江苏专用2018高考数学一轮复习第八章立体几何第40课直线平面平行的判定及其性质课件

【步步高】（某某专用）2017版高考数学一轮复习第八章立体几何8.3 直线、平面平行的判定与性质文1．直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件a∩α＝∅a⊂α，b⊄α，a∥b a∥αa∥α，a⊂β，α∩β＝b 结论a∥αb∥αa∩α＝∅a∥b判定性质定义定理图形条件α∩β＝∅a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥αα∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝bα∥β，a⊂β结论α∥βα∥βa∥b a∥α【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．( ×)(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．( ×)(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．( ×)(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( √)(5)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.( ×)(6)空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，则EF∥平面BCD.( √)(7)若α∥β，直线a∥α，则a∥β.( ×)1．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则下列说法正确的是________．①α内的所有直线与l异面；②α内不存在与l平行的直线；③α内存在唯一的直线与l平行；④α内的直线与l都相交．答案②解析由题意知，直线l与平面α相交，则直线l与平面α内的直线只有相交和异面两种位置关系，因而只有②是正确的．2．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.可以填入的条件有________．答案①或③解析由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．3．(教材改编)下列命题中正确的是________．①若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面；②若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行；③平行于同一条直线的两个平面平行；④若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α.答案④解析①中，a可以在过b的平面内；②中，a与α内的直线可能异面；③中，两平面可相交；④中，由直线与平面平行的判定定理知，b∥α，正确．4．(教材改编)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为________．答案平行解析如图，连结BD，设BD∩AC＝O，连结EO，在△BDD1中，O为BD的中点，所以EO 为△BDD 1的中位线，则BD 1∥EO ，而BD 1⊄平面ACE ，EO ⊂平面ACE ， 所以BD 1∥平面ACE .5．过三棱柱ABC －A 1B 1C 1任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有________条．答案 6解析 各中点连线如图，只有面EFGH 与面ABB 1A 1平行，在四边形EFGH 中有6条符合题意．题型一 直线与平面平行的判定与性质 命题点1 直线与平面平行的判定例1 如图，四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F ，H 分别为线段AD ，PC ，CD 的中点，AC 与BE 交于O 点，G 是线段OF 上一点．(1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)求证：GH ∥平面PAD . 证明 (1)如图，连结EC ， ∵AD ∥BC ，BC ＝12AD ，∴BC 綊AE ，∴四边形ABCE 是平行四边形， ∴O 为AC 的中点．又∵F 是PC 的中点，∴FO ∥AP ，FO ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ，∴AP ∥平面BEF . (2)连结FH ，OH ，∵F ，H 分别是PC ，CD 的中点， ∴FH ∥PD ，∴FH ∥平面PAD .又∵O 是BE 的中点，H 是CD 的中点，∴OH ∥AD ，∴OH ∥平面PAD .又FH ∩OH ＝H ，∴平面OHF ∥平面PAD . 又∵GH ⊂平面OHF ，∴GH ∥平面PAD . 命题点2 直线与平面平行性质定理的应用例2 (2014·某某)如图，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G ，E ，F ，H 分别是棱PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥平面ABCD ，BC ∥平面GEFH . (1)证明：GH ∥EF ；(2)若EB ＝2，求四边形GEFH 的面积． (1)证明 因为BC ∥平面GEFH ，BC ⊂平面PBC ， 且平面PBC ∩平面GEFH ＝GH ， 所以GH ∥BC .同理可证EF ∥BC ，因此GH ∥EF .(2)解 如图，连结AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连结OP ，GK . 因为PA ＝PC ，O 是AC 的中点，所以PO ⊥AC ， 同理可得PO ⊥BD .又BD ∩AC ＝O ，且AC ，BD 都在底面内， 所以PO ⊥底面ABCD .又因为平面GEFH ⊥平面ABCD ， 且PO ⊄平面GEFH ，所以PO ∥平面GEFH . 因为平面PBD ∩平面GEFH ＝GK ， 所以PO ∥GK ，且GK ⊥底面ABCD ， 从而GK ⊥EF .所以GK 是梯形GEFH 的高．由AB ＝8，EB ＝2得EB ∶AB ＝KB ∶DB ＝1∶4， 从而KB ＝14DB ＝12OB ，即K 为OB 的中点．再由PO ∥GK 得GK ＝12PO ，即G 是PB 的中点，且GH ＝12BC ＝4.由已知可得OB ＝42，PO ＝PB 2－OB 2＝68－32＝6，所以GK ＝3.故四边形GEFH 的面积S ＝GH ＋EF2·GK＝4＋82×3＝18. 思维升华 判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)．(1)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°，E 为PD 的中点，AB ＝1，求证：CE ∥平面PAB ；(2)如图所示，CD ，AB 均与平面EFGH 平行，E ，F ，G ，H 分别在BD ，BC ，AC ，AD 上，且CD ⊥AB .求证：四边形EFGH 是矩形．证明 (1)由已知条件有AC ＝2AB ＝2，AD ＝2AC ＝4，CD ＝2 3. 如图所示，延长DC ，AB ，设其交于点N ，连结PN ， ∵∠NAC ＝∠DAC ＝60°，AC ⊥CD ，∴C 为ND 的中点，又∵E 为PD 的中点，∴EC ∥PN ， ∵EC ⊄平面PAB ，PN ⊂平面PAB ， ∴CE ∥平面PAB .(2)∵CD ∥平面EFGH ，而平面EFGH ∩平面BCD ＝EF ， ∴CD ∥EF .同理HG ∥CD ，HE ∥AB 且GF ∥AB ，∴EF ∥HG . 同理HE ∥GF ，∴四边形EFGH 为平行四边形． ∴CD ∥EF ，HE ∥AB ，∴∠HEF 为异面直线CD 和AB 所成的角． 又∵CD ⊥AB ，∴HE ⊥EF . ∴平行四边形EFGH 为矩形．题型二 平面与平面平行的判定与性质例3 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.证明(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．(2)∵E，F分别是AB，AC的中点，∴EF∥BC.∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.引申探究1．在本例条件下，若D为BC1的中点，求证：HD∥平面A1B1BA.证明如图所示，连结HD，A1B，∵D为BC1的中点，H为A1C1的中点，∴HD∥A1B，又HD⊄平面A1B1BA，A1B⊂平面A1B1BA，∴HD∥平面A1B1BA.2．在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D. 证明如图所示，连结A1C交AC1于点M，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴M是A1C的中点，连结MD，∵D为BC的中点，∴A1B∥DM.∵A1B⊂平面A1BD1，DM⊄平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD，∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1.又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1，又∵DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.思维升华证明面面平行的方法：(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．如图，在三棱锥S—ABC中，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F.点E，G分别是棱SA、SC的中点．求证：平面EFG∥平面ABC.证明因为AS＝AB，AF⊥SB，所以F是SB的中点．又因为E是SA的中点，所以EF∥AB，又EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC，同理EG∥平面ABC，又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面ABC.题型三平行关系的综合应用例4 如图所示，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问截面在什么位置时其截面面积最大？解∵AB∥平面EFGH，平面EFGH与平面ABC和平面ABD分别交于FG、EH.∴AB∥FG，AB∥EH，∴FG∥EH，同理可证EF∥GH，∴截面EFGH 是平行四边形．设AB ＝a ，CD ＝b ，∠FGH ＝α (α即为异面直线AB 和CD 所成的角或其补角)． 又设FG ＝x ，GH ＝y ，则由平面几何知识可得x a ＝CG BC ，y b ＝BG BC ，两式相加得x a ＋y b ＝1，即y ＝ba(a －x )，∴S ▱EFGH ＝FG ·GH ·sin α ＝x ·ba ·(a －x )·sin α＝b sin αax (a －x )． ∵x >0，a －x >0且x ＋(a －x )＝a 为定值， ∴当且仅当x ＝a －x 时，b sin αa x (a －x )＝ab sin α4， 此时x ＝a 2，y ＝b2.即当截面EFGH 的顶点E 、F 、G 、H 为棱AD 、AC 、BC 、BD 的中点时截面面积最大． 思维升华 利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决．如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为a 的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，在侧面PBC 内，有BE ⊥PC 于E ，且BE ＝63a ，试在AB 上找一点F ，使EF ∥平面PAD .解 如图所示，在平面PCD 内，过E 作EG ∥CD 交PD 于G ，连结AG ，在AB 上取点F ，使AF ＝EG ， ∵EG ∥CD ∥AF ，EG ＝AF ， ∴四边形FEGA 为平行四边形， ∴FE ∥AG .又AG ⊂平面PAD ，FE ⊄平面PAD ， ∴EF ∥平面PAD . ∴F 即为所求的点． 又PA ⊥面ABCD ，∴PA ⊥BC ， 又BC ⊥AB ，∴BC ⊥面PAB . ∴PB ⊥BC .∴PC 2＝BC 2＋PB 2＝BC 2＋AB 2＋PA 2. 设PA ＝x 则PC ＝2a 2＋x 2， 由PB ·BC ＝BE ·PC 得：a 2＋x 2·a ＝2a 2＋x 2·63a ， ∴x ＝a ，即PA ＝a ，∴PC ＝3a . 又CE ＝a 2－63a 2＝33a ， ∴PE PC ＝23，∴GE CD ＝PE PC ＝23， 即GE ＝23CD ＝23a ，∴AF ＝23a .即AF ＝23AB .故点F 是AB 上靠近B 点的一个三等分点．5．立体几何中的探索性问题典例 (14分)如图，在四棱锥S －ABCD 中，已知底面ABCD 为直角梯形，其中AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，SA ⊥底面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝2.tan∠SDA ＝23.(1)求四棱锥S －ABCD 的体积；(2)在棱SD 上找一点E ，使CE ∥平面SAB ，并证明． 规X 解答解 (1)∵SA ⊥底面ABCD ，tan∠SDA ＝23，SA ＝2，∴AD ＝3.[2分]由题意知四棱锥S －ABCD 的底面为直角梯形，且SA ＝AB ＝BC ＝2， ∴V S －ABCD ＝13×SA ×12×(BC ＋AD )×AB＝13×2×12×(2＋3)×2＝103.[6分] (2)当点E 位于棱SD 上靠近D 的三等分点处时，可使CE ∥平面SAB .[8分] 证明如下：取SD 上靠近D 的三等分点为E ，取SA 上靠近A 的三等分点为F ，连结CE ，EF ，BF ， 则EF 綊23AD ，BC 綊23AD ，∴BC 綊EF ，∴CE ∥BF .[12分]又∵BF⊂平面SAB，CE⊄平面SAB，∴CE∥平面SAB.[14分]解决立体几何中的探索性问题的步骤第一步：写出探求的最后结论．第二步：证明探求结论的正确性．第三步：给出明确答案．第四步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规X．温馨提醒(1)立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究，解决这类问题一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾的结论就否定假设．(2)这类问题也可以按类似于分析法的格式书写步骤：从结论出发“要使……成立”，“只需使……成立”．[方法与技巧]1．平行问题的转化关系线∥线判定性质线∥面判定性质面∥性质判定面2．直线与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质．3．平面与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)a⊥α，a⊥β⇒α∥β.[失误与防X]1．在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则会出现错误．2．在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”．3．解题中注意符号语言的规X应用．A组专项基础训练(时间：40分钟)1．平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是________．①AB∥CD; ②AD∥CB；③AB与CD相交；④A，B，C，D四点共面．答案④解析充分性：A，B，C，D四点共面，由平面与平面平行的性质知AC∥BD.必要性显然成立．2．(2015·某某改编)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是________．①若α，β垂直于同一平面，则α与β平行；②若m，n平行于同一平面，则m与n平行；③若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线；④若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面．答案④解析对于①，α，β垂直于同一平面，α，β关系不确定，故①错；对于②，m，n平行于同一平面，m，n关系不确定，可平行、相交、异面，故②错；对于③，α，β不平行，但α内能找出平行于β的直线，如α中平行于α，β交线的直线平行于β，故③错；对于④，若假设m，n垂直于同一平面，则m∥n，其逆否命题即为④，故④正确．3．设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是________．①若l∥α，l∥β，则α∥β；②若l⊥α，l⊥β，则α∥β；③若l⊥α，l∥β，则α∥β；④若α⊥β，l∥α，则l⊥β.答案②解析l∥α，l∥β，则α与β可能平行，也可能相交，故①项错；由“同垂直于一条直线的两个平面平行”可知②项正确；由l⊥α，l∥β可知α⊥β，故③项错；由α⊥β，l∥α可知l与β可能平行，也可能l⊂β，也可能相交，故④项错．4．给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题：①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；③若α∩β＝l，β∩γ＝m.γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中真命题的个数为________．答案 1解析①中当α与β不平行时，也可能存在符合题意的l、m；②中l与m也可能异面；③中⎩⎪⎨⎪⎧ l ∥γl ⊂αα∩γ＝n ⇒l ∥n ，同理，l ∥m ，则m ∥n ，正确．5．下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是________．答案 ①④解析 ①中易知NP ∥AA ′，MN ∥A ′B ，∴平面MNP ∥平面AA ′B 可得出AB ∥平面MNP (如图)．④中，NP ∥AB ，能得出AB ∥平面MNP .6．在四面体A －BCD 中，M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．答案 平面ABD 与平面ABC解析 如图，取CD 的中点E ，连结AE ，BE .则EM ∶MA ＝1∶2，EN ∶BN ＝1∶2，所以MN ∥AB .所以MN ∥平面ABD ，MN ∥平面ABC .7.如图所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1、B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P 、M 、N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝______.答案 223a 解析 ∵平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，∴MN ∥PQ .∵M 、N 分别是A 1B 1、B 1C 1的中点，AP ＝a3， ∴CQ ＝a 3，从而DP ＝DQ ＝2a 3，∴PQ ＝223a . 8.如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是棱CC 1、C 1D 1、D 1D 、CD 的中点，N 是BC 的中点，动点M 在四边形EFGH 上及其内部运动，则M 满足条件________时，有MN ∥平面B 1BDD 1.答案 M ∈线段FH解析 因为HN ∥BD ，HF ∥DD 1，所以平面NHF ∥平面B 1BDD 1，故线段FH 上任意点M 与N 相连，都有MN ∥平面B 1BDD 1.(答案不唯一)9.如图，ABCD 与ADEF 为平行四边形，M ，N ，G 分别是AB ，AD ，EF 的中点．求证：(1)BE ∥平面DMF ；(2)平面BDE ∥平面MNG .证明 (1)如图，连结AE ，则AE 必过DF 与GN 的交点O ，连结MO ，则MO 为△ABE 的中位线，所以BE ∥MO ，又BE ⊄平面DMF ，MO ⊂平面DMF ，所以BE ∥平面DMF .(2)因为N ，G 分别为平行四边形ADEF 的边AD ，EF 的中点，所以DE ∥GN ，又DE ⊄平面MNG ，GN ⊂平面MNG ，所以DE ∥平面MNG .又M 为AB 中点，所以MN 为△ABD 的中位线，所以BD ∥MN ，又BD ⊄平面MNG ，MN ⊂平面MNG ，所以BD ∥平面MNG ，又DE 与BD 为平面BDE 内的两条相交直线，所以平面BDE ∥平面MNG .10.如图，E 、F 、G 、H 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BC 、CC 1、C 1D 1、AA 1的中点．求证：(1)EG ∥平面BB 1D 1D ；(2)平面BDF ∥平面B 1D 1H .证明 (1)取B 1D 1的中点O ，连结GO ，OB ，易证四边形BEGO 为平行四边形，故OB ∥GE ，由线面平行的判定定理即可证EG ∥平面BB 1D 1D .(2)由题意可知BD ∥B 1D 1.如图，连结HB 、D 1F ，易证四边形HBFD 1是平行四边形，故HD 1∥BF .又B 1D 1∩HD 1＝D 1，BD ∩BF ＝B ，所以平面BDF ∥平面B 1D 1H .B 组 专项能力提升(时间：30分钟)11．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中错误的是________． ①若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β；②若α∥γ，β∥γ，则α∥β；③若m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ，则α∥β；④若m ，n 是异面直线，m ⊂α，m ∥β，n ⊂β，n ∥α，则α∥β.答案 ③解析 由线面垂直的性质可知①正确；由面面平行的性质可知②正确；m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ⇒α，β可能平行，也可能相交，故③错误；由线面平行的性质和面面平行的判定定理可知④正确．12．如图，空间四边形ABCD 的两条对棱AC 、BD 的长分别为5和4，则平行于两条对棱的截面四边形EFGH 在平移过程中，周长的取值X 围是________．答案 (8,10)解析 设DH DA ＝GH AC ＝k ，∴AH DA ＝EH BD＝1－k ， ∴GH ＝5k ，EH ＝4(1－k )，∴周长＝8＋2k .又∵0<k <1，∴周长的X 围为(8,10)．13．在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，则点Q 满足条件________时，有平面D 1BQ ∥平面PAO .答案 Q 为CC 1的中点解析 如图，假设Q 为CC 1的中点，因为P 为DD 1的中点，所以QB ∥PA .连结DB ，因为P ，O 分别是DD 1，DB 的中点，所以D1B∥PO，又D1B⊄平面PAO，QB⊄平面PAO，所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，所以平面D1BQ∥平面PAO.故Q满足条件Q为CC1的中点时，有平面D1BQ∥平面PAO.14．(2015·某某改编)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系．并证明你的结论．解(1)点F，G，H的位置如图所示．(2)平面BEG∥平面ACH，证明如下：因为ABCDEFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG，又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是BCHE为平行四边形，所以BE∥CH，又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH，同理BG∥平面ACH，又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.15.如图，四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PD＝DC＝4，AD＝2，E为PC的中点．(1)求三棱锥A—PDE的体积；(2)AC边上是否存在一点M，使得PA∥平面EDM？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．解(1)因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD.又因为ABCD是矩形，所以AD⊥CD.因为PD ∩CD ＝D ，所以AD ⊥平面PCD ，所以AD 是三棱锥A —PDE 的高．因为E 为PC 的中点，且PD ＝DC ＝4，所以S △PDE ＝12S △PDC ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×4×4＝4.又AD ＝2，所以V A —PDE ＝13AD ·S △PDE ＝13×2×4＝83.(2)取AC 的中点M ，所以AM ＝12AC ＝ 5.连结EM ，DM ，因为E 为PC 的中点，M 是AC 的中点， 所以EM ∥PA .又因为EM ⊂平面EDM ，PA ⊄平面EDM ，所以PA ∥平面EDM .即在AC 边上存在一点M ，使得PA ∥平面EDM ，AM 的长为 5.。

