高三基础知识天天练 数学11-1人教版

第11模块 第6节[知能演练]一、选择题1．如右图，向圆内投镖，如果每次都投入圆内，那么投中正方形区域的概率为( )A.2π B.1π C.23D.13解析：投中正方形区域的概率为正方形的面积与圆的面积之比，设正方形的边长为1，则其面积为1，圆的半径为22，面积为π(22)2＝π2，故投中正方形区域的概率为1π2＝2π，故选A.答案：A2．在500 mL 的水中有一个细菌，现从中随机取出2 mL 水样放到显微镜下观察，则发现这个细菌的概率是( )A ．0.004B ．0.002C ．0.04D ．0.02解析：由于取水样的随机性，所求事件A “在取出的2 mL 水样中有细菌”的概率等于水样的体积与总体积之比，即P ＝2500＝0.004.故选A.答案：A3．已知Ω＝{(x ，y )|x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤6}，A ＝{(x ，y )|x ≤4，y ≥0，x －2y ≥0}，若向区域Ω内随机投一点P ，则点P 落在区域A 内的概率为( )A.13B.23C.19D.29解析：由于点P 落在区域Ω内的位置的随机性，所求事件A 的概率等于区域A 的面积与区域Ω的面积之比，即P ＝12×4×212×6×6＝29.故选D.答案：D4．如下图所示，ABCD 是正方形，E 、F 、G 、H 分别是AD 、BC 、AB 、CD 的中点，三只麻雀分别落在这三个正方形木板上休息，它们落在所在木板的任何地方是等可能的，麻雀落在甲、乙、丙三块木板中阴影部分的概率分别是P 1、P 2、P 3，则()A ．P 1<P 2＝P 3B ．P 1<P 2<P 3C ．P 1＝P 2＝P 3D ．P 1>P 2＝P 3解析：因为每一个图形中阴影部分的面积均是正方形面积的一半，所以麻雀落在甲、乙、丙三块木板中阴影部分的概率都是12.故选C.答案：C 二、填空题5．一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是________、________、________.(1)红灯；(2)黄灯；(3)不是红灯．解析：在75秒内，每一时刻到达路口是等可能的，属于几何概型． (1)P ＝亮红灯的时间全部时间＝3030＋40＋5＝25；(2)P ＝亮黄灯的时间全部时间＝575＝115；(3)P ＝不是亮红灯的时间全部时间＝亮黄灯或绿灯的时间全部时间＝4575＝35.故填25、115、35.答案：25 115 356．已知函数f (x )＝－x 2＋ax －b .若a 、b 都是从区间[0,4]内任取的一个数，则f (1)>0成立的概率是________．解析：f (1)＝－1＋a －b >0，即a －b >1，如右图，A (1,0)，B (4,0)，C (4,3)，S ΔABC ＝92，P ＝S ΔABC S 矩＝924×4＝932.故填932.答案：932三、解答题7．在1万平方千米的大陆架海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油，假设在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是多少？解：石油在1万平方千米的大陆架海域中的分布可以看作是随机的，而40平方千米可看作构成事件的区域面积，由几何概型的概率公式可以求得概率．记“钻到油层面”为事件A ，则P (A )＝储藏石油的大陆架面积大陆架海域的面积＝4010000＝0.004.答：钻到油层面的概率是0.004.8．已知集合A ＝{x |－1≤x ≤0}，集合B ＝{x |ax ＋b ·2x －1<0,0≤a ≤2,1≤b ≤3}． (1)若a ，b ∈N ，求A ∩B ≠Ø的概率； (2)若a ，b ∈R ，求A ∩B ＝Ø的概率．解：(1)因为a ，b ∈N ，(a ，b )可取(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)共9组．令函数f (x )＝ax ＋b ·2x －1，x ∈[－1,0]，则f ′(x )＝a ＋b ln2·2x . 因为a ∈[0,2]，b ∈[1,3]，所以f ′(x )>0， 即f (x )在[－1,0]上是单调递增函数．f (x )在[－1,0]上的最小值为－a ＋b 2－1.要使A ∩B ≠Ø，只需－a ＋b2－1<0，即2a －b ＋2>0.所以(a ，b )只能取(0,1)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，共7组． 所以A ∩B ≠Ø的概率为79.(2)因为a ∈[0,2]，b ∈[1,3]，所以(a ，b )对应的区域为边长为2的正方形(如右图)，面积为4.由(1)可知，要使A ∩B ＝Ø，只需f (x )min ＝－a ＋b2－1≥0⇒2a －b ＋2≤0，所以满足A ∩B ＝Ø的(a ，b )对应的区域是图中的阴影部分，所以S 阴影＝12×1×12＝14，所以A ∩B ＝Ø的概率为P ＝144＝116.[高考·模拟·预测]1．在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内任取一点P ，则点P 到点A的距离小于等于a 的概率为( )A.22B.22π C.16D.16π 解析：P ＝18×43πa 3a 3＝π6. 答案：D2．平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3 cm ，把一枚半径为1 cm 的硬币任意投掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是( )A.14 B.13 C.12D.23解析：如下图所示，当硬币中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相碰，故所求概率为13.答案：133．已知如右图所示的矩形，长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1000粒黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为600粒，则可以估计出阴影部分的面积约为________．解析：设所求的面积为S ，由题意得6001000＝S5×12，∴S ＝36.答案：364．点A 为周长等于3的圆周上的一个定点．若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧的长度小于1的概率为________．解析：如右图所示，可设＝1，＝1，根据题意只要点B在优弧上，劣弧的长度就小于1，由于点B 在圆周上的任意性，故这个概率是优弧的长度与圆的周长之比，即这个概率是23.故填23. 答案：235．设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.(Ⅰ)若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．(Ⅱ) 若a 是从区间[0,3]任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．解：设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b .(Ⅰ)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为P (A )＝912＝34.(Ⅱ)试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}，构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }，所以所求的概率为P (A )＝3×2－12×223×2＝23.[备选精题]6．一条直线型街道的A ，B 两盏路灯之间的距离为120 m ，由于光线较暗，想在中间再随意安装两盏路灯C ，D ，路灯次序依次为A ，C ，D ，B ，求A 与C ，B 与D 之间的距离都不小于40 m 的概率．解：设AC 长为x ，DB 长为y ，则CD 长为120－(x ＋y )且满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1200≤y ≤120120－(x ＋y )≥0设AC ，BD 之间都不小于40的事件为M ， 则⎩⎪⎨⎪⎧40≤x ≤12040≤y ≤120x ＋y ≤120满足条件的点P (x ，y )构成如右图所示的阴影区域，∴P (M )＝S △阴影S △OEF ＝19.。

⾼三基础知识天天练2-11.数学数学doc⼈教版第2模块第11节[知能演练]⼀、选择题1．设f ′(x )是函数f (x )的导数，y ＝f ′(x )的图象如右图所⽰，则y ＝f (x )的图象最有可能是( )解析：由y ＝f ′(x )的图象可知，当x <0时，f ′(x )>0，∴f (x )在(－∞，0)上单调递增；当0答案：C2．函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0,2π)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．在(0，π)上增，在(π，2π)上减D ．在(0，π)上减，在(π，2π)上增解析：f ′(x )＝1－cos x >0，∴f (x )在(0,2π)上递增．故选A. 答案：A 3．若a >3，则⽅程x 3－ax 2＋1＝0在(0,2)上恰有( )A ．0个根B ．1个根C ．2个根D ．3个根解析：令f (x )＝x 3－ax 2＋1，则f ′(x )＝3x 2－2ax ＝3x (x －23a )．由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝23a (∵a >3，∴23a >2)．∴当04．设a ∈R ，若函数y ＝e ax ＋3x ，x ∈R 有⼤于零的极值点，则( )A ．a >－3B ．a <－3C ．a >－13D ．a <－13解析：y ′＝a ·e ax ＋3＝0，当a ＝0时，显然不合题意，∴a ≠0. ∴e ax ＝－3a .∴x ＝1a ln(－3a )．由题意，得1a ln(－3a )>0，∴a <0，0<－3a <1.∴a <－3. 故应选B. 答案：B ⼆、填空题5．已知函数f (x )＝x 3－12x ＋8在区间[－3,3]上的最⼤值与最⼩值分别为M ，m ，则M －m ＝________.解析：f ′(x )＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2)，令f ′(x )＝0，得x ＝±2.∵f (－3)＝17，f (3)＝－1，f (－2)＝24，f (2)＝－8，∴M －m ＝f (－2)－f (2)＝32. 答案：32 6．若函数f (x )＝4x x 2＋1在区间(m,2m ＋1)上是单调递增函数，则实数m 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝4(x 2＋1)－8x 2(x 2＋1)2＝4(1－x 2)(x 2＋1)2，令f ′(x )>0，∴－1m ≥－1，2m ＋1≤1，2m ＋1>m ，∴－1答案：(－1,0] 三、解答题7．设函数f (x )＝ln(2x ＋3)＋x 2. (1)讨论f (x )的单调性；(2)求f (x )在区间[－34，14]上的最⼤值和最⼩值．解：(1)函数f (x )的定义域为(－32，＋∞)，f ′(x )＝22x ＋3＋2x ＝2(2x ＋1)(x ＋1)2x ＋3，令f ′(x )>0，∴x >－12或－32令f ′(x )<0，∴－12.∴f (x )在区间(－32，－1)和(－12，＋∞)上为增函数，在区间(－1，－12)上为减函数．(2)当x 在区间[－34，14]上变化时，f ′(x )与f (x )变化情况如下表：f (－34)＝916＋ln 32，f (－12)＝14＋ln2，f (14)＝116＋ln 72，由表知函数f (x )在x ＝－12处取最⼩值14＋ln2.f (－34)－f (14)＝12＋ln 37＝12(1－ln 499)<0.故函数f (x )在x ＝14处取最⼤值116＋ln 72.8．已知f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R )，(1)求函数f (x )的单调区间； (2)求证：当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.(1)解：f ′(x )＝x －a x ＝x 2－ax(x >0)，若a ≤0时，f ′(x )≥0恒成⽴，∴函数f (x )的单调增区间为(0，＋∞)．若a >0时，令f ′(x )>0，得x >a ，∴函数f (x )的单调增区间为(a ，＋∞)，减区间为(0，a )． (2)证明：设F (x )＝23x 3－(12x 2＋ln x )，x .∴F ′(x )＝(x －1)(2x 2＋x ＋1)x .∵x >1，∴F ′(x )>0.∴F (x )在(1，＋∞)上为增函数．⼜F (x )在[1，＋∞)上连续，F (1)＝16>0，∴F (x )>16在(1，＋∞)上恒成⽴．∴F (x )>0.∴当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.[⾼考·模拟·预测]1．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞)解析：函数f (x )＝(x －3)e x 的导数为f ′(x )＝[(x －3)e x ]′＝1·e x ＋(x －3)·e x ＝(x －2)·e x ，由函数导数与函数单调性关系得：当f ′(x )>0时，函数f (x )单调递增，此时由不等式f ′(x )＝(x －2)·e x >0解得：x >2.答案：D2．若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有极⼩值，则实数b 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(－∞，1)C ．(0，＋∞)D ．(0，12)解析：∵f ′(x )＝3x 2－6b ，由题意，函数f ′(x )图象如右图．∴ f ′(0)<0，f ′(1)>0，即－6b <0，3－6b >0，得0答案：D3．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________．解析：由f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6得，f ′(x )＝3x 2－30x －33，令f ′(x )<0，即3(x －11)(x ＋1)<0，求得－1x ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________.解析：由于f ′(x )＝(x 2＋a )′·(x ＋1)－(x 2＋a )·(x ＋1)′(x ＋1)2＝2x ·(x ＋1)－(x 2＋a )·1(x ＋1)2＝x 2＋2x －a (x ＋1)2，⽽函数f (x )在x ＝1处取极值，则f ′(1)＝12＋2×1－a (1＋1)2＝0，解得a ＝3，故填3.答案：35．已知函数f (x )＝(x 2＋ax －2a 2＋3a )e x (x ∈R )，其中a ∈R . (Ⅰ)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率；(Ⅱ)当a ≠23时，求函数f (x )的单调区间与极值．解：(Ⅰ)当a ＝0时，f (x )＝x 2e x ，f ′(x )＝(x 2＋2x )e x ，故f ′(1)＝3e.所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为3e.(Ⅱ)f ′(x )＝[x 2＋(a ＋2)x －2a 2＋4a ]e x . 令f ′(x )＝0，解得x ＝－2a 或x ＝a －2. 由a ≠23知，－2a ≠a －2.以下分两种情况讨论．(1)若a >23，则－2a内是增函数，在函数f (x )在x ＝－2a 处取得极⼤值f (－2a )，且f (－2a )＝3a e －2a.函数f (x )在x ＝a －2处取得极⼩值f (a －2)，且f (a －2)＝(4－3a )e a －2.(2)若a <23，则－2a >a －2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：函数f (x )在x ＝a －2处取得极⼤值f (a －2)，且f (a －2)＝(4－3a )e a －2.函数f (x )在x ＝－2a 处取得极⼩值f (－2a )，且f (－2a )＝3a e－2a.[备选精题]6．若存在实常数k 和b ，使得函数f (x )和g (x )对其定义域上的任意实数x 分别满⾜：f (x )≥kx ＋b 和g (x )≤kx ＋b ，则称直线l ：y ＝kx ＋b 为函数f (x )和g (x )的“隔离直线”．已知h (x )＝x 2，φ(x )＝2eln x (其中e 为⾃然对数的底数)．(1)求F (x )＝h (x )－φ(x )的极值；(2)函数h (x )和φ(x )是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线的⽅程；若不存在，请说明理由．解：(1)∵F (x )＝h (x )－φ(x )＝x 2－2eln x (x >0)，∴F ′(x )＝2x －2e x ＝2(x －e)(x ＋e)x .当x ＝e 时，F ′(x )＝0.∵当0e 时，F ′(x )>0，此时函数F (x )递增，∴当x ＝e 时，F (x )取极⼩值，其极⼩值为0.(2)由(1)可知函数h (x )和φ(x )的图象在x ＝e 处有公共点，因此若存在h (x )和φ(x )的隔离直线，则该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k ，则直线⽅程为y －e ＝k (x －e)，即y ＝kx ＋e －k e.由h (x )≥kx ＋e －k e(x ∈R )，可得x 2－kx －e ＋k e ≥0，当x ∈R 时恒成⽴．∴Δ＝(k －2e)2，∴由Δ≤0，得k ＝2 e.下⾯证明φ(x )≤2e x －e ，当x >0时恒成⽴．令G (x )＝φ(x )－2e x ＋e ＝2eln x －2e x ＋e ，则G ′(x )＝2ex －2e ＝2e(e －x )x ，当x ＝e 时，G ′(x )＝0. ∵当00，此时函数G (x )递增；当x >e 时，G ′(x )<0，此时函数G (x )递减，∴当x ＝e 时，G (x )取极⼤值，其极⼤值为0. 从⽽G (x )＝2eln x －2e x ＋e ≤0，即φ(x )≤2e x －e(x >0)恒成⽴，∴函数h (x )和φ(x )存在唯⼀的隔离直线y ＝2e x －e.。

