[推荐学习]高中数学第二章函数阶段质量评估北师大版必修11

第二章 圆锥曲线与方程(A)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值是( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4 2．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1 (m >0，n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为( )A.x 212＋y 216＝1 B.x 216＋y 212＝1 C.x 248＋y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1 3．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 236－y 2108＝1 B.x 29－y 227＝1 C.x 2108－y 236＝1 D.x 227－y 29＝1 4．P 是长轴在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上的点，F 1、F 2分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c ，则|PF 1|·|PF 2|的最大值与最小值之差一定是( )A ．1B ．a 2C ．b 2D ．c 25．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 24＝1B.y 24－x 24＝1 C.y 24－x 28＝1 D.x 28－y 24＝1 6．设a >1，则双曲线x 2a 2－y 2a ＋12＝1的离心率e 的取值范围是( )A ．(2，2)B ．(2，5)C ．(2,5)D ．(2，5)7．过点M (2,4)作直线与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，则这样的直线的条数是( )A ．1B ．2C ．3D ．08.设F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若FA →＋FB →＋FC →＝0，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|等于( )A ．9B ．6C ．4D ．39．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(1,2)C ．19.(12分)直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标等于2，求弦AB 的长．20．(12分)已知点P (3,4)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)上的一点，F 1、F 2为椭圆的两焦点，若PF 1⊥PF 2，试求：(1)椭圆的方程；(2)△PF 1F 2的面积．21.(12分)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，且|AB |＝52p ，求AB 所在的直线方程．22．(12分)在直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，－3)、(0，3)的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ，直线y ＝kx ＋1与C 交于A 、B 两点．(1)写出C 的方程；（2）OA →⊥OB →，求k 的值．第二章 圆锥曲线与方程(A)1．A2．B∵c 2＝m 2－n 2＝4，∴n 2＝12.∴椭圆方程为x 216＋y 212＝1.]3．B4．D ，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|·|PF 2|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝a 2，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号．|PF 1|·|PF 2|＝|PF 1|(2a －|PF 1|)＝－|PF 1|2＋2a |PF 1|＝－(|PF 1|－a )2＋a 2≥－c 2＋a 2＝b 2，所以|PF 1|·|PF 2|的最大值与最小值之差为a 2－b 2＝c 2.]5．B6．B7．B8．B＝x 1＋1＋x 2＋1＋x 3＋1＝6.]9．C10．B11．B12．D 13.32解析 由已知得∠AF 1F 2＝30°，故cos 30°＝c a ，从而e ＝32.14．2x －y －15＝0解析 设弦的两个端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21－4y 21＝4，x 22－4y 22＝4，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.因为线段AB 的中点为P (8,1)，所以x 1＋x 2＝16，y 1＋y 2＝2.所以y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24y 1＋y 2＝2. 所以直线AB 的方程为y －1＝2(x －8)，代入x 2－4y 2＝4满足Δ>0.即2x －y －15＝0. 15.22解析 由题意，得b2＋c c －b 2＝3⇒b 2＋c ＝3c －32b ⇒b ＝c ， 因此e ＝c a＝ c 2a 2＝ c 2b 2＋c 2＝ 12＝22. 16．③④ 解析 ①错误，当k ＝2时，方程表示椭圆；②错误，因为k ＝52时，方程表示圆；验证可得③④正确．17．解 设P 点的坐标为(x ，y )，M 点的坐标为(x 0，y 0)．∵点M 在椭圆x 236＋y 29＝1上，∴x 2036＋y 209＝1. ∵M 是线段PP ′的中点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝x ，y 0＝y 2， 把⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝x y 0＝y 2代入x 2036＋y 209＝1，得x 236＋y 236＝1，即x 2＋y 2＝36. ∴P 点的轨迹方程为x 2＋y 2＝36. 18．解 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1. 由椭圆x 28＋y 24＝1，求得两焦点为(－2,0)，(2,0)， ∴对于双曲线C ：c ＝2.又y ＝3x 为双曲线C 的一条渐近线，∴b a ＝3，解得a 2＝1，b 2＝3，∴双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1. 19．解 将y ＝kx －2代入y 2＝8x 中变形整理得：k 2x 2－(4k ＋8)x ＋4＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ k ≠04k ＋82－16k 2>0，得k >－1且k ≠0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意得：x 1＋x 2＝4k ＋8k2＝4⇒k 2＝k ＋2⇒k 2－k －2＝0. 解得：k ＝2或k ＝－1(舍去)由弦长公式得：|AB |＝1＋k 2·64k ＋64k 2＝5×1924＝215. 20．解 (1)令F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则b 2＝a 2－c 2.因为PF 1⊥PF 2，所以kPF 1·kPF 2＝－1，即43＋c ·43－c ＝－1， 解得c ＝5，所以设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－25＝1. 因为点P (3,4)在椭圆上，所以9a 2＋16a 2－25＝1. 解得a 2＝45或a 2＝5.又因为a >c ，所以a 2＝5舍去．故所求椭圆方程为x 245＋y 220＝1. (2)由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝65，①又|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝100，②①2－②得2|PF 1|·|PF 2|＝80，所以S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝20. 21．解 焦点F (p 2，0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 若AB ⊥Ox ，则|AB |＝2p <52p ，不合题意． 所以直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －p2)，k ≠0. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x －p 2，y 2＝2px ，消去x ， 整理得ky 2－2py －kp 2＝0. 由韦达定理得，y 1＋y 2＝2p k ，y 1y 2＝－p 2. ∴|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22 ＝1＋1k 2·y 1－y 22 ＝ 1＋1k 2·y 1＋y 22－4y 1y 2＝2p (1＋1k 2)＝52p . 解得k ＝±2.∴AB 所在的直线方程为y ＝2(x －p 2)或y ＝－2(x －p 2)． 22．解 (1)设P (x ，y )，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0，－3)、(0，3)为焦点，长半轴为2的椭圆，它的短半轴b ＝22－32＝1， 故曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y24＝1，y ＝kx ＋1.消去y 并整理得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0. 其中Δ＝4k 2＋12(k 2＋4)>0恒成立． 故x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4. 若OA →⊥OB →，即x 1x 2＋y 1y 2＝0. 而y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1， 于是x 1x 2＋y 1y 2＝－3k 2＋4－3k 2k 2＋4－2k 2k 2＋4＋1＝0， 化简得－4k 2＋1＝0，所以k ＝±12.。

高一年级数学学科必修一（第二章）质量检测试卷 （斗鸡中学）一． 一、选择题：共10个小题，每小题6分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 下列判断正确的是（ ）A 函数22)(2--=x xx x f 是奇函数 B 函数()(1f x x =-是偶函数C 函数()f x x =+D 函数1)(=x f 既是奇函数又是偶函数2 若)(x f 是偶函数，其定义域为()+∞∞-,，且在[)+∞,0上是减函数，则)252()23(2++-a a f f 与的大小关系是（ ） A)23(-f >)252(2++a a f B )23(-f <)252(2++a a fC)23(-f ≥)252(2++a a f D )23(-f ≤)252(2++a a f3 已知5)2(22+-+=x a x y 在区间(4,)+∞上是增函数，则a 的范围是（ ）A 2a ≤-B 2a ≥-C 6-≥aD 6-≤a4 设()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(3)0f -=，则()0x f x ⋅<的解集是（ ）A {}|303x x x -<<>或B {}|303x x x <-<<或C {}|33x x x <->或D {}|3003x x x -<<<<或5 已知3()4f x ax bx =+-其中,a b 为常数，若(2)2f -=，则(2)f 的值等于( )A 2-B 4-C 6-D 10-6 已知函数()()0f x x a x a a =+--≠，()()()2200x x x h x x x x ⎧-+>⎪=⎨+≤⎪⎩，则()(),f x h x 的奇偶性依次为（ ）A 偶函数，奇函数 奇函数，偶函数C 偶函数，偶函数D 奇函数，奇函数7.若函数2()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是（ ）A (],40-∞B [40,64]C (][),4064,-∞+∞UD [)64,+∞8 已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A 3a ≤-B 3a ≥-C 5a ≤D 3a ≥9. 