第40课直线、平面平行的判定及其性质[最新考纲]内容要求A B C直线与平面平行的判定及性质√两平面平行的判定及性质√1．直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件a∩α＝∅a⊂α，b⊄α，a∥ba∥αa∥α，a⊂β，α∩β＝b结论a∥αb∥αa∩α＝∅a∥b 2.面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件α∩β＝∅a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥αα∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝bα∥β，a⊂β，结论α∥βα∥βa∥b a∥α(1)a⊥α，b⊥α⇒a∥b.(2)a⊥α，a⊥β⇒α∥β.1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．( )(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．( )(3)若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．( )(4)若两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面平行．( )[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)下列命题中，正确的是____________．①若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面；②若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行；③若直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，那么a∥b；④若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α.④[根据线面平行的判定与性质定理知，④正确．]3．(2015·高考改编)设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β”是“α∥β”的____________条件．必要不充分[当m∥β时，过m的平面α与β可能平行也可能相交，因而m∥βD⇒/α∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m⊂α，所以m∥β.综上知，“m ∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．]4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系是________．平行[如图所示，连结BD交AC于F，连结EF，则EF是△BDD1的中位线，∴EF∥BD1，又EF⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，∴BD1∥平面ACE.]5．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，则m∥β；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中是真命题的是________．(填序号)②[①，m∥n或m，n异面，故①错误；易知②正确；③，m∥β或m⊂β，故③错误；④，α∥β或α与β相交，故④错误．]与线、面平行相关命题真假的判断已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是____________．(填序号)①若α，β垂直于同一平面，则α与β平行；②若m，n平行于同一平面，则m与n平行；③若α，β不平行．．．与β平行的直线；．．．，则在α内不存在④若m，n不平行．．．，则m与n不可能．．．垂直于同一平面．④[可以结合图形逐项判断．①中，α，β可能相交，故错误；②中，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；③中，若m⊂α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；④中，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n，所以原命题正确，故④正确．][规律方法] 1.判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理．2．(1)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．(2)特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情形，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确．[变式训练1] 若m，n表示不同的直线，α，β表示不同的平面，则下列结论中正确的是____________．①若m∥α，m∥n，则n∥α；②若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β；③若α⊥β，m∥α，n∥β，则m∥n；④若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则n∥β.④[在①中，若m∥α，m∥n，则n∥α或n⊂α，故①错误．在②中，若m⊂α，n ⊂β，m∥β，n∥α，则α与β相交或平行，故②错误．在③中，若α⊥β，m∥α，n ∥β，则m与n相交、平行或异面，故③错误．在④中，若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则由线面平行的判定定理得n∥β，故④正确．]直线与平面平行的判定与性质(2017·某某模拟)如图40­1所示，斜三棱柱ABC­A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的中点．图40­1(1)证明：AD1∥平面BDC1.(2)证明：BD∥平面AB1D1. 【导学号：62172219】证明：(1)∵D1，D分别为A1C1与AC的中点，四边形ACC1A1为平行四边形，∴C1D1綊DA，∴四边形ADC1D1为平行四边形，∴AD1∥C1D，又AD1⊄平面BDC1，C1D⊂平面BDC1，∴AD1∥平面BDC1.(2)连结D1D，∵BB1∥平面ACC1A1，BB1⊂平面BB1D1D，平面ACC1A1∩平面BB1D1D＝D1D，∴BB1∥D1D，又D1，D分别为A1C1与AC的中点，∴BB1＝DD1，故四边形BDD1B1为平行四边形，∴BD∥B1D1，又BD⊄平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，∴BD∥平面AB1D1.[规律方法] 1.判断或证明线面平行的常用方法有：(1)利用反证法(线面平行的定义)；(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．2．利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线．常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．[变式训练2] 在多面体ABCDEF 中，点O 是矩形ABCD 的对角线的交点，三角形CDE 是等边三角形，棱EF ∥BC 且EF ＝12BC .求证：FO ∥平面CDE .图40­2[证明] 取CD 中点M ，连结OM ，EM ， 在矩形ABCD 中，OM ∥BC 且OM ＝12BC ，又EF ∥BC 且EF ＝12BC ，则EF ∥OM 且EF ＝OM .所以四边形EFOM 为平行四边形，所以FO ∥EM . 又因为FO ⊄平面CDE ，且EM ⊂平面CDE ， 所以FO ∥平面CDE .平面与平面平行的判定与性质(典例迁移)如图40­3所示，在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点，求证：图40­3(1)B ，C ，H ，G 四点共面； (2)平面EFA 1∥平面BCHG .[证明] (1)∵G ，H 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点， ∴GH 是△A 1B 1C 1的中位线，GH ∥B 1C 1. 又∵B 1C 1∥BC ， ∴GH ∥BC ，∴B ，C ，H ，G 四点共面．(2)在△ABC 中，E ，F 分别为AB ，AC 的中点， ∴EF ∥BC .∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，则A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.[迁移探究] 在本例条件下，若点D为BC1的中点，求证：HD∥平面A1B1BA.[证明] 如图所示，连结HD，A1B，∵D为BC1的中点，H为A1C1的中点，∴HD∥A1B.又HD⊄平面A1B1BA，A1B⊂平面A1B1BA，∴HD∥平面A1B1BA.[规律方法] 1.判定面面平行的主要方法：(1)面面平行的判定定理．(2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行)．2．面面平行的性质定理的作用：(1)判定线面平行；(2)判断线线平行，线线、线面、面面平行的相互转化是解决与平行有关的问题的指导思想．解题时要看清题目的具体条件，选择正确的转化方向．易错警示：利用面面平行的判定定理证明两平面平行时，需要说明是一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行．[变式训练3] 如图40­4，四棱锥P­ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为PB的中点．图40­4(1)求证：CE∥平面PAD.(2)在线段AB上是否存在一点F，使得平面PAD∥平面CEF？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由. 【导学号：62172220】[解](1)如图所示，取PA的中点H，连结EH，DH，因为E为PB的中点，所以EH ∥AB ，EH ＝12AB ，又AB ∥CD ，CD ＝12AB ，所以EH ∥CD ，EH ＝CD ，因此四边形DCEH 是平行四边形， 所以CE ∥DH ，又DH ⊂平面PAD ，CE ⊄平面PAD ， 因此CE ∥平面PAD .(2)如图所示，取AB 的中点F ，连结CF ，EF ， 所以AF ＝12AB .又CD ＝12AB ，所以AF ＝CD ，又AF ∥CD ，所以四边形AFCD 为平行四边形， 因此CF ∥AD .又CF ⊄平面PAD ，所以CF ∥平面PAD ， 由(1)可知CE ∥平面PAD ，又CE ∩CF ＝C ，故平面CEF ∥平面PAD ， 故存在AB 的中点F 满足要求．[思想与方法]1．线线、线面、面面平行的相互转化线线平行面面判定定理性质定理平行其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化．2．直线与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质．3．平面与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)a⊥α，a⊥β⇒α∥β.[易错与防X]1．在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则会出现错误．2．(1)在面面平行的判定中易忽视“面内两条相交直线”这一条件．(2)如要一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交．3．在应用性质定理时，要遵从由“高维”到“低维”，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”，另外要注意符号语言的规X应用．课时分层训练(四十)A组基础达标(建议用时：30分钟)一、填空题1．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是________．b∥α，若b⊂α或b与α相交[当b与α相交或b⊂α或b∥α时，均有满足a∥平面α，a⊥b的情形．]2．已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题：①若l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，则α∥β；②若l⊂α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m；③若α∥β，l∥α，则l∥β；④若l⊥α，m∥l，α∥β，则m⊥β.其中真命题是____________．(写出所有真命题的序号)②④[对于①中，只要当l与m相交时，才可证明α∥β；对于③中，l可能在平面β内，②④正确．]3．设α，β，γ为三个不同的平面，a，b为直线，给出下列条件：①a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；②α∥γ，β∥γ；③α⊥γ，β⊥γ；④a⊥α，b ⊥β，a∥b.其中能推出α∥β的条件是________．(填上所有正确的序号)【导学号：62172221】②④[在条件①或条件③中，α∥β或α与β相交．由α∥γ，β∥γ⇒α∥β，条件②满足．在④中，a⊥α，a∥b⇒b⊥α，从而α∥β，④满足．]4．已知平面α外不共线的三点A，B，C到α的距离都相等，则正确的结论是____________(填序号)．①平面ABC必平行于α；②平面ABC必与α相交；③平面ABC必不垂直于α；④存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内．④ [若A ，B ，C 三点在α同侧，则平面ABC ∥α.若A ，B ，C 三点在α异侧，不妨设B ，C 在α的同侧，则BC ∥α，由平行线的性质可知存在一条中位线DE ∥BC ，且DE ⊂α.]5．如图40­5所示的三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，过A 1B 1的平面与平面ABC 交于DE ，则DE 与AB 的位置关系是________．图40­5平行 [在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1. ∵AB ⊂平面ABC ，A 1B 1⊄平面ABC ， ∴A 1B 1∥平面ABC .∵过A 1B 1的平面与平面ABC 交于DE ， ∴DE ∥A 1B 1，∴DE ∥AB .]6.在四面体A －BCD 中，M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是____________．平面ABD 与平面ABC [如图，取CD 的中点E . 则EM ∶MA ＝1∶2，EN ∶BN ＝1∶2，所以MN ∥AB ，所以MN ∥平面ABD ，MN ∥平面ABC .]7．平面α∥平面β，点A ，C ∈α，B ，D ∈β，则直线AC ∥直线BD 的充要条件是____________．①AB ∥CD ； ②AD ∥CB ； ③AB 与CD 相交； ④A ，B ，C ，D 四点共面．④ [由面面平行的性质可知，AC ∥BD 的充要条件是A ，B ，C ，D 四点共面．] 8.如图40­6所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M ，N 分别是下底面的棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝____________. 【导学号：62172222】图40­6223α [∵面ABCD ∥面A 1B 1C 1D 1，则PQ ∥MN ， 连结AC (图略)，由MN ∥AC 可知PQ ∥AC .又AP ＝a 3，∴PD ＝23a ，∴PD ∶DA ＝2∶3. ∴PQ ＝23AC .又AC ＝2a ， 故PQ ＝223a .]9．下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是____________．图40­7①④ [对于图形①，平面MNP 与AB 所在的对角面平行，即可得到AB ∥平面MNP ；对于图形④，AB ∥PN ，即可得到AB ∥平面MNP ；图形②③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行．]10．如图40­8，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是棱CC 1，C 1D 1，D 1D ，CD 的中点，N 是BC 的中点，动点M 在四边形EFGH 上及其内部运动，则M 满足条件____________时，有MN ∥平面B 1BDD 1.图40­8M ∈FH [∵HN ∥BD ，FH ∥DD 1，∴平面FHN∥平面BB1D1D.∵M在四边形EFGH上及其内部运动，故M∈FH.]二、解答题11．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图40­9所示．(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论.【导学号：62172223】图40­9[解](1)点F，G，H的位置如图所示．(2)平面BEG∥平面ACH，证明如下：因为ABCD­EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG.又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是四边形BCHE为平行四边形，所以BE∥CH.又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.12.如图40­10，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.图40­10求证：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.[证明](1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC.又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.(2)因为棱柱ABC­A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1.因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.B组能力提升(建议用时：15分钟)1.如图40­11所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．图40­112 [在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，∴AC＝2 2.又E为AD中点，EF∥平面AB1C，EF⊂平面ADC，平面ADC∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC，∴F为DC中点，∴EF ＝12AC ＝ 2.]2．如图40­12所示，棱柱ABC ­A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1是菱形，设D 是A 1C 1上的点且A 1B ∥平面B 1CD ，则A 1D ∶DC 1的值为________．图40­121 [设BC 1∩B 1C ＝O ，连结OD .∵A 1B ∥平面B 1CD 且平面A 1BC 1∩平面B 1CD ＝OD ， ∴A 1B ∥OD .∵四边形BCC 1B 1是菱形， ∴O 为BC 1的中点， ∴D 为A 1C 1的中点， 则A 1D ∶DC 1＝1.]3．如图40­13，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，S 是B 1D 1的中点，E ，F ，G 分别是BC ，DC ，SC 的中点，求证：图40­13(1)直线EG ∥平面BDD 1B 1； (2)平面EFG ∥平面BDD 1B 1.[证明] (1)如图，连结SB ，因为E ，G 分别是BC ，SC 的中点，所以EG ∥SB .又因为SB ⊂平面BDD 1B 1，EG ⊄平面BDD 1B 1，所以直线EG ∥平面BDD 1B 1.(2)连结SD ，因为F ，G 分别是DC ，SC 的中点，所以FG ∥SD . 又因为SD ⊂平面BDD 1B 1，FG ⊄平面BDD 1B 1，所以FG∥平面BDD1B1，且EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，所以平面EFG∥平面BDD1B1.4．如图40­14所示，在三棱锥P­ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，AB⊥BC，设D，E分别为PA，AC的中点．图40­14(1)求证：DE∥平面PBC.(2)在线段AB上是否存在点F，使得过三点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC 平行？若存在，指出点F的位置并证明；若不存在，请说明理由．[解](1)证明：∵点E是AC中点，点D是PA的中点，∴DE∥PC.又∵DE⊄平面PBC，PC⊂平面PBC，∴DE∥平面PBC.(2)当点F是线段AB中点时，过点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行．证明如下：取AB的中点F，连结EF，DF.由(1)可知DE∥平面PBC.∵点E是AC中点，点F是AB的中点，∴EF∥BC.又∵EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴EF∥平面PBC.又∵DE∩EF＝E，∴平面DEF∥平面PBC，∴平面DEF内的任一条直线都与平面PBC平行．故当点F是线段AB中点时，过点D，E，F所在平面内的任一条直线都与平面PBC平行．。