单元质量检测(11)一、选择题1．不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁不能排在一起，则不同的排法共有( )A ．12种B ．20种C ．24种D ．48种解析：甲、乙捆绑后与第5种商品排列有A 22种，产生的三个空排丙、丁，有A 23种，再排甲、乙有A 22种，共有A 22A 23A 22＝24种．答案：C2．直角坐标xOy 平面上，平行直线x ＝n (n ＝0,1,2，…，5)与平行直线y ＝n (n ＝0,1,2，…，5)组成的图形中，矩形共有( )A ．25个B ．36个C ．100个D ．225个解析：从构成矩形的四条边入手，可以从6条竖着的直线中任取两条，共有C 26种选法；再从6条横着的直线中任取两条直线，共有C 26种选法，所以可构成矩形C 26·C 26＝225(个)． 答案：D3．(1＋3x )6⎝⎛⎭⎪⎫1＋14x 10的展开式中的常数项为( )A ．1B ．46C ．4245D ．4246 解析：(1＋3x )6的通项公式为C r 6x r3，⎝⎛⎭⎪⎫1＋14x 10的通项公式为C k10x －k 4，由r 3＋(－k 4)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝0k ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝3k ＝4，⎩⎪⎨⎪⎧r ＝6k ＝8共三项，所以常数项为C 06C 010＋C 36C 410＋C 66C 810＝4246. 答案：D4．在一底面半径和高都是2 cm 的圆柱形容器中盛满小麦种子，但有一粒带麦锈病的种子混入了其中．现从中随机取出2 cm 3的种子，则取出带麦锈病的种子的概率是( )A.14B.18πC.14πD ．1－14π解析：可用体积作为几何度量，易知取出带有麦锈病的种子的概率为P ＝2π ·22·2＝14π.答案：C5．在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率是( )A.14B.12 C.34D.23解析：如右图，在AB 边取点P ′，使AP ′AB ＝34，则P 只能在AP ′内运动，则概率为AP ′AB ＝34.答案：C6．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{a n }：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1 第n 次摸取红球1 第n 次摸取白球，如果S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 7＝3的概率为( )A ．C 57(13)2(23)5B ．C 27(23)2(13)5C ．C 57(13)2(13)5D ．C 37(13)2(23)5 解析：由题意得，在7次摸球中，摸得红球的次数恰为2次，则有S 7＝3. 又因为每次摸球，摸得红球的概率为23，设X 为摸得红球的次数，则X ～B (7，23)，在7次摸球中，恰有2次摸得红球的概率 P (X ＝2)＝C 27(23)2(13)5. 答案：B7．集合A ＝{(x ，y )|y ≥|x －1|，x ∈N *}，集合B ＝{(x ，y )|y ≤－x ＋5，x ∈N *}． 先后掷两颗骰子，设掷第一颗骰子得点数记作a ，掷第二颗骰子得点数记作b ，则(a ，b )∈A ∩B 的概率等于( )A.14B.29C.736 D.536解析：由于y ≥|x －1|⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0x ＋y －1≥0，根据二元一次不等式表示平面的区域，可知A ∩B对应如下图所示的阴影部分的区域中的整数点．其中整数点有(0,1)，(0,2)，(0,3)，(0,4)，(0,5)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，共14个．现先后抛掷2颗骰子，所得点数分别有6种，共会出现36种结果，其中落入阴影区域内的有8种，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)．所以满足(a ，b )∈A ∩B 的概率为836＝29，故选B.答案：B8．设随机变量的概率分布为：则X ( )A.12B ．0C ．2D ．随p 的变化而变化 解析：EX ＝0×p 3＋1×p 3＋2×(1－2p3)＝2－p ，又∵p 3≥0,1－23p ≥0，∴0≤p ≤32，∴当p ＝32时，EX 的值最小，最小值为2－32＝12.答案：A9．利用计算机在区间(0,1)上产生两个随机数a 和b ，则方程x ＝－2a －bx 有实根的概率为( )A.12B.13C.16D.23解析：方程x ＝－2a －bx ，即x 2＋2ax ＋b ＝0，若方程有实根，则有Δ＝4a 2－4b ≥0即b ≤a 2，其所求概率可转化为几何概型，如右图，其概率等于阴影面积与正方形面积之比，S 阴影＝⎠⎛01a 2d a ＝13a 3| 10＝13，所以所求概率P ＝13.答案：B10．在区间[0,1]上任意两个实数a ，b ，则函数f (x )＝12x 3＋ax －b 在区间[－1,1]上有且仅有一个零点的概率为( )A.18B.14C.34D.78解析：f ′(x )＝32x 2＋a ，故f (x )在x ∈[－1,1]上单调递增，又因为函数f (x )＝12x 3＋ax －b在[－1,1]上有且仅有一个零点，即有f (－1)·f (1)<0成立，即(12＋a －b )(－12－a －b )<0，则(12＋a －b )(12＋a ＋b )>0，可化为：⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤a ≤10≤b ≤112＋a －b >012＋a ＋b >0或⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤10≤b ≤112＋a －b <012＋a ＋b <0，由线性规划知识在直角坐标系aOb 中画出这两个不等式组所表示的可行域，再由几何概型可以知道，函数f (x )＝12x 3＋ax －b 在[－1,1]上有且仅有一个零点的概率为：可行域的面积除以直线a ＝0，a ＝1，b ＝0，b ＝1围成的正方形的面积，计算可得面积之比为78.答案：D11．若k 为实数，且k ∈[－2,2]，则k 的值使得过点A (1,1)的两条直线与圆x 2＋y 2＋kx －2y －54k ＝0相切的概率为( )A.14B.12C.34D ．不确定解析：由题意知点A (1,1)在圆x 2＋y 2＋kx －2y －54k ＝0，即(x ＋k 2)2＋(y －1)2＝k 24＋1＋54k的外部，所以⎩⎨⎧k 24＋1＋54k >012＋12＋k －2－54k >0，即⎩⎪⎨⎪⎧k >－1或k <－4k <0.又k ∈[－2,2]，所以－1<k <0.故由几何概型概率公式得所求概率为P ＝14.答案：A12．已知0≤a <2,0≤b ＜4，为估计在a >1的条件下，函数f (x )＝x 2＋2ax ＋b 有两相异零点的概率为P ，用计算机产生了[0,1)内的两组随机数a 1，b 1各2400个，并组成了2400个有序数对(a 1，b 1)，统计这2400个有序数对后得到2×2列联表的部分数据如下表：( )A.1348B.1124C.1324D.712解析：本题先对产生的随机数对(a 1，b 1)进行a ＝2a 1，b ＝4b 1的变换后可转化为满足题中条件的数对(a ，b )，而当4a 2－4b >0时，原函数f (x )有两个相异零点．所以先将表格补全，知当a >1即a 1>12时，满足a 21－b 1>0时，有两个相异零点，于是P ＝6501200＝1324. 答案：C 二、填空题13．已知(1＋kx 2)6(k 是正整数)的展开式中x 8的系数小于120，则k ＝________.解析：(1＋kx 2)6按二项式定理展开的通项为T r ＋1＝C r 6(kx 2)r ＝C r 6k r ·x 2r. 令2r ＝8，得r ＝4，∴x 8的系数为C 46·k 4，即15k 4<120，∴k 4<8.而k 是正整数，故k 只能取1. 答案：114．某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有________种．(有数字作答)解析：由题意可知有一个工厂安排2个班，另外三个工厂每厂安排1个班，共有C 14·C 25·A 33＝240种安排方法．答案：24015．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)(σ>0)．若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(2，＋∞)上取值的概率为________．解析：由正态分布的特征易得 P (ξ>2)＝12[1－2P (0<ξ<1)]＝12(1－0.8)＝0.1. 答案：0.116．罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设ξ为取得红球的次数，则ξ的期望Eξ＝________.解析：因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为35，连续摸4次(做4次试验)，ξ为取得红球(成功)的次数，则ξ～B (4，35)，从而有Eξ＝np ＝4×35＝125.答案：125三、解答题17．在一个盒中装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品，求 (1)从中任取1支，得到一等品或二等品的概率； (2)从中任取2支，没有三等品的概率．解：(1)从6支笔中任取1支得一等品或二等品共有3＋2＝5种， 不同的取法，任取一支笔共有6种取法， ∴任取1支，得到一等品或二等品的概率为56.(2)从中任取2支，有三等品的取法，有5种，而任取2支共有C 26＝15种取法． ∴任取2支，有三等品的概率为515＝13，∴任取2支，没有三等品的概率为1－13＝23.18．为了调查某野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查员某天逮住这种动物600只做好标记后放回，经过一星期后，又逮到这种动物500只，其中做过标记的有50只，根据上述数据，估算保护区内有多少只动物？解：设保护区内这种野生动物有x 只，每只动物被逮到的可能性是相同的，那么第一次逮到的600只占所有这种动物的概率为600x ，第二次逮到的500只中，有50只是第一次逮到的，即事件发生的频数为50，说明第一次逮到的在总的动物中的频率为110，由概率的定义知600x ＝110，解得x ＝6000，即按此方法计算，估计保护区内有6000只这种野生动物．19．一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球． (1)从中摸出两个球，求两球颜色不同的概率；(2)从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，求两球恰好颜色不同的概率．解：(1)记“摸出两个球，两球恰好颜色不同”为A ，摸出两个球共有方法C 25＝10种，其中，两球一白一黑有C 12·C 13＝6种．∴P (A )＝C 12C 13C 25＝35.(2)解法一：记“摸出一球，放回后再摸出一个球两球恰好颜色不同”为B ，摸出一球得白球的概率为25＝0.4，摸出一球得黑球的概率为35＝0.6，“有放回摸两次，颜色不同”指“先白再黑”或“先黑后白”，∴P (B )＝2×3＋3×25×5＝0.4×0.6＋0.6×0.4＝0.48.解法二：有放回地摸两次，互相独立，摸一次得白球的概率为25，∴“有放回摸两次，颜色不同”的概率为 P (B )＝C 12·25·(1－25)＝0.48. 20．已知关于x 的二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1.(1)设集合P ＝{－1,1,2,3,4,5}和Q ＝{－2，－1,1,2,3,4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；(2)设点(a ，b )是区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －8≤0x >0y >0内的随机点，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．解：(1)∵函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图象的对称轴为x ＝2ba ，要使函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a >0且2ba≤1，即2b ≤a .若a ＝1，则b ＝－2，－1； 若a ＝2，则b ＝－2，－1,1； 若a ＝3，则b ＝－2，－1,1；若a ＝4，则b ＝－2，－1,1,2； 若a ＝5，则b ＝－2，－1,1,2； ∴所求事件包含基本事件的个数是 2＋3＋3＋4＋4＝16. ∴所求事件的概率为1636＝49.(2)由(1)知当且仅当2b ≤a 且a >0时，函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为⎩⎪⎨⎪⎧(a ，b )|⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ＋b －8≤0a >0b >0，构成所求事件的区域为如右图阴影部分． 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －8＝0b ＝a 2得交点坐标为(163，83)，∴所求事件的概率为 P ＝12×8×8312×8×8＝13.21．某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响．已知某学生选修甲而不选修乙和丙的概率为0.08，选修甲和乙而不选修丙的概率是0.12，至少选修一门课的概率是0.88，用ξ表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．(1)记“函数f (x )＝x 2＋ξ·x 在R 上的偶函数”为事件A ，求事件A 的概率； (2)求ξ的分布列和数学期望．解：设该学生选修甲、乙、丙的概率分别为x 、y 、z . 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x (1－y )(1－z )＝0.08xy (1－z )＝0.12.1－(1－x )(1－y )(1－z )＝0.88，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0.4y ＝0.6z ＝0.5.(1)若函数f (x )＝x 2＋ξ·x 为R 上的偶函数，则ξ＝0. 当ξ＝0时，表示该学生选修三门功课或三门功课都没选． ∴P (A )＝P (ξ＝0)＝xyz ＋(1－x )(1－y )(1－z ) ＝0.4×0.5×0.6＋(1－0.4)(1－0.5)(1－0.6)＝0.24. ∴事件A 的概率为0.24.(2)依题意知ξ的取值为0和2，由(1)所求可知P(ξ＝0)＝0.24，P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)＝0.76.则ξ的分布列为∴ξ的数学期望为Eξ＝022．在某学校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次：在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次．某同学在A处的命中率q1为0．25，在B处的命中率q2，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为(1)求q2的值；(2)求随机变量ξ的数学期望Eξ；(3)试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小．解：(1)由题设可知，“ξ＝0”对应的事件为“在三次投篮中没有一次投中”，由对立事件和相互独立事件性质可知p(ξ＝0)＝(1－q1)(1－q2)2＝0.03，解得q2＝0.8(2)根据题意p1＝P(ξ＝2)＝(1－q1)C12(1－q2)q2＝0.75×2×0.2×0.8＝0.24，p2＝P(ξ＝3)＝q1(1－q2)2＝0.25×(1－0.8)2＝0.01，p3＝P(ξ＝4)＝(1－q1)q22＝0.75×0.82＝0.48，p4＝P(ξ＝5)＝q1q2＋q1(1－q2)＝0．25×0.8＋0.25×0.2×0.8＝0.24，因此Eξ＝0×0.03＋2×0.24＋3×0.01＋4×0.48＋5×0.24＝3.63.(3)用C表示事件“该同学选择第一次在A处投，以后都在B处投，得分超过3分”，用D表示事件“该同学选择都在B处投，得分超过3分”，则P(C)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝p3＋p4＝0.48＋0.24＝0.72，P(D)＝q22＋C12q2(1－q2)q2＝0.82＋2×0.8×0.2×0.8＝0.896.故P(D)>P(C)．即该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大于该同学选择第一次在A处以后都在B处投得分超过3分的概率．。

