下载文档原格式
第十章概率第三节几何概型A级·基础过关|固根基|1.已知函数f（x）＝log2x，x∈［1,8]，则不等式1≤f（x）≤2成立的概率是(）A。
错误!B。
错误!C.错误!D。
错误!解析：选B区间[1，8]的长度为7，不等式1≤f（x)≤2,即不等式1≤log2x≤2，解得2≤x≤4,对应区间［2,4]的长度为2，由几何概型概率公式可得使不等式1≤f（x）≤2成立的概率是P＝错误!.2．已知以原点O为圆心，1为半径的圆以及函数y＝x3的图象如图所示,则向圆内任意投掷一粒小米(视为质点)，该小米落入阴影部分的概率为(）A.错误!B。
错误!C.错误!D。
错误!解析：选B由图形的对称性知,所求概率为P＝错误!＝错误!.故选B。
3．为了测量某阴影部分的面积,作一个边长为3的正方形将其包含在内,并向正方形内随机投掷600个点，已知恰有200个点落在阴影部分内,据此可以估计阴影部分的面积是（) A．4 B．3C．2 D．1解析:选B由投掷的点落在阴影部分的个数与投掷的点的个数比得到阴影部分的面积与正方形的面积比为错误!，所以阴影部分的面积约为9×错误!＝3.4．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中,点O为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为(）A．1－错误! B.错误!C。
错误!D．1－错误!解析：选D如图，与点O距离等于1的点的轨迹是一个半球面，其体积V＝错误!×错误!π×13＝错误!.事件“点P与点O距离大于1的概率”对应的区域体积为23－错误!，根据几何概型概率公式得，点P与点O距离大于1的概率P＝错误!＝1－错误!。
5．（2020届“四省八校联盟”高三联考）在区间［－6，9］内任取一个实数m，设f（x）＝－x2＋mx＋m，则函数f（x）的图象与x轴有公共点的概率等于（）A.错误!B。
错误!C.错误!D。
第三节几何概型1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．2．了解几何概型的意义．知识点一几何概型1．定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的______(______或______)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为________．2．几何概型的特点(1)无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有______个．(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性______．答案1．长度面积体积几何概型2．(1)无限多(2)相等1．判断正误(1)几何概型中，每一个基本事件都是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( )(2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形或空间几何体．( )(3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( )(4)几何概型与古典概型中的基本事件发生的可能性都是相等的，其基本事件个数都有限．( )解析：(1)正确．根据几何概型的概念可知正确．(2)正确．几何概型中的测度可为长度、面积、体积、角度等．(3)错误．与面积有关的几何概型的概率只与几何图形的面积有关，而与几何图形的形状无关．(4)错误．几何概型与古典概型中的基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型的基本事件有有限个，而几何概型的基本事件有无限个．答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× 知识点二 几何概型的概率公式P (A )＝______________________________________________.答案构成事件A 的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积2．(2016·新课标全国卷Ⅰ)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A.13B.12C.23D.34 解析：由题意得图：由图得等车时间不超过10分钟的概率为12.答案：B3．(必修③P140练习第1题改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )解析：如题干选项中图，各种情况的概率都是其面积比，中奖的概率依次为P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝13. 答案：A4．为了测算下图中阴影部分的面积，作一个边长为6的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷800个点，恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是________．解析：正方形面积为36，则阴影部分面积约为200800×36＝9.答案：9热点一 与长度、角度有关的几何概型问题【例1】 (1)(2016·新课标全国卷Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )A.710B.58C.38D.310(2)如图，在等腰直角△ABC 中，过直角顶点C 作射线CM 交AB 于M ，则使得AM 小于AC 的概率为________．【解析】 (1)记“至少需要等待15秒才出现绿灯”为事件A ，则P (A )＝2540＝58.(2)当AM ＝AC 时，△ACM 为以A 为顶点的等腰三角形，∠ACM ＝180°－45°2＝67.5°.当∠ACM <67.5°时，AM <AC ，所以AM 小于AC 的概率P ＝∠ACM 的度数∠ACB 的度数＝67.5°90°＝34.【答案】 (1)B (2)34(1)设A 为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A 连接，则弦长超过半径的2倍的概率是( )A.34B.12C.13D.35(2)在半径为1的圆内的一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是________．解析：(1)作等腰直角△AOC 和△AMC ，B 为圆上任一点，则当点B 在MmC ︵上运动时，弦长|AB |>2R ，∴P ＝MmC︵圆的周长＝12.