2018版高考数学大一轮复习第八章立体几何 8.4 直线、平面平行的判定与性质教师用书文新人教版1．线面平行的判定定理和性质定理2.面面平行的判定定理和性质定理【知识拓展】重要结论：(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β；(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b；(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．( ×)(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．( ×)(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．( ×)(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( √)(5)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.( ×)(6)若α∥β，直线a∥α，则a∥β.( ×)1．(教材改编)下列命题中正确的是( )A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C．平行于同一条直线的两个平面平行D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α答案 D解析A中，a可以在过b的平面内；B中，a与α内的直线可能异面；C中，两平面可相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知，b∥α，正确．2．设l，m为直线，α，β为平面，且l⊂α，m⊂β，则“l∩m＝∅”是“α∥β”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析当平面与平面平行时，两个平面内的直线没有交点，故“l∩m＝∅”是“α∥β”的必要条件；当两个平面内的直线没有交点时，两个平面可以相交，∴l∩m＝∅是α∥β的必要不充分条件．3．(2016·烟台模拟)若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过B点的所有直线中( )A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一与a平行的直线答案 A解析当直线a在平面β内且过B点时，不存在与a平行的直线，故选A.4．(教材改编)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为________．答案平行解析连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO，在△BDD1中，O为BD的中点，所以EO为△BDD1的中位线，则BD1∥EO，而BD1⊄平面ACE，EO⊂平面ACE，所以BD1∥平面ACE.5．过三棱柱ABC－A1B1C1任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．答案 6解析各中点连线如图，只有面EFGH与面ABB1A1平行，在四边形EFGH中有6条符合题意．题型一直线与平面平行的判定与性质命题点1 直线与平面平行的判定例1 如图，四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝12AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点．(1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)求证：GH ∥平面PAD . 证明 (1)连接EC ，∵AD ∥BC ，BC ＝12AD ，∴BC 綊AE ，∴四边形ABCE 是平行四边形， ∴O 为AC 的中点．又∵F 是PC 的中点，∴FO ∥AP ，FO ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ，∴AP ∥平面BEF . (2)连接FH ，OH ，∵F ，H 分别是PC ，CD 的中点， ∴FH ∥PD ，∴FH ∥平面PAD .又∵O 是BE 的中点，H 是CD 的中点， ∴OH ∥AD ，∴OH ∥平面PAD . 又FH ∩OH ＝H ， ∴平面OHF ∥平面PAD . 又∵GH ⊂平面OHF ， ∴GH ∥平面PAD .命题点2 直线与平面平行的性质例2 (2017·长沙调研)如图，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G ，E ，F ，H 分别是棱PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥平面ABCD ，BC ∥平面GEFH .(1)证明：GH ∥EF ；(2)若EB ＝2，求四边形GEFH 的面积． (1)证明 因为BC ∥平面GEFH ，BC ⊂平面PBC ， 且平面PBC ∩平面GEFH ＝GH ， 所以GH ∥BC .同理可证EF ∥BC ，因此GH ∥EF .(2)解 如图，连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK .因为PA ＝PC ，O 是AC 的中点，所以PO ⊥AC ， 同理可得PO ⊥BD .又BD ∩AC ＝O ，且AC ，BD 都在底面内， 所以PO ⊥底面ABCD .又因为平面GEFH ⊥平面ABCD ， 且PO ⊄平面GEFH ，所以PO ∥平面GEFH . 因为平面PBD ∩平面GEFH ＝GK ， 所以PO ∥GK ，且GK ⊥底面ABCD ， 从而GK ⊥EF .所以GK 是梯形GEFH 的高．由AB ＝8，EB ＝2得EB ∶AB ＝KB ∶DB ＝1∶4， 从而KB ＝14DB ＝12OB ，即K 为OB 的中点．再由PO ∥GK 得GK ＝12PO ，即G 是PB 的中点，且GH ＝12BC ＝4.由已知可得OB ＝42，PO ＝PB 2－OB 2＝68－32＝6，所以GK ＝3.故四边形GEFH 的面积S ＝GH ＋EF2·GK＝4＋82×3＝18. 思维升华 判断或证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)； (3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)； (4)利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄α，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)．如图所示，CD ，AB 均与平面EFGH 平行，E ，F ，G ，H 分别在BD ，BC ，AC ，AD 上，且CD ⊥AB .求证：四边形EFGH 是矩形．证明 ∵CD ∥平面EFGH ， 而平面EFGH ∩平面BCD ＝EF ， ∴CD ∥EF .同理HG ∥CD ，∴EF ∥HG . 同理HE ∥GF ，∴四边形EFGH 为平行四边形． ∴CD ∥EF ，HE ∥AB ，∴∠HEF 为异面直线CD 和AB 所成的角(或补角)． 又∵CD ⊥AB ，∴HE ⊥EF . ∴平行四边形EFGH 为矩形．题型二 平面与平面平行的判定与性质例3 如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.证明(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．(2)∵E，F分别是AB，AC的中点，∴EF∥BC.∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.引申探究1．在本例条件下，若D为BC1的中点，求证：HD∥平面A1B1BA.证明如图所示，连接HD，A1B，∵D为BC1的中点，H为A1C1的中点，∴HD∥A1B，又HD⊄平面A1B1BA，A1B⊂平面A1B1BA，∴HD∥平面A1B1BA.2．在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D. 证明如图所示，连接A1C交AC1于点M，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴M是A1C的中点，连接MD，∵D为BC的中点，∴A1B∥DM.∵A1B⊂平面A1BD1，DM⊄平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD，∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1.又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1，又∵DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.思维升华证明面面平行的方法(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．(2016·西安模拟)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝ 2.(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)求三棱柱ABD－A1B1D1的体积．(1)证明 由题设知，BB 1綊DD 1，∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形，∴BD ∥B 1D 1. 又BD ⊄平面CD 1B 1，B 1D 1⊂平面CD 1B 1， ∴BD ∥平面CD 1B 1. ∵A 1D 1綊B 1C 1綊BC ，∴四边形A 1BCD 1是平行四边形， ∴A 1B ∥D 1C .又A 1B ⊄平面CD 1B 1，D 1C ⊂平面CD 1B 1， ∴A 1B ∥平面CD 1B 1.又BD ∩A 1B ＝B ，∴平面A 1BD ∥平面CD 1B 1. (2)解 ∵A 1O ⊥平面ABCD ， ∴A 1O 是三棱柱ABD －A 1B 1D 1的高． 又AO ＝12AC ＝1，AA 1＝2，∴A 1O ＝AA 21－OA 2＝1. 又S △ABD ＝12×2×2＝1，∴111ABD A B D V 三棱柱＝S △ABD ·A 1O ＝1.题型三 平行关系的综合应用例4 如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是棱CC 1的中点，问在棱AB 上是否存在一点E ，使DE ∥平面AB 1C 1？若存在，请确定点E 的位置；若不存在，请说明理由． 解 方法一 存在点E ，且E 为AB 的中点时，DE ∥平面AB 1C 1.下面给出证明：如图，取BB 1的中点F ，连接DF ， 则DF ∥B 1C 1，∵AB的中点为E，连接EF，ED，则EF∥AB1，B1C1∩AB1＝B1，∴平面DEF∥平面AB1C1.而DE⊂平面DEF，∴DE∥平面AB1C1.方法二假设在棱AB上存在点E，使得DE∥平面AB1C1，如图，取BB1的中点F，连接DF，EF，ED，则DF∥B1C1，又DF⊄平面AB1C1，B1C1⊂平面AB1C1，∴DF∥平面AB1C1，又DE∥平面AB1C1，DE∩DF＝D，∴平面DEF∥平面AB1C1，∵EF⊂平面DEF，∴EF∥平面AB1C1，又∵EF⊂平面ABB1，平面ABB1∩平面AB1C1＝AB1，∴EF∥AB1，∵点F是BB1的中点，∴点E是AB的中点．即当点E是AB的中点时，DE∥平面AB1C1.思维升华利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决．如图所示，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问截面在什么位置时其截面面积最大？解∵AB∥平面EFGH，平面EFGH与平面ABC和平面ABD分别交于FG，EH.∴AB∥FG，AB∥EH，∴FG ∥EH ，同理可证EF ∥GH ， ∴截面EFGH 是平行四边形．设AB ＝a ，CD ＝b ，∠FGH ＝α (α即为异面直线AB 和CD 所成的角或其补角)． 又设FG ＝x ，GH ＝y ，则由平面几何知识可得x a ＝CGBC， y b ＝BG BC ，两式相加得x a ＋y b ＝1，即y ＝ba(a －x )， ∴S ▱EFGH ＝FG ·GH ·sin α ＝x ·ba ·(a －x )·sin α＝b sin αax (a －x )． ∵x >0，a －x >0且x ＋(a －x )＝a 为定值， ∴b sin αa x (a －x )≤ab sin α4，当且仅当x ＝a －x 时等号成立． 此时x ＝a2，y ＝b2. 即当截面EFGH 的顶点E 、F 、G 、H 分别为棱AD 、AC 、BC 、BD 的中点时截面面积最大．5．立体几何中的探索性问题典例 (12分)如图，在四棱锥S －ABCD 中，已知底面ABCD 为直角梯形，其中AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，SA ⊥底面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝2，tan∠SDA ＝23.(1)求四棱锥S －ABCD 的体积；(2)在棱SD 上找一点E ，使CE ∥平面SAB ，并证明． 规范解答解 (1)∵SA ⊥底面ABCD ，tan∠SDA ＝23，SA ＝2，∴AD ＝3.[2分]由题意知四棱锥S －ABCD 的底面为直角梯形，且SA ＝AB ＝BC ＝2，V S －ABCD ＝13·SA ·12·(BC ＋AD )·AB＝13×2×12×(2＋3)×2＝103.[6分] (2)当点E 位于棱SD 上靠近D 的三等分点处时，可使CE ∥平面SAB .[8分]证明如下：取SD 上靠近D 的三等分点为E ，取SA 上靠近A 的三等分点为F ，连接CE ，EF ，BF ， 则EF 綊23AD ，BC 綊23AD ，∴BC 綊EF ，∴CE ∥BF .[10分] 又∵BF ⊂平面SAB ，CE ⊄平面SAB ， ∴CE ∥平面SAB .[12分]解决立体几何中的探索性问题的步骤： 第一步：写出探求的最后结论； 第二步：证明探求结论的正确性； 第三步：给出明确答案；第四步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．1．(2017·保定月考)有下列命题：①若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则直线l ∥α； ②若直线a 在平面α外，则a ∥α； ③若直线a ∥b ，b ∥α，则a ∥α；④若直线a ∥b ，b ∥α，则a 平行于平面α内的无数条直线． 其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析 命题①：l 可以在平面α内，不正确；命题②：直线a 与平面α可以是相交关系，不正确；命题③：a 可以在平面α内，不正确；命题④正确．故选A.2．(2016·滨州模拟)已知m ，n ，l 1，l 2表示直线，α，β表示平面．若m ⊂α，n ⊂α，l 1⊂β，l 2⊂β，l 1∩l 2＝M ，则α∥β的一个充分条件是( ) A ．m ∥β且l 1∥α B ．m ∥β且n ∥β C ．m ∥β且n ∥l 2 D ．m ∥l 1且n ∥l 2答案 D解析 由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”可得，由选项D 可推知α∥β.故选D.3．设l 为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( ) A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥β B ．若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β C ．若l ⊥α，l ∥β，则α∥β D ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β 答案 B解析 l ∥α，l ∥β，则α与β可能平行，也可能相交，故A 项错；由“同垂直于一条直线的两个平面平行”可知B 项正确；由l ⊥α，l ∥β可知α⊥β，故C 项错；由α⊥β，l ∥α可知l 与β可能平行，也可能l ⊂β，也可能相交，故D 项错．故选B.4．已知平面α∥平面β，P 是α，β外一点，过点P 的直线m 与α，β分别交于A ，C 两点，过点P 的直线n 与α，β分别交于B ，D 两点，且PA ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为( ) A ．16 B ．24或245C ．14D ．20答案 B解析 由α∥β得AB ∥CD . 分两种情况：若点P 在α，β的同侧，则PA PC ＝PB PD， ∴PB ＝165，∴BD ＝245；若点P 在α，β之间，则PA PC ＝PBPD，∴PB ＝16，∴BD ＝24.5．(2016·全国甲卷)α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题： ①如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β； ②如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n ；③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β；④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)答案②③④解析当m⊥n，m⊥α，n∥β时，两个平面的位置关系不确定，故①错误，经判断知②③④均正确，故正确答案为②③④.6．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.可以填入的条件有________．答案①或③解析由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．7.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(底面是正方形的直四棱柱叫正四棱柱)中，E、F、G、H 分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，动点M在四边形EFGH上及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.答案M∈线段FH解析因为HN∥BD，HF∥DD1，所以平面NHF∥平面B1BDD1，故线段FH上任意点M与N相连，都有MN∥平面B1BDD1.(答案不唯一)8．将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”．给出下列四个命题：①垂直于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两平面平行；③平行于同一直线的两直线平行；④平行于同一平面的两直线平行．其中是“可换命题”的是________．(填命题的序号)答案①③解析由线面垂直的性质定理可知①是真命题，且垂直于同一直线的两平面平行也是真命题，故①是“可换命题”；因为垂直于同一平面的两平面可能平行或相交，所以②是假命题，不是“可换命题”；由公理4可知③是真命题，且平行于同一平面的两平面平行也是真命题，故③是“可换命题”；因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，故④是假命题，故④不是“可换命题”．9．在四面体A－BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．答案平面ABD与平面ABC解析如图，取CD的中点E，连接AE，BE.则EM∶MA＝1∶2，EN∶BN＝1∶2，所以MN∥AB.所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC.*10.在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于点D，E，F，H.D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB∥平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为________．答案45 2解析如图，取AC的中点G，连接SG，BG.易知SG⊥AC，BG⊥AC，SG∩BG＝G，故AC⊥平面SGB，所以AC⊥SB.因为SB∥平面DEFH，SB⊂平面SAB，平面SAB∩平面DEFH＝HD，则SB∥HD.同理SB∥FE.又D，E分别为AB，BC的中点，则H，F也为AS，SC的中点，从而得HF 綊12AC 綊DE ，所以四边形DEFH 为平行四边形． 又AC ⊥SB ，SB ∥HD ，DE ∥AC ， 所以DE ⊥HD ，所以四边形DEFH 为矩形，其面积S ＝HF ·HD ＝(12AC )·(12SB )＝452.11.如图，E 、F 、G 、H 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BC 、CC 1、C 1D 1、AA 1的中点．求证：(1)EG ∥平面BB 1D 1D ； (2)平面BDF ∥平面B 1D 1H .证明 (1)取B 1D 1的中点O ，连接GO ，OB ， 易证四边形BEGO 为平行四边形，故OB ∥EG ， 由线面平行的判定定理即可证EG ∥平面BB 1D 1D .(2)由题意可知BD ∥B 1D 1. 如图，连接HB 、D 1F ，易证四边形HBFD 1是平行四边形，故HD 1∥BF . 又B 1D 1∩HD 1＝D 1，BD ∩BF ＝B ，所以平面BDF ∥平面B 1D 1H .12．(2016·贵州兴义八中月考)在如图所示的多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为a 的菱形，且∠DAB ＝60°，DF ＝2BE ＝2a ，DF ∥BE ，DF ⊥平面ABCD .(1)在AF 上是否存在点G ，使得EG ∥平面ABCD ，请证明你的结论； (2)求该多面体的体积．解 (1)当点G 位于AF 中点时，有EG ∥平面ABCD .证明如下：取AF 的中点G ，AD 的中点H ，连接GH ，GE ，BH . 在△ADF 中，HG 为中位线， 故HG ∥DF 且HG ＝12DF .因为BE ∥DF 且BE ＝12DF ，所以BE 綊GH ，即四边形BEGH 为平行四边形， 所以EG ∥BH .因为BH ⊂平面ABCD ，EG ⊄平面ABCD ， 所以EG ∥平面ABCD . (2)连接AC ，BD .因为DF ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形， 所以AC ⊥平面BDFE .所以该多面体可分割成两个以平面BDFE 为底面的等体积的四棱锥． 即V ABCDEF ＝V A －BDFE ＋V C －BDFE ＝2V A －BDFE＝2×13×a ＋2a 2×a ×32a ＝32a 3.*13.如图所示，斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D ，D 1分别为AC ，A 1C 1上的点．(1)当A 1D 1D 1C 1等于何值时，BC 1∥平面AB 1D 1? (2)若平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，求AD DC的值． 解 (1)如图所示，取D 1为线段A 1C 1的中点，此时A 1D 1D 1C 1＝1. 连接A 1B ，交AB 1于点O ，连接OD 1.由棱柱的性质知，四边形A 1ABB 1为平行四边形， ∴点O 为A 1B 的中点．在△A 1BC 1中，点O ，D 1分别为A 1B ，A 1C 1的中点， ∴OD 1∥BC 1.又∵OD 1⊂平面AB 1D 1，BC 1⊄平面AB 1D 1， ∴BC 1∥平面AB 1D 1. ∴当A 1D 1D 1C 1＝1时，BC 1∥平面AB 1D 1. (2)由平面BC 1D ∥平面AB 1D 1， 且平面A 1BC 1∩平面BC 1D ＝BC 1， 平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O ， 得BC 1∥D 1O ，同理AD 1∥DC 1， ∴A 1D 1D 1C 1＝A 1O OB ，A 1D 1D 1C 1＝DC AD，又∵A 1O OB ＝1，∴DC AD ＝1，即ADDC＝1.。