11-1分类加法计数原理与分步乘法计数原理A级基础达标演练(时间：40分钟满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．如图，A、B、C、D为四个村庄，要修筑三条公路，将这四个村庄连接起来，则不同的修筑方案共有()．A．8种B．12种C．16种D．20种解析修筑方案可分为两类，一类是“折线型”，用三条公路把四个村庄连在一条曲线上(如图(1)，A－B－C－D)，有12A44种方法；另一类是“星型”，以某一个村庄为中心，用三条公路发散状连接其他三个村庄(如图(2)，A－B，A－C，A－D)，有4种方法．共有12＋4＝16种方法．图(1)图(2)答案 C2．(2012·汕头模拟)如图，用6种不同的颜色把图中A、B、C、D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有()．A．400种B．460种C．480种D．496种解析从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D、A同色1种，D、A 不同色3种，∴不同涂法有6×5×4×(1＋3)＝480(种)，故选C.答案 C3．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有()．A．20种B．30种C．40种D．60种解析分三类：甲在周一，共有A24种排法；甲在周二，共有A23种排法；甲在周三，共有A22种排法；∴A24＋A23＋A22＝20.答案 A4．(2011·西安模拟)三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过5次传递后，毽又被踢回给甲，则不同的传递方式共有()．A．6种B．8种C．10种D．16种解析如下图，甲第一次传给乙时有5种方法，同理，甲传给丙也可以推出5种情况，综上有10种传法，故选C.答案 C5．(2012·杭州五校联考)如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是()．A．60 B．48 C．36 D．24解析长方体的6个表面构成的“平行线面组”有6×6＝36个，另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”有6×2＝12个，共36＋12＝48个，故选B.答案 B二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2012·泉州模拟)将数字1,2,3,4,5,6按第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数的形式随机排列，设N i(i＝1,2,3)表示第i行中最大的数，则满足N1＜N2＜N3的所有排列的个数是________．(用数字作答)解析由已知数字6一定在第三行，第三行的排法种数为A13A25＝60；剩余的三个数字中最大的一定排在第二行，第二行的排法种数为A12A12＝4，由分步计数原理满足条件的排列个数是240.答案2407.(2012·马鞍山质检)数字1,2,3，…，9这九个数字填写在如图的9个空格中，要求每一行从左到右依次增大，每列从上到下也依次增大，当数字4固定在中心位置时，则所有填写空格的方法共有________种．解析必有1、4、9一种填法，5只有两种填法．对于5的每一种填法，6、7、8只有3种不同的填法，由分步计数原理知共有22×3＝12种填法．答案128．8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组，每组各4人，分别进行单循环赛，每组决出前两名，再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐第3、4名，大师赛共有________场比赛．解析小组赛共有2C24场比赛；半决赛和决赛共有2＋2＝4场比赛；根据分类计数原理共有2C24＋4＝16场比赛．答案16三、解答题(共23分)9．(11分)(2012·深圳模拟)如右图所示三组平行线分别有m、n、k条，在此图形中(1)共有多少个三角形？(2)共有多少个平行四边形？解(1)每个三角形与从三组平行线中各取一条的取法是一一对应的，由分步计数原理知共可构成m·n·k个三角形．(2)每个平行四边形与从两组平行线中各取两条的取法是一一对应的，由分类和分步计数原理知共可构成C2m C2n＋C2n C2k＋C2k C2m个平行四边形．10．(12分)如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色．则不同的涂色方法共有多少种？解先涂A、D、E三个点，共有4×3×2＝24种涂法，然后再按B、C、F的顺序涂色，分为两类：一类是B与E或D同色，共有2×(2×1＋1×2)＝8种涂法；另一类是B与E或D不同色，共有1×(1×1＋1×2)＝3种涂法．所以涂色方法共有24×(8＋3)＝264(种)．B级综合创新备选(时间：30分钟满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2012·福州模拟)高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，但去何工厂可自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案有()．A．16种B．18种C．37种D．48种解析三个班去四个工厂不同的分配方案共43种，甲工厂没有班级去的分配方案共33种，因此满足条件的不同的分配方案共有43－33＝37(种)．答案 C2．(2011·全国高考)4位同学从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法有()．A．12种B．24种C．30种D．36种解析分三步，第一步先从4位同学中选2人选修课程甲．共有C24种不同选法，第二步给第3位同学选课程，有2种选法．第三步给第4位同学选课程，也有2种不同选法．故共有C24×2×2＝24(种)．答案 B二、填空题(每小题4分，共8分)3．(2010·上海理)从集合U＝{a，b，c，d}的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：(1)∅，U都要选出；(2)对选出的任意两个子集A和B，必有A⊆B或A⊇B.那么，共有________种不同的选法．解析将选法分成两类．第一类：其中一个是单元素集合，则另一集合为两个或三个元素且含有单元素集合中的元素，有C14×6＝24(种)．第二类：其中一个是两个元素集合，则另一个是含有这两个元素的三元素集合，有C24×2＝12(种)．综上共有24＋12＝36(种)．答案364．五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则报名方法的种数为________．五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，获得冠军的可能性有________种．解析报名的方法种数为4×4×4×4×4＝45(种)．获得冠军的可能情况有5×5×5×5＝54(种)．答案4554三、解答题(共22分)5．(10分)现安排一份5天的工作值班表，每天有一个人值班，共有5个人，每个人都可以值多天班或不值班，但相邻两天不准由同一个人值班，问此值班表共有多少种不同的排法？解可将星期一、二、三、四、五分给5个人，相邻的数字不分给同一个人．星期一：可分给5人中的任何一人，有5种分法；星期二：可分给剩余4人中的任何一人，有4种分法；星期三：可分给除去分到星期二的剩余4人中的任何一人，有4种分法；同理星期四和星期五都有4种不同的分法，由分步计数原理共有5×4×4×4×4＝1 280种不同的排法．6．(12分)(2012·太原月考)已知集合A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝{0,1,2,3}，f是从A到B的映射．(1)若B中每一元素都有原象，这样不同的f有多少个？(2)若B中的元素0必无原象，这样的f有多少个？(3)若f满足f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋f(a4)＝4，这样的f又有多少个？解(1)显然对应是一一对应的，即为a1找象有4种方法，a2找象有3种方法，a3找象有2种方法，a4找象有1种方法，所以不同的f共有4×3×2×1＝24(个)．(2)0必无原象，1,2,3有无原象不限，所以为A中每一元素找象时都有3种方法．所以不同的f共有34＝81(个)．(3)分为如下四类：第一类，A中每一元素都与1对应，有1种方法；第二类，A中有两个元素对应1，一个元素对应2，另一个元素与0对应，有C24·C12＝12种方法；第三类，A中有两个元素对应2，另两个元素对应0，有C24·C22＝6种方法；第四类，A中有一个元素对应1，一个元素对应3，另两个元素与0对应，有C14·C13＝12种方法．所以不同的f共有1＋12＋6＋12＝31(个)．。

第3模块 第3节[知能演练]一、选择题1．函数y ＝xsin x，x ∈(－π，0)∪(0，π)的图象可能是下列图象中的()解析：∵y ＝xsin x 是偶函数，排除A ，当x ＝2时，y ＝2sin2>2，排除D. 当x ＝π6时，y ＝π6sin π6＝π3>1，排除B.答案：C2．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)图象的相邻的两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f (π4)的值是( )A ．0B ．1C ．－1D.π4解析：由题意知T ＝π4，由πω＝π4得ω＝4，∴f (x )＝tan4x ，∴f (π4)＝tan π＝0.答案：A3．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是( )A ．[－π，－5π6]B ．[－5π6，－π6]C ．[－π3，0]D ．[－π6，0]解析：f (x )＝sin x －3cos x ＝2sin(x －π3)∵－π≤x ≤0，∴－4π3≤x －π3≤－π3当－π2≤x －π3≤－π3时，即－π6≤x ≤0时，f (x )递增．答案：D4．对于函数f (x )＝sin x ＋1sin x(0<x <π)，下列结论中正确的是( )A ．有最大值而无最小值B ．有最小值而无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值解析：f (x )＝sin x ＋1sin x ＝1＋1sin x ，∵0<x <π，∴0<sin x ≤1，∴1sin x ≥1，∴1＋1sin x≥2.∴f (x )有最小值而无最大值． 答案：B 二、填空题 5．函数y ＝lgsin x ＋ cos x －12的定义域为____________，函数y ＝12sin(π4－23x )的单调递增区间为________．解析：(1)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2kπ<x <π＋2kπ－π3＋2kπ≤x ≤π3＋2kπ(k ∈Z )， ∴2kπ<x ≤π3＋2kπ，k ∈Z ，∴函数的定义域为{x |2kπ<x ≤π3＋2kπ，k ∈Z }．(2)由y ＝12sin(π4－23x )得y ＝－12sin(23x －π4)，由π2＋2kπ≤23x －π4≤32π＋2kπ，得 98π＋3kπ≤x ≤21π8＋3kπ，k ∈Z ，故函数的单调递增区间为 [98π＋3kπ，21π8＋3kπ](k ∈Z )． 答案：{x |2kπ<x ≤π3＋2kπ，k ∈Z }[98π＋3kπ，21π8＋3kπ](k ∈Z ) 6．对于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≤cos x cos x ，sin x >cos x ，给出下列四个命题：①该函数是以π为最小正周期的周期函数；②当且仅当x ＝π＋kπ(k ∈Z )时，该函数取得最小值－1； ③该函数的图象关于x ＝5π4＋2kπ(k ∈Z )对称；④当且仅当2kπ<x <π2＋2kπ(k ∈Z )时，0<f (x )≤22.其中正确命题的序号是________．(请将所有正确命题的序号都填上) 解析：画出f (x )在一个周期[0,2π]上的图象．由图象知，函数f (x )的最小正周期为2π，在x ＝π＋2kπ(k ∈Z )和x ＝32π＋2kπ(x ∈Z )时，该函数都取得最小值－1，故①②错误，由图象知，函数图象关于直线x ＝54π＋2kπ(k ∈Z )对称，在2kπ<x <π2＋2kπ(k ∈Z )时，0<f (x )≤22.故③④正确．答案：③④ 三、解答题7．已知函数y ＝f (x )＝2sin x1＋cos 2x －sin 2x.(1)求函数定义域；(2)用定义判断f (x )的奇偶性； (3)在[－π，π]上作出f (x )的图象； (4)写出f (x )的最小正周期及单调区间． 解：(1)∵f (x )＝2sin x 2cos 2x＝sin x|cos x |， ∴函数的定义域是{x |x ≠kπ＋π2，k ∈Z }．(2)由(1)知f (－x )＝sin(－x )|cos(－x )|＝－sin x|cos x |＝－f (x )，∴f (x )是奇函数． (3)f (x )＝⎩⎨⎧tan x (－π2<x <π2)－tan x (－π≤x <－π2或π2<x ≤π)，y ＝f (x )(x ∈[－π，π])的图象如图所示．(4)f (x )的最小正周期为2π，单调递增区间是(－π2＋2kπ，π2＋2kπ)(k ∈Z )，单调递减区间是(π2＋2kπ，3π2＋2kπ)(k ∈Z )．8．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin(2x ＋π6)＋2a ＋b ，当x ∈[0，π2]时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f (x ＋π2)且lg[g (x )]>0，求g (x )的单调区间．解：(1)∵x ∈[0，π2]，∴2x ＋π6∈[π6，7π6]，∴sin(2x ＋π6)∈[－12，1]，∴－2a sin(2x ＋π6)∈[－2a ，a ]，∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又－5≤f (x )≤1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－53a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－5. (2)f (x )＝－4sin(2x ＋π6)－1，g (x )＝f (x ＋π2)＝－4sin(2x ＋7π6)－1＝4sin(2x ＋π6)－1，又由lg[g (x )]>0，得g (x )>1， ∴4sin(2x ＋π6)－1>1，∴sin(2x ＋π6)>12，∴π6＋2kπ<2x ＋π6<56π＋2kπ，k ∈Z ，由π6＋2kπ<2x ＋π6≤2kπ＋π2，得 kπ<x ≤kπ＋π6，k ∈Z .由π2＋2kπ≤2x ＋π6<56π＋2kπ得 π6＋kπ≤x <π3＋kπ，k ∈Z . ∴函数g (x )的单调递增区间为(kπ，π6＋kπ](k ∈Z )，单调递减区间为[π6＋kπ，π3＋kπ)(k ∈Z )．[高考·模拟·预测]1．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值为( )A ．1B ．2 C.3＋1D.3＋2解析：因为f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2cos(x －π3)，当x ＝π3时，函数取得最大值为2.故选B.答案：B2．若将函数y ＝tan(ωx ＋π4)(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan(ωx ＋π6)的图象重合，则ω的最小值为( )A.16 B.14 C.13D.12解析：将函数y ＝tan(ωx ＋π4)的图象向右平移π6个单位后，得到的函数为y ＝tan[ω(x －π6)＋π4]＝tan(ωx －πω6＋π4)，这个函数的图象与函数y ＝tan(ωx ＋π6)的图象重合，根据正切函数的周期是kπ，故其充要条件是－πω6＋π4＝kπ＋π6(k ∈Z )，即ω＝－6k ＋12(k ∈Z )，当k ＝0时，ω的最小值为12，故选D.答案：D3．已知函数f (x )＝sin(x －π2)(x ∈R )，下面结论中错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间[0，π2]上是增函数C ．函数f (x )在图象关于直线x ＝0对称D ．函数f (x )是奇函数解析：∵f (x )＝－cos x ，∴f (x )为偶函数，故选D. 答案：D4．已知α∈(0，π4)，a ＝(sin α)cos α，b ＝(sin α)sin α，c ＝(cos α)sin α，则a 、b 、c 的大小关系是________．解析：α∈(0，π4),1>cos α>sin α>0，y ＝(sin α)x 为减函数，∴a <b .而y ＝x sin α在(0，＋∞)上为增函数，∴c >b .故c >b >a .答案：a <b <c5．已知函数f (x )＝3(sin 2x －cos 2x )－2sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)设x ∈[－π3，π3]，求f (x )的值域和单调递增区间．解：(1)∵f (x )＝－3(cos 2x －sin 2x )－2sin x cos x ＝－3cos2x －sin2x ＝－2sin(2x ＋π3)∴f (x )的最小正周期为π.(2)∵x ∈[－π3，π3]，∴－π3≤2x ＋π3≤π，∴－32≤sin(2x ＋π3)≤1. ∴f (x )的值域为[－2，3]．∵当y ＝sin(2x ＋π3)递减时，f (x )递增，令2kπ＋π2≤2x ＋π3≤2kπ＋3π2，则kπ＋π12≤x ≤kπ＋7π12，k ∈Z ，又x ∈[－π3，π3]，∴π12≤x ≤π3.故f (x )的递增区间为[π12，π3]．[备选精题]6．设函数f (x )＝sin(π4x －π6)－2cos 2π8x ＋1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，求当x ∈[0，43]时y ＝g (x )的最大值．解：(1)f (x )＝sin π4x cos π6－cos π4x sin π6－cos π4x ＝32sin π4x －32cos π4x ＝3sin(π4x －π3)，故f (x )的最小正周期为T ＝2ππ4＝8.(2)解法一：在y ＝g (x )的图象上任取一点(x ，g (x ))，它关于x ＝1的对称点为(2－x ，g (x ))．由题设条件，点(2－x ，g (x ))在y ＝f (x )的图象上，可知g (x )＝f (2－x )＝3sin[π4(2－x )－π3]＝3sin(π2－π4x －π3)＝3cos(π4x ＋π3)．当0≤x ≤43时，π3≤π4x ＋π3≤2π3，因此y ＝g (x )在区间[0，43]上的最大值为g (x )max ＝3cos π3＝32.解法二：因区间[0，43]关于x ＝1的对称区间为[23，2]，且y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于x＝1对称，故y ＝g (x )在[0，43]上的最大值即为y ＝f (x )在[23，2]上的最大值．由(1)知f (x )＝3sin(π4x －π3)，当23≤x ≤2时，－π6≤π4x －π3≤π6. 因此y ＝g (x )在[0，43]上的最大值为g (x )max ＝3sin π6＝32.。