(2)记事件A 为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”，如图，不妨在过等边三角形BCD 的顶点B 的直径BE 上任取一点F 作垂直于直径的弦，当弦为CD 时，就是等边三角形的边长(此时F为OE 中点)，弦长大于CD 的充要条件是圆心O 到弦的距离小于OF ，由几何概型公式得：P (A )＝12×22＝12.题图题图答案：(1)B (2)12热点二 与面积有关的几何概型问题 考向1 与一般几何图形面积有关的问题【例2】 在面积为S 的△ABC 内部任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率为( )A.14B.34C.49D.916【解析】 记事件A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫△PBC 的面积大于S 4，基本事件是△ABC 的面积(如图)，事件A 的几何度量为图中阴影部分的面积(DE ∥BC 且AD AB ＝，因为阴影部分的面积是整个三角形面积的⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝916，所以P (A )＝阴影部分的面积三角形的面积＝916.【答案】 D【例3】 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．【解】 以x 轴和y 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是|x －y |≤15.在如图所示平面直角坐标系下，(x ，y )的所有可能结果是边长为60的正方形区域，而事件A “两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示．由几何概型的概率公式得P (A )＝S 阴影S ＝602－452602＝3 600－2 0253 600＝716.所以，两人能会面的概率是716.考向3 随机模拟方法的应用【例4】 (2016·新课标全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4n mB.2n mC.4m nD.2m n【解析】 设由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x n ≤10≤y n ≤1构成的正方形的面积为S ，x 2n ＋y 2n <1构成的图形的面积为S ′，所以S ′S ＝14π1＝m n ，所以π＝4mn，故选C.【答案】 C(1)已知A ＝{(x ，y )|－1≤x ≤1,0≤y ≤2}，B ＝{(x ，y )|1－x 2≤y }．若在区域A 中随机地扔一粒豆子，则该豆子落在区域B 中的概率为( )A ．1－π8B.π4C.π4－1 D.π8(2)在区间[1,5]和[2,4]分别取一个数，记为a ，b ，则方程x 2a 2＋y 2b2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆的概率为( ) A.12 B.1532 C.1732D.3132(3)如右图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆为96颗，以此试验数据为依据可以估计椭圆的面积为( )A ．7.68B ．8.68C ．16.32D ．17.32解析：(1)集合A ＝{(x ，y )|－1≤x ≤1,0≤y ≤2}表示的区域是一正方形，其面积为4，集合B ＝{(x ，y )|1－x 2≤y }表示的区域为图中阴影部分，其面积为4－12×12×π.所以向区域A 内随机地扔一粒豆子，则豆子落在区域B 内的概率为4－12π4＝1－π8.(2)∵x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆，∴a >b >0，a <2b .它对应的平面区域如图中阴影部分所示，则方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆的概率为P ＝S 阴影S 矩形＝1－12＋＋12×12×12×4＝1532，故选B.(3)由随机模拟的思想方法可得，黄豆落在椭圆内的概率为300－96300＝0.68.由几何概型的概率计算公式可得，S 椭圆S 矩形＝0.68，而S 矩形＝6×4＝24，则S 椭圆＝0.68×24＝16.32. 答案：(1)A (2)B (3)C热点三 与体积有关的几何概型问题【例5】 一只蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行．若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体玻璃容器的6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一个位置的可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率为( )A.18B.116C.127D.38【解析】 由题意，可知当蜜蜂在棱长为10的正方体区域内飞行时才是安全的，所以由几何概型的概率计算公式，知蜜蜂飞行是安全的概率为103303＝127.【答案】 C在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．解析：记“点P 到点O 的距离大于1”为事件A ，则事件A 发生时，点P 位于以O 为球心，以1为半径的半球外．又V 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1＝23＝8，V 半球＝12·43π·13＝23π.∴所求事件概率P (A )＝8－23π8＝1－π12.答案：1－π121．对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．2．对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式．(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可；(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型．专题六高考解答题鉴赏——概率与统计在全国卷高考中，概率与统计是每一年必考内容，分值12分，难度中等．解答题综合性较强，将概率、统计的有关知识(特别是直方图、样本数字特征)有机地交融在一起，也有时仅考利用统计知识解决实际问题．【典例】(2016·新课标全国卷Ⅰ，12分)某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n表示购机的同时购买的易损零件数．(1)若n＝19，求y与x的函数解析式；(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？