下列四个命题：(1)函数f x ()在0x >时是增函数，0x <也是增函数，所以)(x f 是增函数；(2)若函数2()2f x ax bx =++与x 轴没有交点，则280b a -<且0a >；(3) 223y x x =--的递增区间为[)1,+∞；(4) 1y x =+和y =表示相等函数其中正确命题的个数是( )A 0B 1C 2D 310 某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程 在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（ ） 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，满分16分，请把答案填在题中横线上 1 设()f x 是R 上的奇函数，且当[)0,x ∈+∞时，()(1f x x =+，则当(,0)x ∈-∞时()f x =_____________________2 若函数()2f x a x b =-+在[)0,x ∈+∞上为增函数,则实数,a b 的取值范围是3 已知221)(x x x f +=，那么)41()4()31()3()21()2()1(f f f f f f f ++++++＝_____4 若1()2ax f x x +=+在区间(2,)-+∞上是增函数，则a的取值范围是____________三、解答题1 求下列函数的定义域（本小题共三小题，每小题4分，总分12分）（1）y = （2）11122--+-=x x x y（3）xx y ---=111112（本小题满分12分）判断一次函数,b kx y +=反比例函数x ky =，二次函数c bx ax y ++=2的 单调性3 判断下列函数的奇偶性（本小题满分12分）（1）()22f x x =+- （2）[][]()0,6,22,6f x x =∈--U4 （本小题满分12分）已知函数()f x 的定义域为()1,1-，且同时满足下列条件： （1）()f x 是奇函数； （2）()f x 在定义域上单调递减；（3）2(1)(1)0,f a f a -+-<求a 的取值范围5 （本小题满分12分）已知函数[]2()22,5,5f x x ax x =++∈-① 当1a =-时，求函数的最大值和最小值； ② 求实数a 的取值范围，使()y f x =在区间[]5,5-上是单调函数6 （本小题满分14分）设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x x x f ，R x ∈ （1）讨论)(x f 的奇偶性； （2）求)(x f 的最小值参考答案一选择题1C 2 C 3 B 4 D 5 D 6 .D 7 .C 8 . A 9. A 10.B 二填空题 1(1x 2 0a >且0b ≤ 372 4 1(,)2+∞三 解答题1 解：当0k >，y kx b =+解：（1）∵8083,30x x x +≥⎧-≤≤⎨-≥⎩得∴定义域为[]8,3-（2）∵222101011,110x x x x x x ⎧-≥⎪-≥=≠=-⎨⎪-≠⎩得且即∴定义域为{}1-（3）∵0111021101011x x x x x x x x x x ⎧⎪⎧⎪⎪-≠⎪<⎪⎪⎪⎪-≠≠-⎨⎨-⎪⎪⎪⎪≠-≠⎪⎪-⎩⎪-⎪-⎩得∴定义域为11,,022⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U 2. ：当0k >，y kx b =+在R 是增函数，当0k <，y kx b =+在R 是减函数； 当0k >，ky x =在(,0),(0,)-∞+∞是减函数， 当0k <，ky x =在(,0),(0,)-∞+∞是增函数；当0a >，2y ax bx c =++在(,]2b a -∞-是减函数，在[,)2b a -+∞是增函数，当0a <，2y axbx c =++在(,]2b a -∞-是增函数，在[,)2b a -+∞是减函数3 解：（1）定义域为[)(]1,00,1-U ，则22x x +-=，()f x =∵()()f x f x -=-∴()f x =为奇函数（2）∵()()f x f x -=-且()()f x f x -=∴()f x 既是奇函数又是偶函数4 解：22(1)(1)(1)f a f a f a -<--=-，则2211111111a a a a -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪->-⎩,5 解：2(1)1,()22,a f x x x =-=-+对称轴min max 1,()(1)1,()(5)37x f x f f x f ===== ∴max m ()37,()1in f x f x ==（2）对称轴,x a =-当5a -≤-或5a -≥时，()f x []5,5-上单调 ∴5a ≥或5a ≤-6 解：（1）当0a =时，2()||1f x x x =++为偶函数， 当0a ≠时，2()||1f x x x a =+-+为非奇非偶函数； （2）当x a <时，2213()1(),24f x x x a x a =-++=-++ 当12a >时，min 13()()24f x f a ==+， 当12a ≤时，min ()f x 不存在；当x a ≥时，2213()1(),24f x x x a x a =+-+=+-+ 当12a >-时，2min ()()1f x f a a ==+， 当12a ≤-时，min 13()()24f x f a =-=-+。

第二章 圆锥曲线与方程一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若拋物线y 2＝4x 上的一点P 到焦点的距离为10，则P 点的坐标是( ) A ．(9,6) B ．(9，±6) C ．(6,9)D ．(6，±9)解析： 设P (x 0，y 0)，则x 0＋1＝10，∴x 0＝9，y 20＝36，∴y 0＝±6，故P 点坐标为(9，±6)．答案： B2．以双曲线x 24－y 212＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A.x 216＋y 212＝1 B ．x 212＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D ．x 24＋y 216＝1解析： 双曲线的焦点(±4,0)，顶点(±2,0)， 故椭圆的焦点为(±2,0)，顶点为(±4,0)． 所以椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1.答案： A3．θ是任意实数，则方程x 2＋y 2sin θ＝4的曲线不可能是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线D ．圆解析： sin θ可以等于1，这时曲线表示圆，sin θ可以小于0，这时曲线表示双曲线，sin θ可以大于0且小于1，这时曲线表示椭圆．答案： C4．双曲线x 24＋y 2k＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－12,0)C ．(－3,0)D ．(－60，－12)解析： ∵a 2＝4，b 2＝－k ，∴c 2＝4－k .∵e ∈(1,2)，∴c 2a 2＝4－k4∈(1,4)，k ∈(－12,0)．答案： B5．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )A. 6 B ． 5 C.62D ．52解析： 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，所以其渐近线方程为y ＝±ba x ，因为点(4，－2)在渐近线上，所以b a ＝12，根据c 2＝a 2＋b 2，可得c 2－a 2a 2＝14，解得e 2＝54，e ＝52. 答案： D6．双曲线x 2m －y 2n ＝1(mn ≠0)离心率为2，其中一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则mn 的值为( )A.316 B ．38 C.163D ．83解析： 抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，∴m ＋n ＝1且n m ＝e 2－1＝3，解得m ＝14，n ＝34，∴mn ＝316.答案： A7．若双曲线x 29－y 2m ＝1的渐近线l 的方程为y ＝±53x ，则双曲线焦点F 到渐近线l 的距离为( )A. 5 B ．14 C ．2D ．2 5解析： 可知m ＞0，∴双曲线x 29－y 2m ＝1的渐近线方程为y ＝±53x ＝±m3，∴m ＝5，焦点为(±14，0)．则焦点(14，0)到渐近线y ＝53x 的距离为d ＝5×149＋5＝ 5. 答案： A8．两个正数a 、b 的等差中项是92，一个等比中项是25，且a ＞b ，则双曲线x 2a 2－y2b 2＝1的离心率为( )A.53 B ．414 C.54D ．415解析： 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝9ab ＝20a ＞b可得a ＝5，b ＝4，∴c 2＝a 2＋b 2＝41，∴c ＝41，e ＝415. 答案： D9．若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为3，则这个椭圆的方程为( )A.x 212＋y 29＝1 B ．x 29＋y 212＝1C.x 212＋y 29＝1或y 212＋x 29＝1 D ．以上都不对解析： ∵短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形， ∴2c ＝a ，又∵a －c ＝3，可知c ＝3，a ＝23， ∴b ＝a 2－c 2＝3.∴椭圆方程为x 212＋y 29＝1或y 212＋x 29＝1.答案： C10．设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．3x ±4y ＝0B ．3x ±5y ＝0C ．4x ±3y ＝0D ．5x ±4y ＝0解析： 过F 2作F 2A ⊥PF 1于A ，由题意知|F 2A |＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，则|AF 1|＝2b ，∴|PF 1|＝4b ，而|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴4b －2c ＝2a ，c ＝2b －a ，c 2＝(2b －a )2，a 2＋b 2＝4b 2－4ab ＋a 2，解得b a ＝43，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±43x .故选C.答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 11．已知拋物线y 2＝4x 上一点M 与该拋物线的焦点F 的距离|MF |＝4，则点M 的横坐标x ＝________.解析： 拋物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线为x ＝－1. 根据拋物线的定义，点M 到准线的距离为4， 则M 的横坐标为3. 答案： 312．若双曲线的一个焦点为(0，－13)且离心率为135，则其标准方程为________．解析： 依题意，知双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝13，又c a ＝135，所以a ＝5，b ＝c 2－a 2＝12，故其标准方程为y 252－x 2122＝1.答案：y 225－x 2144＝1 13．若椭圆x 2＋my 2＝1的离心率为32，则它的长半轴长为______________． 解析： 当0＜m ＜1时，y 21m ＋x 21＝1，e 2＝a 2－b 2a 2＝1－m ＝34，m ＝14，a 2＝1m＝4，a ＝2； 当m ＞1时，x 21＋y 21m＝1，a ＝1.应填1或2.答案： 1或214．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦点为F 1、F 2，O 为坐标原点，点P 是椭圆上的一点，点M 为PF 1的中点，|OF 1|＝2|OM |，且OM ⊥PF 1，则该椭圆的离心率为________．解析： ∵OM 綊12F 2P ，又|OF 1|＝2|OM |，∴|PF 2|＝2|OM |＝c ， ∵PF 2⊥PF 1，∴(2a －c )2＋c 2＝(2c )2， ∴e 2＋2e －2＝0，得e ＝3－1. 答案：3－1三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)已知双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有相同的焦点，且与椭圆的一个交点的纵坐标为4，求双曲线的方程．解析： ∵双曲线的一个焦点坐标为(0,3)， ∴双曲线的焦点在y 轴上， ∴方程化为y 2－8k －x 2－1k＝1，∴－8k －1k＝3，∴k ＝－1，∴双曲线的标准方程为y 28－x 2＝1.16．(12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，过F 作y 轴的平行线交椭圆于M 、N 两点，若|MN |＝3，且椭圆离心率是方程2x 2－5x ＋2＝0的根，求椭圆方程．解析： ∵右焦点为F (c,0)，把x ＝c 代入x 2a 2＋y 2b 2＝1中，得y 2＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－c 2a 2＝b4a2，∴y ＝±b 2a .∴|MN |＝2b2a＝3.①又2x 2－5x ＋2＝0⇒(2x －1)(x －2)＝0， ∴x ＝12或2，又e ∈(0,1)，∴e ＝12，即c a ＝12.②又知a 2＝b 2＋c 2，③由①②③联立解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1，b ＝3，∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1.17．(12分)汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线焦点处，已知灯口的直径是24 cm ，灯深10 cm ，那么灯泡与反射镜顶点的(即截得抛物线顶点)距离是多少？解析： 取反射镜的轴即抛物线的对称轴为x 轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立直角坐标系xOy ，如图所示．因灯口直径|AB |＝24，灯深|OP |＝10， 所以点A 的坐标是(10,12)． 设抛物线的方程是y 2＝2px (p >0)． 由点A (10,12)在抛物线上，得 122＝2p ×10，∴p ＝7.2.抛物线的焦点F 的坐标为(3.6,0)． 因此灯泡与反射镜顶点的距离是3.6 cm.18．(14分)已知，椭圆C 经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，两个焦点为(－1,0)，(1,0)． (1)求椭圆C 的方程；(2)E 、F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线的斜率AE 与AF 的斜率互为相反数，证明：直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值．解析： (1)由题意，知c ＝1，可设椭圆方程为x 21＋b 2＋y 2b2＝1， 因为A 在椭圆上，所以11＋b 2＋94b 2＝1，解得b 2＝3，b 2＝－34(舍去)．所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：设直线AE 的方程为y ＝k (x －1)＋32，代入x 24＋y23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋4k (3－2k )x ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫32－k 2－12＝0.设E (x E ，y E )，F (x F ，y F )，因为点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上， 所以x E ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32－k 2－123＋4k 2，y E ＝kx E ＋32－k . 又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中－k 代k ，可得x F ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋k 2－123＋4k2，y F ＝－kx F ＋32＋k .所以直线EF 的斜率k EF ＝y F －y E x F －x E ＝－k x E ＋x F ＋2k x F －x E ＝12，即直线EF 的斜率为定值，其值为12.。

