第四章 抽样与抽样分布

泊松分布
任意两个相等长度区间发生一次的概率相等； 任意区间发生或不发生与其它区间发生与否独立。 如果1小时内，电话铃平均响2.1次，那
么1小时内电话铃响5次的概率是多大？
P(5)=0.042，意味着100个小时中只有4.2 小时会出现电话铃声响5次的情况
超几何分布
•设N个产品，其中有M个不合格品。若从中随 机不放回抽取n个产品，则其中的不合格品的个 数的概率：
可能结果的组合——事件
事件：若干样本点的集合。 A={ 1,2,3 } ， 骰子点数小于4 B={ 1,3,5 }，出现奇数点 C={ 2,4 6 }，出现偶数点 任一样本点出现，就说事件出现。
事件的概率等于事件中所有样本点 概率之和。 P(A)=1/6+1/6+1/6＝1/2＝0.5
事件的概率计算
统计学 statistics
4 抽样与抽样分布
教学内容
• • • • 4.1 事件及其概率 4.2 随机变量的概率分布 4.3 抽样概述 4.4 抽样分布
教学目的
• 了解抽样分布的基本知识，掌握样本均值 和比例的抽样分布
•基本方法
E ( X ) np Var( X ) np(1 p)
在大样本下，若 和n(1 p)均大于5，样本比例 np p 近似服从正态分布： P(1 P) p ~ N ( P, ) n
4.2.3 样本方差的抽样分布
若总体X服从正态分布，则： (n 1) s
2

2
~ (n 1)
•P(A1|B)=0.4262 •P(A2|B)=0.5738
后验概率
4.2 随机变量的概率分布
• 4.2.1 离散概率分布 • 4.2.1 连续概率分布
4.2 随机变量的概率分布
离散随 机变量
连续随 机变量
正面 反面
随机变量X 概 率P
1 0.5
0 0.5
• 概率分布：随机变量的取值及其相应的概率。 • 新生儿: X 1(女孩) 0(男孩) P 0.49 0.51 随机变量为X=1，0 P(X=1)=0.49 P(X=0)=0.51 • 复杂事件：一个家庭中三个女孩一个男孩的概 率？
抽样极限误差ˆ
ˆ p( ˆ ) 1
4.4 抽样分布
• 一个样本可以构造多个统计量，如样本均值、
方差、成数等。 • 抽取的样本单位不同，其统计量的取值不同， 而抽到的样本单位又具有不确定性，所以统计 量是随机变量。
• 样本统计量的概率分布即为抽样分布。
4.4 抽样分布
定理4.3 设总体X～N（， 2 ），x1 , x 2 , , x n 是一随机 样本，样本均值为 ，样本方差为 2，则统计量 x s t x
/ n
~ t ( n 1)
4.4.2 样本比例的抽样分布
• 当从总体中抽取一个容量为n的样本时，样本中 具有某种特征的单位数x服从二项分布，即有 x~B(n,p)，且有
P(H|A2)=0.95
P(B|A2)=0.05
合格产品％ 不合格产品％ 供应商1 98 2 供应商2 95 5
•P(A1|B)=? •P(A2|B)=?
后验概率
P( A1 B) P( A1 ) P( B | A1 ) P( A1 | B) P( B) P( A1 B) P( A2 B) P( A1 ) P( B | A1 ) P( A1 ) P( B | A1 ) P( A2 ) P( B | A2 )
4.3 抽样概述
• 抽样和样本：从总体中按一定抽样技术抽取若干个个 体，这一过程称为抽样；所抽取的部分个体称样本。
• 样本量：样本所包含的总体单位数，用n表示。
• 概率抽样：按随机原则抽取样本，有以下几种：
简单随机抽样、分层抽样、整群抽样、等距抽样
• 非概率抽样：不按随机原则抽取样本。
• 抽样框：实际进行抽样的总体范围和抽样单位。
我们将了解一些常见的离散随机变量和 连续随机变量的概率分布。
4.2.1 离散概率分布 二项分布
相同的条件下重复n次； 每次有两种可能的结果；其中一种称为成功，另 一次称为失败； 一种结果出现的概率为P，则另一种结果出现的 概率就为1－P; 试验相互独立。 马丁服装问题 期望：np 方差：np(1-p) 4个孩子：女孩期望＝1.96， 方差＝0.9996 标准差＝0.9998
• 4.4.1 样本均值抽样分布
• 4.4.2 样本比例抽样分布
• 4.4.3 样本方差抽样分布
• 4.4.4 不重复抽样修正系数
简单随机样本应满足的两个条件：
(1) x1 , x2 ,, xn 相互独立； (2) x1 , x2 ,, xn与总体X同分布。
重置抽样 抽样 不重置抽样
4.4.1 样本均值抽样分布
定理4.1 设总体X～N（， 2），x1 , x2 ,, xn 是一随机 样本，则样本均值 ~ N ( , x
2
n
)的正态分布。