【标准解答】(1)当x≤19时，y＝3 800；当x>19时，y＝3 800＋500(x－19)＝500x－5 700，所以y与x的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3 800， x ≤19，500x －5 700， x >19(x ∈N )．(4分)(2)由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故n 的最小值为19.(7分)(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800元，20台的费用为4 300元，10台的费用为4 800元，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(3 800×70＋4 300×20＋4 800×10)＝4 000(元)．若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000元，10台的费用为4 500元，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(4 000×90＋4 500×10)＝4 050(元)．比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件．(12分)【阅卷点评】 本题易错点有两处：一是混淆了频率分布直方图与柱状图，导致全题皆错；二是审题不清或不懂题意，导致解题无从入手．避免此类错误，需认真审题，读懂题意，并认真观察频率分布直方图与柱状图的区别，纵轴表示的意义．(2017·昆明两区七校调研)某校高三共有900名学生，高三模拟考之后，为了了解学生学习情况，用分层抽样方法从中抽出若干学生此次数学成绩，按成绩分组，并制成如下的频率分布表.(1)(2)为了了解数学成绩在120分以上的学生的心理状态，现决定在第六、七、八组中用分层抽样方法抽取6名学生，在这6名学生中又再随机抽取2名与心理老师面谈，求第七组中至少有一名学生被抽到与心理老师面谈的概率；(3)估计该校本次考试的数学平均分．解：(1)因为频率和为1，所以b ＝0.18，因为频率＝频数/样本容量，所以c ＝100，a ＝15.(2)第六、七、八组共有30个样本，用分层抽样方法抽取6名学生，第六、七、八组被抽取的样本数分别为3,2,1，将第六组、第八组被抽取的样本分别用A ，B ，C ，D 表示，第七组抽出的样本用E ，F 表示．从这6名学生中随机抽取2个的方法有AB 、AC 、AD 、AE 、AF 、BC 、BD 、BE 、BF 、CD 、CE 、CF 、DE 、DF 、EF ，共15种．其中至少含E 或F 的取法有9种，则所求概率为35.(3)估计平均分为75×0.06＋85×0.04＋95×0.22＋105×0.2＋115×0.18＋125×0.15＋135×0.1＋145×0.05＝110.。
10.3 几何概型[知识梳理] 1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的两个基本特点3．几何概型的概率公式P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).[诊断自测] 1．概念思辨(1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( ) (2)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( )(3)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( )(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( ) 答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√ 2．教材衍化(1)(必修A3P 137例1)在区间[10,20]内的所有实数中，随机取一个实数a ，则这个实数a <13的概率是( )A.13B.17C.310D.710 答案 C解析 因为a ∈[10,13)，所以P (a <13)＝13－1020－10＝310.故选C.(2)(必修A3P 142A 组T 2)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )答案 A解析 如题干选项中图，各种情况的概率都是其面积比，中奖的概率依次为P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝13，所以P (A )>P (C )＝P (D )>P (B )．故选A.3．小题热身(1)(2018·承德质检)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )A.14B.12C.34D.78 答案 C解析 设通电x 秒后第一串彩灯闪亮，y 秒后第二串彩灯闪亮．依题意得0≤x ≤4,0≤y ≤4，其对应区域的面积为S ＝4×4＝16.又两串彩灯闪亮的时刻相差不超过2秒，即|x －y |≤2，如图，易知阴影区域的面积为S ′＝16－12×2×2－12×2×2＝12，∴P ＝S ′S ＝1216＝34.故选C.(2)(2017·贵阳质检)如图所示，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．答案 0.18 解析 由题意知，S 阴S 正＝1801000＝0.18. ∵S 正＝1，∴S 阴＝0.18.题型1 与长度(角度)有关的几何概型典例1 (2016·全国卷Ⅰ)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A.13B.12C.23D.34将时间长度转化为实数的区间长度代入几何概型概率公式．答案 B解析 解法一：7：30的班车小明显然是坐不到的．当小明在7：50之后8：00之前到达，或者8：20之后8：30之前到达时，他等车的时间将不超过10分钟，故所求概率为10＋1040＝12.故选B.解法二：当小明到达车站的时刻超过8：00，但又不到8：20时，等车时间将超过10分钟，7：50～8：30的其他时刻到达车站时，等车时间将不超过10分钟，故等车时间不超过10分钟的概率为1－2040＝12.故选B.典例2(2015·重庆高考)在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为________．本题是属于不等式解区间长度的几何概型．首先由题意列出不等式组求解区间，然后代入公式．