专题8.4 直线、平面平行垂直的判定及其性质【考纲解读】内容要求备注AABBCC点、线、面之间的位置关系直线与平面垂直的判定及性质√√1．以立体几何的定义、公理、定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理．2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．【直击考点】题组一常识题1．已知直线a，b和平面α，且a⊥α，b∥α，则a与b的位置关系为________．【解析】因为a⊥α，所以a垂直于α内的任意直线．因为b∥α，所以b可以平移至α内，所以a⊥b.2．给出下列条件：①l与平面α内的两条直线垂直；②l与平面α内的无数条直线垂直；③l与平面α内的某一条直线垂直；④l与平面α内的任意一条直线垂直．其中能判定直线l⊥平面α的有________(填序号)．【解析】只有④能满足直线l与平面α内的两条相交直线垂直，故④满足题意．3．若PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则所形成的平面中一定互相垂直的平面有________对．【解析】如图所示，由于PD⊥平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDA⊥平面PDC，平面PAC⊥平面PDB，平面PAB⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PDC.故一定互相垂直的平面有7对．题组二常错题4．“直线a与平面α内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面α垂直”的____________条件．5．如图所示，O为正方体ABCD­ A1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是________(填序号)．①A1D；②AA1；③A1D1；④A1C1.【解析】连接B1D1，由题易知，A1C1⊥平面BB1D1D，又OB1⊂平面DD1B1B，∴A1C1⊥B1O.6．已知直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a与c的位置关系为________________________．【解析】在同一个平面内，由题设条件可得a∥c；在空间中，直线a与c的位置关系不确定，平行、相交、异面都有可能．题组三常考题7．已知平面α，β交于直线l，若直线n⊥β，则n与l的位置关系为________．【解析】由平面α，β交于直线l，得到l⊂β，又n⊥β，所以n⊥l.8．在如图所示的四棱锥P­ ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD，点E是PC 的中点，则DE与平面PBC的位置关系为________．【解析】因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC.由底面ABCD为矩形，得BC⊥CD，又PD∩CD＝D，所以BC⊥平面PCD.又DE⊂平面PCD，所以BC⊥DE.因为PD＝CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC.又PC∩BC＝C，所以DE⊥平面PBC.9．如图，在四棱锥P­ ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC，则平面PAB与平面PAC的位置关系为________．【知识清单】考点1 直线与平面垂直的判定与性质直线与平面垂直定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．定理：文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.⎭⎪⎬⎪⎫aαbαl⊥al⊥ba∩b＝A⇒l⊥α性质定理如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.⎭⎪⎬⎪⎫a⊥αb⊥α⇒a∥b考点2 平面与平面垂直的判定与性质1平面与平面垂直定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．定理：文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.⎭⎪⎬⎪⎫ABβAB⊥α⇒β⊥α性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝MNABβAB⊥MN⇒AB⊥α考点3 线面、面面垂直的综合应用1．直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法①定义法．②利用判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．(2)直线和平面垂直的性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线．②垂直于同一个平面的两条直线平行．③垂直于同一直线的两平面平行．2．斜线和平面所成的角斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角．3．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法①定义法②利用判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的性质如果两平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．【考点深度剖析】近年来，高考题由考查知识向考查能力方向转变，题目新颖多变，灵活性强．立体几何试题一般都是综合直线和平面，以及简单几何体的内容于一体，经常是以简单几何体作为载体，全面考查线面关系．【重点难点突破】考点1 直线与平面垂直的判定与性质【1-1】设l、m、n均为直线，其中m、n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的________条件【答案】充分不必要【解析】当l⊥α时，l⊥m且l⊥n.但当l⊥m，l⊥n时，若m、n不是相交直线，则得不到l⊥α.即l⊥α是l⊥m且l⊥n的充分不必要条件．.【1-2】(2014·常州模拟)给出下列命题：(1)若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直；(2)若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行； (3)若两条平行直线中的一条垂直于直线m ，则另一条直线也与直线m 垂直；(4)若两个平面垂直，则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中所有真命题的序号为________． 【答案】(1)(3)(4)【1-3】设α，β是空间两个不同的平面，m ，n 是平面α及β外的两条不同直线．从“①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(用代号表示)．【答案】①③④⇒②(或②③④⇒①)【解析】逐一判断．若①②③成立，则m 与α的位置关系不确定，故①②③⇒④错误；同理①②④⇒③也错误；①③④⇒②与②③④⇒①均正确． 【思想方法】证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面)．解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度，经计算满足勾股定理)、直角梯形等等．【温馨提醒】证明两个平面垂直，首先要考虑直线与平面的垂直，也可简单地记为“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明非常类似，这种转化方法是本讲内容的显著特征，掌握化归与转化思想方法是解决这类问题的关键． 考点2 平面与平面垂直的判定与性质【2-1】(2014·合肥模拟)设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，有以下四个命题①⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∥γ⇒β∥γ ②⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βm ∥α⇒m ⊥β③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αm ∥β⇒α⊥β ④⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n n ⊂α⇒m ∥α其中正确的命题是________(填写序号)．【答案】①③【解析】对于②，直线m 与平面β可能平行或相交；对于④，直线m 可能也在平面α内．而①③都是正确的命题．【2-2】如图，PA ⊥⊙O 所在平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，AE ⊥PC ，AF ⊥PB ，给出下列结论：①AE ⊥BC ；②EF ⊥PB ；③AF ⊥BC ；④AE ⊥平面PBC ，其中真命题的序号是________．【答案】①②④【解析】①AE ⊂平面PAC ，BC ⊥AC ，BC ⊥PA ⇒AE ⊥BC ，故①正确，②AE ⊥PB ，AF ⊥PB ⇒EF ⊥PB ，故②正确，③若AF ⊥BC ⇒AF ⊥平面PBC ，则AF ∥AE 与已知矛盾，故③错误，由①可知④正确．【2-3】(2013·重庆高考)如图，四棱锥P ­ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝23，BC ＝CD ＝2，∠ACB ＝∠ACD ＝π3.(1)求证：BD ⊥平面PAC ；(2)若侧棱PC 上的点F 满足PF ＝7FC ，求三棱锥P ­BDF 的体积．所以V P ­BDF ＝V P ­BCD －V F ­BCD ＝2－14＝74.【思想方法】判定面面垂直的方法：(1)面面垂直的定义．(2)面面垂直的判定定理(a ⊥β，a α⇒α⊥β)．在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，转化为线面垂直或线线垂直． 转化方法：在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．【温馨提醒】空间的位置关系，特别是平行与垂直的位置关系是整个立体几何的基础，也是立体几何的重点，是考查空间想象能力的“主战场”，所以空间直线、平面的位置关系，特别是线面、面面的平行与垂直关系的判定与证明，成为立体几何复习的重点内容之一，每年的高考数学试题对立体几何的考查，一方面以选择题、填空题的形式直接考查线线、线面、面面的位置关系，另一方面以多面体、棱柱、棱锥为载体，判断与证明几何体内线面的平行与垂直关系．考点3 线面、面面垂直的综合应用【3-1】如图，在三棱锥D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论中正确的是__________(填序号)①平面ABC⊥平面ABD②平面ABD⊥平面BCD③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE【答案】③【3-2】【2013年海安模拟】如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°.其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)．【答案】①④【解析】由PA⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，得PA⊥AE，又由正六边形的性质得AE⊥AB，PA∩AB＝A，得AE ⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，∴AE⊥PB，①正确；又平面PAD⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面PBC不成立，②错；由正六边形的性质得BC∥AD，又AD⊂平面PAD，∴BC∥平面PAD，∴直线BC∥平面PAE也不成立，③错；在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°，∴④正确．【3-3】【2014年江苏】如图，在三棱锥P ABC中，,,D E F分别为棱,,PC AC AB的中点，已知PA AC，6PA =，8,5BC DF ==求证：（Ⅰ）直线//PA 平面DEF（Ⅱ）平面BDE ⊥平面ABCEDFPACB【思想方法】1. 垂直关系的转化：2．在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键．【温馨提醒】解答立体几何综合题时，要学会识图、用图与作图．图在解题中起着非常重要的作用，空间平行、垂直关系的证明，都与几何体的结构特征相结合，准确识图，灵活利用几何体的结构特征找出平面图形中的线线的平行与垂直关系是证明的关键．【易错试题常警惕】1．在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化．2．面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．。

第八章立体几何第40课直线、平面平行的判定及其性质课时分层训练A组基础达标(建议用时：30分钟)一、填空题1．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是________．b∥α，若b⊂α或b与α相交[当b与α相交或b⊂α或b∥α时，均有满足a∥平面α，a⊥b的情形．]2．已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题：①若l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，则α∥β；②若l⊂α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m；③若α∥β，l∥α，则l∥β；④若l⊥α，m∥l，α∥β，则m⊥β.其中真命题是____________．(写出所有真命题的序号)②④[对于①中，只要当l与m相交时，才可证明α∥β；对于③中，l可能在平面β内，②④正确．]3．设α，β，γ为三个不同的平面，a，b为直线，给出下列条件：①a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；②α∥γ，β∥γ；③α⊥γ，β⊥γ；④a⊥α，b ⊥β，a∥b.其中能推出α∥β的条件是________．(填上所有正确的序号)【导学号：62172221】②④[在条件①或条件③中，α∥β或α与β相交．由α∥γ，β∥γ⇒α∥β，条件②满足．在④中，a⊥α，a∥b⇒b⊥α，从而α∥β，④满足．]4．已知平面α外不共线的三点A，B，C到α的距离都相等，则正确的结论是____________(填序号)．①平面ABC必平行于α；②平面ABC必与α相交；③平面ABC必不垂直于α；④存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内．④[若A，B，C三点在α同侧，则平面ABC∥α.若A，B，C三点在α异侧，不妨设B，C在α的同侧，则BC∥α，由平行线的性质可知存在一条中位线DE∥BC，且DE⊂α.] 5．如图40­5所示的三棱柱ABC­A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB 的位置关系是________．图40­5平行 [在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1. ∵AB ⊂平面ABC ，A 1B 1⊄平面ABC ， ∴A 1B 1∥平面ABC .∵过A 1B 1的平面与平面ABC 交于DE ， ∴DE ∥A 1B 1，∴DE ∥AB .]6.在四面体A －BCD 中，M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是____________．平面ABD 与平面ABC [如图，取CD 的中点E . 则EM ∶MA ＝1∶2，EN ∶BN ＝1∶2，所以MN ∥AB ，所以MN ∥平面ABD ，MN ∥平面ABC .]7．平面α∥平面β，点A ，C ∈α，B ，D ∈β，则直线AC ∥直线BD 的充要条件是____________．①AB ∥CD ； ②AD ∥CB ；③AB 与CD 相交；④A ，B ，C ，D 四点共面．④ [由面面平行的性质可知，AC ∥BD 的充要条件是A ，B ，C ，D 四点共面．] 8.如图40­6所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M ，N 分别是下底面的棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝____________. 【导学号：62172222】图40­6223α [∵面ABCD ∥面A 1B 1C 1D 1，则PQ ∥MN ，连结AC (图略)，由MN ∥AC 可知PQ ∥AC .又AP ＝a 3，∴PD ＝23a ，∴PD ∶DA ＝2∶3. ∴PQ ＝23AC .又AC ＝2a ， 故PQ ＝223a .]9．下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是____________．图40­7①④ [对于图形①，平面MNP 与AB 所在的对角面平行，即可得到AB ∥平面MNP ；对于图形④，AB ∥PN ，即可得到AB ∥平面MNP ；图形②③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行．]10．如图40­8，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是棱CC 1，C 1D 1，D 1D ，CD 的中点，N 是BC 的中点，动点M 在四边形EFGH 上及其内部运动，则M 满足条件____________时，有MN ∥平面B 1BDD 1.图40­8M ∈FH [∵HN ∥BD ，FH ∥DD 1，∴平面FHN ∥平面BB 1D 1D .∵M 在四边形EFGH 上及其内部运动，故M∈FH.]二、解答题11．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图40­9所示．(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论.【导学号：62172223】图40­9[解](1)点F，G，H的位置如图所示．(2)平面BEG∥平面ACH，证明如下：因为ABCD­EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG.又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是四边形BCHE为平行四边形，所以BE∥CH.又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.12.如图40­10，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.图40­10求证：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.[证明] (1)由题意知，E 为B 1C 的中点， 又D 为AB 1的中点，因此DE ∥AC . 又因为DE ⊄平面AA 1C 1C ，AC ⊂平面AA 1C 1C ， 所以DE ∥平面AA 1C 1C .(2)因为棱柱ABC ­A 1B 1C 1是直三棱柱， 所以CC 1⊥平面ABC .因为AC ⊂平面ABC ，所以AC ⊥CC 1.因为AC ⊥BC ，CC 1⊂平面BCC 1B 1，BC ⊂平面BCC 1B 1，BC ∩CC 1＝C ， 所以AC ⊥平面BCC 1B 1.又因为BC 1⊂平面BCC 1B 1，所以BC 1⊥AC . 因为BC ＝CC 1，所以矩形BCC 1B 1是正方形， 因此BC 1⊥B 1C .因为AC ，B 1C ⊂平面B 1AC ，AC ∩B 1C ＝C ， 所以BC 1⊥平面B 1AC .又因为AB 1⊂平面B 1AC ，所以BC 1⊥AB 1.B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1.如图40­11所示，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．图40­112 [在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2， ∴AC ＝2 2.又E 为AD 中点，EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ADC ， 平面ADC ∩平面AB 1C ＝AC ， ∴EF ∥AC ，∴F 为DC 中点， ∴EF ＝12AC ＝ 2.]2．如图40­12所示，棱柱ABC ­A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1是菱形，设D 是A 1C 1上的点且A 1B ∥平面B1CD，则A1D∶DC1的值为________．图40­121 [设BC1∩B1C＝O，连结OD.∵A1B∥平面B1CD且平面A1BC1∩平面B1CD＝OD，∴A1B∥OD.∵四边形BCC1B1是菱形，∴O为BC1的中点，∴D为A1C1的中点，则A1D∶DC1＝1.]3．如图40­13，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点，求证：图40­13(1)直线EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.[证明](1)如图，连结SB，因为E，G分别是BC，SC的中点，所以EG∥SB.又因为SB ⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，所以直线EG∥平面BDD1B1.(2)连结SD，因为F，G分别是DC，SC的中点，所以FG∥SD.又因为SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，所以FG∥平面BDD1B1，且EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，所以平面EFG∥平面BDD1B1.4．如图40­14所示，在三棱锥P­ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，AB⊥BC，设D，E分别为PA，AC的中点．图40­14(1)求证：DE∥平面PBC.(2)在线段AB上是否存在点F，使得过三点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC 平行？若存在，指出点F的位置并证明；若不存在，请说明理由．[解](1)证明：∵点E是AC中点，点D是PA的中点，∴DE∥PC.又∵DE⊄平面PBC，PC⊂平面PBC，∴DE∥平面PBC.(2)当点F是线段AB中点时，过点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行．证明如下：取AB的中点F，连结EF，DF.由(1)可知DE∥平面PBC.∵点E是AC中点，点F是AB的中点，∴EF∥BC.又∵EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴EF∥平面PBC.又∵DE∩EF＝E，∴平面DEF∥平面PBC，∴平面DEF内的任一条直线都与平面PBC平行．故当点F是线段AB中点时，过点D，E，F所在平面内的任一条直线都与平面PBC平行．。

8.3 直线、平面平行的判定与性质1.线面平行的判定定理和性质定理2.面面平行的判定定理和性质定理【知识拓展】重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β；(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b；(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面.( ×)(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线.( ×)(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.( ×)(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.( √)(5)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.( ×)(6)若α∥β，直线a∥α，则a∥β.( ×)1.(教材改编)下列命题中不正确的有________.①若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面；②若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行；③平行于同一条直线的两个平面平行；④若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α.答案①②③解析①中，a可以在过b的平面内；②中，a与α内的直线可能异面；③中，两平面可相交；④中，由直线与平面平行的判定定理知，b∥α，正确.2.设l，m为直线，α，β为平面，且l⊂α，m⊂β，则“l∩m＝∅”是“α∥β”的______条件.答案必要不充分解析当平面与平面平行时，两个平面内的直线没有交点，故“l∩m＝∅”是“α∥β”的必要条件；当两个平面内的直线没有交点时，两个平面可以相交，∴l∩m＝∅是α∥β的必要不充分条件.3.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上.若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度为________.答案2解析 因为直线EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ABCD ， 且平面AB 1C ∩平面ABCD ＝AC ，所以EF ∥AC ， 又E 是DA 的中点，所以F 是DC 的中点， 由中位线定理可得EF ＝12AC ，又在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2， 所以AC ＝22，所以EF ＝ 2.4.(教材改编)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1的中点，则BD 1与平面ACE 的位置关系为________.答案 平行解析 连结BD ，设BD ∩AC ＝O ，连结EO ，在△BDD 1中，O 为BD 的中点，所以EO 为△BDD 1的中位线， 则BD 1∥EO ，而BD 1⊄平面ACE ，EO ⊂平面ACE ， 所以BD 1∥平面ACE .5.过三棱柱ABC －A 1B 1C 1任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有________条.答案 6解析 各中点连线如图，只有面EFGH 与面ABB 1A 1平行，在四边形EFGH 中有6条符合题意.题型一 直线与平面平行的判定与性质 命题点1 直线与平面平行的判定例1 如图，四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F ，H 分别为线段AD ，PC ，CD的中点，AC 与BE 交于O 点，G 是线段OF 上一点.(1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)求证：GH ∥平面PAD . 证明 (1)连结EC ，∵AD ∥BC ，BC ＝12AD ，∴BC 綊AE ，∴四边形ABCE 是平行四边形， ∴O 为AC 的中点.