09届高三数学天天练11一、填空题1．命题“2,0x R x x ∃∈+≤”的否定是 ． 2．(1)(12)i i -+= ．3．函数()sin 23cos 2f x x x =+的最小正周期是 ．4．长方体1111ABCD A B C D -中，12,1AB BC AA ===，则1BD 与平面1111A B C D 所成的角的大小为 ．5．已知实数x y ，满足2203x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，，，则2z x y =+的最小值是 ．6．已知抛物线22y px =的准线与双曲线222x y -=的左准线重合，则抛物线的焦点坐标为 .7. 执行右边的程序框图，若4p =，则S = ．8．将圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是 . 9．若直线1ax by +=过点(),A b a ，则以坐标原点O 为圆心，半径的圆的面积的最小值是 ． 10．已知集合{}21503x A x |x ,B x |x -⎧⎫=-<<=>⎨⎬-⎩⎭，在集合A 任取一个元素x ，则事件“x A B ∈⋂”的概率是 ．11．已知1F 、2F 是椭圆22x k ++21y k +=1的左右焦点，弦AB 过F 1，若2ABF ∆的周长为8，则椭圆的离心率为 ．12．等边三角形ABC 中，P 在线段AB 上，且AP AB λ=，若CP AB PA PB ⋅=⋅，则实数λ的值是 ．13．数列{}n a 的前n 项和是n S ，若数列{}n a 的各项按如下规则排列：11212312341, , , , , , , , , , , 23344455556，若存在整数k ，使10k S <，110k S +≥，则k a = ． 14．若函数()3213f x x a x =-满足：对于任意的[]12,0,1x x ∈都有()()12||1f x f x -≤恒成立，则a 的取值范围是 ．AB CD A 1B 1C 1D 1二、解答题：（文科班只做15题，30分，理科班两题都做，每题15分）15、 已知圆22:8O x y +=交x 轴于,A B 两点，曲线C 是以AB 为长轴，直线:l 4x =-为准线的椭圆．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若M 是直线l 上的任意一点，以OM 为直径的圆K 与圆O 相交于,P Q 两点，求证：直线PQ 必过定点E ，并求出点E 的坐标；（Ⅲ）如图所示，若直线PQ 与椭圆C 交于,G H 两点，且3EG HE =，试求此时弦PQ 的长．16、如图矩形OABC 在变换T 的作用下变成了平行四边形OA B C '''，求变换T 所对应的矩阵M ．09届高三数学天天练11答案1．2,0x R x x ∀∈+>2．3i + 3．π4．6π5．16．()1,07.1516 8．33π 9．π 10．16 11．1212．222-13．5714．223,333⎡⎢⎣ 15．解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，则：2224a ac⎧=⎪⎨=⎪⎩，从而：222a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故2b =,所以椭圆的标准方程为22184x y +=。

单元质量检测(四)一、选择题1．若复数(a 2－4a ＋3)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值是( )A ．1B ．3C ．1或3D ．－1解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a ＋3＝0a －1≠0，解得a ＝3.答案：B2．复数1－2＋i ＋11－2i的虚部是( )A.15i B.15 C ．－15iD ．－15解析：∵1－2＋i ＋11－2i＝－2－i (－2＋i )(－2－i )＋1＋2i(1－2i )(1＋2i )＝－2－i 5＋1＋2i 5＝－15＋15i ， ∴虚部为15.答案：B3．平面向量a ，b 共线的充要条件是( )A ．a ，b 方向相同B ．a ，b 两向量中至少有一个为零向量C ．∃λ∈R ，b ＝λaD ．存在不全为零的实数λ1，λ2，λ1a ＋λ2b ＝0解析：A 中，a ，b 同向则a ，b 共线；但a ，b 共线则a ，b 不一定同向，因此A 不是充要条件．若a ，b 两向量中至少有一个为零向量，则a ，b 共线；但a ，b 共线时，a ，b 不一定是零向量，如a ＝(1,2)，b ＝(2,4)，从而B 不是充要条件．当b ＝λa 时，a ，b 一定共线；但a ，b 共线时，若b ≠0，a ＝0，则b ＝λa 就不成立，从而C 也不是充要条件．对于D ，假设λ1≠0，则a ＝－λ2λ1b ，因此a ，b 共线；反之，若a ，b 共线，则a ＝nm b ，即m a －n b ＝0.令λ1＝m ，λ2＝－n ，则λ1a ＋λ2b ＝0. 答案：D4．如下图所示，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝3CD ，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，设AB →＝e 1，AD →＝e 2，MN →可表示为( )A ．e 2＋16e 1B ．e 2－12e 1C ．e 2－13e 1D ．e 2＋131解析：MN →＝12(MD →＋MC →)＝12(MD →＋MD →＋DC →)＝12[2(MA →＋AD →)＋DC →]＝12[2(－12e 1＋e 2)＋131]＝－12e 1＋e 2＋16e 1＝e 2－13e 1. 答案：C5．向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，(a ＋b )⊥(2a －b )，则向量a 与b 的夹角为( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°解析：由(a ＋b )⊥(2a －b )得(a ＋b )·(2a －b )＝0， 即2|a |2＋|a |·|b |cos α－|b |2＝0，把|a |＝1，|b |＝2代入得cos α＝0，∴α＝90°(其中α为两向量的夹角)． 答案：C6．设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且DC →＝2BD →，CE →＝2EA →，AF →＝2FB →，则AD →＋BE →＋CF →与BC →( )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直解析：∵DC →＝2BD →，∴BC →－BD →＝2BD →，∴BD →＝13→.∵CE →＝2EA →，∴BE →－BC →＝2BA →－2BE →， ∴BE →＝23BA →＋13BC →.∵AF →＝2FB →，∴BF →－BA →＝－2BF →，∴BF →＝13BA →.∴AD →＋BE →＋CF →＝BD →－BA →＋BE →＋BF →－BC → ＝13BC →－BA →＋23BA →＋13BC →＋13BA →－BC → ＝－13BC →.∴AD →＋BE →＋CF →与BC →反向平行． 答案：A7．已知非零向量a ，b ，若a ·b ＝0，则|a －2b ||a ＋2b |等于( )A.14 B ．2 C.12D ．1解析：|a －2b ||a ＋2b |＝(a －2b )2(a ＋2b )2＝a 2＋4b 2a 2＋4b 2＝1.答案：D8．在△ABC 中，若BC →2＝AB →·BC →＋CB →·CA →＋BC →·BA →，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形解析：因为AB →·BC →＋CB →·CA →＋BC →·BA → ＝BC →·(AB →－CA →＋BA →)＝BC →·AC →，故BC →2－BC →·AC →＝BC →·(BC →－AC →)＝BC →·BA →＝0， 即∠B ＝π2.答案：B9．一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为( )A ．6B ．2C ．2 5D ．27解析：如图，F 3的大小等于F 1、F 2的合力的大小．由平面向量加法的三角形法则知，在△OAB 中OB 的长就是F 1、F 2的合力的大小，且在△OAB 中，∠OAB ＝120°，OB ＝F 21＋F 22－2F 1·F 2cos120°＝28＝27，即F 3为27.答案：D10．函数y ＝tan(π4－π2)的部分图象如下图所示，则(OA →＋OB →)·AB →＝( )A ．－6B ．－4C ．4D ．6解析：函数y ＝tan(π4x －π2)的图象是由y ＝tan x 的图象向右平移π2坐标扩大为原来的4π倍得到，所以点A 的坐标为(2,0)，令tan(π4x －π2)＝1得π4x －π2＝π4，故可得B 点坐标为(3,1)，所以(OA →＋OB →)·AB →＝(5,1)·(1,1)＝6.答案：D11．设点P 为△ABC 的外心(三条边垂直平分线的交点)，若AB ＝2，AC ＝4，则AP →·BC →＝( )A ．8B ．6C ．4D ．2解析：我们可以采用特殊方法解答，设A (－1,0)，B (1,0)，C (－1,4)，则外心P 为(0,2)，故AP →＝(1,2)，BC →＝(－2,4)，故AP →·BC →＝6.答案：B12．已知P 是△ABC 所在平面内的一点，若CB →＝λPA →＋PB →(其中λ∈R )，则点P 一定在( )A ．△ABC 的内部B ．AC 边所在的直线上 C ．AB 边所在的直线上D ．BC 边所在的直线上解析：CB →＝PB →－PC →＝λPA →＋PB →化简即得－PC →＝λPA →，由共线向量的充要条件可知，点P ，A ，C 三点共线，所以答案选B.答案：B 二、填空题13．若复数a ＋3i1＋2i (a ∈R ，i 是虚数单位)是纯虚数，则实数a ＝________.解析：∵a ＋3i 1＋2i ＝(a ＋3i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝a ＋65＋3－2a5i ， ∴⎩⎨⎧a ＋6503－2a 5≠0，∴a ＝－6.答案：－614．向量a ＝(cos10°，sin10°)，b ＝(cos70°，sin70°)，|a －2b |＝________. 解析：|a －2b |＝a 2＋4b 2－4a ·b ＝1＋4－4(cos10°cos70°＋sin10°sin70°) ＝5－4cos60°＝ 3. 答案： 315．已知AD 是△ABC 的中线，AD →＝λAB →＋μAC →(λ，μ∈R )，那么λ＋μ＝________；若∠A ＝120°，AB →·AC →＝－2，则|AD →|的最小值是________．解析：若AD 为△ABC 的中线，则有AD →＝12(AB →＋AC →)，∴λ＋μ＝1.|AD →|2＝14(AB →＋AC →)2＝14(|AB →|2＋|AC →|2＋2AB →·AC →)＝14(|AB →|2＋|AC →|2－4)，∵|AB →|2＋|AC →|2≥2|AB →|·|AC →|＝2AB →·AC →cos120°8，所以|AD →|≥1.答案：1 116．给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是________．解析：以O 为坐标原点，OA 为x 轴建立平面直角坐标系，则可知A (1,0)，B (－12，32)，设C (cos α，sin α)(α∈[0，2π3])，则有x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin(α＋π6)，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值为2.答案：2 三、解答题17．如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →，AD →.解法一：设AB →＝a ，AD →＝b ， 则a ＝AN →＋NB →＝d ＋(－12)①b ＝AM →＋MD →＝c ＋(－12a )②将②代入①得a ＝d ＋(－12)[c ＋(－12a )]⇒a ＝43d －23，代入②得b ＝c ＋(－12)(43d －23c )＝43c －23d .解法二：设AB →＝a ，AD →＝b . 因M ，N 分别为CD ，BC 中点， 所以BN →＝12b ，DM →＝12a .因而⎩⎨⎧c ＝b ＋12a d ＝a ＋12b ⇒⎩⎨⎧a ＝23(2d －c )b ＝23(2c －d )，即AB →＝23(2d －c )，AD →＝23(2c －d )．18．设a ＝(－1,1)，b ＝(4,3)，c ＝(5，－2)，(1)求证a 与b 不共线，并求a 与b 的夹角的余弦值； (2)求c 在a 方向上的投影； (3)求λ1和λ2，使c ＝λ1a ＋λ2b .解：(1)∵a ＝(－1,1)，b ＝(4,3)，且－1×3≠1×4，∴a 与b 不共线． 又a ·b ＝－1×4＋1×3＝－1，|a |＝2，|b |＝5， ∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－152＝－210. (2)∵a ·c ＝－1×5＋1×(－2)＝－7， ∴c 在a 方向上的投影为a ·c |a |＝－72＝－72 2.(3)∵c ＝λ1a ＋λ2b ，∴(5，－2)＝λ1(－1,1)＋λ2(4,3)＝(4λ2－λ1，λ1＋3λ2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4λ2－λ1＝5λ1＋3λ2＝－2，解得⎩⎨⎧λ1＝－237λ2＝37.19．设△ABC 的外心为O ，则圆O 为△ABC 的外接圆，垂心为H .求证：OH →＝OA →＋OB →＋OC →.证明：延长BO 交圆O 于D 点，连AD 、DC ， 则BD 为圆O 的直径，故∠BCD ＝∠BAD ＝90°. 又∵AE ⊥BC ，DC ⊥BC ， 得AH ∥DC ，同理DA ∥CH . ∴四边形AHCD 为平行四边形， ∴AH →＝DC →.又∵DC →＝OC →－OD →＝OC →＋OB →， ∴AH →＝OB →＋OC →. 又∵OH →＝OA →＋AH →， ∴OH →＝OA →＋OB →＋OC →.20．(1)如图，设点P ，Q 是线段AB 的三等分点，若OA →＝a ，OB →＝b ，试用a ，b 表示OP →，OQ →，并判断OP →＋OQ →与OA →＋OB →的关系；(2)受(1)的启示，如果点A 1，A 2，A 3，…，A n －1是AB 的n (n ≥3)等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．解：(1)OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋13AB →＝OA →＋13OB →－OA →)＝13OB →＋23OA →＝23a ＋13.同理OQ →＝13a ＋23b ，∴OP →＋OQ →＝a ＋b ＝OA →＋OB →.(2)OA 1→＋OA n －1 ＝OA 2→＋OA n －2 ＝…＝OA →＋OB →. 证明如下：由(1)可推出OA 1→＝OA →＋AA 1→＝OA →＋1n AB →＝OA →＋1n OB →－OA →)＝n －1n OA →＋1n OB →，∴OA 1→＝n －1n a ＋1n b ，同理OA n －1＝1n a ＋n －1nb ，OA 2→＝n －2n a ＋2n b ，OA n －2＝2n a ＋n －2n b ，…因此有OA 1→＋OA n －1＝OA 2→＋OA n －2＝…＝OA →＋OB →.21．已知△ABC 的面积S 满足3≤S ≤3，且AB →·BC →＝6，AB →与BC →的夹角为θ. (1)求θ的取值范围；(2)求函数f (θ)＝sin 2θ＋2sin θ·cos θ＋3cos 2θ的最小值． 解：(1)由题意知： AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos θ＝6① S ＝12|AB →|·|BC →|·sin(π－θ)＝12|AB →|·|BC →|·sin θ② ②÷①得S 6＝12tan θ，即3tan θ＝S .由3≤S ≤3，得3≤3tan θ≤3，即33≤tan θ≤1. ∵θ为AB →与BC →的夹角，∴θ∈(0，π)，∴θ∈[π6，π4]．(2)f (θ)＝sin 2θ＋2sin θ·cos θ＋3cos 2θ ＝1＋sin2θ＋2cos 2θ＝2＋sin2θ＋cos2θ ＝2＋2sin(2θ＋π4)．∵θ∈[π6，π4]，∴2θ＋π4∈[7π12，3π4]．∴当2θ＋π4＝3π4，即θ＝π4时，f (θ)有最小值为3.22．设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)． (1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b ＋c |的最大值；(3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b . 解：(1)因为a 与b －2c 垂直，所以a ·(b －2c )＝4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin β＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0， 因此tan(α＋β)＝2.(2)由b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)，得 |b ＋c |＝(sin β＋cos β)2＋(4cos β－4sin β)2 ＝17－15sin2β≤4 2.又当β＝－π4时，等号成立，所以|b ＋c |的最大值为4 2.(3)由tan αtan β＝16得4cos αsin β＝sin α4cos β，所以a ∥b .。

