )，递减区间为(a ，＋∞)． (2)由题意，得f (1)＝a －1≥e －1，∴a ≥e. 由(1)知f (x )在[1，e]内单调递增．要使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立，只要⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝a －1≥e －1，f (e )＝a 2－e 2＋a e ≤e 2，解得a ＝e.。
第三章 本章整合提升一、选择题1．已知变量x 和y 满足关系y ＝－0.1x ＋1，变量y 与z 正相关，则下列结论正确的是( ) A ．x 与y 负相关，x 与z 负相关 B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关 C ．x 与y 正相关，x 与z 负相关D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关解析：由回归方程知x 与y 负相关，又因为y 与z 正相关，所以x 与z 负相关．故选A ． 答案：A2．(2015·福建卷)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝0.76，a ^＝y －b ^x .据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元解析：回归直线一定过样本中心(10,8)，∵b ^＝0.76，∴a ^＝0.4.由y ^＝0.76x ＋0.4得当x ＝15万元时，y ^＝11.8万元，故选B ． 答案：B3．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系．根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ＝0.85x －85.71，则下列结论不正确的是( )A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x －，y －)C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg解析：当x ＝170时，y ＝0.85×170－85.71＝58.79，体重的估计值为58.79 kg ，故D 不正确．答案：D4．已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归方程为y ＝bx ＋a .若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( )A ．b ＞b ′，a ＞a ′B ．b ＞b ′，a ＜a ′C ．b ＜b ′，a ＞a ′D ．b ＜b ′，a ＜a ′解析：由两组数据(1,0)和(2,2)可求得直线方程为y ＝2x －2，b ′＝2，a ′＝－2.而利用线性回归方程的公式与已知表格中的数据，可求得b ＝∑i ＝16x i y i －6x ·y∑i ＝16x 2i －6x －2＝58－6×72×13691－6×⎝⎛⎭⎫722＝57，a ＝y －b x －＝136－57×72＝－13，所以b ＜b ′，a ＞a ′．答案：C 二、填空题5．有同学在用电子邮件时发现了一个有趣的现象，中国人的邮箱名称里含有数字的比较多，而外国人的邮箱名称里含有数字的比较少，为了研究国籍与邮箱名称是否含有数字有关，于是我们共收集了124个邮箱名称，其中中国人的64个，外国人的60个，中国人的邮箱名称中有43个含数字，外国人的邮箱名称中有27个含数字．那么认为“国籍和邮箱名称里是否含有数字有关”的把握性为________．(用百分数表示)．附：χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ).由表中数据，得χ2＝124×(43×33－27×21)270×54×64×60≈6.201．∵χ2≥5.024，∴有97.5%的把握认为“国籍和邮箱名称里是否含有数字有关”． 答案：97.5%6．已知x ，y 的取值如下表：从散点图分析，y 与x 则实数a 的值为________． 解析：x ＝2＋3＋4＋54＝3. 5，y ＝2.2＋3.8＋5.5＋6.54＝4.5，回归直线必过样本的中心点(x ，y )，把(3.5，4.5)代入回归方程，计算得a ＝－0.61．答案：－0.617．调查者通过随机询问72名男女生喜欢文科还是理科，得到如下列联表(单位：名)： 性别与喜欢文科还是理科列联表学生的性别和喜欢文科还是理科________关系．(填“有”或“没有”) 附：当χ2＞7.879时，有99.5%以上的把握判定变量A ，B 有关联． 解析：通过计算χ2＝72×(8×16－28×20)236×36×28×44≈8.42＞7.879．故我们有99.5%的把握认为学生的性别和喜欢文科还是理科有关系． 