答案 23解析 设方程x 2＋2px ＋3p －2＝0的两个根分别为x 1，x 2，由题意得， ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4p 2－4(3p －2)≥0，x 1＋x 2＝－2p <0，x 1·x 2＝3p －2>0，解得23<p ≤1或p ≥2，结合p ∈[0,5]得p ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤23，1∪[2,5]， 故所求概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋(5－2)5＝23. [条件探究1] 若将典例2条件“两个负根”变为“无实根”，试求其概率． 解 由Δ＝4p 2－4(3p －2)<0，解得1<p <2.所以无实根的概率为p ＝15.[条件探究2] 若将典例2条件“两个负根”变为“一正一负两根”，试求其概率． 解 欲使该方程有一正一负两根，只需⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4p 2－4(3p －2)>0，x 1x 2＝3p －2<0，解得p <23，所以有一正一负两根的概率为p ＝215.方法技巧1．与长度有关的几何概型(1)试验的结果构成的区域的几何度量可直接用长度表示，代入几何概型计算公式．(2)与时间、不等式及其解有关的概率问题与时间、不等式及其解有关的概率问题可依据转化与化归思想将其转化为与长度有关的几何概型，利用几何概型概率公式进行求解．见典例1,2.2．与角度有关的几何概型当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段．见冲关针对训练2.冲关针对训练1．(2016·全国卷Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )A.710 B.58 C.38 D.310答案 B解析 至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40－1540＝58.故选B.2．如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ︵，在∠DAB 内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________．答案 13解析 因为在∠DAB 内任作射线AP ，则等可能基本事件为“∠DAB 内作射线AP ”，所以它的所有等可能事件所在的区域H 是∠DAB ，当射线AP 与线段BC 有公共点时，射线AP 落在∠CAB 内，区域H 为∠CAB ，所以射线AP 与线段BC 有公共点的概率为∠CAB ∠DAB ＝30°90°＝13.题型2 与面积有关的几何概型角度1 与随机模拟相关的几何概型典例 (2016·全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4nmB.2n mC.4m nD.2m n答案C解析 如图，数对(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )表示的点落在边长为1的正方形OABC 内(包括边界)，两数的平方和小于1的数对表示的点落在半径为1的四分之一圆(阴影部分)内，则由几何概型的概率公式可得m n ＝14π12⇒π＝4mn.故选C.角度2 与线性规划有关的几何概型典例 (2014·湖北高考)由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )A.18B.14C.34D.78 答案 D解析 区域Ω1为直角△AOB 及其内部，S △AOB ＝12×2×2＝2.区域Ω2是直线x ＋y ＝1和x ＋y ＝－2夹成的条形区域．由题意得所求的概率P ＝S 四边形AODCS △AOB ＝2－142＝78.故选D.方法技巧1．与平面几何、解析几何等知识交汇问题的解题思路利用平面几何、解析几何等相关知识，先确定基本事件对应区域的形状，再选择恰当的方法和公式，计算出其面积，进而代入公式求概率．见角度1典例．2．与线性规划交汇问题的解题思路先根据约束条件作出可行域，再确定形状，求面积大小，进而代入公式求概率．见角度2典例．冲关针对训练1．在区间[1,5]和[2,4]上分别取一个数，记为a ，b ，则方程x 2a 2＋y 2b2＝1表示焦点在x轴上且离心率小于32的椭圆的概率为( ) A.12 B.1532 C.1732 D.3132答案 B解析 ∵x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆，∴a >b >0，a <2b ，它对应的平面区域如图中阴影部分所示，则方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆的概率为P ＝S 阴影S 矩形＝1－12×(1＋3)×2＋12×12×12×4＝1532，故选B.2．欧阳修的《卖油翁》中写到：“(翁)乃取一葫芦，置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3 cm 的圆，中间有边长为1 cm 的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴的直径忽略不计)，则正好落入孔中的概率是________．答案49π解析 由题意易得P ＝12π·⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝49π.题型3 与体积有关的几何概型典例1 (2018·兰州名校检测)一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )A.4π81 B.81－4π81 C.127 D.827答案 C解析 由已知条件，蜜蜂只能在一个棱长为1的小正方体内飞行，结合几何概型可得蜜蜂“安全飞行”的概率为P ＝1333＝127.故选C.典例2 已知正三棱锥S －ABC 的底面边长为4，高为3，则在正三棱锥内任取一点P ，则点P 满足V 三棱锥P －ABC <12V 三棱锥S －ABC 的概率是________．答案 78解析 设三棱锥P －ABC 的高为h .由V 三棱锥P －ABC <12V 三棱锥S －ABC ，得13S △ABC ·h <12·13S △ABC ·3，解得h <32，即点P 在三棱锥的中截面以下的空间．∴点P 满足V三棱锥P －ABC<12V 三棱锥S －ABC的概率是P ＝1－13·14S △ABC ·3213S △ABC ·3＝78.方法技巧与体积有关的几何概型问题如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用空间几何体的体积表示，则其概率的计算公式为：P (A )＝构成事件A 的区域体积试验的全部结果所构成的区域体积.求解的关键是计算事件的总体积以及事件A 的体积． 冲关针对训练1．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A.π12 B ．1－π12 C.π6 D ．