第11模块 第3节[知能演练]一、选择题1．若二项式(x －2x)n 的展开式中第5项是常数项，则自然数n 的值可能为( )A ．6B ．10C ．12D ．15解析：T r ＋1＝C r n (x )n －r(－2x )r ＝(－2)r C rn x n －3r2，当r ＝4时，n －3r 2＝0，又n ∈N *，∴n ＝12. 答案：C2．在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3的项的系数是( )A ．74B ．121C ．－74D ．－121解析：展开式中含x 3项的系数为C 35(－1)3＋C 36(－1)3＋C 37(－1)3＋C 38(－1)3＝－121.答案：D3．在(x 2＋3x ＋2)5展开式中x 的系数为( )A ．160B ．240C ．360D ．800解析：∵(x 2＋3x ＋2)5＝(x ＋1)5·(x ＋2)5＝(x 5＋C 15x 4＋…＋1)(x 5＋2C 15x 4＋…＋25)， ∴其展开式中x 项的系数为C 4525＋C 4524＝240.答案：B4．在(1－x )5(1＋x )4的展开式中x 3项的系数为( )A ．－6B ．－4C ．4D ．6解析：(1－x )5(1＋x )4＝(1－C 15x ＋C 25x 2－C 35x 3＋…)(1＋C 14x ＋C 24x 2＋C 34x 3＋C 44x 4)， ∴x 3项的系数为1×C 34－C 15C 24＋C 25C 14－C 35×1＝4.答案：C 二、填空题5．已知二项式(1－3x )n 的展开式中所有项系数之和等于64，那么这个展开式中含x 2项的系数是________．解析：令x ＝1，则(1－3x )n ＝(－2)n ， 即(－2)n ＝64，∴n ＝6.又T r ＋1＝C r 6(－3x )r ，则T 3＝C 26(－3x )2＝135x 2，∴(1－3x )n 展开式中含x 2项的系数为135. 答案：1356．若(1＋x ＋x 2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12，则a 2＋a 4＋…＋a 12＝________. 解析：令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 12＝36， 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－…＋a 12＝1， ∴a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12.令x ＝0，则a 0＝1，∴a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12－1＝364.答案：364 三、解答题7．已知(4 41x ＋3x 2)n展开式中的倒数第三项的二项式系数为45.(1)求含有x 3的项； (2)求二项式系数最大的项．解：(1)由已知得C n －2n ＝45，即C 2n ＝45，∴n 2－n －90＝0，解得n ＝－9(舍)或n ＝10， 由通项公式得T r ＋1＝C r10(4·x －14)10－r (x 23)r . ＝C r 10·410－r·x －10－r 4＋23r .令－10－r 4＋23r ＝3，得r ＝6，∴含有x 3的项是T 7＝C 610·44·x 3＝53760x 3. (2)∵此展开式共有11项， ∴二项式系数最大项是第6项，∴T 6＝C 510(4x －14)5(x 23)5＝258048x 2512.8．设(3x －1)8＝a 8x 8＋a 7x 7＋…＋a 1x ＋a 0，求： (1)a 8＋a 7＋…＋a 1； (2)a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0.解：令x ＝0得a 0＝1. (1)令x ＝1得(3－1)8＝a 8＋a 7＋…＋a 1＋a 0， ① ∴a 8＋a 7＋…＋a 2＋a 1＝28－a 0＝256－1＝255. (2)令x ＝－1得(－3－1)8＝a 8－a 7＋a 6－…－a 1＋a 0. ② 由①＋②得28＋48＝2(a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0)， ∴a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0＝12(28＋48)＝32896.[高考·模拟·预测]1．在二项式⎝⎛⎭⎫x 2－1x 5的展开式中，含x 4的项的系数是 ( )A ．－10B ．10C ．－5D ．5解析：T r ＋1＝C r 5x 2(5－r )(－x －1)r ＝(－1)r C r 5x10－3r(r ＝0,1，…，5)，由10－3r ＝4得r ＝2.含x 4的项为T 3，其系数为C 25＝10，故选B.答案：B2．若(1＋2)5＝a ＋b 2(a ，b 为有理数)，则a ＋b ＝( )A ．45B ．55C ．70D ．80解析：由二项式定理得：(1＋2)5＝1＋C 15·2＋C 25·(2)2＋C 35·(2)3＋C 45·(2)4＋C 55·(2)5 ＝1＋52＋20＋202＋20＋42＝41＋292， ∴a ＝41，b ＝29，a ＋b ＝70.故选C. 答案：C3． (1＋ax ＋by )n 展开式中不含x 的项的系数绝对值的和为243，不含y 的项的系数绝对值的和为32，则a ，b ，n 的值可能为( )A ．a ＝2，b ＝－1，n ＝5B ．a ＝－2，b ＝－1，n ＝6C ．a ＝－1，b ＝2，n ＝6D ．a ＝1，b ＝2，n ＝5解析：不含x 的项的系数的绝对值为(1＋|b |)n ＝243＝35，不含y 的项的系数的绝对值为(1＋|a |)n＝32＝25，∴n ＝5，⎩⎪⎨⎪⎧1＋|b |＝3，1＋|a |＝2，故选D.答案：D4． (x －y )10的展开式中，x 7y 3的系数与x 3y 7的系数之和等于________解析：T 4＝－C 310x 7y 3，T 8＝－C 710x 3y 7，则x 7y 3与x 3y 7的系数之和为－2C 310＝－240. 答案：－2405．在(1＋x )3＋(1＋x )3＋(1＋3x )3的展开式中，x 的系数为________(用数字作答)．解析：C 13＋C 23＋C 33＝23－1＝7.答案：7 6．已知(x x ＋23x)n 展开式的前3项系数的和为129，这个展开式中是否含有常数项、一次项？如没有，请说明理由；如有，请求出来．解：∵T r ＋1＝C r n (x x )n －r ·(23x)r ＝C r n 2r x 9n －11r 6(r ＝0,1,2，…，n )， ∴由题意得C 0n 20＋C 1n ·2＋C 2n ·22＝129， ∴1＋2n ＋2(n －1)n ＝129，∴n 2＝64，∴n ＝8.故T r ＋1＝C r 82r x 72－11r 6(r ＝0,1,2，…，8)． 若展开式存在常数项，则72－11r 6＝0，∴72－11r ＝0，∴r ＝7211∉N ，∴展开式中没有常数项．若展开式存在一次项，则72－11r6＝1，∴72－11r ＝6. ∴r ＝6，∴展开式中存在一次项，它是第7项，T 7＝C 6826x ＝1792x .。

高三基础知识天天练数学11-9人教版第11模块第9节[知能演练]一、选择题1．某一离散型随机变量ξ的概率分布列如下表，且Eξ＝1.5，则a－b的值ξ 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 A.－0.1 B．0 C．0.1D．0.2解析：???0.1＋a＋b＋0.1＝1??a＝0.4??0×0.1＋a＋2b＋3×0.1＝1.5 ???，?b＝0.4故a－b＝0. 答案：B2．随机变量X的分布列为X 1 2 4 P 0.4 0.3 0.3 则E(5X＋4)等于A．15 B．11 C．2.2D．2.3 解析：∵EX＝1×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝2.2，∴E(5X＋4)＝5EX＋4＝11＋4＝15. 答案：A3．在正态分布N(0，19)中，数值落在(－∞，－1)∪(1，＋∞)内的概率为A．0.097 B．0.046 C．0.03D．0.0026解析：∵μ＝0，σ＝13，∴P(x1)＝1－P(－1≤x≤1)＝1－P(μ－3σ≤x≤μ＋3σ)＝1－0.9974＝0.0026. 答案：D( )( )( )4．某次市教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如下图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，则由如下图曲线可得下列说法中正确的一个是( )A．甲科总体的标准差最小 B．丙科总体平均数最小C．乙科总体的标准差及平均数都居中 D．甲、乙、丙的总体的平均数不相同解析：由正态曲线性质可得．答案：A 二、填空题5．设离散型随机变量X可能取的值为1,2,3,4.P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)．又X的均值EX＝3，则a＋b＝________.解析：设离散型随机变量X可能取的值为1,2,3,4. P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)，所以 (a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，即10a＋4b＝1，又X的均值EX＝3，则(a＋b)＋2(2a＋b)＋3(3a＋b)＋4(4a＋b)＝3，即30a＋10b＝3，a1＝，b＝0， 101∴a＋b＝.101答案： 106．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)．若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为________．解析：∵ξ服从正态分布(1，σ2)，∴ξ在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同均为0.4. ∴ξ在(0,2)内取值概率为0.4＋0.4＝0.8. 答案：0.8 三、解答题7．某地区的一个季节下雨天的概率是0.3，气象台预报天气的准确率为0.8.某厂生产的产品当天怕雨，若下雨而不做处理，每天会损失3000元，若对当天产品作防雨处理，可使产品不受损失，费用是每天500元．(1)若该厂任其自然不作防雨处理，写出每天损失ξ的分布列，并求其平均值； (2)若该厂完全按气象预报作防雨处理，以η表示每天的损失，写出η的分布列．计算η的平均值，并说明按气象预报作防雨处理是否是正确的选择？解：(1)设ξ为损失数，分布列为：ξP ∴Eξ＝3000×0.3＝900(元) (2)设η为损失数，则 P(η＝0)＝0.7×0.8＝0.56.P(η＝500)＝0.3×0.8＋0.7×0.2＝0.38. P(η＝3000)＝0.3×0.2＝0.06. 分布列为：ηP 0 0.56 500 0.38 3000 0.06 0 0.7 3000 0.3 ∴Eη＝0＋500×0.38＋3000×0.06＝370 平均每天损失为370元．∵370<900，∴按天气预报作防雨处理是正确的选择．8．设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次抽取一个，并且取出不再放回，若以ξ和η分别表示取出次品和正品的个数．(1)求ξ的分布列、期望值及方差； (2)求η的分布列、期望值及方差．解：(1)ξ的可能值为0,1,2.若ξ＝0，表示没有取出次品，其概率为：3C062C10P(ξ＝0)＝3＝；C12112C192C10同理，有P(ξ＝1)＝3＝；C12221C212C10P(ξ＝2)＝3＝.C1222∴ξ的分布列为ξ P 0 6 111 9 222 1 226911∴Eξ＝0×＋1×＋2×＝.112222216191139915Dξ＝(0－)2×＋(1－)2×＋(2－)2×＝＋＋＝.21122222222888844(2)η的可能值为1,2,3，显然ξ＋η＝3. 1P(η＝1)＝P(ξ＝2)＝，229P(η＝2)＝P(ξ＝1)＝，226P(η＝3)＝P(ξ＝0)＝.11∴η的分布列为：η P 15Eη＝E(3－ξ)＝3－Eξ＝3－＝. 2215∵η＝－ξ＋3，∴Dη＝(－1)2Dξ＝.441 1 222 9 223 6 11[高考・模拟・预测]1．已知离散型随机变量X的分布列如下表．若EX＝0，DX＝1，则a＝________，b＝________.解析：由题意得，a＋b＋c＋1＝1，① 1211∵EX＝0，∴－1×a＋0×b＋1×c＋2×＝0，即－a＋c＋＝0，②12612∵DX＝1，∴(－1－0)2×a＋(0－0)2×b＋(1－0)2×c＋(2－0)2×＝1，即a＋c＝，③12351联立①②③解得a＝，b＝. 12451答案： 1242．若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(X≤μ)＝________. 解析：由正态分布曲线的性质知，P(X≤μ)＝0.5. 答案：0.53．已知随机变量x～N(2，σ2)，若P(x解析：由正态分布图象的对称性可得：P(a≤x<4－a)＝1－2P(x4．袋中有3个黑球，1个红球．从中任取2个，取到一个黑球得0分，取到一个红球得2分，则所得分数ξ的数学期望Eξ＝________.解析：由题得ξ所取得的值为0或2，其中ξ＝0表示取得的球为两个黑球，ξ＝2表示C21C111133取得的球为一黑一红，所以P(ξ＝0)＝2＝，P(ξ＝2)＝2＝，故Eξ＝0×＋2×＝1.C42C4222答案：15．一个盒子中装有分别标有数字1,2,3,4的4个大小、形状完全相同的球，现从中有放回地先后抽取2个球，抽取的球的标号分别为x1，x2，记ξ＝|x1－1|＋|x2－2|.(1)求ξ取得最大值时的概率； (2)求ξ的分布列及数学期望．解：(1)抽取的球的标号x可能为1,2,3,4，则x1－1分别为0,1,2,3；x2－2分别为－1,0,1,2. 因此ξ的所有取值为0,1,2,3,4,5.1当x1＝x2＝4时，ξ取得最大值5，此时P(ξ＝5)＝.161(2)当ξ＝0时，(x1，x2)的所有取值为(1,2)，此时P(ξ＝0)＝；163当ξ＝1时，(x1，x2)的所有取值为(1,1)，(1,3)，(2,2)，此时P(ξ＝1)＝；161当ξ＝2时，(x1，x2)的所有取值为(1,4)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，此时P(ξ＝2)＝； 41当ξ＝3时，(x1，x2)的所有取值为(2,4)，(3,1)，(3,3)，(4,2)，此时P(ξ＝3)＝； 43当ξ＝4时，(x1，x2)的所有取值为(3,4)，(4,1)，(4,3)，此时P(ξ＝4)＝.16故ξ的分布列为：ξ P 0 1 161 3 162 1 43 1 44 3 165 1 161311315Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.16164416162[备选精题]6．甲乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分(无平局)，比赛进行到感谢您的阅读，祝您生活愉快。