答案：有 三、解答题8．某火锅店为了解气温对营业额的影响，随机记录了该店1月份中5天的日营业额y (单位：千元)与该地当日最低气温x (单位：℃)的数据，如下表：(1)求y 关于x (2)判定y 与x 之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为6 ℃，用所求回归方程预测该店当日的营业额．附：回归方程y ＝bx ＋a 中，b ＝∑i ＝1nx i y i －n x － y－∑i ＝1nx 2i －n x2，a ＝y －b x ．解：(1)列表.这里n ＝5，x ＝1n ∑i ＝1n x i ＝355＝7，y ＝1n ∑i ＝1n y i ＝455＝9．又l xx ＝∑i ＝1nx 2i －n x 2＝295－5×72＝50，l xy ＝∑i ＝1nx i y i －n x －y －＝287－5×7×9＝－28，从而，b ＝l xy l xx ＝－2850＝－0.56，a ＝y －b x ＝9－(－0.56)×7＝12.92， 故所求回归方程为y ＝－0.56x ＋12.92． (2)由b ＝－0.56<0知y 与x 之间是负相关． 将x ＝6代入回归方程可预测该店当日的营业额为 y ＝－0.56×6＋12.92＝9.56(千元)．9．心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学(男30，女20)，给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表(单位：人)：(1)能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？ 附：当χ2＞5.024时，有97.5%以上的把握判定变量A ，B 有关联．(2)经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5～7 min ，乙每次解答一道几何题所用的时间在6～8 min ，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．解：(1)由表中数据得χ2＝50×(22×12－8×8)230×20×30×20＝509≈5.556＞5.024，所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关． (2)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x min ，y min ，则基本事件满足的区域为⎩⎪⎨⎪⎧5≤x ≤7，6≤y ≤8(如图所示)．设事件A 为“乙比甲先做完此道题”， 则满足的区域为x >y ， 所以P (A )＝12×1×12×2＝18，即乙比甲先解答完的概率为18．。
【成才之路】2015-2016学年高中数学 第3章 1第1课时 导数与函数的单调性课时作业 北师大版选修2-2一、选择题1．函数y ＝x ln x ＋m 的单调递增区间是( ) A ．(1e ，＋∞)B ．(0，e)C ．(0，1e )D ．(1e，e)[答案] A[解析] 定义域为{x |x >0}， 由y ′＝ln x ＋1>0，得x >1e.2．函数f (x )＝2x －sin x 在(－∞，＋∞)上( ) A ．是增函数 B ．是减函数C ．在(0，＋∞)上增，在(－∞，0)上增D ．在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上增 [答案] A[解析] f ′(x )＝2－cos x >0在(－∞，＋∞)上恒成立． 3．函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4) D ．(2，＋∞)[答案] D[解析] f ′(x )＝(x －3)′e x＋(x －3)(e x)′＝(x －2)e x，当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：D. 4．函数f (x )＝(x ＋3)e －x的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(0,3) C ．(1,4)D ．(2，＋∞)[答案] A[解析] ∵f (x )＝(x ＋3)e －x，∴f ′(x )＝e －x－(x ＋3)e －x＝e －x(－x －2)， 由f ′(x )>0得x <－2，∴选A ．5．(2014·新课标Ⅱ文，11)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)[答案] D[解析] 由条件知f ′(x )＝k －1x≥0在(1，＋∞)上恒成立，∴k ≥1.把函数的单调性转化为恒成立问题是解决问题的关键． 二、填空题6．