又∵F 是PC 的中点，∴FO ∥AP ，FO ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ，∴AP ∥平面BEF . (2)连结FH ，OH ，∵F，H分别是PC，CD的中点，∴FH∥PD，∴FH∥平面PAD.又∵O是BE的中点，H是CD的中点，∴OH∥AD，∴OH∥平面PAD.又FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD.又∵GH⊂平面OHF，∴GH∥平面PAD.命题点2 直线与平面平行的性质例2 (2017·镇江月考)如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.(1)证明：GH∥EF；(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积.(1)证明因为BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC.同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.(2)解如图，连结AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连结OP，GK.因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，同理可得PO⊥BD.又BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面内，所以PO ⊥底面ABCD .又因为平面GEFH ⊥平面ABCD ， 且PO ⊄平面GEFH ，所以PO ∥平面GEFH . 因为平面PBD ∩平面GEFH ＝GK ， 所以PO ∥GK ，且GK ⊥底面ABCD ， 从而GK ⊥EF .所以GK 是梯形GEFH 的高.由AB ＝8，EB ＝2得EB ∶AB ＝KB ∶DB ＝1∶4， 从而KB ＝14DB ＝12OB ，即K 为OB 的中点.再由PO ∥GK 得GK ＝12PO ，即G 是PB 的中点，且GH ＝12BC ＝4.由已知可得OB ＝42，PO ＝PB 2－OB 2＝68－32＝6，所以GK ＝3.故四边形GEFH 的面积S ＝GH ＋EF2·GK＝4＋82×3＝18. 思维升华 判断或证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)； (3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)； (4)利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄α，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β).如图所示，CD ，AB 均与平面EFGH 平行，E ，F ，G ，H 分别在BD ，BC ，AC ，AD 上，且CD ⊥AB .求证：四边形EFGH 是矩形.证明 ∵CD ∥平面EFGH ，而平面EFGH∩平面BCD＝EF，∴CD∥EF.同理HG∥CD，∴EF∥HG.同理HE∥GF，∴四边形EFGH为平行四边形.∴CD∥EF，HE∥AB，∴∠HEF为异面直线CD和AB所成的角.又∵CD⊥AB，∴HE⊥EF.∴平行四边形EFGH为矩形.题型二平面与平面平行的判定与性质例3 (2016·镇江模拟)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.证明(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面.(2)∵E，F分别是AB，AC的中点，∴EF∥BC.∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.引申探究1.在本例条件下，若D为BC1的中点，求证：HD∥平面A1B1BA.证明如图所示，连结HD，A1B，∵D为BC1的中点，H为A1C1的中点，∴HD∥A1B，又HD⊄平面A1B1BA，A1B⊂平面A1B1BA，∴HD∥平面A1B1BA.2.在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D. 证明如图所示，连结A1C交AC1于点M，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴M是A1C的中点，连结MD，∵D为BC的中点，∴A1B∥DM.∵A1B⊂平面A1BD1，DM⊄平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD，∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1.又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1，又∵DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.思维升华证明面面平行的方法(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化.(2016·盐城模拟)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝ 2.(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)求三棱柱ABD－A1B1D1的体积.(1)证明由题设知，BB1綊DD1，∴四边形BB1D1D是平行四边形，∴BD∥B1D1.又BD⊄平面CD1B1，B1D1⊂平面CD1B1，∴BD∥平面CD1B1.∵A1D1綊B1C1綊BC，∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥D1C.又A1B⊄平面CD1B1，D1C⊂平面CD1B1，∴A1B∥平面CD1B1.又BD ∩A 1B ＝B ，∴平面A 1BD ∥平面CD 1B 1. (2)解 ∵A 1O ⊥平面ABCD ， ∴A 1O 是三棱柱ABD －A 1B 1D 1的高. 又AO ＝12AC ＝1，AA 1＝2，∴A 1O ＝AA 21－OA 2＝1.又S △ABD ＝12×2×2＝1，1111·1.ABD A B D ABD V S AO 三棱柱－＝＝△ 题型三 平行关系的综合应用例4 (2016·盐城模拟)如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是棱CC 1的中点，问在棱AB 上是否存在一点E ，使DE ∥平面AB 1C 1？若存在，请确定点E 的位置；若不存在，请说明理由.解 方法一 存在点E ，且E 为AB 的中点时，DE ∥平面AB 1C 1. 下面给出证明：如图，取BB 1的中点F ，连结DF ， 则DF ∥B 1C 1，∵AB 的中点为E ，连结EF ，ED ， 则EF ∥AB 1，B 1C 1∩AB 1＝B 1， ∴平面DEF ∥平面AB 1C 1. 而DE ⊂平面DEF ， ∴DE ∥平面AB 1C 1.方法二 假设在棱AB 上存在点E ， 使得DE ∥平面AB 1C 1，如图，取BB1的中点F，连结DF，EF，ED，则DF∥B1C1，又DF⊄平面AB1C1，B1C1⊂平面AB1C1，∴DF∥平面AB1C1，又DE∥平面AB1C1，DE∩DF＝D，∴平面DEF∥平面AB1C1，∵EF⊂平面DEF，∴EF∥平面AB1C1，又∵EF⊂平面ABB1，平面ABB1∩平面AB1C1＝AB1，∴EF∥AB1，∵点F是BB1的中点，∴点E是AB的中点.即当点E是AB的中点时，DE∥平面AB1C1.思维升华利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决.(2016·南京模拟)如图所示，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问截面在什么位置时其截面面积最大？解∵AB∥平面EFGH，平面EFGH与平面ABC和平面ABD分别交于FG，EH.∴AB∥FG，AB∥EH，∴FG∥EH，同理可证EF∥GH，∴截面EFGH是平行四边形.设AB＝a，CD＝b，∠FGH＝α (α即为异面直线AB和CD所成的角或其补角).又设FG ＝x ，GH ＝y ，则由平面几何知识可得x a ＝CGBC， y b ＝BG BC ，两式相加得x a ＋y b ＝1，即y ＝ba(a －x )， ∴S ▱EFGH ＝FG ·GH ·sin α ＝x ·ba ·(a －x )·sin α＝b sin αax (a －x ). ∵x >0，a －x >0且x ＋(a －x )＝a 为定值， ∴b sin αa x (a －x )≤ab sin α4，当且仅当x ＝a －x 时等号成立. 此时x ＝a2，y ＝b2. 即当截面EFGH 的顶点E 、F 、G 、H 分别为棱AD 、AC 、BC 、BD 的中点时截面面积最大.5.立体几何中的探索性问题典例 (14分)如图，在四棱锥S －ABCD 中，已知底面ABCD 为直角梯形，其中AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，SA ⊥底面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝2，tan∠SDA ＝23.(1)求四棱锥S －ABCD 的体积；(2)在棱SD 上找一点E ，使CE ∥平面SAB ，并证明. 规范解答解 (1)∵SA ⊥底面ABCD ，tan∠SDA ＝23，SA ＝2，∴AD ＝3.[2分]由题意知四棱锥S －ABCD 的底面为直角梯形， 且SA ＝AB ＝BC ＝2，V S －ABCD ＝13·SA ·12·(BC ＋AD )·AB＝13×2×12×(2＋3)×2＝103. [6分](2)当点E 位于棱SD 上靠近D 的三等分点处时， 可使CE ∥平面SAB .[8分]证明如下：取SD 上靠近D 的三等分点为E ，取SA 上靠近A 的三等分点为F ，连结CE ，EF ，BF ， 则EF 綊23AD ，BC 綊23AD ，∴BC 綊EF ，∴CE ∥BF .[12分]又∵BF ⊂平面SAB ，CE ⊄平面SAB ， ∴CE ∥平面SAB .[14分]解决立体几何中的探索性问题的步骤 第一步：写出探求的最后结论； 第二步：证明探求结论的正确性； 第三步：给出明确答案；第四步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范.1.(2016·南通模拟)有下列命题：①若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则直线l ∥α； ②若直线a 在平面α外，则a ∥α； ③若直线a ∥b ，b ∥α，则a ∥α；④若直线a ∥b ，b ∥α，则a 平行于平面α内的无数条直线. 其中真命题的个数是________.答案 1解析 命题①，l 可以在平面α内，不正确；命题②，直线a 与平面α可以是相交关系，不正确；命题③，a 可以在平面α内，不正确；命题④正确.2.(2016·苏北四校联考)如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD 是正方形，E ，F 分别为PA ，PD 的中点.在此几何体中，给出下列四个结论：①直线BE 与直线CF 是异面直线； ②直线BE 与直线AF 是异面直线； ③直线EF ∥平面PBC ； ④平面BCE ⊥平面PAD .其中正确结论的序号为________. 答案 ②③解析 因为EF 綊12AD ，AD 綊BC ，所以EF 綊12BC ，所以E ，B ，C ，F 四点共面，所以BE 与CF共面，所以①错误；因为AF ⊂平面PAD ，E ∈平面PAD ，E ∉直线AF ，B ∉平面PAD ，所以BE 与AF 是异面直线，所以②正确；因为EF ∥BC ，EF ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以EF ∥平面PBC ，所以③正确；由于不能推出线面垂直，故平面BCE ⊥平面PAD 不成立，所以④错误. 3.设l 为直线，α，β是两个不同的平面.下列命题中正确的是________. ①若l ∥α，l ∥β，则α∥β； ②若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β； ③若l ⊥α，l ∥β，则α∥β； ④若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β. 答案 ②解析 l ∥α，l ∥β，则α与β可能平行，也可能相交，故①错；由“同垂直于一条直线的两个平面平行”可知②正确；由l ⊥α，l ∥β可知α⊥β，故③错；由α⊥β，l ∥α可知l 与β可能平行，也可能l ⊂β，也可能相交，故④错.4.(2016·苏锡常联考)下列关于互不相同的直线m ，l ，n 和平面α，β的四个命题：①若m ⊂α，l ∩α＝A ，点A ∉m ，则l 与m 不共面；②若m ，l 是异面直线，l ∥α，m ∥α，且n ⊥l ，n ⊥m ，则n ⊥α； ③若l ∥α，m ∥β，α∥β，则l ∥m ；④若l ⊂α，m ⊂α，l ∩m ＝A ，l ∥β，m ∥β，则α∥β. 其中假命题是________.(填序号) 答案 ③5.已知平面α∥平面β，P 是α，β外一点，过点P 的直线m 与α，β分别交于A ，C 两点，过点P 的直线n 与α，β分别交于B ，D 两点，且PA ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为______. 答案 24或245解析 由α∥β得AB ∥CD . 分两种情况：若点P 在α，β的同侧，则PA PC ＝PBPD， ∴PB ＝165，∴BD ＝245；若点P 在α，β之间，则PA PC ＝PBPD，∴PB ＝16，∴BD ＝24.6.(2016·全国甲卷)α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题： ①如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β； ②如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n ； ③如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β；④如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有________. 答案 ②③④解析 当m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β时，两个平面的位置关系不确定，故①错误，经判断知②③④均正确，故正确答案为②③④.7.设α，β，γ是三个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m ，n ⊂γ，且________，则m ∥n ”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题. ①α∥γ，n ⊂β；②m ∥γ，n ∥β；③n ∥β，m ⊂γ.可以填入的条件有________.答案①或③解析由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确.8.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(底面是正方形的直四棱柱叫正四棱柱)中，E、F、G、H 分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，动点M在四边形EFGH上及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.答案M∈线段FH解析因为HN∥BD，HF∥DD1，所以平面NHF∥平面B1BDD1，故线段FH上任意点M与N相连，都有MN∥平面B1BDD1.(答案不唯一)9.将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”.给出下列四个命题：①垂直于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两平面平行；③平行于同一直线的两直线平行；④平行于同一平面的两直线平行.其中是“可换命题”的是______.(填命题的序号)答案①③解析由线面垂直的性质定理可知①是真命题，且垂直于同一直线的两平面平行也是真命题，故①是“可换命题”；因为垂直于同一平面的两平面可能平行或相交，所以②是假命题，不是“可换命题”；由公理4可知③是真命题，且平行于同一平面的两平面平行也是真命题，故③是“可换命题”；因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，故④是假命题，故④不是“可换命题”.10.在四面体A－BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________.答案平面ABD与平面ABC解析如图，取CD的中点E，连结AE，BE.则EM ∶MA ＝1∶2，EN ∶BN ＝1∶2， 所以MN ∥AB .所以MN ∥平面ABD ，MN ∥平面ABC .11.在三棱锥S －ABC 中，△ABC 是边长为6的正三角形，SA ＝SB ＝SC ＝15，平面DEFH 分别与AB ，BC ，SC ，SA 交于点D ，E ，F ，H .D ，E 分别是AB ，BC 的中点，如果直线SB ∥平面DEFH ，那么四边形DEFH 的面积为________. 答案452解析 如图，取AC 的中点G ，连结SG ，BG .易知SG ⊥AC ，BG ⊥AC ，SG ∩BG ＝G ， 故AC ⊥平面SGB ， 所以AC ⊥SB .因为SB ∥平面DEFH ，SB ⊂平面SAB ，平面SAB ∩平面DEFH ＝HD ， 则SB ∥HD . 同理SB ∥FE .又D ，E 分别为AB ，BC 的中点， 则H ，F 也为AS ，SC 的中点， 从而得HF 綊12AC 綊DE ，所以四边形DEFH 为平行四边形. 又AC ⊥SB ，SB ∥HD ，DE ∥AC ， 所以DE ⊥HD ，所以四边形DEFH 为矩形，其面积S ＝HF ·HD ＝(12AC )·(12SB )＝452.12.如图，E 、F 、G 、H 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BC 、CC 1、C 1D 1、AA 1的中点.求证：(1)EG ∥平面BB 1D 1D ； (2)平面BDF ∥平面B 1D 1H .证明 (1)取B 1D 1的中点O ，连结GO ，OB ， ∵OG 綊12B 1C 1，BE 綊12BC ，∴OG 綊BE ，∴四边形BEGO 为平行四边形，故OB ∥EG ， 又EG ⊄平面BB 1D 1D ，OB ⊂平面BB 1D 1D ， ∴EG ∥平面BB 1D 1D . (2)由题意可知BD ∥B 1D 1.如图，连结HB 、D 1F ，易证四边形HBFD 1是平行四边形，故HD 1∥BF . 又B 1D 1∩HD 1＝D 1，BD ∩BF ＝B ，所以平面BDF ∥平面B 1D 1H .13.(2016·贵州兴义八中月考)在如图所示的多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为a 的菱形，且∠DAB ＝60°，DF ＝2BE ＝2a ，DF ∥BE ，DF ⊥平面ABCD .(1)在AF 上是否存在点G ，使得EG ∥平面ABCD ，请证明你的结论； (2)求该多面体的体积.解 (1)当点G 位于AF 中点时，有EG ∥平面ABCD .证明如下：取AF 的中点G ，AD 的中点H ，连结GH ，GE ，BH . 在△ADF 中，HG 为中位线， 故HG ∥DF 且HG ＝12DF .因为BE ∥DF 且BE ＝12DF ，所以BE 綊GH ，即四边形BEGH 为平行四边形， 所以EG ∥BH .因为BH ⊂平面ABCD ，EG ⊄平面ABCD ， 所以EG ∥平面ABCD . (2)连结AC ，BD .因为DF ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形， 所以AC ⊥平面BDFE .所以该多面体可分割成两个以平面BDFE 为底面的等体积的四棱锥. 即V ABCDEF ＝V A －BDFE ＋V C －BDFE ＝2V A －BDFE ＝2×13×a ＋2a 2×a ×32a ＝32a 3.14.(2016·南通模拟)如图所示，斜三棱柱ABC －A1B 1C 1中，点D ，D 1分别为AC ，A 1C 1上的点.(1)当A 1D 1D 1C 1等于何值时，BC 1∥平面AB 1D 1? (2)若平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，求AD DC的值. 解 (1)如图所示，取D 1为线段A 1C 1的中点，此时A 1D 1D 1C 1＝1.连结A 1B ，交AB 1于点O ，连结OD 1.由棱柱的性质知，四边形A 1ABB 1为平行四边形， ∴点O 为A 1B 的中点.在△A 1BC 1中，点O ，D 1分别为A 1B ，A 1C 1的中点， ∴OD 1∥BC 1.又∵OD 1⊂平面AB 1D 1，BC 1⊄平面AB 1D 1， ∴BC 1∥平面AB 1D 1. ∴当A 1D 1D 1C 1＝1时，BC 1∥平面AB 1D 1. (2)由平面BC 1D ∥平面AB 1D 1， 且平面A 1BC 1∩平面BC 1D ＝BC 1， 平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O ， 得BC 1∥D 1O ，同理AD 1∥DC 1，∴A 1D 1D 1C 1＝A 1O OB ，A 1D 1D 1C 1＝DC AD， 又∵A 1O OB ＝1，∴DC AD ＝1，即AD DC ＝1.。