第十一章 第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理[理]课下练兵场一、选择题1．从a 、b 、c 、d 、e 五人中选1名班长，1名副班长，1名学习委员，1名纪律委员，1名文娱委员，但a 不能当班长，b 不能当副班长．不同选法总数为 ( )A ．78B ．54C ．24D ．20解析：第1类，a 当副班长，共有A 44种选法；第2类，a 当委员，共有C 13C 13·A 33种选法． ∴不同选法共有A 44＋C 13C 13·A 33＝24＋54＝78(种)． 答案：A2．一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有 ( )A ．24种B ．36种C ．48种D ．72种解析：分两类：(1)第一道工序安排甲时有1×1×4×3＝12种；(2)第一道工序不安排甲有1×2×4×3＝24种．∴共有36种．答案：B3．一植物园参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种数共有 ( )A ．6B ．8C ．36D ．48解析：如图，在A 点可先参观区域1，也可先参观区域2或3，共有3种不同选法．每种选法中又有2×2×2×2=16(种)不同线路．∴共有3×16=48(种)不同的参观路线．答案：D4．把编号为1、2、3、4、5的5位运动员排在编号为1、2、3、4、5的5条跑道中，要求有且只有两位运动员的编号与其所在跑道的编号相同，共有不同排法的种数是() A．10 B．20 C．40 D．60解析：共有C25C12＝20.答案：B5.如图所示的几何体是由一个正三棱锥P—ABC与正三棱柱ABC—A1B1C1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有()A．24种B．18种C．16种D．12种解析：先涂三棱锥P—ABC的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，共有C13×C12×C11×C12＝3×2×1×2＝12种不同的涂法．答案：D6．只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有() A．6个B．9个C．18个D．36个解析：由题意知，1,2,3中必有某一个数字重复使用2次．第一步确定谁被使用2次，有3种方法；第二步把这2个相等的数放在四位数不相邻的两个位置上，也有3种方法；第三步将余下的2个数放在四位数余下的2个位置上，有2种方法．故共可组成3×3×2＝18个不同的四位数．答案：C二、填空题7．2009年9月某地全运会火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有____________种(用数字作答)．解析：因为第一棒与最后一棒甲、乙均能传递，而丙不能传递最后一棒．分两类讨论：(1)丙传第一棒，此时有C12·A44＝48(种)；(2)甲、乙传第一棒和最后一棒，方法有A22A44＝48(种)．因此共有48＋48＝96(种)方法．答案：968.(2010·南通模拟)如图，正五边形ABCDE中，若把顶点A、B、C、D、E染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有 种．解析：依题意用三种颜色为五个顶点染色，可将五个顶点分成三组，模型为2、2、1，则共有15C 13A =30种不同的染色方法．答案：309．某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求最后播放的必须是公益广告，且两个公益广告不能连续播放，则不同的播放种类数为________．解析：分三步：C 12C 13·A 33＝36. 答案：36三、解答题10.中央电视台“开心辞典”节目的现场观众来自四个不同的单位，分别在右图中的A 、B 、C 、D 四个区域落座．现有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同色服装，且相邻区域不能同色，不相邻区域是否同色不受限制，则不同的着装方法共有多少种？解：当A 、B 、C 、D 四个区域的观众服装颜色全不相同时，有4×3×2×1=24种不同的方法；当A 区与C 区同色，B 区和D 区不同色且不与A 、C 同色时，或B 区、D 区同色，A 区、C 区不同色且不与B 、D 同色时，有2×4×3×2=48种不同的方法；当A 区与C 区同色，B 区与D 区也同色且不与A 、C 同色时，有4×3=12种不同的方 法．由分类计数原理知共有24+48+12=84种不同的着装方法．11．一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同．(1)从两个口袋中任取一封信，有多少种不同的取法？(2)从两个口袋里各取一封信，有多少种不同的取法？(3)把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的放法？解：(1)任取一封信，不论从哪个口袋里取，都能单独完成这件事，因此是两类办法． 用分类加法计数原理，共有5＋4＝9(种)．(2)各取一封信，不论从哪个口袋中取，都不能算完成了这件事，因此应分两个步骤完成，由分步乘法计数原理，共有5×4＝20(种)．(3)第一封信投入邮筒有4种可能，第二封信仍有4种可能，…，第九封信还有4种可能．由分步乘法计数原理可知，共有49种不同的放法．12．现有高一年级四个班有学生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？(3)推选二人作中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？解：(1)分四类，第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法，所以，共有不同的选法N＝7＋8＋9＋10＝34(种)．(2)分四步，第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长，所以共有不同的选法N＝7×8×9×10＝5040(种)．(3)分六类，每类又分两步，从一班、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1 人，有7×9种不同的选法，从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法，所以共有不同的选法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种)．。

汉学2021届高三数学〔文〕天天练〔11〕〔满分是100分，时间是60分钟〕一、选择题：〔8个小题一共40分〕1．过点)3,2(A 且垂直于直线052=-+y x 的直线方程为〔 〕 (A)042=+-y x (B)072=-+y x (C)032=+-y x (D)052=+-y x2．{}n a 是等差数列，154=a ，555=S ，那么过点34(3,(4,),)P a Q a 的直线的斜率〔 〕 A ．4B ．41C ．－4D ．－143．直线1:60l x ay ++=和2l :()2320a x y a -++=，那么1l ∥2l 的充要条件是a=〔 〕 A ．3 B ．1 C ．-1 D ．3或者-14．过点()1,4A ，且横、纵截距的绝对值相等的直线的条数为 〔 〕 A. 1 B. 2 C. 3 D. 45．圆1C ：2(1)x ++2(1)y -=1，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，那么圆2C 的方程为〔 〕A.2(2)x ++2(2)y -=1B.2(2)x -+2(2)y +=1 C.2(2)x ++2(2)y +=1 D.2(2)x -+2(2)y -=16．假设方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围为〔 〕A ．〔0，+∞〕B ．〔0，2〕C ．〔1，+∞〕D ．〔0，1〕7．椭圆1121622=+y x 的左焦点是1F ，右焦点是2F ，点在椭圆上，假如线段1PF 的中点在y 轴上，那么12:PF PF 的值是〔 〕A ．35B ．12C ．56D ．538．椭圆的两个焦点为)0,5(1-F ，)0,5(2F ，M 是椭圆上一点，假设021=⋅MF MF ，128MF MF ⋅=，那么该椭圆的方程是〔 〕A ．12722=+y xB ．17222=+y xC ．14922=+y xD ．19422=+y x第二卷 非选择题二、填空题〔5个小题一共20分〕9．过抛物线24y x =的焦点，且被圆22420x y x y +-+=截得弦最长的直线的方程是_________ ____；10．假设圆224x y +=与圆22260x y ay ++-=〔a>0〕的公一共弦的长为23，那么=a ___________；11．动圆222(42)24410x y m x my m m +-+-+++=的圆心的轨迹方程是 .12．如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，左焦点为F ，上顶点为B ，假设090BAO BFO ∠+∠=，那么椭圆的离心率是 .汉学2021届高三数学〔文〕天天练〔11〕答题卡班级 姓名 成绩一、选择题：二、填空题：9. ；10. ；11. ；12． 三、解答题：〔3个小题一共40分〕 13．〔此题满分是13分〕直线l 过点P 〔3，2〕且与x 轴正半轴，y 轴正半轴分别交于A 、B 两点 〔Ⅰ〕求△AOB 面积的最小值及此时直线l 方程〔O 为原点〕； 〔Ⅱ〕求直线l 在两坐标轴上截距之和的最小值。