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________． [答案] (－1,11)[解析] f ′(x )＝3x 2－30x －33＝3(x －11)(x ＋1)，令(x －11)(x ＋1)<0，解得－1<x <11.所以单调减区间为(－1,11)．7．函数f (x )＝x 3－mx 2＋m －2的单调递减区间为(0,3)，则m ＝____________. [答案] 92[解析] 令f ′(x )＝3x 2－2mx ＝0，解得x ＝0或x ＝23m ，所以23m ＝3，m ＝92.8．(2014·扬州检测)若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则m 的取值范围是________．[答案] [13，＋∞)[解析] 因为f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m ，由题意可知f (x )在R 上只能递增，所以Δ＝4－12m ≤0，所以m ≥13.三、解答题9．求函数y ＝2x 3－3x 的单调区间．[解析] 由题意得y ′＝6x 2－3.令y ′＝6x 2－3>0，解得x <－22或x >22. 当x ∈(－∞，－22)时，函数为增函数；当x ∈(22，＋∞)时，函数也为增函数．令y ′＝6x 2－3<0，解得－22<x <22，当x ∈(－22，22)时，函数为减函数． 故函数的递增区间为(－∞，－22)和(22，＋∞)，递减区间为(－22，22)． 10.若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)内单调递减，在(6，＋∞)上单调递增，试求a 的范围．[解析] 解法一：(区间法)f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1，令f ′(x )＝0，所以x ＝1或x ＝a －1.当a －1≤1，即a ≤2时，函数f (x )在(1，＋∞)内单调递增，不合题意．当a －1>1，即a >2时，f (x )在(－∞，1)和(a －1，＋∞)上单调递增，在(1，a －1)上单调递减，由题意知：(1,4)⊆(1，a －1)且(6，＋∞)⊆(a －1，＋∞)，所以4≤a －1≤6，即5≤a ≤7. 解法二：(数形结合)如图所示，f ′(x )＝(x －1)[x －(a －1)]．若在(1,4)内f ′(x )≤0，(6，＋∞)内f ′(x )≥0，且f ′(x )＝0有一根为1，则另一根在[4,6]上．所以⎩⎪⎨⎪⎧f，f ，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ，－a，所以5≤a ≤7.解法三：(转化为不等式的恒成立问题)f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1.因为f (x )在(1,4)内单调递减，所以f ′(x )≤0在(1,4)上恒成立．即a (x －1)≥x 2－1在(1,4)上恒成立，所以a ≥x ＋1，因为2<x ＋1<5，所以当a ≥5时，f ′(x )≤0在(1,4)上恒成立，又因为f (x )在(6，＋∞)上单调递增，所以f ′(x )≥0在(6，＋∞)上恒成立， 所以a ≤x ＋1，因为x ＋1>7，所以a ≤7时，f ′(x )≥0在(6，＋∞)上恒成立．由题意知5≤a ≤7.[点评] 本题是含参数单调性问题，是高考的重点和热点，体现了数学上的数形结合与转化思想.一、选择题1．函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数( ) A ．(π2，3π2)B ．(π，2π)C ．(3π2，5π2)D ．(2π，3π)[答案] B[解析] y ′＝－x sin x .当x ∈(π，2π)时，y ′>0，则函数y ＝x cos x －sin x 在区间(π，2π)内是增函数．2．设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能为( )[答案] D[解析] 函数y ＝f (x )在区间(－∞，0)上单调递增，则导函数y ＝f ′(x )在区间(－∞，0)上的函数值为正，排除A 、C ；原函数y ＝f (x )在区间(0，＋∞)上先增再减，最后再增，其导函数y ＝f ′(x )在区间(0，＋∞)上的函数值先正、再负、再正，排除B.故选D.3.(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)设函数F (x )＝f xex是定义在R 上的函数，其中f (x )的导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则( )A ．f (2)>e 2f (0)，f (2012)>e 2012f (0) B ．f (2)<e 2f (0)，f (2012)>e 2012f (0) C ．