2.3.1 双曲线及其标准方程(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知M (－2,0)，N (2,0)，|PM |－|PN |＝4，则动点P 的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的左支 C ．一条射线D ．双曲线的右支【解析】 本题容易犯片面性错误，从而根据双曲线的定义而得出错误结果．由于|PM |－|PN |＝4，恰好等于这两个定点间的距离，故其轨迹是一条射线．【答案】 C2．已知双曲线中心在原点且一个焦点F 2(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 2的中点坐标为(0,2)，则该双曲线方程为( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1C.x 22－y 23＝1 D ．x 23－y 22＝1【解析】 易知点P 的坐标为(5，4)，把点P 的坐标代入选项中的方程只有B 适合． 【答案】 B3．已知P 是双曲线x 24－y 29＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．1或5B ．6C ．7D ．9【解析】 由题意a ＝2，∴||PF 1|－|PF 2||＝4.∴|PF 2|＝7. 【答案】 C4．与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点Q (2,1)的双曲线方程是( )A.x 22－y 2＝1 B ．x 24－y 2＝1C.x 23－y 23＝1 D ．x 2－y 22＝1【解析】 ∵c 2＝4－1＝3，∴共同焦点坐标为(±3，0)，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则由⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－1b 2＝1，a 2＋b 2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝1，∴双曲线方程为x 22－y 2＝1. 【答案】 A5．F 1，F 2是椭圆x 26＋y 22＝1和双曲线x 23－y 2＝1的公共焦点，P 是两曲线的一个公共点，则cos∠F 1PF 2等于( )A.14B.13C.110D.19【解析】 不妨令P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义，|PF 1|－|PF 2|＝23，①由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2 6. ② 由①②可得，|PF 1|＝6＋3，|PF 2|＝6－3， ∵|F 1F 2|＝4，∴cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝13.【答案】 B 二、填空题6．双曲线5x 2＋ky 2＝5的一个焦点是(2,0)，那么k ＝________. 【解析】 方程可化为x 2－y 2－5k＝1，∴1－5k ＝2，解得k ＝－53. 【答案】 －537．(2014·北京高考)设双曲线C 的两个焦点为(－2，0)，(2，0)，一个顶点是(1,0)，则C 的方程为________．【解析】 由题意，设双曲线的方程为x 2－y 2b2＝1(b ＞0)，又∵1＋b 2＝(2)2，∴b 2＝1，即双曲线C 的方程为x 2－y 2＝1.【答案】 x 2－y 2＝18．已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值为______．【解析】 设右焦点为F ′，由题意知F ′(4,0)，根据双曲线的定义，|PF |－|PF ′|＝4，∴|PF |＋|PA |＝4＋|PF ′|＋|PA |，∴要使|PF |＋|PA |最小，只需|PF ′|＋|PA |最小即可，即需满足P 、F ′、A 三点共线，最小值为4＋|F ′A |＝4＋9＋16＝9.【答案】 9 三、解答题9．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的两个焦点为F 1、F 2，|F 1F 2|＝10，P 为双曲线上一点，|PF 1|＝2|PF 2|，PF 1⊥PF 2，求此双曲线的方程．【解】 ∵|F 1F 2|＝10， ∴2c ＝10，c ＝5.又∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，且|PF 1|＝2|PF 2|， ∴|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝4a .在Rt△PF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2， ∴4a 2＋16a 2＝100. ∴a 2＝5.则b 2＝c 2－a 2＝20. 故所求的双曲线方程为x 25－y 220＝1.10．已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，求动圆圆心的轨迹方程．【解】 设动圆M 的半径为r ，由于动圆与圆C 1相外切，所以|MC 1|＝r ＋2，又动圆与圆C 2相内切，所以有|MC 2|＝r －2，于是|MC 1|－|MC 2|＝(r ＋2)－(r －2)＝22，且22<|C 1C 2|，因此动圆圆心M 的轨迹是以C 1、C 2为焦点的双曲线的右支．设其方程为x 2a 2－y 2b2＝1，则有2a ＝22，即a ＝2，又c ＝4，∴b 2＝c 2－a 2＝16－2＝14，于是动圆圆心的轨迹方程为x 22－y 214＝1(x ≥2)．[能力提升]1．已知F 1、F 2为双曲线x 25－y 24＝1的左、右焦点，P (3,1)为双曲线内一点，点A 在双曲线的右支上，则|AP |＋|AF 2|的最小值为( )A.37＋4 B ．37－4 C.37－2 5D ．37＋2 5【解析】 如图所示，连接F 1P 交双曲线右支于点A 0.∵|AP |＋|AF 2|＝|AP |＋|AF 1|－25，∴要求|AP |＋|AF 2|的最小值，只需求|AP |＋|AF 1|的最小值．当A 落在A 0处时，|AP |＋|AF 1|＝|PF 1|最小，最小值为37，∴|AP |＋|AF 2|的最小值为37－2 5. 【答案】 C2．若点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a2－y 2＝1(a ＞0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为( )A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－74，＋∞ D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫74，＋∞【解析】 由a 2＋1＝4，得a ＝3，则双曲线方程为x 23－y 2＝1.设点P (x 0，y 0)，则x 203－y 20＝1，即y 20＝x 203－1.OP →·FP →＝x 0(x 0＋2)＋y 20＝x 20＋2x 0＋x 203－1＝43⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋342－74，∵x 0≥3，故OP →·FP →的取值范围是[3＋23，＋∞)，故选B. 【答案】 B3．与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点Q (2,1)的双曲线方程是________.【解析】 ∵c 2＝4－1＝3，∴共同焦点坐标为(±3，0)，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则由⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－1b 2＝1，a 2＋b 2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝1，∴双曲线方程为x 22－y 2＝1.【答案】x 22－y 2＝14．已知方程kx 2＋y 2＝4，其中k ∈R ，试就k 的不同取值讨论方程所表示的曲线类型． 【解】 (1)当k ＝0时，方程变为y ＝±2，表示两条与x 轴平行的直线； (2)当k ＝1时，方程变为x 2＋y 2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆； (3)当k <0时，方程变为y 24－x 2－4k＝1，表示焦点在y 轴上的双曲线．(4)当0<k <1时，方程变为x 24k＋y 24＝1，表示焦点在x 轴上的椭圆；(5)当k >1时，方程变为x 24k＋y 24＝1，表示焦点在y 轴上的椭圆.。

2016-2017学年高中数学 阶段质量评估2 北师大版选修2-1一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．给出下列命题：①若AB →＝CD →，则必有A 与C 重合，B 与D 重合，AB 与CD 为同一线段； ②若a ·b ＜0，〈a ，b 〉是钝角；③若a 是直线l 的方向向量，则λa (λ∈R )也是l 的方向向量；④非零向量a ，b ，c 满足a 与b ，b 与c ，c 与a 都是共面向量，则a ，b ，c 必共面． 其中错误命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析： ①错误，如在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB →＝A 1B 1→，但线段AB 与A 1B 1不重合；②错误，a ·b ＜0，即cos 〈a ，b 〉＜0⇒π2＜〈a ，b 〉≤π，而钝角的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π；③错误；当λ＝0时，λa ＝0不能作为直线l 的方向向量；④错误，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中令AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则它们两两共面，但显然AB →，AD →，AA 1→是不共面的．答案： D 2．已知向量a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1、l 2的方向向量，若l 1∥l 2则( )A ．x ＝6，y ＝15B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝152解析： ∵l 1∥l 2，∴a ∥b ， 则32＝x 4＝y 5，∴x ＝6，y ＝152. 答案： D3．(2011·营口市高二期末)直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →＝( )A ．a ＋b －cB ．a －b ＋cC ．－a ＋b ＋cD ．－a ＋b －c 解析：如图：A 1B →＝CB →－CA 1→＝CB →－(CA →＋CC 1→)＝CB →－CA →－CC 1→＝－a ＋b －c ，故选D. 答案： D4．已知直线l 1的方向向量a ＝(2,4，x )，直线l 2的方向向量b ＝(2，y,2)，若|a |＝6，且a ⊥b ，则x ＋y 的值是( )A ．－3或1B ．3或－1C ．－3D ．1解析： ∵⎩⎪⎨⎪⎧22＋42＋x 2＝62，2×2＋4×y ＋x ×2＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝1.∴x ＋y ＝1或－3.答案： A5．如图，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，M 是AB 的中点，则sin 〈DB ′→，CM →〉的值为( ) A.12 B.21015 C.23D.1115解析：以D 为原点，建系，设棱长为1，则DB ′→＝(1,1,1)，C (0,1,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，CM →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－12，0. 故cos 〈DB ′→，CM →〉＝1×1＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋1×012＋12＋12·12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋02＝1515， ∴sin 〈DB ′→，CM →〉＝21015.故选B.答案： B6．已知a ·b ＝0，|a |＝2，|b |＝3，且(3a ＋2b )·(λa －b )＝0，则λ等于( ) A.32 B ．－32 C ．±32D ．1解析： 由a ·b ＝0及(3a ＋2b )·(λa －b )＝0，得3λa 2＝2b 2，又|a |＝2，|b |＝3，所以λ＝32，故选A.答案： A7．在空间四边形ABCD 中，连接AC 、BD ，若△BCD 是正三角形，且E 为其中心，则AB →＋12BC →－32DE →－AD →的化简结果是( )A.AB → B ．2BD →C ．0D ．2DE →解析： 如图，F 是BC 的中点，E 为DF 的三等分点， ∴32DE →＝DF →， ∴12BC →＝BF →， 则AB →＋12BC →－32DE →－AD →＝AB →＋BF →－DF →－AD → ＝AF →＋FD →－AD → ＝AD →－AD →＝0. 答案： C8．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若A E →＝AA 1→＋xAB →＋yAD →，则x ，y 的值分别为( )A ．x ＝1，y ＝1B ．x ＝1，y ＝12C ．x ＝12，y ＝12D ．x ＝12，y ＝13解析： A E →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋12(A 1B 1→＋A 1D 1→)＝AA 1→＋12A B →＋12A D →，故x ＝y ＝12.答案： C9．已知空间四个点A (1,1,1)，B (－4,0,2)，C (－3，－1,0)，D (－1,0,4)，则直线AD 与平面ABC 所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 解析： 设n ＝(x ，y,1)是平面ABC 的一个法向量．