1－π6答案 B解析 正方体的体积为：2×2×2＝8，以O 为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为：12×43πr 3＝12×43π×13＝23π，则点P 到点O 的距离大于1的概率为：1－23π8＝1－π12.故选B.2．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，则使四棱锥M －ABCD 的体积小于16的概率为________．答案 12解析 过M 作平面RS ∥平面AC ，则两平面间的距离是四棱锥M －ABCD 的高，显然M 在平面RS 上任意位置时，四棱锥M －ABCD 的体积都相等．若此时四棱锥M －ABCD 的体积等于16.只要M 在截面以下即可小于16，当V M －ABCD ＝16时，即13×1×1×h ＝16，解得h ＝12，即点M 到底面ABCD 的距离，所以所求概率P ＝1×1×121×1×1＝12.1．(2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A.14B.π8C.12D.π4 答案 B解析 不妨设正方形ABCD 的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，S 正方形＝4. 由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑＝S 白＝12S 圆＝π2，所以由几何概型知所求概率P ＝S 黑S 正方形＝π24＝π8.故选B.2．(2015·陕西高考)设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( )A.34＋12πB.14－12πC.12－1πD.12＋1π 答案 B解析∵|z |≤1，∴(x －1)2＋y 2≤1，表示以M (1,0)为圆心，1为半径的圆及其内部，该圆的面积为π.易知直线y ＝x 与圆(x －1)2＋y 2＝1相交于O (0,0)，A (1,1)两点，如图：∵∠OMA ＝90°，∴S 阴影＝π4－12×1×1＝π4－12.故所求的概率P ＝S 阴影S ⊙M ＝π4－12π＝14－12π.故选B.3．(2018·湖北华师一附中联考)在区间[0,4]上随机取两个实数x ，y ，使得x ＋2y ≤8的概率为( )A.14B.316C.916D.34 答案 D解析 如图所示，⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，0≤y ≤4表示的平面区域为正方形OBCD 及其内部，x ＋2y ≤8(x ，y ∈[0,4])表示的平面区域为图中阴影部分，所以所求概率P ＝4×4－12×4×24×4＝34，故选D.4．(2017·江西赣州十四县联考)已知定义在区间[－3,3]上的单调函数f (x )满足：对任意的x ∈[－3,3]，都有f [f (x )－2x]＝6，则在[－3,3]上随机取一个实数x ，使得f (x )的值不小于4的概率为( )A.16B.56C.13D.12 答案 C解析 由题意设对任意的x ∈[－3,3]，都有f (x )－2x＝a ，其中a 为常数，且a ∈[－3,3]，则f (a )＝6，f (a )－2a＝a ，∴6－2a＝a ，得a ＝2，故f (x )＝2x＋2，由f (x )≥4得x ≥1，因此所求概率为3－13＋3＝13.故选C.[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2017·陕西榆林二模)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，0≤x <1，ln x ＋e ，1≤x ≤e 在区间[0，e]上随机取一个实数x ，则f (x )的值不小于常数e 的概率是( )A.1e B ．1－1e C.e 1＋e D.11＋e 答案 B解析 当0≤x ＜1时，f (x )<e ，当1≤x ≤e 时，e≤f (x )≤1＋e ，∵f (x )的值不小于常数e ，∴1≤x ≤e，∴所求概率为e －1e ＝1－1e，故选B.2．(2018·绵阳模拟)在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率是( )A.14B.12C.34D.23 答案 C解析 如图所示，在边AB 上任取一点P ，因为△ABC 与△PBC 是等高的，所以事件“△PBC 的面积大于S 4”等价于事件“|BP |∶|AB |>14”，即P ⎝⎛⎭⎪⎫△PBC 的面积大于S 4＝|PA ||BA |＝34.故选C.3．已知实数a 满足－3<a <4，函数f (x )＝lg (x 2＋ax ＋1)的值域为R 的概率为P 1，定义域为R 的概率为P 2，则( )A ．P 1>P 2B ．P 1＝P 2C ．P 1<P 2D ．P 1与P 2的大小不确定 答案 C解析 若f (x )的值域为R ，则Δ1＝a 2－4≥0，得a ≤－2或a ≥2. 故P 1＝－2－(－3)4－(－3)＋4－24－(－3)＝37.若f (x )的定义域为R ，则Δ2＝a 2－4<0，得－2<a <2.故P 2＝47.∴P 1<P 2.故选C.4．(2017·湖南长沙四县联考)如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是( )A ．1－π4 B.π12 C.π4 D ．1－π12答案 A解析 鱼缸底面正方形的面积为22＝4，圆锥底面圆的面积为π.所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1－π4，故选A.5．(2017·铁岭模拟)已知△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 为钝角三角形的概率为( )A.16B.13C.12D.23 答案 C解析 如图，当BE ＝1时，∠AEB 为直角，则点D 在线段BE (不包含B ，E 点)上时，△ABD 为钝角三角形；当BF ＝4时，∠BAF 为直角，则点D 在线段CF (不包含F 点)上时，△ABD 为钝角三角形．所以△ABD 为钝角三角形的概率为1＋26＝12.故选C.6．(2018·沧州七校联考)用一平面截一半径为5的球面得到一个圆，则此圆面积小于9π的概率是( )A.45B.15C.13D.12 答案 B解析 如图，此问题属几何概型，球的直径为10，用一平面截该球面，所得的圆面积大于等于9π的概率为P (A )＝810＝45.∴所截得圆的面积小于9π的概率为P (A －)＝1－45＝15.故选B.7．(2017·福建莆田3月质检)从区间(0,1)中任取两个数作为直角三角形两直角边的长，则所取的两个数使得斜边长不大于1的概率是( )A.π8 B.π4 C.12 D.34答案 B解析 任取的两个数记为x ，y ，所在区域是正方形OABC 内部，而符合题意的x ，y 位于阴影区域内(不包括x ，y 轴)，故所求概率P ＝14π×121×1＝π4.故选B.8．