f (2)<e 2f (0)，f (2012)<e 2012f (0) D ．f (2)>e 2f (0)，f (2012)<e 2012f (0)[答案] C[解析] ∵函数F (x )＝f xex的导数F ′(x )＝f x x －f xxx2＝f x －f xex<0，∴函数F (x )＝f xex是定义在R 上的减函数， ∴F (2)<F (0)，即fe2<fe，故有f (2)<e 2f (0)．同理可得f (2012)<e 2012f (0)．故选C ．4.(2014·辽宁理，11)当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是( )A ．[－5，－3]B ．[－6，－98]C ．[－6，－2]D ．[－4，－3] [答案] C[解析] 当x >0时，a ≥1x －4x 2－3x3恒成立．令1x＝t ，x ∈(0,1]，∴t ≥1.∴a ≥t －4t 2－3t 3恒成立．令g (t )＝t －4t 2－3t 3，g ′(t )＝1－8t －9t 2对称轴t ＝－818＝－49，∴函数g ′(t )在[1，＋∞)上减函数 而且g ′(1)＝－16<0，∴g ′(t )<0在[1，＋∞)上成立． ∴g (t )在[1，＋∞)上是减函数， ∴g (t )max ＝g (1)＝－6. 当x <0时，a ≤1x －4x 2－3x3恒成立∵x ∈[－2,0)，∴t ≤－12，令g ′(t )＝0，∴t ＝－1，∴g (t )在(－∞，－1]上为减函数，在(－1，－12]上为增函数，∴g (t )min ＝g (－1)＝－2， ∴－6≤a ≤－2. 二、填空题5．(2014·郑州网校期中联考)若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是________．[答案] b ≤－1[解析] f (x )在(－1，＋∞)上为减函数，∴f ′(x )≤0在(－1，＋∞)上恒成立，∵f ′(x )＝－x ＋b x ＋2，∴－x ＋bx ＋2≤0，∵b ≤x (x ＋2)在(－1，＋∞)上恒成立，∴b ≤－1.6．下图为函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图像，f ′(x )为函数f (x )的导函数，则不等式x ·f ′(x )<0的解集为__________________．[答案] (－∞，－3)∪(0，3)[解析] 由f (x )的图像知，f (x )在(－∞，－3)和(3，＋∞)上为增函数，在(－3，3)上为减函数，∴当x ∈(－∞，－3)∪(3，＋∞)时，f ′(x )>0； 当x ∈(－3，3)时，f ′(x )<0.∴x ·f ′(x )<0的解集为(－∞，－3)∪(0，3)． 三、解答题7．设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)．(1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．[解析] (1)因f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ， 故f ′(x )＝2a (x －5)＋6x.令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a )(x －1)，由点(0,6)在切线上可得6－16a ＝8a －6，故a ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x >0)，f ′(x )＝x －5＋6x＝x －x －x.令f ′(x )＝0，解得x 1＝2，x 2＝3.当0<x <2或x >3时，f ′(x )>0，故f (x )的增区间为(0,2)，(3，＋∞)；当2<x <3时，f ′(x )<0，故f (x )的减区间为(2,3)． 8.已知函数f (x )＝x 3－ax －1.(1)若f (x )在实数集R 上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由；(3)证明：f(x)＝x3－ax－1的图像不可能总在直线y＝a的上方．[解析](1)由已知f′(x)＝3x2－a，∵f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，∴f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立．∵3x2≥0，∴只需a≤0，又a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函数，∴a≤0.(2)由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，得a≥3x2，x∈(－1,1)恒成立．∵－1<x<1，∴3x2<3，∴只需a≥3.当a＝3时，f′(x)＝3(x2－1)，在x∈(－1,1)上，f′(x)<0，即f(x)在(－1,1)上为减函数，∴a≥3.故存在实数a≥3，使f(x)在(－1,1)上单调递减．(3)证明：∵f(－1)＝a－2<a，∴f(x)的图像不可能总在直线y＝a的上方．。