第11模块 第4节[知能演练]一、选择题1．给出下列三个命题，其中正确命题的个数是( )①设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品； ②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面向上．因此，出现正面向上的概率是37；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率． A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：要明确在试验中，虽然随机事件发生的频率mn 不是常数，但它具有稳定性，且总是接近于某个常数，在其附近波动，这个常数叫做概率，所以随机事件发生的频率和它的概率是不一样的．由此可知①②③都是不正确的．答案：A2．对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测，数据如下：( )A ．0.92B ．0.94C ．0.95D ．0.96解析：由概率的定义可知，检测次数越多越接近概率值． 答案：C3．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为X 、Y ，则log 2X Y ＝1的概率为( )A.16B.536C.112D.12解析：由log 2X Y ＝1得Y ＝2X ，满足条件的X 、Y 有3对，而骰子朝上的点数X 、Y 共有6×6＝36对．∴概率为336＝112.答案：C4．在10支铅笔中，有8支正品和2支次品，从中不放回地任取2支，至少取到1支次品的概率是( )A.29B.1645C.1745D.25解析一：(直接法)．“至少取到1支次品”包括：A ＝“第一次取到次品，第二次取到正品”；B ＝“第一次取到正品，第二次取到次品”；C ＝“第一、二次均取到次品”三种互斥事件，所以所求事件的概率为P (A )＋P (B )＋P (C )＝2×8＋8×2＋2×110×9＝1745. 解析二：(间接法)“至少取到1支次品”的对立事件为“取到的2支铅笔均为正品”，所以所求事件的概率为1－8×710×9＝1745. 答案：C 二、填空题5．设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，则上述方程有实根的概率为________．解析：设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”，当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件a ≥b .基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为P (A )＝912＝34.答案：346．定义集合A 与B 的差集A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，记“从集合A 中任取一个元素x ，x ∈A －B ”为事件E ，“从集合A 中任取一个元素x ，x ∈A ∩B ”为事件F .P (E )为事件E 发生的概率，P (F )为事件F 发生的概率，当a ，b ∈Z ，且a <－1，b ≥1时，设集合A ＝{x ∈Z |a <x <0}，集合B ＝{x ∈Z |－b <x <b }，给出以下判断：①当a ＝－4，b ＝2时，P (E )＝23，P (F )＝13；②总有P (E )＋P (F )＝1成立； ③若P (E )＝1，则a ＝－2，b ＝1；④P (F )不可能等于1.其中所有判断正确的序号为________．解析：对于①，当a ＝－4，b ＝2时，A ＝{x ∈Z |－4<x <0}＝{－3，－2，－1}，B ＝{x ∈Z |－2<x <2}＝{－1,0,1}，A －B ＝{－3，－2}，A ∩B ＝{－1}，P (E )＝23，P (F )＝13，因此①正确；对于②，依题意知，对于集合A 中的任一元素x ，要么x 属于A －B ，要么x 属于A ∩B ，二者必居其一，因此P (E )＋P (F )＝1，②正确；对于③，由P (E )＝1得A ∩B ＝Ø，结合题意分析可知此时b ＝1，a 可以取－2、－3、－4等，因此③不正确；对于④，当a ＝－3，且b ＝4时，A ＝{－2，－1}，B ＝{－3，－2，－1,0,2,3}，此时A ∩B ＝A ，P (F )＝1，因此④不正确．综上所述，其中所有正确命题的序号是①②.答案：①② 三、解答题7．同时掷两颗骰子一次，(1)“点数之和是13”是什么事件？其概率是多少？(2)“点数之和在2～13范围之内”是什么事件？其概率是多少？ (3)“点数之和是7”是什么事件？其概率是多少？解：(1)由于点数最大是6，和最大是12，不可能得13，因此此事件是不可能事件，其概率为0.(2)由于点数之和最小是2，最大是12，在2～13范围之内，它是必然事件，其概率为1.(3)由(2)知，和是7是有可能的，此事件是随机事件，事件“点数和为7”包含的基本事件有{1,6}，{2,5}，{3,4}，{4,3}，{5,2}，{6,1}共6个，因此P ＝66×6＝16.8．口袋里装有不同的红色球和白色球共36个，且红色球多于白色球．从袋子中取出2个球，若是同色的概率为12，求：(1)袋中红色、白色球各是多少？(2)从袋中任取3个小球，至少有一个红色球的概率为多少？ 解：(1)令红色球为x 个，则依题意得C 2xC 236＋C 236－x C 236＝12，所以2x 2－72x ＋18×35＝0，得x ＝15或x ＝21， 又红色球多于白色球，所以x ＝21， 所以红色球为21个，白色球为15个．(2)设从袋中任取3个小球，至少有一个红色球的事件为A ，均为白色球的事件为B ， 则P (A )＝1－P (B )＝1－C 315C 336＝191204.[高考·模拟·预测]1．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1000个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个，其两面涂有油漆的概率是( )A.112 B.110 C.325D.12125解析：每条棱上有8块，共8×12＝96块． ∴概率为8×121000＝12125.答案：D2．福娃是北京2008年第29届奥运会吉祥物，每组福娃都由“贝贝”、“晶晶”、“欢欢”、“迎迎”和“妮妮”这五个福娃组成．甲、乙两位好友分别从同一组福娃中各随机选择一个福娃留作纪念，按先甲选再乙选的顺序不放回地选择，则在这两位好友所选择的福娃中，“贝贝”和“晶晶”恰好只有一个被选中的概率为( )A.110 B.15 C.35D.45解析：本题分甲选中吉祥物和乙选中吉祥物两种情况，先甲选后乙选的方法有5×4＝20，甲选中乙没有选中的方法有2×3＝6，概率为620＝310，乙选中甲没有选中的方法有2×3＝6，概率为620＝310，∴恰有一个被选中的概率为310＋310＝35. 答案：C3．某射手的一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为________．解析：依题意知，此射手在一次射击中不超过8环的概率为1－(0.2＋0.3)＝0.5. 答案：0.54．将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为________． 解析：基本事件有6×6×6＝216个，点数依次成等差数列的有： (1)当公差d ＝0时，1,1,1及2,2,2，…，共6个．(2)当公差d ＝±1时，1,2,3及2,3,4；3,4,5；4,5,6，共4×2个． (3)当公差d ＝±2时，1,3,5；2,4,6，共2×2个．∴P ＝6＋4×2＋2×26×6×6＝112.答案：1125．某学校篮球队、羽毛球队、乒乓球队的某些队员不止参加了一支球队，具体情况如右图所示，现从中随机抽取一名队员，求：(1)该队员只属于一支球队的概率；(2)该队员最多属于两支球队的概率．解：(1)设“该队员只属于一支球队”为事件A ，则事件A 的概率P (A )＝1220＝35.(2)设“该队员最多属于两支球队”为事件B ，则事件B 的概率为P (B )＝1－220＝910.[备选精题]6．班级联欢时，主持人拟出了如下一些节目：跳双人舞、独唱、朗诵等，指定3个男生和2个女生来参与，把5个人分别编号为1,2,3,4,5，其中1,2,3号是男生，4,5号是女生，将每个人的号分别写在5张相同的卡片上，并放入一个箱子中充分混合，每次从中随机地取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目．(1)为了选出2人来表演双人舞，连续抽取2张卡片，求取出的2人不全是男生的概率； (2)为了选出2人分别表演独唱和朗诵，抽取并观察第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片，求：独唱和朗诵由同一个人表演的概率．解：(1)利用树形图我们可以列出连续抽取2张卡片的所有可能结果(如下图所示)．由上图可以看出，试验的所有可能结果数为20，因此每次都随机抽取，因此这20种结果出现的可能性是相同的，试验属于古典概型．用A 1表示事件“连续抽取2人一男一女”，A 2表示事件“连续抽取2人都是女生”，则A 1与A 2互斥，并且A 1∪A 2表示事件“连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生”，由列出的所有可能结果可以看出，A 1的结果有12种，A 2的结果有2种，由互斥事件的概率加法公式，可得P (A 1∪A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝1220＋220＝710＝0.7，即连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生的概率为0.7.(2)有放回地连续抽取2张卡片，需注意同一张卡片可再次被取出，并且它被取出的可能性和其他卡片相等，我们用一个有序实数对表示抽取的结果，例如“第一次取出2号，第二次取出4号”就用(2,4)来表示，所有的可能结果可以用下表列出.概型．用A表示事件“独唱和朗诵由同一个人表演”，由上表可以看出，A的结果共有5种，因此独唱和朗诵由同一个人表演的概率P(A)＝525＝15＝0.2.。

第1模块 第1节[知能演练]一、选择题1．满足条件M ∪{1}＝{1,2,3}的集合M 的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：满足条件M ∪{1}＝{1,2,3}的集合M 为{2,3}，{1,2,3}，共两个． 答案：B2．已知集合P ＝{(x ，y )||x |＋|y |＝1}，Q ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤1}，则( )A ．P ⊆QB ．P ＝QC ．P ⊇QD ．P ∩Q ＝Ø 答案：A3．若集合A ＝{x |2a ＋1≤x ≤3a －5}，B ＝{x |3≤x ≤22}，则能使A ⊆B 成立的所有a 的集合是( )A ．{a |1≤a ≤9}B ．{a |6≤a ≤9}C ．{a |a ≤9}D ．Ø解析：若2a ＋1>3a －5，即a <6时，A ＝Ø⊆B ； 若2a ＋1＝3a －5，即a ＝6时，A ＝{x |x ＝13}⊆B ； 若2a ＋1<3a －5，即a >6时，由A ⊆B 得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1≥33a －5≤22，解得6<a ≤9.综上可得a ≤9. 答案：C4．已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |1<x <2}，且A ∪ (∁R B )＝R ，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤1B ．a <1C ．a ≥2D ．a >2解析：∁R B ＝(－∞，1]∪[2，＋∞)，又A ∪(∁R B )＝R ，数轴上画图可得a ≥2，故选C. 答案：C 二、填空题5．若集合{(x ，y )|x ＋y －2＝0且x －2y ＋4＝0} {(x ，y )|y ＝3x ＋b }，则b ＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0，x －2y ＋4＝0.⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.点(0,2)在y ＝3x ＋b 上，∴b ＝2.答案：26．对于集合M 、N 定义M －N ＝{x |x ∈M ，且x ∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )，设A ＝{t |t ＝x 2－3x ，x ∈R }，B ＝{x |y ＝lg(－x )}，则A ⊕B ＝________.解析：∵t ＝x 2－3x ＝(x －32)2－94≥－94，∴A ＝{t |t ≥－94}．又由B 可知y ＝lg(－x )，则－x >0，得x <0， ∴B ＝{x |x <0}，∴A －B ＝{x |x ≥0}，B －A ＝{x |x <－94}，∴A ⊕B ＝(－∞，－94)∪[0，＋∞)．答案：(－∞，－94)∪[0，＋∞)三、解答题7．已知集合A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，且B ⊆A ，求实数m 的值组成的集合．解：A ＝{x |(x －2)(x －3)＝0}＝{2,3}， 若m ＝0，B ＝Ø⊆A ；若m ≠0，B ＝{x |x ＝－1m}，由B ⊆A 得－1m ＝2，或－1m ＝3，解得m ＝－12，m ＝－13， 因此实数m 的值组成的集合是{0，－12，－13}．8．已知集合E ＝{x ||x －1|≥m }，F ＝{x |10x ＋6>1}．(1)若m ＝3，求E ∩F ；(2)若E ∪F ＝R ，求实数m 的取值范围； (3)若E ∩F ＝Ø，求实数m 的取值范围． 解：(1)当m ＝3时，E ＝{x ||x －1|≥3}＝{x |x ≤－2或x ≥4}，F ＝{x |10x ＋6>1}＝{x |x －4x ＋6<0}＝{x |－6<x <4}．∴E ∩F ＝{x |x ≤－2或x ≥4}∩{x |－6<x <4} ＝{x |－6<x ≤－2}． (2)∵E ＝{x ||x －1|≥m }，①m ≤0时，E ＝R ，E ∪F ＝R ，满足条件． ②m >0时，E ＝{x |x ≤1－m 或x ≥1＋m }， 由E ∪F ＝R ，F ＝{x |－6<x <4}，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≥－6，1＋m ≤4，m >0，解得0<m ≤3.∴综上，实数m 的取值范围为(－∞，3]． (3)∵E ＝{x ||x －1|≥m }，①m ≤0时，E ＝R ，E ∩F ＝F ≠Ø，不满足条件．②m >0时，E ＝{x |x ≤1－m 或x ≥1＋m }，由E ∩F ＝Ø，F ＝{x |－6<x <4}， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－6，1＋m ≥4，m >0，解得m ≥7.∴综上，实数m 的取值范围为[7，＋∞)．[高考·模拟·预测]1．已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |－2≤x －1≤2}和N ＝{x |x ＝2k －1，k ＝1,2，…}的关系的韦恩(Venn)图如下图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．无穷多个解析：∵阴影部分M ∩N ＝{x |－2≤x －1≤2}∩{x |x ＝2k －1，k ＝1,2，…}＝{x |－1≤x ≤3}∩{x |x ＝2k －1，k ＝1,2，…}＝{1,3}，∴阴影部分所示的集合的元素共有2个，故选B.答案：B 2．已知全集U ＝R ，则正确表示集合M ＝{－1,0,1}和N ＝{x |x 2＋x ＝0}关系的韦恩(Venn)图是( )解析：N ＝{x |x 2＋x ＝0}＝{－1,0}，而M ＝{－1,0,1}，故N M ，所以选B. 答案：B3．设全集U ＝A ∪B ＝{x ∈N *|lg x <1}．若A ∩(∁U B )＝{m |m ＝2n ＋1，n ＝0,1,2,3,4}，则集合B ＝______________.解析：由题意得U ＝A ∪B ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A ∩(∁U B )＝{1,3,5,7,9}，所以B ＝{2,4,6,8}． 答案：{2,4,6,8}4．设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a 、b ∈P ，都有a ＋b 、a －b 、ab 、ab∈P (除数b ≠0)，则称P 是一个数域．例如有理数集Q 是数域；数集F ＝{a ＋b 2|a ，b ∈Q }也是数域，有下列命题：①整数集是数域；②若有理数集Q ⊆M ，则数集M 必为数域； ③数域必为无限集； ④存在无穷多个数域．其中正确命题的序号是________．(把你认为正确的命题的序号都填上)解析：对于整数集Z ，a ＝1，b ＝2时，a b ＝12∉Z ，故整数集不是数域，①错；对于满足Q ⊆M 的集合M ＝Q ∪{2},1＋2∉M ，M 不是数域，②错；若P 是数域，则存在a ∈P 且a ≠0，依定义，2a,3a,4a …均是P 中的元素，故P 中有无数个无素，③正确；类似数集F ，{a ＋b 3|a ，b ∈Q }，{a ＋b 5|a ，b ∈Q }等均是数域，④正确．答案：③④5．已知集合A ＝{x |(x －2)[x －(3a ＋1)]<0}，B ＝{x |x －2ax －(a 2＋1)<0}．(1)当a ＝2时，求A ∩B ；(2)求使B ⊆A 的实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝2时，A ＝{x |2<x <7}，B ＝{x |4<x <5}． ∴A ∩B ＝{x |4<x <5}， (2)B ＝{x |2a <x <a 2＋1}，①当B ＝Ø时，2a ≥a 2＋1，∴a ＝1， 此时A ＝{x |2<x <4}，B ⊆A 符合题意．②若B ≠Ø，方程(x －2)[x －(3a ＋1)]＝0的两根为x 1＝2，x 2＝3a ＋1. ∵B ≠Ø.∴A ≠Ø∴3a ＋1≠2，即a ≠13.当3a ＋1>2，即a >13时，⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥2a 2＋1≤3a ＋12a <a 2＋1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ≥10≤a ≤3⇒1<a ≤3a ≠1.当3a ＋1<2，即a <13时，⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ≥3a ＋1a 2＋1≤2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1－1≤a ≤1⇒a ＝－1. ∴a 的取值范围为[1,3]∪{－1}．[备选精题]6．集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}． (1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围；(2)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数；(3)当x ∈R 时，没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝Ø满足B ⊆A . 当m ＋1≤2m －1，即m ≥2时，要使B ⊆A 成立， 需⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－22m －1≤5，可得2≤m ≤3， 综上，m 的取值范围是m ≤3.(2)当x ∈Z 时，A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}， 所以A 的非空真子集个数为28－2＝254.(3)因为x ∈R ，且A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，又没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立．则①若B ＝Ø，即m ＋1>2m －1，得m <2时满足条件． ②若B ≠Ø，则要满足的条件是 ⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1m ＋1>5或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －12m －1<－2，解得m >4. 综上，m 的取值范围是m <2或m >4.。