(2017·河南三市联考)在区间[－π，π]内随机取两个数分别为a ，b ，则使得函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点的概率为( )A ．1－π8B ．1－π4C ．1－π2D ．1－3π4答案 B解析函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点，需Δ＝4a 2－4(－b 2＋π2)≥0，即a 2＋b 2≥π2成立．而a ，b ∈[－π，π]，建立平面直角坐标系，满足a 2＋b 2≥π2，点(a ，b )如图阴影部分所示，所求事件的概率为P ＝2π×2π－π32π×2π＝4π2－π34π2＝1－π4.故选B. 9．(2018·江西模拟)向面积为S 的平行四边形ABCD 中任投一点M ，则△MCD 的面积小于S3的概率为( )A.13B.35C.23D.34 答案 C解析 设△MCD 的高为ME ，ME 的反向延长线交AB 于F ，当“△MCD 的面积等于S3”时，12CD ·ME ＝13CD ·EF ，即ME ＝23EF ，过M 作GH ∥AB ，则满足△MCD 的面积小于S3的点M 在▱CDGH 中，由几何概型的概率公式得到△MCD 的面积小于S3的概率为2S3S ＝23.故选C.10．(2015·湖北高考)在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≤12”的概率，p 2为事件“xy ≤12”的概率，则( )A ．p 1<p 2<12B ．p 2<12<p 1C.12<p 2<p 1 D ．p 1<12<p 2 答案 D解析 (x ，y )构成的区域是边长为1的正方形及其内部，其中满足x ＋y ≤12的区域如图1中阴影部分所示，所以p 1＝12×12×121×1＝18，满足xy ≤12的区域如图2中阴影部分所示，所以p 2＝S 1＋S 21×1＝12＋S 21>12，所以p 1<12<p 2，故选D.二、填空题11.如图所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，则BM <1的概率是________．答案 25解析 ∠B ＝60°，∠C ＝45°，所以∠BAC ＝75°. 在Rt △ABD 中，AD ＝3，∠B ＝60°，BD ＝ADtan60°＝1，∠BAD ＝30°.记事件N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，使BM <1”，则可得∠BAM <∠BAD 时事件N 发生．由几何概型的概率公式，得P (N )＝30°75°＝25.12．一个长方体空屋子，长、宽、高分别为5米、4米、3米，地面三个角上各装有一个捕蝇器(大小忽略不计)，可捕捉距其一米空间内的苍蝇，若一只苍蝇从位于另外一角处的门口飞入，并在房间内盘旋，则苍蝇被捕捉的概率是________．答案π120解析 依题意，放在地面一角处的捕蝇器能捕捉到的空间体积V 0＝18×4π3×13＝π6(立方米)，又空屋子的体积V ＝5×4×3＝60(立方米)，三个捕蝇器捕捉到的空间体积V ′＝3V 0＝π2(立方米)．故苍蝇被捕捉的概率是π260＝π120.13．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．答案1316解析 记“小波周末去看电影”为事件A ，则P (A )＝1－π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122π＝34，记“小波周末去打篮球”为事件B ，则P (B )＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫142π＝116，点到圆心的距离大于12与点到圆心的距离小于14不可能同时发生，所以事件A 与事件B 互斥，则小波周末不在家看书为事件A ∪B ，P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝34＋116＝1316.14．(2018·河南洛阳模拟)已知O (0,0)，A (2,1)，B (1，－2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－15，动点P (x ，y )满足0≤OP →·OA →≤2且0≤OP →·OB →≤2，则点P 到点C 的距离大于14的概率为________．答案 1－5π64解析 ∵O (0,0)，A (2,1)，B (1，－2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－15，动点P (x ，y )满足0≤OP →·OA →≤2且0≤OP →·OB →≤2，∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ＋y ≤2，0≤x －2y ≤2.如图，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ＋y ≤2，0≤x －2y ≤2对应的平面区域为正方形OEFG 及其内部，|CP |>14对应的平面区域为阴影部分．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，2x ＋y ＝2解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝45，y ＝25，即E ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，25，∴|OE |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝255， ∴正方形OEFG 的面积为45，则阴影部分的面积为45－π16，∴根据几何概型的概率公式可知所求的概率为45－π1645＝1－5π64.三、解答题15．(2018·广东深圳模拟)已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )在复平面上对应的点为M . (1)设集合P ＝{－4，－3，－2,0}，Q ＝{0,1,2}，从集合P 中随机抽取一个数作为x ，从集合Q 中随机抽取一个数作为y ，求复数z 为纯虚数的概率；(2)设x ∈[0,3]，y ∈[0,4]，求点M 落在不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ≥0，y ≥0所表示的平面区域内的概率．解 (1)记“复数z 为纯虚数”为事件A .∵组成复数z 的所有情况共有12个：－4，－4＋i ，－4＋2i ，－3，－3＋i ，－3＋2i ，－2，－2＋i ，－2＋2i,0，i,2i ，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型， 其中事件A 包含的基本事件共2个：i,2i ， ∴所求事件的概率为P (A )＝212＝16. (2)依条件可知，点M 均匀地分布在平面区域(x ，y )⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤3，0≤y ≤4内，属于几何概型．