第三章 §1 1.1 第1课时1．函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增加的( )A ．⎝⎛⎭⎫π2，3π2B ．()π，2πC ．⎝⎛⎭⎫3π2，5π2D ．(2π，3π)解析：由已知得y ′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x ．当x ∈(π，2π)时，－x sin x >0.即函数在(π，2π)上是增加的．答案：B2.f ′(x )是f (x )的导函数，f ′(x )的图像如右图所示，则f (x )的图像可能是( )解析：由图知f ′(x )在区间[a ，b ]上先增大后减小，但始终大于0，则f (x )的图像上点的切线的斜率应先增大后减小，只有D 符合．答案：D3．在下列结论中，正确的有 ( )(1)单调增函数的导数也是单调增函数；(2)单调减函数的导数也是单调减函数；(3)单调函数的导数也是单调函数；(4)导函数是单调的，则原函数也是单调的．A ．0个B ．2个C ．3个D ．4个解析：分别举反例：(1)y ＝ln x ，(2)y ＝1x(x >0)， (3)y ＝2x ，(4)y ＝x 2.答案：A4．函数y ＝－13x 3＋x 2＋5的递增区间为____________，递减区间为____________．解析：由已知得y ′＝－x 2＋2x .令y ′>0，得0<x <2.令y ′<0，得x <0或x >2. 答案：(0,2) (－∞，0)，(2，＋∞)5．求函数f (x )＝2x 2－ln x 的递减区间． 解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，又f ′(x )＝4x 2－1x， 令4x 2－1x <0，得x <－12或0<x <12. 又∵x >0，∴f (x )的递减区间为⎝⎛⎭⎫0，12.。
第三章 §1 1.21．函数f (x )＝1＋3x －x 3有( ) A ．极小值－1，极大值1 B ．极小值－2，极大值3 C ．极小值－2，极大值2 D ．极小值－1，极大值3解析：f ′(x )＝－3x 2＋3， 令f ′(x )＝0，即－3x 2＋3＝0，解得x 1＝－1，x 2＝1. 当x <－1时，f ′(x )<0，f (x )是减少的； 当－1<x <1时，f ′(x )>0，f (x )是增加的； 当x >1时，f ′(x )<0，f (x )是减少的．∴函数的极小值为f (－1)＝1－3＋1＝－1，函数的极大值为f (1)＝1＋3－1＝3. 答案：D2．函数y ＝x 3＋1的极大值是( ) A ．1 B ．0 C ．2D ．不存在解析：y ′＝3x 2≥0，所以函数y ＝x 3＋1在R 上单调递增，故无极大值． 答案：D3．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3处取得极值，则a ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由f (x )在x ＝－3处取得极值，知f ′(－3)＝0，解得a ＝5. 答案：D4．在下列四个函数中，存在极值的是________． ①y ＝1x②y ＝x 2＋1 ③y ＝2 ④y ＝x 3解析：∵y ′＝－1x 2<0，∴y ＝1x 在定义域内不存在极值．同理，③④也不存在极值．②中，y ′＝2x ，令y ′＝0，得x ＝0.∴当x >0时，y ′>0；当x <0时，y ′<0.故函数y ＝x 2＋1在x ＝0处取极小值．答案：②5．设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx(x∈R)，已知g(x)＝f(x)－f′(x)是奇函数．(1)求b，c的值；(2)求g(x)的极值．解：(1)∵f′(x)＝3x2＋2bx＋c，∴g(x)＝f(x)－f′(x)＝x3＋(b－3)x2＋(c－2b)x－c.又g(x)是R上的奇函数，∴g(－x)＝－g(x)．∴(－x)3＋(b－3)x2－(c－2b)x－c＝－x3－(b－3)x2－(c－2b)x＋c.化简，得(b－3)x2－c＝0.∴b＝3，c＝0.(2)由(1)知g(x)＝x3－6x，∴g′(x)＝3x2－6＝3(x＋2)(x－2)．当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：－2)(2－2，2) (x)在x＝－2处取得极大值为g(－2)＝(－2)3－6×(－2)＝42，在x＝2处取得极小值为g(2)＝(2)3－62＝－4 2.。