∵A B →＝(－5，－1,1)，A C →＝(－4，－2，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－5x －y ＋1＝0，－4x －2y －1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－32，∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，1.又A D →＝(－2，－1,3)，设AD 与平面ABC 所成的角为θ，则sin θ＝|A D →·n ||A D →||n |＝727＝12，∴θ＝30°.答案： A10．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)且BP →⊥平面ABC ，则BP →等于( )A.⎝⎛⎭⎪⎫407，－157，－4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫407，－157，－3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫407，－157，4D.⎝ ⎛⎭⎪⎫337，－157，－3 解析： ∵AB →⊥BC →， ∴AB →·BC →＝0，即3＋5－2z ＝0，∴z ＝4，∴BC →＝(3,1,4)， 又BP →⊥平面ABC ， ∴BP →⊥AB →，BP →⊥BC →， ∴BP →·AB →＝0，BP →·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －1＋5y ＋6＝0x －＋y －12＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝407，y ＝－157，∴BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫337，－157，－3.答案： D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 11．已知a ＝(1,2，－2)，若|b |＝2|a |且a ∥b ，则b ＝________. 解析： ∵a ∥b ，∴b ＝λa ＝(λ，2λ，－2λ)， 又|b |＝2|a |，∴λ＝±2，∴b ＝(2,4，－4)或b ＝(－2，－4,4)． 答案： (2,4，－4)或(－2，－4,4) 12.如图所示，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2，AD ＝1，点E ，F ，G 分别是DD 1，AB ，CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角的大小是________．解析： 连接GB 1，CF ，B 1F ∵CG ＝1，CF ＝ 2 ∴GF ＝ 3∵GB 1＝2，B 1F ＝1＋22＝ 5∴GB 21＋GF 2＝B 1F 2∴∠B 1GF ＝π2即异面直线A 1E 与GF 所成的角是π2.答案： π213．设直线a ，b 的方向向量是e 1，e 2，平面α的法向量为n ，给出下列推理：①⎭⎪⎬⎪⎫e 1∥e 2e 1∥n ⇒b ∥α；②⎭⎪⎬⎪⎫e 1∥n e 2∥n ⇒a ∥b ；③⎭⎪⎬⎪⎫e 1∥n b ⊄αe 1⊥e 2⇒b ∥α；④⎭⎪⎬⎪⎫e 1∥e 2e 1∥n ⇒b ⊥α其中正确的是________．(填序号)解析： ①错，②③④均正确． 答案： ②③④14.如图所示，在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为△ABC 的重心，E 是BD 上一点，BE ＝3ED ，以{AB →，A C →，A D →}为基底，则G E →＝________.解析： G E →＝G A →＋A D →＋D E →＝－23A M →＋A D →＋14D B →＝－23×12(A B →＋A C →)＋A D →＋14(A B →－A D →)＝－112A B →－13A C →＋34A D →，故G E →＝－112A B →－13A C →＋34A D →.答案： －112A B →－13A C →＋34A D →三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(12分)如图所示，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是平行六面体．(1)化简12AA 1→＋BC →＋23AB →，并在图上标出结果；(2)设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC 1B 1对角线BC 1上的34分点，设MN →＝αAB →＋βAD →＋γAA 1→，试求α、β、γ的值．解析： (1)如图所示，取AA 1的中点E ，在D 1C 1上取一点F ，使得D 1F ＝2FC 1，。

第二章 §3 3.1一、选择题1．双曲线3x 2－4y 2＝－12的焦点坐标为( )A ．(±5,0)B ．(0，±5)C ．(±7，0)D ．(0，±7)[答案] D[解析] 双曲线3x 2－4y 2＝－12化为标准方程为y 23－x 24＝1，∴a 2＝3，b 2＝4，c 2＝a 2＋b 2＝7，∴c ＝7，又∵焦点在y 轴上，故选D.2．以椭圆x 23＋y 24＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是( ) A.x 23－y 2＝1 B ．y 2－x 23＝1 C.x 23－y 24＝1 D.y 23－x 24＝1 [答案] B[解析] 由题意知双曲线的焦点在y 轴上，且a ＝1，c ＝2，∴b 2＝3，双曲线方程为y 2－x 23＝1. 3．若方程x 2k －2＋y 25－k＝1表示双曲线，则实数k 的取值范围是( ) A ．2<k <5B ．k >5C ．k <2或k >5D ．以上答案都不对[答案] C[解析] 由题意得(k －2)(5－k )<0，∴(k －2)(k －5)>0，∴k >5或k <2.4．已知点F 1(－4,0)和F 2(4,0)，曲线C 上的动点P 到F 1、F 2距离之差为6，则曲线C 的方程为( )A.x 29－y 27＝1 B.x 29－y 27＝1(y >0) C.x 29－y 27＝1或x 27－y 29＝1 D.x 29－y 27＝1(x >0) [答案] D[解析] 由双曲线的定义知，点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：x 29－y 27＝1(x >0) 5．(2014·揭阳一中高二期中)已知椭圆x 2a 2＋y 29＝1(a >0)与双曲线x 24－y 23＝1有相同的焦点，则a 的值为( ) A. 2 B.10 C ．4D ．10[答案] C[解析] 由条件知a 2－9＝4＋3，∴a 2＝16，∵a >0，∴a ＝4.6．设F 1，F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1|·|PF 2|的值等于( )A ．2B ．2 2C ．4D ．8 [答案] A[解析] ∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1→⊥PF 2→.又||PF 1|－|PF 2||＝4，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝20，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝20－2|PF 1|·|PF 2|＝16，∴|PF 1|·|PF 2|＝2.二、填空题7．双曲线x 2m－y 2＝1的一个焦点为F (3,0)，则m ＝________. [答案] 8[解析] 由题意，得a 2＝m ，b 2＝1，∴c 2＝a 2＋b 2＝m ＋1，又c ＝3，∴m ＋1＝9，∴m ＝8.8．双曲线的焦点在x 轴上，且经过点M (3,2)、N (－2，－1)，则双曲线标准方程是________．[答案] x 273－y 275＝1 [解析] 设双曲线方程为：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， 又点M (3,2)、N (－2，－1)在双曲线上，∴⎩⎨⎧ 9a 2－4b 2＝14a 2－1b 2＝1，∴⎩⎨⎧ a 2＝73b 2＝75. 9．已知双曲线x 2－y 22＝1的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到x 轴的距离为________．[答案] 233[解析] 由条件知c ＝3，∴|F 1F 2|＝23，∵MF 1→·MF 2→＝0，∴|MO |＝12|F 1F 2|＝3， 设M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝3x 20－y 202＝1， ∴y 20＝43，∴y 0＝±233. 故所求距离为233. 三、解答题10．若F 1、F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|＝32，求∠F 1PF 2的大小．[答案] 90°[解析] 由双曲线的对称性，可设点P 在第一象限，由双曲线的方程，知a ＝3，b ＝4，∴c ＝5.由双曲线的定义，得|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝6，上式两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝36＋64＝100，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝100－1002|PF 1|·|PF 2|＝0. ∴∠F 1PF 2＝90°.一、选择题11．已知双曲线中心在原点，一个焦点为F 1(－5，0)，点P 在该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.x 22－y 23＝1 D.x 23－y 22＝1 [答案] B[解析] 由条件知P (5，4)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，∴5a 2－16b 2＝1， 又a 2＋b 2＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1b 2＝4，故选B. 12．(2014·海南省文昌市检测)设F 1、F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．4 2B ．8 3C ．24D ．48[答案] C[解析] 由3|PF 1|＝4|PF 2|知|PF 1|>|PF 2|，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，又c 2＝a 2＋b 2＝1＋24＝25，∴c ＝5，∴|F 1F 2|＝10，∴△PF 1F 2为直角三角形，S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝24. 13．(2014·许昌、新乡、平顶山调研)若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >n >0)和双曲线x 2a －y 2b＝1(a >0，b >0)有相同的焦点F 1、F 2，P 是两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值为( )A ．m 2－a 2 B.m －a C.12(m －a ) D ．m －a [答案] D[解析] 设点P 为双曲线右支上的点，由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，由双曲线定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a .∴|PF 1|＝m ＋a ，|PF 2|＝m －a ，∴|PF 1|·|PF 2|＝m －a .二、填空题14．设点P 是双曲线x 236－y 228＝1上任意一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，若|PF 1|＝8，则|PF 2|＝________.[答案] 20[解析] 由题意知，a ＝6，c ＝a 2＋b 2＝36＋28＝8，∵|PF 1|＝8<a ＋c ＝14，∴点P 在双曲线的左支上，∴|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝12，∴|PF 2|＝|PF 1|＋12＝8＋12＝20.15．一动圆过定点A (－4,0)，且与定圆B ：(x －4)2＋y 2＝16相外切，则动圆圆心的轨迹方程为________．[答案] x 24－y 212＝1(x ≤－2) [解析] 设动圆圆心为P (x ，y )，由题意得|PB |－|P A |＝4<|AB |＝8，由双曲线定义知，点P 的轨迹是以A 、B 为焦点，且2a ＝4，a ＝2的双曲线的左支．其方程为：x 24－y 212＝1(x ≤－2)． 三、解答题16．设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，在第一象限的交点A 的纵坐标为4，求此双曲线的方程．[答案] y 24－x 25＝1 [解析] 椭圆x 227＋y 236＝1的焦点为(0，±3)， 由题意，设双曲线方程为：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)， 又点A (x 0,4)在椭圆x 227＋y 236＝1上，∴x 20＝15， 又点A 在双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1上，∴16a 2－15b 2＝1， 又a 2＋b 2＝c 2＝9，∴a 2＝4，b 2＝5，所求的双曲线方程为：y 24－x 25＝1. 17．当0°≤α≤180°时，方程为x 2cos α＋y 2sin α＝1表示的曲线怎样变化？[答案] α＝0°或90°表示直线 0°<α<45°或45°<α<90°表示椭圆 α＝45°表示圆 90°<α<180°表示双曲线α＝180°不表示任何曲线[解析](1)当α＝0°时，方程x2＝1，它表示两条平行直线x＝1和x＝－1.(2)当0°<α<90°时，方程为x21cosα＋y21sinα＝1.①当0°<α<45°时，0<1cosα<1sinα，它表示焦点在y轴上的椭圆．②当α＝45°时，它表示圆x2＋y2＝ 2.③当45°<α<90°时，1cosα>1sinα>0，它表示焦点在x轴上的椭圆．(3)当α＝90°时，方程为y2＝1，它表示两条平行直线y＝1和y＝－1.(4)当90°<α<180°时，方程为y21sinα－x21－cosα＝1，它表示焦点在y轴上的双曲线．(5)当α＝180°时，方程为x2＝－1，它不表示任何曲线．。