该平面区域的图形为图中矩形OABC 围成的区域，面积为S ＝3×4＝12.而所求事件构成的平面区域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ≥0，y ≥0，其图形如图中的三角形OAD (阴影部分)．又直线x ＋2y －3＝0与x 轴，y 轴的交点分别为A (3,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32， ∴三角形OAD 的面积为S 1＝12×3×32＝94.∴所求事件的概率为P ＝S 1S ＝9412＝316.16．设f (x )和g (x )都是定义在同一区间上的两个函数，若对任意x ∈[1,2]，都有|f (x )＋g (x )|≤8，则称f (x )和g (x )是“友好函数”，设f (x )＝ax ，g (x )＝bx.(1)若a ∈{1,4}，b ∈{－1,1,4}，求f (x )和g (x )是“友好函数”的概率； (2)若a ∈[1,4]，b ∈[1,4]，求f (x )和g (x )是“友好函数”的概率．解 (1)设事件A 表示f (x )和g (x )是“友好函数”， 则|f (x )＋g (x )|(x ∈[1,2])所有的情况有 x －1x ，x ＋1x ，x ＋4x ，4x －1x ，4x ＋1x ，4x ＋4x， 共6种且每种情况被取到的可能性相同． 又当a >0，b >0时ax ＋b x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0， b a 上递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ，＋∞上递增； x －1x 和4x －1x在(0，＋∞)上递增，∴对x ∈[1,2]可使|f (x )＋g (x )|≤8恒成立的有x －1x ，x ＋1x ，x ＋4x ，4x －1x，故事件A 包含的基本事件有4种， ∴P (A )＝46＝23，故所求概率是23.(2)设事件B 表示f (x )和g (x )是“友好函数”，∵a 是从区间[1,4]中任取的数，b 是从区间[1,4]中任取的数，∴点(a ，b )所在区域是长为3，宽为3的正方形区域．要使x ∈[1,2]时，|f (x )＋g (x )|≤8恒成立，需f (1)＋g (1)＝a ＋b ≤8且f (2)＋g (2)＝2a ＋b 2≤8， ∴事件B 表示的点的区域是如图所示的阴影部分．∴P (B )＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋114×33×3＝1924， 故所求的概率是1924.。
第3节几何概型【选题明细表】知识点、方法题号与长度(角度)有关的几何概型1,4,6与面积(体积)有关的几何概型3,5,7,8,10,12随机模拟13综合应用2,9,11,14,15基础对点练(时间:30分钟)1.(2016某某某某质量检测)已知集合M={x|-2≤x≤8},N={x|x2-3x+2≤0},在集合M中任取一个元素x,则“x∈M∩N”的概率是( A )(A)(B)(C)(D)解析:因为N={x|x2-3x+2≤0}=[1,2],所以M∩N=[1,2],所以所求的概率P==.2.(2015某某模拟)在满足不等式组的平面点集中随机取一点M(x0,y0),设事件A为“y0<2x0”,那么事件A发生的概率是( B )(A)(B)(C)(D)解析:作出不等式组表示的平面区域即△ABC,其面积为4,且事件A表示的区域即△AOC,其面积为3,所以事件A发生的概率是.3.记集合A={(x,y)|x2+y2≤4}和集合B={(x,y)|x+y-2≤0,x≥0,y≥0}表示的平面区域分别为Ω1,Ω2,若在区域Ω1内任取一点M(x,y),则点M落在区域Ω2内的概率为( A )(A)(B)(C)(D)解析: 根据题意可得集合A={(x,y)|x2+y2≤4}所表示的平面区域即为如图所表示的圆及内部的平面区域,面积为4π,集合B={(x,y)|x+y-2≤0,x≥0,y≥0}表示的平面区域即为图中的Rt△AOB,S△AOB=×2×2=2,根据几何概率的计算公式可得P==.故选A.4.在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P,则△PBC的面积大于的概率为( C )(A)(B)(C)(D)解析:如图,当BM=BA时,△MBC的面积为,而当P在M、A之间运动时,△PBC的面积大于,即MA=AB,则△PBC的面积大于的概率P==,故选C.5. (2015某某一模)如图圆C内切于扇形AOB,∠AOB=,若在扇形AOB内任取一点,则该点在圆C内的概率为( C )(A)(B)(C)(D)解析:设圆C的半径为r,试验发生包含的事件对应的是扇形AOB,满足条件的事件是☉C,其面积为π·r2,如图,连接OC,延长交扇形于P.由于易知CE=r,∠BOP=,OC=2r,OP=3r,则S扇形AOB==,所以☉C的面积与扇形AOB的面积比是.所以概率P=.6. 如图所示,在△ABC中,∠B=60°,∠C=45°,高AD=,在∠BAC内作射线AM交BC于点M,则BM<1的概率为( B )(A)(B)(C)(D)解析:因为∠B=60°,∠C=45°,所以∠BAC=75°.在Rt△ADB中,AD=,∠B=60°,所以BD==1,∠BAD=30°.记事件N为“在∠BAC内作射线AM交BC于点M,则BM<1”,可得∠BAM<∠BAD时事件N发生.由几何概型的概率公式得P(N)==,故选B.7. 如图所示,正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1,在正方体内随机取点M,则使四棱锥M ABCD的体积小于的概率为.解析:要使四棱锥M ABCD的体积小于,则其高应小于,所以P点应落在正方体ABCD A1B1C1D1中与底面ABCD平行且距离为的截面与平面ABCD之间.所以P=.答案:8.向边长为2米的正方形木框ABCD内随机投掷一粒绿豆,记绿豆落在P点,则P点到A点的距离大于1米,同时∠DPC∈(0,)的概率为.解析: 由题意知P点在以DC为直径的圆外,且在以A为圆心,1为半径的圆外,即P点在如图所示的阴影部分内,则概率为P==1-.答案:1-9.(2015市中区校级四模)若在区域内任取一点P,则点P落在单位圆x2+y2=1内的概率为.解析:满足约束条件的区域为△AOB内部(含边界),与单位圆x2+y2=1的公共部分如图中阴影部分所示,则点P落在单位圆x2+y2=1内的概率为P===.答案:10.已知集合A=[-2,2],B=[-1,1],设M={(x,y)|x∈A,y∈B},在集合M内随机取出一个元素(x,y).(1)求以(x,y)为坐标的点落在圆x2+y2=1内的概率;(2)求以(x,y)为坐标的点到直线x+y=0的距离不大于的概率.