第三章 §2 2.11．某人拉动一个物体前进，他所做的功W 是时间t 的函数W ＝W (t )，则W ′(t 0)表示( )A ．t ＝t 0时做的功B ．t ＝t 0时的速度C ．t ＝t 0时的位移D ．t ＝t 0时的功率解析：功率＝做功时间答案：D2．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2(s 的单位是m ，t 的单位是s)，那么物体在3 s 末的瞬时速度是( )A ．7 m/sB ．6 m/sC ．5 m/sD ．4 m/s 解析：s ′＝－1＋2t ，s ′|t ＝3＝－1＋2×3＝5.答案：C3．设球的半径为时间t 的函数R (t )．若球的体积以均匀速度C 增长，则球的表面积的增长速度与球半径( )A ．成正比，比例系数为CB ．成正比，比例系数为2CC ．成反比，比例系数为CD ．成反比，比例系数为2C解析：根据题意，V ＝43πR 3(t )，S ＝4πR 2(t )， 球的体积增长速度为V ′＝4πR 2(t )·R ′(t )，球的表面积增长速度S ′＝2·4πR (t )·R ′(t )， 又∵球的体积以均匀速度C 增长，∴球的表面积的增长速度与球半径成反比，比例系数为2C ．答案：D4．人体血液中药物的质量浓度c ＝f (t )(单位：mg/mL)随时间t (单位：min)变化，且f ′(2)＝0.3，则f ′(2)表示__________.答案：服药后2 min 时血液中药物的质量浓度以每分钟0.3 mg/mL 的速度增加5．物体做自由落体运动，其方程为s (t )＝12gt 2.(其中位移单位：m ，时间单位：s ，g ＝9.8 m/s 2)(1)计算当t 从2 s 变到4 s 时，位移s 关于时间t 的平均变化率，并解释它的意义；(2)求当t ＝2 s 时的瞬时速度，并解释它的意义．解：(1)当t 从2 s 变到4 s 时，位移s 从s (2)变到s (4)，此时，位移s 关于时间t 的平均变化率为s (4)－s (2)4－2＝12g ×42－12g ×224－2＝9.8×3＝29.4(m/s)． 它表示物体从2 s 到4 s 这段时间平均每秒下落29.4 m.(2)∵s ′(t )＝gt ，∴s ′(2)＝2g ＝19.6(m/s)．它表示物体在t ＝2 s 时的速度为19.6 m/s.。
第三章 §1 1.21．函数f (x )＝1＋3x －x 3有( ) A ．极小值－1，极大值1 B ．极小值－2，极大值3 C ．极小值－2，极大值2 D ．极小值－1，极大值3解析：f ′(x )＝－3x 2＋3， 令f ′(x )＝0，即－3x 2＋3＝0，解得x 1＝－1，x 2＝1. 当x <－1时，f ′(x )<0，f (x )是减少的； 当－1<x <1时，f ′(x )>0，f (x )是增加的； 当x >1时，f ′(x )<0，f (x )是减少的．∴函数的极小值为f (－1)＝1－3＋1＝－1，函数的极大值为f (1)＝1＋3－1＝3. 答案：D2．函数y ＝x 3＋1的极大值是( ) A ．1 B ．0 C ．2D ．不存在解析：y ′＝3x 2≥0，所以函数y ＝x 3＋1在R 上单调递增，故无极大值． 答案：D3．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3处取得极值，则a ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由f (x )在x ＝－3处取得极值，知f ′(－3)＝0，解得a ＝5. 答案：D4．在下列四个函数中，存在极值的是________． ①y ＝1x②y ＝x 2＋1 ③y ＝2 ④y ＝x 3解析：∵y ′＝－1x 2<0，∴y ＝1x 在定义域内不存在极值．同理，③④也不存在极值．②中，y ′＝2x ，令y ′＝0，得x ＝0.∴当x >0时，y ′>0；当x <0时，y ′<0.故函数y ＝x 2＋1在x ＝0处取极小值．答案：②5．设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx(x∈R)，已知g(x)＝f(x)－f′(x)是奇函数．(1)求b，c的值；(2)求g(x)的极值．解：(1)∵f′(x)＝3x2＋2bx＋c，∴g(x)＝f(x)－f′(x)＝x3＋(b－3)x2＋(c－2b)x－c.又g(x)是R上的奇函数，∴g(－x)＝－g(x)．∴(－x)3＋(b－3)x2－(c－2b)x－c＝－x3－(b－3)x2－(c－2b)x＋c.化简，得(b－3)x2－c＝0.∴b＝3，c＝0.(2)由(1)知g(x)＝x3－6x，∴g′(x)＝3x2－6＝3(x＋2)(x－2)．当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：－2)(2－2，2) (x)在x＝－2处取得极大值为g(－2)＝(－2)3－6×(－2)＝42，在x＝2处取得极小值为g(2)＝(2)3－62＝－4 2.。