教学资料范本高中数学阶段质量评估1北师大版选修2_11编辑：__________________时间：__________________20xx-20xx学年高中数学 阶段质量评估1 北师大版选修2-1一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题：①至少有一个实数x使x2－x＋1＝0成立②对于任意的实数x都有x2－x＋1＝0成立③所有的实数x都使x2－x＋1＝0不成立④存在实数x使x2－x＋1＝0不成立其中全称命题的个数是()A．1B．2C．3 D．4解析：②与③含有全称量词“任意的”，“所有的”，故为全称命题，①与④是特称命题．答案： B2．已知全集U＝R，A⊆U，B⊆U，如果命题p：3∈A∪B，则命题“非p”是()A.3∉AB.3∈∁U BC.3∉A∩BD.3∈(∁U A)∩(∁U B)解析：由题意，非p：3∉A∪B，所以3∈∁U(A∪B)，即3∈(∁U A)∩(∁U B)．答案： D3．给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线相互平行；④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．其中真命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：对于①，由线面平行的判定定理知①正确．对于②，由线面垂直的判定定理知②正确．对于③，由平行于同一平面的两条直线可以平行、相交或异面知③不正确．对于④，由面面垂直的判定定理知④正确．故选C.答案： C4．下列命题是真命题的有()①“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题；②“若k＞0，则方程x2＋2x－k＝0有实根”的逆命题；③“全等三角形的面积相等”的否命题．A．0个B．1个C．2个 D．3个解析：只有①正确．答案： B5．“a＝1”是“直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直”的()A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：若x＋y＝0与x－ay＝0互相垂直，则x－ay＝0的斜率必定为1，故a＝1；若a＝1，直线x＋y＝0和直线x－y＝0显然垂直．答案： C6．给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的()A．充要条件 B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既非充分又非必要条件解析：直线与平面α内的无数条平行直线垂直，但该直线未必与平面α垂直，即充分性不成立；但是直线l与平面α垂直，则直线l与平面α内所有直线都垂直，即必要性成立．答案： C7．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0C．存在x∈R，x3－x2＋1>0D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0解析：“对任意x∈R，x3－x2＋1≤0”等价于关于x的不等式：x3－x2＋1≤0恒成立，其否定为：x3－x2＋1≤0不恒成立；即存在x∈R，使得x3－x2＋1＞0成立，故选C.答案： C8．若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是|a|＝5的()A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件解析：若x＝4，则a＝(4,3)，|a|＝5.若|a|＝5，则x2＋9＝5，∴x＝±4∴“x＝4”是“|a|＝5”的充分不必要条件．答案： A9．对下列命题的否定说法错误的是()A．p：能被3整除的整数是奇数；綈p：存在一个能被3整除的整数不是奇数B．p：每一个四边形的四个顶点共圆；綈p：存在一个四边形的四个顶点不共圆C．p：有的三角形为正三角形；綈p：所有的三角形都不是正三角形D．p：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0；綈p：当x2＋2x＋2>0时，x∈R解析：D中綈p：对∀x∈R，x2＋2x＋2>0，故D不正确．答案： D10．使不等式2x2－5x－3≥0成立的一个充分不必要条件是()A．x<0 B．x≥0C．x∈{－1,3,5} D．x≤－12或x≥3解析：原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x≤－12或x≥3，其充分不必要条件应为其真子集．选项中只有C符合．答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)11．命题甲：⎝ ⎛⎭⎪⎫12x,21－x,2x 2成等比数列；命题乙：lg x ，lg(x ＋1)，lg(x ＋3)成等差数列，则甲是乙的________条件．解析： 甲乙而乙⇒甲，故甲是乙的必要不充分条件．答案： 必要不充分12．命题“存在x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定是________．答案： 任意x ∈R ，x 2＋2x ＋5≠013．已知命题p ：1∈{x |x 2＜a }，q ：2∈{x |x 2＜a }，则“p 且q ”为真命题时a 的取值范围是________．解析： 由1∈{x |x 2＜a }，得a ＞1；由2∈{x |x 2＜a }，得a ＞4.当“p 且q ”为真命题时，有p 真q 真，所以a ＞4.答案： a ＞414．有下列四个命题：①“若xy ＝1，则lg x ＋lg y ＝0”；②“若sin α＋cos α＝π3，则α是第一象限角”的否命题； ③“若b ≤0，则方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实根”的逆否命题；④“若A ∪B ＝B ，则A ⊆B ”的逆命题．其中是真命题的有________．解析： 对于①，取x ＝y ＝－1，可知①是假命题；对于②，其否命题为“若sin α＋cosα≠π3，则α不是第一象限角”．取α＝π4，可知②是假命题； 对于③，当b ≤0时，Δ＝4b 2－4(b 2＋b )＝－4b ≥0，知方程有实根，故原命题为真命题，其逆否命题也为真命题；对于④，其逆命题为“若A ⊆B ，则A ∪B ＝B ”是真命题．答案： ③④三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)写出由下列各组命题构成的“p 或q ”“p 且q ”“非p ”形式的复合命题，并判断真假．(1)p ：1是质数，q ：1是方程x 2＋2x －3＝0的根；(2)p ：平行四边形的对角线相等，q ：平行四边形的对角线互相垂直；(3)p ：N ⊆Z ，q ：0∈N .解析：(1)因为p 假，q 真，所以p 或q ：1是质数或是方程x 2＋2x －3＝0的根，为真；p 且q ：1是质数且是方程x 2＋2x －3＝0的根，为假；非p ：1不是质数，为真．(2)因为p 假，q 假，所以p 或q ：平行四边形的对角线相等或互相垂直，为假；p 且q ：平行四边形的对角线相等且互相垂直，为假；非p ：平行四边形的对角线不一定相等，为真．(3)因为p 真，q 真，所以p 或q ：N ⊆Z 或0∈N ，为真；p 且q ：N ⊆Z 且0∈N ，为真；非p ：N Z ，为假．16．(12分)分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．(1)m >14时，mx 2－x ＋1＝0无实根； (2)当ab ＝0时，a ＝0或b ＝0.解析：(1)原命题：若m >14，则mx 2－x ＋1＝0无实根，是真命题；逆命题：若mx 2－x ＋1＝0无实根，则m >14，是真命题；否命题：若m ≤14，则mx 2－x ＋1＝0有实根，是真命题；逆否命题：若mx 2－x ＋1＝0有实根，则m ≤14，是真命题． (2)原命题：若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0，是真命题；逆命题：若a ＝0或b ＝0，则ab ＝0，是真命题；否命题：若ab ≠0，则a ≠0且b ≠0，是真命题；逆否命题：若a ≠0且b ≠0，则ab ≠0，是真命题．17．(12分)设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，a ＜0；q ：实数x 满足x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8＞0，且¬p 是¬q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解析： 设p ：A ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2＜0，a ＜0}＝{x |3a ＜x ＜a ，a ＜0}，q ：B ＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8＞0}＝{x |x ＜－4或x ≥－2}．∵¬p 是¬q 的必要不充分条件，∴A B ，∴⎩⎨⎧ a≤－4，a＜0或⎩⎨⎧ 3a≥－2，a＜0， 解得－23≤a ＜0或a ≤－4. 18．(14分)已知命题p ：若不等式(m －1)x 2＋(m －1)x ＋2＞0的解集是R ；命题q ：sin x ＋cosx ＞m ；如果对于任意的x ∈R ，命题p 是真命题且命题q 为假命题，求m 的范围．解析： 对于命题p ：(1)当m －1＝0时，原不等式化为2＞0恒成立，满足题意：(2)当m －1≠0时，只需⎩⎨⎧m－1＞0Δ， 所以，m ∈[1,9)．对于命题q ：sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x＋π4 ∈[－2，2]， 若对于任意的x ∈R ，命题q ：sin x ＋cos x ＞m 是假命题，则m ≥2；综上，m的取值范围是[2，9)．。

——教学资料参考参考范本——【高中教育】最新高中数学阶段质量评估2北师大版选修2_11______年______月______日____________________部门一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．给出下列命题：①若＝，则必有A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段；②若a·b＜0，〈a，b〉是钝角；③若a是直线l的方向向量，则λa(λ∈R)也是l的方向向量；④非零向量a，b，c满足a与b，b与c，c与a都是共面向量，则a，b，c必共面．其中错误命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：①错误，如在正方体ABCD－A1B1C1D1中，＝，但线段AB 与A1B1不重合；②错误，a·b＜0，即cos〈a，b〉＜0⇒＜〈a，b〉≤π，而钝角的取值范围是；③错误；当λ＝0时，λa＝0不能作为直线l的方向向量；④错误，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中令＝a，＝b，＝c，则它们两两共面，但显然，，是不共面的．答案：D2．已知向量a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2则( )A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝152C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝152解析：∵l1∥l2，∴a∥b，则＝＝，∴x＝6，y＝.答案： D3．(20xx·××市高二期末)直三棱柱ABC －A1B1C1中，若＝a ，＝b ，＝c ，则＝( )A ．a ＋b －cB ．a －b ＋cC ．－a ＋b ＋cD ．－a ＋b －c解析：如图：＝－＝－(＋)＝－－＝－a ＋b －c ，故选D. 答案： D4．已知直线l1的方向向量a ＝(2,4，x)，直线l2的方向向量b ＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x ＋y 的值是( )A ．－3或1B ．3或－1C ．－3D ．1 解析： ∵⎩⎨⎧22＋42＋x2＝62，2×2＋4×y＋x×2＝0.∴或⎩⎨⎧x＝－4，y＝1.∴x ＋y ＝1或－3. 答案： A5．如图，正方体ABCD －A′B′C′D′中，M 是AB 的中点，则sin 〈，〉的值为( )A. B.21015 C. D.1115解析：以D为原点，建系，设棱长为1，则＝(1,1,1)，C(0,1,0)，M，＝.故cos〈，〉＝1×1＋1×⎝⎛⎭⎪⎫－12＋1×012＋12＋12·12＋⎝⎛⎭⎪⎫－122＋02＝，∴sin〈，〉＝.故选B.答案：B6．已知a·b＝0，|a|＝2，|b|＝3，且(3a＋2b)·(λa－b)＝0，则λ等于( )A. B．－32C．± D．1解析：由a·b＝0及(3a＋2b)·(λa－b)＝0，得3λa2＝2b2，又|a|＝2，|b|＝3，所以λ＝，故选A.答案：A7．在空间四边形ABCD中，连接AC、BD，若△BCD是正三角形，且E为其中心，则＋－－的化简结果是( )A. B．2BD→C．0 D．2DE→解析：如图，F是BC的中点，E为DF的三等分点，∴＝，∴＝，则＋－－AD → ＝＋－－AD → ＝＋－AD → ＝－＝0. 答案： C8．已知正方体ABCD －A1B1C1D1中，点E 为上底面A1C1的中心，若A ＝＋x ＋y ，则x ，y 的值分别为( )A ．x ＝1，y ＝1B ．x ＝1，y ＝12C ．x ＝，y ＝D ．x ＝，y ＝13解析： A ＝＋＝＋(＋)＝＋A ＋A ，故x ＝y ＝. 答案： C9．已知空间四个点A(1,1,1)，B(－4,0,2)，C(－3，－1,0)，D(－1,0,4)，则直线AD 与平面ABC 所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析： 设n ＝(x ，y,1)是平面ABC 的一个法向量． ∵A ＝(－5，－1,1)，A ＝(－4，－2，－1)，∴∴⎩⎪⎨⎪⎧x＝12，y＝－32，∴n ＝.又A ＝(－2，－1,3)，设AD 与平面ABC 所成的角为θ，则sin θ＝＝＝，∴θ＝30°. 答案： A10．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x －1，y ，－3)且⊥平面ABC ，则等于( )A. B.⎝ ⎛⎭⎪⎫407，－157，－3 C.D.⎝⎛⎭⎪⎫337，－157，－3解析： ∵⊥，∴·＝0，即3＋5－2z ＝0， ∴z ＝4，∴＝(3,1,4)， 又⊥平面ABC ， ∴⊥，⊥， ∴·＝0，·＝0， 即， ∴∴＝. 答案： D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)11．已知a ＝(1,2，－2)，若|b|＝2|a|且a∥b，则b ＝________. 解析： ∵a∥b，∴b＝λa ＝(λ，2λ，－2λ)， 又|b|＝2|a|，∴λ＝±2，∴b ＝(2,4，－4)或b ＝(－2，－4,4)． 