解:(1)集合M内的点形成的区域面积S=8.因x2+y2=1的面积S1=π,故所求概率为P1==.(2)由题意≤,即-1≤x+y≤1,形成的区域如图中阴影部分所示,面积S2=4,所求概率为P2==.11.已知向量a=(2,1),b=(x,y),若x∈[-1,2],y∈[-1,1],求向量a,b的夹角是钝角的概率. 解: 设“a,b的夹角是钝角”为事件B,由a,b的夹角是钝角,可得a·b<0,即2x+y<0,且x≠2y.基本事件空间为Ω={(x,y)|},B=,则由图可知,P(B)==,即向量a,b的夹角是钝角的概率是.能力提升练(时间:15分钟)12.(2015高考某某卷)在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记p1为事件“x+y≥”的概率,p2为事件“|x-y|≤”的概率,p3为事件“xy≤”的概率,则( B )(A)p1<p2<p3(B)p2<p3<p1(C)p3<p1<p2(D)p3<p2<p1解析:x,y∈[0,1],事件“x+y≥”表示的区域如图(1)中阴影部分S1,事件“|x-y|≤”表示的区域如图(2)中阴影部分S2,事件“xy≤”表示的区域如图(3)中阴影部分S3.由图知,阴影部分的面积S2<S3<S1,正方形的面积为1×1=1.根据几何概型的概率计算公式,可得p2<p3<p1.13.(2016某某校级模拟)已知P是△ABC所在平面内一点,++2=0,现将一粒黄豆随机撒在△ABC内,则黄豆落在△PBC内的概率是.解析:以PB,PC为邻边作平行四边形PBDC,则+=,所以++2=0,所以+=-2,得=-2,由此可得,P是△ABC边BC上的中线AO的中点,点P到BC的距离等于A到BC的距离的.所以S△PBC=S△ABC.将一粒黄豆随机撒在△ABC内,黄豆落在△PBC内的概率为P==.答案:14.已知关于x的二次函数f(x)=b2x2-(a+1)x+1.(1)若a,b分别表示将一质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数,求y=f(x)恰有一个零点的概率;(2)若a,b∈[1,6],求满足y=f(x)有零点的概率.解:(1)设(a,b)表示一个基本事件,则抛掷两次骰子的所有基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),…,(6,5),(6,6),共36个.用A表示事件“y=f(x)恰有一个零点”,即Δ=(a+1)2-4b2=0,则a+1=2b.则A包含的基本事件有(1,1),(3,2),(5,3),共3个.所以P(A)==.答:事件“y=f(x)恰有一个零点”的概率为.(2)用B表示事件“y=f(x)有零点”,即a+1≥2b.试验的全部结果所构成的区域为{(a,b)|1≤a≤6,1≤b≤6},构成事件B的区域为{(a,b)|1≤a≤6,1≤b≤6,a-2b+1≥0},所以所求的概率为P(B)==.答:事件“y=f(x)有零点”的概率为.15.已知向量a=(-2,1),b=(x,y).(1)若x,y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数,求满足a·b=-1的概率;(2)若x,y在连续区间[1,6]上取值,求满足a·b<0的概率.解:(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次,所包含的基本事件总数为6×6=36(个);由a·b=-1有-2x+y=-1,所以满足a·b=-1的基本事件为(1,1),(2,3),(3,5),共3个;故满足a·b=-1的概率为=.(2)若x,y在连续区间[1,6]上取值,则全部基本事件的结果为Ω={(x,y)|1≤x≤6,1≤y≤6};满足a·b<0的基本事件的结果为A={(x,y)|1≤x≤6,1≤y≤6且-2x+y<0};画出草图如图,正方形的面积为S正方形=25,阴影部分的面积为S阴影=25-×2×4=21,故满足a·b<0的概率为.精彩5分钟1.(2015某某模拟)在区间[0,π]上随机取一个数x,则事件“sin x+cos x≥”发生的概率为( B )(A)(B)(C)(D)解题关键:先求出满足“sin x+cos x≥”的x的X围,转化为与长度有关的问题解决. 解析:因为sin x+cos x≥,即sin(x+)≥,所以sin(x+)≥,因为x∈[0,π],所以x+∈[,],所以在区间[,]内,满足sin(x+)≥的x+∈[,].得x∈[,],word所以事件sin x+cos x≥发生的概率为P==.2.(2015某某二模)在区间[0,4]内随机取两个数a,b,则使得函数f(x)=x2+ax+b2有零点的概率为.解题关键:本题涉及两个随机数a,b,故是与面积有关的问题,在坐标系内作出事件所表示的区域,利用面积型问题求解.解析: 因为两个数a,b在区间[0,4]内随机地取,所以以a为横坐标、b为纵坐标建立如图所示直角坐标系,可得对应的点(a,b)在如图的正方形OABC及其内部任意取,其中A(0,4),B(4,4),C(4,0),O为坐标原点,若函数f(x)=x2+ax+b2有零点,则Δ=a2-4b2≥0,解之得a≥2b,满足条件的点(a,b)在直线a-2b=0上及其下方,且在正方形OABC内部,其面积为S1=×4×2=4,因为正方形OABC的面积为S=4×4=16,所以函数f(x)=x2+ax+b2有零点的概率为P===.答案:。
2017高考数学必考点【几何概型的定义及计算】整理高考数学一直是很多考生头疼的科目，考生难以取得数学高分是因为没有掌握好考点，为了帮助大家掌握好数学考点，下面为大家带来2017高考数学必考点【几何概型的定义及计算】整理，希望大家用心记住这些数学考点。
几何概型的概念：
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)称比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。
几何概型的概率：
一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件该点落在其内部一个区域d内为事件A，则事件A发生的概率。
说明：(1)D的测度不为0;
(2)其中测度的意义依D确定，当D分别是线段，平面图形,学习效率，立体图形时，相应的测度分别是长度，面积和体积;
(3)区域为开区域;
(4)区域D内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关.
几何概型的基本特点：
(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;
(2)每个基本事件出现的可能性相等.
2017高考数学必考点【几何概型的定义及计算】整理是为大家精心
总结的，希望大家能够在复习数学考点的时候多下功夫，这样就能在高考数学考试中取得满意的成绩。