8.3 直线、平面平行的判定与性质1.线面平行的判定定理和性质定理2.面面平行的判定定理和性质定理【知识拓展】重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β；(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b；(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面.( ×)(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线.( ×)(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.( ×)(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.( √)(5)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.( ×)(6)若α∥β，直线a∥α，则a∥β.( ×)1.(教材改编)下列命题中不正确的有________.①若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面；②若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行；③平行于同一条直线的两个平面平行；④若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α.答案①②③解析①中，a可以在过b的平面内；②中，a与α内的直线可能异面；③中，两平面可相交；④中，由直线与平面平行的判定定理知，b∥α，正确.2.设l，m为直线，α，β为平面，且l⊂α，m⊂β，则“l∩m＝∅”是“α∥β”的______条件.答案必要不充分解析当平面与平面平行时，两个平面内的直线没有交点，故“l∩m＝∅”是“α∥β”的必要条件；当两个平面内的直线没有交点时，两个平面可以相交，∴l∩m＝∅是α∥β的必要不充分条件.3.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上.若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度为________.答案2解析 因为直线EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ABCD ， 且平面AB 1C ∩平面ABCD ＝AC ，所以EF ∥AC ， 又E 是DA 的中点，所以F 是DC 的中点， 由中位线定理可得EF ＝12AC ，又在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2， 所以AC ＝22，所以EF ＝ 2.4.(教材改编)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1的中点，则BD 1与平面ACE 的位置关系为________.答案 平行解析 连结BD ，设BD ∩AC ＝O ，连结EO ，在△BDD 1中，O 为BD 的中点，所以EO 为△BDD 1的中位线， 则BD 1∥EO ，而BD 1⊄平面ACE ，EO ⊂平面ACE ， 所以BD 1∥平面ACE .5.过三棱柱ABC －A 1B 1C 1任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有________条.答案 6解析 各中点连线如图，只有面EFGH 与面ABB 1A 1平行，在四边形EFGH 中有6条符合题意.题型一 直线与平面平行的判定与性质 命题点1 直线与平面平行的判定例1 如图，四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F ，H 分别为线段AD ，PC ，CD的中点，AC 与BE 交于O 点，G 是线段OF 上一点.(1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)求证：GH ∥平面PAD . 证明 (1)连结EC ，∵AD ∥BC ，BC ＝12AD ，∴BC 綊AE ，∴四边形ABCE 是平行四边形， ∴O 为AC 的中点.又∵F 是PC 的中点，∴FO ∥AP ，FO ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ，∴AP ∥平面BEF . (2)连结FH ，OH ，∵F，H分别是PC，CD的中点，∴FH∥PD，∴FH∥平面PAD.又∵O是BE的中点，H是CD的中点，∴OH∥AD，∴OH∥平面PAD.又FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD.又∵GH⊂平面OHF，∴GH∥平面PAD.命题点2 直线与平面平行的性质例2 (2017·镇江月考)如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.(1)证明：GH∥EF；(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积.(1)证明因为BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC.同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.(2)解如图，连结AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连结OP，GK.因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，同理可得PO⊥BD.又BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面内，所以PO ⊥底面ABCD .又因为平面GEFH ⊥平面ABCD ， 且PO ⊄平面GEFH ，所以PO ∥平面GEFH . 因为平面PBD ∩平面GEFH ＝GK ， 所以PO ∥GK ，且GK ⊥底面ABCD ， 从而GK ⊥EF .所以GK 是梯形GEFH 的高.由AB ＝8，EB ＝2得EB ∶AB ＝KB ∶DB ＝1∶4， 从而KB ＝14DB ＝12OB ，即K 为OB 的中点.再由PO ∥GK 得GK ＝12PO ，即G 是PB 的中点，且GH ＝12BC ＝4.由已知可得OB ＝42，PO ＝PB 2－OB 2＝68－32＝6，所以GK ＝3.故四边形GEFH 的面积S ＝GH ＋EF2·GK＝4＋82×3＝18. 思维升华 判断或证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)； (3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)； (4)利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄α，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β).如图所示，CD ，AB 均与平面EFGH 平行，E ，F ，G ，H 分别在BD ，BC ，AC ，AD 上，且CD ⊥AB .求证：四边形EFGH 是矩形.证明 ∵CD ∥平面EFGH ，而平面EFGH∩平面BCD＝EF，∴CD∥EF.同理HG∥CD，∴EF∥HG.同理HE∥GF，∴四边形EFGH为平行四边形.∴CD∥EF，HE∥AB，∴∠HEF为异面直线CD和AB所成的角.又∵CD⊥AB，∴HE⊥EF.∴平行四边形EFGH为矩形.题型二平面与平面平行的判定与性质例3 (2016·镇江模拟)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.证明(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面.(2)∵E，F分别是AB，AC的中点，∴EF∥BC.∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.引申探究1.在本例条件下，若D为BC1的中点，求证：HD∥平面A1B1BA.证明如图所示，连结HD，A1B，∵D为BC1的中点，H为A1C1的中点，∴HD∥A1B，又HD⊄平面A1B1BA，A1B⊂平面A1B1BA，∴HD∥平面A1B1BA.2.在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D. 证明如图所示，连结A1C交AC1于点M，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴M是A1C的中点，连结MD，∵D为BC的中点，∴A1B∥DM.∵A1B⊂平面A1BD1，DM⊄平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD，∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1.又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1，又∵DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.思维升华证明面面平行的方法(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化.(2016·盐城模拟)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝ 2.(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)求三棱柱ABD－A1B1D1的体积.(1)证明由题设知，BB1綊DD1，∴四边形BB1D1D是平行四边形，∴BD∥B1D1.又BD⊄平面CD1B1，B1D1⊂平面CD1B1，∴BD∥平面CD1B1.∵A1D1綊B1C1綊BC，∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥D1C.又A1B⊄平面CD1B1，D1C⊂平面CD1B1，∴A1B∥平面CD1B1.又BD ∩A 1B ＝B ，∴平面A 1BD ∥平面CD 1B 1. (2)解 ∵A 1O ⊥平面ABCD ， ∴A 1O 是三棱柱ABD －A 1B 1D 1的高. 又AO ＝12AC ＝1，AA 1＝2，∴A 1O ＝AA 21－OA 2＝1.又S △ABD ＝12×2×2＝1，1111· 1.ABD A B D ABD V S AO 三棱柱－＝＝△ 题型三 平行关系的综合应用例4 (2016·盐城模拟)如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是棱CC 1的中点，问在棱AB 上是否存在一点E ，使DE ∥平面AB 1C 1？若存在，请确定点E 的位置；若不存在，请说明理由.解 方法一 存在点E ，且E 为AB 的中点时，DE ∥平面AB 1C 1. 下面给出证明：如图，取BB 1的中点F ，连结DF ， 则DF ∥B 1C 1，∵AB 的中点为E ，连结EF ，ED ， 则EF ∥AB 1，B 1C 1∩AB 1＝B 1， ∴平面DEF ∥平面AB 1C 1. 而DE ⊂平面DEF ， ∴DE ∥平面AB 1C 1.方法二 假设在棱AB 上存在点E ， 使得DE ∥平面AB 1C 1，如图，取BB1的中点F，连结DF，EF，ED，则DF∥B1C1，又DF⊄平面AB1C1，B1C1⊂平面AB1C1，∴DF∥平面AB1C1，又DE∥平面AB1C1，DE∩DF＝D，∴平面DEF∥平面AB1C1，∵EF⊂平面DEF，∴EF∥平面AB1C1，又∵EF⊂平面ABB1，平面ABB1∩平面AB1C1＝AB1，∴EF∥AB1，∵点F是BB1的中点，∴点E是AB的中点.即当点E是AB的中点时，DE∥平面AB1C1.思维升华利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决.(2016·南京模拟)如图所示，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问截面在什么位置时其截面面积最大？解∵AB∥平面EFGH，平面EFGH与平面ABC和平面ABD分别交于FG，EH.∴AB∥FG，AB∥EH，∴FG∥EH，同理可证EF∥GH，∴截面EFGH是平行四边形.设AB＝a，CD＝b，∠FGH＝α (α即为异面直线AB和CD所成的角或其补角).又设FG ＝x ，GH ＝y ，则由平面几何知识可得x a ＝CGBC， y b ＝BG BC ，两式相加得x a ＋y b ＝1，即y ＝ba(a －x )， ∴S ▱EFGH ＝FG ·GH ·sin α ＝x ·ba ·(a －x )·sin α＝b sin αax (a －x ). ∵x >0，a －x >0且x ＋(a －x )＝a 为定值， ∴b sin αa x (a －x )≤ab sin α4，当且仅当x ＝a －x 时等号成立. 此时x ＝a2，y ＝b2. 即当截面EFGH 的顶点E 、F 、G 、H 分别为棱AD 、AC 、BC 、BD 的中点时截面面积最大.5.立体几何中的探索性问题典例 (14分)如图，在四棱锥S －ABCD 中，已知底面ABCD 为直角梯形，其中AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，SA ⊥底面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝2，tan∠SDA ＝23.(1)求四棱锥S －ABCD 的体积；(2)在棱SD 上找一点E ，使CE ∥平面SAB ，并证明. 规范解答解 (1)∵SA ⊥底面ABCD ，tan∠SDA ＝23，SA ＝2，∴AD ＝3.[2分]由题意知四棱锥S －ABCD 的底面为直角梯形， 且SA ＝AB ＝BC ＝2，V S －ABCD ＝13·SA ·12·(BC ＋AD )·AB＝13×2×12×(2＋3)×2＝103. [6分](2)当点E 位于棱SD 上靠近D 的三等分点处时， 可使CE ∥平面SAB .[8分]证明如下：取SD 上靠近D 的三等分点为E ，取SA 上靠近A 的三等分点为F ，连结CE ，EF ，BF ， 则EF 綊23AD ，BC 綊23AD ，∴BC 綊EF ，∴CE ∥BF .[12分]又∵BF ⊂平面SAB ，CE ⊄平面SAB ， ∴CE ∥平面SAB .[14分]解决立体几何中的探索性问题的步骤 第一步：写出探求的最后结论； 第二步：证明探求结论的正确性； 第三步：给出明确答案；第四步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范.1.(2016·南通模拟)有下列命题：①若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则直线l ∥α； ②若直线a 在平面α外，则a ∥α； ③若直线a ∥b ，b ∥α，则a ∥α；④若直线a ∥b ，b ∥α，则a 平行于平面α内的无数条直线. 其中真命题的个数是________.答案 1解析 命题①，l 可以在平面α内，不正确；命题②，直线a 与平面α可以是相交关系，不正确；命题③，a 可以在平面α内，不正确；命题④正确.2.(2016·苏北四校联考)如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD 是正方形，E ，F 分别为PA ，PD 的中点.在此几何体中，给出下列四个结论：①直线BE 与直线CF 是异面直线； ②直线BE 与直线AF 是异面直线； ③直线EF ∥平面PBC ； ④平面BCE ⊥平面PAD .其中正确结论的序号为________. 答案 ②③解析 因为EF 綊12AD ，AD 綊BC ，所以EF 綊12BC ，所以E ，B ，C ，F 四点共面，所以BE 与CF共面，所以①错误；因为AF ⊂平面PAD ，E ∈平面PAD ，E ∉直线AF ，B ∉平面PAD ，所以BE 与AF 是异面直线，所以②正确；因为EF ∥BC ，EF ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以EF ∥平面PBC ，所以③正确；由于不能推出线面垂直，故平面BCE ⊥平面PAD 不成立，所以④错误. 3.设l 为直线，α，β是两个不同的平面.下列命题中正确的是________. ①若l ∥α，l ∥β，则α∥β； ②若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β； ③若l ⊥α，l ∥β，则α∥β； ④若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β. 答案 ②解析 l ∥α，l ∥β，则α与β可能平行，也可能相交，故①错；由“同垂直于一条直线的两个平面平行”可知②正确；由l ⊥α，l ∥β可知α⊥β，故③错；由α⊥β，l ∥α可知l 与β可能平行，也可能l ⊂β，也可能相交，故④错.4.(2016·苏锡常联考)下列关于互不相同的直线m ，l ，n 和平面α，β的四个命题：①若m ⊂α，l ∩α＝A ，点A ∉m ，则l 与m 不共面；②若m ，l 是异面直线，l ∥α，m ∥α，且n ⊥l ，n ⊥m ，则n ⊥α； ③若l ∥α，m ∥β，α∥β，则l ∥m ；④若l ⊂α，m ⊂α，l ∩m ＝A ，l ∥β，m ∥β，则α∥β. 其中假命题是________.(填序号) 答案 ③5.已知平面α∥平面β，P 是α，β外一点，过点P 的直线m 与α，β分别交于A ，C 两点，过点P 的直线n 与α，β分别交于B ，D 两点，且PA ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为______. 答案 24或245解析 由α∥β得AB ∥CD . 分两种情况：若点P 在α，β的同侧，则PA PC ＝PBPD， ∴PB ＝165，∴BD ＝245；若点P 在α，β之间，则PA PC ＝PBPD，∴PB ＝16，∴BD ＝24.6.(2016·全国甲卷)α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题： ①如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β； ②如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n ； ③如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β；④如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有________. 答案 ②③④解析 当m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β时，两个平面的位置关系不确定，故①错误，经判断知②③④均正确，故正确答案为②③④.7.设α，β，γ是三个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m ，n ⊂γ，且________，则m ∥n ”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题. ①α∥γ，n ⊂β；②m ∥γ，n ∥β；③n ∥β，m ⊂γ.可以填入的条件有________.答案①或③解析由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确.8.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(底面是正方形的直四棱柱叫正四棱柱)中，E、F、G、H 分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，动点M在四边形EFGH上及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.答案M∈线段FH解析因为HN∥BD，HF∥DD1，所以平面NHF∥平面B1BDD1，故线段FH上任意点M与N相连，都有MN∥平面B1BDD1.(答案不唯一)9.将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”.给出下列四个命题：①垂直于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两平面平行；③平行于同一直线的两直线平行；④平行于同一平面的两直线平行.其中是“可换命题”的是______.(填命题的序号)答案①③解析由线面垂直的性质定理可知①是真命题，且垂直于同一直线的两平面平行也是真命题，故①是“可换命题”；因为垂直于同一平面的两平面可能平行或相交，所以②是假命题，不是“可换命题”；由公理4可知③是真命题，且平行于同一平面的两平面平行也是真命题，故③是“可换命题”；因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，故④是假命题，故④不是“可换命题”.10.在四面体A－BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________.答案平面ABD与平面ABC解析如图，取CD的中点E，连结AE，BE.则EM ∶MA ＝1∶2，EN ∶BN ＝1∶2， 所以MN ∥AB .所以MN ∥平面ABD ，MN ∥平面ABC .11.在三棱锥S －ABC 中，△ABC 是边长为6的正三角形，SA ＝SB ＝SC ＝15，平面DEFH 分别与AB ，BC ，SC ，SA 交于点D ，E ，F ，H .D ，E 分别是AB ，BC 的中点，如果直线SB ∥平面DEFH ，那么四边形DEFH 的面积为________. 答案452解析 如图，取AC 的中点G ，连结SG ，BG .易知SG ⊥AC ，BG ⊥AC ，SG ∩BG ＝G ， 故AC ⊥平面SGB ， 所以AC ⊥SB .因为SB ∥平面DEFH ，SB ⊂平面SAB ，平面SAB ∩平面DEFH ＝HD ， 则SB ∥HD . 同理SB ∥FE .又D ，E 分别为AB ，BC 的中点， 则H ，F 也为AS ，SC 的中点， 从而得HF 綊12AC 綊DE ，所以四边形DEFH 为平行四边形. 又AC ⊥SB ，SB ∥HD ，DE ∥AC ， 所以DE ⊥HD ，所以四边形DEFH 为矩形，其面积S ＝HF ·HD ＝(12AC )·(12SB )＝452.12.如图，E 、F 、G 、H 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BC 、CC 1、C 1D 1、AA 1的中点.求证：(1)EG ∥平面BB 1D 1D ； (2)平面BDF ∥平面B 1D 1H .证明 (1)取B 1D 1的中点O ，连结GO ，OB ， ∵OG 綊12B 1C 1，BE 綊12BC ，∴OG 綊BE ，∴四边形BEGO 为平行四边形，故OB ∥EG ， 又EG ⊄平面BB 1D 1D ，OB ⊂平面BB 1D 1D ， ∴EG ∥平面BB 1D 1D . (2)由题意可知BD ∥B 1D 1.如图，连结HB 、D 1F ，易证四边形HBFD 1是平行四边形，故HD 1∥BF . 又B 1D 1∩HD 1＝D 1，BD ∩BF ＝B ，所以平面BDF ∥平面B 1D 1H .13.(2016·贵州兴义八中月考)在如图所示的多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为a 的菱形，且∠DAB ＝60°，DF ＝2BE ＝2a ，DF ∥BE ，DF ⊥平面ABCD .(1)在AF 上是否存在点G ，使得EG ∥平面ABCD ，请证明你的结论； (2)求该多面体的体积.解 (1)当点G 位于AF 中点时，有EG ∥平面ABCD .证明如下：取AF 的中点G ，AD 的中点H ，连结GH ，GE ，BH . 在△ADF 中，HG 为中位线， 故HG ∥DF 且HG ＝12DF .因为BE ∥DF 且BE ＝12DF ，所以BE 綊GH ，即四边形BEGH 为平行四边形， 所以EG ∥BH .因为BH ⊂平面ABCD ，EG ⊄平面ABCD ， 所以EG ∥平面ABCD . (2)连结AC ，BD .因为DF ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形， 所以AC ⊥平面BDFE .所以该多面体可分割成两个以平面BDFE 为底面的等体积的四棱锥. 即V ABCDEF ＝V A －BDFE ＋V C －BDFE ＝2V A －BDFE ＝2×13×a ＋2a 2×a ×32a ＝32a 3.14.(2016·南通模拟)如图所示，斜三棱柱ABC －A1B 1C 1中，点D ，D 1分别为AC ，A 1C 1上的点.(1)当A 1D 1D 1C 1等于何值时，BC 1∥平面AB 1D 1? (2)若平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，求AD DC的值. 解 (1)如图所示，取D 1为线段A 1C 1的中点，此时A 1D 1D 1C 1＝1.连结A 1B ，交AB 1于点O ，连结OD 1.由棱柱的性质知，四边形A 1ABB 1为平行四边形， ∴点O 为A 1B 的中点.在△A 1BC 1中，点O ，D 1分别为A 1B ，A 1C 1的中点， ∴OD 1∥BC 1.又∵OD 1⊂平面AB 1D 1，BC 1⊄平面AB 1D 1， ∴BC 1∥平面AB 1D 1. ∴当A 1D 1D 1C 1＝1时，BC 1∥平面AB 1D 1. (2)由平面BC 1D ∥平面AB 1D 1， 且平面A 1BC 1∩平面BC 1D ＝BC 1， 平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O ， 得BC 1∥D 1O ，同理AD 1∥DC 1，∴A 1D 1D 1C 1＝A 1O OB ，A 1D 1D 1C 1＝DC AD， 又∵A 1O OB ＝1，∴DC AD ＝1，即AD DC ＝1.。