答案： (2,4，－4)或(－2，－4,4) 12.如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角的大小是________．解析：连接GB1，CF，B1F∵CG＝1，CF＝ 2∴GF＝ 3∵GB1＝，B1F＝＝ 5∴GB＋GF2＝B1F2∴∠B1GF＝π2即异面直线A1E与GF所成的角是.答案：π213．设直线a，b的方向向量是e1，e2，平面α的法向量为n，给出下列推理：①⇒b∥α；②⇒a∥b；③⇒b∥α；④⇒b⊥α其中正确的是________．(填序号)解析：①错，②③④均正确．答案：②③④14.如图所示，在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以{，A，A}为基底，则G＝________.解析：G＝G＋A＋D E→＝－A＋A＋D B→＝－×(A＋A)＋A＋(A－A)＝－A－A＋A，故G＝－A－A＋A.答案：－A－A＋A D→三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(12分)如图所示，已知ABCD－A1B1C1D1是平行六面体．(1)化简＋＋，并在图上标出结果；(2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的分点，设＝α＋β＋γ，试求α、β、γ的值．解析：(1)如图所示，取AA1的中点E，在D1C1上取一点F，使得D1F＝2FC1，则＝＋＋.(2)＝＋＝＋34BC1→＝(＋)＋(＋)＝＋＋.∴α＝，β＝，γ＝.16．(12分)四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD；AD＝PD，E、F分别为CD，PB的中点．(1)求证：EF⊥平面PAB；(2)设AB＝BC，求AC与平面AEF夹角的正弦值．解析：(1)证明：以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设PD＝1，AB＝a.则C(0，a,0)，A(1,0,0)，E，B(1，a,0)，F，P(0,0,1)，∴＝，＝(0，a,0)，＝(1,0，－1)，∴·＝0，·＝0，即EF⊥AB，EF⊥PA，又AB∩PA＝A，∴EF⊥平面PAB，(2)∵AB＝BC，∴a＝，＝(－1，，0)，→＝，＝.AE设平面AEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝0⇒x＋z＝0，n·＝0⇒－x＋y＝0，令y＝，则x＝1，z＝－1，∴平面AEF的一个法向量n＝(1，，－1)．设AC与平面AEF的夹角为α，sin α＝|cos〈，n〉|＝，所以AC与平面AEF的夹角正弦值为.17．(12分)如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1.(1)求BF的长；(2)求点C到平面AEC1F的距离．解析：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(2,4,0)，A(2,0，0)，C(0,4,0)，E(2,4,1)，C1(0,4,3)，设F(0,0，z)．∵四边形AEC1F为平行四边形，∴由＝得(－2,0，z)＝(－2,0,2)，∴z＝2，∴F(0,0,2)．∴＝(－2，－4,2)．于是||＝2，即BF的长为2.(2)设n1为平面AEC1F的法向量，显然n1不垂直于平面ADF，故可设n1＝(x，y,1)，由，得，即，∴，∴n1＝.又＝(0,0,3)，设与n1的夹角为α，则cos α＝＝＝.∴C到平面AEC1F的距离为d＝||cos α＝3×＝.18．(14分)(20xx·辽宁卷改编)如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.(1)证明：平面PQC⊥平面DCQ；(2)求平面QBP与平面BPC夹角的余弦值．解析：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA 为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D－xyz.(1)证明：依题意有Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)，则＝(1,1,0)，＝(0,0,1)，＝(1，－1,0)，所以·＝0，·＝0，即PQ⊥DQ，PQ⊥DC.故PQ⊥平面DCQ.又PQ⊂平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ.(2)依题意有B(1,0,1)，＝(1,0,0)，＝(－1,2，－1)．设n＝(x，y，z)是平面PBC的法向量，则，即，因此可取n＝(0，－1，－2)．设m是平面PBQ的法向量，则，可取m＝(1,1,1)，所以cos〈m，n〉＝－.故平面QBP与平面BPC夹角的余弦值为.11 / 11。

2.1.1 椭圆及其标准方程(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．椭圆4x 2＋y 2＝1的焦点坐标为( ) A ．(±3，0) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫±32，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，±32 D ．(0，±3)【解析】 ∵y 21＋x 214＝1，∴椭圆的焦点在y 轴上，并且a 2＝1，b 2＝14，∴c 2＝34，即焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，±32.【答案】 C2．若椭圆x 225＋y 29＝1上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为( ) A ．5 B ．6 C ．4D ．1【解析】 由椭圆的定义知a ＝5，点P 到两个焦点的距离之和为2a ＝10.因为点P 到一个焦点的距离为5，所以到另一个焦点的距离为10－5＝5，故选A.【答案】 A3．若方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )A ．a ＞3B ．a ＜－2C ．a ＞3或a ＜－2D ．a ＞3或－6＜a ＜－2【解析】 ∵椭圆的焦点在x 轴上，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＞a ＋6，a ＋6＞0，∴a ＞3或－6＜a ＜－2. 【答案】 D4．已知A (0，－1)，B (0,1)两点，△ABC 的周长为6，则△ABC 的顶点C 的轨迹方程是( ) A.x 24＋y 23＝1(x ≠±2)B ．y 24＋x 23＝1(y ≠±2)C.x 24＋y 23＝1(x ≠0) D ．y 24＋x 23＝1(y ≠0)【解析】 ∵2c ＝|AB |＝2，∴c ＝1， ∴|CA |＋|CB |＝6－2＝4＝2a ，∴a ＝2.∴顶点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆(A ，B ，C 不共线)．因此，顶点C 的轨迹方程为y 24＋x 23＝1(y ≠±2)． 【答案】 B5．两个焦点的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，并且经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－32的椭圆的标准方程是( )A.x 210＋y 26＝1B ．y 210＋x 26＝1 C.x 294＋y 2254＝1 D ．y 294＋x 2254＝1【解析】 由椭圆定义知：2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3102＋102＝210.∴a ＝10.∴b ＝a 2－c 2＝6，故椭圆的标准方程为x 210＋y 26＝1. 【答案】 A 二、填空题6．椭圆方程mx 2＋ny 2＝mn (m >n >0)中，焦距为________.【解析】 椭圆方程可化为x 2n ＋y 2m＝1，∵m >n >0，∴椭圆焦点在y 轴上．∴c ＝m －n ，即焦距为2m －n .【答案】 2m －n7．若α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是________．【解析】 方程可化为x 21sin α＋y 21cos α＝1.∵焦点在y 轴上，∴1cos α>1sin α，即sin α>cos α.又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎫π4，π28．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.【解析】 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧12|PF 1||PF 2|＝9，|PF 1|2＋|PF 2|2＝c2，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，解得a 2－c 2＝9，即b 2＝9，所以b ＝3. 【答案】 3 三、解答题9．在椭圆9x 2＋25y 2＝225上求点P ，使它到右焦点的距离等于它到左焦点距离的4倍. 【解】 原方程可化为x 225＋y 29＝1.其中a ＝5，b ＝3，则c ＝4. ∴F 1(－4,0)，F 2(4,0)． 设P (x ，y )是椭圆上任一点， 由椭圆的定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10. 又|PF 2|＝4|PF 1|，解得|PF 1|＝2，|PF 2|＝8，即⎩⎨⎧x ＋2＋y 2＝2，x －2＋y 2＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－154，y ＝347，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－154，y ＝－347.故P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－154，347或⎝ ⎛⎭⎪⎫－154，－347.10．已知动圆M 过定点A (－3,0)，并且在定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64的内部与其相内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．【解】 如图，设动圆M 和定圆B 内切于点C ，由|MA |＝|MC |得|MA |＋|MB |＝|MC |＋|MB |＝|BC |＝8，即动圆圆心M 到两定点A (－3,0)，B (3,0)的距离之和等于定圆的半径，∴动圆圆心M 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆， 且2a ＝8,2c ＝6，b ＝a 2－c 2＝7， ∴M 的轨迹方程是x 216＋y 27＝1.[能力提升]1．已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 24＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．2B ．4C ．8D ．16【解析】 设A 为椭圆左焦点，而BC 过右焦点F ，如图．可知|BA |＋|BF |＝2a ，|CA |＋|CF |＝2a ，两式相加，得|AB |＋|BF |＋|CA |＋|CF |＝|AB |＋|AC |＋|BC |＝4a .而椭圆标准方程为x 24＋y 2＝1，因此a ＝2，故4a ＝8，故选C.【答案】 C2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．线段D ．直线【解析】 由题意知|PO |＝12|MF 2|，|PF 1|＝12|MF 1|，又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，所以|PO |＋|PF 1|＝a >|F 1O |＝c ，故由椭圆的定义知P 点的轨迹是椭圆．【答案】 B3．椭圆x 225＋y 29＝1上的点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |(O 为坐标原点)的值为________．【解析】 如图所示，∵|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝10， |MF 1|＝2，∴|MF 2|＝8. ∵N ，O 分别是MF 1，F 1F 2中点． ∴|ON |＝12|MF 2|＝12×8＝4.【答案】 44．(2014·重庆高考改编)如图2­1­3，设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，|F 1F 2||DF 1|＝22，△DF 1F 2的面积为22.求该椭圆的标准方程．图2­1­3【解】 设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c 2＝a 2－b 2. 由|F 1F 2||DF 1|＝22，得|DF 1|＝|F 1F 2|22＝22c . 从而S △DF 1F 2＝12|DF 1||F 1F 2|＝22c 2＝22，故c ＝1.从而|DF 1|＝22. 由DF 1⊥F 1F 2，得|DF 2|2＝|DF 1|2＋|F 1F 2|2＝92，因此|DF 2|＝322，所以2a ＝|DF 1|＋|DF 2|＝22， 故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.x2 2＋y2＝1.因此，所求椭圆的标准方程为。