定理4.2 若总体和 2 有限，当样本容量充分 大时， 无论总体服从什么分布 ，则样本均值 ~ N ( , x 正态分布。
2
n
)的
• 当总体方差未知时，用样本方差代替总体方差， 则有以下定理：
4 0.493 (1 0.49) 43 3
n x p (1 p)n x x
4个孩子家庭中女孩个数的概率分布
女孩个数 0 1 2 3 4 合计 概 率 0.07 0.26 0.37 0.24 0.06 1
预先制定各种概率问题的解决方案，可 省去很多的麻烦。
31! 31! 7! (31 7)! 7!24! 31 30 29 28 27 26 25 2,629,575 7 6 5 4 3 2 1
•如果你购买一张彩票，那么，你中奖的 可能性为2629575分之一。
怎样得到可能结果的概率？
• 古典概率 假定各个结果出现的可能性均等。 掷一个骰子，共有6种可能的结果，即1/6。 买彩票，1/2629575； • 试验概率 某公司为了估计顾客购买新产品的概率，通过 电话调查潜在的客户，有两种可能的结果：购买 或不购买。 假设销售人员联系了400个客户，有100人购买 该产品，300人未购买产品，则购买的概率 100/400＝0.25，不购买的概率300/400＝0.75
抽样误差
• 抽样误差是指调查所得结果与总体真实值之间的 差异。
登记性误差 误差来源 系统性误差 代表性误差随机误差
实际抽样误差
• 实际抽样误差是指某一具体样本的样本估计值与 总体参数的真实值之间的离差。
抽样平均误差
ˆ ( ) ˆ )2 ( 可能样本个数
n1 n2 nk
反面
加法
由甲城去乙城旅游有三类交通工具：汽车、 火车、飞机，汽车有3个班次，火车有2个班 次，飞机有2个班次，则从甲城到乙城共有 3+2+2＝7种选择。 排列、组合计数
N ( N 1)( N 2)( N n 1) N
n
N N! n n!( N n)!
解题思路：
•4孩子有1个男孩：4种可能的结果 三个女孩一个男孩 概 率 GGGB 0.49*0.49*0.49*0.51=0.06 GGBG 0.49*0.49*0.51*0.49=0.06 GBGG 0.49*0.51*0.49*0.49=0.06 BGGG 0.51*0.49*0.49*0.49=0.06 和＝0.24
贝叶斯定理
•假设某制造厂从两个不同的供应商处购买零件。令A1 表示“零件来自供应商1”，A2表示“零件来自供应商 2”。现在，该工厂有65％的零件来自供应商1，其余35 ％的零件来自供应商2。 P(A1)=0.65 P(A2)=0.35 先验概率 P(H|A1)=0.98 P(B|A1)=0.02
概率
概率是0～1之间的一个数，它告诉了我 们随机现象某种结果出现可能性的大小。 例如：某种天气状况下，可能会下雨， 也可能不下雨。 预报降水概率为0时，不会下雨；概率为 1时，必然会下雨。预报概率为70％，下雨 的可能性为70％。 概率的理解：十有八九会下雨
可能结果有多少？乘法
•掷三枚硬币共有多少种可能的结果？ •2Χ2Χ2＝8
• 某大型公司人事部作了一项调查研究，发现在两 年内离职的公司雇员中有30％的人是因为对工资 不满意，有20％的人是因为对工作不满意，12％ 的人指出他们对工作和工资都不满意。雇员因为 工资或工作原因离职的概率等于多少？ • 30％+20％-12％＝38％＝0.38 • P(A)+P(B)-P(AB)=P(AUB) • 发现事件A或B发生的概率
M N M x n x , x 0,1,2, , r p( X x ) N n
4.2.2 连续性概率分布
• • • • • • 正态分布 对称性 概率分布密度函数 概率计算 标准正态分布及数值特点 分位数
4.1 事件及其概率
确定性现象：一定条件下结果确定 随机现象：在一定条件下结果不确定 对于随机现象我们往往会关心 1. 可能的结果——样本空间
抛一枚硬币：正面、反面 对某一零件进行检验：合格、不合格 掷一枚骰子：1，2，3，4，5，6 足球比赛：获胜，失利，平局
随机现象所有可能的结果——样本空间 随机现象每一个可能的结果为一个样本点 S= { 正面, 反面 } S={ 合格, 不合格 } S={ 1，2，3，4，5，6 } S={ 获胜，失利，平局 }
正态分布曲线
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
曲线下的面积为概率
t分布
啤酒酿造工程师收集数据进行研究后发现， 有一种与正态分布非常相似但不相同的分布 ，称其为t分布，以“学生”的假名发表， 因而也称学生分布。 • Χ2分布 • F分布 • 数据服从正态分布下，三种分布才有意义。