第3模块 第1节[知能演练]一、选择题1．已知角α的终边过点(－1,2)，则cos α的值为( )A ．－55 B.255 C ．－255 D ．－12答案：A2．点P (tan2007°，cos2007°)位于 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解析：∵2007°＝360°×6－153°， ∴2007°与－153°的终边相同， ∴2007°是第三象限角， ∴tan2007°>0，cos2007°<0. ∴P 点在第四象限，故选D. 答案：D3．已知角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边在( )A ．x 轴上B ．y 轴上C ．直线y ＝x 上D ．直线y ＝－x 上解析：由角α的余弦线长度为1分析可知，角α的终边与x 轴重合，故选A. 答案：A4．设a ＝sin(－1)，b ＝cos(－1)，c ＝tan(－1)，则有( )A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <a <bD ．a <c <b解析：∵a ＝－sin1，b ＝cos1，c ＝－tan1，∴a <0，b >0，c <0.又∵sin1<tan1，∴－sin1>－tan1，∴c <a <b .故选C.答案：C 二、填空题5．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1按逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为________．解析：由弧长公式l ＝|α|r ，l ＝2π3，r ＝1得，P 点按逆时针方向转过的角度为α＝2π3，所以Q 点的坐标为(cos 2π3，sin 2π3)，即(－12，32)．答案：(－12，32)6．若角β的终边与60°角的终边相同，在[0°，360°)内，终边与角β3的终边相同的角为________________________．解析：∵β＝k ·360°＋60°，k ∈Z ，∴β3＝k ·120°＋20°，k ∈Z .又β3∈[0°，360°)，∴0°≤k ·120°＋20°<360°，k ∈Z ，∴－16≤k <176，∴k ＝0,1,2.此时得β3分别为20°，140°，260°.故在[0°，360°)内，与角β3终边相同的角为20°，140°，260°.答案：20°，140°，260° 三、解答题7．已知角α的终边过点P (－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈(π2，π)，求sin α，cos α，tan α的值．解：∵θ∈(π2，π)，∴－1<cos θ<0，∴r ＝9cos 2θ＋16cos 2θ＝－5cos θ，故sin α＝－45，cos α＝35，tan α＝－43.8．(1)确定tan(－3)cos8·tan5的符号；(2)确定lg(cos6－sin6)的符号．解：(1)∵－3,5,8分别是第三、第四、第二象限角， ∴tan(－3)>0，tan5<0，cos8<0，∴原式>0.(2)∵6为第四象限角，∴cos6>0，sin6<0，故cos6－sin6>0.∵(cos6－sin6)2＝1－2sin6cos6＝1－sin12>1(12是第四象限的角)，∴cos6－sin6>1，∴lg(cos6－sin6)>0.[高考·模拟·预测]1．已知点P (sin 3π4，cos 3π4)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.π4B.3π4C.5π4D.7π4解析：由sin 3π4>0，cos 3π4<0知角θ在第四象限，∵tan θ＝cos3π4sin 3π4＝－1，θ∈[0,2π)，∴θ＝7π4.答案：D2．已知sin α＝45，cos α＝35，则角2α所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解法一：由sin α＝45，cos α＝35知2kπ＋π4<α<2kπ＋π2，∴4kπ＋π2<2α<4kπ＋π(k ∈Z )，角2α所在的象限是第二象限，选择B.解法二：由sin α＝45，cos α＝35易得sin2α＝2425，cos2α＝－725，∴角2α所在的象限是第二象限，选择B.答案：B3．若点A (x ，y )是300°角终边上异于原点的一点，则yx的值为________．解析：yx＝tan300°＝－tan60°＝－ 3.答案：－ 34．若角α的终边落在射线y ＝－x (x ≥0)上，则sin α1－sin 2α＋1－cos 2αcos α＝________.解析：由定义知，sin α＝－22，cos α＝22，则原式＝0.答案：05．借助单位圆解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥02cos x －1>0.解：由⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，2cos x －1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x >12，分析正弦函数线和余弦函数线，如右图所示，由三角函数线可得x 满足的条件为 ⎩⎪⎨⎪⎧2kπ≤x ≤2kπ＋π，2kπ－π3<x <2kπ＋π3(k ∈Z )．此交集恰好为图形中的阴影交错部分，由数形结合可得2kπ≤x <2kπ＋π3(k ∈Z )．[备选精题]6．在直角坐标系xOy 中，若角α的始边为x 轴的非负半轴，终边为射线l ：y ＝22x (x ≥0)．(1)求sin(α＋π6)的值；(2)若点P 、Q 分别是角α始边、终边上的动点，且PQ ＝4，求△POQ 面积最大时，点P 、Q 的坐标．解：(1)由射线l 的方程为y ＝22x ，可得sin α＝223，cos α＝13，故sin(α＋π6)＝223×32＋13×12＝1＋266. (2)设P (a,0)，Q (b,22b )(a >0，b >0)．在△POQ 中，因为PQ 2＝(a －b )2＋8b 2＝16， 即16＝a 2＋9b 2－2ab ≥6ab －2ab ＝4ab ， 所以ab ≤4.所以S △POQ ＝2ab ≤4 2.(当且仅当a ＝3b ，即a ＝23，b ＝233时取得等号)．所以△POQ 面积最大时，点P ，Q 的坐标分别为P (23，0)，Q (233，463)．。

高三数学天天练0411.将函数sin(2)3y x π=-的图象先向左平移3π，然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为 .2.若]2,0[πθ∈，且54sin =θ，则2tan θ= . 3.已知点A 、B 、C 满足3=AB ，4=BC ，5=CA ，则AB CA CA BC BC AB ⋅+⋅+⋅的值是 .4.入射光线沿直线12+=x y 射向直线x y =, 被x y =反射后,反射光线所在的直线方程是 .5.ABC ∆的三内角A ，B ，C 所对边长分别是c b a ,,，设向量),sin ,(C b a m +=)sin sin ,3(A B c a n -+=，若n m //，则角B 的大小为 .6.两个正数,m n 的等差中项是5，等比中项是4.若m n >，则椭圆221x y m n+=的离心率e 的大小为 .7.函数1(0,1)x y a a a -=>≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线10(0)mx ny mn +-=>上，则11m n +的最小值为 .8.等差数列2008200520071,220052007,2008,,}{S S S a n S a n n 则项和是其前中=--=的值为 9.若函数f (x )=log a (x +a x -4) ( a >0且a ≠1) 的值域为R ，则实数a 的取值范围是 .10．已知点A (－2，－1)和B(2，3)，圆C ：x 2＋y 2 = m 2，当圆C 与线．段．AB 没有公共点时，求m 的取值范围_ .11．设,s t 为正整数，两直线12:0:022t t l x y t l x y s s+-=-=与的交点是11(,)x y ，对于 正整数(2)n n ≥，过点1(0,)(,0)n t x -和的直线与直线2l 的交点记为(,)n n x y .则数列{}n x 通项公式n x ＝ .12、设函数()()0,11x xa f x a a a =>≠+且，若用【m 】表示不超过实数m 的最大整数，求函数【()12f x -】+【()12f x --】的值域填空题答案纸：1、______________2、_____________3、______________4、______________5、_____________6、______________7、______________8、_____________9、______________ 10、_____________ 11、_____________。

第3模块 第7节[知能演练]一、选择题1．在△ABC 中，a 2－c 2＋b 2＝ab ，则角C 为( )A ．60°B ．45°或135°C ．120°D ．30°解析：∵a 2－c 2＋b 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12.又∵0°<C <180°，∴C ＝60°.答案：A2．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin Bsin C的值为 ( )A.85B.58C.53D.35解析：由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ，即72＝52＋AC 2－10AC ·cos120°，∴AC ＝3.由正弦定理得sin B sin C ＝AC AB ＝35.答案：D3．已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且面积S △ABC ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则A 等于( )A ．45°B ．30°C ．120°D ．15°解析：由S △ABC ＝14(b 2＋c 2－a 2)＝12bc sin A得sin A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝cos A ，∴A ＝45°.答案：A4．在△ABC 中，BC ＝2，B ＝π3，若△ABC 的面积为32，则tan C 为( )A. 3 B ．1 C.33D.32解析：由S △ABC ＝12BC ·BA sin B ＝32得BA ＝1，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC cos B ，∴AC ＝3，∴△ABC 为直角三角形，其中A 为直角，∴tan C ＝AB AC ＝33.答案：C 二、填空题5．某人向正东方向走了x 千米，他右转150°，然后朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好3千米，那么x 的值是________．解析：如图所示，该问题转化为已知△ABC 中BC ＝3，AC ＝3，B ＝30°，求AB 的长．由正弦定理AC sin B ＝BC sin A 可求得角A ，进而可求出角C 再由AB sin C ＝ACsin B可求得AB ，即x . 答案：3或2 36．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，b ＝7，c ＝3，则B ＝________.解析：由余弦定理变形得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝1＋3－72×1×3＝－32.又∵B ∈(0，π)，∴B ＝5π6.答案：5π6三、解答题7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，并且a 2＝b (b ＋c )． (1)求证：A ＝2B ；(2)若a ＝3b ，判断△ABC 的形状． (1)证明：因为a 2＝b (b ＋c )，即a 2＝b 2＋bc ， 所以在△ABC 中，由余弦定理可得， cos B ＝a 2＋c 2－b 22bc ＝c 2＋bc 2ac＝b ＋c 2a ＝a 22ab ＝a 2b ＝sin A2sin B， 所以sin A ＝sin2B ，∴A ＝2B 或A ＋2B ＝π，而当A ＋2B ＝π时有B ＝C 即b ＝c ，代回已知得a ＝2b ，此时a 2＝b 2＋c 2，故A ＝90°，而B ＝C ＝45°也即A ＝2B .故A ＝2B .(2)解：因为a ＝3b ，所以ab ＝3，由a 2＝b (b ＋c )可得c ＝2b ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3b 2＋4b 2－b 243b 2＝32所以B ＝30°，A ＝2B ＝60°，C ＝90°. 所以△ABC 为直角三角形．8．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，关于x 的方程ax 2－2c 2－b 2x －b ＝0(a >c >b )的两根之差的平方等于4，△ABC 的面积S ＝103，c ＝7. (1)求角C ； (2)求a ，b 的值．解：(1)设x 1、x 2为方程ax 2－2c 2－b 2x －b ＝0的两根，则x 1＋x 2＝2c 2－b 2a，x 1·x 2＝－b a. ∴(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝4(c 2－b 2)a 2＋4b a ＝4.∴a 2＋b 2－c 2＝ab .又cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，又∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝60°. (2)由S ＝12ab sin C ＝103，∴ab ＝40.①由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 即c 2＝(a ＋b )2－2ab (1＋cos60°)． ∴72＝(a ＋b )2－2×40×(1＋12)．∴a ＋b ＝13.又∵a >b ② ∴由①②，得a ＝8，b ＝5.[高考·模拟·预测]1．△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且cos2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝0，b ＝3，则c ∶sin C 等于( )A ．3∶1 B.3∶1 C.2∶1D ．2∶1解析：cos2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝2cos 2B －3cos B ＋1＝0，∴cos B ＝12或cos B ＝1(舍)．∴B＝π3.∴c sin C ＝b sin B ＝332＝2.故选D. 答案：D2．△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积等于( )A.32B.34C.32或 3D.32或34解析：1sin30°＝3sin C ，∴sin C ＝32.∴C ＝60°或120°. (1)当C ＝60°时，A ＝90°，∴BC ＝2，此时，S △ABC ＝32； (2)当C ＝120°时，A ＝30°，S △ABC ＝12×3×1×sin30°＝34，故选D.答案：D3．在锐角△ABC 中，b ＝2，B ＝π3，sin2A ＋sin(A －C )－sin B ＝0，则△ABC 的面积为________．解析：sin2A ＋sin(A －C )－sin B ＝sin2A ＋sin(A －C )－sin(A ＋C )＝sin2A －2sin C cos A ＝2cos A (sin A －sin C )＝0，∵△ABC 是锐角三角形， ∴cos A ≠0.∴sin A ＝sin C ，即A ＝C . 又B ＝π3，∴△ABC 为正三角形．∴S ＝34×22＝ 3. 答案： 34．已知△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝c ＝6＋2且∠A ＝75°，则b ＝( )A ．2B ．4＋2 3C ．4－2 3D.6－ 2解析：sin A ＝sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋sin45°cos30°＝2＋64.由a ＝c ＝6＋2可知，∠C ＝75°，所以∠B ＝30°，sin B ＝12.由正弦定理得b ＝asin A ·sin B＝2＋62＋64×12＝2，故选A. 答案：A5．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A . (1)求AB 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫2A －π4的值． 解：(1)在△ABC 中，根据正弦定理，AB sin C ＝BCsin A .于是AB ＝sin Csin A BC ＝2BC ＝2 5.(2)在△ABC 中，根据余弦定理得 cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝255.于是sin A ＝1－cos 2A ＝55. 从而sin2A ＝2sin A cos A ＝45，cos2A ＝cos 2A －sin 2A ＝35.所以sin ⎝⎛⎫2A －π4＝sin2A cos π4－cos2A sin π4＝210. [备选精题]6．已知函数f (x )＝2sin x cos 2φ2＋cos x sin φ－sin x (0<φ<π)在x ＝π处取最小值．(1)求φ的值；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边．已知a ＝1，b ＝2，f (A )＝32，求角C .解：(1)f (x )＝2sin x 1＋cos φ2＋cos x sin φ－sin x＝sin x ＋sin x cos φ＋cos x sin φ－sin x ＝sin x cos φ＋cos x sin φ＝sin(x ＋φ)． 因为f (x )在x ＝π时取最小值． 所以sin(π＋φ)＝－1，故sin φ＝1. 又0<φ<π，所以φ＝π2.(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x .因为f (A )＝cos A ＝32，且A 为△ABC 的内角， 所以A ＝π6.由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝22.又b >a ，所以B ＝π4或B ＝3π4.当B ＝π4时，C ＝π－A －B ＝π－π6－π4＝7π12，当B ＝3π4时，C ＝π－A －B ＝π－π6－3π4＝π12.综上所述，C ＝7π12或C ＝π12.。

高考能力测试步步数学基础训练11基础训练11 数列的通项与前n 项和●训练指要掌握等差、等比数列前n 项和的公式，了解推导公式的思想方法，会解已知a 1,d (q )n ,a n ,S n 中某三个量，求另外量的基本问题.一、选择题1.数列通项为a n =n n ++11，当前n 项和为9时，项数n 是A.9B.99C.10D.1002.(2003年安徽春季高考题)等差数列{a n }中，若a 10=10,a 19=100,前n 项和S n =0,则n 等于A.7B.9C.17D.193.等差数列{a n }中，a n -4=30,且前9项的和S 9=18，前n 项和为S n =240,则n 等于A.15B.16C.17D.18二、填空题4.在等比数列{a n }中，a 7·a 11=6,a 4+a 14=5,则1020a a =_________. 5.已知等差数列{a n }中，a 1、a 3、a 9成等比数列，则1042931a a a a a a ++++=_________. 三、解答题6.已知等差数列{a n } 中，a 5=a 14,a 2+a 9=31,求前10项的和.7.(2000年全国高考题)设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7=7，S 15=75，T n 为数列{nS n }的前n 项和，求T n . 8.(2002年江苏高考题)设{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，a 1=b 1=1,a 2+a 4=b 3,b 2b 4=a 3. 分别求出{a n }及{b n }的前10项和S 10及T 10.高考能力测试步步数学基础训练11答案一、1.B 2.C 3.A二、4.1613.52332或三、6.155 7.T n =n n 49412- 8.S 10=－)22(323185510±=T。