【最新】2019年高中数学第二章函数阶段质量评估北师大版必修11(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为( ) A．{－1,0,3} B．{0,1,2,3}C．{y|－1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3}解析：当x＝0时y＝0，当x＝1时y＝－1，当x＝2时y＝0，当x＝3时y＝3，值域为{－1,0,3}．答案：A2．幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图像如图所示，则m的值为( )A．－1<m<3 B．0C．1 D．2解析：从图像上看，由于图像不过原点，且在第一象限下降，故m2－2m－3<0，即－1<m<3；又从图像看，函数是偶函数，故m2－2m －3为负偶数，将m＝0,1,2分别代入，可知当m＝1时，m2－2m－3＝－4，满足要求．答案：C3．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是( )解析：汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶直至停车，在行进过程中s随时间t的增大而增大，故排除D.另外汽车在行进过程中有匀速行驶的状态，故排除 C.又因为在开始时汽车启动后加速行驶的过程中行驶路程s随时间t的变化越来越快，在减速行驶直至停车的过程中行驶路程s随时间t的变化越来越慢，排除B.答案：A4．函数y＝f(x)的图像与直线x＝a(a∈R)的交点有( )A．至多有一个B．至少有一个C．有且仅有一个D．有一个或两个以上解析：由函数的定义对于定义域内的任意一个x值，都有唯一一个y值与它对应，所以函数y＝f(x)的图像与直线x＝a(a∈R)至多有一个交点(当a的值不在定义域时，也可能没有交点)．答案：A5．对于定义域为R的奇函数f(x)，下列结论成立的是( )A．f(x)－f(－x)>0 B．f(x)－f(－x)≤0C．f(x)·f(－x)≤0 D．f(x)·f(－x)>0解析：f(－x)＝－f(x)，则f(x)·f(－x)＝－f 2(x)≤0.答案：C6．函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数，则有( )A．b≥0 B．b≤0C．c≥0 D．c≤0解析：作出函数y＝x2＋bx＋c的简图，对称轴为x＝。

第二章 §2 2.2一、选择题1．顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，过点(－2,3)的抛物线方程是( ) A ．y 2＝94xB ．x 2＝43yC ．y 2＝－94x 或x 2＝－43yD ．y 2＝－92x 或x 2＝43y[答案] D[解析] ∵点(－2,3)在第二象限，∴设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)或x 2＝2p ′y (p ′>0)， 又点(－2,3)在抛物线上，∴9＝4p ，p ＝94，4＝6p ′，p ′＝23.2．(2014·山师大附中高二期中)抛物线y 2＝－2px (p >0)的焦点恰好与椭圆x 29＋y 25＝1的一个焦点重合，则p ＝( )A ．1B ．2C ．4 D.8[答案] C[解析] 椭圆中a 2＝9，b 2＝5，∴c 2＝a 2－b 2＝4，∴c ＝2，∴F 1(－2,0)，F 2(2,0)，抛物线y 2＝－2px (p >0)的焦点F (－p 2，0)与F 1重合，∴－p2＝－2，∴p ＝4，故选C.3．动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过定点( ) A ．(4,0) B ．(2,0) C ．(0,2) D ．(0，－2) [答案] B[解析] ∵圆心到直线x ＋2＝0的距离等于到抛物线焦点的距离，∴定点为(2,0)． 4．抛物线y 2＝4x 上点P (a,2)到焦点F 的距离为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 [答案] B[解析] ∵点P (a,2)在抛物线上， ∴4a ＝4，∴a ＝1，∴点P (1,2)． 又抛物线的焦点F 坐标为(1,0)， ∴|PF |＝0＋4＝2.5．P 为抛物线y 2＝2px 的焦点弦AB 的中点，A 、B 、P 三点到抛物线准线的距离分别是|AA 1|、|BB 1|、|PP 1|，则有( )A ．|PP 1|＝|AA 1|＋|BB 1| B ．|PP 1|＝12|AB |C ．|PP 1|>12|AB |D ．|PP 1|<12|AB |[答案] B [解析] 如图，由题意可知|PP 1| ＝|AA 1|＋|BB 1|2，根据抛物线的定义，得 |AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BC |， ∴|PP 1|＝|AF |＋|BF |2＝12|AB |.6．过抛物线焦点F 的直线与抛物线相交于A 、B 两点，若点A 、B 在抛物线准线上的射影分别为A 1，B 1，则∠A 1FB 1为( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120° [答案] C[解析] 设抛物线方为y 2＝2px (p >0)． 如图，∵|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|，∴∠AA 1F ＝∠F A 1A ，∠BFB 1＝∠FB 1B .又AA 1∥Ox ∥B 1B ，∴∠A 1FO ＝∠AF 1A ，∠B 1FO ＝∠FB 1B ， ∴∠A 1FB 1＝12∠AFB ＝90°.二、填空题7．(2014·长春市调研)已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，设|F A |>|FB |，则|F A ||FB |＝________. [答案] 3＋2 2[解析] 抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0)，过F 斜率为1的直线方程为y ＝x －1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y 2＝4x ，消去y 得x 2－6x ＋1＝0，求得x 1＝3＋22，x 2＝3－22，故由抛物线的定义可得|F A ||FB |＝x 1＋1x 2＋1＝3＋2 2.8．沿直线y ＝－2发出的光线经抛物线y 2＝ax 反射后，与x 轴相交于点A (2,0)，则抛物线的准线方程为________．[答案] x ＝－2[解析] 由抛物线的几何性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后与轴平行，及直线y ＝－2平行于抛物线的轴知A (2,0)为焦点，故准线方程为x ＝－2.9．一个正三角形的两个顶点在抛物线y 2＝ax 上，另一个顶点在坐标原点，如果这个三角形的面积为363，则a ＝________.[答案] ±2 3[解析] 设正三角形边长为x . 由题意得，363＝12x 2sin60°，∴x ＝12.当a >0时，将(63，6)代入y 2＝ax ，得a ＝2 3.当a <0时，将(－63，6)代入y 2＝ax ，得a ＝－23，故a ＝±2 3. 三、解答题10．已知抛物线y 2＝－x 与直线y ＝k (x ＋1)相交于A ，B 两点． (1)求证：OA ⊥OB ；(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值． [答案] (1)略 (2)±16[解析] (1)如图所示，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－xy ＝k (x ＋1)，消去x 得，ky 2＋y －k ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得y 1·y 2＝－1，y 1＋y 2＝－1k .∵A ，B 在抛物线y 2＝－x 上，∴y 21＝－x 1，y 22＝－x 2，∴y 21·y 22＝x 1x 2. ∵k OA ·k OB ＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y 2x 1x 2＝1y 1y 2＝－1，∴OA ⊥OB .(2)设直线与x 轴交于N ，显然k ≠0. 令y ＝0，则x ＝－1，即N (－1,0)． ∵S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN ＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2| ＝12|ON |·|y 1－y 2|， ∴S △OAB ＝12·1·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12(－1k)2＋4. ∵S △OAB ＝10， ∴10＝121k 2＋4， 解得k ＝±16.一、选择题11．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为( ) A.18B ．－18C ．8 D.－8[答案] B[解析] y ＝ax 2⇒x 2＝1a y ，由题意得14a ＝－2，a ＝－18，故选B. 12．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴相交于点Q ，若过点Q 的直线与抛物线有公共点，则此直线的斜率的取值范围是( )A ．[－12，12]B ．[－2,2]C ．[－1,1]D ．[－4,4][答案] C[解析] 准线x ＝－2，Q (－2,0)，设y ＝k (x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)y 2＝8x ，得k 2x 2＋4(k 2－2)x ＋4k 2＝0，当k ＝0时，x ＝0，即交点为(0,0)；当k ≠0时，由Δ≥0得，－1≤k <0或0<k ≤1，综上，k 的取值范围是[－1,1]，故选C.13．已知A 、B 在抛物线y 2＝2px (p >0)上，O 为坐标原点，如果|OA |＝|OB |，且△AOB 的垂心恰好是此抛物线的焦点F ，则直线AB 的方程是( )A ．x －p ＝0B ．4x －3p ＝0C ．2x －5p ＝0D ．2x －3p ＝0[答案] C[解析] 如图所示：∵F 为垂心，F 为焦点，OA ＝OB ， ∴OF 垂直平分AB .∴AB 为垂直于x 轴的直线， 设A (2pt 2,2pt )(t >0)，B (2pt 2，－2pt )， ∵F 为垂心，∴OB ⊥AF ，∴k OB ·k AF ＝－1.即－(2pt )2(2pt 2－p 2)·2pt2＝－1，整理，解得t 2＝54.∴直线AB 的方程为x ＝2pt 2，即x ＝52p ，∴选C.14．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |＝( )A ．2 2B ．2 3C ．4D ．2 5[答案] B[解析] 本题考查了抛物线的标准方程，抛物线定义的应用等知识．由于抛物线关于x 轴对称，顶点在坐标原点且经过点M (2，y 0)，可设方程为y 2＝2px ，由点M 到抛物线焦点的距为3，则由抛物线定义得2＋p2＝3，解得p ＝2，则y 2＝4x ，又M (2，y 0)在抛物线y 2＝4x 上，则y 20＝8，|OM |＝22＋y 20＝12＝2 3.二、填空题15．(2014·西安市长安中学期中)已知椭圆x 2＋ky 2＝3k (k >0)的一个焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该椭圆的离心率是________．[答案]32[解析] 抛物线的焦点为F (3,0)，椭圆的方程为：x 23k ＋y 23＝1，∴3k －3＝9，∴k ＝4，∴a ＝23，c＝3，离心率e ＝c a ＝32.16．过点P (2,2)作抛物线y 2＝3x 的弦AB ，恰被P 所平分，则AB 所在的直线方程为______________．[答案] 3x －4y ＋2＝0[解析] 解法一：设以P 为中点的弦AB 端点坐标为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则有y 21＝3x 1，① y 22＝3x 2，② x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝4.③ ①－②，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝3(x 1－x 2)． ④将③代入④得y 1－y 2＝34(x 1－x 2)，即34＝y 1－y 2x 1－x 2，∴k ＝34.∴所求弦AB 所在直线方程为y －2＝34(x －2)，即3x －4y ＋2＝0.解法二：设弦AB 所在直线方程为y ＝k (x －2)＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝3x ，y ＝k (x －2)＋2.消去x ，得ky 2－3y －6k ＋6＝0， 此方程的两根就是线段端点A 、B 两点的纵坐标，由韦达定理和中点坐标公式，得y 1＋y 2＝3k ，又y 1＋y 2＝4，∴k ＝34.∴所求弦AB 所在直线方程为3x －4y ＋2＝0. 三、解答题17．已知圆x 2＋y 2－9x ＝0，与顶点在原点O ，焦点在x 轴上的抛物线交于A 、B 两点，△OAB 的垂心恰为抛物线的焦点，求抛物线的方程．[答案] y 2＝4x[解析] 依题意设所求抛物线方程为y 2＝2px (p >0)， 焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，A (x 0，y 0)，B (x 0，－y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 20＝2px 0x 20＋y 20－9x 0＝0， ∴x 20＋(2p －9)x 0＝0. ①∵OA ⊥BF ，∴k OA ·k BF ＝－1. ∴y 0x 0·y 0p2－x 0＝－1， 即2px 0x 0⎝⎛⎭⎫p 2－x 0＝－1. ∴x 0＝52p .②把②代入①得p ＝2.∴所求抛物线方程为y 2＝4x .18．抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．[答案] y 2＝－4x[解析] 如图所示，依题意设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则直线方程为y ＝－x ＋12p .设直线交抛物线于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则由抛物线定义得|AB |＝|AF |＋|FB |＝|AC |＋|BD |＝x 1＋p2＋x 2＋p 2，即x 1＋p 2＋x 2＋p2＝8.①又A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)是抛物线和直线的交点， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋12p y 2＝2px ，消去y 得x 2－3px ＋p 24＝0，∴x 1＋x 2＝3p .将其代入①得p ＝2，∴所求抛物线方程为y 2＝4x . 当抛物线方程设为y 2＝－2px 时，同理可求得抛物线方程为y 2＝－4x .。