第4讲直线、平面平行的判定及其性质一、选择题1．若直线m⊂平面α，则条件甲：“直线l∥α”是条件乙：“l∥m”的( )．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案 D2．若直线a∥直线b，且a∥平面α，则b与α的位置关系是( )A．一定平行 B．不平行C．平行或相交 D．平行或在平面内解析直线在平面内的情况不能遗漏，所以正确选项为D.答案 D3．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是 ( )．A．l∥αB．l⊥αC．l与α相交但不垂直D．l∥α或l⊂α解析l∥α时，直线l上任意点到α的距离都相等；l⊂α时，直线l上所有的点到α的距离都是0；l⊥α时，直线l上有两个点到α距离相等；l与α斜交时，也只能有两个点到α距离相等．答案 D4．设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是 ( )．A．m∥β且l1∥αB．m∥l1且n∥l2C．m∥β且n∥βD．m∥β且n∥l2解析对于选项A，不合题意；对于选项B，由于l1与l2是相交直线，而且由l1∥m可得l1∥α，同理可得l2∥α故可得α∥β，充分性成立，而由α∥β不一定能得到l1∥m，它们也可以异面，故必要性不成立，故选B；对于选项C，由于m，n不一定相交，故是必要非充分条件；对于选项D，由n∥l2可转化为n∥β，同选项C，故不符合题意，综上选B.答案 B5．已知α1，α2，α3是三个相互平行的平面，平面α1，α2之间的距离为d1，平面α2，α3之间的距离为d2.直线l与α1，α2，α3分别相交于P1，P2，P3.那么“P1P2＝P2P3”是d2”的( )．“dA．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析如图所示，由于α2∥α3，同时被第三个平面P1P3N所截，故有P2M∥P3N.再根据平行线截线段成比例易知选C.答案 C6．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( )．A．①③B．②③C．①④D．②④解析对于图形①：平面MNP与AB所在的对角面平行，即可得到AB∥平面MNP，对于图形④：AB∥PN，即可得到AB∥平面MNP，图形②、③都不可以，故选C.答案 C二、填空题7．过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．解析过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，记AC，BC，A1C1，B1C1的中点分别为E，F，E1，F1，则直线EF，E1F1，EE1，FF1，E1F，EF1均与平面ABB1A1平行，故符合题意的直线共6条．答案 68．α、β、γ是三个平面，a、b是两条直线，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确的题号填上)．解析①中，a∥γ，a⊂β，b⊂β，β∩γ＝b⇒a∥b(线面平行的性质)．③中，b∥β，b⊂γ，a⊂γ，β∩γ＝a⇒a∥b(线面平行的性质)．答案①③9．若m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中真命题的序号是________．①若m 、n 都平行于平面α，则m 、n 一定不是相交直线；②若m 、n 都垂直于平面α，则m 、n 一定是平行直线；③已知α、β互相平行，m 、n 互相平行，若m ∥α，则n ∥β；④若m 、n 在平面α内的射影互相平行，则m 、n 互相平行．解析 ①为假命题，②为真命题，在③中，n 可以平行于β，也可以在β内，故是假命题，在④中，m 、n 也可能异面，故为假命题．答案 ②10．对于平面α与平面β，有下列条件：①α、β都垂直于平面γ；②α、β都平行于平面γ；③α内不共线的三点到β的距离相等；④l ，m 为两条平行直线，且l ∥α，m ∥β；⑤l ，m 是异面直线，且l ∥α，m ∥α；l ∥β，m ∥β，则可判定平面α与平面β平行的条件是________(填正确结论的序号)．解析 由面面平行的判定定理及性质定理知，只有②⑤能判定α∥β.答案 ②⑤三、解答题11． 如图，在四面体A －BCD 中，F 、E 、H 分别是棱AB 、BD 、AC 的中点，G 为DE 的中点．证明：直线HG ∥平面CEF .证明 法一 如图，连接BH ，BH 与CF 交于K ，连接EK .∵F 、H 分别是AB 、AC 的中点，∴K 是△ABC 的重心，∴BK BH ＝23. 又据题设条件知，BE BG ＝23， ∴BK BH ＝BE BG，∴EK ∥GH .∵EK ⊂平面CEF ，GH ⊄平面CEF ，∴直线HG ∥平面CEF .法二 如图，取CD 的中点N ，连接GN 、HN .∵G 为DE 的中点，∴GN ∥CE .∵CE ⊂平面CEF ，GN ⊄平面CEF ，∴GN ∥平面CEF .连接FH ，EN∵F 、E 、H 分别是棱AB 、BD 、AC 的中点，∴FH 綉12BC ，EN 綉12BC ，∴FH 綉EN ，∴四边形FHNE 为平行四边形，∴HN ∥EF .∵EF ⊂平面CEF ，HN ⊄平面CEF ，∴HN ∥平面CEF .HN ∩GN ＝N ，∴平面GHN ∥平面CEF .∵GH ⊂平面GHN ，∴直线HG ∥平面CEF .12． 如图，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体，点E在AA 1上，点F 在CC 1上，G 在BB 1上，且AE ＝FC 1＝B 1G ＝1，H 是B 1C 1的中点．(1)求证：E ，B ，F ，D 1四点共面；(2)求证：平面A 1GH ∥平面BED 1F .证明 (1)∵AE ＝B 1G ＝1，∴BG ＝A 1E ＝2，∴BG 綉A 1E ，∴A 1G 綉BE .又同理，C 1F 綉B 1G ，∴四边形C 1FGB 1是平行四边形，∴FG 綉C 1B 1綉D 1A 1，∴四边形A 1GFD 1是平行四边形．∴A 1G 綉D 1F ，∴D 1F 綉EB ，故E 、B 、F 、D 1四点共面．(2)∵H 是B 1C 1的中点，∴B 1H ＝32.又B 1G ＝1，∴B 1G B 1H ＝23.又FC BC ＝23，且∠FCB ＝∠GB 1H ＝90°，∴△B 1HG ∽△CBF ，∴∠B 1GH ＝∠CFB ＝∠FBG ，∴HG ∥FB .又由(1)知A 1G ∥BE ，且HG ∩A 1G ＝G ，FB ∩BE ＝B ，∴平面A 1GH ∥平面BED 1F .13．一个多面体的直观图及三视图如图所示：(其中M 、N 分别是AF 、BC 的中点)．(1)求证：MN ∥平面CDEF ；(2)求多面体A －CDEF 的体积．解 由三视图可知：AB ＝BC ＝BF ＝2，DE ＝CF ＝22，∠CBF ＝π2.(1)证明：取BF 的中点G ，连接MG 、NG ，由M 、N 分别为AF 、BC 的中点可得，NG ∥CF ，MG ∥EF ，∴平面MNG ∥平面CDEF ，又MN ⊂平面MNG ，∴MN ∥平面CDEF .(2)取DE 的中点H .∵AD ＝AE ，∴AH ⊥DE ，在直三棱柱ADE －BCF 中，平面ADE ⊥平面CDEF ，平面ADE ∩平面CDEF ＝DE .∴AH ⊥平面CDEF .∴多面体A －CDEF 是以AH 为高，以矩形CDEF 为底面的棱锥，在△ADE 中，AH ＝ 2.S 矩形CDEF ＝DE ·EF ＝42，∴棱锥A －CDEF 的体积为V ＝13·S 矩形CDEF ·AH ＝13×42×2＝83. 14．如图所示，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，AE ＝EB＝BC ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .(1)求证：AE ⊥BE ；(2)设M 在线段AB 上，且满足AM ＝2MB ，试在线段CE 上确定一点N ，使得MN ∥平面DAE .(1)证明 ∵AD ⊥平面ABE ，AD ∥BC ，∴BC ⊥平面ABE ，又AE ⊂平面ABE ，则AE ⊥BC .又∵BF ⊥平面ACE ，AE ⊂平面ABE ，∴AE ⊥BF ，又BC ∩BF ＝B ，∴AE ⊥平面BCE ，又BE ⊂平面BCE ，∴AE ⊥BE .(2)解 在△ABE 中过M 点作MG ∥AE 交BE 于G 点，在△BEC 中过G 点作GN ∥BC 交EC 于N 点，连接MN ，则由比例关系易得CN ＝13CE .∵MG ∥AE ，MG ⊄平面ADE ，AE ⊂平面ADE ，∴MG ∥平面ADE .同理，GN ∥平面ADE .又∵GN ∩MG ＝G ，∴平面MGN ∥平面ADE .又MN ⊂平面MGN ，∴MN ∥平面ADE .∴N 点为线段CE 上靠近C 点的一个三等分点.。

第40课直线、平面平行的判定及其性质[最新考纲]1．直线与平面平行的判定与性质(1)a⊥α，b⊥α⇒a∥b.(2)a⊥α，a⊥β⇒α∥β.1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．( )(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．( )(3)若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．( )(4)若两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面平行．( )[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)下列命题中，正确的是____________．①若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面；②若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行；③若直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，那么a∥b；④若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α.④[根据线面平行的判定与性质定理知，④正确．]3．(2015·北京高考改编)设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β”是“α∥β”的____________条件．必要不充分[当m∥β时，过m的平面α与β可能平行也可能相交，因而m∥βD⇒/α∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m⊂α，所以m∥β.综上知，“m ∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．]4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系是________．平行[如图所示，连结BD交AC于F，连结EF，则EF是△BDD1的中位线，∴EF∥BD1，又EF⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，∴BD1∥平面ACE.]5．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，则m∥β；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中是真命题的是________．(填序号)②[①，m∥n或m，n异面，故①错误；易知②正确；③，m∥β或m⊂β，故③错误；④，α∥β或α与β相交，故④错误．]____________．(填序号)①若α，β垂直于同一平面，则α与β平行；②若m，n平行于同一平面，则m与n平行；③若α，β不平行．．．与β平行的直线；．．．，则在α内不存在④若m，n不平行．．．垂直于同一平面．．．．，则m与n不可能④[可以结合图形逐项判断．①中，α，β可能相交，故错误；②中，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；③中，若m⊂α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；④中，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n，所以原命题正确，故④正确．][规律方法] 1.判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理．2．(1)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．(2)特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情形，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确．[变式训练1] 若m，n表示不同的直线，α，β表示不同的平面，则下列结论中正确的是____________．①若m∥α，m∥n，则n∥α；②若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β；③若α⊥β，m∥α，n∥β，则m∥n；④若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则n∥β.④[在①中，若m∥α，m∥n，则n∥α或n⊂α，故①错误．在②中，若m⊂α，n ⊂β，m∥β，n∥α，则α与β相交或平行，故②错误．在③中，若α⊥β，m∥α，n ∥β，则m与n相交、平行或异面，故③错误．在④中，若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则由线面平行的判定定理得n∥β，故④正确．](2017·南通模拟)如图40­1所示，斜三棱柱ABC­A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的中点．图40­1(1)证明：AD1∥平面BDC1.(2)证明：BD∥平面AB1D1. 【导学号：62172219】证明：(1)∵D1，D分别为A1C1与AC的中点，四边形ACC1A1为平行四边形，∴C1D1綊DA，∴四边形ADC1D1为平行四边形，∴AD1∥C1D，又AD1⊄平面BDC1，C1D⊂平面BDC1，∴AD1∥平面BDC1.(2)连结D1D，∵BB1∥平面ACC1A1，BB1⊂平面BB1D1D，平面ACC1A1∩平面BB1D1D＝D1D，∴BB1∥D1D，又D1，D分别为A1C1与AC的中点，∴BB1＝DD1，故四边形BDD1B1为平行四边形，∴BD∥B1D1，又BD⊄平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，∴BD∥平面AB1D1.[规律方法] 1.判断或证明线面平行的常用方法有：(1)利用反证法(线面平行的定义)；(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．2．利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线．常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．[变式训练2] 在多面体ABCDEF 中，点O 是矩形ABCD 的对角线的交点，三角形CDE 是等边三角形，棱EF ∥BC 且EF ＝12BC .求证：FO ∥平面CDE .图40­2[证明] 取CD 中点M ，连结OM ，EM ，在矩形ABCD 中，OM ∥BC 且OM ＝12BC ，又EF ∥BC 且EF ＝12BC ，则EF ∥OM 且EF ＝OM .所以四边形EFOM 为平行四边形，所以FO ∥EM . 又因为FO ⊄平面CDE ，且EM ⊂平面CDE ， 所以FO ∥平面CDE .(如图40­3所示，在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点，求证：图40­3(1)B ，C ，H ，G 四点共面； (2)平面EFA 1∥平面BCHG .[证明] (1)∵G ，H 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点， ∴GH 是△A 1B 1C 1的中位线，GH ∥B 1C 1. 又∵B 1C 1∥BC ， ∴GH ∥BC ，∴B ，C ，H ，G 四点共面．(2)在△ABC 中，E ，F 分别为AB ，AC 的中点， ∴EF ∥BC .∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，则A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.[迁移探究] 在本例条件下，若点D为BC1的中点，求证：HD∥平面A1B1BA.[证明] 如图所示，连结HD，A1B，∵D为BC1的中点，H为A1C1的中点，∴HD∥A1B.又HD⊄平面A1B1BA，A1B⊂平面A1B1BA，∴HD∥平面A1B1BA.[规律方法] 1.判定面面平行的主要方法：(1)面面平行的判定定理．(2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行)．2．面面平行的性质定理的作用：(1)判定线面平行；(2)判断线线平行，线线、线面、面面平行的相互转化是解决与平行有关的问题的指导思想．解题时要看清题目的具体条件，选择正确的转化方向．易错警示：利用面面平行的判定定理证明两平面平行时，需要说明是一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行．[变式训练3] 如图40­4，四棱锥P­ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为PB的中点．图40­4(1)求证：CE∥平面PAD.(2)在线段AB上是否存在一点F，使得平面PAD∥平面CEF？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由. 【导学号：62172220】[解] (1)如图所示，取PA的中点H，连结EH，DH，因为E为PB的中点，所以EH ∥AB ，EH ＝12AB ，又AB ∥CD ，CD ＝12AB ，所以EH ∥CD ，EH ＝CD ，因此四边形DCEH 是平行四边形， 所以CE ∥DH ，又DH ⊂平面PAD ，CE ⊄平面PAD ， 因此CE ∥平面PAD .(2)如图所示，取AB 的中点F ，连结CF ，EF ， 所以AF ＝12AB .又CD ＝12AB ，所以AF ＝CD ，又AF ∥CD ，所以四边形AFCD 为平行四边形， 因此CF ∥AD .又CF ⊄平面PAD ，所以CF ∥平面PAD ， 由(1)可知CE ∥平面PAD ，又CE ∩CF ＝C ，故平面CEF ∥平面PAD ， 故存在AB 的中点F 满足要求．1．线线、线面、面面平行的相互转化其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化．2．直线与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质．3．平面与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)a⊥α，a⊥β⇒α∥β.[易错与防范]1．在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则会出现错误．2．(1)在面面平行的判定中易忽视“面内两条相交直线”这一条件．(2)如要一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交．3．在应用性质定理时，要遵从由“高维”到“低维”，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”，另外要注意符号语言的规范应用．课时分层训练(四十)A组基础达标(建议用时：30分钟)一、填空题1．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是________．b∥α，若b⊂α或b与α相交[当b与α相交或b⊂α或b∥α时，均有满足a∥平面α，a⊥b的情形．]2．已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题：①若l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，则α∥β；②若l⊂α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m；③若α∥β，l∥α，则l∥β；④若l⊥α，m∥l，α∥β，则m⊥β.其中真命题是____________．(写出所有真命题的序号)②④[对于①中，只要当l与m相交时，才可证明α∥β；对于③中，l可能在平面β内，②④正确．]3．设α，β，γ为三个不同的平面，a，b为直线，给出下列条件：①a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；②α∥γ，β∥γ；③α⊥γ，β⊥γ；④a⊥α，b ⊥β，a∥b.其中能推出α∥β的条件是________．(填上所有正确的序号)【导学号：62172221】②④[在条件①或条件③中，α∥β或α与β相交．由α∥γ，β∥γ⇒α∥β，条件②满足．在④中，a⊥α，a∥b⇒b⊥α，从而α∥β，④满足．]4．已知平面α外不共线的三点A，B，C到α的距离都相等，则正确的结论是____________(填序号)．①平面ABC必平行于α；②平面ABC必与α相交；③平面ABC必不垂直于α；④存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内．④ [若A ，B ，C 三点在α同侧，则平面ABC ∥α.若A ，B ，C 三点在α异侧，不妨设B ，C 在α的同侧，则BC ∥α，由平行线的性质可知存在一条中位线DE ∥BC ，且DE ⊂α.]5．如图40­5所示的三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，过A 1B 1的平面与平面ABC 交于DE ，则DE 与AB 的位置关系是________．图40­5平行 [在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1. ∵AB ⊂平面ABC ，A 1B 1⊄平面ABC ， ∴A 1B 1∥平面ABC .∵过A 1B 1的平面与平面ABC 交于DE ， ∴DE ∥A 1B 1，∴DE ∥AB .]6.在四面体A －BCD 中，M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是____________．平面ABD 与平面ABC [如图，取CD 的中点E . 则EM ∶MA ＝1∶2，EN ∶BN ＝1∶2，所以MN ∥AB ，所以MN ∥平面ABD ，MN ∥平面ABC .]7．平面α∥平面β，点A ，C ∈α，B ，D ∈β，则直线AC ∥直线BD 的充要条件是____________．①AB ∥CD ； ②AD ∥CB ；③AB 与CD 相交；④A ，B ，C ，D 四点共面．④ [由面面平行的性质可知，AC ∥BD 的充要条件是A ，B ，C ，D 四点共面．] 8.如图40­6所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M ，N 分别是下底面的棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝____________. 【导学号：62172222】图40­6223α [∵面ABCD ∥面A 1B 1C 1D 1，则PQ ∥MN ， 连结AC (图略)，由MN ∥AC 可知PQ ∥AC .又AP ＝a 3，∴PD ＝23a ，∴PD ∶DA ＝2∶3. ∴PQ ＝23AC .又AC ＝2a ， 故PQ ＝223a .]9．下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是____________．图40­7①④ [对于图形①，平面MNP 与AB 所在的对角面平行，即可得到AB ∥平面MNP ；对于图形④，AB ∥PN ，即可得到AB ∥平面MNP ；图形②③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行．]10．如图40­8，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是棱CC 1，C 1D 1，D 1D ，CD 的中点，N 是BC 的中点，动点M 在四边形EFGH 上及其内部运动，则M 满足条件____________时，有MN ∥平面B 1BDD 1.图40­8M ∈FH [∵HN ∥BD ，FH ∥DD 1，∴平面FHN∥平面BB1D1D.∵M在四边形EFGH上及其内部运动，故M∈FH.]二、解答题11．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图40­9所示．(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论.【导学号：62172223】图40­9[解](1)点F，G，H的位置如图所示．(2)平面BEG∥平面ACH，证明如下：因为ABCD­EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG.又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是四边形BCHE为平行四边形，所以BE∥CH.又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.12.如图40­10，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.图40­10求证：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.[证明](1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC.又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.(2)因为棱柱ABC­A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1.因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.B组能力提升(建议用时：15分钟)1.如图40­11所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．图40­112 [在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，∴AC＝2 2.又E为AD中点，EF∥平面AB1C，EF⊂平面ADC，平面ADC∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC，∴F为DC中点，∴EF ＝12AC ＝ 2.]2．如图40­12所示，棱柱ABC ­A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1是菱形，设D 是A 1C 1上的点且A 1B ∥平面B 1CD ，则A 1D ∶DC 1的值为________．图40­121 [设BC 1∩B 1C ＝O ，连结OD .∵A 1B ∥平面B 1CD 且平面A 1BC 1∩平面B 1CD ＝OD ， ∴A 1B ∥OD .∵四边形BCC 1B 1是菱形， ∴O 为BC 1的中点， ∴D 为A 1C 1的中点， 则A 1D ∶DC 1＝1.]3．如图40­13，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，S 是B 1D 1的中点，E ，F ，G 分别是BC ，DC ，SC 的中点，求证：图40­13(1)直线EG ∥平面BDD 1B 1； (2)平面EFG ∥平面BDD 1B 1.[证明] (1)如图，连结SB ，因为E ，G 分别是BC ，SC 的中点，所以EG ∥SB .又因为SB ⊂平面BDD 1B 1，EG ⊄平面BDD 1B 1，所以直线EG ∥平面BDD 1B 1.(2)连结SD ，因为F ，G 分别是DC ，SC 的中点，所以FG ∥SD . 又因为SD ⊂平面BDD 1B 1，FG ⊄平面BDD 1B 1，所以FG∥平面BDD1B1，且EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，所以平面EFG∥平面BDD1B1.4．如图40­14所示，在三棱锥P­ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，AB⊥BC，设D，E分别为PA，AC的中点．图40­14(1)求证：DE∥平面PBC.(2)在线段AB上是否存在点F，使得过三点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC 平行？若存在，指出点F的位置并证明；若不存在，请说明理由．[解](1)证明：∵点E是AC中点，点D是PA的中点，∴DE∥PC.又∵DE⊄平面PBC，PC⊂平面PBC，∴DE∥平面PBC.(2)当点F是线段AB中点时，过点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行．证明如下：取AB的中点F，连结EF，DF.由(1)可知DE∥平面PBC.∵点E是AC中点，点F是AB的中点，∴EF∥BC.又∵EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴EF∥平面PBC.又∵DE∩EF＝E，∴平面DEF∥平面PBC，∴平面DEF内的任一条直线都与平面PBC平行．故当点F是线段AB中点时，过点D，E，F所在平面内的任一条直线都与平面PBC平行．。

１．直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行（简记为线线平行⇒线面平行）错误!⇒a∥α性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行（简记为“线面平行⇒线线平行”）错误!⇒l∥b２．平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行错误!⇒α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行错误!⇒a∥b[小题体验]１a与β内的所有直线平行；２a与β内无数条直线平行；３a与β内的任意一条直线都不垂直．其中真命题的序号是________．答案：２２．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系是________．解析：因为AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，所以CD∥平面α，所以CD与平面α内的直线可能平行，也可能异面．答案：平行或异面３．如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出下列五个结论：１PD∥平面AMC；２OM∥平面PCD；３OM∥平面PDA；４OM∥平面PBA；５OM∥平面PBC.其中正确的个数有________．解析：因为矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，所以O为BD的中点．在△PBD中，M是PB 的中点，所以OM是△PBD的中位线，OM∥PD，则PD∥平面AMC，OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA.因为M∈PB，所以OM与平面PBA、平面PBC相交，故正确的个数为３．答案：３１．直线与平面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条件．２．面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件．３．如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交．[小题纠偏]１．在长方体的各面中，和其中一条棱平行的平面有______个．解析：借助长方体的直观图易知，在长方体的六个面中，和其中一条棱平行的平面有２个．答案：２２．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β”是“α∥β”的________条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）．解析：当m∥β时，过m的平面α与β可能平行也可能相交，因而m∥β⇒/ α∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m⊂α，所以m∥β.综上知，“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．答案：必要不充分考点一直线与平面平行的判定与性质错误![锁定考向]平行关系是空间几何中的一种重要关系，包括线线平行、线面平行、面面平行，其中线面平行是高考热点，多出现在解答题中．常见的命题角度有：（１）证明直线与平面平行；（２）线面平行性质定理的应用．[题点全练]角度一：证明直线与平面平行１．如图，在正方体ABCD­A１B１C１D１中，点M，N，P分别为棱AB，BC，C１D１的中点．求证：AP∥平面C１MN.证明：在正方体ABCD­A１B１C１D１中，因为点M，P分别为棱AB，C１D１的中点，所以AM＝PC１.又AM∥CD，PC１∥CD，故AM∥PC１，所以四边形AMC１P为平行四边形，所以AP∥C１M.又AP⊄平面C１MN，C１M⊂平面C１MN，所以AP∥平面C１MN.角度二：线面平行性质定理的应用２．如图，四棱锥P­ABCD的底面是正方形，四条侧棱均相等．点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，BC∥平面GEFH .求证：GH∥EF.证明：因为BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC，同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.[通法在握]证明直线与平面平行的３种方法定义法一般用反证法判定定理法关键是在平面内找（或作）一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言叙述证明过程性质判定法即两平面平行时，其中一个平面内的任何直线都平行于另一个平面[演练冲关]如图，在三棱柱ABC­A１B１C１中，CC１＝４，M是棱CC１上的一点．若点N是AB的中点，且CN ∥平面AB１M，求CM的长．解：法一：如图，取AB１的中点P，连结NP，PM.又因为点N是AB的中点，所以NP∥BB１.因为CM∥BB１，所以NP∥CM，所以NP与CM共面．因为CN∥平面AB１M，平面CNPM∩平面AB１M＝PM，所以CN∥PM.所以四边形CNPM为平行四边形，所以CM＝NP＝错误!CC１＝２．法二：如图，取BB１的中点Q，连结N Q，C Q.因为点N是AB的中点，所以N Q∥AB１.因为N Q⊄平面AB１M，AB１⊂平面AB１M，所以N Q∥平面AB１M.因为CN∥平面AB１M，N Q∩CN＝N，N Q⊂平面N Q C，CN⊂平面N Q C，所以平面N Q C∥平面AB１M.又因为平面BCC１B１∩平面N Q C＝C Q，平面BCC１B１∩平面AB１M＝MB１，所以C Q∥MB１.因为BB１∥CC１，所以四边形C Q B１M是平行四边形，所以CM＝B１Q＝错误!CC１＝２．考点二平面与平面平行的判定与性质错误![典例引领]如图，在三棱柱ABC­A１B１C１中，E，F，G，H分别是AB，AC，A１B１，A１C１的中点，求证：（１）B，C，H，G四点共面；（２）平面EFA１∥平面BCHG.证明：（１）因为GH是△A１B１C１的中位线，所以GH∥B１C１.又因为B１C１∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四点共面．（２）因为E，F分别为AB，AC的中点，所以EF∥BC，因为EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.因为A１G綊EB，所以四边形A１EBG是平行四边形，所以A１E∥GB.因为A１E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，所以A１E∥平面BCHG.因为A１E∩EF＝E，所以平面EFA１∥平面BCHG.[由题悟法]判定平面与平面平行的４种方法（１）面面平行的定义，即证两个平面没有公共点；（２）面面平行的判定定理；（３）利用垂直于同一条直线的两个平面平行；（４）利用平面平行的传递性，两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．[即时应用]１．如图，平面α内有△ABC，AB＝５，BC＝8，AC＝7，梯形BCDE的底DE＝２，过EB的中点B的平面β∥α，若β分别交EA，DC于点A１，C１，求△A１B１C１的面积．１解：因为α∥β，所以A１B１∥AB，B１C１∥BC，又因为∠A１B１C１与∠ABC同向．所以∠A１B１C１＝∠ABC.又因为cos∠ABC＝错误!＝错误!，所以∠ABC＝∠A１B１C１＝60°.又因为B１为EB的中点，所以B １A １是△EAB 的中位线， 所以B １A １＝错误!AB ＝错误!， 同理知B １C １为梯形BCDE 的中位线， 所以B １C １＝错误!（BC ＋DE ）＝５． 则S111A B C ＝错误!A １B １×B １C １×sin 60°＝错误!×错误!×５×错误!＝错误!. 故△A １B １C １的面积为错误!.２．如图，四边形ABCD 与四边形ADEF 为平行四边形，M ，N ，G 分别是AB ，AD ，EF 的中点，求证：（１）BE ∥平面DMF ； （２）平面BDE ∥平面MNG .证明：（１）如图，连结AE ，设DF 与GN 的交点为O ， 则AE 必过DF 与GN 的交点O ， 连结MO ，则MO 为△ABE 的中位线，所以BE ∥MO ，又BE ⊄平面DMF ，MO ⊂平面DMF ， 所以BE ∥平面DMF .（２）因为N ，G 分别为平行四边形ADEF 的边AD ，EF 的中点，所以DE ∥GN ，又DE ⊄平面MNG ，GN ⊂平面MNG ，所以DE ∥平面MNG . 又M 为AB 中点，所以MN 为△ABD 的中位线， 所以BD ∥MN ，又BD ⊄平面MNG ，MN ⊂平面MNG ，所以BD∥平面MNG，又DE⊂平面BDE，BD⊂平面BDE，DE∩BD＝D，所以平面BDE∥平面MNG.错误!错误![典例引领]如图所示，在三棱柱ABC­A１B１C１中，D是棱CC１的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB１C１？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．解：法一：假设在棱AB上存在点E，使得DE∥平面AB１C１，如图，取BB１的中点F，连结DF，EF，ED，则DF∥B１C１，又DF⊄平面AB１C１，B１C１⊂平面AB１C１，所以DF∥平面AB１C１，又DE∥平面AB１C１，DE∩DF＝D，所以平面DEF∥平面AB１C１，因为EF⊂平面DEF，所以EF∥平面AB１C１，又因为EF⊂平面ABB１，平面ABB１∩平面AB１C１＝AB１，所以EF∥AB１，因为点F是BB１的中点，所以点E是AB的中点．即当点E是AB的中点时，DE∥平面AB１C１.法二：存在点E，且E为AB的中点时，DE∥平面AB１C１.证明如下：如图，取BB１的中点F，连结DF，则DF∥B１C１.因为DF⊄平面AB１C１，B１C１⊂平面AB１C１，所以DF∥平面AB１C１.因为AB的中点为E，连结EF，ED，则EF∥AB１.因为EF⊄平面AB１C１，AB１⊂平面AB１C１，所以EF∥平面AB１C１.因为DF∩EF＝F，所以平面DEF∥平面AB１C１.而DE⊂平面DEF，所以DE∥平面AB１C１.[由题悟法]探索性问题的一般解题方法先假设其存在，然后把这个假设作为已知条件，和题目的其他已知条件一起进行推理论证和计算．在推理论证和计算无误的前提下，如果得到了一个合理的结论，则说明存在；如果得到了一个不合理的结论，则说明不存在．[即时应用]１．在正四棱柱ABCD­A１B１C１D１中，O为底面ABCD的中心，点P为DD１的中点，设Q是CC上的点，则点Q满足条件________时，有平面D１B Q∥平面PAO.１解析：点Q为CC １的中点时，平面D１B Q∥平面PAO.因为点P为DD１的中点，所以Q B∥PA.又Q B⊄平面PAO，PA⊂平面PAO，所以Q B∥平面PAO.连结DB，因为点P，O分别是DD１，DB的中点，所以D１B∥PO.又D１B⊄平面PAO，OP⊂平面PAO，所以D１B∥平面PAO.又D１B∩Q B＝B，D１B⊂平面D１B Q, Q B⊂平面D１B Q，所以平面D１B Q∥平面PAO.故点Q满足条件Q为CC１的中点时，有平面D１B Q∥平面PAO.答案：Q为CC１的中点２．如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC＝４，E，F分别在BC，AD上，EF ∥AB.现将四边形ABCD沿EF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC.若BE＝１，在折叠后的线段AD上是否存在一点P，且错误!＝λ错误!，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由．解：AD上存在一点P，使得CP∥平面ABEF，此时λ＝错误!.理由如下：当λ＝错误!时，错误!＝错误!错误!，可知错误!＝错误!，如图，过点P作MP∥FD交AF于点M，连结EM，PC，则有错误!＝错误!＝错误!，又BE＝１，可得FD＝５，故MP＝３，又EC＝３，MP∥FD∥EC，故有MP綊EC，故四边形MPCE为平行四边形，所以CP∥ME，又ME⊂平面ABEF，CP⊄平面ABEF，故有CP∥平面ABEF.一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．（２0１9·汇龙中学测试）已知直线a与直线b平行，直线a与平面α平行，则直线b与α的位置关系为________．解析：依题意，直线a必与平面α内的某直线平行，又a∥b，因此直线b与平面α的位置关系是平行或直线b在平面α内．答案：平行或直线b在平面α内２．（２0１8·南京模拟）在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝１∶２，则对角线AC和平面DEF的位置关系是________．解析：如图，由错误!＝错误!得AC∥EF.又因为EF⊂平面DEF，AC⊄平面DEF，所以AC∥平面DEF.答案：AC∥平面DEF３．（２0１8·天星湖中学测试）在正方体ABCD­A１B１C１D１中，下列四对截面中彼此平行的是________（填序号）．１平面A１BC１和平面ACD１；２平面BDC１和平面B１D１A；３平面B１D１D和平面BDA１；４平面ADC１和平面A１D１C.解析：如图，结合正方体的性质及面面平行的判定可知平面A１BC１∥平面ACD１，平面BDC１∥平面B１D１A.答案：１２４．如图，α∥β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD，AB，若PC＝２，CA＝３，CD＝１，则AB＝________.解析：因为α∥β，所以CD∥AB，则错误!＝错误!，所以AB＝错误!＝错误!＝错误!.答案：错误!５．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MN Q平行的是________．（填序号）解析：因为点M，N，Q分别为所在棱的中点，所以在１中AB与平面MN Q相交，在２３中均有AB∥M Q，在４中，有AB∥N Q，所以在２３４中均有AB与平面MN Q平行．答案：２３４二保高考，全练题型做到高考达标１．（２0１8·滨海期末）已知m，n是不重合的直线，α，β，γ是不重合的平面，已知α∩β＝m，n ⊂γ，若增加一个条件就能得出m∥n，则下列条件中能成为增加条件的序号是________．１m∥γ，n∥β；２α∥γ，n⊂β；３n∥β，m⊂γ.解析：对于１，若β∥γ，由m⊂β，满足m∥γ，由n⊂γ，满足n∥β，但m，n可为异面直线，则不成立；对于２，由α∥γ，且α∩β＝m，β∩γ＝n，由面面平行的性质定理可得m∥n，则成立；对于３，n∥β，m⊂γ，则γ∩β＝m，由线面平行的性质定理可得n∥m，则成立．答案：２或３２．（２0１9·连云港调研）一条直线与两个平行平面中的一个成３0°角，且被两平面所截得的线段长为２，那么这两个平行平面间的距离是________．解析：由题意知，两个平行平面间的距离d＝２sin ３0°＝１．答案：１３．（２0１8·前黄高级中学检测）已知正方体ABCD­A１B１C１D１，下列结论中，正确的是________（填序号）．１AD１∥BC１；２平面AB１D１∥平面BDC１；３AD １∥DC１；４AD１∥平面BDC１.解析：如图，因为AB∥C１D１，AB＝C１D１，所以四边形AD１C１B为平行四边形，故AD１∥BC１，从而１正确；易证AB１∥DC１，BD∥B１D１，又AB１∩B１D１＝B１，BD∩DC＝D，故平面AB１D１∥平面BDC１，从而２正确；由图易知AD１与DC１异面，故３错误；因为AD１∥１BC１，AD１⊄平面BDC１，BC１⊂平面BDC１，所以AD１∥平面BDC１，故４正确．答案：１２４１没有水的部分始终呈棱柱形；２水面EFGH所在四边形的面积为定值；３棱A１D１始终与水面所在平面平行；４当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值．其中正确命题的个数是________．解析：由题图，显然１是正确的，２是错误的；对于３，因为A１D１∥BC，BC∥FG，所以A１D１∥FG且A１D１⊄平面EFGH，所以A１D１∥平面EFGH（水面）．所以３是正确的；对于４，因为水是定量的（定体积V），所以S△BEF·BC＝V，即错误!BE·BF·BC＝V.所以BE·BF＝错误!（定值），即４是正确的．答案：３５．在三棱锥P­ABC中，PB＝6，AC＝３，G为△PAC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB和AC，则截面的周长为________．解析：如图，过点G作EF∥AC，分别交PA，PC于点E，F，过点E作EN∥PB交AB于点N，过点F作FM∥PB交BC于点M，连接MN，则四边形EFMN是平行四边形（平面EFMN为所求截面），且EF＝MN＝错误!AC＝２，FM＝EN＝错误!PB＝２，所以截面的周长为２×４＝8．答案：86．设α，β，γ是三个平面，a，b是两条不同直线，有下列三个条件：１a∥γ，b⊂β；２a∥γ，b∥β；３b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________（把所有正确的序号填上）．解析：由面面平行的性质定理可知，１正确；当b∥β，a⊂γ时，a和b在同一平面内，且没有公共点，所以平行，３正确．故应填入的条件为１或３.答案：１或３7．（２0１8·盐城期末）已知棱长为２的正方体ABCD­A１B１C１D１，E为棱AD的中点，现有一只蚂蚁从点B１出发，在正方体ABCD­A１B１C１D１表面上行走一周后再回到点B１，这只蚂蚁在行走过程中与平面A１EB的距离保持不变，则这只蚂蚁行走的轨迹所围成的图形的面积为________．解析：要满足题意，则需在正方体ABCD­A１B１C１D１上过B１作与平面A１EB平行的平面．取A１D１和BC的中点分别为F，G，连结B１F，FD，DG，GB１，则A１F綊ED，所以四边形A１FDE 是平行四边形，所以A１E∥FD.因为FD⊄平面A１EB，A１E⊂平面A１EB，所以FD∥平面A１EB.同理：DG∥平面A１EB.又FD∩DG＝D，所以平面DFB１G∥平面A１EB，则四边形DFB１G所围成图形的面积即为所求．易知四边形DFB１G为菱形，由正方体的棱长为２，得菱形DFB１G的边长为错误!，cos∠A１EB＝错误!，∴sin∠A１EB＝错误!，∵∠A１EB＝∠FDG，∴S菱形DFB１G＝错误!×错误!×sin∠FDG＝２错误!.答案：２错误!8．（２0１9·海安中学检测）如图，在棱长为１的正方体ABCD­A１B１C１D１中，点E，F分别是棱BC，CC１的中点，P是侧面BCC１B１内一点，若A１P∥平面AEF，则线段A１P长度的取值范围是________．解析：取B１C１的中点M，BB１的中点N，连结A１M，A１N，MN，可以证明平面A１MN∥平面AEF，所以点P位于线段MN上，因为A１M＝A１N＝错误!＝错误!，MN＝错误!＝错误!，所以当点P位于M，N处时，A１P的长度最长，取MN的中点O，连结A１O，当P位于MN的中点O时，A１P的长度最短，此时A１O＝错误!＝错误!，所以A１O≤A１P≤A１M，即错误!≤A１P≤错误!，所以线段A１P长度的取值范围是错误!.答案：错误!9．如图，在四棱锥P­ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝错误!AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点．求证：（１）AP∥平面BEF；（２）GH∥平面PAD.证明：（１）连结EC，因为AD∥BC，BC＝错误!AD，所以BC綊AE，所以四边形ABCE是平行四边形，所以O为AC的中点．又因为F是PC的中点，所以FO∥AP，因为FO⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，所以AP∥平面BEF.（２）连结FH，OH，因为F，H分别是PC，CD的中点，所以FH∥PD，因为PD⊂平面PAD，FH⊄平面PAD，所以FH∥平面PAD.又因为O是AC的中点，H是CD的中点，所以OH∥AD，因为AD⊂平面PAD，OH⊄平面PAD，所以OH∥平面PAD.又FH∩OH＝H，所以平面OHF∥平面PAD.因为GH⊂平面OHF，所以GH∥平面PAD.１0．如图所示，在正方体ABCD­A１B１C１D１中，E，F，G，H分别是BC，CC，C１D１，A１A的中点．求证：１（１）BF∥HD１；（２）EG∥平面BB１D１D；（３）平面BDF∥平面B１D１H.证明：（１）如图所示，取BB１的中点M，连结MH，MC１，易证四边形HMC１D１是平行四边形，所以HD１∥MC１.又因为MC１∥BF，所以BF∥HD１.（２）取BD的中点O，连结EO，D１O，则OE綊错误!DC，又D１G綊错误!DC，所以OE綊D１G，所以四边形OEGD１是平行四边形，所以GE∥D１O.又GE⊄平面BB１D１D，D１O⊂平面BB１D１D，所以EG∥平面BB１D１D.（３）由（１）知BF∥HD１，又BD∥B１D１，B１D１，HD１⊂平面B１D１H，BF，BD⊂平面BDF，且B１D１∩HD１＝D１，DB∩BF ＝B，所以平面BDF∥平面B１D１H.三上台阶，自主选做志在冲刺名校１．（２0１8·扬州期中）若半径为５的球被两个相互平行的平面截得的圆的半径分别为３和４，则这两个平面之间的距离为________．解析：∵半径为５的球被两个相互平行的平面截得的圆的半径分别为３和４，∴圆心到两个平面的距离分别为：错误!＝４，错误!＝３，∴当两个平面位于球心同侧时，两平面间的距离为４—３＝１，当两个平面位于球心异侧时，两平面间的距离为４＋３＝7．答案：１或7２．如图所示，设正方体ABCD­A１B１C１D１的棱长为a，点P是棱AD上一点，且AP＝错误!，过B１，D１，P的平面交平面ABCD于P Q，Q在直线CD上，则P Q＝________.解析：因为平面A１B１C１D１∥平面ABCD，而平面B１D１P∩平面ABCD＝P Q，平面B１D１P∩平面A１B１C１D１＝B１D１，所以B１D１∥P Q.又因为B１D１∥BD，所以BD∥P Q，设P Q∩AB＝M，因为AB∥CD，所以△APM∽△DP Q.所以错误!＝错误!＝２，即P Q＝２PM.又知△APM∽△ADB，所以错误!＝错误!＝错误!，所以PM＝错误!BD，又BD＝错误!a，所以P Q＝错误!a.答案：错误!a３．（２0１9·南通调研）如图，已知三棱柱ABC­A１B１C１，E，F分别为CC１，BB１上的点，且EC ＝B１F，过点B做截面BMN，使得截面交线段AC于点M，交线段CC１于点N.（１）若EC＝３BF，试确定M，N的位置，使平面BMN∥平面AEF，并说明理由；（２）若K，R分别为AA１，C１B１的中点，求证：KR∥平面AEF.解：（１）当错误!＝错误!＝错误!时，平面BMN∥平面AEF.理由如下：∵EN＝错误!EC，BF＝错误!EC，∴EN綊BF，∴四边形BFEN是平行四边形，∴BN∥EF.∵错误!＝错误!，∴MN∥AE，∵MN⊂平面BMN，BN⊂平面BMN，且MN∩BN＝N，AE⊂平面AEF，EF⊂平面AEF，且AE∩EF ＝E，∴当错误!＝错误!＝错误!时，平面BMN∥平面AEF.（２）证明：连结BC１，交FE于点Q，连结Q R.∵△B Q F≌△C１Q E，∴B Q＝C１Q，∴Q R∥BB１，且Q R＝错误!BB１，∴Q R綊AK.∴四边形AKR Q为平行四边形．连结A Q，则A Q∥KR，∵A Q⊂平面AEF，KR⊄平面AEF，∴KR∥平面AEF.。