模块质量评估一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列表示错误的是( )A ．{a }∈{a ，b }B ．{a ，b }⊆{b ，a }C ．{－1，1}⊆{－1，0，1}D ．∅⊆{－1，1}解析： A 中两个集合之间不能用“∈”表示，B ，C ，D 都正确．答案： A2．若集合A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，则( )A ．A ⊆BB ．A ⊇BC ．A ＝BD ．A ∩B ＝∅ 解析： A ＝{y |y >0}，B ＝{y |y ≥0}，∴A ⊆B .答案： A3．设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( )A ．a >c >bB ．b >c >aC ．c >b >aD ．c >a >b解析： 易知log 23>1，log 32，log 52∈(0，1)．在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝log 3x 与y ＝log 5x 的图像，观察可知log 32>log 52.所以c >a >b .比较a ，b 的其他解法：log 32>log 33＝12，log 52<log 55＝12，得a >b ；0<log 23<log 25，所以1log 23>1log 25，结合换底公式即得log 32>log 52.答案： D4．函数y ＝ax 2＋bx ＋3在(－∞，－1]上是增函数，在[－1，＋∞)上是减函数，则( )A ．b >0且a <0B ．b ＝2a <0C ．b ＝2a >0D ．a ，b 的符号不定 解析： 由题知a <0，－b2a＝－1，∴b ＝2a <0. 答案： B 5．要得到y ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 的图像，只需将函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 的图像( ) A ．向左平移3个单位长度B ．向右平移3个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度解析： 由y ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫13x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －1知，D 正确．答案： D6．在同一坐标系内，函数y ＝x a (a <0)和y ＝ax ＋1a的图像可能是如图中的( )解析： ∵a <0，∴y ＝ax ＋1a 的图像不过第一象限．还可知函数y ＝x a (a <0)和y ＝ax ＋1a在各自定义域内均为减函数．答案： B7．设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45，则( )A ．a <c <bB ．b <c <aC ．a <b <cD ．b <a <c 解析： ∵0<log 53<log 54<1，log 45>1，∴b <a <c .答案： D8．若函数f (x )＝ax 2＋2x ＋1至多有一个零点，则a 的取值范围是( )A ．1B ．[1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．以上都不对 解析： 当f (x )有一个零点时，若a ＝0，符合题意，若a ≠0，则Δ＝4－4a ＝0得a ＝1，当f (x )无零点时，Δ＝4－4a <0，∴a >1.综上所述，a ≥1或a ＝0.答案： D9．已知函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，则( )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)解析： 因为f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，所以a >1，f (1)<f (2)<f (3)．又函数为f (x )＝log a |x |为偶函数，所以f (2)＝f (－2)，所以f (1)<f (－2)<f (3)．答案： B10．设f (x )是奇函数，且在(0，＋∞)内是增加的，又f (－3)＝0，则x ·f (x )<0的解集是( )A ．{x |x <－3，或0<x <3}B ．{x |－3<x <0，或x >3}C ．{x |x <－3，或x >3}D ．{x |－3<x <0，或0<x <3}解析：∵f(x)是奇函数，∴f(3)＝－f(－3)＝0.∵f(x)在(0，＋∞)是增加的，∴f(x)在(－∞，0)上是增加的．结合函数图像x·f(x)<0的解为0<x<3或－3<x<0.答案： D11．一个商人有一批货，如果月初售出可获利1 000元，再将收益都存入银行，已知银行月息为2.4%；如果月末售出可获利1 200元，但要付50元货物保管费．这个商人若要获得最大收益，则这批货( )A．月初售出好B．月末售出好C．月初或月末一样D．由成本费的大小确定出售时机解析：设这批货成本为a元，月初售出可收益y1＝(a＋1 000)×(1＋2.4%)(元)，月末售出可收益y2＝a＋1 200－50＝a＋1 150(元)．则y1－y2＝(a＋1 000)×1.024－a－1 150＝0.024a－126.当a>1260.024>5 250时，月初售出好；当a<5 250时，月末售出好；当a＝5 250时，月初、月末收益相等，但月末售出还要保管一个月，应选择月初售出．答案： D12．若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( )A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内解析：计算出函数在区间端点处的函数值并判断符号，再利用零点的存在条件说明零点的位置．∵f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)，∴f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b)，∵a<b<c，∴f(a)>0，f(b)<0，f(c)>0，∴f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．答案： A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)13．设g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x >0，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________． 解析： ∵g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 12<0，∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝eln 12＝12. 答案： 1214．已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________．解析： A ＝{x |0<x ≤4}，B ＝(－∞，a )．若A ⊆B ，则a >4，即a 的取值范围为(4，＋∞)，∴c ＝4.答案： 415．函数y ＝22－2x －3x 2的递减区间是________．解析： 令u ＝2－2x －3x 2，y ＝2u， 由u ＝－3x 2－2x ＋2知，u 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞上为减函数，而y ＝2u 为增函数，所以函数的递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞. 答案： ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞ 16．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －4，x ≤1，x 2－4x ＋3，x >1的图像和函数g (x )＝log 2x 的图像有________个交点．解析： 作出函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图像如图，由图可知，两个函数的图像有3个交点．答案： 3三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |2<x <10}，C ＝{x |x <a }．(1)求A ∪B ；(2)求(∁R A )∩B ；(3)若A ⊆C ，求a 的取值范围．解析： (1)因为A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |2<x <10}，所以A ∪B ＝{x |2<x <10}．(2)因为A ＝{x |3≤x <7}，所以∁R A ＝{x |x <3或x ≥7}．因为B ＝{x |2<x <10}，所以(∁R A )∩B ＝{x |2<x <3或7≤x <10}．(3)因为A ＝{x |3≤x <7}，C ＝{x |x <a }，A ⊆C ，所以a 需满足a ≥7.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈（2，5]. (1)在直角坐标系内画出f (x )的图像；(2)写出f (x )的单调递增区间．解析： (1)函数f (x )的图像如下图所示：(2)函数f (x )的单调递增区间为[－1，0]和[2，5]．19．(本小题满分12分)计算下列各式的值：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫21412－(－9.6)0－⎝ ⎛⎭⎪⎫82723＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2. (2)log 34273＋lg 25＋lg 4＋7log 72. 解析： (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9412－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫233×23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322×12－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232 ＝32－1＝12. (2)原式＝log 33343＋lg(25×4)＋2 ＝log 33－14＋lg 102＋2＝－14＋2＋2＝154. 20．(本小题满分12分)若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1，1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．解析： (1)由f (0)＝1得，c ＝1.∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1，又∵f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ，即2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1. 因此，f (x )＝x 2－x ＋1.(2)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0，要使此不等式在[－1，1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1，1]上的最小值大于0即可．∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1，1]上单调递减，∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1，由－m －1>0，得m <－1.因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．21．(本小题满分13分)定义在[－1，1]上的偶函数f (x )，已知当x ∈[0，1]时的解析式为f (x )＝－22x ＋a 2x (a ∈R )．(1)求f (x )在[－1，0]上的解析式．(2)求f (x )在[0，1]上的最大值h (a )．解析： (1)设x ∈[－1，0]，则－x ∈[0，1]，f (－x )＝－2－2x ＋a 2－x ， 又∵函数f (x )为偶函数，∴f (x )＝f (－x )，∴f (x )＝－2－2x ＋a 2－x ，x ∈[－1，0]．(2)∵f (x )＝－22x ＋a 2x，x ∈[0，1]，令t ＝2x ，t ∈[1，2]． ∴g (t )＝at －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －a 22＋a 24. 当a 2≤1，即a ≤2时，h (a )＝g (1)＝a －1； 当1<a 2<2，即2<a <4时，h (a )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a 24； 当a 2≥2，即a ≥4时，h (a )＝g (2)＝2a －4. 综上所述， h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －1， a ≤2，a 24， 2<a <4，2a －4， a ≥4. 22．(本小题满分13分)通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f (x )表示学生掌握和接受概念的能力(f (x )的值越大，表示接受能力越强)，x 表示提出和讲授概念的时间(单位：分)，可以有以下公式：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.1x 2＋2.6x ＋43， （0<x ≤10）59， （10<x ≤16）－3x ＋107， （16<x ≤30）(1)开讲多少分钟后，学生的接受能力最强？能维持多少分钟？(2)开讲5分钟与开讲20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？(3)一个数学难题，需要55的接受能力以及13分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？解析： (1)当0<x ≤10时， f (x )＝－0.1x 2＋2.6x ＋43＝－0.1(x －13)2＋59.9，故f (x )在0<x ≤10时递增，最大值为f (10)＝－0.1×(10－13)2＋59.9＝59.当10<x ≤16时，f (x )＝59.当x >16时，f (x )为减函数，且f (x )<59.因此，开讲10分钟后，学生达到最强接受能力(为59)，能维持6分钟时间．(2)f (5)＝－0.1×(5－13)2＋59.9＝53.5， f (20)＝－3×20＋107＝47<53.5，故开讲5分钟时学生的接受能力比开讲20分钟时要强一些．(3)当0<x ≤10时，令f (x )＝55，解得x ＝6或x ＝20(舍)，当x >16时，令f (x )＝55，解得x ＝1713.因此学生达到(含超过)55的接受能力的时间为1713